calcululunorsumeingimnaziu
TRANSCRIPT
Calculul unor sume in gimnaziu
Calculul unor sume in gimnaziu
Exercitii in care se cere calcularea unei sume de mai multi termeni sunt intalnite chiar in manualele de clasa a-IV-a sau a-V-a.Am considerat necesara demonstrarea unor formule de calcul pentru acestea ,altele decat cele ce folosesc inductia matematica sau o pseudo-inductie matematica,in ideea de a le folosi in rezolvarea unor probleme propuse pentru diferite concursuri.
Calculul unor sume de numere
1. S= 1 +2 +3 + +(n-2) +(n-1) +n
S=n +(n-1)+(n-2)+ + 3 + 2 + 1
2S=n+1+n+1+n+1++n+1+n+1+n+1
2S=n(n+1)
S=
2
)
1
(
+
n
n
2. S=1 + 3 + 5 +..+(2n-5)+(2n-3)+(2n-1)
S=(2n-1)+(2n-3)+(2n-5)++ 5 + 3 + 1
2S=2n + 2n +2n ++ 2n + 2n + 2n
2S=2n.n
S=
n
2
3. S=1 +
x
+
EMBED Equation.3
x
2
++
x
x
n
2
-
+
EMBED Equation.3
x
n
1
-
+
x
n
Sx=
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
x
x
x
x
x
n
n
+
+
+
+
-
+
1
3
.
...
2
Sx-S =
1
1
-
+
x
n
S(x-1) =
1
1
-
+
x
n
S=(
x
n
1
+
-1)/(
x
-1)
4. S=
1
2
+
2
2
+
3
2
++
n
2
Folosind suma primelor n numere naturale impare putem scrie:
1
2
=1
2
2
=1+3
3
2
=1+3+5
.
k
2
=1+3+5++(2k-1)
;..
n
2
=1+3+5++(2k-1)++(2n-1)
Adunand membru cu membru obtinem:
S=n.1+(n-1).3+(n-2).5++(n-k+1).(2k-1)++2.(2n-3)+(2n-1)
Termenul general are forma:(2k-1).(n-k+1) si poate fi scris:
(2k-1).(n-k+1)=(n+1).(2k-1)-2
k
2
+k,atunci:
S=(n+1).(1+3+5++2n-1)-2(
1
2
+
2
2
+
EMBED Equation.3
3
2
++
n
2
)+(1+2+3++n)
3S=(n+1).
n
2
+n(n+1)/2
6S=2.(n+1).
n
2
+n.(n+1)
6S=n(n+1)(2n+1)
S=
6
)
1
2
)(
1
(
+
+
n
n
n
5. S=
2
.
1
1
+
3
.
2
1
+
4
.
3
1
++
)
1
(
1
+
n
n
Se demonstreaza usor ca:
)
1
(
1
+
n
n
=
n
1
-
1
1
+
n
EMBED Equation.3
S=
1
1
-
2
1
+
2
1
-
3
1
++
n
1
-
1
1
+
n
=
1
1
-
1
1
+
n
=
1
+
n
n
Generalizare:
)
(
k
n
n
k
+
=
n
1
-
k
n
+
1
Aplicatii:
a) Calculati suma cifrelor numarului:
x=9+99+999++99..99,unde ultimul termen are 2008 cifre.
Numarul x se mai poate scrie:
EMBED Equation.3
x=10-1+
10
2
-1+
10
3
-1++
10
2008
-1=(10+
10
2
+
10
3
++
10
2008
-1=
=(10+
10
2
+
10
3
++
10
2008
)-2008=10(1+10+
10
2
++
10
2007
)-2008=
=10.
1
10
1
10
2008
-
-
-2008=10.
9
99
..
999
-2008=10.11111-2008=1111109102.In rezultat apare de 2004 ori,deci suma cifrelor va fi :2016.
Generalizare:
Pentru a calcula: S=a+
aa
+
aaa
++
aa
aa
...
se calculeaza:
9
a
(9+99+999++999)
b)Calculati: S=
4
.
1
3
+
9
.
4
5
+
16
.
9
7
++
1849
.
1764
85
Se foloseste relatia:
)
(
k
n
n
k
+
=
n
1
-
k
n
+
1
si avem:
S=
1
1
-
4
1
+
4
1
-
9
1
+
9
1
-
16
1
++
1764
1
-
1849
1
=
1849
1848
c)Sa se calculeze:
S=
)
1
.(
1
1
+
k
+
EMBED Equation.3
)
1
2
)(
1
(
1
+
+
k
k
+
)
1
3
)(
1
2
(
1
+
+
k
k
++
)
1
](
1
)
[(
1
+
+
-
nk
k
n
Se observa ca diferenta dintre factorii de la numitor este k,deci vom inmulti cu k si obtinem:
Sk=
)
1
.(
1
+
k
k
+
)
1
2
)(
1
(
+
+
k
k
k
+
EMBED Equation.3
)
1
3
)(
1
2
(
+
+
k
k
k
++
)
1
](
1
)
1
[(
+
+
-
nk
k
n
k
=
=
1
1
-
1
1
+
k
+
1
1
+
k
-
1
2
1
+
k
+
1
2
1
+
k
-
1
3
1
+
k
++
1
)
1
(
1
+
-
k
n
-
1
1
+
nk
=
=
1
1
-
1
1
+
nk
=
1
1
1
+
-
+
nk
nk
=
1
+
nk
nk
,de unde:S=
1
+
nk
n
.
d)Aratati ca numarul :
N=1+2+
2
2
+
2
3
++
2
2006
nu este patrat perfect.
