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MINISTERIO DE EDUCACIÓN
DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN DE SAN MIGUELITO
INSTITUTO RUBIANO
MATEMÁTICA
TRIMESTRE: ___I___
TEMA: EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES (ℝ). ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
GRADO: 12º HUMANIDADES
NOMBRES DE LOS PROFESORES:
XENIA CASTILLO
ANTONIO MAGALLON
JOSÉ VELARDE
ALEX AROSEMENA
FECHA: 10 DE AGOSTO DE 2020
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Índice de Contenido GUIA # 1: EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES (ℝ) Pág. 5
Teoría de Números Reales 5
Representación gráfica de los números Reales. 6
Relaciones de orden de los números Reales. 6
Actividad # 1. Taller Formativo. 7
Adición y sustracción de números Reales. 9
Actividad # 2. Taller Formativo. 10
Lectura complementaria. El ojo de Horus. 12
Examen Formativo. 14
Lista de cotejo. 15
Infografía. 15
GUIA # 2: MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN (ℝ). 16
Teoría de multiplicación en (ℝ) 17
Propiedades de la multiplicación de números reales 20
Actividad # 1. Multiplicación de números reales. 23
División en el conjunto de números reales 24
Actividad # 2. División de números reales 26
Actividad # 3. Operación con decimales 27
Lista de Cotejos 28
Examen formativo 29
Infografía 30
GUIA # 3: RADICACIÓN Y POTENCIACIÓN EN (ℝ). 31
POTENCIACIÓN DE NÚMEROS REALES. 32
Actividad # 1: Calcule las siguientes potencias. 33
Exponentes negativos de la potenciación 33
Actividad # 2. Potencias de cocientes. 34
Propiedades de la potencia. 34
Actividad # 3. Multiplicación de potencias. 36
Actividad # 4. Potencia de una potencia. 36
Potenciación de radicales. 37
Actividad # 5. Resuelva las siguientes Potencias. 38
Notación Científica. 38
Actividad # 6. Escriba las cantidades en notación científica. 41
3
Tema: Radicación de números reales. 41
Aplicación de la radicación números reales. 42
Propiedades de las raices. 43
Actividad # 1. Radicación de números reales. 47
Anexos. Problemas complementarios. 48
Práctica Formativa # 1. Potenciación y Radicación de números reales. 49
Prueba Formativa # 1. Potenciación y Radicación de números reales. 51
Lista de cotejo para las actividades Formativas o sumativas. 53
Presentación Buen día, estimado estudiante, de seguro has escuchado mencionar en matemáticas decir, el
nombre operaciones básicas, sin embargo, muchas veces no tienes idea de sus aplicaciones en la
vida cotidiana de cualquier ser humano; te invitamos hacer un recorderis de todo lo que has
aprendido en tu vida estudiantil hasta la fecha.
Sabemos que la matemática como ciencia exacta, se encuentra integrada en casi todos los saberes
de las demás ciencias, es por eso que te motivamos a escudriñar este mundo infinito sistemático
de conocimiento. En este sentido para una mejor comprensión de la disciplina, hemos elaborado
un compendio de tres guías, donde cada una incluye aspectos tales como: Objetivos generales,
objetivos específicos e indicadores de logros para cada unidad a desarrollar.
Nuestro objeto de estudio empieza con la guía # 1: El conjunto de los números reales,
seguidamente con la guía # 2 que nos insta a recordar el uso y aplicación de la multiplicación y
división en los números reales, para culminar con la guía # 3, donde se habla de la potenciación y
radicación.
Estamos completamente seguros, que los aprendizajes de estos temas son útiles en tu vida
cotidiana, así como también para tu vida futura profesional.
Indicaciones Generales En esta unidad usted comprenderá ¨todo¨ lo referente al conjunto de los números reales, los cuales
se definen como cualquier número que corresponda a un punto en la recta real y pueden
clasificarse en números naturales, enteros, racionales e irracionales; es decir cualquier número
que este comprendido entre menos infinito y más infinito (-∞, +∞) y que podamos representarlo
en la recta real.
4
Cabe señalar que en esta unidad sólo vamos hacer mención de la teoría y las operaciones básicas
de la adición y sustracción.
Objetivos Generales Formar las bases del pensamiento lógico matemático para resolver situaciones y problemas en
los diferentes campos del saber humano.
Aplicar los códigos y sistemas de numeración con sus propiedades los cuales permiten analizar,
interpretar, comprender y valorizar situaciones y problemas de la vida cotidiana.
Reconocer situaciones y problemas de la vida diaria en donde se requiera el uso de las
operaciones básicas discriminando la aplicación de la operación correspondiente.
Integrar los conocimientos tecnológicos, humanísticos y científicos que faciliten el
establecimiento de relaciones entre los diferentes campos del saber humano.
Objetivos Específicos
Construye correctamente el conjunto de los números reales sobre una recta numérica
Ubica con seguridad cantidades sobre la recta numérica
Compara con facilidad cantidades utilizando las relaciones de orden
Resuelve ejercicios utilizando las operaciones básicas.
Representa y resuelve situaciones problemáticas utilizando el concepto y las propiedades de los
números reales, en situaciones cotidianas.
Maneja las propiedades de las operaciones básicas con números reales, para resolver
correctamente problemas de su entorno.
Indicadores de Logros Construye correctamente el conjunto de los números reales sobre una recta numérica
Ubica con seguridad cantidades sobre la recta numérica
Compara con facilidad cantidades utilizando las relaciones de orden
Resuelve ejercicios cuantitativos, utilizando las operaciones básicas de Adición y sustracción.
5
Actividades Didácticas de Aprendizaje. CONTENIDO
El conjunto de los números reales se forma al combinar el conjunto de números racionales y el
conjunto de números irracionales. El conjunto de números reales consiste en todos los números
que tienen un lugar en la recta numérica.
Recordemos quienes componen cada conjunto de números:
Visto gráficamente, sería así:
LOS NÚMEROS REALES
Conjuntos de números
6
Como vemos en el gráfico al conjunto de los números reales, se representa con el símbolo R, y
corresponde a la unión entre el conjunto de los números racionales Q, y el conjunto de los números
irracionales ℿ.
Para ubicar los números reales en la recta numérica se aplican las estrategias utilizadas para los
números racionales e irracionales.
Si se representan números reales distintos en la recta numérica, se cumple que el mayor está a la
derecha del menor. Además, los números reales negativos se ubican a la izquierda de 0, y los
positivos, a la derecha de él.
