國小三年級學童代數推理教學與 解題表現研究

陳嘉皇 1

摘 要

本研究旨在了解國小三年級學童代數推理解題表現情形及教學實驗效

果，樣本為公立國小三年級學童 30 名。研究分三階段進行，首先，參考文獻資料和《九年一貫課程綱要》能力指標，先行設計代數推理解題評量工具，

檢測學童解題表現，並透過觀察訪談，瞭解學童在代數推理歷程產生之困難、

錯誤觀念或欠缺的能力技巧，做為第二階段課程活動設計及教學的依據，俟

教學完後，再進行解題後測，並伴隨觀察訪談蒐集資料，藉以比較教學前、

後學童代數推理解題表現情形。根據結果發現，大多數小學三年級學童在代

數推理解題前測的表現不盡理想，對代數推理各項活動產生困難，透過課程

設計與教學實施後，學童能表現出更為優異的推理解題能力。

從學童作業結果分析，發現本研究設計之課程，可以誘發學生根據其學

習經驗與認知發展，進行代數推理解題，符應所謂的從描述進步到符號化的

學習歷程。最後，根據研究結果，作者提出相關建議，以作為未來代數融入

國小數學教學的參考。

關鍵字詞：課程設計、代數推理、解題

1 崑山科技大學通識教育中心助理教授

高雄師大學報 2007, 23, 125-150

126 高雄師大學報 第二十三期

The Algebraic Reasoning Teaching and Problem Solving Performances of

Third Graders

Jia-Huang Chen*

Abstract

The purpose of this study is to investigate the third graders’ performances on algebraic reasoning and the effects on the curriculum design and teaching effects of algebraic reasoning. The subjects were 30 students from a southern Taiwan elementary school. For the purpose, there are three stages on trails for the students, including a pilot test, and then four periods of teaching, and after three months, the students took the post test. However, to understand whether the process of algebraic reasoning of students is necessary, the researcher observed how students used strategies to their thinking patterns. After that, the researcher interviewed students. Researcher summarized some main findings and offered some suggestions of learning algebra for young children and teachers.

Key Words: curriculum design, algebraic reasoning, problem solving.

* Assistant Professor, Center for General Education, Kun Shan University.

國小三年級學童代數推理教學與解題表現研究 127

壹、緒論

代數對數學教育而言，是學習的利器。代數教導學童對相關數學定義和技巧做說

明、類化及歸納，也幫助學童對基礎過程的數字、圖表及符號表徵加以詮釋、理解，分

析與比較關係，創造數學模式，應用基本公式迅速解決問題。代數學習雖重要，但長久

以來，被視為是進入較高階數學的門檻，在國小階段鮮少被談論。進入廿一世紀後，各

國亟思課程改革與教學方法的精進，紛紛將代數納入國小學習的內涵，以提升學童基本

數學能力。教育部(2003)為培養學童觀察數量關係，展現數學結構之能力，於民國 92 年提出《九年一貫課程綱要》，也將代數主題正式向下延伸至小學，成為學童數學學習一項

重要的內涵，學童在此層面上如何建構知識、發展認知策略，教師如何協助學童解決代

數學習困難，亦成為數學教育所欲探究的新題材。 根據「美國數學教師學會」(National Council of Teachers of Mathematics, NCTM)建

議，所有學童都應學習代數，包含低學習能力者(Edwards, 1990)。一些研究已對學童直覺理解或非正式教導的代數，包含變數和文字符號的使用、等式解題方法、運用分配律

的能力，及對等式和群符號 (grouping signs)加以探討和解釋 (Blanton & Kaput, 2005; Bodanskii, 1991)。近年來，國內也對學童代數學習興起一股探究的風潮(呂玉琴，1989；陳維民，1998；黃寶彰，2002；陳嘉皇，2006)，這些研究說明只要活動設計合宜、解題策略導引有方，學童可以利用技巧，配合適宜表徵方式，帶入代數學習，提升推理以解

決繁瑣的數學問題。 學童代數活動包含變數、函數、代數符號、函數表、圖表和等式，這些活動與加減

乘除等算術問題有關，可以結合成為代數推理活動的重要內涵。許多學童對代數概念的

理解與推理技巧運用是有困難的，這些困難常被以認知發展的議題看待。Schliemann、Carraher 和 Brizuela(2007)則主張，學習困難是因為算術和代數之間鮮明的分割，以致無法透過課程設計被適宜的處理。教師與課程發展者欲對學童代數概念發展有所助益，那

麼就需對學童在代數教學歷程，可以學習什麼？如何學習？如何引導它成為推理的利

器？建立一完整的圖像，理解何種正式或非正式知識，可創造有用的基礎以建構教學。 算術是小學課程內涵的重心，也是代數的一部份，具有將數學表徵從具體操作至複

雜思維產出的特性，因此，算術能以較抽象理念的實例來加以研究，這不僅豐富學童對

算術的理解，也能對未來促進代數學習建構基礎。基於代數教學在國小階段實施並能促

進推理能力發展的重要性及可行性，研究者主張宜先瞭解學童對等式概念、變數關係、

樣式歸納及解題策略發展之狀況，深入探討其學習進程，然後透過合宜的教學活動設計

及教師適宜的介入，才可導引學童利用代數進行推理、建構思考習慣及數學溝通等重要

能力，協助學童發展數學概念，解決面對的問題。循上所述，本研究欲達成以下目的： 1.了解國小三年級學童利用代數推理進行解題表現情形。 2.設計合適之代數推理課程活動，進行代數推理教學。 3.探討學童經由代數推理教學後，課程活動呈現之效力與學童解題之表現。 4.提供建議，作為未來代數學習及相關課程活動設計發展的參考。

