CAPTULO1Sistemas de Equaes Lineares com CoecientesReais1. IntroduoUm conjunto dem equaes na forma(1.1)n

i=1aikxk = bi, i = 1, . . . , mchamadosistema()comnincgnitas, tambmrepresentadopeloprodutodematrizes:() : AmnXn1 = Bm1, ondeA = (aij)i=1,...,mj=1,...,n, B = (bi1)i=1,...,m, X = (xi1)i=1,...,nO conjunto de solues de () ser dado por [] = Xn1 [AX=B, i.e.,Xsatisfaz todasas equaes de (1.1).Afirmao. [] = [

], onde(

)obtidode()atravsdeumnmeronitode operaes elementares do tipo (1),(2) e (3), que consistem em:(1) Trocar a ordem de duas linhas de ().(2) Multiplicar umalinha de () por um escalar1k, k ,= 0.(3) Substituir a i-sima linha pela soma da i-sima com a j-sima linha de ().Demonstrao. Paraprovar (1), bastavericar que, aplicadaaoperao(1), asequaesdosistema(

)aseremsatisfeitassoasmesmade(), oquetrivialmente implica o mesmo conjunto soluo.Para provar (2), seja ai-sima linha de () multiplicada pork,k ,= 0,kn

j=1aij = kbiComok escalar no-nulo, ai-sima linha de (

) igual i-sima linha de ().Assim, (

) = (), o que implica [

] = [].Finalmente, para provar (3),(a) SejaX0 tal que satisfaa ().Obtendo (

) por (3), temos que todas as equaes de (

), exceto a i-sima,permanecem inalteradas, sendo portanto satisfeitas porX0.Para que X0 satisfaa tambm a i-sima equao de (

), necessrio que paraX = X0 verique-sen

k=1(aik + ajk)xk = (bi + bj) =n

k=1aikxk +n

k=1ajkxk = bi + bj1Por escalar, entenda-se qualquer nmero real12 1. SISTEMASDEEQUAESLINEARESCOMCOEFICIENTESREAISOuseja, X0devesatisfazerai-ej-simalinhade(), oqueverdadeporhiptese.Portanto,X0 satisfaz (

) = [] [

].(b) SejaY0tal que satisfaa (

). Logo, pela operao (3), todas as equaes de(), exceto ai-sima, so iguais s de (

), sendo portanto satisfeitas porY0.ComoY0 satisfaz i-sima equao de (

) e j-sima equao de (), entoY0 satisfaz diferena entre as duas,n

k=1(aik + ajk)xk n

k=1ajkxk = (bi + bj) bj =n

k=1aikxk = biOuseja, Y0satisfaztambmi-simaequaode(). Portanto, todasasequaes de () so satisfeitas porY0 = [

] [].Com isso, conclumos que [] =[

] 2. Mtodo de Soluo do Sistema por EscalonamentoComo acabamos de vericar na seo anterior, cada vez que aplicamos qualquerumadasoperaes(1),(2)e(3)em(),obtemosum sistema(

)com amesmasoluo. Dizemosportantoque()e(

)soequivalentes. Assim, seaplicamosessas operaes elementares de forma sistemtica, chegaremos a um sistema equiv-alente ao inicial que poder ser resolvido por inspeo. Este consite no chamadoMtodo de Soluo do Sistema por Escalonamento da Matriz Aumentada2, onde amatriz aumentadaDmn de () dada por(2.1) Dmn+1 =___(aij)i=1,...,mj=1,...,n(bij)i=1,...,mj=n+1Apresentaremos a seguir exemplos prticos de aplio do mtodo.Exemplo 1.1. Consideremos o seguinte sistema linear:(2.2)__1 2 402 4 181 3 5____xyz__=__68387__A matriz aumentada associada a tal sistema (2.3)__1 2 40 682 4 18 381 3 5 7__Primeiramente, devemos obter 1 como entrada em a11, o que pode ser feito atravsda operao (1) ou (2). Optamos por aplicar (1),__1 3 5 72 4 18 381 2 40 68__O prximo passo zerar as demais entradas da primeira coluna.Paratanto, podemossegundoaoperao(2)multiplicaralinha2por(12)e2tambm conhecido como Mtodo de Gauss-Jordan2. MTODODESOLUODOSISTEMAPORESCALONAMENTO 3somar a ela a linha 1 1 pela operao (3)__1 3 5 71 2 9 191 2 40 68____1 3 5 70 1 4 121 2 40 68__Somando a linha 1 linha 3__1 3 5 70 1 4 120 5 35 75__Repetindo o procedimento, devemos obter a22 = 1 e zerar a entrada em a32. Comoj temosa22 = 1, basta multiplicar a ltima linha por (15) e somar a linha 2 a ela.__1 3 5 70 1 4 120 1 7 15____1 3 5 70 1 4 120 0 3 3__E por m, multiplicando a linha 3 por (13)__1 3 5 70 1 4 120 0 1 1__Esta a forma escalonada da matriz (2.3).Assim, o sistema (2.2) reduz-se __1 3 50 1 40 0 1____xyz__=__7121__cuja soluo x = 60 y = 16 z = 1Nessecaso, temosaseguinteinterpretaogeomtrica: cadaequaodestesistemarepresentaumhiperplano2-dimensionais emR3. Temos portantotrshiperplanos que interseccionam-se exatamente no ponto (60, 16, 1).Exemplo 1.2. Dado o sistema ():(2.4)____4 4 68 166 48 276 301 1 3 23 3 9 6______xyw__=____2896927____Pelo mtodo de escalonamento:4 1. SISTEMASDEEQUAESLINEARESCOMCOEFICIENTESREAIS____4 4 68 16 286 48 276 30 961 1 3 2 93 3 9 6 27________1 1 3 2 96 48 276 30 964 4 68 16 283 3 9 6 27________1 1 3 2 91 8 46 5 161 1 17 4 71 1 3 2 9______1 1 3 2 90 7 49 7 70 0 0 0 0______1 1 3 2 90 1 7 1 10 1 7 1 10 0 0 0 0________1 1 3 2 90 1 7 1 10 0 0 0 00 0 0 0 0____Assim, nosso sistema () acaba reduzido a(2.5)_x+y 3z + 2w = 9y + 7z w = 1Resolvendo o sistema (2.5) em funo dos parmetros livres e R, temoscomo soluo(x, y, z, w) = (8 + 10 3, 1 7 + , , ) (2.6)que pode ser reescrito como(x, y, z, w) = (8, 1, 0, 0) + (10, 7, 1, 0) + (3, 1, 0, 1) (2.7)Podemos interpretar geometricamente o sistema, com cada equao represen-tando um hiperplano 3-dimensionais em R4, sendo que os hiperplanos dados pelaterceira e quarta equaes de (2.4) coincidem. A interseco desses quatro hiper-planos resulta num subespao am 2-dimensionais, parametrizado em (2.6).3. Sistemas Homogneos AssociadosA todo sistema linear () em Rn, podemos associar um sistema linear homog-neo (0), dado por(3.1) (0) : AX = 0Denimos como uma transformao linear3(X) := AXcujo espao nulo (kernel) um subespao linear de Rndado porker := X Rn[ (X) = 0Concluimos portanto que o espao soluo [0] ser justamente o kernel de.Podemos determinar o espao soluo [] a partir do kernel de.(3.2) [] = ker +XB = [0] +XBonde [0] a soluo de (3.1) eXB uma soluo particular de ().3A ser estudado detalhadamente em lgebra Linear4. EXERCCIOS 5No exemplo 1.2, o sistema homogneo associado seria____4 4 68 166 48 276 301 1 3 23 3 9 6______xyw__=

