curs07_inginerie_seismica

8/14/2019 curs07_inginerie_seismica

1/10

Sem. I 2006. Aceste note de curs sunt disponibile la http://cemsig.ct.upt.ro/astratan/didactic/seism/

91

4.3. Rspunsul dinamic al sistemelor MGLD

4.3.1. Analiza modal

Ecuaia de micare a unui sistem MGLD amortizat acionat de fore dinamice este:

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }m u c u k u p t + + = (4.82)Dup cum s-a menionat n capitolul 4.2.4, vectorul { }u al deplasrilor unui sistem MGLD poate fidezvoltat prin contribuiile modurilor proprii de vibraie:

{ } { } [ ]{ }1

N

rrr

u q q=

= = (4.83)

nlocuind ecuaia (4.83) n (4.82) obinem:

[ ]{ } ( ) [ ]{ } ( ) [ ]{ } ( ) ( ){ }1 1 1

N N N

r r rr r rr r r

m q t c q t k q t p t = = =

+ + = (4.84)

nmulind fiecare termen al ecuaiei (4.84) la stnga cu { }Tn

, obinem:

{ } [ ]{ } ( ) { } [ ]{ } ( ) { } [ ]{ } ( ) { } ( ){ }1 1 1

N N N T T T T

r r rn r n r n r nr r r

m q t c q t k q t p t = = =

+ + = (4.85)

Folosind proprietatea de ortogonalitate a modurilor proprii de vibraie (vezi capitolul 4.2.2), n cazulamortizrii clasice (matricea de amortizare [c] simetric), aceast ecuaie se reduce la:

( ) ( ) ( ) ( )n n n n n n nM q t C q t K q t P t + + = (4.86)

unde Mn, Cni Kn sunt date de relaiile (4.38) i (4.66). Ecuaia (4.86) este valabil pentru fiecaremod propriu n=1, 2, , N, iar setul deNecuaii poate fi scris n form matriceal:

[ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] ( ){ }M q C q K q P t + + = (4.87)

mprind ecuaia (4.86) la Mn obinem:

( )22 nn n n n n nn

P tq q q

M + + = (4.88)

unde n este fraciunea din amortizarea critic n modul propriu n, iarn este pulsaia proprie devibraie n modul n. n ecuaiile (4.86) i (4.88) mrimile Mn, Cn, Kni Pn(t) depind doar de modulpropriu n. Astfel, rezolvarea sistemului de Necuaii difereniale neomogene (4.82) a fost redus larezolvarea a N ecuaii difereniale neomogene (4.88). n plus, folosind ecuaia (4.88), nu estenecesar estimarea direct a matricei de amortizare [c] i nici a elementelor matricei deamortizare modal [C]. n schimb, amortizarea se specific direct prin fraciunea de amortizarecriticn pentru fiecare mod propriu de vibraie.

Ecuaii de micare (4.88) are aceiai form ca i ecuaia de micare a unui sistem SGLD (vezicapitolul 2.3), astfel nct pot fi folosite oricare dintre metodele de rezolvare amintite n acestcapitol (rezolvarea direct a ecuaiei difereniale, integrala Duhamel, metode numerice). Soluiaecuaiei de micare n modul n este coordonata modal qn(t). Dup cum se poate observa dinecuaia (4.83), contribuia modului propriu n la deplasrile totale {u(t)} este:

( ){ } { } ( )nnnu t q t = (4.89)

Dup ce se cunosc coordonatele modale qn(t) pentru toate modurile proprii de vibraie, deplasrile

totale se pot determina nsumnd contribuiile individuale. Astfel, vectorul deplasrilor totale estedat de relaia:


2/10


3/10


93

Distribuia n spaiu a forelor efective {peff(t)} este dat de expresia {s}=[m]{1}, care esteindependent de timp.Vectorul {s} poate fi dezvoltat folosind urmtoarea expresie:

{ } [ ]{ } { } [ ]{ }1 1

1N N

rr rr r

s m s m = =

= = = (4.95)

Figura 4.17. Gradele de libertate dinamice ale unui cadru multietajat: deplasrile laterale(Chopra, 2001).

