libËr mËsuesi matematika 12 - mediaprint.al · libër mësuesi matematika 12 3 përmbajtja si...

LIBËR MËSUESI

MATEMATIKA 12

Libër mësuesi Matematika 12 2

Titulli: Libër mësuesi Matematika 12 Autore: Drejtoi botimin: Redaktore: Design: Kopertina: Shtëpia Botuese Mediaprint ISBN:


Përmbajtja Si është ndërtuar libri i mësuesit 1. Rezultatet kryesore të të nxënit sipas kompetencave kyçe 4

2. Planifikimi vjetor i lëndës Matematika 12 10

3. Tremujori i parë (Shtator-Nëntor) 16

4. Tremujori i dytë (Dhjetor-Shkurt) 22

5. Tremujori i tretë (Mars-Maj) 29

6. Planifikimi vjetor i lëndës Matematika me zgjedhje 12 35

7. Tremujori i parë (Shtator- Nëntor) 43

8. Tremujori i dytë (Dhjetor-Shkurt) 52

9. Tremujori i tretë (Mars-Maj) 62

10. Planifikimi i orëve mësimore 72

11. Teste për secilin tremujor 174

12. Projekt

13. Përgjigjet e ushtrimeve të librit të nxënësit Matematika 12 188

Shënim Përgjigjet e pyetjeve të librit të nxënësit Matematika me zgjedhje 12 i gjeni ne web: www.mediaprint.al ose http://mediaprint.al/libridigjital

http://www.mediaprint.al/

http://mediaprint.al/libridigjital


MATEMATIKA 12 Kompetenca e komunikimit dhe e të shprehurit Nxënësi komunikon në mënyrë efektive. Shpreh para një audience të caktuar, çështjet thelbësore të ngritura në një interpretim për një temë të caktuar, përmes së paku një forme komunikimi (gjuhës, simboleve, shenjave, kodeve, etj.). Prezanton një temë të caktuar nga matematika, shkenca, nga jeta e përditshme dhe në mënyrë efektive komunikon me audiencën, duke përdorur TIK-un dhe mediet e tjera të shkruara dhe elektronike. Kompetenca e të menduarit Nxënësi mendon në mënyrë krijuese. Interpreton dhe prezanton ecurinë e zgjidhjes së një problemi në klasë apo jashtë saj, duke e vërtetuar zgjidhjen e problemit përmes metodës së analizës. Analizon, në mënyrë të pavarur, informacionet e marra nga burimet e ndryshme për një temë ose detyrë të dhënë dhe vlerëson cilësinë e tyre. Gjykon rezultatet e arritura, nga analiza e të dhënave të një projekti të realizuar dhe i interpreton ato me gjuhën e matematikës dhe të fushës përkatëse, i paraqet grafikisht, në formë tabelore, duke nxjerrë përfundime të vërtetuara. Përpunon në mënyrë kritike, informacionet e mbledhura nga burime të ndryshme për ndonjë temë të ndjeshme në shoqëri, formon qëndrim kritik dhe e paraqet atë gjatë një debati me moshataret dhe me të tjerët për çështjen e ngritur, “pro” ose “kundër”. Kompetenca e të nxënit Nxënësi mëson për të nxënë. Diskuton në grup për mënyrat e bashkëpunimit me të tjerët për të zgjidhur një situatë të re mësimore, një problem nga jeta e përditshme. Bën përpunimin e informacioneve për një temë të caktuar në mënyrë të pavarur dhe efektive, rezultatet e punës i prezanton me shkrim ose me gojë para të tjerëve, duke dhënë shpjegime për mënyrën e zgjedhjes dhe të shfrytëzimit të burimeve të informacionit. Paraqet një plan studimi (në formë skice, vizatimi, etj.) për ndonjë çështje të caktuar (p.sh., vlerat kulturore të rajonit të vet, vlerat e edukimit në shoqëri etj.) duke respektuar të gjithë hapat e planit të studimit dhe e paraqet para të tjerëve. Përzgjedh punimet kryesore të dosjes së vet për të shpjeguar para një audience të caktuar strategjitë që ka zbatuar për të ndjekur avancimin e vet dhe masat e zbatuara për të përmirësuar përparimin në mënyrë të vazhdueshme. Kompetenca për jetën, sipërmarrjen dhe mjedisin Nxënësi kontribuon në mënyrë produktive. Ndërmerr iniciative në aktivitete të ndryshme me interes për lëndën/fushën mësimore, për klasën, për shkollën dhe për mjedisin ku jeton, si dhe tregohet i përgjegjshëm në plotësimin e detyrave, përmbushjen e detyrimeve dhe respektimin e afateve, referuar projektit apo planit.


Përdor aftësitë digjitale për llogaritjen, analizën, interpretimin dhe paraqitjen e të dhënave me informacione të nevojshme (p.sh., të një mjedisi të biznesit), duke renditur të dhënat sipas nevojave dhe prioriteteve të ndërmarrjes ose organizatës. Kompetenca personale Nxënësi bën jetë të shëndetshme. Demonstron vetëbesim dhe shkathtësi personale e ndërpersonale në jetën e përditshme, duke dalluar aspektet pozitive për veten dhe duke ndërmarrë veprime konkrete për arritjen e rezultateve të synuara personale. Kompetenca qytetare Nxënësi përkushtohet ndaj të mirës së përbashkët. Ilustron me shembuj, zgjidhjen e problemeve të caktuara në nivel shkolle ose në nivel komuniteti, si dhe e arsyeton atë me argumente para një audience të caktuar (p.sh., demonstron mënyrën e ofrimit të ndihmës së parë në rastet e fatkeqësive natyrore ose njerëzore). Kompetenca digjitale Nxënësi përdor teknologjinë për të nxitur inovacionin. Prezanton një projekt, duke përdorur sekuenca animimesh, videosh, figurash për demonstrimin e temave mësimore. Përdor sistemet e duhura kompjuterike (hardware, software, networks dhe softet) si:Word Processing, Database, Power-Point, Publisher, Internet Explorer për përdorimin e TIK-ut në situata të ndryshme të të nxënit (ndërtimin e tabelave, grafikëve, diagrameve, vizatimin e një plani etj);


ARRITJET SIPAS TEMATIKËS

1. Shprehjet algjebrike Shumëzimi dhe pjesëtimi me fuqi të plota. Hapja e një kllape kur ajo shumëzohet me një kufizë të vetme dhe grupimi i kufizave të

ngjashme. Hapja e prodhimit të dy ose tri shprehjeve. Faktorizimi i shprehjeve lineare, shprehjeve kuadratike dhe shprehjeve kubike të thjeshta. Njohja dhe përdorimi rregullave të fuqive. Thjeshtimi dhe përdorimi i rregullave të numrave irracionalë. Kthimi në racionalë të emëruesve.

2. Funksionet kuadratike Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike me anë të faktorizimit, të formulave kuadratike dhe të

plotësimit të një katrori të plotë.

Leximi dhe përdorimi i shënimit ( )f x kur punon me funksione.

Vizatimi i grafikut dhe gjetja e kulmit të një funksioni kuadratik. Gjetja dhe interpretimi i dallorit në një shprehje kuadratike.

3. Ekuacione dhe inekuacione Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare me anë të eliminimit dhe zëvendësimit. Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve një linear dhe një kuadratik. Interpretimi grafikisht i zgjidhjeve algjebrike të ekuacioneve. Zgjidhja e inekuacione lineare. Zgjidhja e inekuacione kuadratike. Interpretimi grafikisht i inekuacioneve. Paraqitja grafikisht e inekuacioneve lineare dhe kuadratike.

4. Grafikë dhe transformime Skicime të grafikëve të funksionit kubik. Skicime të grafikëve të funksionit të fuqisë së katërt.

Skicime të grafikëve të funksioneve thyesorë të formës ayx

= dhe 2

ayx

= .

Përdorimi i pikëprerjeve të grafikëve për të zgjidhur ekuacionet. Zhvendosja e grafikëve. Zgjatja e grafikëve. Transformimi i grafikëve të funksioneve jo të zakonshme.


5. Grafikë drejtvizorë Llogaritja e koeficientit këndor të një drejtëze që kalon nëpër dy pika. Kuptimi i lidhjes midis ekuacionit të një drejtëze dhe koeficientit këndor dhe pikëprerjeve të

drejtëzës me boshtet koordinative. Gjetja e ekuacionit të një drejtëze të dhënë kur jepen (i) koeficienti këndor dhe një pikë e

drejtëzës (ii) dy pika të drejtëzës. Gjetja e pikës së prerjes për një çift drejtëzash. Njohja dhe përdorimi i rregullave për koeficientin këndor të drejtëzave pingule dhe paralele. Zgjidhja e problemave për gjetjen e gjatësisë dhe syprinës në rrjetin koordinativ.

6. Rrathë Gjetja e pikës së mesit të një segmenti drejtvizor. Gjetja e ekuacionit të përmesores së një segmenti drejtvizor. Gjetja e ekuacionit të një rrethi. Gjetja e pikave të prerjes së një çifti drejtëzash. Zgjidhja e problemave të gjeometrisë që përfshijnë drejtëza dhe rrathë. Përdorimi i vetive të rrethit për të zgjidhur problema në rrjetin koordinativ. Gjetja e këndit rrethor që mbështetet në gjysmërreth dhe zgjidhja e problemave të tjera që

përfshijnë rrathë dhe trekëndësha.

7. Metodat algjebrike Eliminimi i faktorëve nga thyesat algjebrike. Pjesëtimi i një polinomi me një shprehje lineare. Përdorimi i teoremës së faktorizimit në një shprehje kubike. Kryerja e vërtetimeve matematikore me anë të algjebrës. Përdorimi i metodës së përjashtimit dhe metodës së kundërshembullit gjatë vërtetimeve.

8. Zbërthimi binomial Përdorimi i trekëndëshit të Paskalit për të gjetur koeficientet binomiale dhe përdorimi i tyre

për zbërthimin e shprehjeve të thjeshta binomiale. Përdorimi i kombinacioneve dhe shënimit të faktorialit. Përdorimi i zbërthimeve binomiale për hapjen e kllapave. Gjetja e çdo koeficienti në një zbërthim binomial. Përafrime me anë të shprehjeve binomiale.

9. Raporte trigonometrike Përdorimi i teoremës së kosinusit për gjetjen e brinjës apo këndit të panjohur. Përdorimi i teoremës së sinusit për gjetjen e brinjës apo këndit të panjohur. Njehsimi i syprinës së trekëndëshit duke përdorur një formulë të përshtatshme.


Zgjidhja e problemave që kanë të bëjnë me trekëndësha. Skicimi i grafikut të funksionit sinus, kosinus dhe tangjent. Skicimi i transformimeve të thjeshta të këtyre grafikëve.

10. Identitete dhe ekuacione trigonometrike Llogaritja e sinusit, kosinusit dhe tangentit të çdo këndi. Njohja e raporteve të sakta trigonometrike për këndet 30°, 45° dhe 60°

Njohja dhe përdorimi i formulave sintancos

θθθ

= dhe 2 2sin cos 1θ θ+ =

Zgjidhja e ekuacioneve të thjeshta trigonometrike të trajtës sin kθ = , cos kθ = dhe tan kθ =

Zgjidhja e ekuacioneve të thjeshta trigonometrike të trajtës sin n kθ = , ( )sin kθ α± = dhe ekuacione analoge për kosinusin dhe tangentin.

Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike që përftojnë ekuacione kuadratike.

11. Vektorë Përdorimi i vektorëve me dy koordinata. Përdorimi i vektorëve shtyllë dhe kryerja e veprimeve aritmetike me vektorët. Llogaritja e gjatësisë dhe drejtimit të një vektori. Kuptimi dhe përdorimi i rreze vektorëve. Përdorimi i vektorëve për zgjidhjen e problemave të gjeometrisë. Përdorimi i vektorëve në llogaritjen e distancave dhe shpejtësisë. Përdorimi i vektorëve për të zgjidhur problema sipas kontekstit të dhënë.

12. Derivati

Gjetja e derivatit, ( )'f x ose dydx

, e një funksioni të thjeshtë.

Përdorimi i derivatit për zgjidhjen e problemave me koeficient këndor, tangjente dhe pingule. Përcaktimi i funksioneve rritëse dhe funksioneve zbritëse.

Gjetja e derivatit të rendit të dytë, ( )"f x ose 2

2

d ydx

një funksioni të thjeshtë.

Gjetja e pikave stacionare të një funksioni dhe përcaktimi i llojit të tyre. Vizatimi i skicës së funksionit të koeficientit këndor të një funksioni të dhënë.

13. Integrali

Gjetja e y kur është dhënë dydx

për x-n.

Integrimi i polinomeve.

Gjetja e ( )f x , kur është dhënë ( )'f x dhe një pikë në vijë.

Vlerësimi i një integrali të caktuar.


Gjetja e syprinës së zonës që kufizohet nga një vijë dhe boshti x. Gjetja e syprinës së zonës që kufizohet nga vija dhe drejtëza.

14. Funksioni eksponencial dhe logaritmik Skicimi i grafikëve të trajtës xy a= , xy e= , dhe transformimet e këtyre grafikëve.

Derivimi i eksponencialit dhe të kuptuarit e rëndësisë së këtij veprimi. Përdorimi dhe interpretimi i modeleve që përdorin funksione eksponenciale. Njohja e lidhjes ndërmjet eksponencialit dhe logaritmit. Mësimi dhe zbatimi i vetive të logaritmit. Zgjidhja e ekuacioneve të trajtës xa b= Përshkrimi dhe përdorimi i funksionit logaritëm natyror.

15. Statistika dhe probabiliteti Kuptimi se ç’është një ‘popullim’, një ‘zgjedhje’ dhe një ‘regjistrim’ si dhe dallimi i

përparësive dhe mangësive të secilit. Përcaktimi i të dhënave cilësore, sasiore, diskrete dhe të vazhdueshme, si dhe grupimi i tyre. Njehsimi i treguesve të pozicionit si mesatarja, mesorja dhe moda. Vizatimi dhe interpretimi i histogramave. Interpretimi i korrelacionit dhe kuptimi se ai nuk sjell lidhje shkakësore domosdoshmërish. Kuptimi i ngjarjeve të papajtueshme dhe ngjarjeve të pavarura, si dhe përcaktimi nëse dy

ngjarje janë të pavarura. Kuptimi dhe përdorimi i shpërndarjeve probabilitare diskrete të thjeshta duke përfshirë

shpërndarjen e njëtrajtshme diskrete.


Planifikimi vjetor i lëndës Matematika 12

Nr Shtator-Nëntor Dhjetor-Shkurt Mars-Maj

Kap

itulli

1

Shpr

ehje

t alg

jebr

ike

(6 o

rë)

1 1.1 Rregullat e fuqive 2 1.2 Faktorizimi

3 1.3 Fuqitë me eksponent negative dhe thyesor

4 1.4 Numrat irracional 5 1.5 Racionalizmi i emëruesve 6 Ushtrime për përpunim të njohurive

Kap

itulli

2

Funk

sion

e ku

adra

tike

(6 o

rë)

7 2.1 Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike 8 2.2 Plotësimi i katrorit 9 2.3 Funksionet 10 2.4 Grafikët e funksioneve kuadratike 11 2.5 Dallori 12 Ushtrime për përpunim të njohurive

Kap

itulli

3

Ekua

cion

e dh

e in

ekua

cion

e (8

orë

)

13 3.1 Sistemet e ekuacioneve lineare

14 3.2 Sistemet e ekuacioneve kuadratike

15 3.3 Zgjidhja grafike e sistemeve të ekuacioneve

16 3.4 Inekuacionet lineare 17 3.5 Inekuacionet kuadratike 18 3.6 Zgjidhja grafike e inekuacioneve

19 3.7 Zgjidhja grafike e sistemeve të inekuacioneve

20 Ushtrime për përpunim të njohurive


Kap

itulli

4

Gra

fikë

dhe

tran

sfor

mim

e (8

orë

)

21 4.1 Grafikë të funksioneve kubikë

22 4.2 Grafikë të funksioneve të fuqisë së katërt

23 4.3 Grafikë të funksioneve thyesorë

24 4.4 Pikat e prerjes së grafikëve

25 4.5 Zhvendosje grafikësh

26 4.6 Zgjatje grafikësh

27 4.7 Transformime funksionesh


Kap

itulli

5 G

rafi

kë

drej

tviz

orë

(6 o

rë)

29 5.1 Ekuacioni më i thjeshtë i drejtëzës


31 5.2 Ekuacionet e drejtëzës


33 5.3 Drejtëza paralele dhe pingule

34 5.4 Distanca midis dy pikave në planin koordinativ

35 Përsëritje: Kapitulli 1- 2

36 Përsëritje: Kapitulli 3-4

37 Përsëritje: Kapitulli 5

38 Projekt: Ndërtimi në letër të milimetruar i grafikëve të funksioneve të fuqisë së katërt



41 Vlerësim përmbledhës


Kap

itulli

6

Rra

thë

(6 o

rë)

1 6.1 Pika e mesit

2 6.2 Ekuacioni i rrethit

3 6.3 Pikëprerjet e drejtëzave me rrathë

4 6.4 Përdorimi i vetive të tangjentes dhe të kordës

5 6.5 Rrathë dhe trekëndësha


Kre

u 7

Met

odat

alg

jebr

ike

(6or

ë)

7 7.1 Thyesat algjebrike

8 7.2 Pjesëtimi i polinomeve

9 7.3 Teorema e faktorëve

10 7.4 Vërtetimi matematik

11 7.5 Metoda vërtetimi


Kap

itulli

8

Zbër

thim

i bi

nom

ial

(7 o

rë)

13 8.1 Trekëndëshi i Paskalit

14 8.2 Shënimi faktorial

15 8.3 Zbërthimi binomial


Kap

itulli

9

Rap

orte

tr

igon

omet

rike

(5

orë

)

17 9.1 Teorema e kosinusit

18 9.2 Teorema e sinusit

19 9.3 Syprina e trekëndëshave

20 9.4 Grafikët e sinusit, kosinusit dhe tangjentit



Kap

itulli

10

Iden

titet

e dh

e ek

uaci

one

trig

onom

etri

ke

(6 o

rë)

22 10.1 Këndet në të katër kuadratet 23

10.2 Vlerat e sakta të raporteve trigonometrike

24 10.3 Identitete trigonometrike 25

10.4 Ekuacione të thjeshta trigonometrike

26 10.5 Ekuacione dhe identitete 27 Ushtrime për përpunim të njohurive

Kap

itulli

11

Vek

torë

(6

orë

)

28 11.1 Vektorë 29

11.2 Paraqitja e vektorëve me koordinata

30 11.3 Gjatësia dhe drejtimi i vektorit 31 11.4 Rreze vektorët 32

11.5 Zgjidhja e problemave të gjeometrisë


34 Përsëritje: Kapitulli 6- 7



37 Projekt

38 Projekt

39 Projekt


Kap

itulli

12

Der

ivat

i (1

1 or

ë)

1 12.1 Koeficientet këndore të vijave të lakuara

2 12.2 Gjetja e derivatit 3 12.3 Derivati i xn

4 12.4 Derivimi i funksioneve kuadratike

5 12.5 Derivimi i funksioneve me dy ose me shumë kufiza


6 12.6 Koeficientet këndore, tangjentet dhe pingulet

7 12.7 Funksionet rritëse dhe funksionet zbritëse

8 12.8 Derivati i rendit të dytë 9 12.9 Pikat stacionare

10 12.10 Grafiku i funksionit të koeficientit këndor


Kap

itulli

13

(8 o

rë)

12 13.1 Integrali xn 13 13.2 Integralet e pacaktuara 14 13.3 Gjetja e funksioneve 15 13.4 Integrali i caktuar 16 13.5 Sipërfaqet e kufizuara nga vijat 17 13.6 Syprinat e zonave nën boshtin x

18 13.7 Syprinat e zonave midis vijave dhe drejtëzave


Kap

itulli

14

Eksp

onen

cial

i dhe

lo

gari

tmi

(7 o

rë)

20 14.1 Funksione eksponenciale 21 14.2 y=ex 22 14.3 Logaritmi 23 14.4 Vetitë e logaritmeve

24 14.5 Zgjidhja e ekuacioneve me anë të logaritmeve

25 14.6 Veprime me logaritmin natyror 26 Ushtrime për përpunim të njohurive

27 15.1 Zgjedhja 28 15.2 Llojet e të dhënave 30 15.3 Treguesit e pozicionit të qendrës 31 15.4 Treguesit e tjerë të pozicionit


Stat

istik

a dh

e pr

obab

ilite

ti (1

0 or

ë)

32 15.5 Treguesit e shpërhapjes 33 15.6 Histogramat 34 15.7 Korrelacioni 35 15.8 Regresi linear

36 15.9 Ngjarjet e papajtueshme me njëra-tjetrën dhe ngjarjet e pavarura

37 15.10 Shpërndarjet probabilitare

38 Përsëritje: Kapitulli 12 39 Përsëritje: Kapitulli 13 40 Përsëritje: Kapitulli 14-15 41 Projekt 42 Projekt 43 Projekt 44 Vlerësim përmbledhës

1 Përsëritje për maturën shtetërore 2 Përsëritje për maturën shtetërore 3 Përsëritje për maturën shtetërore 4 Përsëritje për maturën shtetërore 5 Përsëritje për maturën shtetërore 6 Përsëritje për maturën shtetërore 7 Përsëritje për maturën shtetërore 8 Përsëritje për maturën shtetërore 9 Përsëritje për maturën shtetërore 10 Përsëritje për maturën shtetërore 11 Përsëritje për maturën shtetërore 12 Përsëritje për maturën shtetërore 13 Përsëritje për maturën shtetërore 14 Përsëritje për maturën shtetërore 15 Përsëritje për maturën shtetërore


Planifikimi tremujor i lëndës Tremujori i parë Shtator-Nëntor

34 orë njohuri të reja dhe përpunim njohurish +4 orë përsëritje +3 orë projekt +1orë vlerësim përgjithësues

Nr Tematika Temat mësimore Situata e parashikuar e të nxënit

Metodologjia dhe veprimtaritë e

nxënësve Vlerësimi Burimet

1

Kap

itulli

1 S

hpre

hjet

alg

jebr

ike

(6 o

rë)

1.1 Rregullat e fuqive Shkencëtarët e kompjuterëve i përdorin fuqitë për të treguar numra shumë të mëdhenj.

Punë e pavarur Punë në grupe të vogla

Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe

Libri i nxënësit fq. 2-4 Fletore pune

2

1.2 Faktorizimi

Për të zgjidhur ekuacione të fuqive më të mëdha se dy shpesh herë është e nevojshme të faktorizosh.




3

1.3 Fuqitë me eksponent negative dhe Thyesor

Një kompjuter kuantik me 1000 kubitë (njësi kuantike) mund të marrë në shqyrtim 21000 vlera njëherësh. Ky numër është më i madh se numri i grimcave në universin e vrojtuar.

Shpjegim Punë e pavarur Punë në grupe të vogla



4

1.4 Numrat irracionalë

Numrat irracionalë ndeshen shpesh në natyrë. Një shembull i

tillë është Prerja e arte 1+√52

, që ka shumë zbatime edhe në arkitekturë.




5 1.5 Racionalizmi i emëruesve

Racionalizimi i emëruesve lehtëson gjetjen e vlerës së përafërt të një thyese irracionale.






Gjithëpërfshirëse Vlerësohen nxënësit

për punët e pavarura Fletore pune

10 K

apitu

lli 2

Fu

nksi

one

kuad

ratik

e (6

orë

) 2.1 Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike

Funksionet kuadratike përdoren si modele për lëvizjen e predhës. Pavarësisht nga mënyra se si hidhet ose lëshohet një objekt, ai ndjek një trajektore e cila ka afërsisht formën e një parabole.



11

2.2 Plotësimi i katrorit

Plotësimi i një katrori të plotë te një funksion kuadratik të ndihmon të gjesh kulmin e parabolës.



12

2.3 Funksionet

Plotësimi i një katrori të plotë te një funksion kuadratik të ndihmon të gjesh vlerën më të madhe(vogël) të funksionit.



13 2.4 Grafikët e funksioneve kuadratike

Grafikët kuadratikë janë të dobishëm për gjetjen e orbitave që përshkojnë predhat në ajër ose topat e futbollit.



14

2.5 Dallori

Ekuacionet kuadratike mund të kenë 0, 1 ose 2 rrënjë të mundshme; kjo përcaktohet menjëherë nga shenja e dallorit.



15

Ushtrime për përpunim të njohurive

------- Gjithëpërfshirëse Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe


22

Kap

itulli

3

Ekua

cion

e dh

e in

ekua

cion

e (8

orë

)

3.1 Sistemet e ekuacioneve lineare

Sistem do të thotë ’në të njëjtën kohë’. Kur zgjidh një sistem ekuacionesh me dy ndryshore duhet të gjesh një çift ndryshoresh që I vërteton të dy ekuacionet e sistemit njëkohësisht.



23

3.2 Sistemet e ekuacioneve kuadratike




24

3.3 Zgjidhja grafike e sistemeve të ekuacioneve

Sistem do të thotë ’në të njëjtën kohë’. Kur zgjidh një sistem ekuacionesh me dy ndryshore duhet të gjesh një çift ndryshoresh që I vërteton të dy ekuacionet e sistemit njëkohësisht



25

3.4 Inekuacionet lineare

Çdo gjë që bën me një ekuacion mund ta bësh me një inekuacion. Inekuacioni të vjen në ndihmë për të shqyrtuar një gamë të gjerë zgjidhjesh të mundshme të problemave.



26

3.5 Inekuacionet kuadratike





27

3.6 Zgjidhja grafike e inekuacioneve




28

3.7 Zgjidhja grafike e sistemeve të inekuacioneve

Shkencëtarët dietologë përdorin zonat e grafikëve për të përmirësuar dietën ushqimore të atletëve me qëllim që ajo të sigurojë kërkesat e nevojshme ushqimore me kalori dhe vitamina



29


Shkencëtarët dietologë përdorin zonat e grafikëve për të përmirë-suar dietën ushqimore të atletëve me qëllim që ajo të sigurojë kërkesat e nevojshme ushqimore me kalori dhe vitamina

Gjithëpërfshirëse Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe

30

Kap

itulli

4 G

rafi

kë d

he

tran

sfor

mim

e (8

orë

)

4.1 Grafikë të funksioneve kubikë

Lëvizjet e baticave dhe zbaticave mund të shprehen me anë të funksioneve kubike.







Shumë procese në eksperimentet e fizikës dhe kimisë zhvillohen sipas një funksioni thyesor.





Me anë të pikëprerjes së dy vijave mund të gjesh ku takohen dy trupa në lëvizje kur njeh trajektoren e lëvizjes së tyre.




Zhvendosjet vertikale ose horizontale të grafikëve na lejojnë të thjeshtojmë një funksion të ndërlikuar.



34

4.6 Zgjatje grafikësh

Shumë funksione komplekse mund të kuptohen nga transfor-mimi i funksioneve të thjeshta duke përdorur zgjatje (tkurrje), pasqyrime dhe zhvendosje.



35

4.7 Transformime funksionesh

Fizikanët që studiojnë grimcat krahasojnë rezultate të vrojtuara me transformime funksionesh të njohura për të përcaktuar natyrën e grimcave përbërëse të atomit.



36

Kap

itulli

5

Gra

fikë

dre

jtviz

orë

(6or

ë)



Gjithëpërfshirëse Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grup


Grafikët drejtvizor mund të përdoren për të treguar kursin e këmbimit valutor.







39

5.2 Ekuacionet e drejtëzës

Ekonomistët përdorin grafikë drejtvizorë për të modeluar efektin e çmimit dhe rezervës së një malli në ofertën dhe kërkesën për të.






5.3 Drejtëza paralele dhe pingule




5.4 Distanca midis dy pikave në planin koordinativ

Me anë të formulës së distancës midis dy pikave mund të gjesh syprinën e një trekëndëshi me kulme të njohura.





( 8 o

rë)

Përsëritje: Kapitulli: 1-2 Përsëritje: Kapitulli 3-4 Përsëritje: Kapitulli 5 Projekt: Ndërtimi në letër të milimetruar i grafikëve të funksioneve të fuqisë së katërt Projekt: Ndërtimi në letër të milimetruar i grafikëve të funksioneve të fuqisë së katërt Projekt: Ndërtimi në letër të milimetruar i grafikëve të funksioneve të fuqisë së katërt Vlerësim përmbledhës


Planifikimi tremujor i lëndës Tremujori i dytë Dhjetor-Shkurt


Nr Tematika Temat mësimore Situata e parashikuar e të nxënit



1

Kap

itulli

6

Rra

thë

(6 o

rë)

6.1 Pika e mesit



Vlerësimi i arritjeve bazuar në punët e pavarura të nxënësve dhe në punët në grupe.

Libri i nxënësit Fletore pune

2

6.2 Ekuacioni i rrethit




Libri i nxënësit faqe Fletore pune
















10

Kre

u 7

Met

odat

alg

jebr

ike

(6or

ë)

7.1 Thyesat algjebrike Inxhinierët aeronautikë përdorin dhe thjeshtojnë thyesa algjebrike kur modelojnë aeroplanët.





Okulistët përdorin thyesa algjebrike kur përgatisin një recetë për syze optike.





Me anë të teoremës së faktorëve lehtësohet zbërthimi i një polinomi në faktorë më të thjeshtë.




13

7.4 Vërtetimi matematik

Matematicienët duhet t’i vërtetojnë teoremat e tyre (si teorema e Pitagorës) përpara se t’i përdorin ato për zgjidhjen e problemave. Teorema e Pitagorës mund të përdoret për të gjetur një vlerë të përafërt të π.


Vlerësimi i arritjeve bazuar në punët e pavarura të nxënësve dhe në punët në grupe


14

7.5 Metoda vërtetimi





15






22

Kap

itulli

8

Zbër

thim

i bin

omia

l (7

orë

) 8.1 Trekëndëshi i Paskalit

Zbërthimi binomial mund të përdoret për hapjen e kllapave që janë në fuqi të mëdha. Ai mund të përdoret për thjeshtimin e modeleve probabilitare kur prova përsëritet një numër të madh herësh, si është rasti i modeleve që përdorin prodhuesit e fabrikave për të parashikuar defektet në prodhim.




23

8.2 Shënimi faktorial




24

8.3 Zbërthimi binomial










30

Kap

itulli

9

Rap

orte

trig

onom

etri

ke

(5 o

rë)

9.1 Teorema e kosinusit

Trigonometria në hapësirën me dy dhe tri përmasa përdoret nga hulumtuesit për të gjetur distanca dhe syprina në fazën e përgatitjes së projekteve për ndërtimin e objekteve të ndryshme.




31

9.2 Teorema e sinusit




32

9.3 Syprina e trekëndëshave




33

9.4 Grafikët e sinusit, kosinusit dhe tangjentit









35

Kap

itulli

10

Iden

titet

e dh

e ek

uaci

one

trig

onom

etri

ke

(6 o

rë)

10.1 Këndet në të katër kuadratet

Ekuacionet trigonometrike mund të përdoren për të modeluar shumë dukuri dhe fenomene të jetës së përditshme siç janë këndi i ngritjes së diellit në momente të ndryshme kohore.




36






10.3 Identitete trigonometrike










10.5 Ekuacione dhe identitete










Kap

itulli

11

Vek

torë

(6

orë

)

11.1 Vektorë

Pilotët përdorin mbledhjen e vektorëve për të gjetur vektorin rezultant të shpejtësisë dhe drejtimin e lëvizjes kur një aeroplan kryqëzohet me drejtimin e erës.




11.2 Paraqitja e vektorëve me koordinata





11.3 Gjatësia dhe drejtimi i vektorit





11.4 Rreze vektorët















Përsëritje: Kapitulli 6- 7




Përsëritje: Kapitulli 8-9








Projekt




Projekt

Punë në grupe të vogla



Projekt




Vlerësim përmbledhës


Planifikimi tremujor i lëndës Tremujori i tretë Mars-Maj


Nr Tematika Temat mësimore Situata e parashikuar e të nxënit Metodologjia dhe

veprimtaritë e nxënësve

Vlerësimi Burimet

1

Kap

itulli

12

Der

ivat

i (1

1 or

ë)

12.1 Koeficientet këndore të vijave të lakuara

Derivimi si pjesë e njehsimit diferencial dheintegral është një nga mjetet më të fuqishme të matematikës. Derivimi përdoret në mekanikë për të modeluar shpejtësinë e ndryshimit, si shpejtësinë dhe nxitimin.




2

12.2 Gjetja e derivatit





3

12.3 Derivati i xn





4

12.4 Derivimi i funksioneve kuadratike






5

Kap

itulli

12

Der

ivat

i (1

1 or

ë)

12.5 Derivimi i funksioneve me dy ose me shumë kufiza





6

12.6 Koeficientet këndore, tangjentet dhepingulet





12.7 Funksionet rritëse dhe funksionet zbritëse





12.8 Derivati i rendit të dytë





12.9 Pikat stacionare





12.10 Grafiku i Derivimi si pjesë e njehsimit diferencial Shpjegim Vlerësimi i arritjeve Libri i


funksionit të koeficientit këndor

dheintegral është një nga mjetet më të fuqishme të matematikës. Derivimi përdoret në mekanikë për të modeluar shpejtësinë e ndryshimit, si shpejtësinë dhe nxitimin.


bazuar në punët e pavarura të nxënësve dhe në punët në grupe.

nxënësit Fletore pune


Gjithëpërfshirëse Vlerësimi i arritjeve bazuar në punët e pavarura të nxënësve dhe në punët në grupe.


22

Kap

itulli

13

(8 o

rë)

13.1 Integrali xn

Integrali përdoret për të njehsuar syprinat e figurave, vëllimet e trupave me formë të parregullt dhe syprinat e figurave të kufizuara nga vija.




23 13.2 Integralet e pacaktuara





24 13.3 Gjetja e funksioneve

Në mekanikë, integrimi mund të përdoret për të gjetur distancën e përshkuar duke njehsuar syprinën nën grafikun shpejtësi-kohë.




25 13.4 Integrali i caktuar





13.5 Sipërfaqet e kufizuara nga vijat





13.6 Syprinat e zonave nën boshtin

Në mekanikë, integrimi mund të përdoret për të gjetur distancën e

Shpjegim Punë e pavarur

Vlerësimi i arritjeve bazuar në punët e

Libri i nxënësit


x përshkuar duke njehsuar syprinën nën grafikun shpejtësi-kohë.


pavarura të nxënësve dhe në punët në grupe.

Fletore pune

13.7 Syprinat e zonave midis vijave dhe drejtëzave






Gjithëpërfshirëse Vlerësimi i arritjeve

bazuar në punët e pavarura dhe në grupe.


30

Kap

itulli

14

Eksp

onen

cial

i dhe

loga

ritm

i (7

orë

)

14.1 Funksione eksponenciale

Grafikët eksponencialë janë përdorur nga shkencëtarët për të përshkruar rritjen e popullsisë, ndotjen radioaktive, zhvillimin e epidemive etj.




31

14.2 y=exx





32

14.3 Logaritmi

Logaritmet përdoren për të raportuar dhe krahasuar tërmetet. Si shkalla Rihter ashtu edhe shkalla që mat magnitudën e momentit përdor logaritmin me bazë 10 për të shprehur masën e aktivitetit sizmik.




