II. Matemticas Financieras

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ObjetivoQue los alumnos sean capaces de manejar elementos de matemticas financieras y comprender el valor del dinero en el tiempo.

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ContenidosValor del dinero en el tiempo Valor Actual y Valor FuturoValor Actual NetoAnualidades, perpetuidadesInters simple, inters compuestoTasas reales, nominales, efecto de la inflacin.

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BibliografaFundamentos de Financiacin Empresarial, Quinta Edicin, Brealey y Myers.Captulos 2 y 3.

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Ejemplo 1: Qu es preferible?

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Valor del Dinero en el TiempoUn peso hoy vale ms que un peso maana.

Por qu?......

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Valor del Dinero en el TiempoUn peso hoy vale ms que un peso maana.

PRIMER PRINCIPIO FINANCIERO:PORQUE UN $ HOY PUEDE INVERTIRSE PARA COMENZAR A GANAR INTERESES INMEDIATAMENTE

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Valor del Dinero en el TiempoDicho de otra manera, una persona que tiene $100.000 hoy, estar dispuesta a invertir esa cantidad (y dejar de consumir hoy) siempre que al cabo de un perodo reciba los $100.000 ms un premio que compense su sacrificio (tasa de rentabilidad).

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Introduccin al Costo de OportunidadPara efectos de este captulo, utilizaremos r como la tasa que representa el costo de oportunidad o tasa de descuento, que podramos interpretarlo, como la rentabilidad a la que se renuncia al invertir en el proyecto en lugar de invertir en una alternativa.

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Valor FuturoEs el valor alcanzado por un capital al final del perodo analizado.Supongamos que cuenta hoy con un capital inicial = C0 y r es la rentabilidad al cabo de un perodo. Cul sera el valor en t=1 de C?

C0C1C1=C0+C0*r=C0 (1+r)Luego,rVF1(C)= C0 (1+r)

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Valor ActualEs el valor alcanzado por un capital al inicio del perodo analizado.Supongamos que recibir una cantidad C1 al cabo de un ao y r es la rentabilidad del mercado. Qu cantidad HOY sera equivalente a C1?

C0C1Sabemos que C1= X(1+r)Sea X=Valor Actual =VA, entonces:rVA= C1 * 1/ (1+r)Donde 1/(1+r) corresponde al factor de descuento o actualizacin

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Valor del Dinero en el Tiempo

VALOR FUTUROcapitalizarVALOR ACTUALactualizar o descontar

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Valor ActualPara calcular el VA, descontamos los cobros futuros esperados a la tasa de rentabilidad ofrecida por alternativas de inversin comparables (r).

Nota: Tambin se le conoce como Valor PresenteVA = VF * factor de descuento

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VF y VA con n>1

CtCt/(1+r)Ct(1+r)Ct(1+r)n-1Ct/(1+r)tVA /// 1/(1+r)

VF /// (1+r)

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VA con n>1Qu pasa con el VA si tenemos n perodos?

0nt1Cn,rnCt,rtC1,r1PROPIEDAD 1: VA (A +B)= VA(A) + VA(B)Entonces tenemos:

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VA con n>1Luego, sumando los valores actuales queda:Simplificando, supondremos que no tenemos estructura de tasas temporal, por lo que r1=r2==r

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VA con n>1Si los flujos son iguales durante todos los perodos, entonces las frmula se reduce a:

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Valor Actual NetoSi tenemos varios flujos futuros, necesitamos una mtrica nica para comparar el valor. El concepto de Valor Actual Neto aparece como una respuesta a esta necesidad.

Definiremos entonces:

Tambin se le conoce como Valor Presente Neto, y corresponde a la medida de valor neto en el momento actual de los flujos de caja futuros.

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Valor Actual NetoEjemplo: Usted enfrenta dos alternativas:1 Proyecto Inmobiliario (sup: libre de riesgo)

Bonos del Gobierno-$1000$200$700$3001320-$1000$60$60$10601320

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Valor Actual NetoPara poder comparar ambas alternativas de inversin, debemos resumir ambos flujos a un solo valor.Supongamos r=6%, como tasa de descuento.Luego:VAN(p.inmob)= $64Van(b. gob) =$0Por lo tanto preferiremos el proyecto inmobiliario frente a invertir en los bonos del gobierno, porque tiene un mayor VAN

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Sobre la inversinLas empresas invierten en distintos activos realesLos activos pueden ser de diferentes tipos:Activos tangibles o fsicos (maquinaria, edificios)Activos intangibles (contratos de gestin, Patentes)Activos financieros (acciones, bonos)Objetivo de la decisin de inversin es encontrar activos cuyo valor supere su costo.Dado lo anterior surge la necesidad de valorar adecuadamente los activos.Si existe un buen mercado para un activo el valor ser exactamente su precio de mercado.

