VariableComplejaparaIngenieraWilliamLaCruzEscueladeIngenieraElectricaFacultaddeIngenieraUniversidadCentraldeVenezuelaUniversidadCentraldeVenezuelaLacasaquevencelassombrasFacultaddeIngenieraContenido1 N umerosComplejos 41.1 Denicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 OperacionesAlgebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 RepresentacionGeometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 ValorAbsolutoyConjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 CoordenadasPolares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5.1 FormuladeEuler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6 PotenciasyRaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7 RegionesenelPlanoComplejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8 EjerciciosPropuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 FuncionesdeVariableCompleja 212.1 Denicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Mapeos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.1 Mapeow = z + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.2 Mapeow = bz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.3 Mapeow = bz + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.4 MapeoInversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.5 MapeoBilineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3 LmiteyContinuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3.1 FuncionesComponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3.2 Lmite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3.3 Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.4 Derivabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4.1 FormulasoReglasdeDiferenciacion . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4.2 EcuacionesdeCauchy-Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.5 FuncionesAnalticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.6 FuncionesArmonicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.7 FuncionesElementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.7.1 FuncionExponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.7.2 FuncionesTrigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.7.3 FuncionesHiperbolicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.7.4 FuncionLogaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.7.5 FuncionExponenteComplejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542Contenido 32.7.6 FuncionesTrigonometricasInversas . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.7.7 FuncionesHiperbolicasInversas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.8 EjerciciosPropuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573 SeriesdePotenciasySingularidadesAisladas 643.1 SeriedeN umerosComplejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.1.1 SeriedePotencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.1.2 SeriedeTaylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.1.3 SeriedeLaurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.1.4 PropiedadesAdicionalesdelasSeries. . . . . . . . . . . . . . . . 743.2 SingularidadesAisladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.2.1 PolodeOrdenm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.2.2 PuntoSingularEsencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.2.3 PuntoSingularRemovible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.3 EjerciciosPropuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814 IntegracionCompleja 844.1 IntegralDenida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.2 IntegraciondeLnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.2.1 Contornos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.2.2 IntegraldeLnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.3 TeoremadeCauchy-Goursat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.3.1 ExtensiondelTeoremadeCauchy-Goursat . . . . . . . . . . . . 904.4 IntegralDenida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.5 FormulaIntegraldeCauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.6 Residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.6.1 CalculodelResiduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.6.2 TeoremadelosResiduos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.6.3 ExpansionenFraccionesParciales . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.7 EjerciciosPropuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Bibliografa 106DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuelaCaptulo1N umerosComplejosEneste captulose introducenalgunas propiedades del conjuntodelos n umeroscomplejos. Tal conjuntoden umerosesampliamenteutilizadoenel desarrollodelasideasteoricasdelaIngeniera,enespecial,deIngenieraElectrica.1.1 DenicionSe diceque zesunn umerocomplejosi seexpresacomoz= x +i yo,demaneraequivalente, z=x + y i, dondex R, y R, yRdenotael conjuntodelosn umerosreales. Elconjuntodelosn umeroscomplejossedenotacomoC,yz Cindicaquezpertenecealconjuntodelosn umeroscomplejos.Por otra parte, un n umero complejo z= x+i ytambien se puede denir como el parordenado z= (x, y). Esta denicion equivalente de n umero complejo permite introducirelsmboloi,elcualseconocecomounidadimaginaria,ysedenecomoeln umerocomplejodadopori = (0, 1).Masadelantesedemostraraquei2= 1.Sedenotaconx=Re z lapartereal del n umerocomplejoz, ycony=Imz laparteimaginariadel n umero complejoz. Losn umeros complejosde laformax +i 0,sedenominanrealespuroso, simplemente, reales. Ademas, losn umeroscomplejosdelaforma0 + i y,sedenominanimaginariospuros.Losn umerosreales0y1, tambiensepuedendenircomon umeroscomplejos. Elcerodelosn umeroscomplejos, denotado0, sedenecomo0=0 + i 0. El 1delosn umeroscomplejos,denotado1,sedenepor1 = 1 + i 0.Denicion1.1. Sedicequedosn umeroscomplejoszywsonigualessi,ysolosisuspartesrealessonigualesysuspartesimaginariassoniguales. Enotraspalabras,siz= x + i y y w = u + i v,entoncesz= w,siysolosix = u e y= v.4CAPITULO1. NUMEROSCOMPLEJOS 5Enparticular,z= 0 x = y= 0.Observaci on1.1. No existe relaci on de orden en los n umeros complejos. En los n umerosreales, por ejemplo, se tiene que 5 > 3, pero no tiene sentido armar que 1+i < 2+i 3.1.2 OperacionesAlgebraicasSeguidamenteseintroducenlasdenicionesdelasoperacionesalgebraicas: suma,resta,multiplicaci onydivisi on,den umeroscomplejos.Denicion1.2(Suma). Lasumadelos n umeroscomplejos z1=x1+ i y1, yz2=x2 + i y2sedenecomoz1 + z2= (x1 + x2) + i (y1 + y2).Denicion 1.3 (Resta). La resta de los n umeros complejos z1= x1+i y1, y z2= x2+i y2sedenecomoz1z2= (x1x2) + i (y1y2).Denicion 1.4 (Multiplicacion). Lamultiplicacionde los n umeros complejos z1=x1 + i y1,yz2= x2 + i y2sedenecomoz1 z2= z1 z2= (x1x2y1y2) + i (x1y2 + x2y1).Denicion1.5(Division). Ladivisiondelos n umeros complejos z1=x1+ i y1, yz2= x2 + i y2 = 0sedenecomoz1z2=z1z2=_x1x2 + y1y2x22 + y22_+ i_x2y1x1y2x22 + y22_.Observaci on1.2. Las operaciones suma, resta y multiplicacion, son leyes de composici oninternasobre el conjunto de los n umeros complejos, es decir, son operaciones que asociaa cada par de n umeros complejos otro n umero complejo. La division tambien es una leydecomposicioninternasobreelconjuntodelosn umeroscomplejosdistintosdecero.Enla siguiente proposicionse describenalgunas propiedades de las operacionesalgebraicas de los n umeros complejos. Esta proposicion permite asegurar que el conjuntode n umeros complejosconforma un cuerpo,estoes,unconjunto algebraicoconleyesdecomposicioninternacomolasumaylamultiplicacion.Proposicion1.1. Paratodoz, w, s Csecumplenlassiguientespropiedades:1. Conmutativa z + w = w + z zw = wzDepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuela6 1.2. OPERACIONESALGEBRAICAS2. Asociativa z + (w + s) = (z + w) + s z(ws) = (zw)s3. ElementoNeutro z + 0 = z 1 z= z4. ElementoInverso Paratodoz C,existe z Ctal quez + (z) = 0. Paratodoz = 0,existez1 Ctal quez z1= 1.5. Distributiva z(w + s) = zw + zs.Demostraci on. Esunaconsecuenciainmediatadeladenicionden umerocomplejoylasdenicionesdesumaymultiplicacion.Ejercicio1.1. Sean z1= 1i, z2= i3, y z3= i/2. Realizar las siguientes operacionesalgebraicas:a) z1 + z2 + z3b) z1 z2 z3c) z1(z2 + z3)d) z2/z3e) z1/(z2 z1)f) z3/(z1/z2)Lasiguienteproposicionrelacionaladivisionden umeroscomplejosconel inversomultiplicativo. Ademas, proporcionaunamaneraequivalente de denir divisionden umeroscomplejos.Proposicion1.2. Seanz, w C. Siw = 0,entonceszw= z w1.Demostraci on. Demostremosque las partes reale imaginariade los n umeros complejoszwyz w1soniguales. Tomemosz= x + i y,w= u + i v,yasumamossinperdidadegeneralidadqueu = 0. Setienequezw=xu + yvu2+ v2+ i yu xvu2+ v2 . (1.1)DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuelaCAPITULO1. NUMEROSCOMPLEJOS 7Ahora, veamos laformaquetiene w1. Asumamos que w1=a + i b. Por laProposicion1.1setienequeww1= 1. Portanto,podemosescribir1 = ww1= (u + i v)(a + i b) = (ua vb) + i (ub + va),dedondeseobtieneelsiguientesistemadeecuacioneslinealesconvariablesayb._ua vb = 1va + ub = 0Resolviendoeste ultimosistemadeecuacioneslinealesobtenemosa =uu2+ v2y b =vu2+ v2,luego,w1=uu2+ v2+ ivu2+ v2.Ahora,empleandoes ultimaecuacionsetienequez w1=xu + yvu2+ v2+ i yu xvu2+ v2 . (1.2)Por(1.1)y(1.2)podemosconcluirquezw= z w1.1.3 RepresentacionGeometricaCadan umerocomplejoz =x + i ypuededenirsecomoun unicopar ordenado(x, y). As,eln umerocomplejozpuede representarsegeometricamentecomounpuntoenelplanocartesianoxy,locualseapreciagracamenteenlaFigura1.1.Figura1.1. RepresentacioncomoparordenadoCadavezqueutilicemoselplanocartesianopararepresentarunn umerocomplejo,lodenominaremosplanocomplejooplanoz. Enestas circunstancias, el ejex, oejehorizontal, sedenominaejereal, mientrasqueel ejey, oejevertical, seconocecomoejeimaginario.DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuela8 1.4. VALORABSOLUTOYCONJUGADOFigura1.2. RepresentacioncomovectorOtrarepresentacionposibledez=x + i yenel planocartesianoesenformadevector, es decir, un vectororientado cuyo extremo inicial es el origen (0, 0) y su extremonaleselpunto(x, y). EnlaFigura1.2seobservaunejemplodeestarepresentacion.Por lotanto, podemosrepresentar unn umerocomplejocomounparordenadoocomounvectorenelplanoxy.1.4 ValorAbsolutoyConjugadoLarepresentaciondeln umerocomplejozcomounvectororientado, permitequezheredealgunaspropiedadesdelosvectores,entreellaslamagnitudovalorabsoluto.Denicion1.6(Valorabsoluto). El valorabsolutodel n umerocomplejoz=x + i y,denotadopor |z|,sedenecomo|z| =_x2+ y2.Elvalorabsoluto |z|representaladistanciadelpunto(x, y)alorigen(0, 0).Figura1.3. ConjugadoDenicion1.7(Conjugado). El conjugadodeln umero complejoz= x +i y,denotadoporz,sedenecomoz= x + i (y).DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuelaCAPITULO1. NUMEROSCOMPLEJOS 9El conjugadozsepuedeinterpretargeometricamentecomolareexiondel punto(x, y) conrespectoal eje real. EnlaFigura1.3se muestraunejemplogracodelconjugadodeunn umerocomplejo. LaProposicion1.3presentaalgunaspropiedadesdelvalorabsolutoyelconjugado.Proposicion 1.3. Seanz1yz2, n umeros complejos. Las siguientes propiedades secumplen:1. z1= z1.2. z1z2= z1z2.3. z1 z2= z1 z2.4._z1z2_ =z1z2,siempreycuandoz2 = 0.5. |z1| = |z1|.6. z1 z1= |z1|2.7. z11=z1|z1|2,siempreycuandoz1 = 0.8. |z1| |Re z1| Re z1.9. |z1| |Imz1| Imz1.10. |z1 z2| = |z1| |z2|.11.z1z2= |z1||z2|,siempreycuandoz2 = 0.Demostraci on. Sedejacomoejercicioparaellector.El proceso de sumar el n umero complejo z1= x1+i y1al n umero complejo z2= x2+i y2, tieneunainterpretacionsimpleenterminosvectoriales. El vectorquerepresentalasumadelosn umerosz1yz2seobtienesumandovectorialmentelosvectoresdez1yz2; esdecir, empleandolaregladelparalelogramo. Esteesquemageometricosepuedeutilizarparaobtenerladesigualdadtriangular. Lalongituddeunladocualquieradeuntrianguloesmenoroigual quelasumadelaslongitudesdelosotroslados. Estoes, lalongitudcorrespondienteaz1 + z2es |z1 + z2|, esmenoroigual quelasumadelaslongitudes, |z1| y |z2|. EnlaProposicion1.4damoslaexpresionmatematicadeladesigualdadtriangular.Proposicion1.4 (Desigualdad Triangular).Sean z1 y z2 n umeros complejos. Entonces,lasiguientedesigualdadsecumple|z1 + z2| |z1| +|z2|.DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuela10 1.4. VALORABSOLUTOYCONJUGADODemostraci on. PorlaProposicion1.3podemosescribir:|z1 + z2|2= (z1 + z2) (z1 + z2)= (z1 + z2) (z1 + z2)= z1z1 + z1z2 + z2z1 + z2z2= |z1|2+ z1z2 + z2z1 +|z2|2= |z1|2+ z1z2 + z1z2 +|z2|2,peroz1z2 + z1z2= 2 Re (z1z2) 2 |z1z2| = 2 |z1| |z2| = 2 |z1| |z2|,luego|z1 + z2|2 |z1|2+ 2 |z1| |z2| +|z2|2= (|z1| +|z2|)2,dedondesededuceque|z1 + z2| |z1| +|z2|,conlocualquedaestablecidaladesigualdadtriangular.Ladesigualdadtriangular sepuedeextender amas dedos vectores, es decir, lalongituddelasumadeunn umeronitodevectoresesmenoroigual quelasumadelas longitudes detales vectores. Enlasiguienteproposicionsemuestralaexpresionmatematicadeesteresultado,elcualse denominadesigualdadtriangulargeneralizada.Proposicion1.5(DesigualdadTriangularGeneralizada). Seanz1, z2, . . . , znn umeroscomplejos,donden 2esunentero. Entonces,lasiguientedesigualdadsecumple|z1 + z2 + + zn| |z1| +|z2| + +|zn|.Demostraci on. Realicemos lademostracionpor induccion. Por laProposicion1.4ladesigualdadse cumple paran=2. Supongamos, comohipotesis inductiva, que ladesigualdadsecumpleparan = h,esdecir,setieneque|z1 + z2 + + zh| |z1| +|z2| + +|zh|.Ahorademostremosqueestadesigualdadsecumpleparan=h + 1. PorlahipotesisinductivaylaProposicion1.4podemosescribir:|z1 + z2 + + zh + zh+1| |z1 + z2 + + zh| +|zh+1| |z1| +|z2| + +|zh| +|zh+1|,paratodoenteroh 1. Conestoquedademostradaladesigualdad.DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuelaCAPITULO1. NUMEROSCOMPLEJOS 111.5 CoordenadasPolaresDelarepresentaciongracadeln umero complejoz= x +i ycomovector,sederivalarepresentacionencoordenadaspolares(r, )dez,donder= |z|yeselargumentodez.Denicion1.8(Argumento de z). El argumento del n umero complejo z = 0, denotadoporarg z, escualquieradelosangulosorientadosformadosporel vectorz Cconlapartepositivadelejereal.En la Figura 1.4 mostramos un ejemplo de la representacion en coordenadas polaresdeunn umerocomplejo.Figura1.4. CoordenadaspolaresObservaci on1.3.Losvaloresdery = arg zdenendemanera unicaaz;esdecir,paracadapar(r, )existeun unicon umerocomplejozquetienecomocoordenadaspolaresa(r, ).Eln umerocomplejozcaracterizademanera unicaar,peronoa= arg z;estoes, dadounn umerocomplejoz, entoncesexisteun unicor>0tal quer= |z|,peroexisteninnitos valores de =arg z tales que(r, ) sonlas coordenadaspolaresdez.Setienequex = r cos ey= r sen . Aspues,z= r(cos + i sen )eslaformapolardez.Losvaloresde = arg zsepuedenencontrarapartirdelaecuaciontan =yx.Paraobteneruna unicarepresentacionencoordenadaspolares(r, ), el valordesedebetomarenunadeterminacion,esdecir,escogerunintervalodelongitud2,porejemplo, [0, 2),o [, ),etc.DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuela12 1.5. COORDENADASPOLARESEjemplo1.1. Paraeln umerocomplejoz= 1,setieneque = arg z {0, 2, 4, . . .