dogruanalitik

www.mustafayagci.com, 2004

Geometri Notları Mustafa YAĞCI, [email protected]

Doğrunun Analitik İncelenmesi Geometri derslerimizden ‘’doğru’’nun ne idüğü hakkında bilginiz vardır. Tanımının olmadığını ve insanların sezgisine bırakıldığını söylemiştik. Ay-rıca sonsuz farklı doğrunun varlığından bahsetmiş-tik. Doğruları birbirlerinden ayırmak için onlara isimler vermiştik. d, l, k gibi. Bazen de üzerinde bulunan noktalarla AB, CD, XY doğrusu gibi. Şimdi de isimlendirdiğimiz bu doğruların birbirle-rine göre konumlarını araştıracağız. Acaba birbir-lerine paraleller mi, dik mi kesişiyorlar? Yoksa çakışıklar mı, yani aslında aynı doğrular mı? Sadece doğrular değil, noktaların da detaylarına ineceğiz. Daha önce A ve B diye isimlendirdiğimiz iki noktanın birbirlerine veya başka bir noktaya ne kadar uzaklıkta bulunduğunu araştıracağız. Bazen de bu noktaların bir doğruya olan uzaklıklarını he-saplayacağız. Noktalar bazen doğrusal vaziyette bir araya gelecek ve bir doğru belirtecekler. Bu doğruların tüm özelliklerini içeren ve diğer hep-sinden ayıracak şekilde isimlendirilmelerini yani denklemlerini yazmayı öğreneceğiz.

René Descartes Fransız bir filozoftu. Tabii o zamanın fi-lozofları bugünün matema-tikçileri gibiydiler. Aslında bu her zaman da böyle olma-lıydı ama nedense bu aralar böyle gitmiyor işler. La

géométrie isimli eserinde René Descartes, cebirin ünlü

problemlerini geometrik yöntemlerle çözerek hak ettiği üne kavuşmuştu. Günümüzde kartezyen ge-ometri olarak bilinen matematik dalının mucididir. 1604 yılının Ocak ayında 8 yaşında Anjou’daki Jesuit college of La Flèche’a kaydını yaptırmış ve 1612’ye kadar burada okumuştur. Bu sıralarda Clavius’un kitaplarından matematik de çalışmıştır. Böylelikle esas yeteneğinin matematikte olduğunu keşfetmiştir. Sayısız eser vermiştir. 1649’da soğuk bir kış sabahı hayata gözlerini yummuştur.

İşte geometrik nesnelerin birbirleriyle olan ilişki-lerini ve birbirlerine göre konumlarını araştırdığı-mız geometrinin bu dalına analitik geometri de-nir. Eğer masaya yatırılan şey doğru ise dersimiz doğ-runun analitiği, çember ise çemberin analitiği, parabol ise parabolün analitiği, … adını alacak. Sayı doğrusu. Doğru ile doğru parçasının farkı sorulsaydı aklınıza ilk gelen cevap ne olurdu? Böyle bir soru karşısında benim aklıma ilk olarak, birinin ilksiz ve sonsuz olduğu ama diğerinin ilkli ve sonlu olduğu geliyor. Yani, doğru parçasının başlangıç ve bitiş noktaları bellidir ama doğrunun ne başlangıç noktası vardır, ne de bitiş. Eminim siz de benim gibi düşünmüşsünüzdür. Rakam ile sayı arasında da benzer bir farktan söz etmek mümkündür. Bakın ediyoruz: Rakamlar sonlu miktardadır ama sayılar sonsuz. Rakamların başı belli, sonu belli ama sayıların değil. Şimdi bu benzetmeden yola çıkarak; doğrular ile sayılar arasında bir ilişki kuracağız, bir eşleme yapacağız. Bir nevi oyun oynuyoruz. Tam olarak öyle olmasa da (teşbihte hata olmaz), doğrunun sonsuz tane noktadan oluştuğunu düşünelim. İşte bu sonsuz nokta ile sonsuz tane sayıyı birebir eşleştireceğiz. Sayı derken reel sayı olduğunu da belirtelim. Çünkü sanal sayıları bu doğru üzerinde göstermek mümkün değil, adı üstünde sanal, gerçek değil ya-ni. Her farklı reel sayıya farklı bir nokta alacağız. İşte, üzerine reel sayıların küçükten büyüğe doğru dizildiğini düşündüğümüz ama gerçekte var olma-yan bu doğruya sayı doğrusu diyeceğiz. Aşağıda temsili bir resmi var:

Tabii ki bizim sonsuza kadar çizecek halimiz yok, onun için uçlara ok koyduk. Sıfır sayısı sayı doğ-

Mustafa YAĞCI Doğrunun Analitik İncelenmesi

2

rusunun tam ortasında bulunur (Orası nereyse?). 0’ın sağında pozitif reel sayılar, solunda ise nega-tif reel sayılar vardır. Her biri de gerçek büyüklük-leri ile orantılı olarak yani boy sırasına göre yer-leştirilmişlerdir. Yani 3’ün 0’a olan uzaklığı 3 bi-rim, 4’ün de 4 birimdir. O halde a’nın da a birim-dir. İşte, bir sayının sayı doğrusu üzerinde sıfıra olan uzaklığına, o sayının mutlak değeri denir.

Örneğin; a’nın sıfıra olan uzaklığına a’nın mutlak değeri denir ve |a| ile gösterilir. Üst şekilden de görüldüğü üzere |a| = a’dır. Ama aynı zamanda (–a)’nın da sıfıra uzaklığının a olmasından (–a)’nın mutlak değeri de a’dır. O halde |−a| = |a|. Daha genel olarak; Herhangi bir reel sayı ile o sayının ters işaretlisi-

nin mutlak değerleri her zaman aynıdır.

Analitik düzlem. Çakışık olmayan iki doğrunun bir düzlem belirttiğini biliyoruz. Şimdi iki tane sa-yı doğrusu hayal edin. Bu iki sayı doğrusunu, sıfı-ra denk gelen noktalarında dik kesişecek konuma getirin. Bu iki sayı doğrusunun belirttiği düzleme analitik düzlem deriz. Artık doğruların isimleri de değişerek, eksen adını almışlardır. Hatta koordi-nat eksenleri. Bunlardan yatay olanına x ekseni, dikey olanına da y ekseni denir. Göreceksiniz ki birçok geometri problemi bile analitik düzleme yatırılarak çok daha kolaylıkla çözülebilir. René Descartes’a sonsuz teşekkürler! Eksen adı verilen bu iki sayı doğrusunun üzerin-

deki noktalar �’nin elemanı olduğundan analitik

düzlem � 2 ile gösterilir. � 2 =

� ×

� = {(x, y) | x ∈

� ve y ∈

�}

Analitik düzlemde yan-da gösterildiği üzere (x0, y0) ile gösterilen sonsuz tane nokta vardır. (x0, y0) rastgele bir ikili de-ğil, sıralı ikilidir. Birinci

bileşenine apsis, ikinci bileşenine de ordinat de-nir. İkisine birlikte noktanın koordinatları denir. Bir noktanın apsisi, o noktadan x eksenine indiri-len dikmenin x ekseni üzerinde hangi noktaya kar-

şılık geldiğini verir. Bir noktanın ordinatı ise, o noktadan y eksenine bir dikme indirildiğinde y ek-seninde hangi sayıya karşılık geldiğini gösterir. x ve y eksenleri bu yüzden bazen sırasıyla apsis ve ordinat eksenleri olarak da anılır.

Apsis ve ordinat eksenlerinin kesiştiği noktaya başlangıç noktası dendiği gibi orijin de denir. Koordinatları (0, 0)’dır. Genelde O ile gösterilir. Eksenleri Ox ve Oy ile göstermek de mümkün.

Analitik düzlemde eksenler, düzlemi 4 bölgeye ayırır. Bunlar üst şekildeki gibi birinci, ikinci, üçüncü ve dördüncü bölgelerdir. Hem apsisi hem de ordinatı pozitif olan noktaların bulunduğu böl-geye birinci bölge, apsisi negatif ama ordinatı po-zitif olan noktaların bulunduğu bölgeye ikinci bölge, hem apsisi hem de ordinatı negatif olan noktaların bulunduğu bölgeye üçüncü bölge ve apsisi pozitif olup, ordinatı negatif olan noktaların bulunduğu bölgeye de dördüncü bölge denir. Dikkat edilecek olursa, bölgeler, noktaların koor-dinatlarının pozitif mi negatif mi olduğuna göre değişiyor, yani sıfırdan bahsedilmiyor. Apsisi ve-ya ordinatı sıfır olan noktalar, kısacası eksen üze-rindeki noktalar (tanıma göre) bölgelere girmez-

ler.

I II III IVApsis

Ordinat+ ++ +

Alıştırmalar 1. Bir noktanın x eksenine olan uzaklığını, koordi-natlarından hangisi daima gösterir? A) Apsisi B) Ordinatı C) Apsisinin mutlak değeri D) Ordinatının mutlak değeri E) Koordinatları toplamı

2. M(x, y) noktasının y eksenine olan uzaklığı kaç-tır? A) x B) y C) |x| D) |y| E) x + y

x

y

O

P(x , y )0 0

x

y

0

0

III

III IV


3

3. x eksenine 2 birim, y eksenine 3 birim uzaklıkta bulunan bir nokta, analitik düzlemin hangi bölge veya bölgelerinde olabilir? A) Birinci B) İkinci C) Üçüncü D) Dördüncü E) Hepsi

4. A(–a, b – a) noktası analitik düzlemin ikinci böl-gesinde ise B(ab, a – b) noktası hangi bölgede-dir? A) Birinci B) İkinci C) Üçüncü D) Dördüncü E) Hepsi 5. A(ab, a – b) noktası analitik düzlemin üçüncü böl-gesinde ise B(a, b) noktası analitik düzlemin ne-resinde bulunur? A) Birinci B) İkinci C) Üçüncü D) Dördüncü E) Hepsi 6. m bir reel sayıdır. P(–m2, (–m)2) noktası analitik düzlemin neresinde bulunur? A) İkinci bölge B) İkinci bölge ve orijin C) İkinci bölge ve y ekseninin negatif olmayan ta-rafı D) İkinci bölge ve x ekseninin negatif tarafı E) İkinci bölge, x ekseninin negatif tarafı, y ekse-ninin pozitif tarafı ve orijin 7. Yandaki ABCD karesinin A köşesinin koordinatları nelerdir? A) (–12, 6) B) (–18,6) C) (–16, 6) D) (–16,8) E) (–14, 6)

8. Üstteki soruda B köşesinin koordinatları aşağı-dakilerden hangisidir? A) (–8, 12) B) (–8, 14) C) (–6, 8) D) (–6,14) E) (–14, 6) 9. Ordinat ekseni üzerinde bu-lunan A noktasının orijine ve B(6, 2) noktasına uzaklıkları eşittir. Buna göre A noktasının or-dinatı kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

10. Yandaki şekilde AOBC bir paralelkenardır. |AD| = |DC| olup, C’nin koordinatları (3, 8) ise paralelkenarın alanı kaç birimkaredir? A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24

11. Yandaki grafik bir mirasın yıllara göre tükenişini gös-termektedir. Buna göre mirasın tamamı başlan-gıçta kaç milyar liraydı? A) 100 B) 120 C) 140 D) 160 E) 180

12. Üstteki soruda miras, kaçıncı yılın sonunda bi-ter? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

x

y

O-6

8A

B

x

y

O

A

B(6,2)

x (yıl)

y (milyar)

O

(3,80)(4,60)

x

y

OA

BC

D


4

13. Yandaki OABC karesinin çev-resi kaç birimdir? A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 15

14. C(1, 5) noktası, AOB ikiz-kenar üçgeninin hipotenüsü üzerindedir. Buna göre Alan(AOB) kaç birimkaredir?

A) 8 B) 18 C) 2

25 D)

4

81 E) 32

15. Yandaki şekilde CAB ve CAO üçgensel bölgeleri-nin alanları sırasıyla 4 ve 10 birimkaredir. A’nın ordinatı 4 ise B’nin apsisi kaçtır? A) –3 B) –4 C) –6 D) –7 E) –8

Bir noktanın orijine olan uzaklığı. Bildiğin Pisagor Teoremi.

Herhangi bir A(x, y) ala-lım. Bu noktayı orijin ile birleştiren doğru parçasını çizelim. Bu doğru par-çasının boyuna d diyelim, d’yi arıyoruz. Bu nok-tadan eksenlere dikmeler indirerek, oluşacak dik üçgende Pisagor Teoremi uygularsak

d 22 yx +=

buluruz. Dikkat edin, (3, 4), (–3, 4), (3, –4), (–3, –4), (4, 3), (4, –3), (–4, 3), (–4, –3) noktalarının hepsinin orijine olan uzaklığı 5 birimdir.

Hatta (5, 0), (0, 5), (–5, 0) ve (0, –5) noktalarının da orijine olan uzaklıkları 5 birimdir.

