Sveučilište J.J.StrossmayeraElektrotehnički FakultetZavod za osnove elektrotehnike

Fazorski račun - deriviranje, integriranje, zbrajanje, množenje

SEMINARSKI RAD

06. travnja 2005. g. u Osijeku

GRUPA 5:

Milić Mato 1698Molnar Ksenija 1621Panić Dragan 1595Petrović Branko 1691Plazonić Ana 1640Pleša Mario (Dragan) 1634Pleša Mario (Josip) 1636Raljević Marko 1737Reinspach Davor 1632Vukasović Vedran 1690

Sadržaj:

1. Uvod...........................................................................................................32. Kompleksni brojevi....................................................................................43. Zbrajanje i oduzimanje fazora....................................................................64. Množenje....................................................................................................85. Dijeljenje.................................................................................................... 96. Deriviranje..................................................................................................107. Integriranje................................................................................................. 118. Primjena fazora.......................................................................................... 129. Zaključak....................................................................................................1410.Literarura....................................................................................................15

1. Uvod

Priključenjem mreže na izvor nastaju prijelazne pojave koje nakon izvjesnog vremena iščeznu, a ostane samo prisilni oblik struje i napona. Stanje koje ostaje nakon prigušenja prijelaznog procesa zove se stacionarno stanje. Najčešće se susreću sinusni valni oblici, stoga treba razviti metodu koja omogučuje jednostavno i brzo računanje stacionarnog stanja, nastalog sinusnom pobudom. Ta metoda proračuna treba pojednostaviti proračun mreže sa sinusnim pobudama tako da se diferencijalne jednadžbe prevode u algebarske, pa je daljni proračun sličan proračunu mreže istosmjerne struje. Metoda se temelji na mogućnosti da se sinusna veličina funkcije prikaže rotirajućim radijvektorom (kompleksni broj). Za primjenu te metode potrebno je poznavati osnovne operacije s kompleksnim brojevima.

2. Kompleksni brojevi

Kvadrat realnog broja ne može biti negativan broj. Zato nema realnog broja x takvog da je x 2 = -1. To znači da je jednadžba x2 + 1 = 0 nema rješenja u skupu realnih brojeva. Skup realnih brojeva ćemo proširiti i uvesti nove, kompleksne brojeve u kojima će biti rješive ove jednadžbe. Neka je j zamišljeno rješenje jednadžbe x2 + 1 = 0, broj sa svojstvom j2 + 1 = 0. Taj broj j nazivamo imaginarnom jedinicom.

Imaginaran broj (bj) je umnožak realnog broja b i imaginarne jedinice j.Kompleksan broj A gdje su a i b realni brojevi; a nazivamo realni dio, b imaginarni dio kompleksnog

broja A.A = a + jb

Možemo pisati a = Re{A}, b = Im{A}.Kompleksno konjugiani broj je kompleksan broj kojemu promjenimo predznak imaginarnom dijelu:

A* = a – jb

Modul kompleksnog broja A definiran je formulom:

Ako realne dijelove kompleksnih brojeva prikažemo na x osi kartezijeve ravnine a imaginarne dijelove kompleksnih brojeva prikažemo na y osi kartezijeva sustava dobivamo kompleksnu ravninu ili Gaussovu ravninu

Iz grafa možemo vidjeti da se kompleksan broj može zapisati u trigonometrijskom obliku:

Kut između vektora kompleksnog broja i realne osi računa se:

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja:

Kompleksni broj možemo predstaviti u eksponencijalnom obliku:-jednakost proizlazi iz takozvane Eulerove formule

Kraći zapis u kojem se izostavlja ej nazivamo polarni zapis kompleksnog broja, tj. fazor:

Kompleksno konjugirani broj u eksponencijalnom obliku:

Metoda kompleksnog računa omogučava nam lakše rješavanje zadataka tako što prelazimo iz originala (funkcija u vremenskoj domeni) u sliku (funkcija u fazorskoj domeni) pri čemu imamo jednostavni matematički alat u kojem su definirani zbrajanje, oduzimanje, dijeljenje, množenje, deriviranje i integriranje.

Fazor je veličina koja je određena amplitudom i fazom (φ) pri određenoj frekvenciji (ω). Uvjet za fazorski račun je da sve funkcije koje promatramo moraju imati istu frekvenciju.

3. Zbrajanje i oduzimanje fazora

Za zbrajanje kompleksnih brojeva vrijedi da posebno zbrajamo realne dijelove, a posebno imaginarne dijelove kompleksnih brojeva. Takvo svojstvo vrijedi i za fazore. Npr. ako imamo 2 struje :

Gdje su te amplitude sinusoidnog oblika struje ( max. vrijednosti ), a njihovi fazori :

,

Radi kraćeg zapisivanja fazore pišemo , gdje zamjenjuje e .

Zbrajajući te dvije struje dobit ćemo treću struju i to tako da će zbroj realnih dijelova prve i druge stuje dati realni dio treće struje , a zbroj njihovih imaginarnih dijelova dati će imaginarni dio treće struje:

Odnosno:

I3 dobit ćemo tako da korjenujemo zbroj kvadrata imaginarnog i realnog dijela:

ćemo dobiti iz relacije te je:

Iz vremenske domene struje pretvaramo njezin zapis u kompleksni odnosno fazorski:

Fazore možemo zbrajati samo grafički pa zbrajanje algebarski vršimo u kompleksnom zapisu:

Iz fazorske domene vraćamo u vremensku:

Ukoliko imamo zadano:

Tada koristimo trigonometrijske funkcije kuteva te primjenom u jednadžbu i2 dobivamo:

Oduzimanje je obrnuta operacja od zbrajanja te svako oduzimanje možemo napisati u obliku zbrajanja:

Iz vremenske domene struje pretvaramo njezin zapis u kompleksni odnosno fazorski:

Fazore možemo oduzimati samo grafički pa oduzimanje algebarski vršimo u kompleksnom zapisu:

Iz fazorske domene vraćamo u vremensku:

Ukoliko su zadane veličine (struje ili napona) u fazi i imaju iste amplitude tada određujemo po trigonometrijskoj relaciji :

Primjenjujući ovu formulu dobijamo:

4. Množenje

Množenje dvaju kompleksnih brojeva A1 i A2 algebarski definiramo formulom:

Ako su brojevi zadani u trigonometrijskom obliku tada vrijedi:

To jest modul produkta jednak je produktu modula, a argument produkta jednak je sumi argumenata faktora. Eksponencijalni oblik je:

Geometrijski, vektori koji prikazuju produkt od A1 i A2 dobivamo rotacijom vektora A1 u smjeru suprotnom gibanju kazaljke na satu za kut koji je jednak argumentu od A2 i množenjem tako rotiranog vektora sa |A2|. Produkt A1A2 možemo također dobiti konstrukcijom sličnih trokuta. Kada množimo kompleksni broj A1 sa j, zarotiramo radijvektor koji pokazuje A1 za kut π/2, a da se pri tome modul ne mijenja.

5. Dijeljenje

Dijeljenje kompleksnih brojeva definiramo kao operaciju suprotnu množenju.

U trigonometrijskom obliku je:

To jest modul kvocijenta jednak je kvocijentu modula djeljenika i djelitelja, a argument kvocijenta jednak je razlici njihovih argumenata. Eksponencijalni oblik je:

Geometrijski radijvektor koji odgovara kvocijentu A1/A2 dobivamo rotacijom vektora koji odgovara broju A1 u smislu gibanja kazaljke na satu za kut argumenta A2, pomnoživši ga sa |A2|.

6. Deriviranje

Ako se derivira sinusna funkcija u realnom obliku dobije se:

Deriviranjem sinusoide dobije se opet sinusoida koja prethodi originalu za π/2. Kako se traži projekcija na imaginarnu os, potrebno je kosinusoidu, koja prethodi sinusoidi za π/2, pretvoriti u sinusoidu. U fazorskom obliku deriviranje se također pojednostavnjuje što proizlazi iz sljedećih odnosa:

Slika deriviranja je:

Derivacijom smo dobili član:

pa je:

Deriviranje rotirajućeg fazora svodi se na algebarsku operaciju množenja tog fazora sa jω. Množenje sa j znači zakret za π/2, što je u skladu s rezultatom dobivenim u realnom obliku.

7. Integriranje

Integriranje sinusne velićine je:

To znači da integrirana funkcija zaostaje iza originalne za kut -π/2. U fazorskom obliku dobije se da je:

Slika integriranja je:

Integriranjem smo dobili član:

Pa je:

Integriranje rotirajučeg fazora svodi se na algebarsku operaciju dijeljena rotirajučeg fazora sa jω. Dijeljenje rotirajućeg fazora sa jω znači zakretanje fazora i u negativnom smjeru za kut π/2, što je u skladu s rezultatom dobivenim u realnom vremenu.

8. Praktična primjena

- zbrajanje dviju izmjeničnih sinusnih struja pomoću adicionih teorema

Zbrajanje u vremenskoj domeni:

Realna komponenta struje I3:

Imaginarna komponenta struje I3:

- i su kao funkcije varijabli C i .

Iznos amplitude struje I3:

Kut koji zatvara struja I3 sa pozitivnom dijelom realne osi:

Zapis struje I3 u vremenskoj domeni:

-Iz toga što je sinusna struja, tj. , proizlazi da je:

i

Ako su dvije struje sinusne, onda će i njihov zbroj (treća struja) biti isto

sinusna

- zbrajanje dviju izmjeničnih sinusnih struja pomoću kompleksnog-fazorskog računa

-Vremenska domena: -Fazorsa domena:

Dobivene vrijednosti dijelimo sa , jer računamo sa efektivnim vrijednostima:

9. Zaključak

10. Literatura

1. Pavić Armin, Osnove elektrotehnike 1.dio, Element, Zagreb, 1999.2. Kuzmanović Branislav, Osnove elektrotehnike 1, Element, Zagreb, 2000.3. Osnove elektrotehnike – Predavanja4. I.N.Bronštejn i suradnici, Matematički priručnik ;Golden marketing-Tehnička knjiga, Zagreb, 2004.