c3 lecture note 07 -...

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系統之頻域分析

國立台灣大學生物機電系林達德

631 U7860 生物系統模擬與分析 Lecture 07-2

壹、特性方程式與轉移函數

貳、一階系統

參、二階系統

肆、高階系統

伍、其他系統表示形式

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壹、特性方程式與轉移函數

　　許多動態系統之特性可以利用線性與常數係數之微分方程式加以描述：

此微分方程式之解為：

其中xh(t)可以下列形式表示：

代入微分方程式之Homogeneous equation中得

)(011

1

1 tGuxadtdxa

dtxda

dtxda n

n

nn

n

n =++++ −

−

− L

)()()( txtxtx ph +=

th Cetx λ=)(

0011

1 =++++ −−

tttnn

tnn CeaeCaeCaeCa λλλλ λλλ L



上式簡化後即得系統之特性方程式(Characteristic equation)如下：

　　系統之特性反應於此特徵方程式各根之性質。若各根相異，即此特徵方程式有n個解，又因此式為線性方程式，故由重疊之原理可得：

　　因此由上式可知各根之特性透露系統之穩定性與對外部輸入之反應特性。

0011

1 =++++ −− aaaa nn

nn λλλ L

ttn

tnh eCeCeCtx nn 11

11)( λλλ +++= −− L

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　　對於線性系統而言，另一有用的表示式為轉移函數

(Transfer function)。對只有單一輸入的線性系統，轉移函數可視為系統輸出對於輸入的比值，而轉移函數的推導則是由系統方程式的Laplace轉換求得：

而系統的輸出對輸入之比值為

)()(][ 011

1 sGUsXasasasa nn

nn =++++ −

− L

011

1)()()(

asasasaG

sUsXsTF n

nn

n ++++== −

− L



若系統的輸入有微分項，則對於等號右端之輸入部進行

Laplace轉換可求得：

因此轉移函數如下式所列

其中k≦n。

)() ())(( 011

1 sUsssGtf kk

kk ββββ ++++= −

− L￡

011

1

011

1 )()()(

asasasasssG

sUsX

nn

nn

kk

kk

+++++++

= −−

−−

L

L ββββ

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貳、一階系統　　以下以RC線路來說明一階系統的頻域特性：

其系統方程式為：

若考慮其輸入為振幅為E的調和函數電壓

則方程式成為

)(011 teeeRC =+&

tEte ω cos )(0 =

tEeeRC ω cos 11 =+&



比照一階微分方程的標準式

其所對應的Homogeneous equation為

而其解為

代入特性方程式中則可得

對於一個具有調和函數形式的輸入而言

)(tGuxx =+&τ

0=+ xx&τ

th Aetx λ=)(

τλ /1−=

tGutGu ω cos )( 0=

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微分方程式的解為：

其中

，

在探討系統頻域特性時，是以系統的穩態響應加以考慮，因此基本上假設特性方程式的根為負數，否則系統為不穩定。

state) (steady )(transient particular homogenous

)( cos )( φωλ ++= tBAetx t

220

1 τω+=

GuB )(tan 1 ωτφ −= −



　　對於前面RC線路而言

因此RC線路的振幅與相位分別為：

　　　　

若以轉移函數的觀點來看輸出對輸入的比值

則經過正規化後RC線路系統的頻域響應如下圖：

EGuRC == 0 and τ

221 τω+=

EB )(tan 1 ωτφ −= −

2222 11

1 τωτω +=

+E

E

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上圖習慣用對數座標之波德圖(Bode plot)表示之，而振幅的對數座標則是依下式計算：

　　上圖(a)中兩條直線交點稱為轉角頻率(Corner frequency)或中斷頻率(Break frequency)，該點的頻率為時間常數τ的倒數。

　　由上面的波德圖亦可看出本RC線路具有低通濾波器的特性，通過頻率的高低可以由電阻或電容來調整。

)(log 20dB 010 GuB=

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　　接下來我們說明以Laplace變換來求得系統頻域響

應的另種方法。首先求的微分方程式的Laplace變換式為：

因此

上式中再以jω取代s，則可求得轉移函數的複數形式如下：

轉移函數的振幅與相位因此為

　　　　

