บทที่ 1...

บทท 1 การวเคราะหสญญาณ

ในบทนจะศกษาการวเคราะหสญญาณซงจะเรมดวยการทบทวนอนกรมฟเรยร (Fourier series) ส าหรบอธบายองคประกอบทางความถของสญญาณรายคาบ (periodic signal) จากนนจะมาดการหาองคประกอบทางความถของสญญาณทไมเปนรายคาบ (nonperiodic signal) โดยใช ฟเรยรทรานสฟอรม (Fourier transform) ซงมความหมายกวางกวาอนกรมฟเรยร จดประสงคของการหาอนกรมฟเรยรและฟเรยรทรานสฟอรมกเพอทจะดวาสญญาณทางไฟฟาทมกจะเหนในรปของอาณาจกรของเวลา (time domain) มองคประกอบทางความถ (frequency components) ในอาณาจกรของความถ (frequency domain) ทความถใดบาง

1.1 อนกรมฟเรยร สมมตให ( )g t เปนสญญาณรายคาบทมคาบ (period) เปน oT นนคอ

( ) ( ) ; 0o og t g t T T (1.1) สามารถทจะเขยน ( )g t ในรปของอนกรมฟเรยรไดคอ

0

1

( ) cos(2 ) sin(2 )n o n o

n

g t a a nf t b nf t

(1.2)

เมอ na และ nb คอคาสมประสทธซงแทนขนาดของเทอมโคไซน (cosine) และ ไซน (sine) ตามล าดบ of คอ ความถพนฐาน (fundamental frequency) ของสญญาณ ( )g t และ

1/o of T คาของ na และ nb สามารถหาไดจากสมการ

2( )cos

2( )sin ; 2 2 /

o o

o

o o

o

t T

n ot

o

t T

n o o o ot

o

a g t n tdtT

b g t n tdt f TT

(1.3)

2 ระบบสอสาร

คาสมประสทธ 0a หมายถงคาเฉลย (mean value) ของ ( )g t หรอในทางไฟฟาเรยกวาองคประกอบดซ (dc component) ของ ( )g t สามารถหาคา 0a ไดจากสมการ

0

1( )

o o

o

t T

to

a g t dtT

(1.4)

อนกรมฟเรยรในสมการท (1.2) สามารถเขยนใหอยในรปทกะทดรดไดอกคอ

0

1

( ) cos( ) ; 2n o n o o

n

g t C C n t f

(1.5)

เมอ

0 0

2 2

1tan

n n n

nn

n

C a

C a b

b

a

(1.6)

โดยทสามารถทจะพสจนความสนพนธในสมการท (1.6) ไดโดยใชหลกตรโกณมต อกรปแบบหนงทนยมใชกนมากในการแทนอนกรมฟเรยรของสญญาณทเปนรายคาบคอการแทนในรปเอกซโพเนนเชยล (exponential) โดยอาศยคณสมบตทวา

cos

2

sin2

o o

o o

jn t jn t

o

jn t jn t

o

e en t

e en t

j

(1.7)

ซงจะไดอนกรมฟเรยรในรปเอกซโพเนนเชยลคอ

( ) ; 2ojn t

n o o

n

g t G e f

(1.8)

โดยท nG คอคาสมประสทธเชงซอน (complex coefficient) และสามารถหาไดจาก

1( )

o oo

o

t Tjn t

nt

o

G g t e dtT

(1.9)

สามารถทจะเขยน nG ในรปขนาดและเฟสไดคอ

การวเคราะหสญญาณ 3

| | nj

n nG G e (1.10) 1.1.1 ดสครตสเปกตรม

การแทนสญญาณรายคาบหนงๆดวยอนกรมฟเรยรกคอการแจกแจงใหเหนองคประกอบทางความถของสญญาณรายคาบนนวามองคประกอบทางความถทฮารโมนกสอะไรบางและแตละฮารโมนกสมขนาดและเฟสเปนเทาไหร ซงสามารถดไดจากคาสมประสทธของอนกรม เมอน าเอาคาสมประสทธของอนกรมฟเรยรมาพลอตบนแกนของความถ จะเรยกวา การพลอตสเปกตรม ซงสามารถพลอตไดทงขนาด เรยกวา แอมพลจดสเปกตรม (amplitude spectrum) หรอสเปกตรมเชงขนาด และพลอตเฟสเรยกวา เฟสสเปกตรม (phase spectrum) ถาพลอตทงขนาดและเฟส เรยกวา การพลอตสเปกตราของสญญาณ เนองจากสญญาณรายคาบประกอบไปดวยความถทไมตอเนองจงเรยก สเปกตราทไดวา ไลนสเปกตรา (line spectra) หรอ ดสครตสเปกตรา (discrete spectra) ตวอยางท 1.1 จงหาอนกรมฟเรยรแบบเอกซโพเนนเชยลพรองทงพลอตสเปกตราของสญญาณ ( )k t ซงเปนสญญาณพลสสเหลยมรายคาบ ดงแสดงในรปท 1.1

k(t) A To t

รปท 1.1 สญญาณพลสสเหลยมรายคาบ ( )k t วธท า จากสมการท (1.8) ให

( ) ; 2ojn t

n o o

n

k t K e f

(1.11)