0Oespao soluo desse sistema seria o subespao 2-dimensionais de R4,parametrizado porker = (x, y, z, w) = (10, 7, 1, 0) + (3, 1, 0, 1), , RUmapossvel soluoparticular paraosistemano-homogneo(2.4)seriaoponto (x, y, z, w) = (12, 4, 1, 2). Assim, por (3.2), obteramos como soluo para(2.4) o mesmo subespao parametrizado em (2.6),[] = (x, y, z, w) = (12, 4, 1, 2) + (10, 7, 1, 0) + (3, 1, 0, 1), , R4. Exerccios(1) Determinara eb para que o sistema abaixo seja possvel e determinado :___3x 7y = ax + y = b5x + 3y = 5a + 2bx + 2y = a + b 1(2) Determinar o valor dek para que o sistema_x + 2y + kz = 12x + ky + 8z = 3tenha :(a) soluo nica;(b) nenhuma soluo;(c) mais de uma soluo.(3) Resolver, por escalonamento, os seguintes sistemas, expressar as soluesem termos de geradores e interpretar geometricamente os resultados obti-dos :(a)_4x + 3y z + t = 0x y + 2z t = 0(b)___x + 5y + 4z 13w = 33x y + 2z + 5w = 22x + 2y + 3z 4w = 1(c)___x y + 2z t = 03x + y + 3z + t = 0x y z 5t = 0(4) Dado o sistema___3x + 3y 2z t = 25x + 2y + z 2t = 12x y + 3z t = 1(a) Determine a soluo do sistema homogneo associado.(b) Determine a soluo do sistema dado.(c) Expresse a soluo anterior em termos de geradores.6 1. SISTEMASDEEQUAESLINEARESCOMCOEFICIENTESREAIS(5) Resolva o sistema_2u +3v= 81u 1v= 1(6) Discuta os seguintes sistemas(a)___x + z = 4y + z = 5ax + z = 4(b)___x + z + w = 0x + ky + k2w = 1x + (k + 1)z + w = 1x + z + kw = 2(c)_x + my (m + 1)z = 1mx + 4y + (m1)z = 3(d)___2x + 4y + 3z = 96x + 7z = 134x + 2y + az = b(7) Qualacondionecessriaesucienteparaqueasoluodosistemalinear_x 4y = a6x + ky = bseja um par de nmeros inteiros, quaisquer que sejama eb inteiros ?(8) Sabendo que o sistema___x + y + z = 1mx + 2y + 3z = 7m2x + 4y + 9z = 1admiteumanicasoluo, podemosconcluirque mpodeassumirtodos os valores do intervalo real :(a) [0,1] (b) [1,2] (c) [2,3] (d) [3,4] (e) [0,4](9) Seja__a 0 b 2a a 4 40 a 2 b__amatrizampliadadeumsistemalinear. Paraquevaloresdeaebosistema admite :(a) soluo nica(b) soluo com um parmetro(c) soluo com dois parmetros(d) nenhuma soluo(10) Discuta a soluo do sistema___3x + 5y + 12z w = 3x + y + 4z w = 62y + 2z + w = 5Acrescente a equao 2z +kw = 9 a este sistema e encontre um valordek que o torne impossvel.4. EXERCCIOS 7(11) Determine os valores de a, b e c que faam com que o graco do polinmiop(x) = ax2+ bx + c passe pelos pontos (1, 2), (1, 6), (2, 3).(12) Dadosf(x) = ax2+ bx + c eg(x) = 2ax + b, determine os valore dea,bec para quefpasse pelos pontos (1, 0), (2, 9) e que 2 seja raiz deg.(13) Determinar os polinmios reais q(x) do segundo grau que vericam a iden-tidadeq(x) = q(1 x)x R.(14) Considereasmatrizesreais: A=_3 11 1_eB=_xy_ ,=_00_.Determine valores reais parak, x ey tais queAB = kB.(15) Repita o exerccio anterior para as matrizes_2 11 2_,_11 1212 4_e_1 11 1_Esteexercciomerecealgumcomentrio. Cadavalorobtidoparaoescalark chamado um autovalor da matrizA, e cada soluoB corre-spondente chamada de autovetor deA associado ao autovalork. Vocseria capaz de interpretar geomtricamente a situao com a qual estamoslidando ?(16) Encontre os autovalores e os autovetores das seguintes matrizes :__5 0 11 1 07 1 0__,__4 2 01 1 00 1 2__,__3 0 40 3 50 0 1__(17) Considere os seguintes sistemas lineares abaixo, onde os coecientes tomamvalores no corpo dos complexos (C)._2x + (1 + i)y + w = 03y 2iz + 5w = 0_ _1 +i2_x + 8y iz w = 023x 12y + z + 7w = 0Osegundosistemapodeserobtidoapartirdoprimeiroatravsdeoperaes elementares ?(18) Encontre todas as solues do sistema_(1 i)x iy = 02x + (1 i)y = 0(19) ConsidereosistemadeequaesAX=0, ondeA=_a bc d_umamatriz com coecientes complexos. Mostre que :(a) Sead bc ,=0, osistemaAX=0possuiapenasasoluotrivialx = y = 0.(b) Sead bc = 0 e alguma entrada deA no nula, ento existe umasolo(x0, y0)tal que(x, y)soluose, esomentese, existeumescalar complexok tal quex = kx0ey = ky0.(20) Encontre duas matrizes 2 2 distintas tais queA2= 0 masA ,= 0.(21) SejamA, Bmatrizes tais queAB=I,ondeI a matriz identidade daordemnecessria. MostrequeBA=I. Istovlidoparamatrizesdequaisquer ordens ?(22) Seja_C11C12C21C22_uma matriz 22. Mostre que existem matrizes 22 tais que C = ABBAse, e somente se,C11 + C22 = 0.8 1. SISTEMASDEEQUAESLINEARESCOMCOEFICIENTESREAIS(23) Mostre que a matriz_____112

