cursia

Inteligenta artificiala

Lector Doctor Lucian Sasu

2008-2009

Universitatea Transilvania din Brasov

Facultatea de Matematica si Informatica

Cuprins

1 Definitii. Rezolvarea problemelor prin cautare 7

1.1 Definitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Sisteme care actioneaza precum oamenii . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2 Sisteme care gandesc ca oamenii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.3 Sisteme care gandesc rational . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.4 Sisteme care actioneaza rational . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Fundamentele inteligentei artificiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Starea actuala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Rezolvarea de probleme de catre agenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Formularea unei probleme de cautare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6 Exemple de probleme de cautare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6.1 Probleme “de jucarie” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6.2 Probleme “din lumea reala” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7 Cautarea solutiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.8 Masurarea performantelor algoritmilor de cautare . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Strategii de cautare neinformata 19

2.1 Cautarea “mai ıntai ın latime” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Cautarea dupa costul uniform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Cautarea “mai ıntai ın adancime” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4 Cautarea cu adancime limitata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5 Cautarea “mai ıntai ın adancime” cu adancire iterativa . . . . . . . . . . . 25

2.6 Cautare bidirectionala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.7 Problema starilor duplicat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Cautare informata 31

3.1 Strategii de cautare informata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 Cautarea euristica lacoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3 Algoritmul A* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3

4 CUPRINS

3.4 Variatii ale lui A* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.5 Functii euristice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.6 Algoritmi de cautare locala si probleme de optimizare . . . . . . . . . . . . 43

3.6.1 Cautarea prin metoda ascensiunii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.6.2 Recoacerea simulata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.6.3 Algoritmi genetici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.6.4 Cautare locala ın spatii continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4 Probleme de satisfacere a constrangerilor 53

4.1 Probleme de satisfacere a constrangerilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2 Cautare backtracking pentru PSC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2.1 Ordonarea valorilor si a variabilelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2.2 Propagarea informatiilor prin constrangeri . . . . . . . . . . . . . . 58

4.3 Cautare locala pentru PSC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.4 Structura problemei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5 Agenti logici 67

5.1 Motivatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.2 Agenti bazati pe cunoastere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.3 Jocul "lumea monstrului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.4 Logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.5 Logica propozitionala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.5.1 Sintaxa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.5.2 Semantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.5.3 Exemplu: lumea monstrului ın logica propozitionala . . . . . . . . . 73

5.5.4 Inferenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.5.5 Echivalenta, validitate si satisfiabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.6 Tipare de rationament ın logica propozitionala . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.6.1 Rezolutia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.7 Forma normala conjunctiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.8 Algoritmul de rezolutie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.9 Inlantuirea ınainte si ınapoi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.10 Inferenta propozitionala efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.10.1 Algoritm bazat pe backtracking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.10.2 Algoritm bazat pe cautare locala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6 Logica de ordinul ıntai 89

6.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

CUPRINS 5

6.2 Sintaxa si semantica logicii de ordinul ıntai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.2.1 Modele pentru logica de ordinul ıntai . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.2.2 Simboluri si interpretari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.2.3 Termeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.2.4 Propozitii atomice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.2.5 Enunturi complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.2.6 Cuantificatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.3 Procesul de management al cunostintelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.4 Inferenta propozitionala comparata cu inferenta de ordinul ıntai . . . . . . 94

6.4.1 Reguli de inferenta pentru cuantificatori . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.4.2 Reducerea la inferenta propozitionala . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6 CUPRINS

Capitolul 1

Definitii. Rezolvarea problemelor prin

cautare

1.1 Definitii

Dam cateva definitii care au fost formulate de-a lungul timpului ın diverse lucrari,

precum si comentarii asupra lor. Exista patru tipuri de abordari pentru sistemele cu

inteligenta artificiala: sisteme care gandesc precum oamenii, sisteme care gandesc rational,

sisteme care actioneaza precum oamenii, sisteme care actioneaza rational. Remarcam ca

exista o diferenta ıntre a actiona ca un om si a actiona rational; desi inteligenta umana

si rationalitatea nu sunt disjuncte, actiunile oamenilor nu sunt ıntotdeauna ınscrise ın

totalitate ın legile ratiunii.

1.1.1 Sisteme care actioneaza precum oamenii

Definitia 1 Arta crearii de masini care ındeplinesc functii ce necesita inteligenta atunci

cand sunt ındeplinite de catre oameni.

Definitia 2 Studiul asupra cum se poate ca un calculator sa faca lucruri la care, pentru

moment, oamenii sunt mai buni.

Testul Turing, propus de catre Alan Turing ın 1950 a fost conceput pentru a da o

definitie operationala a inteligentei. Testul care trebuie trecut de catre un sistem inteligent

consta ın a pune un om ın imposibilitate de a decide daca interlocutorul (sistemul artificial)

este om sau nu.

Deducem ca un asemenea sistem ar trebui sa posede urmatoarele abilitati:

1. procesarea limbajului natural - pentru a putea comunica ıntr-o limba folosita de

oameni

7

8 CAPITOLUL 1. DEFINITII. REZOLVAREA PROBLEMELOR PRIN CAUTARE

2. reprezentarea cunostintelor - pentru a stoca ceea ce se stie sau afla

3. rationamentul automat - pentru a putea deduce noi concluzii pe baza informatiilor

acumulate si pentru a raspunde ıntrebarilor

4. ınvatarea automata - pentru a se adapta noilor conditii, pentru a detecta modele

sau sabloane (pattern-uri).

Testul de mai sus nu presupune un contact direct ıntre om si sistemul artificial. Daca

acest lucru este dorit, atunci mai e nevoie de:

1. vedere artificiala (engl: computer vision) - pentru perceperea vizuala a obiectelor

2. robotica - pentru a manipula obiecte

Cu toate ca testul Turing nu a fost ınca trecut, exista interes destul de scazut din

partea cercetatorilor ın aceasta directie; exista opinia ca e mai important a se studia

principiile care stau la baza inteligentei decat sa se duplice un exemplar.

1.1.2 Sisteme care gandesc ca oamenii

Definitia 3 Efortul provocator de a face calculatoarele sa gandeasca [. . . ] masini cu

minte, ın sens literal.

Definitia 4 [Automatizarea] activitatilor pe care le asociem cu gandirea umana, activitati

precum luarea deciziilor, rezolvarea problemelor, ınvatarea[. . . ]

Pentru a putea spune ca un program gandeste precum un om, ar trebui sa stim cum

anume gandesc oamenii - problema deloc simpla. Sunt doua moduri: prin introspectie si

prin experimente psihologice.

1.1.3 Sisteme care gandesc rational

Definitia 5 Studiul facultatilor mentale pe baza utilizarii modelelor computationale.

Definitia 6 Studiul calculelor care fac posibile perceptia, rationamentul, actionarea.

Aceasta abordare se bazeaza pe maturizarea domeniului numit “logica” ın secolul

al 19-lea – introducerea de notatii si silogisme care permit redactarea unor enunturi si

relatii ıntre diferite obiecte. Exista ınsa probleme la trecerea din teorie la practica: de

exemplu, ce se ıntampla cu situatiile ın care exista incertitudine? apoi, exista diferente

ıntre a rezolva o problema “ ın principiu” (teoretic) si a o rezolva ın practica - resursele

computationale necesare pot fi prohibitive chiar pentru probleme de dimensiuni modeste

- a se vedea de exemplu algoritmii si discutiile captolul 2.

1.2. FUNDAMENTELE INTELIGENTEI ARTIFICIALE 9

1.1.4 Sisteme care actioneaza rational

Definitia 7 Inteligenta computationala este studiul design-ului agentilor inteligenti.

Definitia 8 IA [. . . ] se preocupa de comportamentul inteligent ın artifacte.

Pe aceasta directie se introduce de obicei conceptul de agent - un sistem artificial, care

spre deosebire de programele obisnuite actioneaza autonom, percep mediul, persista pe

o perioada mai mare de timp, se adapteaza la schimbari si care urmaresc un scop. Un

agent rational este unul care actioneaza pentru a obtine cel mai bun rezultat, sau, acolo

unde exista incertitudinea, cel mai bun rezultat mediu.

Nu toate actiunile unui astfel de agent sunt neaparat rationale; exista cazuri ın care se

stie ca nu exista nici o actiune rationala, dar totusi se decide a se actiona cumva. Astfel,

inferentele corecte sunt doar o parte a actiunii rationale.

1.2 Fundamentele inteligentei artificiale

Prezentam succint o lista a disciplinelor care au contribuie la dezvoltarea IA:

1. Filozofie - intervine cu ıntrebari si discutii despre:

• Pot fi regulile formale folosite pentru a extrage concluzii valide?

• Cum se creeaza activitatea mentala plecand de la creier?

• De unde vine cunoasterea?

• Cum duce cunoasterea la actiune?

2. Matematica - trateaza problemele:

• Care sunt regulile formale pentru a extrage concluzii valide?

• Ce poate fi calculat?

• Cum rationam plecand de la informatii nesigure?

3. Stiintele economice - preocupate de:

• Cum ar trebui sa decidem astfel ıncat sa maximizam castigul?

• Cum ar trebui sa decidem atunci cand castigul este pe termen lung?

4. Neurostiinta care ıncearca sa raspunda la “Cum proceseaza creierul informatia?”

5. Psihologia - cum gandesc si actioneaza animalele?

6. Ingineria calculatoarelor - cum putem crea un calculator eficient?

7. Lingvistica - cum este legat limbajul de gandire?


1.3 Starea actuala

Unde este de folos IA? O lista neexhaustiva este data mai jos:

• planificare autonoma - folosita de exemplu ın navetele lansate spre Marte

• jocuri - supercalculatorul Deep Blue de la IBM a fost folosit pentru rularea unui

program specializat ın jocul de sah, ınvingandu-l pe camionul mondial, Garry Kas-

parov

• control autonom - folosit pentru a conduce o masina de-a lungul SUA, realizand o

conducere autonoma pentru 98% din perioada totala.

• diagnostic - diagnostic medical bazat pe sisteme expert

• robotica - se folosesc roboti asistenti ın microchirurgie, implant de proteze.

• ıntelegerea limbajului si rezolvarea problemelor - rezolvare de cuvinte ıncrucisate.

1.4 Rezolvarea de probleme de catre agenti

Sa presupunem ca un agent inteligent are de rezolvat o problema: cum anume se

poate ajunge din Arad ın Bucuresti (figura 1.4 este o harta simplificata a Romaniei),

folosind drept cai de comunicatie soselele din Romania. Vom considera faptul ca se cunosc

distantele existente ıntre cateva perechi de orase (cele care sunt direct legate) si ca se pot

schita cateva scenarii de drum pe baza carora sa aleaga o solutie. Ca rezultat se va obtine

o secventa de actiuni a caror ındeplinire duce la rezolvarea problemei.

Pasii care trebuie urmati ın rezolvarea unei probleme de cautare sunt:

1. formularea problemei - ın sectiunea 1.5 se arata modul ın care poate fi exprimata o

problema de cautare;

2. cautarea solutiei - aici se folosesc algoritmi decautare specifici, avand ca rezultat

returnarea unei singure solutii ;

3. executarea - pe baza solutiei ce expliciteaza actiunile ce trebuie executate ın vederea

rezolvarii problemei se implementeaza faza de executie. Dupa ce se atinge scopul

problemei, se poate formula un nou scop.

1.5. FORMULAREA UNEI PROBLEME DE CAUTARE 11

Figura 1.1: O harta simplificata a Romaniei[1]

1.5 Formularea unei probleme de cautare

O problema de cautare poate fi abstractizata precum mai jos, prin intermediul a patru

atribute.

1. Starea initiala - starea din care se porneste cautarea; de exemplu, pentru problema

drumului de la Arad la Bucuresti starea initiala este In(Arad).

2. O descriere a actiunilor pe care le poate ındeplini agentul. Acestea se pot formaliza

sub forma de operatori sau a unei functii succesor ce se aplica pe multimea starilor

si produce ca rezultat o multime de perechi de forma (actiune, stare):

x→ functie− succesor(x) = {(actiune1, stare1), . . . , (actiunen, staren)}

unde actiunei este o actiune ce se poate aplica ın starea x, iar starei este starea ın

care se ajunge din x aplicand actiunei.

Pentru problema exemplificata putem avea de exemplu:

functie− succesor(In(Arad)) = {(Go(Sibiu), In(Sibiu)),

(Go(Timisoara), In(Timisoara)),

(Go(Zerind), In(Zerind))}

Starea initiala si functia succesor determina spatiul starilor problemei - al acelor stari

care sunt accesibile din starea initiala. O cale ın spatiul starilor este o secventa de

stari conectate printr-o secventa de actiuni.


3. Testul de scop - determina daca o stare este stare scop, adica o stare ın care problema

se considera a fi rezolvata. Verificarea atingerii scopului se poate face ın doua

moduri:

(a) prin compararea starii curente cu multimea starilor scop, enuntata explicit; de

exemplu, pentru problema de mai sus multimea starilor scop este In{Bucuresti}.

(b) prin verificarea unor proprietati pe care trebuie sa le ındeplineasca starea pen-

tru a fi considerata stare scop; de exemplu, pentru jocul de sah stare scop este

aceea ın care regele este atacat si nu se mai poate misca fara a fi atacat.

4. O functie de cost a caii care asigneaza o valoare numerica fiecarei cai. Functia

serveste ca masura a performantei succesiunii de actiuni (a solutiei); vom presupune

ca costul unei cai este dat de suma costurilor actiunilor continute, iar costul unei

actiuni este o cantitate nenegativa.

O solutie este o succesiune de actiuni care permite agentului rezolvarea problemei, iar

o solutie optima este una ın care costul solutiei este minim posibil.

1.6 Exemple de probleme de cautare

1.6.1 Probleme “de jucarie”

Sunt folosite ın special pentru demonstrarea conceptelor, avand scop didactic.

1. Problema puzzle-ului: se da o matrice de n linii si tot atatea coloane; ın fiecare

celula se afla un singur numar de la 1 la n2−1, nu exista doua celule care sa contina

acelasi numar, iar una din celule este goala. Pentru cazul n = 3 avem exemplificare

ın figura 1.2(a). Se cere ca prin mutari succesive pe orizontala si pe verticala ale

numerelor ın locul spatiului gol sa se ajunga la o configuratie finala, de exemplu ın

care numerele sunt ordonate (citirea se face linie cu linie), iar spatiul este pe ultima

pozitie.

(a) Starea

initiala

(b) Starea

scop

Figura 1.2: Problema puzzle-ului pentru n = 3

1.6. EXEMPLE DE PROBLEME DE CAUTARE 13

Starea initiala este dispunerea data; functia succesor genereaza toate miscarile prin

care spatiul alb este mutat ın cadrul matricei, pe verticala sau orizontala, cu cate

o sigura pozitie; testul de scop este verificarea faptului ca o stare coincide cu cea

aleasa drept finala; costul caii este egal cu numarul de mutari efectuate, deoarece se

poate considera ca fiecare mutare are costul egal cu 1.

2. Problema reginelor pe tabla de sah: dandu-se o tabla de sah de n linii si tot atatea

coloane, sa se determine o pozitionare a reginelor astfel ıncat sa nu se atace reciproc.

Starea initiala este cea ın care tabla este goala; functia succesor este “adauga o regina

Tabela 1.1: Problema dispunerii reginelor pe o tabla de 5x5

,

,

,

,

,

ıntr-o celula goala” (dar se pot gasi si alte formulari mai inspirate); o stare scop este

aceea ın care reginele nu se ataca reciproc.

1.6.2 Probleme “din lumea reala”

1. Problema determinarii rutei: acest tip de problema apare ıntr-o varietate de aplicatii,

precum crearea unui itinerar bazat pe zboruri cu avionul, planificarea operatiilor mi-

litare, rutare ın retele de calculatoare, etc. Complexitatea acestor probleme provine

din multitudinea de factori ce trebuie luati ın considerare. De exemplu, pentru

problema gasirii unui itinerar pe cale aeriana, specificatiile ar putea fi:

• fiecare stare este reprezentata de o locatie (un aeroport) si momentul curent;

• starea initiala: locul si momentul plecarii;

• functie succesor: dependenta de lista zborurilor care sunt programate dintr-o

anumita locatie, la un moment ulterior;

• testul scop: se poate ajunge la destinatie ıntr-o perioada de timp specifi-

cata/pana la un moment maxim specificat?

• costul caii: depinde de costul biletelor ce trebuie achizitionate, timpul de

asteptare, durata totala a calatoriei, calitatea locurilor, tipul serviciului, modul

de rezolvare a ımbarcarii si tranzitului, tipul avionului, etc


Trebuie ınsa considerate posibilitatile (si probabilitatile) de aparitie a unor eveni-

mente nedorite precum anularea/ıntarzierea unor zboruri. Un bun planificator va

considera mai multe variante, va veni cu alternative si solutii de rezerva, ımpreuna

cu costurile suplimentare.

2. Problema comis-voiajorului - o persoana trebuie sa faca un tur al unei multimi de

orase, fara a trece de doua ori prin acelasi loc, cu revenire ın locatia initiala si cu un

cost al drumului minim (ciclu Hamiltonian de cost minim). Se cunoaste faptul ca

problema este NP-completa, dar exista foarte multe studii care ıncearca sa rezolve

problema cat mai eficient, eventual cu sacrificarea optimalitatii solutiei.

3. Dispunerea circuitelor VLSI1, unde pe o placuta de dimensiuni foarte mici trebuie

dispuse componente, realizate conexiuni, astfel ıncat sa nu existe cuplari nedorite

ıntre componente, sa se realizeze cu consum de material minim, sa fie minimizate

lungimile circuitelor de transfer, etc. Problemele de cautare sunt extrem de complexe

datorita interdependentelor sau restrictiilor.

4. Roboti software pentru cautarea pe Internet; pe langa faptul ca trebuie sa trateze

operarea ıntr-o imensa baza de date cu grad mic de structurare, trebuie sa rezolve

probleme care nu sunt simple nici pentru un om: raspunsuri la ıntrebari, gasirea

preturilor cele mai convenabile, gasirea informatiilor ınrudite cu ceva specificat, etc.

1.7 Cautarea solutiei

Rezolvarea problemei este facuta prin cautare ın spatiul starilor. Tehnicile de cautare

prezentate ın acest capitol si ın capitolul 2 folosesc un arbore de cautare care are drept

radacina un nod corespunzand starii initiale a problemei, iar nodurile sunt generate pe

baza actiunilor permise din starea curenta.

Vom considera ca exemplu problema gasirii drumului minim de la Arad la Bucuresti;

pentru moment, permitem existenta unor noduri diferite, dar care au stari identice; o

discutie asupra acestui aspect este prezentata ın sectiunea 2.7.

Considerand cate o stare la un moment dat, vom proceda astfel: testam sa vedem daca

starea curenta este stare scop; daca da, oprim cautarea, construim solutia si o raportam2.

Daca raspunsul este ınsa negativ, atunci se va expanda starea curenta pe baza functiei

succesor, obtinand un nou set de stari. Modul de alegere a nodului determina strategia

de cautare.

1VLSI: Very Large Scale Integration, crearea de circuite integrate prin combinarea de tranzistoare.2De remarcat ca nu ne propunem determinarea tuturor sau macar a mai multor solutii, ci doar a

primeia pe care algoritmul de cautare o descopera.

1.7. CAUTAREA SOLUTIEI 15

Arborele de cautare este format din noduri; un nod consta din urmatoarele compo-

nente:

• Stare: starea caruia ıi corespunde nodul curent

• Nod-Parinte: nodul din arborele de cautare care a generat nodul curent

• Actiune: actiunea care a fost aplicata nodului parinte pentru a produce nodul

curent

• Costul-caii: costul cumulat al actiunilor care duc de la nodul initial la nodul

curent;

• Adancime: numarul de pasi de-a lungul caii de la nodul initial

Nodul initial corespunde starii initiale, parintele si actiunea aferente acestui nod sunt

codificate convenabil (null, valoare neaplicabila, etc). Componenta Costul-caii poate fi

ın unele cazuri omisa, deoarece nu toate problemele cer determinarea unei solutii de cost

optim.

Un exemplu al arborelui de cautare generat pentru a cauta drumul de la Arad la

Bucuresti este dat ın figura 1.4. Mai trebuie sa mentionam ca nu trebuie facuta confuzie

ıntre noduri si stari; ın timp ce multimea starilor poate fi finita (de exemplu multimea

oraselor din Romania), numarul nodurilor poate fi infinit, daca se permite generarea de

cicluri de forma: Arad – Sibiu – Arad, Arad – Sibiu – Arad – Sibiu – Arad, etc.

Nodurile care au fost obtinute prin expandarea altora, dar nu au fost la randul lor

expandate (altfel zis: noduri frunza ın arborele de cautare construit pana la momentul

curent) sunt mentinute ıntr-o colectie numita colectieNoduri; natura acestei colectii si

politica de acces fac distinctia ıntre o parte din algoritmii de cautare ce vor fi prezentati.

Forma generala a algoritmului de cautare este data ın figura 1.3.

Cateva comentarii relativ la cod:

1. Functiile insereaza, insereaza-toate, scoate-primul determina: inserare de

nod, inserare de colectie de noduri, extragerea primului element conform politicii de

acces specifice tipului de date corespunzator lui colectieNoduri;

2. Notatia X[Y] reprezinta valoarea atributului (proprietatii) X pentru entitatea Y

3. Parametrul problema reprezinta o codificare a problemei conform celor din sectiunea

1.5.

4. Functia Cautare-in-arbore poate returna si esuare, pentru cazul ın care nu mai

exista nici un nod care sa fie expandat iar iteratiile anterioare nu au descoperit


Figura 1.3: Algoritmul general de cautare.

