บทท่ี 3...

51

บทท 3

การแจกแจงความนาจะเปนแบบไมตอเนอง

(Discrete Probability Distributions)

จากเนอหาในบทท 2 ความนาจะเปนของตวแปรสมแบบไมตอเนองสาหรบตวแปรสมแบบไม

ตอเนอง X สามารถใชฟงกชนมวลความนาจะเปน ในการระบคาความนาจะเปนของคาทเปนไปไดแตละ

คาของ X

3.1 อะไรคอการแจกแจงความนาจะเปนแบบไมตอเนอง

ในการแสดงคาฟงกชนมวลความนาจะเปนของตวแปรสม X สามารถแสดงไดดวยการระบคา

ความนาจะเปนหรอแสดงดวยภาพ ดงตวอยางตอไปน

ตวอยางท 3.1 ในกระบวนการผลตแผนเวเฟอรเซมคอนดกเตอร หากสมทดสอบแผนเวเฟอร 2 แผน โดยผล

การทดสอบมเพยง “ผาน” หรอ “ไมผาน” สมมตวาความนาจะเปนทแผนเวเฟอรจะผานการทดสอบเทากบ

0.8 (และความนาจะเปนทจะไมผานเทากบ 0.2) ในการทดสอบแตละครงเปนอสระตอกน ความนาจะเปน

ทแผนแรกจะ “ผาน” และ แผนทสองจะ “ไมผาน” จะเทากบ 16.02.08.0 ใหตวแปรสม X แทน

จานวนแผนเวเฟอรทผานการทดสอบ จะไดผลดงตารางตอไปน

ผลลพธ ความนาจะเปน x เวเฟอร 1 เวเฟอร 2

ผาน (P) ผาน (P) 0.64 2

ผาน (P) ไมผาน (F) 0.16 1

ไมผาน (F) ผาน (P) 0.16 1

ไมผาน (F) ไมผาน (F) 0.04 0

จะเหนไดวาความนาจะเปนในการสมทดสอบแผนเวเฟอร 2 แผน ซงจะมผลลพธทเปนไปได

ทงหมด 4 แบบ คอ PP, PF, FP และ FF ซงสอดคลองกบคาของตวแปรสม คอ 0, 1, 1 และ 2 ผลรวมของ

คาของความนาจะเปนทงหมดจะเทากบ 1 เสมอ

52

สามารถแสดงคาความนาจะเปนไดดวยภาพตอไปน

รปท 3.1 การแจกแจงความนาจะเปนของผลการทดสอบแผนเวเฟอร 2 แผน

ตวอยางท 3.2 ในการสงขอมลแบบดจทลคราวละ 3 บต กาหนดให X เปนตวแปรสมทแสดงจานวนบต

ผดพลาดทเกดขนในการสงขอมล ดงนน 3,2,1,0xS จะไดความนาจะเปนของคาตาง ๆ ของ X คอ

125.00 xP

375.01 xP

375.02 xP

125.03 xP และสามารถแสดงไดดวยภาพตอไปน

รปท 3.2 การแจกแจงความนาจะเปนของบตผดพลาด

รปท 3.1 และ 3.2 แสดงการแจกแจงคาความนาจะเปนของคาตางๆ ของตวแปรสม X ซงจะ

เหนไดวาการแจกแจงในรปทงสองมความไมตอเนอง (Discrete) เนองจากคาของ X มความไมตอเนอง

xpX

x04.0

64.0

0 1 2

32.0

xpX

x

125.0

375.0

0 31 2

53

3.2 ฟงกช นการแจกแจงความนาจะเปนแบบสะสมของตวแปรสมแบบไมตอเนอง

(Cumulative Distribution Function of A Discrete Random Variable)

3.2.1 นยามของฟงกช นการแจกแจงความนาจะเปนแบบสะสม

ให X เปนตวแปรสมแบบไมตอเนอง ฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนแบบสะสม

(Cumulative Distribution Function: cdf) ของ X ซงเขยนแทนดวย xFX คอ

xx

iX

i

xpxXPxF (3.1)

โดยฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนแบบสะสมจะมคณสมบตดงน (1)

xx

iX

i

xpxXPxF (3.2ก)

(2) 10 xFX (3.2ข)

(3) หาก 21 xx แลว 21 xFxF XX (3.2ค)

ในบางครงการแสดงความนาจะเปนโดยแสดงดวยฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนแบบ

สะสม (cdf) จะชวยใหสะดวกและมประโยชนมากกวา นอกจากนฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนแบบ

สะสมยงสามารถใชหาคาฟงกช นมวลความนาจะเปน (pmf) ของตวแปรสมไดอกดวย

ตวอยางท 3.3 จากตวอยางท 3.2 จงหาความนาจะเปนทจะเกดบตผดพลาด 1 บตหรอนอยกวา 1 บต

วธทา ความนาจะเปนในการเกดบตผดพลาด 1 บตคอ 1XP สวนความนาจะเปนในการเกดบต

ผดพลาดนอยกวา 1 บตคอความนาจะเปนทจะไมเกดบตผดพลาดเลย หรอ 0XP นนเอง ทาใหได

101 XPXPXP

5.0375.0125.0

จากตวอยางท 3.3 น จะเหนไดวาความนาจะเปนทจะเกดบตผดพลาด 1 บตหรอนอยกวา 1 บตก

คอฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนแบบสะสม 1XF นนเอง

สามารถแสดงฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนแบบสะสมของตวแปรสม X ทแสดงจานวน

บตผดพลาดทเกดขนในการสงขอมลคราวละ 3 บตไดดวยรปท 3.3

จากรปท 3.3 สามารถหาคา 125.000 XFXP คา 875.022 XFXP

และคา 000.133 XFXP ไดโดยดจากฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนแบบสะสม

54

รปท 3.3 ฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนแบบสะสมของ X ในตวอยางท 3.3

