Sociedade Brasileira de MatematicaMestrado Profissional em Matematica em Rede Nacional

MA33 - Introducao a` Algebra LinearUnidade 6 - Dependencia e independencia linearExerccios recomendados

1) Seja S = {v1, . . . , vr} um subconjunto LI de um espaco vetorial V . Mostreque cada vetor de W = G(S) escreve-se de forma unica como combinacaolinear dos elementos de S.

2) Considere o espaco vetorial dos polinomios R[x]. Determine se os polinomiosf(x) = x3 + 4x22x+ 3, g(x) = x3 + 6x2x+ 4 e h(x) = 2x3 + 8x28x+ 7sao LI ou LD.

3) Determine o valor de m R para que o conjunto {(3, 5m, 1), (2, 0, 4), (1,m, 3)} R3 seja LI.

4) Assinale V (erdadeiro) ou F (also) quanto a` validez da afirmacao: A uniaode dois subconjuntos LI de um espaco vetorial V ainda e um conjunto LI. . . .No caso de ser verdadeira, demonstre a afirmacao, e no caso de ser falsa,apresente um contra-exemplo para a afirmacao.

( ) Sempre;

( ) Nunca;

( ) Quando um deles e disjunto do outro;

( ) Quando um deles e parte do outro;

( ) Quando um deles e disjunto do subespaco gerado pelo outro.;

5) Dados os elementos v1, . . . , vr de um espaco vetorial V , mostre que esses saolinearmente independentes se, e somente se, e injetiva a seguinte aplicacao:

: Rr V(a1, . . . , ar) 7 a1v1 + + arvr.

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6) Mostre que as funcoes seno e cosseno sao LI no espaco das funcoes contnuas.

7) Prove que o conjunto S = {1, ex, e2x, e3x} e um conjunto LI no espaco C(R).8) Verifique que as funcoes f(x) = cos(2x), g(x) = cos2(x) e h(x) = sen2(x) sao

LD no espaco C1(R).

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