1n1213

1n+1............1n1n+1

12n1_____ inversvel.CAPTULO2Vetores1. Denio algbricaA seguir, deniremos axiomaticamenteum espao vetorial real (Rn).Definio 2.1. Um espao vetorial real Rn estabelecido pela seguinte estru-tura:(1) O conjunto de todas as n-uplasX = (x1, . . . , xn), comx1, . . . , xn R.(2) Duas operaes, denominadas Soma e Multiplicao por escalar, denidasde forma a possuirem as seguintes propriedades.SejamX=(x1, . . . , xn), Y =(y1, . . . , yn), Z =(z1, . . . , zn) Rner, s R.Propriedades da Soma(S1) X +Y= Y+X(S2) (X +Y ) +Z = X + (Y+Z)(S3) Existe um nico elementoO tal queO +X = X(S4) Para cada elementoXexiste um nico elemento Xtal queX + (X) = 0.Propriedades da Multiplicao por escalar(M1) r(X +Y ) = rX + rY(M2) 1 X = X(M3) r s(X) = r(s X)(M4) (r + s)X = rX + sXAssim, denimos as duas operaes como(A) A somaX +Y dada porX +Y= (x1 + y1, . . . , xn + yn)e portanto tambm pertence a Rn.(B) A multiplicao por escalarrX dada porrX = (rx1, . . . , rxn)e portanto tambm pertence a Rn.2. Denio GeomtricaAnoomais primriaquetemos devetor aqueladecarter puramentegeomtrico, amplamente usada na Fsica para representar foras, velocidades, mo-mentos, etc. Issonosmotivaaformularumadeniogeomtricaparavetores,restrita aR2eR3.1Definio 2.2. A uma classe de equivalncia de segmentos de reta orientadoschamamos de vetorv. Portanto, todas as setas com mesma magnitude, direo esentido constituem uma mesma classe de equivalncia e so representadas por umvetor v.1Espao euclidiano bi e tridimensional, respectivamente.910 2. VETORESPara um vetor v emR2ouR3denimos geometricamente as operaes de somae multiplicao por escalar (Fig.1), que tm como consequncia o mesmo elenco depropriedades dadas em (A) e (B), agora, porm, derivadas a partir da geometria conforme exemplicado nas Fig.2 e Fig.3.-v + w*vU wv + w:33rvvr v:Figura1. Soma e Multiplicao por escalar emR21x1xjyjy-x + y = y + xFigura2. Propriedade Comutativa, pela soma dos lados do par-alelogramo emR2.-x + y3xUy-rx + ry3rxUryr(x + y) = rx + ryFigura3. Propriedade Distributiva, por semelhana de tringu-los emR2.3. A equivalncia entre denao algbrica e denio geomtricaPorora,nosrestringiremosaR2. Todososresultadosaquiderivadospodemser analogamente estendidos aR3.Demonstraremos a seguir que todo vetor v R2pode ser unicamente determi-nado por uma dupla (a, b).Demonstrao. EmR2, xamos umponto0doplano(origem). Em0,xamos um par ordenadode vetores no-colineares e1, e2.3. AEQUIVALNCIAENTREDEFINAOALGBRICAEDEFINIOGEOMTRICA11-e1

