數學甲考科 1

數學甲考科

指考試題 關鍵解析

102 年

竹南高中／李政豐 老師

102 年指考是 99 課綱的第一次指考，數學甲的考題與 99 課綱三顆星的重點大致相符

合，雖然沒有容易得分的基本題型，但是考題難度比起歷年的試題，並沒有特別艱深，鑑

別度應該是不錯，可以看出命題老師的經驗與用心。至於媒體報導：認為今年數甲是三年 來最難，預估「數甲頂標、前標、均標會由去年的 86、74、53 降為今年的 78、64、41」。以我個

人的看法，分數可能會降低一點，但不會降低這麼多。以下針對今年數學甲的考題，提出一些個人

的見解，敬請各位先進同仁不吝指教。

一、試題分布比較讓大家感到意外的是所涵蓋範圍的變動：

(1) 微積分的配分減少許多，只占 18 分。 (2) 第三冊、第四冊的配分增加許多，占 47 分。 (3) 各單元中以多項式函數、矩陣、直線與圓占分數較多。 (4) 機率占 9 分，但以第二冊的程度就可解決，數學甲Ⅰ第一章機率統計Ⅱ沒有配分。 (5) 第一冊的數與式同樣是三顆星，卻沒有明顯的配分。

102 年數學甲試題配分表

題 型 數學甲測驗內容

單選題 多選題 選填題 非選擇題 配分 標示

數與式 ( 數線上的幾何 ) ***

多項式函數 ( 多項式的運算與應用、 多項式方程式 )

第 1 題 (6 分)

第 5 題 (4 分)

第 7 題 (2 分)

12 分 *** 數學 I

指數、對數函數 第 2 題 (6 分)

6 分 ***

數學 II 機 率 ( 機率的定義與性質、 條件機率與貝氏定理 )

第 3 題 (6 分)

第 4 題 (3 分)

9 分 ***

三角 ( 正弦定理、餘弦定理、 差角公式、三角測量 )

第 A 題 (6 分)

6 分 ***

直線與圓 ( 直線方程式及其 圖形、圓與直線的關係 )

第 5 題 (4 分)

第 B 題 (6 分)

10 分 *** 數學 III

平面向量 第 9 題 (2 分)

2 分 ***

前 言

2 102年指考試題關鍵解析

空間向量 第 4 題 (3 分)

第 9 題 (6 分)

9 分 ***

空間中的平面與直線 第 6 題 (8 分)

8 分 *** 數學Ⅳ

矩 陣 第二題 (12 分)

12 分 ***

機率統計Ⅱ

( 隨機的意義、二項分布 )

*** 數學甲Ⅰ

三角函數 第 8 題

(8 分)

8 分 ***

極限與函數 ( 數列及其極限

、函數的極限 ) 第 7 題

(6 分)

6 分 *** 數學甲Ⅱ

多項式函數的微積分 第一題

(12 分) 12 分 ***

二、試題的題型：

(1) 單選第 1 題、多選的第 8 題，都是常見的考古題，考生相對容易作答。 (2) 單選第 2 題，對數圖形繪圖，以及用對數來表示圖形交點坐標，是學生比較弱的部分。 (3) 多選第 6 題，當平面的法向量有未知數時，無法一眼看出三平面相交的情形，最好借助係數

行列式與克拉瑪公式來判斷，這裡學生會耽誤較長的時間。 (4) 多選第 9 題，綜和平面與空間向量的內積、外積、夾角與柯西不等式，二維向量的內積有極值 的條件，與三維向量的內積有極值的條件不相同，相信有很多同學會疏忽了。 (5) 第貳部分非選擇題第二題，若能掌握線性變換的定義、計算以及線性變換面積比的性質，則

