บทท� 2

กลศาสตรคล�น

กอนครสตศตวรรษท� 18 การอธบายปรากฏการณทางกายภาพตองอาศยทฤษฎฟสกสแผนเดม (classical physics) อนไดแก กลศาสตรนวตน และทฤษฎคล�นแมเหลกไฟฟาของแมกซเวลล ตอมาในครสตศตวรรษท� 19 มการทดลองบางอยางท�ไมสามารถอธบายไดดวยทฤษฎฟสกสแผนเดม อาท ปรากฏการณท�เปนการแผรงสของวตถสดา ปรากฏการณโฟโตอเลกทรก จงทาใหตองมการวเคราะหถงความลมเหลวในการใชทฤษฎฟสกสแผนเดม ผลการวเคราะหทาใหเกดทฤษฎท�ใชในวงการฟสกสยคใหม (modern physics) ท�ยงคงใชมาจนถงปจจบน ไดแก ทฤษฎควอนตม ทฤษฎสมพทธภาพ

1. ทฤษฎควอนตม (Quantum Theory)

Max Planck

ทฤษฎควอนตมเปนผลจากการศกษาการแผรงสของวตถสดา (black – body radiation) โดยพลงค (M. Planck) ไดวเคราะหสมการของเรยล – จนส (Rayleigh - Jean’s equation) สาหรบพลงงานของสเปกตรม และไดตZงทฤษฎอธบายการแจกแจงพลงงานของสเปกตรมปกตท�เกดจากการแผรงสของวตถสดา โดยพลงคกาหนดใหระบบคล�นแมเหลกไฟฟาประกอบดวยตวส�นพอง (oscillators) จานวนมากและแตละตวส�นพองจะมพลงงานหลกมล (fundamental energy หรอ energy element) เปน Є ซ� งมคา

Є = hν ………………………. 1

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

26

เม�อ h คอ คาคงตวของพลงค (Planck’s constant) ซ� งมคา 6.625 × 10-34 จล – วนาท ν คอ ความถ�ในการส�นของตวส�นพอง นอกจากนZ พลงคยงไดพจารณาพลงงานของระบบวา มคาไมตอเน�องแตจะมคาเปนจานวนพหคณของ hν น�นคอ

E = nhν ……………………... 2

เม�อ E คอ พลงงานของทZงระบบ n คอ จานวนเตมตZงแต 1,2,3 .............. ถา n = 1 จะได E = hν คอพลงงานหลกมลของระบบน�นเอง ซ� งคาพลงงาน 1 hν เราเรยกวา 1 ควอนตม จากแนวคดนZ แสดงถงวา พลงคมองวา คล�นเหลกไฟฟามลกษณะเปนกลมพลงงาน สามารถแสดงสมบตเปนอนภาคแตเปนอนภาคท�ไมมมวล ตอมาภายหลงลวอส (Gilbert Newton Lewis) ไดเรยกอนภาคของคล�นแมเหลกไฟฟาท�มพลงงาน 1 ควอนตมนZวา โฟตอน (photon) จากแนวความคดดงกลาว พลงคไดอนมานเปนสมการแสดงการแจกแจงพลงงานของสเปกตรมในชวงความถ� ν ถง ν + dν เปน

ννdE = 3

3

c8πν

1ed

kT / h −ν

ν ………………………… 3

หรอในชวงความยาวคล�น λ ถง λ + λd จะได

λE λd = λλλ d

1e

cT /c

-5

− …………………..……… 4

ทฤษฎควอนตมของพลงคตามสมการ 1 ถง 4 สามารถนามานามาใชอธบายปรากฏการณตางๆ ท�เกดขZนหรอเก�ยวของกบระบบจลทรรศนไดหลายประการ อาท ปรากฏการณโฟโตอเลกทรก (Photoelectric effect) เปนปรากฏการณท�เกดจากแฮรตซ (Heinrich Hertz) ไดทาการทดลองฉายรงสอลตราไวโอเลตไปกระทบโลหะท�เปนแคโทด พบวา มอเลกตรอนหลดจากผวโลหะท�เปนแคโทดว�งมายงแอโนดเกดกระแสไฟฟาไหลในวงจรท�ตรวจสอบไดจากเคร�องวดกระแสไฟฟา (A) ดงรปท� 2.1

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

27

รปท� 2.1 แผนภาพการเกดปรากฏการณโฟโตอเลกทรก

จงเรยกปรากฏการณนZวา ปรากฏการณโฟโตอเลกทรก สวนอเลกตรอนท�หลดออกจากผวโลหะแคโทด เรยกวา โฟโตอเลกตรอน (photoelectrons) ซ� งปรากฏการณนZ เม�ออธบายดวยทฤษฎฟสกสแผนเดมปรากฏวา ไดผลไมสอดคลองกบผลการทดลอง ตอมาไอนสไตน (Albert Einstein)

Albert Einstein ไดใชแนวความคดตามทฤษฎควอนตมอธบายจนประสบผลสาเรจ โดยไอนสไตนกาหนดใหรงสอลตราไวโอเลตท�ไปกระทบผวโลหะนZนมลกษณะเปนกลมพลงงานท�ตอมาภายหลงเรยกวาโฟตอน(photon) แตละโฟตอนมคาพลงงาน 1 ควอนตม เม�อโฟตอนชนกบอเลกตรอนบนผวโลหะ มนจะถายเทพลงงานทZง 1 ควอนตมใหกบอเลกตรอน เม�ออเลกตรอนมพลงงานกจะพยายามใหตวเองหลดออกจากผวหนาของโลหะนZน แตอยางไรกตามยงมการยดเหน�ยว จากอนภาคภายในโลหะ ดงนZนอเลกตรอนจะตองสญเสยพลงงานสวนหน�งเพ�อเอาชนะแรงดงดดนZ พลงงานสวนท�สญเสยไปนZ เรยกวา ฟงกชนงาน (work function,W) หรอพลงงานยดเหน�ยว (binding energy) ซ� งเปนพลงงานอสระท�เกดในกระบวนการท�มปรมาตรคงตว ซ� งกคอ พลงงานอสระเฮลมโฮลตซ น�นเอง อเลกตรอนท�หลดเปนอสระจากผวหนาโลหะ กคอโฟโตอเลกตรอนซ�งจะมพลงงานจลนไดมากท�สดเปน

รงสอลตราไวโอเลต ขZวแคโทด

ขZวแอโนด

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

28

Ek,max = 2maxmv

21

เม�อ Ek,max คอ พลงงานจลนท�มากท�สดของโฟโตอเลกตรอน m คอ มวลของอเลกตรอน ซ� งเทากบ 9.1 × 10-31 กโลกรม

maxv คอ ความเรวมากท�สดของโฟโตอเลกตรอน

ดงนZนความสมพนธของการเกดปรากฏการณโฟโตอเลกทรก คอ

hν = W + Ek,max หรอ

hν = W + 2maxmv

21 ………………………… 5

ตวอยางท� 2.1 โลหะชนดหน�งสามารถเกดปรากฏการณโฟโตอเลกทรกไดดวยแสงท�มความถ�อยางต�า

ท�สด (threshold frequency) 1.2×014 Hz ถาทาการฉายรงสอลตราไวโอเลตท�มความยาวคล�น 4.0×10-6 m ไปยงโลหะนZ จะเกดปรากฏการณโฟโตอเลกทรกหรอไม ถาเกดได โฟโตอเลกตรอนท�ไดมพลงงานจลนมากท�สดเทาใด

วธทา ความถ�ต �าท�สดท�สามารถเกดโฟโตอเลกทรกไดหรอท�เรยกวา ความถ�ขดเร�มเปล�ยน(ν0)เปนความถ�ของแสงเม�อเร� มเกดปรากฏการณโฟโตอเลกทรกโดยท�อเลกตรอนมพลงงานจลนมากท�สด

( 2maxmv

21 ) เปน 0 น�นคอ

hν0 = W

และคล�นแมเหลกไฟฟามความสมพนธ :

ν = λc

จาก

hν = W + Ek,max จะเปน

hλc

= hν0 + Ek,max

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

29

Ek,max = hλc

– hν0 = h

−

0λ

cν

= 6.625×10-34

×−

×

× 148

102.1103

6-104.0

= – 2.98×10-20 J

คาพลงงานจลนมากท�สดมคาเปนลบแสดงวา ไมเกดปรากฏการณโฟโตอเลกทรก ตอบ

แบบจาลองอะตอมไฮโดรเจนของโบร (Bohr’s Hydrogen Atomic Model)