}.Denicion 1.9 (Argumento principal). El argumento principal de z =0 o valorprincipaldearg z,denotadoporArg z,sedenecomoel unicovalordearg ztalque < Arg z .El argumento principal de unn umero complejo z =x+i y se puede calcularempleandolaecuacion = arctan(y/x). Esta ultimaecuacionseutilizaenlasiguienteexpresionparacalcularelargumentoprincipaldeunn umerocomplejo.Arg z=___0, x > 0, y= 0,arctan(y/x), x > 0, y> 0,/2, x = 0, y> 0,arctan(y/x) + , x < 0, y> 0,, x < 0, y= 0,arctan(y/x) , x < 0, y< 0,/2, x = 0, y< 0,arctan(y/x), x > 0, y< 0.Comosepuedeapreciar,laformulaanteriorconsideralaposiciondeln umerocom-plejozenel planocomplejoparacalcularel valordeArg z, esdecir, dependiendodelcuadrantedondeseencuentrez, el argumentoprincipal secalculadeunaformamuyparticular.Ejemplo1.2. Utilizando el argumento principal, represente en forma polar los siguien-tesn umeroscomplejos: z1= 1 + i ,z2= 1 + i ,z3= 1 i,yz4= 1 i.Soluci on. Setienequeel valorabsolutodez1esr= |z1| =11+ 12=2. Comoz1= 1 + i estaenelprimercuadrante,suargumentoprincipalesArg z1= arctan(1) =4.Porlotanto,laformulapolardez1= 1 + i empleandoelargumentoprincipalesz1=2(cos(/4) + i sen (/4)).Porunrazonamientosimilar, sepuedevericarquelaformapolardelosn umeroscomplejosz2= 1 + i ,z3= 1 i,yz4= 1 i,esrespectivamente:z2=2(cos(3/4) + i sen (3/4)),z3=2(cos(3/4) i sen (3/4)),z4=2(cos(/4) i sen (/4)).DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuelaCAPITULO1. NUMEROSCOMPLEJOS 13Pasemosadescribiralgunaspropiedadesdelargumento.Proposicion 1.6. Si z1yz2sonn umeros complejos distintos de cero, entonces sesatisfacenlassiguientesidentidades:1. arg (z1 z2) = arg z1 + arg z2.2. arg_ 1z2_ = arg (z2).3. arg_z1z2_ = arg z1arg z2.Demostraci on. Supongamosquelaformapolardez1yz2estadadarespectivamenteporz1= r1(cos 1 + i sen 1)yz2= r2(cos 2 + i sen 2).Demostraci onde1. Utilizandoidentidadestrigonometricaspodemosescribir:z1 z2= (r1(cos 1 + i sen 1)) (r2(cos 2 + i sen 2))= (r1r2) [(cos 1 cos 2sen 1sen 2) + i (cos 1sen 2 + sen 1 cos 2)]= (r1r2) [cos(1 + 2) + i sen (1 + 2)] ,queeslaformapolardez1 z2y1+ 2=arg z1+ arg z2esunvalor del argumentoarg (z1 z2). Porlotanto,secumplelaidentidad1.Demostraci onde2. Empleandolaformapolardez1podemosescribir:1z2=1r2(cos 2 + i sen 2)=1r2cos 2i sen 2cos22 + sen22= r12(cos(2) + i sen (2)),queeslaformapolarde1/z2yarg (1/z2) = 2;luego,secumplelaidentidad2.Demostraci onde3. Comoz1z2= z1 1z2,entonces,porlasidentidades1y2,sepruebaquelaidentidad3secumple.Ejemplo1.3. La Proposicion 1.6 se puede utilizar para calcular un valor del argumentodez1 z2oz1/z2. Porejemplo,tomemosz1= iyz2= 1 + i. Laformapolardeestosn umeroscomplejosesz1= cos(/2) + i sen (/2)yz2=2(cos(3/4) + i sen (3/4)).As,unvalordelargumentodez1 z2esarg (z1z1) =2+34=54,lo cual efectivamente es unvalor del argumento de z1z2=1 i (verique estaarmacion). Pero, este valor no es el argumento principal de z1z2= 1i, aunque /2y3/4ssonlosargumentosprincipalesdez1yz2,respectivamente.ElEjemplo1.3nospermiteasegurarque,engeneral,Arg (z1z2) = Arg z1 + Arg z2y Arg (z1/z2) = Arg z1Arg z2.DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuela14 1.6. POTENCIASYRAICES1.5.1 FormuladeEulerSeaz= x + i yunn umerocomplejoconmodulor = 1y = arg z. Escribiendoei= cos + i sen seobtienez= ei,queseconocecomof ormuladeEuler.Ahora, paracualquiern umerocomplejoz=r(cos + i sen ), conr>0, sepuedeutilizarlaformuladeEulerparareescribirazcomo:z= reiy,ademas,siz1= r1 ei1yz2= r2 ei2,entonceslassiguientesidentidadessonciertas:1. z1 z2= (r1r2)ei(1+2).2.1z1=1r1ei(1)=1r1ei.3.z1z2=_r1r2_ei(12).Considerandoestanotacion, laformapolardezutilizandolaformuladeEuleresz= rei, donde ry son sus coordenadas polares ( no necesariamentees el argumentoprincipaldez).Ejemplo1.4. La forma polar, utilizando la formula de Euler, de los n umeros complejosz1= 1 + i ,z2= 1 + i ,z3= 1 i,yz4= 1 i,esz1=2 ei/4, z2=2 ei3/4, z3=2 ei3/4, z4=2 ei/4.Observe queentodaslasformas polaresseutilizoelargumentoprincipal,pero pudieratambienemplearsecualquiervalordelargumento.1.6 PotenciasyRacesDenicion 1.10 (Potencia n-esima).Sean z= r ei, y n un entero positivo. La potencian-esimadez,denotadaporzn,sedenecomozn= rnein= rn(cos n + i sen n).Denicion1.11(Racesn-esimas). Seanz= r ei,ynunenteropositivo. Lasracesn-esimasdez,denotadasporz1/n,sedenencomoz1/n=nr ei+2kn=nr_cos_ + 2kn_+ i sen_ + 2kn__,parak= 0, 1, . . . , n 1,dondenrdenotalarazn-esimapositivadeln umerorealr.DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuelaCAPITULO1. NUMEROSCOMPLEJOS 15Observaci on1.4. Enlasdenicionesdepotenciayrazn-esima,seutilizacualesquieravalorde,noesnecesariamenteelargumentoprincipaldez.Ejemplo1.5. Sedejacomoejercicioparaellectorvericarque(1 + i)3=223ei34y (1 + i)1/5=102 ei4 +2k5, k = 0, 1, . . . , 4.1.7 Regionesenel PlanoComplejoEnestaseccionsedescribenconjuntosespecialesden umeroscomplejos, opuntos,ylaproximidaddeunosaotros.Denicion1.12(Vecindad).ElconjuntodepuntosB(z0, ) = {z C : |z z0| < }paracadaz0 Cycada > 0,sedenominavecindaddez0.La vecindad B(z0, ) de unn umero complejo z0representa geometricamente elinteriordelacircunferencia |z z0| = ,comoseapreciaenlaFigura1.5.Figura1.5. Vecindaddeunn umerocomplejoDenicion1.13(Conjunto abierto). Se diceque un conjunto de n umeros complejos Sesabierto,siparacadaz Sexisteunavecindaddez,B(z, ),talqueB(z, ) S.Ejemplo1.6. Lossiguientesconjuntosdelplanocomplejosonejemplosdeconjuntosabiertos.(a) S1= {z C : |z| < 1}(b) S2 es la region del plano complejo formada por los puntos interiores del cuadradocuyosverticessonlospuntosz1= 0,z2= 1,z3= 1 + i,yz4= i.(c) S3es laregiondel planocomplejoformadapor los puntos z =x +i y quesatisfacenelsiguientesistemadeinecuaciones:___x y > 1x + y < 1y > 0DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuela16 1.7. REGIONESENELPLANOCOMPLEJOFigura1.6. EjemplosdeconjuntosabiertosLosconjuntosS1,S2yS3,seaprecianenlaFigura1.6.Denicion1.14(Fronterade un conjunto). Sea Sun conjunto de n umeros complejos.LafronteradeSes el conjuntoformadopor los puntosz Ctales quetodas lasvecindadesdezcontienenpuntosdeSypuntosquenoestanenS.Figura1.7. FronteradeunconjuntoEjemplo1.7. EnlaFigura1.7observamosunconjuntoSytrespuntosz1, z2yz3.Enestecaso, z1esunpuntodelafronteradeS,encambioz2yz3nopertenecenalafronteradeS(sedejaallectorjusticarestaarmacion).Ejercicio1.2. DeterminelaexpresionmatematicadelafronteradelosconjuntosS1,S2yS3denidosenelEjemplo1.6.Denicion1.15(Puntodeacumulacion). SeaSunconjuntoden umeroscomplejos.Sedicequez0esunpuntodeacumulaci onsi todavecindaddez0contieneporlomenosunpuntodeSdiferentedez0.Ejemplo1.8. ConsidereelconjuntoSdelaFigura1.7. Aquobservamosquez1yz2sonpuntosdeacumulaciondeS,peroz3noesunpuntodeacumulaciondeS,yaqueexiste > 0talqueB(z3, ) S= .Denicion1.16(Conjunto cerrado). Se dice que un conjunto de n umeros complejos Sescerrado, sitodossuspuntos deacumulacionpertenecena el. Deformaequivalente,Sescerradosicontieneasufrontera.DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuelaCAPITULO1. NUMEROSCOMPLEJOS 17Ejemplo1.9. Considere todoslos conjuntosSmostrados enlasFiguras 1.5, 1.6y 1.7.Supongaqueconestosconjuntosseformannuevosconjuntosquecontienenlospuntosdelafrontera. Estos ultimosconjuntossontodoscerrados.Denicion1.17(Conjunto conexo). Se diceque un conjuntode n umeros complejosSesconexo, sidadosdospuntoscualesquieradeS, existeunatrayectoriaformadaporsegmentosderectaquelosuneycuyospuntospertenecentodosaS.Ejemplo1.10. EnlaFigura1.8observamosdosconjuntosS1yS2. ElconjuntoS1esconexoyS2esnoconexo.Figura1.8. ConjuntosconexoynoconexoDenicion1.18(Dominio). Sedicequeunconjuntoden umeroscomplejosSesundominio,siSesabiertoyconexo.Ejemplo1.11. TodoslosconjuntosSmostradosenlasFiguras1.5, 1.6y1.7sonundominio. Asimismo,elconjuntoS1delaFigura1.8tambienesundominio.Denicion 1.19 (Conjuntos acotado y no acotado). Se dice que un conjunto de n umeroscomplejos Sesacotado, si existeun n umero real R > 0 talque todo punto de Squedadentrodelacircunferencia |z| = R. Porelcontrario, |z| > RparatodoR > 0yalg unz S,sedicequeSesnoacotado.Ejemplo1.12. EnlaFigura1.9observamosdosconjuntosS1yS2. ElconjuntoS1esacotadoyS2esnoacotado.Figura1.9. ConjuntosacotadoynoacotadoDepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuela18 1.8. EJERCICIOSPROPUESTOS1.8 EjerciciosPropuestos1. Expreselossiguientesn umeroscomplejosenlaformacartesianax + iy:(a) (2 + 3i) + (4 + i) Resp.6 + i 4(b)2 + 3i4 + iResp.1117+ i1017(c)1i+31 + iResp.32 i52(d) (2 + 3i)(4 + i) Resp.5 + i 14(e) (8 + 6i)3Resp. 352 + i 936(f)_1 +31 + i_2Resp.4 i152(g)1 + 2i3 4i+2 i5iResp. 25(h) (1 i)4Resp. 42. Encuentrelassolucionesdelassiguientesecuaciones:(a) z2= 3 4i Resp.z1= i 1, z2= 2 i(b) (z + 1)2= 3 + 4i Resp.z1= 1 + i, z2= 3 i3. Simpliquelassiguientesexpresiones:(a) (i)1Resp.i(b) (1 i)1Resp.12+ i12(c)1 + i1 iResp.i(d) 1 2i Resp. i, o 2 + i(e)11 +2iResp.25+ i15, o i4. Resuelvalassiguientesecuaciones:(a) z52 = 0 Resp.___z0=215z1=215_5414+25+5 i4_z2= 215_54+14 255 i4_z3= 215_54+14+255 i4_z4= 215_14 54+25+5 i4_(b) z4+ i = 0 Resp.___z0= 2+22+22 i2z1=2+2222 i2z2= 2222+2 i2z3=222+2+2 i2DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuelaCAPITULO1. NUMEROSCOMPLEJOS 19(c) z6+ 8 = 0 Resp.___z0= 232+2 i2z1=2322 i2z2= 2 iz3=2 iz4=2_32+i2_z5= 2_32+i2_(d) z34 = 0 Resp.___z0=223z1=223_12+3 i2_z2= 223_12+3 i2_5. Determineelconjugadodelossiguientesn umeroscomplejos:(a)(3 + 8i)4(1 + i)10Resp. 165 + i72132(b)(1 2i)10(2 + 2i)5Resp. 3353256+ i2879256(c)i(2 + 3i)(5 2i)(2 i)Resp.65+ i435(d)(2 3i)2(8 + 6i)2Resp. 3232500 i96256. Calculeelmodulodelossiguientesn umeroscomplejos:(a)(3 + 8i)4(1 + i)10Resp.532932(b)(1 2i)10(2 + 2i)5Resp.31253276832768(c)i(2 + 3i)(5 2i)(2 i)Resp.18855(d)(2 3i)2(8 + 6i)2Resp.131007. Seaz Ctalque |z| = 1. Entonces,calcular |1 + z|2+|1 z|2. Resp.48. Demuestreque |(2 z + 5)(2 i)| =3|2z + 5|.9. Seanz1, z2, . . . , znn umeroscomplejos. Demuestreque|z1 + z2 + + zn| |z1| +|z2| + +|zn|.10. Si |z1|= |z2|,entoncesdemuestreque|z1 + z2| ||z1| |z2||.DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuela20 1.8. EJERCICIOSPROPUESTOS11. Si |z2|= |z3|,entoncesdemuestrequez1z2 + z3|z1|||z2| |z3||.12. Encontrartodoslosvaloresdel argumentodezcuandoel n umerocomplejozestadadopor:(a) z=ii 1Resp.4+ 2n, n = 0, 1, 2, . . .(b) z=_(23 + 1) + (3 2) i_(3 + i)5 5iResp.3+ 2n, n = 0, 1, 2, . . .(c) z=3 +3 + (3 3)i3 + 3iResp. 6+ 2n, n = 0, 1, 2, . . .13. Siz1z2 = 0,aplicarlaformapolarparademostrarqueRe (z1z2) = |z1| |z2|si,ysolosi12= 2n,(n = 0, 1, 2, . . .),donde1= arg z1y2= arg z2.14. Demostrarquelaidentidad1 + z + z2+ + zn=1 zn+11 z,sesatisfaceparatodoenteron 1ytodoz = 1.15. Exprese las caractersticas de los siguientes conjuntos de puntos, en cuanto a: cerradooabierto,conexoono,acotadoono.