高雄市 103年度國小學生獨立研究競賽

作品說明書

科別：數學類

作品名稱：拉密牌解密

學校：三民國小

研究者：洪暐博、王宇晨、許書絃、楊松家

指導老師：陳清桔、劉子綺

1

壹、摘要

本研究主要是探討一款名為「拉密牌」的桌遊中規則，根據研究發現，出牌的機率與牌

類規則有很大的關係，所持有的手牌能否在首局達到破冰，有規則可以依循，出牌方式也受

牌型影響。當我們依據遊戲條件進行時，可以發現許多特定的規則，依序整理如下：

1.手牌 14 張中，如果牌面數小的牌越多達成破冰越不容易。

2.資料整理發現手牌中持有單一牌組總和數為 24、27 時，可以破冰的機率最大。

3.出牌機率會往牌面總和的兩端呈現降低。

另外我們也可以使用常見的撲克牌進行替代研究，規則也可以適當做調整，增加困難度，

讓遊戲更有挑戰性。

貳、研究動機

在學習排列組合時，老師介紹一款桌遊讓我們一同體驗，在玩了幾次後，發現遊戲中稱

為「破冰行動」的規則，有特定的組合方式，而且在進行結合時有一定的機率和規則，便對

它燃起濃厚的興趣，想要研究出破解「破冰行動」的訣竅。遊戲中的方塊牌共分為四種顏色

分別為：藍、紅、橘、黑，且在牌面上分別標記數字 1～數字 13，遊戲規則中要求第一次出

牌牌面總和最少為 30，且有同色順組、異色群組的出牌規定，常會受限於此而增加手牌，第

一次出牌的快慢又深深影響輸贏的結果，為求增加贏的機會，因此激起我們想一探究竟的好

奇心，深入找出所有的可能。我們利用觀察、分類、歸納等方式破解「破冰行動」的訣竅。

參、研究目的

一、探討首局完成「破冰行動」的「異色群組」組合情形

二、探討首局完成「破冰行動」的「順序群組」組合情形

三、探討首局完成「破冰行動」的「異色群組+順序群組」相混組合情形

肆、研究設備及器材

電腦、拉密牌、紀錄紙、筆

伍、研究過程或方法

【資料整理及名詞定義】

一、拉密牌

拉密牌是一種由 2 至 4 人共同遊戲的桌上遊戲，由以色列人 Ephraim Hertzano 於 1930 年

設計，使用 104 張數字牌（共 4 種顏色，每個顏色均有 1~13 的數字牌兩組）及二張鬼牌（百

搭牌）進行遊戲，最先將手上的牌出完的人獲勝。

2

二、破冰行動

每一個遊戲者第一次能將磚塊牌組出到牌桌上稱為「破冰行動」。出牌條件是必須磚塊牌

組的所有磚塊牌數目加起來大於或等於 30 點才可以，在還沒有完成破冰行動前，不能使用鬼

牌。

三、組牌規則

1.異色群組：磚塊牌具有相同號碼，但是顏色彼此不一樣。不同色群組最少 3 個磚塊牌一組

或最多 4 個磚塊牌一組(因為只有 4 種顏色)。

2.同色順組：磚塊牌為連續的號碼，而且具有一樣的顏色。因此這種同色順組最多可為 13 個

磚塊牌為一組。最少也需要有 3 個磚塊牌才能形成一組同色順組且在順組中，1 永遠是最

小的數字，不能用於接續 13 成為順組。

依據遊戲規則我們首先先區分牌組的組合方式，發現大致上可以區分為三類進行破冰，

分別是「異色群組」、「順序群組」、「異色群組+順序群組」三種，因此我們分工將這三類排列

的情形找出來，計算可能會出現的情形。

【研究一】探討首局完成「破冰行動」的「異色群組」組合方式

由遊戲規則定義可知，每人手牌14張。牌面數字最小為1，最大為13，同數字但不同色群

組只能有3個磚塊牌一組或最多4個磚塊牌一組。

【1-1】異色群組(三張一組)：磚塊牌具有相同號碼，但顏色均不一樣。

條件一：手牌磚塊牌個數為14，首局破冰磚塊牌牌數必小於或等於14張。

條件二：破冰須點數總和為30點以上。

範例說明：

步驟一：找出牌面總合數30的排列方式。

可知道牌面數字相同，三張一組唯有（10，10，10），1種情形。

步驟二：找出四種顏色排列的方式，可以得到以下 4 種情形。

步驟三：三張牌出現的順序不同時，並不影響出牌情形，因此會有 4 種情形。

步驟四：因為每個數字的同顏色牌均有兩張，組合情形並不影響。

故可以得到 4 種情形。

結果如表一所示：

表1-1 異色群組(三張一組)

