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Tipos de Problemas en Hidráulica de Conductos a Presión

Las variables que interactúan en un problema de tuberías son:

Variables relacionadas con la Tubería en si: d, l, ks.Variables relacionadas con el Fluido: ρ, µ.Variables relacionadas con el Esquema del Sistema: Σ km, H o Pot.Variables relacionadas con la Hidráulica: Q (V)

Se clasifican de acuerdo con la variable desconocida en el problema.


COMPROBACIÓN DE DISEÑO:

La tubería ya existe (material, diámetro, accesorios) y la potencia motora se conoce (gravedad o bomba).

La incógnita es el caudal que pasa por la tubería. Este tipo de problema es el típico en el diseño de redes en el cual se predimensionan los diámetros.

Variables conocidas Incógnita

d, ks , Σkm, H(oP) Q (v)

ρ, µ, g, l

CÁLCULO DE LA POTENCIA REQUERIDA:

Se conoce el caudal demandado y se tiene una

tubería conocida (material, diámetro, longitud, accesorios).

Se desea calcular la potencia necesaria (bomba o

diferencia de nivel) para mover el caudal.

Variables conocidas Incógnita d, ks, Σkm, QD H (P =ηρQgH)

ρ, µ, g, l


DISEÑO EN SÍ DE LA TUBERÍA:

Se conoce el caudal demandado, la potencia

disponible y algunas características de la tubería

(longitud, accesorios). Se desconoce el diámetro necesario.

En cuanto al material de la tubería usualmente se tienen sólo

2 o 3 alternativas.

Variables conocidas Incógnita

l, Σkm, QD, H d

ρ, µ , g, (ks)


CALIBRACIÓN DE LA TUBERÍA:

Se conoce el caudal demandado, la caída en la altura piezométrica que ocurre entre la entrada y la salida de la tubería, algunas de las características de la tubería y las propiedades del fluido. Se desconoce la rugosidad absoluta de la tubería que produce esa caída en la presión piezométrica para el caudal medido. En campo el caudal usualmente se mide a través de caudalímetros acústicos y la caída de presión utilizando transductores de presión.

Variables conocidas Incógnita d, l, Σkm, Q(o v), ks

ρ, µ , g, H


Ecuaciones para el Diseño de Tuberías Simples

h f =fld

v2

2g(1.38)

(1.69)

1

√ f=−2log10(

k s

3 .7d+

2 .51Re √ f )

Ecuación de Fricción:Utilizando la ecuación de Colebrook-White en conjuntocon la ecuación de Darcy-Weisbach:

2. Ecuación de Conservación de la Energía

Si se plantea una ecuación de energía entre un embalse (bomba) y un punto en la tubería se obtendrá lo siguiente:

Utilizando la ecuación de Darcy-Weisbach Ecuación (1.38), que también predice las pérdidas por fricción, se puede despejar el factor de fricción f:

Sacando la raíz a los dos lados de la ecuación y al invertir la ecuación se obtiene:

f=h f⋅d⋅2g

l⋅v2

√ f =√h f⋅d⋅2g

√l⋅v

1√ f

=√ l⋅v

√h f⋅d⋅2g(2.2)

h f =fld

v2

2g

Igualando la ecuación (2.2) con la ecuación (1.69) (Colebrook-White) se obtiene:

1

√ f=−2log10(

K s

3 .7d+

2 .51Re √ f ) (1.69)

√ l⋅v

√hf⋅d⋅2g=−2log10(

K s

3 . 7d+

2 . 51 v √lRe √h f d2g )

1√ f

=√ l⋅v

√h f⋅d⋅2g(2.2)

El número de Reynolds en esta última ecuación puede reemplazarse por:

Por consiguiente, se obtiene la siguiente expresión:

Finalmente, despejando la velocidad se encuentra una ecuación explícita para esa variable:

Re=vdυ

v√ l

√2 gdh f

=−2log 10[ ks

3 .7d+

2.51 υv √lvd √2 gdhf

]

v=−2√2 gdhf

√ llog10 [ k s

3. 7d+

2. 51 υ√ ld √2 gdh f

] (2.3)

Esta última ecuación es la base para la solución de los tres tipos de problemas relacionados con tuberías simples mencionados anteriormente. Para el caudal, se multiplica la ecuación 2.3 y se obtiene la siguiente expresión:

Q=−2√2 gdhf

√ LA log10[ k s

3 .7d+

2 . 51υ √ Ld √2 gdhf

]

a) Comprobación de Diseño en Tuberías Simples

Variables conocidas

Características de la tubería: longitud (l), diámetro (d), rugosidad absoluta (ks) y coeficientes de pérdidas menores (km).