33

14.4 Vetitë e logaritmeve





6 14.5 Zgjidhja e ekuacioneve me anë

Logaritmet përdoren për të raportuar dhe krahasuar tërmetet. Si shkalla



Libri i nxënësit


të logaritmeve

Rihter ashtu edhe shkalla që mat magnitudën e momentit përdor logaritmin me bazë 10 për të shprehur masën e aktivitetit sizmik.



Fletore pune

14.6 Veprime me logaritmin natyror








35

Kap

itulli

15

Stat

istik

a dh

e pr

obab

ilite

ti (1

0 or

ë)

15.1 Zgjedhja

Studiuesit e klimës kanë treguar se ka një korrelacion të forte midis çlirimit të gazit me efektin e serrës dhe rritjes së temperaturës së atmosferës.




36 15.2 Llojet e të dhënave





15.3 Treguesit e pozicionit të qendrës





15.4 Treguesit e tjerë të pozicionit




d h e 15.5 Treguesit e Studiuesit e klimës kanë treguar se ka Shpjegim Vlerësimi i arritjeve Libri i


shpërhapjes një korrelacion të forte midis çlirimit të gazit me efektin e serrës dhe rritjes së temperaturës së atmosferës.



nxënësit Fletore pune

15.6 Histogramat





15.7 Korrelacioni





15.8 Regresi linear





15.9 Ngjarjet e papajtueshme me njëra-tjetrën dhe ngjarjet e pavarura





15.10 Shpërndarjet probabilitare





Përsëritje: Kapitulli 12 Përsëritje: Kapitulli 13 Përsëritje: Kapitulli 14-15 Projekt Projekt Projekt Vlerësim përmbledhës


Planifikimi vjetor i lëndës Matematika me zgjedhje 12

Nr Shtator-Nëntor

61 orë Dhjetor-Shkurt Mars-Maj

Kap

itulli

1

Shpr

ehje

t alg

jebr

ike

(6 o

rë)

1 1.1 Rregullat e fuqive 2 1.2 Faktorizimi

3 1.3 Fuqitë me eksponent negative dhe thyesor

4 1.4 Numrat irracional 5 1.5 Racionalizmi i emëruesve 6 Ushtrime për përpunim të njohurive

Kap

itulli

2

Funk

sion

e ku

adra

tike

(6 o

rë)

7 2.1 Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike 8 2.2 Plotësimi i katrorit 9 2.3 Funksionet 10 2.4 Grafikët e funksioneve kuadratike 11 2.5 Dallori 12 Ushtrime për përpunim të njohurive

Kap

itulli

3

Ekua

cion

e dh

e in

ekua

cion

e (8

orë

)

13 3.1 Sistemet e ekuacioneve lineare 14 3.2 Sistemet e ekuacioneve kuadratike

15 3.3 Zgjidhja grafike e sistemeve të ekuacioneve

16 3.4 Inekuacionet lineare 17 3.5 Inekuacionet kuadratike 18 3.6 Zgjidhja grafike e inekuacioneve

19 3.7 Zgjidhja grafike e sistemeve të inekuacioneve


Kap

itulli

4

21 4.1 Grafikë të funksioneve kubikë


23 4.3 Grafikë të funksioneve thyesorë 24 4.4 Pikat e prerjes së grafikëve


25 4.5 Zhvendosje grafikësh 26 4.6 Zgjatje grafikësh 27 4.7 Transformime funksionesh 28 Ushtrime për përpunim të njohurive

Kap

itulli

5

Gra

fikë

dre

jtëvi

zorë

(6

orë

)



31 5.2 Ekuacionet e drejtëzës


33 5.3 Drejtëza paralele dhe pingule

34 5.4 Distanca midis dy pikave në planin koordinativ

Kap

itulli

6

Rra

thë

(6 o

rë)

35 6.1 Pika e mesit

36 6.2 Ekuacioni i rrethit





Kap

itulli

7

Met

odat

al

gjeb

rike

(6

orë)




44 7.4 Vërtetimi matematik

Kap

itulli

8

Zbër

thim

i bin

omia

l (7

orë

)

45 7.5 Metoda vërtetimi


47 8.1 Trekëndëshi i Paskalit

48 8.2 Shënimi faktorial

49 8.3 Zbërthimi binomial


51 9.1 Teorema e kosinusit

52 9.2 Teorema e sinusit

53 9.3 Syprina e trekëndëshave

54 9.4 Grafikët e sinusit, kosinusit dhe


tangjentit 55 Ushtrime për përpunim të njohurive

Kap

itulli

9

Rap

orte

trig

onom

etri

ke

(5 o

rë)






Kap

itulli

10

Iden

titet

e dh

e ek

uaci

one

trig

onom

etri

ke

(6 o

rë)

1 10.1 Këndet në të katër kuadratet

2 10.2 Vlerat e sakta të raporteve trigonometrike

3 10.3 Identitete trigonometrike 4 10.4 Ekuacione të thjeshta trigonometrike 5 10.5 Ekuacione dhe identitete 6 Ushtrime për përpunim të njohurive

Kap

itulli

11

Vek

torë

(6

orë

)

7 11.1 Vektorë 8 11.2 Paraqitja e vektorëve me koordinata 9 11.3 Gjatësia dhe drejtimi i vektorit

10 11.4 Rreze vektorët

11 11.5 Zgjidhja e problemave të gjeometrisë


Kap

itulli

12

Der

ivat

i (1

1 or

ë)

13 12.1 Koeficientet këndore të vijave të lakuara

14 12.2 Gjetja e derivatit

15 12.3 Derivati i xn

16 12.4 Derivimi i funksioneve kuadratike

17 12.5 Derivimi i funksioneve me dy ose me shumë kufiza


18 12.6 Koeficientet këndore, tangjentet dhe pingulet

19 12.7 Funksionet rritëse dhe funksionet zbritëse

20 12.8 Derivati i rendit të dytë

21 12.9 Pikat stacionare

22 12.10 Grafiku i funksionit të koeficientit këndor

Kap

itulli

13

Inte

gral

i (8

orë

)


24 13.1 Integrali xn

25 13.2 Integralet e pacaktuara

26 13.3 Gjetja e funksioneve

27 13.4 Integrali i caktuar

28 13.5 Sipërfaqet e kufizuara nga vijat

29 13.6 Syprinat e zonave nën boshtin x

30 13.7 Syprinat e zonave midis vijave dhe drejtëzave


Kap

itulli

14

Eksp

onen

cial

i dhe

lo

gari

tmi

(7 o

rë)

32 14.1 Funksione eksponenciale

33 14.2 y=ex

34 14.3 Logaritmi

35 14.4 Vetitë e logaritmeve

36 14.5 Zgjidhja e ekuacioneve me anë të logaritmeve

37 14.6 Veprime me logaritmin natyror


Kap

itulli

15

Stat

istik

a dh

e pr

obab

ilite

i (1

0 or

ë)

39 15.1 Zgjedhja 40 15.2 Llojet e të dhënave 41 15.3 Treguesit e pozicionit të qendrës 42 15.4 Treguesit e tjerë të pozicionit 43 15.5 Treguesit e shpërhapjes 44 15.6 Histogramat 45 15.7 Korrelacioni


46 15.8 Regresi linear

47 15.9 Ngjarjet e papajtueshme me njëra-tjetrën dhe ngjarjet e pavarura

48 15.10 Shpërndarjet probabilitare


Kap

itulli

1

Met

odat

al

gjeb

rike

(6

orë

)

50 1.1 Vërtetimi nga e kundërta


52 1.3 Thyesat elementare

53 1.4 Faktorët e përsëritur

54 1.5 Pjesëtimi algjebrik


56 Përsëritje: Kapitulli 8-9-10



59 Projekt

60 Projekt

61 Projekt


Kap

itulli

2

Funk

sion

e dh

e gr

afik

ë (5

orë

)

1 2.1 Funksionet dhe pasqyrimet 21 2 2.2 Funksionet e përbëra 26 3 2.3 Funksioni i anasjellë 30 4 2.4 Kombinimi i transformimeve 5 Ushtrime për përpunim të njohurive

Kap

itulli

3

Var

gjet

dhe

ser

itë

(6 o

rë)

6 3.1 Vargjet aritmetike 7 3.2 Seritë aritmetike 8 3.3 Vargjet gjeometrike 9 3.4 Seritë gjeometrike

3.5 Shuma në infinit

3.6 Vargje rekurente 10 Ushtrime për përpunim të njohurive

11 4.1 Matje në radian 12 4.2 Gjatësia e harkut 13 4.3 Syprina e sektorëve dhe segmenteve


Kap

itulli

4

Rad

ian

(8 o

rë)

14 4.4 Zgjidhje ekuacionesh trigonometrike 15 4.5 Përafrime këndesh të vogla 16 4.6 Identitete trigonometrike 17 Ushtrime për përpunim të njohurive 18 4.7 Funksionet trigonometrike të anasjella 19 Ushtrime për përpunim të njohurive

Kap

itulli

5

Trig

onom

etri

dhe

m

odel

im

(5 o

rë)

20 5.1 Formula e shumës 21 5.2 Zbatimi i formulës së shumës së 22 këndeve 23 5.3 Formula e këndit të dyfishtë 24 5.4 Zgjidhje ekuacionesh trigonometrike 25 Ushtrime për përpunim të njohurive

Kap

itulli

6

Ekua

cion

e pa

ram

etri

ke

(3 o

rë)

26 6.1 Ekuacione parametrike

27 6.2 Përdorimi i identiteteve trigonometrike


Kap

itulli

7

Der

ivat

i (9

orë

)

29 7.1 Derivati i sin x dhe cos x 30 7.2 Derivati i funksioneve eksponenciale 31 dhe i funksioneve logaritmike 32 7.3 Derivati i funksionit të përbërë 33 7.4 Derivati i prodhimit 34 7.5 Derivati i herësit 35 7.6 Derivati i funksioneve trigonometrike 36 7.7 Zbatime të derivateve të dyta 37 7.8 Shpejtësia e ndryshimit 38 Ushtrime për përpunim të njohurive

Kap

itulli

8

Inte

gral

i (8

orë)

39 8.1 Integrimi i funksioneve standard 40 8.2 Integrimi i f(ax + b) 41 8.3 Përdorimi i identiteteve trigonometrike

42 8.4 E anasjella e rregullës së derivatit të funksionit të përbërë

43 8.5 Integrimi me anë të zëvendësimit


44 8.6 Integrimi me pjesë 45 8.7 Njehsimi i syprinave 46 Ushtrime për përpunim të njohurive

Kap

itulli

9

Vek

torë

(5

orë

) 47 9.1 Koordinata 3D 48 9.2 Vektorë në sistemin 3D 49 9.3 Zgjidhja e problemave të gjeometrisë

50 9.4 Prodhimi numerik i dy vektorëve në planin


Kap

itulli

10

Prob

abili

teti

me

kush

t (4

orë

)

52 10.1 Simbolet e bashkësive 53 10.2 Probabiliteti me kusht

54 10.3 Probabilitetet me kusht në diagramet e Venit

55 10.4 Diagramet pemë 56 Ushtrime për përpunim të njohurive

57 Përsëritje: Kapitulli 13 58 Përsëritje: Kapitulli 14-15 59 Përsëritje: Kapitulli 14-15 60 Projekt 61 Projekt 62 Projekt 63 Vlerësim përmbledhës

1 Përsëritje për maturën shtetërore 2 Përsëritje për maturën shtetërore 3 Përsëritje për maturën shtetërore 4 Përsëritje për maturën shtetërore 5 Përsëritje për maturën shtetërore 6 Përsëritje për maturën shtetërore 7 Përsëritje për maturën shtetërore 8 Përsëritje për maturën shtetërore 9 Përsëritje për maturën shtetërore 10 Përsëritje për maturën shtetërore 11 Përsëritje për maturën shtetërore


12 Përsëritje për maturën shtetërore 13 Përsëritje për maturën shtetërore 15 Përsëritje për maturën shtetërore 16 Përsëritje për maturën shtetërore 17 Përsëritje për maturën shtetërore 18 Përsëritje për maturën shtetërore 19 Përsëritje për maturën shtetërore 20 Përsëritje për maturën shtetërore 21 Përsëritje për maturën shtetërore 22 Përsëritje për maturën shtetërore 23 Përsëritje për maturën shtetërore 24 Përsëritje për maturën shtetërore


Planifikimi tremujor i lëndës Matematika me zgjedhje 12

Tremujori i parë Shtator-Nëntor 34 orë njohuri të reja dhe përpunim njohurish +4 orë përsëritje +3 orë projekt +1orë vlerësim përgjithësues

Nr Tematika Te mat mësimore Situata e parashikuar e të nxënit



1

Kap

itulli

1 S

hpre

hjet

alg

jebr

ike

(6 o

rë)

1.1 Rregullat e fuqive

Shkencëtarët e kompjuterëve i përdorin fuqitë për të treguar numra shumë të mëdhenj.




2 1.2 Faktorizimi

Për të zgjidhur ekuacione të fuqive më të mëdha se dy shpesh herë është e nevojshme të faktorizosh.




3 1.3 Fuqitë me eksponent negative dhe Thyesor

Një kompjuter kuantik me 1000 kubitë (njësi kuantike) mund të marrë në shqyrtim 21000 vlera njëherësh. Ky numër është më i madh se numri i grimcave në universin e vrojtuar.




4 1.4 Numrat irracionalë

Numrat irracionalë ndeshen shpesh në natyrë. Një shembull i tillë është Prerja e arte 1+√5

2, që ka shumë

zbatime edhe në arkitekturë.




5 1.5 Racionalizmi i emëruesve

Racionalizimi i emëruesve lehtëson gjetjen e vlerës së përafërt të një thyese irracionale.





Gjithëpërfshirëse Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura

Fletore pune

10

Funk

sion

e ku

adr

atik

e

2.1 Zgjidhja e ekuacioneve

Funksionet kuadratike përdoren si modele për lëvizjen e predhës.


Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura



kuadratike Pavarësisht nga mënyra se si hidhet ose lëshohet një objekt, ai ndjek një trajektore e cila ka afërsisht formën e një parabole.


dhe prezantimet e punëve në grupe

11 2.2 Plotësimi i katrorit

Plotësimi i një katrori të plotë te një funksion kuadratik të ndihmon të gjesh kulmin e parabolës.




12

2.3 Funksionet

Plotësimi i një katrori të plotë te një funksion kuadratik të ndihmon të gjesh vlerën më të madhe(vogël) të funksionit.




13 2.4 Grafikët e funksioneve kuadratike

Grafikët kuadratikë janë të dobishëm për gjetjen e orbitave që përshkojnë predhat në ajër ose topat e futbollit.




14

2.5 Dallori

Ekuacionet kuadratike mund të kenë 0, 1 ose 2 rrënjë të mundshme; kjo përcaktohet menjëherë nga shenja e dallorit.





------------------------------------- Gjithëpërfshirëse Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe


22

3.1 Sistemet e ekuacioneve lineare





23

Ekua

cio

ne

dhe

inek

u

3.2 Sistemet e

ekuacioneve kuadratike

Sistem do të thotë ’në të njëjtën kohë’. Kur zgjidh një sistem ekuacionesh me dy ndryshore duhet

Shpjegim Punë e pavarur Punë në grupe të

Vlerësohen nxënësit për punët e pavarura dhe prezantimet e



të gjesh një çift ndryshoresh që I vërteton të dy ekuacionet e sistemit njëkohësisht.

vogla punëve në grupe

24

3.3 Zgjidhja grafike e sistemeve të ekuacioneve

Sistem do të thotë ’në të njëjtën kohë’. Kur zgjidh një sistem ekuacionesh me dy ndryshore duhet të gjesh një çift ndryshoresh që I vërteton të dy ekuacionet e sistemit njëkohësisht




25

3.4 Inekuacionet lineare





26

3.5 Inekuacionet kuadratike





27

3.6 Zgjidhja grafike e inekuacioneve





28

3.7 Zgjidhja grafike e sistemeve të inekuacioneve

Shkencëtarët dietologë përdorin zonat e grafikëve për të përmirësuar dietën ushqimore të atletëve me qëllim që ajo të sigurojë kërkesat e nevojshme





ushqimore me kalori dhe vitamina 29


Shkencëtarët dietologë përdorin zonat e grafikëve për të përmirësuar dietën ushqimore të atletëve me qëllim që ajo të sigurojë kërkesat e nevojshme ushqimore me kalori dhe vitamina



30

Kap

itulli

4 G

rafi

kë d

he tr

ansf

orm

ime

(8 o

rë)

4.1 Grafikë të funksioneve kubikë

Lëvizjet e baticave dhe zbaticave mund të shprehen me anë të funksioneve kubike.









Shumë procese në eksperimentet e fizikës dhe kimisë zhvillohen sipas një funksioni thyesor.





Me anë të pikëprerjes së dy vijave mund të gjesh ku takohen dy trupa në lëvizje kur njeh trajektoren e lëvizjes së tyre.





Zhvendosjet vertikale ose horizontale të grafikëve na lejojnë të thjeshtojmë një funksion të ndërlikuar.




34

4.6 Zgjatje grafikësh

Shumë funksione komplekse mund të kuptohen nga transformimi i funksioneve të thjeshta duke përdorur zgjatje (tkurrje), pasqyrime dhe zhvendosje.





35

4.7 Transformime funksionesh









Kap

itulli

5

Gra

fikë

dre

jtviz

orë

(6or

ë)

5.1 Ekuacioni më i thjeshtë i drejtëzës









5.2 Ekuacionet e drejtëzës









5.3 Drejtëza paralele dhe pingule





5.4 Distanca midis Me anë të formulës së distancës midis Shpjegim Vlerësohen nxënësit Libri i nxënësit


dy pikave në planin koordinativ

dy pikave mund të gjesh syprinën e një trekëndëshi me kulme të njohura.


për punët e pavarura dhe prezantimet e punëve në grupe

Fletore pune

Kap

itulli

6

Ekua

cion

e pa

ram

etri

ke

(5 o

rë)

6.1 Pika e mesit Me anë të formulës së distancës midis dy pikave mund të gjesh syprinën e një trekëndëshi me kulme të njohura.




6.2 Ekuacioni i rrethit





6.3 Pikëprerjet e drejtëzave me rrathë




6.5 Rrathë dhe trekëndësha








Kap

itulli

7

Der

ivat

i (6

orë

) 7.1 Thyesat algjebrike




7.2 Pjesëtimi i Inxhinierët aeronautikë përdorin dhe Shpjegim Vlerësimi i arritjeve Libri i nxënësit


polinomeve thjeshtojnë thyesa algjebrike kur modelojnë aeroplanët.



Fletore pune

7.3 Teorema e faktorëve

Okulistët përdorin thyesa algjebrike kur përgatisin një recetë për syze optike.




7.4 Vërtetimi matematik

Me anë të teoremës së faktorëve lehtësohet zbërthimi i një polinomi në faktorë më të thjeshtë.




7.5 Metoda vërtetimi








Fletore pune

Kap

itulli

8

Inte

gral

i (4

orë

)

8.1 Trekëndëshi i Paskalit

Zbërthimi binomial mund të përdoret për hapjen e kllapave që janë në fuqi të mëdha. Ai mund të përdoret për thjeshtimin e modeleve probabilitare kur prova përsëritet një numër të madh herësh, si është rasti i modeleve që përdorin prodhuesit e fabrikave për





të parashikuar defektet në prodhim.

8.2 Shënimi faktorial





8.3 Zbërthimi binomial









Kap

itulli

9

Vek

torë

(5

orë

)

9.1 Teorema e kosinusit





9.2 Teorema e sinusit Trigonometria në hapësirën me dy dhe tri përmasa përdoret nga hulumtuesit për të gjetur distanca dhe syprina në





fazën e përgatitjes së projekteve për ndërtimin e objekteve të ndryshme.

vogla

9.3 Syprina e trekëndëshave





9.4 Grafikët e sinusit, kosinusit dhe tangjentit






Fletore pune


Projekt: Ndërtimi në letër të milimetruar i grafikëve të funksioneve të fuqisë së katërt



Vlerësim përmbledhës


Planifikimi tremujor i lëndës Matematika me zgjedhje 12

Tremujori i dytë Dhjetor-Shkurt



Vlerësimi Burimet

1

Iden

titet

e dh

e ek

uaci

one

trig

onom

etri

ke

10.1 Këndet në të katër kuadratet





2






3

10.3 Identitete trigonometrike





4







5

10.5 Ekuacione dhe identitete









10

Vek

torë

11.1 Vektorë





11 11.2 Paraqitja e vektorëve me koordinata





12

11.3 Gjatësia dhe drejtimi i vektorit





13

11.4 Rreze vektorët





14 11.5 Zgjidhja e Pilotët përdorin mbledhjen e Shpjegim Vlerësimi i arritjeve Libri i nxënësit


problemave të gjeometrisë

vektorëve për të gjetur vektorin rezultant të shpejtësisë dhe drejtimin e lëvizjes kur një aeroplan kryqëzohet me drejtimin e erës.



Fletore pune

15





22

Der

ivat

i

12.1 Koeficientet këndore të vijave të lakuara

Derivimi si pjesë e njehsimit diferencial dhe integral është një nga mjetet më të fuqishme të matematikës. Derivimi përdoret në mekanikë për të modeluar shpejtësinë e ndryshimit, si shpejtësinë dhe nxitimin.




23

12.2 Gjetja e derivatit





24

12.3 Derivati i xn





12.4 Derivimi i funksioneve kuadratike

Derivimi si pjesë e njehsimit diferencial dheintegral është një nga mjetet më të fuqishme të matematikës. Derivimi përdoret në mekanikë për të modeluar shpejtësinë e ndryshimit, si





shpejtësinë dhe nxitimin.

12.5 Derivimi i funksioneve me dy ose me shumë kufiza





12.6 Koeficientet këndore, tangjentet dhe pingulet





12.7 Funksionet rritëse dhe funksionet zbritëse





12.8 Derivati i rendit të dytë





12.9 Pikat stacionare






12.10 Grafiku i funksionit të koeficientit këndor








Inte

gral

i

13.1 Integrali xn





13.2 Integralet e pacaktuara





13.3 Gjetja e funksioneve





13.4 Integrali i caktuar





13.5 Sipërfaqet e kufizuara nga vijat

Në mekanikë, integrimi mund të përdoret për të gjetur distancën e përshkuar duke njehsuar syprinën


Vlerësimi i arritjeve bazuar në punët e pavarura të nxënësve



nën grafikun shpejtësi-kohë. vogla dhe në punët në grupe. 13.6 Syprinat e

zonave nën boshtin x





13.7 Syprinat e zonave midis vijave dhe drejtëzave








14.1 Funksione eksponenciale





14.2 y=ex





14.3 Logaritmi





Eksp

onen

cia

li dh

e lo

gari

tmi

14.4 Vetitë e logaritmeve

Logaritmet përdoren për të raportuar dhe krahasuar tërmetet. Si shkalla Rihter ashtu edhe shkalla që mat magnitudën e momentit përdor logaritmin me bazë 10 për të





shprehur masën e aktivitetit sizmik.

14.5 Zgjidhja e ekuacioneve me anë të logaritmeve





14.6 Veprime me logaritmin natyror








15.1 Zgjedhja

Studiuesit e klimës kanë treguar se ka një korrelacion të fortë midis çlirimit të gazit me efektin e serrës dhe rritjes së temperaturës së atmosferës.




15.2 Llojet e të dhënave





15.3 Treguesit e pozicionit të qendrës






Stat

istik

a dh

e pr

obab

ilite

ti

15.4 Treguesit e tjerë të pozicionit





15.5 Treguesit e shpërhapjes





15.6 Histogramat





15.7 Korrelacioni





15.8 Regresi linear





15.9 Ngjarjet e papajtueshme me njëra-tjetrën dhe ngjarjet e pavarura





15.10 Shpërndarjet Studiuesit e klimës kanë treguar se Shpjegim Vlerësimi i arritjeve Libri i nxënësit


probabilitare ka një korrelacion të fortë midis çlirimit të gazit me efektin e serrës dhe rritjes së temperaturës së atmosferës.



Fletore pune




1.1 Vërtetimi nga e kundërta

Ti mund ta përdorësh metodën e vërtetimit nga e kundërta që të provosh se ka një pafundësi numrash të thjeshtë.

Shpjegim Diskutim Punë e pavarur



1.2 Thyesat algjebrike




1.3 Thyesat elementare




1.4 Faktorët e përsëritur




1.5 Pjesëtimi algjebrik





Diskutim Punë e pavarur Punë në grupe të



vogla dhe në punët në grupe. Përsëritje: Kapitulli 8-9-10 Përsëritje: Kapitulli 11-12 Përsëritje: Kapitulli 13-14 Projekt Projekt Projekt Vlerësim përmbledhës


Planifikimi tremujor i lëndës Matematika me zgjedhje 12 Tremujori i tretë Mars-Maj



Vlerësimi Burimet

1

Kap

itulli

2

Funk

sion

e dh

e gr

afik

ë (5

orë

)

2.1 Funksionet dhe pasqyrimet

Simbolika e funksioneve është një mënyrë e lehtë për të dalluar ekuacionet e ndryshme. Secili prej tyre mund të etiketohet duke përdorur shkronja të ndryshme



Libri i nxënësit

2 2.2 Funksionet e përbëra

Simbolika e funksioneve është një mënyrë e lehtë për të dalluar ekuacionet e ndryshme. Secili prej tyre mund të etiketohet duke përdorur shkronja të ndryshme



Libri i nxënësit

3 2.3 Funksioni i anasjellë

Gjatë Luftës së Dytë Botërore, thyesit e kodeve i përdorën funksionet e anasjellë për të dekoduar mesazhet e koduar të armiqve. Për të koduar një mesazh, armiku përdorte një funksion. Sfida e thyesve të kodeve ishte të gjenin funksionin e anasjellë që bënte të mundur dekodimin e mesazhit.



Libri i nxënësit

4 2.4 Kombinimi i transformimeve

Përbërja e funksionit me të anasjellin e tij jep funksionin identik y=x. Quhet i tillë sepse çdo fytyrë ka shëmbëllim veten.



Libri i nxënësit

5 Ushtrime për

Vlerësimi i arritjeve Libri i nxënësit


përpunim të njohurive


6 K

apitu

lli 3

V

argj

et d

he s

eritë

(6

orë

)

3.1 Vargjet aritmetike Shpeshherë të dhënat kanë një lidhje



Libri i nxënësit

7 3.2 Seritë aritmetike

Vargjet dhe seritë gjenden në natyrë dhe mund të përdoren për të modeluar rritjen e popullatave ose zvogëlimin e tyre, ose përhapjen e një virusi.



Libri i nxënësit

8 3.3 Vargjet gjeometrike

Sasia e parave që ke në një depozitë kursimi rritet me anë të një vargu gjeometrik



Libri i nxënësit

9 3.4 Seritë gjeometrike




Libri i nxënësit

10 3.5 Shuma në infinit




Libri i nxënësit

11 3.6 Vargje rekurente




Libri i nxënësit



Vlerësimi i arritjeve bazuar në punët e pavarura të nxënësve.

Libri i nxënësit

13 4 R a d 4.1 Matje në radian Radianet janë njësi matëse për Shpjegim Vlerësimi i arritjeve Libri i nxënësit


këndet. Ato përdoren ne mekanike për te përshkruar lëvizjen rrethore



14 4.2 Gjatësia e harkut

Radianët janë njësi matëse për harqet. Ato mund të përdoren për të gjetur distancat ndërmjet kabinave përgjatë perimetrit rrethor të rrotës Ferris.



Libri i nxënësit

15 4.3 Syprina e sektorëve dhe segmenteve

Radianët janë njësi matëse për harqet. Ato mund të përdoren për të gjetur distancat ndërmjet kabinave përgjatë perimetrit rrethor të rrotës Ferris.



Libri i nxënësit

16 4.4 Zgjidhje ekuacionesh trigonometrike

Në lojërat elektronike, fytyra, trupi, lëvizjet, madje edhe veshja e një personazhi, përcaktohen gati tërësisht duke zbatuar rregullat e trigonometrisë.



Libri i nxënësit

17 4.5 Përafrime këndesh të vogla

Përafrimet e këndeve të vogla ndihmojnë fizikanët në llogaritjet e këndeve të thyerjes dhe të pasqyrimit në optikë.



Libri i nxënësit

18 4.6 Identitete trigonometrike

Sistemet satelitore përdorin trigonometri për të llogaritur vendndodhjen e një automjeti.



Libri i nxënësit




Libri i nxënësit

20 4.7 Funksionet Astronomët përdorin trigonometrinë Shpjegim Vlerësimi i arritjeve Libri i nxënësit


trigonometrike të anasjella

për të parashikuar vendndodhjen e kometave.






Libri i nxënësit

22

Kap

itulli

5

Trig

onom

etri

dhe

mod

elim

(5

orë

)

5.1 Formula e shumës

Trigonometria u nevojit për gërmimin e tunelit të La Manshit. Duke gërmuar nga të dyja anët e tunelit, inxhinierët u takuan nën nivelin e ujit dhe gabimi i bërë ishte më pak se 2 cm.



Libri i nxënësit

23 5.2 Zbatimi i formulës së shumës së këndeve

Trigonometria u nevojit për gërmimin e tunelit të La Manshit. Duke gërmuar nga të dyja anët e tunelit, inxhinierët u takuan nën nivelin e ujit dhe gabimi i bërë ishte më pak se 2 cm.



Libri i nxënësit

24 5.3 Formula e këndit të dyfishtë




Libri i nxënësit

25 5.4 Zgjidhje ekuacionesh trigonometrike




Libri i nxënësit




Libri i nxënësit

27 n e p 6.1 Ekuacione Ekuacionet parametrike mund të Shpjegim Vlerësimi i arritjeve Libri i nxënësit


parametrike përdoren për të përshkruar shtegun që përshkon një skiator nga pika e shkëputjes nga rampa e skive deri në pikën ku takon tokën.



6.2 Përdorimi i identiteteve trigonometrike

Fuqia e mikrovalës në pika të ndryshme brenda një mikrovale mund të modelohet duke përdorur funksionetrigonometrike.



Libri i nxënësit




Libri i nxënësit

Kap

itulli

7

Der

ivat

i (9

orë

)

7.1 Derivati i sin x dhe cos x

Me anë të derivimit mund të gjeni shpejtësinë e ndryshimit në modelet trigonometrike dhe në modelet eksponenciale



Libri i nxënësit

7.2 Derivati i funksioneve eksponenciale dhe i funksioneve logaritmike

Derivati i funksioneve eksponenciale përdoret nga shkencëtarët për të përshkruar shpejtësinë e rritjes popullsisë ose ndotjes radioaktive



Libri i nxënësit

7.3 Derivati i funksionit të përbërë

Formula e derivimit të funksionit të përbërë lehtëson gjetjen e derivatit tëfunksioneve të ndërlikuar.



Libri i nxënësit

7.4 Derivati i prodhimit

Formula e derivimit të prodhimit lehtëson gjetjen e derivatit të prodhimit të dy ose më shumë funksioneve.



Libri i nxënësit

7.5 Derivati i herësit

Formula e derivimit të herësit lehtëson gjetjen e derivatit të raportit të dy



Libri i nxënësit


funksioneve që kanë derivat. Punë në grupe të vogla


7.6 Derivati i funksioneve trigonometrike



Libri i nxënësit

7.7 Zbatime të derivateve të dyta



Libri i nxënësit

7.8 Shpejtësia e ndryshimit

Shpejtësia e një sfere metalike të vinçit që shërben në ndërtim mund të vlerësohet duke modeluar zhvendosjen e saj dhe pastaj duke përdorur derivimin.



Libri i nxënësit




Libri i nxënësit

Kap

itulli

8

Inte

gral

i (8

orë)

8.1 Integrimi i funksioneve standard

Integrali është veprimi i kundërt i derivimit. Ai përdoret për të njehsuar syprinat e figurave, vëllimet e trupave me formë të parregullt dhe syprinat e figurave të kufizuara nga vija.



Libri i nxënësit

8.2 Integrimi i f(ax + b)

Integrali është veprimi i kundërt i derivimit. Ai përdoret për të njehsuar syprinat e figurave, vëllimet e trupave me formë të parregullt dhe syprinat e figurave të kufizuara nga vija.



Libri i nxënësit

8.3 Përdorimi i identiteteve

Me anë të identiteteve të trigonometrisë bëhet e mundur që një



Libri i nxënësit


trigonometrike shprehje e cila nuk mund te integrohet, te zëvendësohet me një shprehje identike e cila mund te integrohet.



8.4 E anasjella e rregullës së derivatit të funksionit të përbërë

Integrimi mund të përdoret për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale.



Libri i nxënësit

8.5 Integrimi me anë të zëvendësimit

Arkeologët i përdorin ekuacionet diferenciale për të vlerësuar moshën e fosileve të bimëve dhe të kafshëve.



Libri i nxënësit

8.6 Integrimi me pjesë

Për të njehsuar syprinat e figurave që kufizohen nga vija me formula të ndërlikuara shpesh është e nevojshme të integrosh me pjesë.



Libri i nxënësit

8.7 Njehsimi i syprinave




Libri i nxënësit




Libri i nxënësit

9.1 Koordinata 3D Vektorët përdoren për të përshkruar vendndodhjen relative në sistemin 3D.



Libri i nxënësit

9 Ve

kto rë 9.2 Vektorë në

sistemin 3D Vektorët përdoren për të përshkruar vendndodhjen



Libri i nxënësit


relative në sistemin 3D. Punë në grupe të vogla



Me anë të vektorëve bëhet zgjidhja e problemave të gjeometrisë në sistemin 3D.



Libri i nxënësit

9.4 Prodhimi numerik i dy vektorëve në planin

Me anë të vektorëve përcaktohen vetitë e trupave të ngurtë 3D.



Libri i nxënësit




Libri i nxënësit

Prob

abili

teti

me

kush

t

10.1 Simbolet e bashkësive Bashkësia është një nga kuptimet

themelore në matematikë. Për të nuk ka përkufizim.



Libri i nxënësit

10.2 Probabiliteti me kusht

Rezultati i një ngjarjeje mund të ndikojë probabilitetin e një ngjarjeje tjetër. Në qoftë se një ekip futbolli në një ndeshje shënon një gol, atëherë probabiliteti që ekipi ta fitojë ndeshjen do të rritet.



Libri i nxënësit

10.3 Probabilitetet me kusht në diagramet e Venit

Diagramet e Venit janë një ndihmesë shumë e mirë për të përshkruar probabilitetin me kusht.



Libri i nxënësit

10.4 Diagramet pemë

Diagrami pemë probabilitare për të gjetur probabilitetin e dy a më shumë ngjarjeve të ndihmon për të shmangur



Libri i nxënësit


çdo kombinim të gabuar. vogla dhe në punët në grupe.




Libri i nxënësit

Përsëritje: Kapitulli 13



Libri i nxënësit




Libri i nxënësit




Libri i nxënësit

Projekt



Libri i nxënësit

Projekt



Libri i nxënësit

Projekt



Libri i nxënësit

Vlerësim përmbledhës Përsëritje për maturën shtetërore


Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore Përsëritje për maturën shtetërore


Planifikimi i orës mësimore – Tematika: Shprehjet algjebrike

Fusha: Matematikë Lënda: Matematikë Shkalla VI Klasa XII

Tema mësimore: 1.1 Rregullat e fuqive

Situata e të nxënit Shkencëtarët e kompjuterëve i përdorin fuqitë për të treguar numra shumë të mëdhenj.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore. Nxënësi: • Kryen veprime me fuqi me eksponentë numra të

plotë; • Thjeshton shprehje duke zbatuar rregullat e

fuqive.

