szakdolgozat - bme műszaki mechanikai tanszékmolnar/publication/2012_molnar_bsc_thesis.pdfsummary...

SZAKDOLGOZAT

Molnár Tamás Gábor

2012

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem

Gépészmérnöki Kar

Műszaki Mechanika Tanszék

Késleltetett visszacsatolást tartalmazó instabil rendszerek

stabilizálása megoszló időkésést tartalmazó szabályozóval

Készítette: Molnár Tamás Gábor

Budapest, 2012

Konzulens: Dr. Insperger Tamás, egyetemi docens

Műszaki Mechanika Tanszék

Nyilatkozat

Alulírott Molnár Tamás Gábor, a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem

hallgatója kijelentem, hogy ezt a szakdolgozatot meg nem engedett segítség nélkül, saját

magam készítettem, és a szakdolgozatban csak a megadott forrásokat használtam fel. Minden

olyan részt, amelyet szó szerint vagy azonos értelemben, de átfogalmazva más forrásból

átvettem, egyértelműen a forrás megadásával megjelöltem.

..............................................

Molnár Tamás Gábor

Köszönetnyilvánítás

Szeretném megköszönni konzulensemnek, Dr. Insperger Tamás egyetemi docensnek a

szakmai kérdésekben nyújtott nélkülözhetetlen segítséget, valamint azt a rengeteg időt és

energiát, mellyel munkámat előrelendítette.

Köszönöm családomnak a türelmet, önzetlen segítséget és támogatást, mely nem csupán

munkám, hanem egész életem során végigkísért.

Köszönöm egyetemi évfolyamtársaimnak segítőkész hozzáállásukat és támogatásukat,

melyre egyetemi tanulmányaim során mindig számíthattam.

Summary

In this thesis we deal with an important subject of control theory, namely the problems

induced by the delay appearing in the control loop. We may see that this delay can cause loss

of stability of the closed loop system and, in case of an overly long delay, constructing a

stable control may not be possible. Besides one may notice that the control of time-delay

systems is an infinite dimensional problem. In order to solve the differential equation

describing the system the knowledge of infinitely many initial values is required and the

system possesses infinitely many characteristic exponents.

In order to find a solution for the delay problem, we study the finite spectrum assignment

control method. This procedure compensates the effect of the input delay through the use of a

control equation that contains a distributed delay term. We may notice that this method can

realize a closed loop system that operates with a predefined dynamic behavior in the ideal

case. It can be achieved by the means of prediction and negative feedback of the predicted

state. Thus finitely many poles of the original system - which had an infinite spectrum - can

be shifted to desired values and the other ones are automatically eliminated. Furthermore we

may get acquainted with the fact that the sensitivity with respect to the parameters used for

the prediction means the main difficulty of applying this control method. So as to attain an

effective control procedure it is necessary to approximate the system parameters and the value

of the time-delay exactly.

In addition we examine the problems appearing by the realization of the integral term that

contains the above mentioned distributed delay. We analyze the conditions of the stability of

the governing neutral functional differential equation and the effect of the difference part of

this equation on stability as well. We also study the discretization of the system using

different time steps and a numeric control procedure that uses piecewise constant input.

Moreover we ascertain the applicability of this method for stabilization of unstable

processes through the example of balancing an inverted pendulum. In this example we create

the stability charts of the closed loop system in the case of continuous and piecewise constant

inputs as well. Additionally we examine the realization of the fastest balancing, the control of

the stick position and the critical dimensionless system parameter value. On the basis of the

latter value we compare the finite spectrum assignment method with the academic PD

controller. We may note that for stabilization the former one is more effective and has more

prosperous properties.

Tartalomjegyzék

Bevezető ..................................................................................................................................... 1

1. fejezet: Lineáris differenciálegyenletek ................................................................................. 2

1.1 Autonóm egyenletek ......................................................................................................... 2

1.1.1 Autonóm lineáris közönséges differenciálegyenlet ................................................... 3

1.1.2 Autonóm lineáris késleltetett differenciálegyenlet .................................................... 3

1.2 Késleltetett elsőrendű skalár egyenletek ........................................................................... 6

1.2.1 Hayes-egyenlet ........................................................................................................... 6

1.2.2 Cushing-egyenlet ....................................................................................................... 8

1.3 Másodrendű skalár egyenletek ......................................................................................... 9

1.3.1 Késleltetés nélküli egyenlet ....................................................................................... 9

1.3.2 Csillapítás nélküli egyenlet ...................................................................................... 10

1.3.3 Csillapítással és késleltetéssel is rendelkező egyenlet ............................................. 11

1.3.4 PD szabályozó alkalmazása ..................................................................................... 12

2. fejezet: Az inverz inga stabilizálási problémái .................................................................... 15

2.1 Az inverz inga mozgásegyenlete .................................................................................... 15

2.2 Az inverz inga állapottér modellje .................................................................................. 17

2.3 Az inverz inga egyensúlyozása PD szabályozóval ......................................................... 17

2.4 A mozgásegyenlet dimenziótlanítása ............................................................................. 18

3. fejezet: Szabályozás véges spektrum hozzárendelés segítségével ....................................... 20

3.1 Szabályozás pólusáthelyezés segítségével ...................................................................... 20

3.2 Stabilizálás véges spektrum hozzárendelés segítségével ................................................ 21

3.3 A véges spektrum hozzárendelés megvalósítási problémái ........................................... 23

3.4 A véges spektrum hozzárendelés speciális esetei ........................................................... 27

3.5 A véges spektrum hozzárendeléses szabályozás hatásvázlata ........................................ 28

4. fejezet: Inverz inga szabályozása véges spektrum hozzárendelés alapján ........................... 30

4.1 Stabilitási térképek ......................................................................................................... 30

4.1.1 Minden szabályozási paraméter pontosan ismert .................................................... 32

4.1.2 Egyedül a visszacsatolás időkésése ismert pontosan ............................................... 33

4.1.3 Egyetlen paraméter sem ismert pontosan ................................................................ 34

4.1.4 Az egyenlet differencia részének stabilitása ............................................................ 35

4.2 Numerikus szimuláció .................................................................................................... 37

4.2.1 A rendszer és a szabályozó egyenletének diszkretizálása ........................................ 38

Tartalomjegyzék

ii

4.2.2 Állapot kiegészítés ................................................................................................... 40

4.2.3 Stabilitási térképek numerikus elkészítése ............................................................... 41

4.2.4 A mozgásegyenlet numerikus megoldása ................................................................ 46

4.3 Leggyorsabb beállás vizsgálata ...................................................................................... 47

4.4 Kritikus dimenziótlan rendszerparaméter ....................................................................... 50

4.5 Stabilizálás a vízszintes irányú mozgás figyelembe vételével ....................................... 53

4.5.1 Az állapottér modell bővítése .................................................................................. 54

4.5.2 Stabilitási térképek ................................................................................................... 56

4.6 Szabályozás hatásvázlat felhasználásával ...................................................................... 57

Összefoglalás ............................................................................................................................ 59

Irodalomjegyzék ....................................................................................................................... 60

A. függelék: A numerikus szimulációknál alkalmazott Matlab-kódok .................................... 61

A.1 Az inverz inga mozgásegyenletének numerikus megoldása ......................................... 61

A.2 Az inverz inga vízszintes irányú mozgásának szabályozása ......................................... 62

A.3 A stabilitási térkép és a szintvonalas ábra numerikus elkészítése ................................. 64

A.4 A szimuláció megvalósítása hatásvázlat alapján ........................................................... 68

Ábrajegyzék

1.1. ábra: A Hayes-egyenlet stabilitási térképe esetén. .................................................. 7

1.2. ábra: A Cushing-egyenlet stabilitási térképe és esetén. ......................... 9

1.3. ábra: A késleltetés nélküli másodrendű csillapított egyenlet stabilitási térképe. ............. 10

1.4. ábra: A késleltetett, csillapítással nem rendelkező másodrendű egyenlet stabilitási

térképe esetén. ............................................................................................................. 11

1.5. ábra: Az általános másodrendű, egyetlen diszkrét késleltetéssel bíró egyenlet stabilitási

térképe és esetén. .......................................................................................... 12

1.6. ábra: Az időkésés nélküli PD szabályozóval ellátott, csillapítás nélküli másodrendű

rendszer stabilitási térképe és esetén. .......................................................... 13

1.7. ábra: Az időkéséses PD szabályozóval ellátott rendszer stabilitási térképe és

esetén. .................................................................................................................... 14

2.1. ábra: Az inverz inga mechanikai modellje. ...................................................................... 15

3.1. ábra: A véges spektrum hozzárendeléses szabályozás hatásvázlata. ............................... 29

4.1. ábra: Véges spektrum hozzárendelést alkalmazó inverz inga szabályozás stabilitási

térképe , , , esetén. ......................................................................... 33


térképe , , , esetén. ................................................................... 34


térképe , , , esetén. .............................................................. 35

4.4. ábra: Véges spektrum hozzárendelést alkalmazó inverz inga szabályozás különböző

paraméter becslésekre kapott stabilitási térkép sorozata , esetén. .................... 36

4.5. ábra: Véges spektrum hozzárendelést alkalmazó inverz inga szabályozási egyenlet

differencia részének stabilitási térképe , , , esetén. ............. 37


térképe a differencia rész stabilitását is figyelembe véve , , ,

esetén. ....................................................................................................................................... 38

4.7. ábra: Numerikusan megvalósított véges spektrum hozzárendelést alkalmazó inverz inga

szabályozás stabilitási térképe. ................................................................................................. 42


szabályozás stabilitási térképének változása a különböző paraméter becslések mellett. ......... 43

Ábrajegyzék

iv


szabályozás stabilitási térképe a differencia rész stabilitásra gyakorolt hatását megmutatva. . 45

4.11. ábra: A numerikus szimuláció eredménye szögelfordulás és

szögsebesség kezdeti feltételekkel. .......................................................................................... 46





4.14. ábra: A maximális abszolút értékű karakterisztikus multiplikátorok szintvonalas

megjelenítése. ........................................................................................................................... 49

4.15. ábra: A leggyorsabb beállást mutató numerikus szimuláció eredménye

szögelfordulás és szögsebesség kezdeti feltételekkel. .................................... 49

4.16. ábra: A kritikus dimenziótlan rendszerparaméter értéke a paraméter becslések

hibájának függvényében különböző dimenziótlan szimulációs időlépések esetén. ................. 51


hibájának függvényében kis hibák esetén. ............................................................................... 52


hibájának függvényében nagy hibák esetén. ............................................................................ 52

4.19. ábra: A numerikus szimuláció eredménye szögelfordulás,

szögsebesség, pozíció és sebesség kezdeti feltételekkel. ................. 54

4.20. ábra: A vízszintes mozgás szabályozását is megvalósító numerikus szimuláció

eredménye , , és kezdeti feltételekkel. ..... 55

4.21. ábra: A vízszintes mozgást is stabilizáló, véges spektrum hozzárendelést alkalmazó

inverz inga szabályozás stabilitási térképei különböző szabályozó paraméterekre. ................ 57

4.22. ábra: A véges spektrum hozzárendelést alkalmazó inverz inga szabályozás hatásvázlat

általi megvalósításával kapott kimeneti jelalak. ....................................................................... 58

A.1. ábra: A szimulációt megvalósító SimuLink program blokk diagramja. ......................... 68

Bevezető

A szabályozástechnikában fontos problémát jelent a szabályozási körben fellépő időkésés

kezelése. Az időkésés abból ered, hogy a kimenet, illetve a rendszerállapotok méréséhez, a

jelek szabályozókörben való terjedéséhez és a beavatkozás meghatározásához időre van

szükség. Így egy adott rendszerállapothoz tartozó beavatkozás hatása valamekkora késleltetési

idővel később jut érvényre, mialatt a rendszerállapot megváltozik. Ezáltal a beavatkozás nem

fogja a tervezett rendszerállapotokat és kimenetet megvalósítani. Ezért az időkésés hatásával

már a tervezés során számolni kell. Továbbá az időkésés nehezíti a szabályozást, csökkenti a

zárt szabályozási kör stabilitását, és nem megfelelő szabályozó paraméterekkel

stabilitásvesztéshez vezethet. Túlzott mértékű időkésés esetén előfordulhat, hogy a rendszer

stabil szabályozása nem is lehetséges.

Az időkésés problémájának kezelésére megoldást jelent a véges spektrum hozzárendeléses

szabályozás (angolul finite spectrum assignment). Ez egy prediktív szabályozási eljárás,

melynek lényege, hogy megjósolja az időkésés után érvényes rendszerállapotokat és ezek

visszacsatolása alapján számítja a beavatkozást. Így a bemeneti késleltetés hatása

kiküszöbölhető. Mindez megoszló időkéséssel rendelkező szabályozóegyenlettel érhető el.

A véges spektrum hozzárendelés előnye, hogy ideális esetben megvalósítja az

állapotszabályozást időkéséses rendszerekre, így a szabályozás során előre tervezett

rendszerdinamika érhető el. Hátránya azonban, hogy a szabályozás érzékeny a szabályozási

kör paramétereire: a rendszer paramétereit és az időkésést nem pontosan ismerve a stabilitás

veszélybe kerülhet, a szabályozóval elérhető stabilitás és beállási gyorsaság mértéke csökken.

Jelen dolgozatban ismertetésre kerülnek a késleltetett differenciálegyenletek alaptípusai és

a legegyszerűbb skalár egyenletek stabilitásvizsgálata. Továbbá bemutatásra kerül a fent

említett megoszló időkéséses szabályozó egyenletet alkalmazó véges spektrum

hozzárendeléses szabályozási eljárás alapgondolata, módszere és megvalósítási problémái.

Az eljárás alkalmas instabil rendszerek stabilizálására is. Ez a tulajdonság egy inverz inga

kiegyensúlyozásának példáján lesz szemléltetve. Ehhez bemutatásra kerül az inga

mozgásegyenlete. Továbbá az inga példáján keresztül ismertetésre kerül a véges spektrum

hozzárendeléses szabályozás stabilitásvizsgálata, az eljárás numerikus implementálása

mintavételezéssel, a leggyorsabb beállás megvalósítása, és annak vizsgálata, hogy milyen

rendszerparaméter és időkésés értékek esetén lehetséges a stabilizálás.

1. fejezet:

Lineáris differenciálegyenletek

A dinamikai rendszerek leírása, matematikai modellezése differenciálegyenletek

segítségével történhet, melyek mutatják, hogy a rendszer állapotának pillanatnyi

megváltozása hogyan függ a pillanatnyi - vagy időkésés esetén éppen a korábbi -

rendszerállapottól. Időkésést tartalmazó rendszerek gyakran fordulnak elő a

szabályozástechnikában, ahol a késést a szabályzókörben végbemenő információ terjedés

véges sebessége okozhatja. Az emberi szervezet esetében ugyanez elmondható az ingerület

véges sebességű terjedése okozta időkésésre is.

Az egyenleteket, amelyekben az állapotváltozás mértéke különböző időpillanatokban

érvényes állapotoktól is függ, funkcionál-differenciálegyenleteknek (angolul functional

differential equation) nevezzük. Ezen egyenleteknek három típusa van: késleltetett, neutrális

és siettetett.

A késleltetett funkcionál-differenciálegyenletek általános alakja:

(1.1)

azaz az állapotváltozás a korábbi állapotoktól függ .

A neutrális funkcionál-differenciálegyenletnél a korábbi állapotváltozás is befolyásolja a

pillanatnyi állapotváltozást:

(1.2)

A siettetett funkcionál-differenciálegyenlet esetén az állapotváltozást az állapot magasabb

rendű deriváltjai is befolyásolják, például:

(1.3)

mely átalakításával olyan alak is létrehozható, melyben az állapotváltozás a későbbi állapottól

függ [1]. Mérnöki alkalmazásban ilyen egyenletek ritkán fordulnak elő, a továbbiakban csak

az első két típussal foglalkozunk.

1.1 Autonóm egyenletek

Autonóm egyenleteknek nevezzük azon differenciálegyenleteket, amelyekben az

állapotváltozás közvetlenül nem függ a idő változótól, így az egyenlet kezdeti értékeihez

tartozó kezdeti időpont tetszőlegesen megválasztható (az általánosság megszorítása nélkül pl.

nullának tekinthető). A következő két pontban ezen egyenletek késleltetés nélküli és

késleltetett típusai kerülnek bemutatásra.

3

1. fejezet:


1.1.1 Autonóm lineáris közönséges differenciálegyenlet

Az autonóm lineáris közönséges differenciálegyenletek általános alakja:

(1.4)

ahol , -es mátrix és

Az kezdeti értékkel a fenti egyenlet megoldása:

(1.5)

A triviális megoldás stabilitását az mátrix sajátértékei, az ún.

karakterisztikus exponensek (más néven karakterisztikus gyökök, vagy pólusok) határozzák

meg. Ezen sajátértékeket a egyenlet megoldásával kapjuk. Az egyenlet bal

oldala egy -edfokú polinomja, amelyet karakterisztikus polinomnak nevezünk. Ha minden

a polinomnak egyszeres gyöke, a megoldás az alábbi alakban is felírható:

(1.6)

ahol . Ezen alakból már látszik, hogy a megoldás akkor lesz stabil, ha a

karakterisztikus exponensek valós része minden esetében negatív. Így a

stabilitás vizsgálat esetében nem kell kiszámolni az összes karakterisztikus exponenst, hanem

elegendő a kritikus - azaz a komplex számsíkon a leginkább jobb oldalt elhelyezkedő, vagyis

a legnagyobb valós résszel rendelkező - karakterisztikus exponens valós részének előjelét

meghatározni. Ezt pl. a Routh-Hurwitz-kritérium segítségével tehetjük meg, mely megadja az

aszimptotikus stabilitás szükséges és elégséges feltételét.