ตวอยางท 3.4 จงหาความนาจะเปนของ X จากฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนแบบสะสมตอไปน

2 ,1

20 0.7,

0x2- ,2.0

2 ,0

x

x

x

xFX

วธทา จากสมการฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนแบบสะสมชางตน สามารถวาดกราฟ cdf ไดดงน


จะได

2.002.02 XP

5.02.07.00 XP

3.07.00.12 XP

จากตวอยางท 3.4 จะเหนวาสามารถแสดงฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนแบบสะสมไดโดย

ใชสมการ

xFX

x

000.1

10 2

875.0

125.0

3

500.0

55

ตวอยางท 3.5 หากทราบวาในบรรดาชนสวน 800 ชนทโรงงานผลตขนม 50 ชนทไมไดมาตรฐาน ทดลอง

สมชนสวนมา 2 ชนแบบไมใสกลบลงไป และใหตวแปรสม X เทากบจานวนชนสวนทไมไดมาตรฐานทสม

ได จงหาฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนแบบสะสมของ X

วธทา เรมจากหาฟงกชนมวลความนาจะเปนของ X ดงน

879.0799

749

800

7500 XP

117.0799

50

800

75021 XP

004.0799

49

800

502 XP

ดงนนจะได

000 XPXPFX 1011 XPXPXPFX

21022 XPXPXPXPFX และสามารถพลอตเปนฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนแบบสะสมไดดงน


3.3 คาเฉลยหรอคาคาดหวงของการแจกแจงความนาจะเปนแบบไมตอเนอง

ในบางสถานการณทไมตองการรฟงกชนมวลความนาจะเปน แตตองการจะรพารามเตอรบางตว

ทสรปขอมลโดยรวมของการแจกแจงความนาจะเปนเทานน เชน การวดความแรงของสญญาณคลนวทยซง

ถกสญญาณรบกวน ตองการทราบพารามเตอรซงแสดงคาโดยสรปของความแรงของคลนวทยนนๆ ในการ

หาศนยกลางของการแจกแจงความนาจะเปนแบบไมตอเนองนจะใชคาเฉลย (Mean) หรอคาคาดหวง

56

(Expected Value) ซงกคอโมเมนตลาดบท 1 ของตวแปรสมแบบไมตอเนอง X ซงกคอคาเฉลยถวง

นาหนกของคาทกคาท X จะเปนไปได โดยนาหนกทใชถวงกคอคาความนาจะเปนของแตละคาท X

เปนไปไดนนเอง

หากมองความนาจะเปน xpX เปนการกระจายของมวลชนดหนงทจด ,, 21 xx บนเสน

จานวนจรง คาคาดหวง ( ][XE ) หรอคาเฉลย ( Xm ) จะแสดงถงศนยกลางของมวลการกระจายนน คา

คาดหวงหรอคาเฉลยของตวแปรสมแบบไมตอเนองมนยามดงน

k

kXkSx

XX xpxxxpXEmX

)()(][ (3.3)

ตวแปรสมใดๆ จะมคาคาดหวงกตอเมอ สมการ (3.4) ตอไปนเปนจรงเทานน

k

kXk xpxXE (3.4)

หากตวแปรสมใด ไมเปนไปตามสมการ (3.4) ถอไดวาคาคาดหวงของตวแปรสมนนไมมอย

ตวอยางท 3.6 จากตวอยางท 3.2 คาเฉลยของตวแปรสม X ซงแสดงจานวนบตผดพลาดทเกดขนในการ

สงขอมลแบบดจทลคราวละ 3 บต สามารถหาไดดงน

5.1125.03375.02375.01125.00)(][ xxpXE X

และสามารถแสดงดวยภาพตอไปน

รปท 3.6 คาเฉลยของการแจกแจงความนาจะเปนของบตผดพลาด

xpX

x

125.0

375.0

0 31 25.1

Mean

57

ตวอยางท 3.7 ในการสอสารขอมลดจทล จะสงขอมลคราวละ 4 บต ทอปกรณรบขอมลพบวาแตละบตท

ไดรบมความนาจะเปนในการเกดผดพลาด (error) เทากบ 0.1 จงหาคาเฉลยของจานวนบตผดพลาด

วธทา ใหตวแปรสม X เปนจานวนบตผดพลาดทอปกรณรบขอมลรบได จะได 4,3,2,1,0xS และใชกฎ

ความนาจะเปนแบบทวนามหาคาความนาจะเปนของแตละคาของ X ไดดงน

6561.09.01.00

400 40

XPpX

2916.09.01.01

411 31

XPpX

0486.09.01.02

422 22

XPpX

0036.09.01.03

433 13

XPpX

0001.09.01.04

444 04

XPpX

และจะไดคาเฉลยของ X คอ

4.00001.040036.030486.022916.016561.00)(][ xxpXE X

3.4 คาเฉลยของฟงกช นของตวแปรสมแบบไมตอเนอง

หากให X เปนตวแปรสมแบบไมตอเนอง และ Z เปนฟงกชนของ X ( XgZ ) เนองจาก

X เปนคาไมตอเนอง (Discrete) Z จงควรจะมคาอยในเซตทมจานวนสมาชกจากด )( kxg โดย

xk Sx ใหคาของ )(Xg อยในเซต ...} ,z ,{ 21z จะไดคาเฉลยหรอคาคาดหวงของ Z ดงน

)()()]([][ kXk

k xpxgXgEZE (3.5)

j j

jZjkXzxgx

jkk

Xk ZEzpzxpzxpxgjkk

][)()()(:

โดยความนาจะเปนของ jzZ คอ )( jZ zp

ให )(Xg และ )(Xh เปนฟงกชนของ X ให ba , และ c เปนจานวนจรง และให

cXhbXgaZ

58

จะได ] [][ cXb h XgaEZE

k

kXkk xpcxb hxa g

k

kXk

kXkk

kXk xpcxpxhbxpxga

cXhb EXga E (3.6)

