Universite Antonine Semestre-2Annee 2013-2014

Feuille 5Integrales triples

Exercice 1. Soit V le domaine :

V ={

(x, y, z) R3, x2 + y2 + (z 1)2 6 1, z 6 1} .Montrer que

Vdxdydz peut secrire sous la forme :

1. ba(

Ddxdy)dz en precisant les valeurs de a et b.

2.

D( (x,y)(x,y)

dz)dxdy en precisant les expressions de et .

Exercice 2. Calculer le volume dune sphe`re centree en O et de rayon R.

Exercice 3. Soit V = [0, 1] [0, 2] [1, 1], calculer V

x2yexyzdxdydz

Exercice 4. Calculer I1 =

Vxzdxdydz et I2 =

Vx2zdxdydz ou`

V ={

(x, y, z) R3, z 6 1, x2 + y2 6 z} .en utilisant la methode des batons et la methode des tranches.

Exercice 5. Calculer

Df(x, y, z)dxdydz ou` f(x, y, z) = z

x2+y2

et D = {(x, y, z) R3;x2 + y2 6 a2 et 0 < z < a}

Exercice 6. Soit V le volume defini par V = {(x, y, z) R3, x2 + y2 6 z 6 1} .1. Calculer le volume V.

2. Calculer

Vx2zdxdydz

Exercice 7. Soit V = {(x, y, z) R3, 0 6 x, 0 6 y, x2 + y2 + z2 6 4} .Calculer

Vxyzdxdydz

Exercice 8. Calculer

Vzx

2+y2dxdydz ou` D = {(x, y, z) R3, x2 + y2 6 4, 0 6 z 6 1} .

Exercice 9. Soit D le domaine de R3 limite par les surfaces dequations z = 25 x2 y2et le plan z = 9.En utilisant les coordonnees cylindriques, calculer

D

(5x2 + y2)dxdydz

1

Exercice 10. Calculer le centre de gravite du domaine V, de masse volumique 1, defini par

V ={

(x, y, z) R3, x2 + y2 6 1, 0 6 z 6 1} .Exercice 11. Calculer le volume de lellipsode

V =

{(x, y, z) R3, x

2

a2+y2

b2+z2

c26 1}.

On suppose que a, b et c sont des nombres reels donnes strictement positifs.

Exercice 12. Calculer le centre de gravite du domaine

V ={

(x, y, z) R3, x > 0, y > 0, z > 0, xa

+y

b+z

c6 1}.

On suppose que a, b, et c sont des constantes strictement positives et que le domaine esthomoge`ne, c.a`-d. de masse volumique constante.

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