128 高雄師大學報 第二十三期

貳、文獻探討

一、學童代數學習的內涵與路徑

Usiskin(1999)認為代數是種「語言」(language)，這種語言具備四種概念，顯示出代

數是推理的重要工具：

(1)當成是種歸納的算術。

(2)當成是種解決某特定問題有關步驟的研究。

(3)當成是數量之間關係的研究。

(4)當成數學結構的研究。

代數是數學教育重要的題材，要利用其培養推理能力，教學必需有路徑可循，學習

才能事半功倍，獲取最佳效果。Kaput(1999)認為此路徑包含五種功能：

(1)當成歸納及形式化(formalization)樣式與限制。

(2)當成語句結構，引導操弄語意不清的形式主義。

(3)從計算和關係中做為抽象結構的研究。

(4)做為算術、關係和連結變數的研究。

(5)做為一種模組的群集和控制現象的語言。 「歸納」和「形式化」是數學內在的活動和思考，也是促進推理的物件。「歸納」

包含擴展推理或溝通的範圍，超越現有例證的思考，能夠明確辨認顯現存在於各種例證

的共通性，將重點轉移到原先例證或情境本身以外的層次上，並將物件之間的關係安置

成樣式、步驟、結構等形式化上。代數推理是種複雜的學習領域，誠如 Kaput(1999)主張的具有相互關聯、廣泛多樣的次結構。為引導學童有效學習代數活動，美國 NCTM(2000)之《學校數學之標準與原則》詳列學習步驟，我國《九年一貫課程綱要：數學領域》也

公布學童代數學習有關能力指標發展，及教材編排的順序，例如： ※能透過具體操作，解決來自生活情境問題中已列出的數式填充題。

※能將生活情境中簡單問題表徵為□、？等的式子，並能解釋式子與原問題的情境之

關係。

※能透過具體表徵，解決從生活情境問題中列出的算式填充題。

※能透過具體觀察，察覺簡易數量模式，並能描述模式的一些特性。

※能用 x、y…的式子表徵生活情境的未知量及變量。 ※能將生活情境中的問題表徵為含有 x、y…的等式或不等式，透過生活經驗檢驗、判

斷其解，並能解釋式子及解與原問題情境的關係。

※能比較生活情境中數量關係的異同及其表徵式的異同與使用時機。

※能察覺簡易數量模式與數量模式間的關係。 本研究旨在探究學童如何利用代數對問題情境進行推理並解題，此歷程有一共通部

分，就是對特殊例證的辨識，釐清等號關係與概念，尋找共通的樣式，並做數量關係的

轉換，這些表現等同於 Kaput(1999)所倡導的「歸納」與「形式化」的代數推理。較特別的是，對問題情境的歸納，是去辨識特殊例證中共同的運算子和運算的順序，並將它們

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擴展到一般的例證。問題情境的歸納可以透過口語或符號表達方式進行變數的運用，因

此都能被視為是問題情境的表徵。

二、代數推理課程與教學設計

代數課程內涵的選擇影響學童推理過程「歸納」和「形式化」的發展。Kaput(1999)

