geometria_metrica_poligonos1

GeometraMtrica.Polgonos.

MiguelngelMolinaPrez 1

LOSPOLGONOS,PROPIEDADESYCONSTRUCCIONES.

1.DEFINICINYTIPOSDEPOLGONOS.

DEFINICIN.Polgonoeslasuperficieplanalimitadaporunalneapoligonalcerrada.

Lneapoligonaleslafiguraformadaporvariossegmentosnopertenecientesalamismarecta.Seconsideracerradacuandosuprincipioyfinalcoinciden.

ELEMENTOSGENERALESDEUNPOLGONO.LADOS:Sonlossegmentosqueformanelpolgono.

VRTICES:Interseccinoextremosdeloslados.

DIAGONALES.Segmentosdeterminadosporcadadosvrticesnoconsecutivos.Fig.1

CLASIFICACINDELOSPOLGONOS.EQUILTERO:Sitienetodossusladosiguales.Fig.2

EQUINGULO:Sitodossusngulossoniguales.Fig.2

REGULAR.Equilteroyequingulo.

REGULARESTRELLADO:Seobtieneuniendosegnunpasodeterminadosusvrtices.

CONVEXO:Cuandoelpolgonoquedaaunladodelaprolongacindeunodesuslados.Fig.3

CNCAVO:Repartidoaambosladosdelaprolongacindealgunodesuslados.Fig.4.

2.TRINGULOS.



DEFINICINYDESIGNACIN.

Superficieplanalimitadaportresrectasquesecortandosados.

Lospuntosdeinterseccindeestasrectassedenominanvrticesysedesignanenmayscula,lossegmentosentrevrticesladosysedesignanenminscula,igualalvrticeopuesto.Fig.5

Sonpolgonosconvexosconsusdiagonalescoincidiendoconloslados.

PROPIEDADESFUNDAMENTALES.1.Unladoesmenorquelasumadelosotrosdosymayorquesudiferencia.bc



RECTASNOTABLESYCENTROSDELTRINGULO.ORTOCENTRO.Puntodondesecortansusalturas.Alturaeslaperpendiculardeunvrticeasuladoopuesto.Fig.12

CIRCUNCENTRO.Puntodondesecortanlasmediatricesdeloslados.Escentrodelacircunferenciacircunscritadeltringulo(contieneasusvrtices).Fig.13

BARICENTRO.Puntodondesecortanlasmedianas.Medianassonlossegmentosquevandelosvrticesalospuntosmediosdelosladosopuestos.Elbaricentroeselcentrodegravedaddeltringuloyseencuentrarespectodelosvrticesa2/3delamedianacorrespondiente.Fig.14

INCENTRO.Puntodondesecortanlasbisectricesdelosngulosdeltringulo.Escentrodelacircunferenciainscritaeneltringulo(tangenteasuslados).Fig.15

TRINGULOSNOTABLES.TRINGULORTICO.Tringulorticodeuntringulodadoeselquetienecomovrticeslospiesdelasalturasdeltringulodado.Fig.16

TRINGULOCOMPLEMENTARIO.TringuloComplementariodeuntringulodadoeselquetienecomovrticeslospuntosmediosdelosladosdeltringulodado.Fig.17

TRINGULOPODAR.TringuloPodardeuntringulodadoeselquetienecomovrticeslospiesdelasperpendicularestrazadasalosladosdeltringulodesdeunpuntoPdefinido.Fig.18

CONSTRUCCINDETRINGULOS.Elnmerodedatosnecesarioparapoderconstruircualquierpolgonoes2n3,siendonelnmerodeladosdelpolgono.Enelcasodelostringulos,elnmerodedatosprecisoesportanto3.

Aveceslosdatosnosedandirectamentesinoquevanimplcitosenlapropiadefinicindeltringuloopolgonoaresolver,porejemplotringuloequilterodatolado,llevaimplcitoslostresladosytresngulosporloquetenemosdatosdesobra.

Soninnumerableslosejerciciosquepuedenplantearsedeconstruccindepolgonosytringulos,resolveremosaqualgunosamododeejemplo.

1.Conociendolostreslados.Tomamosunocomobaseyhacemoscentroensusextremosconradiosigualesalosotrosdoslados,describiendoarcosquesonloslugaresgeomtricosdelosextremos,dondesecortentenemoselvrticebuscado.Fig.19

2.Conociendodosladosyelngulocomprendido.Fig.20



3.Conocidosdosngulosyelladocomprendido.Fig.21

4.Dadosdosladosyelnguloopuestoaunodeellos.Sedibujaelnguloyladocontiguosya,concentroenelextremoopuestoC,trazamosunarcoderadioigualalsegundoladoconocidob.Elejerciciopuedetener2soluciones(vrticesAyA)sielladobesmayorquelaalturadeC,1sisonigualesynotenersolucinsiesmenor.Fig.22

5.Dadosdosngulosyunladoopuestoaunodeellos.Setrazaelarcocapazdelnguloopuesto.Fig.23

6.Dadosunlado,elnguloopuestoylaalturacorrespondienteentreesteladoyngulo.

