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APLICACIN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN PROBLEMAS DE DEFLEXION EN VIGASJeiner De leon1; Ricardo Maldonado2; Eimy Barrios3; Ivan zambrano4; Hctor Pertuz5; Jos Chamorrro6; Vctor Castro7 Universidad de la Costa (Cuc)Jdeleon9@cuc.edu.co 1; Rmalnado9@cuc.edu.co 2; Ebarrios12@cuc.edu.co3; Izambran1@cuc.edu.co 4; Hpertuz1@cuc.edu.co 5; jchamorr2@cuc.edu.co6; Vcastro7@cuc.edu.co 7

10RESUMEN: En este proyecto se describe el uso de las ecuaciones diferenciales en soluciones de deflexin de vigas a partir de la conceptualizacin y aplicacin de formulas para determinar la deflexin y la curva elstica que tambin se denomina curva de deflexin. Para ello se establece un problema el cual est basado en la construccin de un estadio de futbol, que tiene una estructura formada principalmente por una viga en voladizo con una carga distribuida a lo largo de su longitud. Para el desarrollo de este proyecto se utiliza una ecuacin diferencial lineal de cuarto orden que satisface dicha deflexin y permite calcular mediante la aplicacin de ecuaciones diferenciales de orden superior la curvatura de la viga, para la solucin de la ecuacin diferencial lineal de cuarto orden mencionada anteriormente, se emplea el mtodo del anulador para ecuaciones no homogneas con coeficientes constantes o coeficientes indeterminados, que se basa en hallar la solucin general de la ecuacin lineal y aplicando las correspondientes condiciones de frontera que se presentan en la viga, para hallar cada uno de los coeficientes y finalmente determinar la deflexin de la viga y graficar la curva elstica, y as establecer las conclusiones finales del problema.

PALABRAS CLAVE: Deflexin, vigas, ecuacin diferencial, curvatura, mtodo del anulador, coeficientes.

ABSTRACT: This project was described using differential equations beam deflection solutions from the conceptualization and implementation of formulas to determine the deflection and the elastic curve also called deflection curve . This will set a basic problem based on the construction of a soccer stadium , which has a structure mainly composed of a cantilever beam with a load distributed along its length. For the development of this project, we used a linear differential equation of the fourth order that satisfies this deflection and computes by applying higher order differential equations of the curvature of the beam, for the solution of linear differential equation of fourth order mentioned above, employ the annihilator method for non-homogeneous equations with constant coefficients or undetermined coefficients , which was based on finding the general solution of the linear equation and applying the appropriate boundary conditions that occurred in the beam , to find each of the coefficients and finally determine the deflection of the beam and plot the elastic curve to establish the final conclusions of the problem.

KEYWORDS: Deflection, beams, differential equation, curvature, annihilator method, coefficients.

INTRODUCCIN

El presente proyecto de aplicacin se refiere al tema de deflexin de una viga, como es sabido las vigas hoy en da constituyen uno de los elementos estructurales mas importantes en ingeniera, ya que es utilizado en una amplia variedad de aplicaciones, dentro de las que destacamos, que son las encargadas de soportar las cargas de las cubiertas (techos) de las viviendas, edificios, etc. estas son aplicadas adems a las estructuras de puentes entre otras. Las vigas al soportar cargas de otras estructuras, hasta de su propio peso, ocasionan que esta se flexione, los mtodos para calcular la deflexin de vigas son variados, sin embargo en el presente trabajo aplicaremos las ecuaciones diferenciales, especficamente las ecuaciones diferenciales de orden superior, donde se comprender como se utiliza la ecuacin diferencial lineal de cuarto orden para determinar la flexin de una viga. El objetivo principal de este proyecto es encontrar la deflexin de un viga en voladizo, con una carga distribuida a lo largo de su longitud, que esta empotrada en su extremo izquierdo y apoyada simplemente en su extremo derecho, la cual hace parte del diseo de la construccin de un nuevo estadio de futbol de la ciudad de Barranquilla, esto con el fin de encontrar la deflexin cuando , para que se pueda reforzar adecuadamente la estructura. La fuente principal del desarrollo de este proyecto es el inters de conocer cmo se puede hallar la solucin a un problema de deflexin de viga empezando desde la perspectiva de las condiciones de frontera que presenta la viga.