การสรางแบบจาลองอะตอม ไดมมาตZงแตรทเธอรฟอรดไดเสนอแบบจาลองอะตอมไฮโดรเจนโดยอาศยผลการทดลองการกระเจงของรงสแอลฟาจากแผนทอง แบบจาลองอะตอมของรทเธอรฟอรด อธบายวา อะตอมประกอบดวยนวเคลยสมประจไฟฟาบวกเปนศนยกลางอะตอม และมอเลกตรอนซ�งมประจไฟฟาลบว�งอยรอบ ๆ เปนรปวงกลม อยางไรกตามแบบจาลองของรทเธอรฟอรดไมสามารถตอบปญหาการคายพลงงานของอเลกตรอนเม�อเคล�อนท�ดวยความเรงได ในป พ.ศ. 2456 โบร (Niels Bohr)

Niels Bohr ไดนาเอาทฤษฎควอนตมมาใชอธบายแบบจาลองอะตอมของไฮโดรเจนเปนครZ งแรก ซ� งในการบรรยายท�มลนธโนเบลเม�อวนท� 11 ธนวาคม พ.ศ. 2456 (Bohr.1965. pp.7-43.) โบรไดกลาวถง การนาเอาทฤษฎควอนตมของพลงคมาเปนสจพจน (postulates) สาหรบอธบายแบบจาลองอะตอมไฮโดรเจนดงนZ 1. การเคล�อนท�ของอเลกตรอนในอะตอมจะอยในสถานะคงท� (stationary state) น�นคอ อเลกตรอนจะอยท�ระดบพลงงานระดบหน�งโดยไมมการคายหรอดดกลนพลงงาน

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

30

2. เม�ออเลกตรอนเกดการเปล�ยนระดบพลงงาน (transition) จากสถานะคงท�ไปเปนสถานะอ�นจะเกดการคายหรอดดกลนพลงงาน โดยคาของพลงงานท�ถกดดกลนหรอคายออกมานZนจะตองมคา 1 ควอนตม (1 hν) เสมอ ดงนZน ถาอเลกตรอน 1 อเลกตรอนเปล�ยนระดบพลงงานจากระดบพลงงานเร�มแรก (initial energy level, Ei) ไปยงระดบพลงงานสดทาย (final energy level, Ef) จะไดความสมพนธ

Ef – E1 = hν ……………………. 6

เชน อเลกตรอนเปล�ยนจากระดบพลงงานท� 3 ไปยงระดบพลงงานท� 1 จะม

E3 – E1 = hν

3. การเคล�อนท�ของอเลกตรอนจะเกดโมเมนตมเชงมม (angular momentum, L) ท�มลกษณะเปนชวงๆ ไมตอเน�อง (quantization) โดยโมเมนตมเชงมมจะมคาเปนจานวนพหคณของคาคงตว h เม�อ

h = π2h = 1.055 × 10-34 จล-วนาท

น�นคอ L = nh ………………... 7

เม�อ n = 1, 2, 3 ……

ตามความรในกลศาสตรแผนเดมนZน ขนาดของโมเมนตมเชงมม หาไดจาก

L = mvr

เพราะฉะนZนเม�อเทยบกบเง�อนไขของโบรในสมการ 7 กจะได

mvr = nh เม�อ m คอ มวลของอเลกตรอน v คอ ความเรวของอเลกตรอนท�ว�งรอบๆนวเคลยส r คอ รศมหรอระยะหางจากอเลกตรอนถงนวเคลยส ซ� งจะได

r = vm

nh ……………………….. 8

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

31

แตไมสามารถหาความเรวของอเลกตรอนในอะตอมได ตองอาศยความรท�วา แรงดงดดระหวางนวเคลยสซ� งมประจ Ze กบอเลกตรอนซ� งมประจเทากบ e เปนแรงระยะยาวท�เรยกวา แรงคลอมบ (Coulomb force) มขนาดเปน

F = o∈π4

12

2

rZe

เม�อ ε๐คอ คาคงตวสภาพยอมในสญญากาศ (vacuum permittivity constant) ซ� งมคา 8.854×10-12 C2 N-1m-2 Z คอ เลขเชงอะตอม ซ� งแรงนZ จะมขนาดเทากบแรงหนศนยกลาง (ท�เกดขZ นในขณะท�อเลกตรอนว�งรอบๆ นวเคลยสเปนวงกลม) ท�มขนาดเปน

F = r

mv2

แสดงวา

r

mv2

= o∈π4

1 2

2

rZe

v = mr4

Ze2

o∈π

แทนคา v ลงในสมการ 8 จะได

r = 2

22

Zme

n4 ho∈π

ซ� งเทอม 2

2

me4 h

o∈π เปนคาคงตว เรยกวา รศมของโบร (Bohr’s radius) เปนรศมของอะตอม

ไฮโดรเจนท�สถานะพZน (ground state) ใหเปน ro

or = 2

2

me4 h

o∈π = 5.29 ×10-11 m

จะได

rn = n2r๐ ..................................... 9

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

32

และเม�อพจารณาพลงงานของอเลกตรอนสาหรบอะตอมไฮโดรเจน 1 อะตอม จาก

E = EK + U เม�อ E คอ พลงงานรวมของอเลกตรอน EK คอ พลงงานจลนของอเลกตรอน U คอ พลงงานศกยท�เกดจากแรงคลอมบระหวางอเลกตรอนกบนวเคลยสมคา

U = – r4

Ze2

o∈π

สวนพลงงานจลน

EK = 2mv21

จาก

v = mr

Ze

o∈π4

2

จะได

EK = 21

r4Ze2

o∈π

พลงงานงานรวมจะเปน

E = –21

r4Ze2

o∈π

แตวารศม r ท�ระดบใดๆ เปน rn = n2 r๐ จะไดพลงงานท�ระดบใดๆ ของอะตอมไฮโดรเจนเปน

En = – 222

4

n)4(2me

ho∈π

ซ� งเทอม 22

4

)4(2me

ho∈π

เปนคาคงตวทZงหมด ใหเปน E๐ คอ คาคงตวท�เปนพลงงานท�สถานะพZนของ

อะตอมไฮโดรเจน 1 อะตอม ซ� ง

E๐ = 22

4

)4(2me

ho∈π

= 2.1795 × 10-18 J

En = − 2nE

o ……………………. 10

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

33

หรอถาคดในกรณอะตอมไฮโดรเจนจานวน 1 โมล (6.02 × 1023 อะตอม) จะได

E๐ = 1.312×10-6 J mol-1

ตวอยางท� 2.2 อเลกตรอนในอะตอมไฮโดรเจนเปล�ยนพลงงานระดบท� 5 ไปยงสถานะพZนจะคายรงสท�มความยาวคล�นเทาใด

วธทา ใชสมการ 10 : En = – 2nE

o

E5 = – 2

18

5101795.2 −×

= – 8.178×10-20 J

E1 = – 2.1795 × 10-18 J

E5- E0 = – 8.178×10-20 – (– 2.1795×10-18) = 2.098×10-18 J

ตามสจพจนขอ 2 : Ef – E1 = hν = hλc

ดงนZน

E5– E0 = hλc

λ = h05

EEc−

= 6.625×10-34 ×18-

8

102.098103××

= 9.473×10-8 m ตอบ

แบบจาลองอะตอมไฮโดรเจนของโบรประสบผลสาเรจในการอธบายสมบตของไฮโดรเจนหลายประการ อาท 1. สามารถคานวณหารศมอะตอมของไฮโดรเจนท�สถานะพZนไดสอดคลองกบผลการทดลองวดดวยวธการอ�น ๆ คอ เทากบ 5.29 × 10-11 เมตร 2. สามารถคานวณหาพลงงานท�สถานะพZนของอเลกตรอนของอะตอมไฮโดรเจนไดสอดคลองกบคาพลงงานแตกตวเปนไอออน (ionization energy) คอ 1.312 × 106 J mol-1

3. สามารถอธบายการเกดสเปกตรมของรงสวา เปนผลจากการเปล�ยนระดบพลงงานของอเลกตรอน 4. สอดคลองกบผลการทดลองของฟรงค – แฮรตซ (Franck – Hertz’s experiment) ท�แสดงความไมตอเน�องของพลงงาน (Burkhardt and Leventhal, 2008, p34)