解出題目是很容易的。由於線性變換是第一次考，老師與學生都認為生疏是必然的。

數學甲考科 3

第壹部分：選擇題（單選題、多選題及選填題共占 76 分）

一、單選題（占 24 分）

說明：第 1 題至第 4 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答

案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 6 分；答錯、未作答或畫記多於一個

選項者，該題以零分計算。

1. 設 z 為一複數，且 z－2 z＋2 ＝i ( 其中 i＝ －1 為虛數單位 )。試問 z 的絕對值 | z | 為下列哪一個

選項？

(1) 1 2 (2)

2 2 (3) 1 (4) 2 (5) 2

【答 案】(5) 【概念中心】複數的性質 【命題出處】南一版數學第一冊 2-3 多項式方程式

【試題解析】 z－2 z＋2 ＝i z＝

2＋2i 1－i ＝2i，

z 的絕對值為 2， 故選(5)。 2. 坐標平面上，直線 x＝2 分別交函數 y＝log 10 x、y＝log 2 x 的圖形於 P、Q 兩點；直線 x＝10

分別交函數 y＝log 10 x、y＝log 2 x 的圖形於 R、S 兩點。試問四邊形 PQSR 的面積最接近下

列哪一個選項？( log 10 2 0.3010 ) (1) 10 (2) 11 (3) 12 (4) 13 (5) 14

【答 案】(3) 【概念中心】對數函數的圖形、對數公式、多邊形面積的計算 【命題出處】南一版數學第一冊 3-3 對數與對數定律、3-4 對數函數及其圖形

【試題解析】如右圖， P 點坐標 ( 2 , log 10 2 )， Q 點坐標 ( 2 , 1 )， S 點坐標 ( 10 , log 2 10 )， R 點坐標 ( 10 , 1 )。 四邊形 PQSR 面積 ＝△PQR 面積＋△SQR 面積

＝ 1 2 ×8×( 1－log 10 2 )＋

1 2 ×8×( log 2 10－1 )

＝4×( 1

0.3010 －0.3010 ) 12.08，

故選(3)。

試題詳解與分析

4 102年指考試題關鍵解析

3. 袋中有大小相同編號 1 到 8 號的球各一顆。小明自袋中隨機一次取出兩球，設隨機變數 X的值為取出兩球中的較小號碼。若 pk 表 X 取值為 k 的機率 ( k＝1，2，…，8 )，試問有幾個

pk 的值大於 1 5 ？

(1) 1 個 (2) 2 個 (3) 3 個 (4) 4 個 (5) 5 個

【答 案】(2) 【概念中心】組合、計數法則 【命題出處】南一版數學第二冊 3-2 機率的定義與性質

【試題解析】較小號碼為 1 的事件： S1＝{ { 1 , 2 }，{ 1 , 3 }，{ 1 , 4 }，{ 1 , 5}，{ 1 , 6 }，{ 1 , 7 }，{ 1 , 8 } }，

p1＝ 7

C82

＝ 1 4 ＞

1 5 ，符合。

較小號碼為 2 的事件： S2＝{ { 2 , 3 }，{ 2 , 4 }，{ 2 , 5 }，{ 2 , 6 }，{ 2 , 7 }，{ 2 , 8 } }，

p2＝ 6

C82

＝ 3

14 ＞ 1 5 ，符合。

較小號碼為 3 的事件：S3＝{ { 3 , 4 }，{ 3 , 5 }，{ 3 , 6 }，{ 3 , 7 }，{ 3 , 8 } }，

p3＝ 5

C82

＝ 5

28 ＜ 1 5 ，不合。

只有兩個，故選(2)。

4. 考慮所有由 1、2、3、4、5、6 各一個與三個 0 所排成形如

0 a b

c 0 de f 0

對角線均為 0 的三階

方陣。今隨機選取這樣一個方陣，試問其行列式值

0 a b

c 0 de f 0

為奇數的機率為下列哪一個選

項？

(1) 1

20 (2) 1

10 (3) 1 2 (4)

9 10 (5)