A stabilitásvesztés kétféleképp jöhet létre. Az első esetben csak egy kritikus

karakterisztikus exponens adott. Ekkor az exponens valós szám, azaz képzetes része zérus. A

stabilitásvesztés során ez az exponens válik pozitívvá. A másik esetben egyszerre két kritikus

exponens van, melyek komplex konjugált párok, és ezek a komplex számsík jobb oldalára

vándorolva válnak instabillá (valós részük pozitívvá válik). Az előbbi esetet nyereg csomó

bifurkációnak nevezzük, az utóbbit Hopf bifurkációnak.

1.1.2 Autonóm lineáris késleltetett differenciálegyenlet

Az autonóm lineáris késleltetett differenciálegyenletek általános alakja:

(1.7)

ahol folytonos lineáris funkcionál ( a folytonos függvények tere) és

(1.8)

az alábbi formában írható fel:

1. fejezet:


4

(1.9)

ahol . A közönséges differenciálegyenletnél kapott megoldás alapján a

most vizsgált egyenlet megoldását alakban keressük . Ezt az alakot az

eredeti egyenletbe helyettesítve a következő egyenlethez jutunk:

(1.10)

Ezt karakterisztikus egyenletnek nevezzük, a bal oldalon álló kifejezés a karakterisztikus

függvény, melyet -val jelölünk. Ez tehát a késeltetett esetben már nem -edfokú

polinomja, hanem egy általános függvény. E függvény zérus helyeit továbbra is

karakterisztikus exponenseknek nevezzük, ám ezek száma már nem darab, mint az

időkésleltetés nélküli differenciálegyenletnél, hanem általános esetben végtelen sok exponens

is lehet a komplex síkon. Ám az továbbra is érvényes, hogy a stabilitásvizsgálat során

elegendő a kritikus karakterisztikus exponens(ek) valós részének előjelét megvizsgálni, és

nem szükséges az exponensek értékét pontosan kiszámítani. Ugyanis az aszimptotikus

stabilitás szükséges és elégséges feltétele az, hogy a karakterisztikus exponensek valós része

negatív legyen, továbbá létezzen olyan , melyre teljesül az alábbi kritérium:

(1.11)

ahol az mátrix elemei [2]. E kritérium azt jelenti, hogy a korábbi

rendszerállapotok hatása exponenciálisan csökken.

A stabilitásvizsgálat eredményeként egy ún. stabilitási térkép készíthető, amely a

differenciálegyenlet együtthatói mint paraméterek által kifeszített síkon mutatja meg, mely

paraméter értékeknél lesz a megoldás stabil, illetve instabil esetben hány darab instabil

karakterisztikus exponens létezik. Az instabil karakterisztikus exponensek számát nevezzük

instabilitási foknak. Ha rendszer legalább egy instabil karakterisztikus exponenssel

rendelkezik, akkor mindenképp instabil viselkedést mutat, függetlenül az instabilitási fokának

nagyságától.

A stabilitási térkép a D-helyettesítés módszerével (angolul D-subdivision method)

készíthető el. E módszer azon alapul, hogy a stabilitási térkép olyan tartományokra osztható,

amelyeken belül az instabil karakterisztikus exponensek száma állandó. Az eltérő instabilitási

fokú tartományokat az ún. D-görbék választják el egymástól. Ezen görbéket a

egyenlet segítségével kapjuk, helyettesítéssel (ahol i az imaginárius egység,

pedig a stabilitásvesztéssel fellépő rezgések körfrekvenciája). Azaz amikor megszerkesztjük

5

1. fejezet:


ezeket a görbéket, a karakterisztikus exponens valós részét nullának feltételezzük, hiszen

amikor az instabilitási fok változik, exponensek vándorolnak át a komplex sík bal félsíkjáról a

jobb félsíkjára, így át kell haladniuk az imaginárius tengelyen, ahol a valós részük zérus.

Stabilitási határnak nevezzük azon D-görbéket, melyek a stabil - azaz zérus instabilitási fokú

- területet határolják. A paramétertér egyes tartományaiban az instabilitási fokot az ún.

karakterisztikus exponens váltási irány (angolul exponent crossing direction) módszer vagy a

Stépán-formulák segítségével kaphatjuk meg [3].

Időkésés esetén megkülönböztethetünk diszkrét és megoszló időkésést.

A diszkrét - vagy más néven pont - időkésést tartalmazó differenciálegyenletek az alábbi

alakban adhatók meg:

(1.12)

ahol és -es mátrixok, minden -re és pozitív egész szám.

A megoszló időkésést tartalmazó differenciálegyenletek a következő alakban írhatók fel:

(1.13)

ahol é , valamint mutatja a korábbi

időintervallumban fennálló állapotok jelen állapotváltozásra gyakorolt súlyát. Ha

konstans mátrixokkal megszorzott, időben eltolt Dirac-delta függvényeket tartalmaz,

azaz pl. alakú, akkor a diszkrét időkésés esetét kapjuk vissza. Így a

diszkrét és megoszló időkésés esete a alábbi alakra hozásával választható szét:

(1.14)

Az autonóm lineáris késleltetett differenciálegyenlet, mely megoszló és véges számú

diszkrét időkésést is tartalmaz, a következő alakban írható fel:

(1.15)

Ez a diszkrét és a megoszló időkésést tartalmazó tag szétválasztása után a következő:

(1.16)

A -es súlyfüggvény tehát az általános esetben leírt á xhoz hasonló, ám

csak véges számú konstanssal megszorzott és időben eltolt Dirac-delta függvényt

tartalmazhat.

1. fejezet:


6

Tehát a pont időkésésnél csak diszkrét múltbéli időpontokban érvényes állapotok

befolyásolják a jelen pillanatbeli állapotváltozást. A megoszló időkésés esetén pedig múltbéli

időintervallumokban (és nem időpontokban) érvényes állapotok a meghatározóak. Továbbá

míg a közönséges differenciálegyenletnél elég véges számú kezdeti feltételt megadni,

időkésés esetén egy teljes időintervallumban kell ismerni a kezdeti feltételeket. Így végtelen

számú kezdeti értéket kell figyelembe venni, azaz a differenciálegyenlet megoldásának

problémája végtelen dimenzióssá válik.

1.2 Késleltetett elsőrendű skalár egyenletek

A következő pontokban a legegyszerűbb elsőrendű skalár, pont vagy megoszló időkésést

tartalmazó egyenletek stabilitásvizsgálatával ismerkedhetünk meg [3].

1.2.1 Hayes-egyenlet

A Hayes-egyenlet egyetlen pont időkésést tartalmazó elsőrendű, lineáris

differenciálegyenlet. Általános alakja a következő:

(1.17)

ahol az időkésés, és pedig skalár rendszerparaméterek.

Az alakban keresve a megoldást megkapjuk az egyenlet karakterisztikus

függvényét:

(1.18)

Az síkon a stabilitási tartomány a D-helyettesítés módszerével kereshető meg. A

egyenletbe kifejezést helyettesítve, az egyenletet valós és képzetes részre

bontva, az alábbi két egyenletet kapjuk:

(1.19)

(1.20)

Ebből -t és -t kifejezve -val paraméterezett görbéket kapunk. Az esetben kapott

D-görbénél , tehát a valós tengelyen egyetlen gyök halad át az instabil jobb félsíkra.

Vagyis az instabilitási fok eggyel változik az -hoz tartozó D-görbe átlépése esetén. Az

esetben komplex konjugált gyökpár válik instabillá, így az instabilitási fok kettővel

változik.

Az -hoz tartozó D-görbe:

(1.21)


7

1. fejezet:


(1.22)

(1.23)

Ha , akkor az eredeti (1.17) egyenletre alkalmazható a Routh-Hurwitz-kritérium,

melynek értelmében stabil a rendszer, ha . Így a , félegyenes biztosan a

stabil terület részét képezi az síkon.

A D-görbék és a stabil tartomány megtalálható az 1.1. ábrán. E fejezet ábrái Wolphram

Mathematica 8 szoftver segítségével készültek.

stabil terület

1.1. ábra: A Hayes-egyenlet stabilitási térképe esetén.

Ha a egyenletbe kifejezést helyettesítjük, a valós és képzetes

részeket szétválasztjuk, és a kapott két egyenletet az egyik rendszerparaméter szerint

lederiváljuk, megtudhatjuk, hogy milyen előjellel változik az instabilitási fok a D-görbék

átlépésével. Annyit kell csak tennünk, hogy deriváltjának előjelét vizsgáljuk meg: ha az

pozitív, a rendszerparaméter növelésével átlépett D-görbénél az instabilitási fok nő, ha

negatív, ugyanilyen átlépésnél az instabilitási fok csökken. Tehát például, ha a

kifejezés előjele pozitív, akkor növelésével a karakterisztikus exponensek valós része

növekszik. Így a határt átlépve az exponensek instabillá válnak, az instabilitási fok

növekszik. A határt pedig az előbb meghatározott D-görbék jelentik.

1. fejezet:


8

Az előbbiek alapján a D-görbék megrajzolhatók, és eldönthető, hogy átlépésükkel az

instabilitási fok mennyivel (eggyel vagy kettővel) és milyen előjellel változik. Továbbá

ismert, hogy az , pontokban a rendszer stabil, vagyis az instabilitási fok zérus.

Így végezetül a teljes paramétersíkon meghatározható az egyes tartományok

instabilitási foka. Ám jelen esetben csak azt vizsgáljuk meg, hogy a rendszer stabil-e vagy

sem.

1.2.2 Cushing-egyenlet

A Cushing-egyenlet megoszló időkésést tartalmazó elsőrendű, lineáris

differenciálegyenlet. Általános alakja a következő:

(1.24)

Ha , , azaz az integrálban található súlyfüggvény egy időben

eltolt Dirac-delta függvény, akkor a Hayes-egyenletet kapjuk vissza. Most vizsgáljuk meg a

esetet. Ekkor az egyenlet karakterisztikus függvénye:

(1.25)

Ismét helyettesítsük be a kifejezést a egyenletbe, válasszuk szét a valós

és képzetes részeket, és fejezzük ki -t és -t függvényében. Így megkapjuk a D-görbéket.

Az esetnél a esetet vizsgáljuk.


(1.26)


(1.27)

(1.28)

Ismét megállapítható, hogy esetén közönséges differenciál egyenletet kapunk, mely

esetén stabil megoldással rendelkezik. Tehát most is a , félegyenes a stabil

tartományba esik.

A D-görbék és a stabil tartomány megtalálható az 1.2. ábrán.

9

1. fejezet:


stabil terület

1.2. ábra: A Cushing-egyenlet stabilitási térképe és esetén.

1.3 Másodrendű skalár egyenletek

Ebben az alfejezetben másodrendű késleltetett skalár egyenletek stabilitásvizsgálatát

ismerhetjük meg [3]. A másodrendű egyenletek a mechanikában különösen fontosak, mivel a

Newton törvények vagy a Lagrange-módszer segítségével kapott mozgásegyenletek

másodrendűek. Ezért a mechanikai rendszerek szabályozásánál fontos ezen egyenlettípus

stabilitásvizsgálatát ismerni.

A másodrendű, egyetlen diszkrét késleltetéssel bíró, lineáris differenciálegyenletek

általános alakja a következő:

(1.29)

A továbbiakban ezt az egyenletet fogjuk vizsgálni, kitérve a speciális esetekre, amikor van

zérus együttható az egyenletben.

1.3.1 Késleltetés nélküli egyenlet

Ha az (1.29) általános másodrendű egyenletben , eltűnik a késleltetés, egyszerű

csillapított másodrendű rendszert kapunk:

(1.30)

Ennek karakterisztikus polinomja:

(1.31)

1. fejezet:


10

A és egyenletekkel megkapjuk a D-görbéket.


(1.32)


(1.33)

A Routh-Hurwitz-kritérium értelmében a stabil terület az , negyed sík lesz.

A D-görbék és a stabil tartomány megtalálható az 1.3. ábrán.

stabil terület

1.3. ábra: A késleltetés nélküli másodrendű csillapított egyenlet stabilitási térképe.

Ezúttal véges számú eltérő instabilitási fokú területet kaptunk a paramétersíkon. A

késleltetést nélküli esetben nem végtelen dimenziójú a probléma, véges sok megoldása van a

karakterisztikus egyenletnek, a karakterisztikus gyökök száma is véges - jelen esetben kettő.

Így az félsíkhoz egy instabil gyök tartozik, az , negyed síkhoz kettő,

az , negyed síkhoz pedig nulla.

1.3.2 Csillapítás nélküli egyenlet

Az (1.29) általános egyenletből esetén eltűnik a csillapítást jelentő tag:

(1.34)

A kapott egyenlet karakterisztikus függvénye:

(1.35)

A helyettesítéssel felírt egyenlet valós és képzetes részre bontva:

(1.36)

(1.37)

11

1. fejezet:


Így az -hoz tartozó D-görbe:

(1.38)


(1.39)

(1.40)

ahol .

A késleltetési nélküli eset stabilitási térképe alapján tudjuk, hogy a ,

félegyenes pontjaihoz egy instabil karakterisztikus gyök tartozik.

Az ezek alapján elkészített stabilitási térkép az 1.4. ábrán látható.

stabil terület

1.4. ábra: A késleltetett, csillapítással nem rendelkező másodrendű egyenlet stabilitási

térképe esetén.

1.3.3 Csillapítással és késleltetéssel is rendelkező egyenlet

Térjünk vissza az általános esethez, amikor a korábban felírt (1.29) másodrendű egyenlet

egyik együtthatója sem zérus. Ennek az egyenletnek a stabilitása már három paramétertől

függ, a stabilitási térkép megrajzolása egy paramétersíkon csak az egyik paraméter

rögzítésével lehetséges.

Az egyenlet karakterisztikus függvénye:

(1.41)

A paramétersík eltérő instabilitási fokú tartományait elválasztó D-görbéket ismét a

egyenlet segítségével kapjuk, helyettesítéssel.


(1.42)


1. fejezet:


12

(1.43)

(1.44)

Ha a stabilitási térképet meg akarjuk rajzolni, az egyik paramétert rögzíteni kell. Legyen

például egy megadott pozitív érték. Ekkor mellett alkalmazható a Routh-Hurwitz-

kritérium, melynek értelmében mellett a rendszer stabil. Tehát a ,

félegyenes a stabil tartomány részét képezi pozitív esetén.

A stabilitási térkép egy rögzített értékre az 1.5. ábrán látható.

stabil terület

1.5. ábra: Az általános másodrendű, egyetlen diszkrét késleltetéssel bíró egyenlet stabilitási

térképe és esetén.

1.3.4 PD szabályozó alkalmazása

Tekintsük egy csillapítással nem rendelkező másodrendű rendszer differenciálegyenletét

úgy, hogy a rendszert arányos-differenciáló, azaz PD szabályozóval látjuk el. A szabályozás

során fellépő időkésések hatását figyelembe véve a rendszer egyenlete:

(1.45)

ahol és a szabályozó paraméterek. Ha nem lenne időkésés - azaz esetén - a

csillapított, időkésés nélküli egyenletet kapnánk vissza és paraméterek helyett és

paraméterekkel. Így a síkon készített stabilitási térkép a fent említett eset térképétől

(ld. 1.3. ábra) csupán annyiban tér el, hogy az egyik határgörbe eltolódik értékkel. Az

eredmény az 1.6. ábrán látható.

13

1. fejezet:


stabil terület

1.6. ábra: Az időkésés nélküli PD szabályozóval ellátott, csillapítás nélküli másodrendű

rendszer stabilitási térképe és esetén.

Ha az időkésés nem zérus értékű, a rendszer karakterisztikus egyenlete a következő lesz:

(1.46)

melybe helyettesítsük be a kifejezést a stabilitási tartomány meghatározása végett.


(1.47)


(1.48)

(1.49)

Egy rögzített érték esetén a sík pontjához egy instabil gyök tartozik.

Ilyenkor ugyanis olyan, mintha nem lenne szabályozás, és azt már korábban is láthattuk, hogy

az időkésleltetéses tag nélküli másodrendű rendszer zérus csillapítás és negatív esetén egy

instabil gyökkel bír. Ezt figyelembe véve és a D-görbéket megrajzolva megkapjuk a

jellegzetes spirál alakú határgörbét és banán alakú stabil területet a stabilitási térképen (ld.

1.7. ábra).

1. fejezet:


14

stabil terület

1.7. ábra: Az időkéséses PD szabályozóval ellátott rendszer stabilitási térképe és

esetén. A jobb oldali ábrán kinagyítva látható a szürkével jelzett stabil terület.

