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经 济 数 学 基 础蒋 玉 兰

一、拉格朗日 (Lagrange) 中值定理

第三章 导数的应用§1 微分中值定理

( ) ( )( )

f b f af

b a

整理得

( ) ,

( , ) ( , )

f x a b

a b a b

如果函数 在闭区间 上连续，在开区间

内可导，则在 内至少存在一点 ，使得

( ) ( ) ( )f b f a f b a ＝ （ ）

称上面的公式为拉格朗日中值公式。

1 2 xo

y)(xfy C

D

几何解释 :

,

.

AB C

AB

从图上可知，在曲线弧 上至少有一点 在该点处的切线平行于弦

( ) ( )f b f a

b a

( ) ( ) , ( )f y f x f 表示曲线 上点( )处的切线斜率

AB表示线段 的斜率

1 2

( ) ( )( ) ( )

f b f af f

b a

即

a

( )f a

b

( )f b

A

B

推论 1 ( ) ,

( ) .

f x I

f x I

如果函数 在区间 上的导数恒为零 那末在区间 上是一个常数

二、拉格朗日 (Lagrange) 中值定理的推论

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) .

f x g x I

f x g x f x

g x

如果函数 与 均在区间 内可导，且

它们的导数处处相等，即 ，那末与 仅相差一个常数

推论 2

( ) ( )f x g x C 即

例 1 、 2 2sin cos 1 ( )x x x R 证明

证 : 2 2( ) sin cosf x x x 设

( ) 2sin cos 2cos ( sin )f x x x x x 0

2 2( ) sin cosf x x x C

2 20, (0) sin 0 cos 0 1x f C 不妨取 则

2 2sin cos 1x x 因此

x

y

o

)(xfy

x

y

o

)(xfy

a b

A

B

( ) 0f x ( ) 0f x

a b

B

A

观察单调增加函数、单调减少函数的切线：

1x 2x 1x 2x

可导的单调增加函数其导数大于零，

切线与 x 轴夹角为锐角 切线与 x 轴夹角为钝角

可导的单调减少函数其导数小于零。

§2 利用导数研究函数的性态一、利用一阶导数判断函数在区间上的单调性。

定理：函数单调性的判别定理

( ) [ , ] ( , )

( , )

y f x a b a b

a b

设函数 在 上连续，在 内可导，如果在 内恒成立

1 ( ) 0 ( ) [ , ]f x f x a b （） ，则函数 在 上单调增加，

(2) ( ) 0 ( ) [ , ]f x f x a b ，则函数 在 上单调减少。 y我们称 a,b为函数 的单调增加区间；

y我们称 a,b为函数 的单调减少区间。

3 21 6 15 1y x x x 例 、讨论函数 的单调性.

23 12 15y x x 解： 3 1 5x x

, 1 在 内， 0,y y单调增加。

1 5在 ， 内， 0,y y单调减少。

5 在 ， 内， 0,y y单调增加。

, 1 5 1 5 单调增加区间为 ， ， ，单调减少区间为 ， 。

( ) ( )f x f x满足一阶导数 为零定义： 的点称为函数 的驻点。

注：驻点通常是单调区间的分界点．

1 , 5 0.x x y 显然， 满足导数

232 ( ) 1 .f x x 例 、确定函数 （ ）的单调区间

, 解：定义域为

3

2

3 1x

1 .x y显然， 导数 不存在，是不可导点

0,y y单调减少；

1 在 ， 内， 0,y y单调增加。

2 1

3 32

1 13

y x x

, 1 在 内，

注：函数的不可导点通常也是单调区间的分界点．

1 单调增加区间为 ， 。 , 1 单调减少区间为 ，

(5) 在每个小区间内判断函数一阶导数的正负，从而确定函数的单调性。

求函数单调区间的方法和步骤：1 ( )f x（）求函数 的定义域；

( )f x(2) 计算一阶导数 ；

(3) 求出函数的驻点或不可导点；(4) 利用函数的驻点或不可导点将定义域划分成若干个小区间；

（ 4 ）、（ 5 ）步骤常采用列表讨论的方式。

3 22 9 12 3 .y x x x 例3、求函数 的单调区间

( , ) 解：定义域为26 18 12y x x )2)(1(6 xx

0y令 得驻点： 1 21, 2x x

单调增加区间为 ，]1,( [1,2]).,2[

x

y

y

( ,1) 1 (1, 2) 2 (2, )

0 0

无不可导点.