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

34

อยางไรกตามแบบจาลองอะตอมของโบรยงไมสามารถอธบายปรากฏการณบางอยางได เชน การเกดสเปกตรมยอย เม�ออะตอมอยในสนามไฟฟาหรอสนามแมเหลก จงตองมการพฒนาทฤษฎเพ�อสรางแบบจาลองอะตอมขZนใหม

3. กลศาสตรคล�น

จากทฤษฎควอนตมเปนการยอมรบวา คล�นแมเหลกไฟฟา สามารถแสดงสมบตเปนไดทZงคล�นและอนภาค เรยกวา ทวภาวะคล�น – อนภาค (wave – particle duality) และแบบจาลองอะตอมของโบรท�ผานมาในหวขอท�แลวเปนการนาเอาทฤษฎควอนตมมาใช เปนการยอมรบวา แสงเปนอนภาคและอเลกตรอนกเปนอนภาค ซ� งธรรมชาตยอมมสมมาตรในตวอยแลว ในเม�อแสงยงเปนไดทZงคล�นและอนภาค อเลกตรอนกนาจะเปนไดทZงอนภาคและคล�น ผท�มความคดเชนนZ คอ เดอ เบรยล (Louis Victor de Broglie)

Louis Victor de Broglie

ซ� งเสนอปรญญานพนธระดบปรญญาเอกสาขาฟสกสทฤษฎ เร�อง คล�นสสาร (matter wave) เม�อ พ.ศ. 2467 โดยอนมานจากทฤษฎควอนตมของพลงค คอ

E = hν

และทฤษฎสมพทธภาพของไอนสไตนมความสมพนธของมวลกบพลงงานเปน

E = mc2

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

35

จะได

mc2 = hν

mc = c

hν = λh

p = λh

λ = ph ………………………. 11

p ในสมการ 11 นZ คอโมเมนตมของโฟตอน (mc) กรณเปนอนภาคกจะเปนโมเมนตมของอนภาคท�มความ เรว v จะเปน mv

λ = ph =

mvh …………………….. 12

ตวอยางท� 2.3 จงหาความยาวคล�นสสารของอเลกตรอนในเคร�องกาเนดไฟฟาท�มความตางศกย 500 V วธทา

เคร�องกาเนดไฟฟาท�มความตางศกย V โวลต อเลกตรอนจะมพลงงานศกย eV

เม�อ e คอ ประจไฟฟาของอเลกตรอน 1.602× 10-19 C

พลงงานศกยจะถกเปล�ยนเปนพลงงานจลน 2mv21

2mv21

= eV

mv = 2meV = V101.602109.12 -19-31 ××××

= 5.40×10-25 V

λ = mvh =

V1040.5h

25−×

= 5001040.5

10625.625

34

−

−

××

= 5.49×10-11 m ตอบ

จะเหนวา สามารถหาความยาวคล�นของอนภาคได เปนการแสดงวา อนภาคตางๆ มสมบตเปนคล�นไดเชนกน

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

36

นอกจากปญหาท�พบวา อเลกตรอนสามารถแสดงสมบตเปนไดทZงคล�นและอนภาคแลวในเวลาตอมา พ.ศ. 2470 ไฮเซนแบรก (W. Heisenberg) ไดเสนอหลกเกณฑความไมแนนอนขององการวด

W. Heisenberg

กลาวคอ การวดในระดบจลทรรศน (microscopic) เราไมสามารถวดคาตวแปรพลวต 2 ตวแปรท�คกนไดอยางแมนยาทZง 2 ตวแปรไดพรอมกน ถาวดตวแปรหน�งไดคาท�แนนอนอกคาหน�งจะตองมความไมแนนอน เชน การวดตาแหนงและโมเมนตมซ� งเปนตวแปรพลวตท�คกนของอนภาค จะไมสามารถวดไดผลท�ถกตองแมนยาไดทZ งสองอยางพรอมๆ กน น� เปนขอจากดเก�ยวกบธรรมชาตของการวดหา

ปรมาณ คาความไมแนนอนในการวดทZงสองตวแปรคณกนแลว จะตองมคาอยางนอย 2h น�นคอ

x)(∆ )p( x∆ ≥ 2h ..................................... 13

เม�อ x∆ คอ ความไมแนนอนในการวดตาแหนงในแนว x xp∆ คอ ความไมแนนอนในการวดหาโมเมนตมในแนว x

ตวอยางท� 2.4 นวคลออนเปนอนภาคในนวเคลยสไดแก โปรตอนและนวตรอน ซ� งนวเคลยสมรศมอยในอนดบ 10-15 m จงหาความไมแนนอนของโมเมนตมของนวคลออน

วธทา เน�องจากนวคลออนถกจากดใหอยในนวเคลยส ซ� งมเสนผาศนยกลาง เปน 2×10-15 m เปนความคลาดเคล�อนของตาแหนง จงสามารถหาความไมแนนอนของโมเมนตมได คอ

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

37

)p( x∆ ≥ ( )x2 ∆h

≥ 15

34

10221005.1

−

−

×××

≥ 2.64×10-20 kg m s-1 ตอบ

หรอในการวดพลงงานกบเวลากเชนกนเราไมสามารถจะวดไดอยางแมนยาทZงสองอยางพรอมกน ผลของการวดจะมความคลาดเคล�อนเชนเดยวกบการวดตาแหนงและโมเมนตม คอ

E)(∆ t)(∆ ≥ 2h ……………………… 14

เม�อ E∆ คอ ความไมแนนอนในการวดพลงงาน t∆ คอ ความไมแนนอนในการวดเวลา แนวความคดเหลานZ เองท�รจกกนในนามของหลกเกณฑความไมแนนอนของไฮเซนเบรก (Heisenberg Uncertainty Principles) จากเร�องคล�นสสารทาใหเราไดทราบวา อนภาคตางๆ สามารถแสดงสมบตเปนคล�นไดดวยและจากหลกความไมแนนอนของไฮเซนเบรก ทาใหทราบวา ธรรมชาตของการวดหาปรมาณใดๆ จะใหคาท�ถกตองแมนยานZนยอมเปนไปไมได ส�งท�จะวดไดคอ ความนาจะเปนของคาท�จะไดเทานZน ดวยเหตนZ จงมการสรางฟงกชนชนดหน� งคอ ฟงกชนคล�น (wave function, ψ ) ซ� งใชในสมการคล�นแมเหลกไฟฟาของแมกซเวลลมาตความกาหนดลกษณะเสยใหมท�เรยกวา การตความของบอรน (Born interpretation) เม�อ พ.ศ. 2469

Max Born

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

38

ในการตความดงกลาวไดกาหนดฟงกชนคล�นของอนภาคหน� งๆ นZนไมเพยงแตเปนฟงกชนแสดงแอมพลจดของคล�น (amplitude function) ดงท�เคยใชในสมการคล�นของแมกซเวลล แตฟงกชนคล�นยงเปนการบอกถงความนาจะเปนของการเกดเหตการณทางกลอกดวย กลาวคอ ถาแอมพลจดของคล�นมากโอกาสของการเกดเหตการณกมมากดวย ตามธรรมชาตของการเคล�อนท�ของคล�นนZน จะพบวา ความเขมของคล�น (wave intensity) จะเปนสดสวนกบแอมพลจดของคล�นยกกาลงสอง ในกรณนZ เปนการเคล�อนท�ของอนภาคมลกษณะ เปนคล�นสสารกจะมความเขมเปน 2

ψ แตวาฟงกชนคล�นนZ บางครZ งก เ ปนฟงกชนเชงซอน (complex function) ซ� งมจานวนเชงซอน ( i = 1− ) อยดวย เม�อฟงกชนคล�นเปนฟงกชนเชงซอนกจะตองมสงยคเชงซอน (complex conjugate) ดวย ใหเปน ∗ψ เชน ถา ψ = θike−

∗ψ = θike

หรอถา ψ = a + ib

∗ψ = a − ib ดงนZน 2

ψ = ψ ψ ……………………… 15

จากการตความของบอรน จะไดวา

“ในบรเวณหน�งของปรภม (space) อนภาคท�ม 2ψ มากจะมความนาจะเปนท�จะถกพบไดงาย”

น�นคอ 2ψ จะเก�ยวของกบความนาจะเปนท�จะพบอนภาค เชน ในปรภมของระบบพกดฉาก (Cartesian

system) ท�จด (x, y, z,) ฟงกชนคล�นจะเปน ψ (x, y, z,) ความนาจะเปนท�จะพบอนภาคในบรเวณท�มปรมาตร dxdydz รอบจด (x, y, z,) จะเปน