(a) {z C : Re z= 2} Resp.Cerrado,Noacotado(b) {z C : Re z Imz} Resp.Conexo,Noacotado(c) {z C : zz> 2Re z} Resp.Abierto,Conexo,Noacotado(d) {z C : |z 3 + 4i| 6} Resp.Cerrado,Conexo,Acotado(e) {z C : |z 2 + 5i| 0} Resp.Acotado(f) {z C : 0 < |z 2 + 1| < 2} Resp.Abierto,Conexo,Acotado(g) {z C : 1 < Re z< 1} Resp.Abierto,Conexo,Noacotado(h) {z C : |arg z| < /2} Resp.Abierto,Conexo,Noacotado(i) {z C : Re (z i) = 2} Resp.Cerrado,Noacotado(j) {z C : |z + 2i| +|z 2i| 10} Resp.Cerrado,Conexo,AcotadoDepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuelaCaptulo2FuncionesdeVariableComplejaLas funciones de variable compleja poseen muchas aplicacionesen distintas areas dela Ingeniera, por ejemplo, en la teora de corrientes alternas, el movimiento de uidos oel procesamiento de se nales. Este tema estadedicado al desarrollo y a la compresion delos fundamentos matematicosde lasfunciones de variablecompleja. Se prestaramuchaatencionaladenicionde unafuncionde variable compleja, al mapeode regionesdel planocomplejoatravesdefuncioneslineales, ylaspropiedadesdecontinuidadydiferenciaciondeunafunciondevariablecompleja.2.1 DenicionUnafunci onf devariablecomplejaesunaregladeasignacionquelehacecorres-ponderaunn umerocomplejoz= x + i yunoovariosn umeroscomplejosw = u + i v.Eln umerowsellamavaloroimagendefenzysedesignaporf(z);esdecir,w = f(z)o,equivalentemente,u + i v= f(x + i y).Figura2.1. FuncionesmonovaluadaymultivaluadaDenicion2.1(Funcionesmonovaluadasymultivaluadas). Seaf(z)unafunciondevariablecompleja. Si acadazlafuncionflehacecorresponder una ysolouna imagen2122 2.1. DEFINICIONw,sedicequefesmonovaluada. Ahora,silafuncionflehacecorresponderazmasdeunaimagen,digamosw1, w2, . . .,sedicequefesmultivaluada. EnlaFigura2.1semuestraunarepresentaciongraca,atravesdediagramas,defuncionesmonovaluadasymultivaluadas.Denicion2.2(DominioyRango). El conjuntoden umeros complejos z dondelafuncionfestabiendenida(nohaydivisionporcero)sedenominadominiodef. Elconjunto de n umeros complejos conformado con todas las im agenes w = f(z) es llamadorangodef.Denicion2.3(Polinomio complejo). Sean n 0 un entero y a0, a1, . . . , anconstantescomplejas. Lafuncionp(z) = a0 + a1z + a2z2+ + anzn, (an = 0)sedenominapolinomiocomplejoo,simplemente,polinomiodegradon.Ejercicio2.1. Determinarel dominioyel rangodelpolinomiocomplejop(z)=a0 +a1z + a2z2+ + anzn.Denicion 2.4 (Funcionracional). Seanp(z) yq(z) polinomios. La funcionr(z)denidaporr(z) =p(z)q(z)se denomina funci on racional y esta denida en todo n umero complejo z, excepto dondeq(z) = 0,estoes, {z C : q(z) = 0}.Ejemplo2.1. Determinareldominioyelrangodelafuncionr(z) =z + 1z i.Soluci on. Se tieneque eldominio de fes elconjunto de n umero complejosztalesquefestabiendenida,esdecir,elconjuntoden umeroscomplejosquenoproduzcanunadivisionpor0,estoes, {z C : z = i}.Ahora,para determinar elrango de fse utilizael siguienteprocedimiento. Se tomaw = f(z) y luego se despeja a zen funcion de w. A la funcion obtenida, que depende dew, seledeterminael dominio. Este ultimoconjuntoden umeroscomplejosconstituyeelrangodef. Enestecasosetienew =z + 1z i,despejandozenfunciondew,seobtienez=1 iww 1 ,delocualsededucequeelrangodefes {w C : w = 1}. DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuelaCAPITULO2. FUNCIONESDEVARIABLECOMPLEJA 232.2 MapeosUnadiferenciaentreunafuncionf(z) =u + i vdeunavariablecomplejayunafunciony =f(x) de variable real, es que, engeneral, larelaciony =f(x) puederepresentarse gracamenteenel planocartesiano,encambio,no es tanfacilelaborarlagracadeunafuncioncompleja. Serequierendosn umerosxeyparadenirunvalorzcualquierayotrosdosn umerosparalosvaloresdeuyvcorrespondientes. Por lotanto,se requiere un espacio de cuatro dimensiones para representar w = f(z) en formagraca. Evidentementeunagracadecuatrodimensionesnoesunmedioconvenienteparaestudiarelefectogracodeunafunciondevariablecompleja. Esprecisorecurriraotrosmediosparavisualizarw = f(z).En esta seccion, visualizamos la relacion w = f(z) como el efecto que tiene la funcionf(z)sobreunconjuntodepuntoscomplejos. Aesteprocesolodenominamosmapearotransformary alafuncion f(z)de variablecomplejaladenominamostransformaci onomapeo. El objetivoprincipal deestaparteesdeterminaranalticaygracamenteelefecto que tiene un mapeo sobre un conjunto de puntos del plano complejo; en particular,estudiamos mapeos lineales,inversionybilineales,para lo cualnecesitamoslasiguientenotacion: denotamosconw = f(z)laimagendezbajof,dondez= x +i y,yw = u +i v; para todo conjunto Sde n umeros complejos, denotamos con f(S) el transformadoolaimagendeSbajof; la imageninversade un punto w del rango de fes el conjunto de todos los puntosz,eneldominiodef,quetienenawcomosuimagen.En laFigura 2.2se apreciala representaciongracade un mapeo otransformacion.Figura2.2. RepresentaciongracadeunmapeoDenicion2.5(Mapeoinyectivo). Seanz1, z2 C. Sedicequeelmapeow = f(z)esinyectivo,siz1 = z2implicaquef(z1) = f(z2).DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuela24 2.2. MAPEOSInicialmentedescribimoslosmapeoslineales: w=z+ c, w=bz, yw=bz+ c.Seguidamente mostramos el mapeoinversionw=1/z. Por ultimo, describimos elmapeobilinealw = (az + b)/(cz + d).2.2.1 Mapeow=z +cElmapeodelplanozenelplanowdenidoporlaecuacionw = z + c, (2.1)dondecesunaconstantecompleja, esunatraslaci onenladirecciondel vectorc. EnlaFigura2.3seapreciael movimientogeometricoquetieneunpuntoz0cuandosetransformaconunatraslacion.Figura2.3. MovimientogeometricodelatraslacionObservaci on2.1.Elmapeo(2.1)esinyectivo;portanto,poseemapeoinversodenidocomof1(w) = w c. (2.2)Elmapeo(2.1)transformarectasenelplanozarectasenelplanow.El mapeo(2.1)transformacircunferenciasenel planozacircunferenciasenelplanow.Acontinuaciondeterminamos el transformadodeunarectaounacircunferenciabajo elmapeow = z +c,yvericaremosque,efectivamente,una traslaciontransformarectasarectasycircunferenciasacircunferencias.Seanz= x + i y,w= u + i v,yc = c1 + i c2. Paraobtenereltransformadodeunarectaounacircunferenciabajoelmapeow= z + c, utilizamoselmapeoinversodadopor(2.2), estoes, empleandolaecuacionx + i y=f1(u + i v), escribimosaxeyenfuncion de u y v, para luego sustituir convenientementeestos valores en la ecuacionquedescribeunarectaounacircunferencia. Ahora,laecuaciongeneraldeunarectaounacircunferenciaestadadapor(x2+ y2) + x + y + = 0, (2.3)DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuelaCAPITULO2. FUNCIONESDEVARIABLECOMPLEJA 25donde , , , R. Es decir, todo punto z= x+i ytal que x e ysatisfacen la ecuacion(2.3) pertenece a una recta o a una circunferencia. Utilizando el mapeo inverso podemosescribir:x + i y= f1(u + i v) = u + i v c1 + i c2= (u c1) + i (v c2),dedondesededucequex = u c1,ey= v c2. Sustituyendoconvenientementeestos ultimosvaloresenlaecuacion(2.3),obtenemoslasiguienteecuacion((u c1)2+ (v c2)2) + (u c1) + (v c2) + = 0,que describe analticamente el conjunto transformado de una recta o una circunferencia,bajoel mapeow=z + c. Entonces, si =0, laecuacion(2.3)describeunarectaenelplanoz, ylaecuaciondeltransformadodeestarectabajoelmapeow=z + cestadadaporu + v + ( c1c2) = 0,quedescribeunarectaenel planow. Encambio, si =0, laecuacion(2.3)describeunacircunferenciaenelplanoz,ylaecuaciondeltransformadodeestacircunferenciabajoelmapeow = z + cestadadapor(u2+ v2) + ( 2c1)u + ( 2c2)v + (c21 + c22c1c2 + ) = 0,quetambiendescribeunacircunferenciaenelplanow.Acontinuaciondamosunejemplodondeseemplealaecuacionz=f1(w)paraobtener el transformado de un conjunto de n umeros complejos denido por inecuaciones,bajoelmapeotraslacion.Ejemplo2.2. Sea Sel conjunto de n umeros complejos que se muestra en la Figura 2.4.Figura2.4. ConjuntoSDeterminemosel transformado de Sbajo elmapeo w = f(z) = z i. Se tieneque todoz= x + i y Ssatisfaceelsiguienteconjuntodeinecuaciones___2x y 12x + y 7y 1DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuela26 2.2. MAPEOSAdemas, lafuncioninversadef(z) =z i es f1(w) =w+ i. Ahora, utilizandolaecuacionx+ i y =f1(u+ i v) obtenemos: x=u, e y =v+ 1. Sustituyendoconvenientementeestas ultimas expresiones en el conjunto de inecuacionesque describeaS,setieneelsiguientesistemadeinecuaciones___2u v 22u + v 6v 0quedescribelosn umeroscomplejosw=u + i vdel transformadodeSbajoel mapeow = z i,cuyagracaseapreciaenlaFigura2.5.Figura2.5. Conjuntof(S)2.2.2 Mapeow=bzElmapeodelplanozenelplanowdenidoporlaecuacionw = bz, (2.4)dondebesunn umerocomplejodistintodecero, esunarotaci onenel anguloArg byunaexpansi onocontracci onseg unseaelvalorde |b|. Si |b|< 1, sedicequeelmapeo(2.4) es una rotacion y contracci on;en cambio, si |b| 1, el mapeo (2.4) es una rotacionyexpansion. Enefecto, sitomamosb = leiyz= rei,entonceseltransformadodezbajoelmapeow = bzestadado,ensuformapolar,porw = (lr)ei(+),de lo cual se inere que (2.4) es una rotacion en el angulo y una expansion o contraccionseg unl. EnlaFigura2.6se apreciael movimientogeometrico quetiene unpuntoz= reicuandosetransformaconelmapeo(2.4).Observaci on2.2.Elmapeo(2.4)esinyectivo;portanto,poseemapeoinversodenidocomof1(w) =wb . (2.5)DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuelaCAPITULO2. FUNCIONESDEVARIABLECOMPLEJA 27Elmapeo(2.4)transformarectasenelplanozarectasenelplanow.El mapeo(2.4)transformacircunferenciasenel planozacircunferenciasenelplanow.Figura2.6. MovimientogeometricodelarotacionyexpansionocontraccionEjercicio2.2. Demuestrequeel mapeolineal (2.4)transformarectasarectasycir-cunferenciasacircunferencias. Ayuda: Utilicelaecuaciongeneral deunarectaounacircunferencia(2.3)conjuntamenteconlaexpresiondelmapeoinverso(2.5).Ejemplo2.3. Sea Sel conjunto de n umeros complejos que se muestra en la Figura 2.7.Figura2.7. ConjuntoSDeterminemosel transformadodeSbajoelmapeow=f(z)=(1 i)z. Setienequetodoz =x + i y Ssatisfaceque |z (1 + i)| 1; ademas, f1(w) =w/(1 i).Deestaforma, utilizandolaecuacionz=f1(w)=w/(1 i)convenientementecon|z (1 + i)| 1,obtenemos:|z (1 + i)| =w1 i (1 + i)= |w 2||1 i| 1,es decir, todo punto w que pertenece a f(S) satisface que |w2| 2. En la Figura 2.8seobservaeltransformadodeSbajoelmapeow = (1 i)z.DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuela28 2.2. MAPEOSFigura2.8. Conjuntof(S)2.2.3 Mapeow=bz +cElmapeodelplanozenelplanowdenidoporlaecuacionw = bz + c, (2.6)donde b y c son n umeros complejos, es una rotaci onen el angulo Arg b y una expansiono contracci onseg un sea el valor de |b|, seguida de una traslaci onen la direccion del vectorc. Enefecto,elmapeo(2.6)sepuedeexpresarcomolasiguientesucesiondemapeos:zRotacionyExpansionoContraccion//Z= bzTraslacion//w = Z + cObservaci on2.3.El mapeo(2.6)esinyectivoyaqueeslacomposiciondemapeosinyectivos; portanto,poseemapeoinversodenidocomof1(w) =w cb, b = 0. (2.7)Como(2.6) es lacomposiciondeunarotacionyunatraslacion, entonces (2.6)transformarectasarectasycircunferenciasacircunferencias.Ejemplo2.4. Sea Sel conjunto de n umeros complejos que se muestra en la Figura 2.9.Figura2.9. ConjuntoSDepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuelaCAPITULO2. FUNCIONESDEVARIABLECOMPLEJA 29DeterminemoseltransformadodeSbajoelmapeow = f(z) = iz + 3 i. Setienequeel mapeoinversoesf1(w)= iw + 1 + 3i, ademas, el conjuntoSsepuedeescribircomoS=D1 D2, dondeD1yD2sonconjuntos den umeros complejos denidosrespectivamentepor:D1= {z= x + i y: 2x y 1, 2x + y 7, y 1}yD2= {z= x + i y: (x 2)2+ (y 1)2 1, y 1}.Deestaforma, el transformadodeSestadadopor f(S) =f(D1) f(D2). Ahora,utilizandolaecuacionx + i y= f1(u + i y),podemosescribir:x = v + 1, y= 3 u.Sustituyendo los valores de x e yen las inecuaciones que describen a los conjuntos D1yD1 obtenemos que los conjuntos transformados de D1 y D2, bajo el mapeo w = iz+3i,estandadosporf(D1) = {w= u + i v: u + 2v 2, u + 2v 2, u 2}yf(D2) = {w = u + i v: (u 2)2+ (v 1)2 1, u 2}.As, launiondef(D1) yf(D2) conformael transformadodeSbajoel mapeow=iz + 3 i,cuyarepresentaciongracaseapreciaenlaFigura2.10.Figura2.10. Conjuntof(S)2.2.4 MapeoInversionElmapeodelplanozenelplanowdenidoporlaecuacionw =1z, (2.8)paratodoz = 0,sedenominamapeoinversi on,yestableceunacorrespondenciaunoaunoentrelospuntosdelosplanoszyw. Porlotanto,elmapeoinversodef(z) = 1/zesf1(w) = 1/w,esdecir,elmismomapeoinversion.DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuela30 2.2. MAPEOSPorotraparte,elmapeo(2.8)tambienpuedeescribirsecomow =z|z|2, paratodoz = 0.Porello,elmapeoinversionsepuedeexpresarcomolasiguientesucesiondemapeos:z//Z=1|z|2z//w = ZEl primerode estos mapeos se denominainversionconrespectoalacircunferenciaunitaria |z|=1. Esdecir, laimagendeunpuntoz =0eselpuntoZ=(1/|z|2)zconlassiguientespropiedades:|Z| =1|z|y arg Z= arg z.Enotraspalabras, lospuntosexterioresalacircunferencia |z| =1setransformanenlospuntosdiferentesdecerointerioresalamismayrecprocamente. Cualquierpuntosobrelacircunferenciaunitariasetransformasobresmismo.Elsegundomapeow = Zes,simplemente,unareexionconrespectoalejereal.TransformacionderectasycircunferenciasPasemosaverel efectoquetieneel mapeoinversionsobrelasrectasylascircun-ferencias. Recordemosquelaecuaciongeneral deunarectaounacircunferenciaestadadapor(x2+ y2) + x + y + = 0, (2.9)donde, , , R. Tambienrecordemosquesi =0, laecuacionanteriordescribeunarectaenelplanoz;encambio,si = 0,describeunacircunferencia.Si z =x + i yes unpuntoquesatisfacelaecuaciongeneral deunarectaounacircunferenciaparaciertosvaloresde, , , ,entoncessutransformadow = u +i v=1/zsatisfacelasiguienteecuacion(sedejaallectorvericarestarelacion):(u2+ v2) + u v + = 0. (2.10)Acontinuacion consideramos ciertos valores de , , , , que describenalgunasrectasycircunferenciasmuyparticulares,quenosservir ancomoejemploparamostrarlautilidaddelasecuaciones(2.9)y(2.10), paratransformarrectasycircunferenciasbajoelmapeoinversion. Circunferenciaquenopasaporel origen.Laecuacion(2.9)con = 0y = 0,describeunacircunferenciaquenopasaporelorigenenelplanoz. Porlaecuacion(2.10), estacircunferenciasetransforma, bajolainversion,enunacircunferenciaquenopasaporelorigenenelplanow.Ejemplo2.5. La circunferencia |z (1+i)| = 1 que no pasa por el origen en el planoz,setransforma,bajolainversion,enlacircunferencia |w (1 i)| = 1quenopasaporelorigenenelplanow.DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuelaCAPITULO2. FUNCIONESDEVARIABLECOMPLEJA 31 Circunferenciaquepasaporel origen.Laecuacion(2.9)con =0y=0, describeunacircunferenciaquepasaporelorigenenelplanoz. Porlaecuacion(2.10), estacircunferenciasetransforma, bajolainversion,enunarectaquenopasaporelorigenenelplanow.Ejemplo2.6. Lacircunferencia(x 1)2+ (y + 1)2= 2quepasaporelorigenenelplanoz,setransforma,bajolainversion,enlarecta2u + 2v= 1quenopasaporelorigenenelplanow. Rectaquenopasaporel origen.Laecuacion(2.9)con = 0y = 0,describe unarectaquenopasaporelorigenenelplanoz. Porlaecuacion(2.10),estarectasetransforma,bajolainversion,enunacircunferenciaquepasaporelorigenenelplanow.Ejemplo 2.7. Larectax y = 1quenopasapor el origenenel planoz, setransforma, bajolainversion, enlacircunferencia(u + 1)2+ (v + 1)2=2quepasaporelorigenenelplanow. Rectaquepasaporel origen.Laecuacion(2.9)con = 0y= 0,describeunarectaquepasaporelorigenenelplanoz. Porlaecuacion(2.10), estarectasetransforma, bajolainversion, enunarectaquepasaporelorigenenelplanow.Ejemplo2.8. La recta xy = 0 que pasa por el origen en el plano z, se transforma,bajolainversion,enlarectau + v= 0quepasaporelorigenenelplanow.Ejercicio2.3. Compruebe cadaunodelostransformadosdelosEjemplos2.5-2.8.Ejemplo2.9. SeaSel conjuntoden umeroscomplejosdadoenel Ejemplo2.2yquesemuestraenlaFigura2.4. Comprobemosqueel transformadodeSbajoel mapeoinversioneselconjuntoden umeroscomplejosquesemuestraenlaFigura2.11.