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Sobre el riesgo

No todas las inversiones tienen el mismo riesgo.Ejemplos:Bonos del tesoroConstruccin de oficinasPerforacin de un pozo de petrleo

En principio a mayor riesgo mayor es la rentabilidad exigida

Ms adelante se discutir el problema del riesgo y como ste afecta el valor de los activos.

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PerpetuidadesCorresponde a un flujo constante que se paga hasta el infinito. Veamos el caso de la deuda perpetua con un pago anual de C

Considerando una tasa r, se tiene que:

CCCCCC

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Perpetuidades con crecimientoSupongamos que los flujos crecen a una tasa g.

Donde:C2=C1(1+g)C3=C2(1+g)=C1(1+g)2Ct=C1(1+g)t-1

C108C2CtEntonces: (sup r>g)

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AnualidadesEn la prctica existen numerosos casos en que nos enfrentamos a la alternativas de pagar o ahorrar con cuotas iguales, versus pagar el valor actual de dichas alternativas.

Por ejemplo, la posibilidad de realizar compras en un cierto nmero de cuotas versus precio contado (valor actual) que ofrecen las casas comerciales, compaas de seguros, valores de arriendos, etc.; ahorrar peridicamente sumas fijas de dinero y su valor capitalizado; comprar instrumentos de mercado que ofrecen periodicidades de pago; contratar deudas, como prstamos, crditos hipotecarios, etc.

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AnualidadesActivo que produce cada ao una suma fija durante un determinado nmero de aos

C

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Inters SimpleEs el que se calcula sobre un capital que permanece invariable o constante en el tiempo y el inters ganado (o pagado) se acumula slo al trmino de esta transaccin.P= 1,000 S= 1,120Ganancia Inters = Monto - Capital Inicial Ganancia Inters = 1,120 - 1,000 Ganancia Inters = 12048120n=12 mesesi =12% anual

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Inters SimpleSupongamos que C0=$100 y r=10%Notemos que slo calculamos intereses sobre el principal

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Inters CompuestoInters Compuesto: Significa que el inters ganado sobre el capital invertido se aade al principal. Se gana inters sobre el inters. De otra forma se asume reinversin de los intereses en periodos intermedios.Supongamos que C0 = $100 y r = 10%

C1 = C0 + r * C0 = C0 (1+r) =110 C2 = C1 + r * C1 Intereses sobre capital ms intereses.C2 = C0 (1+r) + r*(C0 (1+r) )= = 121C2 = C0 (1+r) (1+r) = C0 (1+r)2Para n perodos:Cn = Cn-1 + r * Cn-1 ==> Cn = C0 * (1 + r)nrrrr01243

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Inters Simple vs Inters compuestoVeamos que se obtiene para un perodo ms largo y diferentes tasas de inters.Co = 100, r = 10% y n = 40 aos:

Inters Simple ==> Cn = $ 500Inters Compuesto ==> Cn = $ 4.525,93 (9,05 veces)Co = 100, r = 5% y n = 40 aos:

Inters Simple ==> Cn = $ 300Inters Compuesto ==> Cn = $ 704 (2,35 veces)Co = 100, r = 15% y n = 40 aos:

Inters Simple ==> Cn = $ 700Inters Compuesto ==> Cn = $ 26.786,35 (28,27 veces)

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Inters Compuesto - Intervalos

Crecimiento con inters compuestoDescontando @10%

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InflacinLa inflacin es el aumento sostenido y generalizado del nivel de precios.Que las papas suban un 10% significa necesariamente que hubo inflacin? La respuesta es no ya que la inflacin se mide a travs de ndices (IPC en Chile) que miden la evolucin de los precios de una canasta promedio de bienes y servicios.Por lo tanto la variacin del IPC mide la tasa de inflacin, no significa que todos los bienes y servicios de esta canasta vare en el mismo porcentaje.Por otro lado el IPC no es el precio de la canasta.

Si existe inflacin los pesos de hoy no comprarn las mismas cosas que en un ao ms.

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InflacinEjemplo:

Supongamos que un depsito bancario por 1.100 dlares al final del ao, suponga adems que el IPC es de 6% a lo largo del ao. Al final de ao, los 1.100 dlares podrn adquirir 1.100/1.06=1.037,74 dlares hoy.Con esto podemos ver que est el valor NOMINAL, que seran en este caso los 1100 dlares. En segundo trmino, est el valor REAL que corresponde a los 1037.74 dlares.