Propiedades del fluido: densidad (ρ) y viscosidad dinámica (µ).

potencia (P) y eficiencia de la bomba(η).

Variables desconocidas

velocidad (v) y caudal (Q).

Diagrama de flujo 1: Comprobación de diseño de

tuberías simples

INICIO

Leer d, ks, H, E, Σkm, ρ , µ , z2, l

Suponer hf1

Calcular ks/d

Calcular Vi en la ecuación (2.3)

Calcular hfii+1 en la ecuación (2.1)

│hfi – hfi-1 │ ≤ E

Q = Vi A

Imprima Q

PARE

NO

SI

Ejemplo 1.

Se desea calcular el caudal de agua que puede ser movido a través de una tubería de PVC, de 300 mm de diámetro nominal y 730 m de longitud, que conecta dos tanques de abastecimiento de agua potable con una diferencia de nivel de 43.5 m. El diámetro real de la tubería es de 293 mm y su rugosidad absoluta es de 1.5 x 10-6 m. Todos los accesorios que forman parte del sistema, incluyendo la entrada y la salida, implican un coeficiente global de pérdidas menores km de 11.8. El agua se encuentra a 20ºC.

Para el agua a 20ºC se tienen las siguientes características

ρ= 998. 2 kg /m3

μ=1 .005×10−3 Pa⋅s ⇒ v=1 . 007×10−6 m2 /s

Diagrama de flujo 2a. Cálculo del factor de fricción f por el método de iteración de un punto.

INICIO

Leer ks/d, Re, semilla de f, Ɛ

f1 = semilla de f

i = 1

?

│fi+1 - fi │≤ Ɛ

Imprima fi+1

PARE

NO

SI

f i+1=[−2log10( k s

3 . 7d+

2. 51Re √ f )]

−2

fi-+1 = fi

i=i+1

Re < 2200 f = 64/Re

PARE

SI

NO

INICIO

Leer Q, d, ks, Σkm, ρ , µ , η , l, z2

Calcular V = Q/A

Calcular Σhm

Calcular Re y ks/d

Calcular f en la ecuación 1.67 utilizando algún método numérico

Calcular H total

Imprima Pot

FIN

Calcular hf en la ecuación 1.36

Pot=1η

ρQgH

Diagrama de flujo 3. Cálculo de la potencia en tuberías simples

Ejemplo 2

En un sistema de riego localizado de alta frecuencia para un cultivo de cítricos es necesario mover un caudal de agua de 42 L/s desde el sitio de toma a la planta de fertirrigación. Estos dos puntos se encuentran separados por una distancia de 970 metros, estando la planta 16 metros por encima de la toma. Si existe una tubería de PVC de 150mm de diámetro nominal, con un coeficiente global de pérdidas menores de 9.4, ¿cuál es la altura que debe ser suministrada por la bomba en el sitio de toma?. ¿Cuál es la potencia?

L = 970 mQ = 0.042 m3/sz2 = 16 md = 150mmν = 1.14 x 10-6 m2/s

Para una tubería de PVC de 150mm de diámetro el área es:

A = 1.77x10-2m2

Siguiendo el diagrama de flujo de No. 3 se obtienen los siguientes resultados:

Cálculo de la velocidad media:

Cálculo de las pérdidas menores:

Cálculo del Re y la rugosidad relativa:

v=QA

=2 . 377m /s

∑ hm=(∑ k m )v2

2g=2 .706 m

Re=vdυ

=312725

k s

d=1×10−5

Cálculo de las pérdidas por fricción utilizando la ecuación de Darcy-Weisbach:

Cálculo de la altura total que debe ser producida por la bomba:

h f =fld

v2

2g=26 .92 m

H=z2+hf+∑ hm=45 . 62Cálculo de la potencia bomba: Se supone:

Pot=( ρQgHη )=18 .78kW

η=75

El proceso de diseño es bastante simple porque la ecuación (2.3) es explícita para la velocidad. Dicho proceso se esquematiza en el Diagrama de Flujo No. 4. Sin embargo, para que converja tiene las siguientes restricciones:

El primer diámetro supuesto tiene ser menor que el diámetro que resulte en el diseño.