e2-

3ae1be2vFigura4. Representao nica de v, por soma de vetoresPelaFig.4, vemosquetodov R2podeserrepresentadodemaneiranicaatravs da soma de vetoresv = ae1 + be2,a, b Rpois se houvesse uma segunda representaov = a

e1 + b

e2,a

, b

Rento

0 = (a a

)e1 + (b b

)e2(a a

)e1 = (b b

)e2 =_(1) e1 e e2 so colineares ou(2) a = a

eb = b

Por hiptese, e1 e e2 no so colineares, o que invalida (1). Resta-nos (2), queimplica unicidade de coordenadas para v.Assim, podemos representar unicamente v por(3.1) v (a, b)

Teorema 2.1. Sev (a, b) ew (c, d) entov + w = (a + c, b + d)Para demonstrao, vide Fig.5.-6*v

w

v + waba + cb + dFigura5. Teorema 2.112 2. VETORESTeorema 2.2. Sev (a, b) er escalar,rv = (ra, rb)Para demonstrao, vide Fig.6.-e1

e2-

*ae1be2v-

*(ra)e1(rb)e2rvFigura6. Teorema 2.2De maneira anloga,dado um par(a, b) R2(sempre com e1, e2 e0 xosemR2) temosR2 (a, b) v R2tal que v = ae1 + be2com as propriedades(a) (a1, b1) + (a2, b2) v1 +v2(b) (a, b) vPortanto,oponto0 (que agoratambm podeseridenticado por

0) eo parordenado e1, e2xadosnospermitemumaidenticaoentre R2eR2, quere-speita soma e multiplicao por escalar, e, consequentemente, suas respectivas pro-priedades (seo 1).Exemplo2.1. Numplanocartesiano, dadosospontos A=(a1, a2)eB=(b1, b2), determinaremos a seguir qual o vetor c que vai deA aB.Noplanoxy, tomamoscomoponto

0aorigemdoplanoecomo e1, e2osvetores unitrios sobre os eixosx ey, i = (1, 0) e j = (0, 1).O pontoA = (a1, a2) deste plano pode ser identicado atravs do vetor a, quevai da origem ao ponto A. Da mesma forma, o ponto B = (b1, b2) tambm pode seridenticado atravs do vetor b,indo da origem ao pontoB. Dessa forma,c podeser facilmente encontrado atravs da soma de vetores

b +(1)a. Pelos teoremas 2.1e 2.2, teremos c (b1 a1, b2 a2).Analogamente, emR3, dadosospontos A=(a1, a2, a3)e B=(b1, b2, b3),teremosqueovetor ABquevai dopontoAaopontoB AB (b1 a1, b2 a2, b3 a3).Exemplo2.2. Exemplicaremosaseguircomoaescolhade e1, e2afetaaidenticao entre R2eR2.Dado o vetorv, tomamos e1, e2 = i,j e a origem 0. Podemos descrever ovetor v como v (9, 7) (dado).Tomaremos agora os vetores e

1, e

2 = (1, 2), (5, 3) (em relao origem ea e1, e2, estabelecidos inicialmente). Mantendo a origem e usando este novo parordenado de vetores, a descrio de v ser alterada para v (6, 1).Aquitorna-seevidenteaimportnciadopar e1, e2serordenado: seaoin-vs de e

1, e

2 = (1, 2), (5, 3) tivssemos tomado e

1, e

2 = (5, 3), (1, 2), adescriodevseriaalteradaparav (1, 6). Portanto, aordenaoadotadano4. EXERCCIOS 13conjuntodenvetoreslinearmenteindependentesintereferenadescriovetorialpor meio den-uplas.4. ExercciosWexler, C., Analytic Geometry A vector approach.Grupos de Exerccios2-1, 2-2 e 2-3.CAPTULO3Independncia Linear em Rn1. IntroduoVimosnocaptuloanteriorqueumvetorvemR2podeserrepresentadoapartir de e1, e2 no-colineares, atravs da combinao linear v = ae1 + be2.EmRn, interessa-nossaberquantosvetoreseipodemosencontrar, taisquenenhum deles possa ser expresso como uma combinao linear dos demais vetoresei. Dizemos nesse caso que ei = e1, . . . , ekso linearmente independentes.Definio3.1. Dados vi=v1, . . . , vk Rn, dizemosquetaisvetoressolinearmente independentes quando(1.1)k

i=1ivi =

0 se e somente se 1 = . . . = k = 0Se o conjunto de vetores vi no linearmente independente, dizemos que ento linearmente dependente.A denio nos arma portanto que o vetor 0 possui uma representao nica que a trivial atravs da combinao linear dos vetores em vi.Na prtica, o conceito de independncia linear implica que, xadosv1, . . . , vklinearmente independentes, ento qualquer u Rnou representado de forma nicapor combinao linear de vi ou no existebi, i = 1, . . . , k tal queu =

ki=1 bivi.Demonstrao. Sejau tal que possa ser representado por uma combinaolinear de vi,u =k

i=1civiSuponhamos que esta representao no nica. Ento,u =k

i=1civi =k

i=1c

ivik

i=1civi k

i=1c

ivi = 0k

i=1(ci c

i)vi = 0Sejaai = ci c

i,k

i=1aivi = 0Mas, por hiptese, vi linearmente independente. Ento, para todoi,ai = 0 = ci = c

i1516 3. INDEPENDNCIALINEAREMRnA representao portanto nica. Note que se vi for linearmente dependente, teremos pela denio que para1v1 + . . . + jvj + . . . + kvkexiste pelo menosumj ,= 0. Ento,jvj = 1v1 + . . . + kvk(1.2)vj =1jv1 + . . . +kjvk(1.3)O fato de vi ser linearmente dependente permite que elementos do conjuntopossam ser escritos como combinao linear dos demais, o que acaba tendo comoconsequncia representaes deu no nicas.Exemplo 3.1. Tomemosk vetores vi em Rn. Com eles, construimos a matrizL, cuja i-sima coluna determinada por vi.(1.4) L =_v1v2. . . vk_Logo, qualqer dependncia linear entre v1, . . . , vn implicar dependncia linearentre as respectivas colunas deL.Discutir a independncia linear de vi corresponde a resolver o sistema(1.5) LX = 0ondeX = (xi1)i=1,...,kso os escalares da combinao linear que determinar 0.Para (1.5) podemos ter(1) Soluo nicaX = 0. As colunas deL sero linearmente independentes.(2) Se a soluo deXno for nica, o vetor 0 no ter representao nicaem vi e portanto, as colunas no sero linearmente independentes. Con-forme visto no Captulo 1,tal soluo ser um subespao em Rncomdparmetros livres e, como se trata de um sistema homogneo, esse sube-spaoserokernel de(X) =LX. Veremosnaprximaseoque,nesse caso,dentre os k vetores em vi,teremos apenas(n d) vetoreslinearmente independentes.Exemplo3.2. EmRn, dadoskvetoresvi, plausvel perguntar-nosacercado nmero mximode vetores linearmente independentes que podemos encontraremtalespao. Provaremosaseguirque, escolhendoadequadamente, teremosnomximon vetores linearmente independentes em Rn.Tomandoos kvetores emRn, sejak >n. Amatriz Mcujas linhas sov1, . . . , vkM=_____v1v2...vk_____=_____v11v12. . . v1nv21v22. . . v2n............vk1vk2. . . vkn_____Podemos escalonar M. Porm, a forma escalonada da matriz nos obrigar a ter, nomximo, n linhas linearmente independentes, pois o escalonamento mais completo1. INTRODUO 17que se pode obter deMM

=____________1 v

12. . . v

1n0 1 . . . . . .............0 0 . . . v

nn0 0 . . . 0............0 0 . . . 0____________Emboraaslinhasde M

contenhamvetores

v

idiferentesdosviiniciais, aquantidadedevetores linearmente independentesem vie

v

iamesma: noescalonamento, os vetores em vi foram submetidos s trs operaes elementaresdoCaptulo1, quenadamaisfazemdoquerealizarcombinaeslinearesentreos vetores-linhas. Mas, sabemos de (1.3) que vetores linearmente dependentes soexpressoscomocombinaeslinearesdosvetoreslinearmenteindependentes. Oescalonamentoprocede-sedeformaaeliminarsomenteessesvetoreslinearmentedependentesdamatrizM. Sabemos, tambmdoCaptulo1, queessaperdadelinhasnoacarretaperdadeinformaoalgumaparaosistema, umavezqueoescalonamento preserva a soluo do sistema. Portanto, vemos que as linhas linear-mente independentes descrevem de forma completa o espao soluo do sistema eas linhas linearmente dependentes, sendo apenas combinaes lineares dos demais,so redundantes e portanto, desnecessrias a descrio completa do espao soluo.Portanto, o nmero mximo de vetores linearmente independentes emM omesmo que emM

, ou seja,n.Teorema3.1. Chamamos de posto linha o nmero de linhas linearmente in-dependentesdeumamatrizedepostocolunaonmerodecolunaslinearmenteindependentes. Em qualquer matriz o posto linha igual ao posto coluna.Demonstrao. Do resultado anterior, sabemos que que dentre osk vetoresem vi, podemos ter no mximo n vetores linearmente independentes. Se tivermosexatamenten vetores linearmente independentes, a prova do teorema decorre dire-tamente. possvel ainda que tenhamosj< n vetores linearmente independentes.Nesse caso, aps o escalonamento da matrizM, teramosM

=___1 v

12. . . v

1n............0 . . . . . . v

jn___Se tomarmos a transposta (M

)t,(M

)t=_____1 . . . 0v

12. . . 0.........v

1n. . . v

jn_____Agora, pelo escalonamento (1.6) de (M

)t, teremos, com um raciocnio anlogoaoutilizadonoExemplo3.2, nomximojlinhaslinearmenteindependentes(ouseja, emM

, no mximojcolunasso linearmente independentes.)(1.6) (Mt)

=_____1 . . . 00 . . . 0.........v

1j. . . v

jj_____18 3. INDEPENDNCIALINEAREMRnPorm, teremosagoranecessariamenteonmeromximojdelinhaslinear-mente independentes: se fosse possvel teri 0, seX ,= 0(P5) X, Y ) = 0 seX = 0Um produto interno de especial interesse em geometria analtica o chamadoproduto escalar, tambm representado porXY .Definio 4.1. SejamX, Y Rn.(1.1) XY=n

i=1xiyiPor essa denio, pode-se facilmente vericar que o produto escalar obedeces propriedades mecionadas.Teorema 4.1. A Desigualdade de Schwarz dada por(1.2) X, Y )2 X, X) Y, Y )onde a igualdade vale se e somente seXfor paralelo aY .Demonstrao. A desigualdade pode ser demonstrada atravs das cinco pro-priedades do produto interno. Portanto, (1.2) vale para qualquer produto interno,no se limitando apenas ao produto escalar.SejaX = AB, para qualquer R. Por (P4) e (P5),X, X) 0Podemos reescrever isso comoX, X) = AB, AB)P2= A, A) +A, B) +B, A) +B, B)P3= A, A) A, B) B, A) + 2B, B)P1= A, A) 2A, B) + 2B, B) 0Reescrevendo como uma inequao do tipoax2+ bx + c 0(1.3) B, B) 22 A, B) +A, A) 0Para que a desigualdade acima seja satisfeita para todo, a imagem em (1.3)deve encontrar-se acima do eixo x. Uma vez que B, B) 0, B, basta portantoque veriquemos = b24ac = 4 A, B)24 A, A) B, B) 02122 4. PRODUTOESCALARA, B)2 A, A) B, B)Note que o sinal de igualdade vale apenas quando X, X) = 0, ou seja, quandoAB = 0. Isso implica A = B, ou seja, os vetores A e B devem ser paralelos.

Nasprximassees, utilizaremosadeniodeprodutoescalarparagener-alizaremRnalgunsconceitosqueso, porenquanto, puramentegeomtricoserestritos a R2e R3.2. Algumas consequncias do produto escalarA seguir, apresentaremos as denies de norma e ngulo em termos de produtoescalar.A denio de norma decorre das propriedades P4 e P5 do produto escalar, ouseja, do fato desta operao ser positiva denida.Definio 4.2. SejaX Rn. Sua norma |X| ser dada por(2.1) |X| = X, X)1/2Assim, pela denio (1.1) de produto escalar, temos(2.2) |X| =_n

i=1x2i_1/2A denio 1.1 corresponde ao comprimento de um vetor em Rn. Utilizando ageometria do ensino mdio, paran = 2, 3 podemos aplicar o Teorema de Pitgorasnascomponentesdovetorparaobterseucomprimento, queresultarnomesmovalor obtido com 1.1.Com(2.2), aDesigualdadedeSchwarz(1.2)podetambmserexpressapormeio de normas,[ X, Y ) [ |X| |Y |Com esse formato da desigualdade,considerando que a norma de qualquer vetor sempre positiva, efetuamos a seguinte manipulao,[ X, Y ) [|X| |Y | 11 X, Y )|X| |Y | 1A funo dex eyna desigualdade acima apresenta a mesma propriedade dafunocosseno. Combasenisso, denimosdeformageneralizadaonguloentredois vetores em Rn.Definio 4.3. DadosXeYem Rn,(2.3) cos (X, Y ) :=X, Y )|X| |Y |Notamos que essa denio tambm concorda com a noo geomtrica usual dengulo em R2e R3. Basta aplicar a Lei dos Cossenos nos vetoresX = (x1, x2, x3)eY= (y1, y2, y3) posicionados na origem 0 para se vericar (2.3).Ainda tomandoX, Y Rn, por (2.1), podemos escrever|X +Y |2= (X +Y ), (X +Y ))= X, X)2+ 2 X, Y ) +Y , Y )22. ALGUMASCONSEQUNCIASDOPRODUTOESCALAR 23Em termos de normas, teremos(2.4) |X +Y |2= |X|2|Y |2+ 2 X, Y )Se X perpendicular a Yem R2, pelo Teorema de Pitgoras,(2.4) se reduziria|X +Y |2= |X|2|Y |2o que implica2 X, Y ) = 0 = X, Y ) = 0, seXYEssa noo de ortogonalidade em R2nos sugere uma denio geral para or-togonalidade entre dois vetores em Rn.Definio 4.4. Dois vetoresX, Y Rnso ortogonais se(2.5) X, Y ) = 0A projeo ortogonal (pr v u ) de vetoru sobre a reta denida porv (Fig.1) dada, em mdulo, por|pr v u | = |u| cos que por (2.3) se reduz a|pr v u | = u, v)|v|Como a projeo tem a mesma direo de v, tomamos o vetor unitrio1 vv paradeterminar a direo do vetor pr vu .(2.6) pr vu= u, v)|v|2 v-3s-pr vu vure vuFigura1. Projeo e Reexo do vetoruA partir da projeo, podemos facilmente determinar o vetor re v u obtido apartir da reexo ortogonal de u em torno de v, o qual obtido mantendo a mesmacomponente de u na direo v e invertendo o sentido das demais componentes e.g.1Todo vetor com norma valendo uma unidade24 4. PRODUTOESCALARre(1,0)(1, 1) = (1, 1). Basta observar quere vu determinado atravs da somavetorialu + re vu= 2 pr vure vu= 2 pr vu u= 2u, v)|v|2 v u3. AplicaesUma vez estabelecidos o pduto interno e a condio de ortogonalidade, podemosagora denir o que um hiperplano (n 1)-dimensionais em Rn.Definio 4.5. Todo pontoXque satiszer(3.1)_X P,

N_= 0pertence ao hiperplanoque normal (ortogonal) ao vetor

Ne contm o pontoP.Assim, todos os vetoresX Portogonais a

Npertencero ao hiperplano.Exemplo 4.1. DadosP1 = (r, s) e

N1 = (a, b) em R2, teremos, por (3.1)X (r, s), (a, b)) = 0(x r)a + (y s)b = 0ax + by (ra + sb) = 0que a equao de uma reta em R2(Fig.??).Exemplo4.2. Da mesma forma, dadosP2= (r, s, t) e