2z)y,(x,ψ dxdydz ถาให

τd = dxdydz

เปนปรมาตรของบรเวณท�มขนาดเลกมากจนเกอบเปนศนย เรยกวา volume element ในระบบพกดฉาก ความนาจะเปนท�จะพบอนภาคใน volume element จะไดจาก

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

39

P = τψ dz)y,(x,2

v∫

แตถาขยายขอบเขตของปรมาตรเปนทZงปรภม (all space) จะทาใหไดเง�อนไขท�เรยกวาเง�อนไขการทาใหเปนปรกต (normalization condition) ซ� งใหความนาจะเปนทZงหมดท�จะพบเปน 1 น�นคอ

τψ dz)y,(x,2

spaceall∫ = 1 ……. 16

นอกจากนZ ฟงกชนคล�นยงมสมบตท�สาคญอกประการหน�งคอฟงกชนคล�นของสถานะ (state) หน�ง ๆ จะเสมอนกบเปนสมาชกของปรภมสมบรณท�เรยกวา ปรภมฮลแบรต (Hilbert space) เปนปรภมท�มสมาชกเปนเวกเตอรจานวนอนนต และมคาตอเน�องกน โดยทกเวกเตอรจะตZงฉากซ� งกนและกน ดงนZน ฟงกชZนคล�นของสถานะท�ตางกน เชน nψ กบ n′ψ เม�อ n ≠ n/ จะตZงฉากกน (orthogonal) ผลคณเวกเตอรท�ตZงฉากกนยอมเปนศนย น�นคอ

n*n ′∫ ψψ τd = 0 ……………… 17

เปนเง�อนไขอกประการหน�ง และเม�อรวมกบเง�อนไขการทาใหเปนปรกต จะไดเง�อนไขของฟงกชนคล�น เรยกวา เชงตZงฉากปรกต (orthonormal) เปน

n*n ′∫ ψψ τd = nn ′δ ……………….. 18

ซ� ง nnδ เราเรยกวา ฟงกชนเดลตาโครเนกแคร (Kronecker delta) มคาเปน

nn ′δ =

′≠

′=

nn, o

nn, 1

สวนสมการคล�นของแมกซเวลลท�ใชในทฤษฎคล�นแมเหลกไฟฟาแผนเดมนZนไดจากการรวมสมการของแมกซเวลล (Maxwell’s equations) ทZง 4 สมการเขาดวยกนไดเปน

2

2

x∂Φ∂ +

2

2

y∂Φ∂ + 2

2

z∂Φ∂ = 2c

1 2

2

t∂Φ∂ ………………….. 19

ซ� ง 2

2

x∂∂ ,

2

2

y∂∂ และ 2

2

z∂∂ เปนอนพนธยอยอนดบสอง (second – order partial derivatives) ในระบบ

พกดฉาก ซ� งสามารถเขยนเปนตวดาเนนการ (operator ) ท�เรยกวา ลาปลาเซยน (Laplacian , 2∇ ) คอ

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

40

2∇ = 2

2

x∂∂ +

2

2

y∂∂ + 2

2

z∂∂

Φ คอ แอมพลจดของคล�น c คอ ความเรวของแสงซ�งเปนคล�นแมเหลกไฟฟา

แตเม�อนาสมการคล�นมาใชกบอนภาคซ� งเปนคล�นสสารจะใชฟงกชนคล�น (ψ ) แทนแอมพลจดของคล�น (Φ ) และใช v เปนความเรวของคล�นสสารแทนความเรวของแสง (c) จะได

2∇ ψ = 2v1 2

2

t∂∂ ψ …………………… 20

ฟงกชนคล�นในสมการนZ เปนฟงกชนของทZงปรภม (space) และเวลา (time) น�นคอ

ψ = t)z,y,(x,ψ ถาให ψ = (t)z)y,(x, ϕψ

โดย ψ เปนฟงกชนคล�นของปรภมเทานZน (time – independent wave function) ϕ เปนฟงกชนคล�นของเวลา (time dependent wave function) ซ� ง

ϕ (t) = e2πivt …………………….. 21 จะได ψ = vt2ez)y,(x, iπψ

แทนลงในสมการ 20 จะเปน

)e( vt22 iπψ∇ = 2v1 + )e(

tvt2

2

2iπψ

∂∂

vt2e iiπ ψ2∇ = 2v1 + vt222 e)4( iπνπψ −

ψ2∇ = – 2

22

v4 ψπ v ……………………. 22

แตวา คล�นท�เรากาลงพจารณานZ เปนคล�นสสาร ดงนZนจากคล�นสสารของเดอ เบรยล

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

41

λ = ph

และ v = λν

λ = νv

เพราะฉะนZน

νv

= ph

vν

= hp

2

2

vν

= 2

2

hp

สมการ 22 จะเปน

ψ2∇ = – ψπ

2

22

hp4 ……………………. 23

ในกลศาสตรแผนเดม

K = m2

p2

และพลงงานรวม (E)

E = K + U K = E – U

m2

p2

= E – U

2p = 2m (E – U)

แทนคา 2p ลงในสมการ 23 จะได

ψ2∇ = – ψπ

U)(Eh

m82

2

−

= ψU)(Em2

2−

−h

ψ2∇ + ψU)(Em22 −

h = 0 ………………………. 24

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

42

สมการ 24 เรยกวา สมการของชเรอดงเงอรท�ไมขBนกบเวลา ( dingeroSchr&& ’s time independent wave equation)

Erwin dingeroSchr&&

เม�อจดเรยงเสยใหม จะได

+∇

−U

m22

2h

ψ = Eψ ....................................... 25

เทอมในเคร� องหมาย ( ) สมการ 25 คอ ตวดาเนนการท� เรยกวา ตวดาเนนการแฮมลโทเนยน (Hamiltonian operator, H ) น�นคอ

H = Um2

22

+∇−h ....................................... 26

สมการ 25 จงเปน

ψH = Eψ ………………………… 27

เปนอกรปหน�งของสมการชเรอดงเงอร ลกษณะของสมการ 27 นZ เปนสมการท�รจกกนทางคณตศาสตรวา สมการคาเจาะจง (eigen value equation) ซ� งมรปท�วไปเปน

φA = aφ

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

43

ซ� ง A เปนตวดาเนนการเจาะจง (eigen operator) a เปนคาคงตว เรยกวา คาเจาะจง (eigen value) φ เปนฟงกชนเจาะจง (eigen function)

ตวอยางท� 2.5 จงแสดงวา eikx หรอ cos kx ท�เปนฟงกชนเจาะจงของ dxd

วธทา กรณ eikx จะได ( )dxed ikx

= ik eikx

eikx เปนฟงกชนเจาะจงของ dxd

กรณ cos kx จะได ( )

dx kxcosd

= – k sin kx

≠ k cos kx

cos kx จงไมเปนฟงกชนเจาะจงของ dxd

กรณสมการชเรอดงเงอร ฟงกชนคล�น (ψ ) เปนฟงกชนเจาะจง (eigen function) และพลงงานรวม (E) เปนคาจาะจง (eigen value) ซ� งคาของพลงงานรวมจะตองสามารถหาคาออกมาไดเปนคาจานวนจรง (real value) แสดงใหเหนวา ตวดาเนนการแฮมลโทเนยม( H ) นZ เปนตวดาเนนการชนดหน� งของตวดาเนนการ แอรมเทยน (Hermitian operator) สวนอกสมการหน�งจะเปนสมการชเรอดงเงอรท�ขZนกบเวลา (time - dependent dingeroSchr&& equation) จะเปน

t∂

∂ψ + h

i Eψ = 0 ................................. 28

โดยฟงกชนคล�น ψ ในสมการนZ เปน

ψ = ψ (x,y,z,t)

ในท�นZ จะพจารณาเฉพาะสมการชเรอดงเงอรท�ไมขZนกบเวลา

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

44

3. การประยกตใชสมการชเรอดงเงอร

สมการชเรอดงเงอรท�ไมขZนกบเวลา คอ

ψ2∇ + ψU)(Em22 −

h = 0

สมการนZ มการนามาใชอธบายการเคล�อนท�ของอนภาคในระดบจลทรรศน (microscopic world) ไดด ทZงนZ ขZนอยกบปญหาท�ตองการนามาอธบายวาเปนปญหาอะไร โดยเฉพาะอนภาคนZนอยภายใตอทธพลของพลงงานศกย (U) แบบใด เชน