Alıştırmalar

16. C(6, 8) noktasının orijine olan uzaklığı kaç bi-rimdir? A) 6 B) 7 C) 8 D) 10 E) 14 17. a ve b birer tamsayıdır. A(a, b) noktasının orijine uzaklığı 10 birim ise bu şartları sağlayan kaç farklı A noktası vardır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 10 E) 12 18. A(5, 5), B(7, 1) ve C(6, 4) noktalarının orijine olan uzaklıkları sırasıyla a, b ve c olsun. Bu değerlerin küçükten büyüğe doğru, doğru sıralaması aşağıdaki şıkların hangisinde veril-miştir? A) a < b < c B) a = b > c C) a = b < c D) a < c < b E) c < a = b

19. A(10, p) noktasının orijine olan uzaklığı, B(5, 12) noktasının orijine olan uzaklığının 2 katı ise p’nin alabileceği en küçük değer kaçtır? A) –24 B) 7 C) 8 D) 10 E) 24 20. Orijine uzaklığı 5 birim olan tüm noktalar ne belirtir? A) 5 birim çaplı bir daire B) 5 birim yarıçaplı bir daire C) 5 birim çaplı bir çember D) 5 birim yarıçaplı bir çember E) Orijine uzaklığı 5 birim olan iki paralel doğru

21. Orijine uzaklığı 3 birim ile 5 birim arasında olan noktaların oluşturduğu bölgenin alanı kaç ππππ birimkaredir? A) 9 B) 7 C) 8 D) 16 E) 25

x

y

O

6

10A

BC

x

y

O

A

B

C(1,5)

x

y

OA B

C(0,4)

A(x,y)

x

y

O

d


5

22. Yandaki ABC üçgeni eşke-nardır. C köşesinin orijine uzaklığı kaç birimdir? A) 3,2 B) 3,6 C) 4

D) 28 E) 40

23. x ekseni üzerinde, A(3,4) nok-tasına ve orijine uzaklıkları eşit olan noktanın apsisi kaç-tır?

A) 6

25 B)

7

20 C)

4

19 D)

6

17 E)

5

13

İki nokta arasındaki uzaklık. A(x1, y1) ve B(x2, y2) şeklinde iki farklı nokta verilmiş olsun. Bu noktalar arasındaki uzaklığın kaç birim olduğunu bulmayı öğreneceğiz.

Yan şekildeki gibi, bu nokta-lardan eksenlere birer dik in-direlim.

ABC gibi bir dik üçgen oluş-tuğuna dikkat ediniz.

|AC| = x2 – x1 ve |BC| = y2 – y1 olduğundan ABC dik üçgeninde Pisagor bağıntısı-na göre,

|AB| 212

212 )()( yyxx −+−=

Alıştırmalar 24. A(1, 0) ve B(–4, 12) noktaları veriliyor. |AB| uzaklığı kaç birimdir? A) 8 B) 9 C) 10 D) 13 E) 15 25.

A(2 3 , –2) ve B(6 3 , –3) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? A) 6 B) 7 C) 8 D) 10 E) 14

26.

A( 2 + 1, 1 – 3 ) ve B( 2 – 1, 1 + 3 ) nokta-larına göre |AB| kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 4 E) 3

27. P(2, 3) ve Q(5, x) noktaları arasındaki uzaklık 5 birim ise x’in alabileceği değerler toplamı kaç olur? A) 6 B) 7 C) 8 D) 10 E) 14

28. P(2, 3) ve Q(k, –1) noktaları arasındaki uzaklık 5 birim ise k’nın alabileceği değerler çarpımı kaç-tır? A) –5 B) –7 C) 8 D) 10 E) 4

29. M(2a, 4) ve N(3a + 2, 12) noktaları veriliyor. |MN| = 10 birim ise a’nın alabileceği en büyük değer kaçtır? A) –8 B) –4 C) 8 D) 4 E) 6 30. K noktası, A(2, –1) ve B(0, 5) noktalarından eşit uzaklıkta olup, x ekseni üzerindedir. K noktasının apsisi kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) –5 E) −4 31. K noktası, A(2, –1) ve B(0, 5) noktalarından eşit uzaklıkta olup, y ekseni üzerindedir. K noktasının orijine uzaklığı kaç birimdir?

A) 2 B) 3

5 C)

3

8 D)

3

10 E)

3

14

32. K(3, p) noktası, A(2, –1) ve B(0, 5) noktaların-dan eşit uzaklıkta olduğuna göre p kaçtır?

A) 2 B) 3

7 C)

3

8 D)

3

10 E) 14

x

y

O

A

B

C

4

-2

x

y

O

A(3,4)

B

x

y

O x x

y

y A

B

1 2

1

2

x -xy -y

2 12 1

d

C


6

Orta nokta. Uç noktala-rının koordinatları bilinen bir doğru parçasının orta noktasının koordinatlarını bulmayı öğreneceğiz. Doğru parçası [AB], bu doğru parçasının orta nok-tası da E(x0, y0) olsun. A(x1, y1) ve B(x2, y2) nok-

talarından x eksenine birer dik indirirsek oluşan ADCB dik yamuğunda orta taban E’nin ordinatını verir. Benzer şekilde y eksenine dikler indirilirse de E’nin apsisi bulunur.

)2

,2

(),( 212100

yyxxyx

++=

Alıştırmalar 33. A(2, –4) ve B(4, 12) noktalarını uç kabul eden doğru parçasının orta noktasının koordinatları nelerdir? A) (3, 6) B) (3, 7) C) (3, 8) D) (3, 4) E) (6, 8)

34. AB doğru parçasının uçlarının koordinatları top-lamı 40 ise orta noktasının koordinatları top-lamı kaçtır? A) 60 B) 70 C) 80 D) 10 E) 20 35. A(2m, 3m) ve B(4, m – 4) iken [AB]’nin orta nok-tası dördüncü bölgede ise B hangi bölgededir? A) Birinci B) İkinci C) Üçüncü D) Dördüncü E) Hepsi

36. A(–4, 1), B(0, –1), C(2, 7) ise ABC üçgeninin A köşesinden geçen kenarortayının uzunluğu kaç-tır?

A) 6 B) 5 C) 4 D) 2

11 E) 29

37. Şekildeki A, B, C noktaları doğrudaş olup, |AB| = |BC|’dir. AOB üçgeninin alanı 1 bi-rimkare ise C’nin koordi-natları nelerdir?

A) (3, –3) B) (3

2,

3

4− ) C) (1, –1)

D) (2, –2) E) (2, –3)

38. Yandaki AOB üçgeninde |BC| = 3⋅|CA| olduğuna göre, C noktasının koordinatları çarpımı kaçtır? A) 3 B) 4 C) 6 D) 7 E) 9

Doğrusallık şartı. Bir doğru parçasının orta noktalarını kullanırken kullandığımız bu metot, verilen üç noktanın doğ-rusal olma şartını da as-lında geri planda içer-mektedir. Şeklimizde BCE ∼ CAD olduğundan

10

02

10

02 ||

||

xx

xx

yy

yy

AC

BC

−

−=

−

−=

şartını sağlayan A, C, B noktaları doğrusaldır.

İlerde tekrar anlatılacak ve başka teknikler gösteri-lecektir.

Alıştırmalar 39. A(–2, 0), B(0, 3), C(2, 6) noktaları doğrusal ise

CB

CA oranı kaçtır?

A) 2

1 B)

3

2 C) 1 D) 2 E) 3

x

y

O

A

B

C

2

x

y

O

A

B

C

d8

6

C

x1 x0

y2

y1

y

x O

y0

x2

B

A

y0

y1

y2

E

F D

x1 x0

y2

y1

y

x O

y0

x2

B

A

C E

D x0 – x1

y2 –

x2 – x0

y0 – y1


7

40. A(1, –8), B(5, 0) ve C(m + 3, m) noktaları doğru-sal ise m kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 41. Şekildeki ABCD dörtgeni bir kare ise E noktasının koordinatları toplamı aşa-ğıdakilerden hangisidir?

A) 2

11 B) 6 C)

2

13

D) 7 E) 8

42. Yandaki AOBC dikdörtge-ninin alanı 8 birimkare ise C noktasının apsisi aşa-ğıdakilerden hangisi ola-bilir?

A) –9 B) –8 C) 2

15− D) –7 E) –6

Analitik düzlemde paralelkenar olma şartı. Verilen dört nokta ne zaman bir paralelkenar belirtir? Paralelkenarın üç köşesi belliyse dör-

düncü köşesinin koordinatları nelerdir?

Takip edin, kanıtlayın.

42314231

022

xxxxxxxx

x +=+⇒+

=+

=

42314231

022

yyyyyyyy

y +=+⇒+

=+

=

Dikdörtgen, kare ve eşkenar dörtgenler de özel bi-rer paralelkenar olduğundan bu şartı sağlarlar.

Alıştırmalar 43. A(2, –4), B(4, 12), C(8, 1) noktaları bir ABCD pa-ralelkenarının ardışık üç köşesidir. Buna göre D noktasının koordinatlarını bulu-nuz. A) (6, –3) B) (6, –9) C) (6, 12) D) (6, –15) E) (2, –9)

44. Yandaki ABCD bir eşkenar dörtgen ise B noktasının ko-ordinatları toplamıyla n’nin toplamı kaçtır? A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19

Köşe koordinatları veri-len üçgenin ağırlık mer-kezinin koordinatla-rı. A(x1, y1), B(x2, y2) ve C(x3, y3) noktalarının be-lirttiği üçgensel bölgenin ağırlık merkezinin kena-

rortaylarının kesim noktası olduğunu biliyoruz. O halde ağırlık merkezi olan G(x0, y0) noktası bir ke-narortay üzerindedir. BC kenarının orta noktası D olsun. [AD] üzerinde |AG| : |GD| = 2 : 1 şartını sağlayan G noktası aranan noktadır. Bunu çözme-yi öğrenmiştik zaten.

Ağırlık merkezi G(x0, y0):

3321

0

xxxx

++= ,

3321

0

yyyy

++=

Alıştırmalar 45. A(–4, 1), B(0, –1), C(13, 6) ise ABC üçgeninin ağırlık merkezinin orijine uzaklığı kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 2

5 D) 13 E) 13

x

y

O 1

-2

4

A B

CD E

x

y

O-10

5

A

BC

d

x

y

O

A(4,3)

B

C(3,n)

D(x4, y4) C(x3, y3)

B(x2, y2) A(x1, y1)

P(x0, y0)

A(x , y )1 1

C(x , y )3 3

G(x , y )0 0

B(x , y )2 2


8

46. A(–4, 1), B(0, –1), C(13, 6) ve ABC üçgeninin ağırlık merkezi G olsun. |AG| kaçtır?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 10 E) 50

47. A(–4, 1), B(0, –1), C(13, p) ve ABC üçgeninin ağırlık merkezi G(m, 2) ise p + m toplamı kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 48. A(–3, 1), B(0, 7) ve C(a, b + 1) olmak üzere, ABC üçgeninin ağırlık merkezi analitik düzlemin dör-düncü bölgesindedir. Buna göre C noktası hangi bölgededir? A) Birinci B) İkinci C) Üçüncü D) Dördüncü E) x ekseni üzerinde 49. A(p+1, 2p), B(0, p) ve C(2–p, –3p) noktalarını kö-şe kabul eden üçgenin ağırlık merkezinin apsisi, ordinatından kaç fazladır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Köşe koordinatları verilen bir üçgenin alanı. A(x1, y1), B(x2, y2) ve C(x3, y3) noktalarının belirt-tiği üçgensel bölgenin alanını bulmak için aşağı-daki işlemler yapılır:

A

B

C

DE

F

xx x

y

y

y

1

1

2

2

3

3

x

y

Analitik düzlemde çizilmiş her üçgeni yukarda gösterdiğim gibi üçgenin köşelerini taşıyan bir dikdörtgen içine hapsetmek mümkündür. CDEF

dikdörtgeninin alanından CDA, AEB ve BFC dik

üçgenlerinin alanları çıkartılırsa, ABC üçgeninin alanı bulunmuş olur.

Alan(CDEF) = (x3 – x2)(y1 – y3)

Alan(CDA) = 2

1(x3 – x1)(y1 – y3)

Alan(AEB) = 2

1(x1 – x2)(y1 – y2)

Alan(BFC) = 2

1(x3 – x2)(y2 – y3)

olduğundan gerekli işlemler yapılırsa;

Alan(ABC) =

2

1(x1y2 + x2y3 + x3y1) –

2

1 (x2y1 + x3y2 + x1y3)

çıkar. Fakat biz çözümümüzde çizimimize göre x2 < x1 < x3 ve y3 < y2 < y1 aldık, bu böyle olmayabi-lirdi. Onun için ifadeyi mutlak değer içine alarak, işimizi garanti altına alalım.

Ortaya çıkan bu formülün ezberi pek de kolay gö-rünmediğinden Sarrus Kuralı denen güzel bir metot öğreneceğiz.

Üçgenin üç köşesinin koordinatlarını herhangi bir sırayla alt alta yazıp, en üste yazdığımız koordina-tı tekrar en alta yazacağız. Aşağıdaki şekilden ta-kip edin. Sonra aynı yönü gösteren oklarla belirti-len çarpmaları yapıp çıkan sonuçları toplayacağız. Bu iki toplamın pozitif farkının yarısı, bize üçge-nin alanını verecektir.

11

33

22

11

2

1)(

yx

yx

yx

yx

ABCAlan =

=2

1|(x1y2 + x2y3 + x3y1) – (x2y1 + x3y2 + x1y3)|

Alıştırmalar 50. A(–1, 3), B(0, 5), C( 1, –7) ise Alan(ABC) kaç birimkaredir? A) 6 B) 7 C) 8 D) 10 E) 14


9

51. A(–4, 1), B(0, –1), C(13, 6) iken ABC üçgeninin ağırlık merkezi G olsun. GBC üçgensel bölgesi-nin alanı kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 52. Yanda görülen ABCD dörtgeninin alanı kaç birimkaredir? A) 30 B) 36 C) 40 D) 42 E) 45

Doğrunun Eğimi. Bir doğ-runun x ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açının tanjan-tına o doğrunun eğimi de-nir. Hatta o açıya da eğim

açısı adı verilir.