Figura2.11. Conjuntof(S)SetienequeS= {z= x + i y: 2x y 1, 2x + y 7, y 1},DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuela32 2.2. MAPEOSademas, lafuncioninversade f(z) =1/z es f1(w) =1/w. Ahora, utilizandolaecuacionx + i y =f1(u + i v) obtenemos: x=u/(u2+ v2), ey = v/(u2+ v2).Sustituyendo convenientemente estas ultimas expresiones en el conjunto de inecuacionesquedescribeaS, setienequelospuntosw=u + i vdel transformadodeSbajoelmapeoinversionsatisfacenlassiguientesinecuaciones(u 1)2+_v 12_254,_u 17_2+_v +17_2249, u2+ (v + 1)2 1.Porlotanto, el transformadodeSbajoelmapeoinversionesel conjuntoden umeroscomplejosquesemuestraenlaFigura2.11.2.2.5 MapeoBilinealElmapeodelplanozenelplanowdenidoporlaecuacionw =az + bcz + d, (2.11)dondea,b,cydsonn umeroscomplejos,sedenominamapeobilineal otransformaci ondeM obius.Observaci on2.4.El mapeo (2.11) es inyectivopara todo z C talque cz +d = 0;por tanto,eneseconjuntodepuntosposeemapeoinversodenidocomof1(w) = dw + bcw a. (2.12)Cuandoc = 0,elmapeo(2.11)adquierelaformaw =ad z +bd,locualindicaque(2.11)esunmapeolineal.Cuandoc = 0,elmapeo(2.11)sepuedeescribirequivalentementecomow =ac+_bc adc_1cz + d,dondeeln umeroad bcsedenominadeterminantedel mapeo. Estonospermitearmar que el mapeo (2.11) se puede expresar como la siguiente sucesiondemapeos:zRotaci onconExpansi on oContracci on, yTraslaci on//Z= cz + dInversi on//W=1ZRotaci onconExpansi on oContracci on, yTraslaci on//w =ac+_bc adc_WDepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuelaCAPITULO2. FUNCIONESDEVARIABLECOMPLEJA 33Como el mapeo (2.11) es la composicionde mapeos lineales, el transforma circun-ferenciasorectasenelplanozacircunferenciasorectasenelplanow.Cuando eldeterminantedelmapeoescero,ad bc = 0,elmapeo(2.11)adquierelaformaw =ac,esdecir,elmapeo(2.11)transformatodoelplanocomplejoenelpunto w = a/c.Ejemplo2.10. SeaSelconjuntoden umeroscomplejosdadoenelEjemplo2.2yquese muestra en la Figura 2.4. Determinemos el transformado de Sbajo el mapeo bilinealw = f(z) =iz + 1 + iiz + i.SetienequeS= {z= x + i y: 2x y 1, 2x + y 7, y 1}.Ademas,lafuncioninversadef(z) = (iz + 1 + i)/(iz + i)esf1(w) =i1 w 1.Ahora,utilizandolaecuacionx + i y= f1(u + i v)obtenemos:x = v ((u 1)2+ v2)(u 1)2+ v2, y=1 u(u 1)2+ v2.Sustituyendo convenientemente estas ultimas expresiones en el conjunto de inecuacionesquedescribeaS, setienequelospuntosw=u + i vdel transformadodeS, bajoelmapeobilinealdado,satisfacenlassiguientesinecuaciones_u 32_2+ (v + 1)254,_u 1718_2+_v +218_25182,_u 12_2+ v214.LagracadeltransformadodeSseapreciaenlaFigura2.12.Figura2.12. Conjuntof(S)DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuela34 2.3. LIMITEYCONTINUIDAD2.3 LmiteyContinuidadPasemos ahora a estudiar las propiedades del analisis innitesimal de las funciones devariable compleja,esto es, lmite,continuidady derivabilidad. El objetivo de esta parteesutilizarlosresultadosdel analisisinnitesimal devariablereal paradesarrollarlosconceptosdelmite,continuidadydiferenciacion. Paraello, inicialmenteintroducimoselconceptodefuncionescomponentes.2.3.1 FuncionesComponentesLasfuncionesdevariablecomplejasepuedenexpresarenterminosdeunapardefuncionesdevariablereal monovaluadas. Enotraspalabras, sif(z)esunafunciondevariablecomplejayz= x + i y,entoncesf(z)sepuedeexpresarcomof(z) = u(x, y) + i v(x, y),dondeu : R2R,yv: R2R,sedenominanfuncionescomponentesdef(z).Ejemplo2.11. Lasfuncionescomponentes,u(x, y)yv(x, y),def(z) = z2+ a,dondea = a1 + i a2,estandadasporu(x, y) = x2y2+ a1, v(x, y) = 2xy + a2.Ejemplo2.12. Lasfuncionescomponentes, u(x, y)yv(x, y), def(z)=z +1zestandadasporu(x, y) =x(x2+ y2+ 1)x2+ y2, v(x, y) =y(x2+ y21)x2+ y2.2.3.2 LmiteSeaf(z)unafunciondevariablecomplejadenidaenundominioD C. Seaz0unpuntodeD. Seguidamenteveremosqueladeniciondelmitedeunafunciondevariablecomplejaesunaextensiondellmitedeunafunciondevariablereal.Denicion2.6(Lmite). Seaf(z)unafunciondenidaentodoslospuntosdeciertavecindaddez0excepto, posiblementeenel mismoz0. Sedicequew0esunlmitedew = f(z),siparacadan umeropositivo,existeunn umeropositivotalque|f(z) w0| < , siempreque 0 < |z z0| < .Denotamosconlmzz0f(z) = w0paraindicarquew0esunlmitedef(z),cuandoztiendeaz0.Algunasdelasformulasdelmitesqueseestudiaronenelcalculoelemental tienensus homologas en el caso de funciones de variables compleja. Las formulas equivalentes,quesepresentanaqu,sedemuestranusandoladeniciondelmite.DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuelaCAPITULO2. FUNCIONESDEVARIABLECOMPLEJA 35Teorema2.1. Seanf(z)yg(z)funcionesdevariablecomplejastalesquelmzz0f(z) = w0y lmzz0g(z) = W0.Entonces,1. lmzz0[f(z) + g(z)] = w0 + W0;2. lmzz0[f(z) g(z)] = w0 W0;3. lmzz0_f(z)g(z)_ =w0W0.Demostraci on. Sea > 0. Demostracionde1. Comow0yW0sonrespectivamenteloslmitesdef(z)yg(z)cuandoztiendeaz0,podemosescribir:|f(z) w0| 0dependende. As,porladesigualdadtriangulartenemosque|[f(z) + g(z)] [w0 + W0]| |f(z) w0| +|g(z) W0| < ,siempreque0< |z z0|0y4>0dependende . ComoW0(f(z) w0) =W0f(z) W0w0yw0(g(z) W0) =w0g(z) w0W0, entonces es claroque lmzz0W0f(z) =W0w0ylmzz0w0g(z) = w0W0;luego,por1, lmzz0(W0f(z) w0g(z)) = 0. Ahora,tenemosquef(z)g(z) w0W0= (f(z) w0)(g(z) W0) (W0f(z) w0g(z)).As,portodoloanteriorpodemosescribir|f(z)g(z) w0W0| = |(f(z) w0)(g(z) W0) (W0f(z) w0g(z))| |(f(z) w0)| |(g(z) W0)| +|(W0f(z) w0g(z))| 0,esdecir,h1= 0,entoncesobtenemos:f(z0) = lmh20[u(x0, y0 + h2) u(x0, y0)] + i [v(x0, y0 + h2) v(x0, y0)]i h2= lmh20u(x0, y0 + h2) u(x0, y0)i h2+ i lmh20v(x0, y0 + h2) v(x0, y0)i h2= i uy(x0, y0) +vy(x0, y0). (2.16)Delasecuaciones(2.15)y(2.16)sededucequeux(x0, y0) + i vx(x0, y0) =vy(x0, y0) i uy(x0, y0),esdecir,f(z)satisfacelasecuacionesdeCauchy-Riemann(2.14)en(x0, y0).ElhechoqueunafuncionsatisfagalasecuacionesdeCauchy-Riemannenunpuntoz0= x0+i y0, no es suciente para garantizar que f(z) sea derivable en z0. Por ejemplo,lafuncionf(z) =___z2z, z = 0,0, z= 0,satisfacelas ecuacionesde Cauchy-Riemannen z= 0, pero no es derivable en ese punto(sedejaallectorvericarestehecho).As pues, lavalidez de las ecuaciones de Cauchy-Riemmanenunpuntoes unacondicionnecesariaparaqueexisteladerivadaendichopunto. El solohechoquelasecuacionesdeCauchy-Riemmanseanvalidasparaunafunci on, nosignicaquetodaslas trayectoriaspor las que z0+h se aproxime a z0den lugar a un mismo valor lmite dela denicionde derivada. El siguienteteoremanos muestra lascondiciones necesariasysucientesparaqueunafuncionseaderivableenunpunto.Teorema2.8. Sean f(z) = u(x, y)+i v(x, y)y z0= x0+i y0. Si u(x, y) y v(x, y) tienenprimerasderivadasparcialescontinuas, conrespectoaxey, en(x0, y0), ysatisfacenlas ecuaciones de Cauchy-Riemann(2.14) en (x0, y0),entoncesf(z0) existe y est a dadapor (2.15) o(2.16).DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuela42 2.5. FUNCIONESANALITICASDemostraci on. Lademostracionseobtienefacilmenteutilizandoel Teorema2.7yelhechoqueu(x, y)yv(x, y)tienenprimerasderivadasparcialescontinuas, conrespectoaxey,en(x0, y0).Ejemplo2.15. Demostremosquelafuncionf(z) = excos y + i exsen yesderivableentodopuntozdelplanocomplejo. Lasfuncionescomponentesdef(z)estandadasporu(x, y) = excos y, v(x, y) = exsen y.As,lasderivadasparcialesdeuyv,conrespectoaxey,son:ux= excos y,uy= exsen y,vx= exsen y,vy= excos y,lascualessoncontinuasentodoelplanocomplejoy,ademas,satisfacenlasecuacionesdeCauchy-Riemannentodoz =x + i y. Entonces, por el Teorema2.8lafuncionf(z) = excos y + i exsen yesderivableentodoelplanocomplejo.2.5 FuncionesAnalticasEn esta seccionintroducimos un conjunto de funciones variable compleja f(z) deno-minadas analticasque poseen una propiedad muy particular: si f(z) es analticaen unpunto z0,entonceses derivableentodo punto zmuy cercanoaz0. Estacualidadde lasfunciones analticaslashacemuy importantesparaeldesarrolloteoricodeaplicacionesenIngeniera.Denicion2.9 (Funcion analtica). Se dice que una funcion f(z) es analticaen z0 C,si laderivada de f(z)existeenz0yentodo punto de algunavecindadde z0. Si f(z)esanalticaentodoslospuntosdeundominioD C,sedicequef(z)esanalticaenD.Ejemplo2.16. Determinemos el conjuntoden umeroscomplejos z =x + i ydondelafuncionf(z)=(x3 3xy2) + i (3x2y y3)esanaltica. Setienequelasfuncionescomponentesdef(z)estandadaspor:u(x, y) = x33xy2, y v(x, y) = 3x2y y3.Ahora,lasderivadasparcialesdeuyv,conrespectoaxey,sonux= 3x23y2,uy= 6xy,vx= 6xy,vy= 3x23y2Comolas derivadas parciales de uyv soncontinuas ysatisfacenlas ecuaciones deCauchy-Riemannentodos los puntos (x, y) del plano, entonces f(z) es derivableentodoelplanocomplejo. Porlotanto,f(z)esanalticaentodoelplanocomplejo.DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuelaCAPITULO2. FUNCIONESDEVARIABLECOMPLEJA 43Ejemplo2.17. Determinemoselconjuntoden umeroscomplejosz= x + i ydondelafuncion f(z) = x2+i y2es analtica. Las funciones componentesde f(z) son: u(x, y) =x2, yv(x, y) =y2. Al forzar que se satisfaganlas ecuaciones de Cauchy-Riemannobtenemos:ux= 2x = 2y=vy, yuy= 0 = vx,dedondesededucequef(z)esderivable unicamenteenlospuntosz =x + i yquepertenecenalarectay =x. Si z0es unpuntodeestarecta, todavecindaddez0contienepuntosenlosquef(z0)noexiste. As pues, f(z)noesanalticaenning unpuntodelplanocomplejo.Losejemplosanterioresmuestranquelapropiedadqueunafuncionseaanalticaesmuyfuerte,dadoquealseranalticaenunpunto,seestagarantizandoquelafuncionesderivableenunavecindaddel puntoencuestion. Porello, lasfuncionesanalticas,graciasa sus maravillosaspropiedades, jueganun papel muy importante en la teoradelasfuncionesdevariablecompleja.El siguienteteoremaarmaquelasuma, diferencia, multiplicacionydivisiondefunciones analticas es otra funcion analtica. Ademas, tambien establece que la composi-ciondefuncionesanalticasesunafuncionanaltica. Lademostraciondeesteteoremasedejaallector.Teorema2.9. Seanf ygdosfuncionesanalticasenundominioD C. Entonces,f(z)+g(z),f(z)g(z)y f(z)g(z),son funciones analticasen D. La funci on f(z)/g(z)esanalticaenel conjunto {z D: g(z) =0}. Si lafunci ong(z) esanalticaenelconjuntof(D),entonceslafunci onh(z) = g(f(z))esanalticaenD.Denicion2.10 (Funcion entera). Se dice que una funcion f(z) es enterasi es analticaentodopuntozdelplanocomplejo.Ejemplo2.18. EnelEjemplo2.15vimosquelafuncionf(z) = excos y + i exsen yesderivableentodopunto zdelplanocomplejo. Porlotanto,f(z)esanalticaentodoelplano,delocualsededucequef(z)esentera.Ahorabien, paraciertas funciones quesonanalticas endeterminados conjuntosden umeroscomplejos, existenpuntosdondenosonanaltica, atales puntosesmuyimportanteidenticarlos. Seguidamentedenimosestospuntos.Denicion2.11(Puntosingular). Seaf(z)una funcionde variablecompleja. Sedicequeunpunto z0 Cesunpuntosingulardef(z),sif(z)noesanalticaenz0,perosesanalticaenalmenosunpuntozdetodavecindaddez0.Observaci on2.7. Lafuncionracionalf(z) =a0 + a1z + + anznb0 + b1z + + bmzmesanalticaentodoel planocomplejosalvoenlospuntosztalesqueb0 + b1z + +bmzm= 0,esdecir,salvoenlasracesdelpolinomiodeldenominador. Estasracessonlospuntossingularesdef(z).Ejemplo2.19. Elpuntoz0= 0esel unicopuntosingulardef(z) = 1/z.DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuela44 2.6. FUNCIONESARMONICAS2.6 FuncionesArmonicasDenicion2.12(Funcion