19 20

【答 案】(2) 【概念中心】行列式、機率 【命題出處】南一版數學第二冊 3-2 機率的定義與性質、第四冊 1-4 外積、體積與行列式

【試題解析】det

0 a b

c 0 de f 0

＝

0 a b

c 0 de f 0

＝cbf＋ade，

其中 c，b，f，a，d，e 分別由 1，2，3，4，5，6 所組成， 所有情形有 6！＝720(種)。 當 cbf＋ade 為奇數，一定是下面兩種情形： (i) cbf 是奇數且 ade 是偶數，共有 3！×3！＝36(種)。 (ii) ade 是奇數且 cbf 是偶數，也有 3！×3！＝36(種)。

0 a b

c 0 de f 0

為奇數的機率為 72

720 ＝ 1

10 ，故選(2)。

數學甲考科 5

二、多選題（占 40 分）

說明︰第 5 題至第 9 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記

在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 8分；答錯 1 個選項者，得 4.8 分；答錯 2 個選項者，得 1.6 分；答錯多於 2 個選項或所有

選項均未作答者，該題以零分計算。

5. 令 A ( －2 , 0 )、B ( 0 , 1 )、C ( 2 , 1 )、D ( 4 , 3 ) 為坐標平面上四點。請選出正確的選項。 (1) 恰有一直線通過 A、B、C 三點 (2) 恰有一圓通過 A、B、D 三點 (3) 恰有一個二次多項式函數的圖形通過 B、C、D 三點 (4) 恰有一個三次多項式函數的圖形通過 A、B、C、D 四點 (5) 可找到兩平行直線，其聯集包含 A、B、C、D 四點

【答 案】(3)(4)(5) 【概念中心】直線方程式、多項式函數的圖形 【命題出處】南一版數學第一冊 2-2 多項式的運算與應用、第三冊 2-1 直線方程式及其圖形

【試題解析】(1) 如下圖，A，B，C 三點不共線。

(2) 如上圖，A，B，D 三點共線，所以不共圓。 (3) 如下圖，B，C，D 三點不共線，且 x 坐標均不同， 由 Lagrange 方法，恰有一個二次函數通過此三點。

(4) 如下圖，A，B，C，D 四點，x 坐標均不同， 由 Lagrange 方法，恰有一個三次函數通過此四點。

(5) 由選項(1)的圖形，過 C 做一條與直線 AB 平行的直線即可。 故選(3)(4)(5)。

6 102年指考試題關鍵解析

6. 設 c 為實數，E1、E2、E3 皆為坐標空間中的平面，其方程式如下： E1：cx＋y＝c E2：cy＋z＝0 E3：x＋cz＝1 已知 E1、E2、E3 有一個交點的 z 坐標為 1，請選出正確的選項。 (1) ( 1 , 0 , 0 ) 是 E1、E2、E3 的一個交點 (2) E1、E2、E3 有無窮多個交點 (3) E1、E2、E3 中一定有兩個平面重合 (4) c＝1 (5) E1、E2、E3 有一個交點的 z 坐標為 2

【答 案】(1)(2)(5) 【概念中心】三平面幾何關係的代數判定 【命題出處】南一版數學第四冊 2-3 三元一次聯立方程式

【試題解析】( ) 因為三平面的法向量有未知數 c，不方便直接判斷是三平面相交的八種情形中 的哪一種。 ( ) 已知三平面的交集中有一個點的 z 坐標為 1，且若特殊化讓 c＝0 代入三平面的 解是 ( 1 , 0 , 0 )。