nmulind ambele pri ecuaiei (4.95) cu { }T

n i folosind proprietate de ortogonalitate a modurilor

proprii de vibraie, obinem:

{ } [ ]{ } { } [ ]{ }1T T

nn n nm m = (4.96)

de unde:

{ } [ ]{ }

{ } [ ]{ }

{ } [ ]{ }1 1T T

n nn T

nn n

m m

Mm

= = (4.97)

Astfel, se pot scrie urmtoarele expresii:

{ } [ ]{ } { } [ ]{ } 21 1

1N N

T Tnn n j jn n j jnn n n

j jn

L L m m M m m

M

= =

= = = = = (4.98)

unde jn reprezint deplasarea modal pe direcia gradului de libertate j (deplasarea lateral lanivelulj) n modul propriu de vibraie n.

Pe baza relaiei (4.95), contribuia modului propriu de vibraie n la [m]{1} este dat de:

{ } [ ]{ }n jn n j jnn n s m s m = = (4.99)

distribuie care este independent de modul n care sunt normalizate modurile proprii de vibra ie.n cazul unui sistem MGLD supus unei micri seismice, ecuaia (4.88) devine:

( )22n n n n n n n g q q q u t + + = (4.100)

Ecuaia de micare (3.2) pentru un sistem SGLD supus aciunii seismice poate fi exprimat nurmtoarea form:

( )22n n n n n n g D D D u t + + = (4.101)

unde s-a nlocuit deplasarea u a sistemului SGLD cu notaiaDn pentru a evidenia relaia acesteiacu modul propriu de vibraie n. n mod similar, a fost nlocuit cu n, iar cu n. Ecuaia demi

care (4.101) poate fi rezolvat

folosind metodele numerice amintite n capitolul 3. Solu

ia q

n(t) a

ecuaiei de micare a sistemului MGLD n modul propriu n poate fi obinut observnd asemnareadintre ecuaia (4.100) i ecuaia de micare (4.101) a unui sistem SGLD. Comparnd cele douecuaii:


4/10


94

( ) ( )n n nq t D t = (4.102)

Coeficientul n se numete coeficient de participare modal. Totui, acesta nu reprezintcontribuia modului n la rspunsul total al unei mrimi. n plus, valoarea factorului de participaremodal nu este independent de metoda de normalizare a modurilor proprii de vibraie.

Contribuia modului propriu n la deplasarea total {u(t)} este:

( ){ } { } ( ) { } ( )n n nn nnu t q t D t = = sau ( ) ( ) jn n jn nu t D t = (4.103)

Dintre cele dou metode de determinare a eforturilor n elementele structurale descrise n capitolul4.3.1, de obicei se prefer metoda forelor statice echivalente, fiind mai intuitiv. Forele statice

echivalente din modul propriu n sunt ( ){ } [ ] ( ){ }n n

f t k u t = , unde {u(t)}n sunt determinate din relaia

(4.103). Folosind expresiile (4.25) i (4.99), forele statice echivalente pot fi exprimate prin:

( ){ } { } ( )nnn f t s A t = sau ( ) ( ) jn jn nf t s A t = (4.104)

unde, similar expresiei (3.9),

( ) ( )

2

n n n

A t D t = (4.105)

Relaia (4.104) indic faptul c forele statice echivalente sunt produsul a doi factori: (1) contribuia{s}n a modului propriu n la distribuia [m]{1} a forelor efective {peff(t)}i (2) rspunsul n pseudo-acceleraie al unui sistem SGLD corespunztor modului propriu n la micarea seismic ( )gu t .

