PLASTIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA

Idealno elastično ponašanje materijala: 21xyyyxx ,,, σσσσσ →

( )s

krdopekvmax k

σσσσ =≤ Metoda dopuštenih naprezanja

Po ovoj metodi imamo neracionalno trošenje materijala.

σRNaime, tzv. granično stanje konstrukcije(granično elastično stanje naprezanja) nastaje kada se u jednoj točki konstrukcijejave naprezanja σR (za elastoplastične mat.) ili σM (za krte mat.) dok nam svi ostali dijelovi konstrukcije nisu zanimljivi.

Međutim, kod elasto-plastičnih materijala, kod savijanja i torzije, u jednom presjeku neće doći do loma ako je: σmax=σR .

Opterećenje može i dalje rasti. Naime, ako je konstrukcija statički neodređena, onda ona ima još rezerve do graničnog stanja.

σR σR

Treba odrediti dopušteno opterećenje kao dio graničnog opterećenja.

Metoda proračuna prema graničnom stanju

Metoda proračuna prema graničnom stanju se temelji na analizi konstrukcije koja prelazi u granično stanje kad kao cjelovita konstrukcija izgubi otpor prema vanjskim utjecajima te postaje kinematski labilna.

Pojam: plastični zglob – to je poprečni presjek u konstrukciji gdje su naprezanja maksimalno iskorištena te se za povećanje opterećenja taj presjek ponaša kao zglob. U plastičnom zglobu moment nije jednak nuli već je jednak tzv. plastičnom momentu. Proračun prema graničnim stanjima s koeficijentom sigurnosti ne osigurava pojavu plastičnih deformacija. Zbog toga, ako nije moguć razvoj plastičnih deformacija, proračun treba provesti po metodi dopuštenih naprezanja. Proračun prema graničnim stanjima nije dozvoljen kada djeluju dinamička opterećenja. Upotreba proračuna prema graničnim stanjima ovisi o:

(1) mehaničkim svojstvima materijala (elasto-plastični / krti); (2) karakteru opterećenja (statičko / dinamičko); (3) konstruktivnom sustavu (određen / neodređen).

Pojam idealno plastičnog materijala

ε

σ

σP

σR

σ-ε dijagram

ε

σ

σR = σP

Idealizirani σ-ε dijagram

Prandtl-ov idealni elasto-plastični materijal

Uvjeti plastičnosti

Uvjeti plastičnosti definiraju nivo naprezanja u nekoj točki konstrukcije da bi se u njoj pojavile plastične deformacije. Pošto se plastične deformacije mogu pojaviti samo kod elasto-plastičnih materijala to pojednostavljeno možemo kazati da su uvjeti plastičnosti odgovarajuće teorije čvrstoće za elasto-plastične materijale uz zamjenu σekv sa σR.

F1Dσ1

R1 σσ =

σ1F

Plastični lom konstrukcije PRIMJER: STATIČKI ODREĐEN SUSTAV

q

L

qL /22Mx

Plastični zglob

Ako veličina opterećenja raste, doseći će vrijednost kod koje dolazi do pojave popuštanja u krajnjim vlaknima poprečnog presjeka upetog kraja. Ako se i dalje povećava opterećenje, plastifikacija se širi prema unutrašnjosti sve dok ne popusti cijeli poprečni presjek. Presjek koji je popustio gubi cijelu otpornost prema zaokretu, tu se formira plastični zglob. Konzola postaje mehanizam, nastupa slom.

PRIMJER: STATIČKI NEODREĐEN SUSTAV (1×)

q

L

MqL /82

M = 9qL /128max2

5L/8

Najveći moment savijanja javlja se na upetom kraju pa se za porast opterećenja popuštanje prvo događa na tom mjestu. Jedanput statički neodređena konstrukcija prelazi u statički određenu (prosta greda). Formiranje prvog plastičnog zgloba u konstrukciji uzrokuje preraspodjelu momenata savijanja uzduž nosača, te nosač može preuzimati dodatno opterećenje. S daljnjim porastom opterećenja, formira se i drugi plastični zglob u polju nosača. Zadana konstrukcija postaje mehanizam, nastupa slom.

Nastajanje plastičnog zglobaPlastični zglob se formira tako da se popuštanje širi kroz čitav poprečni presjek nosača sve dok rotacijska krutost ne postane jednaka nuli.