認為要讓學童獲得良好推理脈絡的路徑，需遵守代數推理設計的幾項要點。首先，需尋

找合乎數學理念可以發現數字關係並進行歸納的問題，這需與學童生活有關，且是常接

觸的；其次，可從問題提供的混亂線索進行計算、操弄，建立變數間的關係；接著，從

變數關係中歸納合乎問題情境的等式或函數等抽離的結構，最後利用文字或語言進行變

數的操控，而獲致現象背後隱含的意義。Blanton 和 Kaput(2005)認為，促進學童代數發

展，需遵守以下法則：

(1)能夠提升運用數字和數感的作業，做為代數推理的事物。

(2)包含計算順序的作業並與學童的算術銜接。

(3)需要能夠促進行動所允許的作業，以及學童熟悉的狀態。

代數不僅是規則的記憶，本身也是推理過程的一部份，是種解題的策略，是思考數

學和數學溝通的重點。學童在代數學習上失敗的主要原因，是無法正確的說明數學有關

的技術語言，因此，對內容和教學而言，仍需從學童的描述性語言，轉換到更技術性的

數學語言上。代數內容關係的轉換，也常受限於問題情境下創造變數的能力，Silver 和

Kilpatrick(1987)認為問題的變數需不斷增進，當學童解決某問題後，可改變問題的情境，

重新佈題；其次，可改變問題中的資料，藉由多元的操作、提供額外資訊和縮減資料，

使問題更加複雜。除此之外，Blanton 和 Kaput(2005)發現影響學童算術知識的作業，與

將現象變成數學包含的一些行動，和生活情境下抽離的數學表徵有關。處理這些作業不

僅要注意算術，更需複雜的數學思考，所以，可提供下列重要經驗：

(1)辨識以及如何呈現需要的資料，

(2)使用算術對所接觸的現象，塑造包含的變數，

(3)檢驗現象中的瑣碎繁雜如何影響此模式，

(4)利用代數推理算術模式中順序的形式，

(5)將算術深化到支持合宜選擇的運用與操作，為提升計算，能夠理解數字之間的

關係，

(6)使用代數的數字和數詞，

(7)理解運作之間的關係。 上述學者提出的觀點，可作為引導學童利用代數推理發展解題，及代數學習必需要

求具備的基礎能力外，尚提供數學教育者在代數課程活動設計，與教學實施的重要啟示，

彌補現今代數教學及內容安排上的缺失： (1)代數教學有關內涵及符號概念，在國小階段可與算術題材結合，透過歸納、推

理尋找變數間的結構與樣式，而解決問題。

130 高雄師大學報 第二十三期

(2)代數符號運用在解題歷程上扮演重要角色，學童可利用其解決未知數、等式問

題，但學童符號概念的建立需先理解問題中變數的結構關係，因此呈現的問題

需有規則、脈絡可循。

(3)代數推理能力發展是循序漸進，可透過策略協助，以內、外表徵方式的操作，

抽離出關係結構，進而運用符號代表未知數。

(4)代數推理呈現之問題情境需與學童生活經驗有關，才易產生概念轉化，及運用

既有知識基礎進行思考與推論。

Bodanskii(1991)對國小一年級學童進行為期四年的代數教學實驗，其課程共分成 5

階段教導學童利用列方程式解題：

(1)教導學童某些重要數學概念(包括：量、量的比較、等式及不等式)；解簡單題

目來培養等號的概念及問題的符號表徵。

(2)培養分析問題情境的能力(已知量與未知量的分別)及用簡單的符號來表示問題

情境。

(3)培養理解情境中資料的關係，分辨等式所需的量、以及表徵圖形關係的結構之

能力。

(4)培養以等式表徵問題呈現的關係之能力。

(5)解方程式及驗算的教學。

Bodanskii(1991)的研究證明：經由合適系統的教學，大部分中、低年級的學童在代

數測驗的表現，都優於同年級，甚至高年級的學童。上述說明，除可提供教師作為設計

代數學習內涵與步驟參考外，在學童代數學習歷程有關概念和行為轉換，也可加以解析

和詮釋，幫助瞭解孩子是如何透過代數的推理而獲得重要的數學概念。我國《九年一貫

課程綱要：數學領域》能力指標之參照與安排，與 Bodanskii 提出課程活動之進展頗為

相近，因此，三年級學童在代數學習方面，應具有其主張之能力基礎，若課程設計者與

教師皆能遵循並依據該序階進行，那麼學童利用代數推理產生的解題表現應與 Bodanskii

的研究結果一樣。然而，學童代數概念與解題表現的發展是否與 Bodanskii 的研究一般

穩定發展，是否能應用代數推理並進行解題，若有困難，是何因素？這些皆值得深入探

究。

參、研究設計與步驟

為了解三年級學童代數推理能力發展及解題表現，研究分三階段進行。首先，參考

Bodanskii 的實驗進程、Kaput、Kaput 與 Blanton 等人主張和《九年一貫課程綱要》能力

指標依據，先行設計代數推理解題評量工具，檢測學童解題表現，並透過觀察訪談，瞭

解學童在代數推理產生之困難、錯誤觀念或欠缺能力技巧，做為下一階段課程活動設計

的依據；第二階段則依據先前調查設計相關學習活動，進行教學；俟教學完後，再進行

解題後測，並伴隨觀察訪談蒐集資料，以比較教學前、後學童代數推理解題表現情形。

國小三年級學童代數推理教學與解題表現研究 131

一、研究對象

參與研究之學生樣本為南台灣地區某公立國小之三年級 30 位學童，皆為同一班學童，該校位於都會區近郊，家長職業多從事工、商，部分務農，社經地位中等。根據能

力指標與學習經驗分析，學童已具備代數推理的一些基礎能力，例如會利用算式填充題

列出算式解題，並能解釋式子與原問題的情境關係，透過( )、□代表未知數，或以具體表徵呈現生活問題情境中的數量關係並解題。

二、評量內容與方式

1.測驗編製

評量工具乃依據前述文獻理論及能力指標編製，作為前、後測蒐集資料與比較之

用。內容分為 1.單位量轉換解題，2.等價關係及解題，3.列式與解題，4.歸納與解題四部分 。 經 Spss12.0 統 計 軟 體 分 析 ， 評 量 工 具 之 子 測 驗 信 度 Cronbach 係 數 分 別為 .70、 .68、 .69、 .83，總量表信度 Cronbach 係數為 .81，可知本測驗工具具高信度，其相關重點如表 1 所示。

表 1 代數推理解題測驗之內容與重點說明

測驗內容 性質 題數 測驗目標 內容重點 備註

1.單位量轉換解

題

算術 6 題 評量學童大、小單位量關係理解與正

確轉換的能力

學童能理解 1 個大容器等於 2 倍中容器的數量，1 個中容器等於2 倍小容器數量的關係，並依題意作數量的

轉換。

1.大小單位數量轉換

2.混合單位轉換

3.屬視覺具體表徵問題

2.等價關係及解

題

算術 5 題 評量學童對等號意義及符號代表數量

關係的理解，並依

等價關係正確進行

兩邊數量的計算

學童能理解等臂天平

平衡時，兩邊數量相

等，理解□、○、△代

表之數量關係，並依題

意進行轉換並正確解

題。

1.單一符號數量轉換問題

2.混合符號數量轉化問題

3.運用符號表徵轉換等值數量思考解題

3.列式與解題

變數 8 題 評量學童對題意內容的理解，並運用

未知數如括弧方

式，正確列出等

式，並進行解題

學童能理解題意，並依

變數呈現之順序，利用

算則符號及未知數列

出等式，並能利用算術

解題方式正確解題。

1.單一步驟算則列式

2.二步驟算則列式

3.多步驟算則列式

4.運用四則運算法則解題

4.歸納與解題

函數 3 題 評量學童對兩變數關係的理解，並能

將之歸納形成樣

式，依題意變化進

行解題

學童能理解題意，正確

指出何者為變數，歸納

出變數之間關係，並依

題意解題，將正確答案

填入表格內。

1.A＋B＝常數

2.A÷B＝常數

3.A×B＝常數

132 高雄師大學報 第二十三期

2.計分方式

除要求學童依題意解題外，並以各種表徵方式(如繪圖、畫表格、利用文字符號描述)

呈現解題的策略方法及思考，作為衡量學童是否理解題意與運用解題的策略、邏輯解釋

之補充資料。評量以紙筆作業方式施測，評量結果除項目 4 外，項目 1 至 3，每題答對

者得一分，答錯以零分計算；項目 4 每題皆有 5 個答案，答對者最高為 5 分，最低為零

分。

3.施測過程

(1)前測

2006 年 2 月底即對受試進行前測，測驗時間為 40 分鐘，測驗後，並針對受試樣本

隨機選取五分之一的個案，總計 6 名進行訪談，瞭解學童在接受代數推理活動教學前，

具備之代數推理解題基礎能力。

(2)後測

教學活動實施後，經十週，於 2006 年六月初實施後測，後測後，針對受試樣本隨

機選取五分之一的個案，總計 6 名進行訪談，瞭解學童接受教學後，在代數推理的問題

情境中展現出單位量的辨識、轉換，有效解題策略的應用，變數之間關係的連結與樣式

的歸納等能力，順利及正確的解決複雜數量關係的問題。

三、課程設計與教學

課程依據文獻理論、學童前測表現中成績較弱部分，如大小單位量的關係如何轉

換、依題意關係進行數量的組合、能以( )或符號代表未知數，列出等式、透過操作理解

兩變數間的關係，並知其總和是一常數，與代數推理發展所需，特別關聯「數與量」問

題與四則運算能力，結合生活經驗進行設計。內涵分為：1.等值概念，2.文字題列式解題

活動，3.變數關係整合活動等單元。相關內容如表 2 所示。

國小三年級學童代數推理教學與解題表現研究 133

表 2 代數推理課程活動設計

(一)等值概念(2 節課，80 分鐘)

