"La PROBABILIDAD de un evento es el GRADO de CERTEZA que tengo de

que el evento ocurra".

Fundación Universitaria Juan de Castellanos

DEFINICIONES BASICAS

� Experimento. Cualquier acción cuyo resultado se registra como un dato.

� Espacio Muestral ( S ). El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento.

� Ejemplo. Supongamos el lanzar un dado al aire y observaremos los resultados siguientes:

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } S = { 6 }� Ejemplo. En el lanzamiento de dos monedas tenemos;

S = { HH, HT, TH, TT } S = { 4 }

Espacios muestrales discretos: Son espacios muestrales cuyoselementos resultan de hacer conteos, y por lo general sonsubconjuntos de los números enteros.

Espacios muestrales continuos: Son espacios muestralescuyos elementos resultan de hacer mediciones, y por logeneral son intervalos en la recta Real.

� Evento. Es el resultado de un experimento. Cuando cada evento esseleccionado al azar, el experimento se denomina aleatorio o al azar.

� Evento Simple ( E ). Cada uno de los posibles resultados de unexperimento y que no se puede descomponer. En el caso del lanzamientodel dado, cada uno de los posibles números en la cara del dado es unevento simple.

� Evento Compuesto. Los eventos A, B, C, son eventos compuestos si secomponen de dos o más eventos simples.

� Evento simple: Lanzamiento de un dado

� A = { evento que salga un # impar } = { 1, 3, 5 }

� B = { el número sea ≤ 4 } = { 1, 2, 3, 4 }

� Evento Compuesto: Lanzamiento de dos monedas

� A = el evento de observar una cara

� A = {CC, CS, SC, SS}

Fenómenos Aleatorios y Fenómenos Deterministicos.

Fenómeno Aleatorio.

Es un fenómeno del que no se sabe que es lo que va a ocurrir, están relacionados con el azar o probabilidad.

Fenómeno Determinista.

Es el fenómeno en el cual de antemano se sabe cual será el resultado.

Definiciones de ProbabilidadLa probabilidad se encarga de evaluar todas aquellas actividades en

donde se tiene incertidumbre acerca de los resultados que sepueden esperar, esto quiere decir que la probabilidad estápresente en casi en todas las actividades que se pretendarealizar, ejemplos:

-Cualquier proyecto de Ingeniería o de otras áreas

-Competencias deportivas

-Juegos de azar.

La Teoría de la Probabilidad constituye la base o fundamento de laEstadística, ya que las mediaciones que hagamos sobre lapoblación o poblaciones en estudio se moverán dentro de unosmárgenes de error controlado, el cual será medido en términosde probabilidad.

Tipos de Probabilidad

Métodos de asignar Probabilidades

Método Axiomático: La Probabilidad es consideradacomo una función de valor real definida sobre unacolección de eventos de un espacio muestral S quesatisface los siguientes axiomas:

1.2. Si A es un evento de S entonces .3. Si, es una colección de eventos disjuntos (porpares) entonces . Esta es llamada el axioma deaditividad contable. Asumiendo que sesigue del axioma 3 que , ésta es llamada lapropiedad de aditividad finita.

1SP

METODO CLÁSICO DE PROBABILIDAD

PROPIEDADESPROPIEDAD 1 0 ≤P(A) ≤ 1

1)(0#

#

#

#

#

0 AP

SS

SA

SComo 0 ≤ #A ≤ # S

0)(#

0

#

#

PSS

PROPIEDAD 2

Como # = 0

P( )= 0

PROPIEDAD 3 P(S) =1

1#

#

SS

Ya que P(S ) =

12

PROPIEDAD 4 P (AB) = P(A) + P(B), si AB =

)()(#

#

#

#

#

##

#

)(#)( BPAP

SB

SA

SBA

SBABAP

Si AB =, entonces #(AB) = #A + #B.

PROPIEDAD 5 P (AB) = P(A) + P(B)- P(AB) si AB ≠

)()()()(

#

)(#

#

#

#

#

#

)(###

#

)(#)(

BAPBPAPBAP

SBA

SB

SA

SBABA

SAUBBAP

PROPIEDAD 6 P( ) = 1 - P(A)A

)(1#

#

#

#

#

##

#

)(#)( AP

SA

SS

SAS

SAAP

AA�

AB

A

B

Método Frecuencial Si un experimento se repiten veces y n(A) de esas veces ocurre el evento A, entonces la frecuencia relativa de A se define por .Se puede notar que:a)b)c) Si A y B son eventos disjuntos entonces Es decir satisface los axiomas de

probabilidad.

nAnf A

)(

1Sf0Af

BABA fff

Método Subjetivo Algunas personas de acuerdoa su propio criterio generalmente basado ensu experiencia, asignan probabilidades aeventos, éstas son llamadas probabilidadessubjetivas. Por ejemplo:

� La Probabilidad de que llueva mañana es 40%.