OBJETIVOS

1.1 GENERAL

Desarrollar un problema en que se aplica las condiciones de frontera para encontrar la deflexin de una viga que se encuentra en voladizo.

1.2 ESPECIFICO

Investigar archivos y contextos bibliogrficos acerca del tema

Hacer un clculo y anlisis de los resultados

Interpretar mediante graficas los clculos realizados.

JUSTIFICACION

El proyecto trata del aprendizaje matemtico en la rama de las ecuaciones diferenciales, y se hace para aprender a utilizar y a aplicar las ecuaciones diferenciales en deflexiones en viga utilizando las condiciones de frontera. Tomando como base un problema planteado y unas incgnitas a resolver, desarrollando un marco terico y aplicndolo en los clculos y anlisis de los resultados.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

El anlisis de las de deformaciones en viga nos permite limitar los descensos de las mismas, entregando secciones adecuadas para obtener un excelente desempeo.Para la construccin de un nuevo estadio de futbol en la ciudad de Barranquilla a cargo de una empresa privada de construccin los dueos piden a una lnea de ingenieros civiles presentar un diseo estructural novedoso pero que a la vez sea funcional. Luego de varios debates el diseo escogido consta de una serie de estructuras en voladizos (Ver figura N 1), que a su vez servir de luz y brindara sombra a gran parte de las graderas como tambin adopta un diseo moderno e innovador.

Figura N 1: Diagrama de la estructura (Fuente: Los Autores)

El principal problema para los constructores e ingenieros es optimizar las cargas permisibles para que la estructura no colapse o sufra la menor deformacin posible, por tanto necesitan reforzar adecuadamente la estructura y para ello necesitan saber la deflexin de la viga cuando , la viga se encuentra empotrada en su extremo izquierdo y apoyada simplemente en su extremo derecho, cuya longitud es L, y esta compuesta por una carga uniformemente distribuida ( a lo largo de su longitud. En virtud de lo antes sealado se formula el siguiente interrogante:

Cul es la deflexin que presenta la viga cuando ? Cuando se establece que la viga tiene una longitud de , una carga distribuida de , y que el material de la viga es el acero con un modulo de elasticidad de E= , y cuyo momento de inercia respecto a la geometra del material corresponde a .

REFERENTES TEORICOS

Muchas estructuras se constituyen usando trabes o vigas y estas vigas se flexionan o deforman bajo su propio peso o por la influencia de alguna esfuerza externa1. Las vigas son miembros estructurales sometidos a cargas laterales; es decir a fuerzas o momentos que tienen sus vectores perpendiculares al eje de la barra. Las vigas son las encargadas de recibir las cargas de las losas o los elementos planos que se encuentren sobre ella y al mismo tiempo transmitir stas cargas a las columnas de la estructura. Las cargas que actan sobre una viga ocasionan que este se flexione, con lo que su eje se deforma en una curva, dicha flexion o deflexion es una respuesta estructural a una deformacin que se da en las vigas 2. La deflexin de una viga esta gobernada por una ecuacin diferencial de cuarto orden.En la figura N 2, se aprecia una viga homognea de longitud L, y tiene una seccin transversal uniforme a lo largo de su longitud. En ausencia de carga en la viga, una curva que une los centroides de todas sus secciones transversales es una recta conocida como eje de simetra. Si se le aplica una carga a la viga en un plano vertical que contiene al eje de simetra, la viga experimenta una distorsin (Ver fig. N 3) y la curva que conecta los centroides de todas sus secciones trasversales se llama curva de deflexin o curva elstica1.