armonica). Se dice que una funcion h : R2R es arm onicaenundominioD R2,sientodopunto(x, y) Dtienederivadasparciales, primeraysegunda,continuasysatisfacelaecuacionenderivadasparciales2h(x, y) =2hx2(x, y) +2hy2(x, y) = 0,conocidacomoecuaciondeLaplace.Denicion2.13(Armonicaconjugada). Seanu : R2Ryv : R2Rdos funciones.Si uyv sonarmonicas enundominioD R2ysus primeras derivadas parcialessatisfacenlasecuacionesde Cauchy-Riemann(2.14)para todo (x, y) D,se diceque vesarm onicaconjugadadeu.El siguiente teorema establece una relacion entre las funciones armonicas y lasfuncionesanalticas.Teorema 2.10. Unafunci onf(z) =u(x, y)+i v(x, y) es analtica enundominioD Csi,ys olosivesarm onicaconjugadadeu.Demostraci on. () Supongamos que f(z) = u(x, y)+i v(x, y) es analtica en un dominioD Cydemostremosquevesarmonicaconjugadadeu. Comof(z)esanaltica, susfuncionescomponentes, uyv, satisfacenlasecuacionesdeCauchy-Riemann, ademas,sus primeras derivadasparcialessoncontinuasenD. Porello,bastademostrarqueu yvsonarmonicasparagarantizarquevesarmonicaconjugadadeu. As,derivandoconrespectoaxlaecuaciondeCauhy-Riemannux=vy,obtenemos:2ux2=2vxy. (2.17)Ahora, derivandoconrespectoaylaotraecuaciondeCauchy-Riemannuy= vx,obtenemos:2uy2= 2vyx. (2.18)ComolasprimerasderivadasparcialesdeuyvsoncontinuasenD,setieneque2vxy=2vyx. (2.19)Por(2.17),(2.18)y(2.19)podemosescribir:2u(x, y) =2ux2(x, y) +2uy2(x, y) = 0,con lo cual se demuestra que u es armonica en D. Utilizando un razonamiento similar sedemuestra que vtambienes arm onica. En consecuencia,u y vsonfunciones armonicasDepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuelaCAPITULO2. FUNCIONESDEVARIABLECOMPLEJA 45que satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en D, es decir, v es armonica conjugadadeu.()SupongamosquevesarmonicaconjugadadeuenDydemostremosquef(z)=u(x, y) +i v(x, y) es analticaen D. Como ves armonica conjugada de u en D, entoncesuyvsonarmonicasenDysatisfacenlasecuacionesdeCauchy-Riemann;ademas,susprimerasderivadasparcialessoncontinuasenD. As, porel Teorema2.8lafuncionf(z) = u(x, y) + i v(x, y)esanalticaenD.Observaci on 2.8.El Teorema 2.10 nos garantiza que una funcion f(z) = u(x, y)+i v(x, y)esanalticasivesarmonicaconjugadadeu. NoesciertoquesiuyvsonarmonicasynosatisfacenlasecuacionesdeCauchy-Riemann,entoncesf(z)= u(x, y) + i v(x, y)esanaltica; porejemplo, si tomamosu(x, y)=x + yyv(x, y)=x, observamosqueuyvsonarmonicasentodoel plano, perof(z)=(x + y) + i xnoesanalticaenning unpuntodelplano(sedejaallectordemostrarestaarmacion).Esbuenoaclararquesi vesarmonicaconjugadadeuenciertodominioD, noesengeneral ciertoqueuseaarmonicaconjugadadevenesedominio. Por ejemplo,consideremoslasfuncionesu(x, y) = x2y2yv(x, y) = 2xy. Vemosqueuyvsonlaspartes realeimaginaria,respectivamente,de f(z) = z2,que esuna funcionentera. Porel Teorema 2.10 v es armonica conjugada de u en todo el plano, pero u no puede ser unaarmonicaconjugadadev,yaquelafunciong(z) = 2xy + i (x2y2)noesanalticaenning un punto del plano, por que sus funciones componentes no satisfacen las ecuacionesdeCauchy-Riemann.Por otra parte, es cierto que unaarmonica conjugada, cuandoexiste, es unica,excepto por una constante aditiva. Expliquemos con un ejemplo un metodo para obtenerunaarmonicaconjugadadeunafuncionarmonicadada.Ejemplo2.20. Determine v(x, y),la armonica conjugada de u(x, y), si u(x, y) = x+y.Soluci on. Paraque vseaarmonicaconjugadade u,estadebe serarmonicay,ademas,debe satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann (2.14). El metodo para generar v, unaarmonicaconjugadadeu,consisteenforzarquesecumplanlasecuacionesdeCauchy-Riemannyluegoresolverciertasecuacionesdiferenciales. Apliquemostalmetodologaalproblemaplanteado.Comou(x, y) = x + y,setienequeuesarmonicayux= 1, yuy= 1.Ahora,utilizandounadelasecuacionesdeCauchy-Riemann,digamosux=vy,podemosescribir:vy= 1.DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuela46 2.6. FUNCIONESARMONICASIntegrandoconrespectoayestaecuacionobtenemos:v(x, y) = y + (x), (2.20)donde : R R. Ahora,utilizandolaotraecuaciondeCauchy-Riemann,uy= vx,podemosescribir:(x) =vx= uy= 1,esdecir,(x) = 1.Integrandoconrespectoaxestaecuacionobtenemos:(x) = x + c,dondecesunaconstantereal. Sustituyendolaexpresionde(x)en(2.20),lafuncionvarmonicaconjugadadeuestadadaporv(x, y) = y x + c,que es armonica (se deja al lectorvericarestaarmacion). Es decir,hemos construidouna familiadefunciones armonicasconjugadasde uque sediferencianentresporunaconstante. Paraobtener unadeellas es necesariounvalor devenalg unpuntodelplano. Porejemplo,siv(0, 0) = 1,entoncesla constantec correspondientesera c = 1 ylafuncionvserav(x, y) = y x + 1. El procedimientoanterior paracalcular varmonicasconjugadasdeu, tambiensepuedeutilizar, seg unel Teorema2.10, paraconstruirfuncionesanalticasapartirdeunadesusfuncionescomponentes,comosemuestraenelsiguienteejemplo.Ejemplo 2.21. Determine unafuncionanaltica f(z) =u(x, y)+i v(x, y) tal quev(x, y) = xyf(0) = 1.Soluci on. Comov(x, y) = x,setienequevesarmonicayvx= 1, yvy= 0.Ahora,utilizandolaecuaciondeCauchy-Riemannux=vy,podemosescribir:ux= 0.Integrandoconrespectoaxestaecuacionobtenemos:u(x, y) = c1 + (y),DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuelaCAPITULO2. FUNCIONESDEVARIABLECOMPLEJA 47donde: R Ryc1esunaconstantereal. Ahora, utilizandolaotraecuaciondeCauchy-Riemann,uy= vx,podemosescribir:(y) =uy= vx= 1,esdecir,(y) = 1.Integrandoconrespectoayestaecuacionobtenemos:(y) = y + c2,donde c2es una constantereal. Sustituyendo convenientementela expresion de (y),lafuncionuestadadaporu(x, y) = y + c,donde cesuna constanterealqueabsorbe alasconstantesc1y c2. Porconstruccion,vesarmonicaconjugadadeu,luego,porelTeorema2.10lasfuncionesf(z)dadasporf(z) = c y + i x,son una familia de funciones enteras que se diferencian entre s por una constante real c.Ahora,lafunciondeseadadebesatisfacerf(0)= 1. Forzandoesta ultimacondicion,lafuncionpedidaesf(z) = 1 y + i x = iz 1.2.7 FuncionesElementalesA continuacion damos una breve descripcion de las funciones elementales de variablecompleja.2.7.1 FuncionExponencialLafunci onexponencial,denotadaporez,sedenecomoez= excos y + i exsen y, (2.21)paratodon umerocomplejoz= x + i y. Lasfuncionescomponentesdeezsonu(x, y) = excos y y v(x, y) = exsen y,lascualessatisfacenlasecuacionesdeCauchy-Riemannysusderivadasparcialessoncontinuas entodo el plano complejo. Luego, la funcion exponencial es analticaen todoel planocomplejo(ver Ejemplo2.15). Por lotanto, ezes unafuncionentera, cuyaderivadaestadadapor:ddzez=ux+ i vx= excos y + i exsen y= ez,quecoincideconlapropiedaddeseadadelafuncionexponencialreal.DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuela48 2.7. FUNCIONESELEMENTALESOtraspropiedadesdelafuncionexponencial Si z=a R, entoncesez=eacos 0 + i easen 0=ea, esdecir, ezsereducealafuncionexsiztomavaloresreales. Elrangodelafuncionexponencial estodoel planocomplejoexceptoz=0. Enefecto, como |ez|=ex>0, paratodox R, entonces |ez|>0paratodoz C.Porlotanto,ez= 0paratodoz C. Lafuncionexponencial esperiodicaconunperiodoimaginariopurode2i. Enefecto, porlaperiodicidaddelasfuncionestrigonometricas sen ycospodemosescribir:e(z+2i)= ex+i (y+2)= ex(cos(y + 2) + i sen (y + 2))= ex(cos y + i sen y)= ez,esdecir,ezesperiodicaconperiodo2i. Propiedades algebraicas. Seanz1=x1+ i y1yz2=x2+ i y2. Las siguientespropiedadessonciertas:i) ez1ez2= ez1+z2;ii)ez1ez2= ez1z2;iii) e0= 1;iv)1ez1= ez1;v) (ez1)n= enz1,(n = 0, 1, 2, . . .).2.7.2 FuncionesTrigonometricasSedenenlafuncionsenocomosen z=eizeiz2i(2.22)ylafuncioncosenocomocos z=eiz+ eiz2, (2.23)para todo z C. Las funciones sen zy cos zson combinacioneslineales de las funcionesenteras eizy eiz, por lo tanto, sen z y cos z son funciones enteras; ademas, sus derivadassonrespectivamente:ddzsen z=i(eiz+ eiz)2i= cos z,yddzcos z=i(eizeiz)2i= sen z.DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuelaCAPITULO2. FUNCIONESDEVARIABLECOMPLEJA 49OtrasPropiedadesdelasFuncionesSenoyCoseno Cuando zesun n umero real,sen zy cos zcoincidenconlasfunciones realessen xycos x. Lasidentidadestrigonometricas quesatisfacenel senoyel cosenoreal tambiensonvalidasenelcasocomplejo;porejemplo:sen2z + cos2z = 1,sen (z1z2) = sen z1cos z2cos z1 sen z2,cos(z1z2) = cos z1cos z2sen z1 sen z2,entreotras. A partir de la denicion de sen zdada en (2.22) podemos escribir, para z= x+i y:sen z =ei(x+i y)ei(x+i y)2i=ey2i(cos x + i sen x) ey2i(cos x i sen x)= sen x_ey+ ey2_+ icos x_eyey2_.Enotraspalabras,lafunci onsen zsepuedeexpresarequivalentementecomo:sen z= sen xcosh y + icos xsenh y. (2.24)Delamismamanera,alutilizarladeniciondecos zdadaen(2.23)obtenemos:cos z= cos xcosh y i sen xsenh y. (2.25) Lasfuncionessenoycosenosonperiodicasconperiodo2(sedejaal lector lademostracion). Los ceros de sen z son todos los n umeros complejos z= n, para n = 0, 1, 2, . . ..Enefecto, paraquez Cseauncerodesen z, sedebecumplirquesen z=0,luego,utilizandolaecuacion(2.24)podemosescribir:sen xcosh y= 0, cos xsenh y= 0.Ahora, utilizando la ecuacionsen xcosh y= 0, se deduce que y= 0. Sustituyendoestevalordeyenlaecuaci onsen xcosh y= 0,obtenemossen x = 0,delocualsetiene que x = n, para n = 0, 1, 2, . . ... En consecuencia,los ceros de sen zsontodoslosn umeroscomplejosz= n,paran = 0, 1, 2, . . .. Los ceros de cos z sontodos los n umeros complejos z =(n+12), paran=0, 1, 2, . . .. (Sedejaallectorvericarestehecho).DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuela50 2.7. FUNCIONESELEMENTALESOtrasFuncionesTrigonometricasLasdemasfuncionestrigonometricasdeargumentocomplejosedenenfacilmenteporanalogaconlasfuncionestrigonometricasdeargumentoreal,estoes,Tangentetan z=sen zcos zCotangentecot z=cos zsen zSecantesec z=1cos zCosecantecsc z=1sen zParalosvaloresdezdondenoseanuleeldenominadordelasfuncionesanteriores, suderivadaexisteyes,respectivamente,ddztan z = sec2z,ddzcot z = csc2z,ddzsec z = tan zsec z,ddzcsc z = cot zcsc z.2.7.3 FuncionesHiperbolicasSedenenlafuncionsenohiperb olicocomosenh z=ezez2(2.26)ylafuncioncosenohiperb olicocomocosh z=ez+ ez2, (2.27)paratodoz C. Las funciones senh z ycosh z soncombinaciones lineales de lasfuncionesenterasezyez,porlotanto,senh zycosh zsonfuncionesenteras;ademas,susderivadassonrespectivamente:ddzsenh z= cosh z,yddzcosh z= senh z.DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuelaCAPITULO2. FUNCIONESDEVARIABLECOMPLEJA 51OtrasPropiedadesdelasFuncionesSenoyCosenoHiperbolicos Cuandozesunn umeroreal, senh zycosh zcoincidenconlasfuncionesrealessenh xycosh x. Las identidades hiperbolicasquesatisfacenel senoycosenohiperbolicos realestambiensonvalidasenelcasocomplejo;porejemplo:cosh2z senh2z = 1,senh(z1 + z2) = senh z1cosh z2 + cosh z1senh z2,cosh(z1 + z2) = cosh z1cosh z2 + senh z1senh z2,entreotras. Apartirdelasdenicionesdesenh zycosh zsededuce,paraz= x + i y:senh z= senh xcos y + icosh xsen y (2.28)ycosh z= cosh xcos y + isenh xsen y. (2.29) Lasfuncionessenoycosenohiperbolicossonperiodicasconperiodo2i. Loscerosdesenh zsontodoslosn umeroscomplejosz= ni,n = 0, 1, 2, . . . Los ceros de cosh z son todos los n umeros complejos z= (n+12)i, n = 0, 1, 