紐約州

P-12 共同核心

數學

學習標準

本文包括完整的《數學相關共同核心標準》，以及紐約州當地的額

外標準。本文亦包括所有來自 New York State Mathematics Common Core Workgroup (紐約州數學共同核心工作室) 推薦的額外標準，並

在對應章節以黃色顯示。

目錄 介紹 ........................................................................................................................................................... 3 

數學：《數學練習標準》 ....................................................................................................................... 5 

數學標準 - 學前：介紹 ............................................................................................................................ 8 

數學標準 - 幼稚園：介紹 ...................................................................................................................... 10 

數學標準 - 一年級：介紹 ...................................................................................................................... 13 

數學標準 - 二年級：介紹 ...................................................................................................................... 17 

數學標準 - 三年級：介紹 ...................................................................................................................... 20 

數學 – 四年級：介紹 ............................................................................................................................. 25 

數學 – 五年級：介紹 ............................................................................................................................. 30 

數學 – 六年級：介紹 ............................................................................................................................. 35 

數學 - 七年級：介紹 .............................................................................................................................. 40 

數學標準 – 八年級：介紹 ..................................................................................................................... 45 

數學標準：高中 ..................................................................................................................................... 49 

數學 — 高中數字與數量：介紹 ........................................................................................................... 50 

數學 — 高中代數學：介紹 ................................................................................................................... 53 

數學 — 高中函數：介紹 ....................................................................................................................... 57 

數學 — 高中建立模型：介紹 ............................................................................................................... 61 

數學 — 高中幾何學：介紹 ................................................................................................................... 63 

數學 — 高中統計學和機率：介紹 ....................................................................................................... 68 

名詞解釋 ................................................................................................................................................. 73 

著作參考範本 ......................................................................................................................................... 82 

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介紹 核心及一致性

「…數學經驗源自嬰幼兒期的環境，並應該集中學習：1, 數字 (包括整數、算術及關係)；2, 幾何形狀、

空間關係及測量。與其他主題相較，針對數字的學習時間應該更多。學習數學過程的目標應考慮以上

各點。」 —“Mathematics Learning in Early Childhood, National Research Council, 2009”

「…[應用在香港、韓國和新加坡] 複合標準法具有諸多特色，可以應用於美國的 K-6 數學標準的國際化

定義。首先，複合標準法看重數字、測量，以及幾何數學；而非主力在數據分析，也較少涉及代數。在

香港， 一至三年級學生花一半時間學習數字，剩餘時間則分配在幾何學和量度。」 — Ginsburg, Leinwand and Decker, 2009

「…由於[美國]教科書的數學概念較為薄弱，學習的成果亦變得較為制式。我們就此探討美國使用傳統

的和非傳統教科書，從而找出兩者的弱點。」 — Ginsburg et al., 2005”

「…設計課程的方法眾多。我們當前面臨的挑戰，是如何避免被扭曲的數學讓學生學習卻步，儘

管這情況現在已十分少見。」 — Steen, 2007

十多年來，數學成績較出眾的國家研究均指出，美國的數學教程必須更專一和連貫，方可提高國人的數

學成績。為履行一個通用的標準，課程必須解決的問題，是如何讓學習「無限衍生卻又深入淺出」。制

定標準，自然是面對挑戰的不敗答案。 我們必須體認，「標準少」並不可以代替核心標準。廣泛及一般的標準，方可實行「少標準」的理念。所謂

的標準，應該針對清晰及具體兩方面下手。 評估一套標準的一致性，比評估標準的重點更困難。William Schmidt 及 Richard Houang (2002) 均指出，一套

連貫的標準及課程應該符合：

「…學科內容的順序和層次可以以連串主題和展示方式表達，隨時間保有邏輯性和應用性，並在適當

的情況下可以自主題自行衍生說明。換言之，學生如何被教導，以及被教導的內容不應僅限於某一個

學科主題。教程也應該兼顧如何整理知識及如何產生知識。這也意味著課程的「一致性」，意謂教程

內容標準必須從細節出發，鞏固課程的鋼要 (例如，整數的意義和運算，乃包括整數和分數相關的簡單

數學和常規計算程序)。課程鋼要需要串連細節 (例如有理數系統及其特色)。(重點加強)」 這些標準應遵循以上及的設計理念，不應只強調理解核心概念，還需要不斷反覆整理主題以鞏固整體組織

性，例如位值或算術法則。

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此外，數學標準中的「主題和展示順序」大綱，必須注重學生的學習過程。Confrey (2007) 指出，在安排學

生解決「排序的障礙 及挑戰時…缺乏認真探究學習的箇中意義，是不幸而且不明智的。」有鑒於此，標準

的發展以研究學生在數學知識、技能及 理解能力上的詳盡進步為起點。 理解數學

以下標準制定了學生應該可以理解什麼知識，以及如何應用數學知識。當學生被問及是否理解一樣事物時，

亦等同詢問老師是否可以評核學生已否已然理解該事物。可是，何謂數學理解？數學理解的其中一個特徵，

是可以用 適當的方式，評核學生對數學的掌握度。例如，為什麼某個數學陳述是正確，或某個數學規則的

根據。一個學生有能力擴展一個公式，如 (a + b)(x + y)，與解釋公式的思路邏輯，存在一定的差異。如果

學生可以解釋他們如何理解數學規則，就比較可以解答不熟悉的題目，例如 (a + b + c)(x + y)。數學理解和

建構技巧同樣重要，而且兩者均可以透過充足的數學題目衡量相關能力。 標準會按照級別制定，但不會定義任何干預學習的方法，或輔助任何程度學生所需的教材。標準亦會超脫

自身範圍，為英語學習者及特殊需要的學生，制定一個合適的全方位標準。同時，學生亦必須有機會在日

常生活中，學習及應用所學。課程必須允許學生從開始就充分參與，並佐以適當的工具輔助特殊需求的學

生。例如，針對閱讀障礙的學生，課程應配以盲文、讀屏技術，或其他輔助設備。而寫作相關的工具則應

該包括書記、電腦或語音朗讀技術。以此類似，手語亦應當應用在口語和聽力上。目前並沒有一套準則，

可以完全含蓋學生能力、需要、學習速度，以及學生在某個教室內的成就。然而， 新標準可以為所有學生，

提供明確指標，應付他們進階至大學或準備就業所需。標準以八個標準數學練習，在此展開。 如果研讀級別標準

標準 (Standard) 即學生應該理解及可以達成的目標。 組別 (Cluster) 綜合相關標準。由於數學是連貫性的，因此在某些情況下，不同組別的標準會息息相關。 章節 (Domain) 綜合相關標準組別。來自不同章節的標準亦會息息相關。

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這些標準並沒有制式的課程和教學方法。例如，雖然 A 主題出現在 B 主題之前，卻不代表老師必須先教導 A 主題方可進階至 B 主題。老師可以自行決定是否先教導 B 主題，或同時教導兩個主題特顯兩者的關聯性。

老師亦可以隨個人喜好，透過與主題相關的副產品，讓學生達到兩個主題的標準。 到底學生在特定級別應該學習什麼課程，應取決於他們已學過什麼內容。理論上，本文涉及的每一個標準，

老師應該以「已學過 A 主題的學生，應該進階至 B 主題」的方式判讀。然而，這判讀方式並不實際。畢竟，

目前的教育研究，仍然無法定明所有學習途徑。因此，特定題目會因應各州及國家的比較結果，以及來自

學者、研究人員及數學家的集體專業判斷為基礎，再應用在各個級別。成立共同的州別標準，將可以利用

研學習進步究的成果，大幅改善日後制定標準的過程。真正的學習仍然會隨學校及制度而有所不同。導師

應該以學生當下的理解程度，盡力迎合每個學生的需求。 新標準並非舊瓶新酒，而是踏步往前的驅動力。經過二十年以「標準」為基礎的改革，現在正是各州攜手

整理、統籌過去經驗的時侯。我們必須承認，這些標準並非僅止於對學童的承諾，亦是我們致力維護的目

標。

數學：《數學練習標準》 《數學練習標準》說明了各階層學者需要讓學生發展的多樣數學專長。標準的重點是「程序及熟練度」，

以及數學教育的長期重要性。美國國家數學教師理事會 (NCTM) 的首項標準程序是解決問題、推理和論

證、溝通、表達，以及串連。第二項是國家研究委員會《Adding It Up》報告中提出的：適應性推理、策

略能力、概念理解 (數學概念的掌握、操作和關係)、程序流暢度 (有彈性、準確、有效和適當地鋪陳次序)，以及有效率的部署 (習慣性將數學視為合理、實用、有價值的知識，並相個人的勤奮及成效)。

1. 理解問題及堅持解決問題 數學掌握度高的學生會嘗試自己解題，並找出初步的解題方法。他們會嘗試分析題目、限制、關係及目標。他們也可以猜測解題的方式及意義，從而想到解題的具體步驟，而非看見題目就直接進入某個解題模式。他們應該學會聯想類似題目，並嘗試以不同但更簡單的方式解題。學生應該要審視自己的進步，視需要更改解題方法。年紀較長的學生，可以視問題的範圍，將題目改以代數方式表達，或改變圖形計算機的顯示方式，以獲得所需資料。精通數學的學生，可以解釋公式、口頭描述、製作表格及圖表，或題目的主要特徵和關係，從而找出規律或趨勢。年幼的學童則可能需要依賴具體物件或圖案，方可將概念視覺化，然後再解題。精通數學的學生會以不同方式檢查答案，並會反覆自問：這解答合理嗎？他們會明白其他人的解題方式，並辨認出不同解題方式的箇中差異。

2. 解題可以抽象化與量化並行 精通數學的學生會量化數值的關係從而解題。他們在解釋數量關係題目時，會利用以下額外的能力：抽象化的能力：用抽象化的方式、符號表示及分析題目，讓數值不需要指定的參照項目，即仿如一個實物。概念化的能力：在運算時適時暫停，將參照項目代入對應的符號。定量推理亦是將題目的問題連貫起來的能力，包括： 考慮涉及的單位、瞭解數量的真正意涵而非只會計算，並且可以靈活運算及應用不同項目。

3. 建構可行的論證，及評論同學的推論 精通數學的學生會明白假設、定義，以及引用之前得出的結果，在解題時適當運用。他們會透過猜題過程建立邏輯，進而明白過程的真理。學生也懂得將題目按照不同情景分析，而且辨識反例。他們可以為自己的結論提供佐證，回應他人的論點。他們懂得歸納數據，在推論時適當地考慮數據產生的背景。精通數學的學生也會比對兩個合理論點的有效性，區分正確的邏輯，或推理並說明哪一個是錯誤的論點。小學生則會利用具體參照物建立論點，包括物件、圖畫、圖表及動作。就算他們得出的論點並不可以被普遍應用，或正式應用在更高年級的學習過程，這些論點本身必須合理而正確。接著，學生就可以決定可以套用的邏輯範圍。所有級別的學生都可會聆聽及說出他人的論點，判斷那些論點是否合理；再提出建設性的問題澄清或改善論點。

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4. 數學的模型 精通數學的學生可以在日常生活、社會及職場應用所學到的知識。在低級別時，所謂的應用可以是寫出可以說明狀況的額外公式。當他們升級時，學生就可以將所學到的推理能力，應用在舉辦學校活動，或在日常生活中分析問題等方面。到他們唸高班級時就可以利用幾何學解答設計相關的問題，或用函數 說明兩樣事物的對應關係。由於精通數學的學生懂得應用所學，他們進行假設、粗算較為複雜的題目時較為稱心上手。他們也會知道有必要作出某程度的修改。他們能夠實際地辨別數量，並利用圖表、雙向表格、圖形、流程圖及公式，說明各物件的關係。他們會以數學的思維分析關係，從此得出結論。這些學生也會反覆思考結果，並將結果套用在實際情況以證明他們的推論是否正確。如果推論的方式未達成某個目標，他們也會作出改善。

5. 有策略地使用適當的工具 精通數學的學生在解題時會考慮應用適當的工具，包括紙筆、實質的模型、量尺、量角器、計算機、表單、電腦代數 系統、統計學或動態幾何軟件等。他們會隨著級別或課程，決定應該採用哪種 工具輔助計算，並可以分辨出工具的功效及限制。例如，他們可以用圖形計算機分析函數的圖表及題目。他們會有策略地估算及利用其他數學知識，找出任何錯誤。在建立數學模型時，學生 會知道可以應用什麼技術將不同假設、結果，以及將數據比對視覺化。他們會隨著不同級別，從其他途徑尋求資源 (例如網上內容) 輔助解題。此外，他們亦會利用技術工具，探討及鞏固所學。

6. 注意精確性 精通數學的學生會嘗試精準地傳達概念。他們會在與他討論或是自我推理時，均會盡量使用清晰的定義。他們會陳述所選的符號，包括持續及正確使用等號。他們亦會小心注意量度單位，並標明 軸的數值。他們會有效率且準確地計算，並按照情況精準地以數字表達答案。在較低年級時，他們就會細心思考自己提供予同學的答案；而在升級時，他們更會進而檢討自己提出的論據，並具體地應用定義。

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7. 尋找與利用架構 精通數學的學生會小心辨別圖案或結構。例如，年紀小的學生可能會注意到一個數字的三倍加 7，等同這數字減 7 再除以 3。他們也懂得 按照圖形的不同面及形狀排序。學生在準備學習分配定律時，也會發現 7 × 8 的果等同 7 × 5 + 7 × 3。在 x2

+ 9x + 14 的數式內，年長的學生會看出 14 = 2 × 7，9 = 2 + 7。他們會意識到一個幾何圖形中哪一條線重要，並利用輔助線解題。他們更會退一步綜觀整個題目及改變解題的角度。當看到複雜的項目 (例如代數式)，他們可以分辨單一或多個項目的組合。例如，他們可以看出 5 – 3(x – y)2

等於 5 - 一個正數的平方值，從而知道 x 及 y 的實際數值不會大於 5。

8. 查找與表達出重覆推理的規律性 數學好的學生會意會到一個算式是否具有重複性，以此找出通用法則或解題的捷徑。更高年級的學生，更會看出 25 除以 11 將一直重複，從而知道這算式會得出一個重複小數。當細心 計算斜率時，學生會反覆檢查線上的點是否有穿越 (1, 2)。初中學生亦懂得將 (y – 2)/(x – 1) = 3 的公式抽象化。當展開 (x – 1)(x + 1), (x – 1)(x2

+ x + 1) 及 (x – 1)(x3 + x2 + x + 1) 時，學生會注意到某些項目會有規律地被抵銷，從而得出幾何系列

的總和。數學好的學生在解題時，他們會注意細節並懂得抽身綜觀整個算式。他們在得出中間結果時會同時不斷檢查數值的合理性。

將練習標準與數學標準連結內容

數學練習標準，制定了如何按照不同年級，提升學生對數學的掌握度及熟練度。從課程設計、評估至專業

發展，都應該將教學與實踐連結在一起。 《數學內容標準》是一套平衡教程及理解的標準。「理解」一詞可說是連結教程及實踐的 佳形容詞，因

為缺乏理解的學生，可能會太過依賴解題的過程。若欠缺靈活的基礎，學生比較無法具備以下能力：解答

類似問題、連貫性地相解題、證明結論、將數學應用到實際情況、運用技巧進行數學相關的工作、準確地

講解數學理論、從結論退一步思考，或從已知的程序找出解題的捷徑。簡而言之，不真正理解數學的學生，

將無法實踐所學。 因此，以理解為首要導向的課程內容，將連結《數學內容標準》與《數學實踐標準》。這些課程內容，會

注重時間、資源、創新性等核心及一般概念，並從質量上改善課程、教學、評估、專業發展，以及學生的

數學成績。

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數學標準 - 學前：介紹

在學前時期，指導應該著重兩大關鍵領域：(1) 利用具體物件引導理解整數的概念，包括

對應項目、計數、基數及比較；(2) 在學習環境中描述圖形。應分配更多學習時間理解數

目而非其他主題。

(1) 培養學生理解整數的含義，並以小組計數方式，幫助他們辨認數目- 這也是 基本

的數學算法。他們會學習到數量對應的數字。他們懂得以一對一的對應關係，配

對組別與比較數量，並從 1 數到 10。他們會學會計數時 後說出的數字，就是告

訴他們「多少」，從而比較數量 (採用「大於」及「少於」等形容方式)。

(2) 學生會以幾何概念 (如形狀和特殊關係) 和詞彙描述現實世界。他們可以識別及說

出基本二維形狀，如三角形、長方形、正方形和圓形的名稱。他們也會用基本形

狀和空間，推理實際環境中的形狀。 數學練習

1. 理解問題及堅持解決問題。 2. 解題可以抽象化與量化並行。 3. 建構可行的論證，及評論同學的推論。

4. 以數學觀念建構概念。 5. 有策略地使用適當的工具。 6. 注意精確性。 7. 尋找與利用架構。 8. 查找與表達出重覆推理的規律性。

學前標準概覽

計數及基數 • 了解數目字及計數頫序。 • 以計數方式描述物件。 • 比較數字。

運算與代數思考 • 明白加數是兩者相加，減數為相減的道理。

明白簡單模式。

量度與數據 • 描述及比較可量度的物件。 • 分類物件，並按類別分類計數。

幾何學

• 辨認及描述形狀 (方形、圓形、三角形、矩形)。 • 分析、比較及分類物件。

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計數及基數 PK.CC

了解數目字及計數頫序

1. 從 1 數到 20。 2. 計算物件的數量，並以數目字寫出 0-5 ( 0 代表沒有任何物件)。

以計數方式描述物件

3. 理解 10 以內的數字關係及對應數量，並連接到基數計算。 a. 在計數時可以標準說出數目字順序，將每件項目配對對應的數目字，反之亦然。 b. 以計數方式描述物件。明白無論物件結構或計算順序如何改變，數量均不會改變。 c. 了解每個連續的數目字代表數量愈來愈大/多。

4. 在學生面前排列 10 樣物件，要求他們以 1 數到 10 的計算方式回答「有多少？」。排列方式可以是線

形、方形、圓形，或將物件分散。

比較數字

5. 分辨一組數是否為更多、更少、大於、少於和/或等於同另一組物件的數量。例如，採用配對及計

數方式 (1： 多 5 件物件) 6. 分辨出「第一」及「 後」順序或位置。

運算與代數思考 PK.OA

明白加數是兩者相加，減數為相減的道理

1. 利用不同物件、手指對應實際情況下的相加/減情況。例如，如果我們在 3 個蘋果的籃子內多

放 2 個蘋果，總共有多少個蘋果？

明白簡單模式

2. 使用具體物件複製和擴展簡單模式 (例如：下一個是什麼？)

量度與數據 PK.MD 描述及比較可量度的物件

1. 識別物體可以被用作測量特點，例如長度和重量。以恰當的詞彙描述 (例如，小、大、短、高、

空、滿、重、輕)。

分類物件，並按類別分類計數

2. 對排序對象進行分類，計算每個類別中的物件數目。1 (限制類別類目少於或等於 10)

幾何學 PK.G 辨認及描述形狀 (方形、圓形、三角形、矩形)

1. 利用實際環境中的物件描述形狀，並利用相對位置說明物件之間的對應關係，例如：上面、下面、

上、下、前面、後面、表面、穿過、底下或旁邊。 2. 不論物件大小均可正確地說出形狀的名稱。

分析、比較及分類物件

3. 分析、比較和排序不同大小的二維和三維形狀和物體，並以非正式的語言描述他們的異同，以及

其他屬性 (如顏色、大小和形狀)。 4. 建立和構建組件 的形狀 (如棒子和粘土球)。

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數學標準 - 幼稚園：介紹 在幼稚園時期，指導應該著重兩大關鍵領域：(1) 以物件初步表達和比較整數；(2) 描述形狀和空間。應分

配更多學習時間理解數目而非其他主題。

1. 學生可以用數字 (包括數目字) 表示數量和解答數量相關的問題。例如，計數整組物件、算出物件的數量、

以簡單模式串連或分離方式進行計算，進而明白類似以下公式的道理：5 + 2 = 7 及 7 – 2 = 5。(幼稚園學

生應該接觸加法和減法公式。老師也應該鼓勵他們寫公式，但是這要求並非必需。) 學生選擇、組合和

運用有效的戰略，回答數量相關的問題，包括迅速地認出識到一小組物件的基數、計算和得出尺寸、計

算物件組合的數量，或在移走部份物件後可以算出餘下數量。

2. 學生會以幾何概念 (如形狀和特殊關係) 和詞彙描述現實世界。他們可以辨認名稱和描述基本二維形狀 (包括正方形、三角形、圓形、矩形和六邊形) 及三維形狀 (包括立方體、圓錐體、圓柱體和球體)，並以

不同方式呈現 (例如，不同尺寸和方向)。他們也會用基本形狀和空間，推理實際環境中較為複雜的形狀。 數學練習

1. 理解問題及堅持解決問題。 2. 解題可以抽象化與量化並行。 3. 建構可行的論證，及評論同學的推論。

4. 以數學觀念建構概念。 5. 有策略地使用適當的工具。 6. 注意精確性。 7. 尋找與利用架構。 8. 查找與表達出重覆推理的規律性。

幼稚園概覽

計數及基數 • 了解數目字及計數頫序。 • 以計數方式描述物件。 • 比較數字。

運算與代數思考 • 明白加數是兩者相加，減數為相減的道

理。 十進制的數字與運算 • 學習應用 11-19，以建立日後位值的基礎。

量度量與數據 • 描述及比較可量度的物件。 • 分類物件，並按類別分類計數。

幾何學

• 辨認及描述形狀。 • 分析、比較、建立和組成形狀。

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計數及基數 K.CC 了解數目字及計數頫序 1. 逐一從 1 數到 100，或以 10 為單位數到 100。 2. 在已知的次序內計數，例如並非從 1 開始。 3. 寫出 0-20 的數字。計算物件的數量，並以數目字寫出 0-20 ( 0 代表沒有任何物件)。

以計數方式描述物件 4. 理解數字關係及對應數量，並將所學連結到基數計算。

a. 在計數時可以標準說出數目字順序，將每件項目配對對應的數目字，反之亦然。 b. 以計數方式描述物件。明白無論物件結構或計算順序如何改變，數量均不會改變。 c. 了解每個連續的數目字代表數量愈來愈大/多。 d. 發展及了解頫序數 (從 1 至 10)，進而描述整數的相對位置和大小。