牌面總合 組合方式 可用類型 組合情形

30 (10，10，10) 1 4

33 (11，11，11) 1 4

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

3

36 (12，12，12) 1 4

39 (13，13，13) 1 4

總計 4 16

【1-2】異色群組(三張一組，共兩組)：磚塊牌具有相同號碼，但顏色均不一樣。

條件一：手牌磚塊牌個數為14，首局破冰磚塊牌牌數必小於或等於14張。

條件二：破冰須點數總和為30點以上。

條件三：6張牌組破冰組合方式，須排除單一牌組即可破冰。

範例說明：

步驟一：找出牌面總合數30的排列方式。

可知道牌面數字相同，須分成6張(兩組數字)的情形為(1，1，1；9，9，9)

(2，2，2；8，8，8)(3，3，3；7，7，7)(4，4，4；6，6，6)(5，5，5；5，5，5)，5

種情形。下表以(1；9)(2；8)(3；7)(4；6)(5；5)簡化表示

步驟二：找出四種顏色排列的方式，可以得到以下 4 種情形。

步驟三：如同1-1，因為數字出現的順序不同時，並不影響出牌情形，還是有 4 種情形。

因為每個數字的同顏色牌均有兩張，組合情形一樣並不影響。

步驟四：每組牌的搭配情形如下表示

故可以得到 種情形。

但如上列與下列數字相同時，因為每個數字的同顏色牌均有兩張，組合情形一樣並不影響，

則情形數維持為 4 × 4 種情形。

排列結果如下：

表1-2 異色群組(三張一組，共兩組)

牌面總合 組合方式 可用類型 組合情形

30 (1；9)(2；8)(3；7)(4；6)(5；5) 5 80

33 (5；6)(4；7)(3；8)(2；9)(1；10) 4 64

36 (6；6)(5；7)(4；8)(3；9)(2；10)(1；11) 4 64

39 (6；7)(5；8)(4；9)(3；10)(2；11)(1；12) 3 48

42 (7；7)(6；8)(5；9)(4；10)(3；11)(2；12)(1；13) 3 48

45 (7；8)(6；9)(5；10)(4；11)(3；12)(2；13) 2 32

48 (8；8)(7；9)(6；10)(5；11)(4；12)(3；13) 2 32

51 (8；9)(7；10)(6；11)(5；12)(4；13) 1 16

上

列

下

列

9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

4

54 (9；9)(8；10)(7；11)(6；12)(5；13) 1 16

57 (9；10)(8；11)(7；12)(6；13) 0

總計 25 400

【1-3】異色群組(三張一組，共三組))：磚塊牌具有相同號碼，但顏色均不一樣。

條件一：手牌磚塊牌個數為14，首局破冰磚塊牌牌數必小於或等於14張。

條件二：破冰須點數總和為30點以上。

條件三：9張牌組以上破冰組合方式，須排除任意6張牌組即可破冰。

排列結果如下：

表1-3 異色群組(三張一組，共三組)

牌面總合 組合方式 可用類型 組合情形

30 (3；3；4)(2；4；4)(2；3；5)(2；2；6)(1；4；5)

(1；3；6)(1；2；7)(1；1；8)

8 512

33 (3；4；4)(3；3；5)(2；4；5)(2；3；6)(2；2；7)

(1；5；5)(1；4；6)(1；3；7)(1；2；8)(1；1；9)

5 320

36 (3；3；6)(3；4；5)(2；5；5)(2；4；6)(2；3；7)

(2；2；8)(1；5；6)(1；4；7)(1；3；8)(1；2；9)

(1；1；10)

2 128

39 (4；4；5)(3；4；6)(3；3；7)(2；5；6)(2；4；7)

(2；3；8)(2；2；9)(1；6；6)(1；5；7)(1；4；8)

(1；3；9)(1；2；10)(1；1；11)

1 64

42 (4；5；5)(4；4；6)(3；5；6)(3；4；7)(3；3；8)

(2；6；6)(2；5；7)(2；4；8)(2；3；9)(2；2；10)

(1；6；7)(1；5；8)(1；4；9)(1；3；10)(1；2；11)

(1；1；12)

0

總和 16 1024

【1-4】異色群組(三張一組，共四組))：磚塊牌具有相同號碼，但顏色均不一樣。

條件一：手牌磚塊牌個數為14，首局破冰磚塊牌牌數必小於或等於14張。

條件二：破冰須點數總和為30點以上。

條件三：12張牌組以上破冰組合方式，須排除任意9張牌組即可破冰。排列結果如下：

表1-4 異色群組(三張一組，共四組)

牌面總合 組合方式 可用類型 組合情形

30 (2；2；3；3)(1；2；3；4)(1；1；4；4)(1；1；3；5)

(1；1；2；6)

5 1280

33 (2；2；3；4)(1；3；3；4) (1；2；4；4)(1；2；3；5)

(1；2；2；6) (1；1；4；5)(1；1；3；6)(1；1；2；7)

1 256

36 (2；2；4；4)(2；2；3；5)(2；3；3；4)(1；3；4；4) 0

5

(1；3；3；5)(1；2；4；5)(1；2；3；6)(1；1；4；6)

(1；1；3；7)(1；1；2；8)

