บทท่ี 3...
Post on 24-Feb-2020
33 Views
Preview:
TRANSCRIPT
51
บทท 3
การแจกแจงความนาจะเปนแบบไมตอเนอง
(Discrete Probability Distributions)
จากเนอหาในบทท 2 ความนาจะเปนของตวแปรสมแบบไมตอเนองสาหรบตวแปรสมแบบไม
ตอเนอง X สามารถใชฟงกชนมวลความนาจะเปน ในการระบคาความนาจะเปนของคาทเปนไปไดแตละ
คาของ X
3.1 อะไรคอการแจกแจงความนาจะเปนแบบไมตอเนอง
ในการแสดงคาฟงกชนมวลความนาจะเปนของตวแปรสม X สามารถแสดงไดดวยการระบคา
ความนาจะเปนหรอแสดงดวยภาพ ดงตวอยางตอไปน
ตวอยางท 3.1 ในกระบวนการผลตแผนเวเฟอรเซมคอนดกเตอร หากสมทดสอบแผนเวเฟอร 2 แผน โดยผล
การทดสอบมเพยง “ผาน” หรอ “ไมผาน” สมมตวาความนาจะเปนทแผนเวเฟอรจะผานการทดสอบเทากบ
0.8 (และความนาจะเปนทจะไมผานเทากบ 0.2) ในการทดสอบแตละครงเปนอสระตอกน ความนาจะเปน
ทแผนแรกจะ “ผาน” และ แผนทสองจะ “ไมผาน” จะเทากบ 16.02.08.0 ใหตวแปรสม X แทน
จานวนแผนเวเฟอรทผานการทดสอบ จะไดผลดงตารางตอไปน
ผลลพธ ความนาจะเปน x เวเฟอร 1 เวเฟอร 2
ผาน (P) ผาน (P) 0.64 2
ผาน (P) ไมผาน (F) 0.16 1
ไมผาน (F) ผาน (P) 0.16 1
ไมผาน (F) ไมผาน (F) 0.04 0
จะเหนไดวาความนาจะเปนในการสมทดสอบแผนเวเฟอร 2 แผน ซงจะมผลลพธทเปนไปได
ทงหมด 4 แบบ คอ PP, PF, FP และ FF ซงสอดคลองกบคาของตวแปรสม คอ 0, 1, 1 และ 2 ผลรวมของ
คาของความนาจะเปนทงหมดจะเทากบ 1 เสมอ
52
สามารถแสดงคาความนาจะเปนไดดวยภาพตอไปน
รปท 3.1 การแจกแจงความนาจะเปนของผลการทดสอบแผนเวเฟอร 2 แผน
ตวอยางท 3.2 ในการสงขอมลแบบดจทลคราวละ 3 บต กาหนดให X เปนตวแปรสมทแสดงจานวนบต
ผดพลาดทเกดขนในการสงขอมล ดงนน 3,2,1,0xS จะไดความนาจะเปนของคาตาง ๆ ของ X คอ
125.00 xP
375.01 xP
375.02 xP
125.03 xP และสามารถแสดงไดดวยภาพตอไปน
รปท 3.2 การแจกแจงความนาจะเปนของบตผดพลาด
รปท 3.1 และ 3.2 แสดงการแจกแจงคาความนาจะเปนของคาตางๆ ของตวแปรสม X ซงจะ
เหนไดวาการแจกแจงในรปทงสองมความไมตอเนอง (Discrete) เนองจากคาของ X มความไมตอเนอง
xpX
x04.0
64.0
0 1 2
32.0
xpX
x
125.0
375.0
0 31 2
53
3.2 ฟงกช นการแจกแจงความนาจะเปนแบบสะสมของตวแปรสมแบบไมตอเนอง
(Cumulative Distribution Function of A Discrete Random Variable)
3.2.1 นยามของฟงกช นการแจกแจงความนาจะเปนแบบสะสม
ให X เปนตวแปรสมแบบไมตอเนอง ฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนแบบสะสม
(Cumulative Distribution Function: cdf) ของ X ซงเขยนแทนดวย xFX คอ
xx
iX
i
xpxXPxF (3.1)
โดยฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนแบบสะสมจะมคณสมบตดงน (1)
xx
iX
i
xpxXPxF (3.2ก)
(2) 10 xFX (3.2ข)
(3) หาก 21 xx แลว 21 xFxF XX (3.2ค)
ในบางครงการแสดงความนาจะเปนโดยแสดงดวยฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนแบบ
สะสม (cdf) จะชวยใหสะดวกและมประโยชนมากกวา นอกจากนฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนแบบ
สะสมยงสามารถใชหาคาฟงกช นมวลความนาจะเปน (pmf) ของตวแปรสมไดอกดวย
ตวอยางท 3.3 จากตวอยางท 3.2 จงหาความนาจะเปนทจะเกดบตผดพลาด 1 บตหรอนอยกวา 1 บต
วธทา ความนาจะเปนในการเกดบตผดพลาด 1 บตคอ 1XP สวนความนาจะเปนในการเกดบต
ผดพลาดนอยกวา 1 บตคอความนาจะเปนทจะไมเกดบตผดพลาดเลย หรอ 0XP นนเอง ทาใหได
101 XPXPXP
5.0375.0125.0
จากตวอยางท 3.3 น จะเหนไดวาความนาจะเปนทจะเกดบตผดพลาด 1 บตหรอนอยกวา 1 บตก
คอฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนแบบสะสม 1XF นนเอง
สามารถแสดงฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนแบบสะสมของตวแปรสม X ทแสดงจานวน
บตผดพลาดทเกดขนในการสงขอมลคราวละ 3 บตไดดวยรปท 3.3
จากรปท 3.3 สามารถหาคา 125.000 XFXP คา 875.022 XFXP
และคา 000.133 XFXP ไดโดยดจากฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนแบบสะสม
54
รปท 3.3 ฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนแบบสะสมของ X ในตวอยางท 3.3
ตวอยางท 3.4 จงหาความนาจะเปนของ X จากฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนแบบสะสมตอไปน
2 ,1
20 0.7,
0x2- ,2.0
2 ,0
x
x
x
xFX
วธทา จากสมการฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนแบบสะสมชางตน สามารถวาดกราฟ cdf ไดดงน
รปท 3.4 ฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนแบบสะสมของ X ในตวอยางท 3.4
จะได
2.002.02 XP
5.02.07.00 XP
3.07.00.12 XP
จากตวอยางท 3.4 จะเหนวาสามารถแสดงฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนแบบสะสมไดโดย
ใชสมการ
xFX
x
000.1
10 2
875.0
125.0
3
500.0
55
ตวอยางท 3.5 หากทราบวาในบรรดาชนสวน 800 ชนทโรงงานผลตขนม 50 ชนทไมไดมาตรฐาน ทดลอง
สมชนสวนมา 2 ชนแบบไมใสกลบลงไป และใหตวแปรสม X เทากบจานวนชนสวนทไมไดมาตรฐานทสม
ได จงหาฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนแบบสะสมของ X
วธทา เรมจากหาฟงกชนมวลความนาจะเปนของ X ดงน
879.0799
749
800
7500 XP
117.0799
50
800
75021 XP
004.0799
49
800
502 XP
ดงนนจะได
000 XPXPFX 1011 XPXPXPFX
21022 XPXPXPXPFX และสามารถพลอตเปนฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนแบบสะสมไดดงน
รปท 3.5 ฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนแบบสะสมของ X ในตวอยางท 3.5
3.3 คาเฉลยหรอคาคาดหวงของการแจกแจงความนาจะเปนแบบไมตอเนอง
ในบางสถานการณทไมตองการรฟงกชนมวลความนาจะเปน แตตองการจะรพารามเตอรบางตว
ทสรปขอมลโดยรวมของการแจกแจงความนาจะเปนเทานน เชน การวดความแรงของสญญาณคลนวทยซง
ถกสญญาณรบกวน ตองการทราบพารามเตอรซงแสดงคาโดยสรปของความแรงของคลนวทยนนๆ ในการ
หาศนยกลางของการแจกแจงความนาจะเปนแบบไมตอเนองนจะใชคาเฉลย (Mean) หรอคาคาดหวง
56
(Expected Value) ซงกคอโมเมนตลาดบท 1 ของตวแปรสมแบบไมตอเนอง X ซงกคอคาเฉลยถวง
นาหนกของคาทกคาท X จะเปนไปได โดยนาหนกทใชถวงกคอคาความนาจะเปนของแตละคาท X
เปนไปไดนนเอง
หากมองความนาจะเปน xpX เปนการกระจายของมวลชนดหนงทจด ,, 21 xx บนเสน
จานวนจรง คาคาดหวง ( ][XE ) หรอคาเฉลย ( Xm ) จะแสดงถงศนยกลางของมวลการกระจายนน คา
คาดหวงหรอคาเฉลยของตวแปรสมแบบไมตอเนองมนยามดงน
k
kXkSx
XX xpxxxpXEmX
)()(][ (3.3)
ตวแปรสมใดๆ จะมคาคาดหวงกตอเมอ สมการ (3.4) ตอไปนเปนจรงเทานน
k
kXk xpxXE (3.4)
หากตวแปรสมใด ไมเปนไปตามสมการ (3.4) ถอไดวาคาคาดหวงของตวแปรสมนนไมมอย
ตวอยางท 3.6 จากตวอยางท 3.2 คาเฉลยของตวแปรสม X ซงแสดงจานวนบตผดพลาดทเกดขนในการ
สงขอมลแบบดจทลคราวละ 3 บต สามารถหาไดดงน
5.1125.03375.02375.01125.00)(][ xxpXE X
และสามารถแสดงดวยภาพตอไปน
รปท 3.6 คาเฉลยของการแจกแจงความนาจะเปนของบตผดพลาด
xpX
x
125.0
375.0
0 31 25.1
Mean
57
ตวอยางท 3.7 ในการสอสารขอมลดจทล จะสงขอมลคราวละ 4 บต ทอปกรณรบขอมลพบวาแตละบตท
ไดรบมความนาจะเปนในการเกดผดพลาด (error) เทากบ 0.1 จงหาคาเฉลยของจานวนบตผดพลาด
วธทา ใหตวแปรสม X เปนจานวนบตผดพลาดทอปกรณรบขอมลรบได จะได 4,3,2,1,0xS และใชกฎ
ความนาจะเปนแบบทวนามหาคาความนาจะเปนของแตละคาของ X ไดดงน
6561.09.01.00