活動名稱 說明 目標 備註 1.單位量砝碼轉換

利用幾種重量的砝碼(50 克、20 克、10 克、5克等)，依題意將某類型之砝碼數個，放置天平一端，另一端則要求思考放置所需之砝碼，使

之平衡，問題分為大單位量→小單位量、小單

位量→大單位量、混合轉換等(圖 1)， 例題： 1.左邊放一個 20 克砝碼，右邊需放幾個 5 克砝碼，天平才會平衡？(或幾個 10 克砝碼)(列式記錄)

2.左邊放 5 個 10 克砝碼與 1 個 50 克砝碼時，右邊需放幾個 20 克砝碼，天平才會平衡？(列式記錄)

學童能視覺化操

作、正確的利用實

物進行大小單位量

關係的轉換

實物轉換

2.球體大戰 在三色球體上分別寫上不同單位數量(例如紅球寫上數字 100，藍色球寫上 20，黃球寫上數字 5)，要求學童依題意變化，選取不同數字之球體進行組合(圖 2)。 例題： 1.如果要組合成數字 200，可以將哪些顏色的球組合在一起，方法有哪幾種？(列式記錄)

學童能明瞭顏色球

所代表之數量大

小，並進行實務與

數量關係的轉換

實物與符號

轉換

3.字字珠璣 取出三張不同顏色卡紙，正面分別寫上甲乙丙三個符號，背面分別寫上 100、20 及 10，要求學童依題意變化，取出合適之紙牌進行組合(圖3)。 例題： 2 甲＝( )乙 4 乙＋( )丙＝1 甲 1 甲＋2 乙＝( )丙

學童能明瞭符號所

代表之數量大小，

並進行數量關係的

推理與轉換

符號與符號

轉換

圖 1 單位量砝碼轉換 圖 2 球體大戰

圖 3 字字珠璣 圖 4 財富分配

134 高雄師大學報 第二十三期

(二)文字題列式解題活動(1 節課，40 分鐘)

活動名稱 說 明 目 標 備 註

1.算式填充題練習

教師佈加減乘除相關問題，學童進行列出等式

練習。

例題

1.西斯有 100 元，到書局買了 20 支的原子筆，每支原子筆價錢是多少？

2.媽媽身上也 500 元，到菜市場買了一條魚，花了 150 元，買了一斤豬肉，花了 80 元，媽媽身上還剩多少錢？

3.爸爸給小松 150 元，他到文具店買了一本漫畫，花了 30 元，買一個鉛筆盒花了 120 元，媽媽又給他 120 元，他身上還有多少元？

學 童 能 理 解 題

意，並正確列出等

式

能以 ( )或符號代表未知數，列出

等式

2.未知數解題練習

教師佈加減乘除等類型問題，學童進行解題練

習。 能依算則特性正

確計算出答案

(三)變數關係整合活動(2 節課，80 分鐘)

活動名稱 說 明 目標 備註

1.財富分配 例題：

1.學童 2 人一組，共同分配獎金 800 元(可以換算成其他金額)，記錄每人所得金額，並歸納出兩變項之關係(如你多我就少，但總和是 800 元)，並以表格記錄其關係變化(圖4)。

2.教師提供各種數量之紙鈔(面額有 70、150、350、430 等…)，要求學童從中選擇兩種紙鈔，總和等於 500，並以兩種顏色代表其數量，在統計表上畫出長條圖，並

說出兩者變數之間的關係。

學童能透過操作

理解兩變數間的

關係，並知其總和

是一常數

A＋B＝常數

2.誰買的芒果價錢最貴

教師布置水果買賣情境，大家一起推銷水

果，甲花 100 元買了 5 斤的芒果，乙花 200元買 10 斤的芒果，丙花 400 元買了 20 斤的芒果，透過總價除以重量，得到芒果的單

價，瞭解單價此變數可當成常數，並以表格

記錄其關係變化。

學童能透過操作

理解兩變數間的

關係，並知總和除

以某變數，可以獲

得一常數

A÷B＝常數

3.物以稀為貴 教師布置買賣文具情境，提供不同價格之筆，讓學童利用固定金錢購買不同單價之

筆，以理解筆之單價與數量兩變數的關係，

並以表格記錄其關係變化。

學童能透過操作

理解兩變數間的

關係，並知兩變數

之乘積，可以獲得

一常數

A×B＝常數

國小三年級學童代數推理教學與解題表現研究 135

活動過程特別強調四種技巧之誘導，促進學童代數推理能力之增進： (一)辨識不同單位量物件所代表數量，瞭解其關係，針對問題題意選擇合適之單位量

進行等價轉換。 (二)鼓勵利用各種表徵方式，呈現解題思考與策略，具體化題意。 (三)透過討論，逐步分析題意，理解解題要點，將問題數學化，以列式方式呈現解題

步驟。 (四)判斷變數之間關係，能說明其變化趨勢。

要達成上述解題技巧獲得，研究者在教學執行之每一單元作業，安排五個階段之教

學流程(圖 5)，以激發學童解題行為的表現：

圖 5 本研究教學流程圖

階段一：學童針對教師佈題，利用先備知識及技巧，獨自思考解題，將解題步驟寫

在自備白板上。 階段二：教師指派學童將解題的步驟呈現於黑板，鼓勵同學討論其解題方式、是否

合乎邏輯，其重點及特色如何？ 階段三：二至三人進行小組討論，辨別及判斷何種解題方式較佳，何種方式有誤，

能找出錯誤之處，並做反省。 階段四：對先前作業檢查、修正，選擇合適解題方式加以驗證。 階段五：教師針對不同之正確解題策略做評論說明，分析利弊得失，讓學童明白不

同解題方式適用時機與優缺點。 教學活動皆由研究者擔任，班級導師在旁協助及觀察，提供回饋與修正教學，課室

除要求學童針對問題進行解題外，每節課結束後，另安排三至五題與教學活動單元相似

題目，讓學童當成作業練習，加深代數推理能力與熟悉解題技巧。

四、研究步驟

首先，針對學童代數學習之文獻理論，建構研究所需之評量工具與課程活動內容，

代數推理活動

階段一： 獨自作業

階段二：公開解題

方法和辯證的表徵

階段三：達成解

題方法與辯證共

識的小組討論

階段四：提供修

正獨立作業機會

階段五：良好解

題方法與表徵之

討論示範

136 高雄師大學報 第二十三期

並以此工具進行施測、訪談，瞭解三年級學童代數基礎能力發展狀況；其次，進行為期

一週的代數活動教學，所需時間為五節課(200 分鐘)，於 2006 年三月初實施，教學皆利用早修時段進行。研究實施前，研究者徵詢班導師同意後，即於開學之初進入班級進行