總和 6 1536

【1-5】異色群組(四張一組)：磚塊牌具有相同號碼，但顏色均不一樣。

條件一：手牌磚塊牌個數為14，首局破冰磚塊牌牌數必小於或等於14張。

條件二：破冰須點數總和為30點以上。

步驟一：找出牌面總合數>30，最接近30的排列方式。

可知道牌面數字相同，四張一組（8，8，8，8），1種情形。

步驟二：找出四種顏色排列的方式，可以得到以下 1 種情形。

步驟三：四張牌出現的順序不同時，並不影響出牌情形，因此會有 1 種情形。

步驟四：因為每個數字的同顏色牌均有兩張，但組合情形並不影響。

故可以得到 1 種情形。

排列結果如下：

表1-5 異色群組(四張一組)

牌面總合 組合方式 可用類型 組合情形

32 8 1 1

36 9 1 1

40 10 1 1

44 11 1 1

48 12 1 1

52 13 1 1

總和 6 6

【1-6】異色群組(四張一組，共兩組)：磚塊牌具有相同號碼，但顏色均不一樣。

條件一：手牌磚塊牌個數為14，首局破冰磚塊牌牌數必小於或等於14張。

條件二：破冰須點數總和為30點以上。

條件三：8張牌組以上破冰組合方式，須排除任意4張牌組即可破冰。排列結果如下：

表1-6 異色群組(四張一組，共兩組)

牌面總合 組合方式 可用類型 組合情形

32 (1；7)(2；6)(3；5)(4；4) 4 4

36 (4；5)(3；6)(2；7)(1；8) 3 3

40 (5；5)(4；6)(3；7)(2；8)(1；9) 3 3

44 (5；6)(4；7)(3；8)(2；9)(1；10) 2 2

48 (6；6)(5；7)(4；8)(3；9)(2；10)(1；11) 2 2

8 8 8 8

6

52 (6；7)(5；8)(4；9)(3；10)(2；11)(1；12) 1 1

56 (7；7)(6；8)(5；9)(4；10)(3；11)(2；12)(3；13) 1 1

60 (7；8)(6；9)(5；10)(4；11)(3；12)(2；13) 0 0

總和 17 17

【1-7】異色群組(四張一組，共三組)：磚塊牌具有相同號碼，但顏色均不一樣。

條件一：手牌磚塊牌個數為14，首局破冰磚塊牌牌數必小於或等於14張。

條件二：破冰須點數總和為30點以上。

條件三：12張牌組以上破冰組合方式，須排除任意8張牌組即可破冰。

排列結果如下：

表1-7 異色群組(四張一組，共三組)

牌面總合 組合方式 可用類型 組合情形

32 (2；3；3)(2；2；4)(1；3；4)(1；2；5)(1；1；6) 5 5

36 (2；3；4)(2；2；5)(1；4；4)(1；3；5)(1；2；6)

(1；1；7)

2 2

40 (3；3；4)(2；4；4)(2；3；5)(2；2；6)(1；4；5)

(1；3；6)(1；2；7)(1；1；8)

1 1

總和 8 8

【1-1~1-7研究分析】

異色群組排列分析

1.以三張一組的排列方式，其牌面總和數必定為3的倍數；同樣，以四張一組的排列方式，其

牌面總和數必定為4的倍數。

2.隨著可利用的牌組數越多，符合要求且未重複的組合方法會使牌面總和數下降。例如：使

用6張分為兩組可達到最高總和數為54；9張分為三組可達到最高總和數為39；12張分為四

組可達到最高總和數為33。

3.排列組合的方式會隨著總和數越高而遞減，且呈現等差的規則狀態。

組數 張數 牌面總和

30 32 33 36 39 40 42 44 45 48 51 52 54 56

2 3 5 4 4 3 3 2 2 1 1

4 4 3 3 2 2 1 1

3 3 8 5 2 1

4 5 2 1

4 3 5 2 1

7

【研究二】探討首局完成「破冰行動」的「順序群組」組合方式

由遊戲規則定義可知，每人手牌14張。牌面數字最小為1，最大為13，同顏色但不同數字

群組只能最少3個磚塊牌一組且必須相連成序列。

【2-1】同色群組(連續三張)：磚塊牌顏色均相同，但數字須為接連順序。

條件一：手牌磚塊牌個數為14，首局破冰磚塊牌牌數必小於或等於14張。

條件二：破冰須點數總和為30點以上。

≧30，n≧3

步驟一：找出牌面總合數>30，最接近30的排列方式。

可知道牌面顏色相同，三張一組順序（9、10、11），1種情形。

步驟二：找出數字排列的方式，可以得到以下 4 種情形。

步驟三：四張牌出現的順序不同時，並不影響出牌情形，因此會有 4 種情形。

步驟四：因為每個數字的同顏色牌均有兩張，但組合情形並不影響。

故可以得到 4 種情形。

排列結果如下：

表2-1 順序群組(三張一組)

牌面總合 組合方式 可用類型 組合情形

30 9、10、11 1 4

33 10、11、12 1 4

36 11、12、13 1 4

總計 3 12

【2-2】同色群組(連續四張)：磚塊牌顏色均相同，但數字須為接連順序。

條件一：手牌磚塊牌個數為14，首局破冰磚塊牌牌數必小於或等於14張。

條件二：破冰須點數總和為30點以上。

條件三：4張牌組破冰組合方式，須排除3張牌組即可破冰。排列結果如下：

≧30，n≧4

表2-2 順序群組(四張一組)