จากสมการขางตนให 1 ba และ 0 c จะไดวา

)]([)]([)]()([ XhEXgEXhXgE (3.7)

ถาให 1 a และ 0 c b จะไดวา

XEaXaE ] [ (3.8)

ถาให 0 a และ 1 c b จะไดวา

cXEcXE ][ (3.9)

ถาให 0 ba และ 1c จะไดวา

ccE ][ (3.10)

ตวอยางท 3.8 ให X เปนระดบแรงดนไฟฟาของสญญาณรบกวน ซงมการแจกแจงแบบเอกรป (Uniform

Distribution) ในเซต 3} 1, 1,- -3,{ XS โดยม 4

1)( kpX เมอ k เปนสมาชกใดๆ ใน XS ใหหา

][ZE เมอ 2XZ

วธทา จาก j

jZj zpzZE )(][

2

1)3()3(3}] ,3{[)9( XXZ ppXPp

2

1)1()1(1}] ,1{[)1( XXZ ppXPp

ดงนน 5)2

1(9)

2

1(1][ ZE

59

3.5 ความแปรปรวนของตวแปรสมแบบไมตอเนอง (Variance of a Discrete Random

Variable) ในบางครงคาเฉลยหรอคาคาดหวงกไมไดใหขอมลทเพยงพอ เชน หากคาเฉลย 0][ XE แลว

อาจเปนไปไดวา X จะมคาเปนศนยทงหมด หรอ อาจมทงคาบวกและคาลบ จงทาใหคาเฉลยเปนศนย

ดงนนนอกจากจะสนใจคาเฉลยหรอคาคาดหวงของตวแปรสมแลว ยงสนใจวาคาของตวแปรสมคาอนๆ นน

มคาแตกตางจากคาคาดหวงมากหรอนอยเพยงใด นนคอสนใจวา ][XEX มคาเปนอยางไร

เนองจาก ][XEX มคาเปนไดทงบวกและลบ แตสนใจเฉพาะขนาดของความตางนเทานน

จงให 2])[()( XEXXD และใหนยามความแปรปรวน (Variance: 2X ) ของตวแปรสม X ดงน

])[(]))([(][VAR 222XX mXEXEXEX

1

22 )()()()(k

kXXkSx

XX xpmxxpmxX

1

2

11

2 2k

kXXk

kXkXk

kXk xpmxpxmxpx

1

2

11

2 2k

kXXk

kXkXk

kXk xpmxpxmxpx

1

22

kXkXk mxpx (3.11)

ความแปรปรวนเปนการแสดงการกระจายหรอความหลากหลายของการแจกแจง ความ

แปรปรวนของตวแปรสมแบบไมตอเนอง X เปนการวดการกระจายของคาทเปนไปไดทกคาของ X ความ

แปรปรวนของ X จะใชนาหนกคอ คาความนาจะเปน เปนตวคณใหกบคาความแตกตาง 2Xmx แต

ละคา

นอกจากนน จะนยาม สวนเบยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) ของตวแปรสม X ดงน

2

1

][VAR][STD XXX (3.12)

ซงจะเหนวาสวนเบยงเบนมาตรฐานกคอรากทสองของความแปรปรวนนนเอง

]2[])[(][VAR 222XxX mXmXEmXEX

22 ][2][ XX mXEmXE

2222 ])[(][][ XEXEmXE X (3.13)

60

][ 2XE คอโมเมนตลาดบทสองของ X และ ][ nXE คอโมเมนตลาดบท n ของ X ซงใน

หวขอตอไปจะเปนการอธบายเกยวกบโมเมนต

หากกาหนดให cXY แลว โดย c เปนคาคงทแลว จะไดวา

]])[[(][VAR 2cXEcXEcX XXEXE VAR2 (3.14)

]])[([]])[[(][VAR 222 XEXcEXcEcXEcX ][VAR2 Xc (3.15)

หากกาหนดให cX แลว จะไดวา

0]0[])[(][VAR 2 EcXEX (3.16)

ตวอยางท 3.9 ให X เปนจานวนหนาหวทเกดจากการโยนเหรยญหนงเหรยญสามครง จงหา ][VAR X

วธทา จากตวอยางท 3.6 ทราบวาคาเฉลยของ X หรอ ][XE เทากบ 1.5 จะได

3)8

3(3)

8

3(2)

8

3(1)

8

1(0][ 2222 XE

หาคาความแปรปรวนโดยใชสมการ (3.13)

75.05.13][][VAR 222 XmXEX

ตวอยางท 3.10 จากตวอยางท 3.7 ใหหาคาความแปรปรวนและสวนเบยงเบนมาตรฐานของจานวนบต

ผดพลาดทไดรบทอปกรณรบขอมลคราวละ 4 บต

วธทา จากตวอยางท 2.7 ได 4.0Xm หาคาความแปรปรวนของจานวนบตผดพลาดจากตารางตอไปน

x Xmx 2Xmx xpX xpmx XX2

0 -0.4 0.16 0.6561 0.104976

1 0.6 0.36 0.2916 0.104976

2 1.6 2.56 0.0486 0.124416

3 2.6 6.76 0.0036 0.024336

4 3.6 12.96 0.0001 0.001296

36.0)()(][VAR 2 XSx

XX xpmxX

6.0][VAR][STD 2

1

XXX

61

3.6 ฟงกช นมวลความนาจะเปนและคาคาดหวงของการแจกแจงแบบมเงอนไข

3.6.1 ฟงกช นมวลความนาจะเปนของการแจกแจงแบบมเงอนไข

ให X เปนตวแปรสมแบบไมตอเนองซงมฟงกชนมวลความนาจะเปนเทากบ )(xpX และให C

เปนเหตการณทมความนาจะเปนไมเปนศนย )0][( CP จะไดวาฟงกชนมวลความนาจะเปนแบบม

เงอนไขมนยามดงน

] [) ( CxXPCxp X (3.17)