单调减少区间为

3 22 9 12 3y x x x 函数 的图形如下：

单调增加区间为 ，]1,( [1, 2]).,2[ 单调减少区间为

34 ( ) 2f x x 例 、求 的单调区间

解： ),( 定义域

2

31

( ) 23

f x x

2x 无驻点，当 时不可导

x

)(xf

)(xf

( , 2) 2 (2, )

不存在

23

1 10

3 2x

( , ) 在整个定义域 内是单调增加的。

o x

y

a b

)(xfy

1x 2x 3x 4x 5x 6x

o x

y

o x

y

0x 0x

二、利用一阶导数求函数的极值

1 、函数极值的定义

0 0

0

0 0

0

0 0

0

( )

1 ( ) ( )

( ) ( )

2 ( ) ( )

( ) ( )

f x x x x

x x

x f x f x

f x f x

x f x f x

f x f x

定义：设函数 在点 连续， 是 附近

的任意一点，且 ，

（）如果在 两侧附近均有 ，

就称 是函数 的一个极大值；

（）如果在 两侧附近均有 ，

就称 是函数 的一个极小值。

函数的极大值与极小值统称为极值 , 使函数取得极值的点称为极值点 .

.但须注意：函数的驻点却不一定是极值点

例如 , ,3xy 23xy

.0不是极值点但 x

2 、函数极值的求法定理 1( 必要条件 ) 设 在点 处可导 , 且在 处取得极值 , 那末必定 。

)(xf 0x

0( ) 0f x 0x

即： ( )f x可导函数 的极值点必定是它的驻点

0x 驻点为： o x

y3y x

定理 2( 充分条件 )

x

y

o 0x

x

y

o 0x

0 0

0

( )

( ) ( )

f x x x

f x x f x如果函数 在点 连续，且在 两侧一阶导数

异号，则 必为函数 的极值点。

0 0( )f x x x当 在点 左侧为负，右侧为正时， 为极小值点；0 0( )f x x x当 在点 左侧为正，右侧为负时， 为极大值点。

是极值点情形0x

x

y

o 0x

x

y

o 0x

不是极值点情形0x

例 5 、

解

.593)( 23 的极值求出函数 xxxxf

963)( 2 xxxf

，令 0)( xf .3,1 21 xx得驻点 列表讨论

x )1,( ),3( )3,1(1 3

)(xf

)(xf

0 0

极大值

极小值

)3(f极小值 .22)1(f极大值 ,10

)3)(1(3 xx

例 6

解

.)2(1)( 3

2

的极值求出函数 xxf1

33

2( ) ( 2)

3 2f x x

x

2 ( )x f x 为 的不可导点

极大值

x

)(xf

)(xf

( , 2) 2 (2, )

不存在

(2) 1f

x

y

o 1x 2x

)(xfy

图形上任意弧段

位于所张弦的上方，

称曲线为凸曲线。

x

y

o

)(xfy

1x 2x

图形上任意弧段

位于所张弦的下方，

称曲线为凹曲线。

三、利用二阶导数判断函数在区间上的凹凸性

x

y

o

)(xfy

x

y

o

)(xfy

a b

A

B

y递增

a b

B

A

0y y递减 0y

定理 ( ) [ , ] , ( , )

, ( , )

(1) ( ) 0, ( ) [ , ] ;

(2) ( ) 0, ( ) [ , ] .

