BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM

Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar Üzleti Tudományok Intézet

Dr. Koltai Tamás

TERMELÉS- ÉS SZOLGÁLTATÁSMENEDZSMENT

oktatási segédanyag

Budapest, 2016

II

TARTALOMJEGYZÉK

1. Bevezetés ............................................................................................................. 1 1.1. Történeti áttekintés.............................................................................................. 3 1.2. A termelőrendszerek működését leíró mutatók .................................................. 6 2. Előrejelzés ............................................................................................................. 8 2.1. Bevezetés, az előrejelzési módszerek osztályozása ............................................ 8 2.2. Az állandó jellegű igény előrejelzése.................................................................. 11 2.2.1. Állandó jellegű igény előrejelzése mozgó átlaggal ............................. 12 2.2.2. Állandó jellegű igény előrejelzése exponeciális simítással ................. 15 2.2.3. A mozgó átlag és exponenciális simítás összehasonlítása ................... 19 2.3 Trend jellegű igény előrejelzése exponenciális simítással (Holt módszer) ........ 20 2.4. Szezonalitást is tartalmazó igény előrejelzése exponenciális simítással ............. 24 2.4.1. A szezonalitási együttható értelmezése ............................................... 24 2.4.2. Additív trenddel és multiplikatív szezonalítással rendelkező igény előrejelzése exponenciális simítással (Winters modell) ...................... 25 2.5. A lineáris regresszió számítás alkalmazása előrejelzési modelleknél ................. 28 2.6. Az előrejelzési hibák értékelése .......................................................................... 31 2.6.1. Az előrejelzési hiba nagyságának mutatói ........................................... 31 2.6.2. Az előrejelzési modell vizsgálata ........................................................ 33 2.7. Egy étterem forgalmának előrejelzése (esettanulmány) ..................................... 36 2.8. Összefoglalás ..................................................................................................... 41 3. Kapacitáselemzés ........................................................................................................ 43 3.1. A rövid távú kapacitáselemzés összefüggései .................................................... 43 3.1.1. Kapacitásjellemzők .............................................................................. 43 3.1.2. Rövid távú kapacitástervezés............................................................... 46 3.1.3. A tanulási görbe figyelembevétele kapacitáselemzésnél ..................... 49 3.1.4. A megbízhatóság figyelembevétele ..................................................... 52 3.2. A hosszú távú kapacitáselemzés problémái ........................................................ 55 3.2.1. A bizonytalanság figyelembevétele ..................................................... 59 3.2.2. Kapacitásbővítési stratégia vizsgálata – esettanulmány ...................... 62 3.3. Összefoglalás ...................................................................................................... 66 4. A készletgazdálkodás összefüggései .......................................................................... 67 4.1. Bevezetés, a készletgazdálkodás alapproblémája ............................................... 67 4.2. Klasszikus készletezési mechanizmusok ............................................................ 67 4.3. A készletgazdálkodás költségei .......................................................................... 70 4.4. Az optimális rendelésitétel-nagyság alapösszefüggése ....................................... 71 4.5. Az optimális rendelésitétel-nagyság érzékenységvizsgálata ............................... 75 4.5.1. Eltérés az optimális rendelésitétel-nagyságtól ..................................... 75 4.5.2. Érzékenység az adatok pontatlanságára .............................................. 77 4.6. Optimális rendelésitétel-nagyság beszállítási (termelési) rátával ....................... 79 4.7. A mennyiségtől függő árkedvezmény figyelembevétele a rendelésitétel-nagyság meghatározásánál ........................................................... 82 4.7.1. Proporcionális árkedvezmény.............................................................. 82 4.7.2. Növekmény jellegű árkedvezmény ..................................................... 86 4.8. Az utánrendelési-készletszint meghatározása ..................................................... 91

III

4.9. A biztonsági készletek meghatározása folyamatos készletvizsgálatnál .............. 95 4.10. Egy venni vagy gyártani döntési probléma vizsgálata – esettanulmány ............. 101 4.10.1. A venni vagy gyártani döntési probléma ismertetése .......................... 101 4.10.2. A venni vagy gyártani probléma megoldása ....................................... 101 4.11. Összefoglalás ...................................................................................................... 104 5. Aggregált termeléstervezés ........................................................................................ 106 5.1. A kielégítő és optimális termelési terv meghatározása – esettanulmány ............ 110 5.1.1. Állandó munkaerőszint termelési terv (A terv) ................................... 112 5.1.2. Készlet nélküli termelési terv (B terv) ................................................. 114 5.1.3. Optimális termelési terv (C terv) ......................................................... 115 5.2. Lineáris termeléstervezési modellek általános megfogalmazása ........................ 121 5.2.1. Az esettanulmány kibővítése ............................................................... 122 5.2.2. Többféle termék kapacitáskorlátok melletti gyártása a biztonsági készlet figyelembevételével ................................................................. 124 5.2.3. Termelési terv készítése nemlineáris költségfüggvény linearizálásával .................................................................................... 127 5.3. Menedzsmentdöntések a lineáris termeléstervezési modellek eredményei alapján ................................................................................................. 129 5.3.1. Az optimális megoldás meghatározása és értékelése .......................... 131 5.3.2. A célfüggvény együtthatók érzékenységvizsgálata ............................. 134 5.3.3. A jobboldali paraméterek érzékenységvizsgálata ................................ 136 5.3.4. Az esettanulmány érzékenységvizsgálati eredményeinek értelmezése 140 5.4. Termeléstervezés a sorozatindítás (átállás) költségének figyelembevételével ... 145 5.4.1. A Wagner-Whitin optimalitási kritérium ............................................ 146 5.4.2. Dinamikus programozás alkalmazása a sorozatindítás (átállás) költségét figyelembe vevő optimális termelési terv meghatározásánál ................................................................................ 149 5.4.3. A Wagner-Within optimalitási kritérium a gyártási költség figyelembevételével ............................................................................. 153 5.4.4. A Wagner-Within optimalitási kritérium erőforráskorlát figyelembevételével ............................................................................. 156 5.4. Összefoglalás ...................................................................................................... 158 6. Irodalomjegyzék ......................................................................................................... 159 7. Függelék ............................................................................................................. 161

1. BEVEZETÉS

Minden vállalkozás működéséhez három elengedhetetlen tevékenységi kör szükséges, függetlenül attól, hogy a vállalkozás termékek gyártásával, vagy valamilyen szolgáltatás nyújtásával kapcsolatos. Először is, elkerülhetetlen a vállalkozás indításához szükséges tőke előteremtése, valamint később a működéséhez szükséges pénzügyi feltételek megteremtése, amely a pénzügyi menedzsment feladata. A pénzügyi feltételek megteremtését követően elő kell állítani a terméket, illetve nyújtani kell a szolgáltatást. A termék gazdaságos gyártásáért, és/vagy a szolgáltatás megfelelő színvonalú nyújtásáért a termelésmenedzsment felel. Végezetül, a terméket és/vagy a szolgáltatást értékesíteni kell. A vevők megszerzését és megtartását célzó tevékenységek koordinálása a marketingmenedzsment feladata. Minden vállalkozás alappillére tehát a pénzügyek, a termelés és a marketing. E jegyzet témája a három említett területből a második, tehát azzal foglalkozik, hogy hogyan lehet hatékonyan és megfelelő színvonalon termékeket előállítani, illetve szolgáltatásokat nyújtani.

Bár a termelésmenedzsment nevében is benne foglaltatik, hogy a menedzsment része, mégis legtöbb feladata a menedzsment és a mérnöki tevékenységek határán helyezkedik el. Gaither szerint a termelésmenedzsment feladata „az input erőforrásokat termékekké vagy szolgáltatásokká konvertáló rendszer menedzselése” [14]. Hogy menedzselésen mit kell érteni, az Chase és Aquilanó definíciójából tűnik ki, amely szerint a termelés- és szolgáltatásmenedzsment „a vállalkozás elsődleges termékét készítő vagy szolgáltatását nyújtó termelőrendszer tervezésével, működtetésével valamint javításával” foglalkozik [9].

Ezen utóbbi megfogalmazás tartalmaz mérnöki funkciókat is, mert a termelő- és szolgáltató-rendszerek sikeres működtetése a menedzsment, míg jól működő rendszerek létrehozása elsősorban a mérnöki – az angol nyelvterületen industrial engineeringnek nevezett – tevékenységek feladata. A mérnöki munka három nagy területe (termék, technológia, rendszer) közül a termelőrendszerrel foglalkozó industrial engineering feladatát a terület szakembereinek legjelentősebb nemzetközi szervezete (IIE = Institute of Industrial Engineers) a következőképpen definiálta: Az industrial engineering az a terület, amelynek szakemberei olyan integrált gyártó- és szolgáltatórendszerek (stratégiai és műszaki) tervezésével, megvalósításával és menedzselésével foglalkoznak, amelyek az előírt műszaki paraméterek mellett, a minőség, a megbízhatóság, a karbantarthatóság valamint a működési költségek és határidők vonatkozásában is teljesítik az előírt követelményeket [34]

Az ismertetett definíciók alapján egyértelmű az átfedés a termelésmenedzsment és az industrial engineering területek között, ami nem véletlen, hiszen

– sikeresen menedzselni egy rendszert csak akkor lehet, ha valamilyen szinten tisztában vagyunk annak műszaki-technikai vonatkozásaival is,

– ugyanakkor kiválóan tervezni egy rendszert csak akkor tudunk, ha valamilyen szinten tisztában vagyunk a menedzselés alapjaival.

Ezen átfedés eredménye, hogy sokszor ugyanazon problémának két eltérő közelítéséről beszélünk, ha azt mérnök illetve menedzser vizsgálja. Egy készletgazdálkodási problémánál például a mérnöki terület a problémát leíró és megoldó modell fejlesztésére, míg a menedzsmentterület a modell információinak értelmezésére, valamint ezen információk segítségével hozható döntések végrehajtására helyezi a hangsúlyt.

A mérnöki és menedzsment vonatkozások miatt tehát a termelésmenedzsment a menedzsment és a műszaki tudományok határterületének tekinthetők, és mint ilyen a műszaki menedzsment egyik legjellegzetesebb alapterülete.

A termelésmenedzsment a menedzsment egyik funkcionális területe, amely jól elkülöníthető ismeretanyaggal rendelkezik. Ezen ismeretanyag tudományos alapját az operációkutatás képezi. Az operációkutatás a matematika egy területe, amely olyan modellek

2

felállításával és megoldásával foglakozik, amelyek célja rendszerek optimális működésének a meghatározása. Az operációkutatás – az egyik tömör definíció szerint – rendszerek optimális tervezésének és irányításának tudományos módszertana [20]. A menedzsment és az operációkutatás összefonódását a tudományos életben jól jellemzi, hogy a terület legfontosabb nemzetközi szervezete nevében egyaránt megjelenik a menedzsment és az operációkutatás (The International Federation of Operations Research and Management Science =INFORMS, www.informs.org). A menedzsment számos területe, – és ezek között hangsúlyozottan a termelésmenedzsment – az általános hiedelemmel ellentétben tehát komoly matematikai alapokra épül.

Végezetül hangsúlyozni kell, hogy az elmúlt évtizedekben a termelési rendszer értelmezése nagymértékben kitágult. Ma már nemcsak a terméket gyártó rendszert tekintjük termelőrendszernek, hanem a szolgáltatásokat nyújtó rendszereket is. Az 1.1. táblázatban felsorolt példák mind megfelelnek a korábban ismertetett Gaitheri definíciónak [14].

1.1. Táblázat: Példák termelőrendszerekre a Gaitheri definíció alapján

Rendszer Bemenő erőforrások

Komponensek Transzformáció Termék vagy szolgáltatás

Kórház betegek orvosok, ápolók, orvosi műszerek, gyógyszerek

kezelés, ápolás gyógyult paciensek

Étterem éhes vendégek

élelmiszerek, szakács, pincér, környezet

főzés, kiszolgálás

elégedett, jóllakott vendégek

Gépkocsi összeszerelő üzem

acéllemezek, motorok, alkatrészek

munkások, gépek, szerszámok

gyártás és összeszerelés

jó minőségű személygép-kocsik

Egyetem végzett középiskolások

tanárok, könyvek, osztálytermek

oktatás végzett diplomások

Áruház vásárlók kirakat, árukészlet, eladó

foglalkozás a vevővel, eladás lebonyolítása

elégedett vásárlók

Raktári elosztó központ

raktározandó áru

rakodóhelyek, raktári eszközök, dolgozók

raktározás, elosztás, adminisztráció

a rendelkezési helyre időben elérkező áru

Láthatjuk, hogy a gépkocsi-összeszerelő üzem mellett az étterem, kórház, áruház is

termelőrendszernek tekinthető. Ennek oka, hogy azok a tudományos alapok, amelyek segítségével a klasszikus termelőrendszerek hatékonyan működtethetők, sokszor változtatás nélkül alkalmazhatók szolgáltató rendszerek működtetésénél is. A terméket és szolgáltatást előállító rendszerek együttes kezelése tükröződik a témakör ismeretanyagát összefoglaló szakkönyvek, tankönyvek címeiben is. Az 1960-as évekig termelésmenedzsment (production management) elnevezés alatt a klasszikus gyártórendszerek hatékony működtetésének kérdéseivel foglakoztak. Az 1970-es évek elején megjelent szakkönyvek és tankönyvek már címükben is hangsúlyozták, hogy nem csak termékek előállításával, hanem szolgáltatások nyújtásával is foglalkoznak (production and operations management) [9]. Míg napjainkban már egyértelmű, hogy a módszerek többsége nem termék, vagy szolgáltatás specifikus és az

3

egyszerűbb szóhasználat kedvéért a címben már a mindkét területet magába foglaló operation elnevezés szerepel (operations management) [41]. Az operations management magyarra ennyire általános értelműen és félreérthetetlenül nehezen fordítható le. A fordítási probléma megoldását a magyar szerzők rendszerint három módon oldják meg:

– Az operation kifejezés fordítása helyett mindig az eredeti tartalomra utaló termelés és szolgáltatás kifejezést használják (lásd például [39],[40]).

– Az operation kifejezés tükörfordítása helyett inkább a tartalmat pontosabban leíró új fogalmakat vezetnek be. Chikán és Demeter [12] az értékteremtő folyamatok menedzsmentje kifejezés bevezetésével oldotta meg a fordítási problémát.

– Követhető továbbá a hagyományos szóhasználat a kitágult tartalom definiálása mellett. E jegyzet címe és tartalma ahhoz a konvencióhoz tartja magát, hogy a termelés kifejezés vonatkozhat termékek gyártására és szolgáltatások nyújtására is. Így a továbbiakban termelésen nemcsak a klasszikus értelembe vett gyártást, hanem szolgáltatások nyújtását is értjük.

Jóllehet az elmúlt évtizedekben a termelésmenedzsment tartalma kitágult, módszerei fejlődtek, mégis a legtöbb napjainkban újszerűnek tekintett elv (például just-in-time, TQM stb) alapja a múltban gyökerezik. A következőkben ezért először rövid áttekintést adunk a termelésmenedzsment fejlődéséről, legfontosabb múltbeli eredményeiről. Ezt követően ismertetjük a termelésmenedzsment tevékenységét értékelő működési mutatók néhány sajátosságát.

1.1. Történeti áttekintés

A termelésmenedzsment történetének, legjelentősebb eredményeinek és kiemelkedő személyiségeinek rövid felsorolása látható az 1.2. táblázatban. A termelési folyamatok tudományos alapú vizsgálatának úttörője Frederick Winslow Taylor volt, aki mérnökként egy acélipari üzemben kezdte vizsgálni a gyártási folyamatok hatékonyságának növelési lehetőségeit.

Taylor a termelési folyamat elemi részeinek javításán fáradozott, és e munka során legfontosabb eszköze a papír, a ceruza és a stopperóra volt. Többek között új lapátformát alakított ki a szén rakodásának megkönnyítésére, meghatározta, hogy nehéz darabokat milyen ütemben lehet legkevésbé fárasztóan mozgatni, de emellett például tőle származnak a forgácsolási technológiáknál a megmunkálási paraméterek beállítását meghatározó Taylor formulák is. Taylor idejében a „menedzseri“ és mérnöki feladatok még szinte teljes egészében azonosak voltak, bár Taylor a vezetői feladatok ésszerűbb felosztására is javaslatot tett. Sokéves munkájának tapasztalatait a magyarul is megjelent Principles of Scientific Management (A tudományos vezetés alapjai) című könyvében foglalta össze, melynek megjelenésétől számítjuk a termelésmenedzsment és industrial engineering szakma és tudományterület történetének kezdetét [36].

Taylor munkatársai követték a mesterük által kijelölt irányt, így fő célkitűzésük olyan egyszerű táblázatok és egyéb grafikus segédeszközök kidolgozása volt, amelyek segítségével a munkafolyamat elemi részei racionálisabbá tehetők. E tevékenység eredményeként rakta le Frank és Lillian Gilbreth a sok helyen ma is használt idő és mozdulatelemzés alapjait. A termelési folyamat végletekig történő racionalizálásának csúcsa pedig a Henry Ford által megalkotott szerelőszalag, amely mellett dolgozó minden munkás – mint egy bonyolult gépezet része – csak egy kis részfeladatot hajt végre a lehető legracionálisabban.

4

1.2. Táblázat: A termelésmenedzsment történetének fontosabb állomásai

Év Esemény, témakör Nevezetes személyiség

1911 A Principles of Scientific Management című könyv megjelenése, idő- és mozdulatelemzések, a munkavégzés tudományos jellegű tanulmányozása

Frederick W. Taylor (USA)

1911 Mozdulatelemzések, az ipari pszihológia alapjainak megteremtése

Frank és Lillian Gilbreth (USA)

1913 Mozgó szerelőszalag megvalósítása Henry Ford (USA)

1914 Tevékenységek ütemezési diagramja Henry L. Gantt (USA)

1917 Az optimális rendelési (gyártási) tételnagyság formula alkalmazása

F. W. Harris (USA)

1931 Mintavételen alapuló minőségellenőrzés, statisztikai táblák a minőségellenőrzésben

Walter Shewhart, H.F. Dodge, H.G. Romig (USA)

1927-33 Hawthorn kísérletek: a megvilágítás hatása a munkások termelékenységére

Elton Mayo (USA)

1934 Munkafolyamatok tevékenységeinek statisztikai elemzése

L.H.C. Tippett (Anglia)

1940 Komplex rendszerek problémáinak megoldása teamekben

operációkutatási csoportok alakulása (Anglia)

1947 A lineáris programozás szimplex módszere George B. Dantzig (USA)

1950-60-as évek

Az operációkutatási módszerek fejlődése: szimuláció, sorálláselmélet, döntéselmélet, matematikai programozás, hálótervezés

1970-es évek

Számítástechnikai eszközök megjelenése mindennapi használatra a termelésprogramozás, készletgazdálkodás, projektmenedzsment és az előrejelzés területén Az MRP rendszer rohamos terjedése

Joseph Orlicky Oliver Wight (USA)

1980-as évek

Automatizálás, TQM, JIT, CIM, FMS, CAD/CAM rendszerek megjelenése A termelékenységi módszerek alkalmazása a szolgáltatásban

Tai-ichi Ohno (Toyota) A.V. Feigenbaum, W.E. Deming, J.M. Juran (USA) McDonalds étterem

1990-es évek és napjaink

– korszerű termelésszervezési elvek alkalmazása a

verseny lényeges tényezője – a szolgáltatórendszerek jelentősége – operációkutatási eszközök mindennapos használata

5

Az 1910-es évek menedzserének legfontosabb segédeszközei a táblázatok és diagramok

voltak. Ezek közül mindmáig használatos a Henry Gantt nevével fémjelzett Gantt diagram, melynek segítségével erőforrások (gépek, berendezések, létesítmények) igénybevételének adatai ábrázolhatók. A Gantt diagram – korszerűbb számítástechnikai környezetbe átültetve – a termelés és projektütemezés mindmáig legfontosabb segédeszköze.

A grafikus eszközök mellett a termelésmenedzsment döntések támogatására ugyancsak az 1910-es években jelentek meg az első absztrakt modellek is. Frederick Harris optimális rendelésitétel-nagyság formuláit mind a mai napig alkalmazzák a készletgazdálkodásban. A formulák segítségével létrehozott heurisztikák és optimalizáló algoritmusok pedig a számítógépes vállalati információrendszerekben is fontos szerepet töltenek be.

Az 1930-as évek vívmánya a statisztikai módszerek megjelenése és elterjedése a mérnöki-menedzseri munkában. A statisztikai táblák, selejtkártyák a minőségszabályozás nélkülözhetetlen eszközeivé váltak. A statisztika ugyancsak tért hódított az idő- és mozdulatelemzés területén.

Az 1930-as évekre tehető Elton Mayo – az emberközpontú szervezési irányzat elindítójának – tevékenysége is. Mayo egy csapágyakat gyártó üzemben akarta javítani a csapágygolyók minőségellenőrzési folyamatát (Hawthorni kísérlet). Úgy gondolta, hogy a hibás csapágygolyók kiszűrését biztosan elősegíti a munkahely megvilágításának javítása. Ezért különféle megvilágítási körülményekkel kísérletezett, és azt tapasztalta, hogy bármit változtatott a világításon, a munkafolyamat mindenképpen javult. Ebből arra következtetett, hogy nem a megvilágítás játszotta a fő szerepet, hanem az a tény, hogy a munkások érezték, a menedzsment törődik munkakörülményeikkel. Ezzel elindult az a szellemi áramlat, melynek célja a viselkedéstudomány eredményeinek széleskörű felhasználása volt a menedzsment területén.

Az 1940-es évek a matematikai modellek kiteljesedésének, az operációkutatás kialakulásának az időszaka. Georg Danzig 1947-ben kidolgozta a szimlex módszert, amely mindmáig – többek között a termeléstervezésben alkalmazott – lineáris programozási modellek egyik leghatékonyabb megoldó algoritmusa. Az 1950-60-as évekre az operációkutatás részterületeinek kialakulása és fejlődése a jellemző. Ekkor rakják le a hálótervezés, sorbanállási modellek, matematikai programozás alapjait. A számítástechnika fejlődésének következményeként az 1970-es évekre az operációkutatás már nemcsak a tudósok magánügye, hanem a gyakorlati problémák megoldásának fontos eszköze. Ugyancsak a számítástechnika fejlődése tette lehetővé komplex termékeket gyártó rendszerek anyagszükséglet tervezésének hatékony végrehajtását a Joseph Orlitzky által kidolgozott anyagszükséglet tervezési rendszer (MRP) alkalmazásával. Az MRP rendszerek mind a mai napig alapját képezik a korszerű integrált vezetői információrendszereknek.

Az 1980-as éveket a hárombetűs jelszavak időszakának nevezik. Ekkor jelennek meg olyan fogalmak, minta a

– TQM (Total Quality Management), magyarul teljes körű minőség menedzsment, – JIT (just-in-time) gyártás, magyarul éppen időben gyártás, – FMS (Flexible Manufacturing Systems), magyarul rugalmas gyártórendszerek, – CIM (computer integrated manufacturing), magyarul számítógéppel integrált gyártás

stb. Ezek a ma is divatos jelszavak rendszerint valamilyen termelékenységet javító

menedzsment és mérnöki közös eredmény szisztematikus gyakorlati megvalósításának módszertanát jelölik.

6

Végezetül a termelésmenedzsment napjainkban végbemenő változásai közül három fontos jelenségre érdemes felhívni a figyelmet:

– A korszerű termelésszervezési elvek alkalmazása a versenyképesség meghatározó tényezőjévé vált. Ugyanazon terméket ugyanazon technológiával, de korszerűbb szervezési elvek alapján gyártva kompetitív előny érhető el a piacon. Jó példa erre a japán ipar számos ágazatánál – a just-in-time elvek alkalmazása révén – tapasztalható szinte behozhatatlan előny.

– Megnőtt a szolgáltatórendszerek súlya a gazdaságban, és ezzel együtt előtérbe került a hagyományos termelési folyamatoknál alkalmazott szervezési elvek alkalmazása szolgáltatórendszerekben. Gondoljunk például a gyorséttermekre, amelyek szervezési elvei és módszerei nagymértékben hasonlítanak a tömeggyártásra berendezkedett termelőrendszereknél alkalmazott megoldásokhoz.

– Az operációkutatás matematikai modelljei a mindennapi munkavégzés eszközeivé váltak. A számítástechnika és a szoftverek fejlődése lehetővé teszi, hogy egyszerű – szinte minden számítógépen megtalálható – táblázatkezelő rendszerekkel (például Excell) néhány másodperc alatt nagyméretű matematikai programozási feladatokat oldjunk meg. Így e módszerek ismerete és rendszeres alkalmazása ugyancsak a piaci versenyképesség fontos tényezőjévé vált.

Az itt felsorolt múltbeli eredmények nagy része e jegyzet későbbi fejezeteiben a ma alkalmazott módszerek elődje, vagy alapjaként újra szóba kerül majd.

1.2. A termelőrendszerek működését leíró mutatók

A termelésmenedzsment jegyzet bevezető fejezetében feltétlenül szólni kell azokról a mutatókról, amelyek alapján a termelésmenedzsment-döntések következményei értékelhetők. A vállalatvezetés rendszerint a vállalat pénzügyi eredményének javulásában érdekelt, ezért a pénzügyi eredményeket jellemző adatok segítségével fejezi ki követelményeit. Így a vállalatvezetés például a nyereségnövekedést, a befektetések minél gyorsabb megtérülését, a pénzáramlási (cash-flow) problémák orvoslását várja el. Egy készletgazdálkodási, vagy termeléstervezési probléma azonban sokszor nagyon távoli kapcsolatban van a vállalti nyereség alakulásával. A termelésmenedzsment-döntések közvetlenül a termelési folyamat működésére hatnak. A működést leíró mutatók három csoportba sorolhatók [18]:

– A termelt mennyiséget kifejező mutatók arra utalnak, hogy megfelelő-e a termelési folyamat által gyártott mennyiség. Ilyen mutató például a kibocsátási ráta, amely az időegység (óránként, havonta stb.) alatt gyártott mennyiség, vagy a ciklusidő, amely gyártósoroknál a két egymás után elkészült darab között eltelt átlagos idő. Nagy kibocsátási ráta esetén a termelőrendszer sokat gyárt. A ciklusidőnél ez éppen fordítva igaz. Ha sok idő telik el két végtermék kibocsátása között, akkor a termelt mennyiség valószínűleg nem túlságosan nagy.

– A készletek alakulását kifejező mutatók a termelési folyamat működtetéséhez szükséges anyagok (alapanyagok, alkatrészek, végtermékek) mennyiségére utalnak. Ha a termelési folyamat működtetéséhez magas készletekre van szükség, akkor a termelésmenedzsment vélhetőleg nem jól végzi munkáját. A készletek alakulását kifejező mutatók egyike az átlagos készletszint. A just-in-time gyártás például az átlagos készletszint csökkenését éri el egy sajátos termelésszervezési elv alkalmazásával.

– A termelési folyamat közvetlen működtetésének költsége azokat a költségeket tartalmazza, amelyet a termelésmenedzsment döntéseivel befolyásolni tud. Így ide tartozhat a

7

karbantartás, a minőségszabályozás költsége, vagy a teljesítménybérben dolgozó munkások közvetlen bérköltsége. Ugyanakkor a marketing, vagy a pénzügyi finanszírozás költsége nem használható a termelésmenedzsment döntéseinek értékeléséhez.

A működési mutatók összefüggésének jellegét az 1.1. ábra szemlélteti. Észrevehetjük, hogy a termelésmenedzsment a működési mutatók alakulását akkor befolyásolja kedvezően, ha az ábrán jelzett háromszög területe növekszik. Ha tehát a termelt mennyiség növekedésével egyidejűleg csökkennek a készletek és csökkennek a működési költségek, akkor egyértelműen javul a termelési folyamat működése. Természetesen ez az ideális állapot ritkán fordul elő, de a cél mégis a három mutató együttes javítása. Egyetlen mutatónak a többitől független kiragadása és javítása a működés egésze szempontjából gyakran kedvezőtlen eredményhez vezet. Gondoljunk például egy, csak a készletek csökkenésére koncentráló racionalizálási projektre. Ennek eredménye lehet a termelési folyamat gyakori leállása az alacsony készletszinttel esetleg együtt járó gyakori alkatrészhiány miatt. A kibocsátás tehát csökken, továbbá az állásidő növekedése és a szolgáltatásszint romlása miatti többletköltség a működési költségek növekedéséhez is vezethet. Egy mutató tehát javul, kettő pedig romlik. Hasonló példa a termelt mennyiség minden más szempontot figyelmen kívül hagyó növelése. Az állandó nagyütemű kibocsátás ésszerűtlenül magas készleteket igényelhet, továbbá a berendezések megnövekedett igénybevétele a karbantartás költségén, a munkások túlóráztatása pedig a közvetlen bérköltségen keresztül a működési költségek növekedéséhez vezethet.

1.1. Ábra: Termelőrendszerek működési mutatóinak összefüggése

A termelésmenedzsment tehát akkor hoz jó döntéseket, ha az említett három csoportba

tartozó mutatók együttes alakulása kedvező. Az ilyen döntések feltételezik a mutatók közötti összefüggések ismeretét. Ezek az összefüggések azonban lényegesen bonyolultabbak annál, mint amit az 1.1. ábra sugall. Kapcsolatuk tényleges alakulása a termelőrendszerek törvényszerűségeinek ismerete alapján állapítható meg. E jegyzet célja éppen ezen törvényszerűségek vizsgálata.

Készletek

Termelési ráta

Működési költségek

8

2. ELŐREJELZÉS

2.1. Bevezetés, az előrejelzési módszerek osztályozása

A termelésmenedzsment szinte valamennyi feladatának megoldásához nélkülözhetetlen a gyártott termék vagy nyújtott szolgáltatás iránti igény várható mennyiségének meghatározása. A kapacitások nagyságát rendszerint a várható igény alapján határozza meg a menedzsment, a szükséges alapanyag- és alkatrészkészlet a gyártott termék iránti igény alapján számítható, a termelési terv célja a jelentkező igény gazdasági szempontból kedvező kielégítése stb. Ezért elsőként célszerű tárgyalni azokat az előrejelzési módszereket, amelyek eredménye szükséges a további fejezetek problémáinak megoldásához.

Az előrejelzési módszerek köre igen tág. Előrejelzéseket az élet legkülönfélébb területein végeznek. Így a gazdasági ciklusok váltakozását, a tőzsdei árfolyamok alakulását, a fogyasztói szokások várható alakulását egyaránt előrejelzési módszerekkel vizsgálják. Nem gazdasági területről példaként az időjárás előrejelzését, valamint a földrengések várható helyének, idejének és erősségének vizsgálatát említhetjük. E fejezetnek nem célja a felsorolt valamennyi probléma megoldására alkalmas eszközök ismertetése. A termelésmenedzsment célú előrejelzés általában a rövid és középtávon (napi, heti, negyedévi stb.) jelentkező és jellegzetes „mintával” rendelkező igény várható alakulását vizsgálj. Példaként gondolhatunk egy termelőüzemre, amelynek feladata az üzem heti munkaerő-szükségletének előrejelzése. Ilyenkor azt szeretnénk kideríteni, hogy várható-e az elmúlt időszakban elvégzett feladatmennyiség növekedése a következő hetekben, szükségessé téve túlóra tervezését, vagy esetleg a munkáslétszám növelését. Hasonlóan vizsgálható egy gyorsétterem lánc munkaerő-szükséglete például a déli csúcsidőszakban, illetve a kora délutáni csendesebb órákban.

A termelésmenedzsment célú előrejelzési módszerek két nagy csoportba sorolhatók. A kvalitatív módszereket akkor alkalmazzuk, amikor nincsenek számszerű adataink az igény múltbeli alakulásáról, vagy ha van információ, de az nem alkalmas arra, hogy segítségével az igény jövőbeli alakulására következtessünk. A 2.1. ábra érzékelteti a termék életgörbe azon szakaszait, amelyekben ilyen eset fordulhat elő. A termék bevezetésének szakaszában még nincsenek múltbeli adatok, míg a hanyatlás szakaszában az ami a múltban történt, már nem alkalmas a jövő alakulásának meghatározására. Az említett szakaszokban alkalmazott jellegzetes módszerek a szakértői becslés, csoportmunka módszerek, valamint történelmi analógiák [30]. A kvantitatív módszerek az igénnyel kapcsolatos számszerű információk feldolgozására épülnek és két nagy csoportjukat különböztethetjük meg. A projektív módszerek az igény múltbeli alakulását vizsgálják és az így felismert törvényszerűséget vetítik ki a jövőbe. Például vizsgálhatjuk az elmúlt hónapok igényének alakulását egy benzinkútnál, és ebből következtethetünk arra, hogy a következő hónap forgalma mekkora lesz. E módszerek feltételezik azt, hogy ami igaz volt a múltban, az igaz lesz a jövőben is. Jellegzetes technikái a mozgó átlagok és az exponenciális simítások. A kauzális módszerek nem az igény múltbeli alakulását, hanem az igény okának alakulását vizsgálják. Megpróbálják feltárni az igény oka és az igény között fennálló számszerűsíthető törvényszerűséget, és ezt használják fel az előrejelzéshez. Példaként tekinthetjük a következő hónapban várhatóan eladható gépjármű biztosítások számának előrejelzését. Azt gondolhatnánk, hogy ha magas az autólopások száma, akkor sokan kötnek biztosítást. Megvizsgáljuk ezért, hogy az elmúlt hónapokban hogyan alakult az ellopott autók és a megkötött biztosítások száma. Ha statisztikailag igazolható kapcsolat van a két jelenség között, akkor ezt a kapcsolatot

9

felhasználhatjuk előrejelzéshez. A kauzális módszerek legfontosabb eszköze a regresszió számítás. A 2.1. ábra jól szemlélteti, hogy a kvantitatív módszerek elsősorban a termék életgörbe növekedés és érettség szakaszában használhatók. E szakaszokban rendelkezésre áll múltbeli adat az igény alakulásáról, az rövid távon jellemző az igény jövőbeni alakulására és az igénynek jellegzetes „mintája” van.

E fejezet az előrejelzés kvantitatív módszereivel foglalkozik részletesen. Ennek oka, hogy a későbbiekben ismertetésre kerülő termelésmenedzsment problémák elsősorban a termék életgörbe azon szakaszaiban kapnak nagy hangsúlyt, amelyekben kvantitatív információk rendelkezésre állnak. Ez nem azt jelenti, hogy például egy új termék bevezetésekor a készletgazdálkodás, vagy a kapacitástervezés nem igényel előrejelzési információt. E szakaszban azonban a termék elsősorban nem a jó kapacitástervezés és készletgazdálkodás eredményeként jelentkező költségelőnnyel versenyez a piacon, hanem az újszerűségéből eredő tulajdonságokkal [41].

2.1. Ábra: Az előrejelzési módszerek és a termék életgörbe

A korábbiakban említettük, hogy a termelésmenedzsment célú előrejelzés feladata a

rövid és középtávon (napi, heti, negyedévi stb.) jelentkező és jellegzetes „mintával” rendelkező igény vizsgálata. A következőkben tisztázzuk azt, hogy mit értünk „minta” alatt. A minta az igény változásának jellegzetes formáját jelöli. Hogy ezt a formát szavakba és matematikai formába tudjuk önteni, az igényt komponensekre bontjuk, és e komponensekből rakjuk össze az igény mintáját. A legjellegzetesebb igény mintákat a 2.2. ábra szemlélteti.

E mintákat úgy kapjuk, hogy az igény következő négy alapvető komponensét változó módon kombináljuk:

– Állandó (konstans) elem. Állandó (konstans) jellegű igényről akkor beszélünk, ha az igény ugyan időszakonként (naponta, hetente stb.) más és más, de a változások egy meghatározott érték körül alakulnak. Természetesen ezt a meghatározott értéket nem ismerjük, ezért végezzük az előrejelzést. Példaként gondolhatunk egy kis boltra egy lakótelep közepén. Ha a kenyérfogyasztást kívánjuk előrejelezni, és azt feltételezzük, hogy a bolt vevőköre már kialakult, akkor a kenyér iránti igény napról napra egy átlagos érték körül véletlenszerűen ingadozik. Ezt az esetet szemlélteti a 2.2. ábra A-1 mezője.

– Trend elem. Trendről akkor beszélünk, ha az igény időszakról időszakra nő (pozitív trend), vagy csökken (negatív trend). Ez a gyakorlatban azt jelenti, hogy van a vevőknek egy

Beve-zetés

Növe-kedés

Érettség Hanyatlás

Idő

Igény

Kvalitatív módszerek

Kvalitatív módszerek

Kvantitatív módszerek

Beve-zetés

Növe-kedés

Érettség Hanyatlás

Idő

Igény

Beve-zetés

Növe-kedés

Érettség Hanyatlás

Idő

Igény

Kvalitatív módszerek

Kvalitatív módszerek

Kvantitatív módszerek

10

kialakult köre, akik hasonló módon fogyasztanak minden időszakban, és vannak új vevők, akiknek a fogyasztása növekedést (trendet) okoz. Az előző bolti példánkat tekintve most arra gondolhatunk, hogy fokozatosan egyre több új lakást adnak át a lakótelepen és ezért a bolt vevőköre és így az igény is fokozatosan bővül. A bővülés lehet additív vagy multiplikatív jellegű. Additív trendnél időszakról időszakra egy meghatározott (nem ismert, de előrejelezhető) értékkel nő az igény (2.2. ábra B-1 mező), míg multiplikatív trendnél egy meghatározott (nem ismert, de előrejelezhető) szorzó fejezi ki, hogy hányszorosára nő az igény időszakról időszakra (2.2. ábra C-1 mező).

– Szezonalítás elem. Szezonalításról akkor beszélünk, ha periodikusan ismétlődő időszakokban az igény jellegzetes mértékben az átlagos igény felett, illetve alatt alakul. Ismét gondolhatunk a lakótelepi kis boltunkra, ahol megfigyelték, hogy szombaton lényegesen nagyobb az igény, mert a vásárlók hétvégére nagyobb mennyiséget vásárolnak. Más termékeknél jellegzetes szezonok lehetnek a hétvégék, téli-nyári hónapok, első és második félév stb. A jellegzetes szezonokban az igény növekedése, illetve csökkenése lehet additív, vagy multiplikatív jellegű. Additív szezonalításról akkor beszélhetünk, ha a növekedés, illetve csökkenés egy meghatározott (nem ismert, de előrejelezhető) mennyiséggel nő, illetve csökken. Az igény jellegét trend nélküli additív szezonalításnál a 2.2. ábra A-2 mezője szemlélteti. A multiplikatív szezonalításnál egy nem ismert, de előre jelezhető szorzó fejezi ki, hogy, hányszor több, illetve hányszor kisebb az igény az egyes szezonokban. A 2.2. ábra B-3 mezője például az igény jellegét additív trend és multiplikatív szezonalítás esetén szemlélteti.

2.2. Ábra: Jellegzetes igényminták

– Véletlen elem. Az előzőekben ismertetett három elem segítségével az igény jellege

meghatározható. Ez nem jelenti azonban azt, hogy az igény pontosan a 2.2. ábra valamelyik függvénye szerint alakul, csupán azt, hogy az ábrázolt függvények körül ingadozik. A véletlen elem következtében mindig egy ponthalmazt kapunk, amikor a tényleges igényt ábrázoljuk, és e ponthalmazban kell felismernünk a törvényszerűséget. Ha a véletlen elem nem lenne, akkor nem az igény előrejelzéséről, hanem az igény pontos értékének számításáról beszélnénk.

Szezonalitás

1 (nincs) 2 (additív) 3 (multiplikatív)

A (nincs)

B (additív)

C (multiplikatív)

Trend komponens

11

Hangsúlyozni kell, hogy a felsorolt négy elem az igény termelésmenedzsment célú, rövidtávra szóló előrejelzésekor rendszerint elegendő. Más területeken (marketing, közgazdaságtan) meg szokták még különböztetni a ciklikus és az autokorrelációs elemet. Számunkra azonban ezen elemek tárgyalása most nem szükséges.

A következőkben rátérünk az előrejelzési modellek vizsgálatára. Ennek keretében először bemutatjuk az állandó jellegű igény előrejelzésének lehetőségét mozgó átlaggal és exponenciális simítással. Ezt követően az additív trenddel, majd a multiplikatív szezonalitással bővített eseteket vizsgáljuk. A kauzális modellek kapcsán bemutatjuk a lineáris regresszióval történő előrejelzés alkalmazási lehetőségét, majd az előrejelzés fejezetet az előrejelzési hibák értékelési módszereinek ismertetésével és egy esettanulmány bemutatásával zárjuk.

A modellek bemutatása során egységesen az időszak jelenti az idő mérésének egységét, például napot, hetet, hónapot stb. A t időszak lehet például az 5. hét (t=5), első negyedév (t=1) stb. Az időtartam pedig több időszakot átfogó időintervallum. A következő fogalmakat és jelöléseket ugyancsak általánosan fogjuk használni:

Dt – valószínűségi változó, amely a t időszakban az igény tényleges értékét jelenti. Például 100 darab gépkocsi januárban, 220 tonna cukor az első negyedévben, 30 darab eszterga a 13. héten stb.

Ft,t+τ – valószínűségi változó, amely a t időszakban a t+τ időszakra végzett előrejelzést jelenti. Például a januárban (t=1) készített előrejelzés szerint 300 darab gépkocsi összeszerelésére lesz igény áprilisban (τ =3). A két indexel jelölt előrejelzett értéknél az első index azt fejezi ki, hogy mikor készítjük az előrejelzés, a második index pedig azt mondja meg, hogy mely időszak igényét kívánjuk előrejelezni (például F1,1+3=300).

Amikor több időszakra előre készítjük az előrejelzést, akkor több lépéses előrejelzést végzünk. Nagyon gyakran azonban az előrejelzést a soron következő időszakra végezzük. Ennek az esetnek a korrekt jelölése Ft–1,t lenne. A gyakorlatban, azonban ilyenkor elhagyjuk az első indexet, és a jelölést úgy értelmezzük, hogy az index szerinti időszakra végezzük az előrejelzést és tudjuk, hogy azt a közvetlenül megelőző időszakban végezzük. Ezt az esetet egy lépéses előrejelzésnek nevezzük és a következő módon jelöljük:

Ft – valószínűségi változó, amely a t időszak előrejelzett igényét jelenti, feltételezve, hogy a t–1 időszakban végezzük az előrejelzést. Például a februárban márciusra előrejelzett igény 300 darab gépkocsi (F3=300).

et – az előrejelzési hiba jelölésére használt valószínűségi változó, amely az előrejelzett igény és a tényleges igény különbsége (Ft–Dt, vagy Ft,t+τ–Dt+τ ).