- อนภาคอสระ (free particle) - อนภาคภายในกลองศกย - อะตอมไฮโดรเจน ฯลฯ

3.1 อนภาคอสระ

อนภาคอสระเปนอนภาคท�ไมอยภายใตอทธพลของศกยใดๆ น�นคอ พลงงานศกยของอนภาคนZมคาเปนศนย ดงนZนถาสมมตวา อนภาคนZ มการเคล�อนท�ไดเพยง 1 มตจะมสมการชเรอดงเงอรเปน

2

2

dx(x)d ψ + (x)E

m22 ψ

h = 0 ………………….. 29

การท�อนภาคอสระไมมพลงงานศกย มแตพลงงานจลน แสดงวา พลงงานรวม = พลงงานจลนของอนภาค

E = EK

= m2

p2

จากเร�องคล�นสสาร

λ = ph

ให

k เปนเลขคล�นเชงมม (angular wave number) มคาเทากบ λπ2 เพราะฉะนZน

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

45

λ = k

2π

k

2π = ph

p = kh …………………… 30

พลงงานรวมของอนภาคอสระจะเปน

E = m2k22

h …………………….... 31

แทนในสมการ 29

2

2

dx(x)d ψ + ψ2k = 0 ………….………… 32

เปนสมการอนพนธอนดบสอง มผลเฉลย (solution) เปน

(x)ψ = e1kx หรอ e-1kx

ถาผลเฉลย เปน

(x)ψ = e1kx

หมายถงอนภาคอสระท�มโมเมนตม p = kh เคล�อนท�ไปในทศทาง + x แตถาผลเฉลย เปน

(x)ψ = e-1kx

หมายถง อนภาคอสระท�มโมเมนตม p = kh เคล�อนท�ไปในทศทาง - x ท�นาสงเกต คอ

ถา

(x)ψ = e1kx จะม (x)*ψ = e-1kx

แตถา

(x)ψ = e-1kx จะม (x)*ψ = e1kx

ทาให

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

46

2(x)ψ = (x)*ψ (x)ψ = e1kx e-1kx = 1

แสดงวา ความนาจะเปนท�จะพบอนภาค ณ จดใดๆ บนแกน x จะเทากนหมดทกจด ดงนZนผลเฉลยของสมการ 32 จงสามารถเขยนในรปผลรวมเชงเสน (linear combination) ของผลเฉลยทZงสองเปน

(x)ψ = A e1kx + B e-1kx …………………. 33

ถาเปนอนภาคอสระท�เคล�อนท�ในปรภม (space) x, y, z จะมสมการชเรอดงเงอร เปน

2

2

x∂∂ ψ +

2

2

y∂∂ ψ + 2

2

z∂∂ ψ + ψE

m22

h = 0 …………………. 34

กรณนZ

ψ = ψ (x,y,z)

สมการ 34 จะมผลเฉลยเปน

ψ (x,y,z) = r.k1evv

………………………….. 35 เม�อ

kv

เปนเวกเตอรคล�น (wave vector) ซ� ง

k2 = 2z

2y

2x kkk ++

kv

= kkjkik zyx ++ rv เปนเวกเตอรบอกตาแหนง (positional vector) ซ� งในระบบพกดฉาก rv = kzjyix ++

เม�อ

k,j,i เปนเวกเตอรหน�งหนวย (unit vector) ในแนว x,y,z ตามลาดบ ดงนZน

kv

⋅ rv = zzyx kykxk ++

เม�อ zyx k,k,k เปนสวนประกอบ (components) ของเวกเตอรคล�นในแนวแกน x,y,z ตามลาดบ

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

47

3.2 อนภาคในกลองศกย (Particle in a Potential Box)

เปนปญหาเก�ยวกบอนภาคท�ตอเน�องกบอนภาคอสระ โดยสมมตวา มอนภาคหน� งมพลงงานศกยเปนศนยถกจากดใหอยแตภายในกลอง 1 มตท�มความยาวเทากบ a และเพ�อใหอนภาคอยแตเฉพาะภายในกลองเทานZนจงใหพลงงานศกยภายนอกกลองมคาอนนต (∞ ) ดงรป 2.2

รปท� 2.2 อนภาคภายในกลองศกย 1 มต

จะเหนวา ความนาจะเปนท�จะพบอนภาคจงอยในชวงท� x มคาระหวาง 0 กบ a เทานZน ท� a < x < 0 เราจะไมมโอกาสพบอนภาคนZ ดงนZน

(x)ψ = 0 เม�อ a < x < 0 ........................ 36

ความสมพนธตามสมการ 36 นZ เรยกวา เง�อนไขขอบเขต (boundary condition) สาหรบอนภาคในกลองศกย 1 มต สวนสมการชเรอดงเงอรของอนภาคนZจะเปนเชนเดยวกบอนภาคอสระคอ

(x)Em2

dx(x)d

22

2

ψψ

h+ = 0

และ

(x)kdx

(x)d 22

2

ψψ

+ = 0

(x)ψ = A e1kx+ B e-1kx จากเง�อนไขขอบเจตในสมการ 36 ท� x = 0 (x)ψ = 0 จะได 0 = A + B A = – B

U = ∞ U = ∞ U = 0

0 a x

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

48

ดงนZน

(x)ψ = A ( e1kx– e-1kx)

ใชความสมพนธของออยเลอร (Euler’s relation ) คอ

e1kx = cos kx + i sin kx e-1kx = cos kx – i sin kx

e1kx – e-1kx = 2i sin kx

จะได (x)ψ = A 2i sin kx = C sin kx ……… 37 และอกเง�อนไขขอบเขตหน�ง คอ

ท� x = a )(aψ = 0

จากสมการ 37 จะได 0 = C sin ka

ทZงนZ C ตองไมเทากบ 0 แสดงวา sin ka = 0 หมายความวา

ka = 0, π , 2π ,… น�นคอ ka = πn (n = 0,1,2,3….)

k = a

nπ

แทนคา k ลงในสมการ 30,31 และ 37 จะได

pn = a

n hπ …………………… 38

En = 2

222

ma2n hπ ………………….. 39

และ

(x)ψ = C sin a

xnπ ………………….. 40

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

49

การหาคา C จะหาจากเง�อนไขการทาใหเปนปรกต (สมการ 16) คอ

dxa

xnsinC

2a

o∫π

= 1

dxa

xnsinC

a

o

22 π∫ = 1

C2

a21 = 1

C = a2

ฟงกชนคล�นสมการ 40 จะเปน normalized wave function ของอนภาคในกลองศกย 1 มต เปน

(x)ψ = a

xnsin

a2 π …………….. 41

ถาเปนกลองศกยรปลกบาศก 3 มต มดานแตละดานยาวเทากบ a กรณนZ ฟงกชนคล�นจะเปน

ψ = ψ (x, y, z)

และสมการชเรอดงเงอรจะเปน

2

2

x∂∂ ψ +

2

2

y∂∂ ψ + 2

2

z∂∂ ψ + ψE

m2h

= 0

จะมผลเฉลยเปน

ψ = r.k1erv

โดย

kx = a

nx π

ky = a

n πy

kz = a

n πz

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

50

ดงนZน

=

=

=

a n p

a n p

a n p

zz

yy

xx

h

h

h

π

π

π

………..…………..….. 42

และ

E = m2

p2

= )pp(pm21 2

z2y

2x ++

= 2

22

ma2hπ )nn(n 2

z2y

2x ++ ............................ 43

สวนฟงกชนคล�นกจะได

ψ = C sina

xnx π sin a

yn πz sin a

n zz π …... 44

เม�อ nx , ny และ nz คอ จานวนเตมตามแนวแกน x, y, z ตามลาดบ

ให 2χ = 2

z2y

2x nnn ++

ดงนZน χ จงเปนเหมอนกบเวกเตอรใดๆ ท�มสวนประกอบเปน yx n,n และ zn ตามแนวแกน x, y, z ตามลาดบ สมการ 43 จะเปน

E = 22

22

ma2χ

π h

χ = 22

2Ema2hπ

เราจะสามารถหาจานวนสถานะ (states) ท�มคาพลงงานตZงแต 0 ถง E ในปรภม xyz ไดจากปรมาตรของหน�งอฐภาค (octant) ของทรงกลมท�มรศมเทากบ χ น�นคอ