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Tasa de inters realUna tasa de inters real es aquella que denota un aumento del poder adquisitivo. Esto es, conservando el poder adquisitivo del dinero, existe un incremento en el monto a pagar (o cobrar).

El ejemplo clsico es el de las tasas en UF + X% o tasas reflejadas como IPC + X%.

Esto significa que al cabo de un ao el dinero debiera tener el mismo poder adquisitivo que el dinero que invert.

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Tasa de inters nominalUna tasa de inters nominal es aquella que denota un crecimiento en el monto de dinero, sin ajustar la moneda por inflacin. As la tasa de inters nominal no necesariamente significa un incremento en el poder adquisitivo.

El ejemplo tpico son los depsitos en pesos a 30 das de los bancos o los crditos en pesos.

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Tasa de inters real v/s nominalLa frmula general para convertir flujos de caja nominales futuros en flujos de caja reales es:

FLUJO DE CAJA REAL = FLUJO DE CAJA NOMINAL(1 + TASA DE INFLACIN)t

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Tasa de inters real v/s nominalAs surge la Igualdad de Fisher:

(1 + rnominal) = (1 + rreal) * (1 + )donde: = inflacin esperadaCabe notar que la tasa nominal es cierta y la real es esperada, pues se tiene slo la estimacin de la inflacin.Ej: Un Banco le ofrece un 10% de inters, se sabe que la inflacin podra llegar al 6% al final del ao. Entonces con esto podemos decir que en realidad el Banco est ofreciendo una tasa real esperada de 3.774 % .

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Tasa de inters real v/s nominalRelacin de paridad entre tasas para economas abiertas:

(1+rreal) = (1+ Libor + s)(1+e) /(1+ )Donde y r ya definidosLibor: Tasa de inters interbancaria de Londress: Spread (depende del riesgo pas)e: variacin esperada del tipo de cambio

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Inters real y nominal aplicado a VFSi la tasa es nominal

VF= VP ( 1 + rnominal )n / ( 1 + )n

Si la tasa es real

VF = VP ( 1 + rreal )n

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Conversin de Tasasrnominal=(1 + rreal)*(1 + ) - 1 Tasas reales/nominales

is = [ ( 1 + ic )n - 1 ] / n Tasas simples/compuestas

Para transformar entre tasas de inters compuestas expresadas en diferentes periodos:(1 + ranual)=(1+rmensual)12

De aqu en adelante usaremos slo inters compuesto (real o nominal), ya que es el habitualmente utilizado.

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Ejemplos1. Usted quiere comprar un departamento que cuesta UF3.600. El banco le ofrece un crdito hipotecario por el 75% del valor, a 10 aos plazo, con una tasa anual de 8%. Cunto va a cancelar como dividendo mensual?

2. Considere una deuda al 12% anual por un monto de 1.000 UF, a ser pagada en tres aos. Cul es el valor que habra que pagar?

3. Un matrimonio joven, con un hijo que acaba de cumplir hoy 9 aos, pretende ahorrar para financiar la educacin universitaria del nio. Suponiendo que el nio ingresar a la universidad al cumplir los 18 aos, el matrimonio estima que se requerirn 150 UF anualmente para cubrir todos los gastos de la educacin durante 5 aos. Si la tasa de inters real para los depsitos es de 6% anual, determine el ahorro anual que debe realizar esta familia hasta el momento de matricular al hijo en la universidad. (Nota: suponga que esta familia har el primer depsito apenas Ud. le entregue el resultado y que realizar todos los depsitos una vez al ao, al comenzar el ao. De igual forma, esta familia cancelar todos los gastos de la universidad al comenzar el ao)

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Ejemplos4. Una empresaria necesita para las actividades de su negocio un furgn. Para obtenerlo tiene dos alternativas:Comprarlo: a un precio de $6.500.000. Al cabo de 5 aos, podra venderlo a un precio de $2.000.000Arrendarlo, en cuotas mensuales de $100.000. El furgn tiene una vida til de 5 aos. La tasa de descuento es 1% mensual. (No considere depreciacin)cul alternativa le conviene ms?

5. Un ingeniero recibe por un trabajo US$10.000, el que decide invertirlo en certificados del gobierno a 15 aos, los cuales tienen una tasa de 8% anual. Si la inflacin permanece con una tasa de 6%, cul es el valor final de su inversin?