เมอประยกตเขากบเรองความนาจะเปนแบบมเงอนไขแลว จะไดวา

][

) (CP

CxXPCxpX

(3.18)

เมอให B เปนสบเซตของ )( XX SBS จะได

Bx

X CxpCBXP ) (] in [ (3.19)

หากมเหตการณยอย n เหตการณทไมเกดรวมกน (Mutually Exclusive) คอ nBBB ..., , , 21 และ

SBBBB n ... 321

สามารถประยกตทฤษฎบทความนาจะเปนรวม (Theorem on Total Probability) และจะได

n

iiiXX BPBxpxp

1

][) ()( (3.20)

ตวอยางท 3.11 โรงงานผลตตวตานทานแหงหนง ผลตตวตานทานออกมาเปนจานวนมาก เมอสมตรวจ

พบวาความนาจะเปนในการสมไดตวตานทานทมอายการใชงาน “นาน” เทากบ และความนาจะเปนใน

การสมไดตวตานทานทมอายการ ใชงาน “สน” เทากบ 1 นอกจากนนอายการใชงานของตวตานทานท

มอายการใชงาน “นาน” จะมการแจกแจงแบบเรขาคณตดวยพารามเตอร s สวนอายการใชงานของตว

ตานทานทมอายการใชงาน “สน” กมการแจกแจงแบบเรขาคณต ดวยพารามเตอร r หากให X เปนอาย

การใชงานของตวตานทานใดๆ จงหาฟงกชนมวลความนาจะเปน (pmf) ของ X

วธทา ใหเหตการณ 1B เปนการสมไดตวตานทานทมอายการใชงาน “สน”, 1][ 1BP

ใหเหตการณ 2B เปนการสมไดตวตานทานทมอายการใชงาน “นาน”, ][ 2BP

62

เนองจากจะไดฟงกชนมวลความนาจะเปนของ X ดงน

,...2,1 ,)1()( 1

1 krrkp k

BX

,...2,1 ,)1()( 1

2 ksskp k

BX

และ ][)(][)()( 2211 BPBkpBPBkpkp XXX

,...2,1 ,)1()1()1( 11 kssrr kk

3.6.2 คาคาดหวงและความแปรปรวนของการแจกแจงแบบมเงอนไข

ให X เปนตวแปรสมแบบไมตอเนอง และใหเหตการณ B เปนเหตการณทรวามการเกดขน จะ

ไดคาคาดหวงแบบมเงอนไขของ X เมอเงอนไข คอ B เปนดงน

)()(][ BxpxBxxpBXEmk

kXkSx

XBXX

(3.21)

และความแปรปรวนแบบมเงอนไขของ X โดยเงอนไข คอ B เปนดงน

])[(][VAR 2 BmXEBX BX

)()(1

2 Bxpmxk

kXBXk

BXmBXE 22 ][ (3.22)

จะเหนวาความแปรปรวนแบบมเงอนไขจะเปนการวดเทยบกบ BXm ไมใช Xm

หากมเหตการณยอย n เหตการณทไมเกดรวมกน คอ nBBB ..., , , 21 และ

SBBB n ... 21

และหากให )( iX Bxp เปนฟงกชนมวลความนาจะเปนแบบมเงอนไข (Conditional pmf) ของ X เมอ

กาหนดเงอนไข คอ iB สามารถคานวณหาคาคาดหวง ][XE ไดจากคาคาดหวงแบบมเงอนไข

BXE | ดงน

n

iii BPBXEXE

1

(3.23)

และหากประยกตทฤษฎบทความนาจะเปนรวม จะได

63

k

kX xkpXE )(][

k

iik

n

iX BPBxpk }][)({

1

][})({1

iik

n

iX

k

BPBxpk

n

iii BPBXE

1

][][ (3.24)

ตวอยางท 3.12 จากตวอยางท 3.11 จงหาคาเฉลยและความแปรปรวนของ X โดยให X เปนอายการใช

งานของตวตานทานใด ๆ

วธทา จากสตรคาเฉลยและความแปรปรวนของการแจกแจงแบบเรขาคณต (ซงจะกลาวถงในหวขอตอไป)

จะได

rm BX

11

sm BX

12

212 1

][r

rBXE

222 1

][s

sBXE

จากการประยกตทฤษฎบทความนาจะเปนรวม จะไดคาเฉลยของ X คอ

srmmm BXBXX

)1(

)1(21

และจะไดความแปรปรวนของ X คอ

122

122 BXEBXEXE

22

111

s

s

r

r

2

2222 )1(111

VAR

srs

s

r

rmXEx x

3.7 การแจกแจงความนาจะเปนแบบไมตอเนองท สาคญ

หวขอนจะอธบายเกยวกบตวแปรสมแบบไมตอเนองทสาคญและมการประยกตใชในทาง

วศวกรรมไฟฟาอยางแพรหลาย รวมถงการแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสมเหลานน

64

3.7.1 การแจกแจงแบบเบอรนลล (Bernoulli Distribution)

ตวแปรสมแบบเบอรนลล AI จะมคาเทากบ 1 เมอเหตการณ A เกดขน และจะเทากบ 0 เมอ

เหตการณ A ไม เกดขน นนคอ }1,0{IS หากให pAP ][ และ qpAP c 1][ ตวแปรสมแบบ

เบอรนลลจะมฟงกชนมวลความนาจะเปนดงน

ppI 1)0( (3.25ก)

ppI )1( (3.25ข)