N(E) = )34

(81 3πχ = 3

61πχ

= 2/3

22

2Ema261

hππ

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

51

N(E) = 2/3

223 mE2

a61

hπ

π

= 2/3

22

mE2V

6

hππ

= ( ) 2/32/13

3Em2

h3V8π

เม�อ N(E) คอ จานวนสถานะท�มคาพลงงาน 0 ถง E V คอ ปรมาตรของกลมรปลกบาศกซ� งเทากบ a3 สวนจานวนสถานะท�มพลงงานระหวาง E กบ E + dE จะไดจาก

dN(E) = dEEh

)m2v(4 2/13

)2/1(3π ……………….. 45

ให g(E) คอจานวนสถานะท�มพลงงาน E ตอชวงพลงงานหน�งหนวย น�นคอ

g(E) = dEdN

= 2/13

)2/1(3

Eh

)m2v(4π ………………… 46

หรออาจกลาวไดวา g(E) คอความหนาแนนของระดบพลงงานหรอสถานะท�มพลงงาน E น�นเอง ซ� งบางครZ งเราอาจจะหาความหนาแนนของสถานะท�มโมเมนตมระหวาง p กบ p + dp เปน

g(p) = dpdN

= 23 p

hv4π …………………………. 47

3.3 อะตอมไฮโดรเจน (Hydrogen Atom)

ปญหาของอะตอมไฮโดรเจนเปนปญหาของอนภาค (คออเลกตรอน) อยภายใตสนามของแรงจากศนยกลาง (central force field) ท�เกดจากประจบวกของนวเคลยส มพลงงานศกยเปน

U = r

Ze4

1 2

o∈π

จะมสมการชเรอดงเงอรเปน

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

52

2

2

x∂∂ ψ +

2

2

y∂∂ ψ + 2

2

z∂∂ ψ + ψ

+

2

0

2

r4Ze

Em2

πεh = 0

ซ� งฟงกชนคล�น เปน ψ = ψ (x, y, z) คอมตวแปร x y และ z ของระบบพกดฉากรวมอยดวยกน ในการหาผลเฉลยของสมการชเรอดงเงอรสาหรบไฮโดรเจนนZ จะตองทาการแปลงระบบพกดของตวดาเนนการลาปลาเซยน ( 2∇ ) จากระบบพกดฉากใหอยในระบบพกดเชงขZว (polar coordinate system) คอ

2∇ =

∂∂

∂∂

+∂∂

+

∂∂

∂∂

θθ

θθϕθsin

sinr1

sinr1

rr

rr1

22

2

222

2

ดงนZนสมการชเรอดงเงอรสาหรบอะตอมไฮโดรเจนจงได

ψθψ

θθθϕ

ψθ

ψU)(E

m2sin

sinr

1

sinr

1

rr

rr

1222

2

222

2−+

∂∂

∂∂

+∂∂

+

∂∂

∂∂

h = 0

…………….. 48 ให ),(r, ϕθψ = )()(R(r) ϕθ ΦΘ ......................... 49 เม�อ

R(r) เปนฟงกชนท�ขZนอยกบระยะหางของอเลกตรอนกบนวเคลยสเทานZน )(θΘ เปนฟงกชนท�ขZนอยกบมม θ เทานZน )(ϕΦ เปนฟงกชนท�ขZนอยกบมม ϕ เทานZน

ใชวธการแยกตวแปร (technique of separation) ดวยการเพ�มคาคงตวในการแยกตวแปร (separation constants) จะแยกสมการ 48 ออกเปน 3 สมการคอ

Φ+∂Φ∂ 2

2

2

mϕ

= 0 ..……………………. 50

Θ+−

∂Θ∂

∂∂

−Θ )11(1sinrsin

1

sin

m2

2

θθ

θθ = 0 …………….……….. 51

Rr

)11(1RU)(E

m2rR

rrr

122

22

+−−+

∂∂

∂∂

h = 0 ……………………… 52

เม�อ m และ 1 คอคาคงตวในการแยกตวแปร สมการทZงสามมผลเฉลยดงนZ สมการ 50 จะมผลเฉลยเปน

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

53

)(ϕΦ = ϕ

πm1e

21 ± ……………………. 53

สาหรบสมการ 51 เม�อให x = sinθ กจะไดสมการคณตศาสตรเรยกวา สมการของเลอจองดสมทบ (Associated Legendre’s Equation) มผลเฉลยเปน

)(m,1 θΘ = )(cosp)!m1(2

)!m1)(1l2( m1 θ

+

−+ …………………. 54

เม�อ )(cospm

1 θ เปนฟงกชนเรยกวา ฟงกชนเรยกวา ฟงกชนเลอจองดสมทบ (Associated Legendre Function) ท�องศา 1 อนดบท� m สมการ 52 ถาให

ρ = rnrZ2

o

จะแปลงเปนสมการท�เรยกวา สมการของลาแกรสมทบ (Associated Laguerre’s Equation) มผลเฉลยเปน

Rn,1(r) = [ ]

)(Le)!1(nn2

)!11(n

nr

Z2 1211n

12/3

3

ρρρ ++

−

+

−−

o

………………… 55

เม�อ

)(L 1211n ρ++ เปนฟงกชนเรยกวาฟงกชนลาแกรสมทบ (Associated Laguerre’s Equation) และ

เม�อแทนผลเฉลยตางๆ ของสมการทZงสามนZ ลงในสมการ 49 กจะได normalized wave functions )( m,1n,ψ ของอะตอมไฮโดรเจน ดงตารางท� 2.1

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

54

ตารางท� 2.1 Normalized Wave fuctions )( m,1n,ψ ของอะตอมไฮโดรเจน

ψ 1, 0, 0 = 6

2/3

eaZ1 −

oπ

ψ 2, 0, 0 = 2/6

2/3

e)2(aZ

24

1 −−

σ

π o

ψ 2, 1, 0 = θσπ

coseaZ

24

1 2/6

2/3

−

o

ψ 2, 1, 1 = ϕθσπ

cossineaZ

24

1 2/6

2/3

−

o

ψ 2, 1, -1 = ϕθσπ

sinsineaZ

24

1 2/6

2/3

−

o

ฯลฯ เม�อ σ = r

aZ

o

ฟงกชนคล�นตางๆ เหลานZ จะเหนวา เปนฟงกชนท�เกดจากปรภมในพกดเชงขZว (r,θ ,ϕ ) เราจงจดเปนฟงกชนคล�นเชงปรภม (spatial wave functions) เราเรยกฟงกชนเหลานZ วา ออรบทลเชงอะตอม (atomic orbitals) สวนคาคงตวท�ถกเพ�มเขาไปในการแยกตวแปรคอ n, 1 และ m นZนเปนเลขท�มนยสาคญตอออรบทลเชงอะตอม เราเรยกวา เลขควอนตม (quantum numbers) ดงนZ n เรยกวา principal quantum number เปนจานวนเตมแสดงถงระดบพลงงาน (energy level) ของอเลกตรอน โดย n = 1, 2, 3 .............. l เรยกวา orbital quantum number เปนจานวนเตมท�มคา

l = 0, 1, 2, ….., n – 1

คา l จะบอกถงชนดของระดบพลงงานยอย (subenergy level หรอ subshell ) เชน

l = 0 หมายถง s – subshell l = 1 หมายถง p – subshell l = 2 หมายถง d – subshell l = 3 หมายถง f – subshell

l = 4 หมายถง g – subshell

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

55

m เรยกวา magnetic quantum number เปนคาแสดงถงภาวะการวางทศ (orientations) ของระดบพลงงานยอยในปรภมพกดฉาก ซ� งกคอ ออรบทลเชงอะตอมน�นเอง เชน ใน p - subshell

ถา m = 0 แสดงถงออรบทลนZนอยในแนวแกน z ถา m = 1 แสดงถงออรบทลนZนอยในแนวแกน x

ถา m = -1 แสดงถงออรบทลนZนอยในแนวแกน y ดงนZน

ψ 1, 0, 0 หมายถง 1s – orbital

ψ 2, 0, 0 หมายถง 2s – orbital ψ 2, 1, 1 หมายถง 2px – orbital ψ 2, 1,-1 หมายถง 2py – orbital ψ 2, 1, 0 หมายถง 2pz – orbital

จะเหนวา คาของ m จงมคาเปน

m = 0, ± 2, …….. ± 1

จานวนคาของ m จงมได 21 + 1 คา เรยกวา สภาพซอนสถานะ (degeneracy)

4. อเลกตรอนสปน (Electron Spin)

ระบบมหาทรรศน ไมวาจะเปน ดาวฤกษ ดาวเคราะห แกแลกซ จะพบวา มการเคล�อนท� 2 แบบ คอ

- การโคจรรอบจดศนยกลางของระบบ (orbital motion) - การหมนรอบแกนตวเอง (spin motion )

