space curve เส้นโค้งปริภูมิpws.npru.ac.th/anone/data/files/week...
Post on 11-Dec-2020
0 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Space Curveเสนโคงปรภม
By ARNON ISARAMONGKOLRAK
ELECTRICAL ENGINEERING DEPARTMENT
NAKHONPATHOM RAJABHAT UNIVERSITY
Contents
ฟงกชนทเปนสวนประกอบของเวกเตอร
เสนโคงของฟงกชนเวกเตอร
อนพนธของฟงกชนเวกเตอร
อนทกรลของฟงกชนเวกเตอร
ความยาวสวนโคง
เสนโคงเรยบ
ความโคง และรศมความโคง
ฟงกชนทเปนสวนประกอบของเวกเตอร
function components of vector
ฟงกชนทเปนสวนประกอบของเวกเตอร
ก าหนดให เปนฟงกชน และ เปนตวแปรอสระ ดงนนส าหรบแตละคาของ ในโดเมนของ
จะมเวกเตอรเพยงเวกเตอรเดยวในปรภมสามมตทสมนยกบ เขยนแทนดวย
r t t r
t r t
t
x
y
z
r tr
ฟงกชนทเปนสวนประกอบของเวกเตอร
ถาให และ เปนสวนประกอบของ แลว และ เปน
ฟงกชนคาจรง เรยกฟงกชนคาจรงท งสามนวา “ฟงกชนสวนประกอบของเวกเตอร” เขยนแทน
ดวย
,f t g t h t r t ,f t g t h t
, ,r t f t g t h t r t f t i g t j h t k
เปนฟงกชน เปนฟงกชน เปนฟงกชนเปนฟงกชน
เปนฟงกชน
เปนฟงกชน
Example 1 ถา แลวจงหาฟงกชนสวนประกอบของ
Solution
3 , log 3 ,r t t t t r t
ฟงกชนสวนประกอบของ คอ r t
3 , log 3 ,r t t t t
3 , ( )f t t t
log 3 , (3 0)g t t t
, ( 0)h t t t
โดเมนของ เปนเซตของคา ซง นยาม จะเหนวา โดเมนของ คอชวง r t t r t r t [3,0)
บทนยาม 2.1
ถา แลว , ,r t f t g t h t lim lim ,lim , limt a t a t a t a
r t f t g t h t
เมอฟงกชนสวนประกอบท งสามมลมตเมอ t a
***ลมตของฟงกชนคาเวกเตอรมคณสมบตทเปนไปตามกฏเกณฑของลมตของฟงกชนคาจรง
Example 2 จงหา เมอ
Solution
0
limt
r t
3
sin1 t
tr t t i te j k
t
3
sin1 t
tr t t i te j k
t
Take limit ทงสองขางของสมการจะได
3
0 0 0 0
sinlim lim 1 lim limt
t t t t
tr t t i te j k
t
0
lim 1 0 1t
r t i j k
0
limt
r t i k
Answer
เสนโคงของฟงกชนเวกเตอร
curve of vector functions
บทนยาม 2.2
ฟงกชนเวกเตอร มความตอเนองท ถา r a limt a
r t r a
ถา เปนฟงกชนคาจรงและตางกมความตอเนองบนชวง และเซต บนจด ท งหมดใน
ปรภมซงตามสมการ
, ,f g h I C , ,x y z
, ,x f t y g t z h t
คาของ แปรเปลยนไปตลอดบนชวง เรยกวา “เสนโคงปรภม (Space curve)”t I
และสมการ เรยกวา “สมการพาราเมตรกซ(parametric)” ของ , ,x f t y g t z h t C
เรยกวา “พารามเตอร(parameter)”t
บทนยาม 2.2
ถาใหฟงกชนคาเวกเตอร แลว เปนเวกเตอรบอกต าแหนงของจด
บนเซต C
C เปรยบเสมอนแนวทางการเคลอนทของอนภาค ณ เวลา อนภาคอย ณ จด บนเซต t , ,P f t g t h t C
, ,r t f t g t h t r t
, ,P f t g t h t
x
y
z
r t
, ,P f t g t h t
C
Example 3 จงบรรยายลกษณะเสนโคงซงนยามดวยฟงกชนคาเวกเตอรดงน
Solution
Answer
1 2 5 1 6r t t i t j t k
สมการพาราเมตรกซทสมนยคอ 1 , 2 5 , 1 6x t y t z t
หรอเขยนฟงกชน ใหอยในรป r t 0r t r tv 0 1,2, 1r
1,5,6v
x
y
z
r t
Cv
0r 1,2, 1P