Eğim = md = Tanα Dar veya üstün dar açıların (3. bölgede) tanjantla-rının pozitif olduğunu bildiğimizden, 1. ve 3. böl-gede sonsuza uzayan doğruların eğimleri pozitif-

tir. Geniş ve üstün geniş açıların (4. bölgede) tanjant-larının da negatif olduğunu bildiğimizden, 2. ve 4. bölgede sonsuza uzayan doğruların eğimleri de

negatiftir. Bu bölümde tanjantlarla haşır neşir olacağa benzi-yoruz. O halde derhal tanjantın tanımını hatırlaya-lım ve bazı özel açıların tanjantlarını kaydedelim. Bunların nereden çıktığı bu yazımızın konusu de-ğil. Yeteri kadarını zaten açıklayacağız. Herhangi bir dik üçgende her-hangi bir dar açının karşısındaki dik kenarın, komşusundaki dik kenarın uzunluğuna oranına, o açının tanjantı denir. tan 0o = 0

tan 30o = 3

1

tan 45o = 1

tan 60o = 3 tan 90o = Tanımsız

tan 22.5o = 2 – 1

tan 67.5o = 2 + 1

tan 15o = 2 – 3

tan 75o = 2 + 3

tan 6o = 56152527 −−−

tan 42o = 56152527 +−+

tan 66o = 56152527 −+−

tan 78o = 56152527 +++

tan 9o = + 1 + 5 – 525 +

tan 27o = – 1 + 5 – 525 −

tan 63o = – 1 + 5 + 525 −

tan 81o = + 1 + 5 + 525 +

tan 18o = 510255

1−

tan 54o = 510255

1+

tan 7.5o = – 2 + 2 – 3 + 6

tan 37.5o = – 2 – 2 + 3 + 6

tan 52.5o = + 2 – 2 + 3 + 6

tan 82.5o = + 2 + 2 – 3 + 6

Alıştırmalar

53. BOC üçgeninin hipotenüsü üzerinde A(1, 3) noktası bu-lunmaktadır. |CA| = 3⋅⋅⋅⋅|AB| ise tanαααα kaçtır?

A) 4

3 B)

3

4 C) 2 D) 1 E) –1

x

y

O-3 6

C(4,8)

A(1/2,-2)

BD

x

y

Oα

A(1,3)B

C

x

y

α

(+)

O

d

A

BC

c

aα


10

54. Şekildeki d1, d2, d3, d4 doğrularının eğimleri sı-rasıyla m1, m2, m3, m4 ise, bu eğimlerin küçükten büyüğe doğru sıralama-sı aşağıdakilerden han-gisidir? A) m1 < m2 < m3 < m4 B) m2 < m1 < m3 < m4

C) m2 < m1 < m4 < m3

D) m3 < m4 < m1 < m2 E) m4 < m3 < m1 < m2

55. ACB ikizkenar üçgeninin tepe noktası y = x doğrusu üzerindedir. m(OCB) = 20o ise m(ACB) kaçtır? A) 30o B) 35o C) 40o D) 45o E) 50o

Doğru grafiklerinden eğimin bulunması. Eğer bir doğrunun eğim açısı bilinmez de sadece eksen-leri kestiği noktaları bilinirse, eğimi, eğimin tanı-mı yardımıyla bulunabilir.

Doğrunun x eksenini kestiği nokta –a ve y eksenini kestiği nokta da b olsun. a ile b de-ğerlerini burada pozitif olarak aldık. O halde şekildeki d

doğrusunun eğimi tan α = a

b

olur.

Eğer doğrumuzun x eksenini kestiği nokta a ve y eksenini kestiği nokta b ise (yine a ve b değerlerini pozitif olarak aldık), doğrunun eğim açısı geniş oldu-ğundan eğimi negatif olur. Bu

durumda eğim tan α = –a

b olur.

Eğer d doğrusu x eksenine koşut (paralel) yani y eksenine dik ise, x ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açı yoz (0o) olacağından eğimi sıfır olur.

Eğer d doğrusu y eksenine para-lel yani x eksenine dik bir doğ-ruysa, x ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açı dik olur ki bu da tan-jantının tanımsız olması anla-mına gelir.

x

y

O x

y

O x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

Ox

y

O

x

y

O x

y

O

3

-41

-1

8

7

-6-3

60o 75

o

a b c

d

e f

kl

45o

n

Yukardaki grafiklere göre;

ma = 4

3, mb = 1, mc =

8

7− , md =

2

1− , me =

3

3,

mf = 3 – 2, mk = 0, ml = tanımsız ve mn = 1’dir.

Doğrunun genel denklemi. Öklid anlamında doğ-runun, bildiğimiz manada dosdoğru nesneler ol-duğunu biliyoruz. Yani (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) noktalarından geçen doğrunun elbet (5, 5)’ten de geçeceğini seziyoruz ve biliyoruz. Hatta (6, 6) ve (7, 7)’den de. Örnekleri çoğaltabiliriz. Genel ola-rak (t, t) şeklindeki tüm noktalardan geçecektir. Hatta bu t’lerin tamsayı olma zorunlulukları da yok. Gerçek birer sayı olsunlar yeter. O halde bu doğrunun özelliği x’i y’sine eşit olan noktalardan geçmesidir. Bu sebeple biz bu doğruya x = y veya y = x doğrusu deriz. Bunu gören de anlar ki bu doğru, x’i y’sine eşit olan noktalardan geçermiş. Benzer şekilde y = 2x eşitliğini görenler de y’nin x’in 2 katı olduğunu ve doğrunun bu özelliği taşı-yan tüm noktalardan geçtiğini veya dolayısıyla bunları içerdiğini anlar.

Sonuç olarak doğru denklemlerinin genel olarak x ve y ile gösterilen iki bilinmeyene sahip olduğunu çıkardık. Ayrıca aralarındaki ilişki de birinci dere-ceden olmalı ki iki nokta arasındaki farklar sabit olarak artsın. Yoksa y = x2 gibi bir ilişkide x’deki artış hızı y’deki artış hızıyla aynı olmazdı ve doğ-ruya göre çok hızla artan bir fonksiyon ile karşıla-

x

y

O

dd

d

d 12

3

4

x

y

OA B

C

y = x

x

y

O

b

-a

d

α

x

y

O

b

a

α

x

y

O

d

x

y

O


11

şırdık ki biz bunlara parabol deriz. Daha daha hızlı büyüyen fonksiyonlarda var elbet.

Toparlayalım: Doğru denklemleri birinci derece-den ve iki bilinmeyenli olurlar. Genel olarak ax +

by + c = 0 yazılır. Bu tarz bir yazılıma doğrunun kapalı denklemi denir.

Bir doğru, denklemini sağ-layan tüm noktalardan ge-çiyordur. O halde x ekse-nini ve y eksenini nerede kestiğini basit bir hesapla buluruz, bunlar şekilde ya-zılmıştır. Kısacası denk-lemde x yerine 0 yazılırsa

doğrunun y eksenini kestiği noktayı, y yerine 0 ya-zılırsa da doğrunun x eksenini kestiği noktayı ve-rir.

Doğrunun kapalı denklemi olur da açık denklemi ol-maz mı? Var elbet! y = mx + n şeklindeki bir yazılıma da doğrunun açık denk-lemi denir. Açık denklemler kapalı olanlara nazaran da-

ha elverişlidir. Eksenleri kestiği noktaların veya eğimin çok daha rahat bir şekilde bulunmasına izin verir. Zaten bundan dolayı açık adını almıştır.

x’e 0 verelim, y = b olur. Buradan çıkan sonuç şu-dur: Açık denklemlerde sabit terim, doğrunun y eksenini kestiği noktanın ordinatıdır. ax + b = 0 denkleminin kökü de doğrunun x eksenini kestiği noktanın apsisidir. Ayrıca şekilden görüldüğü üze-re de açık doğru denklemlerinde x’in katsayısı bi-ze direkt olarak doğrunun eğimini verir. Ne güzel!

Bunu hemen kullanarak ax + by + c = 0 doğrusu-

nun eğimini de bulabiliriz. y = b

cx

b

a −+

− halini

alacağından kapalı halde verilen doğru denklemle-

rinde eğim b

a−’dir.

İki noktası bilinen doğ-runun eğimi. Analitik geometri diye bilinen geometrinin bu dalının iddialı olacak ama belki de en önemli teoremine

geldi sıra. Bir doğrunun üzerinde bulunan iki nok-tanın koordinatları biliniyorsa, veya başka bir de-yişle, bir doğrunun geçtiği iki farklı nokta bilini-

yorsa, doğrunun eğimini bu noktalar yardımıyla bulmayı öğreneceğiz.

Doğrunun üstünden geçtiği bu iki nokta A(x1, y1) ve B(x2, y2) olsun. Şekilden takip edin. AB doğru-sunu çizelim. Bu doğrunun x ekseniyle yaptığı po-zitif yönlü açının ölçüsü, BAC açısının ölçüsüne eşittir. Bundan dolayı biz BAC açısının ölçüsünün tanjantını alacağız.

m = tan α =12

12

xx

yy

AC

BC

−

−=

Verilen farklı en az 3 noktanın doğrusal ol-ma şartı da yukarda-ki bu formülle bulunur.

(2 nokta zaten daima doğrusaldır.) Bir örnek verelim:

A, B ve C doğrusal ise

mAB = mAC = tan α = 2

3

24

35

−

−=

−

−

a

b

Paralel doğruların eğimleri. İki doğru paralel iseler yöndeş açıların eşitliği gereği her ikisinin de x ekseniyle yaptıkları pozitif yönlü açılar eşit ola-caktır. Eşit açıların tanjantları da eşit olacağından, paralel doğruların eğimleri eşittir. Teoremin tersi de doğrudur. Yani; eğimleri eşit olan iki doğru pa-

raleldir.

α = 0° ⇔ m1 = m2

Dik doğruların eğimleri. İki doğru birbirine dik ise birinin eğim açısı diğerinden 90o fazla olacak-tır. Bunu şekil çizerek rahatlıkla görebilirsiniz. Aralarında fark 90o olan iki açının tanjantlarının çarpımının da ufak bir hesapla her zaman −1’e eşit olduğunu buluruz. O halde iki doğru birbirine dik ise eğimlerinin çarpımı −1’dir. Yani eğimleri bir-birlerinin çarpmaya göre terslerinin toplamaya gö-re tersleridir. Bu teoremin de tersi doğrudur. Yani, iki doğrunun eğimleri çarpımı −1 ise doğrular birbirine diktir.

α = 90° ⇔ m1m2 = –1

2 4

y

x O a

C(a, b)

A(2, 3)

B(4, 5)

b

5

3

α

d2

d1

d2 d1

x

y

O

b-c

d

ax + by + c = 0

-c

a

x

y

O

-n

d

y = mx + n

n

m

x

y

O x x

y

y A

B

d 1 2

1

2

x -xy -y

2 12 1


12

Alıştırmalar 56.

A(2

1− , 3) ve B(1, –3) noktalarından geçen doğ-

runun eğimi kaçtır? A) –6 B) –5 C) –4 D) 2 E) 6 57. A(–3, 1), B(0, 4), C(1, 0), D(5, k) noktaları verili-yor. AB doğrusunun eğimi CD doğrusunun eğimine eşitse k kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 58. A(2a – b, a – 2b) ve B(2a + b, a + 2b) noktaları için AB doğrusunun eğimi kaçtır?

A) 1 B) 2 C) –1 D) b

a E)

b

a−

59. Yandaki ABC üçgeninin alanı 30 birimkare ise BC doğru-sunun eğimi kaçtır?

A) 5 B) –5 C) 5

1

D) –5

1 E)

2

5

60. OABC bir dikdört-gen olup, B köşesi-nin koordinatları (15, 3)’tür. Buna göre AC doğ-rusunun eğimi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 5 B) –5 C) 5

1 D) –

5

1 E) –

3

1

61. Şekildeki OABC bir yamuk ise C noktasının apsisi kaç-tır?

A) 5

23 B)

5

18 C) 3

D) 2 E) 5

8

62. Şekildeki ABCD dörtgeni bir paralelkenar ise C nok-tasının ordinatı kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 63. Şekilde görülen karenin ke-narları eksenlere paraleldir. Karenin doğrular üstünde olmayan köşelerinin ordi-natı kaçtır?

A) 6 B) 2

13 C) 7 D)

2

15 E) 8

64. Taban köşeleri B(–1, 2) ve C(2, 3) olan ABC ikizke-nar üçgeninin tepe köşesi y = x doğrusu üzerindedir. Buna göre A noktasının apsisi kaçtır?

A) 3

1 B)

2

1 C) 1 D) 2 E) 3

Eğimi ve bir noktası bilinen doğrunun denkle-mi. Acaba bir doğru, sadece üstündeki bir noktay-

la belli midir? Tabii ki de-ğil. Mesela aklınızdan bir nokta tutun ve o noktadan geçen doğruları hayal edin. Bir sürü doğru geçiyor değil mi? Yalnız dikkat edin, o bir sürü doğrunun hepsi x

x

y

O

4

-2

A

B

C

x

y

O A

B(15,3)C

x

y

O

y = x

A(7,2)

B(6,5)C

x

y

O 8

-4

-2

A

B

C

D

x

y

O

C

BA

y = x

x

y

O 6

9 y = x - 3

x

y

O

A(x , y )

α

d

1 1


13

ekseniyle farklı farklı açı ölçüleri oluşturuyorlar. Yani hepsinin eğimleri farklı. O halde mantığın doğal sonucu olarak, bir doğrunun üzerindeki bir noktası ve eğimi biliniyorsa, o doğrunun tek oldu-ğunu dolayısıyla denkleminin yazılabileceğini an-lıyoruz. Şu an bilmiyoruz ayrı mesele, ama yazıla-bileceğini analiz ettik.