5. 在學生面前排列 20 樣物件，要求他們以 1 數到 20 的計數方式回答「有多少？」。排列方式可以是線形、方形、圓形，或將物件分散。

比較數字 6. 分辨一組數是否為更多、更少、大於、少於和/或等於同另一組物件的數量。例如，採用配對及計數方

式。1

7. 比較 1 和 10 之間任何兩個數目字。

1 以 多 10 件物件為數將物件分成小組。

運算與代數思考 K.OA 明白加數是兩者相加，減數為相減的道理 1. 利用物件、手指頭、心算、圖畫 1、聲音 (如拍手) 表達不同情況、說明解釋、表達式或得出公式。 2. 解答相加/相減的文字問題，並在 10 以內進行加/減。例如：以物件或畫圖表達問題。 3. 將少於 10 的數字以不同方式分為一對對。例如，利用物件或畫圖， 記錄如何分拆數目 (例子：5 = 2 + 3

及 5 = 4 + 1)。 4. 在 1-9 之間，找出可以相加得出總和為 10 的數目。例如，以物件或畫圖，記錄及解答一幅圖或公式。 5. 可以順暢地將 5 以外的數字增減。

1 圖畫無需太詳細，可是要表達出問題。(此概念將貫徹引用在此《標準》內)

十進制的數字與運算 K.NBT

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學習應用 11-19，以建立日後選位值的基礎 1. 以 10 為單位組合及分解 11-19 以內的數目，並以 畫圖或公式記錄過程 (例子：18 = 10 + 8)。明白總數由

10 加上 1、2、3、4、5、6、7、8、9 的道理。

量度與數據 K.MD 描述及比較可量度的物件 1. 描述物體可以被用作測量特點，例如長度和重量。描述單一物件 的數個可以作為測量的特點。 2. 直接以可測量的屬性比較兩個物件，以查看哪個物件具「更多/少」，並描述各自差異。例如，直接比

較兩個孩子的高度和描述了哪一個孩較高/矮。 分類物件，並按類別分類計數 3. 對排序對象進行分類，計算每個類別中的物件數目，並以計數方式分類。1

1 (限制類別類目少於或等於 10)

幾何學 K.G 辨認及描述形狀 (方形、圓形、三角形、矩形、六邊形、立方體、錐體，圓柱體和球體) 1. 利用實際環境中的物件描述形狀，並利用相對位置說明物件之間的對應關係，例如：上面、下面、

上、下、前面、後面、表面、穿過、底下或旁邊。 2. 不論物件大小、方向，均可正確地說出形狀的名稱。 3. 識別形狀為二維 (位於一個平面上、「平」) 或三維 (「固體」)。

分析、比較、建立和組成形狀 4. 分析、比較不同大小及方向的二維和三維形狀和物體，並以非正式的語言描述他們的異同、部份

(例如：有多少面、頂點/角)，以及其他 屬性 (如長度一樣)。 5. 在真實世界中建立和構建組件的形狀 (如棒子和粘土球)，並畫出形狀。 6. 用小形狀組成大形狀。例如，「你能將這兩個三角形的兩邊連在一起，再組成一個矩形嗎？」

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數學標準 - 一年級：介紹 指導時間應該著重於四大關鍵領域：(1) 發展加法、減法，以及 20 以內的加減策略；(2) 發展對於整數關

係和選位值的理解能力，包括以 1 或 10 分組；(3) 開發線性測量的理解，並以複製的方式測量長度；(4) 推理有關的屬性，以及組成和分解幾何形狀。

1. 學生以他們過去運用較小數字的分組、拆解知識，了解加/減整數的方法。他們可以用不同模型，包括

分散的物件及以長度為基礎模型 (例如用方塊形成長度)，進行相加、移開、組合及比較，並從此發解答

算術問題的方法。學生要明白計數、相加/減的關係 (例如 2 個物件相加等同從 1 數到 2)。他們可以用兩

個整數相加的特性，建立及利用更好的方法 (例如以 10 為計數單位)，以解答 20 以內的相加/減問題。

在比較不同的解題方式時，孩子亦會了解相加/減的關係。

2. 他們會發展、討論，並利用有效、準備及通用的方法，進行 100 以內的數字相加，及以 10 為單位相減。

透過比較整數 (100 以內)，了解及解答對應大小相關的問題。他們可以以 10 及 1 為單位想像 100 以內的

數字 (特別可以辨認出 11-19 的數字乃是 10 加上個位數的組合)利用不同活動建立他們在計數上的數字

觀念，以及對應大小的關係。

3. 學生可以了解量度的意義和過程，包括迭代 (以心算明白用相同大小的物件即可得出一個物體的長度) 和間接測量隱藏的傳遞性原理。1

4. 組合和分解平面或立體圖形 (例如，將兩個三角形組成一個四邊形)，並建立部分與整體的關係，以及

原本及組合圖形的特性。當學生在組合形狀時，他們可以認出不同角度和方向、描述形體的幾何 屬性，

並判別為何它們相似和相異，作為後續一致性和對稱性的初步基礎。 1 學生應該利用量度過程中的傳遞原理間接比較，但他們並不需要使用這技術術語。

數學練習

1. 理解問題及堅持解決問題。 2. 解題可以抽象化與量化並行。 3. 建構可行的論證，及評論同學的推論。

4. 以數學觀念建構概念。 5. 有策略地使用適當的工具。 6. 注意精確性。 7. 尋找與利用架構。 8. 查找與表達出重覆推理的規律性。

14 

一年級概覽 運算與代數思考 • 表達及解開相加/減的問題。 • 學生明白及套用加法、減法的特性。 • 操作 20 以內的加/減法。 • 操作加/減法公式。

十進制的數字與運算 • 進一步擴展計數次序。 • 選位值的理解能力。 • 應用選位值的理解能力與運算的特質執

行加/減法。

度量與數據 • 可以以迭代的間接方式測量長度。 • 說出及寫出時間及金額。 • 數據的表示與詮釋。

幾何學

• 推論形狀與其屬性。

運算與代數思考 1.OA

表達及解開相加/減的問題 1. 以範圍在 20 以內的加減法解答文字題目，例如以物件、畫圖、公式代表一個未知數，然後在不同位

置操作加入、置放一起、分開和比較。1

2. 將 20 以內的 3 個整體相加，得出總和少於或等於 20 的值。例如，利用物件、畫圖及公式代表一個未

知數。 學生明白及套用加法、減法的特性 3. 應用運算的特質做為有理數相加與相減的策略。2

例子：如果已知 8 + 3 = 11，3 + 8 = 11 自然是可以預知的答案。(加法交換性)在 2 + 6 + 4 算式內，將 後兩個數字相加可以得出 10，因此公式可以轉換為 2 + 6 + 4 = 2 + 10 = 12。(加法關聯性)

4. 明白減法為一個未知加數題。例如，10 – 8 可解讀為找出 與 8 相加成為 10 為數目。操作 20 以內的加/減法。

操作 20 以內的加/減法 5. 將計數與加/減法串連在一起 (例如，數 2 作為加上 2)。 6. 操作 20 以內的加/減法，並展示 10 以內相加/減的某程度流暢性。以計數方式將數字加總為 10 (例：8 +

6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14)；或將數字拆解得出 10 (例：13 – 4 = 13 – 3 – 1 = 10 – 1 = 9)；運用加減的關係 (例：8 + 4 = 12 等同明白 12 – 8 = 4)；建立等同但較簡單或已知數 (例：6 + 7 等同 6 + 6 + 1 = 12 + 1 = 13)。

操作加/減法公式 7. 明白等號的定義，並判別加/減法的對 錯。例如，以下各項中哪一項是錯誤？6 = 6, 7 = 8 – 1, 5 + 2 = 2 + 5,

4 + 1 = 5 + 2。 8. 以 3 個整數，辨別在加/減法中的未知整數。例如：找出以下算式的未知數，8 + ? = 11, 5 = _ – 3, 6 +

6 = _.。 1請參閱表 1 的名詞解釋。

2學生無需使用正式的字詞得出以上屬性。

15 

十進制的數字與運算 1.NBT 進一步擴展計數次序 1. 從任何少於 120 的數字數至 120。在這個範圍內，以數目字寫出及表達物件的 數量。

選位值的理解能力 2. 明白以兩個數字組成的兩位數，代表一個十位數及一個個位數的總和。明白以以特殊情況：

a. 10 是由 10 個 1 組成。 b. 11-19 的數字是來自一個 10 加上 1 到 9 個 1。 c. 10、20、30、40、50、60、70、80、90 代表 1 至 9 個 10 的總和 (0 個 1)。

3. 根據十位數及個位數的定義，比較二個十位數，並使用 >、= 與 < 符號記 錄比較的結果。 應用選位值的理解能力與運算的特質執行加/減法 4. 在 100 以內，使用具體模型或畫圖，以及位值、運算特質 和/或加與減之間的關係得出：1. 一個十位數

及個位數的總和；2. 一個十位數和 10 為基礎的總和；並寫出解題的邏輯，及解釋 r 引用的邏輯。明白十位數相加等同將兩個 10 及兩個個位數，亦知道有時候需要將個位數先組成一個 10 再運算。

5. 提供一個十位數，在不用計數的情況下以心算得出比這個數值多 10 或少 10 的數值，並說明解題邏輯。 6. 在 10-90 的範圍以內，以 10 為基礎相減 (正數或無差別)，並使用具體模型或畫圖、根據位值、運算特

質和/或 加與減之間的關係，並寫出解題的邏輯，及解釋引用的邏輯。

度量與數據 1.MD 可以以迭代的間接方式測量長度 1. 以長度排序三個物件，並以第三個物件間接比較兩個物件的長度。 2. 以接連鋪排較短的物件，以整數表達一個物件的總長度；明白量度一個物件的長度，實為將較短的物

件緊密拼湊而成的結果 (無間隙或重叠)。被量度的物件必須利用整數，在無間隙或 重叠的情況下加總。 說出及寫出時間及金額

3. 利用類比及數位時鐘，以小時或半小時為單位說出及寫出時間。 分辨貨幣、名稱及 金額。

數據的表示與詮釋 4. 整理、表達和詮釋三個類別；發問及解答 總數；每個類別內各自數量；以及比較不同類別的多/少差異。

16 

幾何學 1.G 推論形狀與其屬性。

1. 分辨已定義的屬性 (例如三角形是封閉及以三個單面組成)；未定義的屬性(例如：顏色、方向、整體尺寸)；建立和繪製形狀以表達對應的屬性。

2. 組合二維形狀 (矩形、正方形、梯形、三角形、半圓和四分之一圓) 或三維形狀 (立方體、直立圓錐、直立圓) 以建立複合形狀，再以此建立另一個複合形狀。1

3. 將圓形和矩形分成兩個和四個相等的形狀，以一半、四分之三、四分之一等形容詞描述。以兩個、四

個什麼形來描述一個形狀。理解這些例子是將一個形狀分解或平分成更小的等份。

1學生無需學習物件的正式名稱，如「圓柱體」。

17 

數學標準 - 二年級：介紹 指導時間應該著重於四大關鍵領域：(1) 延伸十位數的理解；(2) 讓加/減運算更熟練；(3) 學習量度單位標

準；(4) 描述及分析形狀。

1. 延伸十位數的理解：包括以一、五、十、百計數，並明白這些數之間的關係 (包括比較)。知道如何以 10 為單位表達多位數 (少於 1000)；認得不同位值代表的值 (個、十、百、千)。例：853 = 8 個 100 + 5 個 10 + 3 個 1)。

2. 學生可以利用他們對加法的理解，進一步熟悉 100 以內的加減。在 1000 的範圍內，他們會應用對加減

法及位值的理解，發展、討論與使用有效率、精確且可歸納的方法，計算以 10 為單位的多位數整數結

果。他們會因應情況，會選擇及套用適合的方式心算只有 10 或 100 的總和或差。

3. 學生要瞭解標準量度單位 (公分及寸) 的必要性。在理解迭代單位的線性量度原理的同時，他們也懂得

使用尺及其他量度工具。他們會發現量度的單位愈短，就需要重複以更多迭代單位方可得總長。

4. 透過檢查形狀的單面及角度，學生可以說明及分析形狀。他們也會研究、描述和推理分解和組合形狀，

以得出其他形狀。學生會利用組合、畫圖、分析二維和三維形狀，理解面積、體積、一致性、相似性、

對稱性，並奠定進階至更高級別的基礎。 數學練習

1. 理解問題及堅持解決問題。 2. 解題可以抽象化與量化並行。 3. 建構可行的論證，及評論同學的推論。

4. 以數學觀念建構概念。 5. 有策略地使用適當的工具。 6. 注意精確性。 7. 尋找與利用架構。 8. 查找與表達出重覆推理的規律性。

二年級概覽

運算與代數思考 • 表達及解開相加/減的問題。 • 操作 20 以內的加/減法。 • 利用等份的物件，明白乘法的本質。

十進制的數字與運算 • 選位值的理解能力。 • 應用選位值的理解能力與運算的特質

執行加/減法。

度量與數據 • 以標準單位量度及估算長度。 • 將加/減概念應用在長度上。 • 表達時間及金額。 • 數據的表示與詮釋。

幾何學

• 推論形狀與其屬性。

18 

運算與代數思考 2.OA 表達及解開相加/減的問題 1. 以範圍在 100 以內的加減法，解答單一及雙步驟文字題目，例如以物件、畫圖、公式代表一個未知數，

然後以加入、置放一起、分開和比較表達問題。1

操作 20 以內的加/減法 2. 在 20 的範圍內，流暢地以心算得出相加/減的總和。2

在學期結束前，可以記得所有十位數的總和。 利用等份的物件，明白乘法的本質 3. 判別一組物件的數量 ( 多 20) 是單數或雙數。例如：以配對 或以 2 為單位計數；以公式表達兩個同等兩

個相同加數的總和。 4. 以加數找出以矩形排列的物件總和 (以 多五列/欄)；以公式寫出同等加數的總和。

1請參閱表 1 的名詞解釋。 2有關心算的方式，請參閱 1.OA.6 標準。

十進制的數字與運算 2.NBT 選位值的理解能力 1. 明白以三個數字組成的百位數，代表一個千位數、一個百位數及一個個位數的總和。例子：706 = 7

個 100 + 0 個 10 + 6 個 1。明白以以特殊情況： a. 100 是由 10 個 10 組成。 b. 100、200、300、400、500、600、700、800、900 代表 1 至 9 個 100 的總和 (0 個 10 及 0 個 1)。

2. 以五、十、百數到 1000。 3. 使用十進位數字、數字名稱與展開式，讀出與寫出直至 1000 的數目。 4. 根據一、十、百的定義，比較二個百位數，並使用 >、= 與 < 符號記錄比較的結果。

應用選位值的理解能力與運算的特質執行加/減法 5. 根據位值、運算特質和/或 加與減之間的關係，流暢地得出 100 以內的數字相加/減結果。 6. 使用根據選位值的策略及運算特質，將四個十位數加總。 7. 在 1000 以內，使用具體模型或畫圖，以及根據位值、運算特質和/或加與減之間的關係，以書寫方法

說明運算的策略。 明白百位數相加/減，等同將 個位數、十位數及百位數相加，亦知道有時候需要組合或分解十、百再運算。

8. 以心算得出 100-900 以內某數字相加/減 10 或 100 的值。 9. 以位值、運算特性說明為何某一個加/減方式湊效。1

1 解釋必須以圖像及物件為根據。

19 

量度與數據 2.MD 以標準單位量度及估算長度 1. 利用選擇及使用適當的工具量度長度，包括量尺、軟尺、碼尺及捲尺。 2. 以不同長度單位，重複量度相同物件，並說明運用的單位與物件的大小關係。 3. 以寸、尺、公分及米估算長度。 4. 利用量度分辨哪一個物件較長，並以標準量度單位表達長度的差異。

將加/減概念應用在長度上 5. 以範圍在 100 以內的加減法，解答應用相同單位的長度相關文字題目，例如以畫圖、公式 代表一個未

知數。 6. 在數線上以 0 為起點，將間距對等分成 0、1、2…為整體長度單位；在 100 以內的數線內表達加/減的

差別。 表達時間及金額 7. 以 a.m. 及 p.m. 說出及寫出顯示在類比或數位時鐘上的時間 (5 分鐘以內的差別)。 8. 解答各硬幣幣值的文字題目，並適當的應用 $ 及 ¢ 單位。範例：如果你有兩個一角銀幣及三個

便士，你總共有多少美分？ 數據的表示與詮釋 9. 量度不同物件的長度至接近整數，或 反覆量度同一件物件。以點線方式表達量度單位，而水平刻度應該

以整數展示。 10. 畫一個有刻度的圖表及有刻度條狀圖 (個位數刻度) 表達 多四組數據。以條狀圖顯示的數據，操作

總和、減去，1 並比較問題。

1請參閱表 1 的名詞解釋。

幾何學 2.G

推論形狀與其屬性 1. 辨認及畫出特殊屬性的形狀，例如一個角度或對等面上的數目。1 辨認三角形、四邊形、五邊形、六

邊形和立方體。 2. 將一個矩形切分為對等份的兩列及兩欄，每一列/欄由同等份的方塊組成，再以計數方式得出方塊總數。 3. 將圓形和矩形分成 2、3、4 個同等份形狀，以一半、四分之三、四分之一等形容詞描述每一等份。明

白相同等份不必具有相同的形狀。

1 無需量度，直接比較或目測比較尺寸。

20 

數學標準 - 三年級：介紹 指導時間應該著重於四大關鍵領域：(1) 明白乘/除法概念，並運算 100 以內的乘/除法；(2) 了解份數，特別

是單位份數 (分子為 1)；(3) 明白一個面積的架構；(4) 描述及分析二維形狀。

1. 學生透過活動認識整數乘/除法概念；解開涉及同等份、陣列、面積的題目；在以上情況應用乘/除法得

出未知數。面對對等份的題目時，利用除法找出未知的組合數量或大小。學生可以應用運算的特性及

以這些特性為基礎的進階方式，計算個位數的乘/除算式。透過比較不同解題方式時，學生亦會了解相

乘/除法的關係。

2. 以單位份數為基礎，學生可以開始了解份數的意義。學生明白份數實為組合單位份數，並利用實體模

型得出整數。學生明白份數實為整數的某部份。例如：用小桶子裝 1/2 桶裝的油漆，將會比用大桶子裝 1/3 桶油漆量少；可是，當一條緞帶分成三或五等份時，緞帶的 1/3 會比 1/5 長。學生會應用份數表達

相同、少於或大於的概念。只要目測份數模型，並利用等份份子/份母的概念，學生即可比較份數之間

的差別。

3. 學生知道面積是二維空間的組合。學生知道只要數出一個被等份單位覆蓋的面的數量，就可以得出總面

積 (不可以有空隙或重疊)。當中，方塊的邊長會用作標準量度單位。學生明白一個矩形可以被拆解為多

個等份的列/欄。透過拆解矩形成方塊的陣列，學生會聯想到可以以乘法得出總面積。

4. 學生可以描述、分析及比較二維形狀的特性。他們會懂得利用邊長及角度，分類及比較形狀；並將不同

形狀的定義連結一起。學生也會以切分圖形為不同等份應用份數的概念。 數學練習

1. 理解問題及堅持解決問題。 2. 解題可以抽象化與量化並行。 3. 建構可行的論證，及評論同學的推論。

4. 以數學觀念建構概念。 5. 有策略地使用適當的工具。 6. 注意精確性。 7. 尋找與利用架構。 8. 查找與表達出重覆推理的規律性。

21 

三年級概覽 運算與代數思考 • 表達及解開乘/除問題。 • 了解乘法特性，以及乘/除法兩者之間

的關係。 • 以 100 為單位運算乘/除法。 • 以加、減、乘、除四種方式，解答及運算。

十進制的數字與運算 • 應用對選數值的理解能力與運算的特質

執行多位數算術。 數字與運算—分數 • 發展瞭解份數為數字理解能力。

度量與數據 • 解決關於時間間隔、液體體積與物體

質量的度量與估算問題。 • 數據的表示與詮釋。 • 幾何度量：理解面積的概念，並將面

積關連到乘法與加法。 • 幾何度量：確認邊線是平面圖形的屬

性，並區別直線與面積度量。 幾何學

• 推論形狀與其屬性。

運算與代數思考 3.OA

表達及解答乘/除問題 1. 理解整數，例如：明白 5 × 7 實為 5 組各 7 個物件的組和。範例：5 × 7 可以用多少個不同組合表達？ 2. 以整數解讀整體商數，例如：56÷8 實為將 56 個物件，切分 8 等份，或需要以多少 8 等份， 方可組成

56 個物件。範例：以組合或份數方式， 表達出 56 ÷ 8。 3. 以 100 以內的乘或除法，解決同等份、陣列及量度數量的文字題型，例如使用繪圖與代表未知數符號

的等式來表達問題。1

4. 以 3 個整數，辨別在乘/除法中的未知整數。範例： 找出下列公式的未知數：8 × ? = 48, 5 = _ ÷ 3, 6 × 6 = ?