A további, az egyes modelleknél speciálisan használt jelöléseket a modellek tárgyalása során ismertetjük.

2.2. Az állandó jellegű igény előrejelzése

Állandó (konstans) jellegű igényről akkor beszélhetünk, ha a termék vagy szolgáltatás iránti igény egy meghatározott érték körül véletlenszerűen szóródik. Természetesen ezt az értéket nem ismerjük, de a rendelkezésünkre álló múltbeli információk alapján megpróbáljuk megbecsülni. Ahogyan múlik az idő és egyre több információ áll rendelkezésünkre, a feltételezett értéket módosítjuk. Állandó jellegű igénynél az igényt, mint valószínűségi változót a következő módon írjuk le:

{ } { } 2;0 σ=ε=εε+µ= tttt VARED

12

ahol µ az igény nem ismert konstans értéke, εt pedig a konstans értéktől való eltérés a t időszakban. Az eltérés várható értéke zéró, jelezve azt, hogy az igény tényleg egy állandó érték körül szóródik. E szóródás mértékét a σ2 jelöli, amely a tényleges igény szórásnégyzete, és az igényre vonatkozó múltbeli adatok statisztikai kiértékelésével határozható meg.

Az állandó (konstans) jellegű igény előrejelzésének problémáját szemlélteti a 2.3. ábra. A múltbeli igény alakulását ismerve (az ábrán lévő ponthalmaz) és a t–1 időszakban tartózkodva szeretnénk előrejelezni az igényt a t időszakra, illetve többlépéses előrejelzés esetén a t+τ időszakra. Az állandó jellegű igény előrejelzésére a következőekben két módszert ismertetünk.

2.3. Ábra: Állandó (konstans) jellegű igény előrejelzése

2.2.1. Állandó jellegű igény előrejelzése mozgó átlaggal

A 2.3. ábrát megvizsgálva célszerűnek tűnhet a pontok közé egy egyenest „jó helyre” berajzolni és azt használni előrejelzett értéknek (lásd a szaggatott vonalat). Ez a vonal akkor lesz jó helyen, ha a pontok a lehető legkisebb mértékben szóródnak az egyenes körül.

Ennek érdekében határozzuk meg az egyenes helyét úgy, hogy a pontok egyenestől mért távolságnégyzeteinek átlaga (átlagos hibanégyzet, ÁHN) a lehető legkisebb legyen, tehát keressük az alábbi összefüggés F szerinti minimumát:

)2(1

)(1 2

1

2

1

2i

N

ii

N

ii DFDF

NDF

NÁHN +−⋅=−⋅= ∑∑

==

Az átlagos hibanégyzet függvényt F szerint deriválva és zéróval egyenlővé téve kapjuk meg azt az értéket, amely körül a 2.3. ábra pontjai csak kis mértékben szóródnak.

( ) ∑∑==

⋅=→=−⋅=∂

∂ N

ii

N

ii D

NFDF

NF

ÁHN

11

1022

1

Az eredményből látható, hogy az elmúlt időszak átlagainak kiszámításával kapjuk meg azt az értéket, amely körül a pontok a legkisebb mértékben szóródnak.

Gyakorlati szempontból azonban nem lenne kedvező valamennyi múltbeli időszak igényét felhasználni az előrejelzéshez, mert akkor nagyon régi, a mostani igényre már esetleg kevésbé jellemző adatokat is fegyelembe vennénk. Ezért végezzük az előrejelzést úgy, hogy mindig számítsuk a legutolsó (legfrissebb) N igényadat átlagát. Az így számított értéket nevezik mozgó átlagnak, amely szerint tehát a t időszak egylépéses előrejelzése a következő:

( )Nttt

Nt

tiit DDD

ND

NF −−−

−

−=

+++⋅=⋅= ∑ K211

11

A t időszak elteltével megismerjük annak tényleges igényét és a t+1 időszak igényére új előrejelzést készítünk, elhagyva a legrégebbi (Dt–N) és figyelembe véve a legfrissebb (Dt)

t–1 t t+τ idő

Igény

Dt--1

Dt–1–F

τ

13

információt. A mozgó átlag alapján aktualizált előrejelzés a t+1 időszakra a következő módon alakul:

( ) [ ]Nttt

Nt

tiNtitNttt

Nt

tiit DD

NFDDD

NDDD

ND

NF −

−

−=−+−−

+−

=+ −⋅+=

−+⋅=+++⋅=⋅= ∑∑1111

111

1

1 K

Látható, hogy az aktualizálás a legfrissebb és legrégibb igényadat különbsége alapján történik. Ebből az következik, hogy minél nagyobb N értéke, annál kisebb mértékben módosítjuk az előző időszak előrejelzését. Logikusan vetődik fel a kérdés, hogy hány adatot vegyünk figyelembe a mozgó átlag számításakor, azaz mekkorára válasszuk meg N értékét a gyakorlatban? A válaszadáskor a következő szempontokat kell figyelembe venni:

– Nagy érték választásakor a sok adat alapján számolt átlagban elvész a kiugróan nagy (vagy alacsony) igény jelentősége. Ilyenkor elkerüljük a túlreagálást, például kapacitásbővítést egyszeri nagy igény véletlenszerű jelentkezése esetén. Ugyanakkor nagy N választása kedvezőtlen is lehet, mert nem teszi lehetővé a rugalmas reagálást a vevők igényeinek változására. A nagy érték választásakor arra építünk, hogy az igény konstans jellegű, tehát az előrejelzett értéktől felfelé és lefelé eltérő igények hosszú távon kiegyenlítik egymást. A nagy N választásakor számított előrejelzett igény egy egyenletes termelési tervet motivál, aminek az a következménye, hogy egy adott időszak megnövekedett igényét esetleg csak sokkal később fogjuk tudni kielégíteni, ha azt a vevő hajlandó megvárni.

– Kis érték választásakor az igénynek a konstans elem körüli szóródása hangsúlyosan fog megjelenni az előrejelzésben. Minél kisebb értéket választunk N-re, annál nagyobb mértékben fogja követni az előrejelzés a vevői igények véletlenszerű változását. Ilyenkor egy adott időszak kiugróan magas igényét már a következő néhány időszak többlettermeléséből is ki tudjuk elégíteni. Természetesen az állandóan nagymértékben, az igény változását követő előrejelzésnek kedvezőtlen következményei lehetnek a készletgazdálkodás, kapacitás és termeléstervezés területén.

Az N értékének megválasztásakor tehát a vevők, valamint a termelő vagy szolgáltató rendszer sajátosságait, továbbá a menedzsment politikáját egyaránt figyelembe kell venni.

Konstans jellegű igény feltételezésekor azt gondoljuk, hogy az igény egy meghatározott érték körül véletlenszerűen ingadozik. Ezt a meghatározott értéket próbáljuk előrejelezni, és ahogy újabb és újabb információhoz jutunk (megismerjük az igény tényleges alakulását az időszakok elteltével), módosítunk az előrejelzésen. Ezért nem azonos Ft értéke Ft+1 értékével. Mi történne, ha több lépéses előrejelzést végeznénk, például már a t–1 időszakban meg szeretnénk mondani az igény várható alakulását a t+1 időszakban. Keressük tehát Ft–1, t+1 értékét. Miután az igény konstans jellegű, a t–1 időszakban a t időszakra várt igény indokoltan várható a t+1 időszakra is, tehát Ft–1, t+1= Ft. A t–1 időszakból nézve tehát ugyanazt az előrejelzést adjuk valamennyi további időszakra. Általánosan fogalmazva: Ft–1,t+τ = Ft. Hangsúlyozni kell még egyszer, hogy ez a megállapítás az igény konstans jellegének a feltételezéséből következik.

Vizsgáljuk meg a továbbiakban a mozgó átlaggal kapott előrejelzés előrejelzési hibájának két fontos statisztikai tulajdonságát.

1. Az előrejelzési hiba várható értéke a következő módon alakul:

{ } { } { } { } { }

{ } { } { }[ ] { } 011

1

21

1

=µ−µ⋅=−+++⋅=

=−

⋅=−=−=

−−−

−

−=∑

NN

DEDEDEDEN

DEDN

EDEFEDFEeE

tNttt

t

Nt

tiittttt

K

14

A levezetés arra a feltételezésre épül, hogy a Dt várható értéke mindig a nem ismert µ. Az eredményből látható, hogy az előrejelzési hiba várható értéke zéró, tehát ha az igény konstans jellegű, akkor hosszú távon végezve az előrejelzést mozgó átlaggal, nem követünk el szisztematikus hibát. Természetesen ez nem jelenti azt, hogy az egyes időszakokban nem lesz előrejelzési hiba, csupán azt jelzi, hogy az igények túl-, illetve alábecslései hosszú távon kiegyenlítik egymást.

2. Az előrejelzési hiba szórásnégyzete a következő összefüggés alapján számítható:

{ } { } { } { } { }

{ } { } { }[ ] { }

+⋅σ=σ+σ⋅=

=++++⋅=

=+

⋅=+=−=

−−−

−

−=∑

NN

N

DVARDVARDVARDVARN

DVARDN

VARDVARFVARDFVAReVAR

tNttt

t

Nt

tiittttt

11

1

1

1

2222

212

1

K

A kapott összefüggés kapcsolatot teremt az előrejelzési hiba szórásnégyzete és az igény szórásnégyzete között. Az eredményből látható, hogy N=∞ esetén az előrejelzési hiba és az igény szórásnégyzete megegyezik, továbbá kis értékű N esetén az előrejelzési hiba szórásnégyzete nagyobb lesz, mint az igény szórásnégyzete. N=1 esetén, tehát az igényt egy időszak késéssel követve, az előrejelzési hiba szórásnégyzete az igény szórásnégyzetének duplájára nő. Statisztikailag tehát N-re nagy érték választása a kedvezőbb, de természetesen ez ellentmondhat a korábban említett menedzsment szempontoknak.

A továbbiakban egy egyszerű példán szemléltetjük a mozgó átlaggal történő előrejelzés

működését a gyakorlatban (2.1. Táblázat). Egy repülőgépmotorokat javító üzem munkaerő-gazdálkodás céljából szeretne negyedéves előrejelzést készíteni a javítandó motorok számának várható alakulásáról. Három negyedévre visszamenőleg ismert az igény tényleges értéke, amely rendre 200, 250, 175.

2.1. Táblázat: Példa előrejelzésre mozgó átlaggal

Negyedév Dt MA(3) et MA(6) et

1 200 2 250 3 175 4 186 208,33 22,33 5 225 203,67 -21,33 6 285 195,33 -89,67 7 305 232,00 -73,00 220,17 -84,83 8 190 271,67 81,67 237,67 47,67 9 260,00 227,67

A negyedik negyedévre három negyedévi mozgó átlaggal végezve az előrejelzést (N=3) a

következő értéket kapjuk.

( ) ( ) darab20833,2081752502003

1

3

13214 ≈=++=++= DDDF

A harmadik negyedévben a következő év első negyedévére (ötödik negyedévre) készített előrejelzés megegyezik a negyedik negyedévre kapott értékkel:

15

darab 20845,3 == FF

A negyedik negyedév elteltével azt tapasztaljuk, hogy ténylegesen 186 darab motort kellett megjavítani. Az előrejelzési hiba, tehát a negyedik negyedévben a következő: darab22186208444 =−=−= DFe Az új információ birtokában módosíthatjuk a következő év első negyedévére (ötödik negyedévre) készített előrejelzést:

( ) ( ) darab20467,2031861752503

1

3

14325 ≈=++=++= DDDF

Az előrejelzések és előrejelzési hibák alakulását három (N=3) és hat (N=6) negyedévi mozgó átlagokkal számolva a 2.1. táblázat tartalmazza. A 2.4. ábra pedig a tényleges igény és az előrejelzett igény alakulását szemlélteti. A táblázat adatai, valamint az ábra alapján egyaránt látható, hogy nagyobb N esetén az előrejelzés sokkal egyenletesebb, kevésbé követi az igény véletlenszerű változását.

2.4. Ábra: Az előrejelzés alakulása N=3 és N=6 értékeknél

2.2.2. Állandó jellegű igény előrejelzése exponeciális simítással

Exponenciális simításkor az előrejelzett igény a közvetlenül megelőző időszak tényleges igényének és előrejelzett igényének súlyozott átlaga, tehát ( ) 101 11 ≤α≤⋅α−+α= −− ttt FDF Az α tényezőt simítási konstansnak (simítási együtthatónak) nevezik, és értékét a menedzsment 0 és 1 között szabadon választhatja meg. A fenti összefüggés átalakításával érthetőbbé tehető a simítási konstans szerepe. Az egyenlet átrendezése, valamint az előrejelzési hiba összefüggésének felhasználása után a következő képletet kapjuk: ( ) 11111 −−−−− α−=−α−= tttttt eFDFFF A t időszakra végzett előrejelzés tehát az előző időszak előrejelzésének módosítása az elkövetett előrejelzési hiba egy meghatározott részével. Az α megválasztásán keresztül a menedzsment határozza meg azt, hogy milyen mértékben kell módosítani az előrejelzést. Szélsőséges esetben, α=1 értéknél olyan mértékben változtatjuk az előrejelzést, amilyen mértékű a hiba volt, tehát az előrejelzett érték a közvetlenül megelőző időszak tényleges igénye lesz. Ha pedig α=0, akkor nem változtatunk az előrejelzésen, nem követjük az igény véletlenszerű váltakozását arra gondolva, hogy konstans jellegű igénynél az alá- és fölébecsült igények hosszú távon úgyis kiegyenlítik egymást. Az α=1 közelébe eső értékek tehát igénykövető, míg az α=0 közelébe eső értékek stabil előrejelzést jelentenek a gyakorlatban. Ezen megfontolások alapján érthető, hogy az exponenciális simításnál alkalmazott α szerepe hasonló a mozgó átlagnál alkalmazott N szerepéhez. Mozgó átlagnál a nagy értékű N-hez

0

50

100

150

200

250

300

350

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Igény MA(3) MA(6)

16

tartozó előrejelzés jellege hasonló lesz az exponenciális simítás zéró közeli simítási konstansnál kapott előrejelzéséhez.

Több lépéses előrejelzéskor az exponenciális simításnál ugyanazok a megfontolások érvényesek, mint a mozgó átlagnál. Ha konstans jellegű igényt feltételezünk, akkor Ft–1, t+τ= Ft, tehát a t–1 időszakból nézve ugyanazt az előrejelzést adjuk valamennyi további időszakra.

Vizsgáljuk meg a következőekben, hogy miért hívják e módszer exponenciálisnak. A t időszak előrejelzését a megelőző t–1 időszak előrejelzett igényének felhasználásával számítjuk, amelyet viszont a t–2 időszak előrejelzett igényének felhasználásával kapunk, és így tovább. Részletesen beírva e számításokat az exponenciális simítás alapösszefüggésébe, a következő eredmény adódik:

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 00

13

221

33

32

2122

21

22111

111111111

111

FDDDDFDDDFDD

FDDFDF

ttttt

ttttttt

tttttt

αααααααααααααααααα

αααααα

−+−++−+−+==−+−+−+=−+−+=

=−+⋅−+=−+=

−−−−

−−−−−−−

−−−−−

K

Az összefüggésből látható, hogy ha több időszakon keresztül egymás után exponenciális simítással végezzük az előrejelzést, akkor az exponenciális simítás összefüggésében implicit módon szerepel valamennyi múltbeli igény exponenciálisan csökkenő súlyszámokkal. Az átalakított összefüggés tömörebben a következő módon írható:

( ) ( ) 01

1

0

11 FDF tit

t

i

it α−+α−α= −−

−

=∑

Az exponenciálisan csökkenő súlyszámok összege t→∞ esetén, tehát ha hosszú időn át végezzük az előrejelzést exponenciális simítással, egy mértani sor összege:

( ) ( ) ( ) 111

111

00

=α−−

⋅α=α−⋅α=α−α ∑∑∞

=

∞

= i

i

i

i

A súlyszámok összege végtelen hosszú időtartamra pontosan, ennél rövidebb időtartamra pedig közelítőleg 1. Az exponenciális simítással történő előrejelzés tehát úgy fogható fel, mint a múltbeli igények súlyozott átlaga, ahol a súlyszámok exponenciálisan csökkennek. Ez a csökkenés 1-hez közeli α értéknél gyorsabb, míg 0-hoz közeli α értéknél lassabb. Ez a megállapítás összhangban van azon korábbi következtetésünkkel, hogy 1-hez közeli α az igény változását jobban követő előrejelzést eredményez. Ilyenkor nyilván a régebbi adatoknak kisebb jelentősége van az igény előrejelzésekor, ami matematikailag a régebbi igények kisebb súlyszámában nyilvánul meg. A súlyszámok változását az idő függvényében a 2.5. ábra szemlélteti. Észrevehetjük, hogy ha α értéke 0,9, akkor a múltbeli adatok súlya már néhány időszak után zéró közelében lesz.

2.5. Ábra: A súlyszámok változása

0,000

0,020

0,040

0,060

0,080

0,100

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91

alpha=0,9alpha=0,1

17

Az exponenciális simítás részletesen kifejtett összefüggésének utolsó tagja (1–α)tF0. E tagban F0 egy olyan induló előrejelzés, amelyet az előrejelzés kezdete előtti adatok alapján kell meghatározni. Az F0 érték meghatározását az előrejelzési modell inicializálásának nevezik. Az F0 érték helyes megválasztásának zéróhoz közeli α esetén különös jelentősége van, mert ilyenkor az (1–α)t tag sokáig nagy értéket eredményez, ezért az F0 kezdő érték sokáig befolyásolja az előrejelzést. Az exponenciális simítási modellek inicializálási technikáira a későbbiekben még visszatérünk.

Vizsgáljuk meg a továbbiakban az exponenciális simítással kapott előrejelzés előrejelzési hibájának két fontos statisztikai tulajdonságát.

1. Az előrejelzési hiba várható értéke a következő módon alakul:

{ } { } { } { }( ) ( ) ( ){ } { }

{ } ( ) { } ( ) { } ( ) { }[ ] { }( ) ( )[ ] ( ) 00111

111

111

01

001

21

001

21

=µ−+µ≈µ−α−+α−α++α−α+α⋅µ=

=−α−+α−α++α−α+α=

=−α−+α−α++α−α+α=

=−=−=

−

−−−

−−−

F

DEFEDEDEDE

DEFDDDE

DEFEDFEeE

tt

ttt

tt

ttt

tt

ttttt

K

K

K

Az előrejelzési hiba várható értéke zéró, tehát ha az igény konstans jellegű, akkor hosszú távon végezve az előrejelzést exponenciális simítással nem követünk el szisztematikus hibát. Természetesen ez nem jelenti azt, hogy az egyes időszakokban nem lesz előrejelzési hiba, csupán azt jelzi, hogy az igények túl-, illetve alábecslései hosszú távon kiegyenlítik egymást.

2. Az előrejelzési hiba szórásnégyzete a következő összefüggéssel számolható:

{ } { } { } { }( ) ( ) ( ){ } { }

{ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }[ ] { }( ) ( ) ( )[ ] ( ) { }

( ) ( ) ( )[ ] ( ) { }( )

α−σ=

+

α−αασ=

=σ+α−−

σα≈σ+α−+α−++α−+σα=

=σ+α−+σα−α++σα−α+σα=

=+α−+α−α++α−α+α=

=+α−+α−α++α−α+α=

=+=−=

−

−

−−−

−−−

2

21

2

11

11111

111

111

111

22

22

22

2220

2222

20

2212222222

001

21

001

21

1

FVAR

FVAR

DVARFVARDVARDVARDVAR

DVARFDDDVAR

DVARFVARDFVAReVAR

t

tt

ttt

tt

ttt

tt

ttttt

t

K

K

K

K

A kapott összefüggés kapcsolatot teremt az előrejelzési hiba szórásnégyzete és az igény szórásnégyzete között. Az eredményből látható, hogy α=0 értéknél az előrejelzési hiba és az igény szórásnégyzete megegyezik, továbbá α növekedésével az előrejelzési hiba szórásnégyzete nagyobb lesz, mint az igény szórásnégyzete. Ha pedig α=1, akkor az előrejelzési hiba szórásnégyzete az igény szórásnégyzetének duplájára nő. Statisztikailag tehát α-ra zéróhoz közeli érték választása a kedvezőbb, de természetesen ez ellentmondhat a korábban említett menedzsment szempontoknak.

A továbbiakban egy egyszerű példán szemléltetjük az exponenciális simítással történő előrejelzés működését a gyakorlatban. Ismét tekintsük a repülőgépmotorokat javító üzemet, amely munkaerő-gazdálkodás céljából szeretne negyedéves előrejelzést készíteni a javítandó motorok számának várható alakulásáról. Feltételezzük, hogy ismert az első negyedévi tényleges igény, melynek értéke 200 darab motor. A simítási konstans értéke legyen 0,1.

18

A második negyedévi igény meghatározásához egy kezdőérték választása szükséges (inicializálás). Egyéb információ hiányában legyen a kezdő előrejelzési érték egyenlő az első negyedév igényével, tehát F1=200. Ez a gyakorlatban nem feltétlenül szerencsés választás, de egyéb információ hiányában alkalmazható. Ekkor a második negyedévi előrejelzés a következő módon alakul: ( ) ( ) darab 2002001,012001,01 112 =⋅−+⋅=α−+α= FDF Az első negyedévben minden további negyedévre ez marad az előrejelzés, tehát darab 20021,1 ==τ+ FF

A második negyedév elteltével azt tapasztaljuk, hogy ténylegesen 250 darab motort kellett megjavítani. Az előrejelzési hiba tehát a második negyedévben a következő: darab50200250222 =−=−= DFe Az új információ birtokában módosíthatjuk a harmadik negyedévére készített előrejelzést: ( ) ( ) darab 2052001,012501,01 223 =⋅−+⋅=α−+α= FDF A második negyedévben a harmadik negyedévre készített előrejelzés azért magasabb az első negyedévben kapott értéknél, mert a második negyedévi tényleges igény az előrejelzettnél nagyobb volt. Az előrejelzés módosítása azért csak kis mértékű (5 darab), mert α zéróhoz közeli választása az igény véletlenszerű változásának csak kis mértékű követését teszi lehetővé.

Az előrejelzések, valamint az előrejelzési hibák alakulását α=0,1 és α=0,7 simítási konstansokkal számolva a 2.2. táblázat tartalmazza.

2.2. Táblázat: Példa előrejelzésre exponenciális simítással

Negyedév Dt EXP(0,1) et EXP(0,7) et

1 200 200,00 0 200,00 0 2 250 200,00 -50,00 200,00 -50,00 3 175 205,00 30,00 235,00 60,00 4 186 202,00 16,00 193,00 7,00 5 225 200,40 -24,60 188,10 -36,90 6 285 202,86 -82,14 213,93 -71,07 7 305 211,07 -93,93 263,68 -41,32 8 190 220,47 30,47 292,60 102,60 9 217,42 220,78

A 2.6. ábra pedig a tényleges igény és az előrejelzett igény alakulását szemlélteti.

2.6. Ábra: Az előrejelzés alakulása α=0,1 és α=0,7 értékeknél

0

50

100

150

200

250

300

350

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Igény 0,10 0,7

19

A táblázat adatai, valamint az ábra alapján egyaránt látható, hogy kisebb α értéknél az előrejelzés sokkal egyenletesebb, kevésbé követi az igény véletlenszerű változását.

Végezetül térjünk vissza egy megjegyzés erejéig α értékének megválasztásához. Az előzőekben bemutattuk, hogy milyen menedzsment szempontok indokolhatják a kisebb, illetve nagyobb érték választását. A simítási konstans értéke azonban matematikai alapon is választható. Tételezzük fel, hogy ismert az elmúlt K darab időszak tényleges igénye és az előrejelzést csak a K+1 időszaktól kezdve végezzük. Ilyenkor választhatunk egy a múltbeli adatokra jól illeszkedő simítási konstanst. Ehhez az első időszaktól a K időszakig írjuk fel az előrejelzés képletét α függvényében, tehát határozzuk meg az Fi i=1,…,K számításához szükséges összefüggéseket egy önkényesen felvett F0 segítségével. Miután ismertek a Di i=1,…,K értékek, az előrejelzési hiba összefüggései is felírhatók α függvényében. Az így kapott ei= Fi–Di i=1,…,K összefüggések részletesen kifejtve a következők:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) 0

1011

02

0122

01

02

13

211

001

12

21

1

11

111

1111

FDDe

FDDDe

FDDDDe

FDDDDDeKKK

KKK

KKKKKKK

α−+α+−=α−+α−α+α+−=

α−+α−α+α−α++α+−=α−+α−α+α−α++α−α+α+−=

−−−−−−

−−−−

MMMMMMMM

L

L

Valamennyi felírt előrejelzési hiba α és F0 függvénye. F0 értékét szabadon megválasztva és a hibanégyzetek összegének minimalizálását célul tűzve ki a következő szélsőérték keresési feladatot kapjuk:

( )α=∑=

fMINeMINK

ii

1

2

E feladatot numerikus módszerekkel megoldva, α-ra egy olyan értéket kapunk, amely jól illeszkedik az elmúlt K számú időszak tényleges igényéhez. Ezt az eljárást nem csak az előrejelzés megkezdése előtt végezhetjük el, hanem időről időre, az előrejelzés előrehaladtával számíthatunk egy olyan α értéket, amely jól illeszkedik az összegyűlt adatokra. E módszert adaptív előrejelzésnek hívják, és lényege, hogy α értéke az előrejelzés során változik, ha azt az összegyűlt adatok indokolttá teszik.

2.2.3. A mozgó átlag és exponenciális simítás összehasonlítása

Hasonlítsuk most össze a konstans jellegű igény előrejelzésére ismertetett két módszert annak érdekében, hogy el tudjuk dönteni, mikor melyiket érdemes alkalmazni. Először tekintsük át a hasonlóságokat.

– Mindkét módszernél fontos megjegyezni, hogy konstans igény előrejelzésére alkalmas, tehát olyan esetekre, amelyeknél az igény egy meghatározott, de nem ismert érték körül véletlenszerűen változik. Ha ez nem így van, akkor e módszerek hibás előrejelzést adnak. Könnyen belátható, hogy mindkét módszer hasonlóan reagál, ha tévesen, trenddel rendelkező igénynél alkalmazzuk. Miután mindkét módszer az előrejelzéshez felhasznál múltbeli adatokat, az igény növekedésekor (pozitív trend) a múltbeli adatok visszahúzzák az előrejelzés értékét. Mindkét módszer előrejelzése tehát lemarad a pozitív trend mögött (alábecslés), illetve a negatív trend előtt halad (túlbecslés).

– Mindkét módszer egy paraméteres, tehát a menedzsment egy paraméteren keresztül érvényesítheti szempontjait. A mozgó átlagnál az előrejelzésnél figyelembe vett időszakok számának (N) meghatározásával, az exponenciális simításnál pedig a simítási konstans (α)

20

megválasztásával kaphatunk igény követőbb, vagy egyenletesebb előrejelzést. Azt is megfigyelhetjük, hogy az előrejelzési hiba várható értéke mindkét módszernél zéró, a szórás viszont mindkét módszernél az említett paraméterektől függ és e paraméterekre hasonlóan reagál. A két előrejelzési szórásnégyzet összefüggést egyenlővé téve megtudhatjuk, hogy a paraméterek mely értékeinél statisztikailag egyenértékű a két módszer eredménye:

α−

=σ=+=σ2

211 22

EXPMA N

A kapott összefüggésből α az N függvényében, illetve N az α függvényében kifejezhető. Az átalakítást elvégezve, a következő összefüggéseket kapjuk:

α

α−=+

=α 2illetve,

1

2N

N

Az összefüggések alapján például azt mondhatjuk, hogy egy három időszak alapján készített mozgó átlag előrejelzés (N=3) egy α=0,5 simítási konstansú exponenciális simítás előrejelzésével egyenértékű. Ez nem jelenti azt, hogy a két módszer számszerűen azonos előrejelzést ad, de az előrejelzési hiba szórása és várhatóértéke alapján az előrejelzések statisztikailag egyenértékűek lesznek.

Tekintsük át most a két módszer lényeges különbségeit. – Az egyik legfontosabb különbség az adatigény. Míg a mozgó átlag az elmúlt N számú

időszak tényleges igényét használja fel, addig az exponenciális simítás csak a közvetlenül megelőző időszak igényadatával számol. Az exponenciális simítás tehát lényegesen kevesebb adatot igényel. A korszerű számítástechnikai eszközök ennek jelentőségét megkérdőjelezik, de az adatokkal kapcsolatban szervezési szempontok is felmerülnek. Gondoljunk például egy bevásárlóközpontra, amelyben mozgó átlaggal végzik az előrejelzést több tízezer termékre a legutolsó száz nap adatai alapján. Ilyenkor a nagy adatmennyiség tárolása mellett az adatok pontos felvétele és karbantartása is nehézséget okozhat.

– A másik lényeges eltérés a múltbeli adatok súlya. A 2.3.2. fejezetben megállapítottuk, hogy az exponenciális simítással készült előrejelzés implicit módon valamennyi múltbeli adatot figyelembe veszi exponenciálisan csökkenő súllyal. A mozgó átlag ugyanakkor az elmúlt N időszak igényét veszi figyelembe azonos (1/N) súllyal. A menedzsmentnek kell eldöntenie, hogy a jövőbeli igény alakulására mi a jellemzőbb. Egyformán fontos-e az, ami az elmúlt néhány időszakban történt, vagy egyre kevésbé fontos az, ami a múltban történt. Itt meg kell jegyezni, hogy a mozgó átlag alkalmazhat eltérő súlyokat az elmúlt N időszak adataira. Ezt a módszert súlyozott mozgó átlagnak nevezik [9].

2.3 Trend jellegű igény előrejelzése exponenciális simítással (Holt módszer)

Trend jellegű igénynél az igény fokozatosan nő, vagy csökken. Ahhoz, hogy ebben az esetben előrejelzést tudjunk készíteni, a növekedés (vagy csökkenés) jellegéről valamilyen feltételezéssel kell élnünk. Ha az igényre az a jellemző, hogy időszakonként egy meghatározott (nem ismert, de előrejelezhető) mennyiséggel nő, akkor additív trendről beszélünk. Additív trendnél az igényt a következő összefüggés alapján modellezzük: { } { } `2;0 σ=ε=εε++µ= tttt VAREGtD ahol, µ az igény konstans eleme, G pedig az időszakonkénti növekedés üteme (a növekedés gradiense). Az igényt úgy tekintjük, mintha annak minden időszakban lenne egy állandó eleme (például a már meglévő vevők köre), valamint egy növekedése (például az új vevők köre). E kettő együtt alkotja az átlagos igényt, amely körül véletlenszerűen változik az igény tényleges értéke. Ezt a véletlen változást a t időszakban az εt valószínűségi változó fejezi ki.

21

Az εt várható értéke zéró, jelezve azt, hogy az igény tényleg az átlagos érték körül szóródik. E szóródás mértékét pedig σ2 jelöli, amely a tényleges igény szórásnégyzete, és az igényre vonatkozó múltbeli adatok statisztikai kiértékelésével határozható meg. Az igény csökkenése hasonlóan írható le, de akkor a gradiens értéke negatív.

Additív trenddel rendelkező igény exponenciális simítással történő előrejelzésekor minden időszakra külön becslést végzünk az adott időszakban várható konstans elemre, valamint a gradiensre. Így két exponenciális simítási összefüggés segítségével kapjuk meg az előrejelzett értéket. A számítás menetét a 2.7. ábra szemlélteti.

Tegyük fel, hogy jelenleg a t időszak végén vagyunk. Ha előrejelzést akarunk készíteni a t+1 időszak várható igényéről, akkor meg kell becsülnünk a t időszak igényének konstans elemét, valamint a t időszakban várható növekedést. Miután a t időszak már letelt, tudjuk annak tényleges igényét (Dt). Továbbá, miután nem most kezdjük az előrejelzést, korábban előrejeleztük a t időszak igényét (Ft). Hogy mennyi lehet ezen időszak átlagos igénye, amely körül az igény véletlenszerűen ingadozik, azt nem tudjuk. Tudjuk viszont, hogy egy konkrét esetben Dt volt az igény, továbbá, hogy Ft értéket vártunk. Logikusnak tűnhet az a feltételezés, hogy az igazság valahol a két érték között van. Hogy pontosan hol, azt nem tudjuk, ezért megbecsüljük, vesszük a két érték súlyozott átlagát. A t időszakbeli konstans elem becsült értékét St-vel jelölve a következő összefüggést alkalmazzuk:

( ) 101 ≤α≤⋅α−+α= ttt FDS ahol α a simítási konstans és azt fejezi ki, hogy milyen mértékben követjük a becsléssel az igény változását. Egyhez közeli α értéknél az igény változását jobban, míg zéróhoz közeli α értéknél az igény változását kevésbé követő becslést kapunk.

2.7. Ábra: Additív trenddel rendelkező igény előrejelzése

Ezt követően meg kell becsülni az igény t időszakbeli átlagos növekedését. Az igény

átlagos értékét a tényleges igény ismeretében St-re becsültük. Továbbá, miután nem most kezdjük az előrejelzést, a t–1 időszak tényleges igénye alapján becsültük a t–1 időszakbeli átlagos igényét (St–1). A kettő különbsége a Dt alapján becsült t időszakbeli növekedés. Az előző időszakra végzett előrejelzéskor viszont az igény növekedésére kapunk egy becslést (Gt–1), amelyet még a Dt ismerete nélkül számítottunk. Logikusnak tűnhet az a feltételezés, hogy a t időszakbeli növekedés értéke a Dt segítségével becsült növekedés és az annak hiányában előrejelzett növekedés között van. Hogy pontosan hol, azt nem tudjuk, ezért megbecsüljük, vesszük a két érték súlyozott átlagát. A t időszakbeli növekedés becsült értékét Gt-vel jelölve a következő összefüggést alkalmazzuk:

( ) ( ) 101 11 ≤β≤⋅β−+−β= −− tttt GSSG

t-1 t t+1

Gt

Gt-1

Dt

St

St-1

Ft+1

22

ahol β a simítási konstans és azt fejezi ki, hogy milyen mértékben követjük a becsléssel a tényleges igényadatokban tapasztalt növekedést. Egyhez közeli β értéknél a tényleges igényadatokban tapasztalt növekedést jobban, míg zéróhoz közeli β értéknél a tényleges igényadatokban tapasztalt növekedést kevésbé követő becslést kapunk.

A t időszakbeli konstans elem és gradiens becslésének segítségével a következő időszak előrejelzését a következő módon számítjuk (2.7.ábra):

ttt GSF +=+1 Többlépéses előrejelzésnél egyéb információ hiányában azt feltételezzük, hogy a t

időszakra becsült növekedés a jövőben változatlan marad, ezért a további időszakok előrejelzései a következő képlettel számolhatók:

tttt GSF τ+=τ+,

Ha megismerjük a t+1 időszak igényét akkor az előrejelzéseket – most már Ft+1,t+τ értékek – olyan mértékben módosítjuk, amilyen mértékben az α és β simítási konstansokon keresztül figyelembe vesszük az új információt (Dt+1). E módszernél tehát a menedzsment két paraméteren keresztül tudja befolyásolni az igény alakulását. Az α és β értékek megválasztásakor ugyanazok a megfontolások érvényesek, mint amelyeket a konstans jellegű igény exponenciális simításnál az α kapcsán már ismertettünk.

Az itt bemutatott eljárást – kifejlesztőjének neve után – Holt módszernek nevezik, és lényegében az exponenciális simítás kétszeri alkalmazására, a konstans elem és a gradiens külön-külön történő becslésére épül. Hangsúlyozni kell, hogy ez nem azonos a növekvő igény előrejelzésére ugyancsak alkalmazható dupla exponenciális simítással [22].

A továbbiakban az előző fejezetben már megismert példa segítségével szemléltetjük a Holt módszer alkalmazását. Ismét tekintsük a repülőgépmotorokat javító üzemet, amely munkaerő-gazdálkodás céljából szeretne negyedéves előrejelzést készíteni a javítandó motorok számának várható alakulásáról. Most azt feltételezzük, hogy a javítandó motorok száma várhatóan növekszik. Feltételezzük, hogy ismert az első negyedévi tényleges igény, melynek értéke 200 darab. A simítási konstansok értékei legyenek a következők: α=β=0,1.

Az első negyedév igényének ismeretében először a második negyedév igényét szeretnénk előrejelezni. A második negyedév előrejelzett igénye az első negyedév becsült konstans elemének és növekedésének az összege. A konstans elem azonban összefüggésünk szerint az első negyedév tényleges igénye, valamint előrejelzett igénye alapján számítható. Miután az előrejezést csak most kezdjük, ezért korábbi előrejelzés nincs. Az induláshoz szükséges előrejelzési érték felvétele az inicializálás, melyre később még visszatérünk. Most vegyünk fel egy tetszőleges első negyedévi előrejelzés értéket. Trend modellről lévén szó az induló előrejelzésnek is egy konstans elemből és egy növekedésből kell állnia, tehát két érték felvétele szükséges. Legyenek tehát a kezdő értékek a következők: S0=200 darab, G0=10 darab. Ezen adatok ismeretében a második negyedévi előrejelzés az első negyedévi becsült konstans elem és gradiens összege:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

darab 2199,2189,9209

darab 9,9101,012002091,01

darab 209102001,012001,01

112

0011

0011

≈=+=+==⋅−+−⋅=⋅β−+−β==+⋅−+⋅=+⋅α−+α=

GSF

GSSG

GSDS

Az első negyedévi igény ismeretében a harmadik negyedévi előrejelzés a következő módon alakul: darab 2298,2289,922092 113,1 ≈=⋅+=+= GSF

23

Megismerve a második negyedévi tényleges igényét, a harmadik negyedévi igény előrejelzése a második negyedévi konstans elem és gradiens becslése után a következőképpen módosul:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

darab 23222,23221,101,222

darab 21,109,91,012091,2221,01

darab 1,2229,92091,012501,01

223

1122

1122

≈=+=+==⋅−+−⋅=⋅β−+−β=

=+⋅−+⋅=+⋅α−+α=

GSF

GSSG

GSDS

A kapott eredményből látható, hogy az első negyedévből nézve a harmadik negyedévi igény alacsonyabbra várható, mint a második negyedévből nézve (F1,3<F3). Ez annak köszönhető, hogy a második negyedévben a tényleges igény nagyobb az előrejelzettnél, ami az előrejelzés növelését indokolja. Az előrejelzés értékének viszonylag kis mértékű növelése (F3–F1,3 =3 darab) α és β alacsony értékének köszönhető.

Az előrejelzéseket és az előrejelzési hibákat nyolc negyedéven át a 2.3. táblázat tartalmazza. A 2.8. ábra pedig a tényleges igény és az előrejelzett igény alakulását szemlélteti. Látható, hogy az alacsony értékű simítási együtthatók miatt az előrejelések értékei sokkal kevésbé ingadoznak, mint a tényleges igényadatok.

2.3. Táblázat: Példa előrejelzésre a Holt módszerrel

Negyedév Dt St Gt Ft et

0 200,00 10,00 1 200 209,00 9,90 210,00 10,00 2 250 222,01 10,21 218,90 -31,10 3 175 226,50 9,64 232,22 57,22 4 186 231,12 9,14 236,14 50,14 5 225 238,74 8,98 240,26 15,26 6 285 251,45 9,36 247,72 -37,28 7 305 265,23 9,80 260,81 -44,19 8 190 266,52 8,95 275,02 85,02 9 247,92 6,19 275,47

2.8. Ábra: Az előrejelzés alakulása a Holt módszernél

0

50

100

150

200

250

300

350

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Igény Előrejelzés

24

2.4. Szezonalitást is tartalmazó igény előrejelzése exponenciális simítással

Szezonalitás esetén az igény valamilyen átlagos érték körül jellegzetes időszakonként változik és ez a változás nem véletlenszerű. Ahhoz, hogy szezonalitást is tartalmazó igényt előre tudjunk jelezni, valamilyen feltételezéssel kell élnünk a szezonalitás jellegéről. Ha az igényre az a jellemző, hogy az igény meghatározott időszakokban ismétlődően az átlagos igény valahányszorosa, akkor multiplikatív szezonalításról beszélünk. A multiplikatív szezonalitást és additív trendet is tartalmazó igényt a következő összefüggés alapján írhatjuk le: ( ) { } { } 2;0 σ=ε=εε+⋅+µ= ttttt VAREcGtD ahol µ az igény konstans eleme, G az időszakonkénti növekedés üteme (a növekedés gradiense), ct pedig a t időszak szezonalitási együtthatója. Úgy tekintjük, hogy minden időszakban van egy állandó igény (például a már meglévő vevők köre), valamint egy növekedés (például az új vevők köre). E két elem alkotja az átlagos igényt, amely körül meghatározott időszakokban jellegzetes módon felfelé és lefelé is eltérhet az igény. Az így hullámzóan alakuló igény körül véletlenszerűen változik az igény tényleges értéke. Ezt a véletlen változást a t időszakban az εt valószínűségi változó fejezi ki, melynek várható értéke zéró, szórásnégyzete pedig σ2.

Szezonalitást és trendet is tartalmazó igénynél minden időszakra külön becslést végzünk az adott időszakban várható konstans elemre, gradiensre, valamint szezonalitási együtthatóra.

2.4.1. A szezonalitási együttható értelmezése

Multiplikatív szezonalításnál az igény rendszeresen ismétlődő jelleggel felfelé, vagy lefelé eltér a vizsgált szezon (időszak) becsült átlagos igényétől. A szezon úgy definiálható, mint egy olyan időszak, amelyben ismétlődő jelleggel ugyanolyan irányban és ugyanolyan mértékben tér el a tényleges igény a becsült átlagos igénytől. Természetesen ezt a mértéket nem ismerjük, ezért megpróbáljuk előrejelezni. Például ha évszakok a időszakok, akkor azt mondhatjuk, hogy a nyári hónapokban – nyári szezonban – az átlagosnál nagyobb az üdítőital fogyasztás. Ha napok az időszakok, akkor azt mondhatjuk például, hogy kedden rendszerint kevesebben tankolnak egy benzinkútnál. Ezek az eltérések ismétlődnek, tehát minden nyárra, illetve minden keddre igazak.