Ejemplos:
Sobre la recta numérica, localiza los siguientes números reales
Las relaciones de orden < (menor que), > (mayor que) ó = (igual que) en los números reales se
define de la misma forma como el conjunto de los números racionales.
Ejemplos: Indica la relación de orden para los siguientes enunciados:
1. -15 < 4 5. 8, 25 > 2Ø (recordando que Ø = 1, 62)
2. π __> 2 (recordando que π = 3, 14)
3. 1
8 < ___
1
2
4. √6 >__ 1
-π -2,8 -√2 -1
3 0,5 √3 π
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MINISTERIO DE EDUCACION INSTITUTO RUBIANO
TALLER FORMATIVO # 1 DE MATEMÁTICA
NOMBRE: _____________________________ GRADO 12º ______ FECHA: __________
ASIGNATURA: MATEMÁTICA
DOCENTES: X. Castillo, A. Magallón, J. Velarde, A. Arosemena VALOR: 40 PUNTOS
I. Anota los signos, ⊂ ( 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 ) 𝑜 ⊄ ( 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜) en el espacio indicado,
según corresponda en cada caso, utilizando la teoría ofrecida. (25 PUNTOS)
II. Anota los signos ∈ (es elemento) o ∉ (no es elemento), en el espacio indicado, según
corresponda en cada caso. Valor (15 PUNTOS)
ℤ_______________ℝ ℚ_____________________ℿ
ℿ____________________ℝ ℿ____________________ℚ
ℤ____________________ℚ ℕ_______________ℿ
ℤ____________________ℝ ℚ_______________ℝ
ℝ____________________ℤ ℚ____________________ℕ
0__________________ℤ -e_______________ℿ
2_____________ℝ -9__________________ℕ
−2,8______________ℤ 𝜋
3_____________ℿ
√6____________ℝ −7
3______________ℝ
221_________________ℝ 25 _______________ ℚ
18 ________________ℕ 32
3 __________________ ℤ
- 0,325__________ℿ √16_____________ℤ
8
III. Localiza en la recta numérica los siguientes números reales. (8 PUNTOS)
III. Localiza en la recta numérica los siguientes números reales. (5 PUNTOS)
𝜋 ≈ 3,14 𝑒 ≈ 2,72
− 9 _____________________________________________________________________
− 3
4
_____________________________________________________________________
2𝑒 _____________________________________________________________________
3, 7 _____________________________________________________________________
2𝜋 _____________________________________________________________________
− √7 _____________________________________________________________________
√5 _____________________________________________________________________
− 𝑒 _____________________________________________________________________
IV. Aplica la relación de orden en los siguientes enunciados, < (menor que), > (mayor que)
ó = (igual que). Valor 7 Pts.
1. 9
2 4 6.
4
5
2
3
2. 𝑒 π 7. − 3, 24 π
3. -2, 25 √4
4. -2π -7
5. 3Ø -√49 (recordando que Ø = 1, 62)
- 3, 6 -2,8 -√2 -1
3 0,5 √3 5, 46
9
La suma de números reales sigue las mismas reglas que la suma de números enteros y racionales.
El número 0 tiene algunos atributos especiales que son muy importantes en el álgebra. Saber cómo
sumar estos números puede ser útil en situaciones reales, así como en situaciones algebraicas.
Reglas para Sumar Números Reales
Las reglas para sumar enteros son válidas para los números racionales, incluyendo los números
reales.
Para sumar dos números con el mismo signo (ya sea positivo o negativo)
· Suma sus valores absolutos.
· Asigna a la suma el mismo signo.
Para sumar dos números con signos diferentes (uno positivo y el otro negativo)
· Calcula la diferencia de sus valores absolutos. (Observa que cuando encuentras la
diferencia de los valores absolutos, siempre restas el valor menor al valor mayor.)
· Asigna a la suma el mismo signo que el número con el valor absoluto mayor.
Ejemplos: Desarrolla las siguientes operaciones de adición y sustracción con números decimales
1. π + 12
3 + (− 3,5) + √4 = 3, 14 +
5
3 - 3, 5 + 2 = 3, 14 + 1, 67 -3, 5 + 2
= (3, 14 + 1, 67 + 2) -3,5
= (6, 81) - 3,5
= 6, 81 - 3,5
= 3, 31
2. 7
5+ 2,6 − 𝑒 + (−√2 ) + √5 = 1, 40 + 2, 6 - 2, 72 - 1,41 + 2,24
= (1, 40 + 2, 6 + 2, 24) + (– 2, 72 - 1, 41)
= (6, 24) + (-4, 13)
= 6, 24 - 4, 13
= 2, 11
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MINISTERIO DE EDUCACIÓN INSTITUTO RUBIANO
TALLER FORMATIVO # 2
NOMBRE: ____________________________ GRADO 12º ______ FECHA: __________
ASIGNATURA: MATEMÁTICA
DOCENTES: X. Castillo, A. Magallón, J. Velarde, A. Arosemena VALOR: 40 PUNTOS
RESUELVA LA SIGUIENTES OPERACIONES CON NÚMEROS REALES. (5 PUNTOS CADA UNO)
√2 ≈ 1,41 √3 ≈ 1,73 √6 ≈ 2,45 𝜋 ≈ 3,14 𝑒 ≈ 2,72 Ø = 1, 62
π + 12
3 + (− 3,5) + √4 =
Sol. 3,30
7
5 – 𝜋 - 1,2 + √3 + 2,6 – 0,39=
Sol: 1.
11
1
4 +
2
3 + 0,33 + 2,2 =
Sol: 3,44
31
5− 7 − (
3
10) −2Ø =
Sol: -7,34≈ −367
50
21
4+ (−
1
2) +
3
8 =
Sol: 17
8
7
5+ 2,6 − 𝑒 + (−√2 ) + √6 =
Sol: 2,32
12
Lectura complementaria. Valor 10 Pts.
Lectura: El ojo de Horus.
Una de las civilizaciones más antiguas es la egipcia, la cual se desarrolló en el Valle del Nilo.
Los egipcios carecieron de unidad monetaria y, por lo tanto, tenían que llevar una compleja
contabilidad de lo material.
En la repartición de productos, tenían que dividir todo en partes iguales, aunque no precisamente
para que a todos les tocara igual, ya que había jerarquías sociales. Al rey o soberano le daban la
principal fracción de todo; lo que quedaba, lo dividían entre los jefes, y así hasta que llegaban
con la gente del pueblo. Debido a la falta de moneda, para llevar la contabilidad recurrían
principalmente al uso de fracciones, y utilizaban símbolos para representarlas.