了解乘法特性，以及乘/除法兩者之間的關係 5. 在乘或除算式上應用運算特質。 2

範例：如果 6 × 4 = 24，則 4 × 6 = 24 亦為已知的事實。(乘法交換性)3 × 5 × 2 可以理解為 3 × 5 = 15，然後 15 × 2 = 30，或 5 × 2 = 10，所以 3 × 10 = 30。(乘法關聯性)如果 8 × 5 = 40 及 8 × 2 = 16，8 × 7 就會等於 8 × (5 + 2) = (8 × 5) + (8 × 2) = 40 + 16 = 56。(分配性)

6. 明白除法是關於未知份數的問題。例如，透過理解 8 需要乘上多少才可得出 32， 來解答 32 ÷ 8 算式。 以 100 為單位運算乘/除法 7. 流暢地在 100 的範圍內運算乘/除法，利用兩者的關係 (例如如果 8 × 5 = 40，40 ÷ 5 = 8 即為已知事實)

或特性運算。在學期結束前， 可以記得所有十位數的積。 以加、減、乘、除四種方式，解答及運算

22 

8. 以加、減、乘、除四種方式，解答雙步驟題目。以字母代表未知數量的等式來表達這些問題。使用包

括四捨五入的心算與估算策略，評估答案的合理性。3

9. 辨認出算術的模式 (包括加數及乘數表)，並以運算特性提出說明。範例：注意到 4 的積一定是雙數，並解釋為何一個數目的 4 倍，亦可以拆分為雙等份加數。

1 請參閱表 2 的名詞解釋。

2 學生無需使用正式的字詞得出以上屬性。

3 學生在沒有括號指定特別的順序 (運算順序) 的情況下，知道如何運算。此標準僅限於涉及整數及答案為整數的題目。

十進制的數字與運算 3.NBT 應用位數的理解能力與運算的特質，運算多位數算式。1

1. 利用位數，將多位數整數四捨五入到任十位數或百位數。 2. 根據位值、運算特質和/或加與減之間的關係，流暢地得出 1000 以內的數字相加/減結果。 3. 在 10-90 的範圍內，利用位數的運算特性，將個位數乘以 10 (範例：9 × 80，5 × 60)。

1 可以應用不同算法。

數字與運算—份數 3.NF 發展瞭解份數為數字理解能力 1. 明白當一個整數分成 b 等份時，就會得出 1/b； 明白 a/b 由 1/b 組成。 2. 將數線上的份數理解成數字；在線圖上以份數表達運算結果。

a. 將 1/b 以被分成 b 等份的 0-1 的數線方式表達。明白每一等份均為 1/b，在數線上以 0 的為

終點的等份上標示 1/b。 b. 自 0 劃出 1/b 長度，表達數線圖上的 a/b。明白得出的區間為 a/b，並在數線上的終點標示 a/b。

3. 說明在特殊情況下分數的等值，並以他們的大小比較分數。 a. 明白如果兩個出現在數線上的相同大小或相同位置的份數實為相同。 b. 明白並可以寫出簡單對等份數的公式，例如 1/2 = 2/4, 4/6 = 2/3)。說明分數是相等的理由，例

如使用視覺分數式。 c. 以分數表示整數，並確認分數等於整數。 例子:以 3 = 3/1 的形式表達 3；確認 6/1 = 6；在數字線

圖表的同一點找出 4/4 與 1。 d. 以相同的分母或相同的分子推論其大小，以比較二個分數。 確認只有二個分數指稱相同的整數，

比較才有效。以符號 >、= 或< 記錄比較結果，並判定 (例如) 使用視覺分數式模型的結論。

1本域的 3 年級別預期是限於分母為 2、3、4、6、8 的份數。

23 

量度與數據 3.MD 解決關於時間間隔、液體體積與物體質量的度量與估算問題 1. 告知與寫下 接近分鐘的時間，及以分鐘計的度量時間間隔。解決涉及時間間隔 (分鐘) 加減的文字問

題，例如以數字線圖表上的問題代表。 2. 使用標準單位公克 (g)、公斤 (kg) 與公升 (l) 度量與估計液體體積即物體質量。1

加、減、乘或除以解出

關於質量或體積等相同單位的單步驟文字題型，例如利用畫圖 (如有刻度的燒杯) 說明問題。2

數據的表示與詮釋 3. 畫一個有刻度的圖表與有刻度的長條圖代表許多類別的數據組。使用有刻度的長條圖所呈現的資訊，

解出單步驟與雙步驟的「多了多少」與「少了多少」的問題。例 如，畫一個長條圖，圖中的每個正方形可能代表 5 隻寵物。

4. 使用標示一英吋的一半或四分之一量尺測度量量物件的長度。製作線圖以顯示數據，以適當的單位標

示水平刻度：整數、半數或四分之一。 幾何度量：理解面積的概念，並將面積關連到乘法與加法 5. 確認面積為平面圖形的屬性，並理解度量面積的概念。

a. 邊長 1 個單位 (「每平方」) 的正方形稱為面積有「一個平方單位」，可以用於度量面積。 b. 可以用 n 單位平方覆蓋的平面圖形可說是具有 n 平方單位的面積。

6. 計數單位平方以度量面積（平方公分、平方公尺、平方英吋、平方英呎與自制單位）。 7. 將面積關連到乘法與加法的運算。

a. 以整數邊長覆蓋以找出方形的面積，並顯示該面積等於乘以邊長所得的面積。 b. 在解出實際與數學推理問題的情況下，邊長乘以整數邊長以取得方形的面積，並以整數結果

表示 數學推理的方形面積。 c. 使用覆蓋顯示在實際的情況下，方形面積整數邊長 a 與 b + c 是 a × b 與 a × c 的和。使用面積

模型表示數學推理的分配性。 d. 確認面積是累加的。將直線圖形分解成不重疊的方形，並加上不重疊部分的面積，以找出其

面積，套用此技巧解決實際的問題。 幾何度量：確認邊線是平面圖形的屬性，並區別直線與面積度量 8. 解出關於多邊形邊線的實際與數學推論問題，包括找出給定邊長的邊線、找出未知的邊長，並以相

同的邊線 與不同的面積，或是相同的面積與不同的邊線展示方形。

1 排除像 cm3 等複合單位並找出容器的幾何量。

2 排除乘數比較問題 (解決涉及「多少時間」意涵的問題；請參閱表 2 名詞解釋)。

24 

幾何學 3.G 推論形狀與其屬性。 1. 理解不同類別的形狀 (例如菱形、方形與其他) 可能共用屬性 (例如有四個邊)，且共用的屬性可以定義

較大的類別 (例如四邊形)。確認 菱形、方形與正方形是多邊型的例子，並繪出不屬於任何這些子類別的多邊形例子。

2. 將形狀分割成等面積的部分。將每個部分的面積表示為整個的單位分數。例 如，將一個形狀分割成等面積的四部份，並將每部分的面積描述為該形狀面積的 1/4 。

25 

數學 – 四年級：介紹 在四年級的指導時間應該著重於三大關鍵領域：(1) 發展多位數乘法的瞭解與熟練性，發展對除以多位數被

除數所得之商數的瞭解； (2) 發展對分數對等性、相同分母之分數的加法與減法，以及整數與分數的乘法

等瞭解；(3) 瞭解根據其屬性分析與分類幾何數，例如有平行邊、直角、特定角度量與對稱性。

1. 學生歸納他們對 1,000,000 的選數值理解能力，理解在每個位置中 數字的相對大小。他們套用對乘法 (大小相等群、陣列、面積模型)、選數值與運算的特質等模型的瞭解，尤其是分配性，以進行發展、討論與

使用有效率、精確且可歸納的方法，計算多位數整數的結果。依數字與背景而定，他們選擇與精確應用

適當的方法以估算或心算出結果。他們以有效率的程序發展出對整數相乘的熟練性；瞭解與解釋為什麼

該程序可以根據選數值與運算特質進行，並使用它們解決問題。學生應用它們對除法、選數值、運作特

質與乘除關係的模型，以進行發展、討論與使用有效率、精確且可歸納的方法， 找出多位數被除數的商

數。他們選擇與精確地應用適當的方法，以估算與心算出商數，並根據背景詮釋餘數。

2. 學生發展出分數對等性與分數運算的瞭解。他們確認二個不同的分數可以是相等的 (例如 15/9 = 5/3)，且他們發展出產生與確認相等分數的方法。學生延伸之前關於如何從單位分數建立分數、從單位分

數組成分數、從單位分數分解分數，以及使用分數的意義與乘數的意義，以整數乘以分數等的瞭解。

3. 學生描述、分析、比較二次元形狀並加以分類。透過構建、繪圖與分析二次元形狀，學生加深他們對二

次元形狀物體特質的瞭解，並加以運用於解決幾何學的問題。 數學練習

1. 理解問題及堅持解決問題。 2. 解題可以抽象化與量化並行。 3. 建構可行的論證，及評論同學的推論。

4. 以數學觀念建構概念。 5. 有策略地使用適當的工具。 6. 注意精確性。 7. 尋找與利用架構。 8. 查找與表達出重覆推理的規律性。

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四年級概覽 運算與代數思考 • 使用整數的四種運算解決問題。 • 熟練因數與倍數。 • 生成與分析樣式。

十進制的數字與運算 • 針對多位數整數歸納選數值的理解能力。 • 應用對選數值的理解能力與運算的特質執

行多位數算術。 數字與運算—分數 • 擴大對分數對等性與排序的理解能力。 • 應用與延伸之前對整數運算的理解能力，從

單位分數建構分數。 • 理解分數的十進位法，並比較十進制分數。

度量與數據 • 解決關於度量以及從較大單位換算成較小單位的

換算問題。 • 數據的表示與詮釋。 • 幾何度量：理解角度與測量角度的概念。

幾何學

• 繪製與辨識線條與角度，並依形狀的線條與角度特質分類。

運算與代數思考 4.OA

使用整數的四種運算解決問題 1. 以比較詮釋乘法等式，例如詮釋 35 = 5 × 7，敘述為 35 是 7 乘以 5 與 5 乘以 7。以口頭陳述表達乘法

比較為乘法 等式。 2. 以乘或除解決乘法比較的文字題型，例如使用繪圖與代表未知數符號的等式來表達問題，區別乘法比較

與加法比較。1

3. 解決含有整數的多步驟文字題型，並以四種運算解出整數答案，包括必須ˊ詮釋餘數的問題。以字母代

表未知數量的等式來表達這些問題。使用包括四捨五入的心算與估算策略，評估答案的合理性。 熟練因數與倍數 4. 在 1–100 的範圍裡找出一個整數的所有因數對。確認整數是它的每個因數的乘數。確定在 1–100 的範

圍裡，給定的整數是給定個位 數的乘數。確定在 1–100 的範圍裡，給定的整數是質數或複合數。 生成與分析樣式 5. 依照給定的規則生成一個數字或圖塊。辨識規則本身並不明確的樣式明顯特點。例如，給定規則「加

3」並從數字 1 開始，在 產生的序列中生成項，並觀察項在單數與雙數之間交替出現。正式地解釋 為什麼數字會以這種方式持續交替。

1 請參閱表 2 的名詞解釋。

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十進制的數字與運算¹ 4.NBT 歸納對多位整數的選數值理解能力 1. 確認在多位數整數中，一個位的數字代表右邊數字的十倍。例如，應用選數值與除法的概念確認 700

÷ 70 = 10 。 2. 使用十進位數字、數字名稱與展開式，閱讀與書寫多位數整數。根據每一位的數字意義，比較二個多位

數，並使用 >、= 與 < 符號記錄比較的結果。 3. 使用選數值的理解力將多位數整數四捨五入到任一位。

應用對選數值的理解能力與運算的特質執行多位數算術 4. 使用標準算法熟練地加減多位整數。 5. 使用根據選位值的策略ˋˋ與運算的特質，ˋ以ˋ個位數整數乘以高達四位數的整數，再乘以二個二位數。

以圖示說明使用等式、方形陣列、和/或面積模型的計算。 6. 使用根據選位值的策略、ˋˋ運算的特質和/或乘與除之間的關係，以四位數被除數與一位數除數找

出整數的商數與餘數。以圖示說明使用等式、方形陣列、和/或面積模型的計算。

1在此四年級別預期是僅限小於或等於 1,000,000 的整數

數字與運算—分數¹ 4.NF

擴大對分數對等性與排序的理解能力 1. 使用視覺分數模型解釋為什麼分數式 a/b 等同於分數 (n × a)/(n × b)，注意即使二個分數本身一樣大，ˋˋ

其分子分母的數字與大小有何不同。 使用此原則確認與生成同等的分數。 2. 以不同的分子與分母比較二個分數，例如建立相同的分子或分母，或是和基準分數 (例如 1/2) 比較。

確認只有二個分數指稱相同的整數，比較才有效。以符號 >、= 或 < 記錄比較結果，並判定 (例如) 使用視覺分數式模型的結論。

應用與延伸之前對整數運算的理解能力，從單位分數建構分數 3. 以 a > 1 作為分數式 1/b 的和，理解分數式 a/b。

a. 理解分數式的相加與相減式結合與分開指稱相同整數的部分。 b. 以一種以上的方式將一個分數式分解成有相同分母之分數的和，以等式記錄每個分解。例如

使用視覺分數式模型判定分解。 例子:3/8 = 1/8 + 1/8 + 1/8 ; 3/8 = 1/8 + 2/8 ; 2 1/8 = 1 + 1 + 1/8 = 8/8 + 8/8 + 1/8.

c. 相加與相減分母相同的帶分數，例如以同等分數取代每個混合的數字，和／或使用運算的

特質以及相加與相減之間的關係。 d. 使用視覺分數式與代表問題的等式，解出指稱相同整數且有相同分母之分數式ˋˋ相加與相

減文字題型。 4. 應用與延伸之前乘法的理解能力，以整數乘以分數。

a. 理解分數式 a/b 是 1/b 的倍數。例如，使用視覺分數式模型表示 5/4 為 5 × (1/4) 的結果，以等式 5/4 = 5 × (1/4) 記錄結論。

b. 理解分數式 a/b 是 1/b 的倍數，並使用此理解以整數乘以分數。例如，使用視覺分數式模型表示 3 × (2/5) 為 6 × (1/5)，確認此結果為 6/5。(一般而言，n × (a/b) = (n × a)/b。)

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c. 使用視覺分數式模型與代表問題的等式，解出以整數乘以分數的文字題型。例如，如果宴會上的每個人都吃 3/8 磅的烤牛肉，有 5 人參加，將需要多少磅的烤牛肉？您的答案介於哪二個整數之間？

理解分數的十進位法，並比較十進制分數。 5. 以分母 10 將一個分數式表示為分母 100 的同等分數式，並使用此技巧將分母為 10 與 100 的二個分數

式相加。2 例如，將 3/10 表達為 30/100，並加上 3/10 + 4/100 = 34/100。

6. 使用分母為 10 或 100 的分數十進位法。例如，將 0.62 改寫成 62/100；將長度描述為 0.62 公尺；在數字線圖表上找出 0.62。

7. 比較二個十分位到百分位，以推論其大小。確認只有二個小數指稱相同的整數，比較才有效。以符號 >、= 或< 記錄比較結果，並 判定 (例如) 使用視覺分數式模型的結論。

1 四年級別預期僅限於分母為 2、3、4、5、6、8、10、12、100 的分數。

2能夠產生同等分數的學生會掌握到分母不同的分數式相加的策略。但是在此級別並不要求分母不同的相加與相減。

度量與數據 4.MD 解決關於度量以及從較大單位換算成較小單位的換算問題 1. 認識一個單位制度裡的度量單位相對大小，包括公里、公尺、公分；公斤、公克；磅、盎司；公升、毫

升；小時、分鐘、秒。在單一度量制度內，以較小的單位表達較大單位的度量。 以雙欄表格記錄度量的同等值。例如，認識 1 英呎是 1 英吋的 12 倍。 表達 4 英呎的蛇，其長度是 48 英吋。以條列數字對 (1, 12)、(2, 24)、(3, 36)、...製作英呎與英吋的換算表

2. 使用四項運算解出關於距離、時間間隔、液體體積、物體質量與金錢的文字ˊˊ題型，包括關於簡單分數或小數的問題、以及必須 以較小的單位表達較大度量的問題。使用 像具有度量顆度的數字線圖表達度量數量。

3. 將方形的面積與周長公式應用於真實世界與數學問題。例如，透過檢視有未知因數之乘法等式的面積公式，找出ˋ給定地板與長度面積的矩形房間寬度。

數據的表示與詮釋 4. 製作一個線圖顯示一個單位分數的度量數據組合 (1/2、1/4、1/8)。使用線圖中的資訊，解出涉及分數相

加與相減的問題。例如，從線 圖中找出與詮釋昆蟲樣本中， 長與 短標本之間的長度差。 幾何量度：理解角度與測量角度的概念 5. 確認角度是二條射線共用一個端點所形成的幾何形狀，並 理解角度度量的概念：

a. 角度的測量是參考中心點在射線共用端點的圓形所測量，考慮二條射線在圓形交叉的二點之間，

所構成的圓弧部分。轉過一個圓圈 1/360 的角度稱為「一度角」，可以用於度量角度。 b. 轉過 n 個一度角的角度稱為 n 度的角。

6. 使用量角器測量整數的角度。描繪指定度量的角度。 7. 確認角度度量為加法。在一個角分解成不重疊的部分時，整體的角度度量是所有角度度量的總和。解

出相加與相減的問題，在圖上找出 真實世界與數學問題中的未知覺角度，例如使用含有代表未知角度度量的等式。

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幾何學 4.G

繪製與辨識線條與角度，並依形狀的線條與角度特質分類 1. 畫出點、線、虛線、射線角度 (直角、銳角、鈍角) 與垂直和平行線。以二維圖識別。 2. 根據是否有平行或垂直線，或是否有特定大小的角度，進行二維 圖的分類。確認直角三角形式一個類

別，並識別直角三角形。 3. 確認二維 圖的對稱性線條是穿越圖形的一條線，讓圖形可以沿著線對摺成相符的部分。辨識直線對稱

性圖形，並畫出對稱的線條。

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數學 – 五年級：介紹 在五年級的指導時間應該著重於三大關鍵領域：(1) 發展分數相加與相減的熟練性，以及在有限的範例中 (整數除以單位分數與單位分數除以整數) 發展對分數相乘與分數相除的理解力；(2) 延伸到二位數除數的除

法、將十進位分數整合到選數值，並發展出對小數到百分位的運算，以及發展整數與小數運算的熟練性；

(3) 發展出對體積的理解能力。

1. 學生應用他們對分數與分數模型的理解能力，將不同分母的分數相加與相減，表達為相同分母的同等計

算。他們發展出計算分數和與差的熟練性，並做出合理估算。學生也利用分數、乘法與除法，以及乘除

之間關係的意義，理解與說明為什麼分數乘與除的程序是有意義的。(附註：這是限於以整數除以單位

分數與單位分數除以整數的情況。)

2. 學生發展除法程序根據十進位數字與運算特質運作的理解能力。他們完成多位數相加、相減、相乘與

相除的熟練性。他們應用十進位、十進位法與運算特質的理解能力，相加與相減十分位到百分位。他

們發展出這些計算的熟練性，並做出其結果的合理估算。學生利用小數與分數之間的關係，以及有限

小數與整數之間的關係 (即有限小數乘以 10 的適當乘方變成整數)、理解與說明乘以與除以有限小數的

程序為什麼有意義。他們有效率且精確地計算十位數到百位數的結果與商數。

3. 學生確認體積為三維 空間的屬性。他們了解可以藉由重疊或沒有找出在縫隙，填滿空間所需相同大

小體積單位的總數量，從而測量出體積。他們了解 1 單位乘以 1 單位乘以 1 單位立方體，是測量體

積的標準單位。他們選擇適當的單位、策略與工具，解出關於估算與測量體積的問題。他們透過將 三維形狀分解成堆疊的立方體陣列，找出直角長方柱體的體積。他們度量形狀的必要屬性，以確定

要在真實世界與數學問題中解出的體積。 數學練習

1. 理解問題及堅持解決問題。 2. 解題可以抽象化與量化並行。 3. 建構可行的論證，及評論同學的推論。

4. 以數學觀念建構概念。 5. 有策略地使用適當的工具。 6. 注意精確性。 7. 尋找與利用架構。 8. 查找與表達出重覆推理的規律性。

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五年級概覽 運算與代數思考 • 書寫與詮釋數值表達式。 • 分析樣式與關係。

十進制的數字與運算 • 了解選數值。 • 以多位數整數與十分位到百分位執行

運算。 數字與運算—分數 • 使用同等的分數做為分數相加與相減

的策略。 • 應用與延伸之前乘法與除法的理解能

力，以乘與除分數。

度量與數據 • 在給定的度量範圍內換算相同的度量單位。 • 數據的表示與詮釋。 • 幾何度量：理解體積的概念，並將體

積關連到乘法與加法。 幾何學

• 坐標平面上的圖點解出真實世界與數學問題。 • 根據其特質將 2D 圖分門別類。

運算與代數思考 5.OA

書寫與詮釋數值表達式 1. 使用數值表達式中的括號、方括號或括弧，並評估這些符號的表達式。 2. 寫下記錄以數字計算的簡單表達式，並詮釋數值表達式，而不加以評估。例如，將計算「加 8 與 7，

然後乘以 2」表達為 2 × (8 + 7)。確認 3 × (18932 + 921) 是 18932 + 921 的三倍大，無須計算指定總和或 結果。

分析樣式與關係 3. 使用二個給定的規則產生二個數值樣式。辨識對應項之間的明顯關係。由二個樣式的對應項所組成的

排序對，並將排序對繪製於 坐標平面上。例如，給定規則「加 3」並從數字 0 開始，與給定規則「加 6」並從數字 0 開始，在產生的序列中生成項，並觀察一個序列中的項是 其他序列中對應項的二倍。簡略地說明為什麼是這樣。

十進制的數字與運算 5.NBT

了解選數值 1. 確認在一個多位數中，一位的數字代表是右邊數字的十倍，也代表左邊數字的 1/10。 2. 解釋在以 10 的乘方乘以一個數字時，結果的零數量中的樣式，並解釋 當以 10 的乘方乘以或除以一個小

數時，在小數點位置中的樣式。使用整數冪表示 10 的乘方。 3. 讀、寫與比較十分位到百分位。

a. 使用十進位數值、數字名稱與展開式閱讀與書寫十分位到百分位，例如 347.392 = 3 × 100 + 4 × 10 + 7 × 1 + 3 × (1/10) + 9 × (1/100) + 2 × (1/1000)。

b. 根據每一位的數字意義，比較二個十分位到百分位，並使用 >、= 與 < 符號記錄比較的結果 4. 使用選數值的理解力將十分位四捨五入到任一位。

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以多位數整數與十分位到百分位執行運算 5. 使用標準算法熟練地除多位整數。 6. 使用根據選位值的策略、ˋˋ運算的特質和/或乘與除之間的關係，以四位數被除數與二位數除數找出

整數的整數商數。以圖示說明使用等式、方形陣列、和/或面積模型的計算。 7. 使用具體模型或畫圖，以及根據選位值、運算的特質和/或加與減之間的關係，加、減、乘與除十分

位到百分位：將策略關聯到書寫的方法並解釋所使用的推論。 數字與運算—分數 5.NF

使用同等的分數做為分數相加與相減的策略 1. 以同等的分數取代給定的分數，相加與相減分母不同的分數 (包括帶分數)，以便產生與相同分母的分數

同等的和或差。 例如，2/3 + 5/4 = 8/12 + 15/12 = 23/12。(一般而言，a/b + c/d = (ad + bc)/bd。) 2. 使用視覺分數式或代表問題的等式，解出指稱相同整數之分數式ˋˋ相加與相減文字題型，包括分母不同