Figura N 2: Viga (Fuente: Zill Dennis (2009). Tomado del texto, Ecuaciones Diferenciales: con problemas con valores en la frontera)

Figura N 3: Deflexin de una viga (Fuente: Zill Dennis (2009). Tomado del texto, Ecuaciones Diferenciales: con problemas con valores en la frontera)

Si el eje coincide con el eje de simetra y que la deflexin , medida desde este eje, es positiva si es hacia abajo. El momento de flexin es un punto a lo largo de la viga se relaciona con la carga por unidad de longitud mediante la ecuacin:

Adems el momento de flexin es proporcional a la curvatura de la curva elstica.

Donde E y I son constantes:

Modulo de elasticidad del material

Momento de inercia de la seccin transversal de la viga

El producto EI, se conoce como rigidez flexional de la viga, que es una medida de la resistencia de la viga a la flexin; es decir entre mayor es la rigidez por flexin, menor es la curvatura para un momento dado.

El calculo de la curvatura esta dada por . Cuando la deflexin es pequea la pendiente , y por tanto . Si se permite que , la ecuacin N 2 se convierte en . La segunda derivada de esta ltima expresin es:

Si se utiliza en la ecuacin N 1, para reemplazar , en la ecuacin N 3, se ve que la deflexin satisface la ecuacin diferencial de cuarto orden:

Condiciones de frontera:

Las condiciones de fronteras asociadas en la ecuacin N 4, dependen de cmo estn apoyados los extremos de la viga. Una viga en voladizo esta empotrada o fija en un extremo libre en el otro. Para una viga en voladizo la deflexin debe satisfacer las siguientes dos condiciones en el extremo fijo :

porque no hay flexin y porque la curva de deflexin es tangente al eje x.En las condiciones de extremo libre son:

porque el momento de flexin es cero y porque la fuerza de corte es cero.La funcin se llama fuerza de corte. Si un extremo de la viga esta apoyado simplemente o abisagrado, entonces de debe tener y en ese extremo, en la tabla N 1, se establecen cada una de las condiciones de frontera1:

Tabla N 1: Condiciones de frontera (Fuente: Zill Dennis (2009). Tomado del texto, Ecuaciones Diferenciales: con problemas con valores en la frontera)

Extremos de la vigaCondiciones de frontera

Empotrados

Libres

Apoyados simplemente

Figura N 4: Vigas con varias condiciones de extremo (Fuente: Zill Dennis (2009). Tomado del texto, Ecuaciones Diferenciales: con problemas con valores en la frontera)

Deflexin: La deflexin de una viga en cualquier punto a lo largo de su eje es el desplazamiento de ese punto desde su posicin original, medido en la direccin de las coordenadas en y 2.

Curva de deflexin o curva elstica:

Se denomina por curva elstica, la curva que representa la deformada del elemento en su lnea centroidal o eje longitudinal de una viga recta, la cual se debe a la aplicacin de cargas transversales en el plano xy sobre la viga. La curvatura es una medida de cuan aguadamente esta doblada una viga. La convencin de signos para momentos flexionantes con la de la curvatura se establece que un momento flexionante positivo produce curvatura positiva y un momento flexionante negativo produce curvatura negativa2.

Figura N 5: Relaciones entre los signos de los momentos flexionantes y los signos de las curvaturas (Fuente: http://estructuras.eia.edu.co/estructurasI/deflexiones/teoria%20deflexion/deflexiones.htm)