Sedibujaelladoa,seletrazaelarcocapazdeyunaparalelaadistancialaalturadadah.Dondeestaparalelayelarcosecortentenemoselvrticebuscado.Dossolucionessilaalturaessecanterespectoalarco,unasiestangenteyningunasiesexterior.Fig.24

7.Dadosunlado,ysualturaymedianacorrespondientes.Dibujamoselladoayunaparalelaaestealaalturadadah.Concentroensupuntomedio trazamosunarcoderadioigualalamedianadada.Dondeamboslugaresgeomtricossecortentenemoselvrticebuscado.Dossoluciones,unaoningunasegnsealaparaleladelaalturasecante,tangenteoexterioralarcodelamedianarespectivamente.Fig.25

8.Construiruntringulorectngulodadalahipotenusaylasumadeloscatetos.



Dibujamoselsegmentodadocomosumadecatetos(b+c)ytrazamos,porunodesusextremosD,unasemirrectaqueformeconl45.EnsuotroextremoChacemoscentroparatrazarunarcoderadioigualalamagnitudconocidadelahipotenusaa.

DondelasemirrectayelarcosecortentenemoselvrticeB(oB)deltringulobuscado.DesdeeltrazamosunarectaperpendicularalsegmentoDCobteniendoelvrticeAy,portanto,elcatetomenorcylalongituddelcatetomayora.Fig.26.

DetomarelpuntodeinterseccinB,lasolucinsersimtricaalaobtenida.

ObsrvesequeeltringuloABDesisscelesyrectnguloporloquelossegmentosADyBAtieneniguallongitud.

9.Construiruntringulorectngulodadalahipotenusayladiferenciadecatetos.

Seresuelvedeigualmodoqueelejercicioanterior.Fig.27

3.CUADRILTEROS.

DEFINICIN,ELEMENTOSYDESIGNACIN.Sellamacuadrilteroatodafigurapoligonalcerradacompuestaporcuatrolados.Lospuntosdeinterseccindelosladossedenominanvrticesysedesignanconletramaysculaeigualaladelladocontiguo,enminscula.Lossegmentosqueunendosvrticesopuestossedenominandiagonales,uncuadrilterosolotienedosdiagonales,cadaunadividealcuadrilteroendostringulos.

Lasumadelosngulosdeuncuadrilteroesde360.Fig.28.

CLASIFICACIN.PARALELOGRAMOS.Tienensusladosopuestosparalelos,susngulosopuestossonigualesylasdiagonalessecortanensupuntomedio.

RECTNGULOS.Susladosopuestossoniguales,desigualesloscontiguosytodossusngulosrectos.Fig.29

ROMBOS.Suscuatroladossoniguales.Susngulosopuestosiguales,desigualesloscontiguos.Fig.30

CUADRADOS.Loscuatroladosigualesysusngulosrectos.Fig.31



ROMBOIDES.Susladosopuestossoniguales,desigualesloscontiguos.Susngulosopuestosiguales,desigualesloscontiguos.Fig.32

TRAPECIOS. Tienendosladosparalelosquesedenominanbases,siendolaalturaladistanciaentreambas.Sedenominaparalelamediaalsegmentoqueunelospuntosmediosdelosladosnoparalelos.Fig.33

RECTNGULO.Tienedosngulosrectos.Fig.34

ISSCELES.Losdosladosnoparalelossoniguales.Fig.35

ESCALENO.Susladospresentanmagnitudesescalonadas.Fig.36

TRAPEZOIDES. Notienenningnpardeladosparalelos.

BIISSCELES.Losladoscontiguossonigualesdosados.Losngulosopuestossoniguales.Fig.37

ESCALENO.Susladospresentanmagnitudesescalonadas.Fig.38

CONSTRUCCINDECUADRILTEROS.Elnmerodedatosnecesariosparapoderresolverlaconstruccindepolgonosesde2n3,enloscuadrilterosserde5.

Atendiendoasusdiagonales,puedendescomponerseentringulosyresolversedesdelaresolucinpreviadeestostringulos.