牌面總合 組合方式 可用類型 組合情形

30 6、7、8、9 1 4

34 7、8、9、10 1 4

38 8、9、10、11 0 0

總和 2 8

9 10 11 9 10 11 9 10 11 9 10 11

8

【2-3】同色群組(連續五張)：磚塊牌顏色均相同，但數字須為接連順序。

條件一：手牌磚塊牌個數為14，首局破冰磚塊牌牌數必小於或等於14張。

條件二：破冰須點數總和為30點以上。

條件三：5張牌組以上破冰組合方式，須排除3、4張牌組即可破冰。排列結果如下：

≧30，n≧5

表2-3 順序群組(五張一組)

牌面總合 組合方式 可用類型 組合情形

30 4、5、6、7、8 1 4

35 5、6、7、8、9 0 0

總和 1 4

【2-1~2-3研究分析】

破冰組合方式受限於牌面數字總和，當「順序群組」牌數利用的越多，則排列的變化

就越少，選擇的條件也越少，排列過程中會出現重複的情形。發現3~5張排列破冰的組合數

呈現也是呈現等差的情形，12+8+4=24，共24種情形。

【2-4】同色群組(分2組共6張)：磚塊牌顏色均相同，但數字須為接連順序。

條件一：手牌磚塊牌個數為14，首局破冰磚塊牌牌數必小於或等於14張。

條件二：破冰須點數總和為30點以上。

條件三：6張牌組以上破冰組合方式，須排除任一3張牌組即可破冰。

≧30，m+n＝6，m≧3，n≧3

步驟一：找出牌面總合數>30，最接近30的排列方式。

可知道牌面顏色相同，三張一組順序（7、8、9）+（1、2、3）；（6、7、8）+（2、3、

4）；（5、6、7）+（3、4、5）；（4、5、6）+（4、5、6），4種情形。

步驟二：找出數字排列的方式，可以得到以下 4 種情形。

步驟三：如同2-1，因為數字出現的順序不同時，並不影響出牌情形，還是有 4 種情形。

因為每個數字的同顏色牌均有兩張，組合情形一樣並不影響。

步驟四：每組牌的搭配情形如下表示

步驟五：須排除兩組間任意三張、四張、五張牌可以破冰之情形。

故可以得到 種情形。

上

列

下

列

7 8 9 7 8 9 7 8 9 7 8 9

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

9

但如上列與下列數字相同時，因為每個數字的同顏色牌均有兩張，組合情形一樣並不影響，

則情形數維持為 4 × 4 種情形。

排列結果如下：

表 2-4 順序群組(六張二組)

牌面總合 組合方式 可用類型 組合情形

30 (7、8、9)+(1、2、3) (6、7、8)+(2、3、4)

(5、6、7)+(3、4、5) (4、5、6)+(4、5、6)

4 64

33 (8、9、10)+(1、2、3) (7、8、9)+(2、3、4)

(6、7、8)+(3、4、5) (5、6、7)+(4、5、6)

3 48

36 (8、9、10)+(2、3、4) (7、8、9)+(3、4、5)

(6、7、8)+(4、5、6) (5、6、7)+(5、6、7)

3 48

39 (8、9、10)+(3、4、5) (7、8、9)+(4、5、6)

(6、7、8)+(5、6、7)

2 32

42 (8、9、10)+(4、5、6) (7、8、9)+ (5、6、7)

(6、7、8)+ (6、7、8)

2 32

45 (8、9、10)+(5、6、7) (7、8、9)+ (6、7、8) 0 0

48 (8、9、10)+(6、7、8) (7、8、9)+(7、8、9) 1 16

51 (8、9、10)+(7、8、9) 0 0

54 (8、9、10)+ (8、9、10) 2 32

總和 17 272

【2-5】同色群組(分2組共7張)：磚塊牌顏色均相同，但數字須為接連順序。

條件一：手牌磚塊牌個數為14，首局破冰磚塊牌牌數必小於或等於14張。

條件二：破冰須點數總和為30點以上。

條件三：7張牌組破冰組合方式，須排除單一3張牌組或4張、5張、6張牌組即可破冰。

≧30，m+n＝7，m≧3，n≧3

表2-5 順序群組(七張二組)

牌面總合 組合方式 可用類型 組合情形

30 (3、4、5、6)+(3、4、5) 1 16

31 (4、5、6、7)+(2、3、4)

(1、2、3、4)+ (6、7、8)

1 16

32 (5、6、7、8)+(1、2、3)

(2、3、4、5)+(5、6、7)