La suma de las pérdidas menores debe ser inferior al 30% de las pérdidas por fricción.

c) Diseño de Tuberías Simples

Para que el diagrama de flujo No. 4 converja, se debe cumplir la siguiente ecuación:

Esta última restricción en la práctica resulta ser irrelevante ya que en la gran mayoría de los sistemas de tuberías esto se cumple con facilidad. Para diseñar un sistema con altas pérdidas, menores, como en el caso de la tubería de succión de una bomba, se debe seguir un algoritmo diferente.

∑ hm≤0. 3hf

(2.4)

INICIO

Leer Qd, ks, ∆d, Η, z2, E, L, Σkm, ρ , µ

Suponer di “pequeño”

Calcular v en la ecuación 2.3

Q = vA

Calcular hf en la ecuación 2.1’

FIN

Suponer hf = H – z2

Q ≥ Qd

│hfi – hfi-1 │ ≤ E

Q ≥ Qd

Imprimir di+1

di+1 = di+∆d

Diám. comercial Siguiente dcomercial

Calcular V en la ecuación 2.3 Q = VA

Diám. comercial

di+1 = di+∆d hf = H – z2

Siguiente dcomercial

NO

?

?

?

?

?

Diagrama de flujo 4: Diseño de tuberías simples

SI

SI

SI

SI

SINO

NO

NO

NO

Ejemplo 3

La tubería de descarga de la planta de tratamiento de aguas residuales del municipio de Ubaté tiene una longitud de 150 m y por ella debe pasar un caudal máximo de 120 l/s. La altura mínima de operación es 2.2 m y en la tubería se tienen pérdidas menores por entrada (km = 0.5), por un codo (km = 0.8), por uniones (km = 10 x 0.1), y por salida (km = 1.0).

Calcular el diámetro de la tubería comercial en hierro galvanizado requerido si la temperatura del agua es 14 ºC. Los datos del problema son:

l = 150 m km = 0.5 + 0.8 + 10x0.1 + 1.0 = 3.30

ks = 0.00015 m (14ºC) = 999.3 kg/m 3

QD = 0.12 m3/s (14ºC) = 1.17x10-3 Pa.s

H = 2.2 m (14ºC) = 1.17x10 -6 m2/s

Siguiendo la metodología de Darcy-Weisbach, la segunda ecuación de Colebrook-White y el diagrama de flujo 4, se tienen los siguientes resultados:

* 1a Convergencia** 2a Convergencia

0,598si0,13330,0711,8850,300

1,602**

0,598si0,13320,0711,8850,3001,602

0,598si0,13330,0711,8850,3001,603

0,597si0,13320,0711,8850,3001,602

0,598si0,13330,0711,8860,3001,604

0,596si0,13300,0711,8820,3001,597

0,603si0,13380,0711,8930,3001,615

0,585si0,13180,0711,8650,3001,569

0,631si0,13690,0711,9370,3001,690

0,510si0,12310,0711,7410,3001,373

0,827*si0,15670,0712,2170,3002,200

0,658no0,09710,0491,9770,2502,200

0,496no0,05390,0311,7170,2002,200

0,343no0,02520,0181,4290,1502,200

(m)(si o no)(m3/s)(m2)(m/s)(m)(m)