1.7. CAUTAREA SOLUTIEI 17

(a) Nodul initial, corespunzator starii In(Arad)

(b) Dupa expandarea nodului initial

(c) Dupa expandarea nodului corespunzator starii In(Sibiu)

Figura 1.4: Cresterea arborelui de cautare pentru rezolvarea problemei gasirii rutei de

Arad la Bucuresti. Nodurile care au fost expandate sunt colorate gri; cele obtinute ın

urma expandarii unui nod parinte sunt cu linie continua; cele care urmeaza a fi obtinute

prin expandare, la pasii urmatori sunt cu marcate cu linie ıntrerupta. Nu se face evitarea

starilor duplicat.


starea scop printre starile explorate. Trebuie ınsa spus ca exista situatii si strategii

de algoritmi de cautare care pot rula teoretic la infinit, sau din punct de vedere

practic duc la epuizarea memoriei disponibile.

1.8 Masurarea performantelor algoritmilor de cautare

Pentru algoritmii de cautare care urmeaza a fi discutati evaluarea se va face prin

prisma urmatoarelor patru caracteristici:

• Completitudinea – un algoritm de cautare este complet daca se garanteaza ca gaseste

solutia problemei, ın cazul ın care aceasta exista;

• Optimalitatea – un algoritm este optim daca solutia gasita este cu cost al caii optim;

• Complexitatea ın timp

• Complexitatea de memorie

Complexitatea ın timp este masurata relativ la numarul de noduri generate ın decursul

explorarii, iar complexitatea de memorie este numarul maxim de noduri ce trebuie sa fie

memorat pana la rezolvare.

Cele doua complexitati se cuantifica prin intermediul notatiei O. Definim notatia

pentru cazul functiilor reale cu un singur argument. Fie o functie g : N → R+; notam cu

O(g) multimea:

O(g) = {f : N → R+|∃n0 ∈ N,∃c > 0 : ∀n ≥ n0, f(n) ≤ c · g(n)}

Pentru algoritmii de cautare ce urmeaza a fi prezentatti complexitatea este data ın termeni

de:

• b, factor de ramificare reprezentand numarul maxim de succesori ai oricarui nod

• d, adancimea celui mai putin adanc nod solutie (a carui stare este stare scop)

• m, lungimea maxima a oricarei cai ın arborele de cautare

Capitolul 2

Strategii de cautare neinformata

2.1 Cautarea “mai ıntai ın latime”

Cautarea “mai ıntai ın latime”1 are ca particularitate folosirea structurii de date de tip

coada (colectie ın care politica de acces este FIFO - First In, First Out - primul intrat,

primul iesit) ın cadrul functiei Cautare-in-arbore din sectiunea 1.7. Nodul de start

este expandat, apoi copiii acestui nod sunt expandati, apoi copiii copiilor, etc. Functia

Cautare-in-arbore va fi apelata cu parametrul colectieNoduri initializat cu o coada

goala. Expandarea oricarui nod duce la crearea altor noduri care sunt puse la sfarsitul

cozii. In acest fel nodurile de la o adancime mai mica ın arborele de cautare sunt expandate

ınaintea celor cu adancime mai mare. Putem vedea aceasta explorare ca o expandare

radiala ın jurul nodului de plecare. Un exemplu de functionare a acestei strategii este

aratat ın figura 2.1, pentru cazul ın care arborele de cautare este de tip binar.

Se poate vedea faptul ca daca plecand de la nodul initial se ajunge la nodul final prin

urmarirea actiunilor date de functia succesor, atunci functia va duce mai devreme sau

mai tarziu la descoperirea lui; mai mult, drumul de la nodul initial la nodul scop este cu

numar minim de arce; altfel spus, algoritmul descopera un nod scop care are adancimea

minima si atunci opreste cautarea.

Algoritmul este optimal doar daca functia de cost a caii este nedescrescatoare2 fata de

numarul de arce (adancimea nodului). Acest lucru se ıntampla, de exemplu, daca costul

fiecarei actiuni egal cu aceeasi cantitate constanta. Un exemplu de functie de cost a caii

care nu este nedescrescator fata de numarul de arce este dat ın figura 2.1, unde costul caii

din nodul A ın nodul C via B (deci cu doua arce) este 20, pe cand costul drumului direct

A—C (un singur arc) este 30.

Pana acum comportamentul acestui algoritm este ıncurajator. Pentru a vedea de ce

1Engl: breadth-first search2O functie f : R→ R este nedescrescatoare daca ∀x, y ∈ R, x < y avem ca f(x) ≤ f(y).

19

20 CAPITOLUL 2. STRATEGII DE CAUTARE NEINFORMATA

A

B C

D E F G

(a) Expandarea nodului radacina.

A

B C

D E F G

(b) Dupa expandarea nodului

radacina; acesta dispare din coada

colectieNoduri, ın schimb sunt

adaugate nodurile B si C.

A

B C

D E F G

(c) Dupa expandarea nodului B; acesta

dispare din coada, dar se adauga la

sfarsitul lui colectieNoduri nodurile

D si E.

A

B C

D E F G

(d) Dupa expandarea nodului C; acesta

dispare din coada, dar se adauga la

sfarsitul lui colectieNoduri nodurile F si

G.

Figura 2.1: Modul de alegere a nodurilor ce se expandeaza conform strategiei de cautare

“mai ıntai ın latime”. Nodurile marcate cu gri sunt eliminate din coada colectieNoduri,

cele marcate prin linie discontinua vor fi obtinute prin expandare la pasii urmatori, no-

durile ın dreptul carora este desenata o sageata urmeaza a fi expandate, iar celelate sunt

noduri aflate ın coada colectieNoduri.

Figura 2.2: Exemplu de functie de cost care nu este nedescrescatoare fata de numarul de

arce. Pe fiecare arc este scris costul sau.

2.2. CAUTAREA DUPA COSTUL UNIFORM 21

nu este o alegere buna ın toate cazurile facem analiza complexitatilor. Consideram un caz

ın care fiecare stare are exact b succesori. Nodul radacina genereaza b noduri copil, fiecare

dintre acestia are la randul lui b copii (deci la adancimea 2 avem b2 noduri), prin inductie

se poate arata ca la adancimea h avem bh noduri. Sa presupunem ca solutia se afla la

adancimea d. Cazul cel mai defavorabil este acela ın care acest nod corespunzand solutiei

este chiar ultimul care se expandeaza de pe nivelul lui, deci avem: cele bd noduri de pe

nivelul d, fiecare din cele b − 1 noduri de pe nivelul nodului solutie (noduri expandate

ınaintea nodului solutie) produce copii care se pun ın colectieNoduri, deci ınca (bd− 1) · b

noduri de pe nivelul d + 1. In total numarul de noduri generate este:

1 + b + b2 + . . . + bd + (bd+1 − b) = O(bd+1).

Fiecare nod generat trebuie de asemenea sa fie pastrat ın memorie, pentru a putea fi

folosit la reconstituirea drumului - nu avem de unde sa stim care din acestia sunt efectiv

folositi ın refacerea drumului, deci nu ne permitem sa stergem din memorie pana cand se

reface drumul de la starea initiala la cea finala; alfel zis, complexitatea ın spatiu este tot

O(bd+1).

Complexitatile nu sunt ıncurajatoare, deoarece pentru un factor de ramificare b = 10

si adancime a nodului solutie d = 8 este nevoie de 31 de ore de rulare si 1 teraoctet de

memorie RAM (la o rata de producere a nodurilor de 10000 noduri/secunda si 1000 octeti

pentru fiecare nod). Ca atare, acest tip de explorare nu se foloseste ın practica decat

pentru probleme de dimensiuni mici.

2.2 Cautarea dupa costul uniform

Cautarea “mai ıntai ın latime” alege spre expandare cel mai putin adanc nod care nu

este expandat. Pentru cazul ın care costul caii nu este nedescrescator fata de adancimea

nodului, strategia de alegere poate sa rateze gasirea caii optime. Se poate ınsa corecta

acest aspect daca la fiecare pas se alege nu cel mai putin adanc nod neexpandat, ci nodul

neexpandat cu costul caii cel mai mic. Acest lucru se poate face daca colectia de noduri

este mentinuta ca o coada de prioritati (colectie sortata dupa costul caii fiecarui nod; orice

adaugare de nod se face nu neaparat la sfarsit – ca pentru o coada clasica – ci astfel ıncat

sa se pastreze proprietatea de ordonare a colectiei; extragerea produce nodul cu costul

caii cel mai mic).

Astfel, cautarea dupa costul uniform nu descopera caile cu numar minim de arce, ci

pe cel cu cost minim. Daca costul fiecarui pas (actiuni) este cel putin egal cu o constanta

ε > 0, atunci cautarea este atat completa cat si optima.

Complexitatea ın timp si spatiu de memorie nu mai poate fi caracterizata de adancimea


nodului; ın schimb este implicat costul solutiei optime, C∗. Complexitatea de timp si

spatiu este O(

b1+[C∗

ε ])

care este deseori mai mare decat O(

bd+1)

.

2.3 Cautarea “mai ıntai ın adancime”

Cautarea “mai ıntai ın adancime”3 va alege pentru expandare “cel mai adanc” nod

din arbore care nu a fost expandat. Colectia de noduri neexpandate din algoritmul

Cautare-in-arbore se poate implementa ca o stiva (LIFO - Last In, First Out sau

ultimul intrat, primul iesit). Pentru cazul unui arbore binar ordinea de parcurgere este

exemplificata ın figura 2.3.

Necesarul de memorie pentru acest algoritm este deosebit de modest: daca factorul de

ramificare este b si adancimea maxima m atunci numarul de noduri ce trebuie retinute ın

colectieNoduri este 1 + b ·m, deci complexitatea este O(b ·m).

Exista o varianta si mai redusa ca necesar de memorie bazat pe acest tip de cautare;

algoritmul este cunoscut sub numele de “backtracking” si are particularitatea ca nu face

expandarea tuturor nodurilor copil pentru nodul extras din stiva, ci doar a unui copil;

daca explorarea pe acest copil este nefructuasa, atunci se ıncearca al doilea copil, etc.

Avantajul vine din faptul ca stiva nu se ıncarca decat cu nodurile care chiar fac parte din

calea de cautare curenta. Complexitatea ın spatiu este O(m). Mai mult, se poate doar

mentine nodul curent (daca pasul ınapoi, de la copil spre parinte este usor de refacut)

si atunci complexitatea ın spatiu este O(1) – memorie constanta ocupata, indiferent de

adancimea curenta a nodului.

Problema cu acest tip de cautare este ca poate sa parcurga un numar mare de arce

pana la gasirea nodului solutie, daca ordinea de alegere a nodurilor este “neinspirata”;

de exemplu, strategia de cautare poate sa duca la descoperirea unui nod scop de cost

suboptimal, dar daca ınscrierea ın stiva a nodurilor copil obtinute la expandare se face

dupa alta ordine, atunci s-ar putea ca primul nod solutie descoperit sa fie de cost mai

bun sau chiar optim. Mai mult chiar, poate sa caute la nesfarsit ın arbore, daca nu

se face evitarea starilor duplicat. Pentru problema oraselor, este posibila urmatoarea

parcurgere: Arad, apoi Sibiu, apoi Arad, iar Sibiu, etc. Putem deci spune ca algoritmul

nu este complet, nici optimal, iar daca se termina atunci ın cel mai defavorabil caz are

complexitatea ın timp O(bm), unde m este lungimea maxima a unei cai ın arborele de

cautare. Mai trebuie zis ca m poate sa fie mult mai mare decat d, adancimea celui mai

putin adanc nod scop, deci complexitatea de timp poate sa fie mai mare decat cea pentru

cautarea “mai ıntai ın latime” sau chiar si cea a costului uniform. Ramane ınsa de remarcat

compexitatea de memorie ceruta: liniara.

3In limba engleza, ın original: depth first search.

2.3. CAUTAREA “MAI INTAI IN ADANCIME” 23

A

B C

D E F G

H I J K L M N O

(a) Expandarea nodului radacina.

A

B C

D E F G

H I J K L M N O

(b) Dupa expandarea nodului

radacina; acesta dispare din stiva

colectieNoduri, ın schimb sunt

adaugate nodurile C si apoi B (ordinea

aceasta poate sa difere si atunci

desenele ce urmeaza difera).

A

B C

D E F G

H I J K L M N O

(c) Dupa expandarea nodului B, pre-

luat din varful stivei; acesta dispare din

stiva, dar se adauga la varful ei nodu-

rile E si apoi D (a se vedea remarca des-

pre alta ordine de adaugare la stiva din

subfigura anterioara).

A

B C

D E F G

H I J K L M N O

(d) Dupa expandarea nodului D; acesta

dispare din stiva, dar se adauga la varful

ei nodurile I si apoi H. Urmatoarea

operatie este expandarea (si deci elimi-

nare din stiva) a nodului H, ceea ce

nu duce la adaugarea de alte noduri ın

colectieNoduri.

A

B C

D E F G

H I J K L M N O

(e) Se extrage varful stivei, adica no-

dul H si se ıncearca expandarea lui;

deaorece el nu are descendenti, stiva

colectieNoduri ramane nemodificata

A

B C

D E F G

H I J K L M N O

(f) Dupa expandarea nodului I; acesta

dispare din stiva si nu se adauga nici

un alt nod la stiva.

Figura 2.3: Modul de alegere a nodurilor ce se expandeaza conform strategiei de

cautare “mai ıntai ın adancime”. Nodurile colorate cu negru/gri sunt eliminate din stiva

colectieNoduri, cele marcate prin linie discontinua vor fi obtinute prin expandare la

pasii urmatori, nodurile ın dreptul carora este desenata o sageata urmeaza a fi expandate,

iar celelalte sunt noduri aflate ın stiva colectieNoduri.


A

B C

D E F G

H I J K L M N O

(a) Dupa expandarea nodului E; acesta

dispare din stiva colectieNoduri, ın

schimb sunt adaugate nodurile K si apoi

J.

A

B C

D E F G

H I J K L M N O

(b) Dupa expandarea nodului J; acesta

dispare din stiva colectieNoduri si

deoarece nu are descendenti nu produce

noi elemente ın stiva.

A

B C

D E F G

H I J K L M N O

(c) Dupa expandarea nodului K; acesta

dispare din stiva colectieNoduri si

deoarece nu are descendenti nu pro-

duce noi elemente ın stiva.

A

B C

D E F G

H I J K L M N O

(d) Dupa expandarea nodului C; acesta

dispare din stiva, dar se adauga la

varful ei nodurile G si apoi F.

A

B C

D E F G

H I J K L M N O

(e) Se extrage varful stivei, adica no-

dul F si se expandeaza, adaugand-se la

stiva nodurile M si apoi L.

A

B C

D E F G

H I J K L M N O

(f) Expandarile frunzelor M si L re-

duc numarul de elemente din stiva

cu cate o unitate, urmeaza expanda-

rea nodului G (deci scoaterea lui din

stiva colectieNoduri) si introduce-

rea frunzelor O si N. Dupa expandarea

acestor frunze (deci eliminarea lor din

stiva) colectieNoduri devine vida si

cautarea se opreste.

Figura 2.4: Parcurgerea “mai ıntai ın adancime” - continuare.

2.4. CAUTAREA CU ADANCIME LIMITATA 25

2.4 Cautarea cu adancime limitata

Cautarea “mai ıntai ın adancime” din sectiunea 2.3 are un mare atu: foloseste extrem

de putina memorie. Dar are si un dezavantaj major, posibilitatea de a cauta la infinit

ın arbore, datorita starilor duplicat. Acest dezavantaj este eliminat simplu: vom limita

adancimea maxima la care poate sa coboare explorarea ın arbore. Vom folosi deci un

parametrul l (numar ıntreg) reprezentand adancimea maxima de explorare. Nodurile de la

adancimea l sunt tratate ca si cum nu ar avea succesori. Insa acest algoritm mai introduce

un tip de rezultat: taiere4, pentru cazul ın care avem d > l iar cautarea epuizeaza toate

nodurile din subarborele de adancime l; ın acest caz nu se poate spune ca se esueaza,

pentru ca o adancime de cautare mai mare ar fi permis gasirea nodului scop (si deci

problema s–ar fi putut rezolva).

Algoritmul cautarii cu adancime limitata5 este dat ın figura 2.4. Functiile solutie,

expandeaza sunt aceleasi ca la algoritmul de cautare ın arbore (sectiunea 1.3, pagina 16).

Algoritmul nu este complet daca l < d; pentru l ≥ d el este complet, dar nu neaparat

optim. Complexitatea ın timp este O(bl), iar cea ın spatiu O(b·l) (mostenite amandoua de

la parcurgerea “mai ıntai ın adancime”). Ceea ce este ınsa de remarcat e ca nu mai avem

risc de cautare infinita datorata ciclurilor (vizitarii repetate a acelorasi stari). Impreuna

cu consumul de memorie redus ne fac sa speram ca problema de cautare devine rezolvabila

cu cerinte de memorie rezonabile.

Se pune ıntrebarea: de unde stim care este adancimea maxima la care vom permite

cautarea? Pentru cateva probleme, din ınsasi enuntul lor se poate deduce care este o

valoare rezonabila pentru limita maxima. De exemplu, pentru problema Arad–Bucuresti

putem observa ca numarul de orase de pe harta este 20, deci l = 19 este o alegere buna.

Chiar mai mult, se poate observa ca pentru orice pereche de orase se poate sa se ajunga

dintr-unul ın celalalt prin maxim 9 pasi, deci adancimea poate fi si mai mult redusa.

2.5 Cautarea “mai ıntai ın adancime” cu adancire ite-

rativa

Problema necunoasterii apriorice a adancimii la care sa se faca cautarea este tratabila

prin urmatoarea strategie: se dau valori succesive lui l ıncepand cu 0, din ce ın ce mai mari

pana ce rezultatul este de tip esuare sau solutie. Gasirea solutiei ınseamna determinarea

nodului solutie cel mai putin adanc. Varianta de algoritm combina partile bune ale

cautarii ın adancime si ın latime: memorie necesara mica si respectiv, completitudine

4In engleza, ın original: cutoff5In limba engleza, ın original: depth–limited search


Figura 2.5: Algoritmul cautarii cu adancime limitata.

si optimalitate pentru cazul ın care functia de cost a caii este nedescrescatoare fata de

numarul de arce pentru cale.

2.5

.C

AU

TA

RE

A“M

AI

INT

AI

INA

DA

NC

IME

”C

UA

DA

NC

IRE

ITE

RA

TIV

A27

(a) Evolutia arborelui de cautare pentru l = 0

(b) Evolutia arborelui de cautare pentru l = 1; se reconstruieste radacina si apoi se obtin cele doua

noduri copil B si C.

(c) Evolutia arborelui de cautare pentru l = 2; se reconstruiesc radacina, cei doi copii ai ei B si C si

apoi se obtin cele patru noduri nepot D, E, F si G.

Figura 2.6: Evolutia arborelui de cautare pentru diferite valori ale lui l.


Strategia algoritmului cautarea “mai ıntai ın adancime” cu adancire iterativa6 ar putea

parea neeficienta, deoarece se creeaza toate nodurile de la adancimea i− 1 atunci cand se

cauta la adancimea i. Putem observa ınsa ca cu cat un nivel de noduri se recreeaza mai

des, cu atat este de fapt adancimea lui mai mica (deci numarul de noduri corespunzator

este mai redus). Putem calcula numarul de noduri care sunt expandate astfel: nodurile

de la adancimea d sunt generate o singura data (de fapt, la ultima iteratie s-ar putea sa

nu fie chiar toate generate), cele de la nivelul d− 1 sunt generate de doua ori, etc, cele de

la nivelul 0 (adica radacina) de d ori; numarul de noduri este dat ca:

N(CAR) = bd · 1 + bd−1 · 2 + . . . + b · d + 1 · (d + 1) = O(bd)

pe cand la cautarea “mai ıntai ın latime” numarul de noduri generate este O(bd+1).

Am obtinut deci un algoritm de cautare care este complet, este optim daca functia de

cost este nedescrescatoare fata de numarul de arce ale drumului, are cerinte de memorie

modeste si complexitate ın timp mai mica decat cea a algoritmilor anterior prezentati. In

practica se considera ca algoritmul de cautare mai ıntai ın adancime cu adancire iterativa

este algoritmul preferat de cautare atunci cand spatiul de cautare este mare iar adancimea

nodului solutie este necunoscuta.

2.6 Cautare bidirectionala

Cautarea bidirectionala se bazeaza pe strategia: se ıncep simultan doua cautari, atat

dinspre nodul de start spre scop cat si invers. Daca se produce “ ıntalnirea” celor doua

cautari (si ın acest caz punctul comun celor doua parcurgeri este la distanta d/2 dintre

cele doua noduri de pornire), atunci complexitatea ın timp este O(bd/2 + bd/2) = O(bd/2),

care este mult mai mic decat O(bd). Procedeul este ilustrat ın figura 2.7.

Figura 2.7: Cautare bidirectionala. Aria ınsumata a celor doua cercuri este mai mica

decat aria unui cerc mare care pleaca din nodul de start si ajunge ın nodul de scop.

GoalStart

La fiecare expandare de nod se verifica daca acesta nu a fost cumva atins de cautarea

din sens contrar. Daca da, atunci solutia (secventa de actiuni care duce dinspre nodul

6In limba engleza, ın original: iterative deepening depth-first search.

2.7. PROBLEMA STARILOR DUPLICAT 29

de start spre cel de scop) se reface pe baza drumurilor construite spre nodul comun.