1 16

33 (3、4、5、6)+(4、5、6) 0 0

總和 3 48

【2-6】同色群組(分2組共8張)：磚塊牌顏色均相同，但數字須為接連順序。

條件一：手牌磚塊牌個數為14，首局破冰磚塊牌牌數必小於或等於14張。

條件二：破冰須點數總和為30點以上。

10

條件三：8張牌組以上破冰組合方式，須排除7張牌組以下即可破冰。

≧30，m+n＝8，m≧3，n≧3

步驟一：八張牌組可以分為3張+5張；4張+4張，兩大基本情形，依循2-1方法進行排列。

步驟二：張數增加但是顏色仍只有四色，因此排列數不變為 。

步驟三：每組牌的搭配情形如下表示

步驟五：須排除兩組間任意三張、四張、五張、六張、七張牌可以破冰之情形。

故可以得到 種情形。

但如上列與下列數字相同時，因為每個數字的同顏色牌均有兩張，組合情形一樣並不影響，

則情形數維持為 4 × 4 種情形。

排列結果如下：

表2-6 順序群組(八張二組)

牌面總合 組合方式 可用類型 組合情形

30 (1、2、3、4、5)+(4、5、6) 1 16

31 (3、4、5、6、7)+(1、2、3) 1 16

32 (2、3、4、5、6)+(3、4、5)

(1、2、3、4)+(4、5、6、7)

(2、3、4、5)+(3、4、5、6)

0 0

33 (1、2、3、4、5)+(5、6、7) 0 0

34 (3、4、5、6、7)+(2、3、4) 0 0

35 (2、3、4、5、6)+(4、5、6) 0 0

36 (1、2、3、4、5)+(6、7、8)

(1、2、3、4)+(5、6、7、8)

(2、3、4、5)+(4、5、6、7)

(3、4、5、6)+(3、4、5、6)

0 0

總計 2 32

上

列

下

列

1 2 3 4 4 1 2 3 2 3 4 1 1 2 3 4

4 5 6 7 7 4 5 6 5 6 7 4 4 5 6 7

上

列

下

列 2 3 4 5 5 2 3 4 3 4 5 2 2 3 4 5

6

3 4 5 3 4 5

6

3 4 5

6

3 4 5

6

11

【2-7】同色群組(分2組；3組共9張)：磚塊牌顏色均相同，但數字須為接連順序。

條件一：手牌磚塊牌個數為14，首局破冰磚塊牌牌數必小於或等於14張。

條件二：破冰須點數總和為30點以上。

條件三：9張牌組破冰組合方式，須排除單一牌組、任兩組牌組組合即可破冰。

可分為以下兩種情形：兩組（6張+3張）、（5張+4張）；三組（3張+3張+3張）

≧30，m+n＝9，m≧3，n≧3

≧30，p+q+r＝9，p≧3，

q≧3，r≧3

排列結果如下：

表2-7 順序群組(九張二組、三組)

牌面總合 組合方式 可用類型 組合情形

30 (1、2、3、4、5、6)+(2、3、4)

(5、6、7)+(1、2、3)+(1、2、3) →4×4×4

(4、5、6)+(2、3、4)+(1、2、3)

(3、4、5)+(3、4、5)+(1、2、3) →3組不能同色

3 176

33 (1、2、3、4、5)+ (3、4、5、6)

(2、3、4、5、6、7)+(1、2、3)

(1、2、3、4、5、6)+(3、4、5)

(6、7、8)+(1、2、3)+(1、2、3)

(5、6、7)+(2、3、4)+(1、2、3)

(4、5、6)+(2、3、4)+(2、3、4)

(3、4、5)+(3、4、5)+(2、3、4) →3組不能同色

2 112

36 (2、3、4、5、6、7)+(2、3、4)

(1、2、3、4、5、6)+(4、5、6)

(5、6、7)+(2、3、4)+(2、3、4)

(4，5，6)+(4，5，6)+(1，2，3)

(3、4、5)+(3、4、5)+(3、4、5) →3組不能同色

1 48

37 (1、2、3、4、5)+(4、5、6、7) 0

總和 6 336

【2-4~2-7研究分析】

(1)8張順序牌組最小值為1+2+3+4+….+7+8=36，已大於破冰條件，因此不予討論。

(2)牌面總和數超過30時，且順序組張數均大於三張，會出現包含破冰張數較小的排列情形。

(3)同一顏色數字不能出現在分為三組時，因此排列狀況會減少16種情形。

例如：總和數31：(1、2、3、4、5、6)+(1、2、3、4) →使用黃色標記處數字即可破冰

總和數34：(1、2、3、4、5、6、7)+(1，2，3)

12

【2-8】同色群組(分2組；3組共10張)：磚塊牌顏色均相同，但數字須為接連順序。

條件一：手牌磚塊牌個數為14，首局破冰磚塊牌牌數必小於或等於14張。

條件二：破冰須點數總和為30點以上。

條件三：10張牌組破冰組合方式，須排除單一牌組、任兩組牌組組合即可破冰。

可分為以下兩種情形：兩組（7張+3張）、（6張+4張）、（5張+5張）；

≧30，m+n＝10，m≧3，n≧3

三組（4張+3張+3張）

≧30，p+q+r＝10，p≧3，q≧3，r≧3

排列結果如下：

表2-8 順序群組(十張二組、三組)

牌面總合 組合方式 可用類型 組合情形

30 (1、2、3、4、5)+(1、2、3、4、5)