ซงกคอสมการเชงเสนของเสนตรง
Example 4 จงบรรยายลกษณะเสนโคงซงนยามดวยฟงกชนคาเวกเตอรดงน
Solution สมการพาราเมตรกซทสมนยคอ
เพราะวาจากคณสมบตของฟงกชนตรโกณมต
ดงนนเสนโคงตองต งอยบนผวทรงกระบอก (Ellipse)
2cos sinr t t i t j tk
2cos , sin ,x t y t z t
22 2 2cos sin 1
2
xy t t
2
2 12
xy
เนองจาก z t
ดงนนลกษณะเสนโคงจะเปนเกลยววนรอบผวทรงกระบอกตามคาของ ตามแกน z t z
จะเรยกเสนโคงในลกษณะนวา เสนโคง ฮลกซ (Helix)หรอเสนเกลยว
Example 4 จงบรรยายลกษณะเสนโคงซงนยามดวยฟงกชนคาเวกเตอรดงน
แทนคา
2cos sinr t t i t j tk
x
y
z
0,1,2
2,0,0
r t2
r
0t จะไดเวกเตอร 0 2 0 0r i j k
แทนคา 2
t
จะไดเวกเตอร 0 12 2
r i j k
อนพนธของฟงกชนเวกเตอร
differential of vector functions
บทนยาม 2.3
อนพนธของฟงกชนเวกเตอร เขยนแทนดวย หรอ ซงมนยามดงน r tdr
dt 'r t
'
0limk
r t k r tdrr t
dt k
เมอลมตนหาคาได ความสมพนธเชงเรขาคณตของบทนยามนจะเปนดงภาพ
x
z
y
PQ
C
r t k
r t
r t k r t
x
z
y
PQ
C
r t k
r t
'r t
อนพนธของฟงกชนเวกเตอร
และ เปนเวกเตอรบอกต าแหนงของจด และ ตามล าดบดงนน
x
z
y
PQ
C
r t k
r t
r t k r t
x
z
y
PQ
C
r t k
r t
'r t
r t 1r t P Q
PQ r t k r t
เวกเตอร ขนานกบ เมอ ท าให 1
r t k r tk
r t k r t 0k
1
r t k r tk
เขาใกลเวกเตอรซงอยบนแนวของเสนสมผสทจดP
เรยกเวกเตอร วา “เวกเตอรสมผส (tangent vector)” กบเสนโคง 'r t C
เมอลมตหาคาได และ ไมเปนเวกเตอรศนยแลว 'r t
'
'
r tT t
r t เวกเตอรสมผสหนงหนวย
Example 5 จงหาอนพนธของ
และหาเวกเตอรสมผสหนงหนวยเมอ
Solution หาอนพนธของเวกเตอร
31 sin 2tr t t i te j t k
0t
31 sin 2tr t t i te j t k
จะได ' 23 1 2cos 2tr t t i t e j t k
เมอ แทนคาจะได และ 0t 0 1 0 0r i j k ' 0 0 1 2r i j k
ดงนนเวกเตอรสมผสหนงหนวยทจด คอ 1,0,0
'
'
0 2 1 20
0 1 4 5 5
r j kT j k
r
Answer
Example 6 จงหา และเขยนแผนภาพแสดง และ เมอ
Solution หาอนพนธของเวกเตอร
จะได
แทนคา จะได
'r t 1r ' 1r
2r t ti t j
2r t ti t j
' 1
2r t i j
t
1t ' 11
2 1r i j ' 1
12
r i j
สมการพาราเมตรกซของเสนโคงทก าหนดมาใหในระนาบคอ
, 2 , 0x t y t z 22 , 0y x x
Example 6 จงหา และเขยนแผนภาพแสดง และ เมอ 'r t 1r ' 1r
2r t ti t j
และแสดง ดวยลกศรทม
จดเรมตนท และจดสนสดท
22y x
y
x
1r ' 1r
3,0,0
2
1,1,0
1r i j
' 1r
1,1,03
,0,02
Answer
Example 7 จงแสดงวาถา (คาคงท) แลว ต งฉากกบ ส าหรบแตละคาของ ในโดเมนของ
Solution พสจน เพราะวา
r t c 'r t r t
t r
2 2r t r t r t c
ดงนน 2d dc r t r t
dt dt
' '0 r t r t r t r t
'2 0r t r t
นนคอ ต งฉากกบ 'r t r t Answer
***ถาเสนโคง อยบนพนผวทรงกลมแลวเวกเตอรสมผส ยอมตงฉากกบเวกเตอรบอกต าแหนง เสมอC 'r t r t
x
y
z
0C
'r t
r t
อนทกรลจ ากดเขตของฟงกชนเวกเตอร
Limit Integral of vector functions
อนทกรลจ ากดเขตของฟงกชนเวกเตอร
สามารถเขยนอนทกรลของ ในรปของอนทกรลสวนประกอบ ดงน r , ,f g h
b b b b
a a a a
r t dt f t dt i g t dt j h t dt k
จากทฤษฎบทหลกมลแคลคลสส าหรบฟงกชนคาเวกเตอรแบบตอเนองคอ
b
b
aa
r t dt R t R b R a
เมอ เปนปฏยานพนธของ นนคอ ใชสญลกษณ R r 'R t r t r t dt
Example 8 ถา แลวจงหาอนทกรลจ ากดเขต
ของ
Answer
2cos sin 2r t t i t j tk
r t dt
Solution 2cos sin 2r t dt t dt i t dt j tdt k
22sin cosr t dt t i t j t k C เมอ คอ เวกเตอรคงทใดๆ C
2
2 2
00
2sin cosr t dt t i t j t k
22
0
24
r t dt i k j
22
0
24
r t dt i j k
ความยาวสวนโคง
curve length
ความยาวสวนโคง
ในกรณของเสนโคง ในระนาบซงมสมการพาราเมตรก และ ส าหรบ C
ความยาวสวนโคง มนยามเปนลมตของโพลกอน (Polygon)และค านวณไดดงน
x f t y g t a t b
C
2 2
2 2' '
b b
a a
dx dyL f t g t dt dt
dt dt
เมอ และ เปนฟงกชนตอเนอง 'f t 'g t
y
x0a b
C
ความยาวสวนโคง
การหาความยาวสวนโคงในปรภมสามมตกใชวธการเดยวกน กลาวคอ นยามในรปลมตของรปหลายเหลยมหรอ
โพลกอน ก าหนดใหสมการแบบเวกเตอรของเสนโคง ในปรภมคอ C
, ,r t f t g t h t
' ' ' ', ,r t f t g t h tดงนน ส าหรบ a t b
เขยนในรปสมการพาราเมตรกไดดงน x f t y g t z h t
โดยท เปนฟงกชนตอเนอง 'f t 'g t 'h t
ความยาวสวนโคง
สามารถค านวณความยาวสวนโคง เมอ มคาเพมขนจาก ไป C t a b
2 2 2
' ' '
b
a
L f t g t h t dt
2 2 2b
a
dx dy dzL dt
dt dt dt
'
b
a
L r t dt
x
y
z
0
C 'r t
r t
Example 9 จงหาความยาวสวนโคงฮลกซวงกลมซงมสมการแบบเวกเตอรดงน
จากจด ไปยงจด
Solution เพราะวา
cos sinr t t i t j tk 1,0,0 1,0,2
' sin cosr t t i t j k
จะได 2 2' 2sin cos 1r t t t ' 2r t
สวนของเสนโคงจากจด ไปยงจด สมนยกบคาของ จาก ถง 1,0,0 1,0,2 t 0 2
'
b
a
L r t dt 2
0
2 2 2L dt
แทนคาจะได
x
y
z
1,0,2
1,0,0
Answer
เสนโคงเรยบ
บทนยามท 2.4 กลาววา เสนโคง ก าหนดโดยฟงกชนคาเวกเตอร บนชวง เปนเสนโคงเรยบถา C 'r t
I
1. มความตอเนอง 'r t
2. ส าหรบแตละ ทเปนจดภายใน ' 0r t
I
t
Example 10 สมการแบบเวกเตอรของเสนโคง ในระนาบคอ
Solution เนองจาก
ดงนน
จะไดวา จดบนเสนโคงทสมนยกบ คอ ซงมลกษณะหกเปนมมแหลมวกกลบ(Cusp)กลาวไดวา
Answer
C 3 21 ,r t t t
' 23 ,2r t t t
' 0 0,0r
0t 1,0
เสนโคง ขาดความเรยบทจดน หรอ C 3: 1 ,C r t t t 2
3: 1C y x y
x0
1,0
C
ความโคง
curvature
ความโคง
การวดความโคงของเสนโคงจะวดจากอตราการเปลยนแปลงของเสนโคงออกจากเสนสมผส
คาความโคงจะใชสญลกษณ (Kappa)
drT
ds
y
x0
0P
P
T
T
T
T
s
นยาม
ถา เปนเวกเตอรหนงหนวยทสมผสกบเสนโคงราบเรยบ ความโคงของเสนโคงจะเทากบT
dT
ds
ถา มคามาก หมายความวา ทจด นนมความโคงมากdT
dsP
ถา มคาเปนศนย หมายความวา ทจด นนมความโคงเปนศนยdT
dsP
y
x0
0P
P
T
T
T
T
s
ความโคง
ส าหรบเสนโคง เราสามารถหาความโคงไดดงน r t
dT dT dt
ds dt ds
1 dT
ds dt
dt
1 dT
v dt
ถา เปนเสนโคงราบเรยบแลว ความโคงหาไดจาก r t
1 dT
v dt
vT
vเมอ คอเวกเตอรสมผสขนาดหนงหนวย
Example 11 จงแสดงวาวงกลม มความโคงเปน
Solution เสนโคงทเปนวงกลมรศม คอ
Answer
a1
a
a cos sinr t a t i a t j
' sin cosr t v a t i a t j ดงนน
2 2' sin cosr t v a t a t ' 2r t v a a a
sin cosv
T t i t jv
จะไดวา
cos sindT
t i t jdt
2 2cos sin 1dT
t tdt
1 1 1
1dT
v dt a a ดงนนคาความโคงจะเปน
ความโคง
พจารณาเสนโคง คาอนพนธ จะต งฉากกบเวกเตอร ถาหากหาร ดวย T
จะไดเวกเตอรหนงหนวย ทต งฉากกบ โดยท น เรยกวา “เวกเตอรปกตหนงหนวย”N
dT
dsT
dT
ds
T N
0P
s
1PT
1 dTN
ds
2P
T
1 dTN
ds
นยาม
ในจดท ไมเปนศนย เวกเตอรปกตหนงหนวยของเสนโคงหาไดจาก
ถาหากมเสนโคง ใดๆ สามารถใชกฏลกโซหาเวกเตอร ดงน N
1 dTN
ds
r t
dT
dsNdT
ds
dT dt
dt dsNdT dt
dt ds
กฏลกโซ dT
dtNdT
dt
เวกเตอรปกตหนงหนวยของเสนโคง
ถา เปนเสนโคงราบเรยบ เวกเตอรปกตหนงหนวยหาไดจาก r tdT
dtNdT
dt
เมอ เปนเวกเตอรสมผสหนงหนวย v
Tv
Example 12 จงหา และ จากการเคลอนทในแนววงกลม
Solutionข นตอนแรกหา จาก
T N
และจาก
cos2 sin 2r t t i t j
T ' 2sin 2 2cos2r t v t i t j
vT
v
แทนคาจะได 2sin 2 2cos 2
2
t i t jT
sin 2 cos2T t i t j
ข นตอนทสองหา จาก 2cos 2 2sin 2dT
t i t jdt
N
2 24cos 2 4sin 2 2dT
t tdt
Example 12 จงหา และ จากการเคลอนทในแนววงกลม T N
และจาก
cos2 sin 2r t t i t j
dT
dtNdT
dt
แทนคาจะได 2cos 2 2sin 2
2
t i t jN
cos2 sin 2N t i t j
จะพบวา นนหมายความวา ต งฉากกบ 0T N T N Answer
รศมความโคง
Radius of curvature
รศมความโคง
รศมความโคงของสวนโคงมสญลกษณเปน ค านวณไดจาก
1
TN
Center of
curvature
Radius of
curvature
,P x y
Curve
Circle of curvature
วงกลมทสมผสกบเสนโคงทจด ถาหากรศมของวงกลมเทากบรศม
ความโคง ณ จดนนเรยกวงกลมนนวา “circle of curvature” หรอ
“Osculating Circle”
P
Example 13 จงหา Osculating Circle ของกราฟพาราโบลา
ทจดก าเนด
Solution เสนทางของกราฟพาราโบลาคอ
2y x
2r t ti t j
หาความโคงของกราฟพาราโบลาทจดก าเนดโดย ' 2r t v i tj ' 21 4r t v t
ดงนน 1 1
2 22 21 4 2 1 4v
T t i t t jv
ค านวณหาคา จะได dT
dt
3 1 12 2 2 22 2 24 1 4 2 1 4 8 1 4
dTt t i t t t j
dt
ทจดเรมตน จะไดความโคงเปน0t
1
0 00
dT
dtv
Example 13 จงหา Osculating Circle ของกราฟพาราโบลา
ทจดก าเนด2y x
1
0 0 21
i j Solution
2 20 1 0 2 2
รศมความโคงคอ และวงกลมมจดศนยกลางอยท 1 1
2
1
0,2
ดงนนจะได Osculating circle คอ 2 2 2x h y k r
แทนคาจะได 2 2
2 1 10
2 2x y
Example 13 จงหา Osculating Circle ของกราฟพาราโบลา
ทจดก าเนด2y x
1
0 0 21
i j Solution
2 20 1 0 2 2
รศมความโคงคอ และวงกลมมจดศนยกลางอยท 1 1
2
1
0,2
ดงนนจะได Osculating circle คอ 2 2 2x h y k r
แทนคาจะได 2 2
2 1 10
2 2x y
2
2 1 1
2 4x y
หรอ
Example 13 จงหา Osculating Circle ของกราฟพาราโบลา
ทจดก าเนด2y x
Solution
x
y
1
2
0 1
2y x
Answer
The End
top related