的情況。使用基準分數與分數的數字概念心算與評估答案的合理性。例如，藉由觀察 3/7 < 1/2，確認不正確的結果 2/5 + 1/2 = 3/7。

應用與延伸之前乘法與除法的理解能力，以乘與除分數 3. 將分數詮釋為以分子除以分母 (a/b = a ÷ b)。例如使用視覺 分數式模型與代表問題的等式，解出以整數

的除法產生分數或帶分數答案的文字題型。例如，將 3/4 詮釋為以 4 除以 3 的結果， 注意 3/4 乘以 4 等於 3，且當 3 個整數由 4 個人均分時，每個人都分得 3/4 的其中一份。如果 9 個人要共用一袋重量 50 磅的米，每個人可以取得幾磅的米？您的答案介於哪二個整數之間？

4. 應用與延伸之前乘法的理解能力，以分數乘以分數或整數。 a. 詮釋結果 (a/b) × q 為將 q 分割成 b 等份；同樣地，也是 運算系列 a × q ÷ b 的結果。例如，使用

視覺分數式模型顯示 (2/3) × 4 = 8/3，並建立此等式的故事情境。以同樣的方式處理 (2/3) × (4/5) = 8/15。(一般而言，(a/b) × (c/d) = ac/bd。)

b. 以適當單位分數邊長的單位平方覆蓋分數的邊長，以找出方形的面積，並顯示該面積等於乘以

邊長所得的面積。乘以分數邊長以取得方形的面積，並以分數結果表示方形面積。 5. 透過以下，將乘法詮釋為按比例縮放 (重新度量)：

a. 根據其他因數的大小，在不執行指定乘法之下，比較結果與一個因數的大小。 b. 解釋為什麼以大於 1 的分數乘以一個給定的數值，所產生的結果大於給定的數值 (確認以大於 1

的整數相乘是熟悉的情況)；解釋 為什麼以小於 1 的分數乘以給定的數值，所產生的結果小於給定的數值；將分數同等性的原則 a/b = (n × a)/(n × b) 應用於以 1 乘以 a/b 的結果。

6. 例如使用視覺分數式模型或代表問題的等式，解出關於分數與帶分數乘法的真實世界問題。

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7. 應用與延伸之前以整數除以單位分數與擔位分數乘以整數的理解能力。1

a. 詮釋以非零的整數除以一個單位分數的除法，並計算該商數。例如，為 (1/3) ÷ 4 建立一個故事情境，並使用視覺分數式模型顯示商數。使用 乘法與除法之間的關係解釋 (1/3) ÷ 4 = 1/12，因為 (1/12) × 4 = 1/3。

b. 詮釋以單位分數除以一個整數的除法，並計算該商數。例如，為 4 ÷ (1/5) 建立一個故事情境，視覺分數式模型顯示商數。使用乘法與除法之間的關係解釋 4 ÷ (1/5) = 20，因為 20 × (1/5) = 4。

c. 使用視覺分數式模型與代表問題的等式，解出關於以非零整數除以單位分數與以單位分數除

以整數的真實世界問題。例如，如果 3 個人平分 1/2 磅的巧克力，每個人可以分到多少巧克力？2 杯葡萄乾可以分成多少份 1/3 杯的量？

1 能夠乘以分數的學生一般都可以透過推論乘法與除法之間的關係，發展出除以分數的策略。但本級別並不要求

以分數除以分數。

量度與數據 5.MD

在給定的度量範圍內換算相同的度量單位 1. 在給定的度量範圍內 (例如將 5 公分換算成 0.05 公尺)，換算不同大小的標準度量單位，並利用這些

換算解出多步驟的真實世界問題。 數據的表示與詮釋 2. 製作一個線圖顯示一個單位分數的度量數據組合 (1/2、1/4、1/8)。使用此級別對於 分數的運算解決

關於線圖所呈現之資訊的問題。例如，在相同量杯中給定液體的不同度量，如果所有量杯的總數要重新平均分配，找出每個量杯應含的液體量。

幾何量度：理解體積的概念，並將體積關連到乘法與加法 3. 確認體積為立體圖形的屬性，並理解度量體積的概念。

a. 邊長 1 個單位 (「每立方」) 的立方體稱為體積有「一個立方單位」，可以用於度量體積。 b. 可以用 n 單位立方沒有縫隙或重疊覆蓋包裝的立體圖形，可說是具有 n 立方單位的體積。

4. 以計算單位立方度量體積，使用立方公分、立方英吋、立方英呎與自制單位。 5. 將體積關連到乘法與加法的運算，並解出真實世界與數學的體積問題。

a. 以單位立方體堆疊整數邊長以找出直角長方柱體的體積，並顯示該體積等於乘以邊長所得的體積，等同於底部面積乘以高。將三倍整數結果表達為體積，例如 表達乘法的關聯性。

b. 應用長方柱體的公式 V = l × w × h 與 V = b × h 找出有整數邊長的直角常方柱體體積，以解ˊˊ決真實世界與數學問題。

c. 確認體積是累加的。將不重疊部分的體積相加，找出由二個不重疊的直角長方柱體所組成的立體圖型體積，套用此技巧解決實際的問題。

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幾何學 5.G 坐標平面上的圖點解出真實世界與數學問題 1. 使用一對垂直的數字線 (稱為軸) 定義坐標，線條 (起點) 的交叉點是每條線的 0，使用排序數字對位於平

面上的一個給定點，稱ˊ為其坐標。瞭解第一個數字表示在一個軸的方向沿著起點行走的距離，第二個數字表示在第二個軸的方向所行走的距離，搭配依慣例的二個軸名稱與相對應坐標 (例如 x 軸與 x 坐標，y 軸與 y 坐標)。

2. 以坐標平面第一象限的圖點代表說明真實世界與數學問題，依照情況詮釋點的坐標值。 根據其特質將二維圖分門別類。 3. 了解屬於二維 圖類別的屬性，也屬於該類別ˊ的所有子類別。例如，所有的長方形都有四個直角，方形

都是長方形，因此所的方形都有四個 直角。 4. 在根據特質的等級中將二維圖分門別類。

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數學 – 六年級：介紹 在六年級的指導時間應該著重於四大關鍵領域：(1) 將比例與與比率結合到乘法與除法，並使用比例與比率

的概念解 決問題；(2) 完成對分數除法的理解能力，並延伸到包括負數的有理數；(3) 書寫、詮釋與使用表

達式與等式；(4) 發展統計思考的理解能力。 1. 學生使用關於乘法與除法的推論解決關於數量的比例與比率問題。藉由檢視從乘法表的行 (或欄) 對衍

生的比例與比率並加以延伸，並透過分析標示數量相對大小的簡單圖面，學生連貫他們對乘法與除法

加上比例與比率的理解能力。因此學生擴展他們可以使用乘法與除法解決問題的範圍，並連貫了比例

與分數。學生解決關於比例與比率的各種問題。 2. 學生利用分數、乘法與除法的意義，以及乘除之間的關係，理解與說明為什麼分數除法的程序是有意

義的。學生使用這些運算解決問題。學生將他們之前對數字與數字排序的理解能力延伸到完整的有理

數系統，尤其是負整數。他們推論排序與有理數的絕對值，以及關於坐標平面四個象限的點位置。 3. 學生了解在數學表達式中變數的使用。他們寫出因應給定情況的表達式與等式、評估表達式，並使用

表達式與公式解決問題。學生了解不同形式的表達式可能是同等的，他們使用運算的特質以同等的形

式改寫表達式。學生知道等式的解答是讓等式為真的變數值。學生使用運算的特質與維持等式二端相

等的理念，解決簡單的單步驟等式。學生建構與分析表格，例如以同等比例的數量表，並使用等式 (例如 3x = y) 描述等式之間的關係。

4. 建立與強化他們對數字的理解能力，學生開始發展統計思考的能力。學生確認數據分佈可能沒有明確

的中心，且對度量中心不同的方式產生不同的數值。中位數度量中心，代表其為大略的中心值。平均

度量中心的意義是如果數據值總數平均重新分配，即ˋˋ每個數點會取得的值，也代表是平衡點。學生

確認變異性的度量 (四分位數範圍貨平均絕對偏差) 也可以用於摘述數據，因為二組迥異的數據可能有

相同的平均值與中位數，可待其變異性的區分。學生學習描述與摘述數據組合、辨識叢集、峰值、間

距與對稱性，並考量數據收集的情境。 六年級學生也應以小學的所學到的基礎，建立面積的概念、推論形狀之間的關係，以確定面積、表面積與

體積。他們透過分解形狀、重新排列或移除，並將形狀連貫成長方形，從而找出直角三角形、其他三角形

與特殊四邊形的面積。學生使用這些方法討論、發展與判定三角形與平行四邊形的面積公式。學生透過將

形狀分解成可以判定其面積的區塊，找出多邊形的面積、柱體與角錐的表面積。他們推論具有分數邊長的

直角長方柱體，將直角長方柱的體積公式延伸到分數邊長。他們準備學習七年級的比例繪圖與建構，在坐

標平面上繪製多邊形。

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數學練習

1. 理解問題及堅持解決問題。 2. 解題可以抽象化與量化並行。 3. 建構可行的論證，及評論同學的推論。

4. 以數學觀念建構概念。 5. 有策略地使用適當的工具。 6. 注意精確性。 7. 尋找與利用架構。 8. 查找與表達出重覆推理的規律性。

六年級概覽

比例與等比例關係 • 了解比例概念並使用比例推理解決問題。

數字系統 • 應用與延伸之前乘法與除法的理解能力，

以分數除以分數。 • 熟練地計算多位數並找出常見的因數與乘

數。 • 學生將他們之前對數字的理解能力延伸

到有理數系統。

表達式與等式 • 應用與延伸之前對算數與代數表達式

的理解能力。• 推論與解決一個變數的等式與不等式。

• 說明與分析相依與不相依變

數之間的量化關係。 幾何學

• 解決真實世界與數學關於面積、表面積與體積的問題。

統計與或然率

• 發展對統計變異性的理解能力。 • 摘述與說明分佈。

比例與等比例關係 6.RP

了解比例概念並使用比例推理解決問題。 1. 了解比例概念並使用比例語言描述二個數量之間的比例關係。 例如，「動物園鳥屋內鳥翼與鳥喙的比例

為 2:1，因為每二翼會有 一個鳥喙。」「候選人 A 收到每一票，候選人數 C 收到將近三票。」 2. 了解關於比例 a:b (b ≠ 0) 的單位比率 a/b 的概念，並在比例關係的情況下使用比率語言。.例如，「此食

譜的比例是 3 杯麵粉對 4 杯糖，因此每杯糖有 3/4 杯的麵粉。」「我們為 15 個漢堡付了 $75，比例是每

個漢堡 $5。」1 3. 使用比例與比率推理解決真實世界與數學問題，例如推論ˊ同等比例表、帶狀圖、雙位數字線圖或等式。

a. 製作有整數度量的同等數量比例表，找出表中缺失的數值，並在坐標平面上繪製數值對。使用表格比較比例。

b. 解決單位比例問題，包括單位價格與固定速度。例如，如果花 7 小時割 4 片草地，則依該比例，35 小時可以割多少片草地？割草的比例為何 ？

c. 找出數量的百分比作為每 100 的比例 (例如一個數量的 30% 表示 30/100 乘該數量)； 解決關

於在給定部分與比例時，找出總數的問題。 d. 使用比例推理換算度量單位；在程或除數量時，適當地操縱與轉換單位。

1 在本年級對單位比例的期望僅限於簡分數。

37 

數值範圍 6.NS 應用與延伸之前乘法與除法的理解能力，以分數除以分數 1. 使用視覺分數式模型與代表問題的等式，詮釋與計算分數的商數，並解出以分數乘以分數的文字題型。

例如，為ˋ (2/3) ÷ (3/4) 建立一個故事情境，並使用視覺分數式模型顯示商數；使用乘法與 除法之間的關係解釋 (2/3) ÷ (3/4) = 8/9，因為 8/9 的 3/4 是 2/3。(一般而言，(a/b) ÷ (c/d) = ad/bc。)例如，如果 3 個人平分 1/2 磅的巧克力，每個人可以分到多少巧克力？2/3 杯的優格可以分出多少 3/4 杯的量？長度為 3/4 哩且面積為 1/2 平方哩的長方形土地，寬是多少？

熟練地計算多位數並找出常見的因數與乘數 2. 使用標準算法熟練地除多位整數。 3. 使用每種運算的標準算術，熟練地加、減、乘與除多位數小數。 4. 找出小於或等於 100 二個整數的 大公因數，以及小於或等於 12 二個整數 的 小公因數使用分配性特質

表達二個 1–100 有公因數知整數的和，做為沒有公因數之二個整數總和的乘數。例如，表達 36 + 8 為 4 (9 + 2)。

學生將他們之前對數字的理解能力延伸到有理數系統 5. 瞭解正數與負數一起用於描述方向相反的數量 或數值 (例如溫度零度以上/以下、海平面以上/以下的海拔、

貸項/借項、正/負電流)；利用正數與負數代表真實世界的數量，解釋 0 在每個情境中的意義。 6. 了解有理數是數字線上的一個點。將前一年級熟悉的數字線圖與坐標軸，以負數坐標延伸到線與平

面上的代表點。 a. 確認數字的相反符號為數字線上 0 反側的位置；確認數字的相反是數字本身，例如 –(–3) = 3，

且 0 是自身的相反值。 b. 了解排序對的數字符號為指出在坐標平面象限的位置； 確認在二個排序對只有符號不同時，點

的位置是跨一個或二個軸的反射關聯。 c. 在水平或垂直數字線圖表上找出與定位整數與其他有理數；在坐標平面上找出與定位整數與其

他有理數對。 7. 了解有理數的排序與絕對值。

a. 將不等式的命題詮釋為關於在數字線圖表上二個數字的相對位置命題。例如，詮釋 –3 > –7 為 –3 是位於數字線 -7 的右邊，方向是由左到右。

b. 書寫、詮釋與說明有理數在真實世界情況中的排序命題。例如，書寫 –3 oC > –7 oC 以表達 –3 oC 比 –7 oC 更溫暖。

c. 了解有理數的絕對值是在數字線上與 0 的距離；詮釋 絕對值為在真實世界情況下，正或負數量的大小。例如，對於 –30 元的帳戶餘額，寫 |–30| = 30 以描述債務 (元) 的大小。

d. 區別絕對值與關於排序命題的比較。例如，確認低於 –30 元的帳戶餘額代表債務大於 30 元。 8. 以坐標平面四個象限的圖點解決真實世界與數學問題。包含使用坐標與絕對值，找出相同第一坐標或

相同第二坐標上，點之間距離。

38 

表達式與等式 6.EE 應用與延伸之前對算數與代數表達式的理解能力 1. 寫出與評估關於整數冪的數字表達式。 2. 寫、讀與評估字母代表數字的表達式。

a. 寫出以數字與代表數字之文字記錄運算的表達式。例如，表達計算「5 減 y」為 5 – y。 b. 使用數學項辨識表達式的部分(和、項、結果、因數、商數、係數)； 將表達式的一個或多個部份

視為擔一實體。例如，將表達式 2 (8 + 7) 描述為二個因術的結果；將 (8 + 7) 視為單一實體暨二項的和。

c. 以其變數的特定值評估表達式。包含在真實世界的問題所使用之公式所產生的表達式。在沒有

括號指定特別的順序 (運算順序) 時，以傳統順序執行算術，包括那些涉及整數冪運算。例如，

使用公式 V = s3 與 A = 6 s2 找出邊長 s = 1/2 的立方體體積與表面積。

3. 應用運算的特質產生同等的表達式。例如，將分配性特質應用於表達式 3 (2 + x) 產生同等的表達式 6 + 3x；將分配性特質應用於表達式 24x + 18y 產生同等的表達式 6 (4x + 3y)；將分配性特質應用於表達式 y + y + y 產生同等的表達式 3y。

4. 辨識二個表達式為同等的情況 (即當二個表達式指名相同的數字時，不管該數值是否可以代入)。例如，表達式 y + y + y 與 3y 是同等的，因為它們指名相同的數字時，不管數字 y 代表的是甚麼。

推論與解出單一變數等式與不等式 5. 了解在解出等式或不等式，是回答問題的過程：特定組的哪個數值 (若有) 讓等式或不等式為真？使用

替代判定在特定組的 一個給定數字是否讓等式或不等式為真。 6. 在解決真實世界或數學問題時，使用變數代表數字並寫出表達式；了解變數可以代表未知數，或依手邊

的目的而定，特定組內的任何數字。 7. 對於 p、q 與 x 都是非負數有理數的情況下，藉由書寫與解出 x + p = q 與 px = q 形式的等式，解決真實

世界與數學問題。 8. 寫出 x > c 或 x < c 形式的不等式，代表真實世界或數學問題的限制或條件。確認 x > c 或 x < c 形式的不

等式有無窮多的解法；代表 該不等式在數字線圖形上的解法。 說明與分析相依與不相依變數之間的量化關係 9. 使用變數代表真實世界問題的二個數量，會在彼此的關係中變動；寫出等式表達一個數量，視為相依

變數，另一個數量則視為 不相依變數。使用圖形 與表格分析相依與不相依變數的關係，並加以連貫到等式。例如，在涉及以固定速度運動的問題中，條列與ˋˋ繪製距離與時間的排序對，並寫下等式 d = 65t 以代表距離與時間之間的關係。

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幾何學 6.G 解決真實世界與數學關於面積、表面積與體積的問題 1. 透過組合成長方形 或分解成三角形與其它形狀，找出正三角形、其他三角形、特殊四邊形與多邊形的面

積；應用這些技巧解決真實世界與數學問題的情況。 2. 以具適當單位分數邊長的單位長方立方體堆疊分數邊長以找出直角長方柱體的體積，並顯示該體積等於

柱體的邊長。應用公式 V = l w h 與 V = b h 找出具分數邊長 之直角長方柱體的體積，以解決真實世界與數學問題。

3. 在給定坐標頂點的坐標平面中繪製多邊形；使用坐標找出結合相同第一坐標或相同第二坐標連接點的

側邊長度。應用這些技巧解決真實世界與數學問題的情況。 4. 使用由長方型與三角形組成的網子代表 3D 圖，並使用網子找出這些圖形的表面積。應用這些技巧解

決真實世界與數學問題的情況。 統計學和機率 6.SP

發展對統計變異性的理解能力 1. 確認統計問題是在關於問題的數據中預期其變異性，並計入答案中。例如，「我幾歲？」不是一個統

計問題，而「在我的學校中， 學生們是幾歲？」則是統計問題，因為我們會預期學生年齡的變異性。 2. 了解所收集用以回答統計問題的數據組具有分佈性，可以用其中心、幅度與整體形狀描述。 3. 確認數據組合的中心度量以單一數字摘述所有的數值，而差異的度量描述其數值如何隨著單一數字

改變。 摘述與說明分佈 4. 在數字線上以圖顯示數據組合，包括點圖、矩形圖與盒形圖。 5. 摘述與其情況相關的數具組合，例如：

a. 觀察述字的報告。 b. 敘述調查的屬性本質，包括度量方式與其度量單位。 c. 提供中心 (中位數和/或平均) 與變異性 (四分位範圍和/或平均絕對差異) 的量化ˊ度量，以及

描述任何的整體樣式與參考數據收集情況的整體樣式之間明顯的差異。 d. 連貫中心度量的選擇與數據分佈的形狀的變異性，以及數據收集的情況。

40 

數學 - 七年級：介紹 在 七年級的指導時間應該著重於四大關鍵領域：(1) 發展對等比例關係的理解能力與應用；(2) 發展對以有

理數運算的理解能力，並表達式與線性等式；(3) 解決涉及刻度繪圖與簡略的幾何建構的問題，並學習二

維與三維形狀以解出關於面積、表面積與體積的問題；以及 (4) 根據樣本繪出關於母體的推斷。

1. 學生延伸其對比例的理解能力，發展對等比例的理解能力以解出單步驟與多步驟的問題。學生利用其對

比例與等比率的理解能力，解出各種百分比的問題，包括涉及折扣、利息、稅額、小費與百分比增加或

減少。學生透過連貫物體之間的對應長度，或利用物體之內長度的關係是保存於類似其他物體的事實，

解決關於刻度繪圖的問題。學生繪製等比例關係，並了解單位比例簡略地視為相關線條斜度的度量，稱

為斜度。他們區分等比例關係與其他關係。

2. 學生發展對數字的統一理解能力、確認分數、小數 (有限小數或循環小數表達式)，以及有理數不同表

達式的百分比。學生將加法、減法、乘法與除法延伸到所有的有理數，維持運算的特質以及加減與乘

除之間的關係。應用這些特質以及在日常生活中檢視負數 (例如欠款金額或ˊ零度下的溫度)，學生解釋

與詮釋以負數相加、相減、相乘與相除的規則。他們使用有理數的算術擬訂一個變數的表達式與等式，

並使用這些等式解決問題。

3. 學生繼續六年級的面積學習，解決涉及圓圈的面積與圓周，以及三維物體的表面積等問題。在八年級準備學習一致性與類似性，他們使用刻度繪圖與簡略的幾何架構ˋˋ推論二維 圖形，他們熟悉由交叉的線條所形成角度之間的關係。學生 學習 三維圖形，透過檢視橫斷面連貫到二維 圖形。他們 解決真實世界與數學關於面積、表面積以及由三角形、四邊形、多邊形、立方體與直角柱體所組成之二維 物體與 三維物體體積的問題。

4. 學生以單一數據分佈整體之前的作業，以比較二種數據分佈，並處理母體之間差異的問題。他們開始

隨機取樣展開簡略的作業，以產生數據組，並學習代表性樣本對繪圖推斷的重要性。 數學練習

1. 理解問題及堅持解決問題。 2. 解題可以抽象化與量化並行。 3. 建構可行的論證，及評論同學的推論。

4. 以數學觀念建構概念。 5. 有策略地使用適當的工具。 6. 注意精確性。 7. 尋找與利用架構。 8. 查找與表達出重覆推理的規律性。

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七年級概覽 比例與等比例關係 • 分析等比例關係，並用於解現實世界

