Moment kuvvet ifti

ekme ve basn kuvveti

Deformasyon

Kesitte dnme

As : Kesitteki toplam ekme donats Fs : elikteki toplam ekme kuvveti Fc : Betondaki basn kuvveti z : Moment kolu s : elik birim uzamas c : Betonun en ok zorlanan lifindeki birim ksalma Yatay denge: Fs= Fc (kuvvet ifti) Moment : Md = Fs z = Fc z

Betonda birim ksalma

elikte birim uzama

Kirie etkiyen Md momenti Fc ve Fs den oluan kuvvet iftine edeerdir, Fc=Fs dir ve z moment koludur. Kiriin st lifleri Fc basn kuvvetinin, alt lifleri Fs ekme kuvvetinin etkisindedir. Betonun basn dayanm yksek olduundan Fc kuvvetini tayabilir. ekme kuvvetini beton tayamaz, atlar. Fs ekme kuvvetinin tamamn toplam alan As olan donat karlamak zorundadr. Betonun st lifleri c birim ksalmasna, elik ubuklar s birim uzamasna urar, kesit dner. Kesitin dndkten sonra da dzlem kald varsaylr (BERNOULLI/NAVIER hipotezi). Bu varsaym, deformasyon diyagramnn kesit yksekliince dorusal (lineer) deitii anlamndadr.

Kesitte deformasyon-gerilme dalm aamalarKiri kesitindeki moment Md1 < Md2 < Md3 < Md4 olacak ekilde, beton ezilinceye kadar, yava yava artrlrsa kesitteki deformasyon ve i kuvvetler 1, 2, 3 ve 4 nolu ekillerde gsterildii gibi olur. Deformasyon diyagramnda ksalmalar saa uzamalar sola doru izilmitir.Basn taraf

ERSOY/ZCEBE, S. 94

En ok zorlanan beton lifinde birim ksalmac1

En ok zorlanan beton lifinde gerilmec1 C2

=

C0

C2= fc

Tarafsz eksenin derinlii

Kiri

Md1

Betonda gerilme dalm

Md2 TE TE

TETarafsz eksen elikte birim uzama Betonda birim Uzamac

TEelik ekme kuvveti

Fs1C0.001 w=0.0017>0.3.1.2/365.22=0.0010=As bw d

ekme donats orannn alt snr:

0 .8

f ctd f yd

'=

As' bw dAsgvde bw d

Gvde donats orannn alt snr:

gvde = 0.001Sarg(etriye) donats orannn alt snr:

gvde =

w =

Asw sbw

w 0 .3

f ctd f ywd

=0.0038-0.0015=0.0023 0.8.1.07/365.22 = 0.0023

4 250 Kesit

=

As bw d

0.8

f ctd f yd

olduundan donat oran ynetmeliklere uygundur.

Tek donatl, denge alt donatlm dikdrtgen kesitli kiriin tama gca/2

ERSOY/ZCEBE, S. 234

Denge alt donatl kesitlerde nce elik akar, s > sd, s = fyd olur. elik uzamaya devam ederken betondaki birim ksalma da giderek artar, c = cu = 0.003 olur ve beton ezilir. Krlma snektir (ekme krlmas). Ynetmelikler sadece denge alt donatl kesitlere izin verirler. Fs elik kuvveti bellidir. Momentin hesaplanabilmesi iin a gerilme blou derinliinin belirlenmesi gerekir.

a=k1c

a

c

d-c

h

d-a/2

d

a/2

Eksenel kuvvet dengesi: Fc = Fs 0.85 f cd abw = As f yd a = Tarafsz eksenin yeri: As f yd 0.85bw f cd

a = k1c c = a / k1a=k1c a/2

c

Kiriin moment tama gc:d-a/2

h

d

a

Fs=Fc kuvvet iftinin momenti kiriin krlma anndaki momentini, yani moment tama gcn verir. Mr = Fs (d-a/2) = Fc (d-a/2) olur. Mr yi elik kuvvetinden hesaplamak daha basittir:

d-c

Kesit boyutlar (bw, d, h), donat alan (As ), malzemesi (beton/elik snf) ve denge alt donatld bilinen dikdrtgen kesitin moment tama gc ( Mr ) ne kadardr?

a M r = As f yd (d ) 2

RNEK: Tek donatl, denge alt donatlm, dikdrtgen kesitli kiriin tama gcVerilenler: yi denetimli bir antiyede yaplm kiriin boyutlar, donats, g (sabit) ve q (hareketli) karakteristik ykleri , malzemesi: C20/25/S420a. Montaj donats dikkate alnmayacaktr. stenen: Kiri verilen ykleri gvenle tayabilir mi? Krlma anndaki ekil deitirme ve i kuvvet durumunu ekil zerinde gsteriniz. ZM: Kiriin gvenli olmas iin, 1) Gevrek krlma nlenmi, yani kiri denge alt donatl olmal, donat oran aadaki koullar salamal: 0.85 b , 0.02 (max donat oran) 0.8 fctd /fyd (min donat oran) 2) Kiriin moment tama gc, yklerden oluan tasarm momentinden byk veya eit olmal1: Mr Md C20/25/S420a malzemesi iin: mc =1.5, ms=1.15 fck=20 N/mm2, fctk=1.6 N/mm2 , fyk=420 N/mm2 k1=0.85 fcd=20/1.5=13.33 N/mm2, fctd=1.6/1.5=1.07 N/mm2 fyd=420/1.15=365.22 N/mm2 b=0.0164 (tablodan)----------------------------1 Kiriin gvenli olmas iin V V koulunun da salanmas gerekir. r d