Koncepte kyçe: n m n ma a a +× = n m n ma a a −÷ =

( )mn n ma a=

( )n n nab a b=

Burimet: Libri i nxënësit faqe 2-4; Fletore pune

Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Veprime me fuqi, faktorizime, thjeshtime.

Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve

Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë vetitë e fuqive.

n m n ma a a +× = n m n ma a a −÷ =

( )mn n ma a= ( )n n nab a b=

• Prezanto në tabelë Shembullin 1 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 1. Sigurohu që të gjithë nxënësit i zbatojnë me saktësi rregullat e fuqive.

• Prezanto në tabelë Shembullin 2 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 2. Sigurohu që të gjithë nxënësit i zbatojnë me saktësi hapjen e kllapave, reduktimin e kufizave të ngjashme dhe rregullat e fuqive.

• Prezanto në tabelë Shembullin 2 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 3. Sigurohu që të gjithë nxënësit zbatojnë me saktësi faktorizimin dhe thjeshtimin e kufizave të njëjta.

Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë ushtrimet: Kryej veprimet

a) 2 53 2x x× ; b) ( )324x ; c) 2 3 44 3b x b× × .

Kontrollo nxënësit sa janë të aftë të zgjidhin saktë këto ushtrime.

Vlerësimi:



Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12.



Tema mësimore: 1.2 Faktorizimi

Situata e të nxënit Për të zgjidhur ekuacione të fuqive më të mëdha se dy shpesh herë është e nevojshme të faktorizosh

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi:

• Faktorizon shprehje kuadratike; • Thjeshton shprehje shkronjore plotësisht duke

zbatuar saktë rregullat e faktorizimit.

Koncepte kyçe: Faktorizimi; Diferencë katrorësh; Shprehje kuadratike


Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Veprime me fuqi, faktorizime, hapje kllapash,thjeshtime.


Organizimi i orës së mësimit:

Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese

Si pikënisje prezanto para nxënësve që Faktorizimi është e kundërta e hapjes së kllapave.

• Prezanto në tabelë shembullin 4 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes.

Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 1. Sigurohu që të gjithë nxënësit i zbatojnë me saktësi rregullat e fuqive.

Komuniko me nxënësit: Një shprehje kuadratike ka formën 2ax bx c+ + kur a, b dhe c janë numra realë dhe 0a ≠ . • Prezanto në tabelë shembullin 5 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e

zgjidhjes. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 2. Sigurohu që të gjithë nxënësit janë të aftë të faktorizojnë një shprehje kuadratike.

• Prezanto në tabelë Shembullin 6 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes.

Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 3. Sigurohu që të gjithë


nxënësit zbatojnë me saktësi faktorizimin dhe thjeshtimin e kufizave të njëjta.

Punë e diferencuar: Ushtrimet 4 dhe 5 dhe sfidë (udhëzim zëvendëso: 2x t= ).

Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë ushtrimet: Faktorizo plotësisht:

a) 2 5 6x x− + ; b) 2 24 9b a− ; c) 23 5 2x x− + Kontrollo nxënësit sa janë të aftë të zgjidhin saktë këto ushtrime.

Vlerësimi: Vlerësimi i arritjeve bazuar në punët e pavarura të nxënësve dhe në punët në grupe.




Tema mësimore: 1.3 Fuqitë me eksponentë negativ dhe thyesorë

Situata e të nxënit Një kompjuter kuantik me 1000 kubitë (njësi kuantike) mund të marrë në shqyrtim 21000 vlera njëherësh. Ky numër është më i madh se numri i grimcave në universin e vrojtuar.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Kryen veprime me fuqi me eksponentë numra

të plotë negativ. • Kthen një fuqi me eksponent thyesor në rrënjë.

Koncepte kyçe: Rregullat e fuqive me eksponentë numra negativ dhe thyesorë.


Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Veprime me fuqi, faktorizime, hapje kllapash,thjeshtime.


Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin/teknika dhe metoda hulumtuese • Si pikënisje prezanto para nxënësve që rregullat e fuqive mund të përdoren me çdo fuqi

racionale. • Shkruaj në tabelë vetitë e fuqive dhe ilustroje secilën veti me një shembull të thjeshtë. • Prezanto në tabelë Shembullin 7 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e

zgjidhjes. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 1. Sigurohu që të gjithë nxënësit janë të aftë të zbatojnë vetitë e fuqive me eksponent numër të plotë negativ.


• Prezanto në tabelë shembullin 8 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 2. Sigurohu që të gjithë nxënësit zbatojnë me saktësi vetitë e fuqive me eksponent numër thyesor dhe zotërojnë kthimin e fuqisë në rrënjë. Prezanto në tabelë shembullin 9 dhe sigurohu që nxënësit janë të aftë të paraqitin një funksion në formën ny kx= , ku k dhe n janë konstante.

Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 5. Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë ushtrimet e mëposhtme:

Kryej veprimet: a)

13 324

; b) 1 23 33 6x x÷ ; c) 2 43 2x x− −×

Kontrollo nxënësit sa janë të aftë të kryejnë me saktësi këto veprime.





Tema mësimore: 1.4 Numrat irracionalë Situata e të nxënit

Numrat irracionalë ndeshen shpesh në natyrë. Një shembull i tillë është Prerja e artë 1 52+ , që

ka shumë zbatime edhe në arkitekturë. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Thjeshton dhe përdor rregullat e shumëzimit

dhe pjesëtimit të numrave irracionalë

Koncepte kyçe: Numra irracionalë;

a b a b× = ×

a ab b=


Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Veprime me rrënjë, faktorizime, hapje kllapash,thjeshtime.


Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese


Si pikënisje prezanto para nxënësve kuptimin e numrit irracional si numër dhjetor i pafundmë dhe joperiodik duke dhënë shembuj të tipit 2.01001000100001....etj.

Paraqit në tabelë vetitë e rrënjëve: a b a b× = × a ab b=

• Prezanto në tabelë Shembullin 10 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 1. Sigurohu që të gjithë nxënësit nxjerrin faktorin e duhur nga rrënja dhe dinë kuptimin e rrënjëve të ngjashme.

Prezanto në tabelë shembullin 11 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes.

Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 2. Sigurohu që të gjithë nxënësit janë të aftë të hapin kllapat me rrënjë dhe zbatojnë korrekt vetitë e rrënjëve. Punë e diferencuar: Ushtrimi 3.

Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë ushtrimet:

1. Thjeshto: 20 2 45 80+ − 2. Zbërthe dhe thjeshto nëse është e mundur:

a) ( )2 3 5+

b) ( )( )2 5 5 3− +

c) ( )( )6 2 4 7− −







Tema mësimore: 1.5 Racionalizimi i emëruesve

Situata e të nxënit Racionalizimi i emëruesve lehtëson gjetjen e vlerës së përafërt të një thyese irracionale.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Kthen emëruesin e një thyese në numër

racional.

Koncepte kyçe:

Për thyesat e formës 1a

shumëzo

numëruesin dhe emëruesin me a .

• Për thyesat e formës 1a b+

shumëzo

numëruesin dhe emëruesin me a b− .

• Për thyesat e formës 1a b−

shumëzo

numëruesin dhe emëruesin me a b+ .




Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto para nxënësve kuptimin e racionalizimit të emëruesit, duke paraqitur në tabelë konceptet kyçe:

Për thyesat e formës 1a

shumëzo numëruesin dhe emëruesin me a .

• Për thyesat e formës 1a b+

shumëzo numëruesin dhe emëruesin me a b− .

• Për thyesat e formës 1a b−

shumëzo numëruesin dhe emëruesin me a b+ .

• Prezanto në tabelë shembullin 12 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 1. Sigurohu që të gjithë nxënësit shumëzojnë me të konjuguarën dhe kryejnë saktë veprimet. Te ushtrimi 1 pikat d,e f, g ,h udhëzoji që të fusin në një rrënjë pastaj të kryejnë thjeshtimet e nevojshme.

Ndaji nxënësit në grupe për të punuar ushtrimin 2. Kontrollo dhe sigurohu që nxënësit dinë të gjejnë të konjuguarën e emëruesit.

Punë e diferencuar: Ushtrimi 3. Zhvillo ushtrimin 3 dhe tërhiqu vëmendjen që ta kuptojnë mirë sepse është ushtrim model


për provim. Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë ushtrimet:

Racionalizo emëruesit: a) 13

; b) 11 2−

; c) 32 3−






Tema mësimore: 1.6 Ushtrime për përpunim të njohurive

Situata e të nxënit

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Shumëzon dhe pjesëton me fuqi të plota. • Hap kllapa kur ajo shumëzohet me një kufizë të

vetme dhe grupon kufiza të ngjashme. • Kryen shumëzimin e dy ose tri shprehjeve. • Faktorizon shprehje lineare, shprehje kuadratike

dhe shprehje kubike të thjeshta. • Njeh dhe përdor rregullat e fuqive. • Thjeshton dhe përdor rregulla për të kryer veprime

me numra irracionalë. • Kthen emëruesin e një thyese në numër racional.

Koncepte kyçe: Nuk ka koncepte të reja

Burimet: Libri i nxënësit Kapitulli 1; Fletore pune

Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Algjebër


Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Në këtë orë mësimore mund të bëhet përsëritje për kapitullin 1 ose mund të bëhet një test i ndërmjetëm për njohuritë bazë të këtij kapitulli. Një model ushtrimesh që mund të punohen me nxënësit për të përmbledhur njohuritë kryesore të kapitullit:


1. Hap kllapat dhe thjeshto sa më shumë që të jetë e mundur a) ( )( )( )2 3 4x x x− + − b) ( )( )( )1 5 6x x x− + −

2. Hap kllapat a) ( )2 23 2 3 2x x x− + b) ( ) ( )2 2 3 3 1 4x x x x− − −

3. Faktorizo këto shprehje plotësisht a) 2 2x xy xy+ + b) 2 28 10xy x y+

4. Faktorizo a) 21 3 2x x− + b) 25 3 2x x− −

5. Njehso: a) 238

27

b) 1

24964

−

6. Thjeshto: a) 20 2 45 80+ − b) 118 32 502

+ −

7. Racionalizo emëruesin e thyesave: a) 31 3−

b) ( )2

1

2 3+ c)

( )2

1

4 7−

8. Zgjidh ekuacionin: 88 123xx+ =



Planifikimi i orës mësimore – Tematika: Funksionet kuadratike


Tema mësimore: 2.1 Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike

Situata e të nxënit Funksionet kuadratike përdoren si modele për lëvizjen e predhës. Pavarësisht nga mënyra se si hidhet ose lëshohet një objekt, ai ndjek një trajektore e cila ka afërsisht formën e një parabole.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Zgjidh ekuacionet kuadratike me anë të

faktorizimit, të formulave kuadratike dhe të plotësimit të një katrori të plotë.

Koncepte kyçe: Për të zgjidhur një ekuacion kuadratik me anë të faktorizimit,veprohet në këtë mënyrë: • Shkruaj ekuacionin në formën 2 0ax bx c+ + = • Faktorizo anën e majtë. • Barazo secilin faktor me zero dhe zgjidh për të gjetur vlerën, ose vlerat e x.


Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare:


Veprime me rrënjë, faktorizime, hapje kllapash,thjeshtime.


Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto para nxënësve strategjinë e faktorizimit të një ekuacioni kuadratik. • Prezanto në tabelë Shembullin 1 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e

zgjidhjes. • Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimet 1 dhe 2. Sigurohu që të gjithë

nxënësit faktorizojnë lehtësisht një ekuacion kuadratik dhe gjejnë saktësisht zgjidhjet e tij. • Prezanto në tabelë Shembullin 2 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e

zgjidhjes dhe përparësitë që ka zgjidhja duke marrë rrënjët katrore të të dyja anëve. • Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 3. Sigurohu që të gjithë

nxënësit janë të aftë të gjejnë zgjidhjet e sakta. • Prezantoji klasës edhe formulën kuadratike e cila është një opsion gjithashtu për zgjidhjen e

një ekuacioni kuadratik. Zhvillo me klasën ushtrimin 3. Tërhiqu vëmendjen për pikën h), sepse është një ekuacion irracional dhe është e nevojshme prova e zgjidhjes.

Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë ushtrimet: Zgjidh ekuacionet duke e lënë përgjigjen në formë irracionale:

a) 2 3 2 0y y+ + = ; b) 23 13 10 0x x+ − = ; c) ( )22 5 7x − =

Kontrollo nxënësit sa janë të aftë të zgjidhin saktë këto ushtrime. Punë e diferencuar ushtrimi sfidë.






Tema mësimore: 2.2 Plotësimi i katrorit

Situata e të nxënit Plotësimi i një katrori të plotë të një funksioni kuadratik të ndihmon të gjesh kulmin e parabolës.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Plotëson një katror të plotë te një shprehje

kuadratike. • Zgjidh ekuacione kuadratike me anë të

plotësimit të një katrori të plotë.

Koncepte kyçe: Shpeshherë është e dobishme të rishkruhen shprehjet kuadratike duke plotësuar katrorin:

2 22

2 4b bax bx c a x ca a

+ + = + + −




Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë dy skicat e dhëna në libër, të cilat shpjegojnë gjeometrikisht

barazimin 22 2

2

2 2b bx bx x

+ = + −


• Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimet 1 dhe 2. Sigurohu që të gjithë nxënësit formojnë një katror të plotë.

Shkruaj në tabelë 2 2

2

2 4b bax bx c a x ca a

+ + = + + −

• Prezanto në tabelë Shembullin 5 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes për të gjetur p, q dhe r.

• Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 3. Sigurohu që të gjithë nxënësit janë të aftë të gjejnë p, q dhe r. Zhvillo me klasën ushtrimin 3, 4 dhe 5.

• Prezanto shembullin 6 dhe sigurohu që nxënësit e kuptojnë zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik duke formuar një katror të plotë.

• Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimet 2D. Sigurohu që të gjithë nxënësit janë të aftë të zgjidhin ekuacione duke krijuar një katror të plotë.

Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë ushtrimet: Paraqit secilën shprehje në formën ( )2p x q r+ +

a) 2 12 9y y+ − ; b) 25 40 13 0x x− + = ; c) ( )223 1x x− +


Kontrollo nxënësit sa janë të aftë të zgjidhin saktë këto ushtrime. Punë e diferencuar ushtrimi sfidë.





Tema mësimore: 2.3 Funksionet

Situata e të nxënit Plotësimi i një katrori të plotë te një funksion kuadratik të ndihmon të gjesh vlerën më të madhe(vogël) të funksionit.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Gjen vlerën e një funksioni. • Gjen vlerën më të madhe(vogël) të një

funksioni me anë të plotësimit të një katrori të plotë.

Koncepte kyçe: Bashkësia e vlerave të lejuara të fillimit të një funksioni quhet bashkësi përcaktimi. Bashkësia e vlerave të mundshme të një funksioni quhet bashkësia e vlerave (shëmbëllimeve). Rrënjët e një funksioni janë vlerat e x për të cilat ( ) 0f x = .


Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Faktorizimi, Katrori i plotë, Ekuacioni, Inekuacioni.


Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe: • Bashkësia e vlerave të lejuara të fillimit të një funksioni quhet bashkësi përcaktimi. • Bashkësia e vlerave të mundshme të një funksioni quhet bashkësia e vlerave

(shëmbëllimeve).

• Rrënjët e një funksioni janë vlerat e x për të cilat ( ) 0f x = .

Prezanto në tabelë Shembullin 8 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes. • Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 1. Sigurohu që të gjithë

nxënësit gjejnë saktë vlerën e funksionit në një pikë çfarëdo të bashkësisë së përcaktimit.


• Prezanto në tabelë Shembullin 9 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes për të gjetur p, q dhe r dhe vlerën më të madhe (vogël) të një funksioni.

• Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 6. Sigurohu që të gjithë nxënësit janë të aftë të gjejnë p, q dhe r dhe dinë të arsyetojë për të gjetur vlerën më të madhe(vogël) të tij.

• Prezanto shembullin 10 dhe sigurohu që nxënësit e kuptojnë zgjidhjen e një ekuacioni me metodën e zëvendësimit. Sqaroji nxënësit që këto lloj ekuacionesh quhen ekuacione bikuadrat.

• Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 7. Sigurohu që të gjithë nxënësit janë të aftë të bëjnë zëvendësimin e duhur dhe zgjidhin saktë ekuacione të tilla.

Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë ushtrimet:

a) 22 202 64 0x x− + = ; b) 4 23 2 1x x− − ; c) ( ) ( )4 22 1 10 2 1 9 0x x+ − + + =



Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12 dhe ushtrimet 4, 5 dhe 8 faqe 24.



Tema mësimore: 2.4 Grafikët e funksioneve kuadratike

Situata e të nxënit Grafikët kuadratikë janë të dobishëm për gjetjen e orbitave që përshkojnë predhat në ajër ose topat e futbollit.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Gjen vlerën e një funksioni. • Gjen vlerën më të madhe(vogël) të një funksioni

me anë të plotësimit të një katrori të plotë.

Koncepte kyçe: Koordinatat e kulmit të një grafiku kuadratik mund të gjenden duke plotësuar katrorin. Në qoftë se ( ) ( )2f x a x p q= + + , grafiku i ( )y f x=

ka kulm në ( ),p q−



Grafiku i ( )2y a x p q= + + është një zhvendosje paralele e grafikut të 2y ax= me

vektor pq−

.



Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë pikat kyçe për ndërtimin e një parabole: 1 Grafiku pret boshtin y kur x = 0. Koordinata y është e barabartë me c. 2 Grafiku pret boshtin x kur y = 0. Koordinatat x të pikave të prerjes janë rrënjët e funksionit f(x). 3 Grafikët kuadratikë kanë një pikë ku ata kthehen. Kjo pikë quhet kulm dhe mund të jetë një minimum ose një maksimum. Meqenëse parabola është simetrike, kulmi dhe drejtëza e simetrisë e kanë abshisën në mesin midis dy rrënjëve. Prezanto në tabelë Shembullin 11 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e ndërtimit të grafikut. • Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 1. Sigurohu që të gjithë

nxënësit gjejnë saktë kulmin dhe pikëprerjet me boshtet koordinative. • Prezanto në tabelë Shembullin 12 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e

zgjidhjes për të gjetur kulmin dhe drejtëzën e simetrisë së parabolës. • Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 2. Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë ushtrimet:

Ndërto grafikun e a) 2 4 3y x x= − + ; b) 21 6 52

y x x= − + −

Kontrollo nxënësit sa janë të aftë të ndërtojnë me saktësi këto parabola.


Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12 dhe ushtrimin 3 faqe 27.




Tema mësimore: 2.5 Dallori

Situata e të nxënit Ekuacionet kuadratike mund të kenë 0, 1 ose 2 rrënjë të mundshme; kjo përcaktohet menjëherë nga shenja e dallorit.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Gjen vlerën e dallorit te një funksion

kuadratik. • Përcakton numrin e rrënjëve të ekuacionit

kuadratik në varësi të shenjës së dallorit.

Koncepte kyçe: Te funksioni kuadratik ( ) 2f x ax bx c= + + , shprehja 2 4b ac− quhet dallor. Vlera e dallorit tregon se sa rrënjë ka ( )f x :

• Në qoftë se 2 4 0b ac− > atëherë ( )f x ka dy rrënjë reale të ndryshme. • Në qoftë se 2 4 0b ac− = atëherë ( )f x ka një rrënjë që përsëritet (dy rrënjë të barabarta). • Në qoftë se 2 4 0b ac− < atëherë ( )f x nuk ka rrënjë reale.


Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Ekuacioni; Inekuacioni


Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit:

Te funksioni kuadratik ( ) 2f x ax bx c= + + , shprehja 2 4b ac− quhet dallor. Vlera e dallorit tregon

sesa rrënjë ka ( )f x :

• Në qoftë se 2 4 0b ac− > atëherë ( )f x ka dy rrënjë reale të ndryshme.

• Në qoftë se 2 4 0b ac− = atëherë ( )f x ka një rrënjë që përsëritet (dy rrënjë të barabarta).

• Në qoftë se 2 4 0b ac− < atëherë ( )f x nuk ka rrënjë reale.

Shoqëroji shpjegimet me ilustrimet gjeometrike përkatëse. • Prezanto në tabelë shembullin 13 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat për

të shpjeguar që një funksion të ketë dy rrënjë të barabarta. • Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimet 3 dhe 4. Sigurohu që të

gjithë nxënësit gjejnë saktë dallorin dhe i përgjigjen korrekt pyetjes së bërë në ushtrim. • Prezanto në tabelë shembullin 14 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e

zgjidhjes për të gjetur dallorin dhe për të shpjeguar rastin kur funksioni ka dy rrënjë të ndryshme.

• Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimet 2, 6 dhe 7.


Reflekto Në fund të orës mësimore diskuto me nxënësit ushtrimin 1. Kontrollo nxënësit sa janë të aftë të përkatësojnë vlerën e dallorit me skicën përkatëse të funksionit kuadratik.


Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12. Detyrë e diferencuar: Ushtrimi sfidë.





Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Faktorizon një shprehje kuadratike. • Formon një katror të plotë te një shprehje

kuadratike. • Gjen rrënjët e një funksioni kuadratik me anë të

formulës kuadratike. • Përcakton numrin e rrënjëve të një funksioni

kuadratik me anë të studimit të shenjës së dallorit.

• Ndërton grafikun e një funksioni kuadratik.



Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Algjebër



1. Zgjidh ekuacionet e mëposhtme pa përdorur makinë llogaritëse. Përgjigjja të jepet me anë të rrënjëve nëse është e nevojshme:


a) 2 7 3 0x x− + = b) 22 5 7 0x x+ − = 2. Zgjidh ekuacionet e mëposhtme duke formuar një katror të plotë

a) 22 8 3 0x x− + = b) 2 8 3 0x x− + = 3. Zgjidh ekuacionet e mëposhtme duke përdorur formulën kuadratike

a) 2 8 1 0x x− + = b) 25 8 4 0x x− − = 4. Për ç’vlera të parametrit m ekuacioni 2 4 2 0mx x− + = ka dy rrënjë reale të ndryshme? 5. Për ç’vlera të parametrit m ekuacioni 2 2 0x mx− + = ka dy rrënjë reale të barabarta? 6. Për ç’vlera të parametrit m ekuacioni 2 4 0mx x m− + = nuk ka rrënjë reale? 7. Ndërto grafikët e funksioneve kuadratike duke gjetur kulmin, pikëprerjet me boshtet

koordinative dhe ndonjë vlerë ndihmëse. a) 2 5 6y x x= − + ; b) 2 8 9y x x= − − + ; c) 2 4 6y x x= − + ; d) 2 10 25y x x= − + .

8. Vizato skicën e një funksioni kuadratik y=a𝑥𝑥2+bx+c me këto cilësi: a) a> 0 dhe D<0; b) a<0 dhe D <0; c) a>0 dhe D=0



Planifikimi i orës mësimore – Tematika: Ekuacione dhe inekuacione


Tema mësimore: 3.1 Sistemet e ekuacioneve lineare

Situata e të nxënit Sistem do të thotë ’në të njëjtën kohë’. Kur zgjidh një sistem ekuacionesh me dy ndryshore duhet të gjesh një çift ndryshoresh që i vërteton ekuacionet e sistemit njëkohësisht.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Zgjidh sisteme me dy ekuacione lineare me dy

ndryshore(të panjohura)

Koncepte kyçe: Sistemet e ekuacioneve lineare mund të zgjidhen me anë të eliminimit ose zëvendësimit.


Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Ekuacioni




Sistemet e ekuacioneve lineare mund të zgjidhen me anë të eliminimit ose zëvendësimit • Prezanto në tabelë Shembullin 1 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat për

të shpjeguar mënyrën e zgjidhjes së një sistemi ekuacionesh lineare me dy të panjohura. • Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimet 1 dhe 2. Sigurohu që të

gjithë nxënësit gjejnë saktë zgjidhjen e sistemit për çdo rast. • Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 2.

Zhvillo me klasën ushtrimin 3.a 3 2 5

5 6x y

x y− = −

− =

Jep si punë të pavarur pikat e tjera duke iu dhënë udhëzimet përkatëse.

Zhvillo me klasën ushtrimin 4: 3 8

2 5x ky

x ky+ =

− = ⇒

3 83 6 15x ky

x ky+ =

− + = −

1yk

= − dhe x=3. Pra çifti i numrave 13,k

është zgjidhje e sistemit.

Jep si punë të pavarur ushtrimin 5. Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë disa sisteme lineare të thjeshta. Kërko nga nxënësit zgjidhjen e tyre në mënyrë të pavarur dhe kontrollo rezultatet.





Tema mësimore: 3.2 Sistemet e ekuacioneve kuadratike

Situata e të nxënit Sistem do të thotë “në të njëjtën kohë”. Kur zgjidh një sistem ekuacionesh me dy ndryshore duhet të gjesh një çift ndryshoresh që i vërteton të dy ekuacionet e sistemit njëkohësisht.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Zgjidh sisteme me dy ekuacione: një ekuacion

linear dhe tjetri kuadratik, me dy ndryshore(të panjohura)

Koncepte kyçe: Sistemet e ekuacioneve me një ekuacion linear dhe një kuadratik mund të kenë deri në dy çifte zgjidhjesh. Me anë të provës duhet të sigurohesh që çiftet e zgjidhjeve janë të sakta.





Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit. Sistemet e ekuacioneve me një ekuacion linear dhe tjetri kuadratik mund të zgjidhen me anë të eliminimit ose zëvendësimit nga ekuacioni linear te ekuacioni kuadratik. • Prezanto në tabelë Shembullin 3 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat për

të shpjeguar mënyrën e zgjidhjes së një sistemi ekuacionesh një linear dhe tjetri kuadratik me dy të panjohura.

• Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 1. Sigurohu që të gjithë nxënësit gjejnë saktë zgjidhjen e sistemit për çdo rast.

• Prezanto në tabelë Shembullin 2 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes duke theksuar se metoda që po zbatohet quhet metoda e zëvendësimit.

Zhvillo me klasën ushtrimin 3.a 6

4x yxy− =

=

Jep si punë të pavarur 3.b duke iu dhënë udhëzimet përkatëse. Jep si punë të pavarur ushtrimin 4. Zhvillo me klasën ushtrimin 5. Jep si punë të pavarur ushtrimin 6.

Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë sistemin 2 2

2 34 33

x yx y+ =

− = −

• Kërko nga nxënësit zgjidhjen e tij në mënyrë të pavarur dhe kontrollo rezultatet


Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12. Detyrë e diferencuar ushtrimi sfidë.




Tema mësimore: 3.3 Zgjidhja grafike e sistemeve të ekuacioneve

Situata e të nxënit Sistem do të thotë ’në të njëjtën kohë’. Kur zgjidh një sistem ekuacionesh me dy ndryshore duhet të gjesh një çift ndryshoresh që i vërteton ekuacionet e sistemit njëkohësisht.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Zgjidh grafikisht sisteme me dy ekuacione të

fuqisë së parë. • Zgjidh grafikisht sisteme me dy ekuacione njëri

linear dhe tjetri kuadratik,

Koncepte kyçe: Zgjidhjet e një sistemi ekuacionesh tregojnë pikat e prerjes së grafikëve të ekuacioneve të sistemit. Për një sistem me dy ekuacione nga i cili rrjedh një ekuacion kuadratik i formës

2 0ax bx c+ + = 0 kemi: • 2 4 0b ac− > dy zgjidhje reale • 2 4 0b ac− = vetëm një zgjidhje reale • 2 4 0b ac− < asnjë zgjidhje reale




Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit. Zgjidhjet e sistemeve të ekuacioneve mund të paraqiten grafikisht. Njëlloj si çdo pikë në një drejtëz ose në një vijë vërteton ekuacionin e kësaj drejtëze ose kësaj vije, pikat e prerjes së dy drejtëzave ose dy vijave vërtetojnë ekuacionet e sistemit të ekuacioneve. Zgjidhjet e një sistemi ekuacionesh tregojnë pikat e prerjes së grafikëve të ekuacioneve të sistemit. • Prezanto në tabelë Shembullin 4 duke u theksuar që nëse grafikët priten, atëherë koordinatat

e pikëprerjes janë zgjidhjet e sistemit. • Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 1. Sigurohu që të gjithë

nxënësit gjejnë saktë zgjidhjen e sistemit për çdo rast. • Prezanto në tabelë Shembullin 5 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e

ndërtimit të grafikut të parabolës(funksionit kuadratik). Zhvillo me klasën ushtrimin 2. Jep si punë të pavarur ushtrimin 3. Prezanto në tabelë Shembullin 6 duke iu tërhequr vëmendjen nxënësve te lidhja që ekziston midis shenjës së dallorit dhe numrit të zgjidhjeve të ekuacionit kuadratik. Jep si punë të pavarur ushtrimin 8.

Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe për ushtrimin 7.


Gjej numrin e pikave të prerjes për këto sisteme me dy ekuacione. Kërko nga nxënësit zgjidhjen e tyre në mënyrë të pavarur dhe kontrollo rezultatet.


Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet 5, 6 dhe 9 faqe 38 Matematika 12.



Tema mësimore: 3.4 Inekuacionet lineare

Situata e të nxënit Çdo gjë që bën me një ekuacion mund ta bësh me një inekuacion. Inekuacioni të vjen në ndihmë për të shqyrtuar një gamë të gjerë zgjidhjesh të mundshme të problemave.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Zgjidh inekuacione të fuqisë së parë me një

ndryshore. • Zgjidh sisteme inekuacionesh të fuqisë së parë

me një ndryshore. • Paraqit me anë të shënimeve me bashkësi

zgjidhjet e inekuacioneve ose të sistemeve të inekuacioneve..

• Kupton dhe bën dallimin midis lidhëzave logjike ‘dhe’ dhe ‘ose’ gjatë zgjidhjes së inekuacioneve.

Koncepte kyçe: Zgjidhja e një inekuacioni është bashkësia e të gjithë numrave realë x për të cilat inekuacioni është i vërtetë.


Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Mosbarazime, Veti të mosbarazimeve


Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit: Zgjidhja e një inekuacioni është bashkësia e të gjithë numrave realë x për të cilat inekuacioni është i vërtetë. • Prezanto në tabelë Shembullin 7 duke u theksuar me kujdes të gjitha vetitë e mosbarazimeve

që zbatohen gjatë zgjidhjes. • Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimet 1 dhe 2. Sigurohu që të


gjithë nxënësit zbatojnë saktë vetitë e mosbarazimeve për çdo rast. Prezantoji klasës konceptin e zgjidhjes së sistemit të inekuacioneve. Ndonjëherë të duhet të gjesh bashkësinë e vlerave për të cilat janë të vërtetë dy inekuacione njëherësh. Boshti numerik mund të jetë i dobishëm që të gjesh zgjidhjen. Zhvillo në tabelë Shembullin 8 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes së një sistemi inekuacionesh. Thekso me kujdes pikën b) të shembullit që nxënësit të dallojnë qartësisht ndryshimin e kuptimeve ‘dhe’ dhe ‘ose’. Jep si punë të pavarur ushtrimin 3 dhe diskuto një pjesë të zgjidhjeve në tabelë për sqaruar zgjidhjet e sakta. • Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe për zgjidhjen e inekuacioneve

( )2 7 8 4x x− ≤ − ( )3 2 7 8 4x x− + ≤ + ( )5 7 8 2x x− + ≤ − ( )7 2 3x x− + ≤ −

Kërko nga nxënësit zgjidhjen e tyre në mënyrë të pavarur dhe kontrollo rezultatet


Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12. Detyrë e diferencuar ushtrimi sfidë.



Tema mësimore: 3.5 Inekuacionet kuadratike

Situata e të nxënit Sistem do të thotë “në të njëjtën kohë”. Kur zgjidh një sistem ekuacionesh me dy ndryshore duhet të gjesh një çift ndryshoresh që i vërteton të dy ekuacionet e sistemit njëkohësisht.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Zgjidh inekuacione të fuqisë së dytë me një

ndryshore. • Zgjidh sisteme inekuacionesh me njërin

inekuacion të fuqisë së parë dhe tjetrin të fuqisë së dytë me një ndryshore.

• Paraqit me anë të shënimeve me bashkësi zgjidhjet e inekuacioneve ose të sistemeve të inekuacioneve.

Koncepte kyçe: Për të zgjidhur një inekuacion kuadratik vepro si vijon: • Rishkruaje atë në mënyrë që ana e djathtë e inekuacionit të jetë 0. • Zgjidh ekuacionin kuadratik përkatës që të gjesh vlerat kritike. • Vizato një skicë të grafikut të funksionit kuadratik. • Me anë të skicës gjej bashkësitë e kërkuara të vlerave. Vlerat kritike.



Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Mosbarazime, Veti të mosbarazimeve; Dallori, Zgjidhja e ekuacionit kuadratik; Faktorizimi.


Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit: Duke u bazuar te ilustrimi i librit sqaron nxënësit si veprohet për të zgjidhur një inekuacion kuadratik: • Rishkruaje atë në mënyrë që ana e djathtë e inekuacionit të jetë 0. • Zgjidh ekuacionin kuadratik përkatës që të gjesh vlerat kritike. • Vizato një skicë të grafikut të funksionit kuadratik. • Me anë të skicës gjej bashkësitë e kërkuara të vlerave. • Prezanto në tabelë Shembullin 9 duke u theksuar me kujdes hapat për të faktorizuar

ekuacionin kuadratik dhe ilustrimin grafik të zgjidhjes së inekuacionit. • Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur një pjesë të ushtrimeve 1 dhe 2.

Sigurohu që të gjithë nxënësit faktorizojnë saktë dhe japin zgjidhje të sakta të inekuacioneve për çdo rast.

• Përforco me klasën konceptin e zgjidhjes së sistemit të inekuacioneve. Ndonjëherë të duhet të gjesh bashkësinë e vlerave për të cilat janë të vërtetë dy inekuacione njëherësh. Prerja e zgjidhjeve në bosht numerik mund të jetë e dobishme që të gjesh zgjidhjen e sistemit të inekuacioneve. • Mbi bazën e kësaj zhvillo në tabelë Shembullin 10 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të

gjitha hapat e zgjidhjes së një sistemi inekuacionesh. • Jep si punë të pavarur ushtrimin 3 dhe diskuto një pjesë të zgjidhjeve në tabelë për sqaruar

zgjidhjet e sakta. Prezanto në tabelë Shembullin 11 duke i dhënë rëndësinë e nevojshme rubrikës ’’Trego kujdes’’ x mund të jetë pozitiv ose negativ,pra ti nuk mund t'i shumëzosh të dyja anët e këtij inekuacioni me x. Por ti mund t´i shumëzosh të dyja anët me 2x . Meqenëse 2x nuk është asnjëherë negative, dhe kur 0x ≠ atëherë 2 0x ≠ , rrjedh se kahu i inekuacionit nuk ndryshon. • Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur një pjesë të ushtrimin 4.a dhe 4.b.

Sigurohu që të gjithë nxënësit janë të aftë të zbatojnë vetitë e mosbarazimeve për zgjidhjen e inekuacionit.

• Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe për zgjidhjen e inekuacioneve e disa inekuacioneve të fuqisë së dytë me një ndryshore.

Kërko nga nxënësit zgjidhjen e tyre në mënyrë të pavarur dhe kontrollo rezultatet.



Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet 7, 8 dhe 9, faqe 44 Matematika 12.



Tema mësimore: 3.6 Zgjidhja grafike e inekuacioneve

Situata e të nxënit Çdo gjë që bën me një ekuacion mund ta bësh me një inekuacion. Inekuacioni të vjen në ndihmë për të shqyrtuar një gamë të gjerë zgjidhjesh të mundshme të problemave.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Zgjidh inekuacione të fuqisë së dytë me një

ndryshore. • Zgjidh sisteme inekuacionesh me njërin

inekuacion të fuqisë së parë dhe tjetrin të fuqisë së dytë me një ndryshore.

• Paraqit me anë të shënimeve me bashkësi zgjidhjet e inekuacioneve ose të sistemeve të inekuacioneve.

Koncepte kyçe: Vlerat e x për të cilat vija ( )y f x= është

nën vijën ( )y g x= vërtetojnë

inekuacionin ( ) ( )f x g x< .

Vlerat e x për të cilat vija ( )y f x= është

mbi vijën ( )y g x= vërtetojnë

inekuacionin ( ) ( )f x g x> .


Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Mosbarazime, Veti të mosbarazimeve; Dallori, Ndërtimi i parabolës


Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit: • Duke u bazuar te ilustrimi i librit sqaron nxënësit si veprohet për të zgjidhur grafikisht një

inekuacion kuadratik: • Vlerat e x për të cilat vija ( )y f x= është nën vijën ( )y g x= vërtetojnë inekuacionin

( ) ( )f x g x< .

• Vlerat e x për të cilat vija ( )y f x= është mbi vijën ( )y g x= vërtetojnë inekuacionin

( ) ( )f x g x> .

• Vizato një skicë të grafikut të funksionit kuadratik.


• Me anë të skicës gjej bashkësinë e zgjidhjes. • Prezanto në tabelë Shembullin 11 duke theksuar me kujdes hapat e zgjidhjes grafike të një

inekuacioni të fuqisë së dytë. Ilustroje grafikisht zgjidhjen. • Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur një pjesë të ushtrimeve 1 dhe 2.

Sigurohu që të gjithë nxënësit e kanë kuptuar metodën e zgjidhjes grafike të një inekuacioni të fuqisë së parë ose të dytë.

• Prezanto në tabelë Shembullin 12 duke theksuar me kujdes hapat e zgjidhjes grafike të një inekuacioni të fuqisë së dytë. Ilustroje grafikisht zgjidhjen. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur një pjesë të pikave të ushtrimit 3. Sigurohu që të gjithë nxënësit e kanë kuptuar metodën e zgjidhjes grafike të një inekuacioni të fuqisë së parë ose të dytë.

Punë e diferencuar ushtrimi sfidë. P: 3: 62

A x x = − < <

Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe për zgjidhjen grafike të të disa inekuacioneve të ushtrimit 1. Kërko nga nxënësit zgjidhjen e tyre në mënyrë të pavarur dhe kontrollo rezultatet





Tema mësimore: 3.7 Zgjidhja grafike e sistemit të inekuacioneve

Situata e të nxënit Shkencëtarët dietologë përdorin zonat e grafikëve për të përmirësuar dietën ushqimore të atletëve me qëllim që ajo të sigurojë kërkesat e nevojshme ushqimore me kalori dhe vitamina

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Gjen zonën e zgjidhjes së një sistemi

inekuacinesh lineare. • Gjen zonën e zgjidhjes së një sistemi

inekuacinesh me njërin inekuacion të fuqisë së parë dhe tjetrin të fuqisë së dytë.

• Formon një sistem inekuacionesh kur njeh zonën e zgjidhjes.

Koncepte kyçe: ( )y f x< paraqet pikat në rrjetin koordinativ

nën vijën ( )y f x= .

( )y f x> paraqet pikat në rrjetin koordinativ

mbi vijën ( )y f x= .

Në qoftë se ( )y f x> ose ( )y f x< atëherë

pikat e vijës ( )y f x= nuk përfshihen në zonën e zgjidhjes dhe tregohen me një vijë të ndërprerë. Në qoftë se ( )y f x≥ ose ( )y f x≤ atëherë

pikat e vijës ( )y f x= përfshihen në zonën e


zgjidhjes dhe tregohen me një vijë të plotë. Burimet: Libri i nxënësit faqe 46-48; Fletore pune

Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Mosbarazime, Veti të mosbarazimeve; Dallori, Zgjidhja e ekuacionit kuadratik; Faktorizimi.


Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit: Duke u bazuar te ilustrimi i librit sqaron nxënësit si veprohet për të zgjidhur grafikisht një inekuacion kuadratik: • Prezanto në tabelë Shembullin 13 duke u theksuar me kujdes hapat për gjetur zonën e

zgjidhjes së inekuacionit. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur një pjesë të ushtrimeve 1 dhe 2. Sigurohu që të gjithë nxënësit dinë të ngjyrosin zonën e zgjidhjes së sistemit të inekuacioneve.

• Prezanto në tabelë Shembullin 14 duke u theksuar me kujdes hapat për gjetur zonën e zgjidhjes së inekuacionit kuadratik. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur një pjesë të ushtrimin 3. Sigurohu që të gjithë nxënësit dinë të ngjyrosin zonën e zgjidhjes së sistemit të inekuacioneve ku një nga inekuacionet është kuadratik dhe tjetri linear.

• Puno me klasën ushtrimin 6 duke i udhëzuar se si mund të gjejnë formulën e inekuacionit.s! Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe për zgjidhjen grafike të sistemeve të inekuacioneve lineare. Kërko nga nxënësit zgjidhjen e tyre në mënyrë të pavarur dhe kontrollo rezultatet.


Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet 4, 5 dhe 8, faqe 48 Matematika 12. Detyrë e diferencuar ushtrimi sfidë.





Situata e të nxënit Shkencëtarët dietologë përdorin zonat e grafikëve për të përmirësuar dietën ushqimore të atletëve me qëllim që ajo të sigurojë kërkesat e nevojshme ushqimore me kalori dhe vitamina.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Zgjidh sisteme të ekuacioneve lineare me anë të

eliminimit dhe zëvendësimit. • Zgjidh sisteme të ekuacioneve një linear dhe një

kuadratik. • Interpreton grafikisht zgjidhjet algjebrike të

ekuacioneve. • Zgjidh inekuacione lineare. • Zgjidh inekuacione kuadratike. • Interpreton grafikisht inekuacione. • Paraqit grafikisht inekuacione lineare dhe

kuadratike.



Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Algjebër Grafikë



1. Zgjidh algjebrikisht sistemin e ekuacioneve 2 2

2 34 33

x yx y+ =

− = −

2. Zgjidh algjebrikisht sistemin e ekuacioneve 2

2 13 8x yxy y− =

− =

3. Zgjidh algjebrikisht sistemin e ekuacioneve 2 2 2

21

x yx xy y+ =

+ − = −

4. Jepe përgjigjen me shënimet e bashkësive: a) Zgjidh inekuacionin 3 8 13x x− > +


b) Zgjidh inekuacionin 2 5 14 0x x− − > 5. Për ç’vlera të parametrit k ekuacioni 2 8 5 0kx x+ + = nuk ka dy rrënjë reale? 6. Për ç’vlera të parametrit m ekuacioni 2 2 0mx mx− + = ka dy rrënjë reale të ndryshme? 7. Skico në të njëjtin sistem koordinativ grafikët e funksioneve ( ) 2 2 15f x x x= + − dhe

( ) 6 2g x x= − .

a) Gjej koordinatat e pikëprerjeve të të dy grafikëve. b) Shkruaj vlerat e x për të cilat është i vërtetë inekuacioni ( ) ( )f x g x> .

8. a) Në të njëjtin sistem koordinativ skico vijat me ekuacione 2 4 12y x x= + − dhe 24y x= − .

b) Ngjyros zonën që vërteton njëkohësisht të dy inekuacionet 2 4 12y x x> + − dhe 24y x< − .



Planifikimi i orës mësimore – Tematika: Grafikë dhe transformime


Tema mësimore: 4.1 Grafikë të funksioneve kubike

Situata e të nxënit Lëvizjet e baticave dhe zbaticave mund të shprehen me anë të funksioneve kubike.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Skicon grafikë të funksioneve kubike.

Koncepte kyçe: Një funksion kubik ka trajtën ( ) 3 2f x ax bx cx d= + + + , ku a, b, c dhe d janë

numra realë dhe a është i ndryshëm nga zero. Në qoftë se p është një rrënjë e funksionit ( )f x , atëherë grafiku i ( )y f x= prek ose

pret boshtin x në pikën ( ), 0p .


Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Faktorizimi. Pikëprerjet e grafikëve



Një funksion kubik ka trajtën ( ) 3 2f x ax bx cx d= + + + , ku a, b, c dhe d janë numra realë dhe a është i ndryshëm nga zero.


Në qoftë se p është një rrënjë e funksionit ( )f x , atëherë grafiku i ( )y f x= prek ose pret boshtin

x në pikën ( ), 0p .

Prezanto në tabelë shembullin 1 duke u siguruar që nxënësi kupton shënimet x →∞ ; y →−∞

x →−∞ ; y →∞

Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur një pjesë të pikave te ushtrimi 1. Sigurohu që të gjithë nxënësit dinë të gjejnë pikëprerjet me boshtet koordinativ dhe dinë të skicojnë formën e funksionit kubik. • Prezanto në tabelë Shembullin 2 duke u theksuar me kujdes që me informacionin që kemi

skica mund të jetë vetëm e përafërt dhe për më shumë saktësi ne mund të gjejmë pika ndihmëse. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 2. d, g, h. Sigurohu që të gjithë nxënësit dinë të skicojnë grafikun duke gjetur pikëprerjet me boshtet koordinative dhe duke marrë pika ndihmëse.

• Puno me klasën ushtrimin 5 duke i udhëzuar se si mund të gjejnë formulën e funksionit. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 6.!66

Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe për skicimin e një funksioni kubik me rrënjë të njohura. Kërko nga nxënësit skicimin në mënyrë të pavarur dhe kontrollo rezultatet


Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet 4 dhe 7 faqe 54 Matematika 12.



Tema mësimore: 4.2 Grafikë të funksioneve të fuqisë së katërt


Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Skicon grafikë të funksioneve të fuqisë së

katërt. • Përdor pikëprerjet e grafikëve për të

zgjidhur ekuacionet.

Koncepte kyçe: Një funksion i fuqisë së katërt ka trajtën ( ) 4 3 2f x ax bx cx dx e= + + + + , ku a, b, c, d dhe e

janë numra realë dhe a është i ndryshëm nga zero. Grafiku i një funksioni të fuqisë së katërt mund të marrë një sërë formash të ndryshme, në varësi të natyrës konkrete të funksionit.




Faktorizimi. Pikëprerjet e grafikëve



Një funksion i fuqisë së katërt ka trajtën ( ) 4 3 2f x ax bx cx dx e= + + + + , ku a, b, c, d dhe e janë numra realë dhe a është i ndryshëm nga zero. Grafiku i një funksioni të fuqisë së katërt mund të marrë një sërë formash të ndryshme, në varësi të natyrës konkrete të funksionit. Prezanto në tabelë Shembullin 4 duke u siguruar që nxënësi kupton shënimet

x →∞ ; y →∞

x →−∞ ; y →∞

Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur një pjesë të pikave te ushtrimi 1. Sigurohu që të gjithë nxënësit dinë të gjejnë pikëprerjet me boshtet koordinativ dhe dinë të skicojnë formën e funksionit të fuqisë së katërt. • Prezanto në tabelë Shembullin 2 duke u theksuar me kujdes rastet kur rrënja e funksionit

është e dyfishtë dhe boshti x është tangjent me grafikun e funksionit. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 2. d, g, h. Sigurohu që të gjithë nxënësit dinë të skicojnë grafikun kur funksioni ka rrënjë dyfishe.

• Puno me klasën ushtrimin 3 duke i udhëzuar se si mund të gjejnë formulën e funksionit. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 4.!66

Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe për skicimin e një funksionit ( )( )2 1 1 3y x x= − − .

Kërko nga nxënësit skicimin në mënyrë të pavarur dhe kontrollo rezultatet.


Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet përkatëse Fletore pune Matematika 12 Detyrë e diferencuar ushtrimi sfidë.




Tema mësimore: 4.3 Grafikë të funksioneve thyesore

Situata e të nxënit Shumë procese në eksperimentet e fizikës dhe kimisë zhvillohen sipas një funksioni thyesor.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Skicon grafikë të funksioneve thyesore. • Përdor pikëprerjet e grafikëve për të zgjidhur

ekuacionet.

Koncepte kyçe: Mund të skicosh grafikët e funksioneve

thyesore si 1yx

= , 2

1yx

= dhe 2

2yx−

= duke

marrë në shqyrtim asimptotat e tyre.

Grafiku i kyx

= dhe 2

kyx

= , ku k është një

numër real, ka asimptota drejtëzat 0x = dhe 0y = . Një asimptotë është një drejtëz së cilës grafiku i afrohet gjithnjë e më shumë por që nuk e arrin kurrë.




Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit duke ilustruar me skicat përkatëse në libër.

Mund të skicosh grafikët e funksioneve thyesore si 1yx

= , 2

1yx

= dhe 2

2yx−

= duke marrë në

shqyrtim asimptotat e tyre.

Grafiku i kyx

= dhe 2

kyx

= , ku k është një numër real, ka asimptota drejtëzat 0x = dhe 0y = .

Një asimptotë është një drejtëz së cilës grafiku i afrohet gjithnjë e më shumë por që nuk e arrin kurrë. Prezanto në tabelë Shembullin 5 duke u siguruar që nxënësi kupton konceptin e asimptotës horizontale dhe vertikale te grafikët përkatës. Kërko që nxënësi gjen ndryshimet midis grafikëve dhe cilësitë e përbashkëta. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur një pjesë të pikave te ushtrimi 1. Sigurohu që të gjithë nxënësit dinë të skicojnë saktë formën e grafikëve dhe gjejnë asimptotat e tyre. Puno me klasën ushtrimin 2.a, b dhe jep si punë të pavarur 2.c, d.66 • Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe për skicimin e grafikut të

funksionit 1.d faqe 58. Kërko nga nxënësit skicimin në mënyrë të pavarur dhe kontrollo rezultatet.

Vlerësimi:






Tema mësimore: 4.4 Pikat e prerjes së grafikëve

Situata e të nxënit Me anë të pikëprerjes së dy vijave mund të gjesh ku takohen dy trupa në lëvizje kur njeh trajektoren e lëvizjes së tyre.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Skicon grafikë të funksioneve thyesorë. • Përdor pikëprerjet e grafikëve për të zgjidhur

ekuacionet.

Koncepte kyçe: Koordinata(t) x e pikave të prerjes së vijave me ekuacione ( )y f x= dhe ( )y g x= janë

zgjidhje(t) të ekuacionit ( ) ( )f x g x= .




Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit duke ilustruar me skicat përkatëse në libër. Mund të skicosh vijat e funksioneve për të treguar pikat e prerjes dhe zgjidhjet e ekuacioneve.

Koordinata(t) x e pikave të prerjes së vijave me ekuacione ( )y f x= dhe ( )y g x= janë zgjidhje(t)

të ekuacionit ( ) ( )f x g x= .

Prezanto në tabelë Shembullin 6 duke u siguruar që nxënësi kupton ndërtimin e grafikëve dhe di të gjejë duke zgjidhur ekuacione koordinatat e pikave ku priten. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 1a, b. Sigurohu që të gjithë nxënësit dinë të skicojnë saktë formën e grafikëve dhe të gjejnë pikëprerjet e tyre. Puno me klasën ushtrimin 2.a, b dhe jep si punë të pavarur 2.c, d.6 Prezanto në tabelë Shembullin 7 duke u siguruar që nxënësi kupton lidhjen që ekziston midis rrënjës së ekuacionit dhe vlerës së parametrit të panjohur a. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 5. Sigurohu që të gjithë nxënësit dinë të skicojnë saktë formën e grafikëve , gjejnë pikëprerjet e tyre dhe arsyetojnë për ndikimin që ka vlera e parametrave a dhe b. Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe për skicimin e grafikut të funksionit


te ushtrimi 1.d faqe 61 dhe të gjejnë pikat e prerjes së tyre. Kërko nga nxënësit skicimin në mënyrë të pavarur dhe kontrollo rezultatet.


Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet 4, 9, 10 te Matematika 12.



Tema mësimore: 4.5 Zhvendosje grafikësh

Situata e të nxënit Zhvendosjet vertikale ose horizontale të grafikëve na lejojnë të thjeshtojmë një funksion të ndërlikuar.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Kryen zhvendosje vertikale ose horizontale të

grafikut të një funksioni. • Gjen koordinatat e reja të një pike pas

transformimit. • Gjen ekuacionet e asimptotave të funksionit

pas transformimit.

Koncepte kyçe: Grafiku ( )y f x a= + është një zhvendosje e

grafikut ( )y f x= me vektor 0a

.

Grafiku i ( )y f x a= + është një zhvendosje e

grafikut ( )y f x= me vektor 0a−

.

Kur zhvendos vertikalisht një grafik, zhvendoset njëkohësisht edhe çdo asimptotë horizontale e tij.


Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Grafiku i funksionit, Vektori


Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese • Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit:

Grafiku ( )y f x a= + është një zhvendosje e grafikut ( )y f x= me vektor 0a

.

Grafiku i ( )y f x a= + është një zhvendosje e grafikut ( )y f x= me vektor 0a−

.

Kur zhvendos vertikalisht një grafik, zhvendoset njëkohësisht edhe çdo asimptotë horizontale e tij. • Prezanto në tabelë Shembullin 9 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e


zgjidhjes. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 1. i; ii. Sigurohu që të

gjithë nxënësit janë të aftë të zbatojnë saktë zhvendosjen paralele me vektor 0a

dhe 0a−

• Prezanto në tabelë Shembullin 11 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes dhe thekso faktin që kur zhvendos vertikalisht një grafik, zhvendoset njëkohësisht edhe çdo asimptotë horizontale e tij. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 1.iii. Sigurohu që të gjithë nxënësit zbatojnë me saktësi rregullat për zhvendosjet paralele dhe kërko që nxënësit të shkruajnë ekuacionet e asimptotave.

• Puno me klasën ushtrimin 2. Kërko nga nxënësit që të zgjidhin algjebrikisht ekuacionin ( )2 0f x + = dhe ta krahasojnë rezultatin me grafikun e përftuar nga zhvendosja.

Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 3. Puno me klasën ushtrimin 7.

• Thekso që vektori i zhvendosjes do të jetë 20

, kështu që koordinatat e reja të pikës P janë

( )6, 1− . Në mënyrë të ngjashme arsyetohet edhe për rastin e dytë.

Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 11. Kërko që nxënësit të ndërtojnë grafikun e funksionit të dhënë dhe të arsyetojnë për dy mundësi të zhvendosjes paralele horizontale në mënyrë që pika ( )1, 0− të ndodhet në grafikun e zhvendosur.

Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë skicën e një funksioni çfarëdo ( )y f x= .

Pastaj kërko që nxënësit të ndërtojnë skicat e funksioneve: ( )2y f x= + , ( )4y f x= − , ( ) 3y f x= +

, ( )1 5y f x= − + .

Kontrollo nxënësit sa janë të aftë të kryejnë me saktësi këto transformime.


Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimi 10, 12, faqe 65. Detyrë e diferencuar ushtrim sfidë. Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12.




Tema mësimore: 4.6 Zgjatje grafikësh

Situata e të nxënit Shumë funksione komplekse mund të kuptohen nga transformimi i funksioneve të thjeshta duke përdorur zgjatje (tkurrje), pasqyrime dhe zhvendosje.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Kryen grafikisht transformimin e funksionit

( )y a f x= .

• Gjen koordinatat e reja të një pike pas transformimit ( )y a f x= .

• Kryen transformimin e funksionit ( )y f ax= .

• Gjen koordinatat e reja të një pike pas transformimit ( )y f ax= .

Koncepte kyçe: Grafiku i ( )y a f x= është një zgjatje e

grafikut ( )y f x= me një faktor zgjatjeje a

Grafiku i ( )y f ax= është një zgjatje e

grafikut ( )y f x= me një faktor zgjatjeje 1a

në drejtimin horizontal. Grafiku ( )y f x= − është pasqyrim i

grafikut ( )y f x= në lidhje me boshtin x.

Grafiku ( )y f x= − është pasqyrim i

grafikut ( )y f x= në lidhje me boshtin y.


Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Grafiku i funksionit, Vektori, Simetria boshtore.


Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese • Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Nëse kryhet shumëzimi me një konstante ‘’jashtë’’ funksionit grafiku zgjatet vertikalisht. Grafiku i ( )y a f x= është një zgjatje e grafikut ( )y f x= me një faktor zgjatjeje a.

Nëse kryhet shumëzimi me një konstante ‘’brenda’’ funksionit grafiku zgjatet horizontalisht.

Grafiku i ( )y f ax= është një zgjatje e grafikut ( )y f x= me një faktor zgjatjeje 1a

në drejtimin

horizontal.. Ilustro shpjegimet me skicat në libër. • Prezanto në tabelë Shembullin 12 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e

zgjidhjes. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 1. Sigurohu që të gjithë nxënësit janë të aftë të kryejnë zgjatje(ose tkurrje) horizontale dhe zgjatje (ose shtypje) vertikale.

• Prezanto në tabelë Shembullin 13 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes dhe thekso faktin që duhet kuptuar çfarë ndryshimi ka në formulë për të kuptuar


llojin e transformimit. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 3. Sigurohu që të gjithë nxënësit zbatojnë me saktësi rregullat për zgjatjet horizontale dhe vertikale të një funksioni.

Puno me klasën ushtrimin 7.a) ( )' 1, 3P − , b) ( )' 2, 12P −

Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 8. Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë skicën e një funksioni çfarëdo y=f(x). Kërko

nga nxënësit të skicojnë ( )2y f x= , 12

y f x =

, ( )y f x= − , ( )3y f x=

Kontrollo sa janë të aftë nxënësit të kryejnë me saktësi këto transformime.


Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimi 5, 6, faqe 69. Detyrë e diferencuar ushtrim sfidë. Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12.



Tema mësimore: 4.7 Transformime funksionesh

Situata e të nxënit Fizikanët që studiojnë grimcat krahasojnë rezultate të vrojtuara me transformime funksionesh të njohura për të përcaktuar natyrën e grimcave përbërëse të atomit.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Kryen zhvendosje vertikale ose horizontale të

grafikut të një funksioni. • Kryen grafikisht transformimin e funksionit

( )y a f x= .

• Kryen transformimin e funksionit ( )y f ax= . • Gjen koordinatat e reja të pikave të grafikut

dhe ekuacionet e asimptotave pas transformimit.

Koncepte kyçe: Mund të kryesh transformime mbi funksione jo të zakonshme duke marrë parasysh se si transformohen pika të veçanta si dhe çfarë ndodh me karakteristika të veçanta të tyre.


Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Grafiku i funksionit, Vektori, Simetria boshtore




Mund të kryesh transformime mbi funksione jo të zakonshme duke marrë parasysh se si transformohen pika të veçanta si dhe çfarë ndodh me karakteristika të veçanta të tyre.

• Prezanto në tabelë Shembullin 15 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 1. Sigurohu që të gjithë nxënësit janë të aftë të kryejnë zgjatje(ose tkurrje) horizontale , zgjatje (ose shtypje) vertikale ose zhvendosje paralele me boshtet koordinative.

• Puno me klasën ushtrimin 2 duke theksuar që për ( )y f x a= + asimptota vertikale nuk

ndryshon, ndërsa për funksionin ( )y f x a= + asimptota horizontale e funksionit nuk ndryshon.

Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 4, dhe sigurohu që nxënësit i kanë kuptuar drejt rregullat e transformimeve.

Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë skicën e një funksioni çfarëdo y=f(x). Kërko nga

nxënësit të skicojnë ( )2y f x= , 12

y f x =

, ( )y f x= − , ( )3y f x= , ( )y f x a= + dhe ( )y f x a= + .

Kontrollo nxënësit sa janë të aftë të kryejnë me saktësi këto transformime.


Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimi 5, 6, faqe 72. Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12.

Planifikimi i orës mësimore – Tematika: Grafikë drejtvizorë


Tema mësimore: 5.1 Ekuacioni më i thjeshtë i drejtëzës

Situata e të nxënit Grafikët drejtvizorë mund të përdoren për të treguar kursin e këmbimit valutor.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Gjen koeficientin këndor të drejtëzës kur jepen

dy pika të saj. • Shkruan ekuacionin e drejtëzës kur jepen një

pikë e drejtëzës dhe koeficienti këndor i saj.

Koncepte kyçe: Koeficienti këndor m i një drejtëze që kalon në pikat me koordinata ( )1 1,x y dhe ( )2 2,x y llogaritet duke përdorur formulën

2 1

2 1

y ymx x−

=−

.

Ekuacioni i një drejtëze mund të shkruhet


në trajtën y mx c= + , ku m është koeficienti këndor i saj dhe c është koordinata e pikëprerjes me boshtin y. Ky quhet ekuacioni më i thjeshtë i drejtëzës. Ekuacioni i një drejtëze mund të shkruhet gjithashtu në trajtën 0ax by c+ + = , ku a, b dhe c janë numra realë.


Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Ekuacioni i fuqisë së parë, Këndi i një drejtëze me boshtin x


Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese • Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit. Mund të gjesh koeficientin këndor të një drejtëze që kalon nëpër dy pika duke shqyrtuar distancën vertikale dhe atë horizontale ndërmjet dy pikave.

Koeficienti këndor m i një drejtëze që kalon në pikat me koordinata ( )1 1,x y dhe ( )2 2,x y llogaritet

duke përdorur formulën 2 1

2 1

y ymx x−

=−

.

Ekuacioni i një drejtëze mund të shkruhet në trajtën y mx c= + , ku m është koeficienti këndor i saj dhe c është koordinata e pikëprerjes me boshtin y. Ky quhet ekuacioni më i thjeshtë i drejtëzës. Ekuacioni i një drejtëze mund të shkruhet gjithashtu në trajtën 0ax by c+ + = , ku a, b dhe c janë numra realë. • Prezanto në tabelë shembullin 1 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e

zgjidhjes. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 1. Sigurohu që të gjithë nxënësit janë të aftë të gjejnë koeficientin këndor të drejtëzës.

• Prezanto në tabelë Shembullin 2 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 2, dhe sigurohu që nxënësit i kanë kuptuar hapat për gjetjen e ekuacionit të drejtëzës.

• Prezanto në tabelë Shembullin 3 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve që ky quhet ekuacioni më i thjeshtë i drejtëzës. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimet 4 dhe 5, dhe sigurohu që nxënësit e kanë kuptuar formën e ekuacionit më të thjeshtë të ekuacionit të drejtëzës.

Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë tri pika me koordinata të dhëna dhe kërko nga nxënësit të shpjegojnë a ndodhen pikat në një drejtëz. Kontrollo nxënësit sa janë të aftë të zgjidhin saktë këtë ushtrim.

Vlerësimi:



Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimi 8, 9, faqe 78. Detyrë e diferencuar ushtrimi sfidë Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12.



Tema mësimore: 5.2 Ekuacionet e drejtëzës

Situata e të nxënit Ekonomistët përdorin grafikë drejtvizorë për të modeluar efektin e çmimit dhe rezervës së një malli në ofertën dhe kërkesën për të.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Gjen koeficientin këndor të drejtëzës kur jepen

dy pika të saj. • Shkruan ekuacionin e drejtëzës kur jepet një

pikë e drejtëzës dhe koeficienti këndor i saj. • Shkruan ekuacionin e drejtëzës në formën

( )1 1y y m x x− = −

Koncepte kyçe: Ekuacioni i një drejtëze me koeficient këndor m dhe që kalon në pikën me koordinata ( )1 1,x y mund të shkruhet në

trajtën ( )1 1y y m x x− = −


Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Ekuacioni i fuqisë së parë, Këndi i një drejtëze me boshtin x.


Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese • Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Ekuacioni i një drejtëze me koeficient këndor m dhe që kalon në pikën me koordinata ( )1 1,x y

mund të shkruhet në trajtën ( )1 1y y m x x− = − .


Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 1. Sigurohu që të gjithë nxënësit janë të aftë të gjejnë ekuacionin e drejtëzës kur njohin koeficientin këndor të drejtëzës dhe një pikë çfarëdo të saj.

• Prezanto në tabelë Shembullin 7 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e


zgjidhjes Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 2, dhe sigurohu që nxënësit i kanë kuptuar hapat për gjetjen e ekuacionit të drejtëzës në formën ( )1 1y y m x x− = −

. • Puno me klasën ushtrimin 5. Rikujto me nxënësit faktin që nëse një pikë ndodhet në drejtëz

koordinatat e asaj pike vërtetojnë ekuacionin e saj. • Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 6. • Prezanto në tabelë Shembullin 8 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve që ky quhet ekuacioni

më i thjeshtë i drejtëzës Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimet 4 dhe 5, dhe sigurohu që nxënësit e kanë kuptuar formën e ekuacionit më të thjeshtë të ekuacionit të drejtëzës.

• Prezanto në tabelë Shembullin 9 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te të gjitha hapat e zgjidhjes. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimet 5D, dhe sigurohu që nxënësit i kanë kuptuar hapat për gjetjen e ekuacionit të drejtëzës në raste të tilla.

Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë tri pika me koordinata të dhëna të cilat janë kulme të një trekëndëshi. Kërko nga nxënësit të gjejnë ekuacionet e brinjëve të trekëndëshit me të gjitha mënyrat që kanë mësuar deri tani. Kontrollo nxënësit sa janë të aftë të zgjidhin saktë këtë ushtrim.


Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimi 3,4, faqe 79. Detyrë e diferencuar ushtrimi sfidë Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12.



Tema mësimore: 5.3 Drejtëza paralele dhe pingule

Situata e të nxënit Ekonomistët përdorin grafikë drejtvizorë për të modeluar efektin e çmimit dhe rezervës së një malli në ofertën dhe kërkesën për të.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Gjen koeficientin këndor të drejtëzës kur

jepen dy pika të saj. • Shkruan ekuacionin e drejtëzës kur jepen një

pikë e drejtëzës dhe koeficienti këndor i saj.

Koncepte kyçe: Drejtëzat paralele kanë koeficient këndor të njëjtë. Këndi midis drejtëzave pingule është i drejtë. Në qoftë se një drejtëz e ka koeficientin këndor m, drejtëza pingule me të e ka

koeficientin këndor 1m

− .


Në qoftë se dy drejtëza janë pingule, atëherë prodhimi i koeficienteve këndore të tyre është −1.


Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Ekuacioni i fuqisë së parë, Këndi i një drejtëze me boshtinx.


Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese • Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit. Drejtëzat paralele kanë koeficient këndor të njëjtë. Këndi midis drejtëzave pingule është i drejtë. Në qoftë se një drejtëz e ka koeficientin këndor m, drejtëza pingule me të e ka koeficientin këndor

1m

− .

Në qoftë se dy drejtëza janë pingule, atëherë prodhimi i koeficienteve këndore të tyre është −1. Prezanto në tabelë Shembullin 10 duke sqaruar qartësisht kushtin e paralelizmit të dy drejtëzave. Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimet 2 dhe 3. Kontrollo nëse nxënësit e zbatojnë me saktësi kushtin e paralelizmit të dy drejtëzave. Prezanto në tabelë Shembujt 11 dhe 12 duke sqaruar qartësisht kushtin e pingultisë të dy drejtëzave. Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimet 2 -7 te Ushtrime 5F Kontrollo nëse nxënësit e zbatojnë me saktësi kushtin e pingultisë të dy drejtëzave dhe gjejnë pa gabime ekuacionin e drejtëzës për çdo situatë. Puno me klasën ushtrimin 10. Kujtoju nxënësve përkufizimin e drejtkëndëshit si paralelogrami me të paktën një kënd të drejtë dhe nga kjo kërko nga nxënësit të nxjerrin kushtet algjebrike për ekuacionet e drejtëzave. Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë disa ekuacione drejtëzash dhe kërko nga nxënësit që të përcaktojnë bazuar te ekuacioni nëse ato janë paralele, pingule apo as paralele dhe as pingule.


Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimi 9, 11 dhe 12 faqe 85. Detyrë e diferencuar ushtrimi sfidë Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12.



Tema mësimore: 5.4 Distanca midis dy pikave në planin koordinativ


Situata e të nxënit Me anë të formulës së distancës midis dy pikave mund të gjesh syprinën e një trekëndëshi me kulme të njohura.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Gjen distancën midis dy pikave në planin

koordinativ. • Gjen syprinën e një trekëndëshi duke

përdorur largesën midis dy pikave.

Koncepte kyçe: Mund të gjesh distancën d ndërmjet pikave ( )1 1,x y dhe ( )2 2,x y

duke përdorur formulën

( ) ( )2 22 1 2 1d x x y y= − + −


Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Ekuacioni i fuqisë së parë, syprina.


Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese • Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Duke shqyrtuar një trekëndësh kënddrejtë me hipotenuzë AB, mund të gjesh distancën d ndërmjet dy pikave ( )1 1,A x y dhe ( )2 2,B x y duke përdorur formulën

( ) ( )2 22 1 2 1d x x y y= − + −

Prezanto në tabelë Shembullin 13 duke sqaruar qartësisht diferencën midis y-eve dhe diferencën midis x-eve. Pas kësaj puno me klasën ushtrimin 2. Kujdesu që nxënësit ta zbatojnë me saktësi formulën e distancës midis dy pikave. Prezanto në tabelë Shembullin 14 duke sqaruar qartësisht gjetjen e pikëprerjes së dy drejtëzave dhe syprinën e trekëndëshit. Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimin 8. Kontrollo nëse nxënësit e zbatojnë me saktësi rregullën e gjetjes së syprinës së trekëndëshit. Puno me klasën ushtrimin 6. Shpjegoju nxënësve që për të gjetur largesën midis dy drejtëzave paralele duhet të gjesh një drejtëz pingul me to dhe pastaj pikëprerjet e saj me drejtëzat e dhëna. Jep si punë të pavarur ushtrimin 9 dhe kontrollo hapat e zgjidhjes së ushtrimit. Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë kulmet e një trekëndëshi dhe kërko që nxënësit të gjejnë syprinën e tij duke gjetur gjatësitë e brinjëve me formulën e largesës midis dy pikave.


Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimi 11 dhe 12 faqe 88. Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12.


Planifikimi i orës mësimore – Tematika: Rrathë


Tema mësimore: 5.4 Pikat e mesit dhe përmesoret e segmenteve drejtëvizore


Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Gjen mesin e një segmenti kur jepen

koordinatat e skajeve të segmentit.

Koncepte kyçe: Pika e mesit e një segmenti drejtvizor me skaje ( )1 1,A x y dhe ( )2 2,B x y është

1 2 1 2;2 2

x x y y+ +


Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Ekuacioni i fuqisë së parë, syprina.


Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese • Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Pika e mesit të një segmenti drejtvizor mund të gjendet duke marrë vlerën mesatare të koordinatave x dhe y të skajeve të tij.