與數學問題。 數字系統 • 應用與延伸之前分數運算的理解能力，

以加、減、乘與除有理數。 表達式與等式 • 應用運算的特質產生同等的表達式。 • 使用數字與代數的表達式與等式解決

真實生活與數學的問題。

幾何學 • 繪製、建構與描述幾何圖形，以及描

述之間的關係。 • 解決真實生活與數學關於角度度量、

面積、表面積與體積的問題。 統計與或然率

• 使用隨機樣本推導出關於母體的推論。 • 繪製二個母體的簡略比較推論。 • 調查機率程序，並發展、使用與評估或

然率模型。

比例與等比例關係 7.RP

分析等比例關係，並用於解出真實世界與數學問題 1. 計算關於分數比例的單位比率，包括長度、面積與其他以相同或不同單位度量之數量的比例。例如，

一個人在每 1/4 小時走了 1/2 哩，以小時繁分數 1/2//1/4 哩計算單位比例，等於每小時 2 哩。 2. 確認與表達數量之間的等比例關係。

a. 確定二個數量之間是否為等比例關係，例如在表格內測試同等的比例，或在坐標平面上繪圖，並觀察圖行是否以直線穿越 原點。

b. 辨識表格、圖形、等式、圖表中的等比例 (單位比例) 常數，以及等比例關係的口頭敘述。 c. 以等式表達等比例關係。例如，如果以固定價格 p 購買商品數量 n 的總成本 t 是成比例的，總

成本與商品數量之間的關係可以表達為 t = pn。 d. 解釋為什麼等比例關係圖表中的一個點 (x, y) 代表其位置， 特別注意點 (0, 0) 與 (1, r)，其中 r 是

單位比例。 3. 使用等比例關係解決多步驟比例與百分比問題。範例：單利、稅額、漲價與降價、小費與佣金、

規費、百分比增加與減少、百分比錯誤。 數值範圍 7.NS

應用與延伸之前分數運算的理解能力，以加、減、乘與除有理數 1. 應用與延伸之前加法與減法的理解能力，以相加與相減有理數； 在水平或垂直的數字線圖上表達相加與

相減。 a. 描述相反的數量結合變成 0 的情況。例如，氫原子的電位是 0，因為它的二個成分電位相反。

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b. 了解 p + q 是位於從 p 到 |q| 距離的數字，其正或負方向取決於 q 為正或負。顯示一個和其相

反數相加為 0 的數字 (加法反元素)。以描述真實世界的情況，詮釋有理數的和。 c. 了解有理數的減法為加上加法反元素，p – q = p + (–q)。顯示在數字線上二個有理數之間的距

離是其差的絕對值，並將此原則應用於真實世界的情況。 d. 應用運算的特質做為有理數相加與相減的策略。

2. 應用與延伸之前乘法與除法及分數的理解能力，以乘與除有理數。 a. 了解乘數是從分數到有理數的延伸，要求運算持續滿足運算的特質，尤其是分佈特性，以產生

結果 例如 (–1)(–1) = 1 與乘帶符號數字的規則。以描述真實世界的情況，詮釋有理數的結果 。 b. 了解整數可以被除，條件是除數不能為零 ，且每個整數 (與非零的除數) 的商數都是有理數。如

果 p 與 q 整數，則 –(p/q) = (–p)/q = p/(–q)。以描述真實世界的情況，詮釋有理數的商數 。 c. 應用運算的特質做為有理數相乘與相除的策略。 d. 使用長除法將有理數換算成小數；認識有理數的小數形式結尾為 0 或 後會循環。

3. 解決真實世界與數學關於有理數四種運算的問題。1

1 有理數的計算將操作分數的規則延伸到繁分數。

表達式與等式 7.EE

應用運算的特質產生同等的表達式。 1. 應用運算的特質做為有理係數相加、相減、分解因數與擴展現性表達式的策略。 2. 了解在一個問題情況下，以不同的形式改寫表達式，可以深入了解問題以及其中數量的關聯方式。例如，

a + 0.05a = 1.05a 表示「增加 5%」是和 「乘以 1.05」相同的。 使用數字與代數的表達式與等式解決真實生活與數學的問題。 3. 使用工具，有策略地解決以任何 形式 (整數、分數與小數) 的正與負有理數等相關的多步驟真實生活與數

學問題。利用運算的特質計算任何形式的數字；依情況進行形式間的換算；以及使用心算與估算策略，評估答案的合理性。例如：如果一位女士時薪 $25，她獲得 10% 加薪後的時薪是 $27.50，即表示她每小時多賺取 1/10 的時薪，或 $2.50。如果你要在一個寬長 27 1/2 寸的門，置中擺放一條長 9 3/4 寸的地毯，地毯需要距離門邊框 9 寸。這個例子可以作檢查實際計算之用。

4. 使用變數表達現實生活中的數量或數學問題，並以此建立簡單公式及不等式，推理得出答案。 a. 解答以下以文字方式寫出的公式：px + q = r，p(x + q) = r，p, q, 及 r 均為有理數。流暢解決

此類題目。比較兩個代數解題方式， 並指出不同方式的解題程序。例如，矩形的的周長 54 公分，長 6 公分；請問寬是多少？

b. 解答以下以文字方式寫出的公式：px + q > r or px + q < r，p, q, 及 r 均為有理數。將不等式以圖

表方式表達。例如：身為一個銷售人員，你的周薪是 $50，每成交一次亦會多得= $3。這星期

您想領取 $100 以上的收入，列出並說明你想賺取的周薪不等式。

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幾何學 7.G 繪製、建構與描述幾何圖形，以及描述之間的關係 1. 解答有關幾何圖形的比例相關題目。例如：用一個比例繪圖，得出實際角度及面積；再以不同比例畫出

另一個圖形。 2. 畫出指定情況下的幾何圖形 (應用適當技巧，利用尺及量角器)。重點放在量度角度及面畫製三角形，注

意在什麼情況下會得出獨角三角形、多於一個三角形，或無法得出仕何三角形。 3. 切開直角長方柱和直角長方錐平面，形容得出的二維三角形。

解決真實生活與數學關於角度度量、面積、表面積與體積的問題 4. 明白圓形的面積和周長公式，並利用公式解決問題；非正式地舉例說出一個圓周和面積之間關係。 5. 在一個多步驟問題中，利用補角、餘角、直角及鄰角解題，並以簡單公式列出圖形的未知角。 6. 解決關於面積、容量以及由三角形、四邊形、多邊形、立方體與直角柱體所組成之二維物體與三維物體

體積的現實生活與數學問題。 統計學和機率 7.SP

使用隨機樣本導出關於母體的推論 1. 檢視一個母體的樣本，明白統計母體過程中需要搜集的數據。注意，檢視的母體的樣本，必須 具有

可以代表母體的特性。明白隨機抽樣比較能夠產生具有代表性的樣本及有效的推論。 2. 利用隨機樣本，有效推論母體的未知特性。產生多個相同大小的樣本 (或模擬樣本)，衡量估計或預測過

程中可能出現的變化。例如，利用一本書的部份字數，估計平均字數；隨機採用搜集數據，預測學校的選擇結果。衡量預測與實際結果之間的差距。

繪製二個母體的簡略比較推論 3. 隨意評估兩個視覺上重疊及具有相類變數的角度； 量度多變數的多個樣式，量度兩組核心的差異。範例：

籃球隊的平均身高比足球隊高 10cm，等同任何一隊變數的兩倍 (平均絕對偏差)。請在點線上，畫出已知的高度分配屬性。

4. 由隨機樣本中量度中心及數據的變異性，從而得出非正式比較推論兩個母體。範例：分辨一本七年級教科書內文長度，是否普遍長於四年級教科書。

調查機率程序，並發展、使用與評估或然率模型 5. 明白一件事的發生機率可以用 0 或 1 表達，而表示事件發生的可能性亦可以以此方式表達。數字愈大表

示機率愈高。若機率接近 0，表示發生的可能性不高；機率接近 1/2，表示發生的機率為一半；機率接近 1 表示發生的機率很高。

6. 記錄事件發生的時間，概括得出該事件發生的機率；進而長期觀察事件發生的或然率，再預測它出現

的相對次數。範例：滾動一個立方體 600 次，預測每滾動約 200 次時，可能出現 3 或 6 的次數。 7. 建立一個機率模型，並利用模型得出事件的或然率。比較模型的或然率以觀察事情的出現頻率。若

認為得出的論述不夠有力，說明差異性的潛在來源。

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a. 分配相同機率予所有結果，從而發展一套統一的或然率模型，並利用此模型決定事件的或然

率。範例：如果從一個班別隨機選出一名學生，選出 Jane 的或然率是多少？選出女學生的或然率又是多少？

b. 透過觀察產生機率的數據，建立或然率模型 (有可能並不統一)。範例：當旋轉一個硬幣時，轉出頭像向上的機率；或找出扔紙杯時杯口向上的機率。旋轉硬幣的結果，是否與觀察次數的結果相同？

8. 以列表、表格、樹狀圖及模擬方式，找出一系列事件的或然率。 a. 明白一系列事件的結果，其實是由事件的部份樣本組合而成。 b. 以列表、表格及樹狀圖，找出複合事件的樣本。從日常生活小事 (如擲骰子擲出兩次 6)， 找出

型成事件的樣本。 c. 設計一個模擬方式，並利用它產生一個複合事件的頻率。範例：利用隨機數字為模擬工具，得出

以下情況的約略答案。如果 40% 的捐血者是 A 血型，每 4 個捐血者出現 A 血型的機率是多少？

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數學標準 – 八年級：介紹 指導時間應該著重於三大關鍵領域：(1) 建立表達方式及推理公式，包括二元數據與線性公式的模型，解

答線性及整系列公式的題目；(2) 掌握函數概念，並利用函數描述定量關係；(3) 以距離、角度、相類性、

一致性分析二維及三維空間及圖形，明白及應用「商高定理」。

1. 學生可以用線性公式及一系列的線性公式，表達、分析及解答不同問題。學生可以將比例公式如 (y/x = m or y = mx) 解讀為線性公式 (y = mx + b)，並理解恆定比例 (m) 為斜率，圖形乃穿透原點而成。他們會

理解 (m) 為常變定率，若代入數字或以 A 數量改變 x 座標，結果或 y 座標將會以 m A 為單位改變。學生

會以線性公式，描述兩個二元數的數量關係 (例如學生的臂長及身高關係)。八年級學生只需學會以非正

式的方式代入模型，及評估數據如何代入模型。為了解某情況下出現的數據，學生必須表達問題中兩個

數量的關係，並理解元件之間的關係 (例如斜率及 y 截距)。

2. 學生懂得如何有技巧地選擇及套用適當的程序，解答單變數線式公式；明白當他們應用等式特性及邏輯

上的對等觀念時，得出的答案會與原來公式相同。學生用兩個變數解答線性公式，並將之引用至一個平

面上的一對線條；這些線條是交錯、平行的，或位於同一條線上。學生應用線性公式、一系列的線性公

式、線性函數，並利用他們對斜率的理解分析及解決不同處境的問題。

3. 瞭解函數實際上是將相同結果，指派予每一個輸入數值的規則。他們會明白在函數中，一個數量會決

定另一個數量。他們懂得如何理解不同公式的表達方式，以及函數的部份表達方式 (表格和圖形表示

可能是部分申述)；說明函數在不同表達方式下的不同展示方式。

4. 學生會利用距離及角度，知道在計算、旋轉、反映、擴展時的對應變化；並利用一致性及差異性的概

念，描述及分析二維圖形相關的題目。學生懂得描述由直線形成即為三角形內所有內角的總和；理解

橫向切割平行線時會產生不同角度，以此明白不同的線性表達方式，會產生對應角度。學生明白「商

高定理」及其相反的定律；解釋定理成立的原因，例如以兩種不同方式拆解一個矩形。他們會套用

「商高定理」，找出座標平面點與點之間的距離，找出長度和分析多邊形。學生可以解答容量相關問

題，包括圓錐體、圓柱體和球體。 數學練習

1. 理解問題及堅持解決問題。 2. 解題可以抽象化與量化並行。 3. 建構可行的論證，及評論同學的推論。

4. 以數學觀念建構概念。 5. 有策略地使用適當的工具。 6. 注意精確性。 7. 尋找與利用架構。 8. 查找與表達出重覆推理的規律性。

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八年級概覽 數字系統 • 明白某些數未為非理數，並以有理

數將它四捨五入。 表達式與等式 • 使用根數和整指數。 • 瞭解等比例關係、線條和線性方程

式之間的關聯。 • 分析及解答線性公式及聯立線性公式。

函數 • 定義、評估及比較函數。 • 使用函數為數量之間的關係建立模型。

幾何學 • 以實際模型、透明膠片或幾何軟體，

理解一次性及相類性。 • 瞭解並套用「商高定理」。 • 解決真實世界中關於圓柱體、圓錐體

和球體的數學問題。 統計與或然率

• 發現二元數的關聯模式。

數字系統 8.NS

明白某些數未為非理數，並以有理數將它四捨五入 1. 明白某些數未為非理數，並以有理數將它四捨五入。明白每一個數字均可以用小數式表達；有理數的小

數式將會一直重複；重複展開一個小數式即可得出一個有理數。 2. 四捨五入一個非有理數，以比較不同有理數；並將相關數字恰當地放在線圖上，再估算對應的

值 (例如 π2)。範例：拆開 √2 的小數擴展式，說明 √2 的數值為 1 和 2 之間，然後在 1.4 及 1.5 之間說明如何得出 接近的數值。

表達式與等式 8.EE

使用根數和整指數 1. 明白及應用整數指數的特性，產生對等的數字表達方式。範例：, 32×3–5=3–3=1/33=1/27. 2. 利用平方根及立方根符號表達 x2

= p 及 x3 = p 公式，p 為正有理數。探討小正方形的平方根及立方根。

明白 √2 的非有理性特質。 3. 以單位數乘上以 10 為基數的數字，估算更多或 更少數量，並得出倍數。範例：美國估算人口為 108

，全球人口為 7 × 109。因此，全球人口比美國人口多 20 倍。

4. 計算科學記號及小數表達的算式。利用科學記號得出非常大/非常小的數量 (例如海底每年以多少毫米

擴張)。解讀以技術得出的科學記號。

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瞭解等比例關係、線條和線性方程式之間的關聯 5. 畫出等比例關係，並以圖表的斜率解讀單位比率。比較兩個不同的比例關係， 並以兩個不同方式表達。

範例：比較兩個距離-時間圖表，辨別哪一個移動中的物體速度較快。 6. 以類三角形說明出現在非直線平座標上兩點的斜率 m 相同；展開穿過原點的 y=mx 公式，及穿過直線座

標上 b 點及 y = mx + b 公式。 分析及解答線性公式及聯立線性公式 7. 解答一元線性公式。

a. 列出一元線性公式的單一解答、無限解答，或無解答。透過不斷簡化指定公式至對應的 x = a, a = a, or a = b (a 和 b 為不同數字) 公式。

b. 解答含有有理數系數的線性公式，包括需要展開分配律和收集同類項目的公式。 8. 分析及解答一對聯立線性公式。

a. 明白兩組二元線性公式，因為交叉點可以應用在公式上，所以兩組公式均與圖表上的兩個變數交叉點相應的道理。

b. 以代數式解答二元線性公式，並以圖表解題。以檢驗方式解答簡單題目。範例：因為 3x + 2y 無法同時成 5 及 6，因此無法解開 3x + 2y = 5 和 3x + 2y = 6。

c. 解答現實生活中有關二元線性公式的數學問題。範例：從兩組座標點決定穿過第一組的線，是否將與第二組的線交叉。

函數 8.F

定義、評估及比較函數 1. 瞭解函數是一個僅指派一個輸出給每個輸入的規則。一個函數的圖表，即是一組含有一個輸入及輸出的

配對。1

2. 比較兩個以不同表達方式 (代數、圖形、數字、 圖表或口述) 表達的兩個函數。範例：從一個列表及一個代數的線性函數式，辨別哪一個函數的變動率較大。

3. 以線性函數式，解答以直線圖表達的 y = mx + b 公式，並列舉未線性的函數例子。範例：一個以 A = s2 函數表達的方型面積，由於它的邊長含有並非位於同一條線上的(1,1)、 (2,4) 及 (3,9) 諸點，因此此函數式並非線式。

使用函數為數量之間的關係建立模型。 4. 為兩個數量之間的關係，建置一個線性函數模型。找出變動率，以及從兩個 (x, y) 值、 表格或圖表

描述關係，找出原始函數值。解讀模型、圖表及列表中的變動率及原始線性函數值。 5. 透過分析圖表描述兩個數量間的函數定性關係 (例如 不斷變大、變小或非線性函數)。以圖表畫出一

個以文字方式表達的函數定性特性。

1函數表示法並非八年級必學主題。

48 

幾何學 8.G 以實際模型、透明膠片或幾何軟體，理解一次性及相類性

1. 驗證旋轉、反射和轉換等性質： a. 將一條線分成線、段表達線長， b. 以相類方式表達角度及 c. 平行線。

2. 明白如果旋轉、反射和轉換一個二維圖形，會得出另一個相同的圖形；提供兩個全等圖形 ，表達兩者的一致性。

3. 利用坐標，說明二維圖形對擴張、平移、旋轉和反射的影響。 4. 明白如果旋轉、反射和轉換一個二維圖形，可以得出另一個相類圖形；提供兩個相類的二維圖形，

表達兩者的相類性。 5. 以非正式的表達方式，找出三角形外角和角度總和；平行橫向切開一個角度時得出的角度；成立相

類角度的要素。範例：將一個三角形複製排列，讓它們的三個角度總和形成一條線，並以橫向切面說明排列不理。

瞭解並套用「商高定理」

6. 引證「商高定理」及其反例。 7. 應用「商高定理」，得出一個存在於現實生活中的直角三角形未知邊長，並解答二維及三維

數學問題。 8. 應用「商高定理」，找出座標系統中兩點之間的距離。

解決真實世界中關於圓柱體、圓錐體和球體的數學問題。

9. 明白圓錐體、圓柱體和球體的容量公式，並將之應用於在現實生活與數學問題。 統計學和機率 8.SP

發現二元數的關聯模式 1. 建立及說明二元測量的散點圖，了解兩個數量存在的特定模式。描述群聚、孤立點、正或負關聯、線

性關聯及非線性關聯等模式。 2. 了解可以廣泛應用直線得出合個定量變數的關係模型。在一個描述線性特質的散點圖上，非正式地

畫出一條直線，並透過判別 接近線的數據點，評核模型是否合理。 3. 利用線性模型解答二元數據問題，解讀斜率及截距。範例：從一個關於生物實驗的線性模型中，說明

1.5 cm/小時的斜率，如何表達一天多一個小時日照將如何讓植物增高 1.5 cm。 4. 透過雙向表內呈現的二元分類數據出現的頻率及相對頻率，明白對應模式。在相同主題下，搜集兩類

變數，並將之建立及表達成一個雙向表。利用相對頻率計算出的列、欄，說明兩個變數的潛在關聯。

範例：搜集班上同學是否會在平白被家人實行宵禁或需要幫忙做家事。問：會被宵禁的同學，是否也比較需要幫忙做家事？

49 

高中

I 57

數學標準：高中 高中數學標準制定所有高中學生準備進入大專院校及就業所需的數學知識，以及額外需要學習的進階數

學知識，包括演算、進階統計，或以 (+) 表示的離散數學，如以下例子：

(+) 在复平面上以直角坐標和極式表達複數 (包括實數和虛數)。 所有以 (+) 標示的標準，將納入準備進入大專院校及就業的學生通用課程。所有以 (+) 標示的標準，亦

應該出現在為所有學生而設的課程之內。 高中數學標準將會分成以下幾個概念性類別：

數字與數量概覽 代數 函數 模型化 幾何學 統計與或然率

概念類別描繪高中數學的前後連貫的觀點；例如學生學習的函數跨越了許多傳統的課程領域，還可能納

入微積分。 建模的 佳解釋並非孤立主題的集合，而是關於其他標準。製作數學模型是數學練習標準，且特殊建模

標準會以星形符號 (*) 全程顯示於高中標準。星號有時會出現在一組標準的標題上；在這種情況下，應

瞭解要在該群組中套用所有標準。

50 

數學 — 高中數字與數量：介紹 數字與數值範圍 從幼稚園到八年級的幾年，學生必須重複擴展他們對數字的概念。首先，「數字」意指「計數」：1、2、3 … 之後不久，0 用於代表「無」且整 數是由和零一起計算數字所形成的。下一個延伸是分數。剛開始，分數只是數字，和圖形說明緊密相依。而在學生了解分數的 除法之後，他們對分數是數字的概念已經很穩固，而且透過他們的小數 表達，以及用於代表整數的十進位制，已經可以運用自如。在中學期間，分數是由負分數累加以形成有理數。在 8 年級，學生再度延伸此系統，有理數與無理數累加以形成實數。高中的學生應該接觸另一種數字的延伸，實數是虛數累加以形成複數。

隨著數字的每個延伸，加法、減法、乘法與除法的意義也隨之延伸。在每個新的數字系統內 -- 整數、有理

數、實數與複數--四種運算仍然以兩種重要的方式維持相同：它們具有交替性、結合性與分配性特質，其

新的意義與之前的意義一致。 延伸整數指數的特質導出新的產生性符號。例如，整術指數的特質指出 (51/3)3 應該是 5(1/3)3 = 51 = 5，且 51/3 的立方根應該是 5。

計算機、電子工作報表與電腦代數系統，可以提供讓學生更加熟悉這些新數字系統與其符號的方式。它們

可以用於產生數值實驗的數據，促進對矩陣、向量與複數代數式的了解，並實驗非整數指數。 數量。 在真實世界的問題中，答案通常不是數字而是數量：涉及度量的有單位數字。在他們一直到 8 年級的度量作業中，學生主要是使用常用的 屬性度量，例如長度、面積與體積。高中的學生會遇到各種建模的單位，例如加速、貨幣、換算衍生性數量 (例如人時與加熱度日)、社會 科學比率 (例如人均收入) 與日常生活的比率 (例如每場比賽的得分或打擊 平均值)。他們也會遇到新的情況，他們必須自行從中孕育出興趣的屬性。例如，要找出整體高速公路安全的優秀度量，他們可能提出像年度死亡率、每位駕駛每年死亡率或每輛汽車里程的死亡率等度量。此類的概念流程可以稱為量化。量化對科學是很重要的，例如表面積突然變成汽化的重要變數。量化對公司也很重要，這必須將相關屬性概念化，並建立或選擇適合的度量。