( ) 我們只好先用行列式判斷，方程組

cx＋ y ＝c cy＋ z＝0 x ＋cz＝1

係數矩陣的行列式值為

Δ＝

c 1 0

0 c 11 0 c

＝c3＋1＝( c＋1 ) ( c2－c＋1 )，其中 c2－c＋1 恆正。

Δz＝

c 1 c

0 c 01 0 1

＝0 ( 一、三行成比例 )，若Δ≠0 ( 即 c≠－1 )，

由克拉瑪公式，方程組恰有一組解 ( x0 , y0 , 0 )，與題意不合。 因為已知三平面的交集中有一個點的 z 坐標為 1，故必定 c＝－1。

當 c＝－1， －x＋y ＝－1 －y＋z＝0 x －z＝1

解的參數式為

x＝1＋ty＝tz＝t

，t 是一條直線。

(1) t＝0，( 1 , 0 , 0 ) 是三平面的一個交點或直接把 ( 1 , 0 , 0 ) 代入方程組是符合 的。 (2) 解是一條直線，t ，故有無限多組解。 (5) t＝2，( 3 , 2 , 2 ) 是三平面的一個交點。 故選(1)(2)(5)。

數學甲考科 7

7. 令 f ( x )＝x3－x2－2x＋1。設 a、b、c 為方程式 f ( x )＝0 的三個實根，且 a＜b＜c，請選出正

確的選項。

(1) 極限 limx→1

f ( x ) x－1 存在

(2) a、b、c 至少有一個在 0 與 1 之間 (3) a，a2，a3，…，an，…為收斂數列 (4) b，b2，b3，…，bn，…為收斂數列 (5) c，c2，c3，…，cn，…為收斂數列

【答 案】(2)(4) 【概念中心】勘根定理，極限，數列的收斂與發散 【命題出處】南一版數學第一冊 2-3 多項式方程式、選修數學下冊(甲)1-1 數列及其極限 【試題解析】 x －2 －1 0 1 2

f ( x ) －7 1 1 －1 1

f ( x ) 是三次函數，由勘根定理 f ( x )＝0 在區間 ( －2 , －1 )，( 0 , 1 )，( 1 , 2 ) 各有

一實根，而 a＜b＜c 是三實根，則 a( －2, －1 )，b( 0 , 1 )，c( 1 , 2 )。 繪圖如下：

(1) 因為 f ( 1 )＝－1，故 limx→1

f ( x ) x－1 不存在。

(2) b( 0 , 1 )，成立。 (3) a( －2 , －1 )，| a |＞1，數列〈an〉發散。 (4) b( 0 , 1 )，| b |＜1，數列〈bn〉收斂。 (5) c( 1 , 2 )，| c |＞1，數列〈cn〉發散。 故選(2)(4)。

8. 考慮函數 f ( x )＝| sin x |＋| cos x |，其中 x 為任意實數。請選出正確的選項。 (1) f ( －x )＝f ( x ) 對所有實數 x 均成立 (2) f 的最大值為 2 (3) f 的最小值為 0

(4) f ( π 10 )＞f (

π 9 )

(5) 函數 f 的 ( 最小正 ) 週期為π

【答 案】(1)(2) 【概念中心】三角函數疊合的圖形 【命題出處】南一版選修數學上冊(甲)2-2 三角函數的應用

8 102年指考試題關鍵解析

【試題解析】藍色圖形是 y＝| sin x |＋| cos x |。 (1) f ( －x )＝| sin ( －x ) |＋| cos ( －x ) |＝| －sin x |＋| cos x | ＝| sin x |＋| cos x |＝f ( x )，對所有實數均成立。 (2) f ( x ) 的最大值為 2 。 (3) f ( x ) 的最小值為 1。 (4) y＝f ( x ) 圖形在 0 度到 45 度之間由 1 遞增到 2 ，