ในระบบจลทรรศน เชน โมเลกล อะตอม นวเคลยส อเลกตรอน ฯลฯ กจะตองมการเคล�อนท�ทZงสองแบบเชนกน นวเคลยสกต◌องมทZง orbital motion และnuclear spin อเลกตรอนกตองมทZง orbital motion และอเลกตรอนสปน เปนตน

แนวความคดของการเกดอเลกตรอนสปนนZน เปนผลมาจากการทดลองของสเตรน - เจอลาช (Stern-Gerlach’s experiment) ในป พ.ศ. 2467 ซ� งไดทดลองผานลา (beam) ของไอเงนเขาไปในสนามแมเหลกไมเปนเอกพนธ (inhomogeneous magnetic field) ปรากฏวา หลงจากผานสนามแมเหลกนZแลวลาของไอเงนเกดการแตกออก (split) เปน 2 ลา ดงรปท� 2.3

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

56

รปท� 2.3 การทดลองของสเตรน – เจอลาช (ท�มา Wikimedia Commons)

ตอมาป พ.ศ. 2469 อหเลนเบก (G. Uhlenbeck) และเกาดสมท (S. Goudsmit)

George Uhlenbeck Samuel Goudsmit

ไดอธบายการเกดสเปกตรมของพวกอะตอมท�เหมอนไฮโดรเจนดวยอเลกตรอนสปน และการทดลองของสเตรน-เจอลาชกสามารถอธบายไดดวยอเลกตรอนสปนเชนกน โดยพวกเขาอธบายวา เม�ออเลกตรอนเกดการสปนยอมตองมโมเมนตมเชงมมของสปน (spin angular momentum, S

v) แตวา

อเลกตรอนเปนอนภาคท�มประจไฟฟาเม�อเกดการสปนกยอมจะเกดโมเมนตแมเหลกขZวคของสปน (spin magnetic dipole moment, sM

v) โดยมความสมพนธกบโมเมนตมเชงมมของสปนเปน

sMv

= 2s m2e

g− Sv

..................................... 56

เม�อ sg คอ gyromagnetic ratio ของอเลกตรอนซ�งมคาเทากบ 2.0024 sm คอ มวลของอเลกตรอน

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

57

จากการทดลองของ สเตรน – เจอลาชท�สนามแมเหลกไมเปนเอกพนธสามารถแตกลาอะตอม (atomic beams) ออกเปน 2 ลา แสดงวา การสปนของอเลกตรอนม 2 ภาวะการวางทศ (orientations) ซ� งจานวนภาวะการวางทศ จะหาไดจาก

g = 2s + 1

เม�อ g คอ จานวนภาวะการวางทศ ซ� งเทากบ 2 จะได

s = 21

ซ� ง s คอ เลขควอนตมชนดหน�งเรยกวา spin quantum number ซ� งเลขควอนตมนZ สมพนธกบโมเมนตมเชงมมของสปน (S

v) ดวย

S2 = s(s+1) 2h

= 2)121

(21

h+ = 2

43h ……………………….. 57

แตวาโมเมนตมเชงมมของสปน (Sv

) เปนปรมาณเวกเตอรซ� งมสวนประกอบตามแกนตางๆ ในพกดฉากเปน Sx, Sy , Sz โดย

S2 = 2z

2y

2x SSS ++

ถา 2

xS = 2yS = 2

zS S2 = 23 zS

จากสมการ 57 กจะได

2zS = 2

41h

zS = h21

±

ให

sm = 21

±

น�นคอ sm คอ เลขควอนตมท�ตรงกบโมเมนตมเชงมมของสปนในแนวแกน Z (Sz) โดย

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

58

sm = +21 เปนเลขควอนตมของการสปนท�มทศทางในแนวชZ ขZน (spin-up)

และ

sm = -21 เปนเลขควอนตมของการสปนท�มทศทางในแนวชZลง (spin-down)

เม�อเปนเชนนZ จงเกดฟงกชนคล�นอกชนดหน�งคอ ฟงกชนคล�นเชงสปน (spin wave function,smχ ) และ

ฟงกชนคล�นท�สมบรณกจะตองมทZงฟงกชนคล�นเชงปรภมและฟงกชนคล�นเชงสปน เปน

ψ = m.1.nψ smχ ………………………….. 58

โดย m.1.nψ เปนฟงกชนคล�นเชงออรบทล

smχ เปนฟงกชนคล�นเชงสปน

5. อะตอมฮเลยม (Helium atom)

อะตอมฮเลยมเปนระบบอะตอมท�ม 2 อเลกตรอน 1 นวเคลยส ดงรป 2.3

รป 2.3 อะตอมฮเลยม จะตองมพลงงานศกย (U) ถง 2 สวนคอ

1. สวนท�เกดจากการดงดดกนระหวางนวเคลยสกบอเลกตรอนทZงสองคอ 1

2

r4Ze

o∈π

กบ

2

2

r4Ze

o∈π

2. สวนท�เกดจากการผลกกนของอเลกตรอนทZงสองคอ 12

2

r4Ze

o∈π

ดงนZน

•

⋅ ⋅ e1 e2

r2 r1

r12

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

59

U =

−+

∈ 1221

2

r1

r1

r1

4Ze

oπ

............................... 59

ทาใหการแกสมการชเรอดงเงอรของอะตอมฮเลยมยงยาก ไมสามารถแกสมการออกมาไดอยางแมนตรง จะตองแกสมการโดยการทาการประมาณ (approximation) นอกจากนZ ยงมปญหาเก�ยวกบฟงกชนคล�นของอะตอมฮเลยมเรากตองนามาพจารณาโดย ให a เปนเลขควอนตม n, l, m1 ท�สถานะหน�ง b เปนเลขควอนตม n, l, m1 อกสถานะหน�ง

ดงนZน ฟงกชนคล�นเชงออรบทล (ψ ) ของอเลกตรอนกจะเปน

)1(aψ เปนฟงกชนคล�นของอเลกตรอน (1) ท�สถานะ a )1(bψ เปนฟงกชนคล�นของอเลกตรอน (1) ท�สถานะ b )2(aψ เปนฟงกชนคล�นของอเลกตรอน (2) ท�สถานะ a )2(bψ เปนฟงกชนคล�นของอเลกตรอน (2) ท�สถานะ b

ฟงกชนคล�นเชงออรบทลของอะตอม )( atomψ จะไดจากฟงกชนคล�นของอเลกตรอนรวมกนคอ

)1(aψ )2(bψ และ )2(aψ )1(bψ ............................................ 60

จากการตความของบอรน เราทราบวา 2ψ จะบอกถงความนาจะเปนท�จะพบอนภาค (คออเลกตรอน)

และสมมาตรของการสลบท�อเลกตรอนทาใหไดวา ฟงกชนคล�นเชงออรบทลของอะตอมฮเลยมไดจากผลรวมเชงเสนของฟงกชนคล�นทZงสองในสมการ 60 คอ

atomψ = )1()2()2()1( baba ψψψψ ± ............................. 61

โดยฟงกชนคล�น

)2,1(ψ = )1()2()2()1( baba ψψψψ +

เม�อเกดการสลบท�อเลกตรอนจะเปน )1,2(ψ = )2()1()1()2( baba ψψψψ +

ฟงกชนท�ไดยงคงเหมอนเดม แสดงวา ฟงกชนคล�นนZ เปนฟงกชนคล�นท�สมมาตร (symmetric) ตอการสลบท�อเลกตรอน จงเรยกวา ฟงกชนคล�นสมมาตร )(

Sψ

S

ψ = )1()2()2()1( baba ψψψψ + …………………. 62

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

60

สวนฟงกชนคล�นท�เปน )2,1(ψ = )1()2()2()1( baba ψψψψ −

เม�อสลบท�อเลกตรอนจะไดเปน )1,2(ψ = )2()1()1()2( baba ψψψψ −

= [ ])1()2()2()1( baba ψψψψ −− = − )2,1(ψ

ฟงกชนคล�นนZ เปนปฏสมมาตร (antisymmetric) ตอการสลบท�อเลกตรอน เราเรยกวา ฟงกชนคล�น

ปฏสมมาตร )( Aψ

)( Aψ = )1()2()2()1( baba ψψψψ − …………………… 63

จะเหนวา ฟงกชนคล�นเชงออรบทลของอะตอมฮเลยมมได 2 รปตามสมการ 62 กบ 63 สวนฟงกชนคล�นเชงสปน ( χ ) นZนเราจะพจารณาดงนZ