ERSOY/ZCEBE, S. 236(benzeri)

500 mm

Kesme hesab henz anlatlmad iin bu kontrol yaplmayacaktr.

30

ekme donats oran kontrol: As=1018 mm2, = 1018/(250.470) = 0.0087 = 0.0087 < 0.85b = 0.85. 0.0164 = 0.0139 (denge alt donatl) = 0.0087 < 0.02 = 0.0087 > 0.8 . 1.07 /365.22 = 0.0023 Tasarm momenti: Mg = 20.52/8 = 62.5 kN.m (sabit ykten) Mq =10.52/8 = 31.3 kN.m (hareketli ykten) Karakteristik yk etkileri

Md = 1.4.62.5+1.6.31.3 = 137.6 kN.m (tasarm momenti) Basn blou ve tarafsz eksenin derinlii: a=1018.365.22/0.85/250/13.33=131.3 mm c=131.3/0.85=154.5 mm Moment tama gc: Mr = 1018.365.22(470-131.3/2) = 150334888 N.mm Mr=150.3 kN.m (moment tama gc) Mr = 150.3 kN.m > Md = 137.6 kN.m olduundan kiri verilen ykleri gvenle tar.a M r = As f yd (d ) 2

Krlma annda ekil deitirme ve i kuvvet durumu:

a=

As f yd 0.85bw f cd

c = a / k1

RNEK: Tek donatl, denge alt donatlm, dikdrtgen kesitli kiriin tama gcVerilenler: yi denetimli bir antiyede yaplm kiriin boyutlar, donats, g karakteristik sabit yk, malzemesi: C20/25/S420a. Montaj donats dikkate alnmayacaktr.500 mm

ZM: Yklerden oluan tasarm momenti kiriin moment tama gcnden kk veya eit olmaldr1: Md Mr Moment kapasitesi: Kiri kesiti bir nceki rnek ile ayn olduundan moment tama30

gc de ayndr: Mr= 150.3 kN.m Tasarm momenti:

stenen: Kiriin gvenle tayabilecei maksimum q karakteristik hareketli yk ne kadardr?

Mg = 20.52/8 = 62.5 kN.m (sabit ykten) Mq = q.52/8 = 3.125q kN.m (hareketli ykten)

Md = 1.4.62.5+1.6.3.125q = 87.5+5.0q Kiriin gvenle tayabilecei maksimum q karakteristik yk: Md Mr olmal. 87.5+5.0q 150.25 q = 12.6 kN/m bulunur.

----------------------------1 Kiriin gvenli olmas iin V V koulunun da salanmas gerekir. Kesme hesab henz anlatlmad iin bu kontrol yaplmayacaktr. r d

ift donatl, denge alt donatlm dikdrtgen kesitli kiriin tama gc

ERSOY/ZCEBE, S. 238-243

Basn donats ekme donats

= '

A bw

s

d' s

(ekme donats oran)

=

A bw

d

(basn donats oran)

Tek donatl kiriin moment kapasitesi yetersiz kaldnda, kapasiteyi artrmak iin ya kiri kesiti (bw . d) bytlr yada basn blgesine de donat konur. ekilde basn donats As ile ekme donats da As ile gsterilmitir. Basn donats ayn zamanda montaj grevi grr, ayrca montaj donats konmaz. kuvvetler 1.modelin ve 2.modelin toplam olarak dnlebilir. As = As1+ As2 dir. Dengeli donat durumunda As akar, yleyse s =fyd , Fs=Fs2 , As=As2, As1=As-As olur. Dengeli krlma As1 donatsnn akmas, uzamas ve daha sonra da betonun ezilmesi ile olur. nk, ikinci modelde beton kuvveti yoktur, sadece elik ubuklarda kuvvetler vardr. As2 ve As snek malzemelerdir; aksalar dahi, beton olmad iin, ikinci modelde gevrek krlma olmaz. O halde krlmann trn tek donatl olan birinci model belirleyecektir. Bu nedenle, As1 donatsnn oran, tek donatl kesite ait b den kk olmaldr.