Determinarea faptului ca un nod se gaseste ıntr-o lista de noduri se face ın timp constant,

daca se foloseste o tabela de dispersie. Dar tocmai faptul ca necesarul de memorie este

O(bd/2) face acest algoritm sa nu poata fi aplicat ın practica. In rest ınsa, algoritmul este

complet si optimal daca fiecare din cele doua cautari este efectuata prin parcurgere “mai

ıntai ın latime” (si desigur, cu ipoteza suplimentara ceruta de algoritmul mentionat). Alte

variante de combinare pot face algoritmul neoptim sau incomplet.

Mai trebuie zis aici ca algoritmul poate fi folosit doar ın cazul ın care se poate calcula

usor functia de predecesor, opusul functiei succesor care face parte din definitia problemei

- lucru care nu se ıntampla la toate problemele. Inca un aspect merita mentionat - daca

exista mai multe noduri scop care pot fi enumerate (nu doar teoretic, ci si practic) atunci

se poate crea o stare scop noua, unica, al carui pas de predecesor sa duca ın starile scop

originale. Daca multimea starilor scop este foarte larga sau validarea nodurilor scop se

face fata de un predicat, atunci cautarea bidirectionala este greu sau imposibil de aplicat,

ın lipsa unei descrieri compacte a proprietatii de a fi stare scop.

2.7 Problema starilor duplicat

Algoritmul general de cautare nu evita explorarea ın mod repetat a acelorasi stari

(deci obtinerea de noduri diferite, dar pentru care starile corepsunzatoare au mai fost

vizitate anterior). Acest lucru face ca, de exemplu, explorarea ın adancime sa poata sa

nu determine solutie, cu toate ca una exista. Pentru ceilalti algoritmi vizitarea repetata

a unor stari se traduce prin ineficienta.

Un exemplu de “explozie” a numarului de noduri datorate starilor duplicat este dat

ın figura 2.8. Din fiecare punct avem 4 variante de continuare; daca nu facem evitarea

starilor duplicat, atunci la o parcurgere de adancime d obtinem 4d noduri; daca se face

evitarea starilor duplicat, atunci obtinem 4 · d2 noduri. Pentru d = 20, diferenta este

uriasa: 1.099.511.627.776 fata de 1600 de noduri!

Figura 2.8: Retea pentru care neevitarea starilor duplicat duce la o explozie exponentiala

a numarului de noduri cu stari repetate.

Detectarea se face prin cautarea starii nodului ce urmeaza a fi expandat ın lista starilor

care au fost deja expandate. Daca un algoritm evita starile duplicat, atunci poate fi vazut


ca o cautare ın graf. Algoritmul este dat ın figura 2.9 si foloseste o multime a starilor deja

expandate numita stariVechi. Algoritmul nou obtinut se numeste Cautare-in-graf.

Figura 2.9: Algoritmul de cautare in graf.

Algoritmul Cautare-in-graf nu pune probleme ın privinta completitudinii; comple-

xitatea ın timp si spatiu sunt proportionale cu numarul starilor distincte, iar asta poate sa

fie mult mai mic decat O(bd). Remarcam ınsa ca pentru cautarea “mai ıntai ın adancime”

sau cu adancime limitata, datorita mentinerii acestei liste de noduri vechi, necesarul de

memorie nu mai este liniar (dar se evita ciclarea).

In ceea ce priveste optimalitatea, lucrurile stau astfel: algoritmul va elimina noua cale

descoperita catre o stare care a mai fost ıntalnita ınainte. Deoarece prima cale descope-

rita s-ar putea sa fie suboptimala, rezulta ca nu se poate garanta optimalitatea solutiei

determinate. Acest lucru nu se ıntampla atunci cand avem cautarea costului uniform sau

cand se foloseste cautarea “mai ıntai ın latime” pentru cost constant al actiunilor. Pentru

celelate metode ar trebui ca ajungerea la o stare care a mai fost parcursa sa declanseze o

verificare asupra faptului ca noua cale produce un rezultat mai bun; daca este adevarat,

atunci trebuie ca toate nodurile care au ca ascendent (direct sau prin tranzitivitate) nodul

curent sa ısi reactualizeze costurile.

Capitolul 3

Cautare informata

3.1 Strategii de cautare informata

Strategiile euristice prezentate ın acest capitol pornesc de la o idee simpla: ce s-ar

ıntampla daca s-ar explora ıntr-o directie care pare mai promitatoare pentru rezolvarea

problemei? am putea astfel sa evitam explorarea unor noduri care au o sansa mica de

ajungere ın nodul scop, cu efect benefic asupra complexitatii ın timp si spatiu. Este o

strategie des folosita de expertii umani, care pe baza experientei si intuitiei evita explo-

rarea tuturor posibilitatilor si decid o cautare ın anumite directii, cele estimate a fi mai

promitatoare.

In cazul problemelor de cautare formalizate ın capitolul 1, vom considera pentru fiecare

nod n capacitatea estimata a lui de a duce spre un nod scop. Concret, pentru fiecare nod

n se calculeaza o functie de evaluare f(n). Nodul cu cea mai mica valoare a acestei functii

este ales pentru expandare. Ca atare, algoritmul de cautare pe arbore poate fi folosit cu

o modificare minora: lista de noduri colectieNoduri trebuie sa fie organizata ca o coada

de prioritati.

Exista o clasa ıntreaga de algoritmi bazati pe aceasta idee. O componenta comuna a

acestora este o functie euristica notata traditional cu h(n). h(n) reprezinta costul estimat

al celei mai “ieftine” cai care duce de la nodul curent la un nod scop1. In mod firesc, vom

impune ca h(n) = 0 daca n este nod scop.

De exemplu, pentru problema drumului din Arad ın Bucuresti putem sa vedem aceasta

functie ca fiind distanta pe drum drept de la oricare oras catre Bucuresti. Figura 3.1

contine atat harta schematizata a Romaniei, cat si un tabel cu distantele pe drum drept

dintre orase si Bucuresti.

1Daca problema este de minimizare, atunci h(n) este costul estimat al celei mai scurte cai; daca este

problema de maxim, atunci este costul estimat al celei mai “scumpe” cai

31

32 CAPITOLUL 3. CAUTARE INFORMATA

3.2 Cautarea euristica lacoma

Cautarea euristica lacoma2 alege pentru expandare nodul care are valoarea calculata

pentru functia h cea mai mica. Altfel spus, alegem ca f(n) = h(n), pentru orice nod n.

Pentru problema drumului minim de la Arad la Bucuresti pasii sunt dati ın figura

3.2. Distantele folosite drept euristica sunt scrise ın figura 3.1. Primul nod care se

expandeaza este Sibiu, deoarece are distanta pe drum drept de la el la Bucuresti minima,

253 km. Urmatorul nod expandat este Fagaras, deoarece din multimea nodurilor aflate

ın colectieNoduri el este cel mai apropiat de Bucuresti. Expandarea lui Fagaras duce

la obtinerea nodului Bucuresti, care la iteratia urmatoare este cel ales pentru expandare

(avand costul 0) si care termina iteratia din algoritmul Cautare-in-arbore (sectiunea

1.7). Dar drumul optim este urmatorul: Arad — Sibiu — Ramnicu Valcea — Pitesti —

Bucuresti, cu 32 de kilometri mai mic decat cel descoperit anterior.

Putem observa ca minimizarea lui h poate duce la cautare cu numar infinit de pasi:

de exemplu, daca se doreste a se ajunge din Iasi la Fagaras, prima destinatie este Neamt;

dar de aici nu mai exista nici un alt drum, decat ınapoi ınapoi ın Iasi, ceea ce duce la

un ciclu infinit daca nu se evita starile repetate; daca se evita, atunci se descopera calea

optima: Iasi, Vaslui, Urziceni, Bucuresti, Fagaras.

Caracterisiticle acestui algoritm: incomplet – deoarece poate intra ıntr–un ciclu infinit,

neoptim – a se vedea exemplul dat mai sus –, complexitate ın timp si spatiu O(bm), unde m

este adancimea maxima a unui drum ın arborele de cautare. In practica ınsa, o euristica

bine aleasa poate sa duca la viteza crescuta si memorie necesara rezonabila, iar costul

solutiei determinate, chiar daca nu e optim, este deseori foarte apropiat de el.

2In limba engleza, ın original: greedy best-first search.

3.2

.C

AU

TA

RE

AE

UR

IST

ICA

LA

CO

MA

33

Bucharest

Giurgiu

Urziceni

Hirsova

Eforie

NeamtOradea

Zerind

Arad

Timisoara

LugojMehadia

DobretaCraiova

Sibiu

Fagaras

PitestiRimnicu Vilcea

Vaslui

Iasi

Straight−line distanceto Bucharest

0160242161

77151

241

366

193

178

25332980

199

244

380

226

234

374

98

Giurgiu

UrziceniHirsova

Eforie

Neamt

Oradea

Zerind

Arad

Timisoara

Lugoj

Mehadia

Dobreta

Craiova

Sibiu Fagaras

Pitesti

Vaslui

Iasi

Rimnicu Vilcea

Bucharest

71

75

118

111

70

75120

151

140

99

80

97

101

211

138

146 85

90

98

142

92

87

86

Figura 3.1: Harta Romaniei si distantele pe drum drept dintre orase si Bucuresti.

34C

AP

ITO

LU

L3.

CA

UTA

RE

INFO

RM

AT

A

(a) Nodul eles pentru expandare este unic,

radacina

(b) Dupa expandarea nodului radacina; nodul ce urmeaza a fi

expandat este Sibiu, avand costul f (= h) cel mai mic.

(c) Dupa expandarea nodului Sibiu; nodul ce urmeaza a fiu expandat este

Fagaras, avand costul f cel mai mic.

(d) Dupa expandarea nodului Fagaras; se ajunge ın orasul Bucuresti, care

va fi ales la urmatoarea iteratie din algoritmul Cautare-in-arbore.

Figura 3.2: Pasi ın executarea algoritmului de cautare euristica lacoma. Valorile scrise sub noduri provin din figura 3.1

3.3. ALGORITMUL A* 35

3.3 Algoritmul A*

Cea mai cunoscuta forma a acestor algoritmi de cautare informata este algoritmul A*,

pentru care functia f(n) este data ca:

f(n) = g(n) + h(n)

unde g(n) este costul real al drumului de la nodul de start la nodul n – un nod din

arborele de cautare contine deja aceasta valoare – iar h(n) este, precum anterior, costul

estimat al celei mai bune cai de la nodul n la un nod scop. Avem deci ca f(n) este costul

estimat al celui mai bun drum de la nodul de start la un nod scop, drum ce trece prin n.

Pentru cateva conditii impuse lui h se obtine ca algoritmul A* este optim si complet; ın

practica, rezultatele obtinute sunt foarte bune, prin comparatie cu strategiile de cautare

oarba studiate anterior.

Vom considera functii h care sunt euristici admisibile, adica h(n) niciodata nu supra-

estimeaza (depaseste) costul unei solutii de la nodul n la nod scop3. Prin natura lor, acest

tip de functii sunt optimiste – ele permanent subestimeaza costul real al drumului. Deoa-

rece functia g cuantifica efortul exact de a ajunge din nodul initial ın nod scop, deducem

ca valoarea f(n) nu supraestimeaza efortul de a ajunge din nodul initial ın nod scop via

nodul intermediar n.

Un exemplu de functie euristica admisibila este cea care estimeaza efortul de ajungere

din nodul n ın Bucuresti ca fiind distanta pe drum drept de la n la Bucuresti. Este evident

ca orice ruta s-ar alege, ea nu poate avea cost mai mic decat costul drumului drept.

Evolutia algoritmului A* pentru problema ajungerii de la Arad la Bucuresti este re-

prezentata ın figurile 3.3 si 3.4.

3Aceasta este definitia pentru problema ın care se cere minimizarea caii; pentru probleme de maximi-

zare, o euristica admisibila nu subestimeaza efortul real de ajungere la nod scop.

36C

AP

ITO

LU

L3.

CA

UTA

RE

INFO

RM

AT

A

(a) Nodul eles pentru expandare este unic,

radacina

(b) Dupa expandarea nodului radacina; nodul ce urmeaza a fi expan-

dat este Sibiu, avand costul f cel mai mic.

(c) Dupa expandarea nodului Sibiu; nodul ce urmeaza a fiu expandat este

Ramnicu Valcea, avand costul f cel mai mic.

(d) Dupa expandarea nodului Ramnicu Valcea; nodul ce urmeaza a fi expandat este

Fagaras.

Figura 3.3: Pasi ın executarea algoritmului A*. Valorile scrise sub noduri reprezinta valorile functiei f = g + h.

3.3

.A

LG

OR

ITM

UL

A*

37

(a) Dupa expandarea nodului Fagaras.

(b) Dupa expandarea nodului Pitesti. Bucuresti este urmatorul nod expandat, dar si nod scop,

deci cautarea se opreste

Figura 3.4: Pasi ın executarea algoritmului A* (continuare).


Vom demonstra urmatoarea propozitie:

Teorema 1 Daca algoritmul A* se termina, atunci nodul scop la care s-a ajuns are cost

optim.

Demonstratie Fie G si G2 noduri scop aflate ın colectieNoduri, G2 suboptimal (adica

cu valoarea drumului pana la el mai mare decat este necesar) si G optimal. Avem

urmatoarele:

f(G2) = g(G2) + h(G2) = g(G2)

deoarece am impus ınca de la ınceput ca h(nodScop) = 0. Din acelasi motiv:

f(G) = g(G)

Apoi:

g(G2) > g(G)

deoarece G2 este suboptimal. Din cele de mai sus avem ca:

f(G2) > f(G)

deci G va fi expandat ınaintea lui G2 de catre algoritmul A*.

Conditia din teorema anterioara este satisfacuta daca exista un numar finit de noduri

pentru care f(·) ≤ f(G).

Daca se foloseste algoritmul Cautare-in-Graf ın locul algoritmului Cautare-in-Arbore,

optimalitatea nu mai este neaparat valabila. Reamintim ca algoritmul parcurgerii pe graf

evita starile repetate astfel: un nod din coletia de noduri se expanda doar daca starea

sa nu se regase ıntr-o lista de stari deja parcurse. Problema cu aceasta abordare este ca

se poate astfel ca prima ajungere ıntr-o anumita stare sa se faca cu un cost suboptimal,

iar urmatoarele drumuri care conduc la aceeasi stare sunt neglijate, chiar daca ar duce la

ımbunatatirea costului pentru acea stare.

Exista doua solutii care se pot aplica. Prima consta ın mentinerea caii care are costul

cel mai bun. Se poate scrie asemenea algoritm, chiar daca este mai complex (presupune

de exemplu ca sa se modifice si costurile nodurilor care sunt descendenti ai nodurilor cu

cost ımbunatatit). A doua solutie cere ca sa ne asiguram ca prima cale care duce la o

anumita stare este ıntotdeauna cu cost optim, ca atare putem neglija drumurile ulterioare

care redescopera starea. Vom detalia ın cele ce urmeaza care sunt conditiile care trebuie

sa fie ındeplinite de catre functia h pentru a aplica aceasta varianta.

Definitia 9 O functie h se numeste consistenta daca pentru orice nod n si orice succesor

n′ generat de o actiune a avem ca:

h(n) ≤ c(n, a, n′) + h(n′)

3.3. ALGORITMUL A* 39

unde c(n, a, n′) este costul actiunii a care permite mutarea din starea n ın starea n′ – a

se vedea figura 3.5.

n

c(n,a,n’)

h(n’)

h(n)

G

n’

Figura 3.5: Inegalitatea triunghiului pentru o functie consistenta

O functie consistenta se mai numeste si monotona. Este o forma a inegalitatii triun-

ghiului, triunghi format de varfurile n, n′ si nodul scop cel mai apropiat de n. Se poate

arata ca orice functie consistenta este si admisibila. Reciproca nu este adevarata, dar

trebuie destul de multa ingeniozitate pentru a crea o functie care este admisibila si nu

este si monotona.

Pentru problema drumului Arad–Bucuresti, functia euristica data de distanta pe drum

drept de la orasul curent la Bucuresti este de asemenea si consistenta, deoarece satisface

inegalitatea triunghiului din geometria plana.

Aratam ca daca h este monotona, atunci valorile lui f de-a lungul unui drum sunt

nedescrescatoare. Fie n′ un succesor al lui n; atunci:

g(n′) = g(n) + c(n, a, n′)

(conform definitiei lui g, unde a este actiunea care permite schimbarea starii curente din

n ın n′) si

f(n′) = g(n′) + h(n′) = g(n) + c(n, a, n′) + h(n′) ≥ g(n) + h(n) = f(n)

Enuntam fara demonstratie teorema:

Teorema 2 Daca h este consistenta, atunci A* folosind functia Cautare-pe-Graf este

optimal.

Fie C∗ costul solutiei optime. Se mai poate arata ca:

• A* expandeaza toate nodurile cu f(n) < C∗;

• se poate ca A* sa expandeze cateva noduri care au f(n) = C∗ ınainte ca sa expandeze

nod scop (si deci sa se termine algoritmul);


• A* nu expandeaza noduri n cu f(n) > C∗.

Ultima observatie este deosebit de importanta, deoarece arata ca se evita expandarea

unui nod care are costul mai mare decat costul optim, chiar daca acest cost optim nu este

cunoscut decat la terminarea algoritmului! De exemplu, nodul aferent orasului Timisoara

nu este niciodata expandat, avand cost prea mare. Datorita monotoniei functiei f avem ca

nici orasele care descind direct din Timisoara nu vor fi expandate, de fapt nici un nod de

pe vreo ruta care include Timisoara ca nod intermediar nu va fi expandat; se face astfel o

“retezare” a arborelui de cautare, prin eliminarea unor variante care nu ar fi dus oricum la

un rezultat optim. Geografic, realizam ca toata partea Banatului este exclusa din arborele

de cautare, deoarece costurile nodurilor din aceasta regiune sunt oricum prea mari fata

de costul optim (momentan necunoscut, determinat doar la sfarsitul algoritmului) C∗.

Algoritmul este complet, daca nu cumva sunt infinit de multe noduri n care au f(n) ≤

C∗. Este si optimal; mai mult decat atat, este optimal eficient pentru orice functie

euristica data – adica nici un alt algoritm optimal nu garanteaza expandarea unui numar

mai mic de noduri decat A*, abstractie facand de numarul de noduri n pentru care

f(n) = C∗. Daca am avea un un algoritm care nu expandeaza toate nodurile n cu

f(n) < C∗, atunci ar exista riscul ca sa se rateze o cale optima.

Exista totusi o problema: numarul de noduri care au f(·) < C∗ creste exponential cu

lungimea solutiei. Un caz ın care nu se ıntampla asa ceva este cand:

|h(n)− h∗(n)| ≤ O (log (h∗(n)))

unde h∗(n) este costul real al ajungerii de la nodul n la scop. Din pacate, cele mai multe

euristici folosite ın practica sunt macar proportionale cu costul caii, ca atare obtinem

numar de noduri exponential – si toate trebuie tinute ın memorie, pentru a putea reface

solutia. De multe ori algoritmul epuizeaza toata memoria pusa la dispozitie, ınainte de

ca timpul pus la dispozitie sa se scurga.

3.4 Variatii ale lui A*

Exista cateva variatii ale algoritmului A*, recent obtinute, care determina solutia

optima cu un necesar de memorie neprohibitiv. Primul dintre ele este Recursive best–

first search (RBFS) care are complexitate de memorie liniara, dar sufera de regenerarea

excesiva a nodurilor. Practic, acest algoritm sufera din cauza ca foloseste prea putina

memorie.

Algoritmii MA* (Memory–bounded A*) si SMA* (Simplified memory–bounded A*)

vin sa corecteze problema, ei folosind toata memoria care li se pune la dispozitie. Algo-

ritmul este complet daca solutia poate fi atinsa cu memoria data; este optimal ın aceeasi

3.5. FUNCTII EURISTICE 41

conditie, iar daca memoria pusa la dispozitie este prea putina, atunci va returna cea mai

buna solutie (suboptimala) pe care a putut-o descoperi. Pe de alta parte, ınsa, o problema

poate deveni intratabila datorita complexitatii de timp crescute.

3.5 Functii euristice

Vom studia functii euristice pentru problema puzzle-ului (a se vedea definitia problemei

de la pagina 12). Pentru un puzzle de 3x3, factorul mediu de ramificare este 3 (4 noduri

descendente daca spatiul este la mijloc, 2 noduri descendente daca spatiul este ıntr-un

colt, 3 noduri altfel). Numarul mediu de mutari pentru rezolvare este de 22; o cautare

exhaustiva ar cere vizitarea a 322 adica aproximativ 3, 1·1010 stari. Prin eliminarea starilor

duplicat problema s-ar reduce la 9!/2=181.440 stari distincte. Numarul este acceptabil,

dar pentru un puzzle de 4x4, un calcul asemanator duce la aproximativ 1013 stari distincte.

Ca atare, ne ıntrebam ce functie euristica am putea folosi si cat de buna este ea.

Cele mai populare euristici sunt:

• h1 — numarul de piese pozitionate gresit. h1 este o euristica admisibila, deoarece

este clar ca orice casuta cu pozitionare gresita trebuie sa suporte cel putin o mutare.

• h2 — suma distantelor dintre pozitiile actuale si cele din starea finala a pieselor.

Deoarece piesele se pot misca doar pe orizontala si verticala, nu vom folosi distanta

euclidiana – precum ın problema drumului de la Arad la Sibiu – ci distanta L1 (sau

distanta Manhattan):

L1 ((x1, y1), (x2, y2)) = |x1 − x2|+ |y1 − y2|

Din nou se observa ca este o euristica admisibila, deoarece pentru mutarea unei

piese la pozitia corecta se fac cel putin mutarile pe orizontala si pe verticala.

O modalitate de a caracteriza calitatea unei euristici este factorul efectiv de ramificare,

b∗. Daca numarul de noduri pentru o instanta particulara a unei probleme este N , atunci

b∗ se defineste ca factorul de ramificare (nu neaparat numar ıntreg) pentru care un arbore

uniform de adancime d contine cele N noduri; pe scurt, b∗ este solutia ecuatiei:

N = 1 + b∗ + (b∗)2 + . . . + (b∗)d

De exemplu, daca A* descopera solutia la adancime 5 generand 52 de noduri, atunci

b∗ ≃ 1.92. Numarul se obtine de fapt ca o medie peste diferite instante, dar este o valoare

relativ constanta. Scopul este de a obtine un factor de ramificare cat mai apropiat de 1.

De exemplu, pentru instante ın care numarul de pasi este 12, numarul de noduri ge-

nerat pentru cautarea “mai ıntai ın adancime” cu adancire iterativa genereaza 3.644.035


noduri, algoritmul A*(h1) genereaza 227 noduri, iar A*(h2) genereaza 73 noduri. Pen-

tru adancime 24, algoritmul de cautare oarba clacheaza din lipsa de memorie, A*(h1)

genereaza 39135 noduri, iar A*(h2) genereaza 1641 noduri.

Daca exista mai multe euristici ne putem pune problema daca e vreuna mai buna

decat celelalte. Pentru h1 si h2, de pilda, avem ca h2(n) ≥ h1(n), ∀n. Din cauza ca A*

expandeaza fiecare nod care are f(n) < C∗ (echivalent: h(n) < C∗ − g(n)), rezulta ca

orice nod expandat pentru functia h2 este sigur expandat si pentru functia h1. Ceea ce

ne ındeamna a cauta functii euristice care sa aibe valori cat mai mari, dar sa ramana ınca

admisibile (sub valoarea reala). Problema cu o asemenea abordare este ca functia, desi

devine mai “buna”, poate cere de asemenea resurse computationale prea mari. Pentru

cazul ın care ıntre doua euristici exista relatia h2 ≥ h1 spunem ca h2 domina pe h14.

Se pune ıntrebarea: cum se pot inventa functii euristice? Este posibil a se inventa

asemenea functii ın mod automat? Modul ın care s–au descoperit este simplu: s–au

relaxat restrictiile problemei. Daca problema se enunta sub forma unor conditii, precum:

“o piesa se muta din locatia A ın B daca A este vecin orizontal sau vertical al lui B si

B este spatiu liber” atunci putem realiza trei variante relaxate prin eliminarea la o parte

din conditii:

1. o piesa se poate muta de la pozitia A la B daca A este vecin cu B

2. o piesa se poate muta de la pozitia A la B daca B este spatiu

3. o piesa se poate muta de la pozitia A la B

Prima varianta corespunde euristicii h2, iar cea de-a treia este pentru euristica h1.

Folosind aceasta tehnica (si alte strategii), s–a obtinut un program capabil de a gasi

variante relaxate de probleme, unele conducand la euristici superioare celor cunoscute.

Ce se ıntampla cand avem mai multe euristici, dar niciuna nu domina pe toate celelelate

(adica: avem h1, h2, . . . , hm si pentru orice i, j, 1 ≤ i, j ≤ m, i 6= j exista x, y astfel ıncat

hi(x) ≤ hj(x) dar hi(y) > hj(y))? Putem considera functia h definita punctual ca:

h(n) = max{h1(n), . . . hm(n)}

care domina pe toate celelalte; mai mult decat atat, se poate arata ca aceasta functie este

si consistenta!

O alta metoda de obtinere a euristicilor este de a pleca de la subprobleme ale problemei

initiale. De exemplu, putem sa ne concentram atentia doar asupra unora din piesele de pe

puzzle, pe care ıncercam sa le aducem la pozitia corecta, ın timp ce celelate pot ajunge ın

4Din nou, reamintim ca ne-am fixat pe probleme ın care dorim sa obtinem solutie de cost minim.

Pentru probleme de maxim dominarea ınseamna schimbarea sensului inecuatiei.

3.6. ALGORITMI DE CAUTARE LOCALA SI PROBLEME DE OPTIMIZARE 43

orice pozitie. Pentru multe cazuri, rezultatul este mai bun decat daca se foloseste distanta

Manhattan.

Se poate merge mai departe pe ideea acestor subprobleme: avand ın vedere ca au

considerabil mai putine stari decat problema originala, se poate sa memoram ıntr-o baza

de date aceste stari, ımpreuna cu costul de ajungere de la ele la starea finala. Construirea

acestei baze5 poate fi laborioasa, dar efortul se amortizeaza rapid daca trebuie rezolvate

mai multe probleme.

3.6 Algoritmi de cautare locala si probleme de optimi-

zare

Algoritmii precedenti fac o cautare mai mult sau mai putin sistematica pentru a des-

coperi daca un nod scop poate fi ajuns plecand de la nodul initial. Cand acest lucru se

ıntampla, se reconstituie calea dintre nodul de start si nodul scop.

De multe ori, ınsa, secventa de pasi care duce din starea initiala ın starea finala este

irelevanta. De exemplu, pentru problema reginelor pe tabla de sah (sectiunea 1.6.1, pa-

gina 12) nu ne intereseaza cum s–a ajuns la plasarea acestor regine, ci doar dispunerea lor

efectiva pe tabla de sah. In aceeasi categorie intra si designul circuitelor integrate, pro-

gramarea itinerarului optim prin magazine, stabilirea rutelor pentru vehicule, optimizarea

retelelor de telecomunicatii, etc.

Pentru asemenea cazuri vom considera o clasa diferita de algoritmi. Cautarea locala

foloseste doar o singura stare, cea curenta – ceea ce din start ınseamna ca memoria

consumata este redusa; mutarile se fac doar ın stare vecina cu cea curenta, iar caile

urmate nu se memoreaza. Pe langa cantitatea mica de memorie ceruta (de obicei o

cantitate constanta), se pot aborda si probleme unde cautarea sistematica sau euristica

nu sunt fezabile (de exemplu probleme pe spatii continue).

De asemenea, se pot folosi algoritmii prezentati ın aceasta sectiune si pentru cazul

problemelor de optimizare, unde sa da o functie obiectiv. Desi nu totdeauna solutiile

obtinute sunt optime, rezultatele practice sunt satisfacatoare.

Optimul poate sa fie minim sau maxim; avem ın vedere ca:

min(f) = −max(−f)

si deci exemplificarile se vor face cu optimizari convenabil alese, data fiind trecerea de la

un tip de optim la altul. Vom considera profilul functiei obiectiv (figura 3.6); dorim ca

pentru functia reprezentata sa determinam care este maximul.

5Numita baza de tipare, original: pattern database


Precum la metodele de cautare prezentate anterior, ın acest context un algoritm de

cautare este:

• complet, daca ıntotdeauna gaseste un scop, daca acesta acesta exista;

• optimal, daca gaseste un minim/maxim global

Figura 3.6: Profilul unei functii obiectiv; se doreste obtinerea unsi stari ın care valoarea

functiei obiectiv este maxima. Punctul marcat pe grafic reprezinta valoarea aferenta starii

curente, pentru care o modificare poate sa duca la cresterea sau scaderea valorii functiei

obiectiv.

3.6.1 Cautarea prin metoda ascensiunii

Metoda ascensiunii6 se bazeaza pe o idee simpla: ıncearca sa modifici pozitia curenta

printr-o deplasare mica, astfel ıncat sa se produca o ımbunatatire a valorii functiei obiectiv.

Pentru profilul reprezentat ın figura 3.6, unde se doreste maximizarea valorii functiei,

dorim ca starea urmatoare sa corespunda unei miscari spre stanga pe graficul functiei

obiectiv.

Algoritmul este dat ın figura 3.7. Algoritmul nu construieste un arbore de cautare, iar

cautarea actiunii urmatoare nu se face mai departe de vecinul imediat. Este ındreptatita

deci asemanarea acestui algoritm cu “urcarea pe Everest ıntr-o ceata subtire, suferind de

amnezie”. Metoda se mai numeste si cautare locala lacoma. Algoritmul se termina atunci

cand se ajunge ıntr-un optim, care poate fi local. Cautarea vecinului se face ın imediata

vecinatate, “salturi” prea mari ar putea duce la ratarea unor configuratii cu valoarea buna.

6In engleza, ın original: hill climbing.


Figura 3.7: Algoritmul de cautare prin ascensiune (urcarea pe panta cea mai abrupta).

Daca pentru nodul curent exista un vecin de valoarea mai buna, atunci el este ınlocuit cu

vecinul.

Strategia se poate folosi pentru problema damelor pe o tabla de sah (a se vedea

sectiunea 1.6.1, pagina 12). Pentru fiecare patrat se calculeaza care ar fi numarul total de

atacuri de pe tabla de sah care are rezulta dupa plasarea reginei de pe coloana respectiva

ın acel patrat. Evident, dorim sa determinam configuratia ın care numarul de atacuri este

minim, ideal 0. Daca pentru o stare (dispunere a reginelor) oarecare exista mai multe

“cele mai bune mutari” se poate alege aleator oricare dintre ele.

Problemele pe care le are algoritmul bazat pe ascensiune sunt:

1. maximele locale: un maxim local este un varf care este mai ınalt decat punctele

situate ıntr-o vecinatate a lui, dar este mai mic decat maximul global. Algoritmul

se termina atunci cand nodul curent nu poate fi ımbunatatit printr-o mutare ın

apropiere.

2. zona plata: o zona plata este o regiune din spatiul starilor ın care functia de evaluare

este constanta. Poate fi un platou de unde nu exista posibilitate de urcare, sau o

coama de unde se poate obtine un progres. Asa cum este dat algoritmul din figura

3.7, se produce valoarea constanta din platou.

3. creste7; rezulta ın secventa de maxime locale pentru care directia corecta este dificil

de ales (figura 3.9).

Pentru problema celor opt regine, cautarea prin ascensiune duce la un optim local ın

86% din cazuri; rezolvare cu functia de cost nula se atinge doar ın 14% din cazuri. Trebuie

7In limba engleza ın original: ridges.


(a) O asezare a opt regine pe tabla de

sah, cu costul euristic estimat 17. Pen-

tru fiecare patrat se arata valorea acestei

functii daca s–ar face mutarea reginei de

pe coloana corespunzatoare ın ea. Cele

mai bune mutari din aceasta pozitie duc

la valoarea 12.

(b) Un minim local pentru problema ce-

lor opt regine. Starea prezentata are va-

loarea 1. Orice mutare din aceasta stare

nu micsoreaza valoarea functiei.

h = 5 h = 2 h = 0

(c) Rezolvarea problemei celor 4 regine. Solutia obtinuta este de cost 0, deci dispunerea este corecta.

Figura 3.8: Rezolvarea problemei reginelor pe tabla de sah prin cautare prin ascensiune.

Se cauta un minim al functiei care contorizeaza numarul de atacuri reciproce pe tabla.


Figura 3.9: Creste, una din configuratiile problematice pentru un algoritm de ascensiune.

sa mentionam totodata ca numarul mediu de mutari ın care se ajunge la un minim local

este 3 iar din 4 mutari se ajunge la o rezolvarea a problemei.

Algoritmul, asa cum a fost enuntat, se opreste atunci cand ajunge ın zona de platou

sau de coama. Pentru coama, ınsa, daca s-ar permite cautarea pe zona plata, s-ar putea

ajunge din nou la o situatie de urcus. O varianta a algoritmului din figura 3.7 este cea

ın care se permit pasi laterali pe zona plata. Pentru a preveni plimbarea la infinit pe un

platou, se poate impune o limita a numarului de pasi succesivi care pastreaza valoarea

functiei obiectiv. De exemplu, daca se stabileste aceasta limita la 100, pentru problema

damelor se gaseste rezolvare corecta ın 94% din cazuri. Numarul mediu de pasi creste,

ınsa: 21 de pasi pentru o rezolvare si 64 pentru esuare ın minim local.

De asemenea mai exista varianta ascensiunii stochastice: dintr-un punct se alege pro-

babilist panta pe care se face urcarea; cu cat panta este mai abrupta, cu atat este mai

mare sansa de alegere a ei ca directie urmatoare (dar nu e imposibil sa se aleaga pante

de ınclinatie mai mica, adica sa se ajunga ın stari ın care valoarea nu este cea mai mare

dintre toti vecinii).

Algoritmii descrisi pana acum sunt incompleti – ei nu gasesc solutia mereu, deoarece

se blocheaza ın optime locale. Ascensiunea cu repornire aleatoare stabileste puncte de

plecare aleator ın spatiul starilor. Abordarea duce la un algoritm care este complet cu o

probabilitate ce tinde catre 1, din motivul ca repornirile aleatoare pot duce la alegerea

unui nod de start corespunzator unui nod scop. Daca procentul de succes pentru o pro-


blema este p, atunci este nevoie de 1/p reporniri. Pentru problema celor opt regine, unde

p = 0.14, avem nevoie de aproximativ 7 iteratii pentru a gasi o stare scop (de cost 0),

adica 6 porniri care duc la minim local si 1 care duce la rezolvare (numerele date trebuie

ıntelese ca valoari medii). Numarul mediu de pasi este 22. Daca se foloseste algoritmul

ce permite pasi laterali, un calcul asemanator duce la 25 de pasi necesari (ın medie) pen-

tru rezolvarea problemei. Pentru o problema de 3 milioane de regine, aceasta abordare

(repornire aleatoare cu cautare cu pasi laterali) descopera o solutie ın mai putin de un

minut!

Problemele din lumea reala deseori au un profil al functiei obiectiv cu maxime si

minime multiple, “ ındesate” pe domeniul de definitie; algorimul cautarii prin ascensiune

duce, de regula, ıntr-un maxim local suficient de bun pentru tipul de calcul consumat.

3.6.2 Recoacerea simulata

Un algoritm de cautare prin ascensiune este incomplet, deoarece se poate cantona

ıntr-un mimim local. Ar fi de dorit sa permitem algoritmului sa efectueze miscari si

ıntr-o directie nefavorabila, ın speranta ca va permite iesirea dintr-un minim local. Ca

suport intuitiv, sa ne imaginam o un relief bidimensional ın care dorim sa descoperim

minimul local. Lasam o bila sa plece dintr-un punct oarecare, dar vom face si scuturarea

suprafetei atunci cand se ajunge ıntr-un minim, cu intentia de a scoate bila din minim.

Aceste scuturari sunt suficient de viguroase pentru a scoate bila din minimul local, dar

totusi nu foarte tari pentru a scoate bila din minim global. O reprezentare este data ın

figura 3.10.

Figura 3.10: Algoritmul coacerii simulate. Perturbarile vor permite scoaterea bilei din

minimele locale.

Algoritmul este inspirat din metalurgie, ın care se ıncalzeste un metal pana la o tempe-

ratura ınalta; pentru a durifica metalul se lasa apoi sa se raceasca foarte lent, permitand


structurii cristaline sa ajunga ıntr-o stare stabila. Este important ritmul ın care scade

temperatura.

Algoritmul pentru minimizarea unei functii este formalizat ın figura 3.11. Daca muta-

rea curenta duce ıntr-o situatie cu valoarea mai mica, atunci se accepta; daca noua situatie

este defavorabila, atunci se accepta o mutare cu o anumita probabilitate. Probabilitatea

scade exponential cu lipsa de calitate a noii configuratii si cu “temperatura” curenta (va-

riabila). Se poate arata ca daca temperatura scade suficient de lent, atunci algoritmul

va gasi un optim local cu probabilitatea 1 [3]. Planificarea care apare ca parametu al

algoritmului este o functie descrescatoare fata de timpul t.

Figura 3.11: Algoritmul de coacere simulata. Pasii defavorabili sunt permisi, dar proba-

bilitatea acestora este controlata. Parametrul planifiare determina valoarea temperaturii

T pentru timpul t.

3.6.3 Algoritmi genetici

Sunt inspirati din principiile evolutionismului darwinian, care ıncearca sa explice

evolutia vietuitoarelor pe Pamant. Rolul mediului este preluat de catre functia scop.

Vom detalia algoritmul pentru maximizarea unei functii f : [a, b] ⇒ R∗

+. Indivizii care

alcatuiesc populatia se numesc cromozomi si sunt alcatuiti din gene.

Se porneste cu o populatie initiala, care este supusa apoi unui sir de procese de tipul:

1. selectie: indivizii care sunt cei mai adecvati (fata de valoarea functiei ce se vrea


optimizata) sunt favorizati sa apara de mai multe ori ıntr-o populatie noua fata de

indivizii mai putin performanti;

2. ıncrucisare: are loc un schimb de gene ıntre perechi de parinti, formandu-se copii;

acestia se presupune ca mostenesc si combina performantele parintilor.

3. mutatie: se efectueaza niste modificari minore asupra materialului genetic existent.

Pas 1. Crearea unei populatii initiale de cromozomi. Se considera mai multe va-

lori pentru variabila x ∈ [a, b]. Numarul acestor valori (numit dimensiunea populatiei)

este dat ca parametrul al algoritmului, NR (ex. NR = 100). Toate valorile sunt

cuantificate prin cromozomi care sunt siruri de k biti (un bit se mai numeste si

gena), k fiind alt parametru de intrare.

Generarea celor NR cromozomi se face aleator, prin setarea fiecarei gene la valoarea

0 sau 1, la ıntamplare. Se obtine astfel o populatie initiala formata din cromozomii

c1, . . . , cNR.

Fiecare cromozom c (adica sir de k biti) va produce un numar x(c) din intervalul

[a, b], astfel: daca valoarea ın baza 10 a cromozomului este v(c), 0 ≤ v(c) ≤ 2k − 1,

atunci valoarea asociata din intervalul [a, b] este:

x(c) = a + v(c) ·b− a

2k − 1∈ [a, b].

Pas 2. Evolutia populatiei. In acest pas se obtin generatii succesive plecand de la

populatia initiala; populatia de la generatia g + 1 se obtine pe baza populatiei de

la generatia g. Operatorii sunt selectia, ımperecherea (crosssover, ıncrucisarea) si

mutatia.

Pas 2.1. Selectia . Pentru fiecare cromozom din populatie se calculeaza functia

obiectiv vi = f(x(ci)), 1 ≤ i ≤ NR. Apoi se ınsumeaza valorile functiilor

obiectiv obtinute pentru fiecare cromozom ın parte:

S =NR∑

i=1

vi

Pentru fiecare din cei NR cromozomi se calculeaza probabilitatea de selectie:

pi =vi

S, 1 ≤ i ≤ NR

Pentru fiecare cromozom se calculeaza probabilitatea cumulativa de selectie:

qj =j∑

i=1

pi, 1 ≤ j ≤ NR


Remarcam ca qNR = 1 iar sirul qj defineste un sir crescator. Cu cat cromozomul

ci determina o valoare mai mare pentru functia f (adica valoarea f(v(ci)) este

mai mare), cu atat diferenta dintre qi si qi−1 este mai mare.

Se selecteaza NR numere aleatoare uniform distribuite ın (0, 1]. Pentru fiecare

numar, daca el se gaseste ın intervalul (0, q1] atunci cromozomul c1 este ales

si depus ıntr-o populatie noua; daca acest numar se afla ın intervalul (qi, qi+1]

atunci se alege cromozomul ci+1. Remarcam ca numarul de cromozomi prezenti

ın noua populatie este tot NR, iar cu cat valoarea asociata unui cromozom este

mai mare, cu atat cresc sansele lui spre a fi selectat si depus ın noua populatie.

Este foarte probabil ca un astfel de cromozom valoros (valoarea unui cromozom

este cu atat mai mare cu cat valoarea functiei f calculata pentru cromozomul

respectiv este mai mare) sa apara de mai multe ori in populatia noua; de

asemenea, este foarte probabil ca un cromozom cu o valoare mica pentru functia

f sa nu apara deloc.

Pas 2.2. Incrucisarea. Pentru fiecare cromozom care a rezultat la pasul ante-

rior se alege o valoare aleatoare, uniform distribuita ın intervalul (0, 1]. Daca

aceasta valoare este mai mica decat un parametru pc (parametru al aplicatiei,

e.g. 0.1), atunci cromozomul este ales pentru incrucisare. Se procedeaza ast-

fel incat sa se obtina un numar par de cromozomi (de exemplu se renunta la

ultimul daca numarul lor este impar).

Cromozomii alesi se ıncruciseaza astfel: primul selectat cu al doilea selectat, al

3-lea cu al 4-lea, etc. Incrucisarea decurge astfel:

• se alege un numar aleator t intre 0 si numarul de gene (toti cromozomii au

acelasi numar de gene k)

• se obtin 2 cromozomi copii astfel: primul va contine primele t gene ale

primului parinte si ultimele k − t gene ale celui de–al doilea parinte; al

doilea copil contine primele t gene ale celui de–al doilea parinte si ultimele

k − t gene ale primului parinte

• cei doi cromozomi copii vor ınlocui ın populatie pe parinti

Pas 2.3. Mutatia. Populatiei obtinute i se aplica operator de mutatie, astfel: pen-

tru fiecare gena a fiecarui cromozom se alege o valoare aleatoare, uniform distri-

buita ın (0, 1]; daca acest numar este mai mic decat o probabilitate de mutatie

pm (parametru al aplicatiei), atunci se modifica valoarea curenta a genei cu

complementul sau fata de 1.

Populatia obtinuta ın pasul 2 reia ciclul de evolutie. Dupa ce se executa cateva astfel

de evolutii (sau numar de generatii, parametru al programului), se raporteaza valoarea


celui mai bun cromozom din ultima generatie8.

Se observa ca se combina cautarea locala cu explorarea aleatoare si schimbul de

informatie ıntre indivizi. Avantajul primar al algoritmilor genetici consta ın acest schimb

de informatie, adica schimbarea de blocuri de date care au evoluat astfel ıncat sa se

ımbunatateasca valoarea produsa. O utilizare eficienta a algoritmilor genetici prespune

crearea unor structuri de date pentru gene si a unor operatori adecvati problemei ce

trebuie rezolvate9.

3.6.4 Cautare locala ın spatii continue

Algoritmii de cautare prezentati pana acum functioneaza ıntr-un univers discret si ın

care functia succesor returneaza un set finit de pasi care pot fi efectuati dintr-o stare

oarecare. Cele mai multe probleme, ınsa, sunt de tip continuu si deci posibilitatile de

alegere a urmatorilor pasi sunt infinite.

Pentru o functie reala de mai multe variable f(x1, . . . , xn), maximul se regaseste printre

punctele x = (x1, . . . , xn) pentru care ∇f(x) = 0, unde:

∇f(x) =

(

∂f

∂x1

, . . . ,∂f

∂xn

)

De cele mai multe ori acest gradient se poate calcula doar local, nu si global, deci abor-

darea aceasta directa nu este ıntotdeauna posibila. Chiar si asa, se poate aplica metoda

ascensiunii, luand ca stare urmatoare:

x← x + α∇f(x)

unde α este o constanta mica, a carei valoare poate fi stabilita printr-o multitudine de

metode (volumul de studiu dedicat este impresionant).

Pentru multe probleme, cel mai bun algoritm este bazat pe metoda Newton–Raphson,

folosita pentru determinarea radacinilor ecuatiilor de forma g(x) = 0 (g fiind functie de o

singura variabila). Se calculeaza o noua estimare a lui x prin:

x← x−g(x)

g′(x)

Pentru a gasi un maxim al lui f (functie de mai multe variabile) urmatoarea valoarea a

lui x se determina astfel:

x← x−H−1

f (x)∇f(x)

unde Hf (x) este matricea hessiana, cu Hij = ∂2f/∂xi∂xj. Totusi, inversarea matricilor

este computational intensiva pentru un numar mare de variabile.

8Sau se foloseste strategia elitista: se returneaza cel mai bun individ al tuturor generatiilor.9S-a stabilit “ecuatia” Algoritmi genetici + structuri de date = programare evolutionista, [4].

Capitolul 4

Probleme de satisfacere a

constrangerilor

Prezentul capitol trateaza probleme ın care starile se supun unor restrictii impuse.

Spre deosebire de reprezentarile date la metodele de cautare din capitolele anterioare

(reprezentari care tin cont de particularitatile problemei pentru care se face cautarea

solutiei), problemele de satisfacere a constrangerilor au o forma mult mai generala, iar

euristicile sunt larg aplicabile.

4.1 Probleme de satisfacere a constrangerilor

O problema de satisfacere a constrangerilor (PSC) este definita ca un set de variabile

X1, . . . , Xn si un set de constrangeri C1, . . . Cm. Fiecare variabila are un domeniu nevid

de valori Di. O constrangere se refera la un subset de variabile si exprima conditii asupra

combinatiilor de valori pentru variabilele ın discutie. O stare a problemei este o asignare

de forma {Xi = vi, Xj = vj, . . .}. O stare ın care valorile respecta orice restrictie Ck, 1 ≤

k ≤ m se numeste consistenta sau legala. O solutie a problemei este o asignare consistenta

si care da valori pentru fiecare variabila. Uneori este implicata si o functie obiectiv care

trebuie optimizata.

Tratarea unei probleme ca o PSC poate fi benefica: ın primul rand, se poate formaliza

foarte usor metoda generala de rezolvare, iar aplicarea ei pe o problema concreta ınseamna

scrierea adecvata a functiilor de succesor si a testului de scop (a se vedea algoritmul

general); ın al doilea rand, se dau niste euristici generice care nu sunt dependente de

domeniul problemei (sectiunea 4.2.1 si urmatoarele).

Exemplu: dorim sa coloram harta regiunilor Australiei (figura 4.1) cu 3 culori, astfel

ıncat sa nu existe doua regiuni vecine care au aceasi culoare. Variabilele pot fi considerate

aprevierile pentru regiuni, respectiv: WA, NT , Q, NSW , V , SA, T , domeniul fiecarei

53

54 CAPITOLUL 4. PROBLEME DE SATISFACERE A CONSTRANGERILOR

variabile este {rosu, verde, albastru}, iar restrictiile se pot exprima sub forma unor perechi

de forma X 6= Y unde X,Y ∈WA,NT,Q,NSW, V, SA, T si X,Y vecine pe harta.

WesternAustralia

NorthernTerritory

SouthAustralia

Queensland

New South Wales

Victoria

Tasmania

Figura 4.1: Regiuni din Australia.

Deseori se recurge la reprezentarea acestor restrictii sub forma de graf ın care doua

variabile sunt legate printr-o muchie daca se supun unei constrangeri. De exemplu, pentru

problema colorarii regiunilor se leaga prin muchii noduri reprezentand regiuni vecine (si

care trebuie colorate diferit) - fig 4.2.

Victoria

WA

NT

SA

Q

NSW

V

T

Figura 4.2: Graf de constrangeri pentru problema colorarii hartii Australiei.

O PSC se poate formula astfel:

• stare initiala: multimea vida, corespunzatoare lipsei de asignari de valori oricarei

variabile;

• functie succesor : se asigneaza unei variabile ce nu are valoare data (numita variabila

libera) o valoare din domeniul asociat, cu conditia ca asignarea nou obtinuta sa fie

consistenta (sa nu ıncalce restrictiile impuse);

• test scop: asignarea curenta este completa, nu mai exista variabile libere

4.1. PROBLEME DE SATISFACERE A CONSTRANGERILOR 55

• costul caii : o constanta pentru fiecare asignare de variabila

Deoarece fiecare solutie are toate cele n variabile cu valori asignate rezulta ca adancimea

solutiei este n. Algoritmii folositi pentru rezolvarea acestui tip de probleme sunt cei de

cautare ın adancime (adancimea se cunoaste, iar cicluri nu putem avea, deoarece la fiecare

pas consideram o alta variabila libera). De asemenea, algoritmii pentru cautare locala dau

rezultate bune.

Domeniile de valori pot fi discrete si finite (precum mai sus) sau nu, si ın acest al doilea

caz restrictiile se dau folosind un limbaj care permite descrierea relatiilor (de exemplu

x + y < z si x − y = 4). Problemele cu domenii de tip continuu sunt studiate de catre

cercetarile operationale.

O constrangere poate fi unara – daca se refera la o singura variabila – si atunci este

simplu de tratat, pentru ca se modifica corespunzator domeniul de valori asociat prin

excluderea valorilor care nu satisfac restrictia. Deseori se dau restrictii binare, care implica

exact doua variabile. De exemplu, pentru graful din figura 4.2 orice muchie reprezinta o

restrictie binara.

Exista, desigur, si restrictii de ordin mai mare, implicand cel putin trei variabile.

Avem asemenea situatie ın problema urmatoare1: sa se substituie fiecare litera printr-o

cifra diferita, astfel ıncat ecuatia sa fie adevarata

unu+

patru =

-----

cinci

Constrangerea ca valorile caracterelor diferite sa fie diferite poate fi redusa la cateva de tip

binar - u 6= i, u 6= n, etc; apoi, pentru fiecare din cele cinci coloane avem cate o restrictie:

u + u = i + 10x1

n + r + x1 = c + 10x2

u + t + x2 = n + 10x3

a + x3 = i + 10x4

p + x4 = c

(4.1)

unde xi reprezinta (eventualul) transport de la suma de cifre. Restrictiile pot fi repre-

zentate sub forma de hipergraf, precum in figura 4.3. Se poate arata ca problemele cu

domenii finite pot fi reduse la probleme cu restrictii binare prin introducerea unor vari-

abile auxiliare. Din acest motiv ne vom concentra asupra problemelor cu constrangeri

binare.

1Problema de criptaritmetica.


Figura 4.3: Hipergraf de constrangeri atasat problemei de criptaritmetica. Patratele

definesc restrictii la care participa variabilele - patratul de pe primul rand este reprezentare

a conditiei ca valorile caracterelor diferite sa fie diferite, iar cele de pe penultimul rand

reprezinta constrangerile din sistemul 4.1.

4.2 Cautare backtracking pentru PSC

Formularea data pentru PSC (ın special prezenta unei functii succesor) ne permite

sa speram ca putem trata problemele de acest tip prin orice algoritm de cautare de care

dispunem. Totusi, acest tip de probleme trebuie abordat cu o anumita schema de cautare.

Sa plecam de la o PSC ın care avem n variabile care pot lua valori dintr-o multime

finita cu d elemente. Daca vrem sa folosim cautarea ın latime, atunci:

• la nodul radacina (cel care nu are nici o variabila nu are valoare fixata) avem n · d

posibilitati de a continua, deoarece avem n variabile si pentru fiecare poate fi stabilita

o valoare din cele d;

• la nivelul urmator avem (n− 1)d alegeri, pentru ca au ramas mai putine variabile

• ın total obtinem n! · dn frunze

Numarul de frunze este mult mai mare decat dn care s-ar obtine prin enumerarea tuturor

posibilitatilor de asignare de valori pentru cele n variabile. Ca atare, aplicarea unei metode

de cautare oarecare poate sa nu fie o idee buna.

Numarul supraestimat de frunze a aparut din cauza ca la fiecare pas permitem luarea

ın considerare a tuturor variabilelolor posibile, pe cand solutia unei PSC nu este senzitiva

la ordine. Este admisibil ca la fiecare pas sa se ia ın considerare doar o variabila. Asa

numarul de frunze devine dn.

Cautarea de tip backtracking este de fapt o cautare de tip “mai intai ın adancime” care

genereaza un singur nod descendent. Deoarece reprezentarea PSC este standardizata, ea

se poate aplica independent de specificul domeniului. Algoritmul este dat ın figura 4.4.

Fiind un algoritm de cautare neinformata, ın practica el nu se comporta bine pentru

probleme de dimensiune mare. Exista ınsa niste metode generale care maresc eficienta

4.2. CAUTARE BACKTRACKING PENTRU PSC 57

Figura 4.4: Algoritmul backtracking pentru probleme de satisfacere a constrangerilor.

lor. Metodele reprezinta raspunsuri la urmatoarele ıntrebari:

1. Care variabila ar trebui luata ın considerare la pasul curent, si ın ce ordine ar trebui

ıncercate valorile?

2. Care sunt implicatiile asignarii curente de valoare pentru o variabila pentru alte

variabile ce ınca nu au valori asociate?

4.2.1 Ordonarea valorilor si a variabilelor

Algoritmul backtracking contine linia:

var<-selecteaza-variabila-neasignata(variabile[psc], asignare, psc)

dar nu se spune cum anume se face selectarea de variabila. Se poate, desigur, opta,

pentru o ordine fixa a variabilelor. Dar putem observa ca daca asignam WA = rosu si

NT = verde, pentru SA ramane o singura valoare care poate fi asignata, deci are sens

sa consideram la pasul urmator variabila SA, mai degraba decat Q, NSW sau V . Dupa

acest pas, Q, NSW si V au domeniu de alegere al valorilor restrans la cate o variabila.

Intuitiv, ar trebui sa consideram la fiecare pas variabila care are cele mai putine valori

candidat.

Strategia numita “minim de valori ramase”(MVR) decide alegerea variabilei care are

cele mai putine variante, astfel se ıncearca producerea unei esuari cat mai devreme posibil


ın calea de cautare curenta, astfel ca sa se reteze caile care nu duc la solutii. De exemplu,

daca avem o variabila care are 0 valori ramase, atunci algoritmul o va alege pe aceasta

si se va detecta esuare. Acest lucru este corect, deoarece oricum mai devreme sau mai

tarziu se ajunge la imposibilitatea de a da valoare pentru variabila ın cauza, deci astfel

se evita niste cautari care nu ar putea produce solutie.

In practica, aceasta strategie simpla duce la ımbunatatiri ale vitezei de 3 pana la

3000 de ori. Se discuta ın sectiunea 4.2.2 modul ın care contorizarea numarului de valori

disponibile ramase se poate face eficient.

Euristica nu este utila la alegerea primei variabile, deoarece fiecare regiune poate avea

trei culori. Intr-un asemenea moment se foloseste euristica gradului care indica alegerea

acelei variabile care are cele mai multe contrangeri cu alte variabile fara valori asignate.

Notiunea de grad face aici referire la valori definite ın teoria grafurilor. De exemplu,

pentru harta din figura 4.1 avem ca SA are gradul 5, alte variabile au valori 2, 3, 0. Ca

atare, se va alege ca prima variabila SA (si pasii urmatori, cu aceeasi euristica duc la

rezolvarea problemei fara a fi nevoie sa se revina). Strategia MVR este mult mai efectiva

decat aceasta, dar euristica gradului este utila la deciderea urmatorului pas ıntr-o situatie

de egalitate.

Odata ce s–a ales variabila pentru care se va da valoare trebuie determinat care este

ordinea de considerare a valorilor. Pentru asta se aplica strategia celei mai putin con-

strangatoare valori. Concret, se prefera valorile care produc cele mai putine eliminari

de valori pentru alte varibile neasignate. Ideea este de a se lasa maximum de flexibili-

tate (posibilitati) pentru alegerile urmatoare. De exemplu, daca luam WA = verde si

NT = verde, iar pentru Q setam culoarea albastra, atunci SA ramane fara posibilitate

de a i se atribui valoare. Evident, daca se cere generarea tuturor solutiilor pentru PSC

sau daca problema nu are nicio solutie, strategia este inutila.

4.2.2 Propagarea informatiilor prin constrangeri

Pana acum algoritmul a considerat constrangerile pentru o variabila doar cand ea era

aleasa de catre selecteaza-variabila-neasignata. Daca se iau ın considerare aceste

constrangeri mai repede de acest moment, atunci se poate reduce foarte mult spatiul de

cautare.

Verificare ınainte

Ori de cate ori unei variabile X i se asigneaza o valoare, pentru fiecare variabila Y

care este conectata cu X printr–o restrictie se sterge din domeniul lui Y valorile care sunt

inconsistente cu proaspata valoare a lui X. Tabelul 4.1 arata evolutia cautarii cu verificare

4.2. CAUTARE BACKTRACKING PENTRU PSC 59

ınainte. Se poate observa ca dupa ce se asigneaza WA = rosu si Q = verde, domeniile

pentru NT si SA contin doar un singur element; am redus deci factorul de ramificare

pentru aceste doua variabile. Este clar ca aceasta verificare ınainte face pereche buna cu

strategia MVR, pentru care urmatoarele variabile luate ın considerare sunt SA si NT .

Verificarea ınainte este un mod eficient de calcularea a informatiei de care MVR are nevoie.

Mai observam ca dupa ce setam V = albastru domeniul lui SA este gol. Deci verifi-

carea ınainte a determinat ca asignarea partiala {WA = rosu,Q = verde, V = albastru}

este inconsistenta cu cerintele problemei, necesitand un pas ınapoi.

WA NT Q NSW V SA T

Domeniile initiale RVA RVA RVA RVA RVA RVA RVA

Dupa WA = rosu R VA RVA RVA RVA VA RVA

Dupa Q = verde R A V RA RVA A RVA

Dupa V = albastru R A V R A RVA

Tabela 4.1: Evolutia in problema colorarii hartilor folosind verificarea ınainte. R este

rosu, V este verde, A este albastru.

Propagarea constrangerilor

Cu toate ca verificarea ınainte depisteaza inconsistente, ea nu le depisteaza pe toate.

De exemplu, sa consideram a treia linie a tabelului 4.1: cand WA = rosu si Q = verde,

atat NT cat si SA sunt limitate la culoarea albastra; dar intrucat ele sunt si regiuni vecine,

trebuie sa fie de culori diferite. Deci verificarea ınainte nu este suficient de patrunzatoare

ın a detecta incompatibilitati. Propagarea constrangerilor este un termen general, de-

semnand propagarea restrictiilor pentru o variabila conform constrangerilor pentru alte

variabile. Mai clar, propagam de la WA si Q la NT si SA (precum la verificarea ınainte),

dar luam ın considerare si constrangerea dintre NT si SA pentru a detecta inconsistenta.

Evident, dorim sa facem o asemenea propagare de constrangeri cu efort computational

cat mai mic.

Consistenta arcului este o metoda rapida de propagare a constrangerilor care este mult

mai puternica decat verificarea ınainte. Un arc se refera la o legatura directionata de la

o variabila la alta. Date fiind doua variabile X si Y cu domeniile de valori aferente, un

arc de la X la Y este consistent daca pentru orice valoare din domeniul lui X avem ca

exista macar o valoarea compatibila (consistenta) ın domeniul lui Y . De exemplu, pentru

a treia linie din tabelul 4.1 se observa ca domeniul pentru SA este {albastru}, iar pentru

NSW este {rosu, albastru}. Pentru SA = albastru avem o asignarea consistenta a lui

NSW si anume NSW = rosu. Invers, ınsa, nu este adevarat: pentru NSW = albastru


nu avem nici o valoare potrivita ce poate fi asignata lui SA. Arcul (NSW,SA) poate fi

facut consistent prin eliminarea lui albastru din domeniul de valori al lui NSW .

Acelasi proces se poate aplica si perechii de variabile SA si NT (ele fiind legate printr-o

restrictie): tot din linia 3 a tabelului 4.1 se observa ca amandoua variabilele au domeniul

{albastru}, si deci actionarea pentru a mentine consistenta oricarui arc (de la SA la NT

sau invers) duce la domeniu de valori vid pentru una din variabile. Se va produce deci

un pas ınapoi, datorita detectarii devreme a imposibilitatii de continuare. Consistenta

arcului “vede mai departe” decat propagarea ınainte.

Procesul de verificare a consistentei arcelor trebuie aplicat ın mod repetat pana cand

nu mai exista inconsistente. Acest proces se poate face ınainte de ınceperea cautarii

sau dupa fiecare asignare de valoare. Ori de cate ori se face stergerea unei valori din

domeniul unei variabile X, trebuie verificate toate arcele de la variabile Y la X. Algoritmul

consistentei arcelor AC-3 este dat ın figura 4.5 si foloseste o coada care mentine arcele

ce trebuie sa fie verificate din punct de vedere al consistentei. Fiecare arc (Xi, Xj) este

cercetat pe rand pentru consistenta. Daca se sterge vreo valoare din domeniul lui Xi,

atunci toate arcele de forma (Xk, Xi) ce indica spre variabila Xi sunt adaugate la coada.

Complexitatea este O(n2d3) [1]; beneficiile obtinute prin folosirea acestei strategii acopera

efortul computational. Tot ın [1] se explica de ce consistenta arcelor nu determina toate

inconsistentele.

Se pot efectua verificari de k-consistente, ın care pentru orice set de k − 1 variabile

care au o asignare consistenta, o oricare a k-a variabila poate sa primeasca o valoare

consistenta (pentru k = 2 avem obtinem chiar consistenta arcelor). Totusi, cu cat k este

mai mare cu atat verificarile sunt mai complexe.

4.3 Cautare locala pentru PSC

Algoritmii de cautare locala se dovedesc a fi foarte eficienti ın rezolvarea multor PSC.

Ei pornesc de la o asignare pentru toate variabilele iar functia succesor modifica valoarea

unei variabile la fiecare pas.

Cea mai evidenta euristica pentru selectarea valorii undei variabile este alegerea unei

valori care produce numarul minim de conflicte cu alte variabile — euristica conflicte-

minime. Algoritmul este dat ın figura 4.6.

Euristica este extrem de productiva pentru problema celor n regine; daca se face

abstractie de timpul cerut pentru pozitionarea initiala a reginelor, atunci timpul de rulare

este relativ independent de dimensiunea problemei. De exemplu, poate rezolva problema

pentru 1 milion de regine in 50 de pasi. Trebuie spus ınsa ca aceasta problema are

multimea solutiilor densa ın multimea starilor, deci o solutie este usor de gasit. Strategia

4.3. CAUTARE LOCALA PENTRU PSC 61

Figura 4.5: Algoritmul AC-3 pentru consistenta arcelor. Dupa aplicarea lui fiecare arc

este consistent sau exista variabile al caror domeniu este gol (si ın acest ultim caz PSC

nu poate fi rezolvata).

Figura 4.6: Algoritmul corespunzator euristicii conflicte-minime. Functia conflicte conto-

rizeaza numarul de constrangeri ıncalcate de o valoare particulara.


Problema Backtracking BT+MVR Verificare ınainte VI+MVR Conflicte-minime

SUA (> 1000K) (> 1000K) 2K 60 64

n-regine (> 40000K) 13500K (> 40000K) 817K 4K

Zebra 3859K 1K 35K 0.5K 2K

Random 1 415K 3K 26K 2K

Random 2 942K 27K 77K 15K

Tabela 4.2: Comparatie pentru diferitele variante de backtracking pentru probleme de

satisfacere a constrangerilor. K este abreviere pentru kilo; “Backtracking” se refera la ba-

cktracking clasic, “BT+MVR” este folosirea euristicii valorii minime ramase; “VI+MVR”

se refera la verificare ınainte + strategia valorilor minime ramase; “Conflicte-minime” este

algoritmul din sectiunea 4.3. Numerele din paranteza arata ca nu s-a putut determina o

solutie ın timpul alocat pentru rulare.

functioneaza bine si pentru probleme “grele”: de exemplu, planificarea operatiilor din

decursul unei saptamani pentru telescopul Hubble a fost redusa la 10 minute, de la 3

saptamani.

Un alt avantaj al cautarii locale este ca permite catarea unei solutii atunci cand o parte

din restrictii se schimba “pe loc”. De exemplu, pentru o problema de planificare a zbo-

rurilor, daca un aeroport devine indisponibil (accidente, conditii meteo) atunci restrictia

corespunzatoare poate fi usor introdusa si plecand de la o planificare precedenta se poate

obtine una adecvata pentru situatia actuala ın timp foarte scurt.

Tabelul 4.2 contine o comparatie a performantelor diferitelor variante de backtrac-

king pentru un set de probleme. Compararea se face pe baza numarului de verificari de

consistenta. Prima problema este gasirea unei colorari adecvate a hartii SUA pentru 50

de state si 4 culori. A doua problema se refera la reolvarea problemei celor n regine,

pentru n ∈ [2, 50]. A treia problema este jocul “Puzzle Zebra” [1]. Ultimele doua sunt

probleme artificiale alese aleator. Rezultatele sugereaza ca verificarea ınainte ımpreuna

cu MVR este mai buna decat orice alta strategie backtracking, dar nu ıntotdeauna mai

buna decat cautarea locala cu conflicte minime.

4.4 Structura problemei

Vom examina modul ın care structura problemei poate fi de ajutor pentru gasirea ra-

pida a unei solutii. Un caz simplu este acela ın care problema este compusa din mai multe

subprobleme care se pot rezolva independent; de exemplu, pentru problema colorarii hartii

Australiei, Tasmania este o subproblema care poate fi rezolvata separat. Reducerile de

complexitate pot fi mari, iar timpii de rulare obtinuti sunt acceptabili. Singura problema

4.4. STRUCTURA PROBLEMEI 63

este ca o asemenea situatie este rar ıntalnita.

Un alt caz simplu de rezolvat este acela ın care graful constrangerilor formeaza un

arbore. Se poate arata ca:

Teorema 3 Daca graful de constrangeri nu are cicluri, atunci PSC poate fi rezolvata cu

complexitatea O(n · d2).

Sporul de performanta este evident prin comparatie cu performanta generala a algorit-

mului backtracking, O(dn).

In acest punct ne putem pune problema cum anume reducem o problema la una care

are graful structurat ca un arbore. Exista doua metode: una se bazeaza pe eliminarea

unor variabile, cealalta pe crearea de grupari de noduri.

Prima varianta functioneaza astfel: se determina un set de noduri prin a carui elimi-

nare se ajunge la un graf de tip arbore; de exemplu, pentru graful din figura 4.2 daca se

elimina nodul corespunzator variabilei SA, atunci graful obtinut este cel din figura 4.7,

pentru care teorema de mai sus ne asigura de existenta unui comportament foarte bun.

Eliminarea nodului se face prin asignarea unei valori din domeniul asociat si stergerea

valorilor incompatibile din domeniile variabilelor care sunt unite prin restrictie cu nodul

eliminat. Desigur, valoarea aleasa pentru SA poate sa duca la imposibilitatea de re-

zolva problema, dar aceste valori pot fi ıncercate pe rand (conform principiului general al

metodei backtracking).

Schitat, algoritmul arata astfel:

1. alege un subset S din V ariabile[PSC] astfel ıncat graful sa devina un arbore dupa

eliminarea nodurilor din S si a arcelor corespunzatoare. S se va numi set de eliminare

a ciclurilor.

2. Pentru fiecare asignare posibila pentru variabilele din S care satisfac constrangerile

PSC:

(a) elimina din domeniul variabilelor ramase valorile care sunt inconsistente cu

asignarile pentru S

(b) daca PSC ramasa are o solutie, returneaz–o ımpreuna cu asignarile pentru S

Gasirea celui mai mic set de eliminare a ciclurilor este o problema NP-grea, dar exista

algoritmi eficienti pentru obtinerea unor aproximari. Daca acest set are dimensiunea c,

atunci complexitatea variantei de mai sus este O(dc · (n− c)d2).

A doua varianta porneste de la construirea unei descompuneri a grafului de con-

strangeri ıntr–un arbore format dintr-un set de probleme interconectate. Fiecare sub-

problema se rezolva independent, apoi solutiile rezultate sunt combinate. Figura 4.8


Victoria

WA

NTQ

NSW

V

T

Figura 4.7: Prin eliminarea variabilei SA, graful de constrangeri din figura 4.2 devine un

arbore, pentru care rezolvarea se face ın timp liniar.

Figura 4.8: O descompunere sub forma de arbore a grafului de constrangeri din figura 4.2

arata descompunerea problemei de colorare a hartii Australiei. Descompunerea trebuie

sa ındeplineasca urmatoarele trei conditii:

1. fiecare variabila din problema originala trebuie sa apara ın cel putin una din sub-

probleme;

2. daca doua variabile sunt conectate printr-o constrangere ın problema originala,

atunci ele trebuie sa apara ımpreuna ın cel putin una dintre subprobleme;

3. daca o variabila apare ın doua subprobleme din arbore, atunci ele trebuie sa apara

ın fiecare subproblema de-a lungul unei cai care conecteaza aceste subprobleme.

Fiecare din subprobleme se rezolva independent; daca una dintre ele nu are solutie,

4.4. STRUCTURA PROBLEMEI 65

atunci ıntreaga problema nu are solutie. Constrangerile care trebuie respectate se rezolva

prin interpretarea fiecarei subprobleme ca o variabila mai mare si aplicarea algoritmului

eficient de rezolvare pentru arbore. Constrangerile pentru acest graf arbore reprezinta

conditia ca subprobleme cu variabile comune sa aibe aceeasi valoare pentru variabilele

partajate.

Capitolul 5

Agenti logici

5.1 Motivatie

Capitolul introduce agentii bazati pe cunoastere. Conceptele care se discuta sunt

reprezentarea cunoasterii si procesele de rationare – preocupari centrale ale inteligentei

artificiale.

Spre deosebire de agentii care aplica metodele de cautare prezentate ın capitolele

anterioare, agentii logici beneficiaza de cunoastere exprimata ın cele mai variate forme,

combinand si recombinand informatia pentru a raspunde unor scopuri diverse. In plus,

cunoasterea si rationarea de asemenea joaca un rol crucial ın lucrul cu medii partial

observabile. Un agent bazat pe cunoastere poate sa produca noi cunostinte pe baza

cunostintelor generale si a perceptiilor ; de exemplu, un medic poate sa puna un diagnostic

unui pacient, plecand de la simptomele acestuia si cunostintele pe care i le-a asigurat

formarea medicala. Dar, desi simptomele sunt cunoscute, un medic nu cunoaste absolut

tot despre pacientul tratat – si de aici rezulta o alta caracteristica a agentilor logici:

necesitatea de a lucra cu observatiile partiale.

Un alt motiv pentru care se studiaza agentii bazati pe cunoastere este flexibilitatea

produselor rezultate. Astfel de agenti sunt ın stare sa accepte noi sarcini si sa castige

rapid noi competente prin ınvatare sau prin descoperire de noi informatii.

Principalul mod ın care se abordeaza agentii logici este bazat pe logica (propozitionala,

apoi de ordinul ıntai). Spectrul abordarilor curente este ınsa mult mai bogat, deoarece ın

lumea reala apar probleme legate de incertitudine, aici intervenind teoria probabilitatilor

si sistemele fuzzy, iar partea de ınvatare se abordeaza de regula prin teoria aferenta

domeniului ınvatarii automate - retele neuronale, arbori de decizie (vezi [5], [6]).

67

68 CAPITOLUL 5. AGENTI LOGICI

5.2 Agenti bazati pe cunoastere

Componenta centrala a unui agent este baza de cunostinte (BC), adica un set de

enunturi care fac parte din domeniul de lucru al agentului. Fiecare enunt este exprimat

ıntr–un limbaj numit limbaj de reprezentare a cunostintelor si reprezinta niste asertiuni

despre lume.

Mai este nevoie de un mecanism care sa adauge noi propozitii la BC si unul care sa

determine ce se cunoaste (sau ce anumte trebuie sa se faca la pasul curent). Numele

lor este Spune si Intreaba. Al doilea mecanism presupune inferente – metode prin care

pornind de la cunostinte se deduc altele.

Figura 5.1 contine o schita a unui program bazat pe cunoastere. El preia o perceptie

ca intrare si returneaza o actiune. Agentul mentine o BC care initial este formata din

cunostintele de baza si care se ımbogateste pe masura ce i se comunica perceptii sau

propozitii. Primul pas este de a comunica bazei de cunostinte ceea ce s-a perceput; la

pasul al doilea se ıntreaba ce ar trebui facut. La pasul al treilea i se comunica BC ca s-a

efectuat actiunea indicata la pasul anterior; aceasta a doua comunicare este utila pentru

a tine BC ancorata ın contextul curent.

Figura 5.1: Un agent generic ce actioneaza plecand de la o baza de cunostinte.

Creeaza-enunt-perceptie translateaza ın limbajul formal specific bazei de cunostinte

perceptia curenta; demn de remarcat este ca timpul apare si el ca o dimensiune a perceptiei.

Creeaza-interogare-actiune contruieste o propozitie care interogheaza BC ce actiune

ar trebuie sa se execute la momentul curent. In sfarsit, Creeaza-enunt-actiune con-

struieste un enunt care codifica faptul ca actiunea indicata a fost ındeplinita.

Initial, baza de cunostinte este construita printr-o succesiune de apeluri ale lui Spune,

prin care se comunica cunostinte generale si principii. Este un mod declarativ de definire a

unui domeniu, care mareste mult aria de aplicabilitate a acestor agenti. O alta modalitate

de ımbogatire a BC este prin ınvatare automata pe baza perceptiilor.

5.3. JOCUL "LUMEA MONSTRULUI 69

5.3 Jocul "lumea monstrului

Sectiunea contine o descriere a unui joc, folosita ca suport de exemplificare ın restul

capitolului. Se dau mai multe camere dispuse ıntr-o matrice; camerele comunica ıntre

ele; ıntr–o camera se gaseste un monstru care mananca pe oricine intra acolo (si jocul se

termina). In alte camere se afla gropi; daca se intra ıntr–o asemenea groapa, atunci jocul

se termina. Intr-o camera se afla aur; luarea lui determina sfarsitul jocului. Un personaj

ınarmat cu o sageata are posibilitatea de a se muta dintr-o camera ın alta ın cautarea

aurului.

Detaliile sunt:

• masura de performanta este data de suma valorilor atasate fiecarui eveniment: 1000

pentru preluarea aurului, -1000 pentru caderea ıntr–o groapa sau omorarea de catre

monstru, -10 pentru aruncarea sagetii si -1 pentru orice alta actiune;

• mediul: o matrice de camere de 4 pe 4. Agentul ıncepe ın camera din stanga jos,

de coordonate [1, 1], cu fata spre dreapta. Locatia camerelor cu aurul, gaurile si

monstrul sunt alese aleator, dar se garanteaza ca nu sunt ın locatia de pornire.

• actiuni: agentul poate sa se deplaseze ın directia ın care se afla cu fata, poate sa se

ıntoarca la stanga sau la dreapta cu 90◦. Personajul moare daca intra ın camera cu

monstrul viu. Daca exact ın fata lui este un zid, atunci ramane pe loc. Actiunea

“apuca” este folosita pentru preluarea aurului, daca se afla ın aceeasi camera cu el.

Actiunea “trage” se poate folosi pentru a lansa sageata ın directia ın care e orientat;

sageata zboara pana se izbeste fie de zid, fie de monstru.

• senzori: agentul are cinci senzori:

– ın patratul care contine monstrul si ın camerele vecine (dar nu pe diagonala)

se percepe miros;

– ın camerele vecine (dar nu pe diagonala) cu o camera care contine o groapa se

simte briza de aer;

– ın camera care contine aurul se percepe stralucire

– cand agentul se izbeste de un zid, se aude bufnitura

– cand monstrul este omorat, se aude tipat

Cele cinci perceptii determina un vector cu cinci elemente care se raporteaza ori de

cate ori agentul (personajul) intra ıntr–o camera.


Cunostintele date mai sus se introduc ıntr–o BC. De fiecare data cand agentul viziteaza

o camera se primeste vectorul de perceptii si se pot face deductii de tipul: e posibil ca ın

camera [2, 1] sa fie o groapa, sau sigur ın camera [3, 3] nu se afla monstru, deductii care

se adauga la BC (pentru a evita “redescoperirea rotii”).

5.4 Logica

Sectiunea prezenta contine generalitati despre reprezentari logice si rationament. De-

taliile sunt specifice logicilor concrete ce se studiaza (logica propozitiilor, logica predica-

telor, logica temporala, logica fuzzy).

Orice logica trebuie sa clarifice doua aspecte: sintaxa si semantica. Sintaxa reprezinta

o specificare a ceea ce este corect exprimat ın logica respectiva si se poate reprezenta sub

forma de diagrame sau propozitii folosind simboluri.

Semantica defineste ın general semnificatia unui enunt. In cadrul logicii ea permite

stabilirea unei valori de adevar pentru un enunt care este corect formulat din punct de

vedere sintactic. Mai mult, semantica trebuie sa specifice valoarea de adevar pentru fiecare

enunt fata de fiecare lume posibila; de exemplu, a > b este adevarata pentru a = 3 si

b = 2, dar falsa pentru a = b = 4.

O “lume posibila” (set de valori atasat variabilelor) se va numi de acum ınainte model

si vom spune ca m este un model al enuntului a daca a este adevarat ın lumea m.

Rationamentul logic (sau deductia, adica partea de interes major ıntr-o logica) repre-

zinta modul ın care se poate deduce un enunt dintr-un altul. Definitia formala a deductiei

este:

Definitia 10 Spunem ca din α se deduce β si notam α |= β daca ın orice model al

enuntului α avem ca si β este adevarat.

De exemplu, din propozitia a > b se poate deduce si b ≤ a, deoarece pentru orice

combinatie de numere a si b care fac prima propozitie adevarata si al doilea enunt este

adevarat. Pentru jocul cu lumea monstrului, sa presupunem ca agentul nu detecteaza

curent de aer ın pozitia [1, 1] si detecteaza curent de aer ın [2, 1]. Acestea ımpreuna cu

regulile jocului1 formeaza baza de cunostinte. Agentul este interesat daca ın [1, 2], [2, 2],

[3, 1] se afla gauri. Fiecare din camere poate sa contina sau nu gaura, deci ın total avem

8 modele posibile. Vom considera acele modele pentru care baza de cunostinte nu este

contrazisa; exista trei asemenea cazuri din cele 8 posibile si ın toate propozitia “nu exista

groapa ın [1, 2]” este adevarata, pe cand “nu exista groapa ın [2, 2]” si “nu exista groapa

1Pentru moment nu ne intereseaza cum anume se exprima formalizat aceste reguli, vom presupune ca

ele sunt reprezentate convenabil.

5.5. LOGICA PROPOZITIONALA 71

ın [3, 1]” nu sunt adevarate pentru toate cele trei cazuri; si negatiile lor sunt ın situatie

similara.

Aceasta metoda de verificare a posibilitatii de deducere se numeste algoritmul veri-

ficarii modelelor. Vom dezvolta mai multi algoritmi de dedutie; daca avem un astfel de

algoritm i, atunci vom scrie α |=i β si vom citi “β este dedus (sau derivat) din α prin i”

sau “i ıl deriveaza pe β din α”.

Un algoritm inferential se numeste temeinic2 daca obtine numai enunturi care sunt

derivabile din baza de cunostinte. Este evident ca algoritmul de verificare a modelelor

este temeinic.

O alta proprietate pentru un algoritm inferential este cea de completitudine – daca

poate sa deduca toate enunturile care sunt derivabile din baza de cunostinte. O examinare

sistematica ın cazul unei probleme ın care multimea de concluzii posibile este finita duce,

evident, la un algoritm complet; proprietatea este ınsa esentiala pentru problemele ın care

multimea concluziilor posibile este infinita.

5.5 Logica propozitionala

5.5.1 Sintaxa

Enunturile atomice din logica propozitionala3 sunt elemente sintactice indivizibile.

Fiecare simbol corespunde unei propozitii care poate sa fie adevarata sau falsa. Exista

doua simboluri propozitionale cu semnificatii fixate: Adevarat este propozitia tot timpul

adevaratasi Fals este propozitia tot timpul falsa.

Enunturile complexe sunt compuse din propozitii simple folosind conectorii logici. Cei

cinci conectori sunt:

1. ¬ (non) — o propozitie precum ¬A este negarea lui A. Un literal este fie un enunt

atomic (literal pozitiv), fie negarea a unuia (literal negativ).

2. ∧ (si) — o propozitie formata din doua propozitii legate prin ∧ precum A ∧ B se

numeste conjunctie; A ∧B se citeste “A si B”

3. ∨ (sau) — o propozitie ce foloseste ∨, precum A ∨B, se numeste disjunctie; A ∨B

se citeste “A sau B”

4. ⇒ (implica) — o propozitie precum A ⇒ B se numeste implicatie. Premisa sau

antecedentul implicatiei este A, iar concluzia sau consecventul este B. A ⇒ B se

citeste “A implica B” sau “daca A atunci B”.

2In limba engleza, ın original: sound.3Numita si logica booleana


5. ⇔ (echivalent, daca si numai daca) — propozitia A⇔ B se mai numeste biconditionala

si se citeste “A daca si numai daca B” sau “A este echivalent cu B”.

Tabelul 5.1 da sintaxa folosita ın logica propozitionala ın forma BNF (Backus-Naur

Form).

Enunt → Enunt atomic | Enunt complex

Enunt atomic → Adevarat | Fals | simbol

Simbol → P | Q | R | . . .

Enunt complex → ¬ (Enunt)

| (Enunt ∧ Enunt)

| (Enunt ∨ Enunt)

| (Enunt ⇒ Enunt)

| (Enunt ⇔ Enunt)

Tabela 5.1: Gramatica BNF pentru enunturile din logica propozitionala.

Parantezele sunt importante: fiecare propozitie care este construita cu conector binar

este ıncadrata ıntre paranteze. Uneori acestea se pot omite, dar numai daca nu duc

la ambiguitati. Suplimentar, se defineste si prioritatea operatorilor; acestia, ın ordinea

precedentei sunt: ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔. Astfel, A⇒ ¬B ∨ C este totuna cu (A⇒ (¬B ∨ C)).

Suplimentar, semantica ne poate permitem sa scriem A∧B∧C deoarece ((A∧B)∧C)

are ıntotdeauna aceeasi valoare de adevar ca si (A∧(B∧C)), dar arata ca este ambiguitate

pentru expresia A⇒ B ⇒ C.

5.5.2 Semantica

Semantica defineste reguli pentru determinarea valorii de adevar a propozitiilor relativ

la un model concret. In logica propozitionala un model reprezinta valorile de adevar ale

simbolurilor propozitionale. De exemplu, daca avem propozitiile P1,2, P2,2, P3,1, atunci

un model posibil este m = {P1,2 = fals, P2,2 = adevarat, P3,1 = adevarat}.

Calculul valorii de adevar se face recursiv, deoarece orice propozitie este alcatuita din

propozitii atomice si conectori. Pentru ınceput, trebuie sa se determine valoarea de adevar

a unei propozitii atomice:

• Adevarat are valoarea de adevar “adevarat” pentru orice model; Fals are valoarea

de adevar “fals” pentru orice model;

• valoarea de adevar a unei unui simbol propozitional trebuie sa rezulte din modelul

curent.

5.5. LOGICA PROPOZITIONALA 73

Pentru propozitiile compuse se foloseste tabela de adevar (data ın tabelul 5.2) care

arata cum se calculeaza valoarea propozitiei plecand de la elementele care o formeaza.

Pe baza celor de mai sus se poate scrie o functie (Este-Adevarat) care stabileste daca

valoarea de adevar a unei expresii s, plecand de la un model dat m este adevarat.

p q ¬p p ∧ q p ∨ q p⇒ q p⇔ q

adevarat adevarat fals adevarat adevarat adevarat adevarat

adevarat fals fals fals adevarat fals fals

fals adevarat adevarat fals adevarat adevarat fals

fals fals adevarat fals fals adevarat adevarat

Tabela 5.2: Tabela de adevar pentru logica propozitionala.

S-a spus anterior ca o baza de cunostinte este o multime de enunturi. Dat fiind modul

de calcul al valorii de adevar pentru o conjunctie, se poate spune ca o BC de forma α1,

. . . , αn se poate scrie ca: α1 ∧ . . . ∧ αn.

5.5.3 Exemplu: lumea monstrului ın logica propozitionala

Pentru fiecare pereche de indici (i, j) corespunzand unei camere, vom seta Pi,j =adevarat

daca si numai daca ın camera de coordonate (i, j) este o groapa si Bi,j va fi adevarata

daca si numai daca se simte curent de aer ın aceeasi camera. Conform regulilor jocului

din sectiunea 5.3, avem ca:

• nu exista nici o groapa in camera din care ıncepe jocul, deci avem regula R1 : ¬P1,1

• ıntr–o camera se simte curent de aer numai daca ın vecinatatea ei se afla o groapa;

deci avem:

R2 : B1,1 ⇔ (P1,2 ∨ P2,1)

si

R3 : B2,1 ⇔ (P1,1 ∨ P2,2 ∨ P3,1)

• introducem perceptiile: nu se simte curent de aer ın prima camera (deci R4 : ¬B1,1)

si se simte curent ın camera (2, 1) (deci R5 : B2,1).