Ellos creían que el dios Seth arrancó y despedazó el ojo a Horus, o dios halcón, por lo que cada
parte del ojo que le quedó representa una de los fragmentos del ojo perdido.
La suma de estas fracciones es 63
64 . Por lo que
1
64 parte del ojo fue restablecida por el dios Thot.
Los egipcios sólo consideraban fracciones alícuotas, es decir, únicamente utilizaban fracciones
con 1 como numerador. Para representar cantidades como 8
15 tenían que hacerlo como
1
5 +
1
3 , lo
cual complicaba mucho los cálculos. En general Cada uno de los 6 pedazos que componen el
ojo de Horus representa un sentido y una fracción:
El tacto, el gusto, el olfato, la visión, el pensamiento, el oído. Y la parte externa : Línea
inclinada y curva, círculo del ojo, lado derecho del ojo, línea recta debajo del ojo, delineado
superior del ojo.
13
¿Analógicamente escriba en cada columna la fracción con su simbología y el sentido que significa?
Simbología Nombre dela parte externa del ojo
Sentido Fracción
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REPÙBLICA DE PANAMÀ
MINISTERIO DE EDUCACIÒN
INSTITUTO RUBIANO
EXAMEN FORMATIVO DE MATEMÀTICA
Preparado: X. castillo, A. Magallón, J. Velarde, A. Arosemena TRIMESTRE: I
Grado: 12º______ Humanidades Fecha: ___________________
Nombre del Alumno: _________________________________ Calificación: ________________
Valor Total: 20 Pts. Total, Puntos Obtenidos: ______
A continuación, debes resolver la prueba formativa asignada, para corroborar tu aprendizaje o
dominio de los temas tratados.
I. Parte Opción múltiple. Elija la respuesta correcta.
EFECTUE LAS SIGUIENTES ADICIONES Y SUSTRACCIONES. 4 Pts. c/u.
1. La solución de la adición siguiente 7
5 – 𝜋 - 1,2 + √3 + 2 + 2,6 – 0,39 es:
a) 5,73 b) 3 c) -4,73
2. Al sumar 7
5+ 2,6 − 𝑒 + (−√2 ) + √6 =
𝑎. ) − 4,13 b) 6,45 c) 2,32
3. La solución de adición de los números reales siguiente 2𝑒 + 1,22 – 3,88 + 0,25 es:
a) 3,73 b) 3,18 c) 6,91
b)
4. La adición siguiente 9 + √81 – (7)(5) - 36
4 da como resultado:
a) -8 b) 8 c) -26
5. La adición de 31
5 + 2,5 -1
1
15 +
6
10, tiene como solución
63
10 b) 5
1
10 c)
53
50
15
Observación: Se utilizará la lista de cotejo, para evaluar todas las pruebas diagnósticas o
formativas y en donde existan actividades, tareas, etc., sólo de duplicará el puntaje.
Referencias Bibliografía e infografías:
. Matemática de 7º, y 8º. De Lajon, Diana, Lajon Ricardo. Editorial Scintech, S.A, 2014.
Aritmética. Aurelio Baldor.
•Ver utilizando las tecnologías, los siguientes videos.
https://www.youtube.com/watch?v=xOjQ3u7jSLQ
https://www.youtube.com/watch?v=lsoFP2YApvs
https://www.youtube.com/watch?v=ncFaIIVTNpo
https://www.youtube.com/watch?v=oM0trmUmpPo
Lectura “La aritmética egipcia”, en Varios autores, Historia general de las ciencias. Las antiguas
ciencias del Oriente, Barcelona, Ediciones Orbis, 1988.
LISTA DE COTEJO PARA ACTIVIDADES FORMATIVAS O SUMATIVAS
Puntuación
esperada
Aspectos a evaluar Puntuación
obtenida
Observaciones
2 Limpieza y orden. No se
aprecian borrones, tachones.
3 Entrega el número solicitado
de problemas.
12 Desarrolla correctamente todos
los procedimientos de acuerdo
a las fórmulas y propiedades.
.
3 Expresa adecuadamente el
resultado.
CALIFICACIÓN.
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GUIA # 2: MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN (ℝ).
Presentación Esta guía de auto instrucción está dirigida a los estudiantes que cursan el 12º Bachilleres en
Humanidades del Instituto Rubiano, para ser desarrollada por los estudiantes desde su casa de
forma no presencial; guiados por el docente a través de la plataforma Teams o la página web
del colegio.
La guía, desarrolla el Tema # 2. Multiplicación y división en (ℝ). Debe ser leída
minuciosamente por el estudiante y seguir las instrucciones para el desarrollo de la misma.
En ella encontrarás la parte teórica del tema, apoyados en problemas de aplicación explicados
cuidadosamente y talleres formativos para que refuerces tu aprendizaje.
Esperamos pongas todo tu empeño para que logremos nuestro objetivo en esta fase educativa.
Indicaciones Generales En esta unidad usted reconocerá que la multiplicación y la división son operaciones inversas, es
decir multiplicar números reales no es tan diferente de multiplicar números enteros o fracciones
positivas, no sin antes olvidar también que la división de dos números reales se define como el
producto del dividendo por el inverso del divisor.
Se sugiere que los estudiantes empleen el aprendizaje colaborativo o cooperativo al desarrollar
sus prácticas o actividades.
Objetivos Generales
Formar las bases del pensamiento lógico matemático para resolver situaciones y
problemas en los diferentes campos del saber humano.
Aplicar los códigos y sistemas de numeración con sus propiedades los cuales permiten analizar,
interpretar, comprender y valorizar situaciones y problemas de la vida cotidiana.
Reconocer situaciones y problemas de la vida diaria en donde se requiera el uso de las
operaciones básicas (multiplicación y división) discriminando la aplicación de la operación
correspondiente.
Integrar los conocimientos tecnológicos, humanísticos y científicos que faciliten el
establecimiento de relaciones entre los diferentes campos del saber humano.
Objetivos Específicos . Representa y resuelve situaciones problemáticas utilizando el concepto y las propiedades
de los números reales, en situaciones cotidianas
. Maneja las propiedades de las operaciones básicas con números reales, para resolver
correctamente problemas de su entorno.
Indicadores de Logros
Distingue correctamente las propiedades de la multiplicación y la división.
Emplee el conjunto de los números reales para dar soluciones a situaciones cotidianas
utilizando el concepto, la comparación y las propiedades.
Opera a través de expresiones en notación científica cantidades grandes o pequeñas para
resolver situaciones utilizando las propiedades de la potencia de base diez (10).
Resuelve ejercicios cuantitativos, utilizando los algoritmos de las operaciones básicas de
multiplicación y división de números reales.