2, . . .OtrasFuncionesHiperbolicasLasdemasfuncioneshiperbolicasdeargumentocomplejosedenenfacilmenteporanalogaconlasfuncioneshiperbolicasdeargumentoreal,estoes,Tangentehiperb olicatanh z=senh zcosh zCotangentehiperb olicacoth z=cosh zsenh zSecantehiperb olicasech z=1cosh zCosecantehiperb olicacsch z=1senh zDepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuela52 2.7. FUNCIONESELEMENTALESParalosvaloresdezdondenoseanuleeldenominadordelasfuncionesanteriores, suderivadaexisteyes,respectivamente,ddztanh z = sech2z,ddzcoth z = csch2z,ddzsech z = tanh z sech z,ddzcsch z = coth z csch z.2.7.4 FuncionLogaritmoSedenelafuncionlogaritmo, paratodoz = 0,comolog z= ln |z| + i arg z, (2.30)dondeln denotaellogaritmonatural. Veamosquelog zesunafuncionmultivaluada.Setieneque,paratodoz = 0,elargumentodezsepuedeescribircomo:arg z= Arg z + 2n (n = 0, 1, 2, . . .).Deestaforma,laecuacion(2.30)sepuedeescribirequivalentementecomolog z= ln |z| + i (Arg z + 2n) (n = 0, 1, 2, . . .).Observamosqueparacualquierz =0, losvaloresdelog ztienenlamismaparterealysuspartesimaginariasdierenenm ultiplosenterosde2. Porlotanto,log zesunafuncionmultivaluada. Elsiguienteejemploilustraestehecho.Ejemplo2.22. Calculemostodoslosvaloresdelog(1 + i). SetienequeArg (1 + i) =4, |1 + i| =2.As,log(1 + i) = ln2 + i_4+ 2n_(n = 0, 1, 2, . . .).Denicion2.14(Valorprincipaldellogaritmo). Elvalorprincipal delog zeselvalorqueseobtienedelaformula(2.30)cuandoseutilizaelargumentoprincipaldez. EsevalorsedenotaLog zysedapormediodelaecuacionLog z= ln |z| + i Arg z, paraz = 0. (2.31)DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuelaCAPITULO2. FUNCIONESDEVARIABLECOMPLEJA 53AlgunasPropiedadesdel ValorPrincipal del Logaritmo Lafuncionw=Log zesmonovaluadaysudominiodedenicionesel conjuntodetodoslosn umeroscomplejosdiferentesdecero; surangoeslafranja 0,entoncesLog z= ln r. LafuncioninversadeLog zesez;enotraspalabras,siwesunn umerocomplejotalque < Imw ,entoncesw = Log zsi,ysolosiz= ew. LafuncionLog zescontinuaeneldominio(|z| > 0, < arg z< ). (Sedejaallectorlaprueba). LafuncionLog z es analticaenel dominio(|z| >0, 0, < arg z< + 2),dondeesunn umerorealjo. Elcorteramaldeestaramaeselrayoarg z= .Ejemplo2.23. Determinemoselvalordelog(1 + i),silog zestadenidoporlog z= ln |z| + i arg z (|z| > 0, /2 < arg z< 5/2).Setieneque1 + i=2ei/4, pero/4 (/2, 5/2). Luego, el argumentoprincipalde1 + inoesel valorindicadoparacalcularlog(1 + i). Paraencontrararg (1 + i) DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuela54 2.7. FUNCIONESELEMENTALES(/2, 5/2), se utiliza el argumento principal de 1+i. Se tiene que el valor del argumentode1 + ibuscadoestadadoporpi4+ 2=94 (/2, 5/2),porlotanto,arg (1 + i) = 9/4eselvalorindicadoparacalcularlog(1 + i). As,log(1 + i) = ln2 + i 94.2.7.5 FuncionExponenteComplejoSeacunn umerocomplejo. Sedenelafuncionexponentecomplejocomozc= eclog z, (2.32)paratodoz =0. Estafunciongeneralmenteesmultivaluada. Lossiguientesejemplosilustranestehecho.Ejemplo2.24. Calculemostodoslosvaloresdeii. Setienequeii= eilog i= ei(ln 1+i(2n+12))= e(2n+12),paran = 0, 1, 2, . . ..Ejemplo2.25. Calculemoselvalordei2. Setienequei2= e2log i= e2(ln 1+i(2n+12))= e(4n+1)i,paran = 0, 1, 2, . . .;pero,e(4n+1)i= e4niei= 1,paratodon = 0, 1, 2, . . .;porlotanto,i2= 1.ElEjemplo2.24muestraquelafuncionexponentecomplejoes, generalmente, unafuncionmultivaluada. Porello, sepuedendenirramasdeestafuncion. Lasramasdelafuncionexponentecomplejosedenencomozc= ec(ln |z|+i arg z),donde |z| >0, 1.3. Demostrar quesi c1 0. Encontrar la imagencuando c2< 0;tambiencuandoc2= 0.5. Seanunn umerorealyz0unn umerocomplejotalqueImz0> 0. Demostrarqueelmapeobilinealw = ei_z z0z z0_,transformaalsemiplanosuperiorImz 0sobreeneldiscounitario |w| < 1.6. Seanunn umero realyz0unn umerocomplejotalque |z0| 1. Demostrarquelatransformacionbilinealw = ei_z z0zz01_,mapeaeldisco |z| 1sobredisco |w| 1.7. SeaSelconjuntoden umeroscomplejosquesemuestraenlasiguientegura.DetermineeltransformadodeSbajocadaunodelossiguientesmapeos:(a) w =1z.(b) w =1 zi + z .(c) w =i zi + z.(d) w =z + 2z 2i.DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuelaCAPITULO2. FUNCIONESDEVARIABLECOMPLEJA 59Figura2.13. ConjuntoS8. Encuentrelasfuncionescomponentes, u(x, y)yv(x, y), delassiguientesfuncionesf(z),dondez= x + iy:(a) f(z) =1z2.(b) f(z) =z + 12z 5.(c) f(z) = z23z + 2.(d) f(z) =z + 22z 1 + i.9. Dadalafuncion f(z) =z + 22z 1,establecerencadacasoelconjuntodepuntos z Ctalesque:(a) f(z) = i Resp.z= i(b) f(z) = z Resp.z=12 52(c) f(z) = 2 Resp.z=4310. Calculelossiguienteslmites:(a) lmz2i1 z1 + zResp. 35 45 i(b) lmz2i(2z33z2+ z + i) Resp.12 13 i(c) lmzei4z2z4+ z + 1Resp.22(1 + i)(d) lmz2+iz22i zz2+ 4Resp.713 413 i(e) lmz2iz22i zz2+ 4Resp.12(f) lmziz2+ 1z6+ 1Resp.13(g) lmz(34i)zz + zResp.12 23 iDepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuela60 2.8. EJERCICIOSPROPUESTOS(h) lmz(1i)|z|21|z + i|Resp.1(i) lmziArg (1/z) Resp. 2(j) lmzi(ln |z| + i Arg z) Resp. 2i11. Pruebequelossiguienteslmitesnoexistenenpuntoalgunoz0 C.(a) lmzz0z z0z z0.(b) lmzz0Re z Re z0z z0.12. Determine el conjunto de n umeros complejos donde las siguientes funciones soncontinuas:(a) f(z) =___3z25iz + 2z2+ iz + 6, z = 2i;715, z= 2i.Resp. C {3i}(b) g(z) =___z2+ 1z + i, z = i;2i, z= i.Resp. C(c) h(z) =___Re z1 + Imz, Re z = Imz, Imz = 0;1, Re z= Imz, Imz = 0;Re z, Imz= 0.Resp. C {z: Re z= Imz = 0}13. Pruebe que cada una de las siguientes funciones satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann:(a) f(z) = ex(sen y + i cos y).(b) f(z) = cos xcosh y i sen xsenh y.(c) f(z) = sen xcosh y + icos xsenh y.(d) f(z) = ex2y2(cos(2xy) + i sen (2xy)).14. Determine enque conjuntoDde n umeros complejos z =x+i y, las siguientesfuncionessonderivablesycalculesuderivada.(a) f(z) = x2+ i y2Resp._D = {z= x + i y: y= x}f(z) = 2x(b) f(z) = x2+ 2x i y Resp._D = {z= x + i y: x = 1}f(z) = 2x + 1DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuelaCAPITULO2. FUNCIONESDEVARIABLECOMPLEJA 61(c) f(z) = 2xy + i (x +23y3) Resp._D = {12, 12+ i}f(z) = 2y + i15. Siuyvseexpresanenterminosdelascoordenadaspolares(r, ), muestrequelasecuacionesdeCauchy-Riemannpuedenescribirsedelaformaur=1rv,1ru= vr, r = 0.16. Utilizandolas condiciones necesarias ysucientes paralaexistenciadederivada,demostrarquef(z)noexisteenpuntoalgunodelplanocomplejosif(z)estadadapor:(a) f(z) = z.(b) f(z) = z z.(c) f(z) = 2x + ixy2.(d) f(z) = exeiy.17. Determineel conjuntoDdetodos los n umeroscomplejos dondecadaunadelassiguientesfuncionesf(z)esanalticaycalculesuderivada:(a) f(z) = (z + 1)2Resp._D = Cf(z) = 2(z + 1)(b) f(z) = z +1zResp._D = C {0}f(z) = 1 1z2(c) f(z) =3z 13 zResp.___D = C {3}f(z) =8(z3)2(d) f(z) =2z + 1z(z2+ 1)Resp.___D = C {0, i}f(z) =2z (z2+1) 4 z+2(z2+1)2 2 z+1z2(z2+1)(e) f(z) =z41 + z4Resp.___D = C _2_12 12i__f(z) =4 z3z4+1 4 z7(z4+1)2(f) f(z) =Log (z + 4)z2+ iResp.___D = C {z: z= i, o Re z 4,Imz= 0}f(z) =1(z+4)(z2+i) 2z Log (z+4)(z2+i)2(g) f(z) = eezResp._D = Cf(z) = ez+ez(h) f(z) = sen (ez) Resp._D = Cf(z) = ezcos(ez)18. Comprobarquecadaunadelassiguientesfuncionessonenteras:DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuela62 2.8. EJERCICIOSPROPUESTOS(a) f(z) = 3x + y + i(3y x).(b) f(z) = eyeix.(c) f(z) = (z22)ez.(d) f(z) = sen (x2y2) cosh(2xy) + i cos(x2y2)senh(2xy).19. Determine en que conjunto del plano cada una de las siguientes funciones son armonicas,yencuentredeserposiblesuarmonicaconjugada.(a) u(x, y) = Im(z2+ 3z + 1)(b) u(x, y) =x 1x2+ y22x + 1(c) v(x, y) = Im(z + 1/z)(d) v(x, y) =y(x 1)2+ y320. Demostrarlassiguientesidentidades.(a) e(23i)= e2(b) ez+i= ez(c) exp(z) = exp(iz),paraz C(d) senh(z + i) = senh z,paraz C(e) cosh(z + i) = cosh z,paraz C(f) senh 2z= 2senh zcosh z,paraz C(g) Log (ei) = 1 + (/2)i(h) Log (1 + i) =12(ln 2 + (/2)i)(i) log 1 = 2ni,paran = 0, 1, 2, . . .(j) log(1) = (2n + 1)i,paran = 0, 1, . . .(k) log_i1/2_ = (n + 1/4)i,paran = 0, 1, . . .(l) (1 + i)i= exp(/4 + 2n) exp((i/2) ln 2),paran = 0, 1, 2, . . .(m) (1)1/= exp((2n + 1)i),paran = 0, 1, 2, . . .21. Demostrarque:(a) silog z= ln r + i,paratodoztalquer= |z|> 0y/4< = arg z< 9/4,entonceslog(i2) = 2 log i.(b) si log z= ln r +i, para todo ztal que r = |z| > 0 y 3/4 < = arg z< 11/4,entonceslog(i2) = 2 log i.22. Encontrartodaslasracesdecadaunadelassiguientesecuaciones:(a) cosh z= 1/2(b) senh z= iDepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuelaCAPITULO2. FUNCIONESDEVARIABLECOMPLEJA 63(c) cosh z= 2(d) log z= (/2)i(e) ez= 323. Encontrarelvalorprincipalde;(a) ii(b) [(e/2)(1 i2)]3i(c) (1 i)4i24. Determine la rama principal y su derivada, para cada una de las siguientes funcionesmultivaluadas:(a) f(z) =ez+ 1(b) f(z) = cos(log z)(c) f(z) = log(ez+ 1)(d) f(z) = zlog z e(log z)2(e) f(z) = icos z ecos zlog i(f) f(z) = zsen z esen z log z(g) f(z) = iez eezlog i25. Seaf(z)unafunciondevariablecomplejadenidacomof(z) = 10ez eezlog 10,dondeseutilizaunramatal quesesatisface |f(i/2)| =e. Determinef(z)yf(i).DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuelaCaptulo3SeriesdePotenciasySingularidadesAisladasEn este captulo se estudian los conceptos basicos de las series de n umeros complejos,enparticular, seestudialarepresentacionenseries depotencias delas funcionesdevariablecompleja, hechoestedegranimportanciaparalaresoluciondeproblemasenIngeniera. Inicialmente se dan los conceptos de sucesion y series de n umeros complejos;despues, se describenlas series de potencias ylos desarrollos de Taylor yLaurent.Finalmente,setrataelconceptodepuntossingularesasilados.3.1 SeriedeN umerosComplejosDenicion3.1(Sucesionden umeroscomplejos). El conjuntoden umeroscomplejos{z0, z1, z3, . . .},sedenominasucesionden umeroscomplejos,ysedenotapor {zn}n=0.Denicion3.2(Sucesionconvergente). Lasucesionden umeros complejos {zn}n=0tienelmiteoconvergeaunn umerocomplejoz, si paratodo>0existeunn umeroenteroN> 0talque|znz| < siemprequen N.Cuandolasucesion {zn}n=0convergeaz,seescribelmnzn= z.Observaci on3.1. Paracada sucesionde n umeros complejos {zn}n=0, existensucesionesden umerosreales {xn}n=0y {yn}n=0talesquezn= xn + i yn, paran = 0, 1, 2, . . .Ejemplo3.1. Sea {zn}n=0lasucesionden umeroscomplejosdenidaporzn=1(1 + i)n.64CAPITULO3. SERIESDEPOTENCIASYSINGULARIDADESAISLADAS 65Entonces,lassucesionesden umerosreales {xn}n=0y {yn}n=0talesquezn= xn + i ynestandenidascomoxn= 2n/2cos(n/4) y yn= 2n/2sen (n/4).Elsiguienteteoremapermiteestudiarlaconvergenciadelassucesionesden umeroscomplejos a traves de la convergencia de las sucesiones de n umeros reales. La demostracionde este teorema se obtiene inmediatamente de la denicion de convergencia de sucesiones.Teorema3.1. Seanzn=xn + i yn(n= 0, 1, 2, . . .)conxn, yn R, yz=x + i yconx, y R. Entonces,lmnzn= zsi,ys olosilmnxn= x y lmnyn= y.Ejemplo3.2. Determinarsilasucesionzn=1n+ i_1 +(1)nn_(n = 1, 2, . . .)convergeyhalleellmitesieselcaso.Soluci on. Setienequezn= xn + i yn,dondexn=1ny yn= 1 +(1)nn.Como lmnxn=0, y lmnyn=1, entonces porel Teorema3.1lasucesion {zn}n=0convergeysulmiteeslmnzn=lmnxn + i lmnyn= i.Denicion3.3 (Serie de N umeros Complejos).La suma de los terminos de una sucesionden umeroscomplejos {zn}n=0,sedenominaserieden umeroscomplejos,estoes