∑hmQ ≥ QdQAvdhf

DimensionesDIAMETRO NOMINAL (PULG.) DIAMETRO EXTERIOR DIAMETRO INTERIOR ESPESOR DE PARED

PRESIÓN A 23°C PESO APROX KG/M(PULG)(OD) (MM) (PULG)(ID) (MM) (PULG)(T) (MM) (PSI) (KG/CM2)½" 0.840 21.3 0.609 15.5 0.109 2.8 600 42.0 0.24¾" 1.050 26.7 0.810 20.6 0.113 2.9 480 33.6 0.321" 1.135 33.4 1.033 26.2 0.133 3.4 450 31.5 0.471¼" 1.660 42.2 1.363 34.6 0.140 3.6 370 25.9 0.631½" 1.900 48.3 1.593 40.5 0.145 3.7 330 23.1 0.762" 2.375 60.3 2.049 52.0 0.154 3.9 280 19.6 1.012½" 2.875 73.0 2.455 62.1 0.023 5.2 300 21.0 1.603" 3.500 88.9 3.042 77.3 0.216 5.5 260 18.2 2.104" 4.500 114.3 3.989 101.5 0.237 6.0 220 15.4 2.986" 6.625 168.3 6.031 153.2 0.280 7.1 180 12.6 5.268" 8.625 219.1 7.942 201.7 0.322 8.2 160 11.2 7.8910" 10.750 273.1 9.976 253.4 0.365 9.3 140 9.8 11.2012" 12.750 323.9 11.889 302.0 0.406 10.3 130 9.1 14.8014" 14.000 355.6 13.073 332.1 0.437 11.1 130 9.1 17.5616" 16.000 406.4 14.940 379.5 0.500 12.7 130 9.1 22.9318" 18.000 457.2 16.809 426.9 0.562 14.3 130 9.1 29.9120" 20.000 508.0 18.743 476.1 0.593 15.1 120 8.4 35.1324" 24.000 609.6 25.544 572.6 0.687 17.4 120 8.4 48.89

Suponiendo que la planta de Ubaté se localiza a sólo 15 m del río Suta, sitio de descarga, la tubería tendría un total de 17 m de longitud. Si las uniones fueran roscadas, las pérdidas menores serían: entrada (km = 0.5), por un codo (km = 0.8), por uniones (Σkm = 4 x 0.5), y por salida (km = 1.0). Calcular el diámetro de la tubería comercial en PVC requerido para la descarga.

Los datos del problema son:

l = 17 m H = 2.2 m

ks = 0.00015 m Σkm = 0.5 + 0.8 + 4x0.5 + 1.0 = 4.30

QD = 0.12 m3/s ν (14ºC) = 1.17x10-6 m2/s

Ejemplo 4

Siguiendo la metodología de Darcy-Weisbach, la cuación de Colebrook-White y el diagrama de flujo 4, se tienen los siguientes resultados:

El último hf indica que las pérdidas menores son superiores a la altura disponible. Se "gastan" 5.93 metros de los 2.2 metros disponibles para sobrepasar los accesorios con un caudal de 163 l/s. Claramente la metodología establecida en el Diagrama de Flujo No.4 no sirve para este diseño.

-3,73

5,934si0,1630,0315,2040,2002,20

4,137no0,0770,0184,3450,1502,20

2,474no0,0260,0083,3600,1002,20

(m)(si o no)(m3/s)(m2)(m/s)(m)(m)

∑hmQ ≥ QdQAvdhf

c) Diseño de Tuberías Simples con altas pérdidas menores

En el Ejemplo 2 los resultados mostraron que la velocidad obtenida en la iteración 1 para el diámetro de 200mm implicaba unas pérdidas menores superiores a la altura disponible lo cual no es posible y hace que el proceso no converja. Esto significa que de alguna forma hay que limitar la magnitud de la velocidad que sea producida en cada iteración. El proceso que permite tener en cuenta sistemas con pérdidas menores altas fue desarrollado por Saldarriaga y Ferrer (1989) y modificado por Camacho (1990). Consiste en definir una “velocidad de pérdida”, la cual, en esencia, es la velocidad que haría que la sumatoria de las pérdidas menores fuera igual a la altura disponible:

∑ hm=(∑ kmv2

2g )∑ hm=H

Además:

Mediante las dos ecuaciones anteriores se obtiene el siguiente resultado para la “velocidad” de pérdida:

v p2

2g=

H

∑ k m

Si se despeja vp en esta última ecuación se llega a :

v p2=

2 gH

∑ k m

v p=√ 2 gH

∑ k m

(2.5)