ตวอยางท 3.13 ในการทดลองแบบเบอรนลล ให A เปนการเกดขนของเหตการณทสนใจ เชน อปกรณบาง

ชนในระบบไมทางาน หรอการสมไดหลอดไฟเสยจากหลอดไฟทผลตครงละจานวนมาก หากเหตการณ A

เกดขนจะถอวาเกดความสาเรจ (Success) และจะทาใหตวแปรสมแบบเบอรนลล (Bernoulli Random

Variable) AI มคาเทากบ 1 หากเหตการณ A ไมเกดขน จะถอวาเกดความลมเหลว (Failure) และทาให

0AI นนคอ

0, if ζ not in A

1, if ζ in A AI

ใหหาฟงกชนมวลความนาจะเปนของ AI หากกาหนดใหความนาจะเปนในการเกดเหตการณ A ในแตละ

ครงของการทดลองเทากบ p

วธทา จะเหนวา }1 ,0{IS ดงนน

pAPp cI 1}] :[{)0(

pAPpI }] :[{)1(

ตวแปรสม AI มการแจกแจงแบบเบอรนลล และสงเกตวา 1 )1()0( II pp

ตวแปรสมแบบเบอรนลลจะมคาเฉลยหรอคาคาดหวงดงน

pppIE IIA )1(1)0(0][

pIEm AI ][ (3.26)

โดย p คอความนาจะเปนในการเกดความสาเรจ ในการทดลองแบบเบอรนลล

สาหรบความแปรปรวนของตวแปรสมแบบเบอรนลล หากให pq 1 และจะได

pppIE IIA )1(1)0(0][ 22

65

pqppppIEIEI AAAI )1(][][][VAR 2222 (3.27)

3.7.2 การแจกแจงแบบเอกรป (Uniform Distribution)

ให Y เปนตวแปรสมแบบเอกรป Y จะมคาอยในเซต },...,2,1{ LjjjSY โดยม

ความนาจะ เปนเทาๆ กนคอ

LkpY

1)( , },...,1{ Ljjk (3.28)

คาคาดหวงของ Y คอ

2

1][

LjYE (3.29)

ความแปรปรวนของ Y คอ

12

1][VAR

2

LY (3.30)

ตวอยางท 3.14 ให X เปนจานวนทเกดจากการสมจากเซต }1...,,2,1,0{ MSX โดยแตละสมาชก

ของ XS มความนาจะเปนในการถกสมพอๆ กน จงหาฟงกชนมวลความนาจะเปนของ X

วธทา เนองจากแตละสมาชกของ XS มความนาจะเปนในการถกสมไดพอๆ กน ดงน

1Xp k

M เมอใหk แทนสมาชกตวใดตวหนงในเซต XS

การแจกแจงแบบไมตอเนองทมความนาจะเปนเทาๆ กนในลกษณะนคอการแจกแจงแบบเอกรป

ตวอยางท 3.15 ให X เปนจานวนทเกดจากการสมจากเซต }1 ,2,... ,1 ,0{ MSX ดงตวอยางท 3.14

จงหา ][XE

วธทา จากตวอยางท 3.14 ได 1 ..., 1, 0, ,1

)( MjM

jpX

ดงนนจะไดคาเฉลยหรอคาคาดหวง ][XE

2

1

2

)1(1}1...210{

11][

1

0

MMM

MM

MMkXE

M

k

66

3.7.3 การแจกแจงแบบทวนาม (Binomial Distribution)

หากทาการทดลองสมทเปนอสระตอกน n ครง และให X เปนจานวนครงทเหตการณ A

เกดขน ดงนน nSX ,,1,0 หากใหความนาจะเปนในการเกดเหตการณ A ในการทดลองแตละครง

เทากบ p จะพบวา ความนาจะเปนของ X ซงเปนตวแปรสมแบบทวนาม จะขนอยกบ n และ p นนคอ

nkppk

nkpkXP knk

X ,...,1,0 ,)1()(][

(3.31)

คาคาดหวงของ X คอ

n

k

knkknkn

k

n

kX pp

knk

nkpp

k

nkkkpXE

10 0

)1()!(!

!)1()(][

n

k

knk ppknk

nnp

1

1 )1()!()!1(

)!1(

ให jnknjkkj 1 ,1 ,1 ดงนนจะได

1

0

1)1()!1(!

)!1(][

n

j

jnj ppjnj

nnpXE

ให 1 nm

m

j

jmj ppjmj

mnpXE

0

)1()!(!

!][

npppjmj

mnp

m

j

jmj

0

)1()!(!

! (3.32)

ซงจะเหนวา

m

j

jmj ppjmj

m

0

)1()!(!

! เปนการรวมความนาจะเปนแบบทวนามในปรภมตวอยาง

ทงหมดซงจะมคาผลรวมเทากบ 1 นนเอง

ความแปรปรวนของ X คอ

n

k

knkn

k

knk ppknk

nkpp

knk

nkXE

0 1

22 )1()!()!1(

!)1(

)!(!

!][

ให 1' kk จะได

'1'1

0'

2 )1('

1)1'(][ knk

n

k

ppk

nknpXE

67

'1'

1

0'

'1'1

0'

)1('

11)1(

'

1' knk

n

k

knkn

k

ppk

npp

k

nknp

)(}1)1{( qnpnppnnp (3.33)

)1()()(][][ 2222 pnpnpqnpqnpnpXEXEX (3.34)

รปท 3.7 ฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนแบบสะสมของการแจกแจงแบบทวนาม

(ทมา: By Tayste, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=3644961)

