analogisieren…
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Mutfried Hartmann. Jahrestagung GDM Berlin 2007. www.didmath.ewf.uni-erlangen.de/Vortrag/GDM. Analogisieren…. …am Beispiel des Satzes des Pythagoras. Gliederung. Kurze Übersicht über das Analogisieren Die Vielfältigkeit der räumlichen Analogien des Satzes von Pythagoras - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Uni NürnbergJahrestagung GDM Berlin 2007Mutfried Hartmann
Analogisieren……am Beispiel des Satzes des Pythagoras
www.didmath.ewf.uni-erlangen.de/Vortrag/GDM
Uni Nürnberg
Gliederung
• Kurze Übersicht über das Analogisieren
• Die Vielfältigkeit der räumlichen Analogien des Satzes von Pythagoras
• Zerlegungsbeweise des pythagoreischen Lehrsatzes mittels des Analogisierens entdecken
Uni Nürnberg
Gliederung
• Kurze Übersicht über das Analogisieren
• Die Vielfältigkeit der räumlichen Analogien des Satzes von Pythagoras
• Zerlegungsbeweise des pythagoreischen Lehrsatzes mittels des Analogisierens entdecken
Uni Nürnberg
Was ist Analogie?
• „…, analoge Dinge stimmen in gewissen Beziehungen zwischen ihren entsprechenden Teilen miteinander überein.“ (Polya 1967)
Was ist Analogisieren?
• Ein Vorgehen, welches sich bereits einmal bewährt hat, wird auf eine analoge Situation übertragen.
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Kurzer Überblick
• Heuristik– Archimedes, Pappos– Descartes, Leibniz
• Mathematikunterricht (Polya 1949)• Zentrales Lernziel (Winter 1972)• Verallgemeinerung (Deschauer 1999)• Kreative Begriffsbildung (Weth 2000)• Variation (Schupp 2002)• Analogisieren im Schulbuch (Zimmermann 2003)• Von Ebene zum Raum
– Dreieck-Tetraeder (Fritsch 1984, Neubrand 1985, Bubeck 2003)– Pythagoras am Tetraeder (Bubeck 1992)
• Phänomenfindung (Loska/Hartmann 2005)• MU Themenheft Analogisieren (Heinrich 2006)
– Computereinsatz (Schumann)
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Satz von Pappos
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Pythagoras in Vierecken
a² + c² = b² + d²
ab
cd
a² - c² = d² - b²
a b
cd
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• Kurze Übersicht über das Analogisieren
• Die Vielfältigkeit der räumlichen Analogien des Satzes von Pythagoras
• Zerlegungsbeweise des pythagoreischen Lehrsatzes mittels des Analogisierens entdecken
Uni Nürnberg
Räumliche Analogien des rechtwinkligen Dreiecks
Pythagoras im Raum /Analoga des rechtwinkligen Dreiecks
Uni Nürnberg
Räumliche Analogien des rechtwinkligen Dreiecks
Pythagoras im Raum /Analoga des rechtwinkligen Dreiecks
Uni Nürnberg
Räumliche Analoga des rechtwinkligen Dreiecks
Dreiecksprisma Faulhaber-Tetraeder
Schiefes TetraederBubeck-Tetraeder
Pythagoras im Raum /Analoga des rechtwinkligen Dreiecks
Existieren in diesen Körpern auch irgendwelche
zum Satz des Pythagoras analoge Beziehungen?
Existieren in diesen Körpern auch irgendwelche
zum Satz des Pythagoras analoge Beziehungen?
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Dreiecksprisma
Pythagoras im Raum / Dreiecksprisma
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Faulhaber-Tetraeder
Pythagoras im Raum / Faulhaber-Tetraeder
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Faulhaber-Tetraeder
Johannes Faulhaber(1622)
Pythagoras im Raum / Faulhaber-Tetraeder
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Bubeck-Tetraeder (1992)
Pythagoras im Raum / Bubeck-Tetraeder
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Schiefes Tetraeder
Pythagoras im Raum / Schiefes Tetraeder
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Schiefes Tetraeder (Beweis)
Pythagoras im Raum / Schiefes Tetraeder
C² = A² + C‘² D² = A² + D‘²
B² = A² + C‘² + D‘²
Faulhaber
Dreiecksprisma
C² + D² = 2A² + C‘² + D‘²A² + B² = 2A² + C‘² + D‘²
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Auf Kantenlängen bezogene Analogien
Pythagoras im Raum / Kanten
a‘a‘²aa ²+ bb= ² b‘b‘² cc ² c‘c‘+ ²=+
ccaa ²a‘a‘² - = bb ²b‘b‘ ²c‘c‘=-² ²- a‘a‘aa bb b‘b‘- = +²² ² ²
bb b‘b‘ ccc‘c‘²²
-²
=²
-a‘a‘aa cc c‘c‘²²
+²+
²=
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Gliederung
• Kurze Übersicht über das Analogisieren
• Die Vielfältigkeit der räumlichen Analogien des Satzes von Pythagoras
• Zerlegungsbeweise des pythagoreischen Lehrsatzes mittels des Analogisierens entdecken
Uni Nürnberg
Beispiel: Zerlegungsbeweise zum Satz des Pythagoras
Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken
Uni Nürnberg
Wie findet man solche Zerlegungen?
Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken
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Analyse des Analogisierungsprozesses
Zerlegung der Katheten-quadrate
Zerlegung der Katheten-quadrate
SonderfallSonderfall AllgemeinfallAllgemeinfall
SchnittführungSchnittführung AnalogeTeilstückeAnaloge
Teilstücke
Interpretation:Festlegung auf eine Beschreibungsmöglichkeit
Interpretation:Festlegung auf eine Beschreibungsmöglichkeit
ÜbertragungÜbertragung
Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l
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2. Beispiel
Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l
Uni Nürnberg
Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung
2. Diagonale2. Diagonale
1. Diagonale 1. Diagonale
Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l
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Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung
C
c
d
C
c
d Verlängerung von Seite d Verlängerung von Seite d
Parallele zu c durch C Parallele zu c durch C
Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l
Uni Nürnberg
Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung
C
c
C
c
Parallele zu d durch D Parallele zu d durch D
Parallele zu c durch C Parallele zu c durch C
d
D
d
D
Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l
Uni Nürnberg
Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung
M
c
d
M
c
d Parallele zu d durch M Parallele zu d durch M
Parallele zu c durch M Parallele zu c durch M
Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l
Uni Nürnberg
Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung
B
C E
D
c
d
B
C
E
D
Parallele zu d durch B und DParallele zu d durch B und D
Parallele zu c durch C und EParallele zu c durch C und E
c
d
Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l
Uni Nürnberg
Analyse des Analogisierungsprozesses
Zerlegung der Katheten-quadrate
Zerlegung der Katheten-quadrate
SonderfallSonderfall AllgemeinfallAllgemeinfall
SchnittführungSchnittführung AnalogeTeilstückeAnaloge
Teilstücke
Zerlegung des Hypotenusen-
quadrats
Zerlegung des Hypotenusen-
quadrats
Interpretation:Festlegung auf eine Beschreibungsmöglichkeit
Interpretation:Festlegung auf eine Beschreibungsmöglichkeit
Abbildung der TeileAbbildung der Teile
unvollständigeLösung
unvollständigeLösung
endgültigeLösung
endgültigeLösung
ProbierenProbieren
ÜbertragungÜbertragung
Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l
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Analogisierung der Teileabbildung
Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l
Perigal
Ihre Lösung in der Hausaufgabe
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Beispiele von Studenten
Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l
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Bedeutung für den Unterricht
• Die Schüler haben die Möglichkeit, komplexe Zerlegungsmöglichkeiten selbst erfolgreich zu entdecken
• Die Schüler können dabei auch an Standardinhalten unmittelbar die Schlagkraft einer heuristischen Methode erfahren
• Die hohe Vielfalt der Entdeckungsmöglichkeiten machen das kreative Moment der Mathematik erfahrbar
• Präzises verbales Beschreiben wird geübt• Fachmathematische Begriffe, wie Verschiebung oder
Drehung, werden in einem sinnvollen Kontext wiederholt• Beweisbedürfnis wird geweckt
Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l
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Forderungen
• Analogisieren sollte– als Methode im Unterricht explizit thematisiert
werden– in Schulbüchern explizit berücksichtigt werden
• Weitere Möglichkeiten für das Analogisieren (insbesondere an Standardinhalten) sollten seitens der Mathematikdidaktik erschlossen werden
Uni NürnbergJahrestagung GDM Berlin 2007Mutfried Hartmann
www.didmath.ewf.uni-erlangen.de/Vortrag/GDM
Uni Nürnberg
Wie findet man solche Zerlegungen?
SchnittSchnitt
LageLage
2. Säule: Vernetzung – Entdecken durch Analogisieren