A jellegzetes szezonoknak azt a sorozatát amelyben ismétlődő részsorozat nem található periódusnak nevezzük. Egyszerűbben fogalmazva, a jellegzetes szezonoknak van egy olyan sorozata, amely jellemző a termékre vagy szolgáltatásra. E szezonsorozat egy olyan időtartamot jelent, amely egymás után többször ismétlődik. Előbbi példánkat tekintve mondhatjuk azt, hogy a négy évszakban az üdítőital igénye jellegzetesen tér el a becsült átlagos fogyasztástól. E négy évszak együtt egy év, amely rendszeresen ismétlődik. Tehát a szezonok a négy évszak, a periódus pedig az év. Egy éven belül ismétlődő szezonsorozatok nincsenek. Akkor lenne ilyen, ha például az üdítőital iránti igény nyáron magas, ősszel pedig alacsony lenne. Ezt követően télen ugyanolyan magas lenne, mint nyáron, tavasszal pedig ugyanolyan alacsony lenne, mint ősszel. Ebben az esetben egy éven belül két olyan szezonsorozat lenne, amely ismétlődik. Ekkor az igény jellege szempontjából nem az év a periódus, hanem a félév. A benzinkút példában a hét napjai jelenthetnek jellegzetes szezonokat és a hét a periódus. A gyakorlatban jellegzetes periódus lehet az év, negyedéves, féléves, vagy havi szezonokkal, a negyedév havi szezonokkal, a hónap dekád vagy heti szezonokkal stb.

A multiplikatív szezonalitásnál alkalmazott szezonalitási együttható kifejezi azt, hogy az igény (tényleges, vagy előrejelzett) egy adott szezonban a szezon becsült átlagos igényének

25

hányszorosa. Ezt az együtthatót a periódusra normalizálva adjuk meg, tehát a szezonok szezonalitási együtthatóinak összege a szezonok számával egyezik meg. A szezonalítási együttható a következőképpen számítható:

NcD

Dc

t

NtiiÁtlag

t

tt == ∑

−=

ahol ct a t időszak szezonalitási együtthatója, N pedig a perióduson belüli szezonok száma. Az átlagos igényt valamilyen előrejelzési modellel kell megbecsülnünk (lásd később a

Winters modellnél). A szezonalítási együttható szemléltetésére tekintsük a következő egyszerű példát. Egy üzemben megfigyelték, hogy a gyártott termék első félévi igénye rendszerint alacsonyabb, mint a második félévi igény. Egy adott évben az első félévi igény 100 darab, a második félévi igény pedig 300 darab volt. Ezen adatok alapján az éves átlagos igény (100+300)/2=200 darabra becsülhető, a két félév szezonalítási együtthatója pedig c1=100/200=0,5 és c2=300/200=1,5 lesznek. Megfigyelhető, hogy ebben az esetben a normalizálás automatikusan biztosított, hiszen 0,5+1,5=2. Természetesen az átlagos igény becslése nem mindig ilyen egyszerű.

2.4.2. Additív trenddel és multiplikatív szezonalítással rendelkező igény előrejelzése exponenciális simítással (Winters modell)

A Winters modell a Holt módszer kibővítése a szezonalítás előrejelzésével. Az additív trenddel és multiplikatív szezonalítással rendelkező igényt úgy tekintjük, mint egy igényt, amelynek három komponense van (konstans elem, trend, szezonalítás) és mindhárom elemet külön-külön becsüljük exponenciális simítással, majd a három becslés eredményéből számítjuk az előrejelzést. A számítás menetét a 2.9. ábra szemlélteti.

2.9. Ábra: Additív trendet és multiplikatív szezonalitást

tartalmazó igény előrejelzése Tételezzük fel, hogy a t időszak végén vagyunk, tehát már ismerjük ezen időszak tényleges igényét (Dt), továbbá korábban kezdtük az előrejelzést, ezért vannak a megelőző időszakokra előrejelzési adataink. Tudjuk tehát a közvetlenül megelőző időszak becsült konstans elemének (St–1) és gradiensének (Gt–1) értékét. E két adat összege adja a t időszak átlagos igényének

t-N t-N+1 t-1 t t+1

Gt-1

Gt

St-1

St

Dt

St+Gt

26

előrejelzését, ami egyben a konstans elem is a t időszakban. Ezt módosítani kell az adott szezonra jellemző eltéréssel és az így kapott érték körül véletlenszerűen változik a tényleges igény. Ismerjük továbbá a t időszak tényleges igényét (Dt), ami azért tér el az átlagos igénytől, mert egyrészt szezonalitást, másrészt véletlenszerűséget tartalmaz. A véletlenszerű változással nem tudunk mit kezdeni, azt azonban megbecsülhetjük, hogy mennyi lenne a tényleges igény, ha nem lenne szezonalítás. A szezonalítási együttható számításának képletét átrendezve az átlagos igényt úgy kapjuk meg, hogy a tényleges igényt elosztjuk a szezonalítási együtthatóval. A szezonalítási együtthatót pontosan nem ismerjük, mert ahhoz a t időszak átlagos igényét kellene ismerni, és most éppen azt akarjuk meghatározni. Tudjuk viszont, hogy az azonos tulajdonságú szezonok periodikusan ismétlődnek és már korábban megbecsültük egy ugyanilyen tulajdonságú szezon szezonalítási együtthatóját. Legutoljára ezt a becslést a t–N időszakban végeztük, ha N darab szezon van egy periódusban. A Dt/ct–N értéket kiszámítva megkapjuk a tényleges értékből számolt átlagos igényt, amit szezontalanított tényleges igénynek nevezünk. Van tehát egy előrejelzett és egy a tényleges igény figyelembevételével számolt értékünk a t időszak átlagos igényére. Ez utóbbi persze véletlenszerűen alakult így. Becsüljük ezért a t időszak átlagos igényét (konstans elemét) úgy, hogy kiszámítjuk a korábban becsült és a tényleges igény figyelembevételével számolt értékek súlyozott átlagát, tehát

( ) ( ) 101 11 ≤α≤+⋅α−+⋅α= −−−

ttNt

tt GS

c

DS

ahol α a konstans elem simítási együtthatója. Az így kapott összefüggés megegyezik a Holt módszernél becsült átlagos elemmel, azzal az eltéréssel, hogy nem a tényleges, hanem a szezontalanított igénnyel számolunk.

A trend elem becslését a Holt módszerhez hasonlóan a közvetlenül megelőző időszakban előrejelzett trend és a tényleges (szezontalanított) igény alapján becsült trendből számolva a következőképpen kapjuk:

( ) ( ) 101 11 ≤β≤⋅β−+−β= −− tttt GSSG ahol β a gradiens simítási együtthatója.

Meg kell még becsülnünk a t időszak szezonalitási együtthatóját is. Ez ismét egy becsült és egy tényleges adatból számolt érték segítségével kapható meg. A becsült adatot a korábban ugyanerre a szezonra becsült szezonalítási együttható (ct–N) adja. A tényleges adat alapján számolt szezonalítási együttható pedig a t időszak tényleges igénye, valamint a t időszak becsült átlagos igénye alapján számolható. Az így kapott két érték súlyozott átlaga adja a t időszak becsült szezonalítási együtthatóját a következő módon:

( ) 101 ≤γ≤⋅γ−+⋅γ= −Ntt

tt c

S

Dc

ahol γ a szezonalítási együttható simítási együtthatója. A t időszak konstans elemét, gradiensét, valamint egy teljes periódus valamennyi

szezonalítási együtthatóját megbecsülve az előrejelzés a következőképpen számítható: ( ) ( ) kNNkcGSF kNttttt ≤τ≤⋅−⋅τ+= −τ+τ+ 1,

A fenti összefüggés az jelzi, hogy ha a t időszakban vagyunk és a t+τ időszakra akarunk előrejelzést végezni, akkor a szezontalanított igényt felhasználva a Holt módszer segítségével elvégezzük a t+τ időszak átlagos igényének előrejelzését. Ezt követően megkeressük azt a legközelebbi időszakot, amely a t+τ időszakhoz tartozó szezon tulajdonságaival rendelkezik és ismerjük a szezonalítási együtthatóját. Ezt oly módon tesszük, hogy a t+τ időszakból egy periódusnyi időtartamokat visszafelé ugrálva megnézzük, hogy már egy ismert szezonalítási együtthatójú időszakban vagyunk-e. Akkor érünk ilyen időszakhoz, ha megnézzük, hogy a τ

27

időtartamba hányszor fér bele egy periódus és éppen annyit, vagy annál eggyel több periódusnyit haladunk visszafelé. Az ilyen módon végzett előrejelzést nevezzük kifejlesztőjének neve után Winters modellnek.

A Winters modell három paraméter segítségével, az α, β és γ simítási együtthatók megválasztásával határozza meg azt, hogy milyen mértékben követi az előrejelzés az igény véletlenszerű változásait. Eltérő hangsúlyt adhatunk a konstans elem, a növekedés, valamint a szezonalítás véletlenszerű változásainak. Az értékek megválasztására a már korábban elmondottak érvényesek; a zéróhoz közeli paraméter eredményezi az igény tényleges értékét kevésbé követő előrejelzést.

A következőekben tekintsünk egy egyszerű példát a számítások szemléltetésére. Egy üzem egyik termékének elmúlt néhány évi adatait feldolgozva megállapították, hogy a megrendelt mennyiség fokozatosan nő, de megfigyelték, hogy az első félév igénye rendszerint magasabb mint a második félévi igény. A 2000. év első két félévére szeretnének előrejelzést készíteni. A múltbeli adatokat feldolgozva a következő kezdőértékeket határozták meg (inicializálás, melynek módszereire még visszatérünk): az 1999 második félévi igény konstans elemének becsült értéke 200 darab, a növekedés becsült értéke pedig 50 darab. A becsült szezonalítási együtthatók 1,5 az első félévre és 0,5 a második félévre. A simítási konstansok legyenek a következők: α=0,2; β=0,5; γ=0,4.

Miután 2000 első félévében kezdjük az előrejelzést, legyen ez az időszak az első (t=1). Így az előrejelzés kezdetét megelőző időszakok sorszámai a zéró és negatív számok lesznek. Induló adataink ennek megfelelően a következőképpen írhatók fel: S0=200; G0=50; c–1=1,5 és c0=0,5. A periódus az év lesz, amely két szezonból áll.

Összefüggéseink alapján a 2000. év két félévének előrejelzése a következő módon számítható:

( ) ( )( ) ( ) darab 1505,05022002

darab 3755,150200

220002,0

210001,0

=⋅⋅+=⋅+==⋅+=⋅+=

−+

−+

cGSF

cGSF

Az első félév elteltével megismerjük annak tényleges igényét (D1), amely 300 darab. Az új információ birtokában módosíthatjuk a második félévi előrejelzést a Winters modell szerint. Ehhez becsülnünk kell a 2000. év első félévi igényének konstans elemét és gradiensét:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) darab 45505,012002405,01

darab 240502002,015,1

3002,01

0011

0021

11

=⋅−+−⋅=⋅β−+−⋅β=

=+⋅−+⋅=+⋅α−+α=−

GSSG

GSc

DS

Az így kapott adatok alapján a második félévi előrejelzés a következőképpen módosul: ( ) ( ) darab 1435,1425,045240211112,1 ≈=⋅+=⋅+= −+cGSF

Ugyanezen időszak korábbi előrejelzéséhez képest (150), az új előrejelzés alacsonyabb. Ez annak köszönhető, hogy az első félév tényleges igénye (300) alacsonyabb volt az előrejelzettnél (375), ezért óvatosabb előrejelzést kapunk a második félévre. Hogy mennyivel óvatosabb az előrejelzés, azt a simítási konstansok határozzák meg. A konstans elem simítási együtthatója stabilabb, a gradiens és a szezonalítás simítási konstansai pedig kis mértékben rugalmas igénykövetést jelentenek. Ezek együttes hatásaként kapjuk eredményül az előrejelzés kismértékű módosítását.

Az első negyedév tényleges igényének ismeretében módosítjuk a szezonalítási együtthatókat is. Az első negyedév módosított szezonalitási együtthatójára a következő értéket kapjuk:

( ) ( ) 4,15,14,01240

3004,01 21

1

11 =⋅−+⋅=⋅γ−+⋅γ= −c

S

Dc

28

A legfrissebb adatainkból egy periódust most az 1999 második és 2000 első félévéből képezhetünk. E periódus szezonalítási együtthatóinak összege 0,5+1,4=1,9 lesz. Miután a szezonalítási együtthatóknak az összege egyenlő kell hogy legyen a periódus szezonjainak számával, jelenlegi együtthatóinkat normalizálva a következő értékeket kapjuk:

474,124,15,0

4,1;526,02

4,15,0

5,010 =⋅

+==⋅

+= cc

Az így kapott szezonalítási együtthatók összege már megegyezik a szezonok számával. Látható, hogy az első félév új szezonalítási együtthatója (1,474) kisebb a korábbi értéknél (1,5). Ez ismét az első félévnek az előrejelzettnél kisebb tényleges igénye, valamint a kis mértékű igénykövetést jelentő simítási konstansok együttes hatásának következménye.

Adataink alapján 2001. év első félévének előrejelzett igénye a következő lesz: ( ) ( ) darab 48642,486474,14522402 221113,1 ≈=⋅⋅+=⋅+= −+cGSF

2002. év első félévének előrejelzett igénye pedig az igény gradiens eleme miatt tovább nő: ( ) ( ) darab 61908,619474,14542404 2241115,1 ≈=⋅⋅+=⋅+= ⋅−+cGSF

2000 első félévében végezve az előrejelzést (t=1) a 2002 első félévi igényének alakulásáról (t=5) négy időszaknyi távolságot kell előretekinteni (τ=4). Ebbe az időtartamba két teljes periódus fér, ezért a t=5 időszakból két periódusnyi időszakot kell visszafelé haladni, hogy egy olyan első félévi szezont találjunk, amelynek ismert a szezonalítási együtthatója. Ezért szerepel a szezonalítási együttható indexében 1+4–2·2=1.

Hasonlóan kell módosítani a konstans elem, gradiens és szezonalítási együtthatók értékeit, amint egy újabb félév eltelik és megismerjük annak tényleges igényét.

2.5. A lineáris regresszió számítás alkalmazása előrejelzési modelleknél

A lineáris regresszió számítás lényege, hogy egy (xi,yi) i=1,…,M ponthalmazra egy Yi=a+bxi egyenest illesztünk feltételezve, hogy az x független változó és az y függő változó között lineáris kapcsolat van, továbbá, hogy az (xi,yi) i=1,…,M pontok ezen egyens körül véletlenszerűen szóródnak (lásd 2.10. ábra). A regresszió elemzés alapjainak ismeretét feltételezzük az olvasóról, ezért annak részletes ismertetésére itt nem térünk ki. A lineáris regressziószámítás legfontosabb alapösszefüggéseit a 2.4. táblázat foglalja össze. A következőkben elsősorban e módszer alkalmazási lehetőségeit ismertetjük az előrejelzés területén.

2.10. Ábra: Előrejelzés lineáris regresszióval

A lineáris regresszió számításnak három jelentős alkalmazási területe alakult ki

termelésmenedzsment célú előrejelzések készítésekor.

yi Yi=a+bxi

xi

29

2.4. Táblázat: A lineáris regresszió paraméterbecslésének alapösszefüggései

Megnevezés Képlet Magyarázat Meredekség

2

11

2

111

1

1

⋅−

⋅

⋅−

=

∑∑

∑∑∑

==

===

N

ii

N

ii

N

ii

N

ii

N

iii

xN

x

yxN

yx

b

A regressziós egyenes meredekségének várható értéke.

Metszet

∑∑==

⋅−⋅=N

ii

N

ii x

N

by

Na

11

1

A regressziós egyenes függőleges tengelyen lévő metszetének várható értéke.

Standard hibanégyzete

( )[ ]∑

= −⋅+−=

N

i

iixY N

xbays

1

22

/ 2

A ponthalmaz regressziós egyenes körüli szóródásának mérőszáma.

Metszet szórásnégyzete

⋅−

⋅

+⋅=

∑∑

∑

==

=2

11

2

2

12/

2

1

1

1

N

ii

N

ii

N

ii

xYa

xN

x

xN

Nss

A regressziós egyenes függőleges tengelyen lévő metszetének becsült szórásnégyzete.

Meredekség szórásnégyzete 2

11

2

2/2

1

⋅−

=

∑∑==

N

ii

N

ii

xYb

xN

x

ss

A regressziós egyenes meredekségének becsült szórásnégyzete.

Korrelációs együttható

2

11

2

2

11

2

111

11

1

⋅−⋅

⋅−

⋅

⋅−

=

∑∑∑∑

∑∑∑

====

===

N

ii

N

ii

N

ii

N

ii

N

ii

N

ii

N

iii

yN

yxN

x

yxN

yx

r

A lineáris kapcsolat erősségét méri zéró és egy között. Ha értéke egy akkor teljes mértékben lineáris a kapcsolat.

Meglévő ponthoz (xj) tartozó becslés (Yj=a+bxj) szórásnégyzete

⋅−

⋅−

+=

∑∑

∑

==

=⋅ 2

11

2

2

12/

2

1

1

1N

ii

N

ii

N

iij

xYY

xN

x

xN

x

Nss

j

Egy az eredeti ponthalmazban szereplő független változó értékhez tartozó regressziós érték szórásnégyzete.

Új ponthoz (xúj) tartozó becslés (Yúj=a+bxúj) szórásnégyzete

⋅−

⋅−

++⋅=

∑∑

∑

==

=2

11

2

2

12/

2

1

1

11

N

ii

N

ii

N

iiúj

xYY

xN

x

xN

x

Nss

új

Egy az eredeti ponthalmazban nem szereplő független változó értékhez tartozó regressziós érték szórásnégyzete.

30

– Az első terület az additív trendet tartalmazó igény előrejelzése. Additív trendnél az igény tényleges értéke egy lineárisan növekvő, vagy csökkenő egyenes mentén szóródik. Ilyenkor a múltbeli igény adatok egy olyan (xi,yi) i=1,…,M ponthalmazt alkotnak, melynél xi jelöli a t időszakokat, yi pedig Dt, a t időszak tényleges igénye. A múltbeli igényadatokra lineáris regresszióval illesztett egyenes meredeksége az igény növekedésének gradiensét becsüli. Az egyenes egyenletének segítségével pedig számíthatjuk a jövőbeni időszakok igényének várható értékét. Fontos megjegyezni, hogy ha az igény szezonalítást is tartalmaz, akkor az igényadatokra fektetett egyenes alapján végzett előrejelzés rendkívül pontatlan és helytelen is lesz, mert a pontok az egyenes körül nagymértékben szóródnak. E szóródás azonban nemcsak a véletlennek, hanem a szezonalitásnak is köszönhető. Ilyenkor először szezontalanítani kell a tényleges igény adatait és a szezontalanított adatokra már illeszthető lineáris trendet kifejező egyenes. A fejezet végén bemutatott esettanulmány részletesen ismerteti a szezontalanítás egy lehetséges módját. Fontos megjegyezni, hogy amikor a regressziós egyenest a jövőbe, tehát az egyenest meghatározó ponthalmazon kívülre vetítjük, akkor az így kapott előrejelzés szórása nagyon megnő (lásd 2.4. táblázat utolsó sorát), ezért e módszer a viszonylag távoli jövőbe való előrejelzéskor igen pontatlan eredményt ad.

– A lineáris regresszió alkalmazásának másik fontos területe az inicializálás. Ilyenkor a múltbeli adatsorra illesztett egyenest nem arra használjuk, hogy az egyenest a jövőbe tovább vetítve előrjelzést végezzünk, hanem egy trendet is tartalmazó előrejelzési modell kezdőértékeit határozzuk meg. A múltbeli tényleges igény adataira fektetett egyenes meredeksége lesz a gradiens, az egyenesnek az utolsó időponthoz tartozó pontja pedig az igény konstans elemének a kezdőértéke. Miután ezen értékeket az exponenciális simításhoz használjuk fel, itt nem merül fel a ponthalmazon kívül eső értékek megnövekedett pontatlanságának problémája. Itt is ügyelni kell arra, hogy ha a múltbeli adatok szezonalítást tartalmaznak, akkor azokat szezontalanítani kell.

– Végezetül a lineáris regresszió alkalmazásának harmadik területe a kauzális előrejelzés. A kauzális módszerek lényege, hogy az igény okát, mint független változót, az igényt pedig mint függő változót tekintjük és megpróbáljuk számszerűsíteni az igény oka és az igény tényleges értéke közötti kapcsolatot. A lineáris regresszió lineáris kapcsolatot feltételez. Példaként a bevezetőben említett autóbiztosítások példáját tekinthetjük. Ha úgy gondoljuk, hogy az autólopásokról érkező hírek ösztönzik a vásárlókat biztosítás megkötésére, akkor adatokat gyűjthetünk a múltban havonta ellopott gépkocsik számáról (xi) és a következő hónapban megkötött biztosítások mennyiségéről (yi).

Ha az így kapott ponthalmazra egy egyenes statisztikailag meggyőző módon illeszthető, akkor egy adott hónapban ellopott gépkocsik számának ismeretében előrjelzést készíthetünk a következő hónapban megkötésre kerülő biztosítások számáról. Ha úgy gondoljuk, hogy a megkötött biztosítások száma nem csak a kocsilopások számától, hanem például az eladott új gépkocsik mennyiségétől is függ, akkor a többváltozós lineáris regresszió módszereit alkalmazhatjuk. Ha pedig az igény oka és értéke közötti lineáris kapcsolat feltételezése helytelen, akkor a nemlineáris regresszió számítás alkalmazható.

Akármelyik felsorolt három területen alkalmazzunk is lineáris regressziót, az alkalmazás fő lépései a következők:

– Adatgyűjtés. Idősor elemzésnél a múltbeli igényadatok, kauzális módszer esetén pedig az igény okára és értékére vonatkozó adatok összegyűjtése szükséges.

– A linearitás feltételezésének vizsgálata. Ez rendszerint a korrelációs együttható segítségével a lineáris kapcsolat erősségének a vizsgálatát jelenti.

31

– A regressziós egyenes paramétereinek becslése. Ilyenkor a függőleges tengelyen található metszet (a) értékét, valamint a meredekséget (b) kell meghatározni. Ezt követően rendelkezésünkre áll az y=a+bx regressziós egyenes.

– Az igény várható értékének meghatározása. Idősor elemzésnél a kívánt jövőbeli időponthoz, kauzális módszer esetén pedig az ok egy meghatározott alakulásához számítható y értéke.

– Az előrejelzés hibájának meghatározása (lásd később a 2.6. pontot). A lineáris regresszió alkalmazását egy egyszerű példa szemlélteti a fejezet végén a 2.8.

pontban.

2.6. Az előrejelzési hibák értékelése

Az előrejelezett és tényleges igény közötti különbség az előrejelzési hiba. Ha nagyobb az előrejelzett igény, mint a tényleges akkor túlbecsüljük az igényt. Ennek következménye lehet például egy termelőrendszerben a legyártott de el nem adott mennyiség miatt megnövekedett raktárkészlet. Ha a tényleges igénynél kevesebbet jelzünk előre, akkor alulbecsüljük az igényt. Ennek következménye lehet például az elégedetlenül távozó vevő, vagy a felhalmozódó kielégítetlen rendelések mennyisége. Egy jövőbeni időszak tényleges igényének pontos meghatározása nem lehetséges, mert az igény véletlenszerűen változik. Ha éppen eltaláljuk a pontos értéket, az csak a szerencse műve. A konstans jellegű igény előrejelzéséhez alkalmazott mozgó átlag és exponenciális simítás példáján azt is bemutattuk, hogy az előrejelzési hiba szórása legalább akkora, mint az igény szórása. Minél hektikusabban viselkednek tehát a vevők annál kisebb a valószínűsége, hogy az igény pontos értékét eltaláljuk. Az előrejelzési hiba jellemzésére meghatározott mutatók két fontos célt szolgálnak:

– egyrészt képet adnak az elkövetett hibák nagyságáról, – másrészt segítenek eldönteni, hogy az elkövetett hiba az igény véletlenszerű

változásának, vagy pedig az előrejelzés során alkalmazott téves feltételezésnek köszönhető-e.

2.6.1. Az előrejelzési hiba nagyságának mutatói

Az előrejelzési hiba nagyságát egy konkrét időszakban az előrejelzett és tényleges érték közötti különbség – az előrejelzési hiba – adja, amelyet a következő módon számolunk: ttt DFe −= Az előrejelzési hiba eredménye lehet például egy adott időszakban keletkezett raktárkészlet, vagy egy adott időszakban kielégítetlen vevői igény. Annak megítéléséhez, hogy a kapott érték magas-e, vagy alacsony az előrejelzési hiba relatív változatát a relatív (százalékos) hibát használják. A relatív hiba egy vizsgált időszak előrejelzési hibáját az időszak tényleges igényéhez viszonyítja, és a következő módon számolható:

100⋅−=t

ttt D

DFRH

Az előrejelzési hiba és relatív hiba egy meghatározott időszak jellemzői. Az igény véletlenszerű változása miatt azonban ezek nagysága az előrejelzés hosszú távú működéséről nem ad információt. Több időszak együttes vizsgálatára használható az átlagos hiba, amely egy T darab időszakból álló időtartam előrejelzési hibáinak az átlaga. Ennek értéke a következő módon számolható:

32

( )∑−=

−⋅=t

Ttiiit DF

TÁH

1

Az átlagos hiba a vizsgált időtartam alatt együttesen elkövetett hiba időegységre eső értéke, amely például kapcsolatban lehet a vizsgált időszak végére kialakult raktárkészlettel. Annak megítéléséhez, hogy a kapott érték magas-e, vagy alacsony az átlagos hiba relatív változatát, az átlagos relatív (százalékos) hibát használják. Az átlagos relatív hiba a relatív hibák átlaga egy T számú időszakot átfogó időtartamban, és értéke a következő módon számolható:

∑−=

⋅−

⋅=t

Tti i

iit D

DF

TÁRH 100

1

Az átlagos hiba ás az átlagos relatív hiba alacsony értékei önmagukban nem feltétlenül jelentenek megfelelő előrejelzést, mert a pozitív és negatív hibák kiejthetik egymást. Ez a gyakorlatban például egyes időszakokban igen nagy raktárkészletet, máskor viszont elégedetlen vevőket jelenthet.

Az előrejelzéssel gyakran az a célunk, hogy elkerüljük a túlságosan nagy pozitív és negatív tévedéseket. Adott esetben az igény nagymértékű gyakori túlbecslése ugyanolyan kedvezőtlen lehet, mint a nagymértékű gyakori alulbecslés. Ilyen esetben előjeltől függetlenül szeretnénk tudni a tényleges és előrejelzett igény eltérésének alakulását. Az előjeltől független eltérést mutatja az átlagos abszolút hiba, amely a következő módon számolható:

∑−=

−⋅=t

Ttiiit DF

TÁAH

1

Az előrejelzési hiba szórása normális eloszlásnál az átlagos abszolút hiba függvénye, és a következő módon számolható:

ÁAEÁAHe ⋅≈⋅π=σ 25,12

Ily módon az átlagos abszolút eltérés implicit módon az előrejelzési hiba szórásának nagyságára utal. Az a kérdés, hogy egy átlagos abszolút hiba érték nagynak tekinthető-e, az átlagos abszolút relatív hiba alapján dönthető el, amely a következő módon számolható:

∑−=

⋅−

⋅=t

Tti i

iit D

DF

TÁARH 100

1

Az átlagos abszolút hibát gyakran használják az előrejelzési hiba előrejelzésére is. Az elv az exponenciális simításhoz hasonló. A t időszakra előrejelzett hiba a t–1 periódus tényleges és előrejelzett hibájának súlyozott átlaga, ha az átlagos abszolút hibát tekintjük az előrejezési hiba előrejelzett értékének, tehát

( ) 111 1 −−− ⋅α−+−α= tttt ÁAHDFÁAH

Készletezési rendszereknél például az így előrejelzett hiba használható a biztonsági készletek meghatározásához.

Végezetül meg kell említeni, hogy gyakran használják az előrejelzési hiba mérésére az átlagos négyzetes hibát (átlagos hibanégyzet) is, amely a négyzetre emelés miatt egyrészt kiküszöböli az előjel problémát, másrészt erőteljesebben bünteti a nagy eltéréseket. Számítása a következő összefüggés alapján történik:

( )∑−=

−⋅=t

Ttiiit DF

TÁNH 21

Az átlagos négyzetes hibát elsősorban akkor használják, ha több előrejelzési modell közül kell kiválasztani azt, amelyiknél az előrejelzési hiba szórása a legkisebb.

33

Az előrejelzési hiba itt felsorolt jellemzői közül azt, vagy azokat célszerű a gyakorlatban alkalmazni, amelyek egy adott helyzetben a legtöbb információt hordozzák, és amelyek a menedzsment prioritásait a legjobban kifejezik. Az előrejelzési modell alkalmazója tudhatja csak, hogy például vállalatánál a hiány és a magas készletek egyformán kerülendők-e, vagy hogy a hiány abszolút, vagy relatív nagysága fontos-e a menedzsment számára.

A 2.5. táblázat egy egyszerű esetben szemlélteti a bemutatott hibajellemzők számítását. A táblázatban látható, hogy hat hónapra konstans jellegű igényt feltételeztek és az igény előrejelzett értéke 1000 darab/hó. Hat hónap elteltével, az igény tényleges értékeinek az ismeretében kiszámítottuk a felsorolt hibajellemzőket. Látható például, hogy az átlagos abszolút hiba közel kétszer akkora, mint az átlagos hiba, bár százalékosan mindkét érték alacsonynak tekinthető.

Külön kell szólni a lineáris regresszióval készített előrejelzés hibájáról. A lineáris regresszióval történő előrejelzés egyik legnagyobb problémája, hogy a ponthalmaz szélei felé közeledve az előrejelzés pontossága csökken, a ponthalmazon kívülre kerülve, tehát a jövőbeli igényt becsülve, pedig már igen pontatlan becslést kapunk. Az előrejelzés hibájaként a regressziós modelleknél rendszerint feltüntetett standard hiba alulbecsli a hibát. Ilyenkor helyes módon a standard hibánál nagyobb értéket adó, az új értékhez számolt variancia számítása szükséges, amely kifejezi a ponthalmaz közepétől való távolodás miatti pontatlanság-növekedést, valamint az új érték miatti bizonytalanság növekedését is (lásd a 2.4. táblázatot) [33].

2.5. Táblázat: Példa az előrejelzési hibák számítására

t Ft Dt et RHt(%) Január 1000 950 50 5,263 Február 1000 1070 -70 -6,542 Március 1000 1100 -100 -9,091 Április 1000 960 40 4,167 Május 1000 1090 -90 -8,257 Június 1000 1050 -50 -4,762 Átlagos eltérés (ÁH6) -36,667 Átlagos abszolút eltérés (ÁAH6) 66,667 Átlagos négyzetes eltérés (ÁNH6) 4933,333 Átlagos relatív eltérés (ÁRH6) (%) -3,204 Átlagos abszolút relatív eltérés (ÁARH6) (%) 6,347

2.6.2. Az előrejelzési modell vizsgálata

Az előrejelzés során fontos tudni azt, hogy az idő múlásával egy alkalmazott előrejelzési modell megfelelően működik-e, tehát az igény alakulásával kapcsolatos induló feltételezéseink (például az, hogy az igény konstans jellegű) változatlanul helytállóak. Az előrejelzési hiba önmagában nem jelenti azt, hogy a modell nem megfelelő, hiszen az igény véletlen jellege miatt mindig lesz hiba. Szükségünk van egy olyan eszközre, amely időben jelzi, hogy az előrejelzési hiba nem a véletlennek, hanem a nem megfelelően alkalmazott előrejelzési modellnek köszönhető. Az előrejelzési modellel kapcsolatos problémák jelzése az előrejelzési hibák összegének a vizsgálatára épül. A t időszak végéig elkövetett hibák összege az előrejelzési hiba futó összege, amely a következő módon számítható:

34

∑=

−=t

itit DFEHFÖ

1

Megfelelő előrejelzési modellnél az előrejelzési hiba futó összegének várható értéke zéró. Ellenkező esetben szisztematikus hibát követünk el. Természetesen egy konkrét t időpontban az EHFÖt nem lesz zéró, de annak valószínűsége kicsi, hogy nagyon gyakran zérótól nagyon eltérő értékeket kapunk, ha az előrejelzési modell statisztikailag megfelelően reprezentálja az igényt. A statisztikában szokásos módon azt vizsgáljuk, hogy az EHFÖt a várható értéktől (ami zéró) hány szórásnyi távolságra esik és erre írunk elő korlátot a következő módon:

1CEHFÖ

EHFÖ

t ≤σ

Tudjuk, hogy normáleloszlásnál – amelynek feltételezése az előrejelzési hiba futó összegére elfogadható – a várható értéktől három szórásnyira (C1=3) eső értékek előfordulási valószínűsége 0,13. Ha tehát ennél gyakrabban kapunk a három szórásnyi távolságon kívülre eső értéket, akkor felül kell vizsgálnunk az igény leírására alkalmazott modellt. Természetesen a menedzsment szigorúbb vagy lazább feltételt is szabhat a modell felülvizsgálatára a C1 paraméter értékének megválasztásával.

A fenti összefüggés nevezőjében az előrejelzési hiba futó összegének szórása szerepel, amit nem ismerünk, de becsülhető. Bebizonyítható, hogy normáleloszlásnál σEHFÖ az ÁAH függvénye. A függvény formája függ az alkalmazott előrejelzési modelltől, de jó közelítéssel általánosan alkalmazható a következő egyszerűsítés:

KCCÁAH

EHFÖ

t

t =⋅≤ 21

Az abszolútértéken belül lévő összefüggés neve követő jel, amelyet a következő módon számolunk:

t

tt

ÁAH

EHFÖKJ =

Az összefüggésben az átlagos abszolút hiba t indexe azt jelenti, hogy minden időszakban aktualizálni kell annak értékét. A K érték két konstans szorzata. C1 azt fejezi ki, hogy a menedzsment milyen szigorúan kívánja ellenőrizni az alkalmazott modell helyességét, C2

pedig azért szerepel az összefüggésben mert az ÁAHt-vel helyettesítjük a σEHFÖ-t. C2 értéke függ az alkalmazott előrejelzési modelltől. A részletes tárgyalás helyett jó közelítéssel elfogadhatjuk, hogy a korábban ismertetett modellekre a C1 és C2 szorzata a gyakorlatban 4 és 6 között választható, ahol 6 az előrejelzési modell lazább, 4 pedig annak szigorúbb ellenőrzését jelenti.

Az előrejelzési modell vizsgálata a követő jel diagram segítségével történik, amely az idő függvényében ábrázolja a követő jel alakulását, valamint a menedzsment által elfogadott kontrol határokat. A kontrol határokon kívül eső pontok, valamint a követő jel alakulása figyelmeztetik a menedzsmentet arra, hogy az alkalmazott előrejelzési modellt esetleg felül kell vizsgálni. A 2.6. táblázat a 2.6.1. pontban már alkalmazott egyszerű példán mutatja be a követő jel számítását, míg a 2.11. ábra a követő jel diagramot tartalmazza. A diagramból látható, hogy bár az értékek az igen szigorú kontrol határok között vannak, a követő jel egyértelműen lefelé halad. A rendelkezésre álló kevés adatból nehéz ítélni, de elképzelhető, hogy az igénynek trend eleme is van. Csak a további időszakok vizsgálata segíthet eldönteni, hogy kell-e változtatni az előrejelzési modellen, de már e kevés adat is arra utal, hogy fokozottan figyelni kell az igény alakulását.

35

2.6. Táblázat: Példa a követő jel számítására

t Ft Dt et EHFÖt ÁAHt KJt

Január 1000 950 50 50 50,00 1,00 Február 1000 1070 -70 -20 60,00 -0,33 Március 1000 1100 -100 -120 73,33 -1,64 Április 1000 960 40 -80 65,00 -1,23 Május 1000 1090 -90 -170 70,00 -2,43 Június 1000 1050 -50 -220 66,67 -3,30

2.11. Ábra: A követő jel diagram

Gyakran még mielőtt a követőjel elérné a kontrol határokat már sejteni lehet, hogy az előrejelzési modell nem megfelelő. A követő jel diagram következő jellegzetes típusait különböztethetjük meg:

– A követő jel értéke a kontrolhatárok között a zéró érték körül véletlenszerűen változik. Ilyenkor az előrejelzési modell statisztikai szempontból megfelelően jelzi előre az igény alakulását.

– A követő jel értéke szisztematikusan lefelé halad. Ilyenkor a kapott előrejelzések rendszeresen alábecsülik az igényt. Valószínűleg figyelmen kívül hagytuk, vagy szisztematikusan alábecsültük a trendet. Például additív trendet alkalmaztunk multiplikatív trend helyett.

– A követő jel értéke szisztematikusan felfelé halad. Ilyenkor a kapott előrejelzések rendszeresen túlbecsülik az igényt. Valószínűleg túlbecsültük a növekedést, esetleg nem is növekvő jellegű az igény, hanem állandó jellegű, vagy csökkenő.

– A követő jel egyértelműen azonosítható módon, tehát nem véletlenszerűen változik. Ilyenkor figyelmen kívül hagytuk a szezonalitást, vagy esetleg nem létező szezonalitást építettünk az előrejelzésbe.

A követő jel diagram folyamatos figyelése szükséges, mert elképzelhető, hogy sokáig megfelelően működik egy modell, majd hirtelen elindul a követő jel valamelyik irányba. Ilyenkor még idejében felismerhető, hogy egy termék például életgörbéjének növekedési szakaszából az érettség szakaszába kerül, ezért a trend jellegű előrejelzési modellről át kell térni a konstans jellegű igényt feltételező modellre. Természetesen az előrejelzési modell váltása mellett, ilyenkor egyéb – az 1. fejezetben említett – termelésmenedzsment módszerek változtatása is szükséges lehet.

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 6

Köv

ető je

l

36

2.7. Egy étterem forgalmának előrejelzése (esettanulmány)

A következőkben ismertetünk egy olyan esettanulmányt, amely az eddig elmondottakat alkalmazza egy konkrét probléma kapcsán. Tekintsük egy étterem példáját, amely az egyik kedvelt téli síparadicsom közelében már három éve sikeresen működik. Az étterem elsősorban a síelést kedvelő tehetősebb vendégek körében népszerű. A három éves munka eredménye, hogy az étterem az egyik leggyorsabban növekvő vendéglátó-ipari egység a környéken. Az étterem vezetője arra a következtetésre jutott, hogy egy előrejelzési rendszer szükséges, amely képes az étel és italfogyasztást egy évre előre, havi bontásban megbecsülni [1]. Az elmúlt három év adatait a 2.7. táblázat első két oszlopa tartalmazza.

A feladat tehát az étel és italfogyasztás előrejelzése. Miután az ételek és italok a legkülönbözőbb dimenziókban fordulhatnak elő (kilogramm, liter, hordó stb.), valamilyen közös nevezőt kell választani a forgalom kifejezésére. Esetünkben ez a közös nevező a forint, ezért az adatok a táblázatban eFt-ban szerepelnek. Az adatok részletes elemzése előtt érdemes a nem kvantitatív információkat figyelembe venni. Az étterem egy síparadicsom közelében fekszik, ami azt sejteti, hogy télen nagyobb a forgalom, tehát szezonalítással kell számolni. A szövegből az is kitűnik, hogy az étterem sikeres, a forgalma növekszik, tehát az igénynek trend komponense is lehet.

A 2.12. ábra az elmúlt három év forgalmát ábrázolja. A forgalom változása egyértelműen mutatja a szezonalítást. A téli hónapok magas igénye mellett azonban ismétlődően kisebb fellendülések találhatók más hónapoknál is, ezért érdemes az egy évet mint periódust 12 szezonra bontani. A forgalom enyhe emelkedése ugyancsak látható az ábrán, ugyanis a főszezon magas igénye, valamint a holt szezon alacsony igénye mindig egy kicsit magasabban van a megelőző periódus azonos szezonjának igényénél. A menedzsment ezen megfontolások alapján egy additív trendet és multiplikatív szezonalitást tartalmazó előrejelzési modell alkalmazását javasolja.

A feladat tehát az, hogy a harmadik év végén készítsünk előrejelzést a negyedik év minden egyes hónapjának (szezonjának) igényéről. A Winters modellt kívánjuk alkalmazni, amelyhez szükséges az induló értékek meghatározása (inicializálás). Az induló értékek a következők: a harmadik év utolsó havi igényének becsült konstans eleme, gradiense, valamint a 12 hónap becsült szezonalitási együtthatói. Az elmúlt három év 36 havi adatából lineáris regresszióval kívánjuk meghatározni az induló konstans elemet és gradienst. A 36 havi adatsorra azonban közvetlenül nem célszerű egyenest illeszteni, mert az adatok szezonalitást tartalmaznak. Az igény adatok szezontalanítását mozgó átlaggal végezzük. Tudjuk, hogy a szezonalitási együttható a tényleges igénynek és az átlagos igénynek a hányadosa. A t periódus szezonalitási együtthatója ezért legyen a tényleges igény és az egy évi átlagos igény hányadosa úgy, hogy az egy évi átlag a t periódust megelőző és követő hat hónap átlaga.

A 2.7. táblázat harmadik oszlopa a 12 havi mozgó átlagokat tartalmazza. A 12 havi átlag azonban a hatodik és hetedik hónap közé eső tényleges igényhez tartozó átlag, ugyanakkor a tényleges igényadat vagy a hatodik, vagy a hetedik hónaphoz tartozik. Egy kis korrekcióval azonban ez a probléma kiküszöbölhető. A januártól decemberig tartó átlag a hatodik és hetedik hónapok közé, a februártól januárig tartó átlag viszont a hetedik és nyolcadik hónapok közé esik. Ha viszont e két átlag átlagát vesszük, akkor korrekt módon a hetedik hónaphoz tartozó átlagos igényt kapjuk. Ezt tartalmazza a 2.7. táblázat 4. oszlopa. Tehát például az első 12 hónap átlaga 175,50 eFt ami a hatodik és hetedik hónap közé kerülne, míg a második hónaptól számított éves átlagos igény 177,25 eFt, ami viszont a hetedik és nyolcadik hónapok közé kerülne. E két átlag átlaga 176,38 eFt, ami a hetedik hónaphoz tartozó átlagos igény. A rendelkezésünkre álló 36 tényleges igényadathoz 24 átlagos igény adatot tudunk

37

meghatározni, mert az első és utolsó hat hónap adatait nem fogja közre szimmetrikusan egy teljes periódus.