Clasificacin de las vigas de acuerdo a los soportes:La clasificacin ms comn de las vigas se basa en las condiciones de soporte como se muestra tambin en la figura N 3: En voladizo: Un extremo de la viga es fijo y el otro est libre. simplemente apoyadas: ambos extremos del resto del haz estn sobre soportes. sobresaliendo: Uno o ambos extremos de la viga se extienden sobre los soportes En voladizo apoyado: uno de los extremos es fijo y el otro extremo soportado Fijo o empotramiento: ambos extremos de la viga estn fijados rgidamente de modo que no hay movimiento. Continuo: los dos extremos estn soportados y hay soportes intermedios a lo largo de su longitud 3.Fuerzas reactivas o reacciones en las estructuras

Son las que se originan en determinados puntos del sistema debido a las ligaduras o coacciones y que surgen cuando actan fuerzas activas. Las ligaduras coacciones son dispositivos materiales que impiden total o parcialmente el libre movimiento de la seccin de un slido.Al considerar la pieza genrica de una estructura, est estar sometida a una o varias ligaduras que unen al resto de la misma o al suelo. En cada ligadura existe una reaccin que, en general, estar formada por una fuerza y por un momento. Es condicin necesaria para que la pieza est en equilibrio que el sistema de fuerzas constituido por las fuerzas directamente aplicadas y las reacciones verifiquen las condiciones generales 3.Es evidente que la reaccin depender de la solicitacin exterior y del tipo de vnculo. Una seccin no sometida a ligadura alguna tiene, segn sabemos, seis grados de libertad: tres posibles desplazamientos en las direcciones de los ejes coordenados x, y, z y los posibles giros alrededor de los mismos ejes.A cada grado de libertad impedido por la ligadura corresponde una componente de la reaccin; si est impedido el movimiento de la seccin en la direccin de uno de los ejes, la reaccin de la ligadura comprende una fuerza que tiene una componente en la direccin de ese eje. Si adems est impedido el giro de la seccin alrededor de alguno de los ejes coordenados mediante un empotramiento, por ejemplo, la reaccin comprende un momento que tiene una componente en la direccin de ese eje, es decir, si est impedido el giro en alguno de los planos coordenados, forma parte de la reaccin de la ligadura un momento en direccin perpendicular a ese plano 3.

Mdulo de elasticidad (E): Es una constate elstica que caracteriza a los materiales y depende de la constitucin de este. Estudiado por Thomas Young en 1807, es definido como el esfuerzo necesario para producir una deformacin unitaria, la cual es una medida de la rigidez de los materiales 3.

Momento de inercia (I): El momento de inercia es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso ms general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripcin tensorial es necesaria para el anlisis de sistemas complejos, como por ejemplo en movimientos giroscpicos 3.El momento de inercia refleja la distribucin de masa de un cuerpo o de un sistema de partculas en rotacin, respecto a un eje de giro. El momento de inercia slo depende de la geometra del cuerpo y de la posicin del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento4.

Tipos de cargas en vigas:

En la Tabla N 2, se presentan varios tipos de cargas que actan sobre vigas. Cuando la carga se aplica sobre una carga muy pequea, puede idealizarse como una carga concentrada que es una fuerza nica. Cuando una carga se reparte sobre el eje de una viga, se representa como una carga distribuida, es decir que tiene una intensidad que cambia con la distancia a lo largo del eje4.

Tabla N 2: Tipos de cargas en vigas (Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Pendientes_y_deformaciones_en_vigas)

Operador anulador: El operador anulador es un operador diferencial lineal. El operador anulador de una suma de funciones, es la composicin de los operadores anuladores.la composicin de operadores diferenciales opera como si estuvieran multiplicando polinomio en D. La forma que debe tener esta es 5:

Si una funcin que tiene n derivada y es un operador diferencial lineal con coeficientes constantes, tal que:

Entonces se dice que el operador , es el anulador de

Donde:

Si A es el anulador de g, digamos, entonces al aplicar a ambos lados de la ecuacin N 7, tenemos:

Por tanto la ecuacin N 7 ser:

Tabla N 3: Operadores anuladores (Fuente: http://www.slideshare.net/Pablillo03/ecuaciones-diferenciales-por-operador-anulador)

Mtodo de coeficientes indeterminados:Es un mtodo para hallar una solucin particular de la ecuacin lineal completa, que consiste fundamentalmente en intuir la forma de una solucin particular. Este mtodo se utiliza a ecuaciones diferenciales lineales, con coeficientes constantes no homogneos.Sea una ecuacin diferencial lineal, no homognea, de coeficientes constantes y de orden .Si f(x) tiene una de las siguientes formas 5: ; k constante polinomio en x exponencial de la forma a sumas finitas de productos finitos de las expresiones anterioresEs posible encontrar un operador que anule a y si esto sucede, entonces aplicamos a la ecuacin diferencial original, es decir:

10)

Por lo tanto la expresin anterior es una ecuacin diferencial lineal, homognea de coeficientes constantes:

2. Se le aplica a esta ecuacin el mtodo de las homogneas y se halla la solucin general ().3. De esta solucin general se descarta la parte correspondiente a la homognea asociada a la ED original (.4. De la parte restante corresponde a la solucin particular , que se busca.5. Se reemplaza la solucin particular en la ecuacin no homognea y por igualacin de coeficientes se hallan los coeficientes de 5

1. CALCULOS Y ANALISIS DE RESULTADOS

La realizacin de los clculos se basa primeramente en establecer las condiciones del problema, de las que tenemos que la viga es de longitud , que se encuentra empotrada en su extremo izquierdo y apoyado simplemente en su extremo derecho, donde cuando , por tanto el problema satisface la Ec. N 4 (Ver marco terico).

Teniendo en cuenta que la viga esta empotrada en su extremo izquierdo y que se encuentra simplemente apoyada en su extremo derecho ; aplicamos las condiciones de frontera establecidas en la tabla N 1 (Ver Marco terico):

Figura N 6: Condiciones de frontera de la viga (Fuente: Los Autores)

Resolvemos la ecuacin diferencial no homognea de coeficientes constantes, por el mtodo del anulador. Despejamos de la Ec. N 4 :

Solucionamos la ecuacin homognea asociada:

Nos quedara por tanto: La solucin de la ecuacin homognea asociada es:

Posteriormente escribimos la ecuacin no homognea utilizando operadores diferenciales:

Seguidamente multiplicamos la ecuacin anterior por el operador que anule la ecuacin de entrada;

Por tanto la solucin general es:

Hallamos el coeficiente de , derivndolo cuatro veces:

Reemplazamos a en la Ec. N 11:

Igualando los coeficientes de la ecuacin anterior tenemos que:

Despejando a nos quedara que:

Reemplazando el valor de en la Ec. N 13:

Teniendo resuelta la solucin general de una ecuacin homognea aplicamos las condiciones de frontera. De la Ec. N 3, derivamos dos veces para aplicar las condiciones:

Primera condicin: en la Ec. N 14:

Resolviendo nos quedara que:

Aplicamos en la Ec. N 15:

Resolviendo nos queda que:

Para aplicar la segunda condicin , tenemos en cuenta que y son igual a cero.Aplicamos en la Ec. N (14):

Aplicamos en la Ec. N (16):

Tenemos por tanto un sistema de ecuaciones lineales, y aplicamos el mtodo de sustitucin:

Despejamos de la Ec. N 18:

Reemplazamos la Ec. N 19, en la Ec. N 17:

Reemplazamos la Ec. N 10 en la Ec. N 19:

Reemplazamos los valores y en la Ec. N 14:

Por tanto la deflexin de la viga es:

Tomando a y a , obtenemos la curva de deflexin, que reemplazando en la ecuacin anterior nos queda que:

Grafica N 1: Curva de deflexin en 2D (Fuente: Los Autores)

Grafica N 2: Curva de deflexin en 3D (Fuente: Los Autores)

Grafica N 3: Curva de deflexin en 3D (Fuente: Los Autores)

Grafica N 4: Curva de deflexin en 3D (Fuente: Los Autores)

Podemos observar en las graficas que la curva de deflexin obtenida, es una curva positiva porque es cncava hacia arriba o tambin convexa hacia abajo, y cuyo momento flexionante es positivo.