Contribuia rn(t) din modul propriu n al oricrui rspuns r(t) se determin prin analiza static astructurii din forelefn(t). Folosind ecuaia (4.104), mrimea rn(t) se poate exprima prin relaia:

( ) ( )stn n nr t r A t = (4.106)

unde s-a notat prin rnst rspunsul static modal, generat de "forele" {s}n. Se poate observa crn

stpoate lua att valori pozitive, ct i negative, i nu depinde de metoda de normalizare a modurilor

proprii.Rspunsul total se obine nsumnd contribuiile rspunsului n toate modurile proprii. Astfel,folosind expresia (4.103), deplasrile nodale vor fi:

( ){ } ( ){ } { } ( )1 1

N N

n nnnn n

u t u t D t = =

= = (4.107)

Folosind ecuaia (4.106), rspunsul total al oricrei mrimi este dat de relaia:

( ) ( ) ( )1 1

N Nst

n n n

n n

r t r t r A t = =

= = (4.108)

Interpretarea analizei modaleAnaliza rspunsului seismic n timp folosind analiza modal ncepe prin a determina pulsaiileproprii i modurile proprii de vibraie. Odat acestea cunoscute, pentru fiecare mod propriu sedetermin componentele modale {s}n ale distribuiei vectorului forelor [m]{1}, folosind relaia(4.99). Restul procedurii unei analize modale este prezentat conceptual n Figura 4.18.Contribuia din modul propriu n a rspunsului dinamic se obine nmulind rezultatele a douanalize: (1) o analiz static a structurii din forele {s}n i (2) o analiz dinamic a unui sistemSGLD corespunztor modului propriu n acionat de micarea seismic ( )gu t . Astfel, analiza

modal necesit efectuarea aNanalize statice din forele {s}n, n=1, 2, ,Ni analize dinamice aNsisteme SGLD. Rspunsul total se obine combinnd rspunsul n fiecare mod propriu.

Analiza rspunsului seismic n timp folosind analiza modal a unui sistem MGLD poate fi efectuatn urmtoarea ordine:1. Se definete numeric acceleraia terenului ( )gu t la intervalul de digitizare t


5/10


95

2. Se definesc proprietile structurale- matricele masei [m]i ale rigiditii [k]- fraciunea din amortizarea criticn

3. Se determin pulsaiile proprii de vibraie ni modurile proprii de vibraie {}n4. Se determin componentele modale {s}n ale distribuiei forelor seismice efective5. Se calculeaz rspunsul n fiecare mod propriu urmrind secvena:

- se calculeaz rspunsul static rnstal structurii din forele {s}n, pentru fiecare cantitate de

rspuns dorit- se calculeaz pseudo-acceleraiaAn(t) a sistemului SGLD corespunztor modului propriu nacionat de micarea seismic ( )gu t folosind metode numerice

- se calculeaz contribuiile rn(t) din modul propriu de vibraie n ale eforturilor, folosind relaia(4.106)

6. Se combin contribuiile modale rn(t) pentru a obine rspunsul total folosind relaia (4.108).

Figura 4.18. Explicarea conceptual a analizei modale (Chopra, 2001).


6/10


96

Masa modal efectivi nlimea modal

n cazul unei structuri multietajate n cadre, este util introducerea a dou mrimi ale rspunsului:fora tietoare la bazVbi momentul la bazMb. Rspunsul static modal pentru aceste mrimieste dat de relaiile (vezi Figura 4.19):

*

1

Nst

bn jn n n n

j

V s L M =

= = (4.109)

* *

1 1

N Nst

bn j jn j j jn n n

j j

M h s h m h M = =

= = (4.110)

unde s-au folosit notaiile:

( )

2

2

1 1 1* *

2

1 1

n n n

j jn j j jn j j jnj j jn

n n n nn n

n n jn j jn

j j

m h m h mL

M L hM L

m m

= = =

= =

= = = = =

(4.111)

Figura 4.19. Rspunsul static modal pentru fora tietoare la bazi momentul la baz(Chopra, 2001).