Ha , akkor tehát önmagában instabil rendszerrel van dolgunk. Ha az paraméter

abszolút értékét egyre növeljük, egyre nehezebb stabilizálni a rendszert, a stabil terület egyre

jobban szűkül. Ez a stabilitási térképen úgy látszik, hogy a spirál alakú határgörbe egyre

meredekebb érintővel indul. Végül az értéknél a kezdeti érintő függőlegessé

válik, így a stabil terület eltűnik, a rendszer mindenképp instabil viselkedést fog mutatni [3].

A jelenséget úgy is felfoghatjuk, hogy ha egy rögzített paraméterrel rendelkező

instabil rendszert akarunk PD-szabályozóval stabilizálni, akkor a szabályozásnál fellépő

időkésés nem mehet a érték fölé.

2. fejezet:

Az inverz inga stabilizálási problémái

A stabilitásvizsgálat menetét célszerű egy konkrét mechanikai rendszer példáján keresztül

is megvizsgálni. Tipikus példa lehet egy inverz inga szabályozása. Az inverz inga önmagában

instabil rendszer: a függőleges pozíció instabil egyensúlyi helyzet, ha az inga abból kis

zavarás hatására kitér, később nem fog magától visszatérni. A függőleges pozíció zavarások,

külső behatások melletti megtartásához szabályozás szükséges.

Ma a szabályozástechnikában egyre nagyobb szerepet kap az instabil rendszerek

szabályozása, stabilizálása. Ennek oka, hogy a mozgások igen gyors elindítása, a gyors állapot

változtatások instabil helyzetből kiindulva hatékonyabban megvalósíthatók. Ezért az instabil

rendszerek stabilizálása egy aktuális, fontos probléma. Az inverz inga példáján ennek a

problémának a bemutatása is megtehető.

Az inverz inga stabilizálás tehát megfelelő példa a különböző szabályozási eljárások (PD

szabályozás, véges spektrum hozzárendelés) és az instabil rendszerek stabilizálási

módszereinek bemutatására.

2.1 Az inverz inga mozgásegyenlete

Az inverz inga mechanikai modellje a 2.1. ábrán látható.

2.1. ábra: Az inverz inga mechanikai modellje.

Az inga alsó pontja vízszintes irányban egy csúszkán mozgatható a szabályozó erő

segítségével. Ha -t minden pillanatban megfelelően állítjuk be, az inga függőleges

helyzetben tartható. Az inga hossza , tömege , a nehézségi gyorsulás értéke . Az inga

mozgásegyenletét a Lagrange-módszer segítségével vezethetjük le. A mozgás két

2. fejezet:


16

szabadságfokú, általános koordinátáknak válasszuk az inga alsó pontjának vízszintes irányú

pozícióját és az inga függőlegessel bezárt szögét.

Az általános koordinátákkal felírt másodfajú Lagrange-egyenletek:

(2.1)

(2.2)

ahol a kinetikus energia, a potenciális energia, a Rayleigh-féle disszipációs függvény,

és általános erők.

Az előbbi mennyiségek kifejezése a súlyponti sebességgel és a súlypontra számított

tehetetlenségi nyomatékkal felírva:

(2.3)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

A deriválásokat elvégezve, a deriváltakat a Lagrange-egyenletekbe visszaírva, és a kapott

két egyenletet mátrixos formába rendezve:

(2.7)

Az egyenletrendszerben ciklikus koordináta, vagyis kiejthető az egyenletekből. Ehhez

vonjuk ki a második egyenlet -szeresét az első egyenletből. Az kiejtésével kapott

egyenlet:

(2.8)

Célunk az inga instabil egyensúlyi helyzetbe hozása és ott megtartása,

egyensúlyozása. Így ha csak az egyensúlyi helyzet körüli kis szögelfordulásokat vizsgáljuk,

azaz , akkor a helyzet körül linearizált egyenlet jól leírja a rendszert. A

17

2. fejezet:


linearizálás során a , közelítésekkel élünk, és a -es tagot

elhanyagoljuk.

Így a linearizált egyenlet:

(2.9)

ahol a linearizálás után kapott szabályozóerő kifejezés. Az egyenletet rendezve:

(2.10)

A súrlódás hatását ebben a modellben elhanyagoltuk. Ennek az oka az, hogy a

továbbiakban a legfőbb célunk a stabilitásvizsgálat lesz. Mivel a súrlódás disszipatív hatás,

azaz energiát von el a rendszerből, nem fog instabilitáshoz vezetni. Továbbá a viszkózus

súrlódás az egyenlet rendjén nem változtatna, a problémát nem nehezítené, csak a figyelembe

vett paraméterek száma nőne. Száraz súrlódás esetén pedig a súrlódási erő függvénynek

szakadása van a helyzetben, így itt a linearizáltja nem létezik.

2.2 Az inverz inga állapottér modellje

Hozzuk az inverz inga mozgásegyenletét a következő alakra:

(2.11)

ahol rendszerparaméter, a beavatkozás. Az inga

szöghelyzetének szabályozásánál fellépő időkésést jelöli.

Válasszuk állapotváltozóknak az inga szögelfordulását és szögsebességét. A rendszer

kimenetének a szögelfordulást tekintjük.

Ezekkel az állapottér egyenleteket felírva:

(2.12)

(2.13)

Vagyis az állapotváltozók vektora

, a rendszermátrix

, a

bemeneti vektor , a kimeneti vektor .

2.3 Az inverz inga egyensúlyozása PD szabályozóval

Ha a beavatkozást PD szabályozó segítségével végezzük, a szabályozó erő és a linearizált

szabályozó erő kifejezése a következő:

(2.14)

2. fejezet:


18

Definiáljuk az beavatkozó jelet:

(2.15)

ahol , . Vezessük be az paramétert.

Ezzel a linearizált mozgásegyenlet:

(2.16)

mely egyenletnél az paraméterhez tartozó stabilitási tartomány a korábban megismert

banán alakú terület.

A rendszer kritikus időkésése:

(2.17)

Ha a szabályozási időkésés ezt az értéket meghaladja, az inga kiegyensúlyozása analóg PD

szabályozó segítségével nem lehetséges. Továbbá minél rövidebb az inga, a kritikus időkésés

értéke annál kisebb. Így rövid ingát nehezebb kiegyensúlyozni, a stabilizálás csak az időkésés

csökkentése mellett lehetséges. Vagyis ha az időkésést egy értékig tudjuk csak

lecsökkenteni, a rendszer csak egy kritikus paraméter értékig stabilizálható, mely a

következő:

(2.18)

A később ismertetett megoszló időkésést tartalmazó szabályozónál a PD szabályozó

referenciaként szolgál, ugyanis a PD szabályozó a megoszló időkésést tartalmazó szabályozó

egy speciális - az időkésést zérusnak feltételező, azt figyelembe nem vevő - esete lesz.

2.4 A mozgásegyenlet dimenziótlanítása

A mozgásegyenlet dimenziótlanításának segítségével csökkenthető a rendszer

vizsgálatánál figyelembe vett paraméterek száma. Jelen esetben látható, hogy az inga

stabilizálhatósága az és paraméterektől egyszerre függ, ezért célszerű bevezetni helyettük

egyetlen paramétert. Ezt a mozgásegyenlet idő szerinti dimenziótlanításával érhetjük el.

Vezessük be a dimenziótlan időt. Alkalmazzuk az alábbi jelöléseket az idő szerinti

és a dimenziótlan idő szerinti deriváltakra:

(2.19)

A deriváltak közt az alábbi kapcsolat áll fenn:

19

2. fejezet:


(2.20)

A dimenziótlan idő segítségével a PD szabályozóval ellátott inverz inga (2.16)

mozgásegyenletét átírva:

(2.21)

melyből a dimenziótlan mozgásegyenlet:

(2.22)

ahol a dimenziótlan rendszerparaméter, és a dimenziótlan

szabályozó paraméterek. Tehát a rendszer paraméteréhez választjuk meg a szabályozó és

értékeit. A vizsgálandó paraméterek száma négyről háromra csökkent.

Az is látható, hogy az eredeti mozgásegyenletbe -et helyettesítve megkapjuk a

dimenziótlan egyenletet, azaz ekkor a dimenzióval rendelkező és dimenziótlan paraméterek

számértéke megegyezik. Legegyszerűbb tehát a rendszerre vonatkozó vizsgálatokat (pl. a

paraméter érzékenység vizsgálatot) egységnyi mellett elvégezni, és az így kapott

dimenziótlan paraméterekből kiszámolni a dimenzióval bíró jellemzőket nem egységnyi -ra.

Így például ha a kritikus rendszerparaméter értékre vagyunk kíváncsiak, meghatározzuk

dimenziótlan kritikus rendszerparaméter értékét, és ezt elosztjuk -tel. PD szabályozó

esetén .

A későbbi fejezetekben, ábrákon, diagramokon, ha egységnyi és nincsenek feltüntetve

mértékegységek, akkor a látható értékek mindenhol a dimenziótlan paraméter értékeket

jelentik.

3. fejezet:

Szabályozás véges spektrum hozzárendelés segítségével

A véges spektrum hozzárendelés alkalmazása egy prediktív szabályozási eljárást jelent. Az

eljárás lényege, hogy a rendszerre bocsátott beavatkozást a rendszer bizonyos módszer szerint

megjósolt későbbi állapota alapján határozzuk meg. Erre azért van szükség, mert a

szabályozókörben levő visszacsatolás mindenképp valamekkora időkéséssel rendelkezik, így

a kiszámított beavatkozás hatása késleltetve jelentkezik. Ezért célszerű a beavatkozást úgy

meghatározni, hogy a késleltetési idő elteltével kialakuló rendszerállapothoz illeszkedjen, így

kompenzáljuk a visszacsatolás időkésését. Vagyis szükséges megjósolni (prediktálni), hogy a

rendszer állapota milyen lesz az időkésésnyi idővel később.

A predikcióhoz a szabályozandó rendszert modellezzük, differenciálegyenlet segítésével

jellemezzük, mely egyenlet tartalmazza az általunk számított vagy mért modell

paramétereket. Az adott pillanatban érvényes rendszerállapotokat, az aktuális és korábbi

beavatkozásokat ismerve a modell egyenlet megoldásával meghatározhatjuk az időkésés utáni

rendszerállapotot. Vagyis a véges spektrum hozzárendelés során egy modell

differenciálegyenletének megoldásával kapott megjósolt rendszerállapotot használunk fel a

szabályozásnál. Ezt a rendszerállapotot visszacsatolva elérhető, hogy az időkésés miatt

végtelen spektrummal, végtelen sok karakterisztikus exponenssel rendelkező eredeti

rendszerből egy véges spektrummal bíró szabályozási kört hozzunk létre. Véges sok

karakterisztikus exponens pedig már hatékonyan kezelhető, a rendszer dinamikája, kimenete a

szabályozás segítségével beállítható, továbbá instabil rendszerek stabilizálása is lehetséges. A

későbbiekben ezt a szabályozási eljárást egy állandó értékű diszkrét időkéséssel bíró rendszer

szabályozására alkalmazzuk.

3.1 Szabályozás pólusáthelyezés segítségével

A pólusáthelyezés az időkésés nélküli esetben kialakuló véges sok karakterisztikus

exponens hatékony kezelésére alkalmas módszert jelent, így e módszer a véges spektrum

hozzárendeléses eljárások alapját jelenti.

Tekintsük egy időkésés nélküli lineáris rendszer állapottér modelljének főegyenletét:

(3.1)

ahol az állapotváltozók, a bemenetek vektora, -es

rendszermátrix, -es bemeneti mátrix.

Ezen egyenlet általános megoldása az kezdeti feltétellel:

21

3. fejezet:


(3.2)

A beavatkozás nélküli, esetet már az autonóm közönséges differenciálegyenleteknél

megvizsgáltuk (ld. 1.1.1 pont). Itt azt kaptuk, hogy a pólusok a egyenlet

megoldásai. A karakterisztikus egyenlet megoldásainak száma véges sok, így megfelelő

beavatkozás segítségével ezen gyökök a komplex számsíkon tetszőleges helyre

átmozgathatók, vagyis a rendszer a számunkra kedvező viselkedéssel fog működni. Erre

szolgál az állapot visszacsatolás vagy pólusáthelyezés módszere, melynek lényege, hogy a

beavatkozást az állapotváltozók visszacsatolásával határozzuk meg:

(3.3)

ahol az -es visszacsatoló mátrix. A gyakorlatban negatív visszacsatolást

alkalmazunk, elemei negatívok.

Pólusáthelyezést alkalmazva a rendszer egyenlete a következő lesz:

(3.4)

Így a pólusokat most már a egyenlet fogja meghatározni. Az

egyenlet megoldásai segítségével tetszőlegesre beállíthatók. Előre definiált pólusok esetén

meghatározása például az Ackermann-képlettel történhet.

A pólusáthelyezés alkalmazására példa lehet - a korábban már ismertetett - inverz inga

stabilizálás analóg PD szabályozó segítségével. PD szabályozó esetén a beavatkozást a

következő egyenlet adja:

(3.5)

ahol . Vagyis szabályozási időkésés esetén PD szabályozóval

megvalósul a pólusáthelyezés.

3.2 Stabilizálás véges spektrum hozzárendelés segítségével

Ha a pólusáthelyezésnél ismertetett rendszer szabályozókörében fellépő időkésést is

figyelembe vesszük, a rendszer (3.1) egyenlete az alábbi alakúra módosul:

(3.6)

ahol az időkésés mértéke. Látható, hogy ez a rendszer bemeneti időkésleltetéssel bír.

Időkésés esetén azonban a stabilizálási probléma végtelen dimenzióssá válik, a

karakterisztikus exponensek száma végtelen sok lesz, ahogy ezt már az autonóm késleltetett

egyenleteknél láthattuk (ld. 1.1.2 pont).

A végtelen dimenziós fázistér a funkcionál-differenciálegyenletek mindhárom típusára

igaz, ám a végtelen sok exponens elhelyezkedése eltér. Késleltetett egyenletek esetén mindig

3. fejezet:


22

véges sok azon gyökök száma, melyek valós része egy meghatározott számnál nagyobb. Azaz

a komplex számsíkon egy tetszőleges helyen meghúzott függőleges egyenestől jobbra mindig

véges sok exponens található. Így az instabil gyökök száma is csak véges lehet, a funkcionál-

differenciálegyenletekkel leírt rendszerek közül ezeknek a stabilizálása a legkönnyebben

kivitelezhető. Neutrális egyenleteknél három eset fordulhat elő: vagy véges sok gyök van egy

függőleges egyenestől jobbra, vagy egy függőleges egyenes mentén felsorakoznak a gyökök,

vagy végtelen sok gyök esik az egyenestől jobbra eső félsíkba. Siettetett egyenleteknél pedig

csak a végtelen sok jobb félsíkba eső gyök esete fordulhat elő. Ez utóbbi esetekben az

instabilitási fok végtelen, így analóg szabályozással a stabilizálás reménytelen.

A véges spektrum hozzárendelés alapgondolata az, hogy valósítsuk meg a pólusáthelyezést

időkésleltetett, végtelen dimenziós rendszerekre. Azaz határozzuk meg úgy a beavatkozást az

állapotváltozók visszacsatolásával, hogy a teljes zárt szabályozási kör pólusai az általunk

kijelölt helyekre essenek a komplex számsíkon. Ezt úgy érhetjük el, hogy nem az

állapotváltozók értékét csatoljuk vissza, hanem azok egy időkésésnyi idővel későbbi

megjósolt (prediktált) értékét. Azaz az időkésleltetett rendszerek stabilizálására a megoldást

egy prediktív szabályozó eljárás jelenti.

A prediktált érték meghatározása úgy történik, hogy a rendszer (3.6) főegyenletét

megoldjuk kezdeti feltétellel, majd a kapott megoldást formálisan egy

időkésésnyivel időben eltoljuk. Tehát az eredeti differenciálegyenlet megoldásával

kiszámoljuk, hogy milyen lenne a rendszer állapota idővel később.

Az időkéséssel bíró rendszer főegyenletének megoldása kezdeti feltétellel:

(3.7)

Bevezetve a változót:

(3.8)

Így a prediktált érték:

(3.9)

Az beavatkozás meghatározásánál ezt az értéket csatoljuk vissza és szorozzuk meg -

val, így a szabályozó egyenlete:

(3.10)

23

3. fejezet:


Látható, hogy a időpillanatban érvényes beavatkozás meghatározásához szükséges a

időintervallumban a beavatkozások ismerete. Vagyis egy beavatkozás függ a

korábbi beavatkozástól, ami pedig a még korábbitól, és így tovább. Azaz egy beavatkozás

hatása végigkíséri a rendszer teljes működését.

A (3.10) szabályozó egyenletből az is látszik, hogy a bemeneti időkésés kompenzálására

megoszló időkésést tartalmazó szabályozót alkalmazunk.

A pólusáthelyezés megvalósulásának igazolásához írjuk be a szabályozó (3.10) egyenletét

a rendszer (3.6) főegyenletébe:

(3.11)

Továbbá fejezzük ki az integrálban található függvényt a főegyenletből, és

írjuk be az előbbi egyenletbe:

(3.12)

A visszacsatolt rendszert leíró differenciálegyenlet ezen alakjából látható, hogy az

állapotváltozás korábbi állapotváltozásoktól is függ, azaz neutrális egyenlettel van dolgunk.

