Space Curveเสนโคงปรภม

By ARNON ISARAMONGKOLRAK

ELECTRICAL ENGINEERING DEPARTMENT

NAKHONPATHOM RAJABHAT UNIVERSITY

Contents

ฟงกชนทเปนสวนประกอบของเวกเตอร

เสนโคงของฟงกชนเวกเตอร

อนพนธของฟงกชนเวกเตอร

อนทกรลของฟงกชนเวกเตอร

ความยาวสวนโคง

เสนโคงเรยบ

ความโคง และรศมความโคง

ฟงกชนทเปนสวนประกอบของเวกเตอร

function components of vector

ฟงกชนทเปนสวนประกอบของเวกเตอร

ก าหนดให เปนฟงกชน และ เปนตวแปรอสระ ดงนนส าหรบแตละคาของ ในโดเมนของ

จะมเวกเตอรเพยงเวกเตอรเดยวในปรภมสามมตทสมนยกบ เขยนแทนดวย

r t t r

t r t

t

x

y

z

r tr

ฟงกชนทเปนสวนประกอบของเวกเตอร

ถาให และ เปนสวนประกอบของ แลว และ เปน

ฟงกชนคาจรง เรยกฟงกชนคาจรงท งสามนวา “ฟงกชนสวนประกอบของเวกเตอร” เขยนแทน

ดวย

,f t g t h t r t ,f t g t h t

, ,r t f t g t h t r t f t i g t j h t k

เปนฟงกชน เปนฟงกชน เปนฟงกชนเปนฟงกชน

เปนฟงกชน

เปนฟงกชน

Example 1 ถา แลวจงหาฟงกชนสวนประกอบของ

Solution

3 , log 3 ,r t t t t r t

ฟงกชนสวนประกอบของ คอ r t

3 , log 3 ,r t t t t

3 , ( )f t t t

log 3 , (3 0)g t t t

, ( 0)h t t t

โดเมนของ เปนเซตของคา ซง นยาม จะเหนวา โดเมนของ คอชวง r t t r t r t [3,0)

บทนยาม 2.1

ถา แลว , ,r t f t g t h t lim lim ,lim , limt a t a t a t a

r t f t g t h t

เมอฟงกชนสวนประกอบท งสามมลมตเมอ t a

***ลมตของฟงกชนคาเวกเตอรมคณสมบตทเปนไปตามกฏเกณฑของลมตของฟงกชนคาจรง

Example 2 จงหา เมอ

Solution

0

limt

r t

3

sin1 t

tr t t i te j k

t

3

sin1 t

tr t t i te j k

t

Take limit ทงสองขางของสมการจะได

3

0 0 0 0

sinlim lim 1 lim limt

t t t t

tr t t i te j k

t

0

lim 1 0 1t

r t i j k

0

limt

r t i k

Answer

เสนโคงของฟงกชนเวกเตอร

curve of vector functions

บทนยาม 2.2

ฟงกชนเวกเตอร มความตอเนองท ถา r a limt a

r t r a

ถา เปนฟงกชนคาจรงและตางกมความตอเนองบนชวง และเซต บนจด ท งหมดใน

ปรภมซงตามสมการ

, ,f g h I C , ,x y z

, ,x f t y g t z h t

คาของ แปรเปลยนไปตลอดบนชวง เรยกวา “เสนโคงปรภม (Space curve)”t I

และสมการ เรยกวา “สมการพาราเมตรกซ(parametric)” ของ , ,x f t y g t z h t C

เรยกวา “พารามเตอร(parameter)”t

บทนยาม 2.2

ถาใหฟงกชนคาเวกเตอร แลว เปนเวกเตอรบอกต าแหนงของจด

บนเซต C

C เปรยบเสมอนแนวทางการเคลอนทของอนภาค ณ เวลา อนภาคอย ณ จด บนเซต t , ,P f t g t h t C

, ,r t f t g t h t r t

, ,P f t g t h t

x

y

z

r t

, ,P f t g t h t

C

Example 3 จงบรรยายลกษณะเสนโคงซงนยามดวยฟงกชนคาเวกเตอรดงน

Solution

Answer

1 2 5 1 6r t t i t j t k

สมการพาราเมตรกซทสมนยคอ 1 , 2 5 , 1 6x t y t z t

หรอเขยนฟงกชน ใหอยในรป r t 0r t r tv 0 1,2, 1r

1,5,6v

x

y

z

r t

Cv

0r 1,2, 1P

ซงกคอสมการเชงเสนของเสนตรง

Example 4 จงบรรยายลกษณะเสนโคงซงนยามดวยฟงกชนคาเวกเตอรดงน

Solution สมการพาราเมตรกซทสมนยคอ

เพราะวาจากคณสมบตของฟงกชนตรโกณมต

ดงนนเสนโคงตองต งอยบนผวทรงกระบอก (Ellipse)

2cos sinr t t i t j tk

2cos , sin ,x t y t z t

22 2 2cos sin 1

2

xy t t

2

2 12

xy

เนองจาก z t

ดงนนลกษณะเสนโคงจะเปนเกลยววนรอบผวทรงกระบอกตามคาของ ตามแกน z t z

จะเรยกเสนโคงในลกษณะนวา เสนโคง ฮลกซ (Helix)หรอเสนเกลยว

Example 4 จงบรรยายลกษณะเสนโคงซงนยามดวยฟงกชนคาเวกเตอรดงน

แทนคา

2cos sinr t t i t j tk

x

y

z

0,1,2

2,0,0

r t2

r

0t จะไดเวกเตอร 0 2 0 0r i j k

แทนคา 2

t

จะไดเวกเตอร 0 12 2

r i j k

อนพนธของฟงกชนเวกเตอร

differential of vector functions

บทนยาม 2.3

อนพนธของฟงกชนเวกเตอร เขยนแทนดวย หรอ ซงมนยามดงน r tdr

dt 'r t

'

0limk

r t k r tdrr t

dt k

เมอลมตนหาคาได ความสมพนธเชงเรขาคณตของบทนยามนจะเปนดงภาพ

x

z

y

PQ

C

r t k

r t

r t k r t

x

z

y

PQ

C

r t k

r t

'r t

อนพนธของฟงกชนเวกเตอร

และ เปนเวกเตอรบอกต าแหนงของจด และ ตามล าดบดงนน

x

z

y

PQ

C

r t k

r t

r t k r t

x

z

y

PQ

C

r t k

r t

'r t

r t 1r t P Q

PQ r t k r t

เวกเตอร ขนานกบ เมอ ท าให 1

r t k r tk

r t k r t 0k

1

r t k r tk

เขาใกลเวกเตอรซงอยบนแนวของเสนสมผสทจดP

เรยกเวกเตอร วา “เวกเตอรสมผส (tangent vector)” กบเสนโคง 'r t C

เมอลมตหาคาได และ ไมเปนเวกเตอรศนยแลว 'r t

'

'

r tT t

r t เวกเตอรสมผสหนงหนวย

Example 5 จงหาอนพนธของ

และหาเวกเตอรสมผสหนงหนวยเมอ

Solution หาอนพนธของเวกเตอร

31 sin 2tr t t i te j t k

0t

31 sin 2tr t t i te j t k

จะได ' 23 1 2cos 2tr t t i t e j t k

เมอ แทนคาจะได และ 0t 0 1 0 0r i j k ' 0 0 1 2r i j k

ดงนนเวกเตอรสมผสหนงหนวยทจด คอ 1,0,0

'

'

0 2 1 20

0 1 4 5 5

r j kT j k

r

Answer

Example 6 จงหา และเขยนแผนภาพแสดง และ เมอ

Solution หาอนพนธของเวกเตอร

จะได

แทนคา จะได

'r t 1r ' 1r

2r t ti t j

2r t ti t j

' 1

2r t i j

t

1t ' 11

2 1r i j ' 1

12

r i j

สมการพาราเมตรกซของเสนโคงทก าหนดมาใหในระนาบคอ

, 2 , 0x t y t z 22 , 0y x x

Example 6 จงหา และเขยนแผนภาพแสดง และ เมอ 'r t 1r ' 1r

2r t ti t j

และแสดง ดวยลกศรทม

จดเรมตนท และจดสนสดท

22y x

y

x

1r ' 1r

3,0,0

2

1,1,0

1r i j

' 1r

1,1,03

,0,02

Answer

Example 7 จงแสดงวาถา (คาคงท) แลว ต งฉากกบ ส าหรบแตละคาของ ในโดเมนของ

Solution พสจน เพราะวา

r t c 'r t r t

t r

2 2r t r t r t c

ดงนน 2d dc r t r t

dt dt

' '0 r t r t r t r t

'2 0r t r t

นนคอ ต งฉากกบ 'r t r t Answer

***ถาเสนโคง อยบนพนผวทรงกลมแลวเวกเตอรสมผส ยอมตงฉากกบเวกเตอรบอกต าแหนง เสมอC 'r t r t

x

y

z

0C

'r t

r t

อนทกรลจ ากดเขตของฟงกชนเวกเตอร

Limit Integral of vector functions

อนทกรลจ ากดเขตของฟงกชนเวกเตอร

สามารถเขยนอนทกรลของ ในรปของอนทกรลสวนประกอบ ดงน r , ,f g h

b b b b

a a a a

r t dt f t dt i g t dt j h t dt k

จากทฤษฎบทหลกมลแคลคลสส าหรบฟงกชนคาเวกเตอรแบบตอเนองคอ

b

b

aa

r t dt R t R b R a

เมอ เปนปฏยานพนธของ นนคอ ใชสญลกษณ R r 'R t r t r t dt

Example 8 ถา แลวจงหาอนทกรลจ ากดเขต

ของ

Answer

2cos sin 2r t t i t j tk

r t dt

Solution 2cos sin 2r t dt t dt i t dt j tdt k

22sin cosr t dt t i t j t k C เมอ คอ เวกเตอรคงทใดๆ C

2

2 2

00

2sin cosr t dt t i t j t k

22

0

24

r t dt i k j

22

0

24

r t dt i j k

ความยาวสวนโคง

curve length

ความยาวสวนโคง

ในกรณของเสนโคง ในระนาบซงมสมการพาราเมตรก และ ส าหรบ C

ความยาวสวนโคง มนยามเปนลมตของโพลกอน (Polygon)และค านวณไดดงน

x f t y g t a t b

C

2 2

2 2' '

b b

a a

dx dyL f t g t dt dt

dt dt

เมอ และ เปนฟงกชนตอเนอง 'f t 'g t

y

x0a b

C

ความยาวสวนโคง

การหาความยาวสวนโคงในปรภมสามมตกใชวธการเดยวกน กลาวคอ นยามในรปลมตของรปหลายเหลยมหรอ

โพลกอน ก าหนดใหสมการแบบเวกเตอรของเสนโคง ในปรภมคอ C

, ,r t f t g t h t

' ' ' ', ,r t f t g t h tดงนน ส าหรบ a t b

เขยนในรปสมการพาราเมตรกไดดงน x f t y g t z h t

โดยท เปนฟงกชนตอเนอง 'f t 'g t 'h t

ความยาวสวนโคง

สามารถค านวณความยาวสวนโคง เมอ มคาเพมขนจาก ไป C t a b

2 2 2

' ' '

b

a

L f t g t h t dt

2 2 2b

a

dx dy dzL dt

dt dt dt

'

b

a

L r t dt

x

y

z

0

C 'r t

r t

Example 9 จงหาความยาวสวนโคงฮลกซวงกลมซงมสมการแบบเวกเตอรดงน

จากจด ไปยงจด

Solution เพราะวา

cos sinr t t i t j tk 1,0,0 1,0,2

' sin cosr t t i t j k

จะได 2 2' 2sin cos 1r t t t ' 2r t

สวนของเสนโคงจากจด ไปยงจด สมนยกบคาของ จาก ถง 1,0,0 1,0,2 t 0 2

'

b

a

L r t dt 2

0

2 2 2L dt

แทนคาจะได

x

y

z

1,0,2

1,0,0

Answer

เสนโคงเรยบ

บทนยามท 2.4 กลาววา เสนโคง ก าหนดโดยฟงกชนคาเวกเตอร บนชวง เปนเสนโคงเรยบถา C 'r t

I

1. มความตอเนอง 'r t

2. ส าหรบแตละ ทเปนจดภายใน ' 0r t

I

t

Example 10 สมการแบบเวกเตอรของเสนโคง ในระนาบคอ

Solution เนองจาก

ดงนน

จะไดวา จดบนเสนโคงทสมนยกบ คอ ซงมลกษณะหกเปนมมแหลมวกกลบ(Cusp)กลาวไดวา

Answer

C 3 21 ,r t t t

' 23 ,2r t t t

' 0 0,0r

0t 1,0

เสนโคง ขาดความเรยบทจดน หรอ C 3: 1 ,C r t t t 2

3: 1C y x y

x0

1,0

C

ความโคง

curvature

ความโคง

การวดความโคงของเสนโคงจะวดจากอตราการเปลยนแปลงของเสนโคงออกจากเสนสมผส

คาความโคงจะใชสญลกษณ (Kappa)

drT

ds

y

x0

0P

P

T

T

T

T

s

นยาม

ถา เปนเวกเตอรหนงหนวยทสมผสกบเสนโคงราบเรยบ ความโคงของเสนโคงจะเทากบT

dT

ds

ถา มคามาก หมายความวา ทจด นนมความโคงมากdT

dsP

ถา มคาเปนศนย หมายความวา ทจด นนมความโคงเปนศนยdT

dsP

y

x0

0P

P

T

T

T

T

s

ความโคง

ส าหรบเสนโคง เราสามารถหาความโคงไดดงน r t

dT dT dt

ds dt ds

1 dT

ds dt

dt

1 dT

v dt

ถา เปนเสนโคงราบเรยบแลว ความโคงหาไดจาก r t

1 dT

v dt

vT

vเมอ คอเวกเตอรสมผสขนาดหนงหนวย

Example 11 จงแสดงวาวงกลม มความโคงเปน

Solution เสนโคงทเปนวงกลมรศม คอ

Answer

a1

a

a cos sinr t a t i a t j

' sin cosr t v a t i a t j ดงนน

2 2' sin cosr t v a t a t ' 2r t v a a a

sin cosv

T t i t jv

จะไดวา

cos sindT

t i t jdt

2 2cos sin 1dT

t tdt

1 1 1

1dT

v dt a a ดงนนคาความโคงจะเปน

ความโคง

พจารณาเสนโคง คาอนพนธ จะต งฉากกบเวกเตอร ถาหากหาร ดวย T

จะไดเวกเตอรหนงหนวย ทต งฉากกบ โดยท น เรยกวา “เวกเตอรปกตหนงหนวย”N

dT

dsT

dT

ds

T N

0P

s

1PT

1 dTN

ds

2P

T

1 dTN

ds

นยาม

ในจดท ไมเปนศนย เวกเตอรปกตหนงหนวยของเสนโคงหาไดจาก

ถาหากมเสนโคง ใดๆ สามารถใชกฏลกโซหาเวกเตอร ดงน N

1 dTN

ds

r t

dT

dsNdT

ds

dT dt

dt dsNdT dt

dt ds

กฏลกโซ dT

dtNdT

dt

เวกเตอรปกตหนงหนวยของเสนโคง

ถา เปนเสนโคงราบเรยบ เวกเตอรปกตหนงหนวยหาไดจาก r tdT

dtNdT

dt

เมอ เปนเวกเตอรสมผสหนงหนวย v

Tv

Example 12 จงหา และ จากการเคลอนทในแนววงกลม

Solutionข นตอนแรกหา จาก

T N

และจาก

cos2 sin 2r t t i t j

T ' 2sin 2 2cos2r t v t i t j

vT

v

แทนคาจะได 2sin 2 2cos 2

2

t i t jT

sin 2 cos2T t i t j

ข นตอนทสองหา จาก 2cos 2 2sin 2dT

t i t jdt

N

2 24cos 2 4sin 2 2dT

t tdt

Example 12 จงหา และ จากการเคลอนทในแนววงกลม T N

และจาก

cos2 sin 2r t t i t j

dT

dtNdT

dt

แทนคาจะได 2cos 2 2sin 2

2

t i t jN

cos2 sin 2N t i t j

จะพบวา นนหมายความวา ต งฉากกบ 0T N T N Answer

รศมความโคง

Radius of curvature

รศมความโคง

รศมความโคงของสวนโคงมสญลกษณเปน ค านวณไดจาก

1

TN

Center of

curvature

Radius of

curvature

,P x y

Curve

Circle of curvature

วงกลมทสมผสกบเสนโคงทจด ถาหากรศมของวงกลมเทากบรศม

ความโคง ณ จดนนเรยกวงกลมนนวา “circle of curvature” หรอ

“Osculating Circle”

P

Example 13 จงหา Osculating Circle ของกราฟพาราโบลา

ทจดก าเนด

Solution เสนทางของกราฟพาราโบลาคอ

2y x

2r t ti t j

หาความโคงของกราฟพาราโบลาทจดก าเนดโดย ' 2r t v i tj ' 21 4r t v t

ดงนน 1 1

2 22 21 4 2 1 4v

T t i t t jv

ค านวณหาคา จะได dT

dt

3 1 12 2 2 22 2 24 1 4 2 1 4 8 1 4

dTt t i t t t j

dt

ทจดเรมตน จะไดความโคงเปน0t

1

0 00

dT

dtv

Example 13 จงหา Osculating Circle ของกราฟพาราโบลา

ทจดก าเนด2y x

1

0 0 21

i j Solution

2 20 1 0 2 2

รศมความโคงคอ และวงกลมมจดศนยกลางอยท 1 1

2

1

0,2

ดงนนจะได Osculating circle คอ 2 2 2x h y k r

แทนคาจะได 2 2

2 1 10

2 2x y

Example 13 จงหา Osculating Circle ของกราฟพาราโบลา

ทจดก าเนด2y x

1

0 0 21

i j Solution

2 20 1 0 2 2

รศมความโคงคอ และวงกลมมจดศนยกลางอยท 1 1

2

1

0,2

ดงนนจะได Osculating circle คอ 2 2 2x h y k r

แทนคาจะได 2 2

2 1 10

2 2x y

2

2 1 1

2 4x y

หรอ

Example 13 จงหา Osculating Circle ของกราฟพาราโบลา

ทจดก าเนด2y x

Solution

x

y

1

2

0 1

2y x

Answer

The End