數學練習

1. 理解問題及堅持解決問題。 2. 解題可以抽象化與量化並行。 3. 建構可行的論證，及評論同學的推論。

4. 以數學觀念建構概念。 5. 有策略地使用適當的工具。 6. 注意精確性。 7. 尋找與利用架構。 8. 查找與表達出重覆推理的規律性。

51 

數字與數量概覽 實數範圍 • 將指數的屬性延伸到有理數的指數。 • 利用有理數與無理數的特質。

數量 • 理解量化並以單位解決問題。

複數範圍 • 以複數執行算術運算 • 在複平面上表達出複數與其運算 • 在多項恆等式和方程式中使用複數。

向量和矩陣數量

• 以向量數量表達與建模。 • 在向量上執行運算。 • 在矩陣上執行運算並在應用中使

用矩陣。 實數範圍 N-RN

將指數的屬性延伸到有理數的指數。 1. 說明將整數指數的特質延伸到相關數值，如何遵循有理數指數的意義定義，讓根的符號代表有理數整數。

例如，我們定義 51/3為 5 的立方根，因為我們要保留 (51/3)3 = 5(1/3)3

，因此 (51/3)3 必須等於 5。

2. 使用指數的屬性重寫關於根與有理數指數的表達式。 利用有理數與無理數的特質。 3. 解釋為什麼二個有理數的和或結果是有理數；mb 有理數與無理數的和是無理數；以及非零有理數

與無理數的結果是 無理數。 數量 N-Q

理解量化並以單位解決問題。 1. 使用單位做為了解問題的方式，並導引多步驟問題的解決；在公式中一致地選擇與詮釋單位；在圖形

與數據顯示中選擇與詮釋刻度與原點。 2. 基於描述性模型的目的，定義適當的數量。 3. 在報告數量時，選擇適合度量限制的精確性等級。

複數範圍 N-CN

以複數執行算術運算。 1. 已知複數 i，而 i2

= –1，每個複數都有 a + bi 的形式，其中 a 與 b 是實數。 2. 使用關係 i2

= –1 和交替的、關聯的和分配的屬性來加、減和乘以複數。 3. (+) 找出複數的共軛；使用共軛找出複數的模數與商數。

52 

在複平面上表達出複數與其運算。 4. (+) 在標準坐標與極坐標的複平面上表達複數 (包括實數與虛 數)，並解釋為什麼一給定複數的標準坐標與

極坐標代表相同的數字。 5. (+) 在複平面上以幾何方式表達複數的加、減、乘與共軛；使用此表達式的特質進行計算。例如，(-1 +

√3 i)3 = 8 因為 (-1 + √3 i) 有模數 2 與參數 120°。

6. (+) 計算複平面中二個數字的距離為差的模數，區段的中間點是端點數字的平均ˋ值。 在多項恆等式和方程式中使用複數。 7. 以有複解的實係數解決二次方程式。 8. (+) 將多項恆等式延伸到複數。例如，將 x2

+ 4 改寫為 (x + 2i)(x – 2i)。 9. (+) 認識代數基本定理；說明二次多項式為真。

向量和矩陣數量 N-VM

以向量數量表達與建模。 1. (+) 確認向量數量同時具有量級與方向。以有方向的 線段表達向量數量，並使用適當的符號表達向量與其

量級 (例如 v、|v|、||v||、v)。 2. (+) 從終點的坐標減掉起點的坐標，找出向量的組成。 3. (+) 解出涉及速度與可以由向量表達之其他數量的問題。

在向量上執行運算。 4. (+) 向量相加與相減。

a. 以分量方式並透過平行四邊形尺規相加端對端向量。理解二個向量和的量級一般不是量級的和。 b. 以量級與方向形式給定二個向量，判定其和的量級與方向。 c. 理解向量相減 v – w 為 v + (–w)，其中 –w 是 w, 的加數逆轉，以相同的量級 w 與相反方向的指

向。以適當順序連接尖點，藉由圖型表達向量相減，並以分量方式執行向量相減。 5. (+) 以純量乘以向量。

a. 透過分割向量與可能地逆轉其方向，以圖形表達純量相乘； 以分量方式執行純數相乘，例如 c(vx, vy) = (cvx, cvy)。

b. 使用 cv ||cv|| = |c|v 計算純量乘數 cv 量級。計算 cv 的方向，已知當 |c|v ≠ 0，cv 的方向是沿著 v (c > 0) 或逆著 v (c < 0)。

在矩陣上執行運算並在應用中使用矩陣。 6. (+) 使用矩陣表達與操作數據，例如表達網路中的賠率或事件。 7. (+) 以純數除以矩陣以產生新的矩陣，例如比賽中所有的賠率都加倍。 8. (+) 加、減與乘適當次元的矩陣。 9. (+) 了解方形矩陣的矩陣乘法與數字的乘法不同，並不是累加的運算，但仍然滿足結合性與分

配性的特質。 10. (+) 了解矩陣的零與壹在矩陣加法與乘法中扮演的角色，類似實數的 0 與 1 角色。若且唯若矩陣有 乘法

逆轉，方形矩陣的行列式是零。 11. (+) 以適當次元的矩陣乘以向量 (視為一位矩陣) 以產生另一個向量。使用作為向量變形的矩陣。 12. (+) 處理 2 × 2 矩陣為一個平面的變形，並就面積而言詮釋行列式的絕對值。

53 

數學 — 高中代數學：介紹 有理表達式 表達式是以數字、代表數字的符號、算術運算、取冪以及更高階的函數評估運算等的計算記錄。使用括號與運算順序的慣例，確保每個表達式的明確性。建立一個關於一般數量的表達式，涉及表達一般數量的計算及將之從特定情況下抽象化的過程。

理解涉及分析及基本架構的能力。此能力亦可解讀為以相異但相等的方式寫出表達式，以展現意義不同

層面的能力。例如，p + 0.05p 可以詮釋為在價格 p 上附加 5% 稅額。將 p + 0.05p 改寫成 1.05p，表示將

價格乘以一個常數因子等同在某價格上附加稅額。 代數操作由運算與指數特質及代數符號慣性控制。有時候，表達式是將運算應用在更簡單表達式的結果。

例如，p + 0.05p 是較簡單表達式 p 與 0.05p 的和。檢視較簡單表達式運算結果，可以釐清整體基礎結構。 電腦報表或電腦代數系統 (CAS) 可以實驗代數表達式、執行複雜的代數操作，並了解代數操作的行為方

式。 等式與不等式 等式是二個表達式相等的陳述，通常是要求表達式兩邊變數值確實相等的問題。這些值是方程式的解答。一個恆等式則是變數的所有值均為真正數值；恆等式通常以同等式改寫表達式生成。

一元方程式的解答形成一組數字；二元方程式的解答形成一組依序的數字對，可以繪製於坐標平面上。兩

個或多個方程式和/或不等式形成一個系統。此類系統內的解答必須滿足系統內的每個等式與部等式。 等式通常可以從一個或多個較簡單等式連續演繹解出。例如，我們可以在二邊增加相同的常數而不會改變

解答，但是二邊平方可能導致無關的解答。解題的策略性能力包含事先求出有生產力的操作，並預期解答

的本質與數量。 有些等式在給定的數值範圍內沒有解答，但是在較大的範圍內則有解答。例如，x + 1 = 0 的解答是一個整數，

而不是全數；2x + 1 = 0 的解答是有利數，而不是整數；x2 – 2 = 0 的解答是實數，不是有理數；而 x2

+ 2 = 0 的解答是複數，不是實數。

用於解決等式的相同解答技巧可以用於公式的重新組合。例如，梯形的面積公式 A = ((b1+b2)/2)h 可以使用

相同的歸納程序解出 h 。 推論不等式性質可以解出不等式。許多但非全部的相等特質仍然適用於不等式，且對於解題仍然很有用。

與函數和建立模型的關係 表達式可以定義函數，而同等的表達式可以定義相同的函數。要求在二個函數對於相同輸入有相同的值時會導出一個等式；繪製二個ˊˋ函數可以找出等式的 近似值解答。口頭說明轉換成等式、不等式或這些範圍， 是建立模型的基礎技能。

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數學練習

1. 理解問題及堅持解決問題。 2. 解題可以抽象化與量化並行。 3. 建構可行的論證，及評論同學的推論。

4. 以數學觀念建構概念。 5. 有策略地使用適當的工具。 6. 注意精確性。 7. 尋找與利用架構。 8. 查找與表達出重覆推理的規律性。

代數概覽

以表達式了解架構 • 詮釋表達式的架構 • 編寫相當形式的運算式以解決問題

多項式與有理數 表達式的算術 • 以多項式執行算術運算。 • 瞭解零和多項式的因數之間的關係。 • 使用多項恆等式解決問題 • 重寫有理表達式。

建立方程式 • 建立描述數字或關係的方程式

等式與不等式。

• 瞭解解出方程式作為推論的過程並說明推論

• 解出一元方程式和不等式。 • 解出方程式的範圍 • 以圖形表達與解出方程式和不等式

在表達式中看出架構 A-SSE

詮釋表達式的架構 1. 詮釋就其背景而言，代表數量的表達式。

a. 詮釋表達式的部分，例如項、因數與係數。 b. 將一個或多個部份市為單一實體，以詮釋複雜的表達式。例如，將 P(1+r) n

詮釋為 P 的結果，且係數不相依於 P。

2. 使用運算式的結構識別重寫的方法。例如，將 x4 – y4

視為(x2)2 – (y2)2，因此重新確認它為可以因式分解成(x2 – y2)(x2 + y2)的平方差。

編寫相當形式的運算式以解決問題 3. 選擇與製ˋ作一個表達式的同等形式，以顯示與說明由表達式所代表的 數量特質。

a. 因式分解一個二次表達式以顯示其定義的函數零值。 b. 完成一個二次表達式的平方以顯示其定義的函數 大值或 小值。 c. 使用指數的屬性轉換指數函數的運算式。例如，若年利率為 15%，表達式 1.15t可以重寫為

(1.151/12)12t ≈ 1.01212t以顯示同等的月利率近似值。 4. 為有限等比級數的和衍生公式 (在公率不等於 1 )，並使用公式解出問題。例如，計算抵押付款。

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多項式與有理數表達式的算術 A-APR 以多項式執行算術運算 1. 了解多項式構成類比於整數的範圍，亦即，它們在加、減與乘法的運算之下是封閉的；相加、

相減與相乘多項式。 瞭解零和多項式的因數之間的關係 2. 認識與應用餘式定理：對於多項式 p(x) 與數字 a，以 x – a 除的餘數是 p(a)，因此 p(a) = 0 若且唯若 (x – a)

是 p(x) 的係數。 3. 可使用相關因式分解時，分辨多項式的零點，並使用該零點建構由多項式所定義的函數草圖。

使用多項式恆等式解題 4. 證明多項式恆等式，並用予描述數值關係。例如，多項式恆等式(x2 + y2)2 = (x2 – y2)2 + (2xy)2可用

於生成畢達哥拉斯三重數。 5. (+) 了解並運用二項式定理 (x + y)n

展開式，且 x 和 y 的乘冪 n 為正整數，x 和 y 為任意數，係數由巴斯卡三角形範例所決定。1

重寫有理表達式 6. 以不同形式重寫簡單的有理表達式；以 q(x) + r(x)/b(x) 形式寫出 a(x)/b(x)，且 a(x)、b(x)、q(x) 和 r(x) 是多項式，

且 r(x) 的次數小於 b(x) 的次數。至於更複雜的範例，請利用檢驗、長除法或 或電腦代數系統。 7. (+) 了解有理表達式可形成近於有理數的系統，對加法、減法、乘法具有封閉性，且可由非零有理表達

式整除；對有理表達式進行加減乘除運算。

1二項式定理可利用數學歸納法或組合論證進行證明。 建立方程式 A-CED

建立描述數字或關係的方程式 1. 建立一元方程式和不等式，並用予解題。包括從 一次和二次函數所產生的方程式，以及簡單的有理函數

和指數函數。 2. 建立二元或更多元方程式，以表示量之間的關係；在含標記和標度的座標上繪出方程式。 3. 利用方程式或不等式、方程式組和/或不等式組來表達限制式，並用模擬背景中的可行或非可行選項來

詮釋解答。例如，藉由描述 不同食物組合上的營養和成本限制，來表達不等式。 4. 重新整理公式來強調感興趣的數量，在解題時使用某些推導。例如重新整理歐姆定律 V = IR，以

強調電阻 R。 與方程式和不等式有關的推導 A-REI

明白解出方程式是等式及不等式的推敲過程 1. 假設原方程式可解，從之前 步驟判斷出的相等數值，說明解出簡單方程式時的每一道步驟。建構可行的

論述證明解題方式。 2. 解出簡單的一元有理方程式和根式方程式，並給予顯示如何產生增解的例子。

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解出一元方程式和不等式 3. 解出一元一次方程式和不等式，包括含字母所表示係數的方程式。 4. 解出一元二次方程式。

a. 使用完成平方的方法，將任何二次方程式 x 轉換成有相同解法的方程式 (x – p) 2 = q 形式。從

本形式推導二次公式。 b. 利用檢驗（例如 x2

= 49）、取平方根、完成平方、二次公式和二次因子，來解出二次方程式為合乎方程式的 初形式。識別何時 二次公式會給予複數解法，並將其寫為 a ± bi，a 和 b 為實數。

解出方程式組 5. 證明：已知二元雙方程式組，用某一方程式總和以及另一方程式的乘積來替代某一方程式，會產生擁

有相同解法的方程式組。 6. 現在來看看二元一次方程式組，利用整除和近似方式（例如使用圖形），解出一次方程式組。 7. 以代數和圖形方式，解出一次方程式和二元二次方程式所組成的簡單組。例如，找出直線 y = –3x 和

圓 x2 + y2 = 3 的交點。 8. (+) 以單一向量變數矩陣方程式，來表示一次方程式組。 9. (+) 如果逆矩陣存在，則請找出並用予解出一次方程式組（使用 3 × 3 或更大維度的矩陣之技巧）。

以圖形表達與解出方程式和不等式 10. 了解二元方程式的圖形，是其繪製於坐標平面上的所有解集，常會形成一圓（可為一線）。 11. 解釋為何 y = f(x) 和 y = g(x) 交集圖形所在的該點 x 座標是 方程式 f(x) = g(x) 的解法；以近似方式求解，

例如使用繪出函數、製作數值表或尋找逐次逼近的技巧。包括 f(x) 和/或 g(x) 是線性、多項式、有理數、絕對值、指數和對數函數的例子。

12. 以半平面繪出二元一次方程式解法（不包括嚴格不等式情形下的界限 ），以對應半平面的交集繪出二

元一次不等式組的解集。

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數學 — 高中函數：介紹 函數描述一量決定另一量的情況。例如，投入 $10,000 且年度回報率為 4.25%，該回報率就是所投入的時間

與金額的函數。有鑑於我們不斷地創立與自然與社會相關的數量相依理論，函數已然成為構建數學模型的重

要工具。 在高中數學，函數經常必須進行數值輸入和輸出，並常定義為代數表式。例如，汽車行駛 100 英里所花的時

數 v，就是汽車車速（英里/每小時）的函數。T(v) = 100/v 以代數表示此關係，並定義名稱為 T 的函數。 函數的一組輸入稱為它的定義域。我們時常將定義域推論為，用於定義數值函數表式的所有輸入，或用於定義已知內容中的合理函數表式的所有輸入。

可用多種方式來描述函數，例如利用圖形（例如地震儀的追蹤）；利用語言規則（範例：“I’ll give you a state, you give me the capital city”）；利用 f(x) = a + bx 這類代數表式；利用遞迴規則。函數圖形常常是視

覺化函數模型關係的實用方式，且熟用函數的數學表式可有助於說明函數性質。 以表式表示的函數，可以模仿許多重要現象。特點為定律和成長的兩種重要系列函數，就是線性函數和

指數函數。其中線性函數會以定速成長，指數函數會以常數百分率成長。具有零的常數項的線性函數，

可描述比例關係。 繪圖工具或電腦代數系統可用於試驗這些函數及其圖形的性質，並建立函數的計算模型，包括由遞迴方

式所定義的函數。 與表式、方程式、建模和座標的關係. 決定特定輸入的輸出值，涉及了評估表式；尋找得出已知輸出的輸入，涉及了方程式之解出。關於兩個函數將相同 輸入導入方程式，會得出相同值時的問題，可從二者圖形交集對解法視覺化。因為函數 描述量之間關係，它們經常用於模型建立。有時，函數會由遞迴過程所定義，且可使用試算表或其他技術以有效顯示該過程。

數學練習

1. 理解問題及堅持解決問題。 2. 解題可以抽象化與量化並行。 3. 建構可行的論證，及評論同學的推論。

4. 以數學觀念建構概念。 5. 有策略地使用適當的工具。 6. 注意精確性。 7. 尋找與利用架構。 8. 查找與表達出重覆推理的規律性。

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函數概覽 闡述函數 • 瞭解函數的概念和使用函數符號 • 以內容的觀點，闡述在應用程式中所產

生的函數 • 使用不同的表達式來分析函數

建立函數 • 建立在兩個量之間關係建置模型的函數 • 從現有函數建立新函數

一次、二次和指數模型 • 建構和比較一次、二次和指數模型與解題 • 以其建模的情況之觀點，闡述函數的

運算式 三角函數

• 使用單位圓展開三角函數的定義域 • 用三角函數對週期現象建立模型 • 證明和運用三角恆等式

闡述函數 F-IF

瞭解函數的概念和使用函數符號 1. 了解一個組合（稱為定義域）到另一組合（稱為值域）的函數，會切實地指派定義域的每個元素到值

域的一個元素。如果 f 是函數，且 x 是其定義域的元素，之後 f(x) 會依據輸入 x 來指示 f 的輸出。f 的圖形是方程式 y = f(x) 的圖形。

2. 使用函數符號，就函數定義域中的輸入對函數進行評估，並以內容的觀點闡述函數符號之使用。 3. 明白序列是函數，偶爾會以遞迴方式進行定義，其定義域是整數的子集。例如，費布那西序列是利用 f(0)

= f(1) = 1, f(n+1) = f(n) + f(n-1) for n ≥ 1，以遞迴方式進行定義。 以內容的觀點，闡述在應用程式中所產生的函數 4. 對於在兩個量之間關係建置模型的函數，以量的觀點闡述圖形和表格的主要特性，並口述關係以顯

示主要特性來進行草圖繪製。主要 特性包括：截距；函數正在增加、減少、正數或負數所在的區間、相關 大值和 小值；對稱性；目標行為；和週期性。

5. 將函數定義域應用至其圖形，且如有可能，運用至它所描述的定量關係。例如，如果函數 h(n) 給予在工廠中組裝 n 台引擎的人數-時數值，然後，函數的適合定義域就是正整數。

6. 計算和闡述函數（符號表示或以表格形式）在特定區間的平均變化率。利用圖形估計變化率。 使用不同的表達式分析函數 7. 利用手邊簡單的例子，並使用 技巧解決更複雜的問題，來繪出以符號表示的函數，並顯示圖形的主要特

性。 a. 繪出一次和二次函數，並顯示截距、極大值和極小值。 b. 繪出平方根、立方根和分段定義函數，包括階梯函數和絕對值函數。 c. 繪出多項式函數，在可使用合適的函數時指出零，並顯示目標行為。 d. (+) 繪出有理式函數，在可使用合適的函數時指出零和漸近線， 並顯示目標行為。 e. 繪出指數和對數函數，顯示截距和目標行為以及三角函數，顯示週期、中線和幅度。

8. 寫出以不同但相等的表達式所定義的函數，以顯示與說明函數的不同性質。

59 

a. 使用二次函數中的因子分解和配方法程序，以顯示圖形的零、極值和對稱性，並以內容的

觀點予以闡述。 b. 使用指數的屬性闡述指數函數的運算式。例如，指出函數中的百分率變化率，例如 y = (1.02)t,

y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10，並將其分類為表示指數增長或衰減。 9. 比較兩個以不同表達方式 (代數、圖形、數字、 圖表或口述) 表達的兩個函數。例如，已知有個二次函數

的圖形，以及另一個二次函數的代數表式，說出哪個二次函數的 大值較大。 建立函數 F-BF

建立在兩個量之間關係建置模型的函數 1. 寫出說明兩個量之間關係的函數。

a. 從上下文判定顯式、遞迴過程或計算步驟。 b. 使用算術運算結合標準函數類型。例如，將常數函數加入指數衰減，以建立對冷卻物體溫度建

置模型的函數，並將這些函數應用至該模型。 c. (+) 撰寫函數。例如，如果 T(y) 是作為高度函數的大氣中的溫度，h(t) 是作為時間函數的高空

探測氣球中的高度，則 T(h(t)) 就是作為時間函數的高空探測氣球位置的溫度。 2. 以遞迴方式和使用顯式公式寫出等差數列和等比數列，並用予建置情境的模型，並在這兩種形式

中轉換。 從現有函數建立新函數 3. 針對特定值 k（ 正負值），識別用 f(x) + k、k f(x)、f(kx) 和 f(x + k) 取代 f(x) 的圖形之效應；找出已知圖形

的 k 值。試驗案例，並使用技巧以圖例說明圖形上的效應。包括從其圖形識別偶函數和奇函數，以及這些函數的代數表式。

4. 尋找反函數。 a. 對於具有反函數且擁有 f(x) = c 形式的簡單函數 f，求其方程式解。並寫出反函數的表式。例如，

f(x) =2 x3 或 f(x) = (x+1)/(x–1) for x ≠ 1。

b. (+) 利用某一函數是另一函數的反函數之組合進行驗證。 c. (+) 已知某一函數有反函數，從圖或表格中讀取反函數的值。 d. (+) 利用限制該函數，以產生源自非可逆函數的可逆函數。

5. (+) 了解指數和對數之間的逆關係，並用此關係解決與對數和指數有關的問題。 一次、二次和指數模型 F-LE

建構和比較一次、二次和指數模型與解題 1. 可用一次函數和指數函數建置模型的情境之間進行判別。

a. 證明一次函數在均等區間等差成長，指數函數在均等區間等因式成長。 b. 識別某一量會以另一量相關的等速/每單位區間變化的情境。 c. 識別某一量會以另一量相關的常數百分率/每單位區間 成長或衰減的情境。