Calculand N obtinem: N=
2
2007
-1
U(
2
2007
-1)=U(U(
2
2007
)-1)=7.Cum nici un patrat perfect nu se termina in 2,3,7,8 rezulta N nu este patrat perfect.
e)Sa se calculeze suma:
S=
1
2
+
3
2
+
5
2
++
)
1
2
(
2
-
n
EMBED Equation.3
Se porneste de la
)
1
2
(
2
-
n
=4.
n
2
-4.n+1 avem:
1
2
=4.
1
2
-4.1+1
3
2
=4.
2
2
-4.2+1
5
2
=4.
3
2
-4.3+1
.
)
1
2
(
2
-
n
=4.
n
2
-4n+1
Adunand membru cu membru obtinem:
S=4(
1
2
+
2
2
+
3
2
++
n
2
)-4(1+2+3++n)+n=
= 4.
6
)
1
2
)(
1
(
+
+
n
n
n
-4.
2
)
1
(
+
n
n
+n=
3
)
1
2
)(
1
(
2
+
+
n
n
n
-2n(n+1)+n=
=
3
3
)
1
(
6
)
1
2
)(
1
(
2
n
n
n
n
n
n
+
+
-
+
+
=
=
3
)
3
6
6
2
4
2
4
(
2
+
-
-
+
+
+
n
n
n
n
n
=
3
)
1
4
(
2
-
n
n
.
f) Calculati:
S=
2
2
+
4
2
+
6
2
++
2008
2
.Suma mai poate fi scrisa:
S=
)
1
2
(
2
+
)
2
2
(
2
+
)
3
2
(
2
++
)
1004
2
(
2
=
2
2
.
1
2
+
2
2
.
2
2
+
2
2
.
3
2
++
+
2
2
.
1004
2
=
2
2
(
1
2
+
2
2
+
3
2
++
1004
2
)=
6
2009
.
1005
.
1004
.
4
=
=1004.670.2009.
g) Calculati: S=
2
2
+
6
2
+
10
2
++
4014
2
.Suma se mai scrie:
S=
)
1
.
2
(
2
+
EMBED Equation.3
)
3
.
2
(
2
+
)
5
.
2
(
2
++
)
2007
.
2
(
2
=
2
2
.
1
2
+
2
2
.
3
2
+
+ +
2
2
.
2007
2
=4(
1
2
+
3
2
++
2007
2
)=
3
)
1
.
4
(
1004
.
4
1004
2
-
=
=
3
)
1
(
1004
.
4
2008
2
-
=
3
2009
.
2007
.
1004
.
4
=4.1004.669.2009
h) S=1+
2
1
1
+
+
3
2
1
1
+
+
++
2008
...
3
2
1
1
+
+
+
+
=
=1+
2
/
)
3
.
2
(
1
+
2
/
)
4
.
3
(
1
++
2
/
)
2009
.
2008
(
1
=
=1+
3
.
2
2
+
4
.
3
2
++
2009
.
2008
2
=1+2(
+
3
.
2
1
EMBED Equation.3
4
.
3
1
++
2009
.
2008
1
)=
=1+2(
2
1
-
3
1
+
3
1
-
4
1
++
2008
1
-
2009
1
)=1+2(
2
1
-
2009
1
)=1+
2009
2007
=
4009
4016
.
i) (S=1+
x
1
+
x
2
1
+
x
3
1
++
x
n
1
. Suma se mai poate scrie:
S=
x
x
x
n
n
n
x
1
...
1
+
+
+
+
-
=
)
1
(
1
1
-
-
+
x
x
x
n
n
(Aratati ca numarul:
x=
3
1
2
2
+
-
n
n
-
3
2
2
2
4
2
+
-
n
n
--
3
10
2
2
4
2
+
-
n
n
este patrat perfect.
Numarul poate fi scris: x=
3
)
1
(
2
-
n
-
3
)
1
(
2
2
2
-
n
--
3
)
1
(
10
2
2
-
n
=
=
)
1
(
2
-
n
(
3
1
-
3
2
2
--
3
10
2
)=
)
1
(
2
-
n
)[
3
1
-
3
2
2
(1+
3
1
+
3
2
1
++
3
8
1
)]=
=
)
1
(
2
-
n
(
3
1
-
3
2
2
.
3
3
8
9
.
2
1
-
)=
)
1
(
2
-
n
(
3
3
10
9
1
3
1
-
-
)=
)
1
(
2
-
n
.
3
10
1
=patrat perfect.
j) Calculati :S=3+7+11++8035.
Se observa ca diferenta intre factori este 4,ne gandim la teorema impartirii cu rest si constatam:
3=4.0+3
7=4.1+3
11=4.2+3
.
8035=4.2008+3
S=4.0+3+4.1+3+4.2+3++4.2008+3=4(1+2+3+.+2008)+
+2009.3=
2
2009
.
2008
.
4
+6027=4016.2009+6027=2009.4019
Concluzionand in calculul unei sume de mai multi termeni sunt necesare parcurgerea urmatoarelor etape:
_stabilirea numarului de termeni ai sumei;
_identificarea termenului general sau a regulii dupa care sunt construiti termenii sumei;
_identificarea formulei sau lucru pe termenul general si repetarea pe fiecare termen in parte
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
PAGE
1