PARALELOGRAMOS.1.Construccindelcuadradoconociendo:

A.Ellado.Fig.39

B.Ladiagonal.Mediantearcocapazde90.Fig.40

C.Elradiodelacircunferenciacircunscrita.Ladiagonalesigualaldimetrodelacircunferenciacircunscrita.Fig.41



2.Construccindelparalelogramorectnguloconociendoladiagonalyunlado.Fig.42

3.Construccindelromboconociendounladoyelngulocontiguo.Fig.43

4.Construccindelromboideconociendounlado,elngulocontiguoyunadiagonal.Fig.44

TRAPECIOS.1.Construccindeltrapeciorectngulo,conociendolabasemayor,elladooblicuoyelngulocomprendidoentreambos.Fig.45

2.Construccindeltrapecioisscelesconociendolasbasesylaaltura.Fig.46

3.Construccindeltrapecioescalenoconociendosuscuatrolados.Fig.47

TRAPEZOIDES.1.Construccindeltrapezoidebiisscelesconociendolosladosdesigualesyelngulocomprendido.Fig.48

2.Construccindeltrapezoideescalenoconociendosuscuatroladosylaalturasobreunodeellos.AB,base,hsobreAB.Fig.49



4.POLGONOSREGULARES.

ELEMENTOS.CIRCUNFERENCIACIRCUNSCRITA.Circunferenciaquepasaporlosvrticesdelpolgono.

CIRCUNFERENCIAINSCRITA.Circunferenciatangentealosladosdelpolgono.

CENTRO:Elcentrodelasdoscircunferenciasantedichasesasuvez,centrodelpolgono.

RADIO:Distanciadelcentroaunvrtice,radiodelacircunferenciacircunscrita.

APOTEMA.Radiodelacircunferenciainscritadelpolgonooperpendiculardelcentroaunladodelpolgono.

PERMETRO.Sumadelaslongitudesdeloslados.

LADO:Unedosvrticesconsecutivos.Sumediatrizpasaporelcentrodelpolgono.

DIAGONAL.Unedosvrticesnoconsecutivos,sumediatrizpasaporelcentrodelpolgono. Fig.50

CONSTRUCCINDEPOLGONOSREGULARES.1.POLGONOSQUEADMITENREPRESENTACINEXACTA.A.Conociendoelradio.

1.3,6,12LADOS.Fig.51

2.4,8,16LADOS.Fig.52



3.5,10LADOS.Fig.53

B.Conociendoellado.

1.5LADOS.Figs.54AyB

2.3,6,12LADOS.Figs.55A,ByC.



3.4,8,16LADOS.Fig.56A,ByC



C.Conociendolaaltura.

5LADOS.

Dibujamosunarecta,yletrazamosunaperpendicular,apartirdeellallevamoslaalturadadahobteniendoaslospuntosAyC.

ConcentroenAyradioACtrazamosunarcoquedeterminalospuntosNyBsobrelarectatomada.

CalculamoslamediatrizdelsegmentoNAytrazamosunarcoconcentroensupuntomedioMyradioMBhastacortarenEalamediatriz.

TrazamoselsegmentoENyaesteunarectaparalelaCFporelpuntoC.Estaparalelaesdiagonaldelpolgono.

ElsegmentoFAtienedemagnitudlamitaddelladobuscadodelpentgono.CalculamoselsimtricodeFrespectodeACyobtenemosel

puntoGsiendoFGunladodelpentgonobuscado.

ConocidoelladoACyelvrticeCpodemosconstruirelpolgono.Fig.57

2.POLGONOSQUENOADMITENREPRESENTACINEXACTA.A.Conociendoelradior.

1.7,14LADOS.TrazamosundimetroAByenunodesusextremosunarcoderadioRdado,obteniendolacuerdaMNsobrelacircunferencia.LamagnitudMN/2(XM)eselvalordelladodelHEPTGONO.Fig.58A

29LADOS.Trazamosdosdimetrosperpendicularesentres.Concentroenlosextremosdeunodeellos(AB),trazamosdosarcosderadioRenunmismosentido,quecortanalacircunferenciaenMyN.ConcentroenAyByradiosBMyAN,trazamosdosarcosquesecortanen.ConcentroenyradioB,trazamosunarcoquecortaaldimetroDCenX,elsegmentoDXesigualalamagnituddelladodelENEGONO.Fig.58B

311LADOS.Trazamosdosdimetrosperpendicularesentres,AByCD.ConcentroenByradioRtrazamosunarcoquecortaalacircunferenciaenM.ConcentroenDyradioR,trazamosotroarcoquecortaalacircunferenciaenN.ConcentroenMyradioMNtrazamosunarcoquecortaaldimetroABen.LadistanciaNesigualalamagnituddelladodelpolgono.Fig.58C.

B.Conociendoellado.Ab.



1.7LADOS.ProlongamoselsegmentodadoJIencualquiersentidoytrazamosunarcodecentroenIyradioIJquecortaenSalaprolongacindelsegmentoIJyenNasumediatriz.ConcentroenSyradioBN(B=puntomediodelsegmentoIJ),trazamosunarcoquecortaaltrazadoanteriormenteenG.