n=0zn= z0 + z1 + z2 + Denicion 3.4 (Serie Convergente). Se dice que unaserie n=0 znconverge aunn umerocomplejoS,silasucesionSN=N

n=0zndesumasparcialesconvergeaS;entoncesseescribe

n=0zn= S.DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuela66 3.1. SERIEDENUMEROSCOMPLEJOSObservaci on3.2. Para toda serie de n umeros complejos n=0zn, siempre existenseriesde n umeros reales n=0xny n=0yntalesque n=0zn= n=0xn+i n=0 yn. A lasseries n=0 xny n=0ynnormalmenteselesdenominanrespectivamenteparterealyparteimaginariade n=0zn.Elhechodescritoenlaobservacionanteriorpermiteestudiarlaconvergenciadelasseries de n umeros complejos a travesde laconvergenciade las series de n umeros reales.Enel siguienteteoremaseestablecequeunasucesionden umeroscomplejosconvergesi,ysolosilasseriesdesuparterealyparteimaginariaconvergen.Teorema3.2. Seanzn= xn +i yn(n = 0, 1, 2, . . .)conxn, yn R,yS= X +i Y conX, Y R. Entonces,

n=0zn= Ssi,ys olosi

n=0xn= X y

n=0yn= Y.Demostraci on. Sean {XN}n=0y {XN}n=0lassucesionesdesumasparcialesdenidasrespectivamenteporXN=N

n=0xny YN=N

n=0yn.As,SN=N

n=0zn=N

n=0xn + iN

n=0yn= XN+ i YN.ComoS= X + i Y= lmNSN= lmNXN+ i lmNYNsi,ysolosilmNXN= X y lmNYN= Y,entonces,podemos concluirque la serie n=0znconvergea S= X +i Ysi, y solo si lasseries n=0xny n=0ynconvergenrespectivamenteaXeY .3.1.1 SeriedePotenciasDenicion3.5 (Serie de potencias). Dada una sucesion {an}n=0de n umeros complejosyz0 C,alaserie

n=0an(z z0)n(3.1)selellamaseriedepotencias,dondez C. Losn umerosansedenominancoecientesdelaserieyz0sedenominacentrodelaserie.Elsiguienteteoremadaunaideacompletadelcampodeconvergenciadelasseriesdepotencias. Lademostraciondeesteteoremasepuedeapreciaren(CITA).DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuelaCAPITULO3. SERIESDEPOTENCIASYSINGULARIDADESAISLADAS 67Teorema 3.3(TeoremadeCauchy-Hadamard). Consideremos laseriedepotencias(3.1). Sea=lmnn_|an|. Entonces: si = , laseriees convergente enel unicopuntoz= z0;si 0 < < ,laserieesabsolutamenteconvergenteenel crculo|z z0| 1,1, sin = 1,, sin < 1.Porlotanto,0y1sonpolossimplesdef(z). Escom unencontrarseconproblemasenlosquesequieredeterminarel ordendelospolosdeunafunciondelaformaf(z)=p(z)/q(z), porellolesdedicaremosunaatencionespecial. El siguienteteoremanospermiteidenticarsi unpuntoesunpoloy,ademassuorden,paraunafuncionf(z) = p(z)/q(z).Teorema3.9. Seaz0 C. Seaf(z)unafunci ontal quesepuedeescribircomof(z) =p(z)q(z),dondep(z)yq(z)sonanalticasenz0yp(z0) = 0. Entonces,z0esunpolodeordenmdef(z)si,ys olosiq(z0) = q(z0) = = q(m1)(z0) = 0yq(m)(z0) = 0.Demostraci on. ()Supongamos quez0esunpolodeordenmdef(z)ydemostremosqueq(z0) =q(z0) = =q(m1)(z0) =0yq(m)(z0) =0. Comoz0es unpolodeordenmdef(z), el desarrollodeLaurentdef(z)centradoenz0, validoenel anillo0 < |z z0| < r0,tienelaformaf(z) =p(z)q(z)=

n=0an (z z0)n+b1(z z0)+b2(z z0)2+ +bm(z z0)m,DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuelaCAPITULO3. SERIESDEPOTENCIASYSINGULARIDADESAISLADAS 79donde bm=0. Comoq(z) es analtica enz0, entonces posee desarrollo de Taylorcentradoenz0delaformaq(z) =

n=0qn(z0)n!(z z0)n.Luego,obtenemosquep(z) =_

n=0qn(z0)n!(z z0)n__

n=0an (z z0)n+b1(z z0)+ +bm(z z0)m_=_

n=0qn(z0)n!(z z0)n__

n=0an (z z0)n_+m

k=1bk

n=0qn(z0)n!(z z0)nk.Comop(z)esanalticaenz0, entonceslaexpresionanterioresel desarrollodeTaylorde p(z) centrado z0, por lo que no puede tener potencias negativas de (z z0). Para queestosesatisfagasedebecumplirqueq(z0)=q(z0)= =q(m1)(z0)=0. Ademas,haciendoz= z0eneldesarrollodeTaylordep(z)obtenemosp(z0) = bmq(m)(z0)m!= 0,dedondesededucequeq(m)(z0) = 0.() Supongamos queq(z0) =q(z0) = =q(m1)(z0) =0yq(m)(z0) =0, ydemostremos que z0es un polo de orden m de f(z). Como p(z) y q(z) son analticasenz0conp(z0) = 0yq(z0)=0,entoncesz0esunpuntosingularaisladodef(z). AhorautilizandoeldesarrollodeTaylordeq(z)centradoenz0setienequeq(z)(z z0)m=q(m)(z0)m!+