故 f ( π 10 )＞f (

π 9 ) 不正確。

(5) 函數 f ( x ) 的最小正週期為 π 2 。

故選(1)(2)。 9. 考慮向量 u ＝( a , b , 0 )、 v ＝( c , d , 1 )，其中 a2＋b2＝c2＋d 2＝1。請選出正確的選項。

(1) 向量 v 與 z 軸正向的夾角恆為定值 ( 與 c、d 之值無關 ) (2) u ． v 的最大值為 2 (3) u 與 v 夾角的最大值為 135°

(4) ad－bc 的值可能為 5 4

(5) | u × v | 的最大值為 2

【答 案】(1)(3)(5) 【概念中心】向量的內積、外積與柯西不等式 【命題出處】南一版數學第四冊 1-3 空間向量的內積、1-4 外積、體積與行列式

【試題解析】 u ＝( a , b , 0 )， v ＝( c , d , 1 )，a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，| u |＝1，| v |＝ 2 。 (1) 令 n ＝( 0 , 0 , 1 )，

由向量的內積 n ． v ＝| n | | v | cosθ cosθ＝ 1

2 ，θ＝

π 4 為固定角。

(2) u 的終點軌跡是一個 xy 平面上原點為中心的單位圓 C， v 的終點軌跡是 C 往上高度一單位的圓 C1。 由內積的定義 u ． v ＝| u | | v | cosθ， 因為 u 與 v 不會平行，用內積定義算極值即可。 如下圖所示， u 與 v 的夾角最小是 45 度，最大是 135 度。 u ． v 的最大值是| u | | v | cos 45°＝1。

(3) u 與 v 的夾角最大是 135 度，正確。

數學甲考科 9

(4) 我們只考慮平面向量，令 u2＝( a , b )，v2＝( d , －c )， 已知 a2＋b2＝1，d2＋( －c )2＝1， 由柯西不等式 ( a2＋b2 ) ( d2＋( －c )2 ) ≥ ( ad－bc )2，得到－1 ≤ ad－bc ≤ 1，

故 ad－bc 不可能是 5 4 。

(5) u × v ＝( b , －a , ad－bc )，| u × v |2＝a2＋b2＋( ad－bc )2＝1＋( ad－bc )2， 但是 0 ≤ ( ad－bc )2 ≤ 1，則 1 ≤ 1＋( ad－bc )2 ≤ 2， 故 | u × v | 的最大值為 2 。 故選(1)(3)(5)。

三、選填題（占 12 分）

說明︰1. 第 A 與 B 題，請將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號 (10－15)。 2. 每題完全答對給 6 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 設 A、B、C、D 為空間中四個相異點，且直線 CD 垂直平面 ABC。已知 AB ＝ BC ＝ CD ＝

10，sin∠ABC＝ 4 5 ，且∠ABC 為銳角，則 AD ＝ ○10 ○11 __________。( 化成最簡根式 )

【答 案】6 5 【概念中心】餘弦定理、畢氏定理 【命題出處】南一版數學第三冊 1-3 正弦、餘弦定理與面積 【試題解析】如右圖，

sinθ＝ 4 5 ，且θ是銳角，cosθ＝

3 5 ，

由餘弦定理： AC 2＝102＋102－2 ( 10 ) ( 10 ) ( 3 5 )＝80，

AD 2＝ AC 2＋ CD 2＝180，故 AD ＝6 5 。

B. 設 m 為實數。若圓 x2＋y2＋4x－7y＋10＝0 與直線 y＝m ( x＋3 ) 在坐標平面上的兩個交點位

於不同的象限，而滿足此條件的 m 之最大範圍為 a＜m＜b，則 a＝ ○12 ○13 ________

、b＝ ○14 ○15 ________

。

( 化成最簡分數 )

【答 案】 2 3 ，

5 3 【概念中心】直線方程式、圓與直線的關係

【命題出處】南一版數學第三冊 2-3 圓與直線的關係

10 102 年指考試題關鍵解析

【試題解析】圓方程式為 ( x＋2 )2＋( y－ 7 2 )2＝

25 4 ，

圓與 y 軸交在 B ( 0 , 2 )，C ( 0 , 5 )， 圓的右邊 BC 劣弧在第一象限， 左邊 BC 優弧在第二象限， 要使過 A 的直線與圓的兩交點位於不同象限， 斜率必須超過直線 AB 的斜率， 但不得超過直線 AC 的斜率。