Azonban az egyenletben szereplő integrál kifejezés kiszámítható:

(3.13)

Vagyis visszakaptuk a pólusáthelyezésnél felírt főegyenletet, a neutrális egyenlet

közönséges differenciálegyenletté egyszerűsödik. Ismét a egyenletet

kapjuk a rendszer karakterisztikus egyenleteként, a visszacsatolt rendszernek darab pólusa

lesz, a többi pólus automatikusan eltűnik.

Tehát predikció és állapot-visszacsatolás révén az időkésés kompenzálható, a szabályozott

rendszernek véges sok pólusa lesz, ami tetszőlegesen megválasztható. Így a pólusok

tetszőlegesen nagy negatív valós részűre beállíthatók, ezáltal tetszőleges mértékű stabilitás,

tetszőlegesen gyors beállás érhető el. (Ez persze csak abban az esetben igaz, ha a mátrix

tagjainak, azaz a szabályozó paramétereknek nincs korlátozva az értéke). Ráadásul ez

tetszőleges mértékű időkésés esetén elérhető, az időkésés értéke közömbös. Így a

visszacsatolás időkésése okozta stabilitási problémákra a véges spektrum hozzárendeléses

szabályozás megoldást jelent.

3.3 A véges spektrum hozzárendelés megvalósítási problémái

A szabályozó eljárás fő megvalósítási nehézsége abban rejlik, hogy a valóságban a

rendszer és paramétereit és a időkésést nem ismerjük pontosan. Így a szabályozó (3.10)

3. fejezet:


24

egyenletében található integrál kifejezést nem tudjuk leegyszerűsíteni. Emiatt a szabályozó

egyenlete második típusú Volterra integrál egyenlet lesz, a rendszer egyenlete pedig marad

neutrális.

Jelöljük a prediktor által feltételezett mennyiségeket a következőképp: , , . Így a

rendszert leíró két egyenlet:

(3.14)

(3.15)

Ha a valós és feltételezett rendszerparaméterek közt - akár csupán infinitezimális mértékű -

eltérés jelenik meg, akkor a zárt szabályozási kör spektruma megszűnik véges lenni, végtelen

sok lesz a karakterisztikus exponensek száma. Ám ha az eltérések infinitezimálisak, akkor a

véges sok beállított pólus mellett megjelenő végtelen sok többlet pólus a rendszer stabilitását

nem befolyásolja (valós részük -hez tart) [4]. Nagy eltérések esetén azonban a stabilitás

veszélybe kerülhet. Emellett a paraméter eltérések esetében már nem lesz igaz, hogy

tetszőlegesen nagy értékű időkésés esetén is lehet stabil szabályozást elérni, és az sem, hogy

korlátlan szabályozó paraméterekkel tetszőlegesen gyors szabályozás érhető el.

Vezessük be a következő jelölést:

(3.16)

A szabályozó eljárás másik fő problémája a integrál kifejezés megvalósítása. Mivel a

kifejezés nem pontosan ismert rendszerparaméterek és időkésés esetén analitikusan nem

számítható ki, a megvalósítására két út áll rendelkezésre.

Az első megoldás deriválásával differenciálegyenlet létrehozása:

(3.17)

mivel .

Ez a megvalósítás azonban instabil rendszerek stabilizálására nem alkalmas. Ennek oka,

hogy instabil zérus-pólus kiejtéssel jár, azaz úgy stabilizálnánk a rendszert, hogy kiejtenénk

az instabil pólusait. Ez azonban csak akkor működik, ha a pólusokat pontosan ismerjük, ami a

valóságban nem áll fenn (ezért is nevezzük a módszert instabil zérus-pólus kiejtésnek, csak

ideális esetben lehetne végrehajtani) [5].

25

3. fejezet:


A gyakorlatban ezért ehelyett egy másik megvalósítási módszer terjedt el. Az eljárás a

integrál kifejezés numerikus közelítésén alapul. Az integrál numerikus közelítésével

megvalósított szabályozó esetén a rendszert neutrális differenciál-differencia egyenlet írja le.

A közelítésre egy lehetséges megoldás:

(3.18)

ahol jelöli azt, hogy a intervallumot hány részre osztottuk (azaz a közelítés

finomságát), és . Látható, hogy a megoszló időkéséses tagot diszkrét időkéséses

tagok összegével közelítettük.

A megvalósításra többféle numerikus séma létezik, melyek abban térnek el, hogy a fenti

összeg egyes tagjait különböző súllyal veszik figyelembe. Jelen esetben minden taghoz

tartozó súly egységnyi. Továbbá léteznek olyan formulák is, ahol az időlépés nem konstans,

azaz a függ -től. A rendszer stabilitását befolyásolhatja, hogy milyen numerikus sémát

alkalmazunk, illetve az egyes sémák érzékenyek lehetnek infinitezimális változásaira [6].

A numerikus megvalósítás esetén is jelentkeznek hátrányos, alkalmazást korlátozó

tulajdonságok. Ennél a megvalósítási formánál ugyanis nem csupán a zárt szabályozási kör

stabilitása szükséges, hanem megjelenik egy másik feltétel is, ami a stabil szabályozott

rendszer eléréséhez kell. A rendszert leíró neutrális egyenlet sajátossága, hogy az egyenlet

differencia része önmagában is stabil kell legyen. Ha ez nem teljesül, már tetszőlegesen kis

zavarásokra is instabil lesz a teljes neutrális egyenlet az előbbi numerikus közelítés

alkalmazásával. A differencia rész (angolul difference part) a (3.12) neutrális egyenlet

állapotváltozást (vagyis az kifejezést) tartalmazó tagjait jelenti [5], [6], [7].

Azaz a következő egyenlet stabilitása is szükséges:

(3.19)

Ez a feltétel egy bemenetű rendszer esetén - azaz amikor és vektorrá, skalár

függvénnyé egyszerűsödik - a következő formában is felírható:

(3.20)

Csak a fenti feltételek teljesülése és kellően pontos numerikus közelítés esetén érhető el stabil

működésű szabályozási kör [6].

Ezek okának feltárásához tegyük fel, hogy a differencia rész pólusai között van legalább

egy, ami a komplex számsík jobb felén található, azaz instabil. Ha a szabályozó eljárásban

3. fejezet:


26

szereplő integrál kifejezést numerikusan közelítjük, a differencia rész is numerikus

közelítéssel valósul meg. A numerikusan közelített differencia résznek pedig végtelen sok

pólusa lesz. Ezek a pólusok úgy helyezkednek el, hogy véges sok függőleges egyenes mentén

felsorakoznak. Azaz a differencia rész minden gyöke esetén a numerikusan közelített

differencia rész gyökei között meg fog jelenni egy gyöksorozat is

. Tehát a végtelen sok pólusnak véges sok különböző valós része lesz, de a

képzetes részük tetszőlegesen nagy értékű lehet. A gyökök képzetes részének abszolút értéke

esetén a numerikus közelítés finomításával ( ) tart a végtelenbe, esetén

változatlan marad. A valós részük pedig egyre jobban közelíti az ideális (numerikus közelítés

nélküli) differencia rész pólusainak valós részét. Vagyis a numerikusan közelített differencia

rész pólusai úgy helyezkednek el (megfelelően pontos közelítés esetén), mintha az ideális

differencia rész pólusait az imaginárius tengely mentén eltolva végtelenszer lemásolnánk

eltolásokkal.

Ezért ha az ideális esetben volt egy instabil gyök, a kellően finom numerikus közelítésnél

már végtelen sok instabil gyök lesz. Emellett a neutrális funkcionál-differenciálegyenletek

sajátossága, hogy ilyenkor a teljes neutrális egyenletnél is megjelennek pólusok, melyek valós

része közelíti a numerikusan közelített differencia rész pólusainak valós részét. Így hiába

állítjuk be a véges spektrum hozzárendelés mátrixával a visszacsatolt rendszer pólusait, a

numerikus közelítés miatt megjelenik végtelen sok további pólus, amelyek között instabilak is

találhatók, ha a differencia rész önmagában instabil [7]. Tehát a zárt szabályozási kör instabil

lesz, és ez tetszőlegesen nagy pontosságú numerikus közelítés esetén is így marad.

Továbbá a megjelenő többlet pólusok miatt nem lehet tetszőlegesen nagy időkésések

esetén is stabilizálni, a szabályozás csak egy kritikus időkésés eléréséig működik stabilan.

Valamint nem érhető el bármekkora mértékű stabilitás, akármilyen gyors beállás sem, mint az

időkésés nélküli pólusáthelyezésnél. Pólusáthelyezés esetén azt láttuk, hogy a beállított

pólusok elméletileg tetszőlegesen távol lehetnek az imaginárius tengelytől, csak értékét kell

jól megválasztani. Ez nem zérus időkésés esetén, a numerikus közelítéssel megvalósított

véges spektrum hozzárendelésnél már nem érhető el.

Emiatt tehát a differencia résznek önmagában is stabilnak kell lennie, ami egy megszorítást

jelent a szabályozó alkalmazhatóságára vonatkozóan. A megszorítás megszüntetésére két

lehetőség van: aluláteresztő szűrő vagy szakaszonként konstans beavatkozás alkalmazása.

Ha aluláteresztő szűrőt használunk, a neutrális egyenlet numerikus közelítés miatt

megjelenő gyökeinek valós része csökkenthető, a gyökök stabillá tehetők [6], [8]. Ugyanis

végtelen sok instabil gyök jelenik meg azonos valós résszel, a gyökök képzetes része pedig

27

3. fejezet:


tetszőlegesen nagy lehet. Ám a nagyobb képzetes rész, nagyobb stabilitásvesztéssel kialakuló

rezgési frekvenciát eredményez, a fent leírt instabilitás kialakulása alapvetően nagy

frekvenciás mechanizmus. A nagyfrekvenciás komponensek elnyomása pedig aluláteresztő

szűrővel hatékonyan megtehető.

Szakaszonként konstans beavatkozás esetén pedig a beavatkozás értékét csak

időközönként változtatjuk, a köztes időtartamban állandó értéken tartjuk. Így időközönként

a rendszer viselkedése egy diszkrét rendszeréhez lesz hasonló. Az így megvalósított

beavatkozás esetén ki sem alakulnak a problémát okozó tetszőlegesen nagy képzetes részű

gyökök és tetszőlegesen nagy frekvenciájú rezgések, a rendszerben kialakulni képes

legnagyobb frekvencia [6]. Digitális szabályozó alkalmazása esetén pedig éppen ez az eset áll

fenn, vagyis a beavatkozás szakaszonként konstans. Így a differencia rész instabilitása miatt

megjelenő problémáknak csak elméleti jelentősége van, a gyakorlatban nem fordulnak elő.

3.4 A véges spektrum hozzárendelés speciális esetei

A véges spektrum hozzárendelés során egyes ideális esetekben visszakaphatjuk a PD

szabályozásnál és a pólusáthelyezésnél látott szabályozási tulajdonságokat, stabilitási

térképeket.

Az egyik speciális eset az, ha a rendszer paramétereit (az és mátrixokat) pontosan

ismerjük. Ekkor megvalósul a pólusáthelyezés (ld. 3.2 alfejezetet). Ekkor tehát az időkésés

miatt kialakuló végtelen sok karakterisztikus exponensből darabot ( a rendszer rendje)

áthelyezünk a komplex sík általunk választott pontjaiba, a többi gyök automatikusan eltűnik.

Az inverz inga példáján már korábban beláttuk, hogy időkésés nélküli rendszer PD

szabályozóval történő irányítása pólusáthelyezést jelenthet. Tehát ha minden paramétert

pontosan ismerünk, ezt az esetet kapjuk vissza véges spektrum hozzárendelés alkalmazásával.

Ekkor és , így a síkon megrajzolt stabilitási térképen stabil

területként a PD szabályozónál látott negyed sík (ld. 1.6. ábra) origóra tükrözött képét kapjuk.

A , és , paraméterek közti összefüggés és a , paraméterek dimenziótlanítása

alapján a véges spektrum hozzárendeléses szabályozás dimenziótlan szabályozó paraméterei:

(3.21)

A véges spektrum hozzárendelés másik speciális esete az, ha a teljes szabályozási kör

időkésését nullának feltételezzük ( ). Ebben az esetben a (3.10) szabályozó egyenletben

levő integrál kifejezés integrálási határai megegyeznek, ezért ez a tag kiesik.

Így a szabályozó egyenlete az alábbi kifejezéssé egyszerűsödik egy bemenet esetén:

3. fejezet:


28

(3.22)

Ebben az esetben tehát szintén a PD szabályozó esetét kapjuk vissza. Ugyanúgy a

és összefüggések érvényesek. Ekkor azonban a szabályozási körnek van időkésése,

így a stabilitási térképen, a síkon a stabil tartomány a PD szabályozónál látott banán

alakú terület (ld. 1.7. ábra) origóra tükrözött képe lesz.

Ez a két speciális eset általában nem fordul elő - valamekkora időkésés mindig van. Ám a

számítások, szimulációk elvégzésénél ez a két eset referenciát, ellenőrzési lehetőséget biztosít.

3.5 A véges spektrum hozzárendeléses szabályozás hatásvázlata

A véges spektrum hozzárendeléses szabályozási eljárást frekvencia tartományban is

vizsgálhatjuk. Frekvencia tartományban a szabályozási kör hatásvázlata könnyen elkészíthető,

mely által a rendszer szimulációja megvalósítható. A frekvencia tartományba való áttérést a

rendszer és a szabályozó egyenletének Laplace-transzformációja segítségével tehetjük meg.

Az Laplace-operátor segítségével a (3.14) rendszeregyenlet Laplace-transzformáltját

felírva és átalakítva:

(3.23)

(3.24)

ahol az állapotváltozók kezdeti értékeit tartalmazó vektor, pedig -es (vagyis

méretével egyező méretű) egységmátrix.

Ugyanezt a (3.15) szabályozó egyenletre elvégezve:

(3.25)

(3.26)

Kihasználhatjuk, hogy

(3.27)

Ez utóbbi egyenlet teljesülése belátható, ha mindkét oldalát -val balról megszorozzuk

és a jobb oldalon az és összefüggéseket kihasználjuk.

A (3.27) egyenlet alapján a beavatkozójel kifejezése az alábbi alakra hozható:

(3.28)

A (3.24) és (3.28) egyenletek segítségével a zárt szabályozási kör hatásvázlata

felrajzolható, ezt láthatjuk a 3.1. ábrán. A hatásvázlat az megkívánt állapotot

hivatott megvalósítani.

29

3. fejezet:


3.1. ábra: A véges spektrum hozzárendeléses szabályozás hatásvázlata.

A 3.1. ábrán megfigyelhető, hogy kiszámításra kerülnek a rendszer és a becsült

paraméterekkel felírt rendszermodell állapotváltozói. Továbbá az nélküli ág

mutatja a predikció megvalósulását, és látható a mátrixszal történő visszacsatolás is.

E hatásvázlat a Smith-prediktort alkalmazó szabályozások hatásvázlatától csupán az

tagban tér el. Smith-prediktor esetén az ágában nincs szorzótényező, illetve helyett

szerepel [9]. Ennek oka, hogy a véges spektrum hozzárendelés a idővel korábbi állapotot

tekinti kezdeti értéknek a predikció során, míg a Smith-prediktor minden időpillanatban az

kezdeti érték alapján végzi a predikciót.

Ha előállításához a (3.15), (3.16) és (3.17) egyenleteket egyaránt felhasználjuk a

Laplace-transzformációval az alábbi két egyenletet kapjuk:

(3.29)

(3.30)

Az utóbbi egyenletben kihasználtuk, hogy , ami akkor teljesül, ha a időpontig

nincs beavatkozás. A (3.30) egyenletből a változót kifejezve és a (3.29) egyenletbe

beírva visszakapjuk a (3.28) egyenletet. Tehát összességében elmondhatjuk, hogy a fenti

hatásvázlat valójában a integrálkifejezés differenciálegyenletté alakításával valósítja meg

a véges spektrum hozzárendelést. A 3.3 alfejezetben pedig már láthattuk, hogy ez instabil

zérus pólus kiejtéssel jár, vagyis instabil rendszerek stabilizálására nem alkalmas. Ezért

célszerűbb az integrál numerikus közelítésén alapuló megvalósítási formáknál maradni.

4. fejezet:

Inverz inga szabályozása véges spektrum hozzárendelés alapján

Ebben a fejezetben a véges spektrum hozzárendeléses szabályozás alkalmazását láthatjuk

egy konkrét mechanikai példán, mely egy inverz inga stabilizálásának problémája.

Bemutatásra kerül, hogy a 3. fejezetben leírt szabályozási eljárás hogyan illeszthető a 2.

fejezetben ismertetett rendszerhez. A fejezet egyúttal azt is igazolja, hogy a véges spektrum

hozzárendeléses szabályozás alkalmas instabil rendszerek stabilizálására. Így a központi

kérdés a stabilitásvizsgálat lesz, de más fontos szabályozási szempontok figyelembe vételére

is láthatunk majd megoldást. Például megismerhetjük, hogyan lehet a szabályozási

paraméterek behangolásával a leggyorsabb stabilizálást elérni.

4.1 Stabilitási térképek

Véges spektrum hozzárendeléses szabályozás esetén a stabilitási térkép

megszerkesztésénél a (3.14) és a (3.15) egyenletekből indulunk ki.