觀察，與學童建立良好關係；活動結束後十週，進行後測及訪談，瞭解教學活動產生之

效力與學童在代數推理測驗上之表現。

五、資料分析

除紙筆作業資料外，另在師生互動與訪談期間予以攝影(音)，以補充資料，這些資料採質性分析，予以編碼歸類。另前、後測表現，則利用 SPSS12.0 統計統體進行平均數與標準差分析，並以成對 t 考驗對前、後測表現分數進行檢驗，以比較其是否有差異存在。

肆、研究結果與討論

一、代數推理前測與訪談分析

表 3 呈現學童前測結果，發現學童在代數推理表現上並不理想(總分 34 分，平均分數為 16.4)，在等式關係解題(M＝1.87)、列式解題(M＝2.57)及歸納解題第三題(A×B＝常數)等項目分數較低，且個體之間變異差距大。從測驗表現及訪談資料分析，可歸納原因如下：

表 3 代數推理前、後測成績表現統計表

項 目 平均數(M) 標準差(D)

成對 1 總測驗前測 16.40 8.98 後測 28.87 4.64

成對 2 單位量轉換前測 4.20 2.22 後測 5.50 1.04

成對 3 等價關係解題前測 1.87 1.73 後測 4.67 0.71

成對 4 列式解題前測 2.57 2.01 後測 5.70 1.76

成對 5 歸納解題 1 前測(A＋B＝常數) 3.30 2.12 後測 4.53 0.94

成對 6 歸納解題 2 前測(A÷B＝常數) 2.70 2.07 後測 4.17 1.32

成對 7 歸納解題 3 前測(A×B＝常數) 1.77 2.11 後測 4.30 1.34

國小三年級學童代數推理教學與解題表現研究 137

(一)對等價關係意義理解產生困難

學童可理解天平保持平衡，可在兩邊的秤盤放上相同的物件，但不知不同的物件只

要重量相同，亦可保持平衡，顯現出對物件之間的等價關係不甚清楚。例如 S3 在等價關係解題上，皆將題意中出現的數字進行加減，對於題意不甚明瞭，對不同物件間等價關

係亦產生困難。

T(研究者)：(指著等價關係解題的問題第 1 題)這一題你寫 1＋1＝2，為什麼？

S3： 因為題目問左邊放兩個□巧克力，所以我就把它加起來！

T： 你再仔細看題目的內容，它要求的答案是什麼？

S3： 喔！左邊的秤盤要放多少克的糖，天平才會平衡。

T： 什麼叫做平衡？瞭解嗎？

S3： 嗯…

T： 想想看天平兩邊的秤盤什麼情形下才不會傾斜。

S3： 都放一樣的東西就會平衡。

T： 你可不可以舉例。。

S3： 左邊放 2 個□巧克力，右邊就放 2 個□巧克力

T： 很好，你現在左邊放兩個□巧克力，右邊可否放其它不同的東西，也可讓

他不會傾斜。

S3： 嗯…不知道…

研究者認為此種等價關係錯誤概念解決方式：在教學過程中，提供實物操作比對，

可建立不同物件之間等價的概念。

(二)符號與數量關係轉換錯誤

此錯誤發生在兩種狀況，一是學童不清楚符號所代表物件的數量，另一是將不同符

號所代表的數量當成一樣，例如：

T： 你在天平左邊秤盤畫了兩個□巧克力，右邊秤盤也畫了兩個△巧克力，它

們一樣嗎？

S29： 不一樣。

T： 你為什麼會這樣做呢？

S29： 我看錯了。

T： 你想一想，□巧克力是幾克，△巧克力是幾克？

S29： □巧克力是 20 克，△巧克力是 5 克。

T： 好，兩個□巧克力是幾克？兩個△巧克力是幾克？

S29： 兩個□巧克力是 20×2＝40 克，兩個△巧克力是 5×2＝10 克。

T： 你為何在天平左邊秤盤畫了 15 個□巧克力，而在右邊畫了這麼多個△巧

克力？總共有幾個△巧克力？

138 高雄師大學報 第二十三期

S11： 總共有 75 個△巧克力？

T： 你為什麼要畫這麼多的△巧克力？

S11： 因為一個△巧克力是 5 克，所以 15×5＝75。

T： 但為什麼 5 要乘以 15？

S11： 喔！因為一個□巧克力是 20 克，比一個△巧克力 5 克還要重 15 克，所

以我在右邊畫 15 個□巧克力，那麼右邊就要乘以 15，所以有 75 個△巧

克力。

要解決學童等價關係錯誤概念，研究者認為需讓學童藉由操弄代表數量之符號，進

行轉換的練習，才能理解不同物件代表的數量意義，並進行等價轉換。

(三)對題意瞭解不夠深入，致使列式解題錯誤

學童會利用算則進行計算，唯對題意誤解致使答案錯誤。

T：你列出的式子是 36÷3＝( )，為什麼要這麼列？

S29：因為有 3 盒彈珠，總共有 36 顆，所以要 36÷3。

T：題目裡告訴你只有 3 盒嗎？

S29：嗯……不是！

T：你看到有幾盒？

S29：有 4 盒！

T：你知道這表格在說明什麼嗎(歸納解題第 3 題)？

S3：不清楚……

T：這一格是對的答案，你為何要填上 200？

S3：不知道，亂寫的。

T：好，這指的是什麼意思？

S3：嗯…好像是錢……

T：什麼東西的錢？

S3：嗯……

此問題需加強學童對題意的理解，以及變數所代表的意義及它們之間關係的連結。

(四)解題策略與等號概念有誤，致使計算步驟錯誤

T： 你列出的式子為( )－3＋5＝9，寫出的答案是 11 顆，可以告訴我你是怎

麼算出答案的？

S21： 我先將 5－3＝2。

T： 你列出的式子是－3＋5，為什麼要用 5－3？

S21： 這個題目先減後加，老師說過可以反過來先加再減，所以我就用 5－3。

國小三年級學童代數推理教學與解題表現研究 139

T： 那這題也一樣了(指著式子 15＋( )－9＝8)。

S21： 對，我先用 15 減去 9。

T： 很好，接著呢？

S21： 因為 5－3＝2，2 再加 9 就等於 11。

T： 11 代表什麼？

S21： 11 是( )的數。

T： 2 為什麼要加 9？

S21： 嗯……

T： 好！那你把( )當成 11，再計算一次。

學童已經理解題意，並正確的列出式子，但對於等號兩邊數字的運算轉換發生錯

誤，將等號(＝)視為產出結果的工具，以致於把數字放在同一邊處理。要解決此問題，

需加強學童等號所代表的意義概念，並訓練算術解題的技巧。

