Terminoloogia

Sündmuse tõenäosus:

Elementaarsündmus – Vaadeldava protsessi või läbiviidava katse tulemus. Sündmus – nt: Sündmus A toimub kui katse tulemuseks on üks sündmus A määratavatest

elementaarsündmustest. Vastandsündmus – Toimub siis ja ainult siis kui sündmust ennast ei toimu. Üksteist välistavad sündmused – Kui ühe sündmuse toimumine välistab ülejäänute

toimumise. Kindel sündmus – Kui sündmus on määratud kogu elementaarsündmuste ruumil st A = Ω. Võimatu sündmus – A = Ø, kuna võimatule sündmusele vastav hulk ei sisalda ühtegi

elementaarsündmust, siis võimatu sündmus ei saa toimuda. Sündmuste summa – Sündmuste A1 , A2 ,…, An summaks A nimetame sündmust

A=A1∪ A2∪…∪ An. Hulk A sisaldab kõiki neid elementaarsündmusi, mis kuuluvad

vähemalt ühte sündmustest Ai. Seega võime õelda, et sündmus A toimub parajasti siis kui

toimub vähemalt üks sündmus Ai.

Sündmuste korrutis –Sündmuste A1 , A2 ,…, An korrutiseks A nimetame sündmust A=A1∩ A2∩ …∩ An. Hulk A sisaldab kõiki neid elementaarsündmusi, mis kuuluvad

kõikidesse sündmustest Ai. Seega võime õelda, et sündmus A toimub parajasti siis, kui

toimuvad kõik sündmused Ai. Sündmuse tõenäosus – Arvuline karakteristik, mis lubab võrrelda eri sündmusi nende

toimumise võimalikkuse seisukohalt. Tinglik tõenäosus – Mingi sündmuse toimumise tõenäosus tingimusel, et toimus mingi muu

sündmus. Täistõenäosus – Tavaliselt räägime täistõenäosusest, kui enne katse tegemist tuleb teha valik

mitme erineva katsekeskkonna vahel. Olgu sündmus A selline, et A võib toimuda ainult koos ühega ja ainult ühega sündmuste täielikku süsteemi moodustavatest sündmustest H1, H2, …, Hn. See suhe annab tingliku tõenäosuse P(H i / A)=… selleks, et sündmus A toimus just

nimelt koos sündmusega H i

Juhuslik suurus:

Juhusliku suuruse mõiste – Juhuslik suurus on suurus, mis sõltuvalt juhusest võib omandada erinevaid väärtusi. Nende liigitamise seisukohalt ei ole oluline mitte see, milliseid konkreetseid väärtusi üks või teine juhuslik suurus võib omandada, vaid see, kas võimalike väärtuste hulk on lõplik või lõpmatu.

Diskreetne juhuslik suurus – Kui võib omandada lõpliku või loenduva hulga väärtus. Nt: täringu viskel saadud silmade arv, eksamihinne. (Ei pea olema täisarvud).

Diskreetse juhusliku suuruse jaotus – Eeskiri P(X), mis diskreetse juhusliku suuruse igale väärtusele seab vastavusse selle väärtuse omandamise tõenäosuse.

Diskreetse juhusliku suuruse keskväärtus – Matemaatiline ootus ehk ooteväärtus. Leitakse:

EX=∑xi∈ X

x i p ( x i ).

Diskreetse juhusliku suuruse dispersioon – Hindab hajuvust keskväärtuse suhtes. DX=E ¿,

ehk DX=∑i

( EX−x i )2 p(x i)

Geomeetriline jaotus – Ühtlane jaotus - Kõikide väärtuste esinemistõenäosused on võrdset, st et iga väärtuse tõenäosus on 1/n. Ühtlase jaotuse keskväärtus on tegelikult väärtuste keskmine.

Binoomjaotus - Juhuslikku suurust, mille võimalike väärtuste hulgaks on täisarvud 0,1,2,…,n ja mille jaotus on määratud Bernoulli valemiga, nimetatakse binoomjaotusega juhslikuks

suuruseks. Bernoulli valem: Pn , k=∑k=0

n

Cnk xk yn−k

Poissoni jaotus – Ühe parameetriga jaotus, mida tähistatakse P(λ). Jaotuse parameeter λ ei ole midagi muud kui Poissoni jaotusega juhusliku suuruse keskväärtus kui ka dispersioon.

P (k )= λk

k !e− λ. Piirteoreem B (n , p )=P (n , p )=(np)k

k !e−np

Pidev juhuslik suurus – Kui võib omandada lõpmatu hulga väärtusi. Väärtused on reaalarvud mingist reaalarvude vahemikust. Nt: arbuusi kaal, ühe liitri bensiiniga läbi sõidetud maa pikkus.

Pideva juhusliku suuruse keskväärtus – Pideva juhusliku suuruse keskväärtus on analoogiline diskreetse juhusliku suuruse keskväärtusega, ainult et definitsioonis peame summeerimise asemel kasutama intregeeerimist ja üksikvääruste tõenäosuse asemel kasutame

tihedusfunktsioone. EX=∫−∞

∞

x ∙ f (x) ∙ dx

Pideva juhusliku suuruse dispersioon - Hindab hajuvust keskväärtuse suhtes. DX=E ¿. Standardhälve – Kuna dispersiooni ühik on samuti ruudus, siis selle vältimiseks võetakse

praktikas kasutusele ruutjuur dispersioonist σ =√DX . Jaotusfunktsioon – Funktsioon, mis annab tõenäosuse, et juhuslik suurus X on väiksem

funktsiooni argumendi väärtusest x. Kirjeldab tõenäosuse kumulatiivset kasvu. Kasvab alati 0-st 1-ni, kusjuures väärtus 0 on juhul kui x<xmin ja F(x) kui x>xmax.

Tihedusfunktsioon – Mingi tihedusfunktsioon f(x) kirjeldab seda, milline on tõenäosus antud suuruse konkreetse arvulise väärtuse leidmiseks. Tihedusfunktsioon annab võimaluse arvutada tõenäosust, et antud suurus omaks konkreetset arvulist väärtust.

Kvantiil – Mediaani, kvartiili ja kvantiili üldistus, kui otsitakse juhusliku suuruse väärtust, mille korral jaotusfunktsioon omandab vastava tõenäosuse.

Kvartiil - Mediaankeskmine näitab ära arvu, millest väiksemat väärtust omavad pooled objektid. Alumine kvartiil näitab, seda väärtust, mille korral jaotusfunktsioon omandab väärtuse ¼. Ülemine kvartiil näitab seda väärtust, mille korral jaotusfunktsioon oamandab väärtuse ¾.

Detsiil – Punkt xk on k-s detsiil (k=1,2,…,9) ning näitab siis seda väärtust, mille korral jaotusfunktsioon omandab väärtuse k/10.

Normaaljaotus – Juhuslik suurus on sageli normaaljaotusega, kui juhuslikku suurust mõjutavad paljud faktorid ning iga üksiku faktori mõju on väike. Normaaljaotusega juhusliku suuruse väärtused on lähedased mingile keskmisele, keskmisest suuri kõrvalekaldeid on vähe. Nt: kehakaal, kehapikkus.

Standardiseeritud normaaljaotus – Normaaljaotuse, mille parameetrite väärtused on μ=0 ja σ=1, kohta õeldakse, standartne normaaljaotus.

Laplace’i funktsioon – on standardiseeritud normaaljaotuse jaotusfunktsiooniks. 3σ reegel – Normaaljaotusega juhuslik suurus praktiliselt ei hälbi oma keskväärtusest rohkem

kui kolmekordse standardhälbe võrra. P(μ−3σ<x<μ+3σ )=Φ ¿

Matemaatiline statistika:

Üldkogum – Mingil printsiibil määratletud, vaatluse alla võetav objektide koguhulk. Valim – Üldkogumist valitud objektide hulk. Valimi eesmärk on hinnata meid huvitavaid

üldkogumi karakteristikuid valimi abil. Peab olema piisavalt suur ja koostatud juhuslikult. kogumi alamhulk, mida uuritakse ja mille põhjal tehakse järeldusi kogumi kohta.

Objekt – Indiviid, nähtus, ese, mille kohta kogutakse informatsiooni, mida mõõdetakse vaadeldakse, küsitletakse.

Tunnus - Näitaja, mida mõõdetakse ja mis võib erinevatel objektidel omada erinevaid väärtusi. Tunnused võivad olla uuritavad ja taust- ehk abitunnused.

Punktihinnang – Juhuslik suurus, mis muutub ühelt valimilt teisele ülemineku korral. Punkithinnangu korral pole võimalik leida hinnangu täpsust.

Vahemikhinnang – Määratakse antud valimi jaoks vahemik, millesse otsitav parameeter etteantud tõenäosusega kuulub.

Üldkeskmine – Aritmeetiline keskmine, mis iseloomustab siis kõikide objektide keskmist. Valimikeskmine – Aritmeetiline keskmine, mis iseloomustab siis valimi objektide keskmist. Valimikeskmise standardviga – Kirjeldab sõltuva tunnuse väärtuste keskmist kõrvalekallet

ehk erinevust prognoosist. Standardviga on arvutatav valemiga σ x=σ

√n.

Üldkogumi karakteristik – Üldkogumit iseloomustav tunnus. Usaldusnivoo – Usaldusnivoo näitab tulemuse sattumise tõenäosust mingisse vahemikku.

Tavaliselt võetakse selleks vahemikuks keskväärtusest mõlemale poole ühe standardhälbe σ kaugusele ulatuv vahemik.

Usaldusvahemik –Vahemik (a, b), millesse üldkogumi hinnatav karakteristik ω kuulub tõenäosusega β nimetatakse usaldusvahemikuks.

Olulisusnivoo – on leitav 1- β = α, st. et kui uuritav karateristik asub tõenäosusega β vahemikus (a, b), siis tõenäosusega α me teeme vea.

Usalduspiirid – Läbi usaldusnivoo või olulisusnivoo on leitav usalduspiirid, ehk siis milliste väärtuste vahel karakteristik ω asub tõenäosusega β. Usalduspiirid on arvutatavad valemiga:

X−t a2

,n−1∙

s

√n<μ< X+t a

2,n−1

∙s

√n Hinnangu viga – Mida suurema usaldatavusega tahame anda hinnangut, seda laiem on

usaldusvahemik, ning seda suurem on ka hinnangu viga. Hüpotees – Hinnang karakteristikute arvulisele väärtusele. Hüpoteese võime püstitada mingi

konkreetse karakteristiku kohta, olgu selleks siis üld-keskmine, standardhälve, keskmiste vahe, sagedus või mõni teine karakteristik, aga samuti ka väga mitmete teistsuguste väidete tõestamiseks või ümberlükkamiseks, näiteks – kas tunnuste vahel on seos, kas tunnus on jaotunud eeldatava jaotuse järgi jne.

Kordamisküsimused

A. Sündmus ja tema tõenäosus

Sündmus:

Elementaarsündmus – Vaadeldava protsessi või läbiviidava katse tulemust nimetame elementaarsündmuseks. (Täringu viskamise näide: kuus elementaarsündmust).

Elementaarsündmuse ruum – Suvalise elementaarsündmuste ruumi alamhulk määrab sündmuse. Elementaarsündmuste ruumi tähis – Ω.

Kindel sündmus – Sündmust A nimetatakse kindlaks sündmuseks, kui ta on määratud kogu elementaarsündmuste ruumil, st A = Ω. Seega katse läbiviimisel sündmus A toimub kindlasti, kuna vastavalt elementaarsündmuste ruumi definitsioonile vähemalt üks elementaarsündmus toimub. p(Ω) = 1

Võimatu sündmus – A =Ø on võimatu sündmus, kuna võimatule sündmusele vastav hulk ei sisalda ühtegi elementaarsündmust. Võimatu sündmus ei saa toimuda. p(Ø) = 0

Vastandsündmus – Sündmuse A vastandsündmus toimub siis ja ainult siis kui A ei toimu. A=Ω ¿. Vastandsündmuse vastandsündmus on sündmus ise.

Üksteist välistavad sündmused – Sündmuseid nimetatakse üksteist välistavateks, kui ühe toimumine välistab ülejäänute toimumise. Nt: üliõpilane sooritas eksami või ei sooritanud eksami.

Sündmuste summa - Sündmuste A1 , A2 ,…, An summaks A nimetame sündmust A=A1∪ A2∪…∪ An. Seega sündmus A toimub siis, kui toimub vähemalt üks sündmustest Ai.

Sündmuste korrutis - Sündmuste A1 , A2 ,…, An korrutiseks A nimetame sündmust A=A1∩ A2∩ …∩ An. Seega sündmus A toimub siis, kui toimuvad kõik sündmused Ai.

Sündmuste täielik süsteem – Sündmused A1 , A2 ,…, An moodustavad sündmuste täieliku süsteemi kui nad on üksteist välistavad ainuvõimalikud sündmused.

Tõenäosus:

Mida väljendab sündmuse tõenäosus? Sündmuse toimumise või mittetoimumise võimalikkust.

Defineeri sündmuse klassikaline tõenäosus? Sündmuse A toimumise võimalikkuse määra nimetatakse sündmuse tõenäosuseks P(A). Sündmuse A tõenäosuseks P(A) nimetatakse sündmuse toimumiseks soodsate juhuste arvu m suhet kõigi võimalike juhuste arvusse n, kus

juhused moodustavad elementaarsündmuste ruumi P(A) = mn

. Sageli väljendatakse seda

suhet igapäevaelus protsentides. Piisavalt suure katsete arvu korral läheneb jälgitava sündmuse sagedus tema toimumise tõenäosusele.

Mis on tinglik tõenäosus? Sündmuse A toimumise tõenäosust tingimusel, et toimus sündmus B, nimetatakse sündmuse A tinglikuks tõenäosuseks sündmuse B suhtes. Tähistatakse P(A/B)

ja leitakse valemiga P(A/B)=P (A ∩B)

P(B) Sündmuste summa ja korrutise tõenäosus? Kasutades sündmuste korrutise tõenäosust,

saame leida sündmuste summa tõenäosuse ka üldjuhul, kui ei eeldata, et sündmused on

üksteist välistatavad. Sündmuste A ja B summa tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summa ja korrutise tõenäosuse vahega: P(AUB) = P(A) +P(B) - P(A∩B).Kahe sündmuse A ja B korrutise tõenäosuseks P(AB) nimetatakse arvu, mis saadakse ühe sündmuse tõenäosuse korrutamisel teise sündmuse tingliku tõenäosusega esimese suhtes: P(A∩B)=P(B) P(A/B). Juhul kui sündmuse A toimumine ei sõltu B toimumisest( sündmused on sõltumatud), siis võib korrutamislause välja kirjutada kujul: P(A∩B)=P(B) P(A)

Kuidas määratakse sündmuste sõltuvus (sõltumatus)? Kaks sündmust on sõltuvad, kui ühe toimumine mõjutab teise toimumist nt üksteist välistavad sündmused või tinglikud sündmused. Kaks sündmust on sõltumatud, kui ühe toimumine ei välista teise toimumist. Nt täringu viskel järgmine vise ei sõltu eelmisest – on sõltumatud.

Mis on sündmuse täistõenäosus? Tavaliselt räägime täistõenäosusest, kui enne katse tegemist tuleb teha valik mitme erineva katsekeskkonna vahel. Olgu sündmus A selline, et A võib toimuda ainult koos ühega ja ainult ühega sündmuste täielikku süsteemi moodustavatest sündmustest H1, H2, …, Hn.

Mida annab Bayes’i valem? On võimalik leida sündmuse Hi tinglik tõenäosus eeldusel, et

toimub sündmus A. Valem selle arvutamiseks:

P( H i|A )=P (H i)⋅P( A|H i )

∑j=1

k

P( H j)⋅P ( A|H j ).

B. Juhuslik suurus

Diskreetne juhuslik suurus:

Diskreetne juhuslik suurus – Juhuslik suurus on suurus, mis sõltuvalt juhusest võib omandada erinevad väärtusi. Juhuslike suuruste liigitamisel ei ole oluline, milliseid konkreetseid väärtusi üks või teine juhuslik suurus võib omandada, vaid see, kas võimalike väärtuste hulk on lõplik või lõpmatu. Tegemist on diskreetse juhusliku suurusega, kui ta võib omandada lõpliku või loenduva hulga väärtusi. Erinevalt pideva juhusliku suurusega, mis võib omandada lõpmatu hulga väärtusi.

Diskreetse juhusliku suuruse jaotus – Eeskirja P(X), mis diskreetse juhusliku suuruse igale väärtusele seab vastavusse selle väärtuse omandamise tõenäosuse, nimetatakse juhusliku suuruse (tõenäosuste) jaotuseks. Juhusliku suuruse jaotuse võib anda kas tabelina, funktsioonina, diagrammina või muul sarnasel viisil, mis määrab ära vastavusse juhusliku suuruse väärtuse ja tõenäosuse, et see juhuslik suurus omandab selle väärtuse.

Millised on diskreetse juhusliku suuruse jaotuse esitamise viisid? Diskreetset juhusliku suurust on võimalik edasi anda, kas tabelina, funktsioonina, diagrammina või muul sarnasel viisil, mis seab vastavusse juhusliku suuruse väärtuse ning selle väärtuse tõenäosuse.

Diskreetse juhusliku suuruse keskväärtus – Diskreetse juhusliku suuruse X={…} keskväärtuseks EX nimetatakse kõikide tõenäosuste ja väärtuste korrutiste summat.

EX=∑xi∈ X

x i p ( x i ). Mille poolest erineb diskreetse juhusliku suuruse väärtuste aritmeetiline keskmine

juhusliku suuruse keskväärtusest, millal langevad nad kokku? Keskväärtus on n-ö kaalutud keskmine, mis arvestab ka sündmuste toimumise tõenäosust. Need kaks langevad kokku, kui sündmuste tõenäosused on samad, ehk kui meil on n-ö aus täring, siis iga sündmuse toimumise tõenäosus on 1/6, sellisel juhul oleks nii keskväärtus kui ka aritmeetiline keskmine

sama, kui tegemist oleks n-ö ebaausa täringuga, et ühe silma saamise tõenäosus on 0,5 ning ülejäänute silmade saamise tõenäosus on 0,1, siis oleks keskväärtuseks tulnud 2,5, kuigi aritmeetiline keskmine oleks jäänud samaks. Teisisõnu piisavalt paljude katsete korral oleks viskeseeriate keskmine lähenenud 2,5’le e. keskväärtusele.

Juhusliku suuruse dispersiooni omadused –

1) Dc = 0 (toestada)2) D(cX) = E(E(cX) - cX)2 = E(c2(EX-X)2) = c2E(Ex-X)2 = c2DX3) DX = E(X-EX)2 = E(X2 -2XEX +(EX)2) = EX2 - 2EXEX + E(EX)2 = EX2 - (EX)2

4) D(X + Y) = E(X + Y)2 - (E(X+Y))2 = EX2 + 2 EX EY + EY2 - (EX)2 – 2 EX EY - (EY)2 ==EX2 -(EX)2 + EY2 -(EY)2 = DX +DY5) D(X - Y) = E(X - Y)2 - (E(X-Y))2 = EX2 – 2 EX EY + EY2 - (EX)2 + 2 EX EY - (EY)2 ==EX2 -(EX)2 + EY2 -(EY)2 = DX +DYOlgu X ja Y keskväärtust omavad juhuslikud suurused.

1) Monotoonsus

Kui kehtib alati (st ), siis ka .2) Lineaarsus

iga reaalarvulise ja korral. Muu

hulgas , .

3) Korrutavus

Kui ja on sõltumatud, siis . Üldjuhul ei pruugi see kehtida.

Juhusliku suuruse dispersioon ja standardhälve – Kõrvuti juhusliku suuruse keskväärtusega on juhusliku suuruse iseloomustamisel oluline hinnata ka tema väärtuste hajuvust keskväärtuste suhtes. Hajuvuse määratlemiseks kasutatakse kõige enam dispersiooni ja standarhälvet. Juhusliku suuruse dispersiooniks nimetatakse arvu DX=E ¿. Dispersiooni korral kasutatakse summarse hajuvuse hindamiseks hälvete ruutude summat, et keskväärtuse suhtes erimärgilised hälbed summas ei kustutaks üksteist. Aga kuna ka ühik on dispersioonis ruudus, siis selle vältimiseks võetakse praktikas kasutusele ruutjuur dispersioonist. Arvu σ =√DX nimetatakse juhusliku suuruse standardhälbeks.

Juhusliku suuruse keskväärtuse omadused – 1) Keskväärtus asub kindlasti juhusliku suuruse vähima ja suurima võimaliku väärtuse

vahel, kuid ei tarvitse alati kuuluda suuruse võimalike väärtuste hulka.2) Konstandi keskväärtuseks on alati sama konstant: E(c) = c

Tõestus: Konstanti c võib vaadelda diskreetse juhusliku suurusena, mis tõenäosusega p1=1, saavutab oma ainukese väärtuse, milleks on see

konstant ise: x1=c, seega tema keskväärtus on E (c )=x1 ∙ p1=c ∙1=c

3) Konstantse kordaja võib tuua keskväärtuse tähise ette: E (CX )=c ∙E (X )

Tõestus: (Diskreetse juhusliku suuruse korral)

E (CX )=∑i=1

n

C x i p i=C∑i=1

n

x i p i=C ∙ EX

4) Juhuslike suuruste summa keskväärtus on võrdne nende suuruste keskväärtuste summaga E ( X+Y )=EX+EY

5) Sõltumatute juhuslike suuruste korrutise keskväärtus on võrdne nende suuruste keskväärtuste korrutisega: E ( X ∙Y )=EX ∙EY

6) Juhuslike suuruste summa keskväärtus on võrdne nende suuruste keskväärtuste summaga E ( X−Y )=EX−EY

Diskreetne ühtlane jaotus:

Defineerida diskreetse juhusliku suuruse ühtlane jaotus – Kui katse tulemuseks on diskreetne juhuslik suurus ja erinevate variantide tõenäosused on ühesgused on tegemist diskreetse ühtlase jaotusega.

Leia diskreetse ühtlase jaotusega juhusliku suuruse keskväärtus ja dispersioon – Diskreetse juhusliku suuruse keskväärtus on võrdne aritmeetilise keskmisega, mis on siis arvutatav valemiga:

1n∑i=1

n

x iDispersioon on arvutatav valemiga

DX=∑i=1

n

(x¿¿i−EX)2 ∙ pi ¿

Binoomjaotus:

Binoomjaotus – Juhuslikku suurust, mille võimalike väärtuste hulgaks on täisarvud 0,1,2,…,n ja mille jaotus on määratud Bernoulli valemiga, nimetatakse binoomjaotusega juhslikuks

suuruseks. Pn , k=∑k=0

n

Cnk pk (1−P)n−k

Binoomjaotusega juhusliku suuruse keskväärtus ja standardhälve - Keskväärtus on arvutatav valemiga:

EX=∑k=0

n

k ∙ p(k ) , kus p(k) sündmuse toimumise tõenäosus… Küll aga peale mõningast

lihtsustamist, EX = np

EX=∑k=0

n

k∗p (k )=∑k=0

n

kCnk pk (1−p)n−k

Binoomjaotuse dispersioon on samuti arvutatav lihtsama valemiga DX = npq, seega standardhälve on ruutjuur sellest.

Binoomjaotuse kasutamistingimused: millises situatsoonis saab kasutada binoomjaotust? Binoomjaotust saab kasutada, kui see rahuldab järgmisi tingimusi:

o Juhuslikuks suuruseks X = k on sündmuse esinemise kordade arv 0,1,…,n katseseerias pikkusega n

o Igal katsel vaadeldav sündmus toimub tõenäosusega p, mis on muutumatu kõikide n katse korral

Poissoni jaotus:

Poissoni jaotus –Ütleme, et täisarvulisi väärtusi omav juhuslik suurus k = 0,1,2.. on Poissoni

jaotusega,kui iga väärtuse tõenäosus on leitav valemiga P (k )= λk

k !e− λ ning lambda>0 on

konstant. Poissoni jaotusega juhusliku suuruse keskväärtus ja standardhälve – Poissoni jaotuse

parameeter ei ole midagi muud kui Poissoni jaotusega juhusliku suuruse keskväärtus, seega EX = λ. Pannes EX = λ dispersiooni valemisse selgub, et selle jaotuse DX = λ. Järelikult standardhälve on σ =√ λ .