Baza de cunostinte este R1 ∧R2 ∧R3 ∧R4 ∧R5.

5.5.4 Inferenta

Scopul unei inferente este de a detemina daca BC |= α, pentru un α dat. Primul

algoritm pe care ıl dam se bazeaza pe implementarea directa a definitiei 10: se enumera


Figura 5.2: Algoritm de deductie bazat pe construirea tabelei de adevar.

toate modelele si se verifica daca α este adevarata ın toate modelele ın care BC este

adevarata. Pentru logica propozitionala, multimea tuturor modelelor se obtine dand

toate combinatiile de valori de adevar pentru simbolurile propozitionale. In cazul nostru

avem simbolurile B1,1, B2,1, P1,1, P1,2, P2,1, P2,2 si P3,1. Sunt deci 27 = 128 de modele;

se poate verifica faptul ca pentru trei dintre ele BC este adevarata; ın aceste trei modele

¬P1,2 este adevarata, deci nu este groapa ın camera de coordonate (1, 2). Mai departe,

P2,2 este adevarata doar ın doua din cele trei modele, deci nu putem deduce nici P2,2 nici

¬P2,2.

Figura 5.2 contine un algoritm general pentru a determina daca se poate deduce α din

BC. Este o cautare de tip backtracking; algoritmul este temeinic, deoarece implementeaza

direct definitia; este de asemenea si complet deoarece se termina pentru orice baza de

cunostinte si α, numarul de modele fiind finit.

Complexitatea algoritmului este dictata de n, numarul de simboluri. Complexitatea

ın timp este O(2n) iar cea ın spatiu este O(n), deoarece avem o cautare de tipul “mai

ıntai ın adancime”. Vom prezenta algoritmi care ın practica sunt mult mai eficienti, dar

pentru toti algoritmii inferentiali cunoscuti exista un cel mai defavorabil caz care duce la

complexitate de timp exponentiala.

5.5.5 Echivalenta, validitate si satisfiabilitate

Conceptele urmatoare sunt folosite ın alti algoritmi care urmeaza a fi prezentati.

Primul concept este legat de echivalenta logica, notata cu simbolul ≡. Doua propozitii

α si β sunt echivalente daca sunt adevarate ın aceleasi modele. Se poate vedea de exemplu

ca P ∧Q este echivalenta cu Q ∧ P (se verifica pe tabela de adevar).

5.6. TIPARE DE RATIONAMENT IN LOGICA PROPOZITIONALA 75

O definitie alternativa a echivalentei este: α ≡ β daca si numai daca α |= β si β |= α.

Tabelul 5.3 contine echivalentele logice standard.

(α ∧ β) ≡ (β ∧ α) comutativitatea lui ∧

(α ∨ β) ≡ (β ∨ α) comutativitatea lui ∨

((α ∧ β) ∧ γ) ≡ (α ∧ (β ∧ γ)) asociativitatea lui ∧

((α ∨ β) ∨ γ) ≡ (α ∨ (β ∨ γ)) asociativitatea lui ∨

¬(¬α) ≡ α eliminarea dublei negatii

(α⇒ β) ≡ (¬β ⇒ ¬α) contrapozitie

(α⇒ β) ≡ (¬α ∨ β) eliminarea implicatiei

(α⇔ β) ≡ ((α⇒ β) ∧ (β ⇒ α)) eliminarea biconditionala

¬(α ∧ β) ≡ (¬α ∨ ¬β) de Morgan

¬(α ∨ β) ≡ (¬α ∧ ¬β) de Morgan

(α ∧ (β ∨ γ)) ≡ ((α ∧ β) ∨ (α ∧ γ)) distributivitatea lui ∧ asupra lui ∨

(α ∨ (β ∧ γ)) ≡ ((α ∨ β) ∧ (α ∨ γ)) distributivitatea lui ∨ asupra lui ∧

Tabela 5.3: Echivalente logice standard.

Al doilea concept este validitatea. O propozitie este valida daca este adevarata ın orice

model4. Conceptul este util pentru urmatoare teorema de deductie:

Teorema 4 Pentru orice propozitii α si β, avem ca α |= β daca si numai daca propozitia

α⇒ β este valida.

Ultimul concept este satisfiabilitatea. O propozitie este satisfiabila daca si numai daca

este adevarata ın cel putin un model. Daca α este adevarata ıntr–un model m, atunci

spunem ca m satisface α, sau ca m este un model al lui α.

A verifica daca β se poate deduce din α (adica daca α⇒ β) este echivalent cu a vedea

daca α∧¬β este nesatisfiabila - de fapt regasim procedeul demonstratiei prin reducere la

absurd.

5.6 Tipare de rationament ın logica propozitionala

Prezentam tiparele standard care pot fi aplicate pentru a deriva noi propozitii; aceste

tipare se mai numesc si reguli de inferenta.

Cea mai cunoscuta regula se numeste Modus Ponens si are forma:

α⇒ β, α

β

4O astfel de propozitie se mai numeste si tautologie.


adica: daca din α se poate deduce β si stim ca α este adevarata, atunci si β este adevarata.

Alta regula este eliminarea lui si care spune ca dintr–o conjunctie oricare din termeni

poate sa fie dedus:α ∧ β

α

De asemenea, oricare din echivalentele din tabelul 5.3 pot fi folosite ca reguli de

inferenta; de exemplu echivalenta pentru eliminarea biconditionala duce la doua reguli

de inferenta:α⇔ β

(α⇒ β) ∧ (β ⇒ α)si

(α⇒ β) ∧ (β ⇒ α)

α⇔ β

Exemplificam utilizarea regulilor de inferenta si a echivalentelor ın lumea monstrului.

Continuam lista prezentata ın sectiunea 5.5.3. Aplicand eliminarea biconditionala pentru

R2 obtinem:

R6 : (B1,1 ⇒ (P1,2 ∨ P2,1)) ∧ ((P1,2 ∨ P2,1)⇒ B1,1)

Se aplica eliminarea lui si pentru R6 si se ajunge la:

R7 : ((P1,2 ∨ P2,1)⇒ B1,1)

Echivalenta logica pentru contrapozitie da:

R8 : (¬B1,1 ⇒ ¬(P1,2 ∨ P2,1))

Se aplica regula Modus Ponens pentru R8 si faptul dat ın R4, obtinandu–se:

R9 ¬(P1,2 ∨ P2,1)

Din regula lui de Morgan se obtine:

R10 : ¬P1,2 ∧ ¬P2,1

sau altfel zis, nici camera [1, 2] si nici [2, 1] nu contin groapa.

Derivarea precedenta se numeste demonstratie si se bazeaza pe aplicarea unor reguli

de inferenta. Oricare din algoritmii de cautare din capitolele 2 si 3 poate fi folosit pentru

gasirea unei demonstratii, folosind ca stare initiala baza de cunostinte iar pas urmator

oricare din regulile de inferenta.

Deoarece inferenta ın logica propozitionala este NP-completa, s-ar putea spune ca o

cautare de demonstratie nu poate sa fie mai eficienta decat enumerarea modelelor. In prac-

tica ınsa, gasirea unei demonstratii este mult mai eficienta, deoarece se evita propozitiile

irelevante, indiferent de cate sunt. De exemplu, ın demonstratia anterioara nu s–a facut

referire la propozitiile care contin simbolurile B2,1 sau P3,1.

5.6. TIPARE DE RATIONAMENT IN LOGICA PROPOZITIONALA 77

5.6.1 Rezolutia

In mod evident, regulile de inferenta expuse anterior sunt temeinice; nu este ınsa evi-

dent daca sunt si complete, adica daca ele permit deducerea a orice poate fi demonstrat

pornind de la o baza de cunostinte. Aplicarea unui algoritm de cautare care este complet

avand drept pasi urmatori regulile de inferenta nu garanteaza obtinerea unui mecanism

inferential complet. De exemplu, daca regula eliminarii biconditionale nu ar fi fost pre-

zenta, atunci concluzia din demonstratia anterioara nu s–ar fi putut dovedi.

Introducem o singura regula de inferenta, numita rezolutie care produce un algoritm

de inferenta complet, daca este folosit ın conjunctie cu un algoritm de cautare complet.

Pentru lumea monstrului adaugam urmatoarele fapte la baza de cunostinte:

R11 : ¬B1,2

si

R12 : B1,2 ⇔ (P1,2 ∨ P2,2 ∨ P1,3)

Printr-o demonstratie asemanatoare cu cea de mai sus, avem ca:

R13 : ¬P2,2

R14 : ¬P1,3

Se aplica eliminarea biconditionala la R3, apoi Modus Ponens cu R5 si se obtine:

R15 : P1,1 ∨ P2,2 ∨ P3,1

Se observa ca literalul ¬P2,2 din R13 se reduce cu literalul P2,2 din R15 si obtinem:

R16 : P1,1 ∨ P3,1

Putem, de asemenea, sa reducem ¬P1,1 din R1 cu P1,1 din R15 si obtinem:

R17 : P3,1

Aceste reduceri exprima regula rezolutiei unitate, care se scrie formalizat astfel:

l1 ∨ · · · ∨ lk, m

l1 ∨ · · · li−1 ∨ li+1 ∨ · · · ∨ lk

unde fiecare l este un literal iar li si m sunt literali complementari (unul este negarea

celuilalt). Deci regula rezolutiei unitate preia o clauza (o disjunctie de literali) si un

literal si produce o noua clauza.

Regula de mai sus admite o generalizare imediata:

l1 ∨ · · · ∨ lk, m1 ∨ · · · ∨mn

l1 ∨ · · · li−1 ∨ li+1 ∨ · · · ∨ lk ∨m1 ∨ · · · ∨mj−1 ∨mj+1 ∨ · · · ∨mn


adica se pleaca de la doua clauze si se ajunge la una noua ın care avem toti literalii clauzelor

initiale, mai putin cei doi termeni care sunt complementari. Desigur, se presupune ca se

aplica si factorizare, adica o expresie de forma A ∨ A ∨ · · · este redusa la A ∨ · · ·.

Este usor de vazut ca regula de rezolutie este temeinica: daca li este adevarata, atunci

mj este falsa si deci m1 ∨ · · · ∨mj−1 ∨mj+1 ∨ · · · ∨mn trebuie sa fie adevarata; analog,

daca li este falsa, atunci l1 ∨ · · · li−1 ∨ li+1 ∨ · · · ∨ lk este adevarata. Deoarece li este ori

adevarata, ori falsa, obtinem ca una din cele doua concluzii are loc, deci si disjunctia lor

este adevarata; aceasta din urma disjunctie este exact concluzia regulii.

Se poate arata, de asemenea, ca orice algoritm complet de cautare care aplica doar

regula de rezolutie poate sa demonstreze orice concluzie care se poate demonstra plecand

de la o baza de cunostinte ın logica propozitionala.

Exista totusi un aspect practic care trebuie mentionat: daca se da de exemplu propozitia

A adevarata, metoda rezolutiei nu poate sa deduca automat ca si A ∨ B este adevarata.

Mai general, rezolutia poate fi folosita pentru a confirma sau infirma orice propozitie, dar

nu poate sa genereze singura toate propozitiile care pot fi deduse pornind de la baza de

cunostinte.

5.7 Forma normala conjunctiva

Regula de rezolutie se aplica numai disjunctiilor de literali, deci s-ar parea ca se aplica

doar bazelor de cunostinte si interogarilor care constau din asemenea forme. Se poate arata

ca orice expresie din logica propozitionala poate fi rescrisa sub forma unei conjunctii de

disjuntii, asa numita forma normala conjunctiva (FNC).

De exemplu, pentru propozitia: B1,1 ⇔ (P1,2 ∨ P2,1) se obtine FNC echivalenta prin

pasii:

1. Se aplica eliminarea biconditionala:

(B1,1 ⇒ (P1,2 ∨ P2,1)) ∧ ((P1,2 ∨ P2,1)⇒ B1,1)

2. Se elimina ⇒, prin α⇒ β ≡ ¬α ∨ β

(¬B1,1 ∨ P1,2 ∨ P2,1) ∧ (¬(P1,2 ∨ P2,1) ∨B1,1)

3. Aplicand legea lui de Morgan pentru ¬(α ∨ β) ≡ (¬α ∧ ¬β) obtinem:

(¬B1,1 ∨ P1,2 ∨ P2,1) ∧ ((¬P1,2 ∧ ¬P2,1) ∨B1,1)

4. Aplicam distributivitatea lui ∨ asupra lui ∧ si obtinem FNC:

(¬B1,1 ∨ P1,2 ∨ P2,1) ∧ (¬P1,2 ∨B1,1) ∧ (¬P2,1 ∨B1,1)

5.8. ALGORITMUL DE REZOLUTIE 79

Figura 5.3: Algoritm de rezolutie pentru logica propozitionala. Functia LP-Rezolva

returneaza setul de clauze care se obtine prin combinarea celor doua intrari.

5.8 Algoritmul de rezolutie

Procedurile de inferenta bazate pe rezolutie lucreaza pe principiul reducerii la absurd,

adica pentru a arata ca BC |= α, aratam ca (BC ∧ ¬α) este nesatisfiabila.

Algoritmul este aratat ın figura 5.3. Primul pas este de a converti BC ∧ ¬α ın FNC.

Apoi, pentru fiecare pereche care contine literali complementari se produce o noua clauza,

care este adaugata la setul de clauze, daca nu este deja prezenta. Procesul se repeta pana

cand se ıntampla una din:

1. nu exista noi clauze care sa fie adaugate la setul de clauze; ın acest caz din BC nu

se poate deduce α;

2. doua clauze produc clauza vida, caz ın care din BC se poate deduce α.

Clauza vida este echivalenta cu Fals, deoarece o clauza este adevarata daca si numai

daca cel putin un termen al ei este adevarat; nefiind cazul, ınseamna ca FNC data de

BC ∧ ¬α evolueaza la un enunt care contine conjunctie cu Fals, deci valoarea de adevar

este fals. Din principiul reducerii la absurd avem ca BC |= α.

O aplicare partiala a algoritmului de rezolutie pentru BC = R2 ∧R4 si α = ¬P1,2 este

data ın figura 5.4. Tot din figura observam ca obtinem, de exemplu, ¬B1,1 ∨ P1,2 ∨ B1,1

care se reduce la Adevarat∨P1,2 care se evalueaza la Adevarat. Nu este utila o asemenea

clauza, deoarece este cuprinsa ıntr–o conjunctie, iar conform tabelei de adevar 5.2 avem

ca Adevarat ∧X este echivalent cu X, pentru orice expresie X.


Figura 5.4: Aplicare partiala a algoritmului pentru BC = R2 ∧R4 si α = ¬P1,2. Se arata

evolutia pana ın momentul obtinerii clauzei vide.

Se defineste ınchiderea rezolutiva a unei propozitii aflate ın FNC ca fiind setul tuturor

clauzelor care se obtin din aplicarea repetata a regulii de rezolutie peste propozitie sau

clauze derivate din ea. Acesta multime este finita, deoarece numarul de combinatii ın

disjunctii al unui set finit de simboluri este finit (se aplica si factorizarea).

Completitudinea este data de teorema:

Teorema 5 (Teorema de rezolutie, [1]) Daca un set de clauze este nesatisfiabil, atunci

ınchiderea rezolutiva a acestor clauze contine clauza vida.

5.9 Inlantuirea ınainte si ınapoi

De multe ori, bazele de cunostinte din lumea reala contin clauze ıntr–o forma parti-

culara numita clauza Horn. O clauza Horn este o disjunctie de literali ın care cel mult un

literal are forma pozitiva. De exemplu, ¬A ∨ ¬B ∨ C.

Restrictia poate parea cam dura, dar:

1. Fiecare clauza Horn poate fi scrisa ca o implicatie a carei premisa este o conjunctie cu

literali pozitivi si drept concluzie un singur literal pozitiv. De exemplu, ¬A∨¬B∨C

este echivalenta cu A ∧ B ⇒ C – am aplicat eliminarea implicatiei si regula lui de

Morsgan. Aceasta din urma forma este naturala, motiv pentru care clauzele Horn

se regasesc atat de usor ın bazele de cunostinte. Ele sunt element fundamental al

domeniului numit Programare logica.

Daca o clauza Horn nu contine nici un literal pozitiv (de exemplu: ¬A∨¬B), atunci

se poate scrie echivalent ¬A ∨ ¬B ∨ Fals si apoi ca A ∧B ⇒ Fals.

2. Inferentele cu clauze Horn pot fi facute cu doi algoritmi de de inferenta care apar

ca naturali, ınlantuirea ınainte si ınlantuirea ınapoi.

3. Algoritmii de deductie care folosesc clauze Horn sunt liniari ın dimensiunea BC.

Algoritmul de ınlantuire ınainte LP-InlantuireInainte(BC, q) determina daca un

simbol propozitional q poate fi dedus din baza de cunostinte aflate ın forma Horn. Daca

5.9. INLANTUIREA INAINTE SI INAPOI 81

premisele unei implicatii sunt cunoscute ca adevarate, atunci concluzia implicatiei este

adevarata si este adaugata la baza de cunostinte. Procedeul se repeta pana cand fie se

deduce q, fie nu se mai poate adaunga niciun simbol propozitional nou la BC. Algoritmul

este dat ın figura 5.5.

Figura 5.5: Algoritmul de ınlantuire ınainte.

Cel mai bun mod de ıntelegere a algoritmului de ınlantuire ınainte este pe baza unui

exemplu. Sa presupunem ca avem baza de cunostinte exprimata sub forma de clauze

Horn:

P ⇒ Q

L ∧M ⇒ P

B ∧ L⇒M

A ∧ P ⇒ L

A ∧B ⇒ L

A

B


Acestei baze de cunostinte i se poate asocia un graf de tipul si—sau, construit astfel:

nodurile lui sunt simbolurile propozitionale, arcele de graf unite reprezinta operatorul

∧, ın timp ce arcele neunite corespund disjunctiei. Figura 5.6 reprezinta graful si—sau

asociat bazei de cunostinte date, ımpreuna cu evolutia cunostintelor. In dreptul fiecarui

arc de jonctiune de arce se afla numarul de premise care mai trebuie mai demonstrate

pentru a se putea deduce concluzia aflata la capatul arcului.

Se poate vedea ca ınlantuirea ınainte este temeinica, deoarece reprezinta aplicarea

repetata a regulii Modus Ponens. Este de asemenea si un algoritm complet (a se vedea

[1]).

Inlantuirea ınainte este un exemplu de rationament codus de date, adica al unui

rationament ın care demonstrarea unei concluzii se face pornind dinspre ipoteze. Spre

deosebire de regula rezolutiei, poate fi folosita pentru a genera o lista de concluzii care

pot fi deduse plecand de la o baza de cunostinte.

Inlantuirea ınapoi porneste dinspre interogare spre baza de cunostinte. Daca se cere

a se demonstra ca Q este adevarata, se verifica prima data daca se stie deja valoarea de

adevar a lui Q; daca nu se cunoaste, atunci se gasesc toate implicatiile care ıl produc pe

Q. Daca se poate demonstra ca premisele unei astfel de implicatii sunt toate adevarate,

atunci si Q este adevarata. Procesul de rationament este unul directionat de scop. O

ilustrare a procesului este data ın figura 5.8.

De multe ori, costul unei ınlantuiri ınapoi este mult mai mic decat dimensiunea bazei

de cunostinte (desi o implementare eficienta are costul liniar, ın cel mai defavorabil caz).

5.10 Inferenta propozitionala efectiva

Descriem aici doua variante de algoritmi eficienti pentru inferenta propozitionala ba-

zate pe verificarea de modele: unul este bazat pe cautare backtracking, altul pleaca de la

cautare prin metoda ascensiunii.

Ambele metode verifica satisfiabilitatea, adica determinarea unui model (valori pentru

variabile) astfel ıncat sa se verifice o anumita valoare de adevar. Atat backtracking cat si

cautarea locala rezolva aceste probleme, dar primul este un algoritm determinist, exact,

pe cand al doilea poate sa duca la rezultate incorecte.

5.10.1 Algoritm bazat pe backtracking

Algoritmul, datorat lui Davis si Putnam pleaca de la o propozitie ın forma normala

conjunctiva. Precum cautarea backtracking (sectiunea 4.2) si metoda TA-deductie (figura

5.2), este o enumerare a modelelor, dar cu urmatoarele ımbunatatiri:

5.10. INFERENTA PROPOZITIONALA EFECTIVA 83

Q

P

M

L

BA

2 2

2

2

1

(a) Aplicarea premisei A.

Q

P

M

L

B

2

1

A

1 1

2

(b) Numarul de premise care

mai trebuie demonstrate pen-

tru dovedirea lui L devine 1. Se

aplica premisa B.

Q

P

M

2

1

A

1

B

0

1L

(c) Numarul de premise care


tru dovedirea lui L devine 0, iar

pentru M scade la 1. Se aplica

premisa L.

Q

P

M

1

A

1

B

0

L0

1

(d) Numarul de premise care


tru dovedirea lui M devine 0.

Se aplica premisa M .

Figura 5.6: Exemplificarea algoritmului de ınlantuire ınainte.


Q

1

A

1

B

0

L0

M

0

P

(a) Numarul de premise care


tru dovedirea lui P devine 0. Se

aplica premisa P .

Q

A B

0

L0

M

0

P

0

0

(b) Numarul de premise care


tru dovedirea lui Q devine 0, la

fel ca si pentru dovedirea lui L

folosind conjuntia (dar despre

L se stie deja ca poate fi de-

monstrat). Astfel, s–a demon-

strat concluzia Q.

Figura 5.7: Exemplificarea algoritmului de ınlantuire ınainte (continuare).