2. 已知圖表、關係說明或兩個輸出-輸入對（包括從表格讀取），建構一次或指數函數，包括等差序列和等比序列。

3. 用圖形和表格來觀察多項式函數，以指數形式增加的量， 終會超過以一次、二次或其他（更普遍）形式增加的量。

60 

4. 對於指數模型，解法會以對數形式表示為 abct = d，其中 a、c、和 d 是數，且基底 b 是 2、10 或 e；用技

巧求對數值。 以建置模型情境的觀點，闡述函數的運算式. 5. 以不同情況下的觀點，闡述線性或指數函數中的參數。

三角函數 F-TF

使用單位圓展開三角函數的定義域 1. 了解角度俓度量，是以角度所對的單位圓上的圓弧長度表示。 2. 說明坐標平面中的單位圓如何用所有實數定義三角函數的展開式，詮釋為以逆時針繞行的單位圓角

度俓度量。 3. (+) 使用特種三角板，以幾何方式判定正弦、餘弦值、以及 π/3、π/4 和 π/6 的切線，並使用單位圓以 x

形式表示正弦、餘弦值、以及 x、π + x、和 2π – x 的切線，其中 x 為任意實數。 4. (+) 使用單位圓說明對稱性（偶數和奇數）和三角函數的週期性。

用三角函數對週期現象建立模型 5. 選擇三角函數，用特定幅度、頻率和中線對週期現象建立模型。 6. (+) 了解將隨時遞增或遞減的三角函數限制在定義域上，即可建構反函數。 7. (+) 用反函數解出產自模型內容的三角方程式；用技巧求解 ，並以內容的觀點予以闡述。

證明和運用三角恆等式 8. 已知 sin(θ)、cos(θ) 或 tan(θ) 和角度象限，證明平方恆等式 sin2 (θ) + cos2 (θ) = 1，並用予找出 sin(θ)、

cos(θ) 或 tan(θ)。 9. (+) 證明正弦、餘弦和切線的加法和減法公式，並用予解題。

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數學 — 高中建立模型：介紹 建立模型將課堂數學和統計學應用至我們的日常生活、工作，有助我們下決策。建模是選擇和使用合適的

數學和統計的方法，分析與進一步了解實驗情境，有助下決策。在物理學、經濟學、公共政策、社會學和

日常生活情境中的數量與其關係，可使用數學方法和統計方法進行模型建置。製作數學模型時，可運用技

巧改變假設、提出推論，並用數據比較預測。 模型可以非常簡單，例如以產品單價和購買數量寫出總成本，或使用幾何形狀描述實物，例如硬幣。即使

是簡單的模型，亦涉及決策。用三維圓柱體還是二維圓面來對硬幣建置模型，皆取決於我們的目的。其他

情況如建置送貨路線模型、生產排程或分期貸款的比較，這些更精細的模型需要運用應用數學原理的工具。

現實世界的狀況不一定井井有條、容易分析了解；明確表達易控制的模型，描述這類模型並分析這些模型

絕對是一種創作過程，亦必須具備專業知識和創造力。 是類情況的範例包括：

若要對某個危難中城內的 3 00 萬居民施予緊急救援，估計他們需要多少水和食物，以及發佈上述救命物資的方式。

規劃乒乓球比賽，有 7 位選手、4 張球桌，且每位選手皆必須與其他選手對賽。 規劃學校園遊會的攤位分布，以獲得 大營收。 分析車輛的停車距離。 建置儲蓄帳戶結餘、細菌聚落生長或投資增長的模型。 關鍵路徑分析中的運用，例如用於機場上的飛機歸航。 分析情境風險，例如極限風險、流行病和恐怖行動。 將人口統計應用至個人預測。

在以上情境下，設計的模型將視因子數量而定：我們想要或需要的答案的準確度？我們 需要瞭解、控制

或 佳化情況有哪些方面？我們有多少時間和工具資源？我們可建立和分析的模型範圍，亦會受限於我們

的數學、統計學和專業技術，以及體認這些知識之間的顯著變數和關係的能力。多種類型的圖表、試算表

和其他技巧和代數學是有力工具，有助於我們了解和解決真實世界不同情境中的問題。 數學模型讓我們具備洞察力，對某些看似不同情境、但本質上卻是相同的數學或統計結構進行建模。模型

亦可揭示自身的數學結構。例如，指數函數的爆炸式成長，可讓細菌生長模型變得更生動。

基本建模週期可用圖表概述。它涉及 (1) 識別情境中的變數，並選擇可表示基本特徵的變數、(2) 建立和

選擇說明變數之間關係的幾何、圖形、表格、代數或幾何表示法，來描述模型、(3) 分析和執行這些關係

上的運算以得出結論、(4) 依據初始情境來闡述 數學的結論、(5) 運用情境進行比較來驗證結論，若可被

接受，修正該模型、(6) 報告結論及背後的理由。在全程中皆必須運用選擇、假設和近似值。 描述建模時，模型會簡單地描述現象或用緊緻形式進行概述。觀察值的圖形是常見的描述性模型—例如，

不同時間下的全球溫度和大氣 CO2 的圖表。 雖然擁有具有經驗基礎的參數，解析建模試圖說明更艱深理論觀點基礎上的數據；例如，細菌聚落的指數

型增長（直到啟動截止機制，例如汙染或飢餓干預）是從常數繁殖率所得出。函數是進行分析 （例如問題）

的重要工具。

62 

繪圖工具、試算表、電腦代數系統和動態幾何軟體是有力工具，可用於對數學現象（如多項式特性）及物

理現象進行純粹模型建置。 建模標準 然而，相較於其他標準， 佳解釋方式則屬於建模，而非孤立主題的集合。製作數學模型係數學練習標準，且特殊建模標準全程會以星形符號( )顯示出現在高中標準。

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數學 — 高中幾何學：介紹

對幾何目標屬性和關聯性的了解，可套用至不同的領域 — 說明簡圖、估計所需的木頭數量以便架設

斜面屋頂、呈現計算機圖學，或者設計縫紉圖樣以便徹底善用衣料。 雖然幾何學有多種類型，學校數學主要講述平面歐氏幾何學，同時學習綜合幾何（無座標）和解析幾何

（有座標）。歐氏幾何學 重要的特點就是平行公設，也就是通過已知線外的一點，有且只有一條平行線。

（球面幾何學，相較之下，並無任何平行線。） 啟蒙於小學和初中的學習，學生從高中正式開始他們的幾何學體驗，使用更明確的定義，建立更謹慎仔細

的證明。稍後在大學時期，某些學生會運用小條的公設，謹慎仔細建立歐氏及其他幾何。 可從幾何變換的觀點來了解全等、相似性和對稱性的概念。基本原則是剛體運動：平移、旋轉、反射和上

述組合，所有這些均在此假設保持距離和角度（因此會逐漸成形）。反射和旋轉各說明對稱性的特定類型，

且目標的對稱性提供對其屬性的分析 — 等腰三角形的反射對稱性確保其底角全等。 在這裡所採取的方法中，如果某一剛體運動序列可疊和，則兩個幾何圖形會被定義為全等。這就是疊和原理。

對於三角形，全等意指邊的所有對應對及角的所有對應對。在中年級，透過在給定條件下畫三角形的體驗，

學生們可了解運用足夠數量的量度器來繪製三角形的方式，以確保用這些量度器所繪製的所有三角形為全等。

一旦使用剛體運動建立這些三角形全等準則（ASA、SAS 和 SSS），它們可用來證明與三角形、四邊形和其

他幾何圖形有關的定理。 相似變換（剛體運動之後為膨脹），會以跟剛體運動定義全等的相同方式來定義相似性。因此，會正式講

授曾在中年級提過的「相同形狀」和「比例因子」之相似概念。這些變換引申出三角形相似性的準則 — 對應角的兩對為全等。

正弦、餘弦和銳角的切線的定義，係以直角三角形和相似性為基礎。連同畢氏定理，它們皆為諸多真實世界

和理論情境的基本原則。利用餘弦定律，畢氏定理可推廣至非直角三角形。搭配運用，正弦定律和餘弦定律

可體現三角形全等準則 — 三項資訊足以徹底解答一個三角形。甚至在模棱兩可的情況下，這些定律還能給

予兩種可能的解法，說明了邊邊角 (SSA) 並非全等準則。 解析幾何連結了代數學和幾何學，得出分析和問題解決的有效方法。正如數線將數與一維位置相關聯，一

對垂直軸將成對的數與二維位置相關聯。在數值座標和幾何點的這項對應，會允許方法從代數運用至幾何，

反之亦然。方程式的解集會變成幾何曲線，打造執行和了解代數的可視化工具。幾何形狀可用方程式予以

說明，將代數操作納入幾何了解建模和證明的工具中。方程式圖形的幾何變換，會對應至其方程式的代數

變化。 動態幾何環境提供學生實驗和建模工具。如同電腦代數系統允許學生用代數現象進行實驗一樣，這些工

具也能讓他們以相同多種方式研究幾何現象。

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與方程式的關係 在數值座標和幾何點的該項對應，會允許方法從代數運用至幾何，反之亦然。方程式的解集會變成幾何曲線，打造執行和了解代數的視覺化工具。幾何形狀可用方程式予以說明，將代數操作納入幾何了解、建模和證明的工具中。

數學練習

1. 理解問題及堅持解決問題。 2. 解題可以抽象化與量化並行。 3. 建構可行的論證，及評論同學的推論。

4. 以數學觀念建構概念。 5. 有策略地使用適當的工具。 6. 注意精確性。 7. 尋找與利用架構。 8. 查找與表達出重覆推理的規律性。

幾何學概覽

全等 • 平面中的變換試驗 • 以剛體運動觀點了解全等概念 • 證明幾何定理 • 進行尺規作圖

相似性、直角三角形和三角學 • 以相似變換觀點了解相似性 • 證明相似性相關定理 • 定義三角比，並解答直角三角形相關問題 • 將三角學運用至普通三角形

圓 • 了解並運用與圓有關的定理 • 尋找圓的弧長和扇形面積

用方程式表示幾何性質 • 在圓錐曲線的幾何描述和方程式之間

轉換 • 以代數方法使用坐標證明簡單幾何定理

幾何量度和維度

• 說明容積公式並用予解題 • 將二維和三維物體之間關係視覺化

幾何建模

• 在建模情況中運用幾何概念

全等 G-CO

平面中的變換試驗 1. 根據點、線、沿線距離、繞圓弧距離的未定義概念，了解角、圓、垂直線、平行線和線段的精確定義。 2. 使用幻燈片和幾何軟體這類工具，來表示平面中的變換；將變換描述為以下函數：將點放入平面中

作為輸入，且給予其他點作為輸出。將保持距離和角度的變換與未保持距離和角度的變換做比較

（例如，平移對水平伸展）。 3. 給予一長方形、平行四邊形、梯形或正多邊形，描述自身疊和的旋轉和反射。 4. 以角、圓、垂直線、平行線和線段，來建立旋轉、反射和平移的定義。 5. 給予一幾何圖形和旋轉、反射或平移，使用方格紙、描圖紙或幾何軟體這類器具來繪製變換的圖形。

指明將已知圖形疊和至另一圖形的變換序列。

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以剛體運動觀點了解全等概念 6. 使用剛體運動的幾何描述來變換圖形，並在某一已知圖形上預測已知剛體運動的效應；給予兩個圖形，

以剛體運動概念使用全等定義，來決定這兩個圖形是否全等。 7. 以剛體運動概念使用全等定義，以顯示若且唯若兩個三角形為全等，則邊的對應對和角的對應對為全

等。 8. 說明如何以剛體運動概念根據全等定義來推導三角形全等準則（ASA、SAS 和 SSS）。

證明幾何定理 9. 證明與線和角有關的定理。定理包括：垂直角為全等；橫向穿越平行線時，內錯角為全等且對應角為全

等；線段垂直平分線上的點與該線段兩邊端點等距。 10. 證明與三角形有關的定理。定理包括：三角形的內角和為 180°；等腰三角形的底角為全等；連起三角形

兩邊中點的線段與第三邊平行，且長度為第三邊的一半；三角形的中線會交於一點。 11. 證明與平行四邊形有關的定理。定理包括：對邊為全等；對角為全等；平行四邊形的對角線互相平分，

另一方面，長方形是具有等長對角線的平行四邊形。 進行尺規作圖 12. 使用各種工具和方法（圓規和直尺、細帶、反射器、折紙、動態幾何軟體等），來進行正規尺規作圖。

複製線段；複製角；平分線段；平分角；繪出垂直線，包括線段的垂直平分線；並繪出通過已知線外一點與該線平行的線。

13. 繪出等邊三角形、正方形及圓內接的正六邊形。 相似性、直角三角形和三角學 G-SRT

以相似變換觀點了解相似性 1. 以實驗方式驗證中心和比例因子所給定的膨脹性質：

a. 膨脹會取不會通過膨脹中心至平行線的一條線，並留下通過未變中心的一條線。 b. 線段的膨脹會長於或短於比例因子所給定的比率。

2. 給予兩個圖形，以相似變換觀點使用相似性定義，來決定這兩個圖形是否相似；使用相似變換，依據角的所有對應對相等及邊的所有對應對比例性，來解釋三角形的相似性意義。

3. 使用相似變換性質，來確立兩個三角形為相似的 AA 準則。 證明相似性相關定理 4. 證明與三角形有關的定理。定理包括：與三角形一邊平行的直線，會依照比例分成其他兩條直線，反之

亦然；使用三角形相似性證明畢氏定理。 5. 使用三角形的全等和相似性準則，以解題及證明幾何圖形中的關係。

定義三角比，並解答直角三角形相關問題 6. 利用相似性，了解直角三角形中的邊長比屬於三角形中的角性質，推導出銳角的三角比定義。 7. 說明並使用餘角的正弦和餘弦之間關係。 8. 使用三角比和畢氏定理，解答應用問題中的直角三角形。

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將三角學運用至普通三角形 9. (+) 利用從頂點垂直畫一條輔助線到對邊的方式，推導三角形面積公式 A = 1/2 ab sin(C)。 10. (+) 證明正弦和餘弦定律並用予解題。 11. (+) 了解並運用正弦定律和餘弦定律，以尋找直角三角形和非直角三角形中的未知度量（例如測量問題、

合力）。 圓 G-C

了解並運用與圓有關的定理 1. 證明所有圓都是相似的。 2. 辨識和描述內角、半徑和弦之間關係。包括圓心、內角和外角之間關係；直徑上的內角為直角；圓的

半徑垂直於半徑與圓交集該處的切線。 3. 繪出三角形的內接圓和外接圓，並證明圓內接的四邊形角性質。 4. (+) 從已知圓外一點繪出一條切線至該圓。

尋找圓的弧長和扇形面積 5. 使用相似性，推導切角下的圓弧長度與半徑成正比的事實，並將角的弧度定義為比例常數；推導扇形

面積公式。 用方程式表示幾何性質 G-GPE

在圓錐曲線的幾何描述和方程式之間轉換 1. 使用畢氏定理推導已知圓心和半徑的圓方程式；使用配方法來尋找由方程式得出圓的圓心和半徑。 2. 推導已知焦點和準線的拋物線方程式。 3. (+) 利用離焦點距離的和或差為常數的事實，推導已知焦點的橢圓和雙曲線方程式。

以代數方法使用坐標證明簡單幾何定理 4. 以代數方法使用坐標證明簡單幾何定理。例如，證明或反證在座標平面中的四個已知點所界定的圖形

是長方形；證明或反證點 (1, √3) 會落在圓心位於原點且含點 (0, 2) 的圓上。 5. 證明平行線和垂直線的斜率準則，並用予解決幾何問題（例如，尋找平行或垂直於已知線且通過某一

已知點的直線方程式）。 6. 在以已知比率分割線段的兩個已知點之間有向線段上，尋找該點。 7. 使用座標（如使用距離方式），來計算多邊形的周長和三角形與長方形面積。

幾何量度和維度 G-GMD

說明容積公式並用予解題 1. 對圓周、圓面積、圓柱、角錐和圓錐體的體積公式，給予非正式論證。使用剖分論證、卡瓦萊利原理

(Cavalieri’s Principle) 和非正式極限論證。 2. (+) 使用卡瓦萊利原理 (Cavalieri's Principle)，對球體和其他立體形的體積公式，給予非正式論證。

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3. 使用圓柱、角錐、圓錐體和球體的體積公式來解題。 將二維和三維物體之間關係視覺化 4. 辨識三維物體的二維橫斷面形狀，並辨識由二維物體旋轉所生成的三維物體。

幾何建模 G-MG

在建模情況中運用幾何概念 1. 使用幾何形狀、其度量和其性質來描述目標（例如，以圓柱形式對樹幹或人體軀幹進行建模）。 2. 根據建模情況中的面積和體積來運用密度概念（例如，人數/每平方英里、BTUs/每立方英尺）。 3. 運用幾何方法來解決設計問題（例如，設計物件或結構以符合物理約束或 低成本；根據比率來

運用印刷網格系統）。

68 

數學 — 高中統計學和機率：介紹 決策和預測通常是參照上下文數據和數字而成。如果數據傳遞的訊息總是清晰，則易於促成決策和預測。

然而，訊息會因變化而變得晦澀難解。統計學提供描述數據變化的工具，並有助斟酌後作出旁徵博引的決

定。 數據透過搜集、顯示、摘錄、檢查和解析，找出樣本和來自樣本的偏差。定量數據可以依據關鍵特性描述：

形狀、中心和離度的度量。數據分布的形狀可描述為對稱、反對稱、平面或鐘形，並可由統計測量中心

（例如平均數或中位數）和統計測量離度（例如標準差或內四分位距）進行總結。不同的分布可使用這些

統計法進行數值比較，或使用圖表進行視覺化比較。中心和離度的知識尚不足以描述分布。要比較統計法、

圖表，將視乎調查的問題及要採取的真實行動而定。 在抽取統計推論方面，隨機抽樣具備以下兩大重要用途：首先，母體的隨機樣本搜集數據，有助顧及變

異性之同時，得出全母體的有效推論。第二，將個別數據隨機指派到不同的實驗變數，可以公平比較這

些實驗變數的可行性。統計顯著結果不太可能出於偶然，它僅可在隨機條件下進行評估。在抽取數據進

行推論時，搜集何種數據的條件十分重要；嚴格審查公共媒體和其他報告統計用途時，須認真考慮研究

的設計、搜集數據的方式與套用的分析，以及數據摘要和結論。 利用機率模型就可以用數理方式描述隨機抽樣過程 – 一連串可以敘述結果的清單（樣本區間），每個清單

列均會被賦予一項機率。在擲硬幣、丟骰子或抽牌等情況下，我們可以假設不同結果出現的機率均為相同。

在機率模型下，樣本點代表結果，相互並組合成為事件。事件的機率隨後可以用加法和乘法計算。詮釋這

些機率仰賴獨立和條件性機率的理解，而這理解可以透過雙向表的分析達成。 技術在統計和機率方面扮演重要的角色，它可以生成圖表、迴歸函數和相關係數，從而在短時間模擬許

多可能的結果。 與函數和建模的關係 函數適用於描述數據。如果數據建立線性關係，該關係可用迴歸線建模，且其強度和方向可透過相關係數表示。

數學練習

1. 理解問題及堅持解決問題。 2. 解題可以抽象化與量化並行。 3. 建構可行的論證，及評論同學的推論。

4. 以數學觀念建構概念。 5. 有策略地使用適當的工具。 6. 注意精確性。 7. 尋找與利用架構。 8. 查找與表達出重覆推理的規律性。

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統計與機率概觀 闡述分類數據和定量數據 • 摘述、表示和闡述單一計數或量測變數

上的資料 • 摘述、表示和闡述兩種分類變數和定

量變數上的資料 • 闡述線性模型

進行推論和驗證結論 • 了解和評估統計試驗下的隨機過程 • 從抽樣調查、試驗和觀測研究進行推論

和驗證結論

條件機率和機率法則 • 了解獨立性和條件機率並用予闡述數據 • 用機率法則計算均勻機率模型中的複合事件機率

用機率下決策

• 計算期望值並用予解題 • 用機率來評估決策的結果

闡述分類數據和定量數據 S-ID

摘述、表示和闡述單一計數或量測變數上的資料 1. 在實數線上用圖表示數據（點圖、矩形圖與盒形圖）。 2. 使用合乎數據分布形狀的統計法，來比較兩組或更多不同資料集的中心（中位數、平均數）和離度（內

四分位距、標準差）。 3. 解釋極值資料點（離群值）的可能效益，來闡述資料集內容中的形狀、中心和離度差異性。 4. 使用資料集的平均數和標準差，以使其擬合常態分布和估計母體百分比。確認有不合適這種程序

的資料集。使用計算機、試算表和表格來估計常態曲線下面積。 摘述、表示和闡述兩種分類變數和定量變數上的資料 5. 對雙向次數表中的兩種分類進行類別資料摘述闡述數據內容中的相關次數（包括聯合、邊際和條件相關

次數）。確認數據中可能的關聯和趨勢。 6. 表示圓點散布圖中兩種定量變數上的資料，並描述這些變數如何相關。

a. 將函數擬合至數據；使用擬合數據的函數來解決數據內容中的問題。使用已知函數或選擇內容

所建議的函數。強調線性、二次和指數模型。 b. 利用繪製和分析殘差來簡略地評估函數擬合。 c. 為建議線性關聯的圓點散布圖，擬合線性函數。

闡述線性模型 7. 闡述數據內容中的線性模型斜率（變化率）和截距（常數項）。 8. 計算（使用技術）和闡述線性擬合的相關係數。 9. 在關聯性和因果關係之間進行判別

70 

進行推論和驗證結論 S-IC 了解和評估統計試驗下的隨機過程 1. 了解統計學是根據來自母體的隨機樣本，進行母體參數相關推論的方法。 2. 針對特定模型與從已知數據生成方法所得的結果，決定它們是否一致，例如使用模擬。例如，模型指

明旋轉的硬幣倒下時，正面向上的機率為 0.5。連續 5 次背面的結果，會讓您對該模型產生懷疑嗎？ 從抽樣調查、試驗和觀測研究進行推論和驗證結論 3. 確認抽樣調查、試驗和觀測研究目的及其之間差異性；說明隨機化分別與抽樣調查、試驗和觀測研究的

相關性。 4. 使用來自抽樣調查的數據，以便估計母體平均數或比例；透過隨機抽樣的模擬模型之使用，來發展誤差

邊限。 5. 使用取自隨機化實驗的數據，來比較實驗變數；使用模擬，來決定參數之間的差異是否顯著。 6. 根據數據來評估報告。

條件機率和機率法則 S-CP

了解獨立性和條件機率並用予闡述數據 1. 使用特徵（或類別），將事件描述為樣本空間的子集（結果的集合），或描述為其他事件的聯集、

交集或餘集 (“or”, “and”, “not”)。 2. 如果 A 和 B 一起發生的機率是其機率的乘積，即表示事件 A 和 B 為獨立；並以此特性確定事件的獨立