เน�องจากแตละอเลกตรอนมคาสปน (s) เทากบ ±21 สาหรบอะตอมฮเลยมซ� งม 2 อเลกตรอน

จะไดสปนรวม (S) ท�เปนไปได 2 คา คอ S = 1,0 เพราะวา ภาวะการวางทศของเวกเตอรสปนของอเลกตรอนมได 2 แบบคอ

1. แบบขนาน (parallel) ซ� งให S = 1 จะมเวกเตอรสปนลพธ (resultant vector spin, Ms) ได 3 ภาวการณวางทศทาง คอ Ms = 1, 0, −1 ดงรป 2.4

Ms = +1 Ms = 0 Ms = -1

z z z

รปท� 2.4 สปนแบบขนานในอะตอมฮเลยม

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

61

เราเรยกสถานะสปน (spin state) นZ วา ชดสาม (triplet) จะมฟงกชนคล�นเชงสปนท�เปนสมมาตรมได 3 ฟงกชนคล�นคอ

[ ])1()2()2()1(2

1−+−+ + χχχχ Ms = 0

sχ = )2()1( ++ χχ Ms = 1 )2()1( −− χχ Ms = −1

เม�อ

+χ คอฟงกชนคล�นเชงสปนของอเลกตรอนท�ม sm เปนบวก −χ คอฟงกชนคล�นเชงสปนของอเลกตรอนท�ม sm เปนลบ

2. แบบขนานสวน (antiparallel) จะให S = 0 จะมเวกเตอรสปนลพธไดเพยง 1 ภาวะการวางทศ คอม sM = 0 ดงรป 2.5

รปท� 2.5 สปนแบบขนานสวนในอะตอมฮเลยม

เราเรยกสถานะสปนนZวา ชดเด�ยว (singlet) มฟงกชนคล�นเชงปฏสมมาตร (antisymmetric ) ม 1 ฟงกชนคล�น คอ

Aχ =

− −+−+ )1()2()2()1(

2

1χχχχ

เม�อรวมฟงกชนคล�นเชงออรบทลกบฟงกชนคล�นเชงสปนเปนฟงกชนคล�นรวม จากสมการ 58

ψ = smnlm χψ

Ms = 0

z

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

62

จะสามารถจดหมได 4 แบบ คอ sAAsss ,, χψχψχψ และ AAχψ แตจากการตรวจสอบระดบพลงงานของอะตอมฮเลยมพบวาถาฟงกชนคล�นเชงออรบทล (ψ ) เปนฟงกชนคล�นสมมาตร ( sψ ) ฟงกชนคล�นเชงสปน ( χ ) จะตองเปนฟงกชนคล�นปฏสมมาตร ( Αχ ) แตถาฟงกชนคล�นเชงออรบทลเปนฟงกชนคล�นปฏสมมาตร ( Aψ ) ฟงกชนคล�นเชงสปนจะตองเปนฟงกชนคล�นสมมาตร ( sχ ) น�นกแสดงวา ฟงกชนคล�นรวมของอะตอมฮเลยมม 2 รปแบบ คอ 1) ψ = Asχψ จะมเพยง 1 ฟงกชนเพราะ Αχ ม 1 ฟงกชนเปนชดเด�ยว อะตอมฮเลยมของฟงกชนคล�นนZ คอ parahelium 2) ψ = sAχψ จะมได 3 ฟงกชนเพราะ sχ ม 3 ฟงกชนเปนชดสาม อะตอมฮเลยมของฟงกชนนZ เราเรยกวา orthohelium ฟงกชนคล�นของ parahelium ม 1 ฟงกชนคอ

ψ = Asχψ

=

+ )1()2()2()1(

2

1baba ψψψψ

− −+−+ )1()2()2()1( ψχχχ

ฟงกชนคล�นของ orthohelium ม 3 ฟงกชนคอ

1)

− )1()2()2()1(

2

1baba ψψψψ

+ −+−+ )1()2()2()1( ψχχχ

2)

− )1()2()2()1( baba ψψψψ )2()1( ++ χχ

3)

− )1()2()2()1( baba ψψψψ )2()1( −− χχ

สรปแลว “ฟงกชนคล�นรวมของอะตอมฮเลยมจะมลกษณะเปนปฏสมมาตร” (เพราะเกดจากสมมาตรคณกบปฏสมมาตร) จากขอสรปนZ เอง นกฟสกสชาวสวสช�อ เพาล (Wolfgang Pauli)

Wolfgang Pauli

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

63

ไดนาไปตZงเปนหลกการเรยกวา หลกกดกนของเพาล (Pauli’s exclusion principle) มใจความวา “ใน

อะตอมหน�งจะตองไมมอเลกตรอน 2 อเลกตรอนท�มชดของเลขควอนตม (n, l, m1, ms) ซBากนครบทBง 4

คา” จากหลกกดกนเพาลแสดงวา ท� n, l, m1, และ ms หน�งกคอสถานะหน�งแตพอ n หรอ l หรอ m1 หรอ ms เปล�ยนไปเพยงคาใดคาหน�งสถานะกจะเปล�ยนไป ดงนZนอเลกตรอนหน�งๆ จะบรรจอยไดเพยง 1 สถานะ และทกอเลกตรอนจะตองอยในสถานะท�ตางกนแสดงวาในออรบทลหน�งซ� งมเลขควอนตม n, l, และ m1 เพยง 1 คา กจะมคา ms ได 2 คา น�นหมายความวาในออรบทลหน�งๆ สามารถมได 2 สถานะ จงสามารถบรรจอเลกตรอนอยไดอยางมาก 2 อเลกตรอน

บทสรป

การอธบายพฤตกรรมของระบบจลทรรศนดวยฟสกสแผนเดมประสบความลมเหลว จงเกดทฤษฎควอนตม ท�มองลกษณะของคล�นแมเหลกไฟฟา เปนระบบท�ไมตอเน�อง เรยกวา ควอนตม ได

ความสมพนธ ท�สาคญ คอ E = hν สามารถใชอธบายปรากฏการณบางอยางไดเปนอยางด เชน การแผรงสของวตถสดา ปรากฏการณโฟโตอเลกทรก ตอมาไดมการนาเอาทฤษฏควอนตมรวมกบทฤษฎคล�นแมเหลกไฟฟาของแมกซเวลล เกดแนวคดใหม เรยกวา กลศาสตรคล�น ซ� งมสมการสาคญ คอ สมการของชเรอดงเงอร ท�นามาใชอธบายพฤตกรรมของระบบจลทรรศนไดเปนอยางดในปจจบน

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

64

แบบฝกหด 1. โลหะชนดหน�งมคาฟงกชนงาน 1.5 × 10-19 J ถาฉายรงสชนดหน�งมความถ� 1 × 1015 s-1 ไปยงโลหะ ชนดนZจะเกดปรากฏการณโฟโตอเลกทรก หรอไม ถาเกดความเรวมากท�สดของโฟโตอเลกตรอน เปนเทาใด 2. จงหารศมอะตอมไฮโดรเจนความเรวของอเลกตรอนท�ระดบพลงงานท� 2 3. จงหาความยาวคล�นสสารของโปรตอน ท�มพลงงานจลน 2.5 kJ. 4. จงอนพทธไปสสมการ

( )( )xpx ∆∆ ≥ 2h

เปน

( )( )tE ∆∆ ≥ 2h

5. จากสมการชเรอดงเงอรท�ไมขZนกบเวลา

ψ2∇ + ψU)(Em22 −

h = 0

จงแสดงวา โมเมนตมเชงเสนในกลศาสตรควอนตมเปนตวดาเนนการโดย

p = ∇− hi

6. จงหาความไมแนนอนโมเมนตมของอเลกตรอนในกลองศกย 1 มต มความกวาง 10-10 เมตร 7. จากสมการ

Θ+−

∂Θ∂

∂∂

−Θ )11(1sinrsin

1

sin

m2

2

θθ

θθ = 0

ถาให x = θsin จงอนพทธใหเปนสมการเลอจองดสมทบ คอ

(1-x2)y” – 2xy + yx1

m)11(1 2

2

−−+ = 0

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

65

8. จงอธบายความหมายคาตางๆ ตอไปนZ ก. ออรบทลเชงอะตอม ข. สปน ค. หลกกดกนเพาล ง. ฟงกชนสมมาตร จ. คล�นสสาร ฉ. Parahelium

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร