제 10 장 제어시스템의 설계 (F)

[예제 10.14] 다음과 같은 전달함수를 가진 시스템을 생각해 보자.

(1) K=0.5,1,2 일 때 a=0.1, T=100 인 뒤짐보상기 를 사용하여 보상한

시스템의 단위계단응답을 구하여라.

(2) K=0.5,1,2 일 때 견실제어기 를 사용하여 보상한 시스템의

단위계단응답을 구하여라.

다음은 CEMTool로 계산된 결과 입니다.

<<풀이>>

(1) 뒤짐보상기로 보상한 시스템의 단위계단응답

CEMTool 프로그램 Ex10_14a.cem

/* Unit step response */

t = 0:1:0.01;

// Lag compensator

numc = [10 1];

denc = [100 1];

// K = 0.5

num1 = 2500*0.5*numc;

den1 = conv([1 25 0], denc) + [0 0 num1];

y1 = step(num1, den1, t);

// K = 1

num2 = 2500*numc;

den2 = conv([1 25 0], denc) + [0 0 num2];

y2 = step(num2, den2, t);

// K = 2

num3 = 2500*2*numc;

den3 = conv([1 25 0], denc) + [0 0 num3];

y3 = step(num3, den3, t);

// Plot step response

plot(t,y1, t,y2, t,y3)

title("Unit-Step Responses of Compensated Systems")

xtitle("t Sec")

ytitle("Outputs")

그림 10-17 뒤짐보상기로 보상한 시스템의 단위계단응답 곡선[예제 10.14]

그림 10-17의 그래프를 보면 K의 값이 변함에 따라 계단응답이 상당히 변함을 알 수 있다.

이것은 시스템이 K의 값에 민감함을 뜻한다. 즉, 외란 등에 의해 K의 값이 변하면 시스템

이 크게 변할 수 있으므로 뒤짐보상기만으로는 견실한 시스템으로 만들 수 없다.

(2) 견실제어기로 보상한 시스템의 단위계단응답

견실제어기 을 사용할 때는 폐루프의 전방에 전향제어기

를 놓아야 한다. 그러면, 전체 시스템에 대한 전달함수는

다음과 같아진다.

CEMTool 프로그램 Ex10_14b.cem

/* Unit step response */

t = 0:1:0.01;

// Lobust control

numc = [1 26 269];

denc = [269];

// K = 0.5

num1 = 2500*0.5*denc;

den1 = conv([1 25 0], denc) + 2500*0.5*numc ;

y1 = step(num1, den1, t);

// K = 1

num2 = 2500*denc;

den2 = conv([1 25 0], denc) + 2500*numc ;

y2 = step(num2, den2, t);

// K = 2

num3 = 2500*2*denc;

den3 = conv([1 25 0], denc) + 2500*2*numc ;

y3 = step(num3, den3, t);

// Plot step response

plot(t,y1, t,y2, t,y3)

title("Unit-Step Responses of Compensated Systems")

xtitle("t Sec")

ytitle("Outputs")

그림 10-18 견실제어기로 보상한 시스템의 단위계단응답 곡선[예제 10.14]

그림 10-18의 응답곡선으로부터 K의 값이 변해도 계단응답이 거의 변하지 않음을 알 수

있다. 이것은 시스템이 K의 값에 둔감함을 뜻한다. 즉, 외란 등에 의해 K의 값이 변해도 시

스템에는 큰 영향을 주지 않는다. 따라서, 보상된 시스템은 견살한 시스템이 된다.

[예제 10.16] 다음과 같은 전달함수를 가진 시스템을 생각해 보자.

보상되지 않은 시스템과 견실제어기 로 보상한 시스템의 K 에

대한 근궤적선도를 그리고, 견실제어기의 영 향을 설명하여라.

다음은 CEMTool로 계산된 결과 입니다.

<<풀이>>

근궤적선도를 그릴 때는 폐루프의 전방경로에 있는 을 고려하지 않음에 유의하라.즉,

의 개루프 전달함수에 대하여 근궤적선도를 그린다. 다음은 두 경우에

대한 근궤적선도를 그리는 프로그램이다.