Pe baza ecuaiei (4.106), fora tietoare la baz din modul propriu n poate fi exprimat prin:

( ) ( )stbn bn nV t V A t = (4.112)

nlocuind n aceast expresie relaia (4.109)

( ) ( )*bn n nV t M A t = (4.113)

Pentru un sistem SGLD cu masa m, pulsaia proprie de vibraie ni fraciunea din amortizareacriticn, valoarea de vrf a forei tietoare la baz este bV kD mA= = , care pentru timpul tdevine:

( ) ( )b nV t mA t = (4.114)

Comparaia ecuaiilor (4.113) i (4.114) indic faptul c dac masa sistemului SGLD ar fi Mn*, fora

tietoare la bazVb a sistemului SGLD ar fi identic cu fora tietore la bazVbn n modul propriu na sistemului MGLD, care are masa distribuit la cele N nivele. Din acest motiv, Mn

* se numetemasa modal efectiv. n cazul unui sistem SGLD ntreaga sa mas m este efectiv nproducerea forei tietoare de baz, dup cum se poate vedea din relaia (4.114). n cazul unui

sistem MGLD n schimb, doar fraciunea Mn* a masei totale a structurii este efectiv n producereaforei tietoare de baz, deoarece masa este distribuit la cele N nivele ale structurii. Sumamaselor modale efective din celeNmoduri proprii este egal cu masa total a structurii:


7/10


97

*

1 1

N N

n j

n j

M m= =

= (4.115)

Figura 4.20. Forele statice echivalente i fora tietoare la baz n modul n (a); un sistem SGLDcorespunztor cu masa modal efectivi nlimea modal efectiv (b), Chopra, 2001.

n mod similar, momentul la baz din modul propriu n poate fi exprimat prin:

( ) ( )stbn bn nM t M A t = (4.116)

nlocuind n aceast expresie relaia (4.110) i folosind expresia (4.113):

( ) ( )*bn n bnM t h V t = (4.117)

Pentru un sistem SGLD cu masa m, pulsaia proprie de vibraie ni fraciunea din amortizareacriticn, valoarea de vrf a momentului la baz este b bM hV= , care pentru timpul tdevine:

( ) ( )b bM t hV t = (4.118)

Comparaia ecuaiilor (4.117) i (4.118) indic faptul c dac masa sistemului SGLD ar fi Mn*i

aceasta ar fi amplasat la nlimea hn*, momentul la bazMb din sistemul SGLD ar fi identic cu

momentul la bazMbn n modul propriu n a sistemului MGLD, care are masa distribuit la cele Nnivele. Din acest motiv, hn

* se numetenlimea modal efectiv.

n cazul unui sistem SGLD nlimea total a acestuia h este efectiv n producerea momentului labaz

, dup

cum se poate vedea din rela

ia (4.118). n cazul unui sistem MGLD n schimb, doar

nlimea modal efectiv hn*, mai mic dect nlimea total a structurii este efectiv n

producerea momentului la baz, deoarece masa, respectiv forele statice echivalente suntdistribuite la celeNnivele ale structurii. Suma momentelor statice ale maselor modale efective Mn

*din cele N moduri proprii este egal cu masa total a structurii amplasate la nlimile hn

* esteegal cu suma momentelor statice ale maselor structurii amplasate la nivelul etajelor:

* *

1 1

N N

n n j j

n j

h M h m= =

= (4.119)

4.3.3. Analiza spectral

Rspunsul seismic n timp a unui sistem MGLD poate fi determin prin intermediul analizei modale

descrise n capitolul 4.3.2. n practica curent de proiectare, dimensionarea structurilor se bazeazns pe valorile de vrf ale forelori deplasrilor seismice. n cele ce urmeaz se va prezenta o


8/10


98

metod de determinare direct a valorilor de vrf a rspunsului seismic al sistemelor MGLD,folosind analiza spectral.

Rspunsul de vrfrno al contribuiei rn(t) din modul propriu de vibraie n al rspunsului r(t) se poateobine dintr-un spectru de rspuns. Acest fapt este evident din ecuaia (4.106), valoarea de vrfAna pseudo-acceleraiei An(t) reprezentnd ordonata spectral din spectrul de pseudo-acceleraiecorespunztoare perioadei Tni fraciunii din amortizarea criticn. Astfel:

0

stn n nr r A= (4.120)

Semnul algebric al rn0 este acelai cu semnul rnst, deoareceAn este pozitiv prin definiie.