Geçtiği nokta A(x1, y1) ve eğimi m olsun. Doğru denklemlerinin birinci dereceden ve iki bilinme-yenli olduğunu biliyoruz. Yani y = ax + b şeklin-de. x’in katsayısı zaten eğimdi. O halde y = mx + b oldu. b’yi de bulursak denklemi yazmış olacağız. Bir doğrunun bir noktadan geçtiğini biliyorsak, o noktanın koordinatlarının denklemi sağlaması ge-rektiğini de biliyoruz. A(x1, y1) denklemi sağlama-lı. O halde y1 = mx1 + b olduğundan b = y1 – mx1 olur. Düzenleyelim:

y = mx + y1 – mx1

y – y1 = mx – mx1

y – y1 = m(x – x1)

Alıştırmalar

65. 2x + y – 5 = 0 doğrusuna dik olan bir d doğrusu (–6, 0)’dan geçiyorsa bu doğru y eksenini hangi ordinatlı noktada keser? A) 3 B) 2 C) 1 D) –2 E) –3 66. A(–2, 1) den geçen ve eğimi 2/3 olan doğru x ek-senini hangi apsisli noktada keser?

A) –1 B) –2 C) –2

7 D) –

3

1 E) –

2

1

67. C(–3, p) noktasında dik kesişen d ve k doğ-ruları yandaki şekilde gösterilmiştir. Buna göre d doğru-sunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x + 3y – 11 = 0 B) 3x – y + 11 = 0 C) 2x + 3y – 11 = 0 D) 3x + y – 11 = 0 E) x + 3y – 7 = 0

68. Yan şekildeki K noktası-nın ordinatı kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

69. k doğrusu orijinde geçmekte ve d doğrusu buna dik durumdadır. tan αααα = –2 ise A noktasının ordinatı kaçtır?

A) 2

3 B) 2 D)

2

5 D) 3 E)

5

24

70. Şekilde d doğrusu AC’yi dik kesmektedir. |BC| = 2⋅⋅⋅⋅|AB| ise D nokta-sının apsisi kaçtır?

A) 2

1 B) 1 C)

2

3

D) 3

4 E) 2

71. Yandaki OBA üçgeni dik ise A noktasının apsisi kaçtır?

A) 4 B) 5 C) 3

25

D) 27/4 E) 15/2

72. Aşağıdaki noktalardan hangisi d doğrusunun üzerindedir? A) (–1, –1) B) (–1, 2) C) (6, 0) D) (7, 1) E) (5, 2)

x

y

O

dk

1-3

C(3,p)

x

y

O

1

-2

-3

K

45

x

y

O

6

d

k

α

Α

x

y

O

AB

C3

6D

d

x

y

O A

B(3,4)

x

y

O

-1

A(2,7)

C d


14

73. 3y – 2x = 6 doğrusuyla y ekseni üzerinde dik kesişen doğrunun denklemi aşağıdaki-lerden hangisidir? A) x + 2y + 1 = 0 B) x + y + 1 = 0 C) 2x – 3y + 7 = 0 D) 3x + 2y – 4 = 0 E) 2x + 2y + 1 = 0

74. k doğrusu orijinden geçip, d doğrusuna diktir. A(–1, p) noktası k üze-rinde ise p kaçtır?

A) –2

1 B) –1 C) –2 D) –3 E) –4

75. y = px + k doğrusu ile y ekseni üzerinde dik kesi-şen AC doğrusunun denklemi aşağıdakiler-den hangisidir? A) y = –px + k B) y = px – k

C) y = xp

1 + k D) y = – x

p

1 + k

E) y = – xp

1 – k

76. ABCD bir dikdörtgen olup, A köşesinin apsisi –2, B kö-şe-sinin ordinatı –4 ise CD kenarının denklemi aşağı-dakilerden hangisidir? A) y = x – 2 B) y = 2 – x C) y = – x – 2 D) y = 3x + 1 E) y = – 2x + 1

77. Şekildeki iki doğru dik kesişiyorlarsa, B nokta-sının apsisi kaçtır?

A) 3

7 B)

3

10 C)

3

11

D) 3

13 E)

3

14

78. [AB]’nin orta dikmesi olan d doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisi-dir? A) 2y = 12x – 11 B) x + y – 5 = 0 C) 2y = 12x – 2 D) y = 6x + 10 E) y = 6x + 11

79. Grafikteki d ve k doğrula-rından birinin denklemi y = 2x + 4 ise taralı alan kaç birimkaredir? A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 32

80. Şekilde A, B, C nokta-ları doğrusal olup, BDC bir dik üçgendir. D noktasının apsisi –6 ise C noktasının ap-sisi kaçtır? A) –9 B) –10 C) –11 D) –12 E) –13

81. ABCD karesinin D köşesi y = 2x doğrusu üzerindedir. C köşesinin apsisi 6 ise ka-renin bir kenarı kaç br.dir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

x

y

O

3y - 2x = 6d

x

y

O

2

4

A(-1, p)

x

y

Oy = px + k

A B

C

x

y

O-2

-4

A

B

C

D

x

y

Oy = mx + 5

3y = 2x + 6

A B

C

x

y

O

A(-2,1)

B(4,0)

d

x

y

O

dk

x

y

OA

B

C

D

x + 2y = -16

x

y

O

y = 2x

A B

CD


15

İki noktası bilinen doğrunun denklemi. Aynen yukarda yaptığımız analiz gibi, bir doğrunun üze-rindeki iki noktasıyla belli olduğu, en azından ol-ması gerektiğini seziyoruz. Çünkü çizimlerimiz o noktadan sadece ve sadece tek bir tane çizebilece-ğimizi gösteriyor. E iki noktası belliyse, biz bu doğrunun eğimini biliyoruzdur, eğimi ve geçtiği bir noktası bilinen doğru denklemlerini de yazma-yı öğrenmiştik. O halde y – y1 = m(x – x1) eşitli-

ğinde m yerine12

12

xx

yy

−

− yazarsak, mutlu sona eri-

şeceğiz.

y – y1 = 12

12

xx

yy

−

−(x – x1)

veya

12

1

12

1

yy

yy

xx

xx

−

−=

−

−

Bu eşitliklere şöyle de ulaşabilirdik. Doğru üstün-deki herhangi bir nokta (x, y) olarak adlandırıl-sın. Yan şekildeki gibi A, B ve P noktalarının doğru-

sallığından 12

1

12

1

yy

yy

xx

xx

−

−=

−

−. Tabii bu eşitliği çok

fazla tasvip etmiyoruz. Çünkü iki nokta belliyse eğim bulunup, y – y1 = m(x – x1) formülünü kul-lanmak daha güzel gibi.

Alıştırmalar

82. A(–4, 1), B(0, –1), C(2, 7) ise ABC üçgeninin A köşesinden geçen kenarortayının denklemi ne-dir? A) 2x – 3y + 11 = 0 B) x – 3y + 4 = 0 C) x + y = 7 D) 2x – 5y + 13 = 0 E) 3x – 2y + 5 = 0 83.

A(–2

1, 3) ve B(1, –3) noktalarından geçen doğru-

nun denklemini yazınız? A) y = −4x + 1 B) y = −4x + 2 C) y = −4x + 3 D) y = −4x + 4 E) y = −4x + 5

84. 2x – 3(a + 1)y + a – 1 = 0 doğrusunun eğimi 2 ise a kaçtır?

A) –3

2 B)

3

1 C)

3

2 D)

2

1 E)

4

3

85. (p + 1)x – 2py + 5 = 0 doğrusu A(1, 1) noktasından geçiyorsa bu doğrunun eğimi kaçtır?

A) 7

5 B)

8

5 C)

5

8 D)

5

12 E)

12

7

86.

y = 2

1x – 2 doğrusunun A(–1, 0) noktasına en ya-

kın noktasının ordinatı kaçtır? A) –3 B) –2 C) –1 D) 0 E) 1 87. Denklemi (m – 1)x + 2y – m + 1 = 0 olan doğru-nun eğimi 1’dir. Bu doğrunun koordinat eksenle-riyle oluşturduğu üçgenin alanı nedir?

A) 4

1 B)

3

1 C)

2

1 D) 1 E)

2

3

88. A(p + 1, 2p), B(0, p) ve C(2 – p, 3) noktalarını kö-şe kabul eden üçgenin ağırlık merkezi y = –2x + 1 doğrusu üzerinde ise p kaçtır? A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 3

89. A(–2, 7), B(–4, 2) ve C(3, 1) noktalarının belirttiği ABC üçgeninin BD kena-rortayının denklemi aşağıdakilerden hangi-sidir? A) 4x – 9y + 34 = 0 B) 2x + 3y – 12 = 0 C) x – 5y + 11 = 0 D) 6x + 2y – 1 = 0 E) 5x + 2y – 7 = 0

x

y

O

A

B

C

D

A

B

P

(x1, y1)

(x2, y2)

(x, y)


16

90. D(0, 3), B(5, 0) olup, C noktasının apsisi A nokta-sının apsisinden 3 fazladır. ABCD bir paralelkenar olduğuna göre AC köşe-geninin denklemi aşağı-dakilerden hangisidir? A) x – y + 1 = 0 B) x – y – 1 = 0 C) x – 3y – 3 = 0 D) 3x – 3y – 1 = 0 E) 3x – y – 1 = 0

91. Yandaki OABC eşkenar dört-geninin B köşesinin koordi-natları (6, 2)’dir. Buna göre AC köşegeninin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y = 10 – 3x B) y = 9 – 2x C) y = 7 – 2x D) y = 9 – 4x E) y = 7 – 4x

92. Şekilde d ve k doğrula-rının eksenlerle oluş-turdukları dik yamuk görülmektedir. Yamuğun alanı 20 br2 ise k doğrusunun Ox eksenini kestiği nok-tanın apsisi olan p kaçtır?

A) –3 B) –2

5 C) –2 D) –

2

3 E) –1

93. Yandaki grafik aylara göre A ve B bitkilerinin boyları-nı cm. üzerinden göster-mektedir. Buna göre 28. ayda bu bitkilerin boyları toplamı kaç cm. olur? A) 52 B) 54 C) 59 D) 61 E) 64

94. DEC ikizkenar üçgen olup, CEFB eşkenar dörtgendir. FBCD dörtgeninin çevresi 26 birim ise A’nın ordinatı kaçtır? A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20

Eksenleri kestiği noktaları bili-nen doğrunun denklemi. Artık bu soruyu yapmak için birkaç yo-lumuz var. İster önce eğimi bulur ve geçtiği bir noktayı alırız, ister-sek geçtiği iki noktası bilinen

doğru denklemlerini kullanarak yazabiliriz.

1=+b

y

a

x

Formülümüz düzenlenirse,

bx + ay = ab

eşitliği de peydahlanır.

Yani, doğrunun y eksenini kestiği noktayı x ile, x eksenini kestiği noktayı y ile çarpıp, bunların top-lamını eksenleri kestiği noktaların çarpımlarına eşitleyerek de doğrunun denklemini yazabiliriz.

Orijinden geçen doğrunun denklemi. Orijin dediğimiz şey nam-ı diğer başlangıç noktasıdır. Yani koordinatları (0, 0) olan nokta.

Eğimi m olan ve (0, 0)’dan geçen doğrunun denk-lemi yazılırsa y = mx denklemine ulaşılır.

Eksenlere paralel doğruların denklemi. (a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (a, 5), (a, 6), (a, 7), … , (a, n), … noktalarının ortak özelliğini sorsam size ne der-siniz? Tüm noktaların apsisleri

yani x’lerinin a olduğunu değil mi? İşte bu nokta-ların belirttiği bu doğruya biz de bunun için x = a doğrusu deriz. Yani, bu doğru x’i a olan tüm nok-taları taşıyor manasına gelir. Yan şekildeki diğer doğru da aynı sebepten dolayı y = b doğrusu adını alır.

x

y

O A B

CD

x

y

O A

BC

x

y

O

2

5p

dk

x(ay)

y(cm)

O2

5

(7,10)

AB

x

y

O

A

B

C D

E

F

9

x

y

Oa

bc

x

y

O

y = mx

1

m

x

y

O

x = a

y = b

a

b


17

Alıştırmalar 95. x = 0, y = 0, x = 3 ve y = –2 doğrularının sınırla-dığı bölgenin alanı kaç br2dir? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

96. y = x + 2, y = 3 ve x = 5 doğrularının oluşturduğu taralı üçgensel bölgenin alanı kaç birimkaredir?

A) 3 B) 2

7 C) 4 D)

2

9 E) 8

Analitik düzlemde iki doğrunun durumu. Hadi bir hayal kuralım. Herkes aklından bir düzlemde iki doğru düşünsün. Durun tahmin edeyim: Ya iki-sini üst üste düşündünüz, çakışık bir vaziyette ya-ni, ya paralel ya da kesişen bir biçimde değil mi? Bu işi bırakıp müneccim mi olsam acaba? ☺ İki doğru her zaman bu üç durumdan birini sağlar. İti-razı olan varsa aksine bir örnek göstersin.

Şimdi doğruların grafiklerine bakarak değil de denklemlerine bakarak, çakışık mı, paralel mi yoksa kesişen mi olduklarını söyleyebilmeyi öğre-neceğiz. Doğrularımız aşağıdaki gibi olsunlar:

d1 : a1x + b1y + c1 = 0

d2 : a2x + b2y + c2 = 0

2

1

2

1

2

1

c

c

b

b

a

a== olursa, iki doğrunun hem eğimleri

hem de eksenleri kestiği noktalar aynı olacağından doğruların aslında aynı doğruyu simgelediklerini anlarız. Böyle doğrulara çakışık doğrular diyece-ğiz.

2

1

2

1

2

1

c

c

b

b

a

a≠= olursa, ilk eşitlik gereği doğruların

eğimlerinin eşit olduğunu anlarız. Eğimlerinin eşit olması bizi eğim açılarının eşitliğine götürür. Bu da doğruların paralelliği demektir. Sabit terimleri oranı farklı olduğundan çakışık olamayacakları da çıkarılır.