n=m+1qn(z0)n!(z z0)nm,portanto,lmzz0q(z)(z z0)m=q(m)(z0)m!= 0, ,locualimplicaquelmzz0(z z0)mf(z) =_ lmzz0p(z)_ _ lmzz0(z z0)mq(z)_= 0, .Loanteriorindicaquez0esunpolodeordenmdef(z).Ejemplo3.13. Vericarquetodoslospuntossingularesaisladosdelafuncionf(z) =ezsen zsonpolossimples.DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuela80 3.2. SINGULARIDADESAISLADASSoluci on. Setienequef(z)=p(z)/q(z), dondep(z) =ezyq(z) =sen z. Ahora,lospuntossingularesaislados def(z)son: zn=n, paran=0, 1, 2, . . .. Comop(zn) = 0,q(zn) = 0yq(zn) = cos(n) = 0,paratodon,entoncesporelTeorema3.9todoslospuntossingularesdef(z)sonpolossimples. Ejercicio3.3. Veriquelaexistenciadelospolosyelordendelosmismosparacadaunadelasfuncionesdadas.a) Elpuntoz0= 0esunpolodeordenm = 2delafuncionf(z) =1z(ez1).b) Lospuntosz0= 3iyz1= 3isonpolossimplesdelafuncionf(z) =(z + 1)(z2+ 9).c) Elpuntoz0= 2esunpolosimpledelafuncionf(z) =z22z + 3(z 2).d) Elpuntoz0= 0esunpolodeordenm = 3delafuncionf(z) =senh zz4.3.2.2 PuntoSingularEsencialDenicion3.10. Sea z0unpunto singularaisladode f(z). Se diceque z0esun puntosingularesencial de f(z), si la parte principal de f(z) en z0tiene un n umero innito determinosdiferentesdecero.Deladeniciondepuntosingularesencial, sededucequez0esunpuntosingularesencialde f(z)si,y solosi lmzz0 f(z)no existe(ninito ni innito). Deestaforma,paradeterminarsi unpuntosingularaisladoz0esonounpuntosingularesencial def(z),noesnecesarioconstruireldesarrollodeLaurentdef(z)alrededordez0.Ejemplo3.14. Vericarquez0= 0esunpuntosingularesencialdef(z) = e1/z.Soluci on. EldesarrollodeLaurentdee1/zcentradoenz0= 0ese1/z= 1 +

n=11n! zn, |z| > 0.Se observa que la parte principal de e1/zen z0= 0 tiene un n umero innito de terminosdiferentesdecero;porlotanto,z0= 0esunpuntosingularesencialdee1/z.Otramaneradeverquez0= 0esunpuntosingularesencialdee1/z,esprobarqueel lmitelmz0e1/znoexiste. Si nosacercamosal origenporlarectay=0, x>0,obtenemosquelmz0e1/z=lmx0e1/x= .Ahora,sinosacercamosalorigenporlarectax = 0,tenemosquee1/z= cos(1/y) i sen (1/y),queesunn umerocomplejodemodulo1paratodovalordey. Porlotanto, el lmitelmz0e1/znoexiste. DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuelaCAPITULO3. SERIESDEPOTENCIASYSINGULARIDADESAISLADAS 813.2.3 PuntoSingularRemovibleDenicion3.11. Sea z0unpunto singularaisladode f(z). Se diceque z0esun puntosingularremovibledef(z),sitodosloscoecientesdelaparteprincipaldef(z)enz0soncero.Si z0es unpunto singular removible de f(z), el desarrollo de Laurent de f(z)centradoenz0,validoenelanillo0 < |z z0| < r0,tienelaformaf(z) =

n=0an(z z0)n,dedondesededucequelmzz0f(z) = a0.Por lotanto, paradeterminar si unpuntosingular aisladoz0es unpuntosingularremovibledef(z),bastaconvericarqueellmzz0 f(z)existeyesnito.Ejemplo3.15. Vericarquez0= 0esunpuntosingularremovibledef(z) =sen zz.Soluci on. Setienequelmz0sen zz=lmz0cos z= 1,portanto,z0= 0esunpuntosingularremovibledef(z) =sen zz. 3.3 EjerciciosPropuestos1. Determineeldominiodeconvergenciadecadaunadelassiguientesseries:(a)

n=1znn(b)

n=0znn!(c)

n=1nnzn(d)

n=1n2nzn(e)

n=1[3 + (1)nzn](f)

n=0z2n(g)

n=1n!nnznDepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuela82 3.3. EJERCICIOSPROPUESTOS(h)

n=0cos(in)zn(i)

n=0anzn, a R(j)

n=1(z 1)n2nn3(k)

n=0n(z + 2)n2n(l)

n=1(1)n1nzn2. Encuentre todas las representaciones en serie de potencias de (z z0) para cada unade lassiguientesfunciones,seg unelcentroz0dado,yclasiquedeTayloroLaurentseg uncorresponda:(a) f(z) = 1/z, paraz0= 2i.(b) f(z) =1z, paraz0= 1.(c) f(z) =1z 3, paraz0= 2.(d) f(z) =1z2+ 1, paraz0= 0.(e) f(z) =1(z2+ 1)2, paraz0= 0.(f) f(z) =1z2+ 4z + 3, paraz0= 1.(g) f(z) = z3e1/z, paraz0= 0.(h) f(z) =z3z z22, paraz0= 1.(i) f(z) =z + 1(z 1)2(z + 3), paraz0= 3.(j) f(z) =cos zz2, paraz0= 0.(k) f(z) = z3cos_1z 2_, paraz0= 2.(l) f(z) =sen (2z)(z + 1)3, paraz0= 1.(m) f(z) = (1 + z + z2)e1/(z1), paraz0= 1.DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuelaCAPITULO3. SERIESDEPOTENCIASYSINGULARIDADESAISLADAS 833. Encuentre los ceros y singularidades de las siguientes funciones complejas. Clasiquelassingularidadesencontradas.(a) f(z) =1z2(z24z + 5).(b) f(z) =z + iz3+ z28z 12.(c) f(z) =z 1z4z2(1 + i) + i.(d) f(z) =cos(z 1)z4z2(1 + i) + i.(e) f(z) =cos zz2.(f) f(z) = z3e1/z.(g) f(z) =zsen z.(h) f(z) =ezz(1 ez)DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuelaCaptulo4IntegracionComplejaLaintegraciondefuncionesdevariablecomplejaesunaherramientaesencial paraeldesarrolloteoricodelasideasdelcalculooperacional,enparticular,elestudiodelastransformadas de Laplace, Fourier y z, que son temas indispensables para la compresiondeciertosconceptosestudiadosenIngenieraElectrica. Enestecaptulosedescribenlosconceptosbasicosdelaintegracioncompleja, comenzandoconlaintegral denida,pasando luegopor laintegralde lnea,elTeoremade Cauchy-Goursaty laprimitiva deunafuncion,paranalizarconelTeoremadelosResiduos.4.1 Integral DenidaSeaF(t)unafunciondevariablerealconvalorescomplejosdenidacomoF(t) = U(t) + i V (t),dondeU:[a, b] RyV :[a, b] Rsonfuncionescontinuasatrozosdenidasenelintervaloacotadoycerradoa t b. Bajoestascondiciones,lafuncionFescontinuaatrozosylaintegral denidadeF(t)enelintervaloa t bsedenecomo:_baF(t) dt =_baU(t) dt + i_baV (t) dtysedicequeF(t)esintegrableen[a, b].PropiedadesdelaIntegral DenidaSean F(t) = U(t)+i V (t), F1(t) = U1(t)+i V1(t) y F2(t) = U2(t)+i V2(t), integrablesen [a, b]. A partir de la denicion de integral denida se deducen f acilmente las siguientespropiedades.i) Re__baF(t) dt_ =_baRe [F(t)] dt.ii) Im__baF(t) dt_ =_baIm[F(t)] dt.84CAPITULO4. INTEGRACIONCOMPLEJA 85iii)_bac F(t) dt = c_baF(t) dt,paratodoc C.iv)_ba[F1(t) + F2(t)] dt =_baF1(t) dt +_baF2(t) dt.v)_baF(t) dt_ba|F(t)| dt.Ejercicio4.1. Demostrarlaspropiedadesdelaintegraldenida.Ejemplo4.1. Calcularlaintegral_/40eitdt.Soluci on. Comoeit= cos t + i sen t,setieneque_/40eitdt =_/40cos t dt + i_/40sen t dt =22+ i 2 22.4.2 IntegraciondeLnea4.2.1 ContornosAcontinuacionpresentamos conjuntos de puntos muyparticulares denominadoscontornosquenospermitiranestudiarlaintegraldeunafunciondevariablecompleja.Denicion4.1(Curva). Una curvaCes un conjunto de puntos z= x+i yen el planocomplejotales quex=x(t), y=y(t)(a t b), dondex(t)yy(t) sonfuncionescontinuas en el intervalo [a, b]. Los puntos de Cse pueden describir mediante la funcioncontinuaz(t) = x(t) + i y(t) (a t b)denominadaparametrizaci ondeC.

Figura4.1. GracadeunacurvaCEnlaFigura4.1sepuedeapreciarlarepresentaciongracadeunacurva. Elvalor=z(a)sedenominaextremoinicial deCy=z(b)extremonal deC. Ademas,DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuela86 4.2. INTEGRACIONDELINEAsi x(t)yy(t)sonfuncionesdiferenciables, entonces lafuncionz(t)=x(t) + i y(t)esdiferenciable,cuyaderivadaestadadaporz(t) = x(t) + i y(t) (a t b).Denicion4.2(Curvasuave). UnacurvaCsellamacurvasuave, si z(t)existe, escontinuaynuncasehaceceroenelintervaloa t b.Ejemplo4.2. AcontinuacionsemuestranlasgracasdelascurvasC1yC2, ysusrespectivasparametrizacionesz1(t)yz2(t). LacurvaC1essuave, encambiolacurvaC2noessuave(sedejaallectorvericarestaaseveracion).

z1(t) = eit, 0 t 2

z2(t) =_t + i(1 + t), 1 t 0,t + i(1 t), 0 < t 1.Denicion4.3(Contorno). Uncontornoocurvasuaveatramos, esunacurvaqueconstadeunn umeronitodecurvassuavesunidasporsusextremos.Ejemplo 4.3. Seguidamente se aprecia una representacion graca de uncontornoconformadoporseiscurvassuavesC1, C2, . . . , C6.

Denicion4.4(Contornocerradosimple). SedicequeunacurvaCesuncontornocerradosimple, si Cesuncontornoyz(a)=z(b)yz(t1) =z(t2)paratodot1 =t2 (a, b).DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuelaCAPITULO4. INTEGRACIONCOMPLEJA 87Ejemplo4.4. EnlasiguientegracasemuestrandoscurvasCyS. LacurvaCesuncontornocerradosimple,encambioSnoloes.

Observaci on4.1. AtodocontornoCrepresentadoporlaecuacionz(t) = x(t) + i y(t) (a t b)seleasociael contorno C, el cual estadenidopor laecuacionz =z(t), dondeb t a. Gracamente,elcontorno CeselmismocontornoCperorecorridoensentidocontrario.4.2.2 Integral deLneaSeanf(z)unafuncionyCuncontornorepresentadoporlaecuacionz(t) = x(t) + i y(t) (a t b),conextremoinicial =z(a) yextremonal =z(b). Supongamos que f(z) =u(x, y)+i v(x, y) es continua atrozos enC, es decir, las partes real e imaginaria,u(x(t), y(t))yv(x(t), y(t)),def(z(t))sonfuncionesdetcontinuasatrozos. Bajoestascondiciones,sedenelaintegral delneadef(z)alolargodeCcomo:_Cf(z) dz=_baf(z(t)) z(t) dt,dondez(t) = x(t) + i y(t).PropiedadesdelasIntegralesdeLneaSean f(z) y g(z) funciones de variable compleja continuas a trozos sobre un contornoCdescritoporlaecuacionz(t) = x(t) + i y(t)(a t b). Apartirdeladeniciondeintegraldelneasededucenfacilmentelassiguientespropiedades.i)_Ck f(z) dz= k_Cf(z) dz, parak C.ii)_C[f(z) + g(z)] dz=_Cf(z) dz +_Cg(z) dz.iii)_Cf(z) dz=_abf(z(t)) z(t) dt = _Cf(z) dz.DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuela88 4.2. INTEGRACIONDELINEAiv) Si Cconsta de una curva C1desde 1hasta 1y de la curva C2desde 2hasta 2,donde2= 1,secumple:_Cf(z) dz=_C1f(z) dz +_C2f(z) dz.v)_Cf(z) dz_ba|f(z(t)) z(t)| dt.Ejercicio4.2. Demostrarlaspropiedadesdelaintegraldelnea.Ejemplo4.5. Calcularlaintegral_|z|=11zdz,donde |z| = 1 es la circunferencia de centro en 0 y radio 1, recorrida en sentido positivo.Soluci on. Unaparametrizaciondelacircunferencia |z| = 1es:z(t) = eit= cos t + i sen t, (0 t 2).As,_|z|=11zdz=_201eitieitdt = i_20dt = 2i.Ejemplo4.6. Calcularlaintegral_C(z i) dz,dondeCeselcontornodescritoporlaecuacionz(t) =_t + i(1 + t), 1 t 0,t + i(1 t), 0 < t 1.Soluci on. Utilizandolapropiedadiv)delaintegraldelneapodemosescribir:_C(z i) dz =_01(t + i(1 + t) i) (1 + i) dt +_10(t + i(1 t) i) (1 i) dt= (1 + i)_01t(1 + i) dt + (1 i)_10t(1 i) dt= (1 + i)2_01t dt + (1 i)2_10t dt= 2i 12+ 2i 12= 2i.DepartamentodeElectronica, ComputacionyControl -UniversidadCentraldeVenezuelaCAPITULO4. INTEGRACIONCOMPLEJA 894.3 TeoremadeCauchy-GoursatElsiguienteresultadoseconocecomoTeoremadeCauchy-Goursat.Teorema4.1(TeoremadeCauchy-Goursat).SeaCun contornocerradosimple. Sea f(z)una funci onanalticasobrey en el interiordeC. Entonces,_Cf(z) dz= 0.El Teorema de Cauchy-Goursat es uno de los resultados mas importantes en la teoradevariab