N2= (a, b, c) em R3,teremosX (r, s, t), (a, b, c)) = 0 = ax + by + cz (ar + bs + ct) = 0que a equao de um plano em R3.Uma outra aplicao importante de projees est no clculo de distncias emRn.4. ExercciosWexler,C.,AnalyticGeometryAvectorapproach. Grupo de Exerccios2-4.CAPTULO5Hiperplanos em Rn1. IntroduoSabemos que, em R2, uma equao do tipoax1 + bx2 = c representa uma reta(hiperplano1-dimensional)emR2. Damesmaforma, emR3, aequaoax1 +bx2 + cx3=d representa um plano (hiperplano 2-dimensionais) em R3. Analoga-mente,em Rn, uma equao do tipo a1x1+. . . +anxn = 0 representa um hiperplano(n 1)-dimensionais em Rn.Definio 5.1. A equao(1.1) F(x1, . . . , xn) = 0representa o lugar geomtricoL = X Rn[F(x1, . . . , xn) = 0 Todas e apenasascoordenadas deX L satisfazem (1.1).Note que a recproca dessa armao no vale:podemos ter equaes diferentescomomesmoconjuntoL(e.g. bastamultiplicar(1.1)porumescalarno-nulo:teremos duas equaes diferentes com a mesma soluo).2. Equaes ParamtricasPodemostambmdescreverhiperplanosemRnpormeiodasuarespectivaequao paramtrica, em termos de geradores, como foi descrito anteriormente nosexemplos 1.1 e 1.2.Exemplo 5.1. Obteremos a equao paramtrica da reta dada em R2(2.1) ax + by = cPodemos atribuir a y oparmetrolivre R. Escrevendo xemfunodoparmetro livre tambm,_xy_=_ba + c_Reescrevendo em termo de geradores, obtemos a seguinte representao paramtrica(2.2)_xy_=_c0_+ _b/a1_Portanto decorre diretamente de (2.2) que a reta (2.1) passa pelo ponto (c, 0)e tem (ba, 1) como vetor diretor (gerador). Os pontos da reta consistem nas combi-naes lineares desse nico vetor linearmente independente que no caso, reduzem-se simplesmente a uma multiplicao por escalar.Exemplo 5.2. Obteremos a equao paramtrica do plano dado em R3(2.3) ax + by + cz = dPodemos atribuir ay e az R os parmetros livres e, de forma quex deverser escrito em funo desses dois parmetros.__xyz__=__d b c__2526 5. HIPERPLANOSEMRnA equao paramtrica ser(2.4)__xyz__=__d00__+ __b10__+ __c01__Por(2.4), podemosarmarqueesseplanocortaoeixoxnopontox=d.Neste ponto, podem ser posicionados os vetores (b, 1, 0) e (c, 0, 1), linearmenteindependentes. Por meio de combinaes lineares desses dois vetores (dadas pleosescalares e ) estaremos parametrizando todos os pontos do plano, assim gerandoo lugar geomtrico dado em (2.3). importante notar que essa atribuio de parmetros arbitrria: poderamosigualmenteatribuirparmetroseaxez, porexemplo, obtendoumarepre-sentaoparamtrica(2.4)diferente, masquenoentantodescreveexatamenteomesmo lugar geomtrico.Exemplo 5.3. Em R3, dado o sistema de equaes linearmente independentes(2.5)_a1x+b1y + c1z = d1a2x+b2y + c2z = d2Podemos armar que tal sistema nos fornece o lugar geomtrico de uma retaem R3.Por escalonamento, obtemos o sistema equivalente(2.6)_x + b

1y + c

1z = d

1y + c

2z = d

2Atribuindo az o parmetro livre R, temos__xyz__=__d

1 b

1d

2 + (c

2b

1 c

1)d

2 c

2__Que resulta na equao paramtrica de uma reta(2.7)__xyz__=__d

1 b

1d

2d

20__+ __c

2b

1 c

1c

21__Para parametrizar a reta (2.5) em R3, adotamos o mesmo procedimento dos ex-emplos anteriores:posicionamos o vetor (c