(五)無法找出問題中之變數，明瞭變數之間的關係

許多學童無法觀察出題意中何種變化事項可視為變數，與之間變化的關係，因此無

法進行解題。教師在訓練學童解題時應指導其觀察題意中之物件變化，明確的辨認何種

物件為變數，並透過圖像或表格明瞭其變化的關係和趨勢。

(六)缺乏精細準確計算能力，致使答案錯誤

T：你知道哥哥和小育的錢總和是多少？

S29：他們兩人的錢加起來是 300。

T：小育的錢如何算出來？

S29：用 300 元減去哥哥的錢就能算出小育的錢。

T：很好，那 300 減去 45 應該是多少呢？

S29：在紙上試算，是 255。

T：你為何寫 55？

S29：我算錯了！

教師應鼓勵學童運用後設認知相關策略，進行學習結果的監控與驗算，以提升計算

正確比例。

二、師生教學活動互動之分析

有關教學活動歷程師生交互作用資料之分析，配合教學流程，以代數推理有關的基

礎能力，如單位量辨識、轉換，列式與有效解題策略的應用，樣式的歸納與變數之間關

係的連結等能力表現為主。

140 高雄師大學報 第二十三期

(一)單位量的辨認與轉換應用

透過「單位量砝碼重量的辨識轉換」與「球體大戰」兩項活動後，學童對於等值概

念有較穩固的基礎，因此在「字字珠璣」活動中，大部分的學童都能表現出較正確的等

值的轉換。

T： 我現在手上拿的是甲卡片，請問大家它代表的數量是多少？

S： 是 100。

T： 好！請和你隔壁的同學一組，拿出桌上的乙卡片和丙卡片來，根據你喜愛

的組合方式，拿出幾張，讓它們的數字總和等於甲卡片的數字(每種組合

當中一定得有乙卡片和丙卡片喔！)，請你們把結果排出來…教師巡堂…

好！哪一組的同學願意將你排列的方式跟大家分享。

S21： 我們這組是用 3 張 20 和 4 張 10 組合的。

S3： 我們是用 1 張 20 和 8 張 10 組合的。

S29： 我們用 4 張 20 和 2 張 10 組成的。

T： 非常好！請問你們組成的數字總和是多少呢？

S： 100。

T： 好！和哪一張卡片一樣呢？

S： 和甲卡片一樣。

T： 那麼我們可不可以將它們寫成式子表達他們的關係？

S3： 我們的式子是 100＝20＋(8×10)。

T： 我看見 S21 那組寫的是甲＝3 個乙＋4 個丙，好像表達的方式不一樣喔！

怎麼會這樣呢！

S7： 我覺得他們兩組的方法都對，一個是用阿拉伯數字表示，一個是用甲乙丙

表示。

T： S7 說他們兩組的方法都對，你們同意嗎！

S： 同意！

T： 大家都同意，哪一組可以說明為什麼？

S21： 因為甲代表 100，乙代表 20，丙代表 10。

T： 很好，S3 你們那組如果用甲乙丙表示，會怎麼列式？

S21： 嗯！他們的式子是甲＝1 個乙＋8 個丙。

T： 大家同意 S21 那組的答案嗎！

S： 同意！

T： 好！S3 這組的答案本來是 100＝20＋(8×10)，我們用甲乙丙的方式把它列

出成甲＝1 個乙＋8 個丙的式子，這種方式可以幫助我們做紀錄，這裡老

師要補充，1 個乙我們可以直接寫乙就好，8 個丙可以寫 8 丙，3 個甲可

國小三年級學童代數推理教學與解題表現研究 141

以寫 3 甲，「個」可以省略，而且甲乙丙國字也可以用 ABC，或是 XYZ

來表示，像 3 甲也可以寫成 3A 或是 3X，大家瞭解嗎！

S： 瞭解！

T： 好！還有一個問題要問大家，就是甲＝乙＋8 丙可不可以寫成乙＋8 丙＝

甲？

S29： 可以的，因為這是交換律。

T： 交換律？喔！我聽到有人說交換律，什麼是交換律，S29 你能不能說明一

下。

S29： 這邊是 100，移到那邊也是 100，他們只是位置改變而已。

經由本單元活動練習與教師引導後，學童們對於符號可用來代表數字以呈現等式，

以及它們之間等值概念與等號兩邊物件可以互換等皆有顯著明確的認識。

(二)列式與有效解題策略的應用

當學童明瞭可用符號代表未知數後，為協助學童們能理解題意，正確列式，研究者

鼓勵學童可採用各種表徵方式，幫助思考及解題。

T： 剛才同學們呈現的式子都正確了， 150－30－120＋120＝( )的答案是多

少？

S29： 120。

T： 你是怎麼算出來的？

S3： 老師！他用心算！

T： 好！除了用心算外，還有沒有其它的方法，可以很快的算出答案。

S29： 很簡單啊！150 減去 30，再減去 120 就等於 0，再加上 120 就等於 120。

T： 你們有沒有發現這裡要減去 30，然後減去 120，是不是總共要減去 150，

這 150 可不可以將 30 和 120 加起來。

S： 可以。

T： 那我們可不可以改變式子的寫法呢？

T： 我發現有一組同學他們的式子與大家不同，S4 他們列出的等式是 150－

(30＋120)＋120＝( )，其它同學是 150－30＋120＋120＝( )，這兩種等

式，哪種正確？大家討論一下！

S3： S4 的正確，因為這樣答案才會等於 120。

T： S3 你能不能再說清楚一點，我們還不是很明白！

S3： 嗯…

T： 沒關係！有誰可以幫他的忙！

S29： 因為括弧裡的數要先算！

T： 喔！S29 說括弧裡的數要先算，怎麼解釋呢？為什麼要先算！

142 高雄師大學報 第二十三期

S4： 因為 30 和 120 都要減去，可以把他加在一起，所以用括弧先框住它。

T： 很好！S4 的說明講括弧裡的數字代表問題中要先處理的事情，這些事情

都有相同的性質，像減 30，減 120，都是要減，所以可以用括弧把它框住，

先算，然後再算其他的數字。

S24： 老師！我發現也可以將式子後面的－120＋120 先抵銷變成 0，就變成 150

－30，也等於 120。

經教學歷程的討論、辯證，除了修正列出之錯誤等式外，同學們對等式之解題步驟

也會經思考、驗算求出正確結果，且經腦力激盪後有更多成熟合適之解題策略產出。

(三)樣式的歸納與變數之間關係的連結