(1、2、3)+(1、2、3)+(3、4、5、6) →3組不能同色

2 64

31 (1、2、3、4、5、6)+(1、2、3、4)

32 (2、3、4)+(2、3、4)+(2、3、4、5)

33 (1、2、3)+(2、3、4)+(3、4、5、6)

34 (1、2、3、4、5、6、7)+(1，2，3)

35 (2、3、4、5、6)+(1、2、3、4、5)

總計 2 64

【2-9】同色群組(分2組；3組共11張)：磚塊牌顏色均相同，但數字須為接連順序。

條件一：手牌磚塊牌個數為14，首局破冰磚塊牌牌數必小於或等於14張。

條件二：破冰須點數總和為30點以上。

條件三：11張牌組破冰組合方式，須排除單一牌組、任兩組牌組組合即可破冰。

可分為以下兩種情形：

兩組（8張+3張）、（7張+4張）、（6張+5張），均包含重複情形；

≧30，m+n＝11，m≧3，n≧3

三組（5張+3張+3張）、（4張+4張+3張）

≧30，p+q+r＝11，p≧3，q≧3，r≧3

排列結果如下：

表2-9 順序群組(11張二組、三組)

牌面總合 組合方式 可用類型 組合情形

30 (1、2、3)+(2、3、4)+(1、2、3、4、5)→3組不能同色

(1、2、3)+(1、2、3、4)+(2、3、4、5)→3組不能同色

2 96

32 (1、2、3)(1、2、3)(2、3、4、5、6)

33 (2、3、4)(2、3、4)(1、2、3、4、5)

(2、3、4) (1、2、3、4)(2、3、4、5)

34 (1、2、3)(2、3、4、5)(2、3、4、5)

13

35 (1、2、3)(2、3、4)(2、3、4、5、6)

36 (1、2、3、4、5、6)+(1、2、3、4、5)

總計 2 96

【2-10】同色群組(分2組；3組；4組共12張)：磚塊牌顏色均相同，但數字須為接連順序。

條件一：手牌磚塊牌個數為14，破冰磚塊牌牌數必小於或等於14張，點數總和為30點以上。

條件二：12張牌組破冰組合方式，須排除單一牌組、任兩組牌、任三組牌組組合即可破冰。

條件三：牌組顏色不能有3組以上顏色相同。

四組排列情形 至少三組同色情形 四組同色情形 總和數

4×4×4×4 -16-16-16-16 +4 196

可分為以下情形：兩組（9張+3張）、（8張+4張）、（7張+5張）、（6張+6張）；

≧30，m+n＝12，m≧3，n≧3

三組（6張+3張+3張）、（5張+4張+3張）、（4張+4張+4張）

≧30，p+q+r＝12，p≧3，q≧3，r≧3

四組（3張+3張+3張+3張）

≧30，p+q+r+s

＝12，p≧3，q≧3，r≧3，s≧3

排列結果如下：

表2-10 順序群組(12張二組、三組、四組)

牌面總合 組合方式 可用類型 組合情形

30 (1，2，3)+(1，2，3)+(1，2，3)+(3，4，5)

(1，2，3)+(1，2，3)+(2，3，4)+(2，3，4)

(1，2，3，4)+(1，2，3，4)+(1，2，3，4)

3 440

31 (1，2，3，4，5)+(1，2，3，4)+(1，2，3)

33 (1，2，3，4，5，6)+(1，2，3)+(1，2，3)

(1，2，3)+(1，2，3)+(2，3，4)+(3，4，5)

(1，2，3)+(2，3，4)+(2，3，4)+(2，3，4)

1 196

34 (1，2，3，4)+(1，2，3，4)+(2，3，4，5)

總計 4 636

【2-11】同色群組(分2組；3組；4組共13張)：磚塊牌顏色均相同，但數字須為接連順序。

條件一：手牌磚塊牌個數為14，破冰磚塊牌牌數必小於或等於14張，點數總和為30點以上。

條件二：13張牌組破冰組合方式，須排除單一牌組、任兩組牌、任三組牌組組合即可破冰。

條件三：牌組顏色不能有3組以上顏色相同。排列結果如下：

可分為以下情形：兩組（10張+3張）、（9張+4張）、（8張+5張）、（7張+6張）；

≧30，m+n＝13，m≧3，n≧3

三組（7張+3張+3張）、（6張+4張+3張）、（5張+5張+3張）、（5張+4張+4張）

≧30，p+q+r＝13，p≧3，q≧3，r≧3

四組（4張+3張+3張+3張）

14

≧30，p+q+r+s

＝13，p≧3，q≧3，r≧3，s≧3

表2-11 順序群組(13張二組、三組、四組)

牌面總合 組合方式 可用類型 組合情形

30 (1，2，3，4)+(1，2，3，4)+(1，2，3，4，5) 0 0

31 (1，2，3，4)+(1，2，3)+(1，2，3)+(2，3，4) 0 0

32 (1，2，3)+(1，2，3)+(1，2，3)+(2，3，4，5) 0 0

34 0 0

總計 0 0

【2-1~2-11研究分析】 順序群組排列分析

1.破冰組合方式受限於牌面數字總和，當「順序群組」牌數利用的越多，則最少使用及不重

複排列的變化就越少，選擇的條件也越少，排列過程中會出現重複的情形。

2.牌面總和數超過30時，且順序組張數均大於三張，會出現包含破冰張數較小的排列情形。。

3.順序牌組接續數大於8張時必定可以破冰。

4.當牌組利用至牌組數13張時，牌列組成情形必為重複情形。

5.排列過程中必須考慮的條件包含如下：

(1)數字總合是否達到破冰要求。

(2)是否包含其他牌組破冰條件。

(3)顏色重複是否超過三組。

【研究三】探討首局完成「破冰行動」的「異色群組＋順序群組」組合方式

利用研究一、二所完成的分析情形可以歸納，異色群組：必為 3 或 4 的倍數。且不能破

冰(< 30 )的情形為基礎進行分析。

條件一：手牌磚塊牌個數為14，首局破冰磚塊牌牌數（異色群組＋順序群組）必小於或等於

14張。

條件二：破冰須點數總和為30點以上，且異色群組和＜30；順序群組＜30。

＜30，n≧3

步驟一：異色群組(各種變化)

15

步驟三：異色群組情形為 ，因此會有 4 種情形。

步驟四：順序群組情形須考慮顏色重複的條件，當所配合的群組中出現4張以上同數字時，

須分為順序群組兩組同色或兩組異色時討論。

(1)兩組同色時，選擇情形為 4 × 1 × 4 = 16

(2)兩組異色時，選擇情形為 4 × 3 × 4 = 48

各組牌面總合排列情形如下：

表3-1 異色群組 順序群組 總合未滿30所有組合類型 異色群組(m) 順序群組(n)

總合 類型 總合 類型 3 (1、1、1) 3 4 (1、1、1、1) 4 5 6 (2、2、2)

(1、1、1)+(1、1、1) 6 (1，2，3)

7 (1、1、1)+(1、1、1、) 7 8 (2、2、2、2)

(1、1、1、1)+ (1、1、1、1) 8

9 (3、3、3) (2、2、2)+(1、1、1)

9 (2、3、4)

10 (1、1、1、1)+(2、2、2) 10 (1、2、3、4) 11 (1、1、1)+(2、2、2、2) 11 12 (4、4、4)

(3、3、3)+(1、1、1) (2、2、2)+(2、2、2) (3、3、3、3) (2、2、2、2)+(1、1、1、1)

12 (3、4、5) (1、2、3)+(1、2、3)

13 (1、1、1、1)+(3、3、3) (1、1、1、1)+(1、1、1)+(2、2、2)

13

14 (2、2、2)+(2、2、2、2) (1、1、1)+(1、1、1)+(2、2、2、2)

14 (2、3、4、5)

15 (5、5、5) (4、4、4)+(1、1、1) (3、3、3)+(2、2、2)

15 (1、2、3、4、5) (4、5、6) (1、2、3)+(2、3、4)

16 (4、4、4、4) (3、3、3、3)+ (1、1、1、1) (2、2、2、2)+ (2、2、2、2)

16 (1、2、3)+(1、2、3、4)

17 (2、2、2、2)+(3、3、3) (3、3、3)+(1、1、1、1)、(1、1、1、1) (1、1、1)+(2、2、2)+(2、2、2、2)

17

18 (6、6、6) (5、5、5)+(1、1、1) (4、4、4)+(2、2、2) (3、3、3)+(3、3、3)

18 (5、6、7) (3、4、5、6) (1、2、3)+(3、4、5) (2、3、4)+(2、3、4) (1、2、3)+(1、2、3)+(1、2、3)

19 (4、4、4、4)+(1、1、1) (3、3、3、3)+(1、1、1、1)+(1、1、1) (2、2、2、2)+(2、2、2、2)+(1、1、1) (5、5、5)+(1、1、1、1) (4、4、4)+(1、1、1)+(1、1、1、1) (3、3、3)+(2、2、2)+(1、1、1、1)

19 (2、3、4)+(1、2、3、4)

20 (5、5、5、5) (4、4、4、4) + (1、1、1、1) (3、3、3、3) + (2、2、2、2)

20 (2、3、4、5、6) (1、2、3)+(2、3、4、5) (1、2、3、4)+(1、2、3、4)

16

(續)表 3-1 異色群組 順序群組 總合未滿 30 所有組合類型

總合 類型 總合 類型 21 (7、7、7)

(6、6、6)+(1、1、1) (5、5、5)+(2、2、2) (4、4、4)+(3、3、3)

21 (6、7、8) (1、2、3)+(4、5、6) (2、3、4)+(3、4、5) (1、2、3)+(1、2、3)+(2、3、4) (1、2、3)+(1、2、3、4、5)

22 (4、4、4、4)+(2、2、2) (3、3、3、3)+(1、1、1、1)+(2、2、2) (4、4、4、4)+(1、1、1)+(1、1、1)

22 (4、5、6、7) (3、4、5)+(1、2、3、4)

