cetveropoli_
TRANSCRIPT
ETVEROPOLIZadatak broj 1. Za etveropol prema slici odrediti y parametre. Da li je mrea simetrina?+ 1 I1
R
I2
2
Rjeenje:I 1 = Y 11U 1 + Y 12U 2 I 2 = Y 21U 1 + Y 22U 2 (1) (2)
a) U 1 = 0 : Nadomjesna mrea ima oblik:+ + + 1 I1
R
R
C
1
pri emu je grana sa otpornikom otpornosti R u paralelnoj grani etveropola kratkospojena, pa nije teko zakljuiti da je:U I 1 = 2 , odakle je prema jednaini (1): R
Y 12 =
I1 1 = U2 R
U 1 1 2LC 1 2LC 1 ) 2 = 2 +j ) 2 , odakle je prema jednaini (2): I 2 = I 1 + j (C U U2 = ( + j U L R L R LY 22 = I2 1 2LC 1 = +j U2 R L
b) U 2 = 0 : Nadomjesna mrea ima oblik:+ ++ 1 I1
R
U1
R
C
1
+ + +
U1
R
C
L
U2
1
2
I2
2
1
R
I2
2
L
U2
I1
C
L
U2
2
1
2
I2
2
1 I1
R
2
L
U1
R
I2
2
1
2
1
pri emu je grana sa paralelnom L C vezom kratkospojena, pa nije teko zakljuiti da je:U I 2 = 1 , odakle je prema jednaini (2): R I 1 Y 21 = 2 = U1 R I1 = U1 1 1 2 I 2 = ( + ) 1 = U 1 , odakle je prema jednaini (1): U R R R R
I 2 Y 11 = 1 = U1 R
Da bi mrea bila simetrina, potrebno je ispuniti uslov Y 11 = Y 22 , to u analiziranom primjeru nije sluaj. Zadatak broj 2. Odrediti z parametre etveropola, te provjeriti simetrinost mree.+ 1 I1
R
L
I2
2
Rjeenje:U 1 = Z 11 I 1 + Z 12 I 2 U 2 = Z 21 I 1 + Z 22 I 2 (1) (2)
a) I 1 = 0 :U 1 = j U2 U 1 1 IC = j = 2 2 1 C C j (L LC 1 ) C(3)
1 1 j L j (L j L j (L ) ) 2 C I = C I = j L( LC 1) I U2 = 2 2 1 1 2 22LC 1 ) j (2L ) j L + j (L C C
odakle je smjenom jednaine (4) u jednainu (3):U 1 = j L2 LC 12
I 2 , pa je prema jednainama (1) i (2):
Z 12 =
U1 L = j 2 I2 2 LC 1
+
U1
C
L
U2
1
2
(4)
2
Z 22 =
U2 L(2LC 1) =j I2 22LC 1
b) I 2 = 0 :1 ) 2 L C I = (R j U 1 = RI 1 + )I 1 , odakle je prema jednaini (1): 1 2 1 2 LC 1 ( j 2 L ) + ( j ) C ( j 2L)( j Z 11 = U1 2 L =Rj 2 I1 2 LC 1
Fazor struje u grani sa kondenzatorom odreen je kao:I C = j C (2U 2 ) = j 2CU 2
dok je fazor struje u grani sa zavojnicama odreen kao:IL = 2U 2 U = j 2 j 2L L
na osnovu ega se moe odrediti fazor struje na ulaznom pristupu etveropola:1 22LC 1 I 1 = I C + I L = j (2C ) 2 =j U U2 L L
odnosno, fazor napona na izlaznom pristupu etveropola predstavljen pomou ulazne struje:U 2 = j Z 21 = L 2 LC 12
I 1 , odakle je prema jednaini (2):
U2 L = j 2 I1 2 LC 1
Da bi mrea bila simetrina, potrebno je ispuniti uslov Z 11 = Z 22 , to u analiziranom primjeru nije sluaj. Zadatak broj 3. Za reaktivni etveropol sa slike odrediti a parametre, te provjeriti simetrinost mree. Na osnovu dobijenih vrijednosti za a parametre, odrediti z parametre etveropola. Poznate vrijednosti su: X L = 5 () , XC = 10 () .1 +
I1
C
I2
+
2
U11
I3
L
U22
C
3
Rjeenje: Jednaine ravotee napisane prema KZN za analizirani etveropol imaju oblik:U 1 = jXC I 1 U 2 jXC I 1 = j 2XC I 1 U 2 U 2 = jXL I 3 = jXL (I 1 + I 2 )
(1) (2)
Da bi se odredili a parametri analiziranog etveropola, postavljene jednaine prema KZN trebaju biti predstavljene u obliku:U 1 = AU 2 BI 2 I 1 = CU 2 DI 2
(3)
Zbog toga e se sistem jednaina (1) i (2) napisati u formi kao:U 1 = U 2 j 2XC I 1 I1 = j 1 U + I2 XL 2
(4) (5)
odnosno:1 U 1 = U 2 j 2XC ( j U + I 2) XL 2 I1 = j 1 U + I2 XL 2
(6) (7)
odnosno, konano:U1 = ( I1 = j 2XC 1) 2 j 2XC I 2 U XL 1 U + I2 XL 2
(8) (9)
Uporeujui sistem jednaina (3) sa sistemom jednaina (8) i (9), mogu se odrediti a parametri analiziranog etveropola:A= 2XC 1 = 3, XLB = j 2XC = j 20 () , C =j 1 = j 0, 2 (S ) , XL
D = 1
Poto uslov simetrinosti A = D nije ispunjen, to se moe zakljuiti da analizirani etveropol nije simetrian. Na osnovu dobijenih vrijednosti za a parametre, z parametri etveropola mogu se jednostavno odrediti koristei se relacijama koje daju vezu meu ovim parametrima:Z 11 = A = j 15 () , C Z 12 = Z 21 = 1 = j 5 () , C Z 22 = D = j 5 () C
Zadatak broj 4. Za reaktivni, simetrini etveropol predstavljen na slici, odrediti a , y i z parametre etveropola koristei se relacijama koje daju vezu ovih parametara sa impedansama serijske, odnosno paralelnih grana etveropola. U mrei je postignut uslov 2LC = 2 , uz reaktivni otpor zavojnica L = 20 () .