2b

1c

1, c

2, 1) no ponto (d

1b

1d

2, d

2, 0),obtendo os pontos da reta por meio de combinaes lineares desse nico vetor.Seguindoessalinhaderaciocnio, podemosfazeraseguintegeneralizao: aparametrizao de um subespao amk-dimensionais em Rnser dada por(2.8) X = P0 + 1v1 + . . . + kvkondeosvetores vi, i=1, . . . , ksolinearmenteindependentes. Comonosex-emplos anteriores,a idia xar no pontoP0esseskvetores,cujas combinaeslineares dadas pelos parmetros 1, . . . , k localizaro todos os pontos desse sube-spao am.O nmero de parmetros livresk nos informar os graus de liberdadedo sube-spao am: nos exemplos 5.1 e 5.3, vemos que a reta possui um nico parmetrolivre, e portanto, um grau de liberdade, o qual diz respeito ao fato de que, se cam-inharmos sobre uma reta, haver umanicadireo linearmente independente aser seguida.Estendendoessageneralizaoparaas equaes de lugar geomtrico(1.1),temos que3. DISTNCIAS 27uma equao linearmente independente representa um hiperplano (n1)-dimensionais em Rn.umsistemadeduasequaeslinearmenteindependentesrepresentaumsubespao am (n 2)-dimensionais em Rn.umsistemadetrsequaeslinearmenteindependentesrepresentaumsubespao am (n 3)-dimensionais em Rn....um sistema de n equaes linearmente independentes representa um sube-spao am 0-dimensional em Rn, ou seja, um ponto.Vemos que cada equao acrescentada acarreta a perda de um grau de liberdadeno hiperplano, at que no reste mais grau de liberdade algum (ponto).3. DistnciasFaremos agoraumageneralizaoemRndoseguinte problema: dadoumsubespao amr-dimensionais e um ponto Q, encontrar o ponto PXno subespaoam que mais prximo ao pontoQ dado. Seja(3.1) P0 + t1w1 + . . . + tr wra equao paramtrica deste subespao amr-dimensionais em Rn, comwi,wj) = ij, onde ij_ij= 0, sei ,= jij= 1, sei = jNesse caso, dizemos que wi forma uma base ortonormal do subespao. Em l-gebra Linear, veremos que qualquer conjunto de vetores pode ser ortonormalizadoatravs do Processo de Gram-Schimdt. Essse processo leva a eliminao de qual-quer eventual dependncia linear existente no conjunto de vetores iniciais, atravsda reduo do nmero de vetores no conjunto nal.DadoQ Rn,calcularemos o pontoPXem (3.1) mais prximo deQ. Paratanto, notamos primeiramente que os pontosQ ePXdeterminam a distncia re-alizadadopontoQaosubespaoamdado. Assim, opontoPXdeterminadoatravs da projeo ortogonal do pontoQ no subespao am (3.1). Portanto,PXdeve ser tal que o vetorPX Q seja ortogonal a todos os vetores da base wi.Como PXpertence a (3.1), podemos escrever esse conceito geomtrico da seguinteforma(3.2)_Q(P0 +r

i=1tiwi), wj_= 0, j = 1, . . . , rEssaequaonospermitirdeterminarosvaloresdosparmetrotj, xandoassim o pontoPXno subespao am.28 5. HIPERPLANOSEMRn_Q(P0 +r

i=1tiwi),wj_= 0QP0,wj) +_r

i=1tiwi,wj_= 0QP0,wj) +r

i=1tiwi,wj) = 0QP0, wj) + tj = 0tj = P0 Q, wj)Temos assim os r parmetros livres t1, . . . , tr que determinam o ponto PX. Deacordo com (3.1), tal ponto ser dado por(3.3) PX= P0 +r

i=1P Q, wi) wi4. ExercciosWexler,C.,AnalyticGeometryAvectorapproach. Grupo de Exerccios2-6.CAPTULO6Produto Vetorial1. DenioVimosnoscaptulosanterioresqueosvetoresortogonaisaumconjuntodevetores dado desempenham um papel importante no estudo de hiperplanos. Assim,o produto vetorial uma operao denida em R3de grande interesse em GeometriaAnaltica: sua peculiaridade est no fato de que submetendo dois vetoresA eB aessa operao,obteremos como resultado um terceiro vetorA Bortogonal aosdoisvetoresiniciais, eportanto, normal aoplanogeradopor Ae B, conformemostraremos neste captulo.Definio6.1. SejamA=(a1, a2, a3), B=(b1, b2, b3)C=(c1, c2, c3)ecescalar. : R3R3R3AB := det__ijka1a2a3b1b2b3__= (a2b3 a3b2)i +(a3b1+a1b3)j +(a1b2 a2b1)k(1.1)Da denio 1.1 decorrem as seguintes propriedades.(P1) Linearidade com respeito aA:(A1 +A2) B = A1 B +A2 B(A1 +A2) B = A1 B +A2 B(P2) Anti-simetria: AB = B A Linearidade com respeito aB.(P3) Produto Misto: A, (B C)) = (AB), C) = det__a1a2a3b1b2b3c1c2c3__(P4) |AB|2= |A|2|B|2A, B)2(Identidade de Lagrange)(P5) |AB| = |A| |B| sin , onde o ngulo entre os dois vetores.Demonstrao. Provaremos apenas a propriedade (P5). As demais decorremtrivialmente da denio.De P4, temos|AB|2= |A|2|B|2A, B)2= |A|2|B|2(|A| |B| cos )2= |A| |B| (1 cos2)= |A| |B| (sin2)2930 6. PRODUTOVETORIALmas como 0 , temos sempre sin 0. Consequentemente,|AB| = |A| |B| sin

Corolrio 6.1.(1) |AB|correspondereadoparalelogramocujosladossoformadospelos vetoresA eB.(2) A eBno-nulos e paralelos em R3AB = 0(3) A eBno-nulos e no-paralelos (AB)A e (AB)B(4) | (AB), C) | corresponde ao volume do paralelepedo formado pelo ve-toresA, B, C.Demonstrao. (1)e(2)decorremtrivialmentede(7). Provaremos(3)e(4). Para provar (3), basta vercar que (AB)A = 0 e (AB)B = 0, o queimplica ortogonalidade do vetorAB com respeito aA eB.Para provar (4), vemos na gura acima| (AB), C) | = |C| |AB| cos = h |AB|

Exemplo 6.1. Pela denio 6.1, mostre que (AB) C uma combinaolinear dos vetoresA eB. Indique qual a combinao linear, em funo deA,BeC.Exemplo 6.2. Dizemos que (AB) C e A(BC) so produtos triplosdeA, BeC. Prove que (A B)C ,=A (BC), ou seja, o produto triplovetorial no associativo.Qual a combinao linear de vetores dada porA (BC), em funo deA,B eC?11A(BC) = (B A)C(C A)B