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Multiplicar números reales no es tan diferente de multiplicar números enteros o fracciones positivas. Sin embargo, no has aprendido sobre el efecto que tiene el signo negativo en el producto. Recordemos las leyes de los signos en las multiplicaciones
REGLA DE SIGNOS PARA LA MULTIPLICACIÓN:
Con los números enteros, puedes pensar en la multiplicación como una suma repetida. Usando la recta numérica, puedes hacer saltos de cierto tamaño. Por ejemplo, la siguiente figura muestra el producto de 3 · 4 como 3 saltos de 4 unidades cada uno.
Entonces, para multiplicar 3 (−4), puedes mirar hacia la izquierda (en la dirección negativa) y hacer tres “saltos” hacia adelante (en la dirección negativa).
El Producto de Dos Números con el Mismo Signo (ambos positivos o ambos negativos). Para multiplicar dos números positivos, multiplica sus valores absolutos. El producto es positivo. Para multiplicar dos números negativos, multiplica sus valores absolutos. El producto es positivo.
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Ejemplo
Calcula el producto de
Multiplica los valores absolutos de los números. Primero, multiplica los numeradores para obtener su producto. Luego multiplica los denominadores para obtener su producto. Reescribe en términos simples si es necesario.
Respuesta
El producto de dos números negativos es positivo.
Ejemplo
Calcula el producto de (−3.8)(0.6).
3.8 x 0.6 2.28
Multiplica los valores absolutos como lo harías normalmente. Coloca el punto decimal contando los valores de posición. 3.8 tiene un lugar después del punto decimal y 0.6 tiene 1 lugar después del punto decimal, entonces el producto tiene 1 + 1 o 2 lugares después del punto decimal.
Respuesta (−3.8)(0.6) = −2.28 El producto de un negativo y un positivo es negativo.
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MULTIPLICACIONES MÚLTIPLES:
Puedes ver que el producto de dos números negativos es un número
positivo. Entonces, si estás multiplicando más de dos números, puedes
contar el número
de factores negativos.
Multiplicando Más de Dos Números Negativos
Ejemplo
Calcula el producto de 43( –3).
43(−3)
43 (3) = 129
Sustituye −3 por y en la expresión. Multiplica 43 y 3.
43(−3) = −129
El producto de un número positivo y un número negativo es negativo.
Si hay un número par (0, 2, 4, ...) de factores negativos a multiplicar, el producto es positivo. Si hay un número impar (1, 3, 5, ...) de factores negativos a multiplicar, el producto es negativo.
Ejemplo
Calcula 3(−6) (2) ( −3) ( −1).
3(6)(2)(3)(1)
18(2)(3)(1)
36(3)(1)
108(1)
108
3(−6) (2) ( −3) ( −1)
3(−6) (2) ( −3) ( −1) = −108
Multiplica los valores absolutos de los
números.
Cuenta el número de factores negativos. Hay
tres (−6, −3, −1).
Como hay un número impar de factores
negativos, el producto es negativo.
20
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN
1. Clausurativa: si a, b , se cumple que: 𝑎
2. Conmutativa: si 𝑎, 𝑏, se cumple que 𝑎 𝑎; 𝑞𝑢𝑒
𝑒𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 (donde a y b se están
multiplicando)
(2,5) (45) = (45) (2,5)
112,5 = 112,5
3. Asociativa: si 𝑎, 𝑏, 𝑐 , entonces se
cumple que:
4. Elemento neutro: si 𝑎 ∈ ℝ, existe 1∈ℝ,
tal que 𝑎 ∙ 1 = 𝑎
(34, 67) (1) = 34,67
5. Inversiva: si 𝑎 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0, entonces existe
tal que: (𝑎) (1) = 1 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 ( ) ( ) = 1
6. Distributiva: para 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ se cumple que
(𝑎)(𝑏 + 𝑐) = (𝑎)(𝑏) + (𝑎)(𝑐)
76 (23 + 12) = (76)(23) + (76)(12) = 1
748 + 912 = 2 660
Observemos los siguientes ejercicios:
a. Multiplicar (− )
Solución:
Realizamos la operación prescindiendo del signo de las fracciones (el numerador es el
producto de los numeradores y el denominador, el producto de los denominadores), y
simplificamos el resultado, si se puede.
Aplicamos la regla de los signos para la multiplicación
(− ) = −
b. Multiplica
c. (3,25 ) (1,04) = 3,38
21
d. (15,87) (−2,35) = −37,2945
Existe también otro número que se puede incluir como factor las veces que quieras, y nunca cambiará el valor del producto. Ese número, 1, se llama identidad multiplicativa. 7(1) = 7 −7(1) = −7
1(3.6) = 3.6 x(1) = x (1)x = x La propiedad de identidad de la multiplicación dice que x(1) = x y (1)x = x. Puedes verlo de la siguiente manera: Multiplicar por 1 le permite al otro número mantener su identidad. Inversos Multiplicativos Seguramente recuerdas que dos números son inversos aditivos si su suma es 0, la identidad aditiva.
3 y −3 son inversos aditivos porque 3 + (−3) = 0. Dos números son inversos multiplicativos si su producto es 1, la identidad multiplicativa.
y son inversos multiplicativos porque . Recuerda que cuando divides fracciones, multiplicas por su recíproco. Recíproco es otro nombre para el inverso multiplicativo (de la misma manera que opuesto es otro nombre para el inverso aditivo). Una manera sencilla de encontrar el inverso multiplicativo es sólo “voltear” el numerador y el denominador como lo hacías para encontrar el recíproco. Aquí hay algunos ejemplos:
El recíproco de es porque
El recíproco de 3 es porque
El recíproco de es porque El recíproco de 1 es 1 porque 1(1) = 1.
22
Ejemplos de aplicación 1. Ernesto compró 7 manzanas1 y 3 naranjas2, pagó B/. 2,45 por las manzanas. Si cada naranja
costó el doble una manzana ¿cuánto pagó por cada naranja?
Solución:
Observe que son 7 manzanas y necesitamos saber cuánto costó cada manzana, por lo que
Si (7) (costo de cada manzana) = 2,45, entonces para obtener el costo dividimos y obtenemos
que:
El costo de la manzana lo obtendremos dividiendo 2,45÷ 7 = 0,35 Si
verificamos en el planteamiento anterior, tenemos que:
(7) (0,35) = 𝟐, 𝟒𝟓
Por lo tanto, si el naranja costó es el doble de la manzana, tenemos que:
(2) (0,35) = 0,70
Podemos concluir que: Ernesto pago por cada naranja 0,70.