CEMTool 프로그램 Ex10_16.cem

/* Root locus */

K = 0:500:1;

// Uncompensated system

numu = [10000];

denu = [1 100 10000 0];

rlocus(numu, denu, K);

title("Root-locus of Uncompensated Systems")

// System with robust control

numc = numu*[1 110 5050];

denc = 5050*denu;

figure

rlocus(numc, denc, K);

title("Root-locus of Compensated Systems")

결과를 그림 10-19와 그림 10-20에 나타내었다.

그림 10-19 보상되지 않은 시스템의 근궤적선도[예제 10.16]

그림 10-20 견실제어기로 보상한 시스템의 근궤적선도[예제 10.16]

보상되지 않은 시스템은 K의 값이 증가하면 근궤적이 허수축을 지나는(s의 오른쪽반평면에

근이 존재하는)것을 알 수 있다. 즉, 어떤 이유(외란)로 인해 K값이 증가하면 시스템이 불안

정해지기 때문에 시스템은 견실하지 않다. 그러나. 견실제어기를 사용하면 K값이 아무리 증

가하여도 근궤적이 허수축을 지나지 않으므로 시스템은 견실하다.

[예제 10.18] 다음과 같은 시스템 방정식을 가진 시스템을 생각해 보자.

이다. 여기서

이다. 상태되먹임 제어 를 사용하여 폐루프극점을

에 위치시키려고 한다. 필요한 상태되먹임 이득행렬 K를 구하여라.

다음은 CEMTool로 계산된 결과 입니다.

<<풀이>>

CEMTool 프로그램 Ex10_18.cem

/* Determination of state feedback gain matrix K */

A = [0 1 0; 64.4 0 -16; 0 0 -100];

B = [0; 0; 100];

// Define the controllability matrix M

M = [B A*B A 2̂*B];

JA = poly(A);

a1 = JA(2); a2 = JA(3); a3 = JA(4);

// Define matrices W and T

W = [a2 a1 1;a1 1 0;1 0 0];

T = M*W;

J = [-20 0 0 ;0 -6+4.9*i 0;0 0 -6-4.9*i];

JJ = poly(J);

aa1 = JJ(2); aa2 = JJ(3); aa3 = JJ(4);

// Compute state feedback gain matrix K

K = [aa3-a3 aa2-a2 aa1-a1]*(inv(T))

K =

-2.0381 -0.2278 -0.6800

그러므로, 상태되먹임 이득행렬은 이다.

[예제 10.20] 다음과 같은 시스템 방정식을 가진 시스템을 생각해 보자.

이다. 여기서

이다. 상태되먹임 제어 를 사용하여 폐루프극점을

에 위치시키려고 한다. 필요한 상태되먹임 이득행렬 K를 구하여라.

다음은 CEMTool로 계산된 결과 입니다.

<<풀이>>

적분제어를 이용한 상태되먹임 공식을 적용하면

이다. 따라서, 다음과 같은 프로그램으로 상태되먹임 이득행렬 K를 구할 수 있다.

CEMTool 프로그램 Ex10_20.cem

/* Determination of state feedback gain matrix K */

A = [0 1 0; 0 -25 0; -2500 0 0];

B = [0; 1; 0];

// Define the controllability matrix M

M = [B A*B A 2̂*B];

JA = poly(A);

a1 = JA(2); a2 = JA(3); a3 = JA(4);

// Define matrices W and T

W = [a2 a1 1;a1 1 0;1 0 0];

T = M*W;

J = [-200 0 0 ;0 -50+50*i 0;0 0 -50-50*i];

JJ = poly(J);

aa1 = JJ(2); aa2 = JJ(3); aa3 = JJ(4);

// Compute state feedback gain matrix K

K = [aa3-a3 aa2-a2 aa1-a1]*(inv(T))

K =

1.0e+004 *

2.5000 0.0275 -0.0400

그러므로, 상태되먹임 이득행렬은 이다.