4
L1
I1
I2
2
L U1 C1
C
L U2 C2
Rjeenje: Analizirani etveropol moe se predstaviti ekvivalentnom emom zamjenskog modela kao na slici, kod koga su impedanse serijske, odnosno paralelnih grana odreene kao:Z1
Z2
Z3
1 ) L C = j , Z1 = 2 1 LC 1 j (L ) C j L( j
Z 2 = Z 3 = j (L
1 2LC 1 )= j C C
na osnovu ega se a parametri etveropola mogu odrediti koristei se relacijama koje izraavaju njihovu vezu sa impedansama grana etveropola:A =1+ Z1 2LC =1 2 = 1 , Z2 ( LC 1)2 22LC + (2LC 1)2 Z 1Z 3 3 3 = 2Z 1 + Z 2 = j = j L = j 30 () = j 2 2 Z2 C C ( LC 1)
B = Z1 + Z 3 +
C =
C 1 2 = j 2 = j C = j = j 0,1 (S ) L Z2 LC 1 Z3 2LC =1 2 = 1 = A , Z2 ( LC 1)2
D =1+
z parametri etveropola odreeni su relacijama:A Z 11 = Z 1 + Z 2 = = j 10 () , C 1 Z 12 = Z 21 = Z 2 = = j10 () , C D Z 22 = Z 2 + Z 3 = = j 10 () C
dok su y parametri etveropola odreeni kao:Y 11 = Y 22 = Z2 + Z 3 1 D (S ) , = = j 30 Z 1Z 2 + Z 1Z 3 + Z 2 Z 3 B Z1 + Z 2 1 A = = j (S ) 30 Z 1Z 2 + Z 1Z 3 + Z 2 Z 3 B5
Y 12 = Y 21 =
Z2 1 1 (S ) , = =j 30 Z 1Z 2 + Z 1Z 3 + Z 2 Z 3 B
Zadatak broj 5. etveropol sa slike koji je predstavljen T emom potrebno je ekvivalentirati u zamjensku emu. Poznate vrijednosti: Z 1 = j 5 () , Z 2 = 1 () , Z 3 = j 5 () .Z1 Z3
Z2
Rjeenje: z parametri T etveropola mogu se predstaviti u matrinoj formi kao:U 1 Z 11 Z 12 I 1 = , odnosno: U 2 Z 21 Z 22 I 2 Z 2 I 1 U 1 Z 1 + Z 2 = , odnosno: Z 2 + Z 3 I 2 U 2 Z 2 1 I 1 U 1 1 + j 5 = 1 j 5 I 2 U 2 1
Predstavljeni Z-model moe biti konvertovan u Y-model kao:1 1 U 1 1 U 1 Y 11 Y 12 U 1 I 1 1 + j 5 1 1 j 5 = , = = 1 j 5 U 2 25 1 1 + j 5 U 2 Y 21 Y 22 U 2 I 2 1
na osnovu kojeg se mogu odrediti admitanse mree:1 Y 1 = Y 11 + Y 12 = j (S ) , 5 1 Y 2 = Y 12 = Y 21 = (S ) , 25 1 Y 3 = Y 22 + Y 21 = j (S ) 5
odnosno impredanse mree:Z1 = 1 = j 5 () , Y1 Z2 = 1 = 25 () , Y2 Z3 = 1 = j 5 () Y3
na osnovu kojih se moe predstaviti zamjenska ema definisanog T etveropola kao na slici:Z2
Z1
Z3
6
Zadatak broj 6. Za simetrian etveropol sa slike odrediti uestanost ( 0 ) pri kojoj e a parametri etveropola poprimati samo realne vrijednosti. Kako se u tom sluaju ponaa grana sa paralelnom vezom zavojnice i kondenzatora?1 R R 2
L
C
R 1 2
Rjeenje:Z 1 = Z 3 = R;A =1+
R(2LC 1) j L L = Z2 = R j 2 LC 1 2LC 1
Z1
Z3
Z1 R(2LC 1) =1+ Z2 R(2LC 1) j L
Z2
Z Z R(2LC 1) B = Z 1 + Z 3 + 1 3 = R 2 + 2 Z2 R( LC 1) j L C = 2LC 1 1 = Z 2 R(2LC 1) j L Z3 R(2LC 1) =1+ Z2 R(2LC 1) j L
D =1+
Da bi a parametri etveropola poprimali samo realne vrijednosti, nije teko zakljuiti da je potrebno ispuniti uslov:2LC 1 = 0 = 1 LC
Pri ovako odreenoj uestanosti, grana sa paralelnom vezom zavojnice i kondenzatora ponaa se kao grana u prekidu ( predstavlja antirezonantnu uestanost etveropola).
7