� La Probabilidad de que haya un terremoto enPuerto Rico antes del 2000 es casi cero.

� La Probabilidad de que el caballo Camionero ganeel clásico del domingo es 75%.

Probabilidad Condicional Sean A y B dos eventos de un mismo espacio muestral S. La probabilidad condicional de A dado que B ha ocurrido esta dado por:

�Regla del Producto

�Probabilidad Total y Regla de Bayes

)(

)()/(

BPBAPBAP

)/()()( ABPAPBAP

P(B)

Ai) P(B B)|P(Ai

Ejercicios

Al lanzar dos dados simultáneamente, ¿cual es la probabilidad de que salga Doble 1? Respuesta : Denotemos por "13" el caso en que el primer dado cae con "1" y el segundo con "3", mientras que "31" es el caso en que el primer dado cae con "3" y el segundo con "1". El primer dado puede tomar seis valores ("1" a "6"). Para cada uno de estos, el segundo dado puede tomar otros seis (también "1" a "6"). Por lo que hay 6 veces 6 = 36 casos totales. Podemos enumerarlos si requerimos mayor claridad:

� Casos Totales =

"11","12"13,"14","15","16", = 36 casos

"21","22"23,"24","25","26",

"31","32"33,"34","35","36",

"41","42"43,"44","45","46",

"51","52"53,"54","55","56",

"61","62"63,"64","65","66"

� Casos Favorables = Evento "11" = 1 casoLa probabilidad buscada es pues 1/36 = 0.28

Al lanzar dos dados simultáneamente, ¿cual es la probabilidad de que salga un doble? Respuesta : Casos Totales = "11","12"13,...,"65","66",= 36 casos Casos Favorables = Eventos "11","22","33","44","55",66" = 6 casos

La probabilidad buscada es pues 6/36 = 1/6 = 0.17

EJEM

PLO

1

18

sexo edad

B.R H 18

C.C M 19

C.G H 19

G.P M 20

M.P M 21

J.L H 20

L.A. M 21

N.D M 21

V.C H 22

V.F. H 19

L.L. H 18

J.N. M 21

J.P. M 21

U.P M 18

SucesosA = ser hombre (H)B = edad 20

A Ac

B

Bc

Probabilidades

P(A) =

4

62

2

6/14 = 0.43

P(B) = 6/14 = 0.43

P(A B) = 4/14 = 0.29

P(A B) =

6/14 + 6/14 - 4/14 = 0.43+ 0.43 - 0.29 = 0.57

P(AB) = 4/6 = 0.67

P(A) + P(B) - P(A B) EJEM

PLO

2

19

� P(H|F) = P(F ∩ H)/P(F)

= P(F|H) P(H) / P(F)

= 0x2 x 0,3 / 0,13

= 0,46 = 46%

Mujeres Varones

fumadores

Ejemplo: En este aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%.

T. Prob. Total.Hombres y mujeres formanUn Sist. Exh. Excl.De sucesos

T. Bayes

¿Qué porcentaje de fumadores hay en total?

P(F) = P(F∩H) + P(F∩M)

= P(F|H) P(H) + P(F|M) P(M)

=0,2 x 0,3 + 0,1 x 0,7

= 0,13 =13%

¿Se elije a un individuo al azar y resultafumador. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre?

EJEM

PLO

3

Tema 4: Probabilidad 20 Dpto. de Estadística - UNCo

Expresión del problema en forma de árbol

Estudiante

Mujer

No fuma

Hombre

Fuma

No fuma

Fuma

0,7

0,1

0,20,3

0,8

0,9

P(F) = 0,7 x 0,1 + 0,3x0,2

P(H | F) = 0,3x0,2/P(F)

�Los caminos a través de nodos representan intersecciones.

�Las bifurcaciones representan uniones disjuntas.

Tema 4: Probabilidad 21 Dpto. de Estadística - UNCo

Teorema de Bayes

A1 A2

A3 A4

B

Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces�

�si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada Ai.

P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total:

P(B)=P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 )

=P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + �

P(B)

Ai) P(B B)|P(Ai

22

Ejemplo: Pruebas diagnósticas

Las pruebas o tests de diagnóstico se evalúan con anterioridad sobre dos grupos de individuos: sanos y enfermos. De modo frecuentistase estima:

� Sensibilidad (verdaderos +) = Tasa de acierto sobre enfermos.� Especificidad (verdaderos -) = Tasa de acierto sobre sanos.