2

1

2

1

b

b

a

a≠ ise eğimleri farklı olur. O halde ne çakı-

şık ne de paralel olur bu doğrular. Tek bir şans ka-lıyor: Bir noktada kesişmeleri. Ve bu da gerçekle-şir.

Alıştırmalar 97. y = –3x – 1 ve mx + 2y + n – 1 = 0 denklemleri aynı doğrunun ise m + n = ? A) 11 B) 9 C) 7 D) 5 E) 3 98. 2x + y – 1 = 0 ve ax + 2y – 9 = 0 doğrularının tek noktada kesişebilmeleri için a hangi değeri al-mamalıdır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 5 E) 4 99. 2x + y – 1 = 0 ve ax + 2y – b = 0 doğrularının pa-ralel oldukları ama çakışık olmadıkları biliniyor. Buna göre a kaç olmalı, b kaç olmamalıdır? A) a = 6, b ≠ 4 B) a = 4, b ≠ −2 C) a = 4, b ≠ 2 D) a = −4, b ≠ −2 E) a = −4, b ≠ 2

Noktanın doğruya olan uzaklığı. Gele gele anali-tik geometrinin en önemli formüllerinden birine geldik. Koordinatları verilen bir noktanın, denk-lemi verilen bir doğruya olan uzaklığını hesapla-mayı öğreneceğiz. Bilindik ÖSS geometrisi kural-larıyla kanıtlanabilen ama uzun bir kanıtı var, onun için bu kanıtı size alıştırma olarak bırakıyo-rum. Artık aşağıdaki formülü adınız gibi ezberle-yin demekten başka yol da kalmıyor.

Noktamız P(x1, y1), doğrumuz da ax + by + c = 0 olsun. Noktanın doğruya olan uzaklığına da h di-yelim. Bu arada uzaklık denilince en kısa uzaklık olarak algılamalısınız, onu da belirteyim.

22

11 ||

ba

cbyaxh

+

++=

x

y

O

y = x + 2

y = 3

x = 5

P(x , y )1 1

dh


18

Burada diğer bir önemli nokta da, formülün uygu-lanabilmesi için, denklemi kapalı hale getirmemiz gerektiğidir. Lütfen buna dikkat edin!

Alıştırmalar 100. P(1, –2) noktasının 3x – 4y + 9 = 0 doğrusuna olan uzaklığı kaç birimdir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

101. Koordinatları A(n, 2) olan noktaların 4x – 3y + 4 = 0 doğrusuna uzaklıkları 4 birimdir. Bu koşula uyan n değerlerinin toplamı kaçtır ? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

102. Yandaki şekle göre, A(3, 4) noktasının y = mx doğrusuna uzak-lığı 3 birim ise m kaçtır?

A) 3

1 B)

24

7 C)

23

15 D)

15

8 E)

10

3

103. Şekildeki iki doğru birbir-lerine dik olup A noktası-nın doğruya olan uzaklığı

20 birimse A noktasının ordinatı olan p kaçtır?

A) 4 B) 3 C) 3

8 D)

3

10 E)

2

9

İki doğrunun belirttiği açı. Kesişen iki doğru daima bü-tünler iki açı çifti belirtir. Ya-ni, şekildeki d1 ile d2 doğrula-rının belirttiği açının ölçüsüne α diyebileceğimiz gibi 180o –

α da diyebilirdik. Bu açıları bulmanın formülü de trigonometri içerdiğinden bunu da kanıtsız olarak

vereceğiz. Lütfen bu formülü de adınızı söyleye-bildiğiniz hızda söyleyebiliyor olun. Beni kızdır-mayın!

tan α = 21

12

1 mm

mm

⋅+

−

Bu formülün arka planında aslında başka şeyler de yatıyor. Mesela m1 = m2 olduğunu düşünün. tan α formülü sıfıra eşit oluyor. Bu da bize bu iki doğ-runun sıfır derecelik bir açı belirttiğini yani doğru-ların birbirlerine paralel olduklarını anlatıyor. Benzer şekilde m1⋅m2 = –1 olması halinde de for-mülün paydası sıfır olduğundan yani ifade tanım-sız olduğundan, diğer yandan tan 90o’nin de ta-nımsız olduğunu bildiğimizden doğruların birbir-lerini dik kestiğini anlarız.

Alıştırmalar 104. y = –x + 3 ve 3 x – y + 1 = 0 doğruları arasındaki dar açı kaç derecedir ? A) 15o B) 30o C) 45o D) 60o E) 75o

105. 2x – 3y + 1 = 0 ve y = 3x – 5 doğruları arasındaki dar açının tanjantı kaçtır ? A) 5/4 B) 6/7 C) 7/9 D) 9/11 E) 11/13

106. y = 2x – 3 ve y = –3x + 1 doğruları arasındaki ge-niş açı kaç derecedir ? A) 105o B) 120o C) 135o D) 150o E) 165o

107. y = 3x + 2 ile y = ax + 5 doğ-ruları arasındaki açı 45o ise a aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) 2

1 B)

2

3 C) 2

D) 4

7 E)

2

5

x

y

O

A(3, 4)

y = mx3

x

y

O

4

-2

A(-5, p)

x

y

O

45

y = 3x + 2

y = ax + 5x

y

O

α

dd12


19

108. A(3, 5), B(–2, 1) ve C(x, 0) noktaları için BAC dik üçgeni yanda çizilmiştir. Buna göre x kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

Paralel iki doğru arasındaki uzaklık. Şimdi de paralel iki doğru arasındaki uzaklığı he-saplamayı öğreneceğiz.

d1: ax + by + c1 = 0 ve d2: ax + by + c2 = 0 ise

22

21

ba

cch

+

−=

Bunun da başka bir yolu var.

Paralel doğrular arasındaki uzaklık her yerde sabit olduğundan d1 doğrusu üzerinde bir nokta alıp, bu noktanın d2 doğrusuna olan uzaklığını bulmak, as-lında paralel iki doğru arasındaki uzaklığı bulmak-tır. Siz yine e bu formülü de ezberleyin!

Alıştırmalar

109. y = 2x – 3 ve y = 2x – 8 doğruları üzerinde birer kenarı bulunan bir karenin alanı kaç birimkare-dir? A) 5 B) 7 C) 8 D) 10 E) 25 110. Tabanı 3x + 4y – 1 = 0 doğrusu üzerinde, tepesi de 3x + 4y + 14 = 0 doğrusu üzerinde bulunan bir eş-kenar üçgenin bir kenarının uzunluğu kaç bi-rimdir?

A) 3 B) 4 C) 6 D) 10 E) 12 111. 5x – 12y + 4 = 0 ve –5x + 12y + k = 0 doğrularının arasındaki uzaklığın 1 birim olabilmesi için k’nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? A) 9 B) –7 C) –8 D) –10 E) –17

Açıortay doğrularının denk-lemleri. İki doğru eğer paralel değillerse kesişirler. Böylelikle iki ters açı çifti oluşur. Bu açı-ların açıortayları da birer doğ-ru olduğundan denklemleri merak edilebilir.

Merak edenler için verelim:

d1 : a1x + b1y + c1 = 0

d2 : a2x + b2y + c2 = 0 olsun.

ℓ1 ve ℓ2 açıortay doğruları olduğundan üzerlerinde alınan herhangi bir (x, y) noktasının d1 ve d2 doğ-rularına olan uzaklıkları eşittir. Bir noktanın bir doğruya olan uzaklığı formülünü kullanırsak

2

2

2

2

222

2

1

2

1

111 ||||

ba

cybxa

ba

cybxah

+

++=

+

++=

eşitliğine erişiriz ki çıkan değerler d1 ve d2 doğru-larının açıortaylarının denklemlerini verir.

Alıştırmalar

112. x – 2y + 1 = 0 ve 4x + 2y + 5 = 0 doğrularının açı-ortay denklemlerini bulunuz? A) 2x + 6y + 3 = 0, 6x – 2y + 7 = 0 B) x – y + 1 = 0, x + 2y – 1 = 0 C) 2x + 3y – 5 = 0, 5x + 2y – 1 = 0 D) x + y + 1 = 0, 4x + 2y – 1 = 0 E) 5x + y + 1 = 0, 5x – 2y + 1 = 0 113. 5x – 5y + 1 = 0 ve x – 7y + 2 = 0 doğrularının açı-ortaylarının birinin denklemi nedir ? A) 2x + 5y + 1 = 0 B) x – 2y + 1 = 0 C) 3x + 2y = 4 D) 2x – 4y + 1 = 0 E) 2x – 4y + 1 = 0 114. Yandaki OBA bir dik üçgen olup, AN iç açıortaydır. A noktasının koordinatları (4, 3) ise N noktasının apsisi kaçtır?

x

y

O

A(4,3)

BN

dhh

d1

2

d

d

1

2

l

l

1

2

(x, y) h

h

x

y

O

B

C

A


20

A) 5

19 B)

5

12 C) 2 D)

2

5 E)

5

14

115. AOC dik üçgeninin köşe koordinatları yan şekilde verilmiştir. CB iç açıortay ise a kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

Doğru demeti. İki veya daha çok doğru noktadaş ise adına doğru demeti denen bir şekil oluştururlar. Doğru demeti denklemleri x ve y dışında bir bilinmeyen içerirler. Bu bi-

linmeyen değiştikçe doğrular değişir ama hep bir nokta sabit kalır.

d1 + k ⋅ d2 = 0 (k ∈ �)

Bir doğru demetinin geçtiği ortak sabit noktayı bulmak için k değişkenine canımızın istediği 2 farklı değer veririz. Böylelikle demet içinden han-gisi olduğunu bilmediğimiz ama kesinlikle bu de-met içinde olduğunu bildiğimiz iki doğru denkle-mi elde ederiz. Bu doğruların kesiştiği noktanın bulunması, bize doğal olarak tüm demetin geçtiği ortak sabit noktanın koordinatlarını verecektir.

Doğruların parametrik denklemi. Doğru denk-lemlerinde görülen x ve y’leri bir üçüncü değişken cinsinden yani bir parametre kullanarak yazmaya doğrunun parametrik denklemi denir.

Örneğin, x = y doğrusu (t, t) olarak, y = 2x doğrusu (t, 2t) olarak gösterilebilir. Parametrik gösterim-lerde her zaman ilk bileşen x’i, ikinci bileşen y’yi verir. Bunun için A(2 + t, 3t + 1) noktalarının ge-ometrik yeri demek, parametrik denklemi (2 + t, 3t + 1) olan doğru demektir.

Çözümü şöyle yapacağız:

x = 2 + t ⇒ t = x – 2

y = 3t + 1 ⇒ y = 3(x – 2) + 1.

Alıştırmalar 116. y = 2x – 5 ve y = x + 1 doğrularının kesiştiği nok-tanın koordinatlarının toplamı kaçtır?

A) –1 B) 7 C) 11 D) 13 E) 14

117. 2mx – 3y + 4m – 6 = 0 doğru demetinin geçtiği or-tak sabit noktanın koordinatları nedir? A) (1, 0) B) (–2, –2) C) (0, –1) D) (5, –1) E) (4, 4) 118. x = 2t – 1 ve y = 3t + 2’dir. t değiştikçe A(x, y) noktasının geometrik yerinin denklemi nedir ? A) 3x – 2y + 7 = 0 B) 2x + 3y = 6 C) 3x + 4y – 12 = 0 D) x – 2y + 3 = 0 E) 5x + y – 1 = 0 119. x + y + 1 = 0, y = 3x + 7, x – 2y + m = 0 doğruları aynı noktada kesişiyorlarsa m kaçtır ? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 120. Parametrik denklemi; x = 2t + 1, y = t – 2 olan doğrunun eğimi kaçtır ?

A) 2

1 B) −

2

1 C)

8

1 D) 2 E) −2

121. (m – 1)x +(m + 1)y – 2m = 0 doğrularının geçtiği sabit noktanın apsisi kaçtır ?

A) –2 B) 2

1 C) –

2

7 D) 1 E) 2

122. A(m + 1, –m) ve B(m – 1, 2) noktalarının orta noktası C’dir. m değiştikçe C noktasının geo-metrik yerinin denklemi ne olur? A) x + 2y – 1 = 0 B) x + 2y – 2 = 0 C) x + 2y – 3 = 0 D) x + 2y – 4 = 0 E) x + 2y – 5 = 0

x

y

O

A(0,8)

B(0,3)

C(a,0)


21

123. Şekilde d ve k doğruları-nın eksenleri kestiği nok-talar belirtilmiştir. Buna göre taralı dört-genin alanını bulunuz.

A) 2 B) 2

5 C) 3

D) 2

7 E) 4

124. Şekilde d ve k doğrularının eksenleri kestiği noktalar be-lirtilmiştir. Buna göre taralı dörtgenin alanını bulunuz. A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12 125. Şekildeki k doğrusuna (–3, 0) noktasından bir dik indiriliyor. Doğruların arakesiti olan P noktasının y eksenine olan uzaklı-ğı kaç birimdir?

A) 1 B) 2

3 C) 2 D)

4

7 E)

2

5

126. Yandaki taralı bölge-nin alanı kaç birimka-redir? A) 16 B) 18 C) 20 D) 21 E) 24

127. Şekilde taralı üçgen-sel bölgenin alanı a cinsinden neye eşit-tir? A) 2a + 6 B) 2a – 3 C) a + 6 D) 2a + 3 E) 3a + 2

128. Şekilde kesişen doğrula-rın denklemleri verilmiş-tir. Taranan üçgensel bölgelerin alanları top-lamı kaç br2.dir? A) 10 B) 12 C) 14 D) 15 E) 18

129. y ekseni üzerindeki A noktasında kesişen iki doğrunun x ekse-niyle oluşturduğu ABC üçgensel böl-gesinin alanı kaç birimkaredir? A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12

130. Şekildeki doğrular y ekseni üzerinde kesişiyorlarsa a kaçtır? A) –6 B) –4 C) –3 D) –1 E) 1

131. Yandaki grafikte, üç doğrunun kesişimiyle oluşan üçgensel böl-genin alanı kaç bi-rimkaredir?

x

y

O

A2

-41

-3

dk

x

y

O 1 4

-3

6d

k

x

y

O

1

2-3

P

d

k

x

yy = x + 4

2x - 9y - 6 = 0

A

B

C

x

y

O4x - ay = 4a

4x + 3y = -12

A B

C

x

y

O

3y - 2x = 12

y = 6

x

y

O

10y - 4x = 40

2x - 3y = 4m

A

B C

x

y

O

y = 5x + 2ay+2x = 4a+6

x

y

O

y = 2x

y = x/2

y = 6


22

A) 18 B) 23 C) 24 D) 27 E) 30

132. Grafikteki iki doğru x ekseni üzerinde aynı noktada kesişmekte-dirler. ABC üçgensel bölgesinin alanı kaç birimkaredir?