2.7. Táblázat: Az esettanulmány alapadatai és a regressziós egyenes meghatározása 1

Hónap 2

Igény 3

MA(12) 4

Központ. Mozg. Átl.

5 Szez.faktor (első köz.)

6 Szez. faktor

(átlag)

7 Szez. Fakt.

8 Szezontalan

igény

9 Regresszió

1 242 1,443 167,71 170,442 2 235 1,299 180,89 171,463 3 232 1,344 172,68 172,485 4 178 1,041 171,03 173,507 5 184 1,049 175,41 174,528 6 140 175,50 0,800 174,99 175,550 7 145 177,25 176,38 0,8221 0,8280 0,828 175,13 176,572 8 152 177,50 177,38 0,8569 0,8526 0,853 178,27 177,594 9 110 178,75 178,13 0,6175 0,6277 0,628 175,24 178,615

10 130 180,00 179,38 0,7247 0,7000 0,700 185,71 179,637 11 152 180,75 180,38 0,8427 0,8524 0,852 178,32 180,659 12 206 181,50 181,13 1,1373 1,1588 1,159 177,77 181,680 13 263 182,50 182,00 1,4451 1,4430 1,443 182,26 182,702 14 238 183,25 182,88 1,3014 1,2992 1,299 183,20 183,724 15 247 184,25 183,75 1,3442 1,3436 1,344 183,84 184,746 16 193 184,25 184,25 1,0475 1,0408 1,041 185,44 185,767 17 193 185,50 184,88 1,0439 1,0490 1,049 183,99 186,789 18 149 187,50 186,50 0,7989 0,8000 0,800 186,24 187,811 19 157 189,08 188,29 0,8338 0,828 189,62 188,833 20 161 190,50 189,79 0,8483 0,853 188,83 189,854 21 122 192,00 191,25 0,6379 0,628 194,35 190,876 22 130 193,00 192,50 0,6753 0,700 185,71 191,898 23 167 194,42 193,71 0,8621 0,852 195,92 192,919 24 230 195,33 194,88 1,1802 1,159 198,48 193,941 25 282 196,08 195,71 1,4409 1,443 195,43 194,963 26 255 197,17 196,63 1,2969 1,299 196,28 195,985 27 265 197,50 197,33 1,3429 1,344 197,24 197,006 28 205 199,00 198,25 1,0340 1,041 196,97 198,028 29 210 199,50 199,25 1,0540 1,049 200,20 199,050 30 160 199,92 199,71 0,8012 0,800 199,99 200,071 31 166 0,828 200,49 201,093 32 174 0,853 204,08 202,115 33 126 0,628 200,72 203,137 34 148 0,700 211,42 204,158 35 173 0,852 202,96 205,180 36 235 1,159 202,80 206,202

Meredekség: 1,022 Metszet: 169,420 Corr. Egy.: 0,959 Sthiba: 3,211

38

2.12. Ábra: Az igény alakulása az első három évben

A kiszámított 24 darab átlagos igénnyel elosztva a megfelelő 24 darab tényleges igényt

kapjuk a szezonalitási együtthatók egy lehetséges becslését, amit a 2.7. táblázat 5. oszlopa tartalmaz. Így két évre kapunk egy lehetséges értéket a szezonalitási együtthatókra, tehát minden szezonhoz (hónaphoz) két különböző érté áll rendelkezésre. E két adat átlaga lesz a szezonalitási együtthatók induló értéke. A 2.7. táblázat 6. oszlopa az első lépésben számolt 24 szezonalitási együtthatóból kapott 12 induló értéket tartalmazza. Például a 7. hónaphoz (júliushoz) tartozó szezonalitási együttható induló értéke 0,828, ami az előző lépésben kapott két júliusi adat (7. és 19. hónap) átlaga. A szezonalitási együtthatók összege 11,995, ami jó közelítéssel 12, tehát nem szükséges azokat normalizálni. Az így nyert 12 induló szezonalitási együtthatót mind a három év megfelelő hónapjához hozzárendeljük a 7. oszlopban látható módon. Végezetül a szezontalanított igényadatokat a tényleges igény és a szezonalitási együttható hányadosaként kapjuk. Az így meghatározott értékeket a 2.7. táblázat 8. oszlopa tartalmaz. Ezen adatok már csak az igény véletlenszerűsége miatt szóródnak, ezért illeszthetünk rájuk regressziós egyenest. [1].

Elvégezve a lineáris regressziót a regressziós egyenes meredeksége (b) 1,022, a függőleges tengelyen lévő metszete (a) pedig 169,420 lesz. Meg kell vizsgálni, hogy a meghatározott egyenes mennyire jól illeszkedik a szezontalanított igény adataira. A korrelációs együttható értéke 0,959 ami azt jelzi, hogy igen erős a lineáris kapcsolat. A 2.7. táblázat utolsó oszlopa a regressziós egyenes segítségével meghatározott értékeket tartalmazza. A 2.13. ábra együtt mutatja a tényleges és szezontalanított igény, valamint a regressziós egyenes értékeit. Jól látható a szezontalanított adatoknak a korrelációs együttható által is jelzett igen kismértékű szóródása a regressziós egyenes körül.

2.13. Ábra: A negyedik évi igény előrejelzése lineáris regresszióval

0

50

100

150

200

250

300

0 10 20 30 40

0

50

100

150

200

250

300

350

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46

Igény Szezontalan igény Regr. egyenes Előrejelzés

39

A regressziós egyenest a negyedik évre meghosszabbítva kapjuk az átlagos igénynek a

harmadik év végén a negyedik év minden egyes hónapjára számított előrejelzését. Az átlagos igény előrejelzését a szezonalitási együtthatóval kell korrigálni. A negyedik évi forgalom havi előrejelzései a következő módon kaphatjuk meg:

( ) tt ctF ⋅+= 022,142,169,36

ahol ct a t időszak szezonalitási együtthatója. Az előrejelzési adatokat a 2.8. táblázat 3. oszlopa tartalmazza, feltüntetve a 2. oszlopban a vonatkozó szezonalitási együtthatók induló értékeit is. Az előrejelzés adatai ugyancsak láthatók a 2.13. ábrán.

2.8. Táblázat: A negyedik évi igény előrejelzés a Winters modellel 1.

Hónap 2.

Sezonalitási faktor

3. Előrejelzés

4. Tényleges

igény

5. St

6. Gt

7. ct

8. Módosított előrejelzés

9. Követő

jel 37 (1) 1,443 299,02 303,00 207,775 1,132 1,445 299,022 -1,000 38 (2) 1,299 270,54 270,00 208,691 1,089 1,299 271,405 -0,956 39 (3) 1,344 281,16 285,00 210,249 1,183 1,345 281,853 -2,012 40 (4) 1,041 218,86 220,00 211,422 1,181 1,041 220,052 -2,643 41 (5) 1,049 221,65 225,00 212,982 1,257 1,050 223,010 -3,623 42 (6) 0,800 169,88 172,00 214,388 1,287 0,800 171,401 -4,436 43 (7) 0,828 176,65 177,00 215,296 1,211 0,827 178,571 -3,674 44 (8) 0,853 182,78 185,00 216,601 1,230 0,853 184,598 -4,315 45 (9) 0,628 135,21 138,00 218,232 1,310 0,628 136,738 -5,218 46 (10) 0,700 151,50 154,00 219,632 1,328 0,700 153,687 -5,887 47 (11) 0,852 185,35 187,00 220,644 1,265 0,852 188,347 -5,011 48 (12) 1,159 253,15 258,00 222,056 1,294 1,159 257,145 -5,796

∑ 11,995 11,998 A regresszió számítással kapott előrejelzést exponeciális simítással, a Winters modellt

alkalmazva kívánjuk aktualizálni azt követően, hogy egy hónap elteltével megismertük annak tényleges forgalmát. A Winters modell induló értékei: G36=1,022; S36=206,202; valamint a 2.8. táblázatban feltüntetett szezonalitási együtthatók. A simítási együtthatóknak válasszuk az α=0,2; β=0,2 és γ=0,1 értékeket. A negyedik év első hónapjának elteltével (37 hónap) kiderül, hogy a forgalom 303 eFt volt. Ezt figyelembe véve a 37. hónap becsült konstans eleme, gradiense valamint a 38. hónap módosított előrejelzése a következőképpen számítható:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) eFt 4,271299,1132,1775,207

eFt 132,1022,12,01202,206775,2072,01

eFt 775,207022,1202,2062,01443,1

3032,01

1237373738

36363737

36361237

3737

=⋅+=⋅+==⋅−+−⋅=⋅β−+−⋅β=

=+⋅−+⋅=+⋅α−+⋅α=

−

−

cGSF

GSSG

GSc

DS

A 37. havi tényleges igény magasabb volt, mint a az előrejelzett érték, ezért a 38. hétre készített új előrejelzés kis mértékben megnő. A növekedés szerény mértéke az igény véletlenszerű változásainak csak kismértékű követését engedő simítási együtthatóknak köszönhető.

A 37. heti tényleges igény ismeretében aktualizáljuk a január havi szezonalitási együtthatót is:

( ) ( ) 445,1443,11,01775,207

3031,01 1237

37

3737 =⋅−+⋅=⋅γ−+⋅γ= −c

S

Dc

40

A januári szezonalitási együttható kismértékű változása miatt a legutolsó 12 hónap szezonalitási együtthatóinak összege a módosítás ellenére is közelítőleg 12 marad, így a normalizálás nem szükséges.

Az előrejelzés ezután hasonlóan aktualizálható hónapról hónapra. Amint egy hónap eltelik és megismerjük annak igényét kiszámítjuk a követő jelet, valamint aktualizáljuk a következő havi előrejelzést. A 2.8. táblázat tartalmazza e számítások eredményét is. Az első oszlop a hónapok sorszámát kétféle módon tünteti fel. A zárójelben lévő szám a negyedik év elejétől (előrejelzés kezdete) kezdi a hónapok számozását. A táblázat negyedik oszlopa a negyedik év tényleges igényének adatait mutatja. Észrevehetjük, hogy ez rendszerint magasabb mint a regresszióval előrejelzett érték. A következő három oszlop az igény konstans elemének, gradiensének, valamint a szezonalitási együtthatóknak az aktualizált értékeit tartalmazza. Láthatjuk, hogy a gradiens mindig nagyobb a regresszióval meghatározott induló értéknél (1,022). A nyolcadik oszlopban a tényleges igények ismeretében módosított előrejelzések találhatók. Ezek kismértékben magasabbak, mint a regresszióval kapott előrejelzések. Végezetül az utolsó oszlop a követő jel alakulását tartalmazza. Ezen adatok felhasználásával készült a 2.14. ábrán látható követő jel diagram.

2.14. Ábra: A követő jel alakulása a negyedik évben

(G=1,022; α=β=0,2; γ=0,1) Az ábra jelzi, hogy az igényt szisztematikusan alulbecsültük, mert a követőjel kisebb

megingások ellenére negatív irányba halad és egy idő után az alsó kontrol határon kívülre kerül.

Az igény alábecslésének számos oka lehet. Elképzelhető, hogy az igény növekedése a harmadik évben az első három évben tapasztaltnál sokkal dinamikusabb lett. Ezt sejteti, hogy a három évi adatok alapján meghatározott induló gradiens kisebb értékű valamennyi az előrejelzés során aktualizált gradiensnél. E gradiensek az induló 1,022 érték helyett a negyedik év végén már 1,3 körül alakulnak. Az is elképzelhető, hogy a trend nem additív, hanem multiplikatív jellegű. A 2.15. ábra mind a négy év tényleges igényének adatait ábrázolja. Ezen egyértelműen érzékelhető az igény növekedése. A tapasztalatok birtokában megállapíthatjuk, hogy az alkalmazott előrejelzési modell módosításra szorul. Megpróbálkozhatunk multiplikatív trend modellel. Ehhez nemlineáris regresszióval kellene egy görbét illeszteni a szezontalanított igény adataira. Megpróbálhatunk az additív trend modellnél maradni, esetleg egy meredekebb gradienst feltételezve. Az igény dinamikus változását feltételezve ugyancsak célszerűnek látszik az igény erőteljesebb változásainak követése nagyobb értékű simítási konstansok alkalmazásával.

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Köv

ető

jel

41

2.15. Ábra: A négy év együttes igénye

A 2.16. ábra azt mutatja, hogyan alakul a követő jel, ha az induló gradiens értéke 1,328,

továbbá az α és β értéke 0,5. A gradiens induló értékének választott 1,328 az igény legnagyobb növekedésekor tapasztalat érték. A 2.15. ábrán látható, hogy most a követő jel a kontrolhatárok között zéró érték körül változik, ezen előrejelzési modell tehát megfelelő. Ha az igény multiplikatív jellegű, akkor azonban a következő években ez a modellel is alá fogja becsülni az igényt.

2.16. A trend és simítási konstansok módosítása utáni követőjel diagram (G=1,328; α=β=0,5; γ=0,1)

2.8. Összefoglalás

E fejezetben bemutattuk azokat az egyszerű előrejelzési modelleket, amelyek a termelésmenedzsment területén jelentkező problémáknál rendszerint alkalmazhatók. Valamennyi modell arra a feltételezésre épül, hogy legalább részben ismerjük az igény természetét, az igényt kiváltó okokat és folyamatokat. Nem csak egy egyszerű számhalmaz van tehát előttünk, amiből ki kell találni az igény jellegét. Egy sor nem számszerűsíthető információ is rendelkezésünkre áll. Gondoljunk például az étterem esettanulmányra, amelynél tudtuk, hogy a síelés miatt vélhetőleg szezonalitás lesz, valamint, hogy az étterem sikeres, ezért trend is várható. Ezek nélkül a nem számszerűsíthető ismeretek nélkül nagyon nehéz – ha nem lehetetlen – jó előrejelzést készíteni.

Az igény jellegét sejtető nem számszerűsíthető információk sem mindig utalnak egyértelműen az igény jellegére. A gyakorlatban ezért – különösen az előrejelzés kezdeti időszakaiban – több modellt is alkalmaznak párhuzamosan, figyelik azok működését a követő jel diagram segítségével, majd ezt követően döntenek az előrejelzésre alkalmas modellről. Fontos hangsúlyozni, hogy az igény jellege a termék életgörbe természetének köszönhetően

0

50

100

150

200

250

300

350

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45

-6

-4

-2

0

2

4

6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Köv

ető je

l

42

már rövidtávon is megváltozhat. Ezt a követő jel és a már említett nem számszerűsíthető információk együtt jelezhetik. Ilyenkor változtatni kell az előrejelzési modellen.

Az előrejelzési modellek gyakorlati alkalmazásának egyik fontos problémája az inicializálás, az induló értékek megválasztása. Hangsúlyozni kell, hogy a gyakorlatban rendszerint úgy kezdődik az előrejelzés, hogy van múltbeli tapasztalat az igény alakulásáról. Ezért a múltbeli adatok kiértékelése segíthet jó induló értékeket választani. Ismét gondolhatunk az étterem esettanulmányra, amelynél az első három év után vetődött fel az előrejelzési modell alkalmazásának lehetősége és igénye. Ugyancsak fontos hangsúlyozni a kezdőértékek megválasztásakor a nem számszerűsíthető, az igény jellegére vonatkozó információk fontosságát.

Végezetül meg kell említeni, hogy e fejezet keretében bemutatott előrejelzési modellek mellett még számtalan módszer található a szakirodalomba az igény meghatározására (lásd például [30] és [33]). Az itt bemutatott modellek egyrészt a gyakorlatban leginkább beváltak, továbbá az ismertetésük során bemutatott gondolatmenet segíthet megérteni az itt nem tárgyalt eljárások alapelveit is.

43

3. KAPACITÁSELEMZÉS

A rendelkezésre álló kapacitások mennyiségének meghatározása a termelésmenedzsment egyik legfontosabb feladata. Ennek ismeretében dönthető el, hogy mely rendeléseket érdemes elvállalni (termeléstervezés és programozás), mikor érdemes a raktári készletek szintjét növelni vagy csökkenteni (készletgazdálkodás) és/vagy mely kapacitásokat szükséges bővíteni, illetve szűkíteni (beruházás, erőforrás allokálás). Egy vizsgált erőforrás kapacitása a következő definíció alapján határozható meg: a kapacitás egy meghatározott időszak alatt gyártható termék, vagy nyújtható szolgáltatás mennyisége.

E definíció fontos eleme az idő. Amikor egy erőforrás kapacitását számokkal fejezzük ki, akkor meg kell mondani, hogy a meghatározott mennyiség milyen időszakra vonatkozik (például darab/hó, tonna/év, vevő/nap). Így nem sokat mond az, hogy egy berendezés havi 200 órát dolgozik, mert a berendezés tényleges nagyságát a gyártott termék erőforrásigénye határozza meg. Sokszor a kapacitás nem kizárólag a vizsgált erőforrás műszaki paramétereinek függvénye. Egy repülőgép kapacitásának meghatározásakor például az ülőhelyek száma önmagában nem elegendő adat. A gép havi kapacitását az fogja meghatározni, hogy hányszor repül és milyen útvonalon.

A definíció másik fontos jellemzője, hogy általánosan erőforrás-kapacitásra vonatkozik. Ennek oka, hogy a definíció termelő rendszerekre (gépek, gyártósorok, üzemegységek), szolgáltató rendszerekre (banki kiszolgáló ablak, étterem), valamint szervezeti egységekre (anyagbeszerzési osztály) egyaránt érvényes. A továbbiakban a kapacitás meghatározásának és jellemzésének egyszerű lehetőságeit mutatjuk be. Először a rövid távú kapacitáselemzés módszereit ismertetjük, melyeknek feladata, hogy hozzáigazítsa a kapacitást az igény rövidtávon, ideiglenesen jelentkező változásaihoz. Ezt követően a hosszú távú kapacitáselemzés problémáit vizsgáljuk meg, melyeknek célja, a kapacitás és az igény hosszú távon érvényes egyensúlyának létrehozása és fenntartása.

3.1. A rövid távú kapacitáselemzés összefüggései

3.1.1. Kapacitásjellemzők

A következőekben, négy fontos, a fentiekben megfogalmazott definícióra épülő és a gyakorlatban széles körben alkalmazott kapacitásjellemző számítását ismertetjük.

– Tervezési kapacitás: egy erőforrás vagy erőforráscsoport (gép, szervezeti egység, kiszolgálóhely) maximális kibocsátó-képessége egy adott időszakban, ideális körülmények között.

E kapacitásjellemző arra utal, hogy ha az erőforrás annyit dolgozik, amennyit ideális körülmények között képes, akkor mennyit tud termelni. A tervezési kapacitás a következő módon számolható:

M

HSDN ⋅⋅⋅=kapacitásTervezési

ahol, N – a párhuzamosan dolgozó azonos tulajdonságú erőforrások száma, D – a rendelkezésre álló napok száma, S – a napi műszakok száma, H – az egy műszakban ledolgozott órák száma,

44

M – a termék vagy szolgáltatás egységének előállításához szükséges idő. A számítás elve egyszerű, a számláló a rendelkezésre álló időt, a nevező pedig az

egységnyi termék, vagy szolgáltatás előállításához szükséges időt tartalmazza. – Effektív kapacitás: egy erőforrás vagy erőforráscsoport (gép, szervezeti egység,

kiszolgálóhely) tényleges munkarendjének megfelelő kibocsátó-képessége egy adott időszakban.

( )

M

HSDN ξ−⋅⋅⋅⋅= 1kapacitásEffektív

ahol ξ egy olyan 0 és 1 közötti tényező, amely kifejezi a folyamat sajátosságainak és a munkarendnek megfelelő tervezett időveszteségeket. A gyakorlatban értékét sokszor veszteségszázalékként százalékos formában adják meg. A ξ tényező figyelembe veszi a tervezett karbantartás miatt elvesző időt, a tervezett pihenőidőket, a sorozatátállások tervezett idejét stb. A ξ tényezőnek több eleme is lehet. Egy pneumatikus alkatrészeket gyártó multinacionális vállalat egyik üzemében az effektív kapacitás meghatározásánál a ξ tényezőt négy részre bontják, amelyek a munkások termelékenysége miatti, a berendezés sajátosságai, a termék sajátosságai, valamint a szervezési okok miatti veszteségeket tartalmazzák. Az összefüggés lényege, hogy a tervezhető, várható, a menedzsment által elfogadható mértékű időkiesés csökkentheti a rendelkezésre álló időmennyiséget, vagy növelheti az egységnyi termék vagy szolgáltatás előállításához szükséges időt. Sokszor a ξ tényező értékét explicit módon nem ismerjük, hanem azt tudjuk, hogy a rendelkezésre álló idő mennyire csökken le. Például megadhatjuk a karbantartás miatt elvesző időt. Az effektív kapacitás meghatározásakor ilyen esetben egyszerűen számolhatunk a karbantartási idővel csökkentett munkaórákkal. Természetesen, ha szükséges, akkor a ξ tényező értéke ilyenkor is meghatározható.

A tervezési kapacitás, valamint az effektív kapacitás abszolút kapacitásjellemzők, azt fejezik ki, hogy a rendszer az ideális, valamint a realitásokat figyelembe vevő körülmények között mire képes. A menedzsmentet azonban rendszerint az is érdekli, hogy ezen mutatókhoz viszonyítva mit végzett a vizsgált termelő vagy szolgáltató rendszer. Ezt fejezi ki a következő két relatív kapacitásjellemző:

– Kapacitás kihasználás: a kapacitás kihasználás kifejezi, hogy az ideális körülményekhez képest milyen mértékben vettük igénybe a kapacitást a tényleges működés során.

kapacitásTervezési

kibocsátásTénylegesskihasználáKapacitás =

– Hatékonyság: a hatékonyság kifejezi, hogy a körülmények tervezett alakulásakor milyen mértékben vettük igénybe a kapacitást a tényleges működés során.

kapacitásEffektív

kibocsátásTénylegesgHatékonysá =

Az ismertetett négy kapacitásjellemző használatát szemlélteti a következő egyszerű példa. Egy berendezés egy héten öt napot dolgozik, naponta egy, nyolc órás műszakban. Amikor a berendezés dolgozik, 100 darabot képes óránként termelni. Hasznos időalapjából 10% a karbantartási, valamint átállási idő. Az egyik vizsgált héten a berendezés kibocsátása 3000 db volt.

45

Az ismertetett adatok alapján a kapacitásjellemzők a következők:

darab/hét400010085

100

18151

kapacitásTervezési =⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=M

HSDN

( ) ( )darab/hét36009,010085

100

11,0181511

kapacitásEffektív =⋅⋅⋅=−⋅⋅⋅⋅=ξ−⋅⋅⋅⋅=M

HSDN

%7575,04000

3000

kapacitásTervezési

kibocsátásTénylegesskihasználáKapacitás →===

%3,83833,03600

3000

kapacitásEffektív

kibocsátásTénylegesgHatékonysá →===

A kapott eredményekből kiolvasható, hogy a tényleges kibocsátás alacsonyabb volt, mint

amennyi a munkarend szerint lehetséges (hatékonyság 83,3%). Ennek oka például a rendelések hiánya, vagy az alapanyag problémák miatt megnövekedett darabidő lehet. A kapacitás kihasználás és a hatékonyság közötti eltérés pedig arra utal, hogy a karbantartás műszakon kívülre ütemezésével a rendszer kibocsátása szükség esetén növelhető.

A kapacitás kihasználás és a hatékonyság mutatókat együtt kell használni a termelő vagy szolgáltató rendszerek kihasználtságának vizsgálatakor, mert azok a menedzsment eltérő szintjeire tartozó problémákra utalnak. Míg a hatékonyságért az felel, akinek feladata a termelési folyamat „jó” végrehajtása (például termelésvezető), addig a kapacitáskihasználás és hatékonyság eltéréséért az felel, akinek az üzem egészének „jó” működtetése a feladata (például üzemvezető). Az erőforrás felhasználás értékelése kizárólag a kapacitás kihasználás alapján ezért gyakran hibás következtetésekre, a kihasználatlanság okainak és felelőseinek helytelen meghatározásához vezethet [41].

Meg kell még jegyezni azt is, hogy a a bemutatott formuláknak számtalan – a helyi adottságokhoz igazított – változata létezik (lásd például [26]).

Az említett négy kapacitásjellemző a gyakorlatban széles körben alkalmazott eszköz a kapacitás értékelésére. Alkalmazásuknak azonban kétségtelen korlátai is vannak. Ezek közül két lényegeset szükséges kiemelni:

– A kapacitás leírására szolgáló összefüggések csak egyetlen termék gyártása, illetve egyfajta szolgáltatás nyújtásakor alkalmazhatók. Az összefüggésekben ugyanis csak egyetlen időadat (M) szerepel. Amikor több termék vagy szolgáltatás veszi igénybe ugyanazt a kapacitást, akkor vagy egy átlagos (például a gyártandó mennyiséggel súlyozott) idővel számolhatunk, vagy összetettebb esetekben a matematikai programozás optimalizálási modelljeihez fordulhatunk segítségért [22]. Kétségtelen azonban, hogy rövidtávú számításoknál, – amikor például azt kell meghatározni, hogy egy egyébként többféle terméket gyártó berendezés a következő műszakban le tud-e gyártani egy meghatározott mennyiséget egy adott termékből – a bemutatott összefüggések jól használhatóak.

– A bemutatott összefüggések determinisztikusak, nem veszik figyelembe, hogy a rendelkezésre álló idő és/vagy a szükséges idő egyaránt lehetnek valószínűségi változók. A sorbanállás elmélet rávilágít arra, hogy ha a kiszolgálási (gyártási) idő és a beérkezési időköz valószínűségi változók, akkor egy alacsonyabb (például 60%-os) kapacitás kihasználás is eredményezhet elviselhetetlenül kedvezőtlen működést (például magas készleteket, vagy hosszú várakozási időt) [23]. A bemutatott összefüggések a rendszer nagyvonalú, statikus

46

vizsgálatára megfelelőek, de a dinamikus viselkedés részletes vizsgálatakor sorbanállási modelleket, valamint szimulációt kell alkalmazni [29]. Éppen az erőforrások dinamikus viselkedésének vizsgálata irányította a figyelmet arra a tényre, hogy a magas kapacitáskihasználás erőltetése nem feltétlenül eredményes stratégia. Az időalapú versenyzés (time based competition = TBC) arra az elvre épül, hogy nem a kapacitás, hanem az időbeni viselkedés a fontos, ezért rövid átfutásra kell törekedni, ami rendszerint csak alacsony kapacitás kihasználás mellett érhető el [6].

Minden kritika ellenére azonban megállapítható, hogy a kapacitáskihasználás és hatékonyság a termelő és szolgáltató rendszerek működésének legfontosabb mutatói közé tartoznak.

3.1.2. Rövid távú kapacitástervezés

Az előző pontban ismertetett összefüggések segítségével a kapacitás rendelkezésre állásának rövid távú kérdései vizsgálhatók. Rövid távon azt kell eldönteni, hogy egy rendelés, vagy egy időlegesen megnövekedett igény kielégítése rövid távon (néhány nap, hét, esetleg hónap) lehetséges e. Nem tartós változásokról van tehát szó, hanem a kapacitással szemben jelentkező igény ideiglenes változásáról. A rövidtávú kapacitásvizsgálatok feladata tehát az igény és a kapacitás rövid távú összhangjának megteremtése. Ez két módon lehetséges; vagy az igény alakulását befolyásoljuk, vagy a rendelkezésre álló kapacitást változtatjuk meg.

1. Az igény befolyásolása. A rövid távú kapacitásproblémák megoldásának az utóbbi években egyre terjedő módja az igény befolyásolása, vagy népszerűbb nevén igénymenedzsment. Az igénymenedzsment célja az igény átirányítása a kapacitáshiánnyal rendelkező időszakokból a kapacitásfelesleggel rendelkező időszakokba. E módszer akkor célravezető, ha egyrészt az igény befolyásolható, másrészt az igény befolyásolása kisebb ráfordítással jár mint a kapacitás változtatása. Az igény kapacitás okok miatti befolyásolásának jellegzetes eszközei lehetnek például a következők:

– Árváltoztatás. Olyan termelő és szolgáltató rendszerek, amelyek kapacitásának változtatása költséges, gyakran árkedvezménnyel ösztönzik a vevőket vásárlásra/fogyasztásra a kapacitásfelesleggel rendelkező időszakokban. Ennek egyik jellegzetes példája a légitársaságok őszi akciója. Ilyenkor arra ösztönzik a szabadságukat ősszel is felhasználni tudó ügyfeleket, hogy ne a legjobban terhelt nyári szezonban utazzanak, hanem ősszel, amikor az igen nagy értékű erőforrások (repülőgépek) szabad kapacitással rendelkeznek.

– Raktárra termelés a kapacitásfelesleggel rendelkező időszakban. Ha a termék tárolható, akkor gyakran a kapacitásfelesleggel rendelkező időszakban a termelő rendszer raktárra termel, a kapacitáshiánnyal küzdő időszakban pedig az igény egy részét raktárról elégítik ki. Fontos feltétel, hogy a tárolt termék készlettartási költsége alacsonyabb legyen mint a kapacitás növelésének költsége a kapcitáshiányos időszakban. Üdítőital gyártók például gyakran termelnek raktárra tavaszi időszakban, hogy a nyári kánikula idején jelentkező igényt ki tudják elégíteni.

– Rendelések átfutási idejének változtatása. Kapacitáshiánnyal rendelkező időszakban hosszabb átfutási idővel vállalhatja el egy rendszer a rendelések teljesítését. Ez akkor lehetséges, ha a hosszabb átfutási idő miatt elpártoló vevők vesztesége kisebb, mint a kapacitás bővítésének költsége. Egy tisztítószalon például a báli szezon környékén a megnövekedett igény miatt hosszabb határidővel vállalhatja öltönyök tisztítását.

– Rendelés felvétele. Az egyébként raktárra termelő rendszerek a kapacitáshiányos időszakban átállhatnak rendelésre termelő rendszerré. Ilyenkor meghatározott időszakokban csak akkor tudonk vásárolni, ha korábban előjegyezték a rendelést. Ez a módszer akkor

47

alkalmazható, ha az előjegyzési (rendelés felvételi) rendszer bevezetése miatt elpártolt vevők miatti veszteség nem nagyobb, mint a kapacitás bővítésének költsége. Cukrászdákban gyakran előfordul, hogy ünnepek előtt csak rendelésre lehet tortát venni, mert a megnövekedett igényt közvetlenül a boltból nem elégíthető ki.

Hangsúlyozni kell mégegyszer, hogy a felsorolt esetekben a vásárlók befolyásolásának célja nem az igény növelése, hanem a kapacitáshiányos időszakban jelentkező igény egy részének átterelése a kapacitásfelesleggel rendelkező időszakokba.

2. A kapacitás befolyásolása. A kapacitás rövid távú befolyásolása az effektív kapacitás képletében szereplő adatok megváltoztatását jelenti. Így változtathatjuk a rendelkezésre álló erőforrások számát (N), a munkanapok számát (D), a műszakok számát (S), a műszak óráinak számát (H), a tervezett termeléskiesés idejét (ξ), valamint egy darab előállításának (egy vevő kiszolgálásának idejét (M)). A kapacitás rövidtávú változtatásának néhány jellegzetes módja a következő:

– Túlóra. A kapacitás időlegesen növelhető, ha a rendes munkaidőn túl, megemelt bérköltségek mellett folyik munkavégzés. A túlóra akkor elfogadható kapacitásbővítési mód, ha a magasabb bérköltség miatti többletráfordítás kisebb, mint a kapacitáshiány miatt jelentkező közvetlen vagy közvetett veszteség.

– Műszakszám növelés. Gyakran előfordul, hogy egy gyártóüzem, vagy szolgáltató rendszer nem minden nap működik ugyanannyi műszakban. Az sem ritka, hogy egy termelőrendszer szűk keresztmetszete több műszakban dolgozik, mint a többi üzemrész. A kapacitáshiányos időszakokban megnövelt műszakszám többletköltsége kisebb kell hogy legyen a kapacitáshiány közvetlen vagy közvetett veszteségénél.

– Karbantartás átütemezése. A kapacitásbővítés egyik módja lehet, hogy a karbantartási feladatokat akkor végzik, amikor a termelő, vagy szolgáltató rendszer nem működik. Ilyenkor a tervezési kapacitás nem változik, de a tervezett termeléskiesés csökkenése miatt az effektív kapacitás nő.

– Alvállalkozók alkalmazása. A kapacitás növelésének egy sajátos módja, amikor azokat a rendeléseket is elvállaljuk, amelyeket kapacitáshiány miatt nem tudunk teljesíteni és a munkát alvállakozókkal végeztetjük el. Az alvállakozói gyártás költsége rendszerint magasabb, mint a saját gyártás költsége, de a többletköltség még mindig kisebb lehet, mint a rendelések visszautasításának közvetlen és közvetett vesztesége.

– Berendezések bérlése. A felhasznált erőforrások száma rövid távon növelhető gépek, berendezések bérlésével. A bérleti díj ismét többletköltséget jelent, ezért vizsgálni kell a megnövekedett költségek melletti gazdaságosságot.

– Termelésütemezés (sorozatnagyság növelés). Termelésütemezéssel, a termelés időbeli lebonyolításának megváltoztatásával a kapacitás közvetve növelhető. Ilyenkor a tervezési kapacitás nem változik, de a rendelkezésre álló idő jobb kihasználására törekszünk, tehát az effektív kapacitást növeljük. E témakörrel részletesen a termelésütemezés foglalkozik [13],[34]. Példaként a gyártási sorozatnagyság növelését említhetjük, amikor kapacitáshiányos időszakokban nagyobb gyártási sorozatokkal csökkentjük az átállások számát és ezzel az átállás miatt kieső időt. Ezzel természetesen bizonyos termékek szállítási határideje megnő (azoké, amelyeket a nagyobb gyártási sorozatnagyság miatt ritkábban gyártunk), de az emiatt jelentkező veszteséget vagy többletköltséget kompenzálhatja a megnövekedett effektív kapacitás haszna.

– Ütemidő változtatás. Gyártósorok ütemideje a gyártórendszer műveleteinek átrendezésével változtatható [41] és ezzel az időegység alatt kibocsátott mennyiség növelhető. Ennek természetesen többletköltsége van, de kapacitáshiányos időszakokban a többletköltség alacsonyabb lehet, mint a kapacitáshiány közvetlen vagy közvetett vesztesége.

48

– Bizonyos műveleteknek a vevőre hárítása. Nem ritka, hogy bizonyos termékeknél úgy növeljük a kapacitást, hogy csökkentjük a termék előállítási idejét bizonyos műveletek elhagyásával. Ösztönözhetjük a vevőt arra, hogy ő fejezze be a termék gyártását, és ezért cserébe azt olcsóbban kapja. A lapra szerelt bútorok bevezetésével például jelentős szállítási és tárolási kapacitás takarítható meg. Ilyenkor a vevő maga végzi el a végső szerelési műveleteket.

A kapacitás időleges változtatására felsorolt módszerek önállóan és kombináltan is alkalmazhatók. A menedzsment feladata például annak eldöntése, hogy mennyi túlóra alkalmazása gazdaságos és mikor érdemes alvállalkozókat is alkalmazni. A gazdaságos kapacitásbővítési eszközök együttesének kiválasztásának módszereivel a termeléstervezés fejezetben (5. fejezet) foglakozunk részletesen. Fontos azonban már itt hangsúlyozni, hogy a megfelelő döntéshez szükséges az alkalmazott módszerek költségekre gyakorolt hatásának minél pontosabb ismerete. A rövidtávú kapacitásbővítés gazdasági következményeinek elemzésénél figyelembe kell venni a bővítés végrehajtásának egyszeri költségét, valamint a kibővített kapacitás működtetésének többletköltségét is. A gazdasági következmények vizsgálata azért fontos, mert nem elegendő a kapacitást növelni, azt célszerű a lehető leggazdaságosabban megtenni.

Az eddigiekben többnyire a kapacitás növeléséről beszéltünk, de természetesen szükség lehet a kapacitás időleges csökkentésére, leépítésére is. Ilyenkor ugyanezek az eszközök alkalmazhatóak fordított irányban. Tehát csökkenthető a munkaidő, bérbe adhatóak a berendezések, csökkenthető a gyártási sorozatnagyság, stb. Végezetül hangsúlyozni kell még egyszer, hogy időleges kapacitásváltozásról beszélünk, tehát a kapacitáshiányos időszak befejeztével a rendszer könnyen visszaállítható az eredeti tervezési és effektív kapacitás melletti működésre.

A rövidtávú kapacitáselemzés számításai a következő egyszerű összefüggés vizsgálatára épülnek:

( )

M

HSDNQ

ξ−⋅⋅⋅⋅≤ 1

Az összefüggés azt fejezi ki, hogy az előírt feladat (Q) elvégzéséhez elegendő effektív kapacitással kell rendelkezni, tehát például le kell tudni gyártani egy meghatározott mennyiséget, vagy ki kell tudni szolgálni egy adott számú vevőt. A számítások menetét egy egyszerű példával szemléltetjük.

Egy bankban azt jelezték előre, hogy egy meghatározott időszakban naponta átlagosan 100 vevő jelentkezik, hogy egy újonnan bevezetet számlatípust megnyisson. Egy alkalmazott átlagosan három vevőt tud kiszolgálni óránként a pultnál, de minden vevőhöz továbbá 40 percnyi adminisztrációs munka is tartozik később az irodában. Az alkalmazottak idejük 20%-át egyéb tevékenységekkel töltik (megbeszélések, értekezletek, stb.). A munkaidő a hét öt napján 9.00 órától 16 óráig tart egy óra ebédidő közbeiktatásával délben. A kérdés az, hogy átlagosan hány alkalmazott szükséges a feladat elvégzéséhez.

Esetünkben a feladat az alkalmazottak számának (N) meghatározása, tehát az előbbi egyenlőtlenséget felhasználva a következő feltételnek kell teljesülnie:

( )ξ−⋅⋅⋅⋅≥

1HSD

MQN

Felhasználva, hogy egy vevővel átlagosan 60/3+40=60 percet kell foglakozni, N értéke e következőképpen számolható:

( ) ( ) 83,202,0160191615

403

60500

=−⋅⋅−−⋅⋅

+⋅≥N alkalmazott

49

A feladat tehát 21alkalmazottal elvégezhető. Ebben az esetben a rendszer tervezési és effektív kapacitása a következőképpen alakul:

( )

63040

3

606019161521

kapacitásTervezési =

+

⋅−−⋅⋅⋅= vevő/hét

( ) ( )

50440

3

602,016019161521

kapacitásEffektív =

+

−⋅⋅−−⋅⋅⋅= vevő/hét

Az eredményből látható, hogy az átlagosan napi 100 vevőt a rendszer ki tudja szolgálni, sőt a munkaidő jobb kihasználásával, az értekezletek és megbeszélések gondosabb ütemezésével további tartalékok szabadíthatók fel. Az igény lényeges növekedésekor megfontolható további alkalmazottak felvétele, a jelenlegi alkalmazottak túlóráztatása, a munkaidő növelése, esetleg a hétvégi nyitva tartás bevezetése. Megalapozott döntés az egyes változatok költségeinek elemzése után hozható.

Vizsgáljuk most meg, hogyan alakulna a kapacitáskihasználás és hatékonyság, egy olyan napon, amikor 90 vevőt szolgáltak ki:

( ) %43,717143,06019161121

403

6090

skihasználáKapacitás →=⋅−−⋅⋅⋅

+⋅=

⋅⋅⋅⋅

=HSDN

MQ

( ) ( ) ( ) %28,898928,02,016019161121

403

6090

1gHatékonysá →=

−⋅⋅−−⋅⋅⋅

+⋅=

ξ−⋅⋅⋅⋅⋅

=HSDN

MQ

A 89,28% hatékonyság azt mutatja, hogy a rendszer munkarend szerinti lehetőségeit nem

használták ki 90 vevő kiszolgálásával. Meg kell azonban vizsgálni, hogy miért nem sikerült több vevőt kiszolgálni; lehet, hogy nem volt több vevő; lehet hogy volt több vevő, de a megfeszített munkavégzés ellenére is csak 90 vevőt tudtak kiszolgálni. A 71,43% kapacitáskihasználás arra utal, hogy a rendszerben lényeges tartalékok vannak.

3.1.3. A tanulási görbe figyelembevétele kapacitáselemzésnél

Az előző fejezetben bemutatott összefüggések arra a feltételezésre épülnek, hogy minden darab elkészítése, illetve minden vevő kiszolgálása pontosan ugyanannyi ideig tart. Bizonyos folyamatoknál azonban a begyakorlottságnak köszönhetően, a mennyiség változásával csökken az előállítási, illetve kiszolgálási idő. A tanulási görbe azon a megfigyelésen alapul, hogy minél gyakrabban végzünk egy tevékenységet, annál begyakorlottabban és gyorsabban tudjuk azt végrehajtani. Ennek analógiájaként azt is feltételezhetjük, hogy ha egy munkás, vagy egy szervezeti egység valamilyen terméket gyárt, akkor az első darab elkészítése hosszabb időt vesz igénybe, mint a másodiké, harmadiké, stb. A darabidő (végrehajtási idő) változását a gyártott mennyiség függvényében a következő empirikus formula fejezi ki:

{ } 0≤⋅= bQaQY b ahol

50

Q – az elvégzett feladat mennyisége (például legyártott termékek száma, feldolgozott ügyiratok száma, kiszolgált vevők száma stb.), a – a feladat első végrehajtásához szükséges idő, b – a végrehajtott feladatok számának növekedésével összefüggő időcsökkenést leíró paraméter, Y{ Q} – a feladat Q-adik végrehajtásához szükséges idő. A végrehajtási idő változását az előállított mennyiség függvényében a 3.1. ábra

szemlélteti b=–0.2 és b=–0.8 értékeknél. Az ábrán látható, hogy b=–0.2 értéknél a fajlagos időszükséglet kisebb ütemben csökken, mint b=–0.8 értéknél.