以「誰買的芒果價錢最貴」此題為例，看見學童經由教師引導後，可以透過物件的

變化，辨識何者可以成為變數，且由變數之間關係的推理歸納，得到問題的型態，以及

運用合適解題策略正確解題。

T： 這個題目裡，有誰花錢買芒果？

S24： 有三個人！

T： 有甲、乙、丙三人，他們花的錢有沒有一樣？

S： 沒有！

T： 很好他們花的錢都不一樣，但他們都是買芒果，買的芒果數量都一樣嗎？

S： 不一樣！

T： 題目有沒有告訴你們他們各買了多少的芒果！

S： 有！

T： 你們想一想他們是怎樣買到這些數量的芒果？

S3： 用錢買的！

T： 當然是用錢買來的！我的意思是甲為何可以買到 5 斤的芒果，乙可以買到

10 斤的芒果，丙可以買到 20 斤的芒果。

S21： 因為甲花 100 元，乙花 200 元，丙花 400 元。

T： 好，你們有沒有跟媽媽到市場買菜過？

S： 有！

T： 假如媽媽要買芒果，他會怎們跟生意人打交道？是不是隨隨便便就拿了很

多！

S17： 不是，我媽媽都會先問價錢，然後再挑。

T： 喔！有人說媽媽會先問價錢，然後再買，但我不清楚什麼叫價錢，可不可

以解釋清楚！

S4： 價錢就是你買一斤的東西花 10 元，那麼買 2 斤就要拿出 20 元。

T： 說得真好，我們買東西的時候都會用一個單位來做買賣，像用一包啊！一

國小三年級學童代數推理教學與解題表現研究 143

斤啊！一箱啊！這些都會附上一個價錢，我們稱他為這個東西的「單價」，

所以 S17 的媽媽會先問老闆芒果的單價是多少。你們看看題目，誰買的

芒果最多？誰買的芒果最少？

S17： 丙最多！甲最少！

T： 好！那麼老師說丙買的芒果單價最便宜囉！甲的最貴了！

S： 不是！不是！

T： 那你們認為誰的最貴！誰的最便宜！

S4： 我們不能這樣比，因為他們花的錢都不一樣！

T： ㄟ！有人發現他們花的前都不一樣，所以買的芒果數量也不一樣喔！那是

不是丙花的錢最多，所以他買的芒果最貴？

S4： 不是這樣，我們應該算出他們每個人買的芒果單價，再來比。

T： 謝謝 S4 提供的意見，你們認為怎樣！

S17： 沒有錯！你看丙花最多錢，買了 20 斤的芒果，再來是乙，買了 10 斤，再

來是甲，買了 5 斤，但是甲花的錢最少。

S3： 我們可以用「單價」來比。

T： 好！那我們就用「單價」來比誰買的芒果較貴，但是「單價」要怎麼算出

來呢？題目又沒有告訴你！

S21： 把 100÷5 就是「單價」了。

T： 為什麼要用 100 除以 5 呢？

S21： 因為買了 5 斤的芒果，花了 100 元，所以要算一斤是多少元？

T： 那麼乙和丙買的芒果單價要怎麼算？

S3： 用 200÷10，用 400÷20。

T： 就是用全部的價錢除以買到的數量，就可以獲得芒果的單價，哪一個人的

單價較高？

S21： 都是 20。

T： 誰的單價高呢？

S21： 三個人的都一樣。

T： 好！三個人的單價都一樣，你們有沒有發現三個人芒果的單價都一樣時，

錢花的越多，買到的芒果越多！

S3： 對！甲花的錢最少所以買到的芒果最少。

T： 當芒果價錢都一樣時，花的錢越多，買到的芒果數量越多，花的錢越少，

買到的芒果數量就越少。

從活動中發現學童若要對變數的關係有所瞭解，教師宜從其生活經驗做引導，透過

變數的變化狀況，協助學童找尋並歸納出其間的關聯，並對相關的概念加以說明、連結，

以提升代數推理解題能力。

144 高雄師大學報 第二十三期

三、代數推理後測與訪談分析

由表 3 統計分析結果比較，得知學童經代數推理活動教學後，在後測表現上，顯著優於前測，透過成對 t 考驗分析比較(如表 4)，學童在測驗內容各項目皆較前測有明顯的提升，在統計上達到顯著差異，說明了代數推理教學具有效力，尤其在使用表徵協助解

題、理解代數符號意義與轉換、列出正確等式並明白變數間關係、正確及精熟地計算等

層面上，皆有進步，茲敘述如下：

表 4 代數推理前、後測比較成對 t 考驗統計分析

成對變數差異 項 目 平均數 標準差 標準誤

t 值 顯著性

成對 1 總測驗前測－後測 -12.47 6.93 1.23 -9.86 .000***

成對 2 單位量轉換前測－後測 -1.30 1.66 .30 -4.28 .000***

成對 3 等值概念前測－後測 -2.80 1.92 .35 -7.99 .000***

成對 4 列式解題前測－後測 -3.13 2.19 .40 -7.83 .000***

成對 5 歸納解題 1 前測－後測 -1.23 2.01 .37 -3.36 .002**

成對 6 歸納解題 2 前測－後測 -1.47 1.93 .35 -4.17 .000***

成對 7 歸納解題 3 前測－後測 -2.53 1.93 .35 -7.21 .000***

**p＜.01，***p＜.001

(一)能利用各種表徵方式，表達題意並正確計算出答案

在後測上可見學童會採用各種表徵方式(圖 6)呈現問題中變數的關係，使其具體化易

於計數或計算，以求得正確答案，這顯示出學童理解單位量的意義，並能對單位量所代

表之數量大小關係加以轉換解題。

國小三年級學童代數推理教學與解題表現研究 145

6.1 S24 解題表現

6.2 S4 解題表現

6.3 S3 解題表現

6.4 S22 解題表現

圖 6 利用各種表徵呈現單位量意義並進行解題

146 高雄師大學報 第二十三期

(二)能理解符號代表的意義，轉換成等值數量

學童已知符號代表數量進行運算，並明白天平兩邊的秤盤要維持平衡，則需放置等

價的物件，所需物件的個數則與其所代表的數量有關，如圖 7 所示：

7.1 S24 天平等價關係的操作

7.2 S13 符號代表數量關係的轉換

圖 7 符號代表數量關係與計算

S24： 因為一個□形巧克力代表 20 公克，2 個就是 20＋20＝40，右邊要和左邊平衡，所以也要放上 40 克的巧克力，因為△形巧克力一個是 5 克，40÷5＝8，所以要放 8 個△形巧克力。