Az egyenletekbe az inga állapottér modelljénél (ld. 2.2 alfejezet) ismertetett ,

paramétereket és állapotvektort írjuk be. Emellett tudjuk, hogy , és

legyen . Továbbá

, ahol az kifejezés, az

kifejezés feltételezett értéke.

Az mátrix exponenciális értéke az paramétert bevezetve szimbolikus algebrai

program segítségével kiszámítva a következő:

(4.1)

ahol sh és ch a sinh és a cosh függvényeket jelöli.

Mindezt a (3.15) szabályozó egyenletébe beírva:

(4.2)

Ez az egyenlet a (2.12) állapottér főegyenlettel egészül ki.

Keressük az egyenletek megoldását exponenciális alakban:

31

4. fejezet:


(4.3)

Ezeket a (2.12) főegyenletbe és a (4.2) szabályozó egyenletbe helyettesítve, a deriválásokat

elvégezve és a szabályozó egyenletet egyszerűsítve:

(4.4)

(4.5)

(4.6)

Az integrálást elvégezve, az egyenleteket átrendezve és -vel leosztva az alábbi alakú

egyenletrendszert kapjuk:

(4.7)

(4.8)

(4.9)

Az előbbi egyenlet és értékétől függetlenül teljesül, ha .

Helyettesítsük a karakterisztikus egyenletbe a kifejezést. A

kapott egyenletet egyszerűsítve, majd valós és képzetes részre bontva:

(4.10)

4. fejezet:


32

(4.11)

A két egyenlet -re és -re lineáris egyenletrendszert jelent. Az egyenletrendszert

és esetekre megoldva megkapjuk a zárt szabályozási kör D-görbéit, melyek a

síkon ábrázolhatók. Továbbá tudjuk, hogy a zárt szabályozási kör és esetén -

amikor nincs szabályozás - egy instabil gyökkel rendelkezik, mely alapján a stabil terület

holléte kikövetkeztethető.

Az alfejezetben található összes ábra esetén a megjelölt stabil terület zérus instabilitási

fokát a Stépán-formulák [2] segítségével is ellenőriztem. A Stépán-formulák megadják a

paramétersík egy adott pontjában a rendszer instabilitási fokát. Ez egyben az egész D-

görbék által határolt, a pontot magába foglaló tartomány instabilitási fokát fogja jelenteni.

Egy -edrendű rendszerre paritásától függően írhatjuk fel a formulákat. Az inverz inga

esetén , vagyis a páros esettel kell számolni. A formulák felírásához szükség van az

és függvényekre, melyet a (4.10), (4.11) egyenletek bal

oldala fog megadni.

Ha páros, azaz ,

ahol pozitív valós gyökei.

Ha páratlan, azaz

ahol nemnegatív valós gyökei.

4.1.1 Minden szabályozási paraméter pontosan ismert

Ha , , azaz ha minden szabályozást befolyásoló paraméter ismert, a D-görbéket

megadó (4.10), (4.11) egyenletek az alábbi formára egyszerűsödnek:

(4.12)

(4.13)

33

4. fejezet:



(4.14)


(4.15)

A kiszámított görbék valóban visszaadják az időkésés nélküli PD szabályozónál kapott

stabilitási térképen (ld. 1.6.ábra) megismert határok origóra tükrözött képét (ld. 4.1. ábra).

stabil terület


térképe , , , esetén.

4.1.2 Egyedül a visszacsatolás időkésése ismert pontosan

Ha , , a D-görbék (4.10), (4.11) egyenletei a következő alakra egyszerűsödnek:

(4.16)

(4.17)

Az eset az alábbi egyenes egyenletét adja:

(4.18)

4. fejezet:


34

Az esetben a határgörbét a (4.16), (4.17) egyenletből álló lineáris egyenletrendszer

megoldásával határozhatjuk meg, a -re és -re kapott kifejezések egy -val paraméterezett

görbét jelentenek. Ezt a számítást és a görbék ábrázolását szimbolikus algebrai programmal

végeztem. A görbéket egy adott paraméter-kombinációra ábrázolva a stabilitási térkép a 4.2.

ábrán látható.

stabil terület


térképe , , , esetén. A jobb oldali ábrán kinagyítva, a két tengely

mentén azonos osztással látható a stabil terület.

4.1.3 Egyetlen paraméter sem ismert pontosan

Ha , , a D-görbék (4.10), (4.11) egyenletein nem tudunk tovább egyszerűsíteni.

Az eset az előző esetnél látotthoz hasonló egyenest eredményez paraméterrel:

(4.19)

Az esetben a határgörbét most is az egyenletrendszer megoldásával kapjuk, melyet

szimbolikus algebrai programmal elvégezhetünk.

Egy lehetséges paraméter érték sorozatra a stabilitási térkép a 4.3. ábrán látható. A

stabilitási térkép különböző és paraméter becslések mellett is megrajzolható. Így adott

és paraméterek mellett különböző és értékek feltételezésével térképsorozat készíthető. E

térképsorozatra mutat példát a 4.4. ábra.

35

4. fejezet:


stabil terület


térképe , , , esetén. A jobb oldali ábrán kinagyítva látható a

stabil terület.

4.1.4 Az egyenlet differencia részének stabilitása

Ha a (4.2) szabályozó egyenletbe az és kifejezéseket helyettesítjük,

az egyenletet átrendezzük, és -vel leosztjuk, a differencia részre vonatkozó

karakterisztikus egyenletet kapjuk [7]:

(4.20)

ahol az kifejezést a (4.9) egyenlet adja meg. A (4.20) egyenlet tetszőleges -ra

esetén teljesül. Ez esetén megadja a differencia részhez tartozó D-görbéket.

A behelyettesítést elvégezve, a valós és képzetes részeket szétválasztva, és az egyenleteket

egyszerűsítve az alábbi két egyenletet kapjuk:

(4.21)

(4.22)

4. fejezet:


36

stabil terület

4.4. ábra: Véges spektrum hozzárendelést alkalmazó inverz inga szabályozás különböző

paraméter becslésekre kapott stabilitási térkép sorozata , esetén.

Az eset az alábbi egyenes egyenletét adja:

(4.23)

Az az alábbi -val paraméterezett görbét eredményezi:

(4.24)

(4.25)

37

4. fejezet:


A görbék alapján a stabilitási térkép megrajzolható. A , pontban a

differencia rész stabil, mert ilyenkor , tehát ez a pont a stabil terület részét képezi.

Az előző alfejezetben vizsgált paraméter értékek mellett a stabilitási térkép a 4.5. ábrán

megtalálható.

4.5. ábra: Véges spektrum hozzárendelést alkalmazó inverz inga szabályozási egyenlet

differencia részének stabilitási térképe , , , esetén.

A teljes egyenlet és a differencia rész térképét egymásra vetíthetjük. A teljes rendszer

stabil területe végül a két stabil tartomány metszete lesz (ld. 4.6. ábra). Az ábrán jelölt piros

tartományon belül az ideálisan megvalósított rendszer stabil, de a differencia rész instabil, így

itt a zárt rendszer instabil tetszőlegesen kicsi megvalósítási hiba esetén is.

Numerikus közelítéssel megvalósított, szakaszonként állandó beavatkozást alkalmazó

szabályozó esetén azonban a differencia rész stabilitásának nincs szerepe, határgörbéit nem

kell figyelembe venni [6]. Így stabil területnek megmarad az eredeti stabil tartomány (ld. 4.3.

ábra), nem kell a stabil területek metszetét képezni.

4.2 Numerikus szimuláció

Minden szabályozókör beállításához, behangolásához segítséget nyújt a kör működésének

számítógépes szimulációja. Így ellenőrizhető, hogy a szabályozás megfelelően működik-e,

megfigyelhetjük a kimeneti jelalakot, melyről további fontos szabályozási paraméterek

(szabályozási idő, túllendülés) is megállapíthatók.

stabil terület

4. fejezet:


38

zárt szabályozási kör: ,

differencia rész: , stabil terület:


térképe a differencia rész stabilitását is figyelembe véve , , ,

esetén.

Továbbá célszerű a stabilitásvizsgálatot numerikusan, számítógép segítségével is

elvégezni. Ez az időben folytonos folyamatok diszkretizálását vonja maga után. Így a

stabilitásvizsgálat is egy adott, időben diszkrét esetre fog vonatkozni. Ám a gyakorlatban

gyakran digitális szabályozót alkalmaznak a beavatkozó jel meghatározásához, így a

diszkretizálás a szabályozónál is mindenképp végbemegy. Ezért a numerikusan elkészített

stabilitási térkép jól fog illeszkedni a valós szabályozáshoz, nem szükséges mindenképp az

analitikus stabilitási határokat kiszámítani.

4.2.1 A rendszer és a szabályozó egyenletének diszkretizálása

A véges spektrum hozzárendelés módszerének gyakorlati megvalósításához egy lehetséges

megoldás a digitális szabályozó alkalmazása. A digitális szabályozót jelentheti maga a

számítógép is. A számítógép által felhasznált adatok (a rendszerállapotok és beavatkozások

korábbi értékei) csak bizonyos időpontokban állnak rendelkezésre, ezek az ún. szimulációs

lépések. A szabályozáshoz szükséges beavatkozás meghatározása is csak ezekben az

időpontokban történik. Legyen a szimulációs lépések közt eltelt idő . A beavatkozást tehát

időközönként számítjuk ki, a köztes időpillanatban tartjuk az értékét. Tehát szakaszonként

konstans beavatkozási függvény valósul meg.

Így a korábban megismert (3.15) szabályozó egyenlet most már csak a diszkrét

időpillanatokban érvényes, csak a szimulációs lépésekben adja meg a kapcsolatot a

39

4. fejezet:


kiszámításra kerülő beavatkozás érték és a rendelkezésre álló rendszerállapot és korábbi

beavatkozás adatok közt.

Írjuk fel a szabályozó egyenletet az alábbi formában:

(4.26)

ahol .

Legyenek a szimulációs lépések a időpontokban ( ). Alkalmazzuk az

alábbi jelöléseket:

Alkalmazzunk szakaszonként konstans beavatkozó jelet, valamint közelítsük a szabályozó

egyenletben megtalálható integrál kifejezést numerikus kvadratúrával (ld. 3.3 alfejezet). Az

így megvalósított beavatkozás a időintervallumon:

(4.27)

ahol és .

A rendszert leíró differenciálegyenlet (állapottér főegyenlet) továbbra is minden

időpillanatban érvényes, nem csupán a szimulációs lépéseknél. Használjuk fel a

differenciálegyenletet a következő szimulációs lépésben megvalósuló állapot meghatározására

úgy, hogy az aktuális állapotot ismertnek tekintjük.

Írjuk fel az állapottér főegyenletet szakaszonként konstans beavatkozás esetén a következő

alakban:

(4.28)

ahol . Az egyenletet kezdeti feltétellel megoldva:

(4.29)

A korábbi rövid jelöléseket alkalmazva a következő szimulációs lépésben érvényes állapot

kifejezése:

(4.30)

ahol és

.

Az , , , mátrixok egy adott szabályozási körre és szimulációs időlépésre előre

meghatározhatók, nem függnek -től. Így a következő egyenletek segítségével minden

szimulációs lépés alkalmával a beavatkozás és a következő szimulációs lépésnél érvényes

állapot meghatározható az aktuális állapot és a korábbi beavatkozások alapján. Így a

4. fejezet:


40

rendszerre érvényes kezdeti feltételek és a beavatkozás x intervallumon felvett

kezdeti - például zérus - értékeit ismerve a szabályozási kör numerikus szimulációja

elvégezhető. Az ehhez szükséges két egyenlet tehát:

(4.31)

(4.32)

4.2.2 Állapot kiegészítés

Tegyük fel, hogy a szabályozási kör időkésését pontosan ismerjük, vagyis , azaz

.

Vegyük fel az állapotvektorba az , , ,…, értékeket. Ezt nevezzük állapot

kiegészítésnek (angolul state augmentation). Az állapot kiegészítés előnye, hogy adott

szimulációs lépés bővített állapotvektora egyszerűen kiszámítható, csupán az előző

szimulációs lépés bővített állapotvektorát meg kell szorozni egy mátrixszal. A numerikus

szimulációt leíró (4.31), (4.32) egyenletek alapján ez a mátrix-szorzásos összefüggés

felépíthető:

(4.33)

ahol az -es egységmátrix, az -es nullmátrix ( a bemenetek száma).

Vagyis a szimulációt meghatározó egyenlet az alábbi egyszerű alakú:

(4.34)

ahol a bővített állapotvektor . szimulációs lépésben felvett értéke, pedig a szimulációs

paramétereket és rendszerjellemzőket tartalmazó mátrix. Ez az egyenlet egy szemi-

diszkretizált rendszert jelenít meg, hiszen az eredeti folytonos rendszert mintavételessel

közelítettük és az időkésést részre bontottuk. A mátrix időtől független jellemző, a

szimuláció során előre meghatározható. A kezdeti értéket ismerve pedig a teljes numerikus

szimuláció során lépésről lépésre kiszámítható aktuális értéke.

Ha az időkésést nem ismerjük pontosan és felépítése kétféle lehet. és méretét

mindig a x érték határozza meg.

41

4. fejezet:


Ha ,

(4.35)

Ha ,

(4.36)

Ha állapotváltozó és bemenet van, akkor mérete tehát ( x )

( x ), mérete pedig ( x ) 1. Ebből jól látható, hogy ahogy

egyre finomítjuk a numerikus közelítést, azaz ahogy és , , úgy válik a

mátrix mérete végtelen naggyá, vagyis a probléma végtelen dimenziós természete

megmutatkozik.

4.2.3 Stabilitási térképek numerikus elkészítése

Az állapot kiegészítés alkalmazásának másik fő előnye, hogy a zárt szabályozási kör

stabilitási térképe könnyen elkészíthető. A rendszer stabilitását ugyanis sajátértékei fogják

megszabni. Ezeket a sajátértékeket karakterisztikus multiplikátoroknak nevezzük.

A karakterisztikus multiplikátorok stabilitást meghatározó szerepének belátásához

tekintsük az egyenletet. Ez minden elemére egy-egy mértani sorozatot jelent.

Ha -t a sajátvektorainak koordináta rendszerébe transzformáljuk, akkor diagonális mátrixszá

válik, főátlójában a sajátértékei állnak, minden más eleme zérus. Így az ebben a koordináta

rendszerben felírt egyenlet alakú skalár egyenletekre bomlik (

az vektor . eleme a sajátvektorok által meghatározott koordináta rendszerben, pedig .

sajátértéke, azaz a . karakterisztikus multiplikátor, x ). Ezen

skalár egyenletekből pedig látszik, hogy mindegyik elemére egy-egy mértani sorozatot

kapunk. A rendszer csak akkor lehet stabil, ha e mértani sorozatok konvergensek. A

konvergencia feltétele pedig, hogy a sorozatok kvóciensének abszolút értéke egynél nem lehet

4. fejezet:


42

nagyobb. Ha a stabilitási határt is kizárjuk, kritikus stabilitást nem engedünk meg, akkor a

kvóciens abszolút értéke egynél kisebb kell legyen minden egyes mértani sorozatra.

Tehát az aszimptotikus stabilitás feltétele:

x (4.37)

Mivel a numerikus szimulációt eleve számítógéppel végezzük, számítógéppel ezt a

vizsgálatot is gyorsan elvégezhetjük, a rendszer stabilitása ellenőrizhető. A karakterisztikus

multiplikátorok értékei függnek a , szabályozó paraméterektől. Így a sajátértékeket

különböző , értékpárokra kiszámíthatjuk, és eldönthetjük, a szabályozás stabil rendszert

eredményez-e. Ezáltal a síkon a stabilitási térkép pontról pontra megrajzolható. Tehát

a stabilitási térképet bizonyos felbontással, diszkrét és értékek mellett elkészíthetjük.

A 4.3. ábrán bemutatott térkép numerikusan készített változata a 4.7. ábrán látható. A

térképen megtalálhatók a folytonos szabályozáshoz tartozó analitikus görbék is. Látható, hogy

a differencia rész stabilitási tartománya nem befolyásolja a numerikusan megvalósított

szabályozás stabilitását (ld. 4.1.4 pont). A numerikus módszerrel készített stabilitási

térképeket, numerikus szimulációk eredményeit mutató ábrákat Matlab R2011b szoftverrel

hoztam létre.


szabályozás stabilitási térképe.

A B

C

43

4. fejezet:


A 4.4. ábrán látottakhoz hasonlóan a numerikus stabilitásvizsgálat többszöri futtatásával

megvizsgálható, hogy milyen hatással van a stabilitásra a rendszerparaméterek

megbecslésének pontatlansága. Például a 4.8. ábrán megfigyelhető, hogyan változik a stabil

terület, ha rögzített és paraméterek mellett a becsléseket -20%, 0% és +20% hibával

végezzük. A középső térkép mutatja az ideális esetet.


szabályozás stabilitási térképének változása a különböző paraméter becslések mellett.