• terminare rapida: algoritmul detecteaza daca o propozitie este adevarata sau falsa,

chiar daca modelul este partial completat. O clauza este adevarata daca un literal

este adevarat, chiar daca ceilalti literali nu au valoare de adevar fixata. Similar, o

conjuntie de clauze este falsa daca o clauza este falsa, indiferent de valorile celorlalte

clauze.

• Euristica simbolurilor pure: un simbol este pur daca apare cu acelasi semn ın fiecare

clauza. Este usor de vazut ca daca o propozitie are un model, atunci acesta are

proprietatea ca simbolul pur are valoarea adevarat.

• Strategia clauzei unitate: o clauza unitate este o clauza cu un singur literal. In

contextul algoritmului, ınseamna si o clauza unde toti literalii, mai putin unul, au

valoare fals. Strategia clauzei unitate asigneaza valori unor asemenea simboluri

ınainte de a se apuca de altele. O astfel de setare de variabila poate de asemenea sa

duca la alte clauze unitate.


Q

P

M

L

A B

(a) Se cere demonstrarea lui Q.

Simbolurile A si B sunt cu-

noscute ca avand valoarea de

adevar adevarat.

P

M

L

A

Q

B

(b) Demonstrarea ca Q =

adevarat cere demonstrarea ca

P = adevarat.

M

L

A

Q

P

B

(c) Demonstrarea ca P =

adevarat cere demonstrarea ca

L are valoarea adevarat si ca

M are valoarea adevarat.

M

A

Q

P

L

B

(d) Demonstrarea ca L este

adevarat cere ca sa se demon-

streze ca A si P sunt adevarate,

sau ca A si B sunt adevarate.

Figura 5.8: Exemplificarea algoritmului de ınlantuire ınapoi.


M

A

Q

P

L

B

(a) Se ajunge la cererea de

a demonstra ca A si B sunt

adevarate.

M

A

Q

P

L

B

(b) Deoarece A si B sunt

adevarate, rezulta ca L este

adevarata.

A

Q

P

L

B

M

(c) Deoarece L si B sunt

adevarate, rezulta ca M este

adevarata.

A

Q

P

L

B

M

(d) Deoarece L si M sunt

adevarate, rezulta ca P este

adevarata. La pasul urmator

se deduce ca si Q are valoarea

adevarat.

Figura 5.9: Exemplificarea algoritmului de ınlantuire ınapoi (continuare).


Figura 5.10: Algoritmul Walksat pentru verificarea satisfiabilitatii unui set de clauze.

5.10.2 Algoritm bazat pe cautare locala

Algoritmii de cautare locala pot fi aplicati direct problemelor de satisfiabilitate, daca

se da o functie de evaluare adecvata. Se alege de regula numarul de clauze nesatisfacute.

Algoritmii de acest tip schimba la fiecare pas valoarea unei variabile; pentru a iesi din

minimele locale se folosesc diferite variante de aleatoritivitate.

Unul din cei mai simpli si mai eficienti algoritmi rezultati se numeste WalkSat (figura

5.10). La fiecare iteratie algoritmul alege o clauza nesatisfacuta si alege aleator care dintre

variabile sa ısi schimbe valoarea. Alegerea variabilei se face aleator, fie:

• se alege variabila care minimizeaza numarul de clauze nesatisfacute, sau

• se alege simbolul aleator

Daca algoritmul returneaza un model, atunci acest model satisface clauzele. Daca ınsa

se returneaza esuare, atunci nu se poate sti sigur daca expresia este nesatisfiabila sau daca

ar trebui ca algoritmul sa fie lasat sa ruleze mai mult (dar nu se stie cat de mult).

Capitolul 6

Logica de ordinul ıntai

6.1 Introducere

Logica propozitionala se dovedeste a fi un limbaj neadecvat pentru reprezentarea

cunostintelor dintr-un mediu complex, ıntr–un mod concis. De exemplu, pentru a spune

ca ıntr-o camera vecina (pe verticala sau orizontala) cu cea de coordonate [1, 1] ın care

se simte briza de aer exista o groapa, scriem astfel:

B1,1 ⇔ P1,2 ∨ P2,1

si ceva asemanator pentru fiecare camera din joc. Limbajul natural este mult mai concis

(comparati “camerele vecine cu o camera ın care se simte curent de aer contin o groapa”

cu cele n2 propozitii care trebuie scris ın logica propozitionala pentru a exprima acelasi

lucru). Pe de alta parte, limbajul natural poate fi si imprecis. Ne dorim deci o varianta

de limbaj care sa fie concis, exact ın exprimare si sa permita operarea usoara.

Alte aspecte pe care le dorim de la un limbaj de reprezentare a cunostintelor sunt:

• natura declarativa — cunostintele dintr–un domeniu sa fie reprezentate separat de

mecanismul inferential; acesta din urma trebuie sa fie cat mai general aplicabil.

Este o abordare diferita de cea a limbajelor procedurale (Java, C#, C++) unde

structurile de date obtinute dupa modelarea problemei erau puternic cuplate cu

operatorii de prelucrare;

• semantica compozitionala — semantica unui enunt exprimat ıntr–un asemenea lim-

baj trebuie sa fie legata de semantica partilor care ıl compun;

• independenta de context — ceea ce ar impune obtinerea acelorasi concluzii, daca se

reaplica mecanismul inferential pornind de la o aceeasi baza de cunostinte;

Mai mult, prin compararea cu ceea ce ne pune la dispozitie limbajul natural, ne dam

seama ca dorim sa putem lucra cu:

89

90 CAPITOLUL 6. LOGICA DE ORDINUL INTAI

• obiecte: oameni, culori, numere, etc;

• relatii ıntre obiecte: relatii unare (ınalt, rosu, prim) sau n-are: mai mare decat,

frate cu, compus din;

• functii: aplicate pe unul sau mai multe obiecte, duce la obtinerea altor obiecte: tatal

lui, succesorul lui, etc.

Limbajul logicii de ordinul ıntai trateaza satisfacator toate aceste aspecte.

Cea mai mare diferenta ıntre logica propozitionala si logica predicatelor este ca ın

prima se exprima fapte care au sau nu loc. Fiecare fapt are una din doua valori: adevarat

sau fals. Logica predicatelor ınsa se refera la o multime de obiecte ıntre care exista sau

nu relatii.

6.2 Sintaxa si semantica logicii de ordinul ıntai

6.2.1 Modele pentru logica de ordinul ıntai

Modelele pentru logica propozitionala constau ın perechi de valori de forma simbol =

valoare, unde valoarea poate fi adevarat sau fals. Pentru logica de ordinul ıntai lucrurile

sunt substantial diferite: se lucreaza cu obiecte, care pot lua orice valoare dintr-o multime

specificata. Domeniul unui model este setul de obiecte pe care le contine.

Sa presupunem ca pornim de la urmatoarea stare: exista doua persoane, John si

Richard, care sunt frati si regi (la momente diferite de timp); exista o coroana care se

afla pe capul unuia dintre ei; se face referire la piciorul stang al oricaruia din cei doi via

o functie, PiciorulStang.

O relatie (cum ar fi frate(John, Richard), frate(Richard, John) si peCap(coroana,

John)) este un set de tupluri de obiecte care sunt legate. Modelul poate de aseme-

nea sa contina relatii unare (numite si proprietati) - rege(John), persoana(John), per-

soana(Richard).

Unele relatii sunt mai bine de interpretat ca functii; daca pentru un obiect oarecare

(notat o1), relatia asigura o legatura cu un unic obiect, atunci ea poate fi vazuta ca o

functie de forma relatie(o1)=o2. De exemplu, avem legaturile:

Richard→ piciorul stang al lui Richard

John→ piciorul stang al lui John

Functiile trebuie sa fie totale, adica pentru orice argument sa asocieze un rezultat. Deci

piciorul stang al lui John trebuie sa aibe si el un picior stang; o asemenea problema se

rezolva introducand un obiect fictiv care sa fie atasat obiectelor pentru care nu exista,

sub o interpretare rezonabila, ceva atasat.

6.2. SINTAXA SI SEMANTICA LOGICII DE ORDINUL INTAI 91

6.2.2 Simboluri si interpretari

Elementele din sintaxa logicii propozitionale sunt:

• constante: John, Richard, etc

• predicate: Frate, >, etc

• functii: PiciorulStang, radical, etc

• variabile: x, y, etc

• conective: ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔

• egalitatea: =

• cuantificatori: ∀, ∃

Gramatica ın forma BNF este data ın tabelul 6.1.

Enunt → Enunt Atomic

| (Enunt Conectiva Enunt)

| Cuantificator Variabila . . . Enunt

| ¬ Enunt

Enunt Atomic → Predicat(Termen, . . . ) | Termen = Termen

Termen → Functie(Termen, . . . )

| Constanta

| Variabila

Conectiva → ⇒ | ∧ | ∨ | ⇔

Cuantificator → ∀ | ∃

Constanta → A | X1 | John | . . .

Variabila → a | x | . . .

Predicat → Frate | . . .

Functie → TatalLui | PiciorulStang | . . .

Tabela 6.1: Forma BNF pentru sintaxa din logica predicatelor.

Semantica trebuie sa lege enunturile de modele pentru a se putea determina valoarea

de adevar. Avem deci nevoie de o interpretare care sa specifice exact care obiecte, relatii si

functii sunt legate de ce simboluri asociate simbolurilor de constante, predicate si functii.

Una din interpretarile posibile, care este adecvata exemplului nostru este:

• constanta Richard se refera la persoana Richard; analog constanta John;


• predicatul Frate se refera la relatia dintre doua persoane

• functia PiciorulStang se refera la “PiciorulStang” pomenit la pagina 90.

Exista si alte interpretari care se pot face, de exemplu se poate lega constanta Richard

de persoana John sau de coroana; sau se poate ca diferite nume sa se refere la acelasi

obiect.

Valoarea de adevar a fiecarui enunt se defineste ın raport cu un model si o interpre-

tare pentru simbolurile din enunt. Ca atare, deducerea, validitatea, satisfiabilitatea sunt

definite relativ la toate modelele si toate interpretarile posibile. Subliniem ca modelele

pot fi infinite, de exemplu daca se refera la multimea numerelor naturale.

6.2.3 Termeni

Un termen este o expresie logica ce se refera la un obiect – constante, functii, relatii.

Un simbol pentru functii este util pentru a pune ın legatura obiecte (de exemplu constanta

John cu constanta piciorul stang al lui John), cu efect benefic asupra reducerii numarului

de simboluri folosit pentru constante. Este un alt mod de a denumi obiecte, plecand de

la altele.

6.2.4 Propozitii atomice

Sunt folosite pentru a enunta fapte. O propozitie atomica este de regula formata

dintr-un simbol predicativ urmat de o lista de termeni: Frate(John, Richard). Argumen-

tele pot fi si termeni complesi obtinuti prin aplicare de functii: Casatorit(Tata(John),

Mama(Richard)).

Un enunt atomic este adevarat ıntr–un model dat si sub o anumita interpretare daca

are loc relatia referita de simbolul asociat predicatului ıntre obiectele referite de argu-

mente.

6.2.5 Enunturi complexe

Prin utilizarea conectivelor logice se pot construi enunturi complexe, precum ın calculul

propozitional. Semantica enunturilor complexe formate cu conective logice este identica

cu cea din logica propozitiilor.

6.2.6 Cuantificatori

Cuantificatorii permit exprimarea de proprietati pentru colectii de obiecte, ın loc de a

le enumera pe toate (de aici si dorita concizie a limbajului). Cuantificatorii sunt ınsotiti

6.3. PROCESUL DE MANAGEMENT AL CUNOSTINTELOR 93

de o variabila care poate servi ca argument pentru functii si relatii. Un termen care nu

are variabile se numeste termen legat. Enuntul ∀x P (x) arata ca pentru orice obiect x, P

este adevarata.

Sa considera de exemplu propozitia ∀x Rege(x) ⇒ Persoana(x). Pentru a putea

spune ca este adevarata, toate cele cinci propozitii de mai jos ar trebui sa fie adevarate:

Richard este rege ⇒ Richard este persoana

John este rege ⇒ John este persoana

Piciorul stang al lui Richard este rege ⇒ Piciorul stang al lui Richard este persoana

Piciorul stang al lui John este rege ⇒ Piciorul stang al lui John este persoana

Coroana este rege ⇒ Coroana este persoana

Daca pentru primele doua cazuri nu avem nici o problema din punct de vedere al raportarii

la realitate, ultimele trei propozitii sunt un pic ciudate. Dar sa ne amintim ca ın logica

propozitionala falsul implica orice, asa ca nu se poate spune nimic despre valoarea de

adevar a a concluziilor (“Coroana este persoana” s.a.). Oricum, pornind de la o premisa

falsa, ıntreaga implicatie este adevarata.

Cele cinci propozitii de mai sus care au rezultat din transcrierea ın limbaj propozitional,

conform actiunii lui ∀ formeaza interpretarea extinsa.

Calificatorul existential ∃ are urmatoarea semantica: ∃x P (x) este adevarata ıntr–

un model si sub o intepretare data daca este adevarata pentru cel putin o intepretarea

extinsa.

Cuantificatorii pot fi imbricati, iar ordinea de precizare a lor este importanta. De

exemplu, enuntul ∃x ∀y Iubeste(y, x) ınseamna ca exista cel putin un obiect care este

iubit de toata lumea, pe cand daca se inverseaza cuantificatorii, atunci se obtine ceva

diferit: ∀y ∃x Iubeste(y, x) ınseamna ca oricine iubeste pe cineva (dar acel cineva poate

sa difere pentru doua persoane y diferite).

Exista o stransa legatura ıntre cei doi cuantificatori. Mai exact, se poate renunta la

oricare dintre ei, deoarece:

∀x P (x) ≡ ¬(∃x ¬P (x))

∃x P (x) ≡ ¬(∀x ¬P (x))

dar ıi mentinem pe amandoi, pentru a obtine exprimari mai naturale.

6.3 Procesul de management al cunostintelor

Proiectele de management al cunostintelor variaza mult, dar toate includ pasii:

1. Identificarea temei de lucru. Inginerul de cunostinte trebuie sa schiteze domeniul

de ıntrebari pentru care baza de cunotinte asigura suport si tipul de fapte care


vor fi disponibile pentru fiecare instanta de problema. De exemplu, pentru lumea

monstrului, ce anume se doreste: interogarea despre starile diferitelor camere, sau

sa se stie care este actiunea urmatoare?

2. Asamblarea cunostintelor relevante. Inginerul de cunostinte trebuie sa fie expert

ın domeniul abordat, sau sa poata sa colaboreze cu experti umani pentru a putea

extrage ceea ce se cunoaste ın domeniu. La acest pas de achizitie a cunostintelor

nu trebuie sa se formalizeze cunostintele, ci doar sa se ınteleaga care este domeniul

problemei si cum se lucreaza ın el.

3. Deciderea asupra unui vocabular de predicate, functii si constante. Se translateaza

conceptele importante ale domeniului pentru care se aplica procesul ın nume con-

venabil alese. Rezultatul este un vocabular care formeaza ontologia1 domeniului.

4. Codificarea cunostintelor generale despre domeniu. Inginerul de cunostinte scrie

axiomele pentru toti termenii de vocabular. Este bine sa se faca aici si specificarea

semnificatiilor termenilor.

5. Codificarea unei descrieri pentru o problema concreta. Consta ın scrierea enunturilor

atomice despre instante ale conceptelor care sunt deja parte a ontologiei. Este

echivalentul furnizarii datelor pentru programele din limbajele procedurale.

6. Punerea de ıntrebari si obtinerea de raspunsuri. Procedura inferentiala opereaza

asupra axiomelor si faptelor specifice problemei pentru a obtine noi fapte de care

suntem interesati.

7. Depanarea bazei de cunostinte. Daca de exemplu lipseste o axioma, unele interogari

nu vor primi raspuns. Se poate cere unui astfel de sistem sa expliciteze pasii pe care

ıi parcurge, pentru a vedea unde se “blocheaza”.

6.4 Inferenta propozitionala comparata cu inferenta de

ordinul ıntai

Introducem o tehnica care permite realizarea de inferente care pot fi aplicate unor

enunturi cu cuantificatori obtinandu–se enunturi fara cuantificatori. Se poate intui astfel

ca inferenta de ordinul ıntai are o varianta: trecerea la enunturi din logica propozitionala

si folosirea unui mecanism inferential adecvat.

1Ontologia studiaza existenta ca atare, trasaturile si principiile comune oricarei existente.

6.4. INFERENTA PROPOZITIONALA COMPARATA CU INFERENTA DE ORDINUL INTAI95

6.4.1 Reguli de inferenta pentru cuantificatori

Sa presupunem ca avem enuntul:

∀x Rege(x) ∧ Lacom(x)⇒ Rau(x)

Data fiind semantica lui ∀ se pot infera oricare din propozitiile:

Rege(John) ∧ Lacom(John)⇒ Rau(John)

Rege(Richard) ∧ Lacom(Richard)⇒ Rau(Richard)

Rege(TatalLui(John)) ∧ Lacom(TatalLui(John))⇒ Rau(TatalLui(John))

Regula instantierii universale spune ca putem deduce orice propozitie obtinuta prin

substituirea unei variabile cu un termen legat (care nu are nicio variabila). Sa notam cu

Subst(θ, α) rezultatul aplicarii substituirii θ ın α. Atunci:

∀v α

Subst({v/g}, α)

Cele trei enunturi propozitionale date anterior sunt obtinute prin substitutiile: {x/John},

{x/Richard}, {x/TatalLui(John)}.

Regula instantierii universale este: pentru orice enunt α, pentru orice variabila v si

un simbl constant k care nu apare ın baza de cunostinte avem ca:

∃v α

Subst({v/k}, α)

De exemplu, din enuntul ∃x Coroana(x)∧PeCap(x, John) putem deduce: Coroana(C1)∧

PeCap(C1, John) unde C1 nu mai apare undeva ın baza de cunostinte. Practic, ceea ce

face instantierea existentiala este sa dea un nume pentru obiectul care satisface conditia.

Noul nume se mai cheama si constanta Skolem. Instantierea existentiala poate fi folosita

o singura data si propozitia care are acest cuantificator poate fi eliminata.

6.4.2 Reducerea la inferenta propozitionala

Pe baza mecanismului de mai sus (reducerea unor enunturi cu cuantificatori la unele

fara) se poate reduce inferenta de ordinul ıntai la inferenta propozitionala. De fapt, ceea

ce trebuie sa facem este sa ınlocuim un enunt cu care are cuantificator universal cu toate

enunturile ın care variabila este ınlocuita cu toate valorile posibile. De exemplu, baza de

cunostinte din logica predicatelor:

∀x Rege(x) ∧ Lacom(x)⇒ Rau(x)

Rege(John)

Lacom(John)

Frate(Richard, John)


Se aplica instanc tierea universala primului enunt folosind toate substituirile de variabile

cu termeni legati din vocabularul BC, deci {x/John} si {x/Richard} si obtinem:

Rege(John) ∧ Lacom(John)⇒ Rau(John)

Rege(Richard) ∧ Lacom(Richard)⇒ Rau(Richard)

Baza de cunostinte rezultata (se adauga, evident, si ultimele 3 propozitii din BC initiala)

este ın forma propozitionala, daca substituim enunturile cu valori legate – Rege(John),

Lacom(John), etc – cu simboluri propozitionale – α, β, etc. Se poate aplica oricare din

algoritmii din capitolul precedent si se obtin concluzii – Rau(John).

Exista ınsa o problema: daca BC include un simbol atasat unei functii (de exemplu

TatalLui), atunci prin propozitionalizare se ajunge la o BC infinita, deoarece putem sub-

stitui pe x cu John, TatalLui(John), TatalLui(TatalLui(John)), si tot asa la infinit.

Exista ınsa un raspuns, datorat lui Herbrand care spune ca daca un enunt este implicat

de catre baza de cunostinte originala, exprimata sub forma de predicate, atunci exista

o demonstratie care pleaca de la un set finit de enunturi ın forma propozitionala, prin

care se poate deduce enuntul respectiv. Se poate genera o astfel de demonstratie plecand

de la ınlocuirea lui x cu John si Richard (deci adancime 0), apoi cu TatalLui(John) si

TatalLui(Richard) (adancime 1) si cu termeni de adancime din ce ın ce mai mare.

Ce se ıntampla daca enuntul dat ca posibila concluzie nu este deductibil din baza

de cunostinte? Teorema lui Herbrand (sau alte rezultate) nu spun nimic ın acest sens.

Procedura descrisa mai sus va genera termeni cu adancime din ce ın ce mai mare, dar

nefiind o limitare data, procedeul se va repeta la nesfarsit. Altfel zis, problema implicatiei

ın logica de ordinul ıntai este semidecidabila – adica exista algoritmi care raspund pozitiv

pentru un enunt care este deductibil din BC, dar nu exista algoritm care de asemenea sa

raspunda negativ la fiecare enunt nedeductibil.

Bibliografie

[1] Artificial Intelligence. A Modern Approach, Prentice Hall, Stuart Russel, Peter Norvig,

2nd edition, 2003

[2] Principiile inteligentei artificiale, Editura Albastra, D. Dumitrescu, 2004

[3] Pattern Classification, editia a doua, Ed. Wiley-Interscience, Richard O. Duda, Peter

E. Hart, David G. Stork, 2000

[4] Genetic Algorithms + Data Structures = Evolution Programs, Ed. Springer-Verlag,

Zbigniew Michalewicz, 1998

[5] Machine Learning, Ed. McGraw–Hill, Tom Mitchell, 1997

[6] Neural Networks. A comprehensive foundation, Ed. Prentice Hall, Simon Haykin, 1999

97

cursia

Documents