IDENTIFICACIÓN DE SISTEMASIDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS

Ing. Fredy Ruiz Ph.D.ruizf@javeriana.edu.co

Maestría en Ingeniería ElectrónicaPontificia Universidad JaverianaPontificia Universidad Javeriana

20132013

ASPECTOS PRÁCTICOS EN IDENTIFICACIÓNASPECTOS PRÁCTICOS EN IDENTIFICACIÓN

CONSIDERACIONES PRÁCTICAS

Dado un conjunto de datos

se desea:– Construir un modelo de la planta– Construir un modelo de los disturbios– Estimar la precisión de los modelos construidos

Cuáles son los grados de libertad?– Diseño del experimento– Pre-procesamiento de los datos– Selección de la clase de modelos y el orden– Validación de los modelos obtenidos.

v

Diseño del experimento• Qué señales puedo registrar?

– Entradas manipulables (Ingreso u)– Entradas medibles (disturbio e)– Salidas de interés

• Con qué frecuencia debo muestrear?• Qué tipo de señal puedo aplicar y con que

amplitud?

Selección de señales

• En identificación para control es clara la diferencia entre entradas y salidas.

• Cuando se realiza identificación de sistemas de otras áreas es menos clara la diferencia.– Biología– Economía– Ecología– Etc.

• Existen técnicas que son independientes de la distinción I/O (STLS - Bart de Moor, Leuven).

Selección del tiempo de muestreo

• Información a priori del sistema• Características de la instrumentación

– SCADA, Dataloggers, ...• Regla empírica:

– La frecuencia de muestreo debe ser 10 veces la banda pasante del sistema.

– Entre 7 y 10 muestras durante el tiempo de subida ante una entrada paso.

Diseño de las entradas manipulables

• La construcción del experimento es un problema de optimización vinculada– Se quiere generar un conjunto de datos

informativo: Amplio espectro, Buena relación señal a ruido.• Ruido Blanco, alta varianza

– La planta no puede recibir cualquier tipo de señal.

Diseño de las entradas manipulables

El comportamiento de la señal esta limitado por:• Amplitud máxima que puede asumir la

entrada. Rango de linealidad, en muchas aplicaciones se identifica un modelo de pequeña señal alrededor de un punto de operación

• Velocidad de variación: El actuador que genera la señal física tiene un ancho de banda limitado. Si se quiere identificar el comportamiento de la planta y no del actuador, este se debe comportar como una ganancia SIN DINAMICA.

Diseño de las entradas manipulables

Se pone una contradicción:– Alta energía (varianza)– Baja amplitud

• La relación entre estas variables se mide por el factor de cresta:

C r=√ max k u2(k )

1N ∑

k=1

N

u2(N )

Tipos de señales usados en identificación• De la teoría se sabe que el ruido blanco tiene un

espectro asintoticamente plano, pero:– La amplitud máxima de una secuencia gausiana

es ilimitada.– En muchas aplicaciones no se necesita identificar

el comportamiento del sistema en toda la banda.

0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0 8 0 0 9 0 0 1 0 0 0- 4

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

0 0 . 0 5 0 . 1 0 . 1 5 0 . 2 0 . 2 5 0 . 3 0 . 3 5 0 . 4 0 . 4 5 0 . 51 0

- 2

1 0- 1

1 00

1 01

F r e q u e n c y ( H z )

Pow

er

P o w e r s p e c t r u m f o r s i g n a l y 1

Señales Binarias PseudoAleatorias (PRBS)– Se demuestra que una señal binaria maximiza la

varianza (energía) cuando la amplitud de la señal es limitada.

– Señal periodica generada mediante registros de corrimiento.

– Su función de autocorrelación se aproxima a la del ruido blanco.

– Si se usan n registros, el período máximo de la señal es

M =2n−1

Señales Binarias PseudoAleatorias (PRBS)

Mean= aM

Ru (k )=a2 ; k=0, Mm ,⋯

6 0 0 6 1 0 6 2 0 6 3 0 6 4 0 6 5 0 6 6 0 6 7 0 6 8 0 6 9 0 7 0 0

- 1

- 0 . 8

- 0 . 6

- 0 . 4

- 0 . 2

0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

0 0 . 0 5 0 . 1 0 . 1 5 0 . 2 0 . 2 5 0 . 3 0 . 3 5 0 . 4 0 . 4 5 0 . 51 0

- 2

1 0- 1

1 00

1 01

F r e q u e n c y ( H z )

Pow

er

P o w e r s p e c t r u m f o r s i g n a l y 1

– Propiedades de una señal PRBS:

– Si el periodo de conmutación no es igual al de muestreo, el espectro se multiplica por un sinc.

Señales Binarias Aleatoria (GBS)– Es una señal binaria en la que el instante de conmutación se

genera como una variable aleatoria.– La banda contenida en este tipo de señal depende de la

probabilidad de cambio de nivel.

El espectro de esa señal es:

– Con Tmin

el número de periodos en el se evalúa la prob. de cambio y q=1-2p

sw.