2. Compré un vestido por B/. 300 y lo vendo ganando los del precio.
¿En cuánto vendí el vestido?
Solución: Multiplicamos el precio del vestido por los ; (300) ( ) = = 90
El valor obtenido lo sumo al precio original; 300 + 90 = 390
Vendí el vestido al precio de 390 balboas.
23
ACTIVIDAD # 1 Nombre: ______________________ Nivel: 12º ___ Fecha: ___________ I. Realice las siguientes multiplicaciones de números reales. Valor 50 pts
a. 𝟏
𝟐×
𝟐
𝟑 = b. (
𝟐
𝟗 ) . (
−𝟕
𝟒) =
c. 𝟑
𝟓×
𝟏𝟎
𝟐= d. (
−𝟏
𝟒)(−
𝟑
𝟕 ) =
e. 𝟑 ×𝟗
𝟐𝟕 = f. (
𝟑
𝟐𝟐) (
𝟑𝟐
𝟔𝟑) (
𝟗
𝟒) =
g. 𝟕
𝟐×
𝟕
𝟒×
𝟏𝟐
𝟐𝟏= h. (𝟔𝟓) (−𝟔𝟕)(−𝟓𝟔)
i. 𝟏𝟓
𝟏𝟒× 𝟖 = j. (𝟓𝟔𝟖𝟕, 𝟒𝟑)(−𝟔𝟗, 𝟓) =
k. (𝟏𝟐
𝟏𝟓) (−
𝟑
𝟔) = l. (√𝟑)(√𝟓)(√𝟐) =
Soluciones: a) 𝟏
𝟑 , b) 3 c)1,d) 𝟑
𝟏
𝟐 e) 8
𝟒
𝟕 f)
−𝟐
𝟓 g)
−𝟕
𝟏𝟖 h)
𝟑
𝟐𝟖 , i)
12
27
j) 243880 , k) 395276,385≈ 3,95 x105 l) √30 , m) 15√6
II. -Problemas de aplicación:Desarrolla los siguientes problemas de aplicación con números reales.
1. Un caballo costó B/. 1 250 si se vende por los del costo, ¿Cuánto se pierde en la venta?
Valor 4 pts
2. ¿Por cuál número se multiplica para que se transforme en ? Valor 4 pts.
Un hombre gasta en alimentación de su familia los de su sueldo mensual. Si en un mes gasta
por ese concepto B/. 820, ¿Cuál fue el sueldo ese mes? . Valor 4 pts
Un nudo es una milla marina/h y una milla marina es 1,852 km. La
velocidad de un barco es de 60 nudos. ¿Cuántos kilómetros recorre en
tres horas? Valor 4 pts
3. Un glaciar3 retrocede 2,8 cm al año por el deshielo. ¿Cuánto tardará en retroceder 5 𝑚? Valor 4pts.
24
La división de dos números reales se define como el producto del dividendo por el inverso del
divisor. La división es la operación inversa de la multiplicación.
Las reglas de los signos en el caso de la división son las mismas que para la multiplicación:
El cociente de dos números de igual signo siempre es positivo;
El cociente de dos números de distinto signo siempre es negativo.
Aunque la división está muy emparentada con la multiplicación, no tiene todas las propiedades de
la multiplicación.
Por ejemplo, la división no es una operación conmutativa:
Como vemos en: 𝟔, 𝟐𝟒 ÷ 𝟑 = 𝟐, 𝟎𝟖 y ese resultado es distinto de
𝟑 ÷ 𝟔, 𝟐𝟒 𝟎, 𝟒𝟖𝟎𝟕
La división no es una operación asociativa:
Como vemos en: (𝟖 ÷ 𝟒) ÷ 𝟐 = 𝟏 mientras que 𝟖 ÷ (𝟒 ÷ 𝟐) = 𝟒
En el caso de la división, al igual que en la multiplicación, se procederá a dividir el dividendo
entre el divisor, a fin de obtener el cociente. Así mismo, se acogerán reglas distintas según si se
trata de números enteros o racionales, positivos o negativos.
25
Recuerde que la División de números enteros en caso de que ambos sean positivos, se procederá
a la división simple, por ejemplo: 20 ÷ 2 = 10
En caso de que haya diferencias de signos, se aplicará la regla de signos,
por ejemplo: – 20 ÷ 2 = −10
División de números racionales: por su parte, en el momento de dividir los números racionales,
se deberá multiplicar de forma cruzada, multiplicando el numerador de una fracción por el
denominador de la segunda fracción, así como el denominador de la primera fracción por el
numerador de la segunda fracción. Igualmente, de haber números positivos y negativos, se tomará
en cuenta la regla de signos.
Ejemplos:
26
ACTIVIDAD # 2 Nombre: ______________________ Nivel: 12º ___ Fecha: ___________ I. Realice las siguientes divisiones de números reales. Valor 18 pts
a. b. − ÷ = c. 0.17 ÷ 0.3 =
d. e. −36 ÷ 4 = f.
g. −45 ÷ (−9) = h. = i.
II. Parte Operaciones combinadas. Valor 32 pts. (4 pts. c/u)
1. 𝟏
𝟐 ÷ (
𝟏
𝟒+
𝟏
𝟑) 2.) (
𝟑
𝟒+
𝟏
𝟐) ÷(
𝟓
𝟑+
𝟏
𝟔) 3)
3
2+
1
45
6−
1
3
=
4) -1 + 3
4 -
1
3 5) (3
1
2 - 2
3
4 ) ÷ (8 +
3
4 ) 6) (
4
5 x
2
3 x
1
8 ) ÷ (5
3
5 + 2
3
4 )
2 - 1
4
7) (112
5 x
1
5 ) ÷ (
4
5 -
1
6 ) 8) (4 -
1
4)x(5-
1
5) ÷
1
18
Soluciones de la II parte.1). 6
7 2.)
15
22 3)
7
2 4)
−1
3 5)
1
15 6)
4
501 7) 3
3
5 8) 324
27
ACTIVIDAD # 3
I. Aplique los conocimientos adquiridos en la guía anterior (Adición y sustracción)
y compleméntela con los temas de multiplicación y división.
28
LISTA DE COTEJO PARA ACTIVIDADES FORMATIVAS O
SUMATIVAS
Puntuación
esperada
Aspectos a evaluar Puntuación
obtenida
Observaciones
2 Limpieza y orden. No se aprecian
borrones, tachones.
3 Entrega el número solicitado de
problemas.
12 Desarrolla correctamente todos
los procedimientos de acuerdo a
las fórmulas y propiedades.