ตวอยางท 3.16 หาก X เปนจานวนหนาหวทเกดจากการโยนเหรยญหนงเหรยญสามครง ใหหาฟงกชน

มวลความนาจะเปนของ X โดยกาหนดใหความนาจะเปนในการเกดหวในการโยนแตละครงเทากบ p

วธทา จากตวอยาง ทผานมา

}3,2,1,0{XS

30 1TTT0 pPXPp

ppPPPXPp 21 13TTHTHTHTT1

22 13THHHTHHHT2 ppPPPXPp

33 HHH3 pPXPp

การแจกแจงแบบไมตอเนองในลกษณะน เรยกวาการแจกแจงแบบทวนาม

ตวอยางท 3.17 ระบบสอสารแบบไบนาร มความนาจะเปนในการเกดบตผดพลาด (Bit Error) ในการ

สอสารแตละครง เทากบ p หากมการสอสารทงหมด n ครงทเปนอสระตอกน ให X เปนจานวนครงท

เกดบตผดพลาดขน จงหาฟงกชนมวลความนาจะเปนของ X และจงหาความนาจะเปนทจะเกดบต

ผดพลาดนอยกวาหรอเทากบ 1 ครง

68

วธทา X จะมคาอยในเซต } ,... ,1 ,0{ nSX ความนาจะเปนในการเกดบตผดพลาดในการสอสารแตละ

ครงเทากบ p ดงนนความนาจะเปนทจะไมเกดบตผดพลาดจงเทากบ p1

ความนาจะเปนในการเกดบตผดพลาด k ครงในการสอสาร n ครง จะไดเทากบ

nkppk

nkXPkp knk

X ..., 1, 0, ,)1(][)(

จะเหนวา X มการแจกแจงแบบทวนามซงมพารามเตอร n และ p

ความนาจะเปนทจะเกดบตผดพลาดนอยกวาหรอเทากบ 1 ครง หาไดจาก

11100 )1()1()1(1

)1(0

]1[

nnnn pnpppp

npp

nXP

ตวอยางท 3.18 ระบบๆ หนงมไมโครโพรเซสเซอร 3 ตว และระบบนจะยงสามารถทางานไดหากวามไมโคร

โพรเซสเซอร เพยงหนงตวยงคงทางานอย หากความนาจะเปนทไมโครโพรเซสเซอรแตละตวยงคงทางานได

หลงจาก t วนาท คอ tep ใหหาความนาจะเปนทระบบยงสามารถทางานไดหลงจาก t วนาท

วธทา ให X เปนจานวนไมโครโพรเซสเซอรทยงคงทางานไดหลงจาก t วนาท ซง X จะเปนตวแปรสม

แบบทวนาม โดยม พารามเตอร tep และ 3n ดงนน 3)1(1]0[1]1[ teXPXP

3.7.4 การแจกแจงแบบเรขาคณต (Geometric Distribution)

หากทาการทดลองสมแบบเบอรนลลทเปนอสระตอกนไปเรอยๆ จนกวาจะเกดความสาเรจขน

และบนทกจานวนครงของการทดลอง หากการทดลองเกดความสาเรจขนในครงท M นนคอการทดลอง

1M ครงกอนหนานนเกดความลมเหลว จะเหนวา M คอ ตวแปรสมแบบเรขาคณตและจะมคาอยใน

เซต ,...}2,1{ จะไดฟงกชนมวล ความนาจะเปนของ M คอ

,...2,1 ,)1()(][ 1 kppkpkMP kM (3.35)

โดย ][APp คอความนาจะเปนในการเกดความสาเรจในแตละครงของการทดลองแบบเบอรนลล

ความนาจะเปนทจะเกดความสาเรจขนอยางแนนอน (อยางนอยหนงครง) หากทาการทดลองสม k ครง

คอ kMP จะหาไดโดยให 1' jj จะได

k

j

k

j

kk

jj qq

qpqppqkMP

1

1

0'

'1 11

1][ (3.36)

69

คาคาดหวงของ M คอ

pMEmM

1][ (3.37)

ความแปรปรวนของ M คอ

2

1][VAR

p

pM

(3.38)

คณสมบตการไมมความจา (Memoryless Property)

],[][ kMPjMjkMP 1, kj (3.39)

หมายความวา หากไมเกดสาเรจขนภายใน j ครงแรกแลวความนาจะเปนทจะตองทดลองตอไป

มากกวาkครง จะเทากบความนาจะเปนทจะตองทดลองตงแตเรมแรกไปมากกวา k ครง นนคอเงอนไขท

ไดมการทดลองมาแลว j ครง จะไมมผลใดๆ กบความนาจะเปน

รปท 3.8 ฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนแบบสะสมของการแจกแจงแบบเรขาคณต

(ทมา: By Skbkekas, CC BY 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=9578519)

ตวอยางท 3.19 ให X เปนจานวนครงในการสงขอมลผานระบบเครอขายขอมล หากเกดสญญาณรบกวน

ในระบบเครอขาย จะทาใหปลายทางไดรบขอมลไมถกตอง และจะตองทาการสงขอมลซาไปจนกวาขอมล

จะถกสงไปยงปลายทางอยางถกตอง ใหหาฟงกชนมวลความนาจะเปนของ X และความนาจะเปนท X

จะเปนเลขค โดยกาหนดใหความนาจะเปนในการสงขอมลสาเรจในแตละครงเทากบ p

วธทา จะเหนวา X เปนตวแปรสมแบบไมตอเนอง โดยม }... ,3 ,2 ,1 {XS และหากสงขอมลสาเรจในครง

ท ) ( kXk แลวจะหมายความวา การสงขอมล 1 - k ครงกอนหนานนลมเหลว ดงนนจะได

70

pqkpqppkXPkp kkX -1 ,... 2, 1, , )1(][)( 11

ในกรณเชนน X จะมการแจกแจงแบบเรขาคณต ความนาจะเปนท X จะเปนเลขค หาไดจาก

q

qq

q

p

qqpqpkpXP

k k

kkk

kkX

11)

1()2( even] is [

0 0

21212

11

เนองจากอนกรมเรขาคณต 1,1

1

0

rr

rk

k (3.20)