Primjer: Greda I-presjeka pod djelovanjem momenta savijanja M (presjek ima 2 osi simetrije)

hr

bp

br

hp

−

+

σR

σR

y

z

hr

bp

−

+

σR

σR

+

−

σR

σR

ξ

y

z

he

ξ

hr

bp

−

+

σR

σR

+

−

+

−

σR

σR

y

z

he ξ

ξ

σR

σR

hr

bp

br

hp

−

+

σR

σR

+

−

+ +

−−

σR

σR

y

z σR σR

σR σR

−σR granica razvlačenja (granica tečenja)

Moment kod kojega dolazi do popuštanja krajnjih vlakana poprečnog presjeka:

yR

max

yRR W

zI

M ⋅σ=⋅σ=

yW - moment otpora poprečnog presjeka u elastičnom stadiju savijanja grede

hr

bp

br

hp

−

+

σR

σR

+

−

+ +

−−

σR

σR

y

z σR σR

σR σR

Kako se moment povećava, tako se popuštanje širi sve dok cijeli poprečni presjek ne postane plastičan. Granični moment savijanja odnosno moment plastičnosti izračunava se kao moment ukupnih naprezanja u presjeku s obzirom na neutralnu os:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅σ+⋅

σ=

2)hh(

hb4h

2bh2M pr

ppRrrrR

pl

Općenito, za plM se može pisati:

plRpl WM ⋅σ=

plW - plastični moment otpora presjeka pri savijanju

plRpl WM ⋅σ=

∫ ⋅⋅σ⋅=2/A

R dAz2∫ ⋅⋅σ=A

Rpl dAzM maxpl S2W ⋅=maxR S2 ⋅σ⋅=

Granična vrijednost za punu plastičnost iznosi:

Npr. za pravokutni poprečni presjek b×h

Odnos graničnog momenta pune plastičnosti i graničnog elastičnog momenta:

=σ⋅

σ⋅

Ry

Rpl

WW

=⋅

⋅

6hb

S22

max =⋅

⋅⋅

⋅

6hb

4h

2hb2

2==R

pl

MM

k =46

5.1 Rpl M5.1M ⋅=

Presjek s jednom osi simetrije i moment otpora plastičnosti

x

z

M M y

σR

T

Neutralna os nije u težištu poprečnog presjeka.

Odrediti ćemo je iz ravnoteže uzdužnih sila:

0X =∑ ( ) 0dAdAvltl A

RA

R =⋅σ−+⋅σ ∫∫∫ =⋅σA

R 0dA

tlvl AA =

To nas dovodi do graničnog momenta:

( ) ( ) dAzdAzvltl A

RA

R ⋅−⋅σ−+⋅⋅σ= ∫∫dAzMA

Rpl ⋅⋅σ= ∫

( )yvlytlR SS +⋅σ= plR W⋅σ=yvlRytlRpl SSM ⋅σ+⋅σ=

maxpl S2W ⋅=

yvlytlpl SSW +=Iz gornjeg izraza slijedi:

Za simetričan presjek obzirom na os y imamo:

Nadalje, možemo napisati da je: yvlytlmax SSS2 +=⋅

U stvarnosti, popuštanje se ne događa u jednom poprečnom presjeku nego se širi uzduž grede istovremeno s popuštanjem po visini poprečnog presjeka.Primjer: Prosta greda opterećena jednolikim kontinuiranim opterećenjem

Posmična naprezanja u plastičnojzoni su jednaka nuli.

Poprečna sila uzrokuje posmična naprezanja samo u elastičnoj jezgri presjeka.

Plastična analiza greda Primjer: Obostrano upeta greda pod djelovanjem jednolikog kontinuiranog opterećenja

L

q

qL /12 2

qL /242

Najveći momenti savijanja javljaju se na krajevima grede, dvostruko su veći od momenta u sredini polja nosača.

Opterećenje raste do neke vrijednosti q1 koja uzrokuje formiranje plastičnih zglobova u krajnjim presjecima:

2pl

1pl

21

L

M12qM12

Lq=→=

U tom trenutku moment u sredini polja iznosi

2Mpl .

Mpl

q1Plastični zglob

M /2pl

Nosač postaje statički određen. Ako djeluje dodatno opterećenje q2, greda će ga nositi kao slobodno oslonjena greda. Ukupni moment savijanja u bilo kojoj točki nosača je zbroj momenata od opterećenja q1 i q2. Zbog toga se u sredini formira plastični zglob. Opterećenje q2 koje dovodi do formiranja plastičnog zgloba u sredini:

2pl

2pl

22pl

L

M4qM8

Lq2

M=→=+

q2

q L /82 2

q = + q2q1

Mpl

Mpl

Treći plastični zglob konstrukciju pretvara u mehanizam koji više ne može preuzimati daljnje opterećenje. U svim plastičnim zglobovima moment ima vrijednost Mpl. Opterećenje kod kojega dolazi do sloma konstrukcije:

2pl

21 L

M16qqq =+=

Ovo je primjer u kojemu slom konstrukcije nastaje kada mehanizam koji nastaje stvaranjem plastičnih zglobova obuhvaća cijelu konstrukciju.

U praksi se vrlo često slom može pojaviti formiranjem djelomičnog mehanizma: dio konstrukcije formira se u mehanizam dok drugi dio konstrukcije ostaje statički neodređen. Primjer: Kontinuirana greda - neki od mogućih mehanizama koji dovode do sloma konstrukcije

312 P,PP >>

312 P,PP << 2 plastična zgloba 3 plastična zgloba 2 plastična zgloba

Proračun štapnih sustava prema teoriji plastičnosti – granična nosivost statički neodređenih sustava

Statički određeni štapni sustavi gube sposobnost nošenja kada se pojavi prvi plastični zglob u kritičnom presjeku – štap tada prelazi u kinematski mehanizam.