Si en alguna iteración la vi es mayor que la vp, ésto quiere decir que la velocidad vi implica unas pérdidas menores mayores a la altura disponible, lo cual es físicamente imposible. Si esto sucede, se debe limitar la altura disponible para ser perdida por fricción, dentro del procedimiento de diseño. El procedimiento se esquematiza en el Diagrama de Flujo No.5 el cual es más general que el Diagrama de Flujo No.4 ya que también sirve para el caso de tuberías con pérdidas menores bajas. Una vez se ha calculado la primera velocidad de pérdida, en las demás iteraciones esta velocidad se calcula de acuerdo con la siguiente ecuación:

v p=√2g( H −h f )

∑ km

(2.6)

INICIO

Leer Qd, ks, ∆d, Η, z2, E, Ev, L, ∆h


Calcular vi en la ecuación 2.3

Q = vA

Calcular hf en la ecuación 2.1’

FIN

Suponer hf = H – z2

Imprimir di+1

di+1 = di+∆d


Calcular v en la ecuación 2.3

Q = vA

d comercial

di+1 = di+∆d hf = H – z2


NO SINO

NO

NO

SI

NO│hfi – hfi-1 │ ≤ E?

Q ≥ Qd

?Q ≥ Qd

?

Calcular Vp en la ecuación 2.5

Vi < Vp? Procedimiento pérdidas

menores altas

NO

A

Diagrama de flujo 5: Diseño de tuberías simples con altas pérdidas menores

SI

SI

SI

SI

d comercial??

Calcular vi en la ecuación 2.3

Q = vA

FIN

Asignar a hf un valor pequeño

Imprimir d

di+1 = di+∆d


NO SINO

Q ≥ Qd

?Diám. comercial?

vi < vp

Calcular vp en la ecuación 2.6

|vi - vp| < Ev

?

NO

hfi = hfi -1 - ∆h


hfi = hfi -1 + ∆h

SI

NO

SI

SI

A

?

Ejemplo 4 (Continuación)

La velocidad de pérdida inicial se calcula como:

Como:

Luego:

Con ayuda del Diagrama de Flujo No. 5 se obtienen los siguientes resultados para el diseño de la tubería de descarga de la planta de tratamiento del municipio de Ubaté, cuando su longitud se reduce a 17 metros en total.

v p=√ 2 gH

∑ k m

v p=√ 2⋅9 . 81⋅2 .24 .3

m /s

v p=3 .168 m / s

H= 2.2m ∑ km=4 . 3

2,7931,709si0,1370,0492,7930,2500,490

2,7931,291no0,0760,0312,4270,2000,490

2,8011,674si0,1360,0492,7630,2500,480

2,8011,264no0,0750,0312,4020,2000,480

2,7851,745si0,1380,0492,8210,2500,500

2,7851,318no0,0770,0312,4520,2000,500

3,1685,934si0,1630,0315,2040,2002,200

3,1684,137no0,0770,0184,3450,1502,200

3,1682,474no0,0260,0083,3600,1002,200

(m/s)(m)(si o no)(m3/s)(m2)(m/s)(m)(m)

vp∑hmQ ≥ QdQAvdhf

En la última iteración se tiene lo siguiente:

vi = vp

2.793 m/s = 2.799 m/sd = 250mmhf = 0.49 metros∑hm = 1.709 metros

Q = 137 Lt/s

La última igualdad significa que de los 2.2 metros de altura disponible, 0.49 metros se están gastando por fricción y 1.709m se gastan en las pérdidas menores. Es claro que en este caso esas pérdidas menores son más importantes que las de fricción.

H = hf + ∑hm

H = 0.49 m + 1.709 m

H = 2.199 m ≈ 2.20 m

De acuerdo con el diseño agronómico de un sistema de riego localizado de alta frecuencia, para un cultivo de mango es necesario transportar un caudal de 60 l/s entre la bocatoma, sobre una quebrada cercana a la finca, y la estación de fertirrigación. Con el fin de que el agua sea movida por gravedad, la bocatoma se localiza 890 m aguas arriba de la estación generándose de esta forma una diferencia de niveles de 15.2 m entre estos dos puntos. ¿Qué diámetros en PVC y en hierro galvanizado se requieren? Las rugosidades absolutas de éstos son: 0.0015 mm y 0.15 mm, respectivamente. La viscosidad cinemática del agua es 1.14 x 10-6 m2/s. Para ambos casos, el coeficiente global de pérdidas menores es 11.9.