A 4.6. ábrán látható stabilitási térkép numerikus közelítéssel készített változata is

létrehozható. E térkép megmutatja, miként csökken a teljes zárt szabályozási körre vonatkozó

stabil tartomány instabil differencia rész esetén. A differencia rész instabilitása két - általunk

már megvizsgált - esetben nem befolyásolja a zárt kör stabilitását. E két eset a

integrálkifejezés folytonos, átalakítás nélküli megvalósítása (elméleti, ideális eset) és a

numerikus közelítéssel történő megvalósítás szakaszonként konstans beavatkozás

alkalmazásával. Azonban folytonos rendszer és időkésés esetén a integrálkifejezés

4. fejezet:


44

numerikus közelítésével a differencia rész stabilitása is szükséges a stabil zárt szabályozási

kör megvalósításához. Ilyenkor a beavatkozás szakaszonként konstans, ám a rendszer

folytonos, nem diszkretizálunk.

A stabilitási térkép numerikus módszerrel történő elkészítése esetén azonban szükséges

valamekkora szimulációs időlépés alkalmazásával a folytonos rendszert diszkrét rendszerrel

közelíteni. Ezért e térkép numerikus elkészítéséhez két különböző mértékű időlépést

alkalmazunk: a folytonos rendszer közelítésére egy igen kicsiny időlépést, a

szakaszonként konstans beavatkozás megvalósításához a korábbi -nek megfelelő mértékű

időlépést, Alkalmazzuk az alábbi jelöléseket:

A rendszerállapotok következő - időtartammal későbbi - időlépésben érvényes értékét

az alábbi egyenlet szerint a (4.30) egyenlethez hasonlóan számíthatjuk:

(4.38)

ahol és

.

A beavatkozás értékeket - mely csak időtartamonként változik - a -nek megfelelő

szimulációs lépésekben az alábbi egyenlet adja meg:

(4.39)

ahol és .

A (4.38) és (4.39) egyenletek alapján ismét felépíthető egy alakú, állapot

kiegészítéssel létrehozott egyenlet.

Ha , a fent említett egyenlet

(4.40)

45

4. fejezet:


Ha ,

(4.41)

Ha állapotváltozó és bemenet van, akkor mérete ( x )

( x ), mérete pedig ( x ) 1.

A stabilitási térképek elkészítésének menete a szakaszonként konstans beavatkozás

eseténél leírtakkal azonos - sajátértékeinek vizsgálata szükséges. A 4.6. ábrán bemutatott

térkép numerikusan készített változata a 4.9. ábrán látható. A térképen megtalálhatók a zárt

szabályozási kör és a differencia rész folytonos szabályozáshoz tartozó analitikus határgörbéi.


szabályozás stabilitási térképe a differencia rész stabilitásra gyakorolt hatását megmutatva.

4. fejezet:


46

4.2.4 A mozgásegyenlet numerikus megoldása

Az egyenlet alapján a mozgásegyenlet megoldása az kezdeti érték

ismeretében a numerikus szimuláció során lépésről lépésre meghatározható. Így a

rendszerállapotok és a szabályozási kör kimenete a szimulációs lépéseknek megfelelő

időpontokban kiszámíthatók, az inga szöghelyzetének időbeli lefutása ábrázolható. Az

vektor tartalmazza az inga kezdeti szöghelyzetét és szögsebességét, valamint a beavatkozás

x időintervallumon érvényes értékeit. Utóbbira az feltételt írhatjuk

fel, ha azt az esetet tekintjük, hogy a időpillanatban lép működésbe a szabályzókör - a

későbbi példákon és ábrákon ez az eset jelenik meg.

A 4.10. ábrán egy lehetséges stabil szabályozás, a 4.11. ábrán egy instabil gyökkel

rendelkező szabályozás, a 4.12. ábrán két instabil gyökkel rendelkező szabályozás kimeneti

időfüggvénye látható. E példákban megjelenő rendszer stabilitási térképe megtalálható a 4.7.

ábrán, mely A, B és C pontjaihoz tartoznak a fent említett időfüggvények. Megfigyelhető,

hogy ha a stabil területről az határgörbén keresztül lépünk ki, a rendszer kimenete

exponenciálisan „száll el”, míg az határgörbét átlépve ez oszcillálva történik (előbbi

esetben egy, utóbbi esetben két instabil pólus keletkezik). Instabil esetben persze kilépünk a

kis szögelfordulások tartományából, és az ingára felírt mozgásegyenlet nem lesz érvényes, de

a kapott görbék jellegükben tükrözik az instabil rendszerben lezajló folyamatokat.


szögsebesség kezdeti feltételekkel.

A

47

4. fejezet:






4.3 Leggyorsabb beállás vizsgálata

A rendszer karakterisztikus egyenletét ismerve meg lehet vizsgálni azt is, hogy a kitérített

inverz inga milyen szabályozó paraméterekkel stabilizálható leggyorsabban, legrövidebb idő

B

C

4. fejezet:


48

alatt. A leggyorsabb beállás akkor valósul meg, ha a karakterisztikus exponensek valós

részeinek maximuma a lehető legkisebb értéket veszi fel. Azaz a kimenet lecsengésének

gyorsasága a karakterisztikus exponensek valós részének nagyságától függ.

A leggyorsabb lecsengéshez tartozó szabályozó paraméterek meghatározásához a

karakterisztikus egyenletbe kifejezést kell helyettesíteni, és a határgörbéket a

paraméterrel együtt meghatározni. Ekkor ezek a görbék már nem a stabilitási határt, hanem az

adott értékhez tartozó határokat jelölik. Ezen határgörbék átlépése azt jelenti, hogy egy

valós pólus vagy két komplex pólus valós része átlépi a értéket. Ezért meg kell vizsgálni,

melyik az a legkisebb érték, melynél még marad olyan terület, ahol minden pólus valós

része alatt van ( esetén ez volt a stabil terület). Ez a legkisebb érték fogja

meghatározni a leggyorsabb beállás szabályozási idejét, és a hozzá tartozó szabályozó

paraméterek segítségével érhető el a legkisebb beállási idő.

A szabályozó paraméterek meghatározása azonban analitikusan meglehetősen bonyolult

lenne, ezért célszerű numerikus vizsgálatot végezni. Az állapot kiegészítésnél kiszámított

karakterisztikus multiplikátorok értéke ugyanis szintén felhasználható annak eldöntésére,

hogy a sík mely pontjához tartozik a leggyorsabb beállás. Ebben az esetben azt a

pontot kell keresnünk, ahol a karakterisztikus multiplikátorok abszolút értékének maximuma

a legkisebb. Korábban már láthattuk, hogy az állapot kiegészítésnél megvalósított

egyenlet skalár mértani sorozatokat takar, melyek kvóciensei a karakterisztikus

multiplikátorok. A karakterisztikus multiplikátorok közül a legnagyobb abszolút értékű fogja

a leglassabban konvergáló (instabil esetben a leggyorsabban divergáló) mértani sorozatot

eredményezni. Így ha a rendszer stabil, a leggyorsabb lecsengést ezen karakterisztikus

multiplikátor legkisebb értéke mellett kapjuk.

Tehát a leggyorsabb beállás meghatározásához azt a pontot keressük a síkon, ahol

x minimális. A x értékeket már a stabilitás vizsgálatnál pontról pontra

előállítottuk. Ezáltal lehetséges akár ezek szintvonalas ábrázolása is: minél „mélyebb” szinten

van egy pont, annál gyorsabb lesz a beállás. Továbbá ezek a szintvonalak fogják közelíteni az

adott értékhez tartozó határgörbéket. A stabilitási határt pedig az a szintvonal jelöli,

amelyen a x egységnyi.

A 4.7. ábrához tartozó szintvonalas térkép a 4.13. ábrán látható.

49

4. fejezet:


4.13. ábra: A maximális abszolút értékű karakterisztikus multiplikátorok szintvonalas

megjelenítése. A leggyorsabb beállás és szabályozó paraméter értékek

mellett valósul meg, ekkor x .

Az előző példánál a leggyorsabb beállást eredményező szabályozás kimeneti jelalakját a

4.14. ábra mutatja.

4.14. ábra: A leggyorsabb beállást mutató numerikus szimuláció eredménye

szögelfordulás és szögsebesség kezdeti feltételekkel.

4. fejezet:


50

A leggyorsabb beállású pont maximális abszolút értékű karakterisztikus multiplikátora

alapján ún. fajlagos csökkenési arány (angolul decay ratio) számítható az alábbi összefüggés

szerint:

x

(4.42)

A fajlagos csökkenési arány tehát azt mutatja meg, hogy közelítőleg hányad részére

csökken a kimenet értéke idő alatt (azaz a dimenziótlan vizsgálatok esetén 1 [s] alatt). Ez az

érték a jelen példánál .

A kialakuló lengések több komponensből tevődnek össze, több mértani sorozat alapján

alakulnak ki. Így a fajlagos csökkenési arány valóban csak egy közelítést fog jelenteni.

Továbbá a lecsengés gyorsaságánál nemcsak a legnagyobb abszolút értékű karakterisztikus

multiplikátor számít, hanem az összes többi is, ám mindenképp a legnagyobb(ak) értéke a

domináns a szabályozás gyorsaságának szempontjából. Ha különböző szabályozó

paramétereknél közel egyezőek a multiplikátor értékek, előfordulhat, hogy nem pontosan

abban a pontban lesz a leggyorsabb a beállás, ahol a x minimális, hanem egy kicsit

nagyobb, ám majdnem megegyező x értékű pontban. Ám ezek a pontok egymáshoz

közel esnek, így a szintvonalas térképek mindenképpen jól használhatóak a leggyorsabb

lecsengést biztosító szabályozó paraméterek megtalálásához, a szabályozó behangolásához.

4.4 Kritikus dimenziótlan rendszerparaméter

PD szabályozó esetén már láthattuk, hogy a szabályozás nem alkalmas tetszőlegesen nagy

időkésés vagy tetszőlegesen rövid inga kiegyensúlyozására (ld. 2.3 alfejezet). Ez véges

spektrum hozzárendelést alkalmazó szabályozás esetén sincs másképp, ha az időkésést és a

rendszerparamétert nem teljesen pontosan ismerjük. Így egységnyi időkésést feltételezve

meghatározható az az kritikus dimenziótlan rendszerparaméter, melynél az inga még

éppen stabilizálható.

Az értéke függ a paraméter becslések pontosságától ( és értékétől) és a numerikus

megvalósítás esetén a lépésköztől is. Az sem közömbös, hogy az időkésést és a

rendszerparamétert túl- vagy alábecsüljük. Így egy adott abszolút értékű becslési hiba esetén a

4.8. ábrához hasonló stabilitási térkép sorozatot kell készíteni, és meg kell figyelni, hogy az

paraméter növelésével melyik térképen (milyen becslési hiba előjelek mellett) tűnik el a stabil

terület. Az értéket így több különböző esetre meghatározhatjuk, az eredményeket

rögzíthetjük. Ennek segítségével később egy konkrét rendszernél csak dimenziótlanítani kell a

rendszerparamétert, meg kell becsülni, mekkora hibával tudjuk és értékét meghatározni,

51

4. fejezet:


és a értékének megfelelő paramétert elő kell keresni. Ezáltal el tudjuk dönteni, hogy

egyáltalán van-e remény a stabilizálásra véges spektrum hozzárendelés segítségével.

Tehát az jól jellemzi a szabályozó alkalmazhatóságát, általa a különböző szabályozási

eljárások összehasonlíthatók a stabilizálás képességének szempontjából. PD szabályozó

esetén már láthattuk, hogy . Véges spektrum hozzárendelés esetén ha és értékét

50%-nál kisebb hibával becsüljük, akkor általában értéke meghaladja a kettőt, pontosabb

becslések esetén lényegesen nagyobb kritikus rendszerparaméter értékek érhetők el. Ideális

esetben pedig, amikor minden paraméter pontosan ismert, . Tehát látható, hogy

késleltetett visszacsatolás esetén a véges spektrum hozzárendeléses szabályozás alapvetően

jobb stabilizálási tulajdonsággal bír, mint a PD szabályozó.

A kritikus dimenziótlan rendszerparaméter értékek meghatározását számos esetre

elvégeztem, a 4.15. ábrán megfigyelhető diagram összefoglalja az eredményeket. A diagram

két felét kinagyítva mutatják a 4.16. és a 4.17. ábrák.


hibájának függvényében különböző dimenziótlan szimulációs időlépések esetén.

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

ak

rit [-

]

|hiba| [%]

Kritikus dimenziótlan rendszerparaméter

Δt=0 - analitikus Δt=0,005 Δt=0,01 Δt=0,05 Δt=0,1

4. fejezet:


52


hibájának függvényében kis hibák esetén.


hibájának függvényében nagy hibák esetén.

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

0 2 4 6 8 10

ak

rit [-

]

|hiba| [%]



0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50

4,00

10 20 30 40 50 60 70 80 90

ak

rit [-

]

|hiba| [%]



53

4. fejezet:


Megfigyelhető, hogy az esetek többségében akkor érhető el a legnagyobb érték, ha

alacsony hibával becslünk és kis szimulációs lépésközt alkalmazunk. Nagyobb szimulációs

lépésköz, pl. esetén értéke bizonytalanná válhat, hol meghaladja az

analitikusan kapott értéket, hol lényegesen alatta marad. Alacsony szimulációs időlépés

alkalmazása igen jól közelíti az analitikus esetet. Általában dimenziótlan

szimulációs lépésköz választása a stabilizálás szempontjából elegendő.

Továbbá meg kell említeni, hogy a diagramon csak azok az esetek jelennek meg, amikor

és értékét azonos mértékű hibával becsüljük. Emellett a hiba előjele sincs ezen az ábrákon

feltüntetve. Általában 50% alatti hibáknál a stabilitásvesztés azokban esetekben fordul elő,

amikor az időkésést alá, a rendszerparamétert pedig fölé becsültük, azaz a valósnál kisebb

késést és rövidebb ingát feltételeztünk. 50% feletti hibáknál pedig fordított hiba előjelek

mellett, valósnál nagyobb késés és hosszabb inga feltételezésével történt meg a

stabilitásvesztés.

Valamint azt is meg kell jegyezni, hogy értéke mellett a stabil terület már igen szűk,

nehéz a szabályozó paraméterek beállításával eltalálni a stabil pontot. A fenti eredményeket

úgy határoztam meg, hogy ha és értékét 0.01 pontossággal be tudjuk állítani, akkor

esetén még éppen van stabil terület, értékét 0.01-dal növelve már nincs. A szabályozó

paramétereket pedig ilyen pontosan nem mindig lehet beállítani, ezért célszerű néhány

százalékkal értéke alatt maradni.

4.5 Stabilizálás a vízszintes irányú mozgás figyelembe vételével

A mozgásegyenlet felírása során az inga alsó pontjának vízszintes irányú mozgását leíró

koordinátát kiejtettük (ld. 2.1 alfejezet), azaz csupán az inga szöghelyzete érdekelt minket, az

inga helyével, sebességével nem foglalkoztunk. Valós rendszer esetén azonban az

függvény értékét is korlátok közt kell tartani, értéke nem divergálhat, a mozgást akármekkora

pályán nem tudjuk biztosítani.

Célszerű megvizsgálni, hogy az eddig megvalósított szabályozás milyen függvényt

eredményez. Ehhez írjuk fel a 2.1 alfejezetben az ciklikus koordináta kiejtése előtt kapott

két egyenletből álló (2.7) mozgásegyenlet-rendszer egyik egyenletét:

(4.43)

Linearizáljuk az egyenletet és írjuk be helyére a kifejezést. A

kapott egyenletet -ra rendezve:

4. fejezet:


54

(4.44)

Ha az ingát stabilizáltuk, az egyenlet jobb oldala zérus lesz, így a vízszintes irányú mozgás

gyorsulása zérus lesz, ám egyenes vonalú egyenletes mozgás még kialakulhat. Ekkor azonban

lineáris függvény szerint növekszik, így nem marad korlátok között.

Az előbbi egyenlet alapján az függvényt kirajzolva a 4.18. ábra igazolja az egyenes

vonalú egyenletes mozgás kialakulását. A paramétereket úgy állítottam be, hogy -val

dimenziótlanított értékük megegyezzen a 4.10. ábra esetén látható dimenziótlan

paraméterekkel.

4.5.1 Az állapottér modell bővítése

A vízszintes irányú mozgás stabilitási problémáira megoldást jelenthet az és

jellemzők állapotvektorba való felvétele. Így a gyorsulásra felírt (4.44) egyenlet segítségével

az új állapottér főegyenlet felírható:

(4.45)

4.18. ábra: A numerikus szimuláció eredménye szögelfordulás,

szögsebesség, pozíció és sebesség kezdeti feltételekkel.

55

4. fejezet:


vagyis az új állapotvektor , az új rendszermátrix és

bementi vektor pedig:

(4.46)

Ezekkel az új paraméterekkel ugyanaz az állapot kiegészítéssel megvalósított szimuláció

létrehozható, mint a korábbi esetekben (ld. 4.2 alfejezet), csak és mérete és tagjai

változnak meg, a szimulációt megvalósító programon más módosítást nem kell eszközölni.

Eltérést jelent azonban, hogy most már becslése miatt . (Az paraméter

becslésének hibáját becslésénél vegyük figyelembe, értékét tekintsük pontosnak).

Valamint ebben az esetben már négy szabályozó paraméterrel kell számolnunk:

(4.47)

További eltérést jelent, hogy a -val való dimenziótlanítás után még maradhatnak [m] és

[1/m] dimenziójú paraméterek.