直線 AB 的斜率 a＝ 2 3 ，直線 AC 的斜率 b＝

5 3 。

第貳部分：非選擇題（占 24 分）

說明︰本部分共有二大題，答案必須寫在「答案卷」上，並於題號欄標明大題號 ( 一、二 ) 與子題號 ( (1)、(2)、…… )，同時必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分甚至給零分。

作答務必使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫，且不得使用鉛筆。每一子題配分標於題末。

一、設 p ( x ) 為一實係數多項式，其各項係數均大於或等於 0，在坐標平面上，已知對所有的 t ≥ 1，函數 y＝p ( x )、y＝－1－x2 的圖形與直線 x＝1、x＝t 所圍成有界區域的面積為 t4＋t3＋t2＋t＋C ( 其中 C 為常數 )。 (1) 試說明 p ( x )＞－1－x2 對所有的 x ≥ 1 均成立。（2 分） (2) 設 t ≥ 1，試求 ∫ t

1 ( －1－x2 ) dx。（3 分） (3) 試求 C。（2 分） (4) 試求 p ( x )。（5 分）

【答 案】(1) 略；(2) － 1 3 t

3－t＋ 4 3 ；(3) C＝－4；(4) p ( x )＝4x3＋2x2＋2x

【概念中心】積分的應用 【命題出處】南一版選修數學下冊(甲)2-4 積分的應用 【試題解析】(1) 由 p ( x ) 為一個實係數多項式，各項係數均大於或等於 0，

因此當 x ≥ 1，圖形不會在 x 軸下方。 y＝－1－x2 是在 x 軸下方的拋物線， 因此 p ( x ) ≥ －1－x2，對所有 x ≥ 1 均成立。

(2) t ≥ 1，∫ t1 ( －1－x2 ) dx＝( －

1 3 x

3－x )│t1＝－

1 3 t

3－t＋ 4 3 。

(3) 由 ∫ t1 ( p ( x )－1－x2 ) dx＝t4＋t3＋t2＋t＋C，

令 q ( x )＝x4＋x3＋x2＋x， 則 ∫ t

1 ( p ( x )－1－x2 ) dx＝q ( t )－q ( 1 )＝t4＋t3＋t2＋t＋C， 故 C＝－q ( 1 )＝－4。 或 t＝1 代入 ∫ t

1 ( p ( x )－1－x2 ) dx＝t4＋t3＋t2＋t＋C， 則 0＝4＋C，故 C＝－4。

數學甲考科 11

(4) ∫ t1 p ( x ) dx－∫ t

1 ( －1－x2 ) dx＝t4＋t3＋t2＋t－4 ( 把(2)代入 )，

∫ t1 p ( x ) dx＋

1 3 t

3＋t－ 4 3 ＝t4＋t3＋t2＋t－4 ，

∫ t1 p ( x ) dx＝t4＋

2 3 t

3＋t2－ 8 3 ，

則 p ( x )＝4x3＋2x2＋2x。 二、設 A ( 1 , 0 )、B ( 0 , 1 ) 為坐標平面上兩點，C 為直線 AB 外一點。經平面線性變換 M 作用

後，A 被映射至 A′ ( 1 , 2 )、B 被映射至 B′ ( －1 , 2 )，而 C 被映射至 C′。 (1) 試問變換 M 的矩陣為何？（4 分） (2) 試證明變換 M 將△ABC 的重心映射至△A′B′C′ 的重心。（4 分） (3) 若△ABC 的面積為 3，試求點 C′ 與直線 A′B′ 的距離。（4 分）