f x a b a b

a b

f x f x a b

f x f x a b

如果 在 上连续 在 内具有二阶导数 若在 内

则 在 上的图形是凹的则 在 上的图形是凸的

曲线凹凸的判定 :

例 7 、 .3的凹凸性判断曲线 xy

解 ,3 2xy ,6xy

时，当 0x ,0y

为凸的；在曲线 ]0,(

时，当 0x ,0y 为凹的；在曲线 ),0[

(0,0)点 是曲线由凸变凹的注意： 分界点。

o x

y3y x

拐点的求法

曲线的拐点及其求法

正如极值点可能为驻点或不可导点，类似地，拐点的横坐标也可能是二阶导数等于零或二阶导数不存在的点．

( ) ( )f x f x(1) 求函数 的二阶导数 ；

0 0 03 ( ) , ( , ( ))x f x x f x（ ）若 两侧附近 异号 则点 为拐点.

连续曲线上凹凸的分界点 称为曲线的拐点 .0 0( , ( ) )x f x

0

( ) 0 0f x

x

(2) 令 ，求满足二阶导数为 的点或者二阶导数 不存在的点 ；

例 8 、 4 33 4 1 .y x x 求曲线 的拐点及凹、凸区间

解 : ( , ) 定义域为

,1212 23 xxy ).23(12 xxy

,0y令 .32

,0 21 xx得

x )0,( ),32( )3

2,0(0 32

)(xf

)(xf

0 0

凹的 凸的 凹的拐点 拐点

)1,0( )2711,3

2(

2 2( ,0], [ , ) [0, ].3 3 凹区间为 ，凸区间

练习题

2 xy x e 、求函数 的极值.

3 233 6 1

2y x x x 、求函数 的极值，凹凸区间及

拐点。

21 2 lny x x 、求函数 的单调区间。

1、需求对价格的弹性

( )

( )q

q q p q p

E p

设需求函数为 ，则需求量 对价格 的弹性简称需求弹性，记做

( ) ( )( )q

pE p q p

q p

( )

( ) 0 ( ) 0q

p

q q p

q p E p

由于在一般情况下，当商品的价格 提高时，商品的需求量 将减少，即需求函数 为单调减少函数，因此 ，故通常 。

§3 导数在经济分析中的应用一、经济中的弹性分析

p注意在上式中需求弹性以 为自变量。

2 200 3 50q p p 例 、设需求函数 ，求 时的需求弹性。

1 3000 40q p 例 、设需求函数 ，求需求弹性。

( ) 3000 403000 40q

pE p p

p

解： 40

3000 40

p

p

40

3000 40

p

p

( ) 200 3200 3q

pE p p

p

解：

3

200 3

p

p

50p把 代入上式中，

3 50 15050 3

200 3 50 50qE

50 1% 3%.p经济含义：在 的水平上，如果价格上涨 ，需求量将下降

0.023 100 ( ) 10pqq e E p p 例 、设需求函数 ，求 及 的需求弹性。

0.020.02

( ) 100100

pq p

pE p e

e

解：

0.020.02

100 ( 0.02 )100

pp

pe p

e

0.02 p

10p把 代入上式中，

10 0.2qE

10 1% 0.2%.p经济含义：在 的水平上，如果价格上涨 ，需求量将下降

0.020.02

100 ( 0.02)100

pp

pe

e

204 1000 ( ) 20p

qq e E p p

例 、设需求函数 ，求 及 的需求弹性。

20

20

( ) 1000

1000

p

q p

pE p e

e

解：

20

20

1000 ( )20

1000

p

p

p pe

e

20

p

20p把 代入上式中，

20 1qE

20 1% 1%.p经济含义：在 的水平上，如果价格上涨 ，需求量将下降

1 ( ) 1qE p （） ，意味着需求量增加（ ）的百分点

大于价格下降（ ）的百分点，这时称需求

或减少

或上升 富有弹性；

2 ( ) 1qE p （） ，意味着需求量减少（ ）的百分点

小于价格上升（ ）的百分点，这时称需求

或增加

或下降 缺乏弹性；

3 ( ) 1qE p （） ，意味着需求量减少（ ）的百分点

等于价格上升（ ）的百分点，这时称需求有

或增加

或下降 单位弹性。

2、需求弹性分类

——经济函数的导数称为它们各自的边际函数。

(1 )C x（）边际成本：

3、边际分析

( ) ( )

( ).