性。 3. 了解在 B 條件下 A 的條件機率為 P(A and B)/P(B)，並將 A 和 B 的獨立性詮釋為：在 B 條件下 A 的條件機

率，係與 A 的機率相同，且在 A 條件下 B 的條件機率，係與 B 的機率相同。 4. 當兩種類別與正在分類的每個物件有關聯時，建構和闡述數據的雙向次數表。將雙向表格作為樣本

空間使用，來決定事件是否為獨立，並逼近條件機率。例如，就數學、科學、英文，哪一門是學生們 喜愛學科的問題，在您的學校從學生的隨機樣本蒐集數據。假定該學生就讀十年級，推估從您的學校隨機選取的那位學生喜愛科學的機率。對其他學科重複上述程序並比較結果。

5. 確認並說明在日常用語和日常情境中，條件機率和獨立性的概念。例如，如果您是抽煙者，您得到肺癌的可能性；如果您得到肺癌，您是抽煙者的可能性。將二者做比較。

用機率法則計算均勻機率模型中的複合事件機率 6. 當 B 結果的分式也屬於 A 時，尋找在 B 條件下 A 的條件機率，並依據模型來闡述答案。 7. 運用加法原理，P(A or B) = P(A) + P(B) – P(A and B)，並依據模型來闡述答案。 8. (+) 在均勻機率模型中，運用一般乘法原理，P(A and B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)，並依據

模型來闡述答案。 9. (+) 使用排列和組合，來計算複合事件的機率和解題。

71 

用機率下決策 S-MD 計算期望值並用予解題 1. (+) 利用在樣本空間中將數值ˊ指派至每個事件，來定義隨機變數；至於數據分布，則使用相同圖形顯示，

來繪製相應的機率分布。 2. (+) 計算隨機變數的期望值；將其解釋為機率分布的平均數。 3. (+) 為可在其中計算理論機率的樣本空間所定義的隨機變數，發展機率分布；找出期望值。例如，為多

選選擇測試的全部五個問題（每個問題有四種選項）中，利用猜想所獲得的正確答案之數字，找出理論機率分布。並找出不同級配方案下的期望等級。

4. (+) 為可在其中憑經驗指派機率的樣本空間所定義的隨機變數，發展機率分布；找出期望值。例如，找出關於美國每戶電視機數量的目前數據分布，並計算每戶電視機數量的期望值。在隨機選擇的 100 戶中，您期望找出多少台電視機？

用機率來評估決策的結果 5. (+) 將機率指派至收益值並找出期望值，來衡量決策的可能結果。

a. 為機遇賽局找出期望收益。例如，從國營彩票或速食餐廳的對局中，找出預期勝率。 b. 評估和比較期望值基準上的對策。例如，利用多種但合理、具有輕微或重大事故的可能性，來比

較高可扣除額汽車保險單和低可扣除額汽車保險單。 6. (+) 使用機率來下公正的決策（例如，用抽籤來繪製，使用亂數產生器）。 7. (+) 使用機率概念來分析決策和對策（例如，產品測試、醫學試驗、在對局結束時擔任守門員）。

72 

課程和過渡的注意事項 數學課程標準的高中部分指明，所有學生應該為大學和就業準備學習數學。這些標準未規定高中課程順序。

然而，高中課程編排對標準實施是關鍵要件。為此，在各州共同核心標準的 終版本發佈後，將針對數學

科目 – 在傳統課程順序（代數學 I、幾何學、和代數學 II）及整合課程順序（數學 1、數學 2、數學 3）之間 – 對高中升學課程進行取樣。我們預計根據這些標準的其他模式亦會隨之產生。

標準本身不會規定科目的課程、教授法或內容的傳達方式。每一個州可能會以不同方式處理如何過渡至高

中課程的過程。例如，目前許多美國學生會在 八年級學習代數學 I。而在某些州，這是必須科目。K-7 標準含蓋讓學生在 八年級之前學習代數學 I 作準備的先決條件，旨在允許各州繼續在 八年級教授代數學 I 的現有政策。

第二個主要過渡是，從高中到大學與就業的高中後教育之過渡。有關大學和就業準備的資料顯示，對大學

和就業準備的知識、技能和練習，包括標準中以 (+) 符號所定義的以外的大量數學知識。事實上，某些為大

學和就業準備的優先課程會在六至八年級教授，包括實際應用的熟練度，例如在真實世界和數學問題中運

用比率論證，用正負分數和小數進行流利計算，並解答與角的測量、面積、曲面面積和容積有關的真實世

界和數學問題。鑒於為大學和就業準備的重要標準分散於不同年級和課程之間，為大學和就業準備進行評

估的系統，應該遠溯到六至八 年級進行標準評估。此外，值得注意的是，由為大學和就業準備的評定系統所產

生的臨界分數或其他資訊，應該以高等教育和職業輔導計劃代表之協力合作扎根，並引以為發展基礎。

73 

名詞解釋

Addition and subtraction within 5,10,20, 100 or1000；在 5、10、20、100 或 1000 以內的

加法和減法運算

分別在 0-5、0-10、0-20 或 0-100 的範圍內，利用整數答案和總合或被減數，相加或相減

兩個整數。範例：8 + 2 = 10 是在 10 以內的加法，14 – 5 = 9 是在 20 以內的減法運算，且

55 – 18 = 37 是在 100 以內的減法運算。

Additive inverses；加法反元素 總和為 0 的兩個數字，分別是對方的加法反元素。範例：3/4 和 – 3/4 分別是對方的加法反

元素，因為 3/4 + (– 3/4) = (– 3/4) + 3/4 = 0。

Associative property of addition；可締的；結合的加法關聯性 請參閱本名詞解釋的資料表 3。

Associative property of multiplication；乘法關聯性 請參閱本名詞解釋的資料表 3。

Bivariate data；二變量的數據

連結的數值觀測對。範例：足球隊每名球員的身高與體重清單。箱線圖。使用資料集的

中位數、四分位數和極值，以視覺化方式顯示資料值分布的方法。箱線部份顯示資料的

中間 50% 部分。1

Commutative property；交換性 請參閱本名詞解釋的資料表 3。

Complex fraction；繁分數 分式 A/B，其中 A 和/或 B 為分數（B 非零）。

Computation algorithm；計算演算法

正確完成步驟時，合乎問題類別的預定義步驟集合在任何情況下，皆會給出正確的結果。

亦請參閱：計算對策。

Computation strategy；計算對策

為特定問題所選擇的目標明確之操作，可能沒有固定的順序，且可能目的在於將某個問

題轉換為另一問題。亦請參閱：計算演算法。

74 

Congruent；全等

如果利用剛體運動（旋轉、反射和平移序列），可從某一平面或立體形獲得另一平面或

立體形，則這兩個平面或立體形為全等。

Counting on；連續計數

無須計算群組的每個目標，直接在群組中找出目標數目的對策。例如，如果一疊書已知

有 8 本書，再增添 3 本書，無需再次計算原來那疊書即可得知總數。我們可以利用相接

計算來算出總和 — 指著書本上頭然後數「8」，之後接著「9、10、11。現在有 11 本書

了。」

Dot plot；點圖 請參閱：線圖。

Dilation；膨脹通過從固定中心發出的該點沿ˋ著射線移動每個點，並依照一般比例因

子倍增從中心的距離之轉換。

Expanded form；展開式

當多位數寫成十的次方之個位數倍數總和時，它會以展開式表示。例如，643 = 600 +

40 + 3。

Expected value；期望值

對於隨機變數其可能值的加權平均數，權數由其個別機率所給定。

First quartile；第一四分位數 對於具有中位數 M 的資料集，第一四分位數是小於 M 的資料值之中位數。範例：對於資

料集 {1, 3, 6, 7, 10, 12, 14, 15, 22, 120}，第一四分位數是 6。2亦請參閱：中位數、第三四

分位數、內四分位距。

Fraction；分數

可用 a/b 形式表示的數，其中 a 是整數，b 是正整數。（這些標準中的「分數」之文字

說明，請務必參閱「非負數」。）亦請參閱：有理數。

Identity property of 0；0 的恆等式 請參閱本名詞解釋的資料表 3。

Indpendent combined probability models；獨立合併的機率模型

如果合併的機率中每個有序對之機率，等於序對中兩個個別結果的原本機率之乘積，則

這兩個機率模型會被認為是獨立合併。

75 

Integer；整數 對於某整數 a，可用 a 或 –a 形式表示的數。

內四分位距.在數字數據集合中的變異量數，內四分位距是資料集的第一四分位數和第三

四分位數之間的差距。範例：對於資料集 {1, 3, 6, 7, 10, 12, 14, 15, 22, 120}，內四分位距是

15 – 6 = 9。亦請參閱：第一四分位數、第三四分位數。

Interquartile Range；線圖 以視覺化方式顯示資料值分布的方法，且資料值會在該分布數線上以圓點或標記顯示。亦

稱為點圖。3

Mean；平均數

在數字數據集合中的量數，由新增清單中的數值來計算，然後由清單中的數值數目進行

劃分。4 範例：對於資料集 {1, 3, 6, 7, 10, 12, 14, 15, 22, 120}，平均數是 21。

Mean absolute deviation；平均絕對離差

在數字數據集合中的量數，由新增每個資料值和平均數之間差距來計算，然後由資料值

數目進行劃分。範例：對於資料集 {2, 3, 6, 7, 10, 12, 14, 15, 22, 120}，平均絕對離差是 20。

Median；中位數

在數字數據集合中的量數。數值清單中的中位數，是出現在清單的排序型式中心的數

值 — 或者如果清單包含了數值的偶數目，則中位數則是兩個中心值的平均數。範例：

對於資料集 {2, 3, 6, 7, 10, 12, 14, 15, 22, 90}，中位數是 11。

Midline；中線

在三角函數圖表中，水平線會在其 大和 小值中間。在 100 以內的乘法和除法。在 0-

100 值域中，利用整數答案和乘積或被除數，對兩個整數進行乘法或除法運算。範例：72

÷ 8 = 9。

Multiplicative inverses；乘法逆元素

乘積為 1 的兩個數字，分別是對方的乘法逆元素。範例：3/4 和 4/3 分別是對方的乘法逆

元素，因為 3/4 × 4/3 = 4/3 × 3/4 = 1。

Number line diagram；數線圖

用於表示數值和支持其推論的數線圖表。在量測量的數線圖中，圖表上的 0 到 1 區間表

示量的量測單位。

Percent rate of change；百分率變化率

以百分率表示的變化率。範例：如果一年內人口從 50 增長至 55，則表示每年成長率為

5/50 = 10%。

76 

Probability distribution；機率分佈

隨機變數的可能值集合，且皆對每個隨機變數指派機率。

Properties of operations；等式性質 請參閱本名詞解

釋的資料表 4。

Properties of equality；不等式性質 請參閱本名詞解

釋的資料表 5。

Properties of inequality；運算性質 請參閱本名詞解

釋的資料表 3。

Probabitliy；機率

0 和 1 之間的數，用於對擁有不確定性結果的過程進行概度量化（例如，擲硬幣、從人的

群組隨機選擇某個人、向目標扔球，或檢驗病況）。

Probabilty model；機率模型

機率模型以檢查過程的本質之方式，為機會過程的結果指派機率。所有結果的集合稱為

樣本空間，其機率總和為 1。請參閱：均勻機率模型。

Random variable；隨機變數

在樣本空間中將數值指派至每個結果。有理式.兩個多項式的商，且分母不為零。

Rational number；有理數 對於某分數 a/b，可用 a/b 或 –a/b 形式表示的數。有理數

包括整數。

Rectilinear figure；直線圖 多邊形的所有角皆為直角。

Rigid motion；剛體運動

在一或更多平移、反射和/或旋轉的序列所組成空間中的點變換。剛體運動在此假設保持

距離和角度量數。

Repeating decimal；循環小數 有理數的十進位形式。請參閱：有限小數。

Sample space；樣本範圍 在隨機過程的機率模型中，納入考量的個別結果清單。

77 

Scatter plot；圓點散布圖 表示二變量數據集合的座標面中的圖形。例如，人的群體的身高和體重可用圓點散布圖

顯示。5

Similarity transformation；相似變換 剛體運動之後為膨脹。

Tape diagram；帶狀圖

看來像磁帶弓形面的繪圖，用於以圖例說明數的關係。亦稱為條狀圖、長條模型、

分數帶或長度模型。

Terminating decimal；有限小數 如果小數的重複數字為 0，則稱為有限。

Third quartile；第三四分位數

對於具有中位數 M 的資料集，第三四分位數是大於 M 的資料值之中位數。範例：對於資

料集 {2, 3, 6, 7, 10, 12, 14, 15, 22, 120}，第三四分位數是 15。請參閱：中位數、第一四分

位數、內四分位距。

Transitivity principle for indirect measurement；間接測量的遞移性原理

如果物件 A 的長度大於物件 B 的長度，且物件 B 的長度大於物件 C 的長度，則物件 A

的長度就會大於物件 C 的長度。此原理也適用於其他量測量。

Uniform probability model；均勻機率模型

將均等機率指派至所有結果的機率模型。亦請參閱：機率模型。

Vector；向量 在平面或空間中具有大小和方向的量，由實數的有序對或三元組進行定義。

Visual fraction model；視覺分式模型 帶狀圖、數線圖或面積模型。

Whole number；整數 數字 0、1、2、3、....

78 

1改編自威斯康辛州公共教學部 (Wisconsin Department of Public Instruction)，http://dpi.wi.gov/ standards/mathglos.html，引用日期 2010 年 3 月 2 號。

2人們會使用許多不同方法計算四分位數。這裡所定義的方法偶而被稱為 Moore &

McCabe 法。請參閱 Langford, E., “Quartiles in Elementary Statistics,” Journal of Statistics

Education Volume 14, Number 3 (2006)。

3改編自威斯康辛州公共教學部（Wisconsin Department of Public Instruction），同上。

4如果要更精確，此名詞會定義為算術平均數。

5改編自威斯康辛州公共教學部（Wisconsin Department of Public Instruction），同上。

79 

資料表 1：一般加法和減法情境. 1

未知的結果數 未知的變化數 未知的開頭數

加至

兩隻兔子坐在草地上。還有三隻兔子在那裡蹦蹦跳。 問：現在草地上有幾隻兔子？2 + 3 = ?

兩隻兔子坐在草地上。還有其他兔子在那裡蹦蹦跳。共有五隻兔子。暫不討論在草地上坐著的前兩隻兔子， 問：有幾隻兔子在草地上蹦蹦跳？ 2 + ? = 5

有的兔子坐在草地上。還有三隻兔子在那裡蹦蹦跳。共有五隻兔子。 問：之前有幾隻兔子坐在草地上？ ? + 3 = 5

減自

桌上有五顆蘋果。 我吃了兩顆蘋果。 問：現在桌上有幾顆蘋果？ 5 – 2 = ?

桌上有五顆蘋果。我吃了一些蘋果。之後剩下三顆蘋果。 問：我吃了幾顆蘋果？ 5 – ? = 3

桌上有一些蘋果。我吃了兩顆蘋果。之後剩下三顆蘋果。 問：之前桌上有幾顆蘋果？ ? – 2 = 3

未知總數 未知加數 未知雙加數 2

相加 / 拆解 3

桌上有三顆紅蘋果和兩顆 綠 蘋 果 。 問：桌上共有幾顆蘋果？ 3 + 2 = ?

桌上有五顆蘋果。三顆為紅蘋果，其餘是綠蘋果。問：有幾顆綠蘋果？ 3 + ? = 5, 5 – 3 = ?

祖母擁有五朵花。她可將幾朵花放在紅花瓶，幾朵花放在藍花瓶？ 5 = 0 + 5, 5 = 5 + 0 5 = 1 + 4, 5 = 4 + 1 5 = 2 + 3, 5 = 3 + 2

未知差 未知較大數 未知較小數

比較 4

（「多幾顆」版本）：Lucy 有兩顆蘋果。Julie 有五顆蘋果。 問：Julie 比 Lucy 多幾顆蘋果？

（「少幾顆」版本）：Lucy 有兩顆蘋果。Julie 有五顆蘋

果。Lucy 比 Julie 少幾顆蘋

果？ 2 + ? = 5, 5 – 2 = ?

（「更多」版本）：Julie 比 Lucy 多三顆蘋果。Lucy 有兩顆蘋果。 問：Julie 有幾顆蘋果？

（「更少」版本）：Lucy 比Julie 少 3 顆蘋果。Lucy 有兩

顆蘋果。Julie 有幾顆蘋果？

2 + 3 = ?, 3 + 2 = ?

（「更多」版本）：Julie 比 Lucy 多三顆蘋果。Julie 有五顆蘋果。 問：Lucy 有幾顆蘋果？

（「更少」版本）：Lucy 比 Julie 少 3 顆蘋果。Julie 有五

顆蘋果。Lucy 有幾顆蘋果？

5 – 3 = ?, ? + 3 = 5

2這些拆解情境可用於顯示已知數的所有分解。將總數表達在等號左邊的公程式，可以幫助學童明白 = 號兩邊

的數值永遠相同。 3雙加數任一可以是未知，所以這些問題中有三個變分。未知雙加數是本基礎情境的多產展式 (Productive extension)，尤其針對小於或等於 10 的小數。 4對於未知較大數或未知較小數情境，每個版本都會指ˋ示正確運算（使用多於未知較大數的版本，以及使用少於未知較小數的版本）。其他版本則更不同。

1改編自 Box 2-4 of Mathematics Learning in Early Childhood, National Research Council (2009, pp. 32, 33)。

80 

資料表 2：一般乘法和除法情境.1

未知的乘積

3 × 6 = ?

未知的組類大小 （每個群組有多少元

素？」除法） 3 × ? = 18，和 18 ÷ 3 = ?

未知群組 數量

（有多少群組？」除

法） ? × 6 = 18，和 18 ÷ 6 = ?

相等 群組

有 3 只袋子，每只袋子裡有 6 顆李子。全部有幾顆李子？

量測範例.您需要 3 根繩子，每根 6 吋長。 問：您需要多長的繩子？

如果 18 顆李子平均分到 3 只袋子裡，每只袋子有幾顆李子？

量測範例.您有一根 18 吋長的繩子，打算平均分成 3 等份。 問：每等份的繩子有多

長？

如果 18 顆李子打算分成 6 顆一袋，則需要幾只袋子？

量測範例.您有一根 18 吋長

的繩子，打算等份裁剪為 6 吋長的繩子。 問：裁剪後，您有幾根繩

子？

陣列，2

面積 3

有 3 排蘋果，每排有 6 顆蘋果。那裡有幾顆蘋果？

面積範例.寬為 3 公分、

長為 6 公分的長方形，

問：其面積為多少？。

如果 18 顆蘋果 排列成 3 等排，每排有幾顆蘋果？

面積範例.長方形的面積為 18 平方公分。如果一邊為 3 公分長，問：臨邊的長

度是多少？

如果 18 顆蘋果以每排 6 顆蘋果進行排列，則會有幾排？

面積範例.長方形的面積為 18 平方公分。 問：如果一邊為 6 公分

長，臨邊的長度是多少？

比較

藍帽價格為 $6。紅帽價格為藍帽的 3 倍。 問：紅帽價格為多少？

量測範例.橡皮筋長度為 6 公分。 問：如果拉成 3 倍的長度，

橡皮筋會變得多長？

紅帽價格為 $18，是藍帽的 3倍。藍帽價格為是多少？

量測範例.橡皮筋拉長為 18 公分，是原本長度

的 3 倍。 問：橡皮筋原本長度是

多少？

紅帽價格為 $18，藍帽價格為 $6。紅帽價格為藍帽的幾倍？

量測範例.橡皮筋原本長度

為 6 公分。現在拉長為 18 公分。 問：現在，橡皮筋長度是原

本的幾倍？

一般 a × b = ? a × ? = p，，和 p ÷ a = ? ? × b = p，和 p ÷ b = ?

2陣列範例的措辭會顯示陣列問題的 簡單形式。較艱深的形式用於項目排與列：食品窗口中的蘋果會以 3 排和 6 列顯示。那裡有幾顆蘋果？兩種形式都能用上。 v面積涉及已被壓縮的方形陣列，因此並無任何間隙或重疊，所以陣列問題包括了這些特殊重要的量測情境

1每個資料格的第一個範例，是離散事件的範例。對學生們來說，它們比較簡單，並應該在量測範例前給予。

81 

資料表 3：運算性質.這裡的 a、b 和 c 代表已知數字系統中的任意數。運算性質可運用

至有理數系統、實數系統和複數系統。

加法關聯性 (a + b) + c = a + (b + c) 加法交換性 a + b = b + a

0 的加法恆等式 a + 0 = 0 + a = a 加法反元素的存在性 對於所有 a，存在 –a，所以 a + (–a) = (–a) + a = 0

乘法關聯性 (a × b) × c = a × (b × c) 乘法交換性 a × b = b × a

1 的乘法恆等式 a × 1 = 1 × a = a 乘法逆元素的存在性 對於所有 a ≠ 0，存在 1/a，所以 a × 1/a = 1/a × a = 1乘法對加法的分配性 a × (b + c) = a × b + a × c

資料表 4：等式性質.這裡的 a、b 和 c 代表有理數、實數或複數系統中的任意數。

等式自反性 等式對稱性 等式傳遞性 等式加法性 等式減法性 等式乘法性 等式除法性 等式代換性

a = a 如果 a = b，則 b = a

如果 a = b 且 b = c，則 a = c 如果 a = b，則 a + c = b + c 如果 a = b，則 a – c = b – c 如果 a = b，則 a × c = b × c

如果 a = b 且 c ≠ 0，則 a ÷ c = b ÷ c 如果 a = b，則 b 可被

包含 a 的任意運算式取代。

資料表 5：不等式性質.這裡的 a、b 和 c 代表有理數或實數系統中的任意數。

下列之一切實為真：a < b, a = b, a > b. 如果 a > b 且 b > c，則 a > c.

如果 a > b，則 b < a. 如果 a > b，則 –a < –b.

如果 a > b，則 a ± c > b ± c. 如果 a > b 且 c > 0，則 a × c > b × c. 如果 a > b 且 c < 0，則 a × c < b × c. 如果 a > b 且 c > 0，則 a ÷ c > b ÷ c. 如果 a > b 且 c < 0，則 a ÷ c < b ÷ c.

82 

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