3.1. ábra: A tanulási görbe eltérő tanulási ráták esetén Az összefüggést megvizsgálva megállapítható, hogy b=–∞ értéknél a legnagyobb ütemű

a fajlagos időcsökkenés, b=0 értéknél pedig gyakorlatilag nincsen tanulás, minden egyes feladatot ugyanannyi idő alatt végzünk el. A tanulási hatás 0 és –∞ közötti mérése gyakorlati szempontból nem praktikus, mert nehezen teszi érzékelhetővé, hogy például b=–100 nagymértékű, vagy csak kis tanulást jelent-e. A gyakorlati életben ezért inkább a tanulási ráta használata terjedt el, amely azt fejezi ki, hogy megduplázva a végrehajtott feladatok számát, hányad részére csökken a fajlagos végrehajtási idő. A tanulási ráta a következő összefüggés alapján számolható:

{ }{ }

[ ][ ]

bb

b

Qa

Qa

QY

QYL 2

22 =⋅

⋅==

Az összefüggésből látható, hogy ha nincsen tanulás (b=0), akkor L értéke 1, míg ha végtelenül nagy tanulás van (b=–∞), akkor L értéke 0. A tanulási ráta segítségével a tanulási hatás 0 és 1 között mérhető.

A tanulási ráta meghatározása a gyakorlatban kétféle módon történhet. Egyszerűbb esetben mérhetjük, becsülhetjük, vagy számíthatjuk a feladat első végrehajtásának idejét, majd mérhetjük vagy becsülhetjük a feladat N-edik végrehajtásának idejét. Az Y{1} és Y{ N} értékek ismeretében a, b, valamint L értékei könnyen számíthatók. Az így két mérés alapján számított tanulási ráta rendszerint pontatlan. A pontosabb módszer lényege, hogy több darab előállítási idejét mérjük. Ebben az esetben rendelkezésünkre áll a következő adatsor: [Qi; Y{ Qi}], i=1,…,M; ha M számú – nem feltétlenül egymást követő – munkadarab előállítási idejét mérjük. E pontokat logaritmus skálán ábrázolva, azok ideális esetben egy egyenes mentén helyezkednek el, ugyanis

{ } { } { }QbaY LnLnLn ⋅+=

a= 2000; b =-0,2; L =0,87

0

500

1000

1500

2000

2500

0 50 100 150

a=2000; b =-0,8; L=0,574

0

500

1000

1500

2000

2500

0 50 100 150

51

A mért adatokat logaritmus skálán ábrázolva és a pontokra lineáris regresszióval egy egyenest illesztve megkaphatjuk a és b becsült értékeit, a b segítségével pedig számolható a tanulási ráta (L) becsült értéke.

A tanulási hatás következtében egy termék első száz darabjának az előállítása nyilvánvalóan nem ugyanakkora kapacitást köt le, mint a másodok száz darab elkészítése. Ezt a kapacitásszámításnál feltétlenül figyelembe kell venni. A tanulási hatást is figyelembevevő kapacitásigény meghatározását teszi lehetővé a kumulált tanulási görbe. Egy adott Q mennyiség legyártásához a tanulási hatást is figyelembevevő összes idő a következő módon számítható:

{ } { } { } ∑=

⋅=⋅+⋅+⋅=+++=Q

i

bbbb iaQaaaQYYYT1

összes 2121 KK

Az összefüggésből látható, hogy a Q mennyiség legyártásához szükséges összes idő az első darab elkészítéséhez szükséges idő (a) és az első Q egész szám b-edik hatványának összege segítségével számolható. Ezen utóbbi adatot a kumulált tanulási görbe táblázat tartalmazza (függelék I. táblázat). A tanulási görbe táblázat a tanulási ráta (L) és Q függvényében tünteti fel a ∑ib tagot. Így egy adott mennyiség legyártásához szükséges idő az első darab elkészítéséhez szükséges idő és a táblázatból vett megfelelő adat szorzataként kapható meg.

A tanulási görbe használatának illusztrálásaként tekintsük a következő példát. Egy üzem hetente 5 napot dolgozik, napi 1 műszakban. Egy műszakban átlagosan 9 órán keresztül folyik közvetlen termelő tevékenység. Az üzemben egy új termék megjelenésekor a tanulási hatást a kapacitástervezésnél figyelembe veszik. Megfigyelték, hogy egy hasonló terméknél az első darab elkészítéséhez 200 percre, míg a 100-ik darab elkészítéséhez 29,6 percre volt szükség. A menedzsment úgy gondolja, hogy az új terméknél is hasonló tanulási hatás várható. Határozzuk meg az első hónap mind a négy hetére külön-külön a legyártható mennyiséget, ha teljes kapacitáskihasználás mellett dolgoznak az üzemben.

Az időadatok alapján a tanulási ráta becsült értéke a következő módon számolható:

{ }{ } { } { }

75,02

41487,0148,0Ln100Ln148,01006,29100200100

20020011

4148,0 ≅=

−=→=⋅→=→=⋅=

=→=⋅=

−L

bbY

aaYbb

b

A heti rendelkezésre álló idő 5 nap·1 műszak·9 óra·60 perc=2700 perc. Ezt elosztva az

első darab elkészítéséhez szükséges idővel kapjuk a tanulási görbe táblázatban megkeresendő értéket (2700/200=13,5). A függelék I. táblázatában ezen értéknél a 0,75 tanulási ráta oszlopban 40 szerepel, így az első 40 darab legyártásához 2700 percre, tehát egy hétre van szükség. Természetesen a második héten a tanulási hatás következtében ennél többet kell gyártani. Az első két héten rendelkezésre álló összes idő 2·2700 perc. Az I. táblázatban most a 2·2700/200=27 értékhez tartozó mennyiség 120 darab. Ez kétheti termelés, amelyből az első héten 40 darabot, a második héten pedig 120–40=80 darabot tudunk legyártani. Hasonló módon számolva a három-, majd négyheti kumulált gyártható mennyiséget a harmadik és negyedik heti kapacitásra 115, illetve 145 darab adódik.

Az eredményből látható, hogy hetente egyre többet tudunk gyártani a tanulási hatás következtében. Az is észrevehető, hogy a tanulási hatás elhanyagolásával lényegesen alábecsültük volna a kapacitást, mert esetleg tévesen az első darab legyártásához szükséges 200 percből azt gondolhattuk volna, hogy a havi kapacitás 4·5·1·9·60/200=54 darab, szemben a ténylegesen legyártható 380 darabbal (40+80+115+145).

52

A tanulási görbe gyakorlati alkalmazásának természetesen korlátjai is vannak. Egyik legnagyobb problémája, hogy gyakran igén nehéz megbecsülni az első darab elkészítésének idejét. Gondoljunk például egy gépkocsi összeszereléséhez szükséges idő meghatározására. További kérdés, hogy ami igaz egyetlen munkásnak a gépnél tapasztalható tanulására, az milyen mértékben vetíthető ki egy egész szervezeti egységre, például egy szerelősorra. Ugyancsak probléma lehet, hogy egy már régebben gyártott termék során felhalmozódott „tanulás” milyen mértékbe vehető figyelembe később, ha közben mást is gyártottunk.

Mindezek ellenére az 1930-as években népszerűvé vált tanulási görbe [9] újabban ismét előtérbe kerül. Ennek egyik oka, hogy a vevőorientált gyártó és kiszolgálórendszereknél egyre gyakoribb a kis sorozatú gyártás. A tanulási görbe alakjából látható, hogy éppen a kezdeti szakaszban (új termék kis sorozatú gyártása) van jelentősége a tanulásnak. Továbbá az egyre komplexebbé váló termékek és szolgáltatások előállításakor kétségtelen szerepe van a tanulási hatásnak. Összefoglalva tehát, megállapíthatjuk, hogy ott, ahol az emberi és szervezeti tanulás hatása feltételezhető, a tanulási hatás figyelembevételével a rendelkezésre álló kapacitásról pontosabb kép kapható, mint annak elhanyagolásakor.

3.1.4. A megbízhatóság figyelembevétele

A kapacitásszámítást befolyásoló fontos tényező a termék gyártásához, vagy szolgáltatás nyújtásához használt erőforrás megbízhatósága. A megbízhatóság annak valószínűsége, hogy egy erőforrás egy vizsgált időszakban nem fog meghibásodni. Egy berendezés 0,6 értékű megbízhatósága azt jelenti, hogy például egy vizsgált napon a berendezés hibátlan működésének valószínűsége 0,6; tehát a meghibásodás valószínűsége 0,4. Több egymás utáni napot vizsgálva pedig azt mondhatjuk, hogy átlagosan 10 napból minden négyben a berendezés meg fog hibásodni. Ha tehát például a berendezés tervezési kapacitása 150 darab/nap, akkor hosszú távon átlagosan csak 150·0,6=90 darab/nap kibocsátással számolhatunk. Ráadásul azt is figyelembe kell venni, hogy a berendezés élettartamának különböző szakaszaiban a megbízhatóság változhat, tehát a megbízhatóság a működési idő függvénye. Erőforrások megbízhatóságának vizsgálatával a megbízhatóság elmélet foglalkozik (lásd például [17], [27]), melynek részletezés ismertetésétől itt eltekintünk. A továbbiakban ismertnek feltételezzük a termelő vagy szolgáltató rendszerben felhasznált erőforrások megbízhatóságát és azt vizsgáljuk meg, hogy ezen adatok felhasználásával hogyan változnak meg a kapacitásszámítás korábban meghatározott eredményei. Ehhez meg kell határozni egy rendszerben működő több erőforrás együttes megbízhatóságát. Vizsgáljunk meg először két olyan speciális esetet, amelyek segítségével a gyakorlatban megtalálható összetettebb rendszerek megbízhatósága is számolható.

– Sorban dolgozó berendezések megbízhatósága. A sorban dolgozó berendezések olyan rendszert alkotnak, amelyben egy berendezés kimenete egy következő berendezés bemenete. Egy ilyen rendszert mutat a 3.2. ábra, feltüntetve az egyes berendezések Ri megbízhatóságát.

3.2. Ábra: Sorba kapcsolt erőforrások

Ennél a rendszernél, ha egy berendezés meghibásodik, akkor leáll az egész folyamat, mert a meghibásodott berendezés kimenete nem jut el a soron következő berendezés bemenetéhez. Az egész rendszer működése tehát megkívánja valamennyi erőforrás működését. Az egyes berendezések egymástól független meghibásodását feltételezve, valamennyi berendezés együttes működésének valószínűsége az egyes berendezések

R1 R2 RN

53

megbízhatóságainak szorzata. A rendszer megbízhatósága (RS) tehát a következőképpen írható fel:

∏=

=⋅⋅⋅=N

iiNS RRRRR

121 K

– Helyettesítő berendezések (párhuzamosan dolgozó erőforrások) megbízhatósága. Párhuzamosan dolgozó berendezéseknél, ha egy berendezés meghibásodik, akkor a leállás idejére egy másik berendezés átveszi a feladatokat. Természetesen ez a másik berendezés is meghibásodhat és akkor egy újabb berendezés veheti át a feladatokat. Egy ilyen rendszert mutat a 3.3. ábra, feltüntetve az egyes berendezések Ri megbízhatóságát.

3.3. Ábra: Helyettesítő erőforrások

Ez a rendszer csak akkor áll le, ha valamennyi berendezés egyszerre hibásodik meg,

aminek valószínűsége a következőképpen írható fel:

( ) ( ) ( ) ( )∏=

−=−⋅⋅−⋅−N

iiN RRRR

121 1111 K

A rendszer megbízhatósága annak valószínűsége, hogy a rendszer működik, tehát

( )∏=

−−=N

iiS RR

1

11

Hangsúlyozni kell, hogy a párhuzamosan feltüntetett erőforrások nem azt jelentik, hogy egyszerre több erőforrás végzi a feladatot. Ha az egyik berendezés meghibásodik, akkor a másik besegít, tehát helyettesíti a meghibásodott erőforrást. Ha több erőforrás ténylegesen párhuzamosan dolgozik, akkor a párhuzamosan dolgozó erőforrások megbízhatóságának figyelembevételével számítható a párhuzamosan dolgozó rendszer kibocsátásának várható értéke.

A valóságos rendszerek párhuzamosan és sorosan kapcsolt erőforrások kombinációiból tevődnek össze. Ezért ilyenkor meg kell határozni a teljes rendszer megbízhatóságát. Ennek ismeretében kiszámolhatjuk a rendszer kibocsátásának várható értékét, ami nem más mint a rendszer megbízhatóságát is figyelembe vevő tervezési vagy effektív kapacitás attól függően, hogy a várhatóérték számításnál a tervezett vagy effektív adatokat használjuk-e.

A kapacitásnak a megbízhatóságot is figyelembevevő meghatározását szemlélteti a következő feladat. A 3.4. ábra egy üzem három gyártósorának vázlatos elrendezését szemlélteti, feltüntetve az egyes berendezések megbízhatóságát.

A három gyártósor ugyanazt a terméket gyártja párhuzamosan. Az egyes gyártósorokban a fontosabb berendezések meghibásodásakor helyettesítő erőforrások veszik át a gyártást. A három gyártósor tervezési kapacitásai a következők: A jelű sor: 10000 darab/hét; B jelű sor: 12000 darab/hét; C jelű sor: 20000 darab/hét. Az egyszerűség kedvéért azt feltételezzük, hogy

R1

R2

RN

54

ha egy sor meghibásodás miatt leáll, akkor az egész heti termelés elvész. Határozzuk meg a három gyártósorból álló rendszer tervezési kapacitását!

3.4. Három gyártósorból álló termelőrendszer egyszerűsített ábrája

Ha a megbízhatósági adatoktól eltekintenénk, akkor a rendszer tervezési kapacitása a

három gyártósor tervezési kapacitásának összege lenne, tehát darab/hó42000200001200010000 =++ A megbízhatósági adatokat is figyelembe véve ki kell számítani az egyes gyártósorok

eredő megbízhatóságát. Felhasználva a soros és helyettesítő rendszerre kapott összefüggéseket, az egyes gyártósorok megbízhatósága a következőképpen számolható:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 889,095,09,0185,01195,0111

786,075,017,01185,0111

864,09,08,018,011111

10987

654

321

=⋅−⋅−−⋅=⋅−⋅−−⋅==−⋅−−⋅=−⋅−−⋅=

=⋅−⋅−−=⋅−⋅−−=

RRRRR

RRRR

RRRR

C

B

A

A három egymástól függetlenül dolgozó gyártósor együttes tervezési kapacitása a kibocsátások várható értékeinek az összege. Az egyes sorok kibocsátásának várható értéke pedig a megbízhatóság és a meghibásodás valószínűségének ismeretében számolható. Feltételezzük, hogy ha a rendszer nem hibásodik meg, akkor a kibocsátás a sor tervezési kapacitásával egyezik meg, ha viszont meghibásodik, akkor a sor kibocsátása zéró. Az egyes sorok kibocsátásának várható értéke tehát a következőképpen számolható:

( )( )( ) darab/hét1778020000889,00120000:sorC

darab/hét943212000786,00112000:sorB

darab/hét864010000864,00110000:sorA

=⋅=⋅−+⋅=⋅=⋅−+⋅=⋅=⋅−+⋅

CC

BB

AA

RR

RR

RR

A három párhuzamos gyártósorból álló termelőrendszer kibocsátásának várhatóértéke, tehát a következőképpen számolható: darab/hét358521778094328640 =++ Észrevehetjük, hogy az így kapott érték a megbízhatóságot figyelembe nem vevő számítás eredményénél (42000 darab/hét) lényegesen alacsonyabb.

R3=0.9

R1=0.8

R2=0.8

R4=0.85 R5=0.7

R6=0.75

R7=0.95

R8=0.85

R9=0.9 R10=0.95

A sor

B sor

C sor

55

A bemutatott számítás több egyszerűsítést is tartalmazott. Így feltételeztük, hogy a berendezések egymástól függetlenül hibásodnak meg, ami nem feltétlenül igaz, hiszen egy géphiba miatt rosszul megmunkált alkatrész sokszor további gépeknél is okozhat meghibásodást. Ugyancsak eltekintettünk a meghibásodást követő javítás idejétől, helyette azt feltételeztük, hogy egy egész heti termelés elvész. Figyelmen kívül hagytuk továbbá azt is, hogy amikor a helyettesítő berendezések nem a sorok munkájában vesznek részt, akkor mást gyárthatnak, és eközben történhet a meghibásodásuk. Végezetül eltekintettünk a megbízhatóság időbeni változásától is. A valamennyi gyakorlati szempontot figyelembe vevő részletes elemzés, rendszerint szimulációra épülő vizsgálatot igényel [29]. Az itt bemutatott számítás azonban jó közelítéssel alkalmazható a kapacitás nagyvonalú, közelítő meghatározásához.

3.2. A hosszú távú kapacitáselemzés problémái

A hosszú távú kapacitáselemzések célja a megfelelő reagálás meghatározása az igény tartósan jelentkező változásaira. Ha egy termék iránti igény rövidtávon, például egy ünnepi szezonban megnő, akkor az előző fejezetben tárgyalt módon, – túlórával, harmadik műszak beiktatásával stb. – a kapacitás időlegesen megnövelhető. Ha azonban az igény megnövekedése hosszú távon érvényes, akkor a túlóra, vagy harmadik műszak magas költsége versenyhátrányt jelenthet a nagyobb kapacitással, a rendes munkaidő alacsonyabb bérköltségével dolgozó versenytársakkal szemben. Ilyenkor, tehát nem a kapacitás és az igény időleges összehangolásáról, hanem az igény és a kapacitás hosszú távon gazdaságosan megteremthető egyensúlyáról kell gondoskodni. E feladat megoldásakor két lényeges szempontot kell figyelembe venni.

– Hosszú távú döntéseknél meghatározó tényező a jövőbeni adatok bizonytalansága. Minél távolabbi időpontra vonatkozik egy a kapacitáselemzéssel kapcsolatos igény, gazdasági, vagy technológiai adat, annál nehezebb annak pontos meghatározása. Ezért egyik megoldás a valószínűség számítás összefüggéseinek felhasználásával az eredmény bizonytalanságának számszerű kifejezése. Ha erre nincs mód, akkor több lehetséges helyzet (szcenárió) vizsgálatával kell meghatározni az egyes döntési változatok várható következményeit.

– Egy termék vagy szolgáltatás iránt jelentkező igény – a termék vagy szolgáltatás életgörbéje által meghatározott módon – az idő múlásával mindig változik. Az igény változása azonban rendszerint folyamatosan történik, az ezzel összhangba hozni kívánt kapacitás viszont csak diszkrét módon változtatható. Hosszú távon a kapacitás változása jelentheti egy új gép vásárlását, egy új üzem megnyitását stb., ami ugrásszerűen – diszkrét módon – változtatja meg a kapacitást. Ezért hosszú távon természetes jelenség az igény és a kapacitás egyensúlyának időszakonkénti felbomlása. A menedzsment feladata annak meghatározása, hogy az egyensúly felbomlása az igény vagy a kapacitás javára történjen-e, és mekkora legyen annak megengedett mértéke.

56

A 3.5. ábra három jellegzetes esetben szemlélteti növekvő jellegű igénynél a

kapacitásbővítés lehetőségeit.

3.5./a Ábra: Az igény átlagos kielégítésére törekvő kapacitásbővítés

3.5./b. Ábra: Maximális kapacitáskihasználásra törekvő kapacitásbővítés

3.5./c Ábra: Minden vevő kiszolgálására törekvő kapacitásbővítés

A 3.5./a ábra olyan kapacitásbővítést mutat, amelynél átlagosan ugyan mindig van

elegendő kapacitás, de időnként kapacitásfelesleg, időnként pedig kapacitáshiány alakul ki. Az ábrán látható, hogy a kapacitás diszkrét változását jelző lépcsős szaggatott vonal időnként az igény nagyságát jelző egyenes felett helyezkedik el, időnként pedig a vonal alatt található. A kapacitáshiány jelentkezését követően megtörténik a kapacitásbővítés. A várakozó vevőket pedig a kapacitásbővítést követő kapacitásfelesleg felhasználásával elégítik ki. A 3.5./b ábra a maximális kapacitáskihasználásra törekvő kapacitásbővítést szemlélteti. Ilyenkor a menedzsment megvárja, hogy az igény jelentősen meghaladja a kapacitást, majd úgy bővít, hogy a megnövelt kapacitás is teljesen ki legyen használva. Az ábrán látható, hogy az igény egyenese mindig a kapacitás diszkrét változását jelző lépcsős szaggatott vonal felett helyezkedik el. Ez a stratégia akkor alkalmazható sikeresen, ha a kapacitáshiány miatt várakozó vevők nem tudják igényüket másutt kielégíteni. Végezetül a 3.5./c ábra a minden vevő kiszolgálására törekvő kapacitásbővítést szemlélteti. Ilyenkor rendszerint

Igény

Kapacitás

Mennyiség

Idő

Igény

Kapacitás

Mennyiség

Idő

Igény

Kapacitás

Mennyiség

Idő

57

kapacitásfelesleg van, de amint az igény eléri a rendelkezésre álló kapacitás nagyságát, rögtön megtörténik a bővítés.

Az ábrán látható, hogy a kapacitás diszkrét változását jelző lépcsős szaggatott vonal mindig az igény nagyságát jelző egyenes felett halad. Ez a stratégia akkor lehet eredményes, ha a kihasználatlan kapacitás fenntartása nem nagyon költséges, illetve ha a kielégítetlen vevők miatt jelentkező közvetlen vagy közvetett veszteség nagyon nagy.

Számtalan tényező határozza meg azt, hogy az említett három stratégia közül melyiket, vagy melyek kombinációit érdemes alkalmazni. E tényezők közül a legfontosabbak a következők:

– Piaci pozíció. Monopolhelyzetben lévő vállalatok hajlamosak a maximális kapacitáskihasználásra törekvő stratégiát követni, míg éles piaci helyzetben a minden vevő kiszolgálását követő stratégia a gyakoribb.

– A termék, vagy szolgáltatás hozama. Magas hozamú termékeknél vagy szolgáltatásoknál nem célszerű kapacitáshiány miatt elveszteni a vevőt, ezért a minden vevő kielégítését célzó stratégia a legkedvezőbb. Alacsony hozamnál a kihasználatlan kapacitás költsége magasabb lehet, mint a termék hozama, ezért a kapacitás maximális kihasználására törekszünk.

– A kielégítetlen igény vesztesége. A kielégítetlen igény gyakran az elvesztett hozamon túl egyéb kedvezőtlen gazdasági következményekkel is járhat. A piaci részesedés kapacitáshiány miatti csökkenése például a részvények árfolyamának csökkenéséhez, a versenytársak erősödéséhez vezethet. Ilyenkor célszerű lehet a minden vevői igény kielégítésére törekvő kapacitásbővítési stratégia követése.

– A termékszerkezet stabilitása. A kapacitás kihasználás a termékszerkezet függvénye. (Lásd bővebben az 5. fejezetben). Bizonyos termékek gyártásakor a kapacitás nagyobb mértékben, más termékeknél viszont kisebb mértékben lehet kihasználva. Gyakran változó termékszerkezetnél célszerű szabad kapacitást fenntartani a termékszerkezet változás miatt jelentkező többlet kapacitásigény fedezésére.

– A kapacitás megbízhatósága. Gyakori meghibásodásra hajlamos folyamatoknál nem célszerű a maximális kapacitáskihasználásra törekvő stratégia, mert a meghibásodások miatt könnyen kapacitáshiány keletkezhet.

– A kihasználatlan kapacitás költsége. Magas fix költségű rendszereknél a kihasználatlan kapacitás magasabb többletköltséget, illetve nagyobb értékű nem termelő erőforrást jelent. Ilyenkor a kapacitáshiány miatt elvesző rendelés hozama rendszerint kisebb, mint a kihasználatlan kapacitás kedvezőtlen gazdasági következménye, ezért a maximális kapacitáskihasználásra törekvő stratégia lehet kedvezőbb.

A bemutatott három stratégia természetesen nem csak kapacitásbővítésnél, hanem az igény csökkenése miatt szükségessé váló kapacitáscsökkentésnél is alkalmazható. Ilyenkor is az a kérdés, hogy az átlagos, vagy maximális igény kielégítésére, vagy a maximális kapacitás kihasználására törekszünk-e a kapacitás változtatásakor.

Hangsúlyozni kell azt is, hogy gyakran a rövid és hosszú távú kapacitásváltoztatási intézkedések kombináltan jelentkeznek. Elképzelhető például, hogy először túlórával próbálkozunk a megnövekedett igény kielégítésére, majd egy idő után – a megnövekedett igény tartóssá válásakor – hajtunk végre kapacitásbővítési beruházásokat. A helyes válasz minden kapacitásváltoztatási döntésnél a minden részletre kiterjedő költség-haszon elemzések segítségével adható meg [2], [28].

A 3.5. ábrán bemutatott stratégiák mindegyikének fontos kérdése, hogy milyen lépésekben kövesse a kapacitásváltoztatás az igény változását. A 3.6. ábra az igény egyenletes növekedése mellett a kapacitás gyakori, kisebb mértékű (vastag szaggatott vonal), valamint

58

ritkábban, nagymértékű (pontozott vonal) bővítésének eseteit tünteti fel. Az ábrán láthatjuk, hogy a ritkábban végrehajtott nagy mértékű bővítés nagyobb kapacitás kihasználatlansággal jár együtt, a gyakori kis mértékű változtatás pedig lehetővé teszi az igény növekedésében bekövetkező változások rugalmasabb követését.

A kapacitásbővítés nagyságának és ezzel összefüggésben gyakoriságának meghatározásakor a két legfontosabb tényező a mérettől függő gazdaságosság és a bővítés finanszírozása.

– A mérettől függő gazdaságosság hatása. Nagyobb mértékű kapacitásbővítésnek fajlagosan alacsonyabb a költsége A kapacitásbővítés végrehajtásakor a bővítés mértékétől függetlenül sok tevékenységet el kell végezni. Minél nagyobb a bővítés mértéke, e tevékenységek költsége annál nagyobb kapacitáson oszlik meg, ezért a bővített kapacitás egységére eső költség nagyobb méretű bővítéskor alacsonyabb. A kapacitásbővítés fajlagos költsége tehát a ritkábban végrehajtott nagyobb bővítés stratégiáját indokolja.

– A bővítés finanszírozásának hatása. Ha ritkán hajtunk végre nagy bővítést, akkor ritkán kell egy nagyobb összeget kifizetni. Ha gyakran hajtunk végre kis bővítést, akkor gyakran kell kisebb összeget kifizetni. Könnyen belátható, hogy ugyanazon összegnek egyszerre kifizetése most, vagy fokozatos kifizetése a jövőben, a pénzáramlás szempontjából (cash-flow) nem azonos értékű, mert a ki nem fizetett rész még a kapacitásbővítést végrehajtó számára hozhat hasznot (például kamatozhat). A bővítésfinanszírozás szempontjai alapján ezért a gyakran végrehajtott kis bővítések a kedvezőek.

E két szempont együttes vizsgálata alapján határozható meg az optimális bővítési politika

3.6. Eltérő nagyságú kapacitásbővítések . A mérettől függő gazdaságosság és a kapacitásbővítés nagyságának kapcsolatát

szemlélteti a 3.7. ábra.

3.7. A mérettől függő gazdaságosság

Igény

Kapacitás

Mennyiség

Idő

Tervezési kapacitás

Fajlagos gyártási költség

I

II

Jelenlegi igény

59

Az ábrán a vastag szaggatott vonal a tervezési kapacitás és a fajlagos gyártási költség kapcsolatát fejezi ki. Látható, hogy nagy tervezési kapacitású üzem, ha teljes kapacitáskihasználás mellett dolgozik, akkor olcsóbban tud gyártani. Nem véletlen a vállalatok nagy piaci részesedés megszerzésére törekvése, mert ilyenkor nagy kapacitású üzemekben magas kapacitáskihasználás mellett termelve költségelőnyre tehetnek szert a versenytársakkal szemben. Az igény – a termék életgörbe diktálta – változása miatt azonban egy üzem csak ritkán működik éppen a tervezési kapacitáson. Ha az igény a tervezési kapacitásnál alacsonyabb, akkor a kapacitás fix költsége kevesebb terméken oszlik meg, ezért a fajlagos gyártási költség nőni fog. Ugyanez a helyzet akkor is ha az igény csökkenése nem kihasználatlan kapacitást, hanem raktárra termelést eredményez. Ilyenkor a fajlagos termelési költség a raktározási költség miatt nő meg. Ezt fejezi ki a 3.7. ábrán látható u alakú folytonos vonallal jelölt görbék bal oldala. Ugyanakkor, ha a tervezési kapacitást meghaladó mennyiséget állítunk elő, akkor ugyancsak nőni fog a fajlagos gyártási költség például a költségesebb túlóra, a gyakoribb meghibásodás költsége stb. miatt. Ezt fejezi ki a 3.7. ábrán látható u alakú folytonos vonallal jelölt görbék jobb oldala.

A legkedvezőbb tehát a tervezési kapacitás melletti gyártás. Az igény változása miatt azonban csak kivételes, rövid időszakokban tudunk éppen annyit gyártani, mint a tervezési kapacitás. Tételezzük fel, hogy az igény növekszik. Ilyenkor egy idő után többet kell gyártani, mint a tervezési kapacitás, ezért a fajlagos gyártási költség nőni fog. Minél nagyobb mennyiséget gyártunk a tervezési kapacitásnál, annál kedvezőtlenebb a fajlagos gyártási költség. Azok a versenytársak, akik ugyanazt a mennyiséget a tervezési kapacitáson állítják elő, így költségelőnyhöz jutnak. A magas gyártási költség természetesen hosszú távon nem tartható fenn, ezért kapacitásbővítés szükséges. Persze nem érdemes éppen akkora kapacitást kiépíteni, mint az igény, mert akkor az igény további növekedésével ismét előállhat ugyanez a helyzet. Ha a jelenlegi igénynél nagyobb kapacitásbővítést hajtunk végre, akkor viszont a kibővített üzem sem a tervezési kapacitáson fog dolgozni (lásd a 3.7. ábra II jelű görbéjét), ezért fajlagos gyártási költsége nagyobb lesz, mint a tervezési kapacitáson dolgozó versenytársé, de az igény növekedésével ez a helyzet megváltozhat. Az is kérdés azonban, hogy mekkora mennyiséget gyártanak tervezési kapacitáson a versenytársak. Minél nagyobb mennyiséggel teszik ezt – tehát nagyobb a piaci részesedésük – annál kisebb lesz a fajlagos gyártási költségük.

A fajlagos gyártási költség, az igény várható alakulása, a bővítési költség nagyságtól függő gazdaságosságának szempontjai, valamint a piaci helyzet alakulása együtt igen komplex problémává teszik a hosszú távú kapacitásváltoztatás döntéseit. A következő fejezetben egy módszert ismertetünk a vázolt problémakör vizsgálatához.

3.2.1. A bizonytalanság figyelembevétele

Az optimális kapacitásbővítési stratégia meghatározásának előző pontban bemutatott módja nem vette figyelembe azt, hogy milyen valószínűséggel alakulnak ki bizonyos helyzetek a meghozott döntést követően. Bár világos képet kaphatunk arról, hogy az egyes döntési változatoknak (például évente új üzem telepítése, vagy félévente a meglévő termelőrendszer bővítése stb.), mi lesz a gazdasági következménye, de minden feltételezett eredmény megvalósulásának esélye csak a valószínűség számítás segítségével értékelhető. Az egyes változatok gazdasági eredményét a következőkben a környezeti feltételek várható alakulásának függvényében fogjuk vizsgálni. Figyelembe vesszük tehát azt, hogy ugyanolyan kedvező-e egy döntési változat akkor is, ha az igény növekedésének valószínűsége igen nagy

60

(például 0,9), mint akkor, amikor az igény növekedésének valószínűsége csak átlagos (például 0,5). E vizsgálatokat a döntési fa néven ismert módszer segítségével végezzük el.

A döntési fa a döntési változatok kiértékelésére a menedzsment számos területén széles körben alkalmazott módszer. Elméleti hátterével elsősorban a döntéselmélet, valamint operációkutatás szakirodalma foglalkozik [20]. A számítások elvégzésére ma már igen fejlett szoftverek állnak rendelkezésre. A következőkben röviden ismertetjük a döntési fa segítségével elvégezhető legegyszerűbb vizsgálatok alapjait, és megmutatjuk, hogy e módszerrel hogyan támogathatók kapacitásváltoztatással kapcsolatos döntések.

A 3.8. ábra egy egyszerű döntési fát ábrázol, amelyen négyszögekből kiinduló vonalak jelzik a döntési változatokat. Az ábra szerint Döntés 1-nek két változata lehetséges, Változat a, és Változat b. Például a várhatóan megnövekedő igényre a vállalat reagálhat egy új üzem telepítésével (Változat a), vagy a meglévő üzem kis mértékű bővítésével (Változat b). Mindkét változat megvalósításának lesz költsége, amelynek nagyságát az ábrán Ka és Kb jelzi. Bármelyik döntési változat is valósuljon meg azonban, mindegyik gazdasági eredménye a tényleges helyzet függvénye. Az ábrán a menedzsment megítélése szerint három helyzet fordulhat elő, mindegyik pi (i=1,2,3) valószínűséggel. Az egyes helyzeteket az ábrán a döntési változatot követő körből induló ágak jelölik. Például az igény növekedhet p1 valószínűséggel, változatlan maradhat p2 valószínűséggel, és csökkenhet p3 valószínűséggel. Ha más helyzet nem fordulhat elő, akkor e három valószínűség összege 1 lesz. E valószínűségek konkrét értéke fontos, mert a nagy valószínűséggel bekövetkező igény növekedés inkább az új üzem telepítését, míg az igény kis mértékű növekedése a meglévő üzem kis mértékű bővítését indokolná. Továbbá minél nagyobb az igény esetleges csökkenésének a valószínűsége, annál kockázatosabb lesz mindkét bővítési változat. Végezetül értékelni kell minden egyes változat gazdasági következményét a bekövetkezhető helyzetekben. Tudnunk kell tehát, hogy mi lesz a gazdasági következménye annak, ha új üzemet építünk és az igény nagymértékben nőni fog, továbbá mi lesz akkor, ha az igény változatlan marad, valamint ha csökken. Miután hosszú távú, több évre előre tekintő vizsgálatról van szó, a gazdasági következmény lehet az évenként jelentkező haszon nettó jelenértékének az összege, de elképzelhető, hogy egy adott döntéshez a vizsgálatba csak a bevételt, vagy esetleg csak a várható működési költséget vonják be. Az ábrán az egyes változatok meghatározott helyzetekben várható gazdasági következményét a Hij értékek mutatják, ahol i a döntési változatokat, j pedig a bekövetkező helyzeteket jelölő index.

3.8. A döntési fa felépítése

A döntési változatok és a bekövetkezhető helyzetek valószínűségeinek ismeretét, valamint az egyes változatok meghatározott helyzetekben kalkulált gazdásági eredményét

a

Ha,1

Ha,2

Ha,3

Változat 1Ka

Változat 2Kb

b

Hb,1

Hb,2

Hb,3

Döntés1

Helyzet 1

Helyzet 2

Helyzet 3

Helyzet 1

Helyzet 2

Helyzet 3

p1

p2

p3

p1

p2

p3

a

Ha,1

Ha,2

Ha,3

Változat 1Ka

Változat 2Kb

b

Hb,1

Hb,2

Hb,3

Döntés1

Helyzet 1

Helyzet 2

Helyzet 3

Helyzet 1

Helyzet 2

Helyzet 3

p1

p2

p3

p1

p2

p3

61

felhasználva a legkedvezőbb döntési változatot a haszon várható értékének maximalizálása, vagy bizonyos esetekben a felmerülő költségek várható értékének minimalizálása alapján választjuk ki. A 3.8. ábra egyszerű esetében azt a változatot kell kiválasztani, amelyikre teljesül a következő összefüggés:

( )

( ) ( )[ ]bbbbaaaa

ijjii

j

KHpHpHpKHpHpHp

KHp

−++−++=

=

−∑

3,32,21,13,32,21,1 ;MAX

MAX

A fenti összefüggés két érték közül választja ki a nagyobbikat, és az ahhoz tartozó

döntési változat megvalósítását javasolja. Az egyik érték az a, a másik érték a b döntési változat hozamának várható értéke. Az összefüggés eredménye a kedvezőbb döntési változat gazdasági eredményének a várható értéke. A kapott gazdasági eredmény persze a gyakorlatban sohasem érhető el. A tényleges eredmény a várható értéknél jobb, és rosszabb is lehet. A kapott érték ugyanis az egyes helyzetekben bekövetkező eredményeknek a valószínűségekkel súlyozott átlagát tartalmazza. A valóságban azonban az egyik helyzet bekövetkezik és az ahhoz tartozó gazdasági eredmény megvalósul. Tehát ha egyszerű példánkban az a döntési változat bizonyul a legjobbnak, és az igény nagymértékben nőni fog, akkor a tényleges gazdasági eredmény Ha,1–Ka lesz, ami nagyobb, mint a fenti összefüggés eredménye. Ugyanakkor, ha az igény csökkenni fog, akkor a tényleges eredmény Ha,3–Ka lesz, ami az adatoktól függően negatív érték (veszteség) is lehet és nyilvánvalóan a fenti összefüggés eredményénél kisebb érték. A döntési változatok gazdasági eredményének várható értéke tehát nem tényleges eredmény, hanem a döntést segítő, az egyes helyzetek bekövetkezési valószínűségeit tartalmazó, és ezáltal a döntési változat választásának a kockázatát kifejező mutató.

A 3.8. ábra egy igen egyszerű döntési helyzetet mutat. A valóságban előforduló bonyolultabb döntési problémák is hasonló módon vizsgálhatók. Gyakran több döntés is követheti egymást. Egyszerű példánkat módosítva, a b döntési változat jelenthetné azt, hogy nem bővítjük az üzemet, de ha később úgy látjuk, hogy az igény nő, akkor újra végiggondoljuk a lehetséges döntéseket. Az ilyen szekvenciálisan egymáshoz kapcsolódó döntések is az előzőekhez hasonlóan vizsgálhatók, de ilyenkor visszafelé, a jövőből a jelen felé haladva kell meghatározni, hogy az egyes döntéseknél melyik változatot célszerű választani. Amint egy döntési változatot kiválasztottunk, a hozzá tartozó gazdasági eredmény várható értékével kell tovább számolni, a nem választott változatok eredménye a számításban többé nem szerepel.

A bemutatott módszer alkalmazásakor felmerülő legnagyobb probléma a felhasznált adatok pontossága. Az adatoknak két körét lehet elkülöníteni: a döntési változatok egyes helyzetekhez tartozó gazdasági eredményét (Hij), valamint az egyes helyzetek bekövetkezési valószínűségét (pi). A gazdasági eredmény bizonytalansága miatt célszerű lehet a gazdasági adatokat valószínűségi változónak tekinteni. Ennél gyakoribb, hogy a gazdasági eredmények több eltérő értékére elvégzik a számítást vizsgálva, hogy a gazdasági adattok bizonytalansága mennyire érinti a döntést. A gazdasági adatok tág tartományára kijöhet eredményként ugyanannak a változatnak a választása. Ha a választás nagyon érzékeny a gazdasági adatok eredményének esetleges változására, akkor vagy pontosabb adatgyűjtés, vagy pedig egy óvatosabb döntéssorozat megtervezése lehet a megoldás. A bekövetkezési valószínűségek bizonytalanságát érzékenységvizsgálati számítások segítségével vehetjük figyelembe. Vizsgálható, hogy egy kiválasztott pi valószínűség mely tartományára kapjuk ugyanazt a döntési változatot eredményül. Ha ez a tartomány széles, akkor a pi valószínűség pontos

62

értékének ismerete nem meghatározó. Ha az eredményként kapott tartomány nagyon szűk, akkor vagy a pi valószínűség értékének pontos meghatározására kell áldozni (például pontosabb előrejelzés készítése), vagy pedig ismét egy óvatosabb, a bizonytalanságot jobban figyelembe vevő döntési sorozatot célszerű kialakítani.

A következő fejezetben egy egyszerű esettanulmány segítségével ismertetjük a döntési fa alkalmazását kapacitásbővítési problémák vizsgálatánál.

3.2.2. Kapacitásbővítési stratégia vizsgálata – esettanulmány

Egy vegyipari vállalat egy új termék gyártásához új üzem telepítését tervezi. Az új termék várható élettartama 10 év. A menedzsment két lehetséges döntési változatot fontolgat. Vagy mindjárt induláskor építenek egy nagy kapacitású üzemet, vagy először egy kisebb kapacitású üzemet létesítenek, és ha a kereslet megnő, akkor két év múlva lehetőség lesz az üzem kapacitásának bővítésére. A két változat közötti választáshoz az alábbi 10 pontban összefoglalt információ áll rendelkezésre:

1. A marketing osztály a következő előrejelzési adatokat szolgáltatta a döntéshez: – 10 éven keresztüli nagy kereslet valószínűsége 60%, – két évig magas kereslet és utána alacsony kereslet valószínűsége 10%, – 10 éven keresztül alacsony kereslet valószínűsége 30%. 2. Ha az igény nagy, akkor a nagy kapacitású üzem évi 100 millió Ft nyereséget termel. 3. Ha az igény alacsony, akkor a nagy kapacitású üzem nyeresége a magas fix költségek miatt csak 10 millió Ft. 4. Ha az igény alacsony, akkor a kis kapacitású üzem nyeresége évi 4 millió Ft. 5. Ha az igény magas és a kis kapacitású üzemet nem bővítjük, akkor az üzem, az első két évben évi 45 millió Ft utána pedig évi 30 millió Ft nyereséget termel. 6. Ha a kis kapacitású üzemet két év után kibővítjük és az igény nagy marad, akkor az évi nyereség 70 millió Ft lesz. 7. Ha két év után a kis kapacitású üzemet kibővítjük, de az igény lecsökken, akkor a nyereség csak évi 5 millió Ft. 8. A nagy kapacitású üzem telepítése 300 millió Ft-os beruházást igényel. 9. A kis kapacitású üzem telepítése olcsóbb, az 130 millió Ft-ba kerül. 10. Nagy igény esetén a kis kapacitású üzem második évi bővítésének költsége 220 millió Ft. A bemutatott kapacitásbővítési probléma döntési fáját a 3.12. ábra szemlélteti. A merész

stratégia mindjárt az elején nagy kapacitású üzem telepítését jelenti, míg az óvatosabb stratégia először kis kapacitású üzemet létesítene (Döntés 1). Ekkor azonban két év múlva újabb döntési helyzet áll elő, amikor vizsgálni kell, hogy bővítsék e a meglévő kapacitást, vagy pedig működjön tovább az eredetileg telepített kis kapacitású üzem (Döntés 2).