C x x C x

MC x

成本函数 对产量 的变化率 称为边际成本，记

(2 )R x（）边际收入：

( ) ( )

( ).

R x x R x

MR x

收入函数 对产量 的变化率 称为边际收入，记

(3 )L x（）边际利润：

( ) ( )

( ).

L x x L x

ML x

利润函数 对产量 的变化率 称为边际利润，记

( )C x x经济含义：边际成本 表示产量在 的水平上再生产一单位产品所增加的成本。

边际利润 边际收入 边际成本

( ) ( ) ( )L x R x C x

5

170 2q p 例 、设生产某产品的固定成本为20万元，每增加生产一单位产品成本增加10元，已知该产品的需求规律为 ，求边际成本，边际收入，边际利润。

( ) 200000 10C q q 解： ( ) 10C q

170 2 85 0.5q p p q 由 可得：

2( ) 85 0.5 85 0.5R q pq q q q q

( ) 85 0.5 2 85R q q q

( ) ( ) ( ) 85 10 75L q R q C q q q

——最小平均成本和最大利润4、经济中的最值问题

0

(1) ( )f x I I

I x

定理：设函数 在区间 上连续，在 内可导，并且在 内有唯一的驻点 ，

0 0

0 0

x x

x x

①如果 为极大值点，则 为最大值点；

②如果 为极小值点，则 为最小值点。

0x

注：在实际问题中，如果已知最值点确实存在，则驻点 必为所求的最值点。

(2)求最值的步骤：

( ) ( )C q L q

①建立目标函数表达式：

平均成本函数 或 利润函数

( ) ( )C q L q ②对目标函数求一阶导数： 或

0 0x x③求出唯一驻点 ，则 为所求的最小或最大值点。

26 ( ) 0.2 2 20 (C q q q 例 、设成本函数 产量:吨，成本:万元）求最小平均成本。

2( ) 0.2 2 20 20( ) 0.2 2

C q q qC q q

q q q

解：

2

20 20( ) 0.2 2 0.2C q q

q q

( ) 0C q 令 ，得到

22

20 200.2 0 100

0.2q

q

10 (q 吨） 唯一驻点，为最小平均成本产量。

20(10) 0.2 10 2 6

10C 最小平均成本 （万元/吨）

21

7

( ) 0.03 100 (C q q q

例 、设生产某产品的固定成本为2700元，变动成本为

产量:吨）,求最小平均成本产量

及最小平均成本。2( ) 0.03 100 2700C q q q 解：

2

2700( ) 0.03C q

q

( ) 0C q 令 ，得到2 2700

900000.03

q

300 (q 吨） 唯一驻点，为最小平均成本产量。

2700(300) 0.03 300 100 118

300C 最小平均成本 （元/吨）

20.03 100 2700 2700( ) 0.03 100

q qC q q

q q

1200 2q p

例8、 某厂生产一种产品，固定成本为50000元，每生产一单位产品成本增加100元，已知市场对该产品的需求规律为： ，试求最大利润。

600 0.5p q

50000 100C q q 解：

2( ) 600 0.5 600 0.5R q q q q q

1200 2q p 由 可得

2( ) 600 0.5 50000 100L q R q C q q q q 2500 0.5 50000q q

( ) 500 0.5 2 500 0 500L q q q q 2(500) 500 500 0.5 500 50000 75000(L 元）

结 束