Statički neodređeni štapni sustavi ne gube sposobnost nošenja pojavom prvog plastičnog zgloba već im se samo smanjuje statička neodređenost za jedan.

Općenito, ako je statički sustav n puta statički neodređen, onda se pojavom n plastičnih zglobova sustav pretvara u statički određen, koji je stabilan i koji i dalje može preuzeti opterećenja.

Da bi statički neodređen sustav postao statički labilan potrebno je da se u njemu pojavi n+1 plastičnih zglobova.

Znači, tek pojavom n+1 plastičnog zgloba, statički neodređeni sustav postaje statički labilan i gubi sposobnost nošenja te se pretvara u kinematski mehanizam.

To je onda granično stanje za statički neodređen sustav.Za ovo granično stanje određujemo granično opterećenje, tj. ono opterećenje koje zadani sustav pretvara u mehanizam.

Mogući problem: tu može biti nekoliko varijanti pojave kinematskog mehanizma (redoslijed pojave plastičnih zglobova).

Za svaku varijantu mehanizma trebamo odrediti granično opterećenje, a mjerodavno je ono koje je najmanje.

Postupci određivanja graničnog opterećenja:

1) Postupak neposrednog praćenja stvaranja plastičnih zglobova da bi se sustav pretvorio u kinematski mehanizam. Veličinu graničnog opterećenja određujemo iz jednadžbi ravnoteže i uvjeta da je u presjeku plastičnog zgloba moment savijanja jednak graničnom momentu (momentu pune plastifikacije).

2) Statičkim postupkom gdje statički neodređeni sustav ubacivanjem zglobova pretvaramo u statički određen sustav nakon čega zbrajamo momente savijanja na statički određenom sustavu zbog vanjskog opterećenja s oslobođenim momentima.

3) Kinematskim postupkom, primjenom principa virtualnog rada, pri čemu je rad vanjskih sila na mogućim pomacima pozitivan, a rad graničnih momenata negativan jer su oni usmjereni suprotno kutu zaokreta.

Napomena: U graničnom stanju, smjer momenata slijedi iz oblika elastične linije, koja se najlakše odredi temeljem dijagrama momenata savijanja u elastičnom području.

Statička metoda određivanja graničnog opterećenja Skicira se opći oblik dijagrama momenata savijanja. Iz dijagrama momenata se određuju mjesta na kojima nastaju plastični zglobovi.

Izjednačavanjem vrijednosti momenta u svakom plastičnom zglobu s momentom plastičnosti poprečnog presjeka, dobivaju se jednadžbe iz kojih slijedi veličina opterećenja kod kojegdolazi do sloma.

Primjer: Treba odrediti veličinu sile F kod koje dolazi do sloma nosača ako granični momentiznosi kNm150Mpl = .

F

3 m

A B C3 m

MA

F

F/2 F/2 MA/L

MA

MA/L

3F/2

F

3F/2 − M /2A

MAA

B

C U točki A: kNm150MA =

U točki B: kN150FkNm1502M2F3 A =→=−

Princip virtualnog rada

Ukupni rad vanjskih i unutrašnjih sila na virtualnim pomacima mora biti jednak:

∑∑ ϕ⋅=δ⋅j

jji

ii MF

Indeks i odnosi se na točku opterećenja, a indeks j na plastični zglob.

Vanjske sile su opterećenje na konstrukciju (Fi).

Unutrašnje sile su momenti plastičnosti u plastičnim zglobovima (Mj).

Virtualni pomaci (δi) i virtualni zaokreti (ϕj) nastaju kao pomaci jednog od mogućih mehanizama.

Primjer: Odrediti kritično opterećenje koje dovodi do sloma konstrukcije.

2F

A B C D

F F

ϕ ϕ

2ϕ

ϕ ϕ

2ϕ

ϕ ϕ

2ϕ

a)

b)

c)

L L L

Mehanizam (b): - kut zaokreta u točki B je ϕ - zbog simetrije je kut zaokreta u točki C također ϕ - ukupni zaokret u srednjem plastičnom zglobu iznosi 2ϕ - uz pretpostavku malih kuteva, vertikalni pomak srednjeg zgloba iznosi 2Lϕ - primjena principa virtualnog rada:

LM4

FM2MM2LF2 pl

plplpl =→ϕ⋅+ϕ⋅+ϕ⋅=ϕ⋅

Mehanizam (c):

LM6

F2MMM2M2LF

2LF pl

plplplpl =→ϕ⋅+ϕ⋅+ϕ⋅+ϕ⋅=ϕ⋅+

ϕ⋅

Plastična analiza okvirnih konstrukcija Primjer: Ortogonalni portalni okvir opterećen vertikalnom i horizontalnom silom

Moguća su tri mehanizma:

Gredni mehanizam (c) - ako je vertikalna sila mnogo veća od horizontalne

Njihajući mehanizam (d) - ako je horizontalna sila mnogo veća od vertikalne

Mješoviti mehanizam (e) - kada su vrijednosti vertikalne i horizontalne sile podjednake; predstavlja kombinaciju prva dva mehanizma