Az állapotvektor bővítését elvégezve, a szimulációt megfelelő szabályozó paraméterek

mellett futtatva stabil szabályozás érhető el, erre mutat példát a 4.19. ábra.

4.19. ábra: A vízszintes mozgás szabályozását is megvalósító numerikus szimuláció

eredménye , , és kezdeti feltételekkel.

4. fejezet:


56

4.5.2 Stabilitási térképek

Mivel a szabályozó paraméterek száma kettővel növekedett, közülük kettőt rögzíteni kell,

hogy két dimenziós stabilitási térképeket készíthessünk. Így például és rögzítésével a

síkon elkészíthető a stabilitási térkép. Különböző és értékek mellett pedig a

4.8. ábrán látotthoz hasonló térkép sorozat készíthető. Azonban a paraméterek megnövekedett

száma miatt a becslési hibák és minden szabályozó paraméter változtatásának hatása

egyszerre nem vizsgálható a térkép sorozaton. Itt már szükséges, hogy a becslési hibákat is

adottnak tekintsük.

A stabilitási határgörbék analitikus meghatározása a korábbiakhoz hasonlóan történhet.

Először be kell helyettesíteni az állapottér főegyenlet skalár egyenleteibe és a szabályozó

egyenletbe a ,

, ,

és

kifejezéseket. Majd a kapott egyenletrendszert átrendezve és -vel leosztva az alábbi alakra

kell hozni:

(4.48)

Ennek az egyenletnek mellett létezik nem triviális megoldása. Így

a rendszer karakterisztikus egyenlete a egyenlet lesz, melybe kifejezést

helyettesítve megkapjuk a D-görbéket.

Ám a számítás analitikus elvégzése meglehetősen hosszadalmas lenne, így ismét

alkalmazhatjuk a numerikus stabilitásvizsgálatot. A rendszer stabilitását továbbra is

sajátértékei döntik el, az aszimptotikus stabilitás feltétele x marad, csupán

mérete és értékei változnak meg. Azonban a szabályozatlan vízszintes irányú mozgás

esetében - amikor és - tudjuk, hogy a rendszer két zérus karakterisztikus

exponenssel rendelkezik, hiszen a vízszintes irányú mozgás időfüggvénye lineáris. Ezekhez a

pólusokhoz tartozó karakterisztikus multiplikátorok értéke egy. Ahhoz, hogy jobban

megfigyelhessük a két új szabályozó paraméter stabilitásra gyakorolt hatását, a stabilitási

térképek rajzolásánál módosítsuk a vizsgálati feltételt a x összefüggésre.

Így és esetén is megfigyelhető az új szabályozó paraméterek hatása, nem

kapunk a teljes paramétersíkon instabil területet. Egyéb esetekben pedig közelítően a

tényleges stabil területet kapjuk vissza. Ám arról nem szabad megfeledkeznünk, hogy a két új

szabályozó paraméterre mindenképp szükség van, ha stabil vízszintes irányú mozgást

szeretnénk elérni.

A stabilitási térképek tehát meghatározott , , , , és paraméterek mellett különböző

és értékek választásával a síkon elkészíthetők. Erre mutat példát a 4.20. ábra.

57

4. fejezet:


4.20. ábra: A vízszintes mozgást is stabilizáló, véges spektrum hozzárendelést alkalmazó

inverz inga szabályozás stabilitási térképei különböző szabályozó paraméterekre.

4.6 Szabályozás hatásvázlat felhasználásával

A véges spektrum hozzárendeléses szabályozás 3.1. ábrán látható hatásvázlatát Simulink

R2011b programban megépítettem. A 4.14. ábra paramétereit beállítva, a szimulációt állandó

lépésközű, ode3 megoldóval és 0.001 dimenziótlan szimulációs időlépéssel lefuttatva a 4.21.

ábrán látható eredményt kaptam. Az ábrán látható, hogy a kimenet először jól követi a 4.14.

ábrán megfigyelhető jelalakot, majd a zárt szabályozási kör instabillá válik. Ennek oka az,

hogy a hatásvázlattal történő megvalósítás instabil zérus-pólus kiejtéssel jár együtt (ld. 3.5

alfejezet).

4. fejezet:


58

4.21. ábra: A véges spektrum hozzárendelést alkalmazó inverz inga szabályozás hatásvázlat

általi megvalósításával kapott kimeneti jelalak.

Tehát e példa is azt bizonyította, hogy a szabályozás 3.5 alfejezetben bemutatott

hatásvázlat általi megvalósítását instabil rendszerekre alkalmazva nem érünk el stabil

szabályozási kört, a kimenet divergálni fog. Ha a szimulációs időlépést csökkentjük, akkor a

kimeneti függvény egyre hosszabb idő után „száll el”, ám ez a jelenség előbb-utóbb

mindenképp végbemegy. Ezért célszerűbb a 4.2 alfejezetben bemutatott diszkretizálással járó,

numerikus megvalósítási formánál maradni.

Összefoglalás

A szakdolgozat során a szabályozástechnika egy fontos témájával, a szabályozási körben

fellépő időkésés okozta problémákkal foglalkoztunk. Láthattuk, hogy az időkésés a zárt

szabályozási kör stabilitásvesztését okozhatja, illetve túlzott mértékű időkésés esetén nem

hozható létre stabil szabályozás. Továbbá azt is megfigyelhettük, hogy az időkéséssel bíró

rendszerek szabályozása végtelen dimenziós probléma: a rendszeregyenlet megoldásához

végtelen sok kezdeti értékre van szükség, illetve a rendszer végtelen sok karakterisztikus

exponenssel bír.

Az időkésés problémájára megoldásul a véges spektrum hozzárendeléses szabályozási

eljárás lehetőségét vizsgáltuk. Ezen eljárás a bemeneti időkésés hatását megoszló időkéséses

tagot tartalmazó szabályozó egyenlet segítségével kompenzálja. Láthattuk, hogy az eljárás

predikció és a megjósolt állapotok visszacsatolása révén ideális esetben előre megtervezett

dinamikával működő rendszert képes létrehozni. Azaz az időkésés miatt eredetileg végtelen

spektrummal rendelkező rendszer pólusaiból véges sokat előre tervezett értékre állít be, a

többit automatikusan megszünteti. Valamint azt is megismerhettük, hogy az eljárás

alkalmazhatóságánál a fő nehézséget a paraméterekre való érzékenység jelenti. Ahhoz, hogy

az eljárás hatékonyan működjön, szükséges, hogy a predikciónál felhasznált mért vagy

becsült rendszerparaméter és időkésés értékek a valós értékeket pontosan közelítsék.

Továbbá megvizsgáltuk, hogy a szabályozó egyenlet megoszló időkésést tartalmazó

integrálkifejezésének megvalósítása milyen problémákba ütközik. Illetve vizsgáltuk azt is,

hogy a rendszert leíró neutrális funkcionál-differenciálegyenlet stabilitásának milyen feltételei

vannak, azaz az egyenlet differencia része miként befolyásolja a rendszer stabilitását.

Valamint kitértünk a diszkretizálással kapott, szakaszonként konstans beavatkozást

megvalósító numerikus szabályozási eljárás alkalmazására is.

Emellett a szabályozási eljárás instabil rendszerek stabilizálására való alkalmazhatóságáról

is meggyőződtünk az inverz inga szabályozásának példáján keresztül. E példában részletesen

ismertetésre került a szabályozóegyenlethez tartozó stabilitási térképek elkészítése folytonos

esetben és különböző időlépések melletti numerikus közelítés esetén. Továbbá megvizsgáltuk

az inga leggyorsabb kiegyensúlyozásának megvalósítását, vízszintes irányú mozgásának

szabályozását és kritikus dimenziótlan rendszerparaméterének értékét. Utóbbi alapján az

eljárást a hagyományos PD szabályozóval is összehasonlítottuk, és beláttuk, hogy időkéséssel

bíró rendszerek stabilizálása esetén a véges spektrum hozzárendeléses szabályozás

hatékonyabb, stabilizálás szempontjából kedvezőbb tulajdonságokkal rendelkezik.

Irodalomjegyzék

[1] T. Insperger, G. Stépán and J. Turi, "Delayed feedback of sampled higher derivates,"

Philosophical Transactions of the Royal Society A, vol. 368, pp. 469-482, 2010.

[2] G. Stépán, Retarded Dynamical Systems, Longman, Harlow, 1989.

[3] T. Insperger and G. Stépán, Semi-Discretization for Time Delay Systems - Stability and

Engineering Applications, Springer, 2011.

[4] A. Z. Manitius and A. W. Olbrot, "Finite Spectrum Assignment Problem for Systems

with Delays," IEEE Transactions on Automatic Control, Vols. AC-24, no. 4, pp. 541-

553, 1979.

[5] S. Mondié, M. Dambrine and O. Santos, "Approximation of Control Laws with

Distributed Delays: a Necessary Condition for Stability," Kybernetika, vol. 38, no. 5, pp.

541-551, 2002.

[6] W. Michiels és S.-I. Niculescu, Stability and Stabilization of Time Delay Systems - An

Eigenvalue Based Approach, SIAM, 2007.

[7] K. Engelborghs, M. Dambrine and D. Roose, "Limitations of a Class of Stabilization

Methods for Delay Systems," IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 46, no. 2,

pp. 336-339, 2001.

[8] S. Mondié and W. Michiels, "Finite Spectrum Assignment of Unstable Time-Delay

Systems With a Safe Implementation," IEEE Transactions on Automatic Control, vol.

48, no. 12, pp. 2207-2212, 2003.

[9] Z. J. Palmor, Time-delay compensation-Smith predictor and its modifications. in The

Control Handbook, Chapter 10, pages 224-237, CRC and IEEE Press, New York, 1996.

[10] D. L. Kleinman, "Optimal Control of Linear Systems with Time-Delay and Observation

Noise," IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 14, no. 5, pp. 524-527, 1969.

[11] Dr. Stépán Gábor: Robotok mechanikája előadás jegyzet, Budapest, 2011/12 tavaszi

félév.

[12] Dr. Stépán Gábor: Rezgéstan előadás jegyzet, Budapest, 2010/11 tavaszi félév.

[13] Kovács Jenő: Számítógépes irányításelmélet jegyzet, Oulu, 2009.

A. függelék:

A numerikus szimulációknál alkalmazott Matlab-kódok

A 4.2, 4.3, 4.5 és 4.6 alfejezetek ábrái a Matlab R2011b program segítségével készültek. E

függelék tartalmazza a numerikus szimulációk megvalósításához és az ábrák létrehozásához

szükséges forráskódokat.

A.1 Az inverz inga mozgásegyenletének numerikus megoldása

Az alábbi sorok tartalmazzák a 4.10., 4.11., 4.12. és 4.14. ábra létrehozásához szükséges

forráskódot.

clear all close all clc

a=1.5; fi0=2/180*pi; %kezdeti szoghelyzet om0=0; %kezdeti szogsebesseg h=1; %idokeses errh=1.2; h2=errh*h; %feltetelezett idokeses err=1.2; %hiba merteke - ennyiszereset becsuljuk a valos a-nak

A=[0 1 a 0]; %rendszermatrix A2=[0 1 err*a 0]; %feltetelezett rendszermatrix b=[0 1]; %bemeneti vektor

k1=-1.2; k2=-0.4; K=[k1 k2]; %visszacsatolo vektor F=K*expm(A2*h2);

delt=0.005; %szimulacios idolepes r=round(h/delt); %idokeses idolepeseinek szama r2=round(h2/delt); %feltetelezett idokeses idolepeseinek szama

P=expm(A*delt); R=-A\b+A\expm(A*delt)*b;

if r2>0 %ha a feltetelezett idokeses nem 0, akkor leteznek a Qj skalarok Q=zeros(r2,1); %Qj skalarok eloallitasa for j=1:r2 Q(j)=F*expm(-A2*h2)*expm(A2*j*delt)*b*delt; end end

r0=max(r,r2); %max(r,r2) fogja meghatarozni FI es y meretet if r==0&&r2==0 %ha nincs keses es nem is feltetelezzuk FI=P+R*F; else FI=zeros(r0+2); %FI matrix eloallitasa: (r0+2)*(r0+2)-es if r==0 %ha nincs keses, FI oszlopai osszecsusznak, a tagok valtoznak FI(1:2,1:2)=P+R*F; for j=3:r2+2 FI(1:2,j)=R*Q(j-2); end else FI(1:2,1:2)=P; FI(1:2,r+2)=R; end

A. függelék:


62

FI(3,1:2)=F; if r2>0 %ha azt felteteleznenk, hogy nincs keses, nem lenne Qj for j=3:r2+2 FI(3,j)=Q(j-2); end end if r0+2>=4 %csak akkor lesznek egyesek FI-ben, ha r0>1 for i=4:r0+2 for j=3:r0+1 if i==j+1 FI(i,j)=1; %egyesek elhelyezese FI-ben %FI-ben a nullakat az elobbi zeros megadja end end end end end

N=4000; %idolepesek szama t0=0; %kezdeti idopont t=(t0:delt:(N-1)*delt); %idolepes felvetele

y=zeros(r0+2,N); %minden idopillanatban lesz egy r0+2 elemu oszlopvektor %elso eleme a fi(i), masodik omega(i) %a tobbi u(i-1),..., u(i-r) y(1,1)=fi0; y(2,1)=om0; %kezdeti ertekek %u-ra nem kell kulon kezdeti ertek, elobbi zeros megadja

for i=1:N-1 y(:,i+1)=FI*y(:,i); end

plot(t(1:N),y(1,1:N)*180/pi,'r','LineWidth',1.5),grid,shg; box on; title(['k_1=',num2str(k1),' k_2=',num2str(k2),10,'\Deltat=',num2str(delt),... 10,'a=',num2str(a),' h=',num2str(h),' a^~=',... num2str(err),'a h^~=',num2str(h2),'h']); xlabel('Idő'); ylabel('Az inga szögelfordulása [°]');

A.2 Az inverz inga vízszintes irányú mozgásának szabályozása

Az alábbi forráskód segítségével hozható létre a 4.19. ábra.


g=10; l=0.4; fi0=2/180*pi; %kezdeti szoghelyzet om0=0; %kezdeti szogsebesseg x0=0; %also pont kezdeti helyzete v0=0; %also pont kezdeti sebessege h=0.1; %idokeses errh=1.2; h2=errh*h; %feltetelezett idokeses err=1.2; %hiba merteke - ennyiszereset becsuljuk a valos l-nek a=6*g/l; A=[0 1 0 0 6*g/l 0 0 0 0 0 0 1 -3*g 0 0 0]; %rendszermatrix A2=[0 1 0 0 err*6*g/l 0 0 0 0 0 0 1 -3*g 0 0 0]; %feltetelezett rendszermatrix b=[0 1 0 -2*l/3]; %bemeneti vektor

63

A. függelék:


b2=[0 1 0 -2*l/3/err]; %feltetelezett bemeneti vektor

k1=-200; k2=-10; k3=-120; k4=-30; K=[k1 k2 k3 k4]; %visszacsatolo vektor F=K*expm(A2*h2);

delt=0.0005; %szimulacios idolepes r=round(h/delt); %idokeses idolepeseinek szama r2=round(h2/delt); %feltetelezett idokeses idolepeseinek szama

P=expm(A*delt); dth=delt/1000; R=[0 0 0 0]; %A nem invertalhato, az integralt numerikusan szamitom R-hez for j=0:delt/dth R=R+expm(A*(delt-j*dth))*b*dth; end

if r2>0 %ha a feltetelezett idokeses nem 0, akkor leteznek a Qj skalarok Q=zeros(r2,1); %Qj skalarok eloallitasa for j=1:r2 Q(j)=F*expm(-A2*h2)*expm(A2*j*delt)*b2*delt; end end

r0=max(r,r2); %max(r,r2) fogja meghatarozni FI es y meretet if r==0&&r2==0 %ha nincs keses es nem is feltetelezzuk FI=P+R*F; else FI=zeros(r0+4); %FI matrix eloallitasa: (r0+4)*(r0+4)-es if r==0 %ha nincs keses FI(1:4,1:4)=P+R*F; for j=5:r2+4 FI(1:4,j)=R*Q(j-4); end else FI(1:4,1:4)=P; FI(1:4,r+4)=R; end FI(5,1:4)=F; if r2>0 %ha azt felteteleznenk, hogy nincs keses, nem lenne Qj for j=5:r2+4 FI(5,j)=Q(j-4); end end if r0+4>=6 %csak akkor lesznek egyesek FI-ben, ha r0>1 for i=6:r0+4 for j=5:r0+3 if i==j+1 FI(i,j)=1; %egyesek elhelyezese FI-ben %nullakat az elobbi zeros megadja end end end end end

N=8000; %idolepesek szama t0=0; %kezdeti idopont t=(t0:delt:(N-1)*delt); %idolepes felvetele

y=zeros(r0+4,N); %minden idopillanatban lesz egy r0+4 elemu oszlopvektor %1. eleme fi(i), 2. omega(i), 3. x(i), 4. v(i) %a tobbi u(i-1),..., u(i-r) y(1,1)=fi0; y(2,1)=om0; y(3,1)=x0;

A. függelék:


64

y(4,1)=v0; %kezdeti ertekek %u-ra nem kell kulon kezdeti ertek, elobbi zeros megadja

for i=1:N-1 y(:,i+1)=FI*y(:,i); end

plot(t(1:N),y(1,1:N)*180/pi,'r','LineWidth',1.5),grid,shg; hold on; plot(t(1:N),y(3,1:N)*100,'b','LineWidth',1.5); box on; title(['k_1=',num2str(k1),' [1/s^2] k_2=',num2str(k2),' [1/s] k_3='... ,num2str(k3),' [1/ms^2] k_4=',num2str(k4),' [1/ms]',10,...