【答 案】(1) M＝

1 －1

2 2 ；(2) 略；(3) 6 2

【概念中心】平面上的線性變換與面積比公式 【命題出處】南一版數學第四冊 3-4 二階方陣對應的平面線性變換

【試題解析】(1) M＝

1 －1

2 2 。

(2) 設 C ( s , t )，則三角形 ABC 的重心 G ( s＋1

3 , t＋1

3 )。

G′＝MG＝

1 －1

2 2

s＋1 3

t＋1 3

＝

s－t

3 2 s＋ 2 t＋2 2

3

，

C′＝MC＝

1 －1

2 2

s

t ＝

s－t

2 s＋ 2 t ，

A′ ( 1 , 2 )，B′ ( －1 , 2 )，C′ ( s－t , 2 s＋ 2 t )，

故△A′B′C′ 的重心為 G′( s－t

3 , 2 s＋ 2 t＋2 2

3 )。

(3) △ABC 的面積為 3，

△A′B′C′ 的面積為 3×det ( M ) 的絕對值＝6 2 ，

△A′B′C′ 的面積為 1 2 ×底×高，底＝ A′B′ ＝2，

1 2 ×2×高＝6 2 ，

故 C′ 到直線 A′B′ 的距離＝高＝6 2 。

12 102 年指考試題關鍵解析

這幾年來，數學科試題都比別科來得精準，也很少試題會有爭議，測驗範圍已經縮小，

試題難度也明顯降低，相信大家都能感受到升學壓力減低的事實。命題是一種高困難度的

技術，題目命得簡單常被媒體批評沒水準，題目命得稍難又會讓老師、學生與家長責難。

但是只要試題契合課綱的重點，解法直觀不偏頗，計算不會過度繁雜，試題解答過程很有層次，這

份試題一定會受到大家的肯定。

102 年指考數學甲，已呈現出 99 新課綱的重點與特質，也大致可以看出 99 課綱未來命題的方

向，尤其要重視「3 顆星」的單元。我們應該鼓勵學生做兩種版本以上的習題，多學習解題的技巧

與思維，體會命題的原則與方法。訓練同學嚴謹的學習態度，尤其是數學的演算過程與證明。由於

授課時數不足(像自然組第四冊)，有些單元老師匆匆帶過，到指考還是碰到明算帳，學生會付出相

當的代價：線性變換、三平面相交的八種情況都是個慘痛的經驗。而南一版的線性變換確實比其他

版本有較為詳盡充實的內涵。 數學應考的方法，也有必要讓學生了解，平時解題須強調，以養成學生的習慣。 1. 選題、解題同等重要，選最簡單、最熟悉的先做。 2. 題目細心看兩遍，圈出題目的條件，考慮各條件用在哪裡。 3. 不急燥演算，下筆前多考慮、斟酌看那一種解法比較簡單，可用到哪些公式，有哪些證法。 4. 善用直尺、圓規、三角板、量角器來繪圖與估算。 5. 選擇題先看答案，刪掉不可能的選項，剩下的合理選答。 6. 排列組合：要列出樹形圖，先實驗小樣本以瞭解大樣本的演算法。 7. 機率：要能列出樣本空間的所有樣本點。 8. 有名字的定理(畢氏定理、棣美弗定理、貝氏定理、巴斯卡定理、…)，最為重要。 9. 有演算法的原理(輾轉相除法、綜合除法、勘根定理、排容原理、…)，務必熟練。 10. 逆向思考：由答案倒過來，用相反的步驟想，以看出解法。 11. 特殊化原理：考慮特殊的、容易算的數值代入。 12. 極端化原理：用最大、最小的兩個數值代入算算看。 13. 找尋規律性、一般化原理：用 n＝1，n＝2，n＝3，…代入試試看，經由實驗找尋它的規則

然後求得一般化公式。 14. 數學的基本定義（橢圓、雙曲線、拋物線、重複組合、…）要記得。 15. 審驗答案的合理性(驗算)。 16. 控制每題作答時間，超過時間(約 6 分鐘)要考慮換題目作。

結 論