A) 2

15 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12

133. Şekildeki iki doğrunun x ekseniyle oluşturdukları ta-ralı üçgensel bölgenin ala-nı kaç birimkaredir? A) 9 B) 12 C) 14 D) 15 E) 18

134. Yandaki şekilde |CD| = 2⋅|OC| = 2⋅|OB| = 2⋅|OA| olup, (ECD) üçgeninin ala-nı 2 ise E noktasının apsisi kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

135. d ve k doğrularının eksenleri kestiği noktalar grafikte gös-terilmiştir. Taralı dörtgensel bölgenin alanı kaç birimkaredir?

A) 5

17 B)

5

19 C) 4 D) 5 E)

5

27

136. OABC bir ikizkenar yamuk-tur. Üst tabanının denkle-mi y = 2 ve AB kenarının denklemi 2x + y = 8 ise yamuğun alanı kaç birimkaredir?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 9 137. A(0, 2), B(6, 4) ve C(2, 8) noktalarını köşe kabul eden üçgenin çevrel çember merkezinin koordi-natları toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

A) 7 B) 5

36 C)

5

38 D)

5

39 E)

5

41

DOĞRUNUN DÜZLEMDE AYIRDIĞI BÖLGELER

Birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizlikler. y = mx + n denklemini nasıl yorumlamamız gerek-tiğine değinmiştik. Tekrar hatırlatalım. Öyle bir (x, y) noktası düşünün ki; y’si x’inin m katının n fazlası olsun. Eğer bu şartları sağlayan bir nokta bulursak, bu noktanın doğrunun üzerinde olduğunu söylüyorduk. Peki, bu şartları sağlayan kaç farklı nokta bulunabilir? İstediğimiz kadar çok. İşte bu y = mx + n doğrusu, y’si x’inin m ka-tından n fazla olan tüm noktaları üzerinde taşıyan bir doğrudur. Peki, sağlamayan noktalar nerede o zaman? Bu doğrunun üzerinde olmadığı kesin. O halde ya üstünde ya altında, veya ya sağında ya solunda. Peki üstünde olmayan kaç nokta var? On-lar da istediğimiz kadar çok, hatta istemediğimiz kadar çok! Peki bu doğrunun üzerinde olmayan noktalar doğrusal mı? Hayır, dağınık bir şekilde-ler. Yani bir bölge oluştururlar. İşte bu doğrunun üst bölgesi analitikte y > mx + n, alt bölgesi de y > mx + n olarak gösterilir. Bir doğrunun üst bölgesini denklemle anlatmak is-teyen, önce doğrunun açık denklemini yazacak, sonra da ‘’=’’ işaretini ‘’>’’, alt bölge için de ‘’<’’ yapacak. Eğer üst bölgeye doğru üzerindeki nokta-

lar da dahilse ‘’ � ’’, alt bölgeye doğru üzerindeki noktalar da dahilse ‘’ � ’’ işaretini kullanacağız. Yok eğer böyle yapmak istemiyorsanız, şunu ya-pın: Önce doğrunun denklemini çizin. Eşitlik varsa düz çizgi, eşitlik yoksa kesik kesik çizin. Sonra doğru-nun üstünde olmayan bir nokta seçin. Eşitsizliği sağlıyorsa, doğru bölgeden seçmişsinizdir, sağla-mıyorsa yanlış bölgeden.

x

y

O

y = x + 5

2x - 5y = -10

A B

C

x

y

O

y - 2x = 4

3x + y = 9

x

y

O

A

B

C D

E

x

y

O-4

1

-3

2

d

k

x

y

O A

BCy = 2


23

x

y

O x

y

O

x

y

O x

y

O

y > mx + n y > mx + n

y < mx + n y < mx + n

Uyarı. ax + by + c = 0 doğrusu ve A(x1, y1) ile B(x2, y2) noktaları verilsin. Eğer (ax1 + by1 + c1)⋅(ax2 + by2 + c2) < 0 ise A ile B noktaları doğrunun farklı taraflarındadır. Eğer (ax1 + by1 + c1)⋅(ax2 + by2 + c2) > 0 ise A ile B noktaları doğrunun aynı taraflarındadır.

Alıştırmalar 138.

y � x, y ≥ 1,

x � 3 eşitsizlik sisteminin belirttiği bölgenin alanı kaç birimkaredir ? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6 139. Yanda taranan bölge hangi eşitsizlik sisteminin çö-zümüdür?

A) 2x – 3y + 6 � 0, x + y + 4 � 0 B) x – 2y + 6 � 0, x + y – 4 � 0 C) 3x – 2y + 6 � 0, x + y – 4 � 0 D) 3x – 2y + 6 � 0, x + y + 4 � 0 E) x – y + 1 � 0, x – y + 4 � 0

140. Grafikteki taralı bölgeyi be-

lirtmek için y �� 3, x �� 3 koşullarına ek olarak aşa-ğıdakilerden hangisi ve-rilmelidir?

A) x + y � 0 B) x + y � 0 C) x � y

D) x � y E) x + y + 3 � 0

141. Yandaki taralı bölgeyi ifade eden eşitsizlik sistemi aşa-ğıdakilerden hangisidir?

A) y > x + 1, x – 3y � 0 B) y � x + 1, 3x + 4y � 12 C) y � x + 2, x + 2y – 6 > 0 D) x + y + 1 � 0, x – 2y – 6 � 0 E) x + y � 0, 2x – y + 1 < 0

142. Şekildeki taralı düzlem par-çası aşağıdaki eşitsizlik sis-temlerinin hangisinin çö-züm kümesidir?

A) (y – x – 1)y � 0

B) (y – x – 1)y � 0

C) (y – x – 1)x � 0

D) (y – x – 1)x � 0 E) (y – x – 1)xy � 0

143. Şekildeki taralı düzlem parçası aşağıdaki eşitsizlik sistemle-rinin hangisinin çözüm kü-mesidir?

A) (x + y – 2)⋅(x – y + 2) � 0

B) (x + y – 2)⋅(x – y – 2) � 0

C) (x + y – 2)⋅(x – y – 2) � 0

D) (x + y – 2)⋅(x – y – 2) � 0

E) x + y > 2, x – y � 0

x

y

O

4

4-2

3

x

y

O

3

-3

x

y

O

3

4

1-1

x

y

O

1

1

x

y

O 2

2

-2


24

144. A(2, 4), B(3, 10) noktaları y = 2x + m doğrusunun farklı bölgelerinde ise m yerine yazılabilecek tamsayıların toplamı kaçtır? A) 3 B) 6 C) 9 D) 10 E) 15

145. A(2, 0), B(–2, –1) noktaları x + y + m = 0 doğru-sunun aynı bölgelerinde ise m yerine yazılabile-cek tamsayıların toplamı kaçtır? A) –3 B) –6 C) 1 D) 2 E) 3

146. A(1, 1), B(–1, –1) noktaları x + y – m = 0 doğrusu-nun farklı bölgelerinde ise m yerine yazılabilecek tamsayıların adedi kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Simetri. Tam olarak tanımı nedir, bilmiyorum, hatta tanımı var mıdır, onu dahi bilmiyorum. Bil-diğim bir şey var ki, A nesnesinin B nesnesine gö-re simetriğinin C nesnesi olabilmesi için kabaca 3 şart var: i. A, B, C doğrusal olmalılar. ii. |AB| = |BC| olmalı. iii. A ile C aynı nesne olmalı. Yorumlamaya üçüncüden başlayalım. Demek ki bir şeyin herhangi bir şeye göre simetriği hep ken-di cinsindendir. Yani bir ‘’nokta’’nın bir şeye göre simetriği yine bir ‘’nokta’’, bir ‘’doğru’’nun da herhangi bir şeye göre simetriği yine bir ‘’doğ-ru’’dur. İkinci şartın anlatmak istediği de noktalar veya doğrular neye göre simetriklerse, ona eşit uzaklıkta ve zıt taraflarında olmalılar. Bu zıt taraf-ta olmak yani B’nin ortada kalması da birinci şar-tın anlatmak istediği şeylerden biri. Diğeri de doğ-rusal olma mecburiyetleri. Bunun ne demek iste-diği zaten ayan beyan ortada. Yazılanlara bakınca ayna görüntüsü gibi bir şey olsa gerek simetri. Veya bir şeyi bir doğru boyun-ca katlayınca, katlama ekseninin her iki tarafında kalan parçalar tam olarak birbirlerini karşılıyorlar-sa(örtüyorlarsa), bu şekillere simetrik şekiller katlama eksenine de simetri ekseni denir.

Mesela A, H, I, M, O, T, U, V, Y, X harfleri birer simetri eksenlerine sahiptir. Hepsini tam or-talarından boyuna dik kesen bir doğru çizdiğimiz-de, o doğrunun solunda ve sağında kalan parçalar birbirlerinin simetrikleriler. Bazı harflerin de ya-tay simetri eksenleri vardır. Mesela B, C, D, E, H, I, K, O, X harfleri. Bu harfleri enine tam ortadan kesen bir doğru çizersek, doğrunun üstünde ve al-tında kalan parçalar birbirlerinin simetrikleri ola-caktır. Dikkat ettiyseniz bazı harflerin hem dikey hem de yatay simetrikleri var. H, I, O, X gibi… Bazen de eğik simetri eksenleri olur. Mesela O harfi eğik simetri eksenine de sahip, hem de çok fazla… O harfini hatasız bir çember gibi farzedin, tüm çapların çemberi simetrik iki yaya böldüğünü hatırlayın… Yani çember ve dairenin istediğimiz kadar çok, farklı simetri ekseni vardır. Değinmişken diğer geometrik cisimlere de el atalım. Acaba hangisinin simetri ekseni var, han-gi-sinin yok? Size bir ipucu vereyim: Düzgen n-genlerin her zaman n tane simetri ekseni olur. Çember zaten çok çok büyük n’ler için düzgün n-gen gibi düşünülebileceğinden, kim ne kadar ister-se o kadar sayıda farklı simetri ekseni vardır.

Yukarda görüldüğü üzere düzgün üçgenin (eşke-nar üçgen) 3, düzgün dörtgenin (karenin) 4, düz-gün beşgenin 5 farklı simetri ekseni vardır. Düz-gün olmayan hiçbir n-genin n tane simetri ekseni olamaz. Ayrıca hiçbir n-genin de n’den fazla si-metri ekseni olamaz.


25

Eşkenar üçgenden başka düzgün üçgen olmadı-ğından, eşkenar üçgenden başka 3 farklı simetri ekseni olan üçgen yoktur. İkizkenar üçgende 1 ta-ne (tepeden tabana inen yükseklik) simetri ekseni vardır. Çeşitkenar üçgenlerin ise simetri ekseni yoktur. Kareden başka düzgün dörtgen olmadığından ka-reden başka hiçbir dörtgende 4 farklı simetri ekse-ni yoktur. Dikdörtgen ve eşkenar dörtgenin 2 tane, deltoit ve ikizkenar yamuğun da 1 tane simetri ek-seni vardır. Paralelkenarın ise hiç yoktur. Peki, insanın kendisinin simetri ekseni var mıdır? Fazla eşelemezsen, vardır diyebiliriz. Boydan tam ikiye bölen bir doğru çizdiğinizi hayal edin, tam o. Ama enden yani göbekten geçen doğru simetrik bölmez, hataya düşmeyin. Başka ne örnekler verebiliriz günlük hayattan, bir düşünelim bakalım… Mesela, acaba açık du-ran bir tavla kutusunun simetri ekseni var mıdır, varsa kaç tanedir? Ayrıca, yazdığınız defterde, okudu-ğunuz kağıtta, tuttuğunuz kalemde durum ne, bun-ları da düşünün, sonra gelin bir bir bana sorun… Örneğin, harfleri incelediğimiz gibi siz de rakam-ları inceleyebilirsiniz... Artık az çok simetrik olmak ne demek, simetri ek-seni ne demek anlamış olmalısınız… Hayattaki, harflerdeki, geometrideki simetri der-ken, geldik analitik geometrideki simetriye… Şimdi ufak ufak noktanın noktaya, noktanın doğ-ruya, doğrunun noktaya, doğrunun doğruya fi-lan simetriklerini bulmayı öğreneceğiz. Tabi önce gü-zel doğrularla başlayacağız. Güzelden kastımız, koordinat eksenleri ve bunlara paralel doğrular. Noktanın Noktaya Göre Simetriği. En kolayla-rından biri. Simetrinin tanımı gereği A noktasının B noktasına göre simetriği de bir noktadır. O nok-taya C diyelim. Yine simetrinin tanımı gereği |AB| = |BC| ve A, B, C noktaları doğrusal olmalı. Yahu bu B noktası, o zaman, düpedüz AB doğru parça-sının orta noktası!.

A(x , y ) B(a, b) A'(x, y)

A(x1, y1) noktasının B(a, b) noktasına göre simet-

riği C(x, y) ise axx=

+

21 , b

yy=

+

21 ’dir.