.
3 Expresa adecuadamente el
resultado.
CALIFICACIÓN.
29
REPÙBLICA DE PANAMÀ MINISTERIO DE EDUCACIÒN
INSTITUTO RUBIANO EXAMEN FORMATIVO DE MATEMÀTICA
Preparado: x. castillo, A. Magallón, J. Velarde, A. Arosemena TRIMESTRE: I Grado: 12º______ Humanidades Fecha: ___________________ Nombre del Alumno: ____________________________________ Calificación: ________________ Valor Total: 20 Pts. Total Puntos Obtenidos: ______ A continuación, debes resolver la prueba formativa asignada, para corroborar tu aprendizaje o dominio de los temas tratados.
II. Parte Opción múltiple. Elija la respuesta correcta. A. EFECTUE LAS SIGUIENTES MULTIPLICACIONES.
1. La solución del producto siguiente 𝟏𝟖
𝟏𝟓 x
𝟗𝟎
𝟑𝟔 es:
b) 108
648 b) 3 c)
1620
54
2. Al multiplicar 𝟗𝟎
𝟓𝟏 x
𝟒𝟏
𝟏𝟎𝟖 x
𝟑𝟒
𝟖𝟐
𝑎. ) 5
18 b)
22
306 c)
85
35
3. La multiplicación de los siguientes números reales 0,187 x 19 es: c) 2,992 b) 3,213 c) 3,553
4. Un obrero ajusta una obra en $ 300,00 y ya a cobrado una cantidad equivalente a los 11
15 de la obra.
¿Cuánto le falta por cobrar? b) 200 b) 80 c) 409,09
5. En un colegio hay 324 alumnos y el número de alumnas es los 𝟕
𝟏𝟖 del total. ¿Cuántos varones hay?
a) 126 b) 223 c) 198
B. Efectúa las siguientes divisiones.
6. La solución correcta de 21
3 ÷3
1
2 es:
a) 49
6 b)
2
3 c)
14
6
7. Si dividimos 0,0102 ÷ 0,017, la solución es: a) 0,2 b) 0,6 c) 6,0
8. Aplicando la división de (4 - 1
3 ) ÷
11
6 es:
a) 121
18 b)
22
9 c) 2,0
9. Repartí $ 𝟏𝟖𝟐
𝟓 entre varias personas y a cada una le toco $ 3
𝟏𝟕
𝟐𝟓. ¡Cuántas eran las personas?
a) 5 b) 1
5 c) 21
34
75
10. ¿Por qué número hay que dividir 6𝟐
𝟓 para obtener de cociente?
a) 96
5 b)
15
32 c) 2
2
15
30
Referencias Bibliografía e infografías: El Mundo Maravilloso de las Matemáticas 8°. Aritmética. Aurelio Baldor. • Ver utilizando las tecnologías, los siguientes videos.
1 Imágenes Obtenidas de: https://storage.googleapis.com/portalfruticola/2019/08/ef70f244-manzanas_72912451.jpg 1 https://encrypted-bn0.gstatic.com/images?q=tbn%3AANd9GcQCyZZamYpBNIydPw9y3d5FuhRMJdm6aTDvoVNPH4R3Z4d4Cyru&usqp=CAU
https://www.muyinteresante.com.mx/medio-ambiente/elevacion-nivel-mar-que-sucedera?nonamp=1/ https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/racionales/ejercicios-resueltos-de-
operaciones-combinadas.html
31
GUIA # 3: POTENCIACIÓN DE NÚMEROS REALES
Indicaciones Generales Esta guía Didáctica está elaborada según las exigencias del Currículo priorizado para estudiantes
de 12° de Media. En ella encontraremos información relacionada a estándares educativos, tales
como: Objetivos de Aprendizaje e Indicadores de logros y competencias.
Básicamente, en esta guía se desarrollan 2 temas que forman parte de las Operaciones con
Números reales. Estos temas son: La Potenciación y la Radicación de Números reales. Cada uno
de estos temas está constituido, además de su teoría, de ejemplos explicados de manera
detallada, problemas de aplicación, problemas complementarios, prácticas sugeridas y,
finalmente, una práctica y una prueba de evaluación formativa. No menos importante, es el
hecho de que aquí se presentan también referencias infográficas para ayudar a nuestros
estudiantes en el reforzamiento de los temas que aquí se presentan.
Los docentes que hemos participado en la elaboración de esta guía, deseamos que la misma
motive positivamente a nuestros estudiantes, que en estos tiempos difíciles, necesitan de una
ayuda especializada con miras a vencer los nuevos obstáculos por los que estamos atravesando.
Objetivos Específicos Resuelve operaciones de potenciación y radicación de números Reales.
Aplica las operaciones de potenciación y radicación de números Reales en
problemas
de la vida real.
Representa correctamente números en Notación Científica.
INDICADORES DE LOGROS Y COMPETENCIAS.
1. Analiza la potenciación como una multiplicación de factores iguales.
2. Escribe números reales en notación científica.
3. Transforma potencias con exponentes fraccionarios a radicales.
4. Aplica las propiedades de la radicación en la solución de problemas.
32
CONTENIDO
1. Potenciación de números Reales. Veamos el desarrollo de las potencias en números decimales y fracciones.
33
ACTIVIDAD #1:
Hasta ahora, el concepto de potenciación ha sido estudiando en con los números
naturales, enteros y racionales, de igual manera sus propiedades.
Los números irracionales también están incluidos en los números reales, así que es
importante que se estudie esta operación con números irracionales.
2. Exponentes negativos en la Potenciación Estudiamos la propiedad de la potenciación relacionada a potencias con
exponentes negativos.
Propiedad
Para elevar un número real no nulo a un exponente negativo, se invierte la base y se
eleva ésta al opuesto del exponente. No se puede repetir una base, un número
negativo de veces.
En símbolos:
34
ACTIVIDAD #2: Resuelva las siguientes potencias.
3. Propiedades de las potencias:
35
36
ACTIVIDAD #3:
ACTIVIDAD #4:
1
37
4. Potenciación de radicales.
2
38
ACTIVIDAD #5:
5. Notación Científica. El primer intento de representar números demasiados grandes fue emprendida por el
matemático y filósofo griego Arquímedes, descrita en su obra el contador de Área en el
siglo III a. C. Ideó un sistema de representación numérica para estimar cuántos granos
de arena existían en el universo. El número estimado por él era de 1063granos.
Cómo las potencias de base 10, se usan para representar resultados muy
grandes y muy pequeños en un sistema que se llama notación científica.
A través de la notación científica fue concebido el modelo de representación de los
números reales mediante coma flotante. Esa idea fue propuesta por Leonardo Torres
Quevedo (1914), Konrad Zuse (1936) y George Robert Stibitz (1939).
39
40
41
ACTIVIDAD #6:
Escriba las siguientes cantidades en notación científica (presentar las respuestas hasta los
centésimos).
TEMA 2: RADICACIÓN DE NÚMEROS REALES
CONTENIDO
1. Radicación de números Reales. La radicación está íntimamente relacionada con la Potenciación, puesto que es su
proceso inverso.
42
La radicación es un proceso de gran importancia en el campo de la Matemática,
particularmente en problemas relacionados con la Geometría. Los siguientes
ejemplos dan un claro testimonio de esta situación.
2. Aplicaciones de la Radicación de números Reales. 𝑎) 𝑃𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜, 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜 L, 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟:
Á𝑅𝐸𝐴 𝐷𝐸 𝑈𝑁 𝐶𝑈𝐴𝐷𝑅𝐴𝐷𝑂 = 𝐿2 = 𝐿 × 𝐿,
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑠𝑖 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟
𝑙𝑎 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛.
√𝐿2 = 𝐿
Ejemplo1:
Determine la longitud del lado de un cuadrado cuya área es igual a 64 𝑐𝑚2.
Solución:
√64𝑐𝑚2 = 8 𝑐𝑚
𝑏) 𝑃𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑐𝑢𝑏𝑜, 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑖𝑠𝑡𝑎 "L", 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟:
𝑉𝑂𝐿𝑈𝑀𝐸𝑁 𝐷𝐸 𝑈𝑁 𝐶𝑈𝐵𝑂 = 𝐿3 = 𝐿 × 𝐿 × 𝐿,
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑠𝑖 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑐𝑢𝑏𝑜, 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟
𝑙𝑎 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑠 𝑎𝑟𝑖𝑠𝑡𝑎𝑠 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛
(𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜, 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝒓𝒂í𝒛 𝒄ú𝒃𝒊𝒄𝒂 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛).
√𝐿33= 𝐿
Ejemplo 2:
Determine la longitud de la arista de un cubo cuyo volumen es igual a 125
𝑐𝑚3.
Solución:
√125𝑐𝑚33= 5𝑐𝑚
Porque 𝐿 × 𝐿 = 𝐿2
Porque 𝐿 × 𝐿 × 𝐿 = 𝐿3
Porque 5𝑐𝑚 × 5𝑐𝑚 × 5𝑐𝑚 = 125 𝑐𝑚3
Porque 8𝑐𝑚 × 8𝑐𝑚 = 64𝑐𝑚2
43
3. Propiedades de las raíces.
a) Raíz de índice “n” de un producto:
La raíz de índice “n” de un producto cualquiera, es igual al producto de las raíces de índice “n”
de cada uno de sus factores.
√𝑎𝑏𝑐𝑛
= √𝑎𝑛
√𝑏𝑛
√𝑐𝑛
La expresión anterior significa que cuando la cantidad subradical está escrita en forma de
producto, podemos escribir la raíz como el producto de las raíces (de índice “n”) de cada uno de
los factores.
Otra interpretación que tiene esta propiedad, es que cuando la cantidad subradical está escrita en
forma de producto, podemos extraer la raíz a cada uno de los factores, siempre y cuando tengan
raíz exacta.
Ejemplos:
1) √(4)(9) = √4 ∙ √9 = (2)(3) = 6
2) √(16)(9)(3) = (4)(3)√3 = 12√3
b) Raíz de índice “n” de un cociente:
√𝑎
𝑏
𝑚=
√𝑎𝑚
√𝑏𝑚
La expresión anterior significa que cuando la cantidad subradical está escrita en forma de un
cociente, podemos escribir la raíz como el cociente de las raíces (de índice “n”) del numerador y
del denominador.
Otra interpretación que tiene esta propiedad, es que cuando la cantidad subradical está escrita en
forma de cociente, podemos extraer la raíz tanto al numerador como al denominador, siempre y
cuando tengan raíz exacta.
Ejemplos:
1) √25
49=
√25
√49=
5
7
2) √5
49=
√5
√49=
√5
7
44
3) √25
7=
√25
√7=
5
√7
c) Raíz de índice “n” de una potencia:
√𝒂𝒎𝒏 = 𝒂𝒎 𝒏⁄
Esta expresión nos dice 2 cosas:
1. Toda raíz puede escribirse como una potencia de exponente fraccionario.
√3 = √312= 31 2⁄
√223= 22 3⁄
2. Si la cantidad subradical es una potencia, entonces la potencia tendrá raíz exacta siempre
y cuando su exponente pueda dividirse exactamente entre el índice de la raíz.
√54 = 54 2⁄ = 52 = 25
√32 = 32 2⁄ = 31 = 3
Nota: Si el exponente de la potencia es mayor que el índice de la raíz, podemos descomponer la
potencia en el producto de otras potencias, de manera tal que podamos extraer la raíz a una parte
de la potencia original.
√35 = √3431 = 32√3 = 9√3
√𝜋143= √𝜋12𝜋23
= 𝜋4 √𝜋23
√𝑒7 = √𝑒6𝑒1 = 𝑒3√𝑒
¿Qué es el número 𝜋?
45
https://www.youtube.com/watch?v=NMjWyyB3mpA
¿Qué es el número 𝑒, 𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟?
https://www.youtube.com/watch?v=G6Yn2_uYbuI
Nota: Las constantes matemáticas, como
𝜋 𝑦 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑒, 𝑠𝑜𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝐼𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑦 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛 𝑠𝑜𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑅𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠.
d) Raíz de una raíz.
√ √𝑎𝑛𝑚
= √𝑎𝑚𝑛
La expresión anterior nos dice que la raíz de una raíz, podemos expresarla con una única raíz,
con un índice igual al producto de los índices y con la misma cantidad subradical de la raíz más
interna. Este mismo criterio puede extenderse a cualquier cantidad de raíces internas.
√√2123
= √212(3)(2)
= √2126= 22 = 4
4. Consideraciones que pueden tomarse en cuenta en la
extracción de raíces las raíces. 1) Si las cantidades subradicales son pequeñas, es fácil observar a través del conocimiento
de las tablas de multiplicar si tienen raíz cuadrada exacta.
√49 = 7
√83
= 2
2) Si la cantidad subradical no tiene una raíz cuadrada exacta, en ciertas ocasiones se puede
expresar como un producto en el cual se pueda extraer la raíz cuadrada exacta a la mayor
parte de dicha cantidad.
√50 = √(2)(25) = 5√2
√24 = √(4)(6) = 2√6
√700 = √(7)(100) = 10√7
46
3) Cuando no se necesitan valores aproximados de una raíz, la descomposición en factores
primos es una de las formas más utilizadas en la extracción de raíces.
√1624
= √(2)(34)4= 3√2
4
162 2
81 3
27 3
9 3
3 3
1
√225 = √(52)(32) = (5)(3) = 15 225 5
45 5
9 3
3 3
1
4) Las raíces de índice par, de cantidades negativas no existen.
√−4 = 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑅𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠
Nota: La raíz cuadrada de un número se define en términos del número que al repetirse 2 veces
reproduce la cantidad subradical.
Si decimos que el resultado anterior es −2, 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟í𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 (−2)2 = −4,
lo cual es falso. Lo cierto es que (−2)2 = (−2)(−2) = +4, que no es la cantidad subradical.
√−814
= 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑅𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠
5) Las raíces de índice impar siempre van a existir, sin importar el signo de la cantidad
subradical.
√−273
= −3
√−325
= −2
𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 (−3)3 = (−3)(−3)(−3) = −27
𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 (−2)5 = (−2)(−2)(−2)(−2)(−2) = −32
47
ACTIVIDAD #1: Radicación de Números Reales.
Resuelva los siguientes problemas:
1) √(16)(49) =
11) √√625=
2) √(27)(64)3
= 12) √√729
3
=
3) √(2)(25) = 13) √ √263
=
4) √(3)(4)(7) = 14) √−325
=
5) √(9)(64) = 15) √−643
=
6) √4𝜋10 = 16) √75𝜋273=
7) √5𝑒4𝜋8 = 17) √56𝜋104=
8) √36𝑒2𝜋6 18) √89𝑒6𝜋86=
9) √81𝑒𝜋2 = 19) √1325 =
10) √√16 = 20) √3602 =
48
ANEXOS Problema complementario.
Sugerencias:
1. Convierta el ancho, la longitud y la altura en notación científica.
2. Multiplique, por separado, los factores que acompañan a cada potencia de 10.
3. Multiplique también, por separado, las potencia de 10 que forman parte de cada
notación científica.
4. Finalmente, exprese el resultado final como el producto de los factores obtenidos en los
pasos 2 y 3.
49
INSTITUTO RUBIANO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PRÁCTICA FORMATIVA #1. HUMANIDADES
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE NÚMEROS REALES
Preparado por: Prof. José Velarde.
Profa. Xenia Castillo.
Prof. Álex Arosemena.
Prof. Antonio Magallón
Nombre del estudiante: 12° Puntaje Obtenido:
Práctica Formativa.
Valor de la práctica: 35 puntos.
Parte #1: Potencias de números Reales. Valor: 6 puntos (2 puntos cada uno).
Parte #2: El Exponente Negativo. Valor: 8 puntos (2 puntos cada uno).
Parte #3: Leyes de las Potencias. Valor: 8 puntos (2 puntos cada uno).
Indicaciones: Aplique primero la ley de las potencias que corresponde a cada problema y luego,
obtenga el resultado final.
1) (2
5)
3
2) (−3)5
3) (−1.2)2
1) 7−1 =
2) (1
7)
−1=
3) (5
3)
−2
4) (−3)−3
1) (0.2)8(0.2)−3 =
2) (−8)5
(−8)2=
3) (
27)
6
(27)
3 =
4) (33)(32) =
50
Parte #4: Potencias de raíces. Valor: 4 puntos (2 puntos cada uno).
Parte #5: Aplicaciones de la radicación. Valor: 2 puntos.
Indicaciones: Exprese su resultado con la unidad de medida correspondiente.
1. Encuentre la longitud de la arista de un cubo, cuyo volumen es igual a 64 𝑐𝑚3
Parte #6: Notación científica. Valor: 2 puntos (1 punto cada uno).
Escriba las siguientes cantidades en Notación Científica:
Indicaciones: Escriba los resultados hasta los centésimos.
1) 0.00000537 =
2) 860 000 =
Parte #7: Radicación de Números Reales. Valor: 5 puntos (un punto cada uno).
1) √√263=
2) √−325
=
3) √−643
=
4) √75𝜋273=
5) √56𝜋104=
1) (√7
7)
2
=
2) (√5)2
=
51
INSTITUTO RUBIANO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PRUEBA FORMATIVA #1. HUMANIDADES
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE NÚMEROS REALES
Preparado por: Prof. José Velarde.
Profa. Xenia Castillo.
Prof. Álex Arosemena.
Prof. Antonio Magallón
Nombre del estudiante: 12° Puntaje Obtenido:
Prueba Formativa.
Valor de la prueba: 35 puntos.
Parte #1: Potencias de números Reales. Valor: 6 puntos (2 puntos cada uno).
Parte #2: El Exponente Negativo. Valor: 8 puntos (2 puntos cada uno).
Parte #3: Leyes de las Potencias. Valor: 8 puntos (2 puntos cada uno).
Indicaciones: Aplique primero la ley de las potencias que corresponde a cada problema y luego
obtenga el resultado final.
Parte #4: Potencias de raíces. Valor: 4 puntos (2 puntos cada uno).
Parte #4: Potencias de raíces. Valor: 4 puntos (2 puntos cada uno).
52
Parte #5: Aplicaciones de la radicación. Valor: 2 puntos.
Indicaciones: Exprese su resultado con la unidad de medida correspondiente.
1. Encuentre la longitud del lado de un cuadrado, cuya área es igual a 81 𝑐𝑚2
Parte #6: Notación científica. Valor: 2 puntos (1 punto cada uno).
Escriba las siguientes cantidades en Notación Científica:
Indicaciones: Escriba los resultados hasta los centésimos.
3) 0.0000049 =
4) 537 000 000 =
Parte #7: Radicación de Números Reales. Valor: 5 puntos (un punto cada uno).
1) √4𝜋10 =
2) √5𝑒4𝜋8 =
3) √36𝑒2𝜋6
4) √81𝑒𝜋2 =
5) √√16 =
53
LISTA DE COTEJO PARA ACTIVIDADES FORMATIVAS O
SUMATIVAS
Puntuación
esperada
Aspectos a evaluar Puntuación
obtenida
Observaciones
2 Limpieza y orden. No se aprecian
borrones, tachones.
3 Entrega el número solicitado de
problemas.
12 Desarrolla correctamente todos
los procedimientos de acuerdo a
las fórmulas y propiedades.
.
3 Expresa adecuadamente el
resultado.
CALIFICACIÓN.