Ahora se requiere hallar el interrogante del problema cuanto vale la deflexin cuando y para ello planteamos nuevamente el diagrama pero con los valores especficos para las dimensiones de la viga y las constantes correspondientes.

Figura N 7: Diagrama de las estructura con valores especficos (Fuente: Los Autores)

Reemplazando en la ecuacin de deflexin obtenida en la ecuacin N 20, los siguientes valores de la viga:

E=

Para hallar la deflexin de la viga cuando :

Sin embargo L= 20, por tanto:

Finalmente se obtiene la deflexin de la viga cuando , que corresponde a un valor de 0.032m, a travs de todos estos procedimientos en los que se aplicaron las ecuaciones diferenciales se puede obtener la deflexin requerida, la cual se obtuvo mediante una formula obtenida a travs del mtodo de anulador para coeficientes constantes, y a travs de esa formula en la , hace referencia a la deflexin de la viga, se reemplazaron los datos que proporcionaba el problema. Haciendo referencia al valor de la deflexin, la cual es muy pequea, y por tanto la viga esta en la capacidad de soportar la carga a la que esta sometida, y los ingenieros pueden perfectamente hacer una buena optimizacin de las cargas y establecer una menor cantidad de refuerzos (varillas) porque la viga no presenta mucha deflexin, adems mediante el resultado obtenido de la deflexin se comprueba que la viga si resiste a las cargas a las que esta sometida, y por tanto garantiza una buena estabilidad y seguridad a la estructura del estadio.

Figura N 8: Deflexin de la viga cuando (Fuente: Los Autores)

1. CONCLUSIONESLa ecuacin diferencial de cuarto orden que satisface la deflexin de una viga, y la aplicacin del mtodo del anulador de ecuaciones no homogneas con coeficientes constantes para la solucin de dicha ecuacin diferencial constituyo para el desarrollo de este trabajo un mtodo prctico que permiti obtener la deflexin de una viga que estaba empotrada en su extremo izquierdo, apoyada simplemente en su extremo derecho, con una carga distribuida a lo largo de su longitud, a travs de la deflexin obtenida se pudo conocer el valor de la deflexin cuando a travs de valores conocidos de los datos, y as ayudar a los ingenieros a resolver su interrogante con respecto a la construccin del estadio de futbol. Encontrar la deflexin de una viga en cualquier distancia especifica de la longitud de la viga a travs de las ecuaciones diferenciales es un mtodo muy viable a la hora de conocer cualquier distancia de deflexin de la viga, ya que este ahorrara el procedimiento de los diagramas de cortante y momento flexioanantes, adems como futuros ingenieros civiles es muy importante conocer la aplicacin de las matemticas en problemas relacionados con deflexin de vigas, y que no solamente estos problemas son resueltos por formulas, procedimiento mtodos correspondientes de resistencia de materiales de la ingeniera civil, ahora sabemos que tambin las matemticas de alguna u otra forma a travs de sus mtodos tambin contribuye a dar solucin a muchos problemas de nuestra vida cotidiana y profesional, porque se pudo comprobar la ecuacin obtenida en los clculos y asignndole valores, esto hizo ms real el desarrollo del proyecto.Tambin la aplicacin de programas computarizados como Matlab pudimos realizar la curva de deflexin, en la cual se visualiza el comportamiento de la viga que se flexiona por efectos de la carga distribuida que soporta a lo largo de su longitud, las graficas fueron hechas en 2D y 3D para mayor visualizacin de dicho comportamiento.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

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[4]. BEER Ferdinand. Mecnica de materiales. Editorial Mc. Graw Hill. Pag. 237.

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