Ha nagy kapacitású üzemet létesítünk, akkor a marketing osztály előrejelzése alapján három helyzet fordulhat elő: tíz éven keresztül magas igény, eleinte magas, később alacsony igény, végezetül tíz évig alacsony igény. Miután dönteni most kell, nem tudjuk megvárni, amíg valamelyik helyzet ténylegesen bekövetkezik, de ismerjük a bekövetkezési valószínűségeket. A 3.9. ábrán a nagy kapacitású üzem telepítését jelző változatot követő körből (a) három helyzetnek megfelelő vonal indul ki, amelyek mindegyikén feltüntettük a marketing osztály által becsült valószínűségeket.

63

3.9. Kapacitásbővítési stratégia elemzése döntési fával

Az óvatosabb stratégia lényege, hogy egyelőre csak kis kapacitású üzem létesül. Ebben

az esetben az alacsony igény bekövetkezésekor kisebb veszteség éri a vállalatot. Ha az igény nagy lesz, akkor a kapacitáshiány veszteséget, vagy elmaradó nyereséget jelenthet, ezért ha a magas igény valószínűsége nagyobb, a vállalat megfontolhatja a kapacitás kibővítését. A 3.9. ábrán láthatjuk, hogy a kis kapacitású üzem létesítését követően most két helyzet fordulhat elő, vagy magas az igény, vagy alacsony. Az első két évben ugyanis a magas, valamint az eleinte magas, utána alacsony igény esetek ugyanazt a helyzetet jelenik. Ennek megfelelően lesz az első két évben magas igény valószínűsége 0,7 (0,6+0,1), valamint a végig alacsony igény valószínűsége 0,3. Ha eleinte alacsony az igény, akkor az előrejelzések szerint az is marad, tehát nincsen értelme két év után megfontolni a bővítést. Ha viszont eleinte magas az igény, akkor két év múlva dönteni kell az esetleges bővítésről, amint azt a 3.9. ábrán a Döntés 2 négyszög jelzi. A két döntési változat most a bővítésből és nem bővítésből áll. Mindkét változatot két helyzet követhet: vagy továbbra is magas lesz az igény, vagy pedig az eleinte magas igény lecsökken. A két helyzet bekövetkezési valószínűségét a feltételes valószínűségek segítségével határozhatjuk meg. A kérdés tehát az, hogy a már két éve magas igényt milyen valószínűséggel követi továbbra is magas igény. A két évig magas igény (valószínűsége 0,7) és az utolsó nyolc évben magas igény (valószínűsége x) együttes bekövetkezésének a következménye, hogy végig magas az igény (valószínűsége 0,6). Két független esemény együttes bekövetkezésének valószínűsége az események külön-külön bekövetkezési valószínűségeinek a szorzata. Ezért az első két év ténylegesen magas igényét követő továbbra is magas igény valószínűsége a következőképpen számolható:

86,07,0

6,07,06,0 ==→= xx

A másik lehetőség, hogy két évig magas lesz az igény és utána csökkeni fog. E lehetőség valószínűsége az előzőhöz hasonló módon a feltételes valószínűség alapján számolható. Észrevehetjük azonban, hogy az első két év magas igényét vagy magas, vagy pedig alacsony igény követheti. E két esemény közül az egyik biztosan megvalósul, tehát bekövetkezési

a

b

c

d

magas

magas - alacsony

10*100=1000 mFt

10*10=100 mFt

8*5=40 mFt

8*30=240 mFt

8*4=32 mFt

10*4=40 mFt

alacsony

m

a

m

a

alacsony

0.6

0.1

0.3

0.3

0.7

0.86

0.14

0.86

0.14

Nagy üzem 300 mFt

Kis üzem 130 mFt

Bővítés 220 mFt

Nincs bővítés

2*100+8*10=280 mFt

8*70=560 mFt

magas

2*45=90 mFt

Dönt 1

Dönt 2

64

valószínűségeik összege 1. Így az első két év ténylegesen magas igénye után az alacsony igény bekövetkezésének valószínűsége 1–0,86=0,14.

A 3.9. ábra minden vízszintes vonala egy döntést és egy hozzá kapcsolódó helyzetet jelent, amelyhez egy gazdasági eredmény tartozik. Az egyszerűség kedvéért, most eltekintünk a jelenérték számítástól, így a megadott adatok alapján a gazdasági következmények a következőképpen számolhatók:

– nagy kapacitású üzem magas igény mellett (2. pont alapján): mFt100010010 =⋅ , – nagy kapacitású üzem eleinte magas, aztán alacsony igény mellett (2. és 3. pont

alapján): mFt2801081002 =⋅+⋅ , – nagy kapacitású üzem alacsony igény mellett (3. pont alapján): mFt1001010 =⋅ , – bővítés után, ha magas az igény nyolc évig (6. pont alapján): mFt560708 =⋅ , – bővítés után, ha alacsony az igény nyolc évig (7. pont alapján): mFt4058 =⋅ , – nincs bővítés és magas az igény nyolc évig (5. pont alapján): mFt240308 =⋅ , – nincs bővítés és alacsony az igény nyolc évig (4. pont alapján): mFt4048 =⋅ , – kis kapacitású üzem alacsony igény mellett (4. pont alapján): mFt40410 =⋅ . A számítások elvégzéséhez a következő adatokat ugyancsak fel kell tüntetni a döntési

fán: – a kis üzem gazdasági eredménye a bővítési döntés előtti két évben magas igény mellett

(5. pont alapján): mFt90452 =⋅ , – az egyes döntési változatok egyszeri ráfordítási költségei a 8., 9., és 10. pont alapján

rendre 300 mFt, 130 mFt és 220 mFt. Az így kapott döntési fa alapján visszafelé, tehát a legkésőbbi döntéstől a legkorábbi

döntés felé haladva kell a számításokat elvégezni. Esetünkben két döntést kell meghozni, amelyekből a két év utáni bővítés vizsgálata esik későbbi időpontra, tehát először azt vizsgáljuk meg. A választ a bővítés, valamint nem bővítés változatok gazdasági eredményeinek várható értéke alapján kapjuk meg:

– A bővítés gazdasági eredményének a bővítési költséggel csökkentett várható értéke: ( ) mFt2,2672204014,056086,0 =−⋅+⋅ – A nem bővítés gazdasági eredményének várható értéke: ( ) mFt88,2103214,024086,0 =⋅+⋅

E két eredményből látható, hogy két év után érdemes bővíteni, mert a bővítés gazdasági eredményének várható értéke nagyobb, mint a nem bővítésé.

A következő lépésben meg kell vizsgálni, hogy az indulásnál nagy kapacitású üzem vagy kis kapacitású üzem telepítése a kedvezőbb-e, ezért meg kell határozni mindkét esetben a gazdasági eredmény várható értékét.

– A nagy kapacitású üzem nyereségének a telepítési költséggel csökkentett várhatóértéke:

( ) mFt3583001003,02801,010006,0 =−⋅+⋅+⋅ – A kis kapacitású üzem várható nyereségének számításakor azt kell figyelembe venni,

hogy két év után a bővítés a kedvező döntés. A számításnál tehát az utolsó nyolc év gazdasági eredményeként a bővítéshez tartozó nyereség várhatóértékét és beruházási költségét kell figyelembe venni:

( )[ ] mFt04,132130403,02,2674527,0 =−⋅++⋅⋅ A magasabb nyereséget jelentő várhatóérték alapján tehát a nagy kapacitású üzem telepítése a legjobb alternatíva. Ha mégsem döntenek a nagy kapacitású üzem telepítése mellett, akkor viszont két év múlva érdemes a bővítést végrehajtani.

65

Az elvégzett számításból a menedzsment tehát azt a következtetést vonja le, hogy a nagy kapacitású üzem telepítése a legkedvezőbb, ha a magas igény valószínűsége az átlagosnál nagyobb (0,6). A döntéshozók szeretnék tudni azt is, hogy ha a magas igényre vonatkozó előrejelzés téves, tehát az alacsony igény valószínűsége a becsültnél nagyobb, akkor is a nagy kapacitású üzem telepítése e a helyes döntés. E kérdést az érzékenységvizsgálat segítségével tudjuk megválaszolni. Vizsgáljuk meg, hogy a magas igény valószínűségét jelző p1 paraméter mely értékeire marad a nagy kapacitású üzem telepítése a legkedvezőbb döntés. Az igény valamennyi lehetséges alakulásának valószínűségét három paraméter fejezi ki. Miután a három feltételezett eseten kívül más eset nem lehetséges, ezért e három eset valószínűségének összege 1 (p1+p2+p3=1). Így p1 változásával egyidejűleg legalább még egy valószínűség értéke változni fog. Ha kisebb a valószínűsége a magas igénynek, akkor nagyobb a valószínűsége valami másnak. A menedzsment leginkább az alacsony igény bekövetkezésétől fél, ezért legyen a másik változó valószínűség p3=1–0,1–p1. E feltételezések alapján az egyes esetek bekövetkezési valószínűségei a következők lesznek:

– A 10 éven keresztüli nagy kereslet valószínűsége: 1p ; – Két évig magas kereslet és utána alacsony kereslet valószínűsége: 0,1; – A 10 éven keresztül alacsony kereslet valószínűsége: 11 9,01,01 pp −=−− ; – Az első két év ténylegesen magas igényét követő továbbra is magas igény

valószínűsége (x):

( )1,0

1,01

111 +

=→⋅+=p

pxxpp

– Az első két év ténylegesen magas igényét követően az alacsony igény bekövetkezésének valószínűsége (y):

( )1,0

1,01,01,0

11 +

=→⋅+=p

yyp

Felhasználva a magas igény valószínűségének (p1) függvényében kifejezett többi valószínűséget, felírhatjuk p1 függvényében azokat a feltételeket, amelyeknek teljesülniük kell ahhoz, hogy a nagy kapacitású üzem telepítése legyen a legkedvezőbb döntés:

1. A nagy kapacitású üzem telepítése kedvezőbb, mint először kis kapacitású üzem telepítése, majd annak későbbi bővítése. Felírva a gazdasági eredmények várhatóértékeit a következő összefüggést kapjuk:

( )

( ) ( ) 130409,0220401,0

1,0560

1,0901,0

3001009,02801,01000

111

11

11

−⋅−+

−⋅

++⋅

++⋅+≥

≥−⋅−+⋅+⋅

ppp

pp

pp

Az egyenlőtlenség átrendezése után a következő feltétel adódik: 155,01 ≥p 2. A nagy kapacitású üzem telepítése kedvezőbb, mint először kis kapacitású üzemet

telepítése és annak változatlanul hagyása. Felírva a gazdasági eredmények várhatóértékeit a következő összefüggést kapjuk:

( )

( ) ( ) 130409,0321,0

1,0240

1,0901,0

3001009,02801,01000

111

11

11

−⋅−+

⋅

++⋅

++⋅+≥

≥−⋅−+⋅+⋅

ppp

pp

pp

Az egyenlőtlenség átrendezése után a következő feltétel adódik: 164,01 ≥p

66

A két feltétel együttesen akkor teljesül, ha p1≥0,164, tehát a menedzsment megnyugodhat, hogy a tíz évig magas igény valószínűségének igen alacsony értékénél is a nagy kapacitású üzem telepítése a legkedvezőbb döntés.

A p1 paraméter érzékenységének vizsgálatakor a három valószínűség közül egynek az értékét (eleinte magas, aztán alacsony igény) lerögzítettük. A számítás hasonlóan végezhető el akkor is, ha két paraméter értéke szabadon változik, a harmadiké pedig a két szabadon változó paraméter függvénye. Ilyenkor eredményül egy kétváltozós feltételt kapunk, amely kifejezi, hogy mely valószínűségi értékpárok mellett lesz a nagy kapacitású üzem telepítése a legkedvezőbb.

3.3. Összefoglalás

A kapacitáselemzéssel foglalkozó fejezetben áttekintettük a termelő és szolgáltató rendszerek erőforrásainak kapacitásával kapcsolatos legfontosabb rövid és hosszú távú problémákat. A rövid és hosszú távú problémák két alapvető tényezőben különböztek egymástól:

– A hosszú távú problémáknál az adatok bizonytalansága jelentős szerepet játszik, ezért e problémáknál a valószínűség számítás, valamint érzékenységvizsgálat fontos szerepet játszik a döntéshozatalban. A rövid távú kérdéseknél is sokszor bizonytalanok az információk, itt azonban elsősorban nem a módszereket teszik alkalmassá a bizonytalanság kezelésére, hanem szervezési intézkedésekkel a termelő rendszert teszik alkalmassá a bizonytalanság kedvezőtlen hatásainak enyhítésére (például biztonsági készletek gyártása, rugalmas alvállakozói hálózat stb.).

– A rövid távú problémák konkrét feladatok megoldásával foglalkoznak, míg a hosszú távú kérdések rendszerint inkább koncepcionális jellegűek. Ezért más a kapott eredmény jelentősége és felhasználása. A rövid távú vizsgálat eredménye gyakran igen hamar megvalósul, például egy rendelés elvállalásakor, túlóra beiktatásakor stb. A hosszú távú vizsgálatok eredményei inkább tájékoztató jellegűek, a végső döntést sok egyéb információ is meghatározhatja.

Mindkét problémakörre igaz azonban az, hogy a bemutatott módszerek finomíthatók, pontosabbá tehetők, a gyakorlati élet speciális problémáihoz igazíthatók. Az így keletkező bonyolult modellek megoldása azonban rendszerint matematikai nehézséget okoz. Gyakran a bonyolult modellek megoldásához szükséges ráfordítások messze meghaladják a nagyobb pontosság hasznát. Ezért a gyakorlatban inkább a vizsgálati módszerek itt bemutatott egyszerűbb formáit használják gyors tájékoztató jellegű információk megszerzéséhez. A konkrét helyzetek pontos vizsgálatához pedig szükség esetén diszkrét szimulációt használnak, amely mentes az elméleti modellek kötöttségeitől [29].

67

4. A KÉSZLETGAZDÁLKODÁS ÖSSZEFÜGGÉSEI

4.1. Bevezetés, a készletgazdálkodás alapproblémája

A készletgazdálkodás a termelésmenedzsment fontos területe, és szoros kapcsolatban van az előző pontokban tárgyalt előrejelzéssel és kapacitáselemzéssel. A rendelkezésre álló kapacitások nagysága mellett a termék vagy szolgáltatás iránt jelentkező igény sajátosságai, a készleteket szállító vagy termelő rendszer bizonytalanságai, valamint a beszerzési és előállítási folyamat költségei jelentősen befolyásolhatják a termelésmenedzsmentnek a készletek kívánatos szintjéről hozott döntését.

A készletekkel kapcsolatos döntések két nagy csoportra oszthatók. A stratégiai döntések azt határozzák meg, hogy egy készletezési rendszernek milyen szinten kell kielégítenie a vevői igényeket. Stratégiai kérdés például, hogy egy, az autópályák kereszteződésénél kialakított diszkont áruház megengedheti-e magának, hogy időnként egyes termékekből hiány alakuljon ki. Ez azért fordulhat elő, mert alacsony készletszinttel dolgozik, melynek következménye az alacsonyabb készletezési költség és így a szokásosnál alacsonyabb az eladási ár is. Ezzel szemben az áruház menedzsmentje dönthet úgy, hogy magas szolgáltatásszintet, de ehhez kapcsolódóan magasabb árakat érvényesít. E kérdés megválaszolása a stratégia menedzsment területére tartozik. A termelésmenedzsment feladata, hogy az eldöntött stratégiát a lehető leghatékonyabban valósítsa meg. Az erre vonatkozó működési döntések arra adnak választ, hogy a stratégia által meghatározott szolgáltatásszintet hogyan érheti el a vállalat a leggazdaságosabban, vagyis, hogy miből, mikor, mennyit és hogyan rendeljen. A készletgazdálkodás fejezet e kérdések megválaszolásához nyújt segítséget.

Elöljáróban szükséges tisztázni néhány, a következőkben felhasználásra kerülő alapfogalmat:

– Tisztán készletező rendszerről beszélünk akkor, ha a megrendelt mennyiség egyszerre érkezik meg a raktárba a külső szállítótól.

– Termelő-készletező rendszerről beszélünk, ha a megrendelt mennyiséget egy termelési folyamat szolgáltatja a termelés ütemében töltve fel a raktárat.

– Független igényű készletezési rendszerről beszélünk, ha a raktározott termék iránti igény nem függ egy másik termék iránti igénytől. E fejezetben ilyen problémákat tárgyalunk.

– Függő igényű készletezési rendszerről beszélünk, amikor a raktározott termék igénye egy másik termék igényétől függ. Ilyen például a gumiabroncsok gyártása, amely egy vállalatnál függhet az egyik fontos vevő üzemében összeszerelt gépkocsik számától, és így azon keresztül a gépkocsik iránti igénytől. E kérdésekkel az anyagszükséglet tervezési rendszer (MRP) foglalkozik [38].

4.2. Klasszikus készletezési mechanizmusok

A készletezési mechanizmus azt a szabályt határozza meg, amely alapján a „hogyan rendeljünk” kérdésre válaszolunk. A készletezési mechanizmus meghatározza, hogy milyen esemény, vagy események bekövetkezésekor kell a rendelést feladni, és a rendelés nagyságát milyen elvek szerint kell meghatározni. A gyakorlatban alkalmazott készletezési

68

mechanizmusok rendszerint két alapesetre, a folyamatos, valamint a periodikus készletvizsgálatra vezethetők vissza.

A folyamatos készletvizsgálat lényege, hogy állandóan figyeljük a készletszint alakulását, és akkor rendelünk, amikor a készletszint lecsökken egy meghatározott értékre. Folyamatos vizsgálat azért szükséges, hogy észrevegyük, mikor kell a rendelést feladni. E rendszer működését a 4.1. ábra szemlélteti.

A készletszint egy meghatározott értékről indulva csökken, és amikor eléri az s utánrendelési értéket, akkor rendelünk egy meghatározott Q mennyiséget. A megrendelt mennyiség az L utánrendelési (szállítási) idő elteltével megérkezik és megnöveli az időközben s alá csökkent készletszintet. Ez a folyamat ismétlődik úgy, hogy mindig pontosan ugyanazt a Q mennyiséget rendeljük. Az azonos rendelt mennyiség miatt e mechanizmust állandó rendelésitétel-nagyság rendszernek is nevezik. A folyamatos készletvizsgálati rendszert gyakran (Q,s) rendszernek is nevezik, utalva arra a két paraméterre, amelynek segítségével a menedzsment megválaszolja a mennyit, és mikor rendeljünk kérdést. Rendeljünk Q mennyiséget akkor, amikor a készletszint s.

4.1. Ábra: Folyamatos készletvizsgálat készletszint diagramja

Folyamatos készletvizsgálatnál minden tárolt egység raktárból történő távozásakor meg

kell vizsgálni, hogy lecsökkent-e már a készlet az utánrendelés szintjére. E készletfigyelésre régebben ügyes mechanizmusokat alakítottak ki. Az egyik klasszikusnak számító megoldás két tároló konténer alkalmazása. Az egyiket s szintre töltjük fel, a másikba pedig a maradék mennyiség kerül. Ha e második konténer kiürül, akkor feladjuk a rendelést, mert tudjuk, hogy már csak s mennyiség van raktáron. A folyamatos készletvizsgálati rendszert ezen egyszerű mechanizmus alapján régen két-konténeres rendszernek (two-bin system) is hívták. Az informatikai eszközök fejlettségének köszönhetően természetesen ma már a folyamatos készletfigyelés könnyen megoldható.

A periodikus készletvizsgálat lényege, hogy meghatározott rendelési periódusonként feltöltjük a raktárt egy meghatározott szintre. E mechanizmus működését a 4.2. ábra szemlélteti. A készletszint egy meghatározott értékről indul. Amikor elérkezik a készletvizsgálat időpontja, akkor megrendeljük azt a mennyiséget (Qi), amely az S maximális készletszintből hiányzik. A megrendelt mennyiség az L utánrendelési idő elteltével megérkezik. Természetesen ezen időszak alatt is fogy a készlet, így a megrendelt mennyiség nem teljesen S szintre tölti fel a raktárt. A rendelés beérkezését követően a megnövekedett készletszint ismét csökkenni kezd. Az R készletvizsgálati periódus elteltével ismét megvizsgáljuk a készletszint nagyságát és megrendeljük a maximális készletszinthez hiányzó mennyiséget. Ennek nagysága függ a két rendelés között jelentkező igénytől, ezért a

s

Q Q

Q

L L L Idő

Készletszint

69

megrendelt mennyiség periódusonként változó nagyságú lehet. A készletvizsgálat és rendelés hasonló módon ismétlődik R hosszúságú időtartamonként. A periodikus készletvizsgálati mechanizmust (S, R) rendszernek is nevezik, utalva arra a két paraméterre, amelynek segítségével a menedzsment megválaszolja a mennyit és mikor rendeljünk kérdést. Rendeljünk minden R időtartam elteltével annyit, amennyi az S szintből hiányzik.

4.2. Ábra: Periodikus készletvizsgálat készletszint diagramja

A két bemutatott készletvizsgálati mechanizmust összehasonlítva két lényeges eltérést

tapasztalhatunk. – A folyamatos készletvizsgálat rugalmasabban reagál az igény változásaira, így a hiány

előfordulásának kockázata kisebb. Folyamatos készletvizsgálatnál állandóan figyeljük a készletszintet és az igény váratlan megnövekedésekor hamarabb rendelünk, mert ilyenkor gyorsabban csökken le a készletszint az s értékre. Ezt követően L időtartamon keresztül várjuk a megrendelt mennyiség beérkezését. Ha ezen időszak alatt lényegesen megnő az igény (nagyobb lesz, mint s), akkor hiány keletkezik. Folyamatos készletvizsgálatnál tehát a hiány kialakulása miatt veszélyes időtartam az utánrendelési idő. Periodikus készletvizsgálatnál a rendelés feladását követően R időtartamon keresztül nem vizsgáljuk a készletszintet, tehát ha két rendelés között bármikor váratlanul megnő az igény, akkor hiány keletkezhet. Ráadásul a megnövekedett igény miatti megrendelt nagyobb mennyiség csak L idő után érkezik meg, így ezalatt az idő alatt is fennáll a hiány kialakulásának veszélye. Periodikus készletvizsgálatnál tehát a hiány kialakulása miatt veszélyes időtartam az utánrendelési idővel megnövelt rendelési periódus (R+L). A hosszabb veszélyes időtartam miatt a periodikus készletvizsgálati mechanizmusban nagyobb a hiány kialakulásának valószínűsége ugyanolyan átlagos készletszint mellett. Másként fogalmazva, a hiány kialakulásának megakadályozása folyamatos készletvizsgálatnál alacsonyabb készletszintet igényel, és így kevésbé költséges.

– A periodikus készletvizsgálat szervezése egyszerűbb. Periodikus készletvizsgálatnál csak R időtartamonként kell megvizsgálni a készleteket, míg folyamatos készletvizsgálatnál minden esetben, amikor a raktárból kivétel történik, meg kell nézni, hogy a készletszint lecsökkent-e már az s szintre. A korszerű informatikai eszközök birtokában ma már a folyamatos készletvizsgálat is viszonylag egyszerűen megvalósítható, de kétségtelen, hogy működtetése mindig több szervezőmunkát és így nagyobb ráfordítást igényel mint a periodikus készletvizsgálat. Ez az ára a hiány kialakulásával szemben a folyamatos készletvizsgálat nyújtotta nagyobb biztonságnak.

A két ismertetett készletvizsgálati rendszert összehasonlítva arra a következtetésre juthatunk, hogy azoknál a termékeknél, amelyeknél a hiány súlyosabb következményekkel

S

Q1

L L L Idő

Készletszint

Q2

Q3

R R

70

jár, folyamatos készletvizsgálatot, míg a hiányra kevésbé érzékeny termékeknél periodikus készletvizsgálatot érdemes kialakítani. A gyakorlatban az igény sajátosságainak megfelelően sokszor a bemutatott két rendszer egyes elemeit kombinálják. Erre mutat példát a 4.3. ábra, amelyen egy s utánrendelési-készletszint és egy S maximális készletszint is látható.

4.3. Ábra: Periodikus készletvizsgálat utánrendelési-készletszinttel A rendszer alapvetően úgy működik, mint a periodikus készletvizsgálat. Minden R

időtartam elteltével megnézzük, hogy mekkora a készletszint, de ha a készletvizsgálat időpontjában a készletszint s felett van, akkor nem rendelünk. Ez a készletezési mechanizmus elkerüli a gazdaságtalanul kis mennyiségek rendelését, és elsősorban akkor használható, amikor gyakoriak az átlagosnál lényegesen alacsonyabb igényű időszakok.

A gyakorlatban előforduló szinte valamennyi készletezési mechanizmus a két alapeset, a folyamatos és a periodikus készletvizsgálat ismeretében könnyen megérthető. A következőkben annak meghatározásával foglalkozunk, hogy mennyit rendeljünk és mikor, tehát mekkorák legyenek Q és s, valamint S és R értékei.

4.3. A készletgazdálkodás költségei

Az előző pontban említettük, hogy a készletgazdálkodás feladata eldönteni, hogy miből mennyit és mikor rendeljünk. E döntéseket a készletezési rendszer költségeinek figyelembevételével hozhatjuk meg. Fontos elkülöníteni a készletekhez kapcsolódó lényeges és lényegtelen költségeket. Egy költség akkor lényeges, ha nagyságát befolyásolja az, hogy hogyan válaszoltuk meg a „miből, mikor, mennyit rendeljünk” kérdést. Példaként tekintsünk egy magas ráfordításokkal létrehozott automatizált raktárrendszert, amelynek magasak az általános költségei. E költségek lényegtelennek tekinthetők a készletezési döntések szempontjából, mert függetlenül attól, hogy a raktár üres, vagy teli van, a fix jellegű költségeket akkor is fizetni kell. Ha viszont béreljük a raktárt és a bérleti díj a tárolt mennyiség függvénye, akkor lényeges költségről beszélünk. Ugyanaz a költség egyes helyzetekben lényeges, más esetekben pedig lényegtelen lehet. A konkrét helyzet dönti el tehát, hogy mely költségeket kell a döntéshozatalánál figyelembe venni. A számításba jöhető költségek körét négy csoportra oszthatjuk.

– Beszerzési költség. E csoportba tartozik az a költség, amely a termék megvásárlásakor vagy gyártásakor keletkezik. E költség akkor lényeges, ha nagysága függ a vásárolt vagy

S

L Idő

Készletszint

R R

s

R

71

gyártott mennyiségtől (mennyiségi árkedvezmény), egyéb esetben lényegtelen, mert előbb utóbb ki kell fizetni az egészet, függetlenül attól, hogy az mikor érkezik meg.

– Rendelési költség. E csoportba tartoznak az árú megrendelésének lebonyolításakor, illetve a rendelés beérkezésekor felmerülő költségek. Tisztán készletező rendszernél ez lehet az adminisztráció, esetleg a szállítás és a minőség-ellenőrzés költsége. Termelő-készletező rendszernél viszont a rendelés egyben a termelőrendszernek a megrendelt termék gyártására való átállását is jelentheti, ami lényeges közvetlen kiadásokkal, illetve sok esetben az átállás miatti termeléskiesés veszteségével és/vagy elmaradó hozamával jár együtt.

– Készlettartási költség. A készlettartási költségek közé azokat a költségeket soroljuk, amelyek nőnek, ha a készletszint nő, illetve csökkennek, ha a készletszint csökken. E költségek között domináns a készletek finanszírozásának költsége, de felmerülhetnek például a technikai és fizikai avuláshoz, mennyiségi veszteséghez, biztosításokhoz, munkabérekhez stb. kapcsolódó költségek is.

– Hiányköltség. A hiányköltség a hiány keletkezésekor jelentkező többletköltségeket (például a késve szállítás költségét), valamint a sokszor nehezen számszerűsíthető elmaradó hozamot jelenti.

4.4. Az optimális rendelésitétel-nagyság alapösszefüggése

A 4.1.–4.3. ábrák készletezési rendszereinek tanulmányozása helyett először vizsgáljuk meg egy egészen egyszerű esetet. Amit az egyszerű eset kapcsán megtanulunk, az egyrészt segít megérteni a bonyolultabb, a valóságban működő rendszerek törvényszerűségeit, másrészt a kapott eredmény heurisztikaként igen jó eredményt ad sok, a vizsgált elméleti esettől eltérő problémánál. Speciális esetünket a következő hat feltétel írja le:

– Az igény egy maghatározott időszakban ismert és állandó (például 100 darab naponta, 500 liter havonta stb.).

– A rendelés feladása és beérkezése között eltelt idő (utánrendelési idő) zéró, tehát a megrendelt mennyiség azonnal megérkezik.

– A megrendelt mennyiség egy tételben érkezik (például ha 100 darabot rendelünk, akkor a rendelés megérkezésekor a készletszint 100 darabbal nő).

– Hiány nem fordulhat elő. Miután az igény ismert, szervezhetjük úgy a rendeléseket, hogy hiány ne alakuljon ki.

– A rendelési költség független a rendelt mennyiségtől. Azt feltételezzük, hogy bármekkora mennyiséget rendelünk, az ahhoz kapcsolódó adminisztráció, szállítás, esetleg átállás stb. nem függ a rendelt mennyiség nagyságától.

– A készlettartási költség arányos a beszerzési költséggel. Ez a feltétel arra utal, hogy a készlettartási költségnek meghatározó része a készletek miatt lekötött tőke költsége, ami viszont a lekötött tőke nagyságától, és ezen keresztül a beszerzés költségétől függ.

E hat feltétel által meghatározott eset készletszintjének alakulását a 4.4. ábra szemlélteti. Az igény állandósága miatt a készletszint egyenletes ütemben csökken. Miután hiány nem lehetséges, és a megrendelt mennyiség azonnal beérkezik, mindig akkor rendelünk, amikor a készletszint éppen zéró. Később nem rendelhetünk, mert hiány lesz, előbb nem rendelünk, mert akkor felesleges készletek halmozódnak fel. Érdemes megjegyezni, hogy az így kapott készletszint diagram látszólag folyamatos készletvizsgálatot, és periodikus készletvizsgálatot egyaránt jelent, mert azonos mennyiségeket rendelünk, továbbá az igény ismert és konstans jellege miatt a rendelési időközök is azonosak. A 4.4. ábrát a készletgazdálkodás fűrészfog diagramjának is nevezik.

72

4.4. Ábra: Az egyszerű EOQ modell készletszint diagramja Határozzuk meg a fentiekben definiált egyszerű eset teljes költségét a rendelt mennyiség

függvényében. A teljes kifejezés arra utal, hogy a készlet beszerzésének költségét, valamint a készlethez kapcsolódó raktározási tevékenységek költségeit együtt kívánjuk meghatározni. A 4.3. pontban felsorolt négy költségcsoportból esetünkben hármat kell figyelembe venni, mert a hiány kizárása miatt hiányköltség nem keletkezik. A teljes költség a következő módon alakul:

vrIQ

DADvQTK Átl++=}{

ahol D – igény ismert értéke egy vizsgált egységnyi (év, hó, hét stb.) időszakban, v – egységnyi mennyiség beszerzési ára, A – egyetlen rendelés költsége, amely feltételeink alapján független a rendelt mennyiségtől, Q – megrendelt mennyiség, Iátl – átlagos készletszint nagysága, r – készlettartási ráta, amely kifejezi, hogy a beszerzési költség hányad részét

tekintjük készlettartási költségnek a vizsgált egységnyi időszakban. E paraméter fejezi ki a feltételeink között meghatározott beszerzési költség és készlettartási költség közötti arányosságot.

A 4.4. ábrát tanulmányozva észrevehetjük, hogy az átlagos készletszint éppen Q/2, mert a

fűrészfog diagram átalakítható egy vele egyenértékű Q/2 egyenletes készletszintű diagrammá. Ezt az értéket behelyettesítve a teljes költségfüggvénybe, a következő kifejezést kapjuk:

vrQ

Q

DADvQTK

2}{ ++=

Az így kapott függvény Q szerinti minimumát kell meghatározni. Ezt megkapjuk, ha a teljes költségfüggvényt Q szerint deriváljuk, és a deriváltat egyenlővé tesszük zéróval:

( )0

20

2=+−=

∂∂ vr

Q

DA

Q

QTK

Az egyenletet Q-ra rendezve jutunk az optimális rendelésitétel-nagysághoz, az eredeti angol névre utalva az EOQ (Economic Order Quantity) formulához:

vr

ADEOQQOPT

2==

A teljes költségfüggvény Q szerint deriváltját átrendezve azt is észrevehetjük, hogy a teljes költség minimuma a készlettartási és rendelési költségek egyenlő értékénél lesz, tehát amikor

Készletszint

Idő s

IÁtl

Q

73

vrQ

Q

DA

2=

Ez az összefüggés a készletgazdálkodás egyensúlyi elvét fejezi ki, és azt mondja, hogy az optimális rendelésitétel-nagyságnál a rendelési és készlettartási költségek egyenlők. Ezen elvet a most tárgyalt egyszerű esettől eltérő problémáknál is lehet alkalmazni, vagy az optimális rendelésitétel-nagyság számításához, vagy pedig heurisztikaként nem optimális, de alacsony teljes költségű tételnagyság meghatározásához.

A teljes költségfüggvény értéke az optimális rendelésitétel-nagyság rendelésekor a következő módon számolható:

ADvrDvvr

vr

AD

vr

AD

ADDvvr

EOQ

EOQ

DADvEOQTK 2

2

2

22}{ +=++=++=

Azt az időtartamot, amely alatt az optimális rendelésitétel-nagyság fedezni tudja az igényt, az optimális rendelésitétel-nagyság ciklusidejének nevezik. Ezen időtartam hossza a következő:

Dvr

A

vr

AD

DD

EOQTEOQ

221 ===

A készlettartási és rendelési költségek alakulását Q függvényében a 4.5. ábra szemlélteti.

4.5. Ábra: A készlettartási és rendelési költség (D=3600 db/év; A=12 000 Ft; v=2500 Ft/db; r=0,6 Ft/Ft/év)

Miután a teljes költségfüggvényben szereplő beszerzési költség (Dv) nem függ a rendelt

mennyiségtől, az konstansként az ábrázoláskor csak felfelé tolja a rendelési és készlettartási költségek összegét, de a függvény alakját nem befolyásolja. Így a 4.5. ábrán a rendelési és készlettartási költségek összegét mutató függvény számértékre nem, de alakra megegyezik a teljes költségfüggvénnyel. Az ábrán látható, hogy a rendelésitétel-nagyság növelésekor a készlettartási költség nő, mert az egyszerre nagyobb beérkező mennyiség jobban megnöveli az átlagos készletszintet. Ugyanakkor a nagyobb megrendelt mennyiség ritkább rendelést feltételez, ezért a rendelési költség csökken. E két ellentétes tendencia összegeként kapjuk a teljes költségfüggvény alulról konvex alakját, amelynek minimuma a rendelési és készlettartási költségfüggvények metszéspontjánál lesz.

A továbbiakban a 4.5. ábra adataival egy egyszerű példán szemléltetjük a rendelésitétel-nagyság számítását. Legyen egy termék iránti igény egy évben átlagosan 3600 darab. A rendelési költség 12 000 Ft. Egy darab beszerzési költsége 2500 Ft, az éves készlettartási ráta pedig 60%. Számoljunk közelítőleg évi 360 munkanappal. Ezen adatok alapján az optimális rendelésitétel-nagyság:

darab2406,02500

36000001222=

⋅⋅⋅

==vr

ADEOQ

0

200

400

600

800

1000

1200

0 200 400 600 800 1000

Köl

tség

ek{

Q}

74

Az így kapott érték a 2.4. ábrán is jól látható. A teljes költség elemei a következő módon alakulnak:

eFt9360eFt180eFt180eFt9000

6,025002

240

240

36000001225003600}240{

=++=

=⋅⋅+⋅+⋅=TK

A költségek arányaiból kitűnik, hogy a beszerzési költség dominál (és ráadásul független a rendelésitétel-nagyságtól). Így a termelésmenedzsment döntésével esetünkben csak a készlettartási és rendelési költséget tudja befolyásolni.

Az évi 3600 darabos igényt tehát 240 darabos rendelési tételekkel kívánjuk kielégíteni, ami évente 3600/240=15 rendelést jelent. A rendelési ciklus hossza:

nap24év0667,03600

240 ≈===D

EOQTEOQ

A beérkező 240 darab tehát közelítőleg 24 napon keresztül teszi lehetővé az igény kielégítését.

Tételezzük fel, hogy a menedzsment úgy gondolja, nem érdemes ilyen kis tételekkel bajlódni, ezért javasolja, hogy félévente egyszer rendeljünk az alkatrészből. Ilyenkor a megrendelt mennyiségnek félévi igényt kell kielégítenie, tehát a rendelésitétel-nagyság 3600/2=1800 darab lesz. E nem optimális rendelésitétel-nagyság teljes költsége a következő módon számítható:

eFt374106,025002

1800

1800

36000001225003600}1800{ =⋅⋅+⋅+⋅=TK

Nézzük meg, hogy az alkalmazott nem optimális rendelési politika miatt hány százalékkal nőtt meg a teljes költség:

%83,1010833,0}240{

}240{}1800{→=

−=∆

TK

TKTKTK

A menedzsment nagyvonalú rendelési politikája tehát 10,83% többletköltséget okoz. Látszólag egyszerűnek és logikusnak tűnő beszerzési politika a gyakorlatban sokszor jelentős költségnövekedést és ezzel a versenyképesség csökkenését jelentheti. Ráadásul ez a növekedés kizárólag szervezési intézkedéssel, szinte ráfordítás nélkül, egy bölcsebb rendelési politika alkalmazásával megszüntethető.

Említettük a 4.4. fejezet elején, hogy a folyamatos készletvizsgálat és a periodikus készletvizsgálat diagramjai ismert és állandó igény esetén látszólag azonosak. Periodikus készletvizsgálatnál a feladat az optimális rendelési periódus meghatározása, ami a készletdiagramok azonossága miatt egyenlő az optimális rendelésitétel-nagysághoz tartozó ciklusidővel. Ez könnyen belátható, ha felírjuk a teljes költséget az R rendelési periódusidő függvényében, figyelembe véve, hogy egy vizsgált egységnyi időszakban 1/R alkalommal rendelünk, és az átlagos készletszint DR/2. A kapott teljes költségfüggvény R változó szerinti deriváltja segítségével megkapjuk az optimális rendelési periódus idejét:

EOQOPT TDvr

AR

R

RTKvr

DR

RADvRTK ==→=

∂∂

→++= 20

}{

2

1}{

A maximális készletszint értéke egyenlő az R idő alatt felhasznált készlet mennyiségével:

EOQvr

AD

Dvr

ADDRS OPT ==⋅== 22

A készletszint diagramok azonossága ellenére kétféleképpen fogalmazhatjuk meg a készletezési rendszer működését:

1. Folyamatos készletvizsgálatnál rendeljük az optimális rendelésitétel-nagyságot, ha a készletek szintje lecsökkent az utánrendelési-készletszintre (esetünkben most nullára).

75

2. Periodikus készletvizsgálatnál rendeljünk az optimális rendelési periódus elteltével (ROPT) akkora mennyiséget, ami feltölti a raktárat S szintre.

4.5. Az optimális rendelésitétel-nagyság érzékenységvizsgálata

Az előző pontban bemutatott optimális rendelésitétel-nagyság formula, valamint annak változatai igen népszerűek a gyakorlatban. Ennek egyik oka, hogy e formulák csak kis mértékben érzékenyek az optimális tételnagyság, valamint az alkalmazott költség adatok változásaira. Ennek következtében nem okoz jelentős költségnövekedést, ha a kapott optimális tételnagyságtól kis mértékben eltérünk, továbbá ha valamelyik költség adatot (például a rendelési költséget) csak közelítőleg tudtuk meghatározni. A következőekben részletesen bemutatjuk ezen érzékenységi információk számítását és jelentőségét a gyakorlatban.

4.5.1. Eltérés az optimális rendelésitétel-nagyságtól

Az optimális rendelésitétel-nagyság a gyakorlatban sokszor nem rendelhető meg. Előfordul például, hogy valamilyen alkatrészt százas csomagokban szállítanak, így minden olyan esetben, amikor az optimális érték nem száznak egész számú többszöröse, a ténylegesen megrendelt mennyiség nem lesz optimális. Ugyancsak elképzelhető, hogy az optimális mennyiség 3,5 hétre elegendő, de a menedzsment úgy dönt, hogy az egyszerűség kedvéért havonta rendel. A kérdés az, hogy olyan esetekben, amikor az optimális rendelésitétel-nagyságtól kismértékben eltérünk, mekkora a teljes költség változása. Ezt úgy határozzuk meg, hogy feltételezünk egy nem optimális rendelt mennyiséget és megnézzük, hogy e mennyiség rendelése miatt mennyivel növekednek meg a költségek. Az egyszerűség kedvéért azonban a költségeknek csak azzal a részével foglalkozunk, amelyet befolyásol a tételnagyság változása. A tételnagyság változása miatt változó költségek esetünkben a rendelési és készlettartási költségek. A beszerzési költség (Dv) nem változik, mert egyelőre eltekintünk a tételnagyság beszerzési árra gyakorolt hatásától.