23 (5、5、5、5)+(1、1、1) (4、4、4、4)+(1、1、1、1)+(1、1、1) (3、3、3、3)+(2、2、2、2)+(1、1、1)

23

24 (8、8、8) (7、7、7)+(1、1、1) (6、6、6)+(2、2、2) (5、5、5)+(3、3、3) (4、4、4)+(4、4、4) (6、6、6、6) (5、5、5、5) + (1、1、1、1) (4、4、4、4) + (2、2、2、2) (3、3、3、3) + (3、3、3、3)

24 (7、8、9) (1、2、3)+(5、6、7) (2、3、4)+(4、5、6) (3、4、5)+(3、4、5) (1、2、3)+(1、2、3)+(3、4、5) (1、2、3)+(2、3、4)+(2、3、4) (1、2、3)+( 3、4、5、6) (1、2、3、4)+(2、3、4、5) (2、3、4)+(1、2、3、4、5)

25 (7，7，7)+(1，1，1，1) (4，4，4，4)+(3，3，3)

25 (3、4、5、6、7) (4、5、6)+(1、2、3、4)

26 26 (5、6、7、8) (1、2、3)+(2、3、4、5、6)

27 (9、9、9) (8、8、8)+(1、1、1) (7、7、7)+(2、2、2) (6、6、6)+(3、3、3) (5、5、5)+(4、4、4)

27 (8、9、10) (1、2、3)+(6、7、8) (2、3、4)+(5、6、7) (3、4、5)+(4、5、6) (1、2、3)+(1、2、3)+(4、5、6) (1、2、3)+(2、3、4)+(3、4、5) (2、3、4)+(2、3、4)+(2、3、4) (3、4、5)+(1、2、3、4、5)

28 (7、7、7、7) (6、6、6、6)+(1、1、1、1) (5、5、5、5)+ (2、2、2、2) (4、4、4、4)+ (3、3、3、3)

28 (5、6、7)+(1、2、3、4) (1、2、3)+( 4、5、6、7) (1、2、3、4)+(3、4、5、6) (2、3、4、5)+(2、3、4、5)

29 (7、7、7)+(2、2、2、2) 29 (2、3、4)+(2、3、4、5、6)

陸、研究結果與討論

一、拉密牌的破冰問題能應用在其他排列遊戲上，並且能與分配的問題進行結合。例如設定

30為破冰的條件，與手牌14張牌數的分配狀況，而任意兩組結合達到30的組合數是最多。

二、點數越小的手牌其變化與應用於破冰的範圍越多。

三、手牌拿取原則以介於8~10之間，因破冰點數為30，平均數為10(30÷3)~7.5(30÷4)之間，可

以達到最接近破冰的原則。

四、『異色牌組』無論是三張或是四張，其組成數會隨著點數變大而減少。

五、『異色牌組』隨著可利用的牌組數越多，符合要求且未重複的組合方法會使牌面總和數

下降。例如：使用6張分為兩組可達到最高總和數為54；9張分為三組可達到最高總和數

為39；12張分為四組可達到最高總和數為33。

六、『異色牌組』可以利用的方式呈現等距下降

17

七、『異色牌組』可用牌型，兩組6張和最大為54，(9，9，9；9，9，9)

兩組8張和最大為56，(7，7，7，7；7，7，7，7)

三組9張和最大為39，(4，4，4；4、4、4；5、5、5)

三組12張和最大為40，(3，3，3，3；3，3，3，3；4，4，4，4)

八、『順序牌組』當牌面總和數超過30時，且順序組張數均大於三張，會出現包含破冰張數

較小的排列情形。

九、『順序牌組』接續數大於8張時必定可以破冰。

柒、結論

本研究目的在於探討排列與字牌遊戲間的關係，並試著提出數學性的邏輯思考策略來加以分

析與歸納關聯性。我們發現不同的牌面組合方式會改變影響可能產生的結果，也發現特定質數不

存在組合之間，『異色牌組』、『順序牌組』存有特定的關係。我們將持續鑽研更多不一樣的牌類

遊戲模組，透過遊戲設計中的點數奧秘來探索排列組合的數學問題，以融入在日後的排列組合的

歸納研究，更豐富此問題的深度與難度。

這次的討論中讓我們明白看似簡單的數學遊戲其實充滿排列的變化，我們不僅要學會耐

心做研究的重要和精神的調劑，可以將所了解的運用到遊戲之中，做到「學以致用」，分析時，

更要懂得善用「團結力量大」，適時的發表意見固然重要，但也不能忽略了同伴的想法，適時

提供不同的見解。因為整理和分析都需要花費很多的精神和思考，透過不斷的推敲，才將資

料整理完成，過程中使我們受益不少。

捌、參考資料及其他

柏克斯 Rummikub 介紹 http://www.psuche.com.tw/Rummikub_WEB/

組數 張數 牌面總和

30 32 33 36 39 40 42 44 45 48 51 52 54 56

2 3 5 4 4 3 3 2 2 1 1

4 4 3 3 2 2 1 1

3 3 8 5 2 1

4 5 2 1

4 3 5 2 1

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