Pika e mesit e një segmenti drejtvizor me skaje ( )1 1,A x y dhe ( )2 2,B x y është 1 2 1 2;2 2

x x y y+ +

Prezanto në tabelë Shembullin 1 duke sqaruar qartësisht zbatimin e formulës që gjen koordinatat e pikës së mesit të segmentit. Pas kësaj puno me klasën ushtrimet 2 dhe 3. Kujdesu që nxënësit ta zbatojnë me saktësi formulën e distancës midis dy pikave. Prezanto në tabelë Shembullin 14 duke sqaruar qartësisht gjetjen e pikëprerjes së dy drejtëzave dhe syprinën e trekëndëshit. Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimet 8. Kontrollo nëse nxënësit e zbatojnë me saktësi rregullën e gjetjes së syprinës së trekëndëshit. Puno me klasën ushtrimin 6. Shpjegoju nxënësve që për të gjetur largesën midis dy drejtëzave paralele duhet të gjesh një drejtëz pingul me to dhe pastaj pikëprerjet e saj me drejtëzat e dhëna. Jep si punë të pavarur ushtrimin 9 dhe kontrollo hapat e zgjidhjes së ushtrimit. Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë kulmet e një trekëndëshi dhe kërko që nxënësit të gjejnë syprinën e tij duke gjetur gjatësitë e brinjëve me formulën e largesës midis dy pikave.



Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimi 11 dhe 12 faqe 88. Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12



Tema mësimore: 6.1 Pikat e mesit dhe përmesoret e segmenteve drejtvizore


Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Gjen mesin e një segmenti kur jepen


Koncepte kyçe: Pika e mesit e një segmenti drejtvizor me skaje ( )1 1;A x y dhe ( )2 2;B x y është

1 2 1 2;2 2

x x y y+ +

Burimet: Libri i nxënësit faqe .........; Fletore pune

Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Ekuacioni i drejtëzës


Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese • Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Pika e mesit të një segmenti drejtvizor mund të gjendet duke marrë vlerën mesatare të koordinatave x dhe y të skajeve të tij.

Pika e mesit e një segmenti drejtvizor me skaje ( )1 1;A x y dhe ( )2 2;B x y është 1 2 1 2;2 2

x x y y+ +

Prezanto në tabelë Shembullin 1 duke sqaruar qartësisht zbatimin e formulës që gjen koordinatat e pikës së mesit të segmentit. Pas kësaj puno me klasën ushtrimet 2 dhe 3. Kujdesu që nxënësit ta zbatojnë me saktësi formulën e distancës midis dy pikave. Prezanto në tabelë Shembullin 2 duke sqaruar qartësisht gjetjen e skajit të një segmenti nëse jepet pika e mesit dhe njëri skaj i tij. Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimet 9 dhe 10. Kontrollo nëse nxënësit e zbatojnë me saktësi rregullën e gjetjes së pikës së mesit të segmentit. Puno me klasën ushtrimin 6. Shpjegoju nxënësve që kur një pikë ndodhet në një drejtëz do të


thotë që koordinatat e asaj pike vërtetojnë ekuacionin e drejtëzës. Jep si punë të pavarur ushtrimin 7 dhe kontrollo hapat e zgjidhjes së ushtrimit. Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë kulmet e një trekëndëshi dhe kërko që nxënësit të gjejnë ekuacionin e mesoreve të trekëndëshit.

Vlerësimi: Vlerësimi i arritjeve bazuar në punët e pavarura të nxënësve dhe në punët në grupe. Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimi 10 dhe 11 Detyrë e diferencuar ushtrimi sfidë. Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12.



Tema mësimore: 6.2 Ekuacioni i rrethit Situata e të nxënit Me anë të formulës së distancës midis dy pikave mund të gjesh syprinën e një trekëndëshi me kulme të njohura. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Gjen mesin e një segmenti kur jepen


Koncepte kyçe: Ekuacioni i rrethit me qendër pikën (0, 0) dhe rreze r është 2 2 2x y r+ = . Ekuacioni i rrethit me qendër pikën (a, b) dhe rreze r është ( ) ( )2 2 2x a y b r− + − = . Ekuacioni i një rrethi mund të jepet në trajtën: 2 2 3 2 0x y fx gy c+ + + = Ky rreth ka qendër pikën me koordinata (−f, −g) dhe rreze 2 2f g+ .

Burimet: Libri i nxënësit faqe ..........; Fletore pune

Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Rrethi me ekuacion ( ) ( )2 2 2x a y b r− + − = është një zhvendosje paralele e rrethit

2 2 2x y r+ = me vektor.


Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese • Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Ekuacioni i rrethit me qendër pikën (0, 0) dhe rreze r është 2 2 2x y r+ = .

Ekuacioni i rrethit me qendër pikën (a, b) dhe rreze r është ( ) ( )2 2 2x a y b r− + − = .

Ekuacioni i një rrethi mund të jepet në trajtën: 2 2 3 2 0x y fx gy c+ + + =


Ky rreth ka qendër pikën me koordinata (−f, −g) dhe rreze 2 2f g+ .

Prezanto në tabelë Shembullin4 dhe Shembullin 5 duke sqaruar qartësisht zbatimin e formulës që gjen ekuacionin e rrethit kur jepet rrezja e tij dhe koordinatat e qendrës. Pas kësaj puno me klasën ushtrimet 2, 3 dhe 4. Kujdesu që nxënësit ta zbatojnë me saktësi formulën e gjetjes së ekuacionit të rrethit. Prezanto në tabelë Shembullin 6 duke sqaruar qartësisht hapat për gjetjen e ekuacionit të rrethit në këto raste: • Gjen rrezen e rrethit duke gjetur fillimisht diametrin dhe në vijim e përgjysmon atë. • Gjen qendrën e rrethit duke gjetur fillimisht mesin e segmentit AB. • Shkruan ekuacionin e rrethit. Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimin 5 që të përforcosh shembullin më sipër. Kontrollo nëse nxënësit e zbatojnë me saktësi rregullën e gjetjes së qendrës dhe rrezes së rrethit. Prezanto para klasës Shembullin 7 Shpjegoju nxënësve që kur të kërkohet qendra dhe rrezja e një rrethi të dhënë me një ekuacion të zbërthyer është më e sigurt të plotësosh katrorë të plotë me kufizat që kanë x dhe y. Jep si punë të pavarur ushtrimet 8 dhe 9 dhe kontrollo hapat e zgjidhjes së ushtrimit. Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimin 1.


Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimi 12 dhe 13 faqe. Detyrë e diferencuar ushtrimi sfidë. Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12.




Tema mësimore: 6.3 Pikëprerjet e drejtëzave me rrathë


Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Gjen koordinatat e pikëprerjeve të drejtëzës me

rrethin. • Përcakton numrin e pikave të prerjes së rrethit me

drejtëzën në varësi të shenjës së dallorit.

Koncepte kyçe: Një drejtëz mund të presë rrethin në një pikë, duke e takuar rrethin, ose në dy pika. Jo çdo drejtëz pret një rreth të dhënë.


Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Zgjidhja e sistemit; Dallori


Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese • Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Një drejtëz mund të presë rrethin në një pikë, duke e takuar rrethin, ose në dy pika. Jo çdo drejtëz pret një rreth të dhënë. Shpjegimet shoqëroji me skicat në libër. Prezanto në tabelë Shembullin 8 duke sqaruar qartësisht hapat për zgjidhjen e tij. Për zgjidhjen e ekuacionit që formohet nxënësit mund të përdorin edhe formulën kuadratike. Pas kësaj puno me klasën ushtrimet 3 dhe 4. Kujdesu që nxënësit zgjidhin me saktësi sistemin e formuar. Prezanto në tabelë Shembullin 9 duke sqaruar qartësisht hapat për argumentimin që dallori duhet të jetë negativ. Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimet 7, 8 dhe 11 që të përforcosh shembullin më sipër. Kontrollo nëse nxënësit e zbatojnë me saktësi rregullën: drejtëza dhe rrethi nuk kanë pika të përbashkëta dhe dallori është negativ. Si përfundim shkruaj në tabelë: Në qoftë se b2 − 4ac > 0 atëherë ka dy rrënjë të ndryshme (drejtëza dhe rrethi priten në dy pika). Në qoftë se b2 − 4ac = 0 atëherë ka një rrënjë të dyfishtë.(drejtëza tangjente me rrethin). Në qoftë se b2 − 4ac < 0 atëherë nuk ka rrënjë reale (drejtëza nuk e pret rrethin). Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimet 1 dhe 2. Vlerësimi: Vlerësimi i arritjeve bazuar në punët e pavarura të nxënësve dhe në punët në grupe. Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimi 10 dhe 12 faqe. Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12.




Tema mësimore: 6.4 Përdorimi i vetive të tangjentes dhe të kordës


Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Gjen ekuacionin e tangjentes në një pikë të rrethit; • Zbaton kushtin e pingultisë së dy drejtëzave; • Zbaton kushtin e paralelizmit të dy drejtëzave.

Koncepte kyçe: Tangjentja ndaj një rrethi është pingule me rrezen e tij në pikën e takimit. Përmesorja e një korde kalon në qendrën e rrethit.

Burimet: Libri i nxënësit; Fletore pune

Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Ekuacioni i drejtëzës Kushti i paralelizmit dhe pingultisë së dy drejtëzave në plan


Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese • Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Një drejtëz është tangjente ndaj një rrethi kur ajo e pret atë vetëm në një pikë. Tangjentja ndaj një rrethi është pingule me rrezen e tij në pikën e takimit. Përmesorja e një korde kalon në qendrën e rrethit. Prezanto në tabelë Shembullin 10 duke sqaruar kushtin e pingultisë së dy drejtëzave. Pas kësaj puno me klasën ushtrimet 5. Orientoji nxënësit që t’i zgjidhin me saktësi të gjitha pikat e këtij ushtrimi. Prezanto në tabelë Shembullin 11 duke sqaruar qartësisht hapat për argumentimin që problema ka dy zgjidhje dhe për të zbatuar kushtin e paralelizmit të dy drejtëzave. Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimet 7që të përforcosh shembullin më sipër. Kontrollo nëse nxënësit e zbatojnë me saktësi kushtin e paralelizmit të dy drejtëzave. Prezanto në tabelë Shembullin 12 duke sqaruar qartësisht hapat për gjetjen e ekuacionit të përmesores së segmentit. Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimet 4 që të përforcosh shembullin më sipër. Kontrollo nëse nxënësit e zbatojnë me saktësi vetinë e përmesores së segmentit dhe kushtin e pingultisë së dy drejtëzave. Puno me nxënësit ushtrimin 9. Orientoi nxënësit që të zhvillojnë të gjitha pikat hap pas hapi. Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimet 1 dhe 2.



Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimi 5, 7 dhe 9 faqe. Detyrë e diferencuar Ushtrimi sfidë Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12.



Tema mësimore: 6.5 Rrathë dhe trekëndësha


Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Gjen ekuacionin e rrethit kur njeh koordinatat

e skajeve të diametrit të rrethit; • Gjen ekuacionin e përmesores së një korde në

rreth; • Gjen qendrën e një rrethi kur njeh ekuacionet

e dy përmesoreve të dy kordave të rrethit.

Koncepte kyçe: Nëpër tri pika jo në vijë të drejtë kalon një rreth dhe vetëm një. Ky rreth quhet rrethi i jashtëshkruar trekëndëshit. Qendra e këtij rrethi quhet qendra e rrethit të jashtëshkruar trekëndëshit dhe njëkohësisht ajo është pikëprerja e përmesoreve të tri brinjëve të trekëndëshit Në qoftë se këndi PRQ = 90° atëherë pika R ndodhet në rrethin me diametër PQ. Këndi me kulm në rreth që mbështetet në gjysmën e rrethit është gjithmonë kënd i drejtë.

Burimet: Libri i nxënësit faqe .......; Fletore pune

Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Ekuacioni i drejtëzës Kushti i paralelizmit dhe pingultisë së dy drejtëzave në plan


Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese • Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Nëpër tri pika jo në vijë të drejtë kalon një rreth dhe vetëm një. Ky rreth quhet rrethi i jashtëshkruar trekëndëshit. Qendra e këtij rrethi quhet qendra e rrethit të jashtëshkruar trekëndëshit dhe njëkohësisht ajo është pikëprerja e përmesoreve të tri brinjëve të trekëndëshit Në qoftë se këndi PRQ = 90° atëherë pika R ndodhet në rrethin me diametër PQ. Këndi me kulm në rreth që mbështetet në gjysmën e rrethit është gjithmonë kënd i drejtë. Prezanto në tabelë Shembullin 13 duke i sqaruar nxënësit qartësisht që për të pranuar se AB


është diametër i rrethit duhet treguar që masa e këndit ACB është 90°. Pas kësaj puno me klasën ushtrimin 6, me anë të të cilit përforcohet shembulli më sipër. Orientoji nxënësit që t’i zgjidhin me saktësi të gjitha pikat e këtij ushtrimi. Prezanto në tabelë Shembullin 14 duke sqaruar qartësisht hapat për gjetjen e ekuacionit të përmesores së kordës së rrethit. Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimin 4 që të përforcosh shembullin më sipër. Kontrollo nëse nxënësit e zbatojnë me saktësi vetinë e përmesores së segmentit ( kalon në mesin e segmentit dhe pingul me të). Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimin 8. Kontrollo nëse nxënësit i zotërojnë njohuritë bazë për zgjidhjen e tij. Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimet 1 dhe 2.


Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimi 10 dhe 11 faqe. Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12.

Planifikimi i orës mësimore – Tematika: Metodat algjebrike


Tema mësimore: 7.1 Thyesat algjebrike

Situata e të nxënit Inxhinierët aeronautikë përdorin dhe thjeshtojnë thyesa algjebrike kur modelojnë aeroplanët. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Faktorizon konstantet e përbashkëta në

numërues dhe emërues të një thyese. • Faktorizon dhe thjeshton faktorët e përbashkët

në një thyesë algjebrike që ka shprehje kuadratike

Koncepte kyçe: Gjatë thjeshtimit të një thyese algjebrike, nëse është e mundur, numëruesi dhe emëruesi faktorizohen dhe pastaj thjeshtohen faktorët e përbashkët.

Burimet: Libri i nxënësit faqe ........; Fletore pune

Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Faktorizimi




Thyesat algjebrike mund të thjeshtohen nëpërmjet pjesëtimit. Gjatë thjeshtimit të një thyese algjebrike, nëse është e mundur, numëruesi dhe emëruesi faktorizohen dhe pastaj thjeshtohen faktorët e përbashkët. Prezanto në tabelë Shembullin 1 duke sqaruar qartësisht hapat për faktorizimin dhe thjeshtimet përkatëse. Puno me klasën ushtrimin 2.n dhe ushtrimin 2.o. Kujto me nxënësit rregullat e faktorizimit të shprehjes kuadratike Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimin 2. e; h; k. Kontrollo nëse nxënësit i zotërojnë njohuritë bazë për faktorizimin e shprehjes kuadratike. Zhvillo me klasën ushtrimin 3 duke i udhëzuar për pikat kyçe të faktorizimit. Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimet 1. e; f; h.


Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimi 2 (pikat e pa përfunduara nga ora e mësimit) faqe. Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12.



Tema mësimore: 7.2 Pjesëtimi i polinomeve

Situata e të nxënit Okulistët përdorin thyesa algjebrike kur përgatisin një recetë për syze optike. Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Pjesëton në shtyllë një shprehje kuadratike me

një shprehje lineare; • Pjesëton një shprehje kubike me një shprehje

lineare; • Gjen herësin dhe mbetjen gjatë pjesëtimit të

një polinomi me (x ± p).

Koncepte kyçe: Një polinom është një shprehje e fundme me fuqi numra të plotë pozitivë. Me anë të një pjesëtimi në shtyllë, një polinom mund të pjesëtohet me (x ± p), ku p është një konstante.

Burimet: Libri i nxënësit faqe ........; Fletore pune

Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Shprehjet algjebrike; Pjesëtimi në shtyllë




Një polinom është një shprehje e fundme me fuqi numra të plotë pozitivë. Me anë të një pjesëtimi në shtyllë, një polinom mund të pjesëtohet me (x ± p), ku p është një konstante. Prezanto në tabelë Shembullin 2 duke sqaruar qartësisht hapat për pjesëtimin në shtyllë. Puno me klasën disa pika të ushtrimit deri sa të bindesh që nxënësit e zotërojnë teknikën e pjesëtimit në shtyllë të një polinomi me (x ± p). Prezanto në tabelë Shembullin 3 duke i sqaruar me ngadalë hapat e pjesëtimit me faktor 2x+1. Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimin 4. a; b. Kontrollo nëse nxënësit pjesëtojnë me lehtësi me faktorin e tipit ax+b. Prezanto në tabelë Shembullin 4. Një mënyrë më e shpejtë për të gjetur mbetjen e pjesëtimit të një polinomi me faktorin (x ± p), është me anë të zëvendësimit. Zhvillo me klasën ushtrimin 8 duke i udhëzuar që të përdorin metodën e dytë si provë për saktësinë e gjetjes së mbetjes. Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimet 1. a, b dhe c.


Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet e pa përfunduara gjatë orës së mësimit mund të jepen si detyra shtëpie. Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12.



Tema mësimore: 7.3 Teorema e faktorëve

Situata e të nxënit Me anë të teoremës së faktorëve lehtësohet zbërthimi i një polinomi në faktorë më të thjeshtë.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Faktorizon një funksion kubik; • Skicon grafikun e një funksioni kubik pas

faktorizimit të tij; • Gjen koeficientet e një funksioni kubik kur

njeh disa faktorë të tij.

Koncepte kyçe: Teorema e faktorëve

Kur ( )f x është një polinom, kemi:

Në qoftë se ( ) 0f p = , atëherë ( )x p− është

një faktor i ( )f x .

Në qoftë se ( )x p− është një faktor i ( )f x ,

atëherë ( ) 0f p = .

Burimet: Libri i nxënësit faqe ............; Fletore pune

Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Shprehjet algjebrike; Pjesëtimi në shtyllë




Teorema e faktorëve pohon se kur ( )f x është një polinom, atëherë:

Në qoftë se ( ) 0f p = , atëherë ( )x p− është një faktor i ( )f x .

Në qoftë se ( )x p− është një faktor i ( )f x , atëherë ( ) 0f p = .

• Prezanto në tabelë Shembullin 5 duke sqaruar paraprakisht

1. Zëvendëso vlera të funksionit deri sa të gjesh një vlerë p të tillë që ( ) 0g p = .

2. Pjesëto funksionin me ( )x p− .

3. Shkruaj ( ) ( )( )2g x x p ax bx c= − + + .

4. Faktorizo faktorin kuadratik, nëse është e mundur, që ta shkruash ( )g x si një prodhim i tre faktorëve.

Puno me klasën ushtrimet 3, 4 dhe 5 dhe kontrollo nëse nxënësit e zotërojnë teknikën e faktorizimit të funksionit kubik. Prezanto në tabelë Shembullin 6 duke i sqaruar me ngadalë hapat e faktorizimit dhe skicimin e grafikut kubik. Udhëzoji nxënësit që provën le ta fillojnë me pjesëtuesit e plotë të termit të lirë të funksionit të dhënë. Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimin 7. a; b. Kontrollo nëse nxënësit pjesëtojnë me lehtësi me faktorin e tipit ax+b dhe janë të saktë në skicimin e grafikut të funksionit kubik.

Puno me klasën ushtrimin 10. Udhëzoji nxënësit që ( )1 0f = dhe ( )1 0f − = . Me këto dy fakte formo sistemin e ekuacioneve për të gjetur p = 3 dhe q = 7. Pas kësaj vendosi në punë të pavarur për ushtrimet 11 dhe 12. Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimet 1 dhe 2. Kontrollo punët e tyre për të parë shkallën e përvetësimit të kuptimeve bazë të mësimit.


Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet e pa përfunduara gjatë orës së mësimit mund të jepen si detyra shtëpie. Detyrë e diferencuar Ushtrimi sfidë. Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12.




Tema mësimore: 7.4 Vërtetimi matematik

Situata e të nxënit Matematicienët duhet t’i vërtetojnë teoremat e tyre (si teorema e Pitagorës) përpara se t’i përdorin ato për zgjidhjen e problemave. Teorema e Pitagorës mund të përdoret për të gjetur një vlerë të përafërt të π.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Zbaton skemën e arsyetimit për të vërtetuar

barazime algjebrike; • Vërteton pohime të thjeshta gjeometrie.

Koncepte kyçe: Një pohim matematik mund të provohet nëse është i vërtetë me anë të deduksionit. Kjo do të thotë se përfundimi i kërkuar gjendet nëpërmjet fakteve ose përcaktimeve të njohura që përdoren gjatë hapave logjikë që ndiqen gjatë vërtetimit.

Burimet: Libri i nxënësit faqe .............; Fletore pune

Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Shprehje algjebrike; Zgjidhja e inekuacionit kuadratik; Kushti i pingultisë dhe i paralelizmit të dy drejtëzave.


Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese • Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Një pohim që është vërtetuar quhet teoremë. Një pohim që ende nuk është vërtetuar quhet hipotezë. Një pohim matematik mund të provohet nëse është i vërtetë me anë të deduksionit. Kjo do të thotë se përfundimi i kërkuar gjendet nëpërmjet fakteve ose përcaktimeve të njohura që përdoren gjatë hapave logjikë që ndiqen gjatë vërtetimit. Prezanto në tabelë Shembullin 8 duke i sqaruar me ngadalë hapat e vërtetimit: • fillo me shprehjen në njërën anë të identitetit; • kryej veprime me shprehjen algjebrike deri sa ajo të përputhet me anën tjetër; • trego çdo hap në veprimet e tua algjebrike.

Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimin 4. Kontrollo nëse nxënësit i respektojnë hapat e vërtetimit.

Puno me nxënësit ushtrimin 6. 24 4D b c= − . ( )24D b c= − 22 4

2b bx − ±

=

Prezanto në tabelë Shembullin 10. Shpjegoju nxënësve vërtetimin e zgjedhur në libër. Mund t’u lësh detyrë që ata ta vërtetojnë atë duke zbatuar Teoremën e Pitagorës. Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrim15, 16 dhe 17. Kontrollo nëse nxënësit i bëjnë vërtetimet


në mënyrë korrekte. Prezanto në tabelë Shembullin 11. Puno me nxënësit ushtrimin 11 duke theksuar që: një funksion kuadratik y a bx c= + + është gjithmonë pozitiv nëse ka 0a > dhe 0D < Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimin 12.

Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimet 1 dhe 3. Kontrollo punët e tyre për të parë shkallën e përvetësimit të kuptimeve bazë të mësimit.


Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet e pa përfunduara gjatë orës së mësimit mund të jepen si detyra shtëpie. Detyrë e diferencuar Ushtrimi sfidë. Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12.



Tema mësimore: 7.5 Metoda vërtetimi

Situata e të nxënit Matematicienët duhet t’i vërtetojnë teoremat e tyre (si teorema e Pitagorës) përpara se t’i përdorin ato për zgjidhjen e problemave. Teorema e Pitagorës mund të përdoret për të gjetur një vlerë të përafërt të π.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Njeh dhe zbaton metodën shteruese në

vërtetime matematike; • Njeh dhe zbaton metodën e kundërshembullit

në vërtetime matematike.

Koncepte kyçe: Një pohim matematik mund të provohet nëse është i vërtetë me metodën e shterimit. Kjo bëhet duke e ndarë pohimin në raste më të vogla dhe duke vërtetuar çdo rast veç e veç. Nuk mund të përdoret një shembull për të vërtetuar nëse pohimi është i vërtetë, sepse një shembull është vetëm një rast.


Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Ekuacione; Inekuacione



Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese • Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Një pohim matematik mund të provohet nëse është i vërtetë me metodën e shterimit. Kjo bëhet duke e ndarë pohimin në raste më të vogla dhe duke vërtetuar çdo rast veç e veç. Kjo metodë është e mirë kur numri i rezultateve është i vogël. Ti nuk mund të përdorësh një shembull për të vërtetuar nëse pohimi është i vërtetë, sepse një shembull është vetëm një rast. Prezanto në tabelë Shembullin 12 duke i sqaruar me ngadalë hapat e vërtetimit:

Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimin 4. Trego kujdes që nxënësi të përfshihet në vërtetim. Udhëzoji nxënësit të shqyrtojnë rastet kur numri kub është i trajtës

( )33n , ( )33 1n + ose ( )33 2n + .

( ) ( )3 333 27 9 3n n n= = ⋅ , e cila është shumëfish i 9.

( ) ( )3 3 2 23 1 27 54 36 8 9 3 6 4 8n n n n n n n+ = + + + = + + + , e cila është një më pak se shumëfish i 9.

Arsyetimi është njëlloj edhe për rastin tjetër. Prezanto në tabelë Shembullin 13. Pas kësaj kalo te ushtrimi 6, duke kërkuar nga nxënësit të gjejnë gabimin në arsyetimin e prezantuar në ushtrim. Prezanto në tabelë Shembullin 14, duke shpjeguar të gjitha hapat e vërtetimit të tij. Puno me nxënësit ushtrimin 8 duke i orientuar në vërtetimin e duhur. Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimin 9.

Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimet 1, 2 dhe 3. Kontrollo punët e tyre për të parë shkallën e përvetësimit të kuptimeve bazë të mësimit.


Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet 5 dhe 7. Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12.


Planifikimi i orës mësimore – Tematika: Zbërthimi binomial


Tema mësimore: 8.1 Trekëndëshi i Paskalit

Situata e të nxënit Zbërthimi binomial mund të përdoret për hapjen e kllapave që janë në fuqi të mëdha. Ai mund të përdoret për thjeshtimin e modeleve probabilitare kur prova përsëritet një numër të madh herësh, si është rasti i modeleve që përdorin prodhuesit e fabrikave për të parashikuar defektet në prodhim.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Njeh dhe zbaton trekëndëshin e Paskalit për

zbërthimin e ( )na b+ ;

• Përdor trekëndëshin e Paskalit për të gjetur koeficientet binomiale.

Koncepte kyçe: Trekëndëshi i Paskalit formohet duke mbledhur çiftet e numrave pranë njëri-tjetrit për të gjetur numrat në rreshtin pasues. Rreshti i (n + 1)-të i trekëndëshit të Paskalit tregon koeficientet në zbërthimin e ( )na b+

Burimet: Libri i nxënësit faqe ...........; Fletore pune

Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Ekuacione


Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese • Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Trekëndëshi i Paskalit formohet duke mbledhur çiftet e numrave pranë njëri-tjetrit për të gjetur numrat në rreshtin pasues.

Rreshti i (n + 1)-të i trekëndëshit të Paskalit tregon koeficientet në zbërthimin e ( )na b+

Prezanto në tabelë Shembullin 1 duke i sqaruar me ngadalë hapat e zbërthimit: Jep i punë të pavarur ushtrimin 2 dhe sigurohu që të gjithë nxënësit njohin dhe zbatojnë trekëndëshin e Paskalit në zbërthimin e binomit për numra n jo shumë të mëdhenj. Prezanto në tabelë Shembullin 14, duke shpjeguar të gjitha hapat për formimin e ekuacionit që të gjesh vlerat e mundshme të të panjohurës c. Puno me nxënësit ushtrimin 6. Në fillim kërko që nxënësit të bëjnë zbërthimin pastaj të formojnë ekuacionin e duhur. Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimin 7. Kontrollo punimet e nxënësve që të sigurohesh se të gjithë dinë të formojnë ekuacionin - 3b – 5 = 0,për të gjetur vlerat e mundshme të b. Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimin 1. Kontrollo punët e tyre për të parë shkallën e përvetësimit të zbërthimit të binomit duke u bazuar te trekëndëshi i Paskalit.



Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet 5 dhe 8. Detyrë e diferencuar ushtrimi sfidë. Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12.



Tema mësimore: 8.2 Shënimi faktorial


Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Njeh dhe llogarit shënimin

( )!

! !n

r

n nCr r n r

= = −

• Përdor shënimin 11

11

nr

nC

r−

−

− = −

për të shkruar

numrat në trekëndëshin e Paskalit.

Koncepte kyçe: Me anë të shënimit faktorial dhe makinës llogaritëse mund të gjesh më shpejt numrat e trekëndëshit të Paskalit. Numri i mënyrave me të cilat zgjidhen r elemente nga një grup me n elemente

shënohet si nrC ose

nr

Kufiza e r-të në trekëndëshin e Paskalit jepet

nga formula ( )

!! !

nr

n nCr r n r

= = − .

Burimet: Libri i nxënësit faqe ......; Fletore pune

Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Probabiliteti


Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese • Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Me anë të shënimit faktorial dhe makinës llogaritëse mund të gjesh më shpejt numrat e trekëndëshit të Paskalit. Numri i mënyrave me të cilat zgjidhen r elemente nga një grup me n elemente shënohet si 𝑪𝑪𝒓𝒓𝒏𝒏


ose ( )

!! !

nr

n nCr r n r

= = −

Kufiza e r-të në trekëndëshin e Paskalit jepet nga formula 11

11

nr

nC

r−

−

− = −

Prezanto në tabelë Shembullin 3 duke i sqaruar me ngadalë për mënyrën e njehsimit të koeficienteve binomial me anë të formulës. Jep si punë të pavarur ushtrimin 2 dhe sigurohu që të gjithë nxënësit gjejnë vlera të sakta. Zhvillo me nxënësit ushtrimin 7.a) 13

3 286C = ; 134 715C =

( )413 4 44 3 715 81 57915C x x x= ⋅ =

Jep si punë të pavarur ushtrimin 8 dhe kontrollo rezultatet e nxënësve. Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimet 1, 2 dhe 3. Kontrollo punët e tyre për të parë shkallën e përvetësimit të njehsimit të koeficienteve binomiale.


Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet 10 dhe 11. Detyrë e diferencuar ushtrimi sfidë. Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12.



Tema mësimore: 8.3 Zbërthimi binomial


Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Njeh dhe zbërthen binomin

( ) 1 2 2

1 2n n n n n r r nn n n

a b a a b a b a b br

− − − + = + + + + + +

• Përdor shënimin ( )

!! !

nr

n nCr r n r

= = − për të gjetur

Koncepte kyçe: Koeficientet binomialë

( )!

! !nr

rCr n r

=−

11

11

nr

nC

r−

−

− = −

.


koeficientet binomial.


Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Probabiliteti; Vetitë e fuqive


Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese • Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Numri i mënyrave me të cilat zgjidhen r elemente nga një grup me n elemente shënohet si

( )!

! !nr

rCr n r

=−

ose 11

11

nr

nC

r−

−

− = −

.

Koeficienti pranë kufizës së përgjithshme në zbërthimin e binomit jepet nga formula nr

nC

r

=

Prezanto në tabelë Shembullin 4 duke i sqaruar me ngadalë për mënyrën e zbërthimit të binomit dhe njehsimit të koeficienteve binomial me anë të formulës. Jep si punë të pavarur ushtrimin 2 dhe sigurohu që të gjithë nxënësit gjejnë vlera të sakta. Zhvillo me nxënësit ushtrimin 5. Udhëzoji që të marrin parasysh edhe shenjat e kufizave. Prezanto në tabelë Shembullin 5. Jep si punë të pavarur ushtrimin 6 dhe kontrollo rezultatet e nxënësve. Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimet 1. Kontrollo punët e tyre për të parë shkallën e përvetësimit të njehsimit të koeficienteve binomiale.


Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimi 7. Detyrë e diferencuar ushtrimi sfidë. Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12.


Planifikimi i orës mësimore – Tematika: Raporte trigonometrike


Tema mësimore: 9.1 Teorema e kosinusit

Situata e të nxënit Trigonometria në hapësirën me dy dhe tri përmasa përdoret nga hulumtuesit për të gjetur distanca dhe syprina në fazën e përgatitjes së projekteve për ndërtimin e objekteve të ndryshme.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Përdor teoremën e kosinusit për gjetjen e

brinjës së panjohur; • Përdor teoremën e kosinusit për gjetjen

këndit të panjohur.

Koncepte kyçe: Kjo trajtë e teoremës së kosinusit përdoret për të gjetur një brinjë të panjohur kur njihen dy brinjët e tjera dhe këndi ndërmjet tyre.

2 2 2 2 cosa b c bc A= + − Kjo trajtë e teoremës së kosinusit përdoret për të gjetur një kënd të panjohur kur njihen të tri brinjët e trekëndëshit

2 2 2

cos2

b c aAbc

+ −=

Burimet: Libri i nxënësit faqe ..............; Fletore pune

Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Gjeometri


Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese • Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Kjo trajtë e teoremës së kosinusit përdoret për të gjetur një brinjë të panjohur kur njihen dy brinjët e tjera dhe këndi ndërmjet tyre.

2 2 2 2 cosa b c bc A= + − Kjo trajtë e teoremës së kosinusit përdoret për të gjetur një kënd të panjohur kur njihen të tri brinjët e trekëndëshit

2 2 2

cos2

b c aAbc

+ −=

Ilustroji shpjegimet me skicë dhe rikujto lidhjet trigonometrike në trekëndëshin kënddrejtë për ku të përfshihet e gjithë klasa. Prezanto në tabelë Shembullin 1 duke i sqaruar me ngadalë hapat e njehsimit të brinjës së trekëndëshit. Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimin 1. a; b dhe c. Kontrollo nëse nxënësit e zbatojnë korrekt teoremën e kosinusit për të gjetur brinjën e panjohur në trekëndësh. Prezanto në tabelë Shembullin 2. Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimin 2. a; b dhe c. Kontrollo nëse nxënësit e zbatojnë korrekt teoremën e kosinusit për të gjetur këndin e panjohur në trekëndësh. Prezanto në tabelë Shembullin 2. Rikujtoju nxënësve kuptimin e koordinatës gjeografike veriore


për konceptimin dhe zgjidhjen e ushtrimit. Jep si punë të pavarur ushtrimin 3. Prezanto Shembullin 4 dhe thekso faktin që ndryshorja x përfaqëson gjatësi brinje në trekëndësh dhe si e tillë duhet të jetë pozitive. Zhvillo me klasën ushtrimin 11 për të përforcuar Shembullin 4. Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimet 1 dhe 2(pikat e pa zhvilluara gjatë mësimit)


Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet 6, 7 dhe 10 Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12.



Tema mësimore: 9.2 Teorema e sinusit


Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Përdor teoremën e sinusit për gjetjen e brinjës

së panjohur; • Përdor teoremën e sinusit për gjetjen këndit të

panjohur.

Koncepte kyçe: Kjo trajtë e teoremës së sinusit përdoret për të gjetur gjatësinë e brinjës së panjohur:

sin sin sina b cα β γ= = .

Kjo trajtë e teoremës së sinusit përdoret për të gjetur gjatësinë e brinjës së panjohur: sin sin sin

a b cα β γ= = .

Në disa raste nga teorema e sinusit dalin dy zgjidhje të mundshme për një kënd të panjohur:

( )0sin sin 180θ θ= −

Burimet: Libri i nxënësit faqe ............; Fletore pune




Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese • Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Kjo trajtë e teoremës së sinusit përdoret për të gjetur gjatësinë e brinjës së panjohur:

sin sin sina b cα β γ= =

Kjo trajtë e teoremës së sinusit përdoret për të gjetur gjatësinë e brinjës së panjohur: sin sin sin

a b cα β γ= = .

