Mec_2Sem2015 - Lista de Exercícios #1 - Dicas

1 Matrizes de transformação

Leia com atenção o material do livro texto e aplique a de�nição diretamente.

2 Símbolo εijk e o produto vetorial

(a) Procure entender a de�nição do símbolo εijk. Por exemplo, qual o valor dos símbolos ε112, ε132 e ε231? (c)-(d)Se de�nimos ~C = ~A× ~B, você certamente sabe que a componente z do vetor ~C se escreve:

Cz = AxBy −BxAy

que pode ser escrito na forma: C3 = A1B2−B1A2 se as componentes x, y e z forem identi�cadas com as direçõese1, e3 e e3 respectivamente. Com estas ideias, o restante do exercício decorre naturalmente.

3 Álgebra linear

Com muita atenção, relembre as de�nições da álgebra linear e prossiga com as demonstrações. Todo o exercíciodepende apenas destas de�nições.

4 Trajetórias no sistema cartesiano I

Mais uma exercício para checar o entendimento de de�nições. É um pouco mais so�sticado que o exercício para omovimento circular. De maneira a ganhar familiaridade com o Mathematica, execute o notebook associado a estalista.

5 Trajetórias no sistema cartesiano II

(b) São dois movimentos sobrepostos: ~r(t) = R(t) cosβti+ R(r) sinβtj + v0ztk, onde v0z é a velocidade constantena direção k. Perceba que você deve ainda encontrar R(t), o que você pode fazer pela geometria, relacionando aaltura z(t) com o ângulo α.

6 Sistema de coordenadas polares

(a) Se tiver di�culdades, use o ParametricPlot do Mathematica para ver a resposta (alternativamente, use o Polar-Plot). (d) Tenha muita atenção ao fazer os esquemas. Não deixe de discutir este exercício com seus colegas!

7 Função f(r)

Pesquise a expressão para o gradiente em coordenadas polares e esféricas (na aula encaminhamos esta dedução, oque pode ser um bom exercício, mas não está sendo requerido) e aplique as derivadas.

8 Trabalho de uma força I

(a) Trajetória centrada na origem ~γ(t) = R cosωti+R sinωtj e ~F [~γ(t)] = R2 cos2 ωti+R2 sin2 ωtj, lembre-se aindaque 0 ≤ t ≤ 2π. (b)-(c) Como estamos em coordenadas cartesianas, não há maiores di�culdades.

9 Trabalho de uma força II

(a) Perceba que d~s = rdφφ, desta maneira ~F .d~s = dφ. (b)-(c) Pesquise a expressão do gradiente (que você já usoupara o exercício 7) e tenha uma grande surpresa nesse exercício. Discuta com seus colegas.

1

10 Pêndulo Simples

Use este exercício para tentar resolver um problema relativamente simples de maneira mais formal possível. Oobjetivo aqui é fazer uma análise da teoria. Procure justi�car cada passagem, etc.

11 Simetrias das leis de Newton

Procure discutir este exercício com pelo o menos um colega para checar seu entendimento.

2