P [u(k )=−u(k−1)]= p sw

P [u (k )=u (k−1)]=1− psw

Φu (ω )=(1−q2)T min

1−2q cos(T minω )+q2

Suma de sinusoides (SOS)– Es una señal continua, formada por la suma de m senos

desfasados:

– El espectro de esa señal es diferente de cero, al máximo en 2m frecuencias, mínimo en 2m-2.

u(k )=∑j=1

m

a j sin(ω ik+φ j); 0⩽ω 1<ω 2⋯

Φu(ω )=2π ∑j=1

m a j2

4[δ (ω−ω j)+δ (ω+ω j)]

Entradas suficientemente informativasTEOREMA:

– Dado un conjunto de modelos:

– La señal de entrada debe ser persistentemente excitante de orden 2n. Es decir:

– Las señales WN, PRBS y GBS cumplen el teorema para toda clase de modelos.

G (θ )=b1 z−1+b2 z−2+⋯bn z−n

1+a1 z−1+a2 z−2+⋯an z−n

Φu(ω j)≠0 ; j=1,2 , .. ,2 n

Pre-procesamiento de los datos

• Modelos de pequeña señal: definidos (U,Y) de equilibrio, se realiza la identificación del modelo incremental:

y(t) = y(t) - Yu(t) = u(t) - U

• Eliminación de deriva: cuando el sensor o el actuador presenta deriva, es recomendable eliminarla antes de realizar la identificación, (efecto polo en el origen), en este caso:

y(t) = y(t) - αtu(t) = u(t) - βt

Pre-filtraje

Filtrar los datos es equivalente a optimizar con una norma pesada. Recordando la expresión de la función de costo en frecuencia:

Cuando se filtran los datos, la función de costo se modifica como:

L(z) funciona como un peso que varia el costo del error con la frecuencia.

Pre-filtraje

Ejemplo: Sistema ARX(2,2) identificado sin prefiltraje, entrada suficientemente informativa, clase correctamente seleccionada. Linea continua: sistema, linea punteada: modelo

Pre-filtraje

Ejemplo: Sistema ARX(2,2), condiciones experimentales y clase iguales al anterior, señales filtradas con L(Z):

Selección de la clase y el orden

¿ Cómo determinar la clase a la que pertenece el sistema que generó los datos?

Sabemos que cuando el sistema pertenece a la clase el predictor óptimo produce una estima con error blanco.Test de blanqueza: Las funciones de correlación y correlación cruzada del error de predicción en los datos disponibles deben ser cercanas a cero (dentro del intervalo de confianza)

Selección de la clase y el orden

¿ Cómo determinar la clase a la que pertenece el sistema que generó los datos?Incertidumbre de los parámetros: es importante estimar también la incertidumbre o el error que se comete al realizar la estima. Parámetros estimados con una alta varianza no son confiables, pueden ser debidos a dos cosas:– Clase demasiado grande: múltiples mínimos

globales.– Experimento poco informativo: los datos NO

contienen información suficiente par estimar el parámetro.

Selección de la clase

Para comparar la calidad de diferentes clases de modelos NO es correcto confrontar el error de predicción en los datos de identificación. Basta usar una clase con N parámetros y se tienen

que VN(θN)=0

Existen dos aproximaciones:– Aproximación estadística: Crear una función de

costo que tiene en cuenta la complejidad del modelo.

– Aproximación empírica: Confrontar el error ante datos NO usados para identificación

Aproximación estadísticaSe han definido indices que permiten ordenar las clases de modelos pesando tanto el error de predicción como la complejidad del modelo. N: Número de datos n: Número de parametros R(v): error de predicción v: parametros estimados

Akaike (1969):

Akaike(1974):

Schwarz(1974):

PROBLEMA: Recaen totalmente sobre hipotesis estadisticas que raramente se cumplen en la práctica.

FPE=R( v̂) N +nN −n

AIC=ln(R( v̂))+2nN

BIC=ln(R( v̂))+ nln(N )N

Aproximación empíricaSe realiza una partición de los datos: Se usa un

conjunto para identificar un modelo en cada clase y uno para validar su comportamiento ante datos nuevos.

Aproximación empíricaSe realiza una partición de los datos: Se usa un

conjunto para identificar un modelo en cada clase y uno para validar su comportamiento ante datos nuevos.

PROBLEMA: uso ineficiente de los datos.

VALIDACION DE LOS MODELOS OBTENIDOS

• Como medir si el modelo obtenido es bueno?DEPENDE DE LA APLICACION

– CONTROL: Me interesa que G(z) identificado se aproxima mucho a Go(z) al menos hasta la banda pasante. El modelo del error no es crítico.

• Validación: error de simulación ante datos nuevos, confrontar la rta. en frecuencia obtenida con ETFE y SPA

– PREDICCION: Es critico obtener un buen modelo del error H(z).

• Validación: error de predicción ante datos nuevos, prueba de blanqueza.