ตวอยางท 3.20 ให X เปนจานวนไบต (Byte) ของขอมลทจะสง โดย X มการแจกแจงแบบเรขาคณต

(Geometric Distribution) โดยมพารามเตอร p จงหาคาเฉลยของ X

วธทา คาของ X จะเปนสมาชกใดๆ ในเซต }... 2, ,1{XS ซงมจานวนสมาชกเปนอนนต

คาเฉลยของ X คอ

1 1

11][k k

kk kqpkpqXE (3.21)

จากอนกรมเรขาคณตในสมการ (3.20) ทราบวา

01

1

k

krr

(3.22)

หาอนพนธของทงสองขางของสมการ จะได

1

1

0

12)1(

1

k

k

k

k krkrr

(3.23)

ให qr แลว นาไปแทนในสมการ (3.21) โดย 0p จะได

pqpXE

1

)1(

1][

2

(3.24)

ตวอยางท 3.21 จงหาความแปรปรวนของตวแปรสมแบบเรขาคณตในตวอยางท 3.20

วธทา จากอนกรมเรขาคณต

01

1

k

kxx

หาอนพนธอนดบทหนงจะได

0

12)1(

1

k

kkxx

หาอนพนธอนดบทสองจะได

0

23

)1()1(

2

k

kxkkx

(3.25)

ให qx และคณทงสองขางของสมการท (2.27) ดวย pq จะได

71

0

23

)1()1(

2

k

kqkkpqq

pq

0

1)1(k

kpqkk

0

1

0

12

k

k

k

k kpqpqk

][][ 2 XEXE

2232 112

][)1(

2][

p

q

pp

qXE

q

pqXE

22222 11

][][][VARp

q

pp

qXEXEX

3.7.5 การแจกแจงแบบปวซง (Poisson Distribution)

บอยครงทใหความสนใจกบจานวนครงของการเกดเหตการณหนงๆ ภายในชวงเวลาททาการ

สงเกต เชน จานวนสายเรยกเขามายงชมสายโทรศพทภายในเวลา 17:00 น. ถง 22:00 น. หรอ จานวนแพค

เกจขอมลทมาถงยงมลตเพลกเซอรในเวลา 1 วนาท ในลกษณะนจะใชตวแปรสมแบบปวซงแทนจานวนครง

ของการเกดเหตการณ ตวแปรสมแบบปวซงมฟงกชนมวลความนาจะเปนดงน

,!

)(][ ek

kpkNPk

N ,...2,1,0k (3.26)

โดย เปนคาเฉลยของจานวนครงของการเกดเหตการณภายในชวงเวลาททาการสงเกต

นอกจากนน

1!! 00

ee

kee

k k

k

k

k

คาเฉลยหรอคาคาดหวงของตวแปรสมแบบปวซงคอ

][NE (3.27)

ความแปรปรวนของตวแปรสมแบบปวซงคอ

][VAR2 NN (3.28)

72

รปท 3.9 ฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนแบบสะสมของการแจกแจงแบบปวซง

(ทมา: By Skbkekas, CC BY 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=9447156)

การประมาณคาตวแปรสมแบบทวนามดวยตวแปรสมแบบปวซง

กรณทมตวแปรสมแบบทวนามทมพารามเตอร p เปนคานอยๆ และพารามเตอร n ทมคามากๆ

จะได

,!

)1(

e

kpp

k

np

kknk

k ,...1,0k (3.29)

นนคอ สามารถใชตวแปรสมแบบปวซงประมาณคาตวแปรสมแบบทวนามได ในกรณท n ทมคามาก และ

p มคานอย โดยจะใช np

ตวอยางท 3.22 ระบบสอสารใยแกวนาแสงสงขอมลดวยอตราเรว 109 บตตอวนาท และความนาจะเปนใน

การเกดบตผดพลาดเทากบ 10-9 จงหาความนาจะเปนในการเกดบตผดพลาดมากกวาหรอเทากบ 5 บต

ภายใน 1 วนาท

วธทา ในการสงขอมลแตละบตจะถอเปนการทดลองแบบเบอรนลล ซงภายใน 1 วนาท จะมการสงขอมล

109 บต ดงนน n = 109 และจากโจทย จะได p = 10-9 จะเหนวาจานวนบตผดพลาดมการกระจาย

แบบทวนาม แตในกรณน n มคามากและ p มคานอยมาก ดงนนจงสามารถใชตวแปรสมแบบปวซง

ในการประมาณคาได โดย np และจะไดวา

4

0 !1]5[1]5[

k

k

ek

NPNP

00366.0)!4

1

!3

1

!2

1

!1

11(1 1 e

73

ตวอยางท 3.23 จานวนสายเรยกเขามายงชมสายโทรศพท เปนตวแปรสมแบบปวซง โดยม at โดย

a คออตราของจานวนสายเรยกเขา มหนวยเปน จานวนสายตอวนาท สมมตวาทราบวาอตราของจานวน

สายเรยกเขาเทากบ 4 สายตอนาท จงหาความนาจะเปนทจะมสายเรยกเขามากกวา 4 สายในเวลา 10

วนาท และความนาจะเปนทจะมสายเรยกเขานอยกวาหรอเทากบ 5 สายภายในเวลา 2 นาท

วธทา จากโจทย จะได 4a สาย/60 วนาท 15

1 สาย/วนาท

คาถามแรกสนใจชวงเวลา 10 วนาท ดงนน 15

10 สาย

4

0

43

2

1033.6!

3

2

1]4[1]4[k

k

ek

NPNP

คาถามทสองสนใจชวงเวลา 2 นาท ดงนน 812015

1 สาย

5

0

8 10.0!