400 40
XPpX
2916.09.01.01
411 31
XPpX
0486.09.01.02
422 22
XPpX
0036.09.01.03
433 13
XPpX
0001.09.01.04
444 04
XPpX
และจะไดคาเฉลยของ X คอ
4.00001.040036.030486.022916.016561.00)(][ xxpXE X
3.4 คาเฉลยของฟงกช นของตวแปรสมแบบไมตอเนอง
หากให X เปนตวแปรสมแบบไมตอเนอง และ Z เปนฟงกชนของ X ( XgZ ) เนองจาก
X เปนคาไมตอเนอง (Discrete) Z จงควรจะมคาอยในเซตทมจานวนสมาชกจากด )( kxg โดย
xk Sx ใหคาของ )(Xg อยในเซต ...} ,z ,{ 21z จะไดคาเฉลยหรอคาคาดหวงของ Z ดงน
)()()]([][ kXk
k xpxgXgEZE (3.5)
j j
jZjkXzxgx
jkk
Xk ZEzpzxpzxpxgjkk
][)()()(:
โดยความนาจะเปนของ jzZ คอ )( jZ zp
ให )(Xg และ )(Xh เปนฟงกชนของ X ให ba , และ c เปนจานวนจรง และให
cXhbXgaZ
58
จะได ] [][ cXb h XgaEZE
k
kXkk xpcxb hxa g
k
kXk
kXkk
kXk xpcxpxhbxpxga
cXhb EXga E (3.6)
จากสมการขางตนให 1 ba และ 0 c จะไดวา
)]([)]([)]()([ XhEXgEXhXgE (3.7)
ถาให 1 a และ 0 c b จะไดวา
XEaXaE ] [ (3.8)
ถาให 0 a และ 1 c b จะไดวา
cXEcXE ][ (3.9)
ถาให 0 ba และ 1c จะไดวา
ccE ][ (3.10)
ตวอยางท 3.8 ให X เปนระดบแรงดนไฟฟาของสญญาณรบกวน ซงมการแจกแจงแบบเอกรป (Uniform
Distribution) ในเซต 3} 1, 1,- -3,{ XS โดยม 4
1)( kpX เมอ k เปนสมาชกใดๆ ใน XS ใหหา
][ZE เมอ 2XZ
วธทา จาก j
jZj zpzZE )(][
2
1)3()3(3}] ,3{[)9( XXZ ppXPp
2
1)1()1(1}] ,1{[)1( XXZ ppXPp
ดงนน 5)2
1(9)
2
1(1][ ZE
59
3.5 ความแปรปรวนของตวแปรสมแบบไมตอเนอง (Variance of a Discrete Random
Variable) ในบางครงคาเฉลยหรอคาคาดหวงกไมไดใหขอมลทเพยงพอ เชน หากคาเฉลย 0][ XE แลว
อาจเปนไปไดวา X จะมคาเปนศนยทงหมด หรอ อาจมทงคาบวกและคาลบ จงทาใหคาเฉลยเปนศนย
ดงนนนอกจากจะสนใจคาเฉลยหรอคาคาดหวงของตวแปรสมแลว ยงสนใจวาคาของตวแปรสมคาอนๆ นน
มคาแตกตางจากคาคาดหวงมากหรอนอยเพยงใด นนคอสนใจวา ][XEX มคาเปนอยางไร
เนองจาก ][XEX มคาเปนไดทงบวกและลบ แตสนใจเฉพาะขนาดของความตางนเทานน
จงให 2])[()( XEXXD และใหนยามความแปรปรวน (Variance: 2X ) ของตวแปรสม X ดงน
])[(]))([(][VAR 222XX mXEXEXEX
1
22 )()()()(k
kXXkSx
XX xpmxxpmxX
1
2
11
2 2k
kXXk
kXkXk
kXk xpmxpxmxpx
1
2
11
2 2k
kXXk
kXkXk
kXk xpmxpxmxpx
1
22
kXkXk mxpx (3.11)
ความแปรปรวนเปนการแสดงการกระจายหรอความหลากหลายของการแจกแจง ความ
แปรปรวนของตวแปรสมแบบไมตอเนอง X เปนการวดการกระจายของคาทเปนไปไดทกคาของ X ความ
แปรปรวนของ X จะใชนาหนกคอ คาความนาจะเปน เปนตวคณใหกบคาความแตกตาง 2Xmx แต
ละคา
นอกจากนน จะนยาม สวนเบยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) ของตวแปรสม X ดงน
2
1
][VAR][STD XXX (3.12)
ซงจะเหนวาสวนเบยงเบนมาตรฐานกคอรากทสองของความแปรปรวนนนเอง
]2[])[(][VAR 222XxX mXmXEmXEX
22 ][2][ XX mXEmXE
2222 ])[(][][ XEXEmXE X (3.13)
60
][ 2XE คอโมเมนตลาดบทสองของ X และ ][ nXE คอโมเมนตลาดบท n ของ X ซงใน
หวขอตอไปจะเปนการอธบายเกยวกบโมเมนต
หากกาหนดให cXY แลว โดย c เปนคาคงทแลว จะไดวา
]])[[(][VAR 2cXEcXEcX XXEXE VAR2 (3.14)
]])[([]])[[(][VAR 222 XEXcEXcEcXEcX ][VAR2 Xc (3.15)
หากกาหนดให cX แลว จะไดวา
0]0[])[(][VAR 2 EcXEX (3.16)
ตวอยางท 3.9 ให X เปนจานวนหนาหวทเกดจากการโยนเหรยญหนงเหรยญสามครง จงหา ][VAR X
วธทา จากตวอยางท 3.6 ทราบวาคาเฉลยของ X หรอ ][XE เทากบ 1.5 จะได
3)8
3(3)
8
3(2)
8
3(1)
8
1(0][ 2222 XE
หาคาความแปรปรวนโดยใชสมการ (3.13)
75.05.13][][VAR 222 XmXEX
ตวอยางท 3.10 จากตวอยางท 3.7 ใหหาคาความแปรปรวนและสวนเบยงเบนมาตรฐานของจานวนบต
ผดพลาดทไดรบทอปกรณรบขอมลคราวละ 4 บต
วธทา จากตวอยางท 2.7 ได 4.0Xm หาคาความแปรปรวนของจานวนบตผดพลาดจากตารางตอไปน
x Xmx 2Xmx xpX xpmx XX2
0 -0.4 0.16 0.6561 0.104976
1 0.6 0.36 0.2916 0.104976
2 1.6 2.56 0.0486 0.124416
3 2.6 6.76 0.0036 0.024336
4 3.6 12.96 0.0001 0.001296
36.0)()(][VAR 2 XSx
XX xpmxX
6.0][VAR][STD 2
1
XXX
61
3.6 ฟงกช นมวลความนาจะเปนและคาคาดหวงของการแจกแจงแบบมเงอนไข
3.6.1 ฟงกช นมวลความนาจะเปนของการแจกแจงแบบมเงอนไข
ให X เปนตวแปรสมแบบไมตอเนองซงมฟงกชนมวลความนาจะเปนเทากบ )(xpX และให C
เปนเหตการณทมความนาจะเปนไมเปนศนย )0][( CP จะไดวาฟงกชนมวลความนาจะเปนแบบม
เงอนไขมนยามดงน
] [) ( CxXPCxp X (3.17)
เมอประยกตเขากบเรองความนาจะเปนแบบมเงอนไขแลว จะไดวา
][
) (CP
CxXPCxpX
(3.18)
เมอให B เปนสบเซตของ )( XX SBS จะได
Bx
X CxpCBXP ) (] in [ (3.19)
หากมเหตการณยอย n เหตการณทไมเกดรวมกน (Mutually Exclusive) คอ nBBB ..., , , 21 และ
SBBBB n ... 321
สามารถประยกตทฤษฎบทความนาจะเปนรวม (Theorem on Total Probability) และจะได
n
iiiXX BPBxpxp
1
][) ()( (3.20)
ตวอยางท 3.11 โรงงานผลตตวตานทานแหงหนง ผลตตวตานทานออกมาเปนจานวนมาก เมอสมตรวจ
พบวาความนาจะเปนในการสมไดตวตานทานทมอายการใชงาน “นาน” เทากบ และความนาจะเปนใน
การสมไดตวตานทานทมอายการ ใชงาน “สน” เทากบ 1 นอกจากนนอายการใชงานของตวตานทานท
มอายการใชงาน “นาน” จะมการแจกแจงแบบเรขาคณตดวยพารามเตอร s สวนอายการใชงานของตว
ตานทานทมอายการใชงาน “สน” กมการแจกแจงแบบเรขาคณต ดวยพารามเตอร r หากให X เปนอาย
การใชงานของตวตานทานใดๆ จงหาฟงกชนมวลความนาจะเปน (pmf) ของ X
วธทา ใหเหตการณ 1B เปนการสมไดตวตานทานทมอายการใชงาน “สน”, 1][ 1BP
ใหเหตการณ 2B เปนการสมไดตวตานทานทมอายการใชงาน “นาน”, ][ 2BP
62
เนองจากจะไดฟงกชนมวลความนาจะเปนของ X ดงน
,...2,1 ,)1()( 1
1 krrkp k
BX
,...2,1 ,)1()( 1
2 ksskp k
BX
และ ][)(][)()( 2211 BPBkpBPBkpkp XXX
,...2,1 ,)1()1()1( 11 kssrr kk
3.6.2 คาคาดหวงและความแปรปรวนของการแจกแจงแบบมเงอนไข
ให X เปนตวแปรสมแบบไมตอเนอง และใหเหตการณ B เปนเหตการณทรวามการเกดขน จะ
ไดคาคาดหวงแบบมเงอนไขของ X เมอเงอนไข คอ B เปนดงน
)()(][ BxpxBxxpBXEmk
kXkSx
XBXX
(3.21)
และความแปรปรวนแบบมเงอนไขของ X โดยเงอนไข คอ B เปนดงน
])[(][VAR 2 BmXEBX BX
)()(1
2 Bxpmxk
kXBXk
BXmBXE 22 ][ (3.22)
จะเหนวาความแปรปรวนแบบมเงอนไขจะเปนการวดเทยบกบ BXm ไมใช Xm
หากมเหตการณยอย n เหตการณทไมเกดรวมกน คอ nBBB ..., , , 21 และ
SBBB n ... 21
และหากให )( iX Bxp เปนฟงกชนมวลความนาจะเปนแบบมเงอนไข (Conditional pmf) ของ X เมอ
กาหนดเงอนไข คอ iB สามารถคานวณหาคาคาดหวง ][XE ไดจากคาคาดหวงแบบมเงอนไข
BXE | ดงน
n
iii BPBXEXE
1
(3.23)
และหากประยกตทฤษฎบทความนาจะเปนรวม จะได
63
k
kX xkpXE )(][
k
iik
n
iX BPBxpk }][)({
1
][})({1
iik
n
iX
k
BPBxpk
n
iii BPBXE
1
][][ (3.24)
ตวอยางท 3.12 จากตวอยางท 3.11 จงหาคาเฉลยและความแปรปรวนของ X โดยให X เปนอายการใช
งานของตวตานทานใด ๆ
วธทา จากสตรคาเฉลยและความแปรปรวนของการแจกแจงแบบเรขาคณต (ซงจะกลาวถงในหวขอตอไป)
จะได
rm BX
11
sm BX
12
212 1
][r
rBXE
222 1
][s
sBXE
จากการประยกตทฤษฎบทความนาจะเปนรวม จะไดคาเฉลยของ X คอ
srmmm BXBXX
)1(
)1(21
และจะไดความแปรปรวนของ X คอ
122
122 BXEBXEXE
22
111
s
s
r
r
2
2222 )1(111
VAR
srs
s
r
rmXEx x
3.7 การแจกแจงความนาจะเปนแบบไมตอเนองท สาคญ
หวขอนจะอธบายเกยวกบตวแปรสมแบบไมตอเนองทสาคญและมการประยกตใชในทาง
วศวกรรมไฟฟาอยางแพรหลาย รวมถงการแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสมเหลานน
64
3.7.1 การแจกแจงแบบเบอรนลล (Bernoulli Distribution)
ตวแปรสมแบบเบอรนลล AI จะมคาเทากบ 1 เมอเหตการณ A เกดขน และจะเทากบ 0 เมอ
เหตการณ A ไม เกดขน นนคอ }1,0{IS หากให pAP ][ และ qpAP c 1][ ตวแปรสมแบบ
เบอรนลลจะมฟงกชนมวลความนาจะเปนดงน
ppI 1)0( (3.25ก)
ppI )1( (3.25ข)
ตวอยางท 3.13 ในการทดลองแบบเบอรนลล ให A เปนการเกดขนของเหตการณทสนใจ เชน อปกรณบาง
ชนในระบบไมทางาน หรอการสมไดหลอดไฟเสยจากหลอดไฟทผลตครงละจานวนมาก หากเหตการณ A
เกดขนจะถอวาเกดความสาเรจ (Success) และจะทาใหตวแปรสมแบบเบอรนลล (Bernoulli Random
Variable) AI มคาเทากบ 1 หากเหตการณ A ไมเกดขน จะถอวาเกดความลมเหลว (Failure) และทาให
0AI นนคอ
0, if ζ not in A
1, if ζ in A AI
ใหหาฟงกชนมวลความนาจะเปนของ AI หากกาหนดใหความนาจะเปนในการเกดเหตการณ A ในแตละ
ครงของการทดลองเทากบ p
วธทา จะเหนวา }1 ,0{IS ดงนน
pAPp cI 1}] :[{)0(
pAPpI }] :[{)1(
ตวแปรสม AI มการแจกแจงแบบเบอรนลล และสงเกตวา 1 )1()0( II pp
ตวแปรสมแบบเบอรนลลจะมคาเฉลยหรอคาคาดหวงดงน
pppIE IIA )1(1)0(0][
pIEm AI ][ (3.26)
โดย p คอความนาจะเปนในการเกดความสาเรจ ในการทดลองแบบเบอรนลล
สาหรบความแปรปรวนของตวแปรสมแบบเบอรนลล หากให pq 1 และจะได
pppIE IIA )1(1)0(0][ 22
65
pqppppIEIEI AAAI )1(][][][VAR 2222 (3.27)
3.7.2 การแจกแจงแบบเอกรป (Uniform Distribution)
ให Y เปนตวแปรสมแบบเอกรป Y จะมคาอยในเซต },...,2,1{ LjjjSY โดยม
ความนาจะ เปนเทาๆ กนคอ
LkpY
1)( , },...,1{ Ljjk (3.28)
คาคาดหวงของ Y คอ
2
1][
LjYE (3.29)
ความแปรปรวนของ Y คอ
12
1][VAR
2
LY (3.30)
ตวอยางท 3.14 ให X เปนจานวนทเกดจากการสมจากเซต }1...,,2,1,0{ MSX โดยแตละสมาชก
ของ XS มความนาจะเปนในการถกสมพอๆ กน จงหาฟงกชนมวลความนาจะเปนของ X
วธทา เนองจากแตละสมาชกของ XS มความนาจะเปนในการถกสมไดพอๆ กน ดงน
1Xp k
M เมอใหk แทนสมาชกตวใดตวหนงในเซต XS
การแจกแจงแบบไมตอเนองทมความนาจะเปนเทาๆ กนในลกษณะนคอการแจกแจงแบบเอกรป
ตวอยางท 3.15 ให X เปนจานวนทเกดจากการสมจากเซต }1 ,2,... ,1 ,0{ MSX ดงตวอยางท 3.14
จงหา ][XE
วธทา จากตวอยางท 3.14 ได 1 ..., 1, 0, ,1
)( MjM
jpX
ดงนนจะไดคาเฉลยหรอคาคาดหวง ][XE
2
1
2
)1(1}1...210{
11][
1
0
MMM
MM
MMkXE
M
k
66
3.7.3 การแจกแจงแบบทวนาม (Binomial Distribution)
หากทาการทดลองสมทเปนอสระตอกน n ครง และให X เปนจานวนครงทเหตการณ A
เกดขน ดงนน nSX ,,1,0 หากใหความนาจะเปนในการเกดเหตการณ A ในการทดลองแตละครง
เทากบ p จะพบวา ความนาจะเปนของ X ซงเปนตวแปรสมแบบทวนาม จะขนอยกบ n และ p นนคอ
nkppk
nkpkXP knk
X ,...,1,0 ,)1()(][
(3.31)
คาคาดหวงของ X คอ
n
k
knkknkn
k
n
kX pp
knk
nkpp
k
nkkkpXE
10 0
)1()!(!
!)1()(][
n
k
knk ppknk
nnp
1
1 )1()!()!1(
)!1(
ให jnknjkkj 1 ,1 ,1 ดงนนจะได
1
0
1)1()!1(!
)!1(][
n
j
jnj ppjnj
nnpXE
ให 1 nm
m
j
jmj ppjmj
mnpXE
0
)1()!(!
!][
npppjmj
mnp
m
j
jmj
0
)1()!(!
! (3.32)
ซงจะเหนวา
m
j
jmj ppjmj
m
0
)1()!(!
! เปนการรวมความนาจะเปนแบบทวนามในปรภมตวอยาง
ทงหมดซงจะมคาผลรวมเทากบ 1 นนเอง
ความแปรปรวนของ X คอ
n
k
knkn
k
knk ppknk
nkpp
knk
nkXE
0 1
22 )1()!()!1(
!)1(
)!(!
!][
ให 1' kk จะได
'1'1
0'
2 )1('
1)1'(][ knk
n
k
ppk
nknpXE
67
'1'
1
0'
'1'1
0'
)1('
11)1(
'
1' knk
n
k
knkn
k
ppk
npp
k
nknp
)(}1)1{( qnpnppnnp (3.33)
)1()()(][][ 2222 pnpnpqnpqnpnpXEXEX (3.34)
รปท 3.7 ฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนแบบสะสมของการแจกแจงแบบทวนาม
(ทมา: By Tayste, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=3644961)
ตวอยางท 3.16 หาก X เปนจานวนหนาหวทเกดจากการโยนเหรยญหนงเหรยญสามครง ใหหาฟงกชน
มวลความนาจะเปนของ X โดยกาหนดใหความนาจะเปนในการเกดหวในการโยนแตละครงเทากบ p
วธทา จากตวอยาง ทผานมา
}3,2,1,0{XS
30 1TTT0 pPXPp
ppPPPXPp 21 13TTHTHTHTT1
22 13THHHTHHHT2 ppPPPXPp
33 HHH3 pPXPp
การแจกแจงแบบไมตอเนองในลกษณะน เรยกวาการแจกแจงแบบทวนาม
ตวอยางท 3.17 ระบบสอสารแบบไบนาร มความนาจะเปนในการเกดบตผดพลาด (Bit Error) ในการ
สอสารแตละครง เทากบ p หากมการสอสารทงหมด n ครงทเปนอสระตอกน ให X เปนจานวนครงท
เกดบตผดพลาดขน จงหาฟงกชนมวลความนาจะเปนของ X และจงหาความนาจะเปนทจะเกดบต
ผดพลาดนอยกวาหรอเทากบ 1 ครง
68
วธทา X จะมคาอยในเซต } ,... ,1 ,0{ nSX ความนาจะเปนในการเกดบตผดพลาดในการสอสารแตละ
ครงเทากบ p ดงนนความนาจะเปนทจะไมเกดบตผดพลาดจงเทากบ p1
ความนาจะเปนในการเกดบตผดพลาด k ครงในการสอสาร n ครง จะไดเทากบ
nkppk
nkXPkp knk
X ..., 1, 0, ,)1(][)(
จะเหนวา X มการแจกแจงแบบทวนามซงมพารามเตอร n และ p
ความนาจะเปนทจะเกดบตผดพลาดนอยกวาหรอเทากบ 1 ครง หาไดจาก
11100 )1()1()1(1
)1(0
]1[
nnnn pnpppp
npp
nXP
ตวอยางท 3.18 ระบบๆ หนงมไมโครโพรเซสเซอร 3 ตว และระบบนจะยงสามารถทางานไดหากวามไมโคร
โพรเซสเซอร เพยงหนงตวยงคงทางานอย หากความนาจะเปนทไมโครโพรเซสเซอรแตละตวยงคงทางานได
หลงจาก t วนาท คอ tep ใหหาความนาจะเปนทระบบยงสามารถทางานไดหลงจาก t วนาท
วธทา ให X เปนจานวนไมโครโพรเซสเซอรทยงคงทางานไดหลงจาก t วนาท ซง X จะเปนตวแปรสม
แบบทวนาม โดยม พารามเตอร tep และ 3n ดงนน 3)1(1]0[1]1[ teXPXP
3.7.4 การแจกแจงแบบเรขาคณต (Geometric Distribution)
หากทาการทดลองสมแบบเบอรนลลทเปนอสระตอกนไปเรอยๆ จนกวาจะเกดความสาเรจขน
และบนทกจานวนครงของการทดลอง หากการทดลองเกดความสาเรจขนในครงท M นนคอการทดลอง
1M ครงกอนหนานนเกดความลมเหลว จะเหนวา M คอ ตวแปรสมแบบเรขาคณตและจะมคาอยใน
เซต ,...}2,1{ จะไดฟงกชนมวล ความนาจะเปนของ M คอ
,...2,1 ,)1()(][ 1 kppkpkMP kM (3.35)
โดย ][APp คอความนาจะเปนในการเกดความสาเรจในแตละครงของการทดลองแบบเบอรนลล
ความนาจะเปนทจะเกดความสาเรจขนอยางแนนอน (อยางนอยหนงครง) หากทาการทดลองสม k ครง
คอ kMP จะหาไดโดยให 1' jj จะได
k
j
k
j
kk
jj qq
qpqppqkMP
1
1
0'
'1 11
1][ (3.36)
69
คาคาดหวงของ M คอ
pMEmM
1][ (3.37)
ความแปรปรวนของ M คอ
2
1][VAR
p
pM
(3.38)
คณสมบตการไมมความจา (Memoryless Property)
],[][ kMPjMjkMP 1, kj (3.39)
หมายความวา หากไมเกดสาเรจขนภายใน j ครงแรกแลวความนาจะเปนทจะตองทดลองตอไป
มากกวาkครง จะเทากบความนาจะเปนทจะตองทดลองตงแตเรมแรกไปมากกวา k ครง นนคอเงอนไขท
ไดมการทดลองมาแลว j ครง จะไมมผลใดๆ กบความนาจะเปน
รปท 3.8 ฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนแบบสะสมของการแจกแจงแบบเรขาคณต
(ทมา: By Skbkekas, CC BY 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=9578519)
ตวอยางท 3.19 ให X เปนจานวนครงในการสงขอมลผานระบบเครอขายขอมล หากเกดสญญาณรบกวน
ในระบบเครอขาย จะทาใหปลายทางไดรบขอมลไมถกตอง และจะตองทาการสงขอมลซาไปจนกวาขอมล
จะถกสงไปยงปลายทางอยางถกตอง ใหหาฟงกชนมวลความนาจะเปนของ X และความนาจะเปนท X
จะเปนเลขค โดยกาหนดใหความนาจะเปนในการสงขอมลสาเรจในแตละครงเทากบ p
วธทา จะเหนวา X เปนตวแปรสมแบบไมตอเนอง โดยม }... ,3 ,2 ,1 {XS และหากสงขอมลสาเรจในครง
ท ) ( kXk แลวจะหมายความวา การสงขอมล 1 - k ครงกอนหนานนลมเหลว ดงนนจะได
70
pqkpqppkXPkp kkX -1 ,... 2, 1, , )1(][)( 11
ในกรณเชนน X จะมการแจกแจงแบบเรขาคณต ความนาจะเปนท X จะเปนเลขค หาไดจาก
q
q
p
qqpqpkpXP
k k
kkk
kkX
11)
1()2( even] is [
0 0
21212
11
เนองจากอนกรมเรขาคณต 1,1
1
0
rr
rk
k (3.20)
ตวอยางท 3.20 ให X เปนจานวนไบต (Byte) ของขอมลทจะสง โดย X มการแจกแจงแบบเรขาคณต
(Geometric Distribution) โดยมพารามเตอร p จงหาคาเฉลยของ X
วธทา คาของ X จะเปนสมาชกใดๆ ในเซต }... 2, ,1{XS ซงมจานวนสมาชกเปนอนนต
คาเฉลยของ X คอ
1 1
11][k k
kk kqpkpqXE (3.21)
จากอนกรมเรขาคณตในสมการ (3.20) ทราบวา
01
1
k
krr
(3.22)
หาอนพนธของทงสองขางของสมการ จะได
1
1
0
12)1(
1
k
k
k
k krkrr
(3.23)
ให qr แลว นาไปแทนในสมการ (3.21) โดย 0p จะได
pqpXE
1
)1(
1][
2
(3.24)
ตวอยางท 3.21 จงหาความแปรปรวนของตวแปรสมแบบเรขาคณตในตวอยางท 3.20
วธทา จากอนกรมเรขาคณต
01
1
k
kxx
หาอนพนธอนดบทหนงจะได
0
12)1(
1
k
kkxx
หาอนพนธอนดบทสองจะได
0
23
)1()1(
2
k
kxkkx
(3.25)
ให qx และคณทงสองขางของสมการท (2.27) ดวย pq จะได
71
0
23
)1()1(
2
k
kqkkpqq
pq
0
1)1(k
kpqkk
0
1
0
12
k
k
k
k kpqpqk
][][ 2 XEXE
2232 112
][)1(
2][
p
q
pp
qXE
q
pqXE
22222 11
][][][VARp
q
pp
qXEXEX
3.7.5 การแจกแจงแบบปวซง (Poisson Distribution)
บอยครงทใหความสนใจกบจานวนครงของการเกดเหตการณหนงๆ ภายในชวงเวลาททาการ
สงเกต เชน จานวนสายเรยกเขามายงชมสายโทรศพทภายในเวลา 17:00 น. ถง 22:00 น. หรอ จานวนแพค
เกจขอมลทมาถงยงมลตเพลกเซอรในเวลา 1 วนาท ในลกษณะนจะใชตวแปรสมแบบปวซงแทนจานวนครง
ของการเกดเหตการณ ตวแปรสมแบบปวซงมฟงกชนมวลความนาจะเปนดงน
,!
)(][ ek
kpkNPk
N ,...2,1,0k (3.26)
โดย เปนคาเฉลยของจานวนครงของการเกดเหตการณภายในชวงเวลาททาการสงเกต
นอกจากนน
1!! 00
ee
kee
k k
k
k
k
คาเฉลยหรอคาคาดหวงของตวแปรสมแบบปวซงคอ
][NE (3.27)
ความแปรปรวนของตวแปรสมแบบปวซงคอ
][VAR2 NN (3.28)
72
รปท 3.9 ฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนแบบสะสมของการแจกแจงแบบปวซง
(ทมา: By Skbkekas, CC BY 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=9447156)
การประมาณคาตวแปรสมแบบทวนามดวยตวแปรสมแบบปวซง
กรณทมตวแปรสมแบบทวนามทมพารามเตอร p เปนคานอยๆ และพารามเตอร n ทมคามากๆ
จะได
,!
)1(
e
kpp
k
np
kknk
k ,...1,0k (3.29)
นนคอ สามารถใชตวแปรสมแบบปวซงประมาณคาตวแปรสมแบบทวนามได ในกรณท n ทมคามาก และ
p มคานอย โดยจะใช np
ตวอยางท 3.22 ระบบสอสารใยแกวนาแสงสงขอมลดวยอตราเรว 109 บตตอวนาท และความนาจะเปนใน
การเกดบตผดพลาดเทากบ 10-9 จงหาความนาจะเปนในการเกดบตผดพลาดมากกวาหรอเทากบ 5 บต
ภายใน 1 วนาท
วธทา ในการสงขอมลแตละบตจะถอเปนการทดลองแบบเบอรนลล ซงภายใน 1 วนาท จะมการสงขอมล
109 บต ดงนน n = 109 และจากโจทย จะได p = 10-9 จะเหนวาจานวนบตผดพลาดมการกระจาย
แบบทวนาม แตในกรณน n มคามากและ p มคานอยมาก ดงนนจงสามารถใชตวแปรสมแบบปวซง
ในการประมาณคาได โดย np และจะไดวา
4
0 !1]5[1]5[
k
k
ek
NPNP
00366.0)!4
1
!3
1
!2
1
!1
11(1 1 e
73
ตวอยางท 3.23 จานวนสายเรยกเขามายงชมสายโทรศพท เปนตวแปรสมแบบปวซง โดยม at โดย
a คออตราของจานวนสายเรยกเขา มหนวยเปน จานวนสายตอวนาท สมมตวาทราบวาอตราของจานวน
สายเรยกเขาเทากบ 4 สายตอนาท จงหาความนาจะเปนทจะมสายเรยกเขามากกวา 4 สายในเวลา 10
วนาท และความนาจะเปนทจะมสายเรยกเขานอยกวาหรอเทากบ 5 สายภายในเวลา 2 นาท
วธทา จากโจทย จะได 4a สาย/60 วนาท 15
1 สาย/วนาท
คาถามแรกสนใจชวงเวลา 10 วนาท ดงนน 15
10 สาย
4
0
43
2
1033.6!
3
2
1]4[1]4[k
k
ek
NPNP
คาถามทสองสนใจชวงเวลา 2 นาท ดงนน 812015
1 สาย
5
0
8 10.0!
)8(]5[
k
k
ek
NP
3.7.6 การแจกแจงแบบไฮเปอรจโอเมตรก (Hypergeometric Distribution)
ในการทดลองสมหยบสงของ n สงจากสงของทงหมด N สงโดยไมใสกลบลงไปและสนใจ
ลาดบ จะเหนไดวาการทดลองหยบแตละครงนนไมเปนอสระตอกน ซงแตกตางกบการแจกแจงแบบทวนาม
ทการทดลองแตละครงจะเปนอสระตอกน
นยามของตวแปรสมแบบไฮเปอรจโอเมตรก
หากมเซตของวตถ N ชน ในจานวนนนม K ชนทจดเปน “สาเรจ” และม KN ชนทจดเปน
“ลมเหลว” หากทาการทดลองสมวตถมา n ชนโดยไมใสกลบลงไป โดยท NK และ Nn แลว ให
X เปนตวแปรสมแบบไมตอเนองทแทนจานวนครงทสมไดวตถ "สาเรจ" แลว X จะจดเปนตวแปรสมแบบ
ไฮเปอรจโอเมตรก (Hypergeometric Random Variable) โดย X จะมฟงกชนมวลความนาจะเปนดงน
n
N
xn
KN
x
K
xpX
(3.30)
โดย x สามารถมคาไดตงแต 0 ถง },min{ nK
74
หากให X เปนตวแปรสมแบบไฮเปอรจโอเมตรก ทมพารามเตอร N , K และ n แลว จะได
npXEmX (3.31)
และ
1
12
N
nNpnpXVARX (3.32)
โดย N
Kp นนคอ p แสดงถงสดสวนการเกด “สาเรจ” จากเซตของวตถ N ชน
ตวอยางท 3.24 บรษทสงผลตแผนเวเฟอรจากโรงงานทหนงมา 100 ชน และสงผลตเวเฟอรจากโรงงานท 2
มา 200 ชน หากสมแผนเวเฟอรมา 4 ชนโดยไมใสกลบลงไป จงหาความนาจะเปนททง 4 ชนจะมาจาก
โรงงานท 1 และความนาจะเปนทมอยางนอย 1 ชนทมาจากโรงงานท 1
วธทา ให X เปนตวแปรสมทแทนจานวนแผนเวเฟอรทสมไดและผลตจากโรงงานท 1
0119.0
4
300
0
200
4
100
44
XPXP
ดงนนความนาจะเปนทแผนเวเฟอรทสมไดทง 4 ชนจะมาจากโรงงานท 1 จะเทากบ 0.0119
804.0
4
300
4
200
0
100
1011
XPXP
ดงนนความนาจะเปนทในจานวนแผนเวเฟอรทสมมา 4 ชน จะมาจากโรงงานท 1 อยางนอย 1 ชน
จะเทากบ 0.804 หรอ 80.4%
ตวอยางท 3.25 จากตวอยางท 3.24 จงคานวณหาคาคาดหวงและความแปรปรวนของ X
วธทา จากตวอยางท 3.24 จะไดความนาจะเปนทแผนเวเฟอรจะมาจากโรงงานท 1 เทากบ 3
1
300
100p
ดงนน
33.13
14
XE
88.01300
4300
3
2
3
14
XVAR
75
หนงสออานเพ มเตม
1. Montgomery D. C. & Runger G. C., Applied Statistics and Probability for Engineers, 6th Ed.,
John Wiley & Sons, 2014.
2. Leon-Garcia, A., Probability, Statistics, and Random Process for Electrical Engineering, 3rd
Ed., Prentice Hall, 2009.
3. Montgomery D. C. & Runger G. C., Applied Statistics and Probability for Engineers, 3rd Ed.,
John Wiley & Sons, 2003.
4. Devore J. L., Probability and Statistics for Engineering and the Sciences, 6th Ed., Thomson
Brooks/Cole, 2004.
5. ธระพร วระถาวร, ความนาจะเปนเบองตน : ทฤษฎและการประยกตใช, สานกพมพแหงจฬาลงกรณ
มหาวทยาลย, 2542.
76
แบบฝกหดทายบทท 3
1. ใหนกศกษาสองคนโยนเหรยญคนละเหรยญ 2 ครง ให X เปนจานวนหวทมากทสดทเกดขนจากการ
โยนเหรยญของนกศกษาแตละคน จงคานวณหา ][VAR X
2. โยนลกเตา 2 ลก และให X เปนผลตางของจานวนแตมทลกเตาแตละลกขน จงคานวณหาคาคาดหวง
และความแปรปรวนของ X
3. โถบรรจธนบตรใบละหนงรอยบาท 9 ใบ และใบละหารอยบาท 1 ใบ ใหตวแปรสม X เปนจานวนเงนท
ไดจากการสมหยบธนบตร 2 ใบจากโถโดยไมใสกลบลงไป
3.1 จงหาฟงกชนมวลความนาจะเปนแบบมเงอนไขของ X เมอกาหนดใหธนบตรใบแรกทสมหยบได
เปนธนบตรใบละหนงรอยบาท
3.2 จากขอ 3.1 จงหาคาคาดหวงแบบมเงอนไข
4. ให M เปนตวแปรสมแบบเรขาคณต จงแสดงวา M มคณสมบตการไมมความจา นนคอ
][]1[ kMPjMjkMP สาหรบทกคา 1, kj
5. จงเปรยบเทยบเทยบความนาจะเปนของตวแปรสมแบบทวนาม และความนาจะเปนทไดจากการ
ประมาณคาตวแปรสมแบบทวนามดวยตวแปรสมแบบปวซง โดย
5.1 ,3,2,1,0k ,10n 1.0p
5.2 ,3,2,1,0k ,20n 05.0p
5.3 ,3,2,1,0k ,100n 01.0p
6. ชองสญญาณสอสารแบบไบนารมความนาจะเปนในการเกดบตผดพลาด (Bit Error) เทากบ p หากให
การสงสญญาณแตละครงสง 10,000 บต และให N เปนจานวนบตผดพลาดทเกดขนแตละครง หาก
ความนาจะเปนในการเกดบตผดพลาดอยางนอย 1 บตในการสงแตละครงเทากบ 0.99 จงหาคา p
top related