Poissoni jaotuse kasutamistingimused: millal kasutatakse Poissoni jaotust? Poissoni jaotust kasutatakse kui vaatleme juhuslike sündmuste voogu ajas ning seame eesmärgiks leida kindlas ajavahemikus toimuvate sündmuste arvu tõenäosust.

Poissoni piirteoreem: binoomjaotuse lähendamine Poissoni jaotusega – Binoomjaotuse rakendamisel võivad tekkida arvutuslikud raskused, kus avaldise väärtuse leidmine on piisavalt suur töö, siis teoreem ütleb, et kui juhuslik suurus X on binoomjaotusega B(n,p), siis katsete arvu piiramatul suurendamisel on binoomjaotuse lähendatav Poissoni jaotusega P(λ), kus λ = n·p. Poissoni jaotus lähendab binoomjaotust küllalt hästi just sündmuse toimumise väikeste tõenäosuste korral (p ≤0,1), kusjuures eeldatakse ikka piisavalt suurt katsete arvu. Arvutatav on see, asendades lambda n·p’ga Poissoni valemis.

Pidev juhuslik suurus:

Pideva juhusliku suuruse jaotusfunktsioon ja tihedusfunktsiooni omadused – Juhusliku suurust nimetatakse pidevaks juhuslikuks suuruseks, kui ta võib omandada väärtusi mingist reaalarvude vahemikust. Kuna suvalises reaalarvude vahemikus on lõpmata palju erinevaid väärtusi, siis ei ole pideva juhusliku suuruse võimalike väärtuste hulk piiratud ja üldjuhul on mingi konkreetse väärtuse omandamine võrdne nulliga. Juhusliku suuruse X jaotusfunktsiooniks F(X) nimetatakse funktsiooni, mis annab tõenäosuse, et juhuslik suurus X on väiksem funktsiooni argumendi väärtusest X, mis võib omandada mistahes reaalarvulisi väärtusi.

1) limn→−∞

F (X )=0

2) limn→ ∞

F( X )=1

3) Jaotusfunktsioon on mittekahanev monotoonselt kasvav. See tähendab, et kui x2≥ x1

, siis F(x2)≥ F(x1)

4) 0≤F(x2)≤ 1, see tähendab, et jaotusfunktsiooni graafik asub sirgete y=0, ja y=1 vahel ja kulgeb üldiselt tõusvalt:

5) Pideva juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on pidev6) Kui on teada, et juhusliku suuruse X väärtused saavad asuda ainult vahemikus (a; b),

siis rahuldab jaotusfunktsioon järgmisi tingimusi:

F ( x ) ≡0 , kui x≤ a0≤ F ( x )≤ 1 , kuia<x<bF ( x ) ≡1 , kui x ≥ b

7) Tõenäosus selleks, et juhuslik suurus omandaks väärtusi poollõigust [a; b) on võrdne jaotusfunktsiooni juurdekasvuga selles poollõigus: P (a≤ x<b )=F (b )−F (a)

Tihedusfunktsiooni omadused:1)F (x)≥ 0.

2) limx→−∞

¿0 ja limx→ ∞

¿0

3)∫−∞

∞

f ( x ) dx=1

4)P (a≤ X<b )=∫a

b

f ( x ) dx

Pideva juhusliku suuruse tihedusfunktsiooni, seos jaotusfunktsiooniga ja omadused – Jaotusfunktsiooni on võimalik leida tihedusfunktsiooni kaudu:Kui x1=−∞ ja x2=x, siis P ¿

Teiselt poolt P (−∞<X<x )=P ( X< x )=F (x) ja seega F ( x )=∫−∞

x

p ( x )dx .

Kvantiili mõiste, kvantiili erijuhud – Kvantiil hõlmab nii mediaani, kvartiili kui ka detsiili. Kvantiil xa on juhusliku suuruse väärtus, millest väiksemaid väärtusi omandab juhuslik suurus tõenäosusega a. Matemaatiliselt võib a-kvantiili defineerida järgmiselt: kui F(x) on

jaotusfunktsioon, siis võrrandi F ( xa )=a lahendit xa nimetatakse a-kvantiiliks. Kvantiili

erijuhtudeks on kvartiilid(ülemine ja alumine) ning mediaan. Täiendkvantiili mõiste, seos kvantiiliga – Juhusliku suuruse väärtus, millest suuremaid

väärtusi omandab juhuslik suurus tõenäosusega alfa. Täiendkvantiil on juhusliku suuruse väärtus, millest suuremaid väärtusi omandab juhuslik suurus tõenäosusega a (0≤ a≤1)Kvantiil ja täiendkvantiil on teineteise kaudu avaldatavad: xa=x1−a

Pideva juhusliku suuruse keskväärtuse ja dispersiooni definitsioon – Kui f(x) on pideva

juhusliku suuruse X tihedusfunktsioon, siis arvu EX, mis avaldub kujul ∫−∞

∞

x ∙ f (x ) dx

nimetatakse pideva juhusliku suuruse keskväärtuseks.

Juhusliku suuruse dispersiooniks nimetatakse arvu E( X−EX )2. Kasutades pideva juhusliku

suuruse keskväärtuse definitsiooni, saame valemi kujul: DX=∫−∞

∞

E(X−EX)2 ∙ f ( x )dx .

Normaaljaotus:

Normaaljaotuse definitsioon, parameetrid: keskväärtus ja standardhälve – Juhuslik suurus on sageli normaaljaotusega, kui juhuslikku suurust mõjutavad paljud faktorid ning iga üksiku faktori mõju on väike. Normaaljaotusega juhusliku suuruse väärtused on lähedased mingile keskmisele, keskmisest suuri kõrvalekaldeid on vähe. Nt: kehakaal, kehapikkus. Normaaljaotuseks nimetatakse reaalarvulise juhusliku suuruse jaotust, mille

tihedusfunktsioon avaldub kujul φ ( x )= 1σ √2π

e−( x−μ)2

2σ2

, kus jaotuse parameeter σ>0 ning μ

on reaalarv.

Standardhälve: σ =√DX Normaaljaotuse tihedusfunktsiooni omadused ja sellest tulenev graafiku kuju -

1) Tihedusfunktsiooni graafik on sümmetriline sirge x=μ suhtes2) Moodiks on punkt x=μ3) Asümptoodiks on x-telg

Tuginedes nendele omadustele, näeb normaaljaotuse tihedusfunktsiooni graafiku kuju välja selline:

Sellist graafikut nimetatakse Gaussi kõveraks.

Standardiseeritud normaaljaotuse mõiste – Normaaljaotuse standardhälve ja keskväärtuse sidumine üheks muutujaks, et leida vaadeldava juhusliku suuruse mingisse vahemikku langemise tõenäosust..

3σ reegel - Normaljaotusega juhuslik suurus ei hälbi oma keskväärtusest rohkem kui kolmekordse standardhälbe võrra. P(μ−3σ<x<μ+3σ )=Φ ¿

Normaaljaotust iseloomustavad tunnused - 1) Normaaljaotusega juhusliku suuruse väärtused on sümmeetrilised keskväärtuse

suhtes.2) Normaaljaotusega juhusliku suuruse väärtused on koondunud keskväärtuse ümber ja

ei erine keskväärtusest praktiliselt rohkem kui kolmekordse standardhälbe võrra.3) Juhusliku suuruse tihedusfunktsioonil on Gaussi kõverale sarnane kuju.

Binoomjaotuse lähendamine normaaljaotusega - kui sündmuse esinemise ja mitteesinemise kordade arvu tõenäosused on ligikaudu võrdsed, võib binoomjaotuse ligikaudseks hindamiseks kasutada normaaljaotust, siis kehtivad Laplace lokaalne ja integraalne piirteoreem N (np ;√npq )

Piirteoreemid:

Tsentraalne piirteoreem - Kui ühesuguse jaotusega sõltumatud juhuslikud väärtused x1 , x2 ,…, xn on ühise keskväärtuse μ-ga ja dispersiooniga 62 siis nende juhuslike suuruste aritmeetilise keskmise jaotus liidetavate n kasvamisel läheneb normaaljaotusele

Tsebõševi suurte arvude seadus, tema tähendus - Kui x1 , x2 ,…, xn on ühise keskväärtuse μ-ga ja dispersiooniga 62 sõltumatud juhuslikud suurused siis kehtib valem

limn→ ∞

P(|Sn

n−μ|<ε )=1, kus Sn on juhuslike arvude summa Sn=∑

i=1

n

X i ja ε on kuitahes väike

arv. Teisiti öeldes – samatüübiliste juhuslike suuruste aritmeetiline keskmine läheneb nende juhuslike suuruste ühisele keskväärtusele. Kuna praktikas ei ole alati võimalik kasutada keskväärtuse definitsioone, siis tuleb appi Tsebõševi suurte arvude seadus, mis võimaldab keskväärtuse ligikaudset hindamist.

Bernoulli suurte arvude seadus, tema tähendus - Katse kordamisel lõpmatult arv kordi läheneb sündmuse toimimise sagedus sündmuse esinemise tõenäosusele. Kui n ühesuguse

katse tulemusena vaadeldav sündmus A toimub k korda, siis limn→ ∞

P(|kn−p|<ε )=1, kus ε on

kuitahes väike arv ja p on sündmuse A toimumise tõenäosus ühel katsel. Teisiti öeldes katse kordamisel lõpmatult palju arv kordi läheneb sündmuse toimumise sagedus sündmuse esinemise tõenäosusele. See seadus tuleneb Tsebõševi suurte arvude seadusest ja on tema erijuht.

C. Matemaatiline statistika

Üldkogumi ja valimi karakteristikud:

Mis on üldkogum: objekti ja tunnuse mõiste – Mingil printsiibil määratletud, vaatluse alla võetav objektide koguhulk. Objekt – Indiviid, nähtus, ese, mille kohta kogutakse informatsiooni, mida mõõdetakse vaadeldakse, küsitletakse.Tunnus - Näitaja, mida mõõdetakse ja mis võib erinevatel objektidel omada erinevaid väärtusi. Tunnused võivad olla uuritavad ja taust- ehk abitunnused.

Mis on üldkogumi karakteristik ja milliseid karakteristikuid me vaatleme? Üldkogumi iga tunnuse korral võib leida seda tunnust iseloomustavad karakteristikud, keskmine väärtus, hajuvus keskmise väärtuse s uhtes,sümmeetria kordaja, meediaan jne. Nende väärtused on konkreetse üldkogumi korral üheselt määratud arvulised suurused. Vaatame neid karakteristikuid, mis huvi pakuvad.

Mis on valim; valimi statistikud – Üldkogumist valitud objektide hulk. Valimi eesmärk on hinnata meid huvitavaid üldkogumi karakteristikuid valimi abil. Peab olema piisavalt suur ja koostatud juhuslikult. kogumi alamhulk, mida uuritakse ja mille põhjal tehakse järeldusi kogumi kohta. Valimi statistik on üldkogumi vaadeldava karakteristiku w hinnangu alus, teatud statistiline näitaja.

Mis on valimi tegemise eesmärk – Matemaatilise statistika põhiülesandeks on valimi põhjal teha järeldusi üldkogumi kohta. Seega valimi tegemise eesmärk on hinnata meid huvitavaid üldkogumi karakteristikuid valimi abil. Üldkogumi hindamiseks kasutatav valim peab olema piisavalt suur ja koostatud juhuslikult, st. üldkogumi iga objekt võib sattuda üldkogumisse võrdse tõenäosusega.

Valimikeskmine kui juhuslik suurus, tema keskväärtus ja dispersioon (leida!) – Valimikeskmine on arvutatav aritmeetilise keskmise valemiga. Valimikeskmist kasutatakse üldkeskmise hindamisel. Kuna valimikeskmine on juhuslik suurus, siis saab loomulikult ka tema põhjal tehtud hinnang olla vaid teatud täpsusega hinnanguks. Valimikeskmise keskväärtus on võrdne üldkeskmisega e. E X=μ . Valimikeskmise dispersioon on leitav

valemiga: D ( X )=D ¿, seega kokkuvõttes saime tulemused: E X=μ ja σ x2=σ2

n.

Valimikeskmise dispersioon sõltub üldkogumi standardhälbest ja väheneb valimi mahu kasvades.

Millise jaotuse järgi on jaotunud valimikeskmine kui juhuslik suurus? Eelmises punktis leitud valimikeskmise keskväärtus ja dispersioon üldkogumi ruuthälbega näitavad, et valimikeskmine on sama keskväärtuse ja dispersiooniga määratud juhuslike arvude aritmeetiline keskmine. Vastavalt tsentraalsele piirteoreemile on valimikeskmine kui aritmeetiline keskmine piisavalt suure liidetavate arvu korral (piisab suure valimi korral)

jaotudunu normaaljaotuse järgi. Erijuhul kui vaadeldav tunnus X on normaaljaotusega on valimieskmine, kui normaaljaotusega juhuslike suuruste summa, jaoutunud normaaljaotuse järgi ka väikeste valimite korral

Valimi standardhälve kui juhslik suurus, tema keskväärtus – Nagu ka valimikeskmine X , nii

on ka valimi ruuthälve s=√ 1n−1

¿¿¿ juhuslik suurus ning me võime leida tema, kui juhusliku

suuruse, karakteristikud.

Punktihinnang:

Mis on üldkogumi karakteristiku punktihinnang? Juhuslik suurus, mis muutub ühelt valimilt teisele ülemineku korral. Punkthinnangu korral pole võimalik leida hinnangu täpsust.

Mis on efektiivne hinnang; too efektiivse hinnangu näide - Nihutamata hinnangut, mille standardviga läheneb nullile, nimetatakse efektiivseks punkthinnanguks. Tuginedes ülalöeldule võime öelda, et valimikeskmine on üldkeskmise efektiivseks hinnanguks. Efektiivse hinnangu näiteks võiks olla, kui valimi asemel on võimalik küsitleda tervet kogumit, mille kohta järeldusi tehakse. Sel juhul tuleks standardvea väärtus null ning tegu oleks efektiivse hinnanguga.

Valimi pohjal arvutatud juhusliku suuruse vaartust nimetatakse uldkogumi karakteristiku nihutamata hinnanguks, kui selle juhusliku suuruse keskvaartus on vordne hinnatava karakteristikuga.

Üldkeskmise vahemikhinnang:

Milline erinevus on punktihinnangul ja vahemikhinnangul? Vahemikhinnangu korral leitakse vahemik, millesse hinnatav karakteristik kuulub ning antakse hinnang usaldatavusele. Punktihinnang ei pruugi olla usaldusväärne. Vahemikhinnang sisaldab rohkem informatsiooni.

Mis on usaldusvahemik ja mis on usaldusnivoo? Usaldusvahemik –Vahemikku (a, b), millesse üldkogumi hinnatav karakteristik w kuulub tõenäosusega β nimetatakse usaldusvahemikuks.Tõenäosust beeta nimetatakse usaldusnivooks ning a,b usalduspiirideks.Olulisusnivoo – on leitav 1- β = α, st. et kui uuritav karateristik asub tõenäosusega β vahemikus (a, b), siis tõenäosusega α me teeme vea.

Millisest võrrandist lähtume üldkeskmise vahemikhinnangu tuletamisel? Millised suurused on siin ette antud ja millised tuleb leida? Üldkeskmise vahemikhinnangu valemi põhikujuks

on: X−z a2

∙s

√n<μ< X+za/2∙

s

√n. Enne üldkeskmise vahemikhinnangu leidmist sõltub meie

valimi valik kolmest tingimusest:1) Kas tegemist on suure valimiga või väikse valimiga – valimi maht2) Kas meil on teada standardviga.3) Tunnuse jaotus väikse valimi korral – kas tegemist on normaaljaotusega või mitte.Kui on teada standardviga, siis sobib ülalantud valem. Juhul kui standardviga ei ole teada, siis

see on arvutatav valemiga: s=√ 1n−1∑i=1

n

(x i−X )2. Väikese valimi korral, juhul kui tegemist

on normaaljaotusega, tuleks peale s’i asendada ka täiendkvantiil ning selle asemel võtta t-jaotuse täiendkvantiil kohal t a /2. Juhul kui väikese valimi tunnuse jaotus on teadmata, siis ei ole midagi teha.

Tuletada vahemikhinnang ülkeskmisele suure valimi korral – Suure valimi korral on

vahemikhinnang leitav valemiga: X−z a2

∙s

√n<μ< X+za/2∙

s

√n.

Millised on üldkeskmise vahemikhinnangu erijuhud sõltuvalt sellest, kas standardhälvet teame või ei -

Valimi suuruse määramine:

Milles sesineb valimi mahu määramise probleem? Millal on tarvis enne uurimist määrata valimi piisav suurus? Tihtipeale tahame, et hinnatav karakteristik ei erineks tegelikust väärtusest rohkem kui lubatava vea võrra mingil usaldusnivool. Et aga lahendada sarnane probleem, peab olema piisavalt suur valim. Üldiselt kehtib valimi mahu määramisel põhireegel – mida suurem on valim, seda põhjalikumat analüüsi saab teha, kuid majanduslikest kaalutlustest lähtudes – mida väiksem on valim, seda odavam on uuringut läbi viia.

Leida üldkeskmise vahemikhinnangu korral valimimahu määramise eeskiri – Praktikas ei ole valimi mahu määramiseks ilusat matemaatilist lahendust sellele probleemile. Praktikas kasutatakse valimi mahu määramiseks „vea ja eksituse“ meetodit. Kõigepealt koostatakse nn. proovivalim, mille maht määratakse suvaliselt: olgu selleks n0. Proovivalimi korral leitakse

tema standardhälve s0=s (n0) ja arvutatakse sellest tulenevalt valimimaht.

n1=(z a2

∙s (n0 )

ε )2

või n1=(t a2

∙s ( n0 )

ε )2

Kui selgub, et n1>n0, siis see tähendab, et proovivalim oli väike, tuleb valimit suurendada.

Seega tuleb üldkogumist valida täiendavalt n1−n0 elementi. Protsessi korratakse seni, kuni

mingil sammul nõutav valimi maht on väiksem vajalikust, st ni+1<ni.

Suhtelise sageduse vahemikhinnang:

Milles seisneb väide, et suhteline sagedus on erijuht üldkeskmisest? Kuna nende hindamise üldpõhimõtted on samad. St. et koostatakse valim ja valimi põhjal antakse hinnang suhtelisele sagedusele üldkogumis.

Suhteline sagedus üldkogumis ja valimis – Üldkogumis vastab üldkeskmisele μ. σ avaldub kujul σ=√ pq.

Valimi suhtelise sageduse keskväärtus ja dispersioon - Valimis vastab üldkeskmisele μ ja

keskväärtusele DX= pqn

.

Suhtelise sageduse hinnangu valemi saamine üldkeskmise hinnangu valemist – Valimi suuruse leidmine suhtelise sageduse hindamisel - Nagu üldkeskmise hinnangu

korralgi, saab ka sageduse hinnangus leida valimi suuruse, mis usaldusnivool 1-a tagab, et usalduspiirid jäävad etteantud lubatavast veast ε väiksemaks. Selleks lähtume vaehinnangust

ε 0=za /2∙√ pqn

ja siit leiame n=za /2 ∙ pq

ε02 . Samuti üldkeskmisele võrdleme saadud tulemust

hetke valimimahuga.

Hüpoteesid:

Hüpoteeside püstitamise ja kontrollimise olemus – Hüpoteese võime püstitada mingi konkreetse karakteristiku kohta, olgu selleks siis üldkeskmine, standardhälve, keskmiste vahe, sagedus vms. Peale valimi moodustamist arvutame valimi statistiku kui üldkogumi vaadeldava karakteristiku hinnangu. Sõltuvalt sellest, mis suhtes on arvutatud statistik püstitatud hüpoteesi karakteristikuga antakse hinnang väitele.

Hüpoteeside tüübid (kahepoolne ja ühepoolsed) – Kahepoolne hüpotees: Selle hüpoteesipaari korral on sisukas hüpotees väide, et üldkogumi karakteristik ei ole võdeline meie poolt arvatava väärtusega.Hüpotees „suurem“: Selle hüpoteesipaari korral on sisukas hüpotees väide, et vaadeldava üldkogumi karakteristik w on suurem meie poolt arvatavast väärtusest.Hüpotees „väiksem“: Selle hüpoteesipaari korral on sisukas hüpotees väide, et vaadeldava üldkogumi karakteristik on väiksem meie poolt arvatavast väärtusest.

Hüpoteeside kontrollimise põhimõtted: nullhüpoteesi juurde jäämise põhimõte kahepoolse ja ühepoolsete hüpoteeside korral – Kahepoolse hüpoteesi korral kui oletame, et kehtib nullhüpotees, siis tõestame sisukat et väita vastupidist. Ühepoolsete hüpoteeside korral kui leidsime, et jääme nullhüpoteesi juurde, siis valim ei kummuta nullhüpoteesi. Küll aga kui eelnevalt tõestasime sisuka hüpoteesi, siis tekib küsimus, kas valimikeskmine on oletatavast üldkeskmisekst piisavalt palju väiksem, et võtta vastu alternatiivne hüpotees. Selle kontrollimiseks leiame kontrollstatistiku ning sellele vastava olulisustõenäosuse. Kui olulisustõenäosus on piisavalt väike, siis võime vastu võtta alternatiivse hüpoteesi.

Üldkeskmise kohta käiva kahepoolse hüpoteesi kontrollvalemi tuletamine - Lubatud kõrvalekalle, mille korral jääme usaldusnivoo 1-alfa nullhüpoteesi juurde on leitav: P(|X -μ0|<ε α)=1-α . Otsitav suurus ε α=zα /2*δ x . Nullhüpoteesi juurde jääme, kui kehtib võrratus ¿ X−μ0∨

¿δ x

¿<zα /2 ja alternatiivse võtame vastu, kui ….≥ zα /2. Z= X−μ0

δ x on teststatistik või kontrollstatistik. Nullhüpotees, kui |Z|<zα /2.

Üldkeskmise kohta käivate ühepoolsete hüpoteeside kontrollvalemite tuletamine – Nullhüpoteesi juurde jääme tingimusel X<(w0+ε a). Tingimus X<(μ0+ε a). Nullhüpoteesi

kriteerium: Z<za. Sageduse (protsendi) kohta käivate hüpoteeside kontrollvalemite tuletamine lähtudes

hüpoteesidest üldkeskmise kohta – Sageduse korral on samuti tegemist üldkeskmise erijuhuga. Suurte valimitek korral on valimikeskmine X (praegu p) tsentraalse piirteoreemi kohaselt jaotunud normaaljaotusega ning peab paika kõik, mis ka üldkeskmise hüpoteeside

korral.Normaaljaotusega a-täiendkvantiiliga võrreldav teststatistik Z asendub tähendusi arvestades teststatistiku kujul:

Z=(X−μ0)

σ x

=( p−p0)√n

√ p0q0

Kui hüpoteeside üldkeskmise kohta oli väikese kontrollvalimi

korral võimalik kasutada Studenti jaotuse täiendkvantiile, siis sageduse hindamisel seda teha ei saa

Üldkeskmiste vahe kohta käivate hüpoteeside tõestamine üldkeskmise hüpoteesidest –

Juhusliku suuruse jaotuse leidmine:

Jaotuse leidmise põhimõte – Ei ole olemas sellist meetodit, mille korral, lähtudes uuritava juhusliku suuruse väärtustest, saab vahetult tuletada tema jaotuse. Jääb üle üks tee – püstitada oletus jaotuse kohta, teha valim ja vaadata, kas meie oletus sobib või ei. Tüüpiline hüpoteeside püstitamise ja kontrollimise skeem. Üldjuhul antakse juhusliku suuruse jaotus eeskirjaga (funktsiooniga), mis määrab tema vahemikku langemise tõenäosuse. Peame võrdlema juhusliku suuruse vahemikku langemise sagedusi eeldatava jaotuse F0(Q) korral vahemikku langemise sagedustega valimis. Seega omavahel on tarvis võrrelda väärtuste tabeleid. Kui erinevus nende vahel on küllaltki väike võib arvata, et nullhüpoteesis antud jaotus kirjeldab piisavalt hästi juhusliku suurust.

Jaotuse kindlaks tegemise kontrollstatistiku olemus - Teststatistik on valimifunktsioon, mis mõõdab erinevust nullhüpoteesis väidetu ja andmetest ilmneva vahel – kui erinevus on piisavalt suur, kummutatakse nullhüpotees.Kui teststatistiku absoluutväärtus on suurem kui tema nullhüpoteesipõhise jaotuse kriitiline väärtus, loetakse õigeks H 1. (kui h≥ ha , f )