)8(]5[

k

k

ek

NP

3.7.6 การแจกแจงแบบไฮเปอรจโอเมตรก (Hypergeometric Distribution)

ในการทดลองสมหยบสงของ n สงจากสงของทงหมด N สงโดยไมใสกลบลงไปและสนใจ

ลาดบ จะเหนไดวาการทดลองหยบแตละครงนนไมเปนอสระตอกน ซงแตกตางกบการแจกแจงแบบทวนาม

ทการทดลองแตละครงจะเปนอสระตอกน

นยามของตวแปรสมแบบไฮเปอรจโอเมตรก

หากมเซตของวตถ N ชน ในจานวนนนม K ชนทจดเปน “สาเรจ” และม KN ชนทจดเปน

“ลมเหลว” หากทาการทดลองสมวตถมา n ชนโดยไมใสกลบลงไป โดยท NK และ Nn แลว ให

X เปนตวแปรสมแบบไมตอเนองทแทนจานวนครงทสมไดวตถ "สาเรจ" แลว X จะจดเปนตวแปรสมแบบ

ไฮเปอรจโอเมตรก (Hypergeometric Random Variable) โดย X จะมฟงกชนมวลความนาจะเปนดงน

n

N

xn

KN

x

K

xpX

(3.30)

โดย x สามารถมคาไดตงแต 0 ถง },min{ nK

74

หากให X เปนตวแปรสมแบบไฮเปอรจโอเมตรก ทมพารามเตอร N , K และ n แลว จะได

npXEmX (3.31)

และ

1

12

N

nNpnpXVARX (3.32)

โดย N

Kp นนคอ p แสดงถงสดสวนการเกด “สาเรจ” จากเซตของวตถ N ชน

ตวอยางท 3.24 บรษทสงผลตแผนเวเฟอรจากโรงงานทหนงมา 100 ชน และสงผลตเวเฟอรจากโรงงานท 2

มา 200 ชน หากสมแผนเวเฟอรมา 4 ชนโดยไมใสกลบลงไป จงหาความนาจะเปนททง 4 ชนจะมาจาก

โรงงานท 1 และความนาจะเปนทมอยางนอย 1 ชนทมาจากโรงงานท 1

วธทา ให X เปนตวแปรสมทแทนจานวนแผนเวเฟอรทสมไดและผลตจากโรงงานท 1

0119.0

4

300

0

200

4

100

44

XPXP

ดงนนความนาจะเปนทแผนเวเฟอรทสมไดทง 4 ชนจะมาจากโรงงานท 1 จะเทากบ 0.0119

804.0

4

300

4

200

0

100

1011

XPXP

ดงนนความนาจะเปนทในจานวนแผนเวเฟอรทสมมา 4 ชน จะมาจากโรงงานท 1 อยางนอย 1 ชน

จะเทากบ 0.804 หรอ 80.4%

ตวอยางท 3.25 จากตวอยางท 3.24 จงคานวณหาคาคาดหวงและความแปรปรวนของ X

วธทา จากตวอยางท 3.24 จะไดความนาจะเปนทแผนเวเฟอรจะมาจากโรงงานท 1 เทากบ 3

1

300

100p

ดงนน

33.13

14

XE

88.01300

4300

3

2

3

14

XVAR

75

หนงสออานเพ มเตม

1. Montgomery D. C. & Runger G. C., Applied Statistics and Probability for Engineers, 6th Ed.,

John Wiley & Sons, 2014.

2. Leon-Garcia, A., Probability, Statistics, and Random Process for Electrical Engineering, 3rd

Ed., Prentice Hall, 2009.

3. Montgomery D. C. & Runger G. C., Applied Statistics and Probability for Engineers, 3rd Ed.,

John Wiley & Sons, 2003.

4. Devore J. L., Probability and Statistics for Engineering and the Sciences, 6th Ed., Thomson

Brooks/Cole, 2004.

5. ธระพร วระถาวร, ความนาจะเปนเบองตน : ทฤษฎและการประยกตใช, สานกพมพแหงจฬาลงกรณ

มหาวทยาลย, 2542.

76

แบบฝกหดทายบทท 3

1. ใหนกศกษาสองคนโยนเหรยญคนละเหรยญ 2 ครง ให X เปนจานวนหวทมากทสดทเกดขนจากการ

โยนเหรยญของนกศกษาแตละคน จงคานวณหา ][VAR X

2. โยนลกเตา 2 ลก และให X เปนผลตางของจานวนแตมทลกเตาแตละลกขน จงคานวณหาคาคาดหวง

และความแปรปรวนของ X

3. โถบรรจธนบตรใบละหนงรอยบาท 9 ใบ และใบละหารอยบาท 1 ใบ ใหตวแปรสม X เปนจานวนเงนท

ไดจากการสมหยบธนบตร 2 ใบจากโถโดยไมใสกลบลงไป

3.1 จงหาฟงกชนมวลความนาจะเปนแบบมเงอนไขของ X เมอกาหนดใหธนบตรใบแรกทสมหยบได

เปนธนบตรใบละหนงรอยบาท

3.2 จากขอ 3.1 จงหาคาคาดหวงแบบมเงอนไข

4. ให M เปนตวแปรสมแบบเรขาคณต จงแสดงวา M มคณสมบตการไมมความจา นนคอ

][]1[ kMPjMjkMP สาหรบทกคา 1, kj

5. จงเปรยบเทยบเทยบความนาจะเปนของตวแปรสมแบบทวนาม และความนาจะเปนทไดจากการ

ประมาณคาตวแปรสมแบบทวนามดวยตวแปรสมแบบปวซง โดย

5.1 ,3,2,1,0k ,10n 1.0p

5.2 ,3,2,1,0k ,20n 05.0p

5.3 ,3,2,1,0k ,100n 01.0p

6. ชองสญญาณสอสารแบบไบนารมความนาจะเปนในการเกดบตผดพลาด (Bit Error) เทากบ p หากให

การสงสญญาณแตละครงสง 10,000 บต และให N เปนจานวนบตผดพลาดทเกดขนแตละครง หาก

ความนาจะเปนในการเกดบตผดพลาดอยางนอย 1 บตในการสงแตละครงเทากบ 0.99 จงหาคา p

บทท่ี 3...

Documents