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Capitolo 1

Richiami di Meccanica dei Materiali

Possiamo dividere le forze in tre classi:

1. forze di volume esercitate dallambiente su un continuo;

2. forze di contatto che le varie parti di un continuo esercitano tra loro;

3. forze di contatto esterno le forze esercitate dallambiente sulla frontiera esterna del corpo;

Le forze di contatto introducono il concetto di tensione. Se facciamo riferimento a un corposuddiviso in due parti da un piano definito dalla normale ~n, per un generico punto P , sedefiniamo R la risultante delle forze che la parte 1 esercita su 2, e A un intorno di P possiamodefinire per il Postulato di Cauchy:

limA0R

A= ~Sn (1.1)

Possiamo scomporre il vettor tensione ~Sn:

pi

~n~Sn

1

2

~Sn =S~n

Componente normale+

S~tComponente tangenziale

Se normalizziamo rispetto allarea Api:

~Sn =SApi

~n+SApi

~t = n~n+ n~t

Se prendiamo il generico tetaedro attorno al vettore Sn: Avremo che ~Sn cerca di espandere il

1

CAPITOLO 1. RICHIAMI DI MECCANICA DEI MATERIALI 2

O

zy zx

z

xz

x

xy

yz

yxy

A

B

C

x

y

z

tetraedro, le reazioni elastiche vanno in verso opposto. Se i, j, k sono i versori rispettivamentedi x, y, z allora risulta:

~Sn = Sxi+ Sy j, Szk

Se scriviamo lequilibrio del tetraedro:SxAABC = xABOC + yxAAOC + zxAAOB (x)

SyAABC = xyABOC + yAAOC + zyAAOB (y)

SzAABC = xzABOC + yzAAOC + zAAOB (z)

(1.2)

Se i, l,m sono i coseni direttori della normale ~n:

~n = iSxi+ lj,mk

otteniamo: Sx = xAi + yxAl + zxAm

Sy = xyAi + yAl + zyAm

Sz = xzAi + yzAl + zAm

SxSySz

=x + yx + zxxy + y + zyxz + yz + z

ilm

Nellanalisi della frattura importante conoscere le direzioni principali, ovvero quelle direzioniper cui la componente dello sforzo di tensione nulla, ovvero dovr risultare che:

~Sn = [I]n

ricordando che:[S]T~n = ~Sn = [S][~n]

abbiamo:[S][~n] = [I]n [[S] [I]]~n = 0 [S] [I] = 0

ovvero: (x )yxzxxy(y )zyxzyz(z )

lequazione secolare assume la forma

3 I12 I2 I3 = 0


Gli invarianti In assumono la formaI1 = 1 + 2 + 3

I2 = 12 + 13 + 23

I3 = 123

Una volta trovate le tensioni principali n , si possono definire gli stati tensoriali

1 6= 2 6= 3 6= 0 Stato Triassiale 1 = 0; 2 6= 3 6= 0 Stato Biassiale 1 = 2 = 0; 3 6= 0 Stato Monoassiale 1 = 2 = 3 = 0 Stato Idrostatico

1 = 2 6= 3 Stato Assialsimmetrico

1.1 Criteri di resistenza

Si pu operare la seguente suddivisione per i criteri di resistenza:

Criteri di resistenza

TensioniMax. Tensione Principale

Max. Tensione Tangenziale

DeformazioniMax. Deformazioni Principali

Energia

Energia di Deformazione

Energia di Distorsione

1.1.1 Criterio Max Tensione Principale

Questo un criterio usato soprattutto per materiali fragili. Secondo questo criterio, per esserenella condizione di sicurezza, dovr accadere che:

Max |1|, |2|, |3| limse si in stato biassiale, quindi con 3 = 0 si riduce a:

Max |1|, |2| limPossiamo quindi definire una zona di sicurezza: Questo criterio non tiene conto dellinterazionitra le tensioni principali.


LIM LIM

LIM

LIM

1

2

1.1.2 Max. Deformazioni Principali

Per essere nella condizione di sicurezza, dovr accadere che:

Max |1|, |2|, |3| LIMSe 3 = 0 allora:

1 =1

E[1 2]

2 =1

E[2 1]

Le due relazioni diventano:

LIM 1E

[1 2] LIM

LIM 1E

[2 1] LIMovvero:

LIM 1 2 LIMLIM 2 1 LIM

LIM LIM LIM LIM

LIM

LIM

LIM

LIM

1

2


1.2 Max. Tensioni Principali (o Guest-Tresca)

Questo criterio viene usato soprattutto per materiali duttili. Questo criterio impone che:

Max {|1|, |2|, |3|} idLIMdove 1, 2 e 3 sono le tensioni tangenziali principali, orientate di 45 rispetto alle tensioninormali principali. Se stato di tensione biassiale, si riduce a:

Max |1|, |2| idLIMovvero sapendo che:

1 = 26322 = 16323 = 122

MAX = 2 12

Se imponiamo uno stato monoassiale, quindi con 2 = 3 = 0 e 1 6= 0, che raggiunge lecondizioni di snervamento:

1 = SN 2 = 3 = SN2

Quindi il critero diventa:

Max {|1|, |2|, |3|} = Max{2,1,1 2

2

} SN

2

Graficamente, dominio di sicurezza visualizzato attraverso il Poligono di Tresca

SN SN

SN

SN

1

2

1.2.1 Criterio di Von Mises

Il criterio di Von Mises afferma che un materiale cede quando lenergia di distorsione supera un va-lore limite, ovvero lo snervamento nello stato di tensione monoassiale. Lenergia di deformazione uguale a :

Udef =

D

1

2dV

Se mi metto nel sistema principale

Udef =1

2E(11 + 22 + 33)


Se ricordiamo le equazioni costitutive

1 =1

E[1 (2 + 3)]

2 =1

E[2 (1 + 3)]

3 =1

E[3 (1 + 2)]

Lespressione dellenergia di deformazione diventa quindi:

1

2E

[21 +

22 +

23 2(12 + 13 + 13)

]Il tensore di deformazione si pu decomporre in una parte sferica e in una deviatoria

[S] = [S]sferico + [S]dev

Il tensore sferico sar uguale a:

[S]sferico =

m mm

con m = 1 + 2 + 33

Mentre il tensore deviatorico uguale a:

[S]dev =

1 m 2 m3 m

Se definisco:

s1 = 1 ms2 = 2 ms3 = 3 m

Lenergia di deformazione diventer:

Udef =1

2E

[s21 + s

22 + s

23 2(s1s2 + s2s3 + s1s3)

]Se scriviamo gli invarianti del tensore deviatorico:

J1 = s1 + s2 + s3 = 0

J2 = s1s2 + s2s3 + s1s3

J3 = s1s2s3

Notiamo come linvariante J1 che responsabile della dilatazione cubica uguale a zero Possiamoriscrivere lenergia di deformazione nella forma:

Udef =1

2E

[(s21 + s

22 + s

23)

2 2(1 + )(s1s2 + s2s3 + s1s3)]

=1

2E2(1 + )J2 =

J22G

Quindi si impone cheJ22G J

1D2

2G


Se imponiamo uno stato monoassiale1 6= 02 = 3 = 0

m =13

s1 =

231

s2 = 131s3 = 131

Quindi linvariante scalare J2 diventa:

J1D2 =1

321

Se imponiamo 1 = SNJ1D2 =

1

32SN

Quindi il critero di Von Mises diventa:

J2 =1

6

[(1 2)2 + (2 3)2 + (1 3)2

] 2SN3

Se lo stato di tensione biassiale, la condizione di sicurezza diventa

J2 =1

6

[(1 2)2 + 21 + 22

] 2SN3

Si riduce quindi a:21 +

22 12 2SN

SN SN

SN

SN

1

2

1.3 Approccio micromeccanico della lamina

Un materiale composito costituito da fibre e da matrice. Il comportamento meccanico dellefibre e della matrice differisce molto. Questo rende i materiali compositi fortemente anisotropo.Se in prima approssimazione poniamo il comportamento lineare elastico, possiamo confrontarenel digramma sforzo-deformazione il comportamento di fibre e matrici.La sua LIM sar combinazione della LIM della matrice e delle fibre. Se indichiamo con Vf eVM le percentuali di volume rispettivamente delle fibre e della matrice.

VM + Vf = 1


fLIM fLIM

MLIM

fLIM

Figura 1.1: Resistenza fibre e matrice

La resistenza della matrice sar uguale a :

M = (1 Vf )MLIMSe c presenza importante di fibre la resistenza del composito sar

C = VffLIM + VM

FLIMM

VminVcrit 1

FLIMM

MLIM

fLIM

Resist.comp

osito

Resist. matrice

Vf

Figura 1.2: Resistenza materiale composito in funzione volume fibre

Il Vmin, il volume massimo di fibre che il materiale composito pu avere rimanendo coeso,superato questo valore le fibre non riescono a rimanere insieme. Il Vcrit il minimo volume difibre che il materiale deve avere per non trovarsi in condizioni di resistenza sfavorevole. Si quindicalcolato il comportamento meccanico del materiale composito, conoscendo la sua composizione eil comportamento meccanico dei singoli componenti (fibre e matrice); questo chiamato ApprocioMicromeccanico della lamina.Se prendo una lamina unidirezionale, e applico il carico P = Pf + Pm dove Pf e PM sono ilcarico assorbito rispettivamente da fibre e matrice, la tensione C che si sviluppa nella matriceper larea resistente AC del composito uguale a:


P

Figura 1.3: Composito caricato longitudinalmente

CAC = farea resistent.

Af+ MAM

C = fAfAC

+ MAMAC

C = fVf + MVM

Se uso la legge di Hooke otteniamo:

CEC = VfEff + VMEMM

Ma ci accorgiamo che le deformazioni devono essere uguali fra loro, quindi:

C = VfEf + VMEM

Se usiamo lo stesso approccio in direzione trasversale abbiamo che la deformazione in direzionetrasversale :

Ltot = Lf + LM

Essendo Ltot = L0tot si ha:

L0tot = Lff + LMM tot =LfL0Vf

f +

LML0VM

M

Quindi:tot = Vff + VMM

Siccome in questo caso le possono essere diverse fra di loro,non posso eliminarle, come nel casoprecendente. Allora applico la legge di Hooke:

CEC

=fEf

Vf +fEf

VM

Le varie ,essendo le aree resistenti al carico P dei vari componenti uguale, sono tra loro uguali:

6 CEC

=6 fEf

Vf +6 fEf

VM

1

EC=

1

EfVF +

1

ECVM

Quindi il reciproco del modulo elastico del materiale composito uguale alla somma dei reciprocidel moduli elastici dei vari componenti, moltiplicati ognuno per la rispettiva frazione di volume.


P

L0

Figura 1.4: Composito caricato trasversalmente

1.4 Macromeccanica della lamina

Nellapproccio macromeccanico della lamina si studia il materiale composito basandosi sullas-sunzione di caratteristiche media indipendenti dalla frazione in volume delle fibre.Unaltra ipotesifondamentale che la lamina sia sottoposta a uno stati di sollecitazione piano(plain stress, ipotesiche viene soddisfatta essendo la lamina di spessore sottile e caricata nel suo piano.Definiamo un nuovo sistema di riferimento come in figura:Conosciamo le seguenti propriet elastiche:

L

T

Figura 1.5: Riferimento Longitudinale-Trasversale

EL

ET

GLT

LT

Le deformazioni caratteristiche sono:

1. L

2. T

3. lt

Le reazioni elastiche saranno di conseguenza:


1. L

2. T

3. LT

Se mettiamo insieme queste relazioni in forma matriciale avremo:LTLT

=Q11 Q12 Q13Q21 Q22 Q23Q31 Q32 Q33

LTLT

Questa laMatrice costitutiva della lamina, che contiene tutte le proprieta elastiche della lamina.Nel caso dei materiali compositi la matrice diventa:

LTLT

=Q11 Q12 Q16Q21 Q22 Q26Q31 Q32 Q66

LTLT

(1.3)Poiche per i materiali compositi vale la relazione di ortotropia generale, ovvero esistono piani disimmetria elastica mutualmente ortogonali. Le relazioni costitutive generali sono:

xyzzyxzyx

=

Q11 Q12 Q13 Q14 Q15 Q16Q21 Q22 Q23 Q24 Q25 Q26Q31 Q32 Q33 Q34 Q35 Q36Q41 Q42 Q43 Q44 Q45 Q46Q51 Q52 Q53 Q54 Q55 Q56Q61 Q62 Q63 Q64 Q65 Q66

xyzzyxzxy

Se elimiano le componenti trasverse, otteniamo esattamente (??) Nel caso scrivessimo (??) nelriferimento LT otteniamo:

LTLT

=Q11 Q12 0Q21 Q22 0

0 0 Q66

LTLT

In questo caso mi trovo in condizioni di ortotropia speciale, ovvero gli scorrimenti sono disac-coppiati dalle dilatazioni, Ovvero se applichi una dilatazione hai solo reazioni normali e nontangeziali . Viceversa se applichi uno scorrimento hai solo reazioni in e non . Sembrerebbeche un la condizione di ortotropia generale o ortotropia speciale in base al sistema di riferimentousato. Questo non vero, poich le relazioni costitutive sono una propriet intrinseca. Nel casodella lamina L-T sono proprio le direzioni di ortotropia.

1.5 Macromeccanica del Laminato

Per indicare il laminato solito indicare per ogni lamina la sua orientazione. Nellesempio infigura ?? possiamo indicare il layout (o sequenza di lamine) del laminato con [45, 0,45, 90]Sdove il pedice S indica la specularita al piano medio. Se prendo la (??) la posso integrare pertutto lo spessore del laminato:

h2

h2

LTLT

dz = h

2

h2

[Q]k

LTLT

dz


z

y

x

45

0

45

90zk

h2

h245

0

4590

Figura 1.6: Esempio di laminato

dove h/2 la semialtezza del laminato e z laltezza rispetto al piano medio. Nessuno ci assicurache le varie k k siano uguali tra le varie lamine. In nostro aiuto viene la teoria lineare dellapiastra, in cui si possono definire deformazioni e scorrimenti riferendosi al piano medio e alladistanza da questo.Ad esempio, riferendoci alla figura ??, vediamo come sotto lipotesi di teoria lineare della piastra,

P

P

Figura 1.7: Lamina

se prendiamo un punto P sulla piastra, nella deformazione, essa sperimenta una rotazione rigida,che sar uguale alla distanza dal piano medio per la tangente di un angolo che rappresenta larotazione rigida.In generale, per una piastra sottile, gli spostamenti in piano u e v, sono uguali agli spostamentidella proiezione del piano medio nel piano, pi un termine proporzionale a certe funzioni.

u(x, y, z) = u0(x, y) + zF1(x, y)

v(x, y, z) = v0(x, y) + zF2(x, y)

w(x, y, z) = w0(x, y)

(1.4)

dove z la distanza del piano medio. Queste condizioni valgono quando le sezioni non ruotanorigidamente rispetto al piano medio ovvero, per ogni sezione, la normale al piano medio continua


piano medio indef.pian

o medio

def.

P

P

P

P

Figura 1.8: Deformazione lastra piana

a essere normale anche nella configurazione deformata. Ci implica anche che:

xz = 0yz = 0

poich gli assi x-z e y-z non cambiano le mutue configurazioni.Di conseguenza abbiamo che:

zx =u

z+w

x=u0(x, y)

z =0

+[zF1(x, y)]

z+w

x

F1(x, y)z

= wx

zy =v

z+w

y=v0(x, y)

z =0

+[zF2(x, y)]

z+w

y

F2(x, y)z

= wy

Quindi riscrivendo le equazioni (??) si ha:

u(x, y, z) = u0(x, y) z wx

v(x, y, z) = v0(x, y) z wy

w(x, y, z) = w0(x, y)

Ora possiamo calcolare le deformazioni:

x =u

z=u0

z z

2w

x2

y =v

y=v0

y z

2w

y2

xy =u

z+v

y=u0

z+v0

y 2z

2w

x

Quindi infine abbiamo che: xyxy

=0x0y0xy

+ zkxkykxy

(1.5)In un laminato, lequazione costitutiva diversa per ogni lamina, poich lorientazione dellefibre cambia per ogni lamina. Quindi se voglio studiare il comportamento globale del laminato,


z

y

x

Txy

T xy

Nx

My

Ny

Mxb

h

a

Figura 1.9: Lamina sottoposta a sforzi

integro la (??) nel riferimento (xyz) per tutto lo spessore, e vado a sostituire le relazioni appenatrovate, le (??),ottengo la relazione costitutiva per un laminato:

h2

h2

xyxy

dz = h

2

h2

[Q]k

0x0y0xy

+ zkkxkykxy

dz (1.6)

Nella figura ??, vediamo una lamina sottoposta a sforzi assiali, momenti flettenti, e sforzi ditaglio. Gli sforzi di tensione saranno uguale agli sforzi totali per unit di lunghezza:

Nx =NTOTxa

=

h2

h2

x dz

Ny =NTOTya

=

h2

h2

y dz

Txy =T TOTxya

=

h2

h2

xy dz

Se sostituiamo queste relazioni nella ?? otteniamo:NxNyTxy

= h

2

h2

[Q]k

0x0y0xy

dz + h

2

h2

[Q]kzk

kxkykxy

dzDove [Q] nel riferimento (xyz) e che uguale a

[Q] = [T ]T [Q][T ]

dove [Q] scritta nel riferimento (LTz), e la matrice [T] e la matrice di rotazione tra il riferimento(xyz) e (LTz) e dipende dalla generica orientazione della lamina k. Le deformazioni riferite al


piano medio, non dipendono da z, e le k dipendono solo da w che dipende solamente da x e y.Quindi possono scrivere la ?? nella forma:

NxNyTxy

=0x0y0xy

h

2

h2

[Q]k dz +

kxkykxy

h

2

h2

[Q]kzk dz

Se definisco h2

h2

[Q]k dz = [A]

dove [A] una matrice 3x3. Il generico termine Aij sar uguale a:

Aij =

nk=1

Qkij1

2

(zMAXk zMINk

)Il termine (zMAXk zkMIN) non pu essere mai nullo, anche nel caso di lamine simmetriche,quindi i termini Aij saranno sempre diversi da 0La quantit:

zk

zk

Figura 1.10: Laminato

h2

h2

[Q]kzk dz = [B]

ovvero i Bij avranno la forma:

Bij =

nk=1

Qkij1

2

(z2MAX

k z2MIN

k

)A differenza degli Aij , i Bij si possono annullare, usando opportuni layout. Quindi la ??, diventa

NxNyNxy

= [A]0x0y0xy

+ [B]kxkykxy

Da queste equazioni deduciamo che per un laminato, gli sforzi assiali Nx e Ny producono unareazione elastica per lo scorrimento xy,e viceversa un taglio Txy pu produrre anche una reazioneelastica in x e y. Questo dovuto allanisotropia del laminato, che accoppia le sollecitazio-ni(coupling):ovvero gli sforzi normali sono accoppiati con i tagli, le deformazioni longitudinalisono accoppiati con gli scorrimenti, e i tagli e gli sforzi normali sono accoppiati con i momentiflettenti e torcenti. Per ridurre questa anisotropia, possiamo annullare la matrice [B], usando


dzz

a

x

Figura 1.11: Lamina sottoposta a momento flettente

un layout che pone laminati con orientazioni opposte in posizione simmetrica rispetto al pianomedio. In riferimento alla figura, otteniamo che: h

2

h2

xzdz =MTOTxa

= Mx

Analogamente: h2

h2

yzdz =MTOTya

= My

e h2

h2

xyzdz =MTOTxya

= Mxy

Quindi se vado a sostiture queste relazioni nella ??, ottengo:MxMyMxz

=0x0y0xy

h

2

h2

[Q]kzk dz +

kxkykxy

h

2

h2

[Q]kz2k dz

Se indico con [D] la quantit: h2

h2

[Q]kz2k dz = [D]

mi accorgo che i Dij avranno la seguente forma

Dij ==

nk=1

Qkij1

3

(z3MAX

k z3MIN

k

)Ricapitolando, mettendo insieme tutte le equazioni, ottengo le relazioni costitutive del laminatocomplete:

NxNyTxyMxMyMxz

=

[A] [B]

[B] [D]

0x0y0xykxkykxy

(1.7)

Se la matrice [B] uguale a 0, e i termini non diagonali di [D] sono trascurabili, posso parlare diquasi isotropia.


1.6 Criteri di resistenza lamina ortotropa

Le resistenze del composito non sono definite in maniera univoca, ma sono definito lungo le fibre,in direzione trasversa alle fibre e in direzione di taglio

L

T

Figura 1.12: Riferimento Longitudinale-Trasversale

Abbiamo quindi:

1. LIML

2. LIMT

3. LIMLT

1.6.1 Criterio delle massime tensioni

Il criterio afferma che siamo in condizioni di sicurezza se sono verificate le seguenti condizioni:

|L| LIML|T | LIMT|LT | LIMLT

Il criterio non tiene conto delle interazioni fra le varie tensioni

1.6.2 Criterio delle massime deformazioni

Il criterio afferma che siamo in condizioni di sicurezza se sono verificate le seguenti condizioni:

|L| LIML|T | LIMTLT LIMLT

Il criterio non tiene conto delle interazioni fra le varie tensioni

1.6.3 Tsai-Hill

Il criterio ricavato sperimentalmente. Esso parte dalle condizioni del criterio delle massimetensioni, ovvero:

|1| LIM1|1| LIM112 SLIM12


Impongo quindi 3 danneggiamenti:

|1|LIM1

1|2|LIM2

112

SLIM12 1

Elevo i 3 danneggiamenti al quadrato, per eliminare il problema del segno negativo delle tensionie sommo i contributi dei danneggiamenti, e aggiungo un ulteriore sigma, tenendo conto del fattoche a una deformazione in una direzione, corrisponde una deformazione nella direzione trasversa.

1

LIM1+

2

LIM2+

12

SLIM12 122

LIM

1

Il materiale non cede finch il danneggiamento complessivo minore di 1, quindi:1

LIM1+

2

LIM2+

12

SLIM12 122

LIM

1

1

Il termine che tiene conto delle interazioni fra le tensioni normalizzato rispetto a LIM1 poichquesto di solito pi grande rispetto a LIM2 . Il criterio di Hill una generalizzazione del criteriodi Huber-Hencky-von Mises, in cui per, a differenza di questultimo, si prende in considerazionetutta lenergia di deformazione, e non solo quella di distorsione, perch, come visto, nel casoanisotropo non in generale possibile separare la parte di energia di distorsione da quella dicambiamento di volume. La debolezza di questo criterio che non applica nessuna distinzionefra sforzi di trazione o di compressione.

1.6.4 Criterio di Hoffmann

Il criterio di Hoffmann una generalizzazione del criterio di Hill, in cui si prende in conto ladifferenza di resistenza in trazione e in compressione. Nello stato piano di tensione esso assumela forma:

A21 +B12 + C22 +D1 + E2 + F

212 1

Dove:

A =1

c1t1

B =1

c1t1

C =1

c2t2

E =1

c1+

1

t1

F =1

S212

1.6.5 Criterio di Tsai-Wu

Questo criterio tiene conto dellanisotropia del materiale composito,si aggiungono due termini alcriterio di Tsai-Hill

1

LIM1+

(1

1c+

1

1t

)1 +

(1

2c+

1

2t

)2 +

2

LIM2+

12

SLIM12 122

LIM

1

1


dove c e t sono, rispettivamente, gli sforzi limite di compressione e di trazione.

1.7 Ottimizzazione

1.7.1 Superfici di Risposta

Il Metodo delle superfici di risposta o anche Response surface method(RSM) riassume tutta unaserie di tecniche statistiche e matematiche utili nei processi di ottimizzazione. Il metodo vieneusato in processi industriali, o sistemi complessi, in cui un gran numero di variabili, dette anchevariabili indipendenti, influenzano una quantit, detta response. In generale, ammettiamo che cisia una risposta y che dipende dalle variabili di input 1, 2, ..., k. La relazione sar:

y = f(1, 2, ..., k) +

dove il valore della funzione f sconosciuta e molto complicata, e un termine che rappresentaaltre fonti di variabilit non considerate in f , come errori nella misurazione o effetti sulla rispostadi altre variabili sconosciute. Se trattiamo come errore statistico, e assumiamo che abbia unadistribuzione normale con media 0 e varianza 2, allora:

E(y) = = E[f(1, 2, ..., k)] + E() = f(1, 2, ..., k)

Siccome la forma di f sconosciuta, allora la approssimiamo usando espressioni polinomiali, inregioni di spazio limitate. In generale un approssimazione al primo ordine ha la forma:

y = 0 +

kj=1

jxj (1.8)

Al secondo ordine:

y = 0 +kj=1

jxj

kj=1

jjx2j +

i k osserva-zioni, dove k il numero di variabili indipendenti, avremo n yi risposte, e nxk xij, dove lindicei si riferisce alli-esima osservazione della j-esima variabile. Ad esempio, avendo una tabella didati:

y x1 x2 . . . xk

y1 x11 x12 . . . x1ky2 x21 x22 . . . x2k...

......

...yn xn1 xn2 . . . xnk

mostra Riprendendo la ??, possiamo scrivere in riferimento alle n osservazioni:

y = 0 +kj=1

jxij + i (1.9)

Se assumiamo che lerrore ha valore atteso E() = 0, e varianza V ar() = 2, cerchiamo i termini in modo taleche la somma dei quadrati degli errori i sia minimizzata.Quindi la funzione deiminimi quadrati sar:

L =

ni=1

2i =

ni=1

yi 0 kj=1

jxij

2


La funzione L dovr essere minimizzata in funzione dei i. Detti b0, b1, ..., bk gli stimatori minimiquadrati, dovranno soddisfare:

L

0

b0,b1,...,bk

= 2ni=1

yi 0 kj=1

jxij

e

L

j

b0,b1,...,bk

= 2ni=1

yi 0 kj=1

jxij

xijdove j = 1, 2, ..., k. Queste espressioni si possono semplificare in:

nb0 +b1n

i=1 xi1 +b2n

i=1 xi2 + . . . +bkn

i=1 xik =n

i=1 yib0n

i=1 xi1 +b1n

i=1 x2i1 +b2

ni=1 xi1xi2 + . . . +bk

ni=1 xi1xik =

ni=1 xi1yi

......

......

...b0n

i=1 xik +b1n

i=1 xikxi1 +b2n

i=1 xikxi2 + . . . +bkn

i=1 x2ik =

ni=1 xikyi

Si pu notare come ci siamo p = k+1 equazioni, una per ogni coefficiente di regressione ignoto. Lasoluzione di queste equazioni saranno i coefficienti di regressione b0, b1, ..., bk. Si pu anche risol-vere lo stesso problema, in maniera pi compatta, usando una notazione matriciale.Analogamentealla ??:

y = X +

dove

y =

y1y2...yn

, X =

1 x11 x12 . . . x1k1 x21 x22 . . . x2k...

......

...1 xn1 xn2 . . . xnk

, =01...k

, =12...n

Vogliamo trovare il vettore b che minimizza:

L =ni=1

2i = T = (y X)T (y X) = yTy 2TXTy + TXTX

QuindiL

b

= 2XTy + 2XTXb = 0

che si semplificaXTy = XTXb b = (XTX)1XTy

La retta di regressione fittata avr la forma:

y = Xb

Una volta tracciata la retta di regressione, prima della fase di ottimizzazione, si fa unanalisisulla varianza e sui residui per verificare che:

l modello di regressione sia consistente rispetto al modello reale

quali variabili indipendenti influenzano di pi la risposta

se eliminare variabili indipendenti che influenzano in maniera trascurabile la risposta, o seaggiungere altri ignorati in precedenza


1.7.2 Metodi Metaeuristici

I metodi basati sul calcolo del gradiente presentano molto spesso delle difficolt, dovuti allapresenza di variabili sia di tipo discreto che continuo, di spazi di designe discontinui, e dalladifficolt di calcolare il gradiente del problema, che possono portare spesso a calcolare ottimi localimolto vicini alla soluzione iniziale. Per questi motivi, si sono sviluppati metodi di ottimizzazioneche fanno uso di popolazioni di soluzioni della funzione obiettivo, e che quindi possono spaziarenellintero design space, trovando ottimi globali al problema da ottimizzare. Essi hanno bisognosolo del calcolo della funzione obiettivo, e quindi viene meno linconveniente di dover calcolare ilgradiente. Tra i vari metodi che si sono ultimamente sviluppati, abbiamo:

Algoritmi Genetici(GA)

Simulated Annealing(SA)

Harmony Search(HS)

Particle Swarm Optimizazion(PSO)

Big Bang Big Crunch(BBBC)

Algoritmi Genetici

Gli Algoritmi Genetici sono ispirati dal principio di selezione naturale e evoluzione di Darwin.Innanzitutto le variabili di design sono rappresentate da stringhe di numeri binari; infatti unvettore di design l, definito da n variabili di design, sar composto da l = nq bit, dove q e lalunghezza delle stringhe che rappresentato le variabili di design, e che si tende a normalizzareaffinch tutte le variabili vengano rappresentate con lo stesso numero di bit, questo per facilitaregli operatori che compongono lalgoritmo ver e proprio. Si pu intuire che questo procedimento particolarmente indicato per problemi in cui le variabili siano discrete, poich in caso di variabilicontinue si introduce un errore di approssimazione pi o meno grande in base al numero di bitq usati per rappresentare le variabili.Per esempio, se vogliamo rappresentare un vettore di design costituito da n = 4 variabili, x1 = 18,x2 = 3, x3 = 1, x4 = 4, la rappresentazione binaria sar:

X = |10010|00011|00001|00100|

Una volta rappresentata in sistema binario la popolazione di vettori di design iniziale, scelta inmodo pi o meno arbitrario, ad essi viene associata una certa Fitness, ovvero si calcola per ogniindividuo la sua funzione di fitness, che una funzione che deve definire quanto una soluzione siapi o meno ottima e quindi meritevole di essere mantenuta nella popolazione usata dallalgoritmo.Infatti subito dopo si opera loperatore Selezione, ovvero si scelgono gli individui che verrannopoi usati nelle operazioni successive. In generale, una volta associato per ogni design Xi unvalore di fitness Fi, si valuta la probabilit pi che esso venga scelto:

pi =Finj=1 Fj

con j = 1, n

dove n il numero di individui nella popolazione. In seguito si genera per ogni individuo unnumero random compreso fra 0 e 1 e se questo pi grande della probabilit pi, esso viene scelto.Dopo aver scelto un numero adeguato di individui, si opera il Cross-over. Lidea base che,da individui con unalta fitness, si generino nuovi individui che siano composti da variabili didesign provenienti dai genitori. Esistono infiniti metodi di cross-over, uno dei pi semplici il


single-point crossover, ovvero, i nuovi individui vengono generati scambiando una sola variabiledi design tra i parenti. Ad esempio:

Genitore1 X1 = 010|1010011Genitore2 X2 = 100|0111100

I corrispondenti figli(child) generati saranno:

Figlio1 X3 = 010|1010011Figlio2 X4 = 100|0111100

Siccome gli individui generati sono combinazione di individui con alti valori di fitness, ci siaspetta che siano migliori degli stessi genitori, soprattutto se si scelto il giusto punto di cross-over. Questo per non a priori noto, quindi il punto di cross-over viene scelto casualmente. Sei nuovi individui saranno migliori dei genitori, allora la soluzione del problema di ottimizzazionesar pi veloce, se ci non avviene, nel nuovo processo di gli individui che non migliorerannola popolazione verranno scartati nel processo di scelta in base alla fitness che verr ricalcolataper i nuovi individui generati. Per questo motivo si cerca di non usare tutti i migliori vettoridi design possibili nella fase di design, cosicch, anche nel caso di una generazione di individuicon minor fitness nella fase di cross-over, la fitness media della popolazione usata sia comunquedi alta qualit. Questo previene deterioramenti che possono inficiare il raggiungimento dellaconvergenza verso lottimo globale.Una volta terminato il processo di cross-over, si usa loperazione mutazione. Ci sono vari metodiper implementare questo operatore. Uno dei pi semplici utilizzati pu essere quello di cambiareil valore di un bit nella stringa che caratterizza lindividuo, ovvero di scambiare lo 0 con l1 oviceversa, in base a una piccola probabilit pm. Nella pratica, per ogni bit della stringa vienegenerato un numero random, se esso maggiore della probabilit pm allora si cambia il valoredi quel bit, in caso contrario il bit viene lasciato inalterato. Lo scopo di questa procedura, cheprende spunto dal processo di mutazione del gene nel DNA, quello di ampliare lo spazio diricerca di soluzione, che con il solo cross-over, rimarebbe confinato in piccole regioni di spazio,portando la soluzione a converge verso ottimi locali, e ignorando eventuali ottimi globali.Ad esempio, se prendiamo una popolazione di 5 individui:

10001|0001110111|1010011000|0110110110|1001011100|01001

Tutti gli individui hanno come primo bit il valore 1. Ammettendo che lottimo globale abbiacome valore del primo bit 0, questo ottimo non sar generato in nessun caso ne con la selezione,ne con il cross-over. Per questo si rende necessario loperatore mutazione.

Simulated Annealing

Il Simulated Annealing prende spunto dal processo di raffreddamento dei metalli osservato inmetallurgia. Ad alte temperature, gli atomi nel metallo fuso possono muoversi liberamente nellastruttura, e quindi sono libere di avere qualsiasi valore di energia interna. A basse temperature,man mano che la temperatura del metallo diminuisce, gli atomi diventano meno liberi, potendoscegliere solo determinati valori di energia, portando poi quella che la formazione dei cristalli


che determinano la struttura a raffreddamento terminato. La probabilit che un determinatoatomo assuma una certa energia interna E matematicamente rappresentato dalla distribuzionedi probabilit di Boltzmann:

P (E) = eEkT

dove P (E) la probabilit che una particella possa avere una energia E, k la costante diBoltzmann e T la temperatura posseduta dalla particella. Ad alte temperature vediamo comeil range di energia che la particella pu raggiungere sia molto elevato, e si restringe man manoche la temperatura T diminuisce. A basse temperature, il range di energia diventa molto piccolo.Il Simulated Annealing prende in prestito questi concetti, infatti partendo da un vettore di designXi, si perturba pi o meno casualmente il valore delle variabili di design, generando un secondovettore di design Xi+1. Si calcola il valore fi+1(Xi+1) della funzione obiettivo associata a quelvettore di design e si calcola:

f = fi+1 fi = fi+1(Xi+1) fi(Xi)

Il f cos trovato pu essere associato concettualmente alla differenza di energia E. Infattisecondo il criterio di Metropolis, la probabilit che la nuova soluzione fi+1(Xi+1) venga accettata,deve seguire la distribuzione di Boltzmann, sostituendo al E, il f .

P [fi+1] = efkT

Notiamo subito che se f < 0, la probabilit P [fi+1] = 1, ovvero se la soluzione trovata migliore della soluzione iniziale, essa automaticamente accettata, come logica suggerisce. Manel caso f > 0, quindi di soluzione peggiore rispetto a quella iniziale, essa viene accettata conuna probabilit uguale a P [fi+1] = e

fkT . Nella pratica,si genera un numero random tra 0 e 1, e

se esso maggiore della probabilit P [fi+1], la soluzione viene accettata. Se dal punto di vistalogico, laccettazione di una soluzione peggiore pu sembrare in antitesi rispetto alla volont diconvergere verso un ottimo globale, essa invece giustificata dalla necessit di non far convergeresubito la soluzione a un ottimo locale nellintorno della soluzione iniziale, ma, soprattutto nellefasi iniziali del metodo, di poter esplorare lintera regione di design. Lalgoritmo viene controllatomodificando la temperatura: allinizio, quando si vuole esplorare lintero spazio di design e nonrimanere subito bloccati in un ottimo locale, essa viene mantenuta alta. Man mano che siva avanti nelle iterazioni, essa viene abbassata, permettendo alla soluzione di convergere versolottimo globale.La scelta della velocit di raffreddamento diventa importantissima nella convergenza del metodo:per un raffreddamento troppo lento, il costo computazione del metodo pu diventare moltogrande, confliggendo con esigenze di tempo e costo. Per raffreddamenti troppo rapidi, la soluzionepotrebbe convergere presto a un ottimo locale, inficiandone i risultati(riprendendo un parallelismocon la metallurgia, un raffreddamento molto rapido porta alla nascita di difetti nel materiale)Un esempio di procedura potrebbe essere la seguente:

Harmony Search

Il metodo dellHarmony Search derivato dal meccanismo di improvvisazione delle orchestrejazz.Volendo massimizzare(o minimizzare) la funzione f(X), soggetta ai vincoli di uguaglianza edisuguaglianza:

hi(X) = 0 i = 1.....p

gi(X) 0 i = 1.....q


e ogni variabile di design x : I pu assumere, se discreta

xi Xi = xi(1).....xi(k).....xi(Ki)

o se continuaxLi xi xUi

I parametri fondamentali che definiscono lalgoritmo sono

HMS

HMCR

PAR

Il primo passo quello di creare dei vettori soluzioni, aventi N variabili di design, generaticasualmente e raggrupparli nella matrice [HM], ovvero lHarmony Memory :

HM =

x11 x

12 . . . x

1N1 x

1N

x21 x22 . . . x

2N1 x

2N

......

......

...xHMS11 x

HMS12 . . . x

HMS1N1 x

HMS1N

xHMS1 xHMS2 . . . x

HMSN1 x

HMSN

che ha per righe i vettori di design e per colonne i valori delle singole variabili di ottimizzazione.HMS il numero massimo di vettori di design immagazzinabili nella [HM].Una volta generata la matrice, si ordinano i valori seguendo un criterio di ottimalit. Nel casoad esempio di minimizzazione del valore di una funzione come problema di ottimizzazione, siordinano per valori crescenti, ovvero la prima riga sar il vettore soluzione il cui valore corri-spondente della funzione sar quello minimo. A questo punto si inizia il processo di generazionedelle nuove armonie. Ogni variabile,del nuovo vettore soluzione XNEW , xNEWi viene scelta ca-sualmente dallinsieme dei valori che quella variabile assume in tutte le armonie dellHarmonyMemory,con una probabilit HMCR(harmony memory considering rate) quindi:

xji x1i , x2i ....., xHMS1i , xHMSiLindice j viene calcolato usando una distribuzione uniforme U(0, 1):

j int(U(0, 1) HMS) + 1

Se ad esempio di usa una [U(0, 1)]2 valori bassi di j verranno scelti pi frequentemente, facendodiventare lalgoritmo pi elitario, scegliendo cos da vettori soluzioni(armonie) migliori. Con unaprobabilit (1 HMCR) la nuova variabile viene scelta nel range permesso dal suo spazio didesign, quindi

xi Xi = xi(1).....xi(k).....xi(Ki) se discretaxLi xi xUi se continua

Se il valore di xNEWi scelto tra i valori di [HM], si applica, con una probabilit PAR, ilprocesso di pitch adjustmet, che possiamo considerare lanalogo delloperatore mutazione neglialgoritmi genetici. Esso infatti per le variabili discrete,se xNEWi = xi(k), dove k individua laposizione nel vettore che raggruppa tutte i possibili valori che la variabile pu assumere, modificaxNEWi = xi(k) xi(k + m), dove m1, 1. In caso di variabile continua xNEWi = xNEWi + ,


dove = U(0, 1) FW (j); FW distanza arbitraria.Una volta terminato il processo si valuta la funzione obiettivo per la nuova armonia, e se essa migliore di una o pi armonie presenti nellHarmony Memory, la si sostituisce al posto dellapeggiore armonia gi presente nell[HM ]. Uno dei limiti dellHarmony Search che non ccertezza che una nuova armonia generata sia migliore delle precedenti, per questo lalgoritmosi interrompe quando si raggiunto il limite massimo di iterazioni, che viene deciso a priori,in base a esigenze di costo computazionale, o quando un certo numero di armonie generate nonmigliorano in modo sensibile l[HM]. Infine si prende il come vettore di design quello che ottimizzameglio la funzione obiettivo.

Particle Swarm Optimization

Il Particle Swarm Optimization si ispira al comportamento degli sciami di insetti, stormi di uccellio banchi di pesci. Si osservato come un singolo individuo di ogni stormo o sciame, si muovesia guidato da una sua intelligenza, sia da una specie di "coscienza collettiva". Un esempio ilcomportamento di un uccello in uno stormo. Egli segue semplici regole:

1. non andare troppo vicino agli altri uccelli

2. si muove verso la "posizione media" degli altri uccelli

3. cerca di muoversi insieme allo stormo cercando di non creare troppo spazio tra se e gli altriindividui

Questo comportamento si pu riassumere in tre concetti di base:

CoesioneMuoversi in gruppo

SeparazioneNon stare troppo vicini

AllineamentoMuoversi seguendo la direzione del gruppo

Lalgoritmo PSO

appuntipaadfds

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