IGesladodelheptgono,sumediatrizcortaralamediatrizdeIJenelcentrodelacircunferenciacircunscritaquetrazaremosparallevarelladoalolargodeella.Fig.59A.

2.9LADOS.TrazamoslamediatrizdelladodadoKL.ConcentroenKoLyradioKLtrazamosunarcoquecortaenXalamediatriz.ConcentroenXyelmismoradiotrazamosotroarcoquecortaenYalamediatriz.ConcentroenYyelmismoradiotrazamosotroarcoquecortaenAalamediatriz.

AKesdiagonaldelpolgono,sumediatrizdeterminasobrelamediatrizdeIJelcentroOdesucircunferenciacircunscritaquetrazaremospara,sobreella,llevar9veceselladodado.Fig.59B.

3.MTODOSGENERALES.Conociendoelradior.

TrazamoslacircunferenciaderadioRydividimossudimetroABenunnmerodepartesigualalnmerodeladosquetengaelpolgonoquequeramosdibujar,enelejemplo7.ConcentroenAyBtrazamosdosarcosderadioAB,enelmismosentido,quesecortanenN.DesdeNunimosmedianteunarectaconlasegunda

divisindeAByobtenemosensucorteconlacircunferenciaelpuntoC.ElsegmentoACesladodelpolgonobuscado.Fig.61

ConociendoelladoAB.



ConcentroenAyByradioABtrazamosdosarcosquesecortanenO6sobrelamediatrizdeAB.ConcentroenO6yradioAO6,trazamosunarcoquecortaenO12alamediatriz.

DividimoselsegmentoO6O12en6partesobteniendoO7,O8,O9,O10YO11.SiseguimosgraduandolamediatrizconestaunidadobtenemosO13,O14,etc.,porencimayO5,O4pordebajodeO12yO6respectivamente.

Todosestospuntoscalculadossoncentrosdelascircunferenciascircunscritasdelospolgonosquellevansunmero.TrazamosladeseadaydistribuimoselladoABporella,enelejemploelheptgono.Estaconstruccinesaproximada.Fig.60

POLGONOSESTRELLADOS.

CONCEPTOYELEMENTOSESPECFICOS.Siunacircunferenciasedivideennpartesyseunensucesivamenteestasdivisiones(vrtices),seobtieneunpolgonoregularconvexosegnhemosvisto,perosiseunendedosendos,de3en3,etc..,estosvrtices,lospolgonosresultantessoncncavosyestrellados.

GNERO.g:Sedenominaasalnmerodecuerdasoladosdelpolgonoestrellado.

Elgnerocoincideconelnmerodevrticesdelpolgonoporloqueunpolgonoestrelladosedenominaigualqueunoconvexo(Conungnero5,pentgonoestrellado=pentgono).

PASO.p:Nmerodedivisionesdelacircunferencia,quecomprendecadaladodelpolgonoestrellado.

ESPECIE.e:Enbasealpasoseestablecendiversasespecies,1especie,siseunenlosvrticesdedosendos,de2especiesilohacemosde3en3etc..

POLGONOSESTRELLADOSDELOSCONVEXOS.Elnmerodepolgonosestrelladosquetieneunpolgonoregularconvexoeselnmerodecifrasprimasconlmenoresdesumitad.

Estascifrasprimasnosindicanademselpasodelpolgonoyportantosuespecie.

Porejemploenelpentgonodividimos5pordos(5/2=2.5)yobservamosqueelnmero2esmenorquelamitadde5(2.5)yprimode5pues5noesdivisibleentrel.

Podemosdeducirportantoqueelpentgonotieneunsolopolgonoestrellado,ynosoloesosinoque,adems,supasoes2(sevantomandolosvrticesde2en2)pues2eselnmeroprimoresultantedelaoperacin.Elpolgonoasobtenidoserportantode1especie.

Hexgono:6/2=3;3,2y1nosonprimosde6pueslostreslodividensingenerardecimales.Elhexgononotieneningnpolgonoestrelladopuesdesumitada0notieneprimos.

Heptgono:7/2=3.5.Losnmeros3y2sonlosprimosde7.Elheptgonotienedospolgonosestrellados(dosprimos)depasos2y3,oespecies1y2.

CONSTRUCCIN.Eltringulonotienepolgonoestrellado.

Elcuadradonotienepolgonoestrellado.

Elpentgonounode1especie.

Elhexgononinguno.

Elheptgonodos,de1y2especie.

Eloctgonouno,de2especie.

Elenegonodos,de1y2especie.



Eldecgonouno,de2especie,fallalaregla:Tenemos10/2=5,losnmeros4y3sonprimosymenoresquesumitadsibiensolopodremostrazarunpolgonoestrelladode2especie.

Cononcevrtices4polgonosestrellados,de1,2,3y4especie.

Eldodecgonounestrellado,uniendosusvrticesde5en5o4especie.Fig.62

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