Departamento de Ciencias Semestre 2014 – II 1

Semana 09

CURSO : CÁLCULO I

Tema :

RAZÓN INSTANTÁNEA DE CAMBIO

RAZÓN (TASA) DE CAMBIO

La velocidad es sólo una de las muchas tasas de cambio que existen; es la tasa de cambio de la

distancia con respecto al tiempo. Otros ejemplos son la densidad de un alambre (la tasa de cambio

de la masa con respecto a la distancia); el ingreso marginal (la tasa de cambio del ingreso con

respecto al número de artículos producidos), y la corriente (la tasa de cambio de la carga eléctrica

con respecto al tiempo). En cada caso debemos distinguir entre una tasa de cambio promedio en un

intervalo y una tasa de cambio instantánea en un punto. La frase tasa de cambio sin un adjetivo

significará tasa de cambio instantánea.

En una relación lineal entre dos variables: y = mx + b, sabemos que la pendiente m es la razón de

cambio entre las variables y y x. La razón de cambio es constante si la relación entre las variables es

lineal. Una manera de medir la relación entre los cambios de dos variables relacionadas es a través

de la tasa o razón de cambio promedio.

Suponga que es una cantidad que depende de otra cantidad x. Por lo tanto, y es una función de x

y escribimos . Si x cambia de a , entonces el cambio en x (también conocido como

incremento de x) es

Y el cambio correspondiente en y es

El cociente de diferencias

Se llama razón promedio de cambio de y con respecto a x sobre el intervalo y se puede

interpretar como la pendiente de la recta secante PQ de la figura siguiente

y

)(xfy 1x 2x

12 xxx

)()( 12 xfxfy

12

12 )()(

xx

xfxf

x

y

].[ 21 xx

Razón instantánea de cambio

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Razón promedio de cambio =

Razón instantánea de cambio = pendiente de la tangente en P

Por analogía con la velocidad, consideramos la razón promedio de cambio sobre intervalos cada vez

más pequeños haciendo que tienda a y, por lo tanto al hacer que tienda a 0. El límite de

estas razones de cambio de llama razón (instantánea) de cambio de y con respecto a x en ,

lo cual se interpreta como la pendiente de la tangente a la curva en

Razón instantánea de cambio =

Definición. Sea definida en un intervalo conteniendo los puntos y . Se define la tasa de

cambio promedio de la función , desde a como:

Esta tasa de cambio promedio no es otra cosa que la pendiente de la recta que une los puntos

y , llamada la recta secante a la gráfica de f que pasa por aquellos puntos.

El límite cuando ,

Representa la razón de cambio instantánea, o simplemente la razón de cambio de f con respecto a x;

es decir la derivada se interpreta como la razón de cambio instantánea.

PQm

2x 1x x

1xx

)(xfy ))(,( 11 xfxP

h

xfhxflím

x

ylím

hx

)()( 11

00

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Ejemplo

1. Una partícula se mueve a lo largo de un eje coordenado y s, su distancia dirigida en

centímetros, medida desde el origen al final de t segundos está dada por √ .

Encuentre la velocidad instantánea de la partícula al final de 4 segundos.

Solución

La velocidad instantánea en el instante t = 4 es igual a la derivada de la función en t = 4.

√

√

Concluimos que la velocidad instantánea al final de 4 segundos es de

centímetros por

segundo.

2. Sea centímetros cúbicos el volumen de un cubo cuyas aristas miden centímetros,

medidos con cuatro dígitos significativos. En una calculadora obtenga la tasa promedio de

variación de con respecto a conforme varía de (a) 3.000 a 3.200 (b) ¿Cuál es la tasa

instantánea de variación de con respecto a cuándo ?

Solución

(a) La tasa promedio de variación de con respecto a cuándo varía de a es

Se ve que conforme la longitud de las aristas del cubo varía de 3.000 cm a 3.200 cm, la tasa

promedio de variación del volumen es 28.84 cm por centímetro de variación en la longitud

de las aristas.

(b) La tasa instantánea de variación de con respecto a cuándo es .

Cuando la longitud de la arista del cubo es de 3cm la tasa instantánea de variación del

volumen es 27 cm por centímetro de variación en la longitud de las aristas.

3. En un circuito eléctrico, si E volts es la fuerza electromotriz, I amperes es la corriente y R ohms

es la resistencia, entonces de la ley de Ohms

)(xV x

)(xV x x

)(xV x 000.3x

)(xV x x 1x 2x

80.28000.3200.3

)000.3()200.3()()( 33

12

12

xx

xVxV

3

)(xV x 3x )3('V

23)(' xxV 27)3(' V

3

EIR

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(a) Si se supone que E es una constante positiva, demuestre que I decrece a una tasa

proporcional al inverso del cuadrado de R.

(b) ¿Cuál es la tasa instantánea de variación de I con respecto a R en un circuito eléctrico de 90

volts cuando la resistencia es de 15 ohms?

Solución

(a) Si se resuelve la ecuación dada para I, se obtiene

Al diferenciar I con respecto a R, se tiene

Esta ecuación establece que la tasa de variación de I con respecto a R es negativa y

proporcional a . Por tanto, I decrece a una tasa proporcional al inverso del cuadrado de R.

(b) De la ecuación anterior, con E = 90 y R = 15, se tiene

La corriente decrece a una tasa de 0.4 amperes por ohm.

1. REI

2

2.R

ERE

dR

dI

2/1 R

4.0225

90

dR

dI