S13： 左邊一個□形巧克力是 20 克，右邊要和它平衡，可以放 5 克的△形巧克力 4 個，也可以放 10 克的○形巧克力 2 個，也可以放跟它一樣□形巧克力的 1 個。

國小三年級學童代數推理教學與解題表現研究 147

(三)能列出正確等式，依題意變數先後關係進行解題

學童閱讀題目後，除了明白解題目的外，也能依照變數在題目中出現的先後，正確

的列出等式，並透過算術之移項方法正確的解題，如圖 8 所示：

8.1 S21 解題表現

8.2 S1 反向思考列式解題

圖 8 正確列式與解題

S21： 我用？代表小明原來的彈珠，因為輸了 3 個，所以要－3，再買了 5 個，所以要＋5，總共是 9 個，所以 9－5＝4，就是扣掉買的，再加上輸的，等於 7 個。

S1： 因為口袋有 9 個，是加上買的，所以先用 9－5 表示，再加上輸掉的 3 個，就是原來的，所以原來的有 7 顆。

(四)能理解變數間關係，歸納樣式並依題意正確解題

由圖 9.1 與 9.2 可以得知 S4 和 S24 明白問題中變數變化的關係，知道哥哥和弟弟的

錢數總和為 300，要求出兩人分配的錢，只要用 300 減去其中已知一方的錢數，剩下的

就等於另一人的錢數。圖 9.3 與 9.4 中 S21 與 S1 從題目的變化，得知小東得到錢的總數，

是其所存的錢的兩倍，利用算術乘法方式正確的計算出表格所需填上的答案。圖 9.5 顯

示 S13 知道原子筆的價錢可由錢的總數除以購買的數量得知，也知道購買的數量亦能由

錢的總數除以單價獲得，他們亦瞭解當錢的總數一定時，原子筆的單價越貴，購買的數

量就會越少，原子筆價錢越便宜，就能買到越多的數量。他們不僅可從題意中辨識何種

物件可作為變數，更能透過變數變化的關係，歸納形成規則和樣式，利用算術正確解題。

148 高雄師大學報 第二十三期

9.1 S4 解題表現

9.2 S24 解題表現

9.3 S21 解題表現

9.4 S1 解題表現

9.6 S13 之解題表現

圖 9 歸納解題之表現

國小三年級學童代數推理教學與解題表現研究 149

伍、結論與建議

一、結論

本研究目的旨在了解國小三年級學童利用代數推理進行解題表現情形，設計適宜代

數推理課程活動，進行代數推理教學，探討學童經由代數推理教學後，課程活動呈現之

效力與學童解題之表現。綜合結果得知，大多數三年級學童在代數推理解題前測的表現

不盡理想，呈現出對等價關係意義理解產生困難，等號觀念仍維持在單一方向結果的工

具，同時對符號所代表的數量大小混淆，符號與數量關係轉換錯誤，同時對題意瞭解不

夠深入，解題策略與等號概念有誤，致使列式與計算步驟錯誤，以及無法找出問題中之

變數，明瞭變數之間的關係而進行精細正確的計算。這些代數「歸納」與「形式化」能

力不足，在於其先前算術學習歷程中，教師只重計算結果的正確性，對於等式中有關未

知數代表的意義與變化，數量之間關係的操弄與轉化等步驟，並未讓學童有進一步的探

究和理解，致使算術的目的旨在計算出答案，未能與代數結合而協助其發展歸納和推理

能力。針對此項問題，透過課程設計與教學實施後，學童能從合宜的代數問題或情境中，

表現出更為優異的推理解題能力，他們能利用各種表徵方式表達題意，同時能理解符號

代表的意義，轉換成等值數量，列出正確等式，理解變數間關係，歸納樣式，依題意變

數先後關係進行解題。 很明顯的，本研究取樣之三年級的學童透過合適的課程設計與教師適切的教學導

引，配合代數推理基礎能力像是未知數意義、等價關係、列等式、變數之辨識與歸納、

型態建構與解題能力的訓練與精進，在代數推理解題表現上會有良好的成就表現，證明

代數教學是可在小學階段實施，且有良好成效。

二、建議

本研究之學童在代數推理解題評量上有良好之表現，歸納促進及提升其成就表現的

原因，除需有良好之學習進程設計與適切的介入練習外，要能讓學童發展及建構代數推

理之歸納和表達的基礎能力，首先，對安排設計之解題情境與問題，應以學童日常生活

接觸之事件為主，透過其經驗將算術融入代數，觀察問題之變化，理解數字呈現之規律

關係，歸納出問題型態，進而轉化成符號而解題；其次，應鼓勵學童運用符合其認知發

展的表徵方式，透過表徵將抽象的意義具體化，協助其推理發現變數之間關係，歸納出

公式進行解題；再者，藉由物件操弄歷程建立的經驗對代數推理的發展是有幫助的，這

些產出的步驟也是連結算術和代數重要的橋樑，因此，小學代數課程設計與教學安排可

先以具體物之操作為核心，進而轉化成抽象符號運算，將可縮減學童代數學習的間隙；

最後，教師應培養與增進教導學童有關代數推理發展的知識和技巧，如多元變化與解題

情境之設計、未知數解題技巧、尋找歸納變數、函數關係，運用交換律、結合律等具體

數學系統的公理，如此才能辨識及理解學童代數推理歷程的思考，給予適切指導協助，

進而建構與發展更佳的數學解題能力。

150 高雄師大學報 第二十三期

參考資料

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