Në disa raste nga teorema e sinusit dalin dy zgjidhje të mundshme për një kënd të panjohur:

( )0sin sin 180θ θ= −

Shoqëroji shpjegimet me skica dhe sigurohu që nxënësit i kuptojnë vërtetimet e dhëna në libër. Prezanto në tabelë Shembullin 5 duke i sqaruar me ngadalë hapat e njehsimit të brinjës së trekëndëshit. Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimin 2. a; b dhe c. Kontrollo nëse nxënësit e zbatojnë korrekt teoremën e sinusit për të gjetur brinjën e panjohur në trekëndësh. Prezanto në tabelë Shembullin 6. Pas kësaj jep si punë të pavarur ushtrimin 3. a; b dhe c. Kontrollo nëse nxënësit e zbatojnë korrekt teoremën e sinusit për të gjetur këndin e panjohur në trekëndësh. Puno me klasën ushtrimin 5. Udhëzoji që PQ mund të gjendet edhe me teoremën e kosinusit. Zhvillo me klasën ushtrimin 8. Udhëzoji nxënësit në gjetjen e pozicionit të pikës C dhe rikujtoju vetinë e këndeve midis drejtëzave paralele. Prezanto Shembullin 7 dhe thekso faktin se teorema e sinusit ka nevojë për diskutim sepse jep dy zgjidhje dhe jo gjithmonë pranohen të dyja zgjidhjet. Zhvillo me klasën ushtrimin 1(9C) për të përforcuar Shembullin 7. Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimet 1 dhe 2(pikat e pa zhvilluara gjatë mësimit)


Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet 4, 5 dhe 6 (9C) Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12.




Tema mësimore: 9.3 Syprina e trekëndëshave


Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Gjen syprinën e trekëndëshit kur njeh dy brinjë

dhe këndin midis tyre; • Gjen këndin në trekëndësh kur njeh syprinën

dhe dy brinjë të tij.

Koncepte kyçe:

Syprina 1 sin2

ab C=





Syprina 1 sin2

ab C=

Shoqëroji shpjegimet me skica dhe sigurohu që nxënësit e kuptojnë nxjerrjen e formulës së syprinës së trekëndëshit. Ndaji nxënësit në grupe për të zgjidhur ushtrimin 3. Kontrollo punët e tyre dhe diskuto me nxënësit zgjidhjet në tabelë. Prezanto në tabelë Shembullin 8 dhe kalo te ushtrimi 6 duke u siguruar që nxënësit i kuptojnë të gjitha pikat e zgjidhjes. Prezanto në tabelë Shembullin 9 duke arsyetuar që në përgjithësi kjo problemë ka dy zgjidhje, sepse sinusi i këndit të ngushtë dhe shtuesit të tij kanë vlera të barabarta. Puno me klasën ushtrimin 4. Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimet 1 dhe 2 (pikat e pa zhvilluara gjatë mësimit)


Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimi 5. Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12.




Tema mësimore: 9.4 Grafikët e sinusit, kosinusit dhe tangjentit


Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Gjen syprinën e trekëndëshit kur njeh dy brinjë

dhe këndin midis tyre; • Gjen këndin në trekëndësh kur njeh syprinën

dhe dy brinjë të tij.

Koncepte kyçe: Grafikët e sinusit, kosinusit dhe tangjentit janë periodikë. Ata përsëriten pas një intervali të caktuar. Grafiku i siny θ= përsëritet çdo 360° dhe pret boshtin x në pikat me koordinata …, −180°, 0, 180°, 360°, ka vlerë maksimale 1 dhe vlerë minimale -1.… Grafiku i cosy θ= : përsëritet çdo 360° dhe pret boshtin x në pikat me koordinata …, −90°, 90°, 270°, 450°, …ka vlerë maksimale 1 dhe vlerë minimale -1.




Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese • Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Grafikët e sinusit, kosinusit dhe tangjentit janë periodikë. Ata përsëriten pas një intervali të caktuar. Grafiku i siny θ= përsëritet çdo 360° dhe pret boshtin x në pikat me koordinata …, −180°, 0, 180°, 360°, ka vlerë maksimale 1 dhe vlerë minimale -1.… Grafiku i cosy θ= : përsëritet çdo 360° dhe pret boshtin x në pikat me koordinata …, −90°, 90°, 270°, 450°, …ka vlerë maksimale 1 dhe vlerë minimale -1. Grafiku i tany θ= :

• përsëritet çdo 180° dhe pret boshtin x në pikat me koordinata … −180°, 0°, 180°, 360°, … • nuk ka vlerë maksimale dhe as vlerë minimale. • ka asimptota vertikale në x = −90°, x = 90°, x = 270°, … Shoqëroji shpjegimet me skica dhe sigurohu që nxënësit e kuptojnë grafikët e funksioneve trigonometrike. Prezanto në tabelë Shembullin 11. Ndërto një tabelë vlerash për të gjetur disa pika të rëndësishme të grafikut të funksionit siny x= dhe cosy x=

Puno me klasën ushtrimet 1, 2 dhe 3. Jepu kohë të skicojnë ata vet grafikët e tyre me anë të një


tabele vlerash për secilin. Pas kësaj zgjidh ekuacione duke u bazuar te grafikët e funksioneve që ndërtove më sipër. Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ekuacionet: sin 0x = cos 1x = tan 1x = sin 1x = − .



Planifikimi i orës mësimore – Tematika: Identitete dhe ekuacione trigonometrike


Tema mësimore: 10.1 Këndet në të katër kuadrantet

Situata e të nxënit Ekuacionet trigonometrike mund të përdoren për të modeluar shumë dukuri dhe fenomene të jetës së përditshme siç janë këndi i ngritjes së diellit në momente të ndryshme kohore.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Gjen sin, cos dhe tan e çdo këndi në rrethin

trigonometrik; • Përcakton shenjat e sin, cos dhe tan për kënde

të ndryshme në të katër kuadrantet.

Koncepte kyçe: Për një pikë çfarëdo P(x, y) në rrethin trigonometrik ku OP formon këndin θ me drejtimin pozitiv të boshtit x: • cos xθ = = koordinata x e pikës P • sin yθ = = koordinata y e pikës P

• tan yx

θ = = koeficienti këndor i OP

Rrethi trigonometrik apo rrethi njësi e ka rrezen e tij të barabartë me 1 njësi


Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Pika P e cila i korrespondon këndit θ i korrespondon gjithashtu edhe këndit 0360θ + . Kjo tregon se grafikët e siny θ= dhe cosy θ= janë funksione periodike me periodë 360°. tanθ nuk përcaktohet kur θ = 270° ose kur këndi jepet si shumëfish tek i këndit të drejtë. Këtyre vlerave të θ i korrespondojnë asimptotat e grafikut të funksionit tany θ=




Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese • Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Për një pikë çfarëdo P(x, y) në rrethin trigonometrik ku OP formon këndin θ me drejtimin pozitiv të boshtit x: • cos xθ = = koordinata x e pikës P • sin yθ = = koordinata y e pikës P

• tan yx

θ = = koeficienti këndor i OP

Rrethi trigonometrik apo rrethi njësi e ka rrezen e tij të barabartë me 1 njësi • Për të përcaktuar nëse raportet trigonometrike janë pozitive apo negative mund të përdoren kuadrantet. Shoqëroji shpjegimet me skica dhe sigurohu që nxënësit e kuptojnë vlerat trigonometrike në radhë të parë duke u bazuar te rrethi trigonometrik dhe jo thjesht në mënyrë riprodhuese mekanike. Prezanto në tabelë Shembullin 1. Ndërto një rreth trigonometrik dhe nxiti nxënësit që ta përdorin për t’iu përgjigjur kërkesave të ushtrimit. Sqaroji nxënësit për kahun pozitiv dhe kahun negativ në rrethin trigonometrik. Puno me klasën ushtrimet 1, 2 dhe 3. Jepu kohë të skicojnë ata vet grafikët e tyre me anë të një tabele vlerash për secilin. Prezanto në tabelë Shembullin 2 për të sqaruar vlerat e tangjentit të këndit me anë të rrethit trigonometrik. U thuaj nxënësve që vlerat e tangjentit të një këndi mund t’i gjejnë edhe si raport i sinusit me kosinusin e atij këndi. Prezanto në tabelë Shembullin 3 për të arsyetuar shenjën e vlerave trigonometrike në të katër kuadrantet. Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe për të zgjidhur tipa ushtrimesh për të gjitha çështjet e trajtuara në mësim. Kontrollo punët e nxënësve për të parë saktësinë dhe shkallën e përvetësimit të njohurive të marra. Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimet 1 dhe 2.


Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimi 6. Detyrë e diferencuar ushtrimi sfidë Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12.



Tema mësimore: 10.2 Vlerat e sakta të raporteve trigonometrike




Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Gjen vlerat trigonometrike sin, cos dhe tan të

këndeve 30°, 45° dhe 60° duke u bazuar në një trekëndësh kënddrejtë me katete 1 njësi dhe 1 njësi;

• Gjen vlerat trigonometrike të këndeve plotësuese, shtuese, me shumë 360°. Me diferencë 180°.

Koncepte kyçe:

0 1sin302

= , 0 2sin 452

= , 0 3sin 602

=

0 3cos302

= , 0 2cos452

= , 0 1cos602

=



( )0sin 180 sinθ θ− = , ( )0cos 180 cosθ θ− = −

( )0tan 180 tanθ θ− = − , ( )0sin 180 sinθ θ+ = −

( )0cos 180 cosθ θ+ = − , ( )0tan 180 tanθ θ+ =


Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese • Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Mund të gjenden sin, cos dhe tan i këndeve 30°, 45° dhe 60° duke përdorur trekëndësha. Shqyrto një trekëndësh barabrinjës ABC me gjatësi të brinjëve 2 cm. Ndërto një pingule nga kulmi A që pret BC në pikën D. Zbato raportet trigonometrike në trekëndëshin kënddrejtë ABD. Shoqëroji shpjegimet me skica dhe sigurohu që nxënësit i kuptojnë raportet trigonometrike në trekëndëshin kënddrejtë. Prezanto në tabelë Shembullin 5. Ndërto një rreth trigonometrik dhe sigurohu që nxënësit e kuptojnë se këndi -210°°dhe 150° kanë të njëjtën pikë korresponduese në rrethin trigonometrik. Sqaroji nxënësit për kahun pozitiv dhe kahun negativ në rrethin trigonometrik. Puno me klasën ushtrimin 1 dhe kërko që nxënësit të arsyetojnë gjetjen e vlerës përkatëse dhe jo thjesht të thonë një numër. Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimet a) cos 135° b) tan (−60°) c) cos 330° d) cos 420° e) cos (−300°) f) sin 390°°


Detyrë dhe punë e pavarur: Detyrë e diferencuar ushtrimi sfidë Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12.




Tema mësimore: 10.3 Identitete trigonometrike


Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Përdor identitetin themelor të trigonometrisë

për të gjetur vlerat trigonometrike të këndeve të ndryshme;

• Përcakton shenjën e vlerave trigonometrike në të katër kuadrantet.

• Vërteton identitete trigonometrike.

Koncepte kyçe: Për çdo vlerë të këndit θ,

2 2sin cos 1θ θ+ = .

Për çdo vlerë të θ të tillë që cos 0θ ≠ , sintancos

θθθ

=


Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Ekuacioni i një rrethi me rreze r dhe qendër në origjinën e koordinatave është

2 2 2x y r+ =




• Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Për çdo vlerë të këndit θ, 2 2sin cos 1θ θ+ = .

Për çdo vlerë të θ të tillë që cos 0θ ≠ , sintancos

θθθ

=

Prezanto në tabelë Shembullin 6. Sqaroji nxënësit për çdo hap që ka arsyetim në mënyrë që nxënësi të krijojë ide të qarta për transformimet identike në trigonometri.

Për pikën c) supozohet që 2cos 2 0θ ≥ .

Pas kësaj përforco Shembullin me punë të pavarur ushtrimin 1.

Prezanto në tabelë Shembullin 7, duke i udhëzuar se kur duhet të vërtetosh një identitet si ky mund të bazohesh te identitete themelore siç është edhe 2 2sin cos 1θ θ+ = .

Puno me klasën ushtrimin 5.a) dhe 5.b).

Prezanto në tabelë Shembullin 8 dhe thekso faktin që ka shumë rëndësi në cilin kuadrant


ndodhet këndi për të vendosur shenjën e vlerës trigonometrike përkatëse.

Puno me klasën ushtrimin 7 dhe kërko që nxënësit të arsyetojnë gjetjen e vlerës përkatëse dhe jo thjesht të thonë një numër.

Prezanto në tabelë Shembullin 9.

Puno me klasën ushtrimin 10.a)

Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimin 4. Kontrollo punët e nxënësve për të parë shkallën e përvetësimit të njohurive bazë.


Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet 7, 8 dhe 11 libri i nxënësit Matematika 12.

Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12.



Tema mësimore: 10.4 Ekuacione të thjeshta trigonometrike


Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Zgjidh ekuacione trigonometrike të tipit

sin kθ = , cos kθ = kur 1 1k− ≤ ≤ . • Zgjidh ekuacione trigonometrike të tipit

tan pθ = për çdo vlerë të p.

Koncepte kyçe: Ekuacionet sin kθ = dhe cos kθ = kanë zgjidhje vetëm kur 1 1k− ≤ ≤ . Ekuacioni tan pθ = ka zgjidhje për çdo vlerë të

p. Kur përdor në makinën llogaritëse funksione trigonometrike të anasjella, këndi që përftohet quhet vlerë kryesore e këndit.


Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Grafikët e siny θ= dhe cosy θ= kanë vlerë

maksimale 1 dhe vlerë minimale -1.

Grafiku i tany θ= nuk ka as vlerë minimale dhe as vlerë maksimale.





• Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Ekuacionet sin kθ = dhe cos kθ = kanë zgjidhje vetëm kur 1 1k− ≤ ≤ .

Ekuacioni tan pθ = ka zgjidhje për çdo vlerë të p.

Kur përdor funksionin trigonometrik të anasjellë në makinën llogaritëse, këndi që shfaqet në ekranin e makinës llogaritëse quhet vlerë kryesore e këndit.

Prezanto në tabelë Shembullin 10. Sqaroji nxënësit për çdo hap që ka arsyetim në mënyrë që nxënësi të krijojë ide të qarta për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike.

Pas kësaj përforco Shembullin me punë të pavarur ushtrimin 3.a), d), g).

Prezanto në tabelë Shembullin 11, duke i udhëzuar që të arsyetojnë duke u bazuar në rrethin trigonometrik ose në grafikun e siny x= ose cosy x= .

Puno me klasën ushtrimin 5.a) dhe 5.b).

Prezanto në tabelë Shembullin 12 dhe diskuto me nxënësit gabimet e mundshme që bëhen gjatë zgjidhjes së tyre.

Puno me klasën ushtrimin 4.a), b), c) dhe d) dhe kërko që nxënësit të arsyetojnë duke u bazuar te grafiku i funksioneve përkatëse.

Prezanto në tabelë Shembullin 13.

Puno me klasën ushtrimin 7. Kërko nga nxënësit që të arsyetojnë për të gjetur gabimet në të dy rastet. Pastaj jepu zgjidhjen e saktë.

Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimin. 1. Kontrollo punët e nxënësve për të parë shkallën e përvetësimit të njohurive bazë.






Tema mësimore: 10.5 Ekuacione dhe identitete

Situata e të nxënit Ekuacionet trigonometrike mund të përdoren për të modeluar shumë dukuri dhe fenomene të


jetës së përditshme siç janë këndi i ngritjes së diellit në momente të ndryshme kohore.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Zgjidh ekuacione trigonometrike që përftojnë

ekuacione kuadratike

Koncepte kyçe:


Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Ekuacione kuadratike




• Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Rikujto me nxënësit mënyrën e faktorizimit të një ekuacioni kuadratik.

Prezanto në tabelë Shembullin 15. Sqaroji nxënësit për çdo hap që ka lidhje me faktorizimin, pastaj kërko që nxënësit të çojnë deri në fund zgjidhjet e ekuacioneve trigonometrike të formuara.

Pas kësaj përforco Shembullin me punë të pavarur ushtrimet 5, 6 dhe 7.

Zhvillo në tabelë Shembullin 16. Argumento me nxënësit rastet kur ekuacioni trigonometrik nuk ka zgjidhje.

Puno me klasën ushtrimin 8 dhe kërko që nxënësit të arsyetojnë duke u bazuar te gjetja e dallorit për të përcaktuar numrin e zgjidhjeve të ekuacionit kuadratik të formuar.

Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimin 1. Kontrollo punët e nxënësve për të parë shkallën e përvetësimit të njohurive bazë.




Planifikimi i orës mësimore – Tematika: Vektorë trigonometrike


Tema mësimore: 11.1 Vektorë

Situata e të nxënit Pilotët përdorin mbledhjen e vektorëve për të gjetur vektorin rezultant të shpejtësisë dhe


drejtimin e lëvizjes kur një aeroplan kryqëzohet me drejtimin e erës.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Gjen vektorin rezultant me anë të rregullës së

trekëndëshit dhe/ose të paralelogramit; • Zgjidh problema gjeometrie me anë të

vektorëve.

Koncepte kyçe: Një vektor ka dy elemente përbërëse gjatësinë dhe drejtimin.

Një vektor mund të përfaqësohet nga një segment drejtvizor i orientuar.

Për të mbledhur dy vektorë përdoret rregulla e trekëndëshit:

Të zbresësh një vektor do të thotë ‘të mbledhësh një vektor negativ’






• Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Një vektor ka dy elemente përbërëse gjatësinë dhe drejtimin.

Një vektor mund të përfaqësohet nga një segment drejtvizor i orientuar.

Për të mbledhur dy vektorë përdoret rregulla e trekëndëshit.

Të zbresësh një vektor do të thotë ‘të mbledhësh një vektor negativ’:

Çdo vektor paralel me një vektor të dhënë a mund të shkruhet në trajtën λa, ku λ është një numër i ndryshëm nga zero.

Prezanto në tabelë Shembullin 1, 2 dhe 3,dhe kërko që nxënësit të praktikojnë gjetjen e vektorit rezultant sipas rregullës së trekëndëshit, rregullës së paralelogramit dhe zbritjen e dy vektorëve me anë të ushtrimit 1.

Prezanto Shembullin 4 dhe sigurohu që nxënësit e kuptojnë që barazimi a= kb nënkupton që a është paralel me b. Pas kësaj diskuto me gojë zgjidhjet e ushtrimit 8.

Zhvillo në tabelë Shembullin 5. Thekso kuptimin e ndarjes së segmentit AB në raportin 3 me 5.

Puno me klasën ushtrimin 7. OB a b= +

( )58

OP a b= +

( )58

AP a a b= − + +

Ndaje klasën në grupe të vogla për ushtrimin 9 dhe kontrollo punët e tyre për të parë arritjet e nxënësve.

Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin

ushtrimin 1. Kontrollo punët e nxënësve për të parë shkallën e përvetësimit të njohurive bazë.



Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet 6 dhe 10 libri i nxënësit Matematika 12.




Tema mësimore: 11.2 Paraqitja e vektorëve me koordinata

Situata e të nxënit Pilotët përdorin mbledhjen e vektorëve për të gjetur vektorin rezultant të shpejtësisë dhe drejtimin e lëvizjes kur një aeroplan kryqëzohet me drejtimin e erës.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Kryen veprime aritmetike me vektorë

shtyllë; • Zbaton kushtin e paralelizmit të dy

vektorëve të dhënë në formë shtyllë.

Koncepte kyçe: Zhvendosje vektor shtyllë Të shumëzosh një vektor shtyllë me një numër λ do të thotë të shumëzosh secilën koordinatë

të tij me këtë numër: p pq q

λλ

λ

=

Të mbledhësh dy vektorë shtyllë, do të thotë të mbledhësh koordinatat x dhe koordinatat

:p r p r

yq s q s

+ + = +

Një vektor njësi e ka gjatësinë 1. Çdo vektor me dy koordinata mund të shprehet në trajtën p q+i j






• Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit: Të shumëzosh një vektor shtyllë me një numër λ do të thotë të shumëzosh secilën koordinatë të

tij me këtë numër: p pq q

λλ

λ

=

Të mbledhësh dy vektorë shtyllë, do të thotë të mbledhësh koordinatat x dhe koordinatat

:p r p r

yq s q s

+ + = +


Një vektor njësi e ka gjatësinë 1.

Çdo vektor me dy koordinata mund të shprehet në trajtën p q+i j .

Prezanto në tabelë Shembullin 6 dhe kërko që nxënësit të praktikojnë aritmetikën e vektorëve me koordinata.

Prezanto Shembullin 7 dhe thekso se kjo paraqitje ndryshe quhet zbërthimi i vektorëve sipas vektorëve njësi të planit koordinativ.

Zhvillo në tabelë Shembullin 9. Thekso se kur mbledh vektorët me koordinata vektori rezultant ka për koordinata shumën e koordinatave respektive.

Ndaje klasën në grupe të vogla për ushtrimin 3 dhe kontrollo punët e tyre për të parë arritjet e deritanishme të nxënësve.

Puno me klasën ushtrimin 4.

Duke ditur se 2 5a = +i j dhe 3b = −i j , gjej:

a λ, në qoftë se a + λb është paralel me vektorin i

2i + 5j + 3 λi – λj = ki + 0j ⇒( 2 + 3 λ )i + ( 5 – λ )j = ki ⇒ 5 – λ = 0. Pra, λ = 5.

Njëlloj arsyeto për pikën b.)

Prezanto Shembullin 10 dhe sigurohu që nxënësit kryejnë aritmetikën e vektorëve me vektorë shtyllë.

Ndaje klasën në grupe të vogla për ushtrimin 6 dhe kontrollo punët e tyre për të parë nëse e zotërojnë aritmetikën e vektorëve me vektorë shtyllë.

Puno me klasën ushtrimin 10

Vektori rezultant i dy vektorëve 3 2a = −i j dhe 2b p p= −i j është paralel me vektorin 2 3c = −i j .

Gjej: a vlerën e p b vektorin rezultant të vektorëve a dhe b.

( ) ( )3 2 2a b p p+ = + + − −i j 3 2

2 2 3p k

a b kcp k

+ =+ = ⇒ − − = −

. Zgjidhja e sistemit jep vlerën e p.

Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimet 1 dhe 2. Kontrollo punët e nxënësve për të parë shkallën e përvetësimit të njohurive bazë.






Tema mësimore: 11.3 Gjatësia dhe drejtimi i vektorit


Situata e të nxënit Pilotët përdorin mbledhjen e vektorëve për të gjetur vektorin rezultant të shpejtësisë dhe drejtimin e lëvizjes kur një aeroplan kryqëzohet me drejtimin e erës.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Gjen gjatësinë e një vektori me koordinata të

dhëna; • Gjen këndin që formon një vektor me boshtin x

ose me boshtin y; • Gjen koordinatat e vektorit njësi me drejtim të

njëjtë me një vektor të dhënë.

Koncepte kyçe:

Për vektorin x

a x yy

= + =

i j gjatësia e

vektorit jepet me formulën: 2 2a x y= +

Një vektor njësi me drejtim të njëjtë me

vektorin e dhënë a është vektori aa

.

Trajta gjatësi-drejtim e vektorit


Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Formula themelore e trigonometrisë.




• Si pikënisje prezanto para nxënësve konceptet kyçe të mësimit:

Për vektorin x

a x yy

= + =

i j gjatësia e vektorit jepet me formulën: 2 2a x y= +

Një vektor njësi me drejtim të njëjtë me vektorin e dhënë a është vektori aa

.

Një vektor njësi me drejtim të njëjtë me vektorin a zakonisht shënohet me a .

Një vektor mund të përcaktohet në qoftë se njihet gjatësia e tij, dhe këndi që formon vektori me njërin prej boshteve koordinative. Kjo trajtë quhet trajta gjatësi-drejtim e vektorit.

Prezanto në tabelë Shembullin 11 dhe sigurohu që nxënësit e kanë të qartë kuptimin e vektorit njësi me drejtim të njëjtë me vektorin a.

Jep si punë të pavarur ushtrimin 3 për të përforcuar Shembullin 11 dhe kontrollo saktësinë e veprimeve të nxënësve.

Prezanto Shembullin 12 dhe 13 dhe thekso se për të gjetur këndin që formon një vektor me boshtin x ose y mjafton që të gjesh një nga vlerat trigonometrike sin, cos ose tan.

Jep si punë të pavarur ushtrimet 6 dhe 8

Zhvillo me klasën ushtrimin 9.

2 4cos 19

θ = − , që nga 5cos3

θ = ± . 5103

p = ± dhe 2103

q =

Shpjegoju nxënësve me vlerën e sinusit pozitiv ka dy mundësi për këndin.


Reflekto Në fund të orës mësimore ndaji nxënësit në grupe dhe kërko të zgjidhin ushtrimet 1 dhe 2. Kontrollo punët e nxënësve për të parë shkallën e përvetësimit të njohurive bazë.



Detyrë e diferencuar ushtrimi sfidë.


Planifikimi i orës mësimore – Tematika: Derivati


Tema mësimore: 12.1 Koeficientet këndore të vijave të lakuara

Situata e të nxënit Derivimi si pjesë e njehsimit diferencial dhe integral është një nga mjetet më të fuqishme të matematikës. Derivimi përdoret në mekanikë për të modeluar shpejtësinë e ndryshimit, si shpejtësinë dhe nxitimin.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Gjen koeficientin këndor të prerëses. • Përafron koeficientin këndor të tangjentes me

atë të prerëses.

Koncepte kyçe: Koeficienti këndor i një vije në një pikë të dhënë të saj përcaktohet si koeficienti këndor i tangjentes ndaj vijës në këtë pikë.


Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Ekuacioni i drejtëzës


Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit: Koeficienti këndor i një vije ndryshon në mënyrë konstante. Për të gjetur koeficientin këndor të një vije në çdo pikë të saj, përdoret një tangjente. Koeficienti këndor i një vije në një pikë të dhënë të saj përcaktohet si koeficienti këndor i tangjentes ndaj vijës në këtë pikë. Shoqëroji shpjegimet me ilustrimet gjeometrike përkatëse. • Prezanto në tabelë Shembullin 1 duke u tërhequr vëmendjen nxënësve te a)gjetja e koeficientit këndor të tangjentes bazuar te të dhënat nga grafiku. b) gjetja e koeficienteve këndore të prerëseve bazuar te pikat e dhëna. c) krahasimi i përfundimeve të marra dhe konkluzione:


Kur h bëhet gjithnjë e më afër me 0, 2 + h bëhet gjithnjë e më afër me 2, pra koeficienti këndor i kordës është afër me koeficientin këndor të tangjentes në pikën A. • Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 2. Sigurohu që të gjithë

nxënësit gjejnë saktë koeficientet këndore të drejtëzave dhe përafrojnë për të gjetur koeficientin e tangjentes në pikën A të vijës.

Reflekto Në fund të orës mësimore diskuto me nxënësit ushtrimin 4. Kontrollo nxënësit sa janë të aftë të gjejnë koeficientet këndore të prerëseve dhe përafrimin me koeficientin e tangjentes.





Tema mësimore: 12.2 Derivati

Situata e të nxënit Derivimi si pjesë e njehsimit diferencial dhe integral është një nga mjetet më të fuqishme të matematikës. Derivimi përdoret në mekanikë për të modeluar shpejtësinë e ndryshimit, si shpejtësinë dhe nxitimin

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Gjen koeficientin këndor të prerëses. • Përafron koeficientin këndor të tangjentes

me atë të prerëses.

Koncepte kyçe: Funksioni i koeficientit këndor, ose derivati, i

vijës ( )y f x= shënohet ( )'f x ose dydx

( ) ( ) ( )0

' limh

f x h f xf x

h→

+ −=

Funksioni i koeficientit këndor, ose derivati, mund të përdoret për të gjetur koeficientin këndor të vijës për çdo vlerë të x.


Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Ekuacioni i drejtëzës; Koeficienti këndor i drejtëzës; Kubi i shumës së dy kufizave




Funksioni i koeficientit këndor, ose derivati, i vijës Kur h bëhet i vogël, koeficienti këndor i AB është afër me koeficientin këndor të tangjentes së vijës në A. Kjo do të thotë se koeficienti këndor i vijës në A është limit i kësaj shprehjeje kur vlera e h tenton në zero. Kjo mund të përdoret për të përcaktuar funksionin e koeficientit këndor.

( )y f x= shënohet ( )'f x ose dydx

( ) ( ) ( )0

' limh

f x h f xf x

h→

+ −=

Funksioni i koeficientit këndor, ose derivati, mund të përdoret për të gjetur koeficientin këndor të vijës për çdo vlerë të x. Shoqëroji shpjegimet me ilustrimet gjeometrike përkatëse. • Prezanto në tabelë Shembullin 2 duke shpjeguar qartësisht të gjitha hapat e arsyetimit për

gjetjen e derivatit të funksionit sipas përkufizimit. • Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 2. Sigurohu që të gjithë

nxënësit i përgjigjen saktë të gjitha kërkesave. Kontrollo nëse nxënësit e kuptojnë formimin e funksionit të koeficientit këndor.

• Prezanto në tabelë Shembullin 3 duke shpjeguar qartësisht të gjitha hapat e arsyetimit për gjetjen e derivatit të funksionit y = 𝑥𝑥3sipas përkufizimit.

• Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 3. Sigurohu që të gjithë nxënësit i përgjigjen saktë të gjitha kërkesave. Kontrollo nëse nxënësit e kuptojnë formimin e funksionit të koeficientit këndor.

• Zhvillo me nxënësit ushtrimin 4. ( ) ( )21 5 1 4AB

h hk

h− + − − + −

=

• Jep si punë të pavarur ushtrimet 5 dhe 6 dhe kontrollo punët për të parë nëse nxënësit e përvetësuan mënyrën e gjetjes së derivatit sipas përkufizimit.

Reflekto Në fund të orës mësimore diskuto me nxënësit ushtrimin 1 Kontrollo nxënësit sa janë të aftë të gjejnë derivatin e funksioneve të thjeshta sipas përkufizimit.





Tema mësimore: 12.3 Derivati i nx

Situata e të nxënit Derivimi si pjesë e njehsimit diferencial dhe integral është një nga mjetet më të fuqishme të matematikës. Derivimi përdoret në mekanikë për të modeluar shpejtësinë e ndryshimit, si


shpejtësinë dhe nxitimin

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi:

• Gjen derivatin e ( ) nf x x=

• Gjen derivatin e ( ) nf x ax=

Koncepte kyçe: Për çdo vlerë reale të n, dhe për çdo konstante a : Në qoftë se ( ) nf x x= atëherë ( ) 1' nf x n x −= ⋅

Në qoftë se ny x= atëherë 1ndy n xdx

−= ⋅

Në qoftë se ( ) nf x ax= atëherë ( ) 1' nf x anx −=

Në qoftë se ny ax= atëherë 1ndy an xdx

−= ⋅


Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Vetitë e fuqive


Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit: Për çdo vlerë reale të n, dhe për çdo konstante a :

Në qoftë se ( ) nf x x= atëherë ( ) 1' nf x n x −= ⋅

Në qoftë se ny x= atëherë 1ndy n xdx

−= ⋅

Në qoftë se ( ) nf x ax= atëherë ( ) 1' nf x anx −= .

Në qoftë se ny ax= atëherë 1ndy an xdx

−= ⋅

Të dy simbolet ( )'f x dhe dydx

tregojnë derivimin. Shënimi dydx

përdoret zakonisht kur një

shprehje është dhënë në formën y = • Prezanto në tabelë Shembullin 4 duke shpjeguar qartësisht të gjitha hapat e arsyetimit për

gjetjen e derivatit të funksionit fuqi sipas formulës • Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 1. Sigurohu që të gjithë

nxënësit i përgjigjen saktë të gjitha kërkesave. Kontrollo nëse nxënësit e zbatojnë me saktësi formulën e derivimit të funksionit fuqi.

• Prezanto në tabelë Shembullin 5 duke shpjeguar qartësisht të gjitha hapat e arsyetimit për gjetjen e derivatit të funksionit y = ....sipas formulës. Sqaroji nxënësit që shpesh herë është më mirë të thjeshtosh funksionin pastaj të derivosh.

• Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 2. Sigurohu që të gjithë nxënësit i zotërojnë vetitë e fuqive kur bëhet e nevojshme për të thjeshtuar funksionin.

• Zhvillo me nxënësit ushtrimin 4. Udhëzim: Funksioni i dhënë mund të sillet në formën: 321

2y x= . Pastaj derivo këtë funksion.

Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë disa funksione fuqi dhe kërko nga nxënësit


derivimin e tyre me formulë. Kontrollo nxënësit sa janë të aftë të gjejnë derivatin e funksioneve të thjeshta sipas përkufizimit.


Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimi 3. Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12.



Tema mësimore: 12.4 Derivati i funksioneve kuadratike


Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Gjen derivatin e funksionit kuadratik.

Koncepte kyçe: Derivati i vijës kuadratike me ekuacion

2y ax bx c= + + , është 2dy ax bdx

= +

Derivati i një funksioni kuadratik është një funksion drejtvizor me koeficient këndor 2a.





Derivati i vijës kuadratike me ekuacion 2y ax bx c= + + , është 2dy ax bdx

= +

Derivati i një funksioni kuadratik është një funksion drejtvizor me koeficient këndor 2a. Prezanto në tabelë Shembullin 6 duke shpjeguar qartësisht të gjitha hapat e arsyetimit për gjetjen e derivatit të funksionit kuadratik • Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 1. Sigurohu që të gjithë

nxënësit i përgjigjen saktë të gjitha kërkesave. Kontrollo nëse nxënësit e zbatojnë me saktësi


formulën e derivimit të funksionit kuadratik 2y ax bx c= + + .

• Prezanto në tabelë Shembullin 7 duke shpjeguar qartësisht të gjitha hapat e arsyetimit për gjetjen e derivatit të funksionit 2y ax bx c= + + . sipas formulës. Sqaroji nxënësit që derivati i funksionit në një pikë të vijës tregon koeficientin këndor të tangjentes në atë pikë të vijës.

• Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 2. Sigurohu që të gjithë nxënësit kanë shkathtësi në gjetjen e derivatit të funksionit kuadratik dhe dhe e dinë kuptimin gjeometrik të derivatit.

• Zhvillo me nxënësit ushtrimin 7. Udhëzim 7 c): Në pikën ku funksioni derivat y’ pret boshtin x kemi që pika e ka ordinatën zero, pra y’ = 0. Dhe në pikën ku parabola ka kulmin ka tangjente paralel me boshtin x, pra koeficienti i kësaj tangjenteje është zero. D.m.th. y’=0.

Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë disa funksione kuadratike dhe kërko nga nxënësit derivimin e tyre me formulë. Kontrollo nxënësit sa janë të aftë të gjejnë derivatin e funksioneve të thjeshta sipas përkufizimit.


Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet 4 dhe 5. Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12.




Tema mësimore: 12.5 Derivati i funksioneve me dy ose më shumë kufiza


Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Gjen derivatin e një funksioni në formë shume. • Interpreton kuptimin gjeometrik të derivatit.

Koncepte kyçe:

Në qoftë se ( ) ( )y f x g x= ± , atëherë

( ) ( )' 'dy f x g xdx

= ±

Kjo quhet ndryshe rregulla e ‘derivatit të shumës’ dhe mund të shprehet shkurt: ’derivati i shumës së dy funksioneve është sa shuma e derivateve’.


Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Vetitë e fuqive; Veprime me rrënjë; Zbërthimi binomial


Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit: Rregulla e derivimit të a𝒙𝒙𝒏𝒏 mund të përdoret për të derivuar funksione me dy ose më shumë kufiza. Për këtë duhet të shkruash çdo kufizë në formën a𝒙𝒙𝒏𝒏, ku a është një konstante dhe n është një numër real. Pastaj mund të derivosh kufizat një nga një.

Në qoftë se ( ) ( )y f x g x= ± , atëherë ( ) ( )' 'dy f x g xdx

= ±

Kjo quhet ndryshe rregulla e ‘derivatit të shumës’ dhe mund të shprehet shkurt: ’derivati i shumës së dy funksioneve është sa shuma e derivateve’. Prezanto në tabelë Shembullin 8 duke shpjeguar qartësisht të gjitha hapat e arsyetimit për gjetjen e derivatit të funksionit kuadratik • Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 1. Sigurohu që të gjithë

nxënësit i përgjigjen saktë të gjitha kërkesave. Kontrollo nëse nxënësit e zbatojnë me saktësi formulën e derivimit të funksionit në formë shume ose diference funksionesh që mund të kthehen në formën a𝒙𝒙𝒏𝒏.

• Prezanto në tabelë Shembullin 9 duke shpjeguar qartësisht rastet kur eksponenti i fuqisë është numër thyesor.

• Pas kësaj zhvillo me klasën ushtrimin 4. Sigurohu që të gjithë nxënësit janë të saktë me


transformimin e funksioneve dhe bëj kujdes te veprimet me rrënjë. • Ndaje klasën në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 5. Diskuto në tabelë zgjidhjet e

nxënësve dhe rikujto edhe njëherë me ta kuptimin gjeometrik të derivatit. • Zhvillo me nxënësit ushtrimin 7.

( ) ( ) ( )9 29 9 8 9 71 22 2 2 2x C x C x− = + − + − +

( ) 9 8 7 22 9 2 36 2f x x x= − ⋅ + ⋅ +

( )' 2304 9216f x x= +

Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë disa funksione që mund të kthehen në formën a𝒙𝒙𝒏𝒏 dhe kërko nga nxënësit derivimin e tyre me formulë.


Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimin 6. Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12.



Tema mësimore: 12.6 Koeficientet këndore, tangjentet dhe pingulet


Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Gjen koeficientin këndor të prerëses. • Përafron koeficientin këndor të tangjentes

me atë të prerëses.

Koncepte kyçe:

Tangjentja ndaj vijës ( )y f x= në pikën me

koordinata ( )( ),a f a ka ekuacion

( ) ( )( )'y f a f a x a− = − .

Pingulja ndaj vijës ( )y f x= në pikën me

koordinata ( )( ),a f a ka ekuacion

( ) ( ) ( )1'

y f a x af a

− = − − .


Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Vetitë e fuqive; Ekuacioni i drejtëzës me koeficientin këndor që kalon nëpër pikën ( )1 1,x y është ( )1 1y y m x x− = − .




Në vijën me ekuacion ( )y f x= , koeficienti këndor i tangjentes në një pikë A me koordinatë x

të barabartë me a është ( )'f a .

Tangjentja ndaj vijës ( )y f x= në pikën me koordinata ( )( ),a f a ka ekuacion

( ) ( )( )'y f a f a x a− = −

Pingulja e një vije në një pikë A të saj është drejtëza që kalon nëpër pikën A dhe është pingule me tangjenten e vijës në pikën A.

Koeficienti këndor i pingules është ( )1'f a

−

Pingulja ndaj vijës ( )y f x= në pikën me koordinata ( )( ),a f a ka ekuacion

( ) ( ) ( )1'

y f a x af a

− = − − .

Prezanto në tabelë Shembullin 10 duke shpjeguar qartësisht të gjitha hapat e arsyetimit për gjetjen e ekuacionit të tangjentes në një pikë të vijës. • Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 1. Sigurohu që të gjithë

nxënësit dinë të gjejnë ekuacionin e tangjentes në një pikë të një vije të dhënë. Prezanto në tabelë Shembullin 11 duke shpjeguar qartësisht të gjitha hapat e arsyetimit për gjetjen e ekuacionit të pingules me tangjenten në një pikë të vijës. Ndaji nxënësit në grupe të vogla për zgjidhjen e ushtrimit 2 dhe diskuto me nxënës zgjidhjet në tabelë. • Pas kësaj zhvillo me klasën ushtrimin 4. Orientoji nxënësit për radhën e punës.

Gjen: ( )'f x ; ( )' 0f ; ( )0Tk ; ( )' 1f ; ( )1Tk .

• Zhvillo me klasën ushtrimin sfidë. Udhëzoji nxënësit që në këtë rast do të ishte mirë të

formoje sistemin 24 1

8y xy mx

= +

= −. Meqë drejtëza dhe parabola janë tangjente midis tyre, atëherë

sistemi ka vetëm një zgjidhje. Për këtë vendos kushtin Dallori = 0. Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë disa funksione që mund të kthehen në formën nax dhe kërko nga nxënësit të gjejnë ekuacionin e tangjentes dhe pingules në një pikë të vijës.


Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimin 6. Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12.




Tema mësimore: 12.7 Funksionet rritëse dhe funksionet zbritëse


Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Studion monotoninë e funksionit me anë të

studimit të shenjës së derivatit.

Koncepte kyçe:

Funksioni ( )f x është rritës në segmentin

[ ],a b në qoftë se ( )' 0f x ≥ për çdo vlerë të

x të tillë që a x b< < .

Funksioni ( )f x është zbritës në segmentin

[ ],a b në qoftë se ( )' 0f x ≤ për çdo vlerë të

x të tillë që a x b< < .


Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Studimi i shenjës së funksionit kuadratik dhe linear. Zgjidhja e inekuacioneve



Funksioni ( )f x është rritës në segmentin [ ],a b në qoftë se ( )' 0f x ≥ për çdo vlerë të x të tillë që

a x b< < .

Funksioni ( )f x është zbritës në segmentin [ ],a b në qoftë se ( )' 0f x ≤ për çdo vlerë të x të tillë që a x b< < . Prezanto në tabelë Shembullin 12 dhe Shembullin 13 duke shpjeguar qartësisht të gjitha hapat e arsyetimit për studimin e monotonisë së një funksioni polinom. • Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur një pjesë të ushtrimeve 1 dhe 2.

Sigurohu që të gjithë nxënësit dinë të studiojnë shenjën e një funksioni binom ose trinom. Mund t’u prezantosh studimin e shenjës me tabelë, me pikë provë ose me grafik.

• Zhvillo me klasën ushtrimin 3. Orientoji nxënësit për radhën e punës. Gjen: ( ) 2' 6 3f x x= − ; studion shenjën e derivatit me një nga mënyrat që dinë nxënësit; përgjigje.

• Zhvillo me klasën ushtrimin 4. Udhëzoji nxënësit që të gjejnë y’ dhe në këtë rast do të ishte mirë të formoje inekuacionin e dyfishtë 1 1x− ≤ ≤ ; 2 2 2p x p p− ≤ + ≤ + . Meqë y’ duhet pozitiv që funksioni të jetë monoton rritës, atëherë vendos kushtet duke formuar sistemin


2 02 0

pp+ ≥

− ≥. Pra p ≥ 2.

Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë disa funksione që mund të kthehen në formën nax dhe kërko nga nxënësit të studiojnë monotoninë e funksioneve përkatëse.





Tema mësimore: 12.8 Derivati i rendit të dytë


Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Studion monotoninë e funksionit me anë të

studimit të shenjës së derivatit.

Koncepte kyçe: Shpejtësia e ndryshimit të funksionit të koeficientit këndor quhet derivat i rendit të dytë.

Zakonisht ai shënohet si ( )"f x ose 2

2

d ydx

.




Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit: Shpejtësia e ndryshimit të funksionit të koeficientit këndor quhet derivat i rendit të dytë. Zakonisht ai shënohet si ( )"f x .

Duke derivuar dy herë një funksion ( )y f x= fitohet derivati i rendit të dytë, ( )"f x ose 2

2

d ydx

.

Prezanto në tabelë Shembullin 14 dhe Shembullin 15 duke shpjeguar qartësisht të gjitha hapat e arsyetimit për gjetjen e derivatit të rendit të dytë dhe sigurohu që nxënësit arrijnë të punojnë në mënyrë të pavarur modele të ngjashme. • Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur një pjesë të ushtrimeve 1 dhe 2 dhe


diskuto me nxënësit zgjidhjet në tabelë. • Zhvillo me klasën ushtrimin 4. Orientoji nxënësit për radhën e punës.

Gjen: ( ) 2' 3 6 2f x px px= − + ; gjen ( )" 6 6 2f x px p= − + ; ( )" 1f x = − ; 12 6 2 1p p− + = − ; 0.5p = −

Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë disa funksione që mund të kthehen në formën nax dhe kërko nga nxënësit të gjejnë derivatin e rendit të dytë. Kontrollo përgjigjet e nxënësve për gabime të mundshme.





Tema mësimore: 12.9 Pikat stacionare


Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Gjen pikat stacionare. • Përcakton llojin e pikave stacionare.

Koncepte kyçe: Çdo pikë në vijën ( )y f x= ku ( )' 0f x = quhet pikë stacionare. Në qoftë se funksioni ( )f x ka një pikë stacionare kur x a= , atëherë: Në qoftë se ( )" 0f a > , pika është një minimum lokal Në qoftë se ( )" 0f a < , pika është një maksimum lokal Në qoftë se ( )" 0f a = , pika mund të jetë një minimum lokal, një maksimum lokal ose një pikë infleksioni.




Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese


Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit: Një pikë stacionare në një vijë është një pikë në të cilën vija e ka koeficientin këndor zero. Një pike stacionare mund të jetë ose një maksimum lokal, ose një minimum lokal ose një pikë infleksioni. Duke shqyrtuar koeficientin këndor të një vije në të dyja anët e një pike stacionare mund të përcaktosh nëse pika stacionare është një pikë maksimumi lokal, një pikë minimumi lokal ose një pikë infleksioni.

Në qoftë se funksioni ( )f x ka një pikë stacionare kur x a= , atëherë:

Në qoftë se ( )" 0f a > , pika është një minimum lokal

Në qoftë se ( )" 0f a < , pika është një maksimum lokal

Në qoftë se ( )" 0f a = , pika mund të jetë një minimum lokal, një maksimum lokal ose një pikë infleksioni. Që të përcaktosh natyrën e saj duhet të shihen shenjat e f’’(x) në të dyja anët e kësaj pike. Prezanto në tabelë Shembullin 17 duke shpjeguar qartësisht të gjitha hapat e arsyetimit për gjetjen e pikave stacionare dhe llojin e tyre. • Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur një pjesë të ushtrimeve 1 dhe 2 dhe

diskuto me nxënësit zgjidhjet në tabelë. Prezanto në tabelë Shembullin 18 duke shpjeguar qartësisht të gjitha hapat e arsyetimit për gjetjen e pikave stacionare dhe llojin e tyre dhe ekuacionet e asimptotave të funksionit. • Zhvillo me klasën ushtrimin 3. Orientoji nxënësit për radhën e punës dhe sigurohu që e kanë

kuptuar gjetjen e pikave stacionare dhe përcaktimin e llojit të tyre. • Ndaje klasën në grupe për ushtrimin 4 dhe diskuto me klasën zgjidhjet në tabelë.

• Zhvillo me klasën ushtrimin 7. 3 2' 4 9 10 3y x x x= + − − . Shihet që x = 1 është rrënjë e polinomit, kështu që ai plotpjesëtohet me x - 1. Zbërthe në faktorë y’ dhe studio llojin e pikave stacionare.

Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë disa funksione dhe kërko nga nxënësit të gjejnë pikat stacionare të tyre.




Planifikimi i orës mësimore – Tematika: Integrali


Tema mësimore: 13.1 Integrali i nx

Situata e të nxënit Integrali përdoret për të njehsuar syprinat e figurave, vëllimet e trupave me formë të parregullt dhe syprinat e figurave të kufizuara nga vija.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Gjen shprehjen e y kur njeh • Gjen shprehjen e y kur njeh • Gjen shprehjen e një polinomi kur njeh

derivatin e tij.

Koncepte kyçe: Integrimi është proces i anasjellë i derivimit.

Në qoftë se ndy xdx

= , atëherë 111

ny x cn

+= ++

,

1n ≠ − .

Në qoftë se ( )' nf x x= , atëherë 111

ny x cn

+= ++

,

1n ≠ − .

Në qoftë se ndy kxdx

= , atëherë 1

1nky x c

n+= +

+,

1n ≠ − .

Në qoftë se ( )' nf x kx= , atëherë 1

1nky x c

n+= +

+, 1n ≠ − . Kur integron polinome, përdor rregullën e integrimit veç e veç për secilën kufizë.




Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit: Integrimi është proces i anasjellë i derivimit. Kur derivon kufizat konstante bëhen 0. Kjo do të thotë se kur derivon funksione që ndryshojnë nga njëri-tjetri nga kufiza konstante, atëherë mbas derivimit janë i njëjti funksion. Për këtë arsye, kur integron është e nevojshme të shtohet një konstante integrimi në fund. Integrimi është proces i anasjellë i derivimit.

Në qoftë se ndy xdx

= , atëherë 111

ny x cn

+= ++

, 1n ≠ − .

Në qoftë se ( )' nf x x= , atëherë 111

ny x cn

+= ++

, 1n ≠ − .

Në qoftë se ndy kxdx

= , atëherë 1

1nky x c

n+= +

+, 1n ≠ − .


Në qoftë se ( )' nf x kx= , atëherë 1

1nky x c

n+= +

+, 1n ≠ − .

Kur integron polinome, përdor rregullën e integrimit veç e veç për secilën kufizë. Prezanto në tabelë Shembullin 1 dhe Shembullin 2 duke shpjeguar qartësisht se si zbatohet formula e integrimit të 𝑥𝑥𝑛𝑛 , ku numrin n duhet të jetë i ndryshëm nga -1. Diskuto me nxënësit pse vendoset kushti n≠-1? Prezanto në tabelë Shembullin 3 duke u siguruar që nxënësit e kuptojnë zbatimin rregullës së integrimit të polinomit. • Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur një pjesë të ushtrimeve 1, 2 dhe 3

dhe diskuto me nxënësit zgjidhjet në tabelë. • Zhvillo me klasën ushtrimin 4. Orientoji nxënësit që fillimisht të hapin kllapat dhe sigurohu

që e kanë kuptuar gjetjen e integralit të polinomit. • Ndaje klasën në grupe për ushtrimin 5 dhe diskuto me klasën zgjidhjet në tabelë. Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë disa funksione të thjeshta (polinome) dhe kërko nga nxënësit të gjejnë integralet e tyre. Vlerësimi: Vlerësimi i arritjeve bazuar në punët e pavarura të nxënësve dhe në punët në grupe. Detyrë dhe punë e pavarur: Detyrë e diferencuar ushtrimi sfidë Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12.



Tema mësimore: 13.2 Integralet e pacaktuara

Situata e të nxënit Integrali përdoret për të njehsuar syprinat e figurave, vëllimet e trupave me formë të parregullt dhe syprinat e figurave të kufizuara nga vija.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Gjen integralin e pacaktuar të një polinomi.

Koncepte kyçe: ( ) ( )'f x dx f x c= +∫

1

1

nn xx dx c

n

+

= ++∫ , 1n ≠ −

( ) ( )( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫


Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Vetitë e fuqive; Zhvillimi i binomit




Për të paraqitur integrimin përdoret simboli ∫

( ) ( )'f x dx f x c= +∫ 1

1

nn xx dx c

n

+

= ++∫ , 1n ≠ −

( ) ( )( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫

Prezanto në tabelë Shembullin 4 duke shpjeguar qartësisht të gjitha hapat e zgjidhjes. Sqaro me kujdes kuptimin e simbolit dx te integrali. Prezanto në tabelë Shembullin 5 duke u sqaruar me ngadalë transformimet e nevojshme bazuar në vetitë e fuqive. Sigurohu që nxënësit e kuptojnë zbatimin rregullës së integrimit të polinomit. • Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur një pjesë të ushtrimeve 1, 2, 3 4,

dhe 5. Diskuto me nxënësit zgjidhjet në tabelë. • Zhvillo me klasën ushtrimin 6. Orientoji nxënësit që fillimisht të ndajnë thyesën në dy

thyesa dhe të zbatojnë vetitë e fuqive për ta sjellë në formën k𝑥𝑥𝑛𝑛 para se të integrojnë dhe sigurohu që e kanë kuptuar gjetjen e integralit të polinomit.

• Ndaje klasën në grupe për ushtrimin 7, 8 dhe 9 dhe diskuto me klasën zgjidhjet në tabelë.

• Zhvillo me klasën ushtrimin 14. Nga integrimi merret: 2p pqx cx

− + + . Duke krahasuar del

se p = - 4 dhe q = - 2.5.

• Zhvillo me klasën ushtrimin 15. ( ) ( ) ( ) ( )2 1010 10 10 9 10 8 100 1 2 102 2 2f x C C x C x C x= + − + − + + −

( ) 21024 5120 11520f x x x≈ − + . ( ) 2 31024 2560 3840f x dx x x x c≈ − + +∫

Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë disa funksione të thjeshta (polinome) dhe kërko nga nxënësit të gjejnë integralet e tyre.


Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet 10, 11 dhe 12 Matematika 12. Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12.




Tema mësimore: 13.3 Gjetja e funksioneve

Situata e të nxënit Në mekanikë, integrimi mund të përdoret për të gjetur distancën e përshkuar duke njehsuar syprinën nën grafikun shpejtësi-kohë.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Gjen funksionin kur njeh derivatin e tij dhe një

pikë të funksionit.

Koncepte kyçe: Për të gjetur konstanten e integrimit, c veprojmë si vijon: Integro funksionin. Zëvendëso vlerat (x, y) e një pike në vijë, ose vlerën e funksionit në një pikë të dhënë

( )f x k= , te funksioni i integruar.

Zgjidh ekuacionin dhe gjej vlerën e c. Burimet: Libri i nxënësit faqe .............; Fletore pune

Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Vetitë e fuqive; Zhvillimi i binomit


Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit: Konstantja e integrimit mund të gjendet po qe se të është dhënë:

(i) një pikë nëpër të cilën kalon vija funksionit (ii) çdo vlerë që funksioni mund ta marrë

Për të gjetur konstanten e integrimit, c veprojmë si vijon: • Integro funksionin. • Zëvendëso vlerat (x, y) e një pike në vijë, ose vlerën e funksionit në një pikë të dhënë

( )f x k= , te funksioni i integruar.

• Zgjidh ekuacionin dhe gjej vlerën e c. Prezanto në tabelë Shembullin 6 duke u sqaruar me ngadalë transformimet e nevojshme bazuar në vetitë e fuqive. Sigurohu që nxënësit e kuptojnë zëvendësimin e f(4) = 5 për të gjetur vlerën e c. Kjo bën të mundur që funksioni f të jetë i përcaktuar. • Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur një pjesë të ushtrimeve 1, 2, 3 dhe

4,.Diskuto me nxënësit zgjidhjet në tabelë. • Zhvillo me klasën ushtrimin 6. Orientoji nxënësit që fillimisht të ndajnë thyesën në dy thyesa

dhe të zbatojnë vetitë e fuqive për ta sjellë në formën 126 5x x+ para se të integrojnë

542

y x x x c= + + . Pas kësaj zëvendëso dhe gjej 4212

c = − .


• Ndaje klasën në grupe për ushtrimin 7 dhe diskuto me klasën zgjidhjet në tabelë. Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë disa modele si në ushtrimin 1 dhe kërko nga nxënësit të gjejnë funksionet përkatëse.


Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimi 8 Matematika 12. Detyrë e diferencuar ushtrimi sfidë. Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12.



Tema mësimore: 13.4 Integrali i caktuar


Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Gjen integralin e caktuar të një funksioni.

Koncepte kyçe: Në qoftë se ( )'f x është derivati i ( )f x për të

gjitha vlerat e x në segmentin [ ],a b , atëherë

integrali i caktuar përcaktohet nga

( ) ( ) ( )'b

af x dx f b f a= −∫ .




Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit: Tre hapat që ndiqen për të gjetur një integral të caktuar janë

• Shkruaj integralin e caktuar me kufijtë e tij, a dhe b b

a∫

• Integro dhe shkruaj integralin në kllapa katrore. • Gjej vlerën e integralit duke njehsuar ( ) ( )f b f a− .

Në qoftë se ( )'f x është derivati i ( )f x për të gjitha vlerat e x në segmentin [ ],a b , atëherë

integrali i caktuar përcaktohet nga ( ) ( ) ( )'b

af x dx f b f a= −∫ .


Prezanto në tabelë Shembullin 7 duke u sqaruar me ngadalë transformimet e nevojshme bazuar në vetitë e fuqive. Sigurohu që nxënësit e kuptojnë zbatimin e formulës për gjetjen e integralit të caktuar. Prezanto në tabelë Shembullin 8 duke u shpjeguar me ngadalë udhëzimin përkatës në libër Sigurohu që nxënësit e kuptojnë zbatimin e formulës për gjetjen e integralit të caktuar dhe kërko që nxënësit të zgjidhin ekuacionin kuadratik që formohet. • Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur një pjesë të ushtrimeve 1, 2 dhe 3

.Diskuto me nxënësit zgjidhjet në tabelë. • Zhvillo me klasën ushtrimin 4. Kujtoji nxënësit që është konstante, pra ndryshore është x. 4.

( ) 24 4 4 4A A A+ − + = . A =7 ose A = - 4.

• Ndaje klasën në grupe për ushtrimet 5 dhe 7 dhe diskuto me klasën zgjidhjet në tabelë. Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë disa modele si në ushtrimin 1 dhe 2 dhe kërko nga nxënësit të gjejnë vlerën e integralit të caktuar. Vlerësimi: Vlerësimi i arritjeve bazuar në punët e pavarura të nxënësve dhe në punët në grupe. Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet 7 dhe 8 Matematika 12. Detyrë e diferencuar ushtrimi sfidë. Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12.



Tema mësimore: 13.5 Syprinat e kufizuara nga vijat


Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Gjen syprinën e zonës që ndodhet midis një vije

dhe boshtit x. • Gjen syprinën e zonës që ndodhet midis një

vije, boshtit x dhe drejtëzave x=a dhe x=b.

Koncepte kyçe: Syprina e zonës që ndodhet midis një vije mbi boshtin x dhe drejtëzave x = a dhe x = b

jepen nga Syprina b

ay dx= ∫ , ku ( )y f x=

është ekuacioni i vijës.


Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Faktorizimi; Grafiku i funksionit




Integrali i caktuar mund të përdoret për të gjetur syprinën e zonës nën një vijë. Syprina e zonës që ndodhet midis një vije mbi boshtin x dhe drejtëzave x = a dhe x = b jepen nga

Syprina b

ay dx= ∫ , ku ( )y f x= është ekuacioni i vijës.

Prezanto në tabelë Shembullin 9 duke u sqaruar me ngadalë transformimet e nevojshme bazuar në vetitë e fuqive. Sigurohu që nxënësit e kuptojnë zbatimin e formulës për gjetjen e syprinës së ngjyrosur me anë të integralit të caktuar. • Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe të vogla për të zgjidhur ushtrimin 1a. Udhëzoji nxënësit që të bëjnë një skicë të përafërt të vijës, për të kuptuar gjeometrikisht cila është zona që kërkohet për njehsimin e syprinës. Diskuto me nxënësit zgjidhjet në tabelë. • Zhvillo me klasën ushtrimin 1b. Kujtoji nxënësit që të faktorizojnë polinomin

( )( )4 2 1y x x x= + − dhe të bëjnë një skicë të përafërt që të kuptojnë anën gjeometrike të zonës që kërkohet t’i njehsohet syprina.

• Ndaje klasën në grupe për ushtrimet 1c dhe 1d dhe diskuto me klasën zgjidhjet në tabelë. • Zhvillo me klasën ushtrimin 7, duke iu tërhequr vëmendjen që të kuptojnë udhëzimin e

dhënë në libër. • Punë e pavarur ushtrimi 8. Kontrollo për të parë shkallën e përvetësimit të njohurive dhe

diskuto përgjigjet e nxënësve në tabelë. Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë disa modele si në ushtrimin 1 dhe kërko nga nxënësit të njehsojnë syprinat e zonave që formohen.


Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet 5, 6 dhe 9 Matematika 12. Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12.

Planifikimi i orës mësimore – Tematika: Funksioni eksponencial dhe logaritmik


Tema mësimore: 14.1 Funksione eksponenciale

Situata e të nxënit Grafikët eksponencialë janë përdorur nga shkencëtarët për të përshkruar rritjen e popullsisë, ndotjen radioaktive, zhvillimin e epidemive etj.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Skicon grafikët e funksioneve xy a= , për

0 1a< ≠ dhe x real. • Studion vetitë e funksionit eksponencial bazuar

Koncepte kyçe: Kur 1a > , ( ) xf x a= është një funksion

rritës. Kur 0 1a< < , ( ) xf x a= është një funksion zbritës.


te grafiku i tij.





Funksionet e trajtës ( ) xf x a= ku a është konstante ( 0 1a< ≠ ) quhen funksione eksponenciale.

Kur 1a > , ( ) xf x a= është një funksion rritës.

Kur 0 1a< < , ( ) xf x a= është një funksion zbritës.

Zhvillo me klasën Shembullin 1. Kërko që nxënësit t’i vizatojnë në fletoren e tyre grafikët përkatës dhe të arsyetojnë rreth vetive të përbashkëta dhe dallimeve bazuar te grafiku. Bëj një skemë mbi vetitë e funksionit eksponencial për 1a > dhe për 0 1a< < . Pas kësaj diskuto me klasën ushtrimin 4. Ndaji nxënësit në grupe të vogla për ushtrimin 5 dhe kontrollo punimet e tyre. Zhvillo me klasën ushtrimin 6. Rikujtoju nxënësit çdo të thotë që pikat (1; 6) dhe (4, 48) ndodhen në grafikun e funksionit xy ka= .

Pyeti nxënësit nëse x zmadhohet me 1 njësi çfarë ndodh me vlerat përkatëse të y?

Diskuto me nxënësit zgjidhjet në tabelë.( 3 2xy = ⋅ ) ( vlerat e y përgjysmohen)

Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë disa modele si në ushtrimin 1 : 34

x

y =

,

4xy = dhe kërko nga nxënësit të skicojnë grafikun me anë të një tabele vlerash dhe të interpretojnë vetitë e tyre.


Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet 5, dhe 7 Matematika 12. Detyrë e diferencuar ushtrimi sfidë Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12.




Tema mësimore: 14.2 Funksioni xy e=

Situata e të nxënit Grafikët eksponencialë janë përdorur nga shkencëtarët për të përshkruar rritjen e popullsisë, ndotjen radioaktive, zhvillimin e epidemive etj.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Skicon grafikët e funksioneve xy e= , x real.

• Gjen derivatin e funksionit eksponencial xy e= dhe kxy e=

Koncepte kyçe: Për të gjitha vlerat reale të x: Në qoftë se ( ) xf x e= atëherë ( )' xf x e=

Në qoftë se xy e= atëherë xdy edx

=

Për të gjitha vlerat reale të x dhe për çdo konstante k: Në qoftë se ( ) kxf x e= atëherë ( )' kxf x ke=

Në qoftë se kxy e= atëherë kxdy kedx

=


Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Derivati; Vetitë e fuqive




Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit:

Për të gjitha vlerat reale të x:

Në qoftë se ( ) xf x e= atëherë ( )' xf x e=

Në qoftë se xy e= atëherë xdy edx

=

Për të gjitha vlerat reale të x dhe për çdo konstante k:

Në qoftë se ( ) kxf x e= atëherë ( )' kxf x ke=

Në qoftë se kxy e= atëherë kxdy kedx

=

Prezanto Shembullin 3 duke shpjeguar të gjitha hapat e gjetjes së derivatit.

Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe për të zgjidhur ushtrimet 6 dhe 7.

Nxirr nxënës në tabelë për të prezantuar zgjidhjet e tyre.

Prezanto Shembullin 4 duke kërkuar që nxënësit të skicojnë grafikët dhe të diskutojnë vetitë e funksioneve eksponenciale bazuar te grafikët e tyre.

Ndaji nxënësit në grupe të vogla për ushtrimin 3 dhe kontrollo punimet e tyre.

Zhvillo me klasën ushtrimin 4. Kërko nga nxënësit të gjejnë A dhe C dhe duke parë udhëzimin


kërko nga nxënësit të shpjegojnë shenjën e koeficientit b, i cili ka lidhje me monotoninë e funksionit eksponencial.

Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë disa modele si në ushtrimin 1 : 2xy e= , xy e−= dhe kërko nga nxënësit të skicojnë grafikun me anë të një tabele vlerash dhe të

interpretojnë vetitë e tyre.


Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimi 8 Matematika 12. Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12.



Tema mësimore:

Situata e të nxënit Logaritmet përdoren për të raportuar dhe krahasuar tërmetet. Si shkalla Rihter ashtu edhe shkalla që mat magnitudën e momentit përdor logaritmin me bazë 10 për të shprehur masën e aktivitetit sizmik.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Gjen loga n si veprim i anasjellë i

eksponencialit.

Koncepte kyçe: loga n x= është i njëvlershëm me xa n= ( )0 1a< ≠


Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Eksponenciali; Vetitë e fuqive


Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit: I anasjelli i funksionit eksponencial quhet funksion logaritmik.

loga n x= është i njëvlershëm me xa n= ( )0 1a< ≠

Logaritmi me bazë e quhet ndryshe logaritëm natyror. Kjo është arsyeja se pse në makinën llogaritëse tasti përkatës etiketohet me ln. Prezanto Shembullin 6 dhe 7 duke shpjeguar të gjitha hapat që tregojnë lidhjen midis logaritmit dhe eksponencialit.


Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe për të zgjidhur ushtrimet 1, 2, 3 dhe 4. Nxirr nxënës në tabelë për të prezantuar zgjidhjet e tyre.

Zhvillo me klasën ushtrimin 6. Meqë 5 62 50 2< < sjell që 25 log 50 6< < .

Kërko nga nxënësit të arsyetojnë në mënyrë të ngjashme për 2log 24

Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë disa modele si në ushtrimin 1 : 3log 81 ,

5log 125 , 4log 64 , 12

log 32 , 31log27

Kërko njehsimin e tyre nga nxënësit.


Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimi 4 Matematika 12. Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12.



Tema mësimore: 14.4 Vetitë e logaritmeve

Situata e të nxënit Logaritmet përdoren për të raportuar dhe krahasuar tërmetet. Si shkalla Rihter ashtu edhe shkalla që mat magnitudën e momentit përdor logaritmin me bazë 10 për të shprehur masën e aktivitetit sizmik.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Njeh dhe zbaton vetitë e logaritmeve në

situate të thjeshta. • Zgjidh ekuacione logaritmike të thjeshta.

log log loga a ax y xy+ =

Koncepte kyçe: log log loga a ax y xy+ = ( )0, 0x y> > (vetia e shumëzimit)

log log loga a axx yy

− =

(vetia e pjesëtimit)

( )log logka ax k x= (vetia e fuqisë)

( )11log log loga a ax xx

− = = −

(vetia e fuqisë kur

k = - 1) log 1a a = ( )0, 1a a> ≠ ; log 1 0a = ( )0, 1a a> ≠


Lidhja me fushat e tjera ose me temat ndërkurrikulare: Eksponenciali; Vetitë e fuqive

Metodologjia dhe veprimtaritë e nxënësve Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese


Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit:

Veti te logaritmeve:

log log loga a ax y xy+ = ( )0, 0x y> > (vetia e shumëzimit)

log log loga a axx yy

− =

(vetia e pjesëtimit)

( )log logka ax k x= (vetia e fuqisë)

( )11log log loga a ax xx

− = = −

(vetia e fuqisë kur k = - 1)

log 1a a = ( )0, 1a a> ≠ log 1 0a = ( )0, 1a a> ≠

Prezanto në tabelë Shembullin 10 duke shpjeguar qartësisht se si shkruhet një shprehje me një logaritëm të vetëm.

Pas kësaj jepu nxënësve si punë të pavarur pjesë nga ushtrimet 1 dhe 2. Kontrollo rezultatet e punës për të parë a janë kuptuar drejtë vetitë e logaritmeve.

Prezanto në tabelë Shembullin 11 duke i sqaruar nxënësit që ky rast është veprim i anasjellë i të parit. Pra shprehja duhet zbërthyer me anë të logaritmeve.

Pas kësaj ndaji nxënësit në grupe për të zgjidhur ushtrimet 1, 2, 3 dhe 4..

Nxirr nxënës në tabelë për të prezantuar zgjidhjet e tyre.

Pas kësaj jepu nxënësve si punë të pavarur pjesë nga ushtrimi 3. Kontrollo rezultatet e punës për të parë a është kuptuar drejtë ky zbatim.

Zhvillo me klasën Shembullin 12 dhe 13. Sqaroji me ngadalë hapat për zgjidhjen e ekuacioneve logaritmike duke theksuar vetitë e logaritmit. Gjithashtu shpjego rastet kur zgjidhja nuk pranohet (rastet kur vlera e gjetur mund të jetë vlerë e pa lejuar)

Pas kësaj jepu nxënësve si punë të pavarur pjesë nga ushtrimi 4. Kontrollo rezultatet e punës për të parë a është kuptuar drejt zgjidhja e një ekuacioni logaritmik.

Zhvillo me klasën ushtrimin 6. Udhëzoji nxënësit se si duhet të formojnë një sistem ekuacionesh dhe kushtet që duhen vendosur për të panjohurat a dhe b.

1336

0, 0

a ba ba b

+ = ⋅ = > >

P. a = 9 dhe b = 4. Reflekto Në fund të orës mësimore shkruaj në tabelë disa modele si në ushtrimin 1 :

3 3log 81 log 9+ 5 5log 125 log 5− 3

4log 4− 312

log 32 3

1log27

Kërko njehsimin e tyre nga nxënësit.

Vlerësimi: Vlerësimi i arritjeve bazuar në punët e pavarura të nxënësve dhe në punët në grupe. Detyrë dhe punë e pavarur: Detyrë e diferencuar ushtrimi sfidë



Planifikimi i orës mësimore – Tematika: Statistika dhe probabiliteti


Tema mësimore: 15. Zgjedhja

Situata e të nxënit Studiuesit e klimës kanë treguar se ka një korrelacion të fortë midis çlirimit të gazit me efektin e serrës dhe rritjes së temperaturës së atmosferës.

Rezultatet e të nxënit sipas kompetencave të fushës së orës mësimore Nxënësi: • Kupton se ç’është një ‘popullim’, një

‘zgjedhje’ dhe një ‘regjistrim’. • Dallon përparësitë dhe mangësitë e secilit.

Koncepte kyçe: Një zgjedhje e rastit e thjeshtë me madhësi n është ajo në të cilën çdo zgjedhje me madhësi n i ka shanset e barabarta që të zgjidhet. Në zgjedhjen sistematike, individët e kërkuar zgjidhen nga një listë e renditur në intervale të rregullta. Në zgjedhjen e shtresëzuar, popullimi ndahet në shtresa dy nga dy të papajtueshme (për shembull, meshkuj dhe femra) dhe pastaj nga secila shtresë bëhet një zgjedhje e rastit.




