UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MEXICOUNADMX

INGENIERIA EN LOGISTICA Y TRANSPORTE

Facilitador:Victor Manuel Velasco Gallardo

Materia:Física

Alumno: Marco Antonio López ArellanoMatricula: AL12502396

Trabajo:

Evidencia de Aprendizaje.Uso de las leyes de Newton y la ley de la Gravitación Universal

Valle de Chalco, México a 6 de septiembre del 2013

Uso de las leyes de Newton y la ley de la Gravitación Universal.

Marco Teórico.

Ley de Newton de la gravitación universal

En los estudios y conocimientos sobre astronomía y mecánica de los cuerpos celestes compendiados durante la época copernicana sustentó el inglés Isaac Newton una teoría global sobre la gravitación y el movimiento de los objetos y sistemas materiales. En sus principios básicos, esta teoría mantiene su vigencia en la física moderna, aun cuando haya sido matizada por las aportaciones de la mecánica cuántica y relativista.

Interacción gravitatoria

Para explicar la naturaleza de los movimientos celestes y planetarios, el científico y pensador inglés Isaac Newton (1642-1727) estableció que todos los cuerpos materiales dotados de masa se ejercen mutuamente fuerzas de atracción debidas a un fenómeno conocido como interacción gravitatoria.

Las fuerzas gravitatorias, que se ejercen por ejemplo el Sol y la Tierra, se caracterizan porque:

La dirección de la fuerza es la de la recta que une los dos cuerpos afectados, el que la crea y el que la recibe.

El sentido de la fuerza se dirige hacia la masa que crea la interacción gravitatoria.

El módulo es directamente proporcional a las masas que intervienen en la interacción gravitatoria e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

Las fuerzas debidas a la interacción gravitatoria son siempre atractivas.

Fuerzas gravitatorias mutuas ejercidas entre dos cargas puntuales.

Ley de la gravitación universal

Basándose en los trabajos realizados por Kepler sobre los movimientos planetarios, Isaac Newton expresó la naturaleza de las interacciones gravitatorias en una fórmula que indica el valor de la fuerza que engendran dichas interacciones:

En esta expresión, conocida como ley de la gravitación universal, F es la fuerza gravitatoria, m1 y m2 las masas que intervienen en la interacción gravitatoria, r la distancia que las separa y G un factor de proporcionalidad conocido como constante de gravitación universal y cuyo valor en el Sistema Internacional es 6,67 • 10-11 N•m2/kg2.

Esta ley puede expresarse también en formato vectorial, del modo siguiente:

Fuerza gravitatoria y campo gravitatorio

Las fuerzas gravitatorias actúan a distancia, sin que exista contacto físico entre los cuerpos materiales implicados en ellas. Esta idea de acción a distancia se ha concretado en la física con la noción de campo, que se entiende como una perturbación que produce la partícula u objeto en el espacio circundante por su mera existencia. En el caso de la interacción gravitatoria, el campo gravitatorio se debe a la sola presencia en el espacio de un cuerpo material con masa no nula.

Representación visual del campo gravitatorio que ejerce una masa puntual sobre el espacio que la circunda.

Así pues, una partícula material induce en el espacio un campo gravitatorio cuya intensidad, según se deduce de la ley de gravitación universal, vendría dada por:

El signo menos de esta expresión indica que el campo gravitatorio es siempre de naturaleza atractiva, con lo que las líneas de fuerza del mismo apuntan hacia la masa m que lo engendra.

La fuerza gravitatoria se puede expresar como el producto de la intensidad del campo gravitatorio por la masa que se introduce dentro del mismo. Es decir:

Ley de superposición del campo gravitatorio

La interacción gravitatoria, descrita por la ley de gravitación universal de Newton, verifica la ley de superposición de fuerzas. Así, dadas tres masas puntuales m1, m2 y m3, la fuerza gravitatoria conjunta que ejercen las dos primeras sobre la tercera es igual a la suma vectorial de la fuerza que ejercería la primera sobre la tercera si la segunda no estuviera presente más la que induciría la segunda sobre la tercera si no existiera la primera masa. Es decir:

Sería posible escribir ecuaciones similares para cualquier otra combinación de las fuerzas y las masas intervinientes.

1.- Descripción del movimiento de un cuerpo en una órbita circular alrededor de la tierra.

El Movimiento Orbital: El movimiento de un cuerpo en órbita puede describirse como un proceso de caída que nunca llega a completarse ya que su movimiento incorpora un componente lateral que hace que la caída se verifique en una dirección distinta al lugar donde se encuentra el centro de su órbita.