A nem optimális mennyiség legyen a továbbiakban 100z százalékkal nagyobb, vagy kisebb, mint az optimális tételnagyság, tehát

( )zQQ OPT += 1 Ha tehát 20%-al többet rendelünk az optimális mennyiségnél, akkor z=0,2. Ha

ugyanennyivel kevesebbet rendelünk, akkor z=–0,2. Jelöljük továbbá a vizsgált költségfüggvényt TK'{Q)-val, ahol a vessző jelzi, hogy nem a teljes költségről, csak annak a tételnagyság változása miatt megváltozó részéről van szó, amely esetünkben a rendelési és készlettartási költségek összege. E jelöléseket alkalmazva a költségfüggvény az optimális, valamint a nem-optimális rendelési tételnél a következő módon alakul:

+++

⋅⋅=

+++

⋅=

=⋅++⋅+

=+

++

=

=+=

zz

ADvrzz

ADvr

vr

vr

ADz

vr

ADz

ADvr

zQ

zQ

DAQTK

ADvrvrQ

Q

DAQTK

opt

opt

opt

optopt

11

1

2

121

1

1

2

2

2)1(

2)1(

2

)1(

)1(}{'

22

}{'

76

A kapott két összefüggés segítségével számítható a költség relatív változása z függvényében:

)1(2)1(2

)1(2)1(1

1

111

1

2

1

2

211

1

2

12

}{'

}{'}{''

22

z

z

z

zz

zz

ADvr

ADvrzz

ADvr

QTK

QTKQTKTK

opt

opt

+⋅=

+⋅+⋅−++

=

=−

+++

⋅=

−

+++

⋅⋅=

−=∆

Látható, hogy a kapott összefüggésben nem szerepel egyetlen költségadat sem, tehát az

összefüggésből levonható következtetések általános érvényűek, nem függnek a konkrét feladattól. A következtetések levonásához ábrázoljuk a költség százalékos változását z ugyancsak százalékban kifejezett függvényében. Az így kapott 4.6. ábra alapján a következő megállapításokat tehetjük:

– Az optimális értéknél nagyobb, vagy kisebb mennyiség rendelése egyaránt költségnövekedést eredményez, azonban kevésbé költséges többet rendelni, mint kevesebbet. A függvény a zérótól jobbra, a pozitív tartományba eső szakaszban kisebb meredekséggel nő, mint a balra eső, negatív szakaszban. Ha tehát például 50%-al többet rendelünk az optimumnál, akkor az kisebb költségnövekedést okoz, mintha ugyanennyivel kevesebbet rendelünk.

– Az optimális rendelésitétel-nagyságtól kis mértékű eltérés csak igen kis mértékben növeli meg a költségeket. A görbén látható, hogy az optimumnál 20%-al nagyobb mennyiség rendelése is csak 1,67%-os költségnövekedést okoz. Ráadásul ez a költségnövekedés csak a rendelési és készlettartási költségekhez viszonyított érték. A teljes költséghez viszonyítva a kapott érték még kisebb. Az optimumnál ugyanilyen mértékben kisebb rendelés is csak 2,5% költségnövekedést okoz.

4.6. Ábra: Érzékenység a tételnagyságra

Tekintsük ismét példaként a 4.4. fejezet feladatát, amelynél az optimális rendelési

tételnagyság 240 darab volt. Ha a szállító csak 100 darabos egységcsomagokat szállít, akkor vagy 200 vagy pedig 300 darab rendelése lehetséges, és ezen értékekre a költségváltozás a következőképpen alakul:

%50,2)250,0('%00,25300)1(240)1(

%67,1)167,0('%67,16200)1(240)1(

=∆→+=→=+⋅=+=

=∆→−=→=+⋅=+=

TKzzzQQ

TKzzzQQ

opt

opt

0

20

40

60

80

100

120

-100 -50 0 50 100 150

dTK

'{z}%

77

Az eredményekből látható, hogy a költségváltozás mindkét esetben igen kicsi. Nem az a lényeg tehát, hogy pontosan az optimumot rendeljük, hanem, hogy az optimálistól nagyon nagymértékben ne térjünk el. Példánkban a menedzsment az optimális 240 darab helyett 1800 darabot akart rendelni, ami igen nagy eltérés és a hozzá tartozó költségváltozás is jelentős:

%67,281)167,0('%6501800)1(240)1( =∆→=→=+⋅=+= TKzzzQQ opt

Ez persze a teljes költség változó részéhez viszonyított érték. A teljes költség egészéhez viszonyítva a növekedés csak az előző pontban kapott 10,83%.

4.5.2. Érzékenység az adatok pontatlanságára

Az optimális rendelésitétel-nagyság számításakor felhasznált költségadatok (A, v, r) meghatározása rendszerint nem egyszerű. Vizsgáljuk meg, hogy ezen adatok pontatlan meghatározása miatt hozott téves döntés milyen mértékben befolyásolja a teljes költség alakulását. Az említett adatokat az optimális rendelésitétel-nagyság számításához használjuk fel, ezért a téves döntés nem optimális érték rendeléseként jelentkezik. Azt kell tehát megvizsgálni, hogy a pontatlan adat miatt meghatározott nem optimális tételnagyság okozta költségnövekedés a helyes adattal számolt optimális tételnagyság költségéhez viszonyítva mekkora. A számítást először a rendelési költségre (A) végezzük el. Az egyszerűség kedvéért, ismét a költségeknek csak azzal a részével foglalkozunk, amelyet befolyásol a tételnagyság helytelen meghatározása. A tételnagyság helytelen értéke miatt változó költségek a rendelési és készlettartási költségek. A beszerzési költség (Dv) nem változik, mert egyelőre eltekintünk a tételnagyság beszerzési árra gyakorolt hatásától.

Tételezzük fel, hogy a rendelési költség tényleges értéke A, de mi ehelyett rendelési költségként Ā értéket feltételezünk, ami a tényleges érték x-szerese, tehát

xAA ⋅= Ha tehát 20%-al felülbecsüljük a rendelési költség értékét, akkor x=1,2. Ha ugyanilyen

mértékben alábecsüljük a rendelési költséget, akkor x=0,8. A helytelen rendelési költség miatt meghatározott helytelen rendelésitétel-nagyság a következő módon számolható:

vr

DAQ

2=

Jelöljük továbbá a vizsgált költségfüggvényt TK'{ Q}-val, ahol a vessző ismét jelzi, hogy nem a teljes költségről, csak annak a tételnagyság helytelen megválasztása miatt megváltozó részéről van szó, amely esetünkben a rendelési és készlettartási költségek összege. E jelöléseket alkalmazva a költségfüggvény az optimális, valamint a nem optimális rendelési tételnél a következő módon alakul:

+⋅⋅=⋅+⋅=+=+=

=+=

xx

ADvrADvr

A

AADvr

A

Avr

vr

DA

vr

DA

ADvr

Q

Q

DAQTK

ADvrvrQ

Q

DAQTK opt

optopt

1

2

12

222

2

22}{'

22

}{'

A kapott két összefüggés segítségével számítható a költség relatív változása x

függvényében:

78

( )x

x

x

xxx

x

ADvr

ADvrxx

ADvr

QTK

QTKQTKTK

opt

opt

⋅−=

⋅⋅−+=

−

+⋅

=

=−

+⋅⋅

=−

=∆

2

1

2

21

1

11

2

1

2

21

2

12

}{'

}{'}{''

2

Látható, hogy a kapott összefüggésben nem szerepel egyetlen költségadat sem, tehát az

összefüggésből levonható következtetések általános érvényűek, nem függnek a konkrét feladattól. A következtetések levonásához ábrázoljuk a költség százalékos változását x függvényében. Az így kapott 4.7. ábra alapján a következő megállapításokat tehetjük:

– Az optimális érték felül-, vagy alulbecslése egyaránt költségnövekedést eredményez, azonban az alulbecslés jelentősebb költségnövekedéssel jár, mint az ugyanolyan mértékű felülbecslés. A függvény egytől jobbra, a felülbecslés szakaszában kisebb meredekséggel nő, mint egytől balra, az alulbecslés szakaszában. Ha tehát például 50%-al felül becsüljük a rendelési költséget, akkor az kisebb költségnövekedést okoz, mintha ugyanilyen mértékben alulbecsülnénk.

– A rendelési költség meghatározásakor elkövetett kis mértékű pontatlanság miatti helytelen döntés csak igen kis mértékben növeli meg a költségeket. A görbén látható, hogy a tényleges rendelési költség 20%-os felülbecslése miatt az optimumnál nagyobb mennyiség rendelése is csak 0,42%-os költségnövekedést okoz. Ráadásul ez a költségnövekedés csak a rendelési és készlettartási költségekhez viszonyított érték. A teljes költséghez viszonyítva, a kapott érték még kisebb. Az ugyanilyen mértékű alulbecslésnél a költségváltozás 0,62%.

Tekintsük ismét a 4.4. fejezet példáját, amelyben a rendelési költség 12 000 forint. Vizsgáljuk meg, hogy a rendelési költség 25%-os alul illetve felülbecslése hogyan változtatná meg a költségeket.

%623,0)25,1('25,112000%036,1)25,1('75,09000

=→=→==→=→=

TKxATKxA∆∆

Az eredményekből látható, hogy a költségváltozás mindkét esetben igen kicsi. Nem az a lényeg tehát, hogy nagyon pontosan meghatározzuk A értékét, hanem, hogy a költségek nagyságrendjével tisztába legyünk.

4.7. Ábra: Érzékenység a paraméterekre

A rendelési költségre bemutatott számítások ugyanilyen módon érvényesek a beszerzési

költségre (v) és a készlettartási rátára (r). Ennek oka, hogy mindhárom adat ugyanolyan hatással van a vizsgálatba bevont költségek (rendelési és készlettartási költségek) alakulására.

0

5

10

15

20

25

30

0 0,5 1 1,5 2 2,5

dTK

'{x}%

79

Ezen költségek értéke az optimális rendelésitétel-nagyságnál ugyanis √(2ADvr), így ha a levezetésekben A helyére v-t, vagy r-t írunk, ugyanazt az összefüggést kapjuk eredményként.

4.6. Optimális rendelésitétel-nagyság beszállítási (termelési) rátával

A következőkben az optimális rendelésitétel-nagyság egy olyan speciális esetét tárgyaljuk, amely segítségével a készletezési/termelési problémák egy igen jelentős köre vizsgálható. Nézzük meg, mi történik akkor, ha a megrendelt mennyiség nem egyetlen tételben, hanem fokozatosan érkezik a raktárba. Ez az eset fordul elő a legtöbb termelő-raktározó rendszerben, amikor egy termelőüzem, a termelés ütemében tölti fel raktárát. Természetesen a raktár feltöltésével egy időben igény is jelentkezik a termék iránt, így a készletszint alakulását két folyamat – a kiszállítás és beszállítás – együttes eredménye alakítja. Ezt az esetet szemlélteti a 4.8. ábra.

4.8. Ábra: Optimális rendelésitétel-nagyság termelési ráta esetén

Az ábrán jól látható, hogy minden egyes rendelési ciklus két szakaszra bontható. Az első szakaszban a beszállítás és a kiszállítás ütemének különbsége határozza meg a készletszint növekedését. Nyilvánvalóan minél közelebb van a beszállítás üteme a kiszállítás üteméhez, annál alacsonyabb lesz az átlagos készletszint. Szélső esetben – amikor a két ütem megegyezik – készlet nem alakul ki, mert ami megérkezik, azt azonnal felhasználják. Ez az éppen-időben-gyártás (just-in-time) elméleti esete. Ha a beszállítás üteme kisebb, mint a kiszállítás üteme, akkor a termelőfolyamat nem tudja kielégíteni az igényt. A megrendelt mennyiség leszállítása után a raktárban felhalmozódott készlet csökkenni kezd, és éppen akkor fogy el, amikor a következő rendelési tétel megérkezik. Az így kapott készletszint alakulását ismét egy fűrészfog diagram írja le, de most a fűrészfogak más alakúak, mint korábban. Az ábrán látható, hogy ez a fűrészfog diagram átalakítható egy vele egyenértékű egyenletes készletszintű diagrammá, melynek magassága az átlagos készletszint, és értéke a maximális készletszint fele.

Fontos megjegyezni, hogy két szállítási időszak között, tehát olyankor, amikor a készletszint csökken, a termelési rendszer nem feltétlenül várakozik, hanem más termékeket gyárt. Ezért minden rendelési tétel gyártásának elkezdésekor valójában a termelőrendszert át kell állítani a rendelt termék gyártására. Ez jelentős költséggel járhat, hiszen az átállítás közvetlen költségei mellett gyakran kell számolni az átállás miatt termelésből kieső idő elmaradó hozamával is. Példaként gondolhatunk nagy kovácsgépekre, hengerművekre, vagy szerelősorokra, amelyeknél egy terméksorozatról egy másikra történő átállás sokszor egy teljes műszak idejét felemészti. Ezért hangsúlyoztuk már korábban is – a 4.3. fejezetben –, hogy termelő-készletező rendszereknél a rendelési költség meghatározó eleme az átállási költség.

Idő s

Készletszint

Idő

IÁtl

80

A 4.8. ábra egy olyan esetet szemléltet, amelynél a megrendelt mennyiséget – tehát az optimális rendelésitétel-nagyságot – legyártják. Ilyenkor tehát a rendelés mennyisége egyben a gyártás mennyiségét is jelenti. Ezért az erre az esetre meghatározott optimális rendelésitétel-nagyságot optimális gyártásisorozat-nagyságnak is nevezik.

Az optimális gyártásisorozat-nagyság meghatározásához ismét a teljes költség felírásából kell kiindulni – amely hasonlóan a 4.4. fejezetben tárgyalt alapesethez – a következő módon alakul:

vrIQ

DADvQTK Átl++=}{

A felírt összefüggés formailag megegyezik a beszállítási ráta nélküli esettel, tartalmilag azonban két lényeges különbség is van. Egyrészt a rendelési költség (A) most átállási költséget tartalmaz, másrészt az átlagos készletszint (IÁtl) megváltozik. Az átlagos készletszint meghatározásához tekintsük a 4.9. ábrát, amely a 4.8. ábra egy rendelési ciklusának kinagyított változata.

4.9. Ábra: Az átlagos készletszint számítása termelési ráta esetén

Az ábrán jól látható, hogy a t1 időtartam alatt egyidejűleg beszállítás és kiszállítás, míg a

t2 időtartam alatt csak kiszállítás történik. A rendelési ciklus teljes t1+t2 időtartama alatt fogy el a megrendelt mennyiség (Q) az igény feltételezett D ütemében. Ezt a Q mennyiséget t1 idő alatt gyártják le és szállítják a raktárba, tehát

P

QtPtQ =→= 11

ahol P az időegység alatt szállított/gyártott mennyiség, (termelési ráta). A t1-re kapott összefüggés a 4.9. ábrából is könnyen kiolvasható. A készletszint

növekedését a P meredekségű szaggatott vonal jelölné, ha nem lenne a t1 idő alatt is D ütemű kiszállítás. A t1 időtartam alatt a teljes t1+t2 időtartam alatt D ütemben elfogyasztott Q mennyiségnek be kell érkeznie a raktárba. A t1 és Q befogójú derékszögű háromszög felhasználásával t1 értéke számolható.

A készletszint a beszállítás befejezésének pillanatában, tehát t1 időtartam elteltével éri el maximumát. A t1 időtartam alatt a készletszint egyenletes P–D ütemben nőtt, továbbá az átlagos készletszint a maximális készletszint fele, ezért az átlagos készletszintre a következő összefüggést kapjuk:

t1 t2

Imax

Készletszint

Idő

Q

DP-D

P

t1 t2

Imax

Készletszint

Idő

Q

DP-D

P

81

( )

−⋅=−⋅

==P

DQDPtII Átl 1

2221max

Az Imax-ra kapott összefüggésből látható, hogy az átlagos készletszint a 4.4. fejezetben vizsgált (beszállítási ráta nélküli) alapesethez képest lecsökkent. A csökkenés mértékét az 1–D/P tényező fejezi ki. Az egyik határesetet P=∞ értéknél kapjuk. Ez azt jelenti, hogy végtelenül gyorsan szállítunk, tehát valójában egy tételben érkezik a megrendelt mennyiség. Ilyenkor az átlagos készletszint éppen a 4.4. fejezetben használt Q/2. A másik határesetet P=D értéknél kapjuk. Ez azt jelenti, hogy a beszállítás üteme megegyezik a kiszállítás ütemével, ami az éppen időben gyártás (just-in-time) elméleti esete. Ilyenkor az átlagos készletszint zéró.

Az átlagos készletszintre kapott összefüggést felhasználva, a beszállítási ráta mellett kapott teljes költségfüggvény a következő módon alakul:

−++=P

Dvr

Q

Q

DADvQTK 1

2}{

Az így kapott függvény Q szerinti minimumát kell meghatározni. Ezt megkapjuk, ha a teljes költségfüggvényt Q szerint deriváljuk, és a deriváltat egyenlővé tesszük zéróval:

012

0}{

2=

−+−=∂

∂P

Dvr

Q

DA

Q

QTK

Az egyenletet Q-ra rendezve megkapjuk az optimális rendelésitétel-nagyság termelési ráta mellett érvényes összefüggését, vagy másik nevén az optimális gyártásisorozat-nagyság formulát:

DP

P

vr

ADEOQQEOQ −

⋅== 2

A teljes költségfüggvény Q szerint derivált alakjából az is látszik, hogy a teljes költség minimumát a készlettartási és rendelési költségek egyenlő értékénél kapjuk meg, tehát amikor

−=P

Dvr

Q

Q

DA 1

2

Ez az összefüggés ismét a készletgazdálkodás egyensúlyi elvét fejezi ki, amely szerint az optimális rendelésitétel-nagyságnál a rendelési és készlettartási költségek egyenlők.

A kapott eredmény szemléltetéséhez használjuk ismét a 4.4. fejezetben alkalmazott feladat kis mértékben módosított változatát. Legyen tehát egy termék iránt jelentkező igény egy évben átlagosan 3600 darab. A kérdés az, hogy mekkora sorozatok gyártása optimális, ha az átállási költség 12 000 Ft és a termékből 40 darab készül el naponta. Egy darab gyártási költsége 2500 Ft, az éves készlettartási ráta 60%. Számoljunk közelítőleg évi 360 munkanappal. Ezen adatok alapján az optimális gyártásisorozat-nagyság:

darab27713,277360036040

36040

6,02500

36000001222≈=

−⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

=−

⋅=DP

P

vr

ADEOQ

A termelési és igényráta dimenzióját egyeztetni kellett, ezért szerepel az összefüggésben a szorzás 360 nappal. Látható, hogy az optimális gyártásisorozat-nagyság a 4.4. fejezetben kapott optimális rendelési sorozatnagyságnál (240) nagyobb. Ennek oka a termelési ráta. Termelési ráta esetén ugyanis a nagyobb rendelt mennyiség miatt nem nő nagyon nagymértékben az átlagos készletszint, és így nem nő lényegesen a készlettartási költség sem. Az érzékenységvizsgálat kapcsán (4.5.1. fejezet) láttuk, hogy a kapott optimumtól kis mértékben eltérve a költségek nem nőnek lényegesen, így a 277,13 darab alapján előírható 250, vagy 300 darabos gyártási sorozat is. (Az érzékenységvizsgálat formuláit ugyan a

82

termelési ráta nélküli esetre vezettük le, de könnyen belátható, hogy az ott kapott eredmények ilyenkor is érvényesek.)

A 277 darabos optimális mennyiséghez (gyártási sorozathoz) tartozó ciklusidő napokban kifejezve a következő módon számítható:

nap7,273603600

277 =⋅==D

EOQTEOQ

A 27,7 nap két szakaszra bontható. A 277 darabos sorozat gyártása alatt nő a készletszint. A készletnövekedés ideje:

nap925,640

2771 ===

P

EOQt

A közel 7 napig tartó készletnövekedést 20,7 napig tartó készletcsökkenés követi. Amikor a ciklus végére érünk újra megindul a készletnövekedés, mert elkezdődik a következő 277 darabos sorozat gyártása.

Végezetül a teljes költség értéke az optimális gyártásisorozat-nagyság mellett a következő módon számítható:

eFt77,931136040

360016,02500

2

277

277

36000001225003600}277{ =

⋅−⋅⋅⋅+⋅+⋅=TK

Látható, hogy az optimális gyártásisorozat-nagysághoz tartozó teljes költség kis mértékben alacsonyabb, mint az optimális rendelésisorozat-nagyságra a 4.4. fejezetben kapott érték (9360 eFt). Ennek oka, hogy a termelési ráta miatt ugyanazt az igényt alacsonyabb átlagos készletszint mellett tudjuk kielégíteni, ami a némiképpen megnövekedő rendelési költség ellenére is a teljes költség csökkenéséhez vezet.

4.7. A mennyiségtől függő árkedvezmény figyelembevétele a rendelésitétel-nagyság meghatározásánál

A gazdaságos rendelésitétel-nagyság meghatározásánál eddig eltekintettünk egy gyakori jelenségtől, a mennyiségi árkedvezménytől. Gyakran a szállító igyekszik rábeszélni a vevőt arra, hogy nagy mennyiséget vásároljon. Ösztönzésként árkedvezményt ad egy bizonyos mennyiség feletti vásárlásnál. A vásárlót azért kell ösztönözni, mert neki nem éri meg a gazdaságos rendelésitétel-nagyságnál többet vásárolni a teljes költség növekedése miatt. E teljes költségnövekedést ellensúlyozza az árkedvezmény. Az árkedvezmény formája sokféle lehet. A következőkben a két leggyakoribb esetet, a proporcionális árkedvezményt, valamint a növekmény jellegű árkedvezményt tárgyaljuk részletesen, de az itt bemutatásra kerülő számítási elvek segítségével vizsgálhatók a gyakorlatban előforduló egyéb esetek is.

4.7.1. Proporcionális árkedvezmény

Proporcionális árkedvezményről akkor beszélünk, ha minden darabot olcsóbban kap a vevő akkor, ha egy meghatározott mennyiségnél többet vásárol. Úgy tekinthetjük, hogy két eladási ár van, egy eredeti ár és egy diszkontár. Az eredeti ár a kisebb mennyiséget vásárlóknál érvényes, az alacsonyabb ár pedig egy meghatározott mennyiségnél – a diszkontküszöbnél – többet vásárlóknál lép érvénybe. Lehetséges egynél több csökkentett ár is. Ilyenkor fokozatosan csökkenő eladási árral ösztönzi az eladó a vásárlót minél nagyobb mennyiség beszerzésére. A beszerzési ár alakulását szemlélteti proporcionális árkedvezménynél a 4.10. ábra.

83

Az ábrán egy eredeti ár (v0) és két diszkontár (v1, v2) látható. Ha a vásárolt mennyiség az első diszkontküszöb (Q1

(d)) alatt van, akkor az eredeti fajlagos beszerzési ár érvényes, tehát Q darab rendelésekor a kifizetendő összeg Qv1. Ha a vásárolt mennyiség a két diszkontküszöb közé esik, akkor a fajlagos eladási ár v1, míg ha a vásárolt mennyiség nagyobb a második diszkontküszöbnél (Q2

(d)), akkor a fajlagos eladási ár v2.

4.10. Ábra: Proporcionális árkedvezmény

Az optimális rendelésitétel-nagyság proporcionális árkedvezmény melletti

meghatározásakor hasonlóan kell eljárni, mint az árkedvezmény nélküli esetben; minimalizálni kell a teljes költségfüggvényt. A teljes költségfüggvény ilyenkor annyi részre bontható, ahány beszerzési ár van. Minden egyes árhoz felírható egy költségfüggvény, de mindegyik csak a rendelésitétel-nagyság egy meghatározott tartományában lesz érvényes. Egyetlen diszkontárnál a teljes költségfüggvény a következőképpen alakul feltételezve, hogy a diszkontár d százalék árkedvezményt jelent:

<−++−

≤++=

QQrdvQ

Q

DAdDv

QQrvQ

Q

DADv

QTKd

d

)(

)1(2

)1(

2}{

00

)(00

A teljes költségfüggvény alakulását szemlélteti két diszkontár esetén a 4.11. ábra. Az

eredeti ár 2500 Ft/darab, amely 200 darabnál kisebb rendelésekre érvényes. Az ábrán a felső folytonos vonallal jelölt költségfüggvény vastag vonallal jelölt szakasza írja le a teljes költségfüggvény alakulását ebben a tartományban. A 200 és 700 darab közé eső rendelésekre az árkedvezmény 10% (d=0,1), tehát a csökkentett ár 2250 Ft/db. Ezen a szakaszon a teljes költségfüggvényt középső költségfüggvény vastagon rajzolt szakasza jelöli. Végül 700 darab feletti mennyiségekre az árkedvezmény 20% (d=0,2), tehát a csökkentett ár 2000 Ft/db. Ezen a szakaszon a teljes költségfüggvényt a röviden szaggatott vonallal rajzolt költségfüggvény vastagon rajzolt szakasza jelöli. A teljes költségfüggvény minimumának meghatározása ebben az esetben a vastagon jelölt szakaszokból összetett függvény minimumának a meghatározását jelenti. A proporcionális árkedvezményre felírt teljes költségfüggvény Q szerinti minimumának meghatározása egyszerű differenciálszámítással nem végezhető el, de a függvény jellegét tanulmányozva könnyen megtalálható az optimális rendelési mennyiség. A teljes költségfüggvény két részre bomlik: a Q(d)-nél kisebb mennyiségekre egy v0 árral számolt költségfüggvény, míg a Q(d)-nél nagyobb mennyiségekre egy v1=v0(1–d) árral számolt költségfüggvény érvényes.

Q1(d) Q2

(d) Q

Beszerzési kts.

v0·Q

v1·Q

v2·Q

84

4.11. A teljes költség alakulása proporcionális árkedvezménynél (D=3600 db/év; A=12 000 Ft; v0=2500 Ft/db; r=0,6 Ft/Ft/év Q1

(d)=200 db; v1=2250 Ft/db; Q2(d)=700 db; v2=2000 Ft/db)

Jelölje a két költségfüggvényt TK{ Q,v0} és TK{ Q,v1}, tehát

rdvQ

Q

DAdDvvQTKésrv

Q

Q

DADvvQTK )1(

2)1(},{

2},{ 001000 −++−=++=

Belátható, hogy miután 0≤d≤1, minden Q-ra igaz, hogy TK{ Q,v1}≤TK{ Q,v0}. Mindkét költségfüggvény Q szerinti minimuma könnyen meghatározható, hiszen két optimális rendelésitétel-nagyság meghatározásáról van szó, két eltérő ár mellett. A kapott optimumok az eredeti és a diszkontárral számolva rendre a következők:

rdv

ADEOQ

rv

ADEOQ d

)1(

2és

2

0

)(

0 −==

Belátható, hogy miután 0≤d≤1, EOQ≤EOQ(d), tehát az eredeti áron számolt optimális rendelésitétel-nagyság kisebb, mint a diszkontáron számolt optimális rendelésitétel-nagyság. A TK{ Q,v0} és TK{ Q,v1} függvények felhasználásával képzett TK{ Q} teljes költségfüggvény minimumát az határozza meg, hogy mikortól érvényes az árkedvezmény, tehát, hogy milyen rendelésitétel-nagyságnál kell átugrani a TK{ Q,v0} függvényről a TK{ Q,v1} függvényre. Az előbbiekben indokolt TK{ Q,v1}≤TK{ Q,v0} és EOQ≤EOQ(d) összefüggések alapján egyetlen diszkontárat tartalmazó proporcionális árkedvezménynél az optimális rendelésitétel-nagyság a diszkontküszöb értékétől függően a következő szabály alapján határozható meg:

>≤

=<

=≤

},{},{ha

},{},{haakkorHa.2

akkorHa.1

1)(

0)(

1)(

0)()(

)()()(

vQTKvEOQTKQ

vQTKvEOQTKEOQQQEOQ

EOQQEOQQ

dd

d

optdd

dopt

dd

A látszólag bonyolult matematikai jelölések igen egyszerű gondolatmenetet tartalmaznak:

1. Ha a diszkontárhoz (v1) tartozó optimális rendelésitétel-nagyság után jár az alacsonyabb ár (Q(d)≤EOQ(d)), akkor rendeljük az alacsonyabb árhoz tartozó optimális rendelésitétel-nagyságot, tehát EOQ(d)-t.

2. Ha a diszkontárhoz (v1) tartozó optimális rendelésitétel-nagyság után nem jár az alacsonyabb ár (EOQ(d)< Q(d)), akkor nem kapjuk meg alacsonyabb áron az alacsonyabb árhoz tartozó optimális rendelésitétel-nagyságot. A magasabb áron viszont ez a mennyiség nem lesz optimális. Ilyenkor az a kérdés, hogy érdemes-e igénybe venni az árkedvezményt nem optimális mennyiséget rendelve, vagy inkább rendeljük az eredeti ár melletti optimumot. Az alacsonyabb áron rendelt nem optimális mennyiségek közül az optimumhoz képest legkisebb költségnövekedést a diszkontmennyiség rendelése jelenti. Ezért össze kell hasonlítani az

6000

7000

8000

9000

10000

11000

12000

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

TK

{Q}

85

eredeti árhoz tartozó optimális tételnagyság teljes költségét (TK{ EOQ,v0}) a diszkontküszöb diszkontárhoz tartozó teljes költségével (TK{ Q(d),v1} és az alacsonyabb költséghez tartozó mennyiséget kell rendelni. Tehát vagy az eredeti ár mellett számolt optimális rendelésitétel-nagyságot (EOQ), vagy pedig az alacsonyabb áron rendelhető legkisebb mennyiséget (Q(d)) kell megrendelni.

Több diszkontárnál az egyetlen diszkontár mellett alkalmazott gondolatmenet általánosítva alkalmazható. Ilyenkor azt vizsgáljuk, hogy fokozatosan a következő diszkonttartomány árkedvezményét igénybe vegyük-e, vagy sem. Ha a vizsgált tartományhoz tartozó diszkontárral számolt optimális rendelésitétel-nagyság megrendelhető a figyelembe vett árkedvezmény mellett, akkor azt kell rendelni. Ha nem jár a kapott optimális tételnagyságra a vélt árkedvezmény, akkor vagy a tartomány alsó határán lévő mennyiséget rendeljük, vagy az előző szakaszra kapott optimális rendelésitétel-nagyságot rendeljük attól függően, hogy melyik mennyiséghez tartozik a kisebb teljes költség.

A következő példa a proporcionális árkedvezmény melletti optimális rendelésitétel-nagyság számítását szemlélteti a 4.11. ábra adatainak felhasználásával. Legyen tehát egy termék iránt jelentkező igény egy évben átlagosan 3600 darab. A rendelési költség 12 000 Ft. Egy darab beszerzési költsége 2500 Ft, az éves készlettartási ráta 60%. Számoljunk közelítőleg évi 360 munkanappal. A 4.4. fejezetben ezt a feladatott már megoldottuk, és az optimális rendelésitétel-nagyság értékére 240 darabot kaptunk. Felvetődik a kérdés, hogy ha a szállító proporcionális árkedvezményt ajánl, akkor érdemes-e nagyobb mennyiséget rendelni. A szállító ajánlata a következő: ha a rendelt mennyiség 200 darab és 700 darab közé esik, akkor az eredeti árból 10 %-ot enged, ha 700 darabnál többet rendelünk, akkor az eredeti árból 20%-ot enged.

Az árkedvezménnyel tehát arra ösztönöz a szállító, hogy az eredetileg optimális 240 darabnál többet rendeljünk. Az eredeti 2500 Ft/db eladási árat 2250 Ft/db-ra mérsékli, ha többet rendelünk 200 darabnál, és 2000 Ft/db-ra mérsékli, ha 700 darabnál is többet rendelünk. Ezek az árkedvezmények a teljes megrendelt mennyiségre vonatkoznak. Ha tehát 1000 darab a megrendelt tétel, akkor minden egyes darabért 2000 forintot kell fizetni.

Először vizsgáljuk meg, hogy érdemes-e igénybe venni a 10 %-os árkedvezményt, tehát kompenzál-e az árkedvezmény azért, hogy nem az eredetileg optimális 240 darabot rendeljük. 2250 Ft/db-os beszerzési árnál az optimális rendelésitétel-nagyság a következő:

darab98,2526,0)1,01(2500

3600000122

)1(

2

10

)(1 =

⋅−⋅⋅⋅=

−=

rdv

ADEOQ d

A 2250 forintos egységár mellett tehát 253 darab rendelése lenne az optimális, és ezért a mennyiségért jár is a 10% árkedvezmény, mert 200 és 700 darab közé esik. A 4.11. ábrán jól látható, hogy a rendelésitétel-nagyság [200,700] szakaszán a teljes költségfüggvény (a vastag vonallal jelölt rész) minimuma tényleg a 2250 forintos árhoz tartozó optimumnál van.

Vizsgáljuk most meg azt, hogy érdemes-e ennél is többet rendelni. Ha 700 darabnál nagyobb mennyiséget rendelünk, akkor az árkedvezmény 20%. 2000 Ft/db-os beszerzési árnál az optimális rendelésitétel-nagyság a következő:

darab33,2686,0)2,01(2500

3600000122

)1(

2

20

)(2 =

⋅−⋅⋅⋅=

−=

rdv

ADEOQ d

A 2000 forintos egységár mellett tehát 268 darab rendelése lenne az optimális, de ezért a mennyiségért nem jár 20% árkedvezmény, mert kevesebb, mint 700 darab. A 4.11. ábrán jól látható, hogy a teljes költségfüggvény a [700,∞] szakaszon (a vastag vonallal jelölt rész) nem tartalmazza a 20%-os kedvezményhez tartozó optimumot. Azt kell a továbbiakban megvizsgálni, hogy érdemes-e igénybe venni a 20%-os árkedvezményt nem optimális

86

mennyiség rendelésével. Az ábrán látható, hogy a teljes költségfüggvény legalacsonyabb értéke a 20%-os árkedvezményhez tartozó szakaszon a Q2

(d)=700 darabnál található. Rendeljünk tehát 700 darabot 2000 Ft/db áron, vagy rendeljük inkább az eddig kapott legkedvezőbb tételnagyságot, tehát 253 darabot 2250 Ft/db áron? Ennek eldöntéséhez meg kell vizsgálni, hogy melyik tételnagysághoz tartozik az alacsonyabb teljes költség:

eFt71,76816,020002

700

700

36000001220003600}2000,700{

eF53,84416,022502

253

253

36000001222503600}2250,253{

=⋅⋅+⋅+⋅=

=⋅⋅+⋅+⋅=

TK

tTK

A kapott eredmény alapján tehát érdemesebb a legalacsonyabb ár diszkontküszöbéhez tartozó mennyiséget rendelni, tehát 700 darabot. A 4.11. ábrán is látható, hogy a teljes költségfüggvény (a teljes tartományon a vastagon jelölt szakaszok) minimuma 700 darabnál található. Azt is érzékelhetjük, hogy akkor lenne a 253 darabos rendelés optimális, ha a 20%-os árkedvezmény csak nagyon nagy rendelési tétel után járna.

4.7.2. Növekmény jellegű árkedvezmény

Növekmény jellegű árkedvezményről akkor beszélünk, ha egy meghatározott mennyiség – a diszkontküszöb – felett csökken az eladási ár. Ebben az esetben a rendelt tétel egyik részét – a diszkontküszöb alatti mennyiséget – az eredeti áron, míg a másik részét – a diszkontküszöb feletti mennyiséget – csökkentett áron vásároljuk. A proporcionális árkedvezménnyel szemben most nem minden egyes darabra jár a csökkentett ár, csak a diszkontküszöb feletti mennyiségre. Lehetséges egynél több csökkentett ár is. Ilyenkor fokozatosan csökkenő eladási árral ösztönzi az eladó a vásárlót minél nagyobb mennyiség vásárlására. A beszerzési ár alakulását szemlélteti proporcionális árkedvezménynél a 4.12. ábra.

4.12. Ábra: Növekmény jellegű árkedvezmény

Az ábrán egy eredeti ár (v0) és egy diszkontár (v1) látható. Ha a vásárolt mennyiség a diszkontküszöbnél (Q(d)) kisebb, akkor az eredeti fajlagos beszerzési ár érvényes, tehát Q darab vásárlásakor a kifizetendő összeg Qv1. Ha a vásárolt mennyiség a diszkontküszöbnél nagyobb, akkor a fajlagos eladási ár v1, és a beszerzési költség két részre bomlik: az eredeti áron vett Q(d) mennyiség költsége v0Q

(d), a v1 áron vett Q–Q(d) mennyiség költsége pedig v1·(Q–Q(d)). A 4.12. ábrán látható, hogy a beszerzési költség a rendelt mennyiség növekedésével szigorúan monoton nő, ellentétben a 4.10. ábrával, ahol a beszerzési költség a diszkontküszöböknél lecsökken. A beszerzési költség állandó – bár nem ugyanolyan ütemű – növekedése miatt hívják ezt az árkedvezményt növekvő jellegűnek.

Q(d) Q

Beszerzési kts.

v0·Q

v0·Q(d)+ v1·(Q–Q(d))

87

Az optimális rendelésitétel-nagyság proporcionális árkedvezmény melletti meghatározásakor hasonlóan kell eljárni, mint az árkedvezmény nélküli esetben; minimalizálni kell a teljes költségfüggvényt. A teljes költségfüggvény ismét annyi részre bontható, ahány beszerzési ár létezik. Az egyes részfüggvények felírásánál azt kell figyelembe venni, hogy a rendelt tétel több eltérő áron vásárolt részre bomlik, aminek a beszerzési költségre és a készlettartási költségre egyaránt hatása van. Egyetlen diszkontárnál a teljes költségfüggvény a következő módon alakul, feltételezve, hogy a diszkontár d százalék árkedvezményt jelent:

( ) ( )[ ] ( )

<−−

+++−−+

≤++=

QQrdvQQ

rvQ

Q

DAdvQQvQ

Q

D

QQrvQ

Q

DADv

QTKd

dddd

d

)(

122

1

2}{

0

)(

0

)(

0)(

0)(

)(00

A teljes költségfüggvény alakulását szemlélteti két diszkontár esetén a 4.13. ábra.

4.13. A teljes költség alakulása növekmény jellegű árkedvezménynél (D=3600 db/év; A=12 000 Ft; v0=2500 Ft/db; r=0,6 Ft/Ft/év

Q(d)=700 db; v1=2000 Ft/db; v1'=2400 Ft/db Q(d)'=200 db; v1'=2400 Ft/db)

Az eredeti ár 2500 Ft/darab, amely 700 darabnál kiesebb rendelésekre érvényes. Az

ábrán a folyamatos vonallal jelölt költségfüggvény vastag vonallal jelölt szakasza írja le a teljes költségfüggvény alakulását ebben a tartományban. A 700 darabnál nagyobb rendeléseknél 20% árkedvezmény jár a 700 darab feletti mennyiségre, tehát egy ilyen nagy rendelési tétel két részre bomlik, 700 darabot 2500 Ft/db beszerzési áron, míg a 700 darab feletti mennyiséget 2000 Ft/db beszerzési áron vásároljuk. Az alacsonyabb ár miatt 700 darabnál a teljes költségfüggvény megtörik és az eredeti árhoz tartozó költségfüggvény alatt halad. Az ábrán a röviden szaggatott vonal, valamint középen futó vonal mutatja a teljes költségfüggvény alakulását a 700 darab feletti tartományban két különböző eladási árnál (v1=2000 Ft/db, v'1=2400 Ft/db).

Észrevehetjük, hogy a teljes költségfüggvény a diszkontküszöbhöz tartozó mennyiség elérésekor nem a proporcionális árkedvezménynél tapasztalt ugrással, hanem töréssel megy át az alacsonyabb beszerzési árú szakaszba. Ennek oka, hogy a beszerzési költség is szigorúan monoton növekszik, ellentétben a proporcionális árkedvezménynél tapasztalt ugrással.

A proporcionális árkedvezményre felírt teljes költségfüggvény Q szerinti minimumának meghatározása egyszerű differenciálszámítással nem végezhető el, de a függvény jellegét tanulmányozva könnyen megtalálható az optimális rendelési mennyiség. A teljes költségfüggvény két részre bomlik: a Q(d)-nél kisebb mennyiségekre egy v0 árral számolt

8000

8500

9000

9500

10000

10500

11000

11500

12000

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

TK

{Q}

88

költségfüggvény, míg a Q(d)-nél nagyobb mennyiségekre egy v1=v0(1–d) árral számolt bonyolultabb költségfüggvény érvényes. Jelölje a két költségfüggvényt TK{ Q,v0} és TK{ Q,v1}, tehát

( ) ( )[ ] ( )rdv

QQrv

Q

Q

DAdvQQvQ

Q

DvQTK

rvQ

Q

DADvvQTK

dddd −−+++−−+=

++=

122

1},{

2},{

0

)(

0

)(

0)(

0)(

1

000

Belátható, hogy miután 0≤d≤1, minden Q-ra igaz, hogy TK{ Q,v1}≤TK{Q,v0}. Mindkét

költségfüggvény Q szerinti minimuma meghatározható a Q szerinti deriváltak meghatározásával. A kapott optimumok az eredeti és a diszkontárral számolva rendre a következők:

( )rdv

dvQADEOQ

rv

ADEOQ

dd

)1(

2és

2

0

0)(

)(

0 −+

==

Az EOQ(d)-re kapott összefüggést megvizsgálva úgy tűnik, hogy az optimális rendelésitétel-nagyság a v0(1–d) csökkentett ár és egy Q(d)v0d-vel növelt rendelési költség eredménye. A rendelési költség látszólagos növekedése onnan ered, hogy minden tételnek csak egy részét – a Q(d) feletti mennyiséget – vásároljuk csökkentett áron. Ezt úgy is felfoghatjuk, hogy a teljes tételt csökkentett áron vesszük, de a Q(d) mennyiséghez az eredeti és csökkentett ár különbségéből eredő többletköltség tartozik, ami éppen Q(d)v0d. Miután ez minden rendeléskor felmerül, hozzáadható a rendelési költséghez.

Belátható, hogy ha 0≤d≤1, akkor EOQ≤EOQ(d), tehát az eredeti áron számolt optimális rendelésitétel-nagyság kisebb, mint a diszkontárhoz tartozó optimális rendelésitétel-nagyság.

A TK{ Q} teljes költségfüggvény minimuma attól függ, hogy az eredeti árhoz tartozó költségfüggvény növekvő, vagy csökkenő szakaszában található-e a diszkontküszöb, és hogy a csökkentett árhoz tartozó költségfüggvény a diszkontküszöb után növekszik vagy csökken. Miután TK{ Q,v1}≤TK{Q,v0}, ha a diszkontküszöb a TK{ Q,v0} függvény csökkenő szakaszában található, akkor a csökkentett árhoz tartozó költségfüggvény a diszkontküszöb után lefelé halad, tehát még nem érte el a minimumát (EOQ(d)). Ha a diszkontküszöb a TK{ Q,v0} függvény növekvő szakaszában található, akkor a csökkentett árhoz tartozó költségfüggvény a diszkontküszöb után lefelé a minimum (EOQ(d)) irányába és felfelé egyaránt haladhat függően az árkedvezmény nagyságától.