'\Deltat=',num2str(delt),' [s]',10,'l=',num2str(l),' [m] g=',...

num2str(g),' [m/s^2]',10,'a=',num2str(a),' [1/s^2]',' h=',...

num2str(h),' [s]',' a^~=',num2str(err),'a h^~=',...

num2str(errh),'h']);

xlabel('Idő [s]'); ylabel(['Az inga szögelfordulása [°]',10,... ' és vízszintes irányú pozíciója [cm]']); legend('\phi(t)','x(t)','Location','North');

A.3 A stabilitási térkép és a szintvonalas ábra numerikus elkészítése

Az alábbi programsorok felelnek a 4.7. és 4.13. ábra elkészítéséért.


a=1.5; h=1; %idokeses h2=1.2; %feltetelezett idokeses err=1.2; %hiba merteke - ennyiszereset becsuljuk a valos a-nak A=[0 1 a 0]; %rendszermatrix A2=[0 1 err*a 0]; %feltetelezett rendszermatrix b=[0 1]; %bemeneti vektor

delt=0.005; %szimulacios idolepes r=h/delt; %idokeses idolepeseinek szama r2=h2/delt; %feltetelezett idokeses idolepeseinek szama

P=expm(A*delt); R=-A\b+A\expm(A*delt)*b;

k1min=-3; k1max=1; k1osztas=0.2; k2min=-3; k2max=1; k2osztas=0.2;

k1=zeros((k1max-k1min)/k1osztas+1,1); k2=zeros((k2max-k2min)/k2osztas+1,1); ro=zeros(length(k1),length(k2));

for p=1:(k1max-k1min)/k1osztas+1 for q=1:(k2max-k2min)/k2osztas+1 k1(p)=k1min+(p-1)*k1osztas; k2(q)=k2min+(q-1)*k2osztas;

K=[k1(p) k2(q)]; %visszacsatolo vektor F=K*expm(A2*h2);

if r2>0 %ha a h2 nem 0, akkor leteznek a Qj skalarok Q=zeros(r2,1); %Qj skalarok eloallitasa for j=1:r2 Q(j)=F*expm(-A2*h2)*expm(A2*j*delt)*b*delt;

65

A. függelék:


end end if r==0&&r2==0 %ha nincs keses es nem is feltetelezzuk FI=P+R*F; else r0=max(r,r2); %max(r,r2) fogja meghatarozni FI meretet FI=zeros(r0+2); %FI matrix eloallitasa: (r0+2)*(r0+2)-es if r==0 %ha nincs keses FI(1:2,1:2)=P+R*F; for j=3:r2+2 FI(1:2,j)=R*Q(j-2); end else FI(1:2,1:2)=P; FI(1:2,r+2)=R; end FI(3,1:2)=F; if r2>0 %ha azt felteteleznenk, hogy nincs keses, nem lenne Qj for j=3:r2+2 FI(3,j)=Q(j-2); end end if r0+2>=4 %csak akkor lesznek egyesek FI-ben, ha r0>1 for i=4:r0+2 for j=3:r0+1 if i==j+1 FI(i,j)=1; %egyesek elhelyezese FI-ben %nullakat az elobbi zeros megadja end end end end end

ro(q,p)=max(abs(eig(FI))); hold on; if ro(q,p)<1 stable=plot(k1(p),k2(q),'g+');shg; else unstable=plot(k1(p),k2(q),'rx');shg; end end end

alpha=sqrt(a); alpha2=sqrt(err*a); omv=(0:0.001:30);

k1h=zeros(2); k2h=zeros(2);

hold on; for i=1:length(omv) %bonyolult gorbe rajzolasa om=omv(i);

if i==1 % elso pont szamitasa k1h(2)=-((alpha^2*alpha2^2*(alpha^2+(-alpha^2+alpha2^2)*... cosh(h2*alpha2)+alpha2*(h2*alpha^2-h*alpha2^2)*... sinh(h2*alpha2)))/(2*alpha^4-2*alpha^2*alpha2^2+alpha2^4-... 2*alpha^2*(alpha^2-alpha2^2)*cosh(h2*alpha2)+... alpha^2*alpha2*(h2*alpha^2-h*alpha2^2)*sinh(h2*alpha2))); k2h(2)=(alpha^2*alpha2*(alpha2*(h2*alpha^2-h*alpha2^2)*... cosh(h2*alpha2)+(-alpha^2+alpha2^2)*sinh(h2*alpha2)))/... (2*alpha^4-2*alpha^2*alpha2^2+alpha2^4-2*alpha^2*... (alpha^2-alpha2^2)*cosh(h2*alpha2)+alpha^2*alpha2*... (h2*alpha^2-h*alpha2^2)*sinh(h2*alpha2)); else % tobbi pontnal elozo pontbol es uj pontbol vonalszakaszt csinalok k1h(1)=k1h(2); %elozo pont a vektor elso eleme, uj pont a masodik k2h(1)=k2h(2); %ez utan jon uj pont szamitasa

if ((om*cosh(h2*alpha2)*((alpha2^2+om^2)*sin(h*om)-(alpha^2+om^2)*... sin(h2*om))+alpha2*((alpha2^2+om^2)*cos(h*om)-(alpha^2+om^2)*... cos(h2*om))*sinh(h2*alpha2))*(alpha2*cosh(h2*alpha2)*... ((alpha2^2+om^2)*sin(h*om)-(alpha^2+om^2)*sin(h2*om))+...

A. függelék:


66

om*(-(alpha2^2+om^2)*cos(h*om)+(alpha^2+om^2)*cos(h2*om))*... sinh(h2*alpha2))+(om*(alpha^2+om^2)+om*((alpha2^2+om^2)*... cos(h*om)-(alpha^2+om^2)*cos(h2*om))*cosh(h2*alpha2)-alpha2*... ((alpha2^2+om^2)*sin(h*om)-(alpha^2+om^2)*sin(h2*om))*... sinh(h2*alpha2))*(alpha2*(alpha^2+om^2)+alpha2*... ((alpha2^2+om^2)*cos(h*om)-(alpha^2+om^2)*cos(h2*om))*... cosh(h2*alpha2)+om*((alpha2^2+om^2)*sin(h*om)-(alpha^2+om^2)*... sin(h2*om))*sinh(h2*alpha2)))<0||... % nevezo ne legyen nulla ((om*cosh(h2*alpha2)*((alpha2^2+om^2)*sin(h*om)-... (alpha^2+om^2)*sin(h2*om))+alpha2*((alpha2^2+om^2)*cos(h*om)-... (alpha^2+om^2)*cos(h2*om))*sinh(h2*alpha2))*... (alpha2*cosh(h2*alpha2)*((alpha2^2+om^2)*sin(h*om)-... (alpha^2+om^2)*sin(h2*om))+om*(-(alpha2^2+om^2)*cos(h*om)+... (alpha^2+om^2)*cos(h2*om))*sinh(h2*alpha2))+... (om*(alpha^2+om^2)+om*((alpha2^2+om^2)*cos(h*om)-... (alpha^2+om^2)*cos(h2*om))*cosh(h2*alpha2)-alpha2*... ((alpha2^2+om^2)*sin(h*om)-(alpha^2+om^2)*sin(h2*om))*... sinh(h2*alpha2))*(alpha2*(alpha^2+om^2)+alpha2*... ((alpha2^2+om^2)*cos(h*om)-(alpha^2+om^2)*cos(h2*om))*... cosh(h2*alpha2)+om*((alpha2^2+om^2)*sin(h*om)-(alpha^2+om^2)*... sin(h2*om))*sinh(h2*alpha2)))>0 k1h(2)=(alpha2*(alpha^2+om^2)*(alpha2^2+om^2)*(-om*(alpha^2+om^2)+... (-om*(alpha2^2+om^2)*cos(h*om)+om*(alpha^2+om^2)*cos(h2*om))*... cosh(h2*alpha2)+alpha2*((alpha2^2+om^2)*sin(h*om)-... (alpha^2+om^2)*sin(h2*om))*sinh(h2*alpha2)))/... ((om*cosh(h2*alpha2)*((alpha2^2+om^2)*sin(h*om)-... (alpha^2+om^2)*sin(h2*om))+alpha2*((alpha2^2+om^2)*cos(h*om)-... (alpha^2+om^2)*cos(h2*om))*sinh(h2*alpha2))*... (alpha2*cosh(h2*alpha2)*((alpha2^2+om^2)*sin(h*om)-... (alpha^2+om^2)*sin(h2*om))+om*(-(alpha2^2+om^2)*cos(h*om)+... (alpha^2+om^2)*cos(h2*om))*sinh(h2*alpha2))+(om*... (alpha^2+om^2)+om*((alpha2^2+om^2)*cos(h*om)-(alpha^2+om^2)*... cos(h2*om))*cosh(h2*alpha2)-alpha2*((alpha2^2+om^2)*sin(h*om)-... (alpha^2+om^2)*sin(h2*om))*sinh(h2*alpha2))*(alpha2*... (alpha^2+om^2)+alpha2*((alpha2^2+om^2)*cos(h*om)-... (alpha^2+om^2)*cos(h2*om))*cosh(h2*alpha2)+om*... ((alpha2^2+om^2)*sin(h*om)-(alpha^2+om^2)*sin(h2*om))*... sinh(h2*alpha2))); k2h(2)=-((alpha^2+om^2)*(alpha2^2+om^2)*(alpha2*cosh(h2*alpha2)*... ((alpha2^2+om^2)*sin(h*om)-(alpha^2+om^2)*sin(h2*om))+om*... (-(alpha2^2+om^2)*cos(h*om)+(alpha^2+om^2)*cos(h2*om))*... sinh(h2*alpha2)))/((om*cosh(h2*alpha2)*((alpha2^2+om^2)*... sin(h*om)-(alpha^2+om^2)*sin(h2*om))+alpha2*((alpha2^2+om^2)*... cos(h*om)-(alpha^2+om^2)*cos(h2*om))*sinh(h2*alpha2))*... (alpha2*cosh(h2*alpha2)*((alpha2^2+om^2)*sin(h*om)-... (alpha^2+om^2)*sin(h2*om))+om*(-(alpha2^2+om^2)*cos(h*om)+... (alpha^2+om^2)*cos(h2*om))*sinh(h2*alpha2))+(om*... (alpha^2+om^2)+om*((alpha2^2+om^2)*cos(h*om)-(alpha^2+om^2)*... cos(h2*om))*cosh(h2*alpha2)-alpha2*((alpha2^2+om^2)*... sin(h*om)-(alpha^2+om^2)*sin(h2*om))*sinh(h2*alpha2))*... (alpha2*(alpha^2+om^2)+alpha2*((alpha2^2+om^2)*cos(h*om)-... (alpha^2+om^2)*cos(h2*om))*cosh(h2*alpha2)+om*... ((alpha2^2+om^2)*sin(h*om)-(alpha^2+om^2)*sin(h2*om))*... sinh(h2*alpha2))); end end if i==1 %elso pont kirajzolasa if k1min<=k1h(2)&&k1h(2)<=k1max&&k2min<=k2h(2)&&k2h(2)<=k2max Dcurve1=plot(k1h(2),k2h(2),'b'); end else %ha van elozo pont, vonalszakaszt rajzol if k1min<=k1h(1)&&k1h(1)<=k1max&&k2min<=k2h(1)&&k2h(1)<=k2max&&... k1min<=k1h(2)&&k1h(2)<=k1max&&k2min<=k2h(2)&&k2h(2)<=k2max plot(k1h,k2h,'b','LineWidth',1.5); end end end

hold on; for i=1:length(omv) %egyenes egyik felenek rajzolasa om=omv(i);

if i>1 %elozo pontbol es uj pontbol vonalszakaszt csinalok k1h(1)=k1h(2); %ha van elozo pont, akkor k2h(1)=k2h(2); %elozo pont a vektor elso eleme, uj pont a masodik end %ez utan jon uj pont szamitasa

67

A. függelék:


if err==1 %fuggoleges egyenes vegtelen meredeksege miatt kulon eset k1h(2)=-alpha^2; k2h(2)=om; else k1h(2)=om; k2h(2)=((alpha/alpha2)^2-((alpha/alpha2)^2-1)*cosh(alpha2*h2))/... (((alpha/alpha2)^2-1)*alpha2*sinh(alpha2*h2))*om+alpha^2/... (((alpha/alpha2)^2-1)*alpha2*sinh(alpha2*h2)); end if i==1 %elso pont kirajzolasa if k1min<=k1h(2)&&k1h(2)<=k1max&&k2min<=k2h(2)&&k2h(2)<=k2max Dcurve2=plot(k1h(2),k2h(2),'m'); end else %ha van elozo pont, vonalszakaszt rajzol if k1min<=k1h(1)&&k1h(1)<=k1max&&k2min<=k2h(1)&&... k2h(1)<=k2max&&k1min<=k1h(2)&&k1h(2)<=k1max&&... k2min<=k2h(2)&&k2h(2)<=k2max plot(k1h,k2h,'m','LineWidth',1.5); end end end

hold on; for i=1:length(omv) %egyenes masik felenek rajzolasa om=omv(i);

if i>1 %elozo pontbol es uj pontbol vonalszakaszt csinalok k1h(1)=k1h(2); %ha van elozo pont, akkor k2h(1)=k2h(2); %elozo pont a vektor elso eleme, uj pont a masodik end %ez utan jon uj pont szamitasa

if err==1 %fuggoleges egyenes vegtelen meredeksege miatt eset k1h(2)=-alpha^2; k2h(2)=-om; else k1h(2)=-om; k2h(2)=((alpha/alpha2)^2-((alpha/alpha2)^2-1)*cosh(alpha2*h2))/... (((alpha/alpha2)^2-1)*alpha2*sinh(alpha2*h2))*... (-om)+alpha^2/(((alpha/alpha2)^2-1)*alpha2*sinh(alpha2*h2)); end if i==1 %elso pont kirajzolasa if k1min<=k1h(2)&&k1h(2)<=k1max&&k2min<=k2h(2)&&k2h(2)<=k2max Dcurve2=plot(k1h(2),k2h(2),'m'); end else %ha van elozo pont, vonalszakaszt rajzol if k1min<=k1h(1)&&k1h(1)<=k1max&&k2min<=k2h(1)&&... k2h(1)<=k2max&&k1min<=k1h(2)&&k1h(2)<=k1max&&k2min<=k2h(2)&&... k2h(2)<=k2max plot(k1h,k2h,'m','LineWidth',1.5); end end end

leg1=[unstable,stable,Dcurve1,Dcurve2]; box on; title(['a=',num2str(a),' h=',num2str(h),' a^~=',num2str(err),... 'a h^~=',num2str(h2),'h \Deltat=0.005']); xlabel('k_1'); ylabel('k_2'); legend(leg1,'instabil vagy kritikusan stabil','aszimptotikusan stabil',... '\omega\neq0 határgörbe','\omega=0 határgörbe',... 'Location','NorthEastOutside'); hold on; plot([k1min k1max],[0 0],'k',[0 0],[k2min k2max],'k'); %tengelyek rajzolasa

[qmin,pmin] = find(ro==min(min(ro))); k1_ms=k1(pmin) %a leggyorsabb beallast biztosito kozelito k1, k2 ertekek k2_ms=k2(qmin) romin=min(min(ro)) %a leggyorsabb beallas max karakterisztikus multiplikatora

v=0.9:0.001:1.1; %a karakterisztikus multiplikatorok ertekenek kirajzolasa w=0.9:0.001:1.1; %az 1-es szintvonal jelzi a stabilitas hatarat figure; %a legkisebb erteku szintnel van a leggyorsabb beallas

A. függelék:


68

[C,H]=contour(k1,k2,ro,v,'b'); clabel(C,H,w,'Color','r','Rotation',0,'Label Spacing',500); box on; title(['a=',num2str(a),' h=',num2str(h),' a^~=',num2str(err),... 'a h^~=',num2str(h2),'h \Deltat=0.005']); xlabel('k_1'); ylabel('k_2'); grid on;

A.4 A szimuláció megvalósítása hatásvázlat alapján

A 4.21. ábra SimuLink segítségével készült. A szimulációhoz meg kell adni az , , , ,

, , , értékeket (pl. az A.1 függelékben leírt program beállításával és lefuttatásával),

be kell állítani az ode3 megoldót és a 0.001 dimenziótlan szimulációs időlépést, majd le kell

futtatni a A.1. ábrán látható blokk diagramot megvalósító SimuLink programot.

A.1. ábra: A szimulációt megvalósító SimuLink program blokk diagramja.

szakdolgozat - bme műszaki mechanikai tanszékmolnar/publication/2012_molnar_bsc_thesis.pdfsummary...

Documents