n Figura 4.21 sunt prezentate contribuiile modale i valorile totale ale forei tietoare la baziforei tietoare la nivelul 5 al unui cadru cu 5 nivele, determinate printr-o analiz modal.Rspunsul de vrf al contribuiilor modale Vbn(t) se nregistreaz n general la momente diferite detimp, la fel i valoarea de vrf a rspunsului total Vn(t). Din aceast cauz este dificil obinerea

rspunsului de vrf total ( )0 maxtr r t= pe baza rspunsului de vrf din modurile proprii n=1, 2, ,

N: ( )0 maxn t nr r t= . Din aceast cauz, se folosesc diverse aproximri prin care se determin

rspunsul de vrf total r0 pe baza rspunsurilor modale de vrfrn0.

Figura 4.21. Contribuiile modale i valorile totale ale forei tietoare la bazi forei tietoare lanivelul 5 al unui cadru cu 5 nivele, (Chopra, 2001).

Una dintre posibiliti este considerarea c toate rspunsurile modale au loc la acelai timp i auacelai semn algebric. Aceast ipotez conduce la expresia:

0 0

1

N

n

n

r r=

= (4.121)

Aceast metod de combinare se numete suma valorilor absolute i ofer o aproximarecorespunztoare a rspunsului total doar pentru structurile care au perioade proprii de vibra ieapropiate ca valoare.

O alt metod de combinare a rspunsurilor modale este radical din suma ptratelor (RSP):


9/10


10/10


100

Metoda RSP i CPC au la baz teoria vibraiilor aleatoare. De aceea, aceste metode de combinarea rspunsurilor modale, ct i metoda spectral de determinare a rspunsului seismic a structurilorMGLD se potrivesc micrilor seismice cu o band larg de frecvene i o durat lung. Metodaspectral nu este potrivit cutremurelor de tip puls sau a celor care au o micare apropiat de ceaarmonic. Metoda spectral de determinare a rspunsului seismic este deosebit de util nproiectare, unde spectrul de pseudo-acceleraie de calcul reprezint o mediere i o schematizare amai multor micri seismice.

Avantajul metodei spectrale este acela c aceast metod ofer rspunsul seismic de vrf al unuisistem MGLD, prin efectuarea unei serii de analize statice. Astfel, pentru fiecare mod propriu n, seefectueaz o analiz static din forele {s}n, care ofer rspunsul modal static rn

st. nmulindaceast mrime cu ordonata spectralAn, se obine rspunsul modal de vrf rn0. Astfel, analizadinamic a sistemului SGLD nu mai este necesar, deoarece informaia corespunztoare esteconinut n spectrul de rspuns.

n analiza spectral este util determinarea rspunsului modal de vrfrn0 direct din forele staticeechivalente:

{ } { } n jn n j jn nn n f s A f m A= = (4.125)

unde {f}n este vectorul forelor statice echivalente fjn pe direcia gradelor de libertate j=1, 2, , N(deplasrile orizontale la nivelelej).

Analiza spectral a unui sistem MGLD poate fi efectuat n urmtoarea ordine:1. Se definesc proprietile structurale

- matricele masei [m]i ale rigiditii [k]- fraciunea din amortizarea criticn

2. Se determin pulsaiile proprii de vibraie n (cu perioada proprie corespunztoare Tn=2/n) imodurile proprii de vibraie {}n

3. Se calculeaz rspunsul n fiecare mod propriu urmrind secvena:- pentru perioada proprie Tni fraciunea din amortizarea criticn se determin din spectrul depseudo-acceleraie ordonata spectralAn

- se calculeaz forele statice echivalente {f}n folosind relaia (4.125)- se calculeaz rspunsul rn din forele {f}n, pentru fiecare cantitate de rspuns dorit (eforturi,deplasri, etc.)

4. Se combin contribuiile modale rn pentru a obine rspunsul total folosind metoda RSP sauCPC.

n general doar primele cteva moduri proprii de vibraie contribuie semnificativ la rspunsul total alstructurii. De aceea, paii de la punctul (3) se efectueaz n mod curent doar pentru primele ctevamoduri proprii de vibraie.

curs07_inginerie_seismica

Documents