E megfontolásokat figyelembe véve növekmény jellegű árkedvezménynél az optimális rendelésitétel-nagyság a diszkontküszöb értékétől függően a következő szabály alapján határozható meg:

EOQQQEOQ

vEOQTKvEOQTKEOQ

vEOQTKvEOQTKEOQQEOQQEOQ

EOQQEOQQ

optdd

dd

d

optdd

dopt

d

=≤

>≤

=≤<

=≤

akkorHa.3

},{},{ha

},{},{haakkorHa.2

akkorHa.1

)()(

1)(

0)(

1)(

0)()(

)()(

A látszólag bonyolult matematikai jelölések igen egyszerű gondolatmenetet tartalmaznak: 1. Ha az árkedvezményhez tartozó diszkontküszöb (Q(d)) kisebb, mint az eredeti árhoz

tartozó optimális rendelésitétel-nagyság (EOQ), akkor rendeljük az alacsonyabb árhoz tartozó rendelésitétel-nagyságot (EOQ(d)). Ennek oka, hogy az árkedvezmény az eredeti árhoz tartozó teljes költségfüggvény csökkenő szakaszán kezdődik. A diszkont küszöbhöz tarozó ponttól a

89

teljes költségfüggvény az alacsonyabb ár miatt továbbra is csökkeni fog, mert TK{ Q,v1}≤TK{ Q,v0}, és minimumát az alacsonyabb árhoz tartozó optimumnál éri el (EOQ(d)).

2.) Ha az árkedvezményhez tartozó diszkontküszöb (Q(d)) az eredeti (EOQ) és a csökkentett árhoz tartozó optimális rendelésitétel-nagyságok (EOQ(d)) közé esik, akkor az árkedvezmény az eredeti árhoz tartozó teljes költségfüggvény növekvő szakaszában kezdődik. A diszkontküszöbhöz tarozó ponttól a teljes költségfüggvény a TK{ Q,v1}≤TK{ Q,v0} összefüggés miatt az eredeti árhoz tartozó költségfüggvény alatt halad tovább, de miután minimumát még nem érte el (Q(d)≤EOQ(d)), csak csökkenhet. Ezért a teljes költségfüggvénynek két lokális minimuma lesz – EOQ és EOQ(d) – és a kettő közül az alacsonyabb teljes költségűt kell kiválasztani.

3.) Ha az árkedvezményhez tartozó diszkontküszöb (Q(d)) nagyobb, mint a csökkentett árhoz tartozó optimális rendelésitétel-nagyság (EOQ(d)), akkor az EOQ(d)≥EOQ összefüggés miatt túl van az eredeti árhoz tartozó optimumon is, tehát az árkedvezmény az eredeti árhoz tartozó teljes költségfüggvény növekvő szakaszában kezdődik. A diszkontküszöbhöz tarozó ponttól a teljes költségfüggvény a TK{ Q,v1}≤TK{ Q,v0} összefüggés miatt az eredeti árhoz tartozó költségfüggvény alatt halad tovább, de miután már túl van a minimumán (EOQ(d)≤Q(d)), csak növekedhet. Ebben az esetben a teljes költségfüggvény minimuma megegyezik az eredeti árhoz tartozó optimális rendelésitétel-nagysággal (EOQ).

Több diszkontárnál az egyetlen diszkontár mellett alkalmazott gondolatmenet általánosítva alkalmazható. Az eredményből láthattuk, hogy vagy az eredeti árhoz, vagy a csökkentett árhoz tartozó optimumot rendeltük. Ezért több csökkentett árnál valamennyi árhoz ki kell számolni az optimális rendelésitétel-nagyságot. Ezek közül ki kell választani azokat, amelyek a diszkontküszöbök miatt ténylegesen meg is rendelhetők a számításnál felhasznált csökkentett áron. Az így megmaradt rendelhető optimális rendelésitétel-nagyságok közül a legkisebb teljes költségű lesz az optimális rendelésitétel-nagyság. Több csökkentett árnál az egyes árakhoz tartozó optimális rendelésitétel-nagyságok meghatározásakor figyelembe kell venni, hogy a rendelési tétel annyi részre bontható, ahány ár létezik. Például két csökkentett árnál a rendelésitétel három részre bontható, amelyek beszerzési költségei rendre a következők: Q1

(d)v0, (Q2(d)–Q1

(d))v0(1–d1), és (Q–Q2(d))v0(1–d2). Az egyes árakhoz tartozó

optimális rendelésitétel-nagyságok közül az eredeti és az első csökkentett árhoz tartozó formulát korábban ismertettük. A második diszkontárhoz tartozó formula felírható a korábban ismertetett alapelv szerint. Tehát vesszük a második csökkentett árat, ami v0(1–d2), valamint megnöveljük a rendelési költséget a rendelési tétel v0(1–d2) beszerzési árhoz viszonyított többletköltségével. A rendelési tétel első részénél a többletköltség Q1

(d)v0d1, a tétel második részénél pedig a többlet költség (Q2

(d)– Q1(d))v0(d2–d1). Ezt felhasználva a legkisebb árhoz

tartozó optimális rendelésitétel-nagyság a következő:

( )

rdv

dvQdvQdvQADEOQ

dddd

)1(

2

20

10)(

220)(

210)(

1)(2 −

−++=

Kettőnél több csökkentett árnál az egyes árak optimális rendelésitétel-nagyság formulái ugyanezen az elven írhatók fel, csak több eltérő árú optimális rendelésitétel-nagyság részt kell figyelembe venni.

A következő példa a növekmény jellegű árkedvezmény melletti optimális rendelésitétel-nagyság számítását szemlélteti a 4.13. ábra adatainak felhasználásával. Legyen tehát egy termék iránt jelentkező igény egy évben átlagosan 3600 darab. A rendelési költség 12 000 Ft. Egy darab beszerzési költsége 2500 Ft, az éves készlettartási ráta 60%. Számoljunk közelítőleg évi 360 munkanappal. A 4.4. fejezetben már ezt a feladatot megoldottuk és az optimális rendelésitétel-nagyság értékére 240 darabot kaptunk. Felvetődik a kérdés, hogy ha a szállító növekmény jellegű árkedvezményt ajánl, akkor érdemes-e nagyobb mennyiséget

90

rendelni. A szállító ajánlata a következő: ha a rendelt mennyiség 700 darabnál nagyobb, akkor az eredeti árból 20 %-ot enged a 700 darab feletti mennyiségre.

Az árkedvezménnyel tehát arra ösztönöz a szállító, hogy az eredetileg optimális 240 darabnál többet vásároljunk. Az eredeti 2500 Ft/db eladási árat 2000 Ft/db-ra mérsékeli, de nem minden darabra, csak a 700 darab feletti mennyiségre.

Határozzuk meg az alacsonyabb árhoz tartozó optimális rendelésitétel-nagyságot:

( ) ( )darab77,1473

6,0)2,01(2500

2,025007000001236002

)1(

2

0

0)(

)(1 =

⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅=

−+=

rdv

dvQADEOQ

dd

Az árkedvezmény 700 darabnál nagyobb mennyiségekre jár csak, tehát a diszkontküszöb 240 és 1474 közé esik. Ez azt jelenti, hogy a teljes költségfüggvény Q=700 darab után lefelé halad, amint azt a 4.13. ábra röviden szaggatott vonala mutatja. Azt kell tehát eldönteni, hogy a 240 darabos rendelés 2500 Ft/db egységáron, vagy az 1474 darabos rendelés 2000 Ft/db egységáron kedvezőbb-e. Ehhez meg kell határozni a teljes költségfüggvény értékét mind a két rendelési mennyiségre:

( ) ( )[ ] ( )

( ) ( )[ ]( )

eFt52,9073eFt4,989eFt3,29eFt8,8054

6,02,0125002

70014746,02500

2

7001474

3600000122,01250070014742500700

1474

3600

122

1}2000,1474{

eFt9360eFt180eFt180eFt9000

6,025002

240

240

36000001225003600

2}2500,240{

0

)(

0

)(

0)(

0)(

00

=++==⋅−⋅⋅−+⋅⋅+

+⋅+−⋅⋅−+⋅⋅=

=−−

+++−−+=

=++==⋅⋅+⋅+⋅=

=++=

rdvQQ

rvQ

Q

DAdvQQvQ

Q

DTK

rvQ

Q

DADvTK

dddd

Az eredményből látható, hogy 1474 darab rendelése kisebb teljes költséget eredményez, így ez az optimális rendelésitétel-nagyság.

Vizsgáljuk meg mi történne akkor, ha az eladó nem 20%, hanem csak 4% árkedvezményt ajánlana a 700 darab feletti vásárlásokra. Ekkor a csökkentett ár 2400 Ft/db, és a csökkentett árhoz tartozó optimális rendelésitétel-nagyság a következő:

( ) ( )darab31,640

6,0)04,01(2500

04,025007000001236002

)1(

2

0

0)(

)(1 =

⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅=

−+=

rdv

dvQADEOQ

dd

Ebben az esetben a diszkontküszöb (700) mind az eredeti árhoz (240), mind pedig a csökkentett árhoz tartozó optimumnál (640) nagyobb. A teljes költségfüggvény most Q=700 darab után csak felfelé haladhat, amint azt a 4.13. ábra középen futó szakasza mutatja. Az optimális rendelésitétel-nagyság ebben az esetben 240 darab lesz, mert olyan kismértékű az árkedvezmény, hogy az nem kompenzál a nagyobb mennyiség miatt megnövekedő készlettartási költségekért.

Mi történne akkor, ha a 4% árkedvezmény már 200 darab feletti mennyiségekre járna? Ebben az esetben a csökkentett árhoz tartozó optimális rendelésitétel-nagyság:

( ) ( )darab400

6,0)04,01(2500

04,025002000001236002

)1(

2

0

0)(

)(1 =

⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅=

−+=

rdv

dvQADEOQ

dd

Most a diszkontküszöb (200) kisebb mind az eredeti (240), mind pedig a csökkentett árhoz tartozó optimumnál (400), ezért a teljes költségfüggvény minimuma 400 darabnál lesz, amint azt a 4.13. ábra vegyesen szaggatott vonala mutatja. Ebben az esetben tehát érdemes

91

elfogadni az árkedvezményt és a csökkentett árhoz tartozó optimális mennyiséget kell rendelni.

A mennyiségtől függő árkedvezmény kapcsán két jellegzetes diszkont változatot ismertettünk, a proporcionális árkedvezményt, valamint a növekmény jellegű árkedvezményt. A gyakorlatban nagyon sokféle árkedvezmény létezik, de minden esetben az itt bemutatott elvek alapján számítható az optimális rendelésitétel-nagyság: meg kell határozni a teljes költségfüggvényt, majd ezt követően az egyes árakhoz tartozó optimális rendelésitétel-nagyságok, valamint a teljes költségfüggvény részeknek a diszkontmennyiségek helyén lévő kapcsolata alapján megállapítható az optimális rendelésitétel-nagyság.

4.8. Az utánrendelési-készletszint meghatározása

Az előző fejezetekben arra a kérdésre adtunk választ, hogy mennyit rendeljünk. E fejezetben arra a kérdésre válaszolunk, hogy mikor rendeljünk. Változatlanul azt feltételezzük, hogy az igény ismert és állandó. Ez a feltétel leegyszerűsíti a problémát, mert ha pontosan ismert az igény, akkor ki lehet számolni, hogy az utánrendelési idő alatt mennyi fogy. Olyankor kell tehát rendelni, amikor még éppen annyi van raktáron, amennyi elegendő az utánrendelési idő alatti igény kielégítésére. Ennek egyik szélső esetével találkozhattunk az előző fejezetekben, amikor azzal a feltételezéssel éltünk, hogy az utánrendelési idő zéró (L=0). Ilyenkor azonnal megjön a rendelt mennyiség, tehát akkor kell rendelni, amikor a készletszint éppen zéró.

Határozzuk meg először a legegyszerűbb (termelési ráta nélküli) esetre az utánrendelési-készletszint nagyságát. A problémát a 4.14. ábra szemlélteti.

Úgy kell időzíteni a rendelést, hogy az éppen akkor érkezzen meg, amikor a készletszint lecsökken nullára. A készletrendelés idejét úgy kapjuk meg, hogy visszamérünk a zéró készletszint időpontjától L időtartamot. Célszerűbb azonban azt megmondani, hogy milyen készletszintnél rendeljünk, ezért meg kell határozni, hogy a rendelés idejéhez milyen készletszint tartozik. Két esetet kell megkülönböztetni. Amikor egy rendelési ciklusban feladott rendelés még ugyanabban a ciklusban (a ciklus végén) megérkezik, a 4.14. ábra felső része alapján az utánrendelési-készletszint az utánrendelési idő alatt elfogyott mennyiség értékével azonos, tehát:

EOQTLLDs ≤= ha

Ha az utánrendelési idő hosszabb, mint egy rendelési ciklus, akkor a megrendelt mennyiség egy későbbi ciklusban érkezik meg. Ilyenkor is úgy kell ütemezni a rendelést, hogy az éppen a zéró készletszintnél érkezzen meg. A 4.14. ábra alsó része szemlélteti ezt az esetet. Látható, hogy ilyenkor azt kell megvizsgálni, hogy az utánrendelési idő hány egész rendelési ciklust tartalmaz. Ezek az utánrendelési idő által lefedett egész rendelési ciklusok az utánrendelési-készletszint számítását nem befolyásolják. A számításnál csak a lefedett egész ciklusok után fennmaradó részt kell figyelembe venni, amit L'-vel jelölünk és értékét a következő módon számoljuk:

EOQEOQ

TT

LLL ⋅

−='

ahol a szögletes zárójel a hányados egészértékét jelöli, ami éppen a lefedett egész rendelési ciklusok száma. Ezt felhasználva az utánrendelési-készletszint az előző esethez hasonlóan számolható, tehát

EOQTLDLs >= ha'

92

Az utánrendelési-készletszint számítását a 4.4. fejezetben már használt példával szemléltetjük. Legyen egy termék iránt jelentkező igény egy évben átlagosan 3600 darab. A rendelési költség 12 000 Ft. Egy darab beszerzési költsége 2500 Ft, az éves készlettartási ráta 60%. Számoljunk közelítőleg évi 360 munkanappal. A 3.4. fejezetben kiszámoltuk, hogy az optimális rendelésitétel-nagyság 240 darab (EOQ) és a rendelési ciklus hossza 24 nap (TEOQ).

4.14. Ábra: Az utánrendelési-készletszint számítása

Határozzuk meg, hogy milyen készletszintnél kell megrendelni a 240 darabos tételt, ha a

megrendelt mennyiség 15 nap múlva érkezik meg, tehát L=15. Miután esetünkben L<TEOQ, az utánrendelési-készletszint a következő módon számolható:

darab150360

360015 =⋅== LDs

A számításnál figyelembe kellett venni, hogy az utánrendelési időt napokban ismerjük, míg az igény egy évre vonatkozik. Az optimális rendelési politika szerint tehát minden alkalommal, amikor a készletszint lecsökken 150 darabra, rendelni kell 240 darab terméket.

Vizsgáljuk meg, hogyan alakul az utánrendelési-készletszint, ha az utánrendelési idő 50 nap, tehát L=50. Ebben az esetben L>TEOQ, ezért meg kell határozni a számításnál figyelembe veendő L' értékét:

nap2242502424

5050' =⋅−=⋅

−=⋅

−= EOQ

EOQ

TT

LLL

A számításból látható, hogy az utánrendelési idő két teljes rendelési ciklust tartalmaz, és a fennmaradó idő két nap, tehát az utánrendelési-készletszint a következőképpen számolható:

TEOQ

L

s

Készletszint

D

TEOQ

L’

L

Készletszint

s

D

L≤TEOQ

s=LD

TEOQ<L s=L’D

93

darab20360

36002' =⋅== DLs

Ebben az esetben akkor kell a 240 darabos rendelést feladni, amikor a készletszint 20 darabra csökken.

A kapott eredmény látszólag ellentmond a józan megfontolásnak. Miért rendelünk alacsonyabb készletszintnél akkor, amikor az utánrendelési idő hosszabb? Logikusan azt gondolhatnánk, hogy ha tovább kell a feladott rendelésre várakozni, akkor magasabb készletszintnél kell feladni a rendelést. Az ellentmondás csak látszólagos, a hosszú utánrendelési idő akkor indokol magasabb utánrendelési-készletszintet, ha a hosszabb idő egyben nagyobb bizonytalanságot is jelent. Miután azonban esetünkben az igény pontosan ismert, bizonytalanság nincs.

Határozzuk most meg az utánrendelési-készletszint alakulását, ha a beszállítás ütemét termelési ráta határozza meg. A problémát a 4.15. ábra szemlélteti.

4.15. Ábra: Az utánrendelési-készletszint számítása termelési ráta esetén

Az előző esethez képest a változás csak annyi, hogy most a rendelés feladásának ideje a

készletnövekedés, valamint a készletcsökkenés fázisába eshet. A 4.15. ábra felső része egy olyan esetet mutat, ahol a rendelés a készletcsökkenés fázisába esik, míg az ábra alsó részén a rendelés a készletnövekedés fázisába esik.

Készletszint

P-D D

t1 t2

TEOQ

L’

L

s

t1 t2

L

TEOQ

s

Készletszint

D P-D

L≤TEOQ és L<t2

s=LD

TEOQ<L L’> t2

s=(P–D)·(TEOQ –L’)

94

Ismét figyelembe kell venni továbbá, hogy a megrendelt mennyiség a rendelés feladásának ciklusában megérkezik-e, vagy csak egy későbbiben és ennek megfelelően kell használni a számításnál az L, vagy L' értéket. A 4.16. ábra alapján az utánrendelési-készletszint számításának összefüggései a következőképpen foglalhatók össze:

( ) ( )

( ) ( ) 2

2

2

2

'ésha'

'ésha'

ésha

ésha

tLTLDPLTs

tLTLDLs

tLTLDPLTs

tLTLLDs

EOQEOQ

EOQ

EOQEOQ

EOQ

>>−⋅−=≤>=>≤−⋅−=≤≤=

Az utánrendelési-készletszint számítását a 4.7. fejezetben már használt példával

szemléltetjük. Legyen tehát egy termék iránt jelentkező igény egy évben átlagosan 3600 darab. Az átállási költség 12 000 Ft és a termékből 40 darab készül el naponta. Egy darab gyártási költsége 2500 Ft, az éves készlettartási ráta 60%. Számoljunk közelítőleg évi 360 munkanappal. A 4.7. fejezetben kiszámoltuk, hogy az optimális rendelésitétel-nagyság 277 darab (EOQ) és a rendelési ciklus hossza 27,7 nap (TEOQ). Ugyancsak meghatároztuk a készletnövekedés (t1) időtartamát, amely 6,93 nap, valamint a készletcsökkenés időtartamát (t2), amely 20,77 nap. Számoljuk ki, hogy milyen készletszintnél kellene megrendelni a 277 darabos tételt, ha a megrendelt mennyiség 15 nap múlva érkezik meg, tehát L=15.

Az adatokból látható, hogy L<TEOQ, valamint L<t2 ezért a rendelés a készletcsökkenés szakaszába esik, és az utánrendelési-készletszint a következő módon számítható:

darab150360

360015 =⋅== LDs

Az optimális rendelési politika szerint tehát minden alkalommal, amikor a készletszint lecsökken 150 darabra, rendelni kell 277 darab terméket.

Vizsgáljuk meg, hogyan alakul az utánrendelési-készletszint, ha az utánrendelési idő 50 nap, tehát L=50. Ebben az esetben L>TEOQ, ezért meg kell határozni a számításnál figyelembe veendő L' értékét a következő módon:

nap3,227,271507,277,27

5050' =⋅−=⋅

−=⋅

−= EOQ

EOQ

TT

LLL

A számításból látható, hogy az utánrendelési idő most egy teljes rendelési ciklust tartalmaz. A kapott L' nagyobb, mint t2, tehát a rendelés a készletnövekedés szakaszába esik, az utánrendelési-készletszint pedig a következőképpen számolható:

( ) ( ) ( ) darab162360

3600403,227,27' =

−⋅−=−⋅−= DPLTs EOQ

Ebben az esetben akkor kell a 277 darabos rendelést feladni, amikor a készletszint 162 darabra nő. Termelési rátát tartalmazó feladatnál mindig meg kell adni, hogy a rendelés a készletnövekedés, vagy a készletcsökkenés szakaszába esik-e, mert ugyanaz a készletszint minden rendelési ciklusban kétszer fordul elő.

E fejezetben a „mikor rendeljünk” kérdést a folyamatos készletvizsgálat nyelvén

válaszoltuk meg, tehát azt határoztuk meg, hogy mekkora készletszintnél kell feladni a rendelést. Periodikus készletvizsgálatnál ugyanerre a kérdésre a válasz az lenne, hogy milyen időközökben rendeljünk. Korábban már említettük, hogy ismert állandó igénynél a folyamatos és a periodikus készletezési rendszer készletváltozási diagramja azonos lesz, ezért a rendelési periódus a két beérkezés között eltelt idővel azonos, ami nem más mint TEOQ. Előbbi feladatunk eredményét pedig a periodikus készletvizsgálat terminológiájával megfogalmazva

95

azt mondhatjuk, hogy rendeljünk 27,7 naponként akkora mennyiséget, amekkora a 277 darabos készletszinthez hiányzik.

4.9. A biztonsági készletek meghatározása folyamatos készletvizsgálatnál

E fejezetben azt vizsgáljuk meg, hogy az optimális rendelésitétel-nagyságra és utánrendelési-készletszintre vonatkozó megfontolásainkat hogyan befolyásolja az a tény, hogy az igény ugyan állandó jellegű, de nem ismert, hanem becsült. Nem tudjuk tehát előre, hogy pontosan mennyi fogy a raktárból. Ebben az esetben ketté kell választani a folyamatos és a periodikus készletvizsgálati rendszert, mert mindkét esetben eltérő hatása van a bizonytalanságnak. Folyamatos készletvizsgálatnál a rendelésitétel-nagyság állandó, ezért az igény bizonytalansága az utánrendelési idő alatt rendelkezésre álló készletszint meghatározását befolyásolja. Periodikus készletvizsgálatnál a rendelési időköz állandó, ezért az igény bizonytalansága a rendelési mennyiséget érinti. Mindkét esetben az igény bizonytalanságának kedvezőtlen hatását – a hiány esetleges kialakulását – megnövelt készletszinttel, az úgynevezett biztonsági készlettel próbáljuk enyhíteni. Ha az igény valószínűségi változó, akkor nagyon nagy igények is előfordulhatnak meghatározott valószínűséggel, ezért a hiány teljes valószínűséggel csak végtelen nagy készlettel kerülhető el. Ez a gyakorlatban kivihetetlen, ezért a menedzsment előírja a hiány elfogadható mértékét. A hiány elfogadható mértékét – a szolgáltatás színvonalát – többféle módon fejezhetjük ki. A következőkben a szolgáltatás színvonalát a hiány előfordulásának gyakoriságával jellemezzük, tehát előírjuk, hogy egy vizsgált időszakban hányszor fordulhat elő hiány.

Folyamatos készletvizsgálatnál hiány akkor fordulhat elő, ha a rendelést feladtuk és várjuk a megrendelt tétel beérkezését. Ha az utánrendelési idő alatt az utánrendelési- készletszintnél nagyobb lesz az igény, akkor hiány keletkezik. Ha az utánrendelési idő alatt az igény az utánrendelési-készletszintnél kisebb, akkor a rendelés beérkezéskor a készletszint nagyobb, mint zéró. Ha az igény valószínűségi változó, akkor az utánrendelési idő alatt az utánrendelési-készletszintnél kisebb és nagyobb igények is előfordulhatnak meghatározott valószínűséggel, ennek megfelelően a hiány előfordulásának valószínűsége számolható. A számítás elvét a 4.16. ábra szemlélteti.

4.16. Ábra: Folyamatos készletvizsgálat biztonsági készletet tartalmazó

utánrendelési-készletszintje

µL

ss=zσL

s

L P{u>s}

Készletszint

Q

96

Az ábrán normális eloszlást feltételezve feltüntettük az utánrendelési idő alatt előforduló

igény sűrűsség függvényét. Az utánrendelési-készletszintet két részre bontottuk: az utánrendelési idő alatti átlagos igényre, vagy másként nevezve az utánrendelési idő alatti igény várható értékére (µL); valamint az átlagos igényen túli részre, vagy más néven biztonsági készletre (ss). Az utánrendelési-készletszint tehát a következő módon írható fel:

sss L +µ= Az összefüggésből látható, hogy a biztonsági készlet feladata az átlagtól eltérő igények

kielégítése. Hiány akkor fordulhat elő, ha az utánrendelési idő alatti tényleges igény (u) nagyobb, mint az utánrendelési-készletszint. Ennek előfordulási valószínűsége P{ u>s}. Ha a vizsgált hosszabb időszakban az igény várható értéke D és azt Q mennyiség többszöri rendelésével elégítjük ki, akkor D/Q alkalommal rendelünk, és minden rendeléskor az utánrendelési idő alatt P{ u>s} valószínűséggel fordulhat elő hiány. Ezért a hiány előfordulásának gyakorisága a vizsgált időszakban D/Q·P{ u>s}amelynek értékét a menedzsment a tervezett szolgáltatásszint függvényében előírja, tehát

GssuPQ

DL ≤+µ> }{

ahol G a menedzsment által előírt gyakoriság. G maximális értéke D/Q, ami azt jelenti, hogy minden rendelés után lehet hiány az utánrendelési idő alatt.

A kapott összefüggés segítségével kétféle számítás végezgető el. Egyrészt meghatározhatjuk egy adott szolgáltatásszinthez a szükséges biztonsági készlet nagyságát, tehát egy adott G mellett számolhatjuk ss értékét. A biztonsági készlet meghatározásával egyben az előírt szolgáltatásszint fenntartásának a költsége is számolható. Másrészt elvégezhetjük az előbbi feladat fordítottját is, tehát meghatározhatjuk, hogy a biztonsági készletekre fordítható adott pénzösszeg milyen szolgáltatásszint elérését teszi lehetővé, tehát egy adott ss mellett mekkora lesz G értéke.

A szolgáltatásszint és hiány gyakoriság kapcsolatára felírt egyenlőtlenség szükségessé teszi az igény valószínűség-eloszlásának ismeretét, tehát a P{ u>s} függvény meghatározását. Az eloszlásfüggvény jellegétől függően az egyenlet analitikus vagy numerikus módszerekkel megoldható. Normális eloszlásnál G vagy ss értéke a standard normális eloszlás eloszlásfüggvény táblázata segítségével számolható, feltételezve, hogy

LLL zszss σ+µ=σ= és ahol σL az igény utánrendelési idő alatti szórása.

Végezetül vizsgáljuk meg, hogyan alakul a teljes költségfüggvény, ha biztonsági készletet tartunk. A 4.16. ábrán látható, hogy az utánrendelési idő alatt az igény nagyobb és kisebb is lehet az átlagosnál. Miután az átlagos igény az igény várható értéke, az átlagosnál nagyobb és kisebb igények hosszú távon kiegyenlítik egymást. Ennek következtében a rendelési ciklusok végén a raktárban maradó készlet átlagos szintje éppen a biztonsági készlettel egyenlő. Így a raktárban lévő készleteket két részre oszthatjuk. Egyrészt lesz egy olyan készlet, amelynek átlagos szintje a biztonsági készlet, tehát ss. Továbbá lesz egy olyan készlet, amelynek szintje változik egy maximális és egy minimális érték között. Miután minden rendelési ciklusban a raktárból kiszállított mennyiség átlagosan a beérkezett mennyiség, a változó készletek szintje átlagosan a rendelésitétel-nagyság és zéró között változik. E megfontolásokat figyelembe véve az átlagos készletszint a következőképpen írható fel:

ssQ

I Átl +=2

97

Az átlagos készletszintre felírt összefüggést felhasználva a teljes költség várható értéke az optimális rendelésitétel-nagyság és a biztonsági készlet függvénye, tehát

vrssQ

Q

DADvssQTK ⋅

+++=2

},{

A kapott összefüggésből kiolvasható, hogy az igény bizonytalansága miatti többletköltség a biztonsági készletek tartásának költsége, amely a következőképpen számolható: vrssK ss ⋅=

Minél szigorúbb a menedzsment előírása a hiány gyakoriságára, annál többet kell áldozni a hiány kiküszöbölésére, ami két módon lehetséges:

– egyrészt növelhető a biztonsági készletek szintje, ami a készlettartási költséget növeli, – másrészt csökkenthető az igény bizonytalansága pontosabb előrejelzés készítésével

(lásd 2. fejezet). A következőkben a biztonsági készletekkel kapcsolatos számításokat a már többször

használt mintapéldánkon szemléltetjük. A feladatot azzal kell kiegészíteni, hogy az igény valószínűségi változó, amelynek valószínűség-eloszlását, várható értékét és szórását ismerni kell, továbbá meg kell adni a menedzsmentnek a hiány gyakoriságára vonatkozó előírását. Legyen tehát egy termék iránt jelentkező igény normális eloszlású, melynek évi várható értéke 3600 darab, szórása pedig 245 darab. A rendelési költség 12 000 Ft. Egy darab beszerzési költsége 2500 Ft, az éves készlettartási ráta 60%. Számoljunk közelítőleg évi 360 munkanappal. A menedzsment átlagosan évi háromszori hiány kialakulását tartja elfogadhatónak. A 4.4. fejezetben kiszámoltuk, hogy az optimális rendelésitétel-nagyság 240 darab (EOQ) és a rendelési ciklus hossza 24 nap (TEOQ).

Határozzuk meg először 15 napos utánrendelési időnél a biztonsági készlet, valamint az utánrendelési-készletszint nagyságát. A feladatban az igény várható értéke és szórása egy évre ismert, a számításokhoz azonban szükség van a 15 napra vonatkozó értékekre. A valószínűségi változók összegének várható értékére és szórására vonatkozó összefüggések alapján [33] a 15 napra vonatkozó értékek a következők:

darab5001,50

360

15245

360

darab150360

153600

36022

≈=⋅=σ→σ

=σ

=⋅=µ→=µ

LDL

LL

L

D

L

A feladatban adott a hiány elfogadható gyakorisága (G=3). Az ehhez tartozó biztonsági készletszint a következő összefüggés alapján határozható meg:

2,033600

240}50150{}{ =⋅≤⋅+>→⋅≤> zuPG

D

EOQsuP

A standard normális eloszlásfüggvény táblázata (függelék II. Táblázat} alapján a kapott valószínűséghez z=0,84 érték tartozik. Ezt felhasználva számolható a biztonsági készlet, valamint az utánrendelési-készletszint,

darab19242150

darab425084,0

=+=+µ==⋅=σ⋅=

sss

zss

L

L

A menedzsmentnek a hiány gyakoriságára előírt feltételét kielégítő rendelési politika szerint tehát minden alkalommal, amikor a készletszint lecsökken 192 darabra, rendelni kell 240 darab terméket. Az igény bizonytalansága miatt a biztonsági készlettel megnövelt átlagos készletszint:

darab162422

2402

=+=+= ssEOQ

I Átl

98

A biztonsági készlet készlettartási költsége: tvrssKss eF636,0250042 =⋅⋅=⋅= A rendelési politika teljes költsége pedig a következő módon számolható:

tTK eF94236,02500422

240

240

36000001225003600}42,240{ =⋅⋅

++⋅+⋅=

Tételezzük fel, hogy a menedzsment megvizsgálva a kapott eredményt, soknak tartja a biztonsági készletre fordított összeget, és előírja annak felére csökkentését. Hogyan alakulna ebben az esetben a szolgáltatás színvonala? A biztonsági készlet csökkenése a hiány előfordulásának gyakoriságát növeli. A költségcsökkenés miatt a gyakoriságra ható z értéke a következőképpen módosul:

42,06,02500502

00063

2

00063 =⋅⋅⋅

=→=⋅σ= zvrzK Lss

A standard normális eloszlásfüggvény táblázata (függelék II. Táblázat} alapján a z=0,42 értékhez tartozó valószínűség 0,3372. A megnövekedett hiánygyakoriság a biztonsági készlet és az utánrendelési-készletszint összefüggése alapján számítható:

058,53372,0240

3600}{ =⋅=+µ>= ssuP

Q

DG L

A biztonsági készletekre fordított összeg csökkentése miatt, az évi átlagosan háromszori hiány átlagosan öt alkalomra nő. Természetesen megváltozik a rendelési politika is. Az új utánrendelési-készletszint lecsökken a következő értékre: darab1715042,0150 =⋅+=+µ= sss L

Tételezzük fel, hogy a menedzsment a szolgáltatás színvonalának növelésében érdekelt és az eredetileg évente átlagosan háromszori hiányt átlagosan évi egyetlen hiányra szeretné csökkenteni. Milyen többletköltséget jelentene ez a változás? A szigorúbb előírás miatt növekedni fog a biztonsági készlet. A biztonsági készlet és az utánrendelési-készletszint összefüggése alapján most először az egyetlen rendelési ciklushoz tartozó hiány valószínűségét határozzuk meg:

066,013600

240}{ =⋅=⋅=σ⋅+µ> G

D

QzuP LL

A standard normális eloszlásfüggvény táblázata (függelék II. Táblázat} alapján a meghatározott valószínűséghez z=1,5 tartozik. A megnövekedett biztonsági készlet és annak készlettartási költsége pedig a következő módon számolható:

eFt5,1126,0250075

darab75505,1

=⋅⋅=⋅==⋅=σ=

vrssK

zss

ss

L

Az átlagosan három hiányt megengedő politika teljes költségéhez képest a hiány gyakoriságának csökkentése 112,5–63=49,5 eFt többletköltséget okoz. Természetesen ebben az esetben is megváltozik a rendelési politika. Az új utánrendelési-készletszint most a következő értékre nő: darab22575150 =+=+µ= sss L

Meg kell jegyezni, hogy a biztonsági készlet lehet negatív is. Ha a menedzsment megengedi a hiány gyakori előfordulását, akkor még az utánrendelési idő alatti igény átlagos értékének sem kell raktáron lennie a rendelés feladásakor. Vizsgáljuk meg, hogyan alakulna az utánrendelési-készletszint feladatunkban, ha hiány évente átlagosan kilencszer fordulhat elő, tehát G=9. A biztonsági készlet és az utánrendelési-készletszint összefüggése alapján most egyetlen rendelési ciklus hiányának valószínűsége a következő:

99

6,093600

240}{ =⋅=⋅=σ⋅+µ> G

D

QzuP LL

A standard normális eloszlásfüggvény táblázata (függelék II. Táblázat) alapján a meghatározott valószínűséghez z=–0,25 tartozik. A biztonsági készlet és az utánrendelési-készletszint értékei pedig a következők:

darab 13812150

darab 12darab5,125025,0=−=+µ=

−≈−=⋅−=σ=sss

zss

L

L

Végezetül határozzuk meg az eredetileg előírt évente átlagosan háromszori hiánynál az utánrendelési-készletszint értéket, ha az utánrendelési idő 50 nap, tehát L>TEOQ. E feladatot ismert állandó igény mellett a 4.8 fejezetben már megoldottuk és az L'=2 nap felhasználásával az eredmény s=20 darab volt. Az igény bizonytalansága miatt ismét biztonsági készlet számítása szükséges, de nem a számításhoz felhasznált L'=2 napra, hanem az eredeti 50 napra. Ennek oka, hogy bár az utánrendelési idő hosszabb, mint a rendelési ciklusidő, és ezért L' alapján számoljuk az utánrendelési idő alatti igény várható értékét, de az utánrendelési idő alatti igény szórásánál az eredeti L=50 napot kell figyelembe venni. Felhasználva az évi háromszori hiányhoz az előbbiekben már meghatározott z=0,84 értéket, az utánrendelési-készletszint a következőképpen alakul:

darab977720

darab777,76306,9184,0

darab306,91360

50245

360

' =+=+µ=≈=⋅=σ=

=⋅=⋅σ=σ

sss

zss

L

L

L

DL

Láthatjuk, hogy a hosszabb utánrendelési idő nagyobb biztonsági készletet igényel. Azt is észrevehetjük, hogy még mindig kisebb utánrendelési-készletszint tartozik a hosszabb utánrendelési időhöz, de valamelyest csökken a különbség a determinisztikus (ismert igényű) esethez képest.

E fejezetben úgy válaszoltuk meg a mikor és mennyit rendeljünk kérdést, hogy az igény várható értéke alapján kiszámoltuk az optimális rendelésitétel-nagyságot, majd a menedzsment szolgáltatásszint előírása alapján meghatároztuk az utánrendelési-készletszintet. Kérdés azonban, hogy vajon az így meghatározott készletezési politika optimális-e, vagy található ennél alacsonyabb teljes költségű megoldás?

Az igény véletlenszerű alakulása miatt most előfordulhat hiány, amelynek gyakoriságát a menedzsment a szolgáltatásszint előírásával korlátozza. A felvetett kérdés megválaszolásához fel kell írnunk a teljes költségfüggvényt úgy, hogy az tartalmazza a hiányköltséget is. Miután az igény valószínűségi változó, a hiány is az lesz. Ha az igény tényleges értéke az utánrendelési idő alatt u, az utánrendelési idő alatt rendelkezésre álló készlet pedig s, akkor a hiány u–s. Ténylegesen akkor van hiány, ha ez az érték pozitív, tehát a tényleges igény meghaladja az utánrendelési idő alatt rendelkezésre álló mennyiséget. A negatív érték a rendelés beérkezésekor a raktárban található készlet nagyságát jelöli. Feltételezve, hogy u normális eloszlású valószínűségi változó f{ u} sűrűségfüggvénnyel, µL várható értékkel és σL szórással, a hiány várható értéke egyetlen rendelési periódusban a következő módon írható fel:

( )[ ] duufzuzHLL zs

LL }{}{ ⋅σ+µ−= ∫∞

σ+µ=

Vezessük be a hiány ráta fogalmát (b), amely – a készlettartási ráta analógiájaként – kifejezi azt, hogy a beszerzési költség (v) hány százalékát tekintsük hiányköltségnek. A teljes

100

költség várható értéke így a rendelt mennyiség (Q) valamint a z felhasználásával meghatározott biztonsági készlet függvényében a következő módon írható fel:

{ } brzHQ

Dvrz

Q

Q

DADvzQTK L ⋅+⋅

σ+++=2

},{

A kapott kétváltozós függvény minimumát megkapjuk, ha a két változó szerinti parciális deriváltakat egyenlővé tesszük zéróval, és az így kapott kétváltozós egyenletet megoldjuk. A részletes levezetést az olvasóra bízva, csak az eredményt közöljük:

( )

b

r

D

zQzuP

z

zQTK

vr

bvzHADzQ

Q

zQTK

LL ⋅=σ+µ≥→=∂

∂

⋅+⋅=→=∂

∂

}{}{0

},{

}{2}{0

},{

A kapott két összefüggés mindegyike egyaránt tartalmazza a két változót (Q, z), de látható, hogy azok értéke explicit módon nem határozható meg. Kezdőértékek választása után azonban iterációval gyorsan eljuthatunk olyan Q és z értékekhez, amelyek mindkét egyenletet kielégítik. Általános tapasztalat, hogy az így kapható optimális rendelésitétel-nagyság csak nagyon kis mértékben tér el a determinisztikus esetben kapott optimumtól, ezért a gyakorlatban rendszerint nem végzik el az iterációt.

A második egyenletet megvizsgálva észrevehetjük, hogy az nagyon hasonlít a biztonsági készlet és az utánrendelési-készletszint korábban meghatározott összefüggésére, amely átrendezve a következő módon írható:

GD

QzuP LL ⋅≤σ+µ> }{

A teljes költségfüggvény minimalizálásával kapott második egyenlet ehhez nagyon hasonló, csak G helyett r/b szerepel, tehát felírható a következő összefüggés:

b

rG =

A menedzsment által előírt elfogadható hiánygyakoriság (G) tehát kapcsolatban van a hiányköltséggel. Minél nagyobb a hiány elfogadható gyakorisága, a menedzsment implicit módon annál kisebb hiányrátát, és ezen keresztül hiányköltséget feltételez. Példánkban a menedzsment számára az átlagosan évi háromszori hiány elfogadható, a készlettartási ráta értéke pedig 0,6. Az implicit módon feltételezett hiányráta a következő módon számolható:

2,03

6,0 ===G

rb

Az évi háromszori hiány előírásakor a menedzsment tehát implicit módon azt feltételezte, hogy a hiány miatt nem szállított termékek értékének 20%-a tekinthető veszteségnek. A számítás fordítva is elvégezhető. Ha a menedzsment azt gondolja, hogy a hiány miatt nem szállított árúk értékének 50%-a tekinthető veszteségnek, akkor a hiány elfogadható gyakorisága a következő:

2,15,0

6,0 ===b

rG

Ez a szám nyilvánvalóan kisebb az eredeti értéknél (3), mert a költségesebb hiány a menedzsmentet kevésbé engedékeny politikára ösztönzi.

Eredeti kérdésünkre válaszként megállapíthatjuk tehát, hogy a meghatározott politika nem optimális ugyan, de az optimumnak nagyon jó közelítése, továbbá, hogy a hiányköltséget implicit módon, a menedzsment által előírt gyakoriságon keresztül veszi figyelembe.

101

4.10. Egy venni vagy gyártani döntési probléma vizsgálata – esettanulmány

A készletgazdálkodás alapösszefüggéseit áttekintve észrevehettük, hogy az eredmények rendszerint túlmutattak a raktáron. A készletekkel kapcsolatos döntések termelési sorozatnagyságokkal, kapacitásproblémákkal és előrejelzési kérdésekkel egyaránt összefüggnek. A következő esettanulmány azt mutatja be, hogyan vizsgálható egy venni vagy gyártani döntési probléma a készletezési megfontolások tükrében [1]. Az eset ugyancsak érzékelteti az adatgyűjtéssel kapcsolatos gyakorlati nehézségeket.

4.10.1. A venni vagy gyártani döntési probléma ismertetése

Tekintsük egy gyártóüzem példáját, amelynek vezetése azt fontolgatja, hogy egy kritikus alkatrészt, amelyet korábban egyik alvállalkozója szállított, esetleg a saját üzemében is elő tudná állítani. Az alkatrész iránti igény várható értéke évi 3200 darab. Az üzem folyamatos készletvizsgálatot alkalmaz és évente átlagosan 250 napot dolgozik.

Az üzem gazdasági vezetői 14%-ban határozták meg a termelésben lekötött tőke költségét. Az elmúlt évben 60 000 eFt volt a készletek átlagos finanszírozási igénye. További 2400 eFt-ot költöttek a készletekkel összefüggő adókra, biztosításra. A készletek károsodásával, lopással kapcsolatos költség közelítőleg 900 eFt volt. Végezetül 1500 eFt-ot költöttek a raktározással kapcsolatos általános