此結果與前面由微分方程式解所推得之結果相同。

)()()( 11 sEUsEssE =+τ

1)()(1

+=

τsE

sUsE

1)()(TF 1

+==

ωτωω

jE

jUjE

)1MAG()MAG((TF)MAGTF+

==ωτjE

221TF

τω+=

E)(tan-1 ωτφ −=

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一階的機械系統

其系統方程式為：

經Laplace轉換後

以jω取代s

因此其響應之振幅與相位分別為：

0)( =−+ yxbxm &&&& ybbm && =+ υυ

)()()( sbcYsbVsmsV =+1)(

)(+

=+

=ss

bmsbs

sYsV

τ

bmjbj

jYjV

+=

ωω

ωω

)()(

222 bmbA

+=

ωω

−= −

bmωφ 1tan90o



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參、二階系統　　以下以一個機械系統來說明二階系統的頻域特性：

系統方程式為：

系統之自然頻率(Natural frequency)為：

tFkxxbxm ωcos0=++ &&&

tkFxx

kbx

km ωcos0=++ &&&

txxxxnn

ωωζ

ωcos21

02 =++ &&&

mkn =ω

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阻尼比(Damping ratio)為：

其中為臨界阻尼因數(Critical damping factor)系統的特性方程式則為：

其根分別為：

或　

cbb

=ζ

kmbc 2=

0121 22 =++ λ

ωζλ

ω nn

−±−= 22

22

2,1442

2 nnn

n

ωωζ

ωζωλ

)1( 22,1 −±−= ζζωλ n



因此微分方程式的Homogeneous solution為：

系統的穩定性則視阻尼比之值而定，若阻尼比小於1則根為共軛複數，系統為Underdamping。

tth eCeCtx 21

21)( λλ +=

( )22,1 1 ζζωλ −±−= jn

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系統的響應為

其振幅與相位則分別為

其中

)cos( )2()1(

)cos()(222

0

φωωζω

φω

+=

+−

+=

tA

txtx

2220

)2()1( ωζω +−=

xA

−−=

2-1 12tan ωωζφ

nωωω /=



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以下繼續利用轉移函數來求系統的頻域響應。微分方程式經過Laplace轉換後可得：

因此轉移函數為

由上式求得與前面相同之振幅與相位

( ) ( )sUxsXssnn

02

2

12=

++

ωζ

ω

( )( ) 12

2

20

++=

nn

ssx

sUsX

ωζ

ω( )( ) ωζωωω

212

0

jx

jUjX

+−=

( )222

0

21 ωζω +

−

=xA

−−=

21- 1/2tan ωωζφ

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肆、高階系統　以下我們以一個氣壓伺服系

統與一個轉矩傳動系統來說明高階系統的頻域特性：

右圖之氣壓伺服系統，其系統微分方程式為三階，其推導詳見課本第七章：

系統的轉移函數為

uzzzz γααα =+++ &&&&&& 123

in/in 76.20sec100972.3sec109107.2sec108068.7

21

242

363

=

×=

×=

×=

−

−

−

γα

α

α

( )( ) [ ]11

22

33 +++

=ssssU

sZααα

γ

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轉矩傳動系統

系統之微分方程式如下所示，其推導請詳見課本第三章：

( )[ ] [ ]TkbDDJbkDkDJbDJJDJJ ++=++++ 212

22

321

421 θ



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伍、其他系統表示形式

　　

( ) ( )( )sss

sss

nn

kk

densnum TF

01

01 =+++

+++=

αααβββ

L

L

( )( ) ( )kkk zszszsKss +++=+++ LL 21101 βββ

( )( ) ( )nnn pspspsKss +++=+++ LL 21201 ααα

　　線性系統的轉移函數可以表示為兩個多項式的比值：

分子與分母的多項式可以利用因子分解分別整理成下面兩式：



其中-zi為分子多項式的根，稱為零點(zeros)，-pi則為分母多項式的根，稱為極點(poles)。　　因此轉移函數可以整理成極零點之形式(Pole-zero transfer function form)：

其中K=K1/K2

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )n

k

pspspszszszsKs

++++++

=L

L

21

21TF

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