Diseño en PVC: Los diámetros disponibles comercialmente (en este caso se utilizan los diámetros internos reales) para este material son:

Ejemplo 5

d nominal (mm) d real (mm) 75 80.42 100 103.42 150 152.22 200 198.48 250 247.09 300 293.07

Con la metodología expuesta en este capítulo y el diagrama de flujo No. 4 se obtiene la siguiente tabla de resultados:

2,398si0,0620,0311,9890,1984812,80

2,398si0,0620,0311,9880,1984812,80

2,399si0,0620,0311,9890,1984812,81

2,394si0,0610,0311,9870,1984812,78

2,419si0,0620,0311,9970,1984812,90

2,296si0,0600,0311,9460,1984812,30

2,897si0,0680,0312,1850,1984815,20

2,046no0,0330,0181,8370,1522215,20

1,225no0,0120,0081,4210,1034215,20

0,873no0,0060,0051,2000,0804215,20

(m)(si o no)(m3/s)(m2)(m/s)(m)(m)

∑hmQ ≥ QdQAvd realhf

Los anteriores resultados indican que en el caso del PVC es necesario colocar una tubería de 200 mm de diámetro nominal.

- Diseño en hierro galvanizado: si se utilizan los mismos diámetros de PVC, dados en la parte a de este problema, y se sigue nuevamente el Diagrama de Flujo 4 se obtienen los siguientes resultados:

2.310si0.0935760.0481.9510.2470912.890

2.310si0.0935880.0481.9520.2470912.893

2.307si0.0935250.0481.9500.2470912.876

2.324si0.0938680.0481.9580.2470912.968

2.232si0.0919850.0481.9180.2470912.465

2.735si0.1018180.0482.1230.2470915.2

1,784no0.0530580,0311,7150,1984813,13

2,073no0.0572070,0311,8490,1984815,20

1,478no0.0284130,0181,5610,1522215,20

0,897no0.0102180,0081,2160,1034215,20

0,645no0.0052400,0051,0320,0804215,20

(m)(si o no)(m3/s)(m2)(m/s)(m)(m)

∑hmQ ≥ QdQAvd realhf

Ejemplo 6Se desea diseñar una tubería para mover agua a 21°C a través de una longitud de 365 m, con una diferencia de altura favorable de 33.2 m. Si el material que se debe utilizar es PVC (ks = 0.0000015 m) y se puede suponer un coeficiente global de pérdidas de 7.4 ¿cuál es el diámetro requerido para mover un caudal de 270 l/s? En caso de que se requiera una válvula al final de la tubería, ¿cuál debe ser el coeficiente de pérdidas menores que debe producir? En caso de que posteriormente se quiera duplicar el caudal en esta tubería ¿cuál es la potencia de la bomba que debería colocarse si se elimina la válvula antes colocada? Se debe utilizar la ecuación de Darcy-Weisbach para el análisis, conjuntamente con la ecuación de Colebrook-White.


l = 365 m H = 33.2 m

ks = 0.0000015 m Σkm = 7.4

Q = 270 l/s ν = 1.007x10-6 m2/s

El resultado del diseño se presenta a continuación:

12,0692213si0,412756665,656831830,30481221,0918113

12,1081887si0,413422455,665956440,30481221,1547133

12,0452867si0,412347195,651219980,30481221,0531685

12,1468315si0,414081635,674990590,30481221,2170774

11,9829226si0,411278345,636571480,30481220,9524551

12,2475449si0,415794735,698468630,30481221,3795492

11,8204508si0,408480655,598229020,30481220,6899017

12,5100983si0,420227845,759224440,30481221,8026647

11,3973353si0,40110325,49712110,30481220,0049466

13,1950534si0,431578745,914788480,30481222,9036085

10,2963915si0,381238715,224878130,30481218,2140658

14,9859342si0,459934916,303409950,30481225,7638979

7,43610205si0,323986664,440238640,30481213,4921663

19,7078337si0,527441037,228581570,30481233,2

10,2606606no0,264289335,215804480,2541022,4680115

10,7319885si0,27029135,334254620,2541023,4179414

9,78205858no0,258051925,092707950,2541021,5001937

11,6998063si0,282215795,56958680,2541025,3592902

7,84070978no0,231030684,559438170,2541017,536929

15,663071si0,326535526,444245840,2541033,2

11,8036269no0,181417715,594243650,2032833,2

8,1716396no0,084908094,654663010,1524633,2

∑hmQ>QdQ(m3/s)v(m/s)d(m)d(in)hf (m)

La tubería de 10” sólo alcanza a mover 254 l/s. Por consiguiente, se debe utilizar una tubería de 12”. Sin embargo, como el caudal que se puede mover (412 l/s) es superior al caudal demandado, es necesario colocar una válvula

• Cálculo del coeficiente de la válvula:

En este caso, los datos del problema son:

Η = 33.2 m ks = 0.0000015 mν = 1.007 x 10-6 m2/s Q = 270 l/sd = 0.3048 m l = 365 m

Con estos datos se calcula el número de Reynolds, la rugosidad relativa y el factor de fricción de Darcy (f); los resultados (utilizando los diagramas de flujo 2a o 2b) son:

Re = 1120026,85 Ks/d=0.000005

0,011542831120026,850,270,30480,00000150,01154284

0,011542841120026,850,270,30480,00000150,0115428

0,01154281120026,850,270,30480,00000150,0115432

0,01154321120026,850,270,30480,00000150,01153863

0,011538631120026,850,270,30480,00000150,01159084

0,011590841120026,850,270,30480,00000150,01101037

0,011010371120026,850,270,30480,00000150,02

(m3/s)(m)(m)

fReQdksf

f = 0.0115

Cálculo del Factor de Fricción

Las pérdidas por fricción son:

Luego las pérdidas menores son:

h f =fld

v2

2g

h f=0 . 0115365(0 .3 )

3 . 8202

2×9 . 81h f=10 . 406 m

∑ hm =H−h f

∑ hm=33 . 2m−10. 406 m

∑ hm=22. 794 m

El coeficiente global de pérdidas menores es:

Finalmente, el coeficiente de la válvula se calcula restando a este último valor el coeficiente global de pérdidas menores, sin incluir la válvula, dado en el enunciado ejemplo:

∑ hm=∑ k mv2

2g

∑ km=2g∑ hm

v2

∑ km=2gπ2 d4∑ hm

16Q2

∑ km=2∗9 . 81∗π2 ( 0. 3048 )4∗22 .794

16 (0. 27 )2

32 .661

∑ kmv=32. 661−7 . 40

∑ kmv=25 .261

Cálculo de la potencia de la bomba con el fin de duplicar el caudal: En este caso, los datos del problema son:

Σkm = 7.4 ks = 0.0000015 mν = 1.007 x 10-6 m2/s Q = 0.54m3/sd = 0.3048 m l = 365 m

Se considera que la válvula del literal anterior se elimina. Con estos datos se calcula el número de Reynolds, la rugosidad relativa y el factor de fricción de Darcy:

1,037E-022,24E+060,540,30480,00000151,04E-02

1,037E-022,24E+060,540,30480,00000151,04E-02

1,037E-022,24E+060,540,30480,00000151,04E-02

1,037E-022,24E+060,540,30480,00000151,04E-02

1,037E-022,24E+060,540,30480,00000151,04E-02

1,042E-022,24E+060,540,30480,00000159,87E-03

9,867E-032,24E+060,540,30480,00000150,02

(m3/s)(m)(m)

fReQdksf

Por consiguiente, el factor de fricción es:

f = 0.0103

Y las pérdidas por fricción son:

h f =fld

v2

2g

h f=0 . 0103365(0 .3 )

7 .642

2×9 .81h f=34 . 43m

Por último, se calcula la altura producida por la bomba y su potencia:H+H B=hf +∑ hm