เมอ

/ 2

/ 2

1

sin sin2

ojn t

n

o

o

o

K Ae dtT

A n A n

n n T

(1.12)


จะเหนวา nK ขนอยกบคา และ oT เมอก าหนดคา oT ใหมคาคงทแลวปรบเปลยนคาของ ไปทคาตางๆจะไดสเปกตรมของ ( )k t ออกมาเปนรปทแตกตางกน ดงแสดงในรปท 1.2 โดยในรปท 1.2(a) จะเปนการใหคา / 5oT รปท 1.2(b) ใหคา / 2oT และรปท 1.2(c) ใหคา 0 และ A และสมมตให 1A ในกรณสดทายนคาของ nK หาไดจาก

sin

o

n

o

o

n

TAK

T n

T

ขณะท 0 และ A และสมมตให 1A จะได

0

sin1 1

lim o

n

o o

o

n

TK

T Tn

T

(1.13)

ในกรณนสญญาณ ( )k t จากสมการท (1.11) จะกลายมาเปนสญญาณอมพลสรายคาบ ซงมสมการเปน

1( ) ( ) ojn t

o

n no

k t t nT eT

(1.14)

1.2 ฟเรยรทรานสฟอรม ในหวขอทแลวไดท าการหาองคประกอบทางความถของสญญาณรายคาบโดยใช อนกรมฟเรยร ส าหรบหวขอนจะมาดวา สญญาณทไมเปนรายคาบ (nonperiodic signal) จะสามารถหาองคประกอบทางความถไดอยางไร จะเรมท าการวเคราะหสญญาณทไมเปนรายคาบจากสญญาณทเปนรายคาบ สมมตให ( )pg t คอสญญาณรายคาบตามรปท 1.3(b) มคาบเปน oT เมอท าการยดคาบ oT ออกไปเรอยๆจนกระทงถงอนฟนต (infinity) จะเหนวาสญญาณ ( )pg t กลายมาเปนสญญาณ ( )g t ซงเปนสญญาณทไมเปนรายคาบ ดงแสดงในรปท 1.3(a) นนคอ


lim ( ) ( )o

pT

g t g t

(1.15)

012 010

09 07

05 03 0

011

0.2A

/ 2AnK

01/T

0

020n 02 0n

012010

0907

05030

011

nK

nK

0

0

09

07

05

03

0 0

03

05

07

09

0 0303 0

(c)

(b)

(a)

รปท 1.2 สเปกตราของสญญาณ ( )k t [Lathi, 1989]

( )g t

t

( )pg t

0T0T

t0

(a)

(b) รปท 1.3 แสดงการขยายคาบของสญญาณรายคาบใหเปนอนฟนต [Lathi, 1989]


นนหมายความวาอนกรมฟเรยรทแทน ( )pg t กจะแทน ( )g t เมอ oT ใหอนกรมฟเรยรของ ( )pg t คอ

( ) ; 2ojn t

p n o o

n

g t G e f

(1.16)

โดยท

/ 2

/ 2

1( )

oo

o

Tjn t

n pT

o

G g t e dtT

(1.17)

เนองจาก 2 /o oT เมอ oT จะเหนวา 0o และจากสมการท (1.17) ขนาดของแตละองคประกอบทางความถกมคาเขาใกลศนยเชนเดยวกน และสเปกตรมเดมเปนดสครตกจะกลายเปนเสนตอเนอง นนคอมจ านวนองคประกอบทางความถของสญญาณทไมเปนรายคาบมคาเปนอนนตหรอไมจ ากด (infinite) เพอทจะแสดงใหเหนภาพตรงน มาวเคราะหสเปกตรมของสญญาณทไมเปนรายคาบทางคณตศาสตร ในขณะท oT และ 0o ซงอาจจะเขยนใหมใหเปน นนคอ

2 / 2 /o oT จากสมการท (1.17) เอา oT คณตลอด

/ 2

/ 2( )

o

o

Tjn t

o n pT

T G g t e dt

(1.18)

ปรมาณ o nT G เปนฟงกชนของ ( )G n ให ( )o nT G G n (1.19) จากสมการท (1.16) และ (1.19) จะได

( )( )

( )

2

jn t

p

n o

jn t

n

G ng t e

T

G ne

(1.20)