Bildiğin orta nokta koordinatlarını bulmakla aynı şey. Fazla söze gerek yok.

Alıştırmalar

147. A(1, –4) noktasının B(2, 2) noktasına göre simetri-ği C’dir. C noktasının koordinatlarının toplamı kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

148. A(2, –3) noktasının B(4, 1) noktasına göre simetri-ği olan noktanın Ox eksenine olan uzaklığı kaç birimdir? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 149. A(3 – m, m) noktasının C’ye göre simetriği B(2, 1 – 3m)’dir. C’nin 4x – 2y + 3m = 0 doğrusu üzerin-de olması için m kaç olmalıdır? A) –3 B) –2 C) 1 D) 2 E) 3

150. A(4, 0) noktasının B noktasına göre simetriği şekildeki C noktasıdır. C’nin orijine uzaklığı 5 bi-rim ise AOC üçgeninin alanı kaç birimkaredir? A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E) 10 Özel doğrulara göre simetri. Aşağıda verilen ba-ğıntıları tek tek kanıtlayınız.

x

y

O

D(–x1, y1)

C(–x1, –y1)

y = x

A(x1, y1)

B(x1, –y1)

E(y1, x1)

x

y

O

A

B

C5

4


26

A(x1, y1) noktasının;

Ox eksenine göre simetriği: B(x1, –y1)

Oy eksenine göre simetriği: D(–x1, y1)

Orijine göre simetriği: C(–x1, –y1)

y = x doğrusuna göre simetriği: E(y1, x1)

y = –x doğrusuna göre simetriği: F(–y1, –x1)

x = a doğrusuna göre simetriği : A′(2a – x1, y1) y = b doğrusuna göre simetriği : A′(x1, 2b – y1)

Alıştırmalar

151. A(–1, 2) noktasının Ox eksenine göre simetriği-nin koordinatlarını bulunuz. A) (1, 2) B) (2, 1) C) (–1, –2) D) (–2, –1) E) (1, –2)

152. M(–3, 4) noktasının Oy eksenine göre simetriği analitik düzlemin hangi bölgesindedir? A) 1. B) 2. C) 3. D) 4. E) 2. veya 3.

153. A(4, –2) noktasının orijine göre simetriği olan noktanın koordinatlarını bulunuz. A) (−2, 4) B) (−4, −2) C) (4, 2) D) (2, –4) E) (–4, 2)

154. A(1, –3) noktasının birinci açıortay doğrusuna göre simetriği olan noktanın koordinatlarını bulunuz. A) (–1, –3) B) (3, –1) C) (–1, 3) D) (–3, 1) E) (1, 3)

155. A(m + 1, 1 – 3m) noktasının ikinci açıortay doğru-suna göre simetriği analitik düzlemin üçüncü böl-gesindedir. Buna göre m kaç olabilir? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

156. A(5, –2) noktasının y = –7 doğrusuna göre simet-riği olan B noktasının orijine olan uzaklığı kaç birimdir? A) 5 B) 8 C) 10 C) 12 E) 13

157. A(5, 2) noktasının x = 1 doğrusuna göre simetriği B noktasıdır. A, B ve orijinden oluşan üçgensel bölgenin alanı kaç birimkaredir? A) 5 B) 6 C) 8 C) 10 E) 11

158. A(x, y) noktasının Oy eksenine göre simetriği B ve B’nin Ox eksenine göre simetriği C(–5, 2) nokta-sıdır. A noktasının koordinatlarını bulunuz. A) (3, –2) B) (5, –2) C) (–2, 3) D) (3, 4) E) (4, 5)

159. A(–2, 1) noktasının x = 1 doğrusuna göre simet-riğinin koordinatları nelerdir? A) (3, 2) B) (4, 1) C) (3, 3) D) (3, 4) E) (4, 5) 160. A(–3, 1) noktasının Ox eksenine göre simetriği B, y = x doğrusuna göre simetriği ise C’dir. Buna göre BC doğrusunun denklemini yazınız. A) x + 2y + 5 = 0 B) 2x + 3y – 6 = 0 C) 4x – 5y + 9 = 0 D) x – y + 1 = 0 E) x + y + 4 = 0 161. (2 – m)x + (m – 1)y + 6 = 0 doğruları sabit bir P noktasından geçmektedirler. P noktasının orijine göre simetriğinin koordinatlarını bulunuz. A) (4, 4) B) (2, 2) C) (–2, –2) D) (–4, –4) E) (6, 6)


27

162. A(–2, 3) noktasının Ox eksenine göre simetriği B, B’nin orijine göre simetriği ise C’dir. BC doğrusunun denklemini bulunuz. A) 3x + 2y = 0 B) y = 2x C) 3x = 2y D) x + 2y + 1 = 0 E) 2x + 3y – 2 = 0 163. –3x + 2y – 5 = 0 doğrusunun orijine göre simetriği olan doğru 3(n – 1)x + 2(m – 2)y + 5 = 0 doğrusu ise m⋅⋅⋅⋅n çarpımı kaçtır? A) –2 B) 0 C) –1 D) 1 E) 2 164. A(2, –3) noktasının y + 1 = 0 doğrusuna göre si-metriği B’dir. B noktasının x + y = 0 doğrusuna göre simetriğinin 3x – y – a = 0 doğrusu üzerin-de olması için a kaç olmalıdır? A) –1 B) –5 C) –2 D) 5 E) 2

165. m bir reel sayıdır. (m + 2)x + (2m – 1)y + 5 = 0 doğrularının geçtiği sabit nokta A’dır. A’nın x + y = 0 doğrusuna göre simetriği olan noktanın koordinatları nelerdir? A) (–2, –1) B) (2, 1) C) (1, –2) D) (–1, 2) E) (–2, 1) 166. a2b < 0 ve y2x < 0 olmak üzere A(ax, y) noktası

analitik düzlemin üçüncü bölgesinde ise B(a, by) noktasının ikinci açıortay doğrusuna göre si-metriği hangi bölgededir? A) 1. B) 2. C) 3. D) 4. E) Orijinde 167. A(3, 1) noktasının y = 2 doğrusuna göre simetriği B’dir. B’nin orijine olan uzaklığı kaç birimdir?

A) 3 B) 5 C) 10 D) 12 E) 18

168.

1=−b

y

a

x doğrusunun ikinci açıortay doğrusuna

göre simetriğinin kapalı denklemini yazınız. A) ax – by + ab = 0 B) ax + by – ab = 0 C) bx – ay + ab = 0 D) bx – ay – ab = 0 E) ax – by – ab = 0

169. Birinci ve ikinci açıortay doğruları yanda çizilmiştir. M(3, –2) noktasının orijine göre simetriğinin x ekseni-ne göre simetriği, analitik düzlemin yanda gösterilen hangi bölgesinde-dir? A) A B) B C) C D) D E) E

170. d1 ve d2 doğrularının ikisi de x ekseni üzerindeki A noktasından geçmektedir-ler. d1 doğrusunun denk-lemi y = ax + 2a ise d2 doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisi-dir? A) y = ax – 2a B) y = –ax + 2a C) y = –ax – 2a D) y = x/a + 2a E) y = x/a – 2a

171. Analitik düzlemde simetri eksenleri x – y + 2 = 0 ile x + y = 0 doğruları olan dikdörtgenin bir köşe-sinin koordinatı (2, 0) olduğuna göre diğer üç kö-şesinin apsisler toplamı kaçtır? A) –6 B) –5 C) –4 D) –3 E) –2

172. A(–1, 4) noktasının x + y = 0 doğrusuna göre si-metriği B noktasıdır. B’nin x = 3 doğrusuna göre simetriği 2y = x + a doğrusu üzerinde ise a kaçtır? A) 8 B) 12 C) –10 D) –8 E) –12

x

y

ABC

DE

M(3, -2)

x

y

AB

C

d

d

1

2


28

Bir noktanın bir doğruya göre simetriği. Bir A noktasının bir d doğrusuna göre simetriği alt şe-kildeki şartları sağlayan A′ noktasıdır. Yani, d doğrusu [AA′]’nın orta dikmesi olmalıdır.

d: ax + by + c = 0A(x , y )11

A'

k

P

A′ noktasının koordinatlarını aradığımızı unutma-yın. Peki neyi bilseydik A′ noktasının koordinatla-rını bulabilirdik? |AP| = |PA′| olduğundan P nokta-sının koordinatlarını. Peki, P noktasının koordinat-larını nasıl bulabiliriz? P noktası rastgele bir nokta değil ki, d ve k doğrularının kesim noktası! Peki, bu kesim noktasını bulabilmek için neye ihtiyaç var? d ve k doğrularının denklemlerine. d doğru-sunun denklemi zaten belli, o zaman k doğrusunun denklemini bulalım. Şimdi neye ihtiyaç var? Üs-tünde bir nokta bilindiğinden eğimine. Peki, k doğrusunun eğimini nasıl buluruz? d doğrusuyla dik kesiştiğinden d’nin eğiminin tersinin ters işa-retlisidir. Peki, d’nin eğimini bulabilir miyiz? Pek tabii ki…

O halde soru çözüldü.

Şimdi bu dediklerimizi tersten yapalım:

1) Verilen d doğrusunun eğimini bul.

2) Buradan k doğrusunun eğimini bul.

3) k doğrusunun denklemini yaz.

4) d ve k doğru denklemlerini ortak çöz, P’yi bul.

5) Orta nokta formülünden veya noktanın noktaya göre simetriğinden, A′ noktasını bul.

Noktanın doğruya göre simetriğinin hesapları, nerdeyse analitik geometrinin tüm önemli noktala-rına dem vurmakta. ‘’Herhangi bir anda herhangi bir noktanın herhangi bir doğruya göre simetriğini hesaplamayı unutmamaya gayret edin ki, analitik geometriyi de unutmamış olun!’’ derim ben, bil-mem dinler misiniz?

Alıştırmalar

173. A(1, 2) noktasının 3x + 4y – 1 = 0 doğrusuna göre simetriği B’dir. Buna göre |AB| kaçtır? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

174. A(2, −4) noktasının 2x + y – 5 = 0 doğrusuna gö-re simetriği olan noktanın koordinatları neler-dir? A) (–6, –1) B) (6, –2) C) (3, –1) D) (5, –2) E) (3, –2) 175. A(1, –2) noktasının y = mx + n doğrusuna göre si-metriği B(5, 4) ise m⋅⋅⋅⋅n çarpımı kaçtır? A) –1 B) –5/2 C) –2 D) –3 E) 2 176. A(−1, 1) noktasının y = 3x – 1 doğrusuna göre simetriği olan noktanın apsisi kaçtır? A) 2 B) 11/3 C) 13/6 D) 15/4 E) 20/3 177. Dik koordinat sisteminde A(−2, 3) noktasının x = 1 doğrusuna göre simetriği ile B noktasının x + y + 4 = 0 doğrusuna göre simetriği çakışık ise B’nin koordinatları nelerdir? A) (–2, 3) B) (3, –2) C) (–6, –8) D) (–7, –8) E) (–8, –6) Bir doğrunun bir noktaya göre simetriği. Bir nesnenin bir şeye göre simetriğini aynı nesneden olduğunu ama farklı pozisyonda bulunabileceğine değinmiştik. Bir doğrunun bir şeye göre simetriği de yine bu sebeple bir doğrudur. Şimdi bir doğru-nun verilen bir noktaya göre simetriğini bulmayı öğreneceğiz. 3 farklı yol göstereceğiz.

Birinci yol. Bir d doğrusu-nun bir A noktasına göre simetriği, bu doğru üzerinde alınabilecek tüm noktaların A’ya göre si-metriklerinin üzerinde bulun-dukları l doğrusudur. O halde

bize verilen d doğrusunun üzerinde olan iki nokta alacağız ve noktanın noktaya göre simetriği kural-larından l doğrusunun üzerinde bulunan iki nokta-nın koordinatlarını bulmuş olacağız. İki noktası bi-

d

l

A(x , y )11


29

lindiğinden, l’nin denklemini yazmak hiç de zor olmayacak. Üst şekilden bunu görebilirsiniz.

İkinci yol. Oluşan kelebekten dolayı d ile l doğru-larının daima birbirlerine paralel olduğunu anlarız. Bu da bize farklı bir çözüm yapabileceğimizi anla-tır. Paralellikten dolayı l doğrusunun eğimini bili-yoruz sayılır. Dolayısıyla d üzerinde 2 değil sade-ce 1 nokta alsak da yeter.

Üçüncü yol. Bu yol en güzeli ve kullanmanızı is-tediğim tek yol.

ax + by + c = 0

ax + by + d = 0

ax + by + ??? = 0

A(x , y )11

Bir kere bir doğrunun bir şeye göre simetriğinin bir doğru çıkacağını biliyoruz. Hatta bu şey, bir nokta ise ilk doğruya paralel bir doğru, o halde cevap olarak bulacağımız doğrunun eğimi, verilen doğrunun eğimi ile eşit olmalı. Verilen nokta, yani A, verilen doğru ile cevap olan doğrunun tam orta-sında bulunduğundan, A’dan geçen ve bu iki doğ-ruya da paralel olan bir doğru çizilebilir ve sabit terimi yani ??? yazan yer bulunur. Şimdi doğrular arasındaki uzaklıklar eşit olduğundan ??? ile c ara-sındaki fark kadar ???’ine ekler ve cevabı bulmuş oluruz. Örnek. x – y + 6 = 0 doğrusunun A(3, 2) noktası-na göre simetriği olan doğrunun denklemini bulu-

nuz.

Çözüm: Verilen doğ-ruyu ve cevap olan doğ-ruyu çizelim. Bir de (3, 2) noktasından geçen bunlara paralel doğruyu.