A partir de lo anterior y usando el teorema de Bayes, podemos calcular las probabilidades a posteriori (en función de los resultados del test)

de los llamados índices predictivos:

� P(Enfermo | Test +) = Índice predictivo positivo� P(Sano | Test -) = Índice predictivo negativo EJ

EMPL

O 4

23

La diabetes afecta al 20% de los individuos que acuden a una consulta. La presencia de glucosuria se usa como indicador de diabetes. Su sensibilidad (la tasa de aciertos sobre enfermos) es de 0,3 y la especificidad (tasa de aciertos sobre sanos) de 0,99. Calcular los índices predictivos (P(Enfermo | Test +) = Índice predictivo positivo y

P(Sano | Test -) = Índice predictivo negativo).

Individuo

Enfermo

Sano

T-

T+

T-

T+

0,3

1 - 0,99 = 0,01

1 - 0,3 = 0,7

0,99

0,2

1 - 0,2 = 0,8

24

)(

)()|(

TPTEnfPTEnfP

Los índices predictivos son: la probabilidad de que, sabiendo que

el test sea positivo, el paciente sea diabético y la probabilidad de

que, sabiendo que el test es negativo, el paciente está sano.

Individuo

Enfermo

Sano

T-

T+

T-

T+

0,3

0,01

0,7

0,99

0,2

0,8

06,03,02,0)( TEnfP068,001,08,03,02,0)( TP

88,0068,0

06,0

25

Individuo

Enfermo

Sano

T-

T+

T-

T+

0,3

0,01

0,7

0,99

0,2

0,8

85,07,02,099,08,0

99,08,0

)(

)()|(

TPTSanoPTSanoP

Ejemplo.-En una pequeña empresa de tejidos se obtiene

su producción con tres máquinas hiladoras M1,M2 y M3 que producen respectivamente 50%,30% y el 20% del número total de artículosproducidos.

Los porcentajes de productos defectuososproducidos por estas máquinas son 3%, 4% y5%. Supóngase que se selecciona un artículoal azar y resulta ser defectuoso. ¿Cuál seríala probabilidad de que el artículo haya sidoproducido por la máquina M1?

EJEM

PLO

5

PROBABILIDAD

Sea D: Que el artículo sea defectuosoND: Que el artículo no sea defectuosoM1: Que haya sido producido por la máquina 1M2: Que haya sido producido por la máquina 2M3: Que haya sido producido por la máquina 3

P(M1) = .50 P(D/M1) = .03P(M2) = .30 P(D/M2) = .04P(M3) = .20 P(D/M3) = .05

M1

M2

M3D

ND

D

ND

D

NDP(M1)=.50

P(M2)=.30

P(M3)=.20

P(D/M1)=.03

P(ND/M1)=.97

P(D/M2)=.04

P(D/M3)=.05

P(ND/M2)=.96

P(ND/M3)=.95

P(M1)*P(D/M1)=.5*.03=.015

P(M2)*P(D/M2)=.3*.04=.012

P(M1)*P(D/M1)=.2*.05=.01

P(D) = .015+.012+.01=.037

PROBABILIDAD

Por teorema de Bayes se tiene:

La probabilidad de que el artículo defectuoso se haya producido en la M1 es del 40.54%

4054.037.

)03)(.50(.

)(

)/()(

)/()()/()()/()(

)/()()/(

11

332211

111

DPMDPMP

MDPMPMDPMPMDPMPMDPMP

DMP

30

Espacio restringido

NegroColor

Palo Rojo Total

As 2 2 4No-As 24 24 48Total 26 26 52

¿Cuál es la probabilidad de que una carta escogida al azar sea un as sabiendo que es roja?

262

52/2652/2

)()(

)|(

RojoPRojoAsPRojoAsP

EJEM

PLO

6

Un ladrón, al huir de un policía, puede hacerlo por las calles A, B o C, con probabilidadesp(A)=0,25 , p(B)=0,6 y p(C)=0,15 respectivamente. La probabilidad de ser alcanzado por la calle es0,4 , si huye por la calle B es 0,5 y si huye por la calle C es 0,6.

Calcule la probabilidad de que la policía alcance al ladrónSi el ladrón ha sido alcanzado, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido en la calle A?

Infografía

� http://math.uprm.edu/~edgar� http://www.d16acbl.org/U173/Brmx_prob2.ht

ml� http://ciberconta.unizar.es/LECCION/probabil/I

NICIO.HTML� http://www.terra.es/personal2/jpb00000/ppro

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etype:ppt+probabilidad&start=10&sa=N