ซงตอนนจะเหนวา ( )pg t เขยนอยในรปผลบวกของสญญาณเอกซโพเนนเชยลทความถ 0, , 2 , 3 , โดยทขนาดของแตละองประกอบทางความถของ ( )pg t ตอนนมคานอยมากจนเขาใกลศนย (เนองจาก 0 ) และมขนาดสมพทธขององคประกอบทาง


ความถเปน ( )G n สมมตให ( ) ( )G n G เมอ 0 และเนองจากในลมต

oT ได ( ) ( )pg t g t

0

1( ) lim ( ) lim ( )

2o

jn t

pT

n

g t g t G n e

(1.21)

ขางขวาของสมการขางบนโดยนยามกคอคาอนตกรล

1( ) ( )

2

j tg t G e d

(1.22)

เชนเดยวกนจากสมการท (1.18) และ (1.19) ได

/ 2

/ 2( ) lim ( )

( )

o

oo

Tjn t

pTT

jn t

G n g t e dt

g t e dt

หรอ

( ) ( ) j tG g t e dt

(1.23)

ตอนนไดมาถงสงทตองการแลวคอ การอธบายสเปกตรมของสญญาณทไมเปนรายคาบในอาณาจกรของความถซงกคอ ( )G ดงแสดงในสมการท (1.23) และจากสมการท (1.22) บอกวาถาร สเปกตรมของสญญาณ ( )g t กสามารถทจะน าเอาสญญาณ ( )g t ซงอยในอาณาจกรของเวลากลบคนมาไดเชนเดยวกน เรยก ( )G วา ฟเรยรทรานสฟอรม ของ ( )g t และเรยกสมการท (1.22) และ (1.23) วา คฟเรยรทรานสฟอรม (Fourier transform pair) สญลกษณของการทรานสฟอรมสามารถใชเปน

อกษร นนคอ ( )G [ ( )g t ] และเรยก ( )g t วา อนเวอรสฟเรยรทรานสฟอรม ของ

( )G และเขยนแทนดวย ( )g t 1 [ ( )G ] สามารถทจะเขยนคฟเรยรทรานสฟอรมของ ( )g t แบบสนๆไดคอ ( ) ( )g t G (1.24)


1.2.1 เงอนไขของการมฟเรยรทรานสฟอรม ส าหรบสญญาณ ( )g t หนงๆ เงอนไขทพอเพยงทจะบอกวา ( )g t สามารถหา ( )G ไดหรอไมคอ

1. ฟงกชน ( )g t จะตองมจ านวนของจดสงสดและต าสดเปนจ านวนจ ากด และมจ านวนจดทไมตอเนอง เปนคาจ ากดภายในชวงทจ ากดใดๆ

2. คาสมบรณของฟงกชน ( )g t จะตองหาคาอนตกรลได (absolutely integrable) นนคอ

| ( ) |g t dt

เงอนไข 2 ขอขางตนเรยกวาเงอนไขของ Dirichlet ซงไมใชเงอนไขทจ าเปนแบบเขมงวด (strictly necessary) เปนเพยงเงอนไขทพอเพยงทจะบอกวา ( )g t สามารถหาฟเรยร ทรานสฟอรมไดหรอไม เมอน าเอา ( )G มาพลอตบนแกน (หนงสอบางเลมใช ( )G f พลอตบนแกน f ) จะเรยกการพลอตนวาเปนการพลอตสเปกตรมของ ( )g t ซงเปนสเปกตรมแบบเสนตอเนอง (continuous spectrum) โดยทวไปแลว ( )G จะเปนเลขเชงซอน ซงสามารถเขยนในรป ( )

( ) | ( ) | gjG G e

(1.25)

เมอ | ( ) |G เรยกวาแอมพลจดสเปกตรมของ ( )g t และ ( )g เรยกวาเฟสสเปกตรมของ

( )g t ส าหรบ ( )g t ทเปนฟงกชนคาจรง ได *( ) ( )G G นนคอ | ( ) | | ( ) |G G และ ( ) ( )g g และไดขอสรปเบองตนส าหรบสญญาณคาจรงใดๆ คอ

1. แอมพลจดสเปกตรมของสญญาณคาจรงจะเปนฟงกชนค (even function) บนแกนความถ นนคอแอมพลจดสเปกตรมจะสมมาตรรอบแกนตง (vertical axis)

2. เฟสสเปกตรมของสญญาณคาจรงจะเปนฟงกชนค (odd function) บนแกนความถ ตวอยางท 1.2 จงหาฟเรยรทรานสฟอรมของสญญาณเอกซโพเนนเชยลพลส ( )ate u t ดงแสดงในรปท 1.4(a) วธท า โจทยก าหนด ( ) ( )atg t e u t ดงนน


1

( )

0

tan ( )

2 2

( ) ( )

10

1

at j t

a j t

ja

G e u t e dt

e dt

aa j

ea

ในทน 2 2

1| ( ) |G

a

และ 1( ) tang

a

รปท 1.4(b) แสดงการพลอตแอมพลจดสเปกตรม | ( ) |G และเฟสสเปกตรม ( )g ของ ( )g t

0 t

1

( )g t

( )ate u t

(a)

( )G

1

a

2

( )g 2

0

(b)

รปท 1.4 เอกซโพเนนเชยลพลส ( )ate u t และสเปกตรม


มขอสงเกตจากตวอยางนคอ 1. คาของ a จะตองมากกวาศนย เพอใหเปนไปตามเงอนไขของการมฟเรยรทรานสฟอรม

ของสญญาณ ( )ate u t ถา a นอยกวาศนย สญญาณ ( )ate u t จะหาฟเรยร ทรานสฟอรมไมได (ท าไม?)

2. | ( ) |G เปนฟงกชนคของ และ ( )g เปนฟงกชนคของ

ตวอยางท 1.3 จงหาฟเรยรทรานสฟอรมของเกทฟงกชน t

ดงแสดงในรปท

1.5 ซงถกแทนดวยสมการ

1 | | / 2

0 | | / 2

tt

t

วธท า

/ 2

/ 2

j tte dt

/ 2 / 21[ ]

sin( / 2) sin( / 2 )

/ 2 / 2

sinc ( / 2 )

j je ej

นนคอไดคฟเรยรทรานสฟอรม

sinc( )2

t

(1.26)

รปท 1.5(b) แสดงการพลอตสเปกตรมของเกทฟงกชน ตวอยางท 1.4 จงหาฟเรยรทรานสฟอรมของสญญาณอมพลส ( )t

วธท า

0

( ) ( )

( ) 1

( ) 1

j t

j t

t

t t e dt

t e

t

นนคอสเปกตรมของอมพลสมคาคงทตลอดทกๆความถ ดรปท 1.6


4

2

4

2

(b)

/2 /2

( / )t

1

t

(a)

รปท 1.5 เกทฟงกชนและสเปกตรม

t

( )g t

0

( )t

0

1

( )G

รปท 1.6 สเปกตรมของอมพลส

ตวอยางท 1.5 จงหาฟเรยรทรานสฟอรมของคาคงท 1(ไฟดซขนาดเปน 1) วธท า

1 1 j te dt

(1.27)

ทราบวาฟเรยรทรานสฟอรมของอมพลส ( )t คอ 1 จากตวอยางท 1.4 นนคอ สามารถเขยนไดวา

1( ) 1

2

j tt e d

เมอเอา 2 คณตลอดและเปลยนตวแปร x ได


2 ( ) jxt

jxt

t e dx

e dx

เปลยนตวแปรอกครงหนงโดยให t และ x t จะได

2 ( ) j te dt

ดานขวามอของสมการขางบนคอนยามของฟเรยรทรานสฟอรมของ 1 นนคอไดคฟเรยร ทรานสฟอรม (ดรปท 1.7) 1 2 ( ) (1.28)

0

1

( )g t

t

( )G

2 ( )

0

รปท 1.7 สเปกตรมของไฟดซ

ตวอยางท 1.6 จงหาฟเรยรทรานสฟอรมของซกนมฟงกชน (signum function) ซง

ก าหนดโดย

1 0sgn( )

1 0

tt

t

(1.29)

วธท า การหาฟเรยรทรานสฟอรมของ sgn( )t สามารถหาไดโดยการแทน sgn( )t ในรป

ของลมตของสญญาณเอกซโพเนนเนนเชยล นนคอ

0sgn( ) lim [ ( ) ( )]at at

at e u t e u t

0

00

0

sgn( ) lim [ ]

1 1 2sgn( ) lim [ ]

at j t at j t

a

a

t e e dt e e dt

ta j a j j

ดงนนจะได

2sgn( )t

j (1.30)


คฟเรยรทรานสฟอรมของสญญาณบางสญญาณถกน ามารวบรวมไวในตารางท 1.1 ใหผ เรยนลองท าดดวยตวเองวาคาทไดในตารางมาไดอยางไร 1.3 คณสมบตบางประการของฟเรยรทรานสฟอรม

1.3.1 ความเปนเชงเสน (linearity property หรอ superposition)

ก าหนดคฟเรยรทรานสฟอรม 1 1( ) ( )g t G และ 2 2( ) ( )g t G จะได 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )g t g t G G (1.31) สามารถน าเอาผลทไดจากตวอยางท 1.6 มาหาฟเรยรทรานสฟอรมของสญญาณยนตสเตป ( )u t โดยใชคณสมบตความเปนเชงเสนและใชความสมพนธจากสมการ

1( ) [sgn( ) 1]

2u t t

ดงนน จะได

1( ) ( )u t

j

(1.32)

ดรปท 1.8

( )u t

t

( )g t

0

1

0

( )G

รปท 1.8 แสดงสเปกตรมของยนตสเตปฟงกชน ( )u t


ตารางท 1.1 คฟเรยรทรานสฟอรม [Lathi, 1989]

คท ( )g t ( )G 1 ( )ate u t 1

a j

2 ( )atte u t 2

1

( )a j

3 | |t 2

2

4 ( )t 1 5 1 2 ( ) 6 ( )u t 1

( )j

7 cos ot [ ( ) ( )]o o 8 sin ot [ ( ) ( )]o oj 9 (cos ) ( )ot u t

2 2[ ( ) ( )]

2o o

o

j

10 (sin ) ( )ot u t 2 2

[ ( ) ( )]2

oo o

oj

11 (sin ) ( )at

oe t u t 2 2( )

o

oa j

12 2 sinc(2 )B Bt 4 B

13 t

sinc2

14 | |1 | |

0 | |

tt

t

2sinc

2

15 2sinc ( )2

ot

2 | |

1o o

16 a te

2 2

2a

a

17 ( )

k

t kT

2( )o o o

n

nT

18 2 2/ 2te 2 2 / 22 e


1.3.2 การเขาค (duality property)

ถา ( ) ( )g t G แลว ( ) 2 ( )G t g (1.33) พสจน จากสมการของฟเรยรทรานสฟอรม สามารถเขยน

2 ( ) ( ) jxtg t G x e dx

เปลยนตวแปร t และ x t จะได

2 ( ) ( ) j tg G t e dt

ตวอยางท 1.7 แสดงการหาฟเรยรทรานสฟอรมโดยวธการเขาค

วธท า

1( )

12 ( )

at

a

e u ta j

e ua jt

2sgn( )

22 sgn( ) 2 sgn( )

sgn( )

tj

jt

j

t

ตวอยางท 1.8 จงแสดงการหาฟเรยรทรานสฟอรมของซงคฟงกชนโดยใชคณสมบต

การเขาค

วธท า

จาก sinc( )2

t

เมอใชคณสมบตการเขาคจะได

sinc( ) 22

t

เนองจากเกทฟงกชนเปนฟงกชนค ดงนนจะได


sinc( ) 22

t

(1.34)

รปท 1.9 แสดงสเปกตรมของซงคฟงกชนและแสดงความสมพนธของซงคฟงกชนและเกทฟงกชน

( )g t

2

2

t

1

( )G

2

2

2

2

t

2

2

2

(a)

(b)

รปท 1.9 แสดงการใชคณสมบตการเขาคของเกทและซงคฟงกชน

1.3.3 การเปลยนสเกล (scaling property)

ถา ( ) ( )g t G แลว

1( ) ( )

| |g at G

a a

(1.35)

พสจน ใชสตรของฟเรยรทรานสฟอรมโดยตรง

[ ( )g at ] ( ) j tg at e dt

ให x at และ 0a จะได

( / )1 1( ) ( ) ( )j a xg at g x e dx G

a a a

ท านองเดยวกนถา 0a จะได


1( ) ( )g at G

a a

นนคอไดขอสรปวา

1( ) ( )

| |g at G

a a

ตวอยางท 1.9 แสดงการเปลยนสเกลของเกทฟงกชน วธท า

( )g t1

2

2

t

(a)

( )G

4

2

4

2

(b)

0

( )g t

1

t

(c)

2

2

2

( )G

0

(d)

รปท 1.10 แสดงการเปลยนสเกลของเกทฟงกชน

จากตวอยางท 1.9 จะเหนวาการบบอดสญญาณทางเวลาดวยสเกลคาหนงท าใหสเปกตรมของสญญาณนนขยายออกดวยสเกลทเทากนในอาณาจกรของความถ ท านองเดยวกนถาท าการขยายสญญาณทางเวลาดวยสเกลคาหนง สเปกตรมของมนกจะถกบบอดเขามาดวยสเกลคาทเทากน นเปนคณสมบตพนฐานของฟเรยรทรานสฟอรมทส าคญ


1.3.4 การเลอนเวลา (time shifting)

ถา ( ) ( )g t G แลว ( ) ( ) oj t

og t t G e (1.36) พสจน ใชสตรของฟเรยรทรานสฟอรมโดยตรง

[ ( )og t t ] ( ) j t

og t t e dt

ให ot t x จะได

[ ( )og t t ] ( )( ) ( )o oj x t j tg x e dx G e

ตวอยาง 1.10 จงหาฟเรยรทรานสฟอรมของสญญาณ | |oa t te ดงแสดงในรปท 1.11

t

1

a te

(a)

2 2

2( )

aG

a

(b)

รปท 1.11 วธท า จะเหนวาสญญาณ | |oa t te ไดมาจากการเลอนเวลาของสญญาณ | |a te ไป

ทางขวาดวยขนาด ot หนวย ดงนนจาก

| | 2 22 /( )a te a a และโดยคณสมบตการเลอนเวลาจะได

| |

2 2

2o oa t t j ta

e ea


1.3.5 การเลอนความถ (frequency shifting) ถา ( ) ( )g t G แลว

( ) ( )oj t

og t e G (1.37) พสจน

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

o o

o o

o

j t j t j t

j t j t

j t

o

g t e g t e e dt

g t e g t e dt

g t e G

ตวอยางท 1.11 จงหาฟเรยรทรานสฟอรมของสญญาณ ( )cos og t t และ

( )sin og t t

วธท า

( )cos ( )2

1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

o o

o o

j t j t

o

j t j t

o o

e eg t t g t

g t e g t e G G

( )sin ( )2

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

o o

o o

j t j t

o

j t j t

o o

e eg t t g t

j

j j jg t e g t e G G

รปท 1.12 แสดงการพลอตสเปกตรมของสญญาณ ( )g t เทยบกบสเปกตรมของสญญาณ ( )cos og t t และ ( )sin og t t

1.3.6 คอนโวลชน (convolution)

ถา 1 1( ) ( )g t G และ 2 2( ) ( )g t G แลว 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )g t g t G G (1.38) และ

1 2 1 2

1( ) ( ) ( ) ( )

2g t g t G G

(1.39)


t

( )g t

(a)

( )G

( )G

0

( )g

(b)

0( ) co sg t t

(c)

t

(d)

0 0

(e)

t

0( ) sing t t

(f)

0 0

/ 2

2

รปท 1.12 แสดงฟเรยรทรานสฟอรมของการเลอนความถ [Lathi, 1989]

พสจน สามารถทจะพสจนไดโดยใชนยามของคอนโวลชนคอ

[ 1 2( ) ( )g t g t ] 1 2( ) ( )j te g x g t x dx dt

1 2( ) ( ) j tg x g t x e dt dx

ใชคณสมบตของการเลอนเวลากบอนตกรลขางในจะได

[ 1 2( ) ( )g t g t ] 2 1

2 1

1 2

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

j x

j x

G g x e dx

G g x e dx

G G

ส าหรบการพสจนสมการท (1.39) กสามารถท าไดเชนเดยวกนโดยการสลบกนระหวาง t และ (ลองพสจนด)


ตวอยางท 1.12 จงหาคา 1 2( ) ( )g t g t ดงแสดงในรปท 1.13(a) และ (b)

วธท า จากรปจะเหนวา 1( ) ( )atg t ae u t และ 2( ) ( )g t u t ถาค านวณหาคา

1 2( ) ( )g t g t โดยวธตรงโดยใชนยามของคอนโวลชน จะได

1 2

0

0

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 0

(1 ) ( )

ax

ax

tax

at

at

g t g t ae u x u t x dx

ae u t x dx

ae dx

e t

e u t

หรอหา 1 2( ) ( )g t g t จาก 1 2( ) ( )G G กอนแลวแปลงกลบมาใหอยในรปของอาณาจกรของเวลากสามารถท าไดดงนคอ

1 2

1 2

1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

1 1( )

( ) ( ) (1 ) ( )

at

at

ag t g t ae u t u t

a j j

a a

j a j a j

j a j

g t g t e u t

1.3.7 ดฟเฟอเรนชเอตและอนทเกรต (differentiation and integration) ถา ( ) ( )g t G แลว

( )dg

j Gdt

(1.40)

และ

( )( ) (0) ( )

t Gg x dx G

j

(1.41)

พสจน (1.40) จาก

( ) ( ) j tG g t e dt

ใชวธการอนทเกรตแบบโดยสวน จะได

1 1( ) ( ) j t j tdg

G g t e e dtj j dt


a1( )g t

atae

t

(a)

2 ( )g t

1

t

(b)

2( )g x

x

1

(c)

xt

2( )g t x

1

(d)

1 2( ) * ( )g t g t

1

t

(f)

2( )g t x

1

a

1( )g x

xt

(e)

รปท 1.13แสดงฟเรยรทรานสฟอรมของคอนโวลชน

และเนองจาก ( )g t สามารถหาฟเรยรทรานสฟอรมได ดงนน เทอมแรกจงกลายเปนศนย ( lim ( ) 0

tg t

) จงไดวา

( ) j tdgj G e dt

dt

นนคอฟเรยรทรานสฟอรมของ /dg dt คอ ( )j G สามารถทจะขยายความไปถงการหาฟเรยร ทรานสฟอรมของอนพนธอนดบท n ของ ( )g t ไดคอ