Üç doğru birbirlerine paralel olduğundan eğimleri eşit olmalı yani üçünün de denklemi x – y ile baş-lamalı. Neyle bitmeli, onu arıyoruz zaten. Ortada-ki doğru (3, 2) noktasını taşıdığından, (3, 2) nokta-sı ortadaki doğrunun denklemini sağlamalı, o hal-de ortadaki doğru x – y – 1 = 0 doğrusudur. Doğ-ruların aralarındaki uzaklık eşit olduğundan ilk iki doğru arasında sabit terim 7 azaldığından, son iki doğru arasında da sabit terim 7 azalacaktır. Bun-dan dolayı cevabımız x – y – 8 = 0.

Alıştırmalar

178. x – y + 5 = 0 doğrusunun A(1, 4) noktasına göre simetriği olan doğrunun denklemini bulunuz. A) x – y + 1 = 0 B) x – y + 9 = 0 C) x – y = 0 D) x – y + 3 = 0 E) x – y + 5 = 0

179. x – 2y + 5 = 0 doğrusunun A(1, 2) noktasına göre simetriği olan doğrunun denklemini bulunuz. A) x – 2y + 1 = 0 B) x – 2y + 9 = 0 C) x – 2y + 10 = 0 D) 2x – y + 1 = 0 E) 2x – y + 5 = 0

180. 3x – 2y + 5 = 0 doğrusunun A(-1, 2) noktasına göre simetriği olan doğrunun denklemini bulu-nuz. A) 3x – 2y + 1 = 0 B) 3x – 2y + 3 = 0 C) 3x – 2y = 0 D) 3x – 2y + 7 = 0 E) 3x – 2y + 9 = 0

Doğrunun doğruya göre simetriği. d doğrusunun l doğrusuna göre simetriği d ′ doğrusu ise, l doğru-su d ve d ′ doğrularının belirttiği açıların açıortayı olmak zorundadır. Düşünüş yöntemi çok kısa ol-masına rağmen, çözümleri bir o kadar uzun ve sı-kıcıdır. İki doğrunun arasındaki açıların eşitliğin-den de gidilebilir. Ki tavsiyemiz budur. Bazı soru-larda bazı pratik yöntemler mevcut ama hepsinde sağlamadıklarından onları burada yazmayalım. Derste dinlediklerinizle yetinin…

Alıştırmalar

181. y = 2x + 6 doğrusunun Oy eksenine göre simetri-ğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y = 2x – 6 B) y = –2x – 6 C) y = 2x + 6 D) y = –2x + 6 E) 2y = x + 6

x - y + 6 = 0

x - y - 8 = 0

x - y - 1 = 0

(3, 2)


30

182. y = 2x + 6 doğrusunun Ox eksenine göre simetri-ğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y = 2x – 6 B) y = –2x – 6 C) y = 2x + 6 D) y = –2x + 6 E) 2y = x + 6

183. y = 2x + 6 doğrusunun birinci açıortay doğrusu-na göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y = 2x – 6 B) y = –2x – 6 C) y = 2x + 6 D) y = –2x + 6 E) 2y = x – 6

184. y = 2x + 6 doğrusunun ikinci açıortay doğrusuna göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y = 2x – 6 B) y = –2x – 6 C) y = 2x + 6 D) 2y = x + 6 E) 4y = x + 32

185. y = 4x + 1 doğrusunun x = 3 doğrusuna göre si-metriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisi-dir? A) y = 4x + 5 B) y = –4x + 5 C) y = –4x + 25 D) y = x – 5 E) 2y = x – 6

186. 2x + 3y – 1 = 0 doğrusunun y = –1 doğrusuna gö-re simetriğinin denklemi aşağıdakilerden han-gisidir? A) 3x – 2y – 8 = 0 B) 3y – 2x + 7 = 0 C) 3x + 2y = 4 D) 3x – 2y + 8 = 0 E) 3x – 2y – 7 = 0

187. y = 3x + 1 doğrusunun x + y = 1 doğrusuna göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisi-dir? A) 3y – x – 3 = 0 B) 3x – y – 3 = 0 C) 3x – y + 3 = 0 D) 3y – x + 3 = 0 E) 3x + y + 3 = 0

188. 3x + 4y + 5 = 0 doğrusunun 3y – 4x + 1 = 0 doğ-rusuna göre simetriği olan doğrunun denkle-mini bulunuz. A) 3x + 4y + 1 = 0 B) 4x + 3y + 1 = 0 C) 3y – 4x + 5= 0 D) 3x + 4y + 5 = 0 E) 3x – 4y + 5 = 0

189. Dik koordinat sisteminde 5x – 5y + 1 = 0 ve 7x + y + 1 = 0 doğruları d doğrusuna göre simetrik ol-duklarına göre, d doğrusunun denklemi aşağı-dakilerden hangisidir? A) x = –3y B) x = –2y C) y = 2x D) y = –2x E) x – y = –1

190. Dik koordinat sisteminde y = x doğrusunun ve y = 2x doğrusuna göre simetriği olan doğrunun denk-lemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y = 3x B) y = 2x C) y = 7x D) 2y – 11x = 0 E) 3y – 13x = 0 Simetrinin başka marifetleri. Simetrinin günlük hayatta da bir sürü derdimize derman olduğu yer-ler vardır. Simetri bilen biri bir çok şeyden tasar-ruf sağlayabilir. Örnekleri derslerimizde bolca verdik. Ama tavsiye etmem. Benim gibi kilo alır-sınız. Mesela aşağıda bir yerden bir yere gitmek için kullanmamız gereken en kısa yol ile ilgili bir örnek var:


31

Koordinatları verilmiş A ve B noktalarını birer köy, x ekseni-ni de bir ırmak gibi düşünün. A köyündesiniz. Köyünüzde bir yarışma yapılıyor. Kim ırmak-tan su içtikten sonra en erken B köyüne varacak? Herkes, eğer hızlarında değişiklik olmazsa

ırmağa ilk varanın, B’ye de ilk varacağını düşünür. Ama bu köyde kazların ayağı öyle değil! Tavşan kaplumbağadan hızlıdır ama her zaman tavşan kaplumbağayı geçemez değil mi? Daha hızlı ol-maktansa daha kısa yolu tercih etmek daha fayda-lıdır çoğu zaman. Şimdi dediklerimi iyi dinleyin.

A köyünün ırmağa göre simetriğine şekildeki gibi A′ köyü diyelim. Simetrik nesnelerin simetri ekse-nine eşit uzaklıklarda olduğuna değinmiştik, hatır-layın. Demek ki ha A köyünden B’ye gitmişsin, ha A′ köyünden. Peki, A′ köyünden B köyüne en kısa yol ne? Bu iki köyü birleştiren doğru parçası. O halde ırmaktan su içeceğin yer, tam bu A′B doğru parçasının x eksenini kestiği yer yani P noktası olmalıdır. Her zamanki gibi hızlı o-lan değil, zeki olan kazandı!

Hikayenin analitikçesi:

|AP| + |PB| en az ise A′, P ve B doğrusaldır.

Toplamın en küçük olduğu durum gibi, farkın en büyük olduğu durum da var. Şimdi bunu öğrene-lim:

|AP| – |BP| en çok ise A, B ve P doğrusal olur.

Bunun sebebi de P noktasının A ve B ile aynı doğru üzerinde bu-lunmamaları halinde ABP di-ye bir üçgen oluşturacakları ve üç-gen eşitsizliğinden |AP| – |PB| farkının her halükarda |AB|’den küçük olacağıdır.

Alıştırmalar

191. A(1, 3) ve B(8, 4) noktaları veriliyor. x ekseni üzerindeki bir C noktası için |AC| + |CB| toplamı en küçük oluyorsa, C noktasının apsisi kaç olma-lıdır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

192. x ekseni üzerindeki bir P noktası için |PA| – |PB| far-kı en büyük oluyorsa, bu P noktasının apsisi kaç olur? A) –1 B) 0 C) 1 D) 4 E) 6

193. B noktası x ekseni üze-rinde olup ABD dik üç-gendir. |BC| + |CD| top-lamının alabileceği en büyük değer kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

194. Dik koordinat sisteminde A(4, 2) ve B(6, 4) noktaları ile Ox ekseni üzerinde değişken bir P noktası alınıyor. ||PB| – |PA|| farkı en büyük olduğunda P noktasının apsisi kaç olur? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

195. P noktası y = x + 2 doğrusu üzerinde hareket etmekte-dir. |AP| uzunluğu en kısa olduğunda P noktasının apsisi kaç olur? A) 1 B) 3/2 C) 2 D) 5/2 E) 3

196. A noktasının koorinatları (6, 4), B noktasının koordinat-ları ise (6, −3) ise x – 2y = 2 doğrusu üzerinde |AP| + |PB| toplamını en küçük yapan P noktasının ordi-natı kaç olur? A) –2 B) –1 C) 2 D) 3 E) 5

x

y

O

A(-2, 3)

B(2, 1)

x

y

O

A(0, 1)

D(5, p)

B C

O

AB

Px

y

x

y

O

y = x + 2

A(4, 3)

P

x

y

O

x - 2y = 2

A(6, 4)

P

B

x

y

O

A(1, 3)B(8, 4)

C

x

y

O P

AB

x

y

O

A(a, b)

B(c, d)

A'(a, -b)

P(n, 0)


32

197. A noktasının koordinatları (1, 3), B noktasının ko-ordinatları ise (4, 6) ise x ekseni üzerinde |AP| + |PB| toplamını en küçük yapan P noktasının apsisi kaç olur? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

198. y = 2x + 4 doğrusu üzerindeki değişken bir P noktası ||PB| – |PA|| farkını en büyük yapmak-tadır. A(2, 4) ve B(3, 2) ise P noktasının koordinatları top-lamı kaçtır? A) 1 B) 4 C) 7 D) 10 E) 13

199. x = 3 doğrusu üzerindeki değiş-ken bir P noktası ||PB| – |PA|| farkını en büyük yapmaktadır. A(1, 3) ve B(9, 7) ise P nokta-sının koordinatları toplamı kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

200. A noktasının koordinatları (1, 3), B noktasının koordi-natları ise (5, –3)’tür. y = x + 4 doğrusu üzerinde hareket eden bir P noktası için |AP| + |PB| toplamı en küçük kaç olur? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10

201. A noktasının koorinatları (1, 1), B noktasının koordinatla-rı ise (5, 4)’tür. y = 2x + 4 doğrusu üzerin-de hareket eden bir P nok-tası için |AP| + |PB| toplamı en küçük olduğun-da |PB| uzunluğu, |PA| uzunluğunun kaç katı olur? A) 1/5 B) 1/2 C) 1 D) 2 E) 5

202. Dik koordinat sisteminde A(–6, 5) ve B(3, –3) noktala-rı ile Ox ekseni üzerinde de-ğişken bir P noktası ve y = 2 doğrusu üzerinde değişken bir Q noktası alınıyor. |AP| + |PQ| + |QB| toplamı-nın alabileceği en küçük değer kaç br.dir? A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

203. Dik koordinat sistemin-de şekildeki gibi A, B, C, D noktaları ile de-ğişken bir P noktası alınıyor. |PA| + |PB| + |PC| + |PD| toplamının alabi-leceği en küçük değer kaçtır? A) 15 B) 18 C) 20 D) 21 E) 23

204. Köşeleri A(–2, 5) B(–4, 2) ve C(x, 0) olan ABC ücgeninin cevresinin minimum olması için x kaç olmalıdır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 16/3 E)

x

y

O

y = 2x + 4

P A

B

x

y

O

x = 3

P

AB

x

y

O

y = x + 4

P A

B

x

y

O

y = 2x + 4

PA

B

x

y

O

y = 2

P

Q

A

B

x

y

O

A(3, 10)B(-1, 9)

C(-3, 2)

D(4, -3)

P

Cevap Anahtarı

1.D 21.D 41.D 61.A 81.D 101.A 121.D 141.B 161.E 181.D 2.C 22.D 42.B 62.C 82.D 102.B 122.B 142.C 162.C 182.B 3.E 23.A 43.D 63.C 83.A 103.A 123.D 143.D 163.B 183.E 4.C 24.D 44.D 64.C 84.A 104.E 124.C 144.B 164.A 184.D 5.B 25.B 45.E 65.A 85.E 105.C 125.C 145.A 165.D 185.C 6.B 26.D 46.E 66.C 86.B 106.C 126.E 146.B 166.C 186.B 7.E 27.A 47.D 67.D 87.C 107.A 127.A 147.E 167.E 187.A 8.B 28.A 48.D 68.D 88.A 108.B 128.D 148.C 168.E 188.D 9.E 29.D 49.A 69.E 89.A 109.A 129.B 149.A 169.D 189.A 10.E 30.D 50.B 70.B 90.A 110.E 130.C 150.B 170.C 190.C 11.C 31.B 51.D 71.C 91.A 111.C 131.D 151.C 171.C 191.D 12.B 32.C 52.E 72.E 92.B 112.A 132.A 152.A 172.D 192.D 13.E 33.D 53.E 73.D 93.C 113.E 133.D 153.E 173.B 193.D 14.B 34.E 54.D 74.C 94.A 114.D 134.A 154.D 174.B 194.B 15.A 35.D 55.E 75.D 95.A 115.C 135.A 155.A 175.C 195.D 16.D 36.E 56.C 76.E 96.E 116.D 136.C 156.E 176.A 196.C 17.C 37.D 57.D 77.B 97.B 117.B 137.B 157.C 177.D 197.A 18.C 38.E 58.B 78.A 98.E 118.A 138.C 158.B 178.A 198.C 19.A 39.D 59.C 79.D 99.C 119.D 139.D 159.B 179.A 199.E 20.D 40.D 60.D 80.B 100.A 120.A 140.B 160.E 180.E 200.E

dogruanalitik

Documents