33 .2 +H B=34 .43+7 . 4v2

2gH B=34 .43m+20 .66 m−33 .2mH B=21 .89mPot=ρQgHPot=1000 kg/m3×0 .54 m3/ s×9 .81m / s2×21.89mPot=116 kW

Calibración de tuberías simples

El proceso de obtener la rugosidad absoluta real de una tubería se conoce como la calibración de la tubería. Para llevarlo a cabo es necesario medir diferentes condiciones de caudal en la tubería y para cada una de ellas la caída en la presión piezométrica a lo largo de una longitud previamente establecida. Las presiones se miden utilizando transductores de presión los cuales permiten precisiones de alrededor de 10 mm. El cálculo de la rugosidad absoluta o calibración de la tubería se hace mediante las siguientes ecuaciones; utilizando la ecuación de Darcy- Weisbach:

Se puede despejar el factor de fricción de Darcy para obtener:

h f =fld

v2

2g

f=2 gdhf

l v2 (2.7)

Ahora, utilizando la ecuación de Colebrook-White se puede despejar la rugosidad absoluta de la tubería tal como se muestra en las siguientes ecuaciones:

1

√ f=−2log(

ks

3 .7d+

2 . 51Re √ f )

−1

2√ f=log10(

k s

3. 7d+

2 .51Re√ f )

10−

1

2 √ f =k s

3. 7d+

2 .51Re√ f

Y, finalmente:

k s=3 .7d (10−

12 √ f −

2 .51Re √ f ) (2.8)

a) Equipo ultrasónico para medición de caudal en una tubería de 250 mm. b) Mediciones de caudal en una tubería de 300

mm registradas con medidor ultrasónico de caudal. Medidas de 24 horas, a lo largo de 20 días, de lunes a viernes cada 5

minutos.

(a)

(b)

a) Manómetro tipo transductor de presión con data logger, con capacidad de 900 registros. b) Mediciones de presión en una tubería de 300 mm . Medidas de 24 horas, durante 21

días, de lunes a viernes cada 5 minutos.

(a)

(b)

INICIO

Leer Q, d, H, Σkm, ρ , µ , L

Calcular

Calcular v = Q/A

Calcular

hf = H - hm

Calcular

Imprima ks

FIN

Calcular f en la ecuación 2.7

Calcular ks en la ecuación 2.8

Diagrama de flujo 6. Calibración de tuberías simples

A=π4

d2

hm=∑ kmv2

2g

Re=vdρ

μ

Ejemplo 7

En la red matriz del sistema de abastecimiento de agua de una ciudad se tiene una tubería de concreto con una longitud de 2.8 km, un diámetro de 1200 mm y un coeficiente global de pérdidas menores de 16.4. En una determinada condición de operación se mide un caudal de 3.72 m3/s y una caída en la altura piezométrica de 32 metros a lo largo de toda la longitud. Calcular la rugosidad absoluta de la tubería. El agua se encuentra a una temperatura de 14°C.


Σkm = 16.4 H = 32 mν = 1.17 x 10-6 m2/s Q = 3.72 m3/sd = 1200 mm l = 2800 m

Siguiendo el Diagrama de Flujo No. 6 se calcula en primer lugar el área, la velocidad, las pérdidas menores y el número de Reynolds:

Con estos datos se calcula la pérdida por fricción:

A=π4

d2 =π×1 .22m2=1.13 m2

v=QA

=3 .72m3 /s

1 .13m2=3. 29 m / s

hm=∑ kmv2

2g=16 . 4×

3 .292

2×9 . 81m=9 .05 m

Re=vdv

=3.29×1 .2

1.17×10−6=3 . 374359 x 106

h f =H−hm=32m−9 . 05m=22. 95 m

Ahora se calcula el factor de fricción de Darcy utilizando la ecuación 2.7:

f=2 gdh f

l v2=

2×9 . 81×1 . 2×22 . 952800×3 . 292

f=0. 0178

Finalmente, utilizando la ecuación 2.8 se calcula la rugosidad absoluta de la tubería:

k s=3 .7d (10−

12 √ f −

2 . 51Re√ f )

k s=3 .7×1 . 2(10−

12 √0. 0178 −

2 . 513374359×√0 . 0178 )

k s=0 .78 mm

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