Organizimi i orës së mësimit: Metodat me në qendër nxënësin / teknika dhe metoda hulumtuese Si pikënisje prezanto në tabelë konceptet kyçe të mësimit: Për të realizuar një zgjedhje të rastit ka tri metoda: • Zgjedhja e rastit e thjeshtë. • Zgjedhja sistematike. • Zgjedhja e shtresëzuar. Në zgjedhjen sistematike, individët e kërkuar zgjidhen nga një listë e renditur në intervale të rregullta. Në zgjedhjen e shtresëzuar, popullimi ndahet në shtresa dy nga dy të papajtueshme (për shembull, meshkuj dhe femra) dhe pastaj nga secila shtresë bëhet një zgjedhje e rastit. Prezanto në tabelë Shembullin 2 duke shpjeguar qartësisht se si do të gjejnë nxënësit një zgjedhje të rastit të thjeshtë të sportdashësve duke përdorur një makinë llogaritëse ose një gjenerator të numrave të rastit. Prezanto në tabelë Shembullin 3 duke shpjeguar qartësisht se si do të bëjnë nxënësit zgjedhjen e shtresëzuar. Punë në grupe të vogla: Ushtrimet 1, 2 dhe 3.


Zhvillo ushtrimin 6.a) • Jo të gjithë kanë shanse të njëjta të zgjidhen • Numri i individëve është i madh • Ka disa lloje sportesh që do të thotë se në zgjedhje të tillë mund të mos ketë përfaqësim të

mirë. b) Masa e zgjedhur është 8%, kështu që numri për secilin lloj sporti është: 10 persona nga

futbolli, 12 persona nga volejbolli dhe 8 persona nga basketbolli. Reflekto Në fund të orës mësimore kërko nga nxënësit të listojnë përparësitë dhe mangësitë e secilës metodë.


Detyrë dhe punë e pavarur: Ushtrimet 4 dhe 5 Matematika 12. Ushtrimet përkatëse te Fletore pune Matematika 12.


Test tremujori i parë

1 a. Shkruaj vlerën e 138 . (1)

b. Gjej vlerën e 238

−. (2)

2 a. Gjej vlerën e 43125 . (2)

b. Thjeshto shprehjen 4

2 324 18x x÷ (2)

3 a. Shpreh 80 në trajtën 5a , ku a është numër i plotë. (2)

b. Shpreh ( )24 5− në trajtën 5b c+ , ku b dhe c janë numra të plotë. (2)

4 a. Zbërthe dhe thjeshto shprehjen ( )( )4 3 4 3+ − . (2)

b. Shpreh 264 3+

në trajtën e 3a b+ , ku a dhe b janë numra të plotë. (3)

5 Jepen tre numra: 1 k− , 2 5 k+ dhe 2 k . Duke ditur se k është numër i plotë, gjej: a. mesataren e tre numrave (2) b. bashkësinë e shëmbëllimeve të tre numrave. (1)

6 Duke ditur se 4125

y x= , shpreh secilën prej shprehjeve të mëposhtme në formën nkx , ku k dhe n janë

numra konstantë.

a. 1y− (1)

b. 125y (1)

7 Gjej syprinën e këtij trapezi në cm2. Përgjigjja të jepet në trajtën 2a b+ , ku a dhe b janë numra të plotë të cilët kërkohet të gjenden. (4)

8 Jepet 3 2 2p = − dhe 2 2q = − , gjej vlerën e p qp q+−

. Përgjigjja të jepet në trajtën 2m n+ , ku m

dhe n janë numra racionalë të cilët kërkohet të gjenden. (4) 9 a. Faktorizo shprehjen 2 10 16x x− + . (1)

b. Zgjidh ekuacionin ( )28 10 8 16 0y y− + = . (2)

10 ( )22 8 29x x x a b− − ≡ + + , ku a dhe b janë konstante.

a. Gjej vlerën e a dhe vlerën e b. (2)

b. Trego se rrënjët e 2 8 29 0x x− − = janë 5c d± , ku c dhe d janë numra të plotë. (3)


11 Funksionet f dhe g përcaktohen si ( ) ( )2f x x x= − dhe ( ) 5g x x= + , x∈ . Duke ditur se

( ) ( )f a g a= dhe 0a > , gjej vlerën e a me saktësi deri në tre shifra të rëndësishme. (3)

12 Jepet ( ) 2 6 18f x x x= − + , 0x ≥ ,

a. shpreh ( )f x në trajtën ( )2x a b− + , ku a dhe b janë numra të plotë. (2)

Kurba C me ekuacion ( )y f x= , 0x ≥ , takon boshtin e y në pikën P dhe ka një minimum në pikën Q.

b. Skico grafikun e C, duke shënuar koordinatat e P dhe Q. (3)

c. Gjej koordinatën x të R, duke e shprehur në trajtën 2p q+ , ku p dhe q janë numra të plotë. (2)

13 Funksioni ( ) 2 2 2h x x x k= + + ka rrënjë të barabarta.

a. Gjej vlerën e k. (1)

b. Skico grafikun ( )y h x= , duke shënuar qartë secilën pikëprerje me boshtet koordinatave. (3)

14 Funksioni ( )g x përcaktohet si më poshtë ( ) 9 6 37 8g x x x x= − − , x∈ .

a. Shkruaj ( )g x në trajtën ( )( )3 3 3x x a x b+ + , ku a dhe b janë numra të plotë. (1)

b. Në vijim gjej të tri rrënjët e ( )g x . (1)

15 Jepet ( )22 10 36x x x a b+ + ≡ + + , ku a dhe b janë konstante.

a. Gjej vlerën e a dhe vlerën e b. (2) b. Në vijim tregon se ekuacioni 2 10 36 0x x+ + = nuk ka zgjidhje reale. (2)

Ekuacioni 2 10 0x x k+ + = ka rrënjë të barabarta. c. Gjej vlerën e k. (2) d. Për këtë vlerë të k, duke shënuar në të koordinatat e pikave në të cilat grafiku pret boshtet

koordinatave. (3)

16 Jepet ( )22 2 3x x x a b+ + ≡ + +

a. Gjej vlerën e konstanteve a dhe b (2)

b. Skico grafikun e 2 2 3y x x= + + , duke shënuar qartë koordinatat e secilës pikëprerje të grafikut me boshtet koordinative. (3)

c. Gjej vlerën e dallorit të 2 2 3x x+ + . Shpjego se si lidhet shenja e dallorit me grafikun e skicuar në pikën b. (2)

Ekuacioni 2 3 0x kx+ + = , ku k është një konstante, nuk ka rrënjë reale. d. Gjej bashkësinë e vlerave të mundshme të k, duke e dhënë përgjigjen në trajtë irracionale. (2)

17 a. Duke eliminuar y nga ekuacionet: 4y x= − , 22 8x xy− = , trego se 2 4 8 0x x+ − = . (2)

b. Zgjidh sistemin e ekuacioneve: 4y x= − , 22 8x xy− = , duke dhënë përgjigjet në trajtën 3a b± , ku a dhe b janë numra të plotë. (4)

18 Gjej bashkësinë e vlerave të x për të cilat:


a. ( )3 2 1 5 2x x+ > − (2)

b. 22 7 3 0x x− + > , (3)

c. janë të vërteta njëherësh ( )3 2 1 5 2x x+ > − dhe 22 7 3 0x x− + > . (1)

19 Funksionet p dhe q përcaktohen si më poshtë ( ) ( )2 1p x x= − + dhe ( ) 2 5 2q x x x= − + , x∈ .

Trego në mënyrë algjebrike se nuk ekziston vlerë e x për të cilën ( ) ( )p x q x= . (3)

20 a. Zgjidh sistemin e ekuacioneve:

2

2 52 3 16y xx x y+ =

− − =. (5)

b. Në vijim gjej bashkësinë e vlerave të x për të cilat 22 3 16 5 2x x x− − > − (2)

21 Ekuacioni ( )2 3 0x kx k+ + + = , ku k është një konstante, ka rrënjë reale të ndryshme.

a. Trego se 2 4 12 0k k− − > . (2) b. Gjej bashkësinë e vlerave të mundshme të k. (2)

22 Gjej bashkësinë e vlerave për të cilat 6 2

5x<

+, 5x ≠ − . (6)

23 Funksioni ( ) 29f x x= − dhe ( ) 14 6g x x= − , x∈ përcaktohen si më poshtë.

a. Në të njëjtin sistem boshtesh koordinative, skico grafikët e ( )y f x= dhe ( )y g x= . Shëno qartë koordinatat e secilës prej pikave ku grafikët priten me njëri-tjetrin apo me boshtet koordinative. (5)

b. Në grafikun e skicuar, hijezo zonën plane që kënaq inekuacionin 0y > dhe ( ) ( )f x g x= . (1)

24 a. Faktorizo plotësisht 3 4x x− . (1)

b. Skico kurbën me ekuacion 3 4y x x= − , duke treguar në të koordinatat e pikave ku kurba pret boshtin x. (2)

c. Në grafikë të ndarë, skico kurbën me ekuacion ( ) ( )31 4 1y x x= − − − duke treguar në të koordinatat e pikave ku kurba pret boshtin x. (2)

25 Figura paraqet një kurbë të skicuar me ekuacion ( )y f x= . Kurba pret boshtin x në pikat ( )2, 0 dhe

( )4,0 . Pika minimum e kurbës është ( )3, 2P − . Në grafikë të ndarë, skico kurbat me ekuacione

a. ( )y f x= − (2)

b. ( )2y f x= (2)

Në secilin grafik, shëno koordinatat e pikave në të cilat kurba pret boshtin x, dhe koordinatat e shëmbëllimit të P në lidhje me transformimin e dhënë.


26 Figura paraqet një kurbë të skicuar me ekuacion ( )y f x= . Kurba kalon në pikat ( )0,3 dhe ( )4,0 si

dhe prek boshtin x në pikën ( )1,0 .

Në grafikë të ndarë, skico kurbat me ekuacione

a. ( )1y f x= + (2)

b. ( )2y f x= (2)

c. 12

y f x =

(2)

Në secilin grafik, shëno qartë koordinatat e të gjitha pikave në të cilat kurba takon boshtet koordinative.

27 Jepet ( ) 1f xx

= , 0x ≠ ,

a. Skico grafikun ( ) 3y f x= + dhe gjej ekuacionet e asimptotave të tij. (2)

b. Gjej koordinatat e pikës ku ( ) 3y f x= + pret një bosht koordinativ. (2)

28 Funksioni kuartik t përcaktohet si më poshtë ( ) ( )( )2 25 2 5 4t x x x x x= − + − + , x∈ .

a. Gjej të katër rrënjët e ( )t x . Ku është e nevojshme përgjigjja të jepet me saktësi deri në 3 shifra të rëndësishme. (3)

b. Skico grafikun ( )y t x= , duke treguar qartë koordinatat e të gjitha pikave në të cilat kurba takon boshtet koordinative. (2)

29 Pika ( )6, 8− ndodhet në grafikun e ( )y f x= . Gjej koordinatat e pikës në të cilën transformohet pika P në grafikun me ekuacion:

a. ( )y f x= − (1)

b. ( )3y f x= − (1)

c. ( )2y f x= (1)

30 Kurba C1 ka ekuacion ayx

= − , ku a është një konstante pozitive. Kurba C2 ka ekuacion ( )2y x b= −

, ku b është një konstante pozitive. a. Skico C1 dhe C2 në të njëjtin sistem boshtesh koordinative. Shëno në të pikat ku secila kurbë takon

boshtet koordinative, ku koordinatat të jepen në funksion të a dhe b. (4)

b. Përdor kurbat e skicuara për të gjetur numrin e zgjidhjeve reale të ekuacionit ( )25 7x x − = − . (1)


31 a. Skico grafikun e 2

1 4yx

= − , duke treguar qartë në të koordinatat e pikave ku kurba pret boshtet

koordinative si dhe të gjenden ekuacionet e asimptotave. (4)

b. Kurba me ekuacion ( )2

1 4yx k

= −+

kalon në origjinë. Gjej dy vlerat e mundshme të k.

(2) Sfidë 1. a. Zgjidh ekuacionin 2 10 9 0x x− + =

b. Në vijim, zgjidh ekuacionin ( )23 3 10 1x x− − = −

2 Një drejtkëndësh e ka syprinën 6 cm2 dhe perimetrin 8 2 cm. Gjej përmasat e drejtkëndëshit, ku përgjigjja të jepet si numër irracional në trajtën e vet më të thjeshtë.

3 Trego me metoda algjebrike se grafikët e 3 23y x x x= + − dhe ( )( )2 1 1y x x x= − + kanë vetëm një pikë prerjeje, dhe në vijim gjej koordinatat e kësaj pike.

4 Funksioni kuartik ( ) ( )( )2 220 2f x x x x x= + − + − ka tri rrënjë të përbashkëta me funksionin

( ) ( )g x f x k= − , ku k është një konstante. Gjej dy vlerat e mundshme të k.


Test tremujori i dytë

1 Gjej ekuacionin e drejtëzës që kalon nëpër pikat ( )2,8A − dhe ( )4,6B , në formën 0ax bx c+ + = . (3)

2 Drejtëza l kalon nëpër pikën ( )9, 4− dhe ka koeficient këndor 13

. Gjej një ekuacion për l, në formën

0ax bx c+ + = , ku a, b dhe c janë numra të plotë. (3)

3 Pikat ( )0,3A , ( ),5B k dhe ( )10,2C k , ku k është një konstante, ndodhen mbi të njëjtën drejtëz. Gjej dy vlera të mundshme për k. (5)

4 Grafiku me pika tregon gjatësinë e trupit, h cm, dhe gjatësinë e këmbës, l cm, të gjashtë të rriturve. Në këtë grafik është paraqitur edhe drejtëza e regresionit të tyre.

a. Gjej me anë të dy pikave të grafikut me pika koeficientin këndor të drejtëzës. (2) b. Me anë të përgjigjes në pikën a shkruaj një model që lidh gjatësinë e trupit me gjatësinë e këmbës në

formën në formën l kh= , ku k është një konstante që duhet gjetur. (1) c. Komento vlefshmërinë e këtij modeli për vlera të vogla të h. (1)

5 Drejtëza l1 ka ekuacion 3 6y x= − . Drejtëza l2 është pingule me l1 dhe kalon nëpër pikën ( )6,2

a. Gjej ekuacionin e l2 në formën y mx c= + , ku m dhe c janë konstante. (3) Drejtëzat l1 dhe l2 presin boshtin x përkatësisht në pikat C. b. Gjej koordinatat e C me veprime algjebrike. (2) Drejtëzat l1 dhe l2 presin boshtin x në pikat A dhe B përkatësisht. c. Gjej vlerën e saktë të trekëndëshit ABC. (4) 6 Drejtëzat 2y x= dhe 5 33 0y x+ − = priten në pikën P. Gjej largësinë e pikës nga origjina O, duke e

dhënë përgjigjen si një numër irracional të shprehur me rrënjë në formën e vet më të thjeshtë. (4)

7 Drejtëza pingule me segmentin që bashkon pikat ( )5,8 dhe ( )7, 4− dhe që kalon nga mesi i segmentit, pret boshtin x në pikën Q. Gjej koordinatat e pikës Q. (4)

8 Rrethi C e ka qendrën në ( )3,8− dhe kalon nëpër pikën ( )0,9 . Gjej një ekuacion për rrethin C. (4)

9 a. Trego se 2 2 6 2 10 0x y x y+ − + − = mund të shkruhet në formën ( ) ( )2 2 2x a y b r− + − = , ku a, b dhe r janë numra që duhen gjetur. (2)

b. Prej kësaj gjej qendrën dhe rrezen e rrethit me ekuacion 2 2 6 2 10 0x y x y+ − + − = . (2)

10 Drejtëza 3 14x y+ = pret rrethin ( ) ( )2 22 3 5x y− + − = në pikat A dhe B.


a. Gjej koordinatat e A dhe B. (4) b. Gjej gjatësinë e kordës AB. (2)

11 Drejtëza me ekuacion 3 2y x= − nuk e pret rrethin me qendër ( )0,0 dhe rreze r. Gjej bashkësinë e vlerave të mundshme të r. (8)

12 Rrethi C e ka qendrën në ( )1,5 dhe kalon nëpër pikën ( )1, 2P − . Gjej:

a. një ekuacion për rrethin C. (4) b. një ekuacion për tangjenten ndaj rrethit në pikën P. (3)

13 Pikat ( )2,1A , ( )6,5B dhe ( )8,3C janë mbi një rreth.

a. Trego se këndi 090ABC = . (2) b. Nxirr një veti gjeometrike të segmentit AC. (1) c. Prej këndej gjej ekuacionin e rrethit. (4)

14 ( )

2

2 3

2 20 42224 4 4

x x x ax x x bx x c+ + +

=+ − +

ku a, b dhe c janë konstante. Gjej vlerat e a, b dhe c. (4)

15 a. Trego se ( )2 1x − është një faktor i 3 22 7 17 10x x x− − + . (2)

b. Faktorizo plotësisht 3 22 7 17 10x x x− − + (4)

c. Me anë të kësaj skico grafikun e 3 22 7 17 10y x x x= − − + , duke treguar qartë pikëprerjet me boshtet koordinative. (2)

16 ( ) 3 23 38f x x x x c= + − + Jepet se ( )3 0f = ,

a. gjej vlerën e c, (2)

b. faktorizo plotësisht ( )f x , (4)

17 ( ) 3 13 12g x x x= − +

a. Me anë të teoremës faktor, trego se ( )3x − është një faktor i ( )g x . (2)

b. Faktorizo plotësisht ( )g x . (4)

18 a. Dikush pohon se inekuacioni që vijon është i vërtetë për të gjithë numrat realë dhe a dhe b. Me anë të një kundërshembulli trego se pohimi nuk është i vërtetë: ( )22 2a b a b+ < + (2)

b. Për cilat kushte ndaj a dhe b ky inekuacion do të ishte i vërtetë. Provo përfundimin (4) 19 a. Me anë të vërtetimit shterues trego se për të gjithë numrat e thjeshtë p, 3 20p< < , p2 është një më

shumë se një shumëfish i 24. (2) b. Gjej një kundërshembull për të rrëzuar pohimin ‘Të gjithë numrat që janë një më shumë se një

shumëfish i 24, janë katrorë të numrave të thjeshtë.’ (2)

20 a Trego se 2 2 10 8 32 0x y x y+ − − + = mund të shkruhet në formën ( ) ( )2 2 2x a y b r− + − = , ku a, b dhe r janë numra që duhen gjetur. (2)

b. Rrethi C ka ekuacion 2 2 10 8 32 0x y x y+ − − + = dhe rrethi D ka ekuacion 2 2 9x y+ = . Njehso largësinë midis qendrës së rrethit C dhe qendrës së rrethit D. (3)

c. Me anë të përgjigjes në pikën b, ose ndryshe, trego se rrathët C dhe D nuk takohen. (2) 21 a. Zbërthe ( )101 2x− sipas fuqive rritëse deri te kufiza me x3 duke e përfshirë këtë kufizë. (3)

b. Me anë të përgjigjes në pikën a vlerëso ( )100.98 me afërsinë e tre shifrave dhjetore. (1)


22 Në qoftë se x është shumë i vogël atëherë kufizat me x3 dhe kufizat me fuqi më të lartë mund të mënjanohen, ( )( )5 22 1 2x x a bx cx− + ≈ + + . Gjej vlerat e konstanteve a, b dhe c. (5)

23 Koeficienti pranë x në zbërthimin binomial të ( )2 4 qx− , ku q është një numër pozitiv i plotë, është −32q. Gjej vlerën e q. (4)

24 Figura tregon trekëndëshin ABC, me 5AB = cm, 045ABC = dhe 030BCA = . Gjej vlerën e saktë të AC. (3)

25 Figura tregon trekëndëshin ABC, me AB = 5 cm, ( )2 3BC x= − cm, ( )1CA x= + cm dhe këndi

060ABC = .

a. Trego se x kënaq ekuacionin 2 8 16 0x x− + = . (3) .b Gjej vlerën e x. (1) c. Njehso sipërfaqen e trekëndëshit, duke e dhënë përgjigjen me tri shifra dhjetore. (2) 26 Drejtimi i lëvizjes së anijes B formon këndin 30°, me drejtimin e lëvizjes së anijes A dhe ato janë larg

njëra-tjetrës 8 km. Drejtimi i lëvizjes së anijes C formon këndin 140°, me drejtimin e lëvizjes së anijes B dhe ato janë

larg njëra tjetrës 12 km. a. Njehso largësinë e anijes C nga anija A. (4) b. Njehso këndin që formon drejtimi i lëvizjes së anijes C me drejtimin e lëvizjes së anijes A. (3)

27 Trekëndëshi ABC ka kulme ( )2,4A − , ( )6,10B dhe ( )16,10C .

a. Provo se ABC është një trekëndësh dybrinjënjëshëm. (2)

b. Njehso madhësinë e këndit ABC . (3) 28 Në figurë tregohet ΔABC. Njehso sipërfaqen e ΔABC. (6)

29 Rrethi C ka qendër ( )5,2 dhe rreze 5. Pikat ( )1, 1X − , ( )10, 2Y dhe ( )8,Z k ndodhen mbi rreth

dhe k është një numër i plotë pozitiv. a. Gjej ekuacionin e rrethit (2) b. Njehso vlerën e k. (1)

c. Trego se 2

10XYZ = (5)


30 a. Skico grafikët e ( )0tan 90y x= − dhe siny x= në të njëjtin sistem boshtesh dhe për këndet në

intervalin 00 360x≤ ≤ , Trego qartë çdo pikë në të cilën grafikët presin boshtet koordinatave. (5)

b. Prej kësaj gjej numrin e zgjidhjeve të ekuacionit ( )0tan 90 sinx x− = në intervalin 00 360x≤ ≤ . (1)

31 Grafiku tregon vijën ( )0sin 45y x= + , 0 0360 360x− ≤ ≤ .

a. Gjej koordinatat e çdo pike ku vija pret boshtin x. (2) b. Gjej koordinatat e çdo pike ku vija pret boshtin y. (1) 32 Një piramidë ka katër faqe trekëndore dhe një bazë katrore. Të gjitha brinjët e piramidës kanë gjatësi

të njëjtë, s cm. Trego se sipërfaqja gjithsej e piramidës është ( ) 23 1 s+ cm2. (3)

33 a. Është dhënë se sin cosθ θ= , gjej vlerën e tanθ . (1)

b. gjej vlerën e θ në intervalin 00 360θ≤ < për të cilat sin cosθ θ= . (2)

34 Gjej të gjitha vlerat e x në intervalin 00 360θ≤ < për të cilat 23 tan 1x = . (4)

35 Gjej të gjitha vlerat e θ në intervalin 00 360θ≤ < për të cilat ( )02sin 30 3θ − = . (4)

36 a. Trego se ekuacioni 22cos 4 5sinx x= − mund të shkruhet si 22sin 5sin 2 0x x− + = . (2)

b. Rrjedhimisht zgjidh ekuacionin 22cos 4 5sinx x= − , për 00 360θ≤ < . (4)

37 Gjej të gjitha zgjidhjet e 22 tan 4 5 tanx x− = në intervalin 00 360θ≤ < duke e dhënë çdo zgjidhje, në gradë, me afërsi një shifër dhjetore. (6)

38 Gjej të gjitha zgjidhjet e ( )25sin 6 1 cosx x= − në intervalin 00 360θ≤ < duke e dhënë çdo zgjidhje, në gradë, me afërsi një shifër dhjetore. (7)

39 Provo se ( )2 2cos tan 1 1x x + = për të gjitha vlerat e x ku cos x dhe tan x janë të përcaktuar. (4)

Sfidë 1 Grafiku tregon një katror ABCD në një sistem boshtesh koordinative. Katrori pret boshtin x në pikat B

dhe S, ndërsa ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër pikat B dhe C është 3 12y x= − . a. Njehso sipërfaqen e katrorit. b. Gjej koordinatat e S.

2 Vërteto se rrethi ( ) ( )2 2 24 5 8x y+ + − = është plotësisht brenda rrethit 2 2 8 10 59x y x y+ + − = .

3 Vërteto se për të gjithë numrat e plotë pozitivë n dhe k, kemi

( ) ( ) ( )1

1 1n n nk k k

++ =

+ +


4 Zgjidh ekuacionin 00 360x≤ ≤ , për 3 22sin sin 1 cosx x x− + = .


Test tremujori i tretë 1 Vektori 9 q+i j është paralel me vektorin 2 −i j . Gjej vlerën e konstantes q. (2)

2 Jepet se 5 2 2k k− = +i j i j . Gjej vlerën e saktë të konstantes pozitive k. (4)

3 Jepen katër pikat ( )9, 6X , ( )13, 2Y − , ( )0, 15Z − , dhe ( )1, 3C − ,

a. Trego se C X C Y C Z= =

. (3)

b. Me anë të përgjigjes së gjetur në pikën a, ose ndryshe, gjej ekuacionin e rrethit që kalon nëpër pikat X, Y dhe Z. (3)

4 Në trekëndëshin ABC, 9 2AB = +i j

dhe 7 6AC = −i j

.

a. Gjej BC

. (2) b. Trego se trekëndëshi ABC është dybrinjënjëshëm. (3)

c. Trego se 1cos5

ABC = (4)

5 Janë dhënë vektorët a, b dhe c ku 823

=

a , 15x

− =

b dhe 132−

=

c , dhe ku x është një i plotë.

Jepet se a + b është paralel me b − c, gjej vlerën e x. (4) 6 Mbi një grimcë veprojnë dy forca, F1 dhe F2,

1 2 5= −F i j njuton 2 = +F i jnjuton.

Forca rezultante R që vepron mbi grimcën jepet nga R = F1 + F2. a. Njehso magnitutën e R në njuton. (3) Mbi grimcën fillon të veprojë një forcë e tretë, F3 është një konstante pozitive. Forca rezultante e re

jepet nga 3 k=F j njuton dhe ku k është një konstante pozitive. Forca rezultante e re jepet nga

e re 1 2 3R F F F= + +

b. Jepet se këndi midis drejtimit të veprimit të Re re dhe vektorit i është 45°. Gjej vlerën e k. (3) 7 Një helikopter nis fluturimin nga pika e fillimit O dhe ecën 100 km me një kënd 600 nga drejtimi i

Veriut. Pastaj ai kthehet në drejtim të Lindjes, fluturon 30 km dhe ndalet. Jepet se vektori i pozicionit të pikës A nga drejtimi i Veriut. Pastaj ai kthehet në drejtim të Lindjes, fluturon 30 km dhe ndalet. Jepet se vektori i pozicionit të pikës ( )m n+i j km, gjej vlerat e sakta të m dhe n. (4)

8 Afër përfundimit të një gare me anije, anija e ka vektorin e pozicionit ( )65 180A − +i j m ndërsa anija B

e ka vektorin e pozicionit ( )100 120+i j m. Vija e mbërritjes e ka vektorin e pozicionit 10i km.

a. Trego se anija B është më afër vijës së mbërritjes se anija A. (2)

Anija A po ecën me shpejtësi konstante ( )2.5 6−i j m/s ndërsa anija B po ecën me shpejtësi konstante

( )3 4− −i j m/s.

b. Njehso shpejtësinë e çdo anije. Njehso shpejtësinë e çdo anije. (4)

9 Vërteto me anë të përkufizimit se derivati i 25x është10x. (4)

10 Jepet se 1

3 24 1 2y x x= − + , 0x > , gjej dydx

. (2)


11 Vija C ka ekuacion 3

224 3 2y x x x= + − , 0x > .

a. Gjej një shprehje për dydx

. (2)

b. Trego se pika ( )4,8P ndodhet në C. (1)

c. Trego se një ekuacion i normales ndaj C në pikën P është 3 20y x= + . (2) Normalja ndaj C në P pret boshtin x në pikën Q. d. Gjej gjatësinë PQ, dhe jepe përgjigjen tënde në formën e një numri irracional me rrënjë në formë të

thjeshtuar. (2)

12 Vija C ka ekuacion 2 54 xy xx−

= + , 0x ≠ . Pika P në C e ka koordinatën x në pikën 1.

a. Trego se vlera e dydx

në P është 3. (3)

b. Gjej një ekuacion të tangjentes ndaj C në P. (3)

Kjo tangjente takon boshtin x në pikën ( ),0k .

c. Gjej vlerën e k. (1)

13 ( ) ( )( )2 1 4x xf x

x+ +

= , 0x > .

a. Trego se ( )f x mund të shkruhet në formën 3 1 12 2 2Px Qx Rx

−+ + , ku vlerat e konstanteve P, Q dhe R

duhen treguar. (2)

b. Gjej ( )'f x . (3)

c. Një vijë ka ekuacion ( )y f x= . Trego se tangjentja ndaj vijës në pikën ku 1x = paralele me drejtëzën me ekuacion 2 11 3y x= + . (3)

14 Provo se funksioni ( ) 3 212 48f x x x x= − + është rritës për të gjithë x∈ . (3)

15 Në figurë tregohet një pjesë e vijës me ekuacion 2 3y xx

= + − . Vija pret boshtin x në pikat A dhe B

dhe ndërsa pika C është një pikë minimum e vijës.

a. Gjej koordinatat e A dhe B. (2) b. Gjej koordinatat e C, duke e dhënë përgjigjen në formën e një numri irracional të shprehur me rrënjë. (4) 16 Një kompani prodhon trupa cilindrikë me rreze të ndryshme r cm dhe vëllim konstant 128π cm3.

a. Trego se sipërfaqja e syprinës së cilindrit jepet nga 2256 2S rrπ π= + . (2)

b. Gjej vlerën minimale të sipërfaqes së syprinës së cilindrit. (4)


17 Jepet se 23 4y x x= + , 0x > , gjej

a. dydx

(2)

b. 2

2

d ydx (2)

c. y dx∫ (3)

18 Vija C me ekuacion ( )y f x= kalon nëpër pikën ( )5,65 . Gjej ( ) 2' 6 10 12f x x x= − − .

a. Gjej ( )f x me anë të integrimit. (3)

b. Rrjedhimisht trego se ( ) ( )( )2 3 4f x x x x= + − (2)

c. Skico vijën C, dhe trego koordinatat e pikës ku vija pret boshtin x. (3)

19 Me metodat e njehsimit diferencial dhe integral vlerëso 1 183 3

1x x dx

− −

∫ .

20 Jepet se ( )6 2

00x kx dx− =∫ , gjej vlerën e konstantes k. (3)

21 Në figurë tregohet një pjesë e vijës me ekuacion 4 23 4y x x= − + + . Vija e pret boshtin x në pikat A dhe B. Zona e hijezuar R, kufizohet nga vija dhe nga boshti x.

a. Trego se ekuacioni 4 23 4 0x x− + + = ka vetëm dy zgjidhje dhe gjej koordinatat e pikave A dhe B. (3) b. Gjej sipërfaqen e zonës R. (4)

22 Në figurë tregohet zona e ngjyrosur T që kufizohet nga vija ( )( )1 4y x x= − − dhe nga boshti x. Gjej sipërfaqen e zonës së ngjyrosur T. (4)

23 Në figurë tregohet vija me ekuacion 25y x= − dhe drejtëza me ekuacion 3y x= − . Vija dhe

drejtëza priten në pikat P dhe Q.


a. Gjej koordinatat e P dhe Q. (3) b. Gjej sipërfaqen e zonës së fundme midis PQ dhe vijës. (6)

24 Grafiku i funksionit ( ) 3 1xf x e−= − , x∈ , ka asimptotë y k= , dhe pret boshtet x dhe y në A dhe B, përkatësisht, si tregohet në figurë.

a. Gjej vlerën e k dhe koordinatën y të A. (2) b Gjej vlerën e saktë të koordinatës x në B, dhe jepe përgjigjen sa më thjesht që të jetë e mundur. (2) 25 Një sferë metalike e nxehtë S futet në një lëng. Meqenëse sfera S ftohet, temperatura e saj T °C, t

minuta mbasi është futur në lëng, jepet nga: 0,05400 25tT e−= + , 0t > . a. Gjej temperaturën e S kur ajo futet në lëng. (1) b. Gjej mbas sa kohësh që sfera është futur në lëng, temperatura e saj zbret në 300 °C. Jep përgjigjen me

2 shifra dhjetore. (3)

c. Gjej shpejtësinë dTdt

, me të cilën temperatura e S zbret në momentin t = 500C. Rezultati të shprehet

në 0C për minutë dhe me tri shifra të sakta mbas presjes. (3) d. Duke iu referuar ekuacionit të mësipërm, shpjego se përse temperatura e S nuk mund të zbresë kurrë

në 200C. (2)

26 a. Gjej me 2 shifra dhjetore, vlerën e x për të cilën 5 0.75x = . (2)

b. Zgjidh ekuacionin 2 32 log log 3 1x x− = (3)

27 a. Zgjidh 2 13 10x− = , dhe përgjigjen jepe me dy shifra dhjetore. (3)

b. Zgjidh ( )2 2log log 9 2 2x x+ − = (3)

28 a Shpreh 1 1log 12 log 9 log 82 3p p p

− +

si një logaritëm i vetëm me bazë p. (3)

b. Gjej vlerën e x për të cilën 4log 1.5x = − . (2)

29 Gjej zgjidhjet e sakta të ekuacioneve a. ln ln 3 ln 6x + = (2)

b. 3 4x xe e−+ = (4)


30 Tabela tregon popullatën e Angolës midis viteve 1970 dhe 2010.

Viti Popullata, P (milionë)

1970 5.93

1980 7.64

1990 10.33

2000 13.92

2010 19.55

Këto të dhëna mund të modelohen duke përdorur një funksion eksponencial të formës tP ab= , ku t koha në vite që nga viti 1970 dhe a dhe b janë konstante.

a. Kopjo dhe plotëso tabelën më poshtë, duke e dhënë përgjigjen me dy shifra dhjetore. (1)

Koha t në vite që nga 1970 log P

0 0.77

10

20

30

40

b. Vizato grafikun e P ndaj t duke përdorur vlerat e tabelës tënde dhe pastaj kalo drejtëzën e regresionit. (2)

c. Duke shkruar tP ab= , shpjego se sa e mbështet grafiku i sapovizatuar modelin e supozuar. (3) d. Me anë të grafikut vlerëso koeficiente a dhe b me saktësi dy shifra dhjetore. (4) Sfidë 1 Grafiku i funksionit kubik ka si pika kthimi (−3, 76) dhe (2, −49) .

a. Trego se ( ) ( )2' 6f x k x x= + − , ku k është një konstante.

b. Shpreh ( )f x në formën 3 2ax bx cx d+ + + , ku a, b, c dhe d janë konstante reale që duhen gjetur.

2 Jepet se ( )9

024.2f x dx =∫ . Gjej vlerën e ( )( )9

03f x dx+∫ .

3 Funksionet f dhe g janë përcaktuar nga ( ) 3 1f x x kx= − + , ku k është një konstante dhe ( ) 2xg x e= ,

x∈ . Grafikët e ( )y f x= dhe ( )y g x= priten në pikën P, ku x = 0.

a. Trego se ( ) ( )0 0f g= dhe rrjedhimisht gjej koordinatat e P.

b. Jepet se tangjentet ndaj grafikëve në pikën P janë pingule. Gjej vlerën e k.

libËr mËsuesi matematika 12 - mediaprint.al · libër mësuesi matematika 12 3 përmbajtja si...

Documents