1. Modeldeki As1 donatsnn oran:As 1 A As' A A' b s = s s ' b bw d bw d bw d b w d

TS500-2000, gvenlik ve sneklik nedeniyle, - ve oranlarn aadaki gibi snrlamaktadr:

' 0 . 85 b 0 . 02Eksenel denge :

TS500-2000, S. 23 Deprem Ynetmelii-2007, Madde 3.4.2.1 ERSOY/ZCEBE, S. 261

Fc+ Fs - Fs= 0 Mr = Fc (d-k1c/2)+Fs (d-d) : Fc = 0.85fcd bw k1c Fs = As s Fs = Asfyd' ' 0.85 f cd bw k1c + As s As f yd = 0

Moment tama gc: Beton bileke kuvveti

Basn donats kuvveti : ekme donats kuvveti : Eksenel denge Moment tama gc : :

( s = Ess fyd)

(1)

M r = 0.85 f cd bw k1c(d

k1c ) + As' s' (d d ' ) (2) 2

(1) ve (2) bantlarnda sadece c ve s bilinmiyor!

Uygunluk koulu

:

s'0.003

=

cd' c d' s' = 0.003 c c

(3)'

Basn donats gerilmesi : ' = E ' f ' = E 0.003 c d f (4) s s s yd s s yd c zm, basn donatsnn akp akmadna baldr! Akmsa s=fyd alnacaktr , akmamsa s = Ess den hesaplanacaktr. Basn donats, en ok zorlanan beton lifine yakn olduundan, uygulamada genellikle akar. Moment kapasitesinin hesab iin aadaki yol izlenir.

Hesap iin algoritma

Hesap sras: 1. Kesit denge alt m? bak; - 0.85 b olmal! nun alt ve st snrlarn kontrol et. 2. As basn donatsnn aktn varsay, s = fyd al, (1) de yerine koy c yi hesapla:c = ( A s A s' ) fyd

0 . 85 f cd b w k 1

3. s deerini hesapla:' s

= 0 . 003 E s

c d c

'

a) s fyd ise As basn donats akmtr, yani varsaym ve hesaplanan c dorudur. Bu c ve s = fyd deerini (2) ifadesinde yerine koy Mr yi bul, hesab bitir. b) s< fyd ise, basn donats akmamtr, yani varsaym ve hesaplanan c doru deildir. ( 4) ifadesinin (1) de yerine konmasyla bulunan0 . 85 f cd b w k 1 c 2 + ( 0 . 003 E s A s' A s f yd ) c 0 . 003 E s A s' d ' = 0

bantsndan c nin yeni deerini ve

' s

= E s 0 . 003

c d c

'

deerini hesapla, bu c ve s son deerlerini

(2) de yerine yaz, Mr yi bul, hesab bitir.

RNEK: ift donatl dikdrtgen kesit

ERSOY/ZCEBE, S. 243

Verilenler: yi denetimli bir antiyede yaplm kiriin aklna ait kesit boyutlar. Donat: As=1580 mm2 , As=520 mm2. Malzeme: C16/20/S420a stenen: Kiriin tama gc ne kadardr?

As Mr =? As 300

ZM: C16/20/S420a malzemesi iin: mc =1.5, ms=1.15 fck=16 N/mm2, fctk=1.4 N/mm2 , fyk=420 N/mm2 k1=0.85, Es=2 . 105 N/mm2 fcd=16/1.5=10.67 N/mm2, fctd=1.4/1.5=0.93 N/mm2 fyd=420/1.15=365.22 N/mm2 1. Donat oran kontrol: As=1580 mm2, =1580/(300.450)=0.0117 As=520 mm2, =520/(300.450)=0.0039 b =0.0131 (dengeli donat oranlar tablosundan) 0.0117-0.0039= 0.0078 f yd = 365 . 22 N/mm 3. = 0 .003 2 10 c 167 . 4 a) s>fyd , yani As donats akmtr. Varsaym, dolaysyla hesaplanan c dorudur:

M r = 0 . 85 10 . 67 300 0 . 85 167 . 4 ( 450 0 . 85 167 . 4 / 2 ) + 520 365 . 22 ( 450 30 )

M r = 226437665 N mm 226 .4 kN m

M

r

= 0 . 85 f cd b w k 1 c ( d

k 1c ) + A s' s' ( d d ' ) 2

RNEK: ift donatl dikdrtgen kesit Verilenler: yi denetimli bir antiyede yaplm kiriin aklna ait kesit boyutlar. Donat: As=1580 mm2 , As=1200 mm2. Malzeme: C16/20/S420a stenen: Kiriin tama gc ne kadardr? ZM: C16/20/S420a malzemesi iin mc =1.5, ms=1.15 fck=16 N/mm2, fctk=1.4 N/mm2 , fyk=420 N/mm2 k1=0.85, Es=2 . 105 N/mm2 fcd=16/1.5=10.67 N/mm2, fctd=1.4/1.5=0.93 N/mm2 fyd=420/1.15=365.22 N/mm2

ERSOY/ZCEBE, S. 244

As Mr =? As 300

1. Donat oran kontrol: As=1580 mm2, =1580/(300.450)=0.0117 As=1200 mm2, =1200/(300.450)=0.0089 b =0.0131 (ERSOY/ZCEBE, S. 235, izelge 5.1) 0.0117-0.0089= 0.0028