Veamos una explicación sencilla de en qué consiste el movimiento orbital.

Si la Tierra y la Luna estuvieran detenidas en el espacio, a la distancia que tienen actualmente, 385.000 Km, la atracción gravitatoria entre ellas haría que ambas se aceleraran la una hacia la otra. Como la masa de la Luna es mucho menor que la de la

Tierra, se aceleraría mucho más, hasta llegar a chocar ambos cuerpos. Esto ocurriría en tan solo siete días, y en el momento de chocar la velocidad de la Luna sería aproximadamente de 1 Km/s.

No obstante, imaginemos que la Luna, antes de empezar a caer hacia la Tierra, llevase un movimiento lateral de UN Km/s. Con esa velocidad, visto desde la Tierra, la Luna se desplaza lateralmente, pero al mismo tiempo la fuerza de atracción de la Tierra hace que ese desplazamiento 'caiga' hacia la Tierra. El resultado es que en 24 horas la Luna habrá avanzado en el cielo unos 12º, pero su trayectoria también se ha inclinado 12º hacia la Tierra y como resultado la Luna estará a la misma distancia que antes y desplazándose a la misma velocidad, con lo cual el ciclo vuelve a iniciarse en las mismas condiciones en que empezaron. Y así sucesivamente hasta completar una vuelta completa en algo más de 27 días.

Los puristas matemáticos comprobarán de inmediato que estas cantidades no son exactas, sino aproximadas. Mi intención es explicar los movimientos orbitales con la mayor sencillez posible, sin recurrir a cálculos complejos ni a las matemáticas más que cuando sea estrictamente necesario. Si una vez comprendidos estos movimientos estáis interesados en conocer cantidades y fórmulas exactas os recomiendo consultar cualquier enciclopedia astronómica.

Por supuesto, esto sería sólo si la velocidad de la Luna fuese la exacta y necesaria para mantener una órbita circular, pero es muy difícil que esto ocurra. Por regla general la velocidad inicial puede ser mayor o menor y eso hará que el movimiento de la Luna no siga una órbita circular sino elíptica. Algunas veces la trayectoria de la Luna se alejará de la Tierra, en cuyo caso su velocidad irá disminuyendo, y otras veces se irá acercando, con lo que también se irá acelerando.

Tal como una piedra que arrojemos al aire, mientras la piedra va subiendo, va frenando. Cuando desciende, va acelerando.

2.- Descripción del movimiento del satélite en órbita alrededor de la tierra, suponiendo que la tierra y que la órbita es circular.

3.- Modelado del movimiento del satélite Tierra-satélite usando las leyes de Newton y la ley de la Gravitación Universal.

Velocidad orbital de un satélite

Supongamos que hay una partícula de masa m con trayectoria alrededor de la tierra circular de radio r.

Suponemos que la Tierra está quieta, m lleva velocidad v y no gasta combustible.

Fc = m.ac = m.v²/r.

OJO: La ac no depende de la masa, otro cuerpo de masa m` tendría la misma.

Todas las masas en la misma órbita tienen la misma velocidad lineal.

La fuerza gravitatoria de atracción de la Tierra es F = G.MT.m/r².

Es la misma fuerza vista desde dos puntos de vista distintos.

G.MT.m/r² = m.v²/r

v² = G.MT/r

y por tanto

Energía Total

Se llama energía total a la que tiene una masa o satélite que órbita alrededor de la tierra.

Es la suma de la Ec y de la Ep.

Ep = -G.MT.m/r

Ec = (1/2).m.v² = (1/2).m.G.MT/r = G.MT.m/2.r

La energía total es la suma de las dos energías:

ET = (G.MT.m/r).(-1 + 1/2) = -G.MT.m/2.r

Esta es la energía necesaria para que un satélite esté en órbita.

Es negativa e igual a la mitad del valor de la energía potencial. El signo menos corresponde a orbitas cerradas de objetos que no tienen energía suficiente para escapar de la atracción terrestre.

Cuando un satélite cambia de órbita en ausencia de fuerzas exteriores su Energía mecánica se conserva.

EcA + EpA = EcB + EpB

Entonces si lanzamos el satélite desde la superficie de la tierra ya tiene una cierta energía potencial

Eco + Epo = Ecf + Epf

Eco - G.MT.m/RT = -G.MT.m/2.r

y por tanto

Eco = -G.MT.m/2.r + G.MT.m/RT

Eco = G.MT.m.(1/RT - 1/2.r)

Esto se conoce como energía de satelización.

Si queremos calcular la velocidad inicial necesaria para llegar a esa órbita

(1/2).m.v0² = G.MT.m.(1/RT - 1/2.r)

y por tanto

Velocidad de escape.

Es la velocidad que hay que comunicar a un cuerpo de masa m situado sobre la superficie del planeta para que pueda escapar del campo gravitatorio e irse al ∞.

En el ∞ la EM= 0 ya que hemos dicho que la Ep= 0 y la velocidad con la que llega es 0, por tanto Ec + Ep = 0.

Por tanto:

(1/2).m.v0² - G.MT.m./RT = 0

(1/2).m.v0² = G.MT.m./RT

v0² = 2.G.MT./RT

Se puede escribir:

go = G.MT/RT²

®

Satélites geoestacionarios

Un satélite se llama geoestacionario cuando se encuentra siempre sobre el mismo punto de la superficie terrestre, es decir, recorre toda su órbita en el tiempo que la tierra hace una rotación completa (24 h)

Aplicando la 3º ley de Kepler:

Si sustituimos los datos:

T = 24 h = 86400 s

G = 6,67 • 10-11 Nm²/kg² el valor de r = 4,2 • 107 m

MT= 5,97 • 1024 kg

4.- Dispositivos mecánicos para el movimiento del satélite.

El movimiento de un satélite puede resolverse mediante el movimiento de su centro de masas en un sistema coordenado centrado en la Tierra y el movimiento de un cuerpo sobre su propio centro de masas. Este segundo concepto es el que desarrollaremos.

La estabilidad de un satélite se representa respecto a los ejes yaw, roll y pitch ( Guiñada, Alabeo y Cabeceo, respectivamente) de un sistema de coordenadas local, tal y como indica la figura.

este sistema de coordenadas está centrado en el centro de masas de un satélite; el eje yaw apunte directamente al centro de la Tierra, el eje roll está en el plano de la órbita perpendicular al primero y en la dirección del vector velocidad; el eje pitch es perpendicular a los dos anteriores y orientado de manera que el sistema de coordenadas sea regular. En una configuración nominal de estabilidad los ejes del sistema de coordenadas fijo del satélite están en principio alineados con los ejes del sistema de coordenadas local. El control de estabilidad está representado por los ángulos de rotación de los ejes de esos dos sistemas coordenados.

Mantener la estabilidad es fundamental para que el satélite pueda desempeñar su función. La fiabilidad y la precisión de este subsistema determinan el rendimiento de la mayoría de los otros subsistemas. Por ejemplo, las antenas de haz estrecho y los paneles solares deben ser adecuadamente orientados.

Funciones

El papel del control de estabilidad generalmente consiste en mantener los ejes metálicos alineados con el sistema de coordenadas local con una precisión definida por la amplitud de la

rotación en cada uno de esos ejes. En un satélite geoestacionario son valores típicos ±0.05° para pitch y roll y ±0.2° para yaw.

El mantenimiento de la estabilidad requiere funciones de dos tipos:

• Una FUNCION DE DIRECCION que consiste en hacer que una cara del satélite esté orientada hacia la Tierra girando alrededor del eje de pitch para compensar el movimiento aparente de la Tierra respecto del satélite. Para un satélite geoestacionario esta rotación se realiza a la velocidad constante de una revolución por día (0.25°/minuto).

• Una FUNCIÓN DE ESTABILIZACION que incluye la compensación de los efectos de las pares perturbadores. Estos pares son creados por fuerzas gravitacionales, presión de la radiación solar y la interacción entre la electrónica del satélite y el campo magnético de la Tierra. Son pequeños, del orden de 10-4 -10 –5 .

En el pasado se utilizaban controles de estabilidad pasivos. Esto implicaba utilizar los efectos de los pares de fuerzas naturales para mantener la estabilidad requerida, pero la precisión obtenida era incompatible con los requerimientos de los satélites de comunicaciones que usaban antenas directivas, ya que requerían un apuntamiento preciso. Consecuentemente, ahora se utilizan controles de estabilidad activos. El proceso implica:

• Medida de la estabilidad del satélite respecto a referencias externas.

• Determinar la estabilidad respecto a una referencia predefinida.

• Evaluar la función de los actuadores.

• Ejecutar las correcciones por medio de los actuadores montados en el satélite.

• Seguimiento de la evolución de la estabilidad durante el movimiento del satélite influido por la acción de los pares perturbadores y de corrección.

El sistema puede operar en bucle cerrado a bordo del satélite, con lo que el control de los actuadores es generado directamente en el propio satélite en función de las salidas de los sensores de estabilidad. Dichas salidas pueden ser también transmitidas a una estación terrena a través de Telemetría para que la estación evalúe las acciones correctivas correspondientes. En la práctica, se utiliza una combinación de estas dos técnicas.

Aunque se realice control de estabilidad activo, también es útil sacar partido de efectos naturales tales como:

• Uso de rigidez giroscópica obtenida por la creación de un momento angular a bordo del satélite.

• Creación de pares de control usando espiras magnéticas que interactúan con el campo magnético terrestre.

• Generación de pares de control aprovechando la presión de la radiación solar.

El uso de los efectos naturales nos ofrece una mayor flexibilidad en el control de la estabilidad y reduce de manera considerable el consumo de combustible.

Sensores

Los sensores miden bien la orientación de los ejes del satélite respecto a referencias externas, o bien la progresión de la orientación con el tiempo (girómetros).

Su característica principal es la precisión. Esta depende no solamente del procedimiento usado, sino también del error de alineamiento de los sensores respecto al cuerpo del satélite.

Los sensores más utilizados a bordo de satélites geoestacionarios son los solares, detectores de horizonte terrestre y girómetros. Para ciertas aplicaciones el uso de sensores de estrellas amplía el rango de posibilidades. Finalmente, es posible utilizar un radiofaro o un láser para obtener medidas de estabilidad precisas.

• Sensores solares: utilizan elementos foto-voltaicos que generan una corriente cuando son iluminados por el Sol. Miden uno o dos ángulos de la luz incidente respecto al plano de la cara en la que están montados. La precisión obtenida es del orden de 0.005°.

• Sensores de Tierra: la Tierra, rodeada por su atmósfera, aparece como un cuerpo esférico negro a una temperatura de 255K cuando la radiación es medida en la banda de absorción infrarroja del dióxido de carbono (14-16mm). La imagen de la Tierra contrasta con respecto al plano de fondo cuya temperatura es de aproximadamente 4K. La medida de la absorción infrarroja, cuya emisión es uniforme aproximadamente sobre la superficie de la Tierra, mediante elementos termosensibles permite detectar el contorno terrestre.

La reflexión de la luz solar sobre la Tierra puede ser también medida. Ésta es detectada mediante células fotoeléctricas o fototransistores.

Se obtienen precisiones del orden de 0.05°

• Sensores de estrellas: una imagen de una porción del cielo proporciona un mapa de las estrellas cuya posición relativa es detectada y comparada con un mapa de referencia. La precisión de la medida es muy alta, del orden de 10-4 grados. Como contrapartida tenemos la complejidad del sensor y el peligro de la saturación del mismo por culpa del Sol, la Tierra u otras fuentes de luz.

• Unidades inerciales: utilizan medidores de aceleración para detectar el movimiento de traslación del satélite o girómetros para la medida de la velocidad angular sobre un determinado eje. Estos dispositivos están sometidos a errores de deriva. Los dispositivos

mecánicos tienen un tiempo de vida límite (alrededor de 10000 horas) que imposibilita su uso continuado para misiones convencionales de unos 10 años.

• Sensores de radiofrecuencia: dependen de la medición de las características de las ondas de radio transmitidas hacia el satélite por radiofaros terrestres. Permiten la medida del ángulo existente entre el eje de la antena a bordo y la dirección deseada del radiofaro. La rotación sobre el eje de yaw es difícil de evaluar. Para medir la rotación de una onda polarizada desde un radiofaro simple debe obtenerse un valor del ángulo de yaw. Desafortunadamente, la orientación de la polarización viene afectada por la rotación Faraday y la precisión del ángulo de yaw es del orden de 0.5°. Sobre los otros ejes podría llegar a ser de 0.01°.

• Detector láser: el uso de un haz láser en lugar de un radiofaro se ha considerado para la determinación de la orientación del satélite. La precisión esperada es de 0.006° para ángulos de roll y 0.6° para el de yaw. Uno de los mayores problemas de este método consiste en la atenuación del láser a causa de las nubes.

Actuadores

La modificación de la estabilidad se consigue generando un par de fuerzas que causa una aceleración angular o una velocidad sobre un eje.

Los actuadores más utilizados son:

- Dispositivos de momento angular: incluyen volantes de reacción y giroscopios que explotan el principio de conservación del momento angular. Con los volantes de reacción la tasa de variación dw/dt de la velocidad de rotación del volante w , de momento de inercia I, produce una modificación del momento angular H=I•w y se genera una par T alineado con el eje del volante:

Con el giroscopio los volantes rotan a una velocidad constante y es girado sobre uno o dos ejes. Cualquier cambio programado sobre el momento de inercia genera un par T igual a la subsecuente tasa de variación dH/dt del vector del momento angular. El tiempo de vida

límite de tales dispositivos de dirección hace que sean poco utilizados para generar pares activos.

Los dispositivos de momento angular son especialmente útiles para el mantenimiento de la estabilidad cuando el satélite está sujeto a pares perturbadores cíclicos. Los pares perturbadores de media no nula (causadas por ejemplo por el efecto de la presión de la radiación solar), o los pares perturbadoras de amplitud excesiva pueden requerir una variación del momento angular que las compense, que exceda los límites de la velocidad de rotación de los volantes o la orientación del giroscopio. Es necesario producir un par de frenado mediante otro actuador (por ejemplo, un propulsor).

Propulsores (thrusters): los propulsores producen fuerzas de reacción en el satélite mediante la quema de combustible a través de conos de escape. La fuerza obtenida es función de la cantidad de material (masa) expulsada por unidad de tiempo dm/dt, y depende del impulso específico Isp del combustible usado:

donde g es la constante gravitacional terrestre normalizada (g=9.807 m/s2 )

El par obtenido depende de la distancia d del brazo de palanca con respecto al centro de masas del satélite:

El par a aplicar es del orden de 10-4-10-1 N•m. Con un brazo de palanca de un metro el impulso será del orden de 10-4-10-1 N.

- Paneles solares: la presión de la radiación solar aplicada a una superficie lo suficientemente grande es capaz de generar pares que, por el propio diseño del satélite, se compensan, ya que la cara que

está en dirección al Sol suele ser simétrica respecto del centro de masas. Las superficies más significativas suelen ser las de los paneles solares. Modificando el apuntamiento de éstos, es posible generar pares a lo largo de dos ejes. Este efecto se puede aumentar introduciendo superficies en el extremo de los paneles solares y que sean oblicuas a ellos. Los pares obtenidos serán suficientes para compensar los perturbantes.

Estabilización giroscópica:

La estabilización giroscópica se obtiene creando un momento angular a bordo del satélite. Por el principio de conservación del momento angular, la orientación de éste tiende a quedar fija en un espacio inercial. Eligiendo el momento inercial alineado con el eje del pitch, éste se beneficiará de la rigidez giroscópica, que lo mantendrá en una orientación fija en el espacio en vez de seguir el movimiento del satélite en su órbita.

El beneficio de la estabilización giroscópica se aprecia mejor si los efectos de los pares perturbadores sobre un satélite con y sin generación de momento angular.

En la figura se muestra el efecto de un par Td. El satélite sin momento angular empezará a girar alrededor del eje z con una aceleración angular constante dada por:

Donde Iz es el momento de inercia del satélite sobre el eje z.

Si el satélite tiene un momento angular a bordo H sobre el eje y como consecuencia de la acción giroscópica, el giro sobre el eje x es una velocidad angular constante Wx, dada por:

Estabilización en spin

La estabilización en spin fue usada por los primeros satélites de comunicaciones y todavía es usada (por ejemplo, en Brasilsat, INTELSAT VI, etc...). Se le proporciona al satélite un movimiento de rotación de varias decenas de rpm sobre uno de los ejes principales de inercia. Este es u n proceso simple que aprovecha las propiedades del giroscopio pero que tiene la desventaja de necesitar un compensador de giro para la parte superior donde se encuentran las antenas.

Las oscilaciones del momento angular sobre la dirección del momento angular H (nutación) aparecen cuando el momento de inercia en el eje de rotación no es lo suficientemente grande con respecto a éste en los otros ejes perpendiculares. Esas oscilaciones deben ser minimizadas con la disipación interna de energía cinética, o de forma activa mediante el uso de propulsores en cuyo caso el sistema tiene tendencia a la inestabilidad. Esta situación se da en satélites con una forma bastante alargada, de cual una gran parte (la plataforma de contra-giro) no participa en la creación del momento angular (este es el caso de INTELSAT VI).

Los pares perturbadores tienen dos efectos: reducen la velocidad de rotación alrededor de su eje de estabilización y produce un error de estabilidad puntual. Cuando la componente perpendicular del par perturbador es constante en el eje de rotación, ese error puntual se debe a derivas de la velocidad en un eje perpendicular al par. Para su corrección se requiere la aplicación de otro que cancele la deriva.

Estabilización en tres ejes:

El término 'estabilización en tres ejes' denota a un sistema de control de estabilidad en el cual el cuerpo del satélite mantiene una orientación fija respecto a un sistema de coordenadas local. Esto permite montar antenas de gran tamaño. Además, es más fácil

instalar paneles solares desplegables alineados con el eje de pitch, que giran en torno a este eje para poder seguir el movimiento aparente del Sol sobre el satélite.

La rotación diaria del satélite sobre el eje de pitch no proporciona la suficiente rigidez giroscópica para combatir los pares perturbadores, por lo que se hace necesario el uso de sistemas de control de la estabilidad rápidos y dinámicos usando actuadores que permitan la generación flexible y precisa de los pares correctores.

Otra técnica para obtener rigidez giroscópica es montar uno o más volantes de inercia que proporcione al satélite cierto momento angular. Esta técnica es la más usada en los satélites de comunicaciones.

• Satélites con un solo volante de inercia:

El satélite de la figura contiene un volante de inercia cuyo eje está alineado con el eje de pitch en una configuración nominal de estabilidad. El momento angular generado en ese eje proporciona la rigidez giroscópica que hace que el eje mecánico del satélite en el que se monta el volante y el eje de pitch coincidan con el sistema de coordenadas local. Además, variando ligeramente la velocidad del volante de su valor nominal, es fácil generar torques correctores sobre el eje de pitch.

El control de la estabilidad en el modo nominal es como se muestra a continuación: con uno o varios sensores de tierra operando en el infrarrojo se miden los ángulos de pitch y roll. La rigidez giroscópica aplicada por el volante de inercia activa un movimiento limitado en los ángulos de roll y yaw. El control del pitch se realiza variando la tasa de giro del volante. El control de roll se obtiene mediante actuadores que generen un par sobre dicho eje (tal y como propulsores, espirales magnéticas o usando los paneles solares como velas). La rigidez giroscópica evita tener que medir el ángulo

de yaw, ya que en el curso de una órbita hay un intercambio entre los ejes de roll y yaw cada seis horas (un cuarto de vuelta), con lo que se puede controlar el yaw usando las medidas de roll obtenidas seis horas antes.

Durante el transcurso de fases de alta perturbación, el control de roll y yaw se deben realizar por separado. Las variaciones del ángulo de yaw se medirán en tal caso con un sensor específico.

La precisión obtenida con este sistema de estabilización es del orden de 0.03° para el ángulo de roll, 0.02° para el de pitch y 0.3° para el de yaw.

• Satélites con varios volantes de inercia:

Con un solo volante de inercia, para mantener una orientación fija del satélite durante su órbita, el eje del volante debe coincidir con el de pitch. Pero este tipo de control no deja ningún grado de libertad, requiriendo el uso de combustible para realizar cualquier ajuste en alguno de los otros ejes.

Si usamos dos o más volantes de inercia cuyos ejes estén inclinados con respecto al de pitch lograremos orientar de una manera mucho más fácil el momento angular. La orientación obtenida dependerá de la velocidad de giro relativa de cada volante. Dependiendo del número de volantes usados lograremos uno o dos grados de libertad en el control de la estabilidad.

También podemos introducir otro volante adicional redundante, que nos dará otro grado de libertad que permitirá operar sobre el satélite en una órbita inclinada mientras se mantiene el correcto apuntamiento de las antenas para dar la cobertura deseada.

5. Elaboración de un mapa mental de la implementación del proyecto en lo que se refiere al Uso de las leyes de Newton y la ley de la Gravitación Universal.

Bibliografía:

http://www.hiru.com/fisica/ley-de-newton-de-la-gravitacion-universal

http://www.maslibertad.net/ciencia/MovimientosTierra.html

http://www.iesleonardoalacant.es/Departamento-fisica/Campo_gravitatorio/Satelites.pdf

http://www.fisicanet.com.ar/fisica/dinamica/ap15_campo_gravitatorio.php

http://www.upv.es/satelite/trabajos/Grupo5_b99.00/ESTABILIDAD.htm

http://www.upv.es/satelite/trabajos/Grupo5_b99.00/ESTABILIDAD.htm