( ) ( )n

n

n

d gj G

dt (1.42)

พสจน ใชนยามของคอนโวลชนในการพสจน จาก

( ) ( ) ( ) ( )g t u t g u t d

และจาก


1( )

0

tu t

t

ดงนน

( ) ( ) ( )t

g t u t g d

โดยคณสมบตของคอนโวลชน จะได

1( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )(0) ( )

t

g d Gj

GG

j

GG

j

เทอมสดทายทางขวามอไดมาจากคณสมบตทวา ( ) ( ) (0) ( )f x x f x เนองจาก ( )x มคาไมเปนศนยท 0x เทานน

ตวอยางท 1.13 จงหาฟเรยรทรานสฟอรมของสญญาณรปสเหลยมคางหม ดงแสดงในรปท 1.14(a) โดยใชคณสมบตฟเรยรทรานสฟอรมของการดฟเฟอเรนชเอต

วธท า ท าการดฟเฟอเรนชเอตสญญาณรปสเหลยมคางหม ( )g t 2 ครง จะไดผลลพธออกมาตามรปท 1.14(c) นนคอสามารถเขยนเปนสมการไดวา

2

2[ ( ) ( ) ( ) ( )]

d g At b t a t a t b

dt b a

โดยการใชคณสมบตการเลอนเวลาและดฟเฟอเรนชเอตทางเวลาจะได

2( ) ( ) [ ]j b j a j a j bAj G e e e e

b a

นนคอ ได

2

2 cos cos( )

A a bG

b a

1.4 ฟเรยรทรานสฟอรมของสญญาณรายคาบ

การหาฟเรยรทรานสฟอรมของสญญาณรายคาบ กสามารถท าไดโดยใชวธการแทนสญญาณรายคาบดวยอนกรมฟเรยร จากนนกท าฟเรยรทรานสฟอรม ดงตอไปน สมมตวา ( )g t คอสญญาณรายคาบทมคาบเปน oT สามารถเขยน ( )g t .ในรปอนกรมฟเรยร ไดคอ


22

2( ) ( )

d gj G

dt

a

b

A

b a

a

b t0

( ) ( )dg

j Gdt

bat

ab

A

b a

A

b a

( ) ( )g t G

A

0 a babt

(c)

(b)

(a)

A

b a

รปท 1.14 การประยกตใชคณสมบตการเลอนเวลา

( ) ; 2 /ojn t

n o o

n

g t G e T

เมอท าฟเรยรทรานสฟอรมสมการขางตน จะได

[ ( )g t ] n

[ ojn t

nG e ]

2 ( )n o

n

G n

(1.43)


ตวอยาง 1.14 จงหาฟเรยรทรานสฟอรมของสญญาณอมพลสรายคาบ ดงแสดงในรปท 1.15(a)

วธท า เขยนสญญาณอมพลสรายคาบ ( )g t ในรปของอนกรมฟเรยรไดวา

( ) ( ) ojn t

o n

n n

g t t nT G e

เมอ nG หาจาก

/ 2

/ 2

1 1( )

oo

o

Tjn t

nT

o o

G t e dtT T

ดงนน

1( ) ojn t

no

g t eT

จาก

1 2 ( ) และคณสมบต

( ) ( )ojn t

og t e G n ดงนน จะได

2( ) ( )

( ) ( )

o o

n no

o o o

n n

t nT nT

t nT n

(1.44)

นอกจากนแลว ยงสามารถทจะน าเอาวธการทางฟเรยรทรานสฟอรมเพอหาสเปกตรมของผลตอบสนองของระบบทเปนแบบเชงเสนไมเปลยนแปลงตามเวลา (linear time-invariant system) ไดอก


0 0( ) ( )G n

02 020 00

(b)

0T03T 02T 04T

( )g t

t(a)0T0

รปท 1.15 แสดงฟเรยรทรานสฟอรมของสญญาณอมพลสรายคาบ (ขบวนอมพลส)

รปท 1.16 แสดงการปอนสญญาณ ( )g t ซงมสเปกตรมเปน ( )G เขาไปยงระบบทมผลตอบสนองของอมพลสหนงหนวย (unit impulse response) ( )h t และไดเอาทพตออกมาเปน

( )y t ซงม สเปกตรมเปน ( ) ( ) ( )Y G H เปนตน

( )

( )

g t

G

( )

( ) ( ) ( )

y t

Y G H

รปท 1.16 การสงผานสญญาณผานระบบเชงเสน

1.5 ทฤษฎบทของพารซวล

จากคณสมบตของคอนโวลชนทางความถ

1 2 1 2

1( ) ( ) [ ( ) ( )]

2g t g t G G

หรอ

1 2 1 2

1( ) ( ) ( ) ( )

2

j tg t g t e dt G u G u du

ให 0 ในสมการขางตน จะได

1 2 1 2

1 2

1( ) ( ) ( ) ( )

2

1 ( ) ( )

2

g t g t dt G u G u du

G G d

ถาให 1 2( ) ( ) ( )g t g t g t และ ( )g t เปนสญญาณคาจรง ซงหมายความวา *( ) ( )G G จะไดสมการขางตนเปน

( )

( )

h t

G


2 21( ) | ( ) |

2g t dt G d

(1.45)

ความสมพนธตามสมการท (1.45) เรยกวา ทฤษฎบทของพารซวล (Parseval’s theorem)

1.5.1 พลงงานของสญญาณ

ส าหรบสญญาณคาจรง ( )g t ใดๆ นยามพลงงานของ ( )g t ดงน คอ

2( )gE g t dt

(1.46)

ถาพลงงานของ ( )g t มคาจ ากดนนคอ gE แลวบอกวา สญญาณ ( )g t เปน สญญาณพลงงาน (energy signal) โดยใชทฤษฎบทของพารซวลในสมการท (1.45) สามารถเขยนสมการท (1.46) ไดใหมเปน

2 21( ) | ( ) |

2gE g t dt G d

(1.47)

จากสมการขางตน จะเหนวา สามารถทจะหาคาพลงงานของสญญาณไดทงในอาณาจกรของเวลาและอาณาจกรของความถ

ตวอยางท 2.15 จงแสดงวา

0

sinc(2 )sinc(2 ) 1

2

m n

Bt m Bt n dtm n

B

(1.48)

วธท า จากคณสมบตการเลอนเวลาและตารางท 1.1 ได

/ 21sinc(2 ) sinc 2 ( )

2 2 4

j k BkBt k B t e

B B B

ดงนน


2

( ) / 2

2

1 1sinc(2 )sinc(2 )

2 (2 ) 4

j n m BBt m Bt n dt e dB B

เนองจาก 14 B

เมอ | | 2 B และเปนศนยทคาอนๆ

ให 2

[( ) / 2 ]

2 2

1sinc(2 )sinc(2 )

8

Bj n m B

BI Bt m Bt n dt e d

B

ถา m n อนตแกรนดจะมคาเปน 1 และได 1/ 2I B แตถา m n จะได

[ ( ) / 2 ] 2

22

( ) ( )

1 2

8

[ ] 04 ( )

j m n B B

B

j m n j m n

j BI e

B m n

je e

B m n

แบบฝกหดทายบทท 1 1.1 จงหาอนกรมฟเรยรในรปแบบกระทดรดของสญญาณรายคาบดงแสดงในรปท P2.1

พรอมทง สเกตซแอมพลจดและเฟสเปกตรมของสญญาณน

2-2 0

1

t รปท P1.1

1.2 จงหาฟเรยรทรานสฟอรมของสญญาณ ( )g t พรอมทงสเกตซแอมพลจดและเฟสสเปกตรมของ ( )g t ในรปท P1.2

t2-2

cost

g(t)

รปท P1.2 1.3 จงค านวณหาสญญาณ ( )g t เมอก าหนดฟเรยรทรานสฟอรมของ ( )g t มาให ดงแสดง

ในรปท P1.3 (แสดงวธการค านวณโดยละเอยด)


A

A

/2

/2

0 0

( )g

0

0

( )G

( )G

0 0

( )g

0t

(a)

(b) รปท P1.3 1.4 ก าหนดใหฟเรยรทรานสฟอรมของสญญาณ ( )g t ดงแสดงในรปท P1.4(a) ซงมสมการเปน

2

1( ) 1j jG e j e

ใชคณสมบตการเลอนเวลาและการสเกลหาฟเรยรทรานสฟอรมของสญญาณในรป P1.4(b), (c), และ (d)

( )g t

1

1

0

t

tt

1

2

1

2

2( )g t

1( )g t

1

1

1

(d)(c)

(b)(a)

t

3

3

3( )g t

10

รปท P1.4


1.5 ก าหนดให ( / ) sinc( / 2 )t ใชคณสมบตการเลอนเวลาและการเลอนความถหาฟเรยรทรานสฟอรมของสญญาณในรปท P1.5 ทกรป

1.6 ใชคณสมบตของการดฟเฟอเรนชเอตทางเวลาและการเลอนเวลาเพอหาฟเรยรทรานส

ฟอรมของสญญาณดงแสดงในรปท P1.6 ทกรป

cos 4t cos 4t

t

t t

2

2

4

4

24

0

(a) (b)

(c) รปท P1.5


1

1

1

1

1

0

0

3 3

2

2

2

t

t

t

t

1

(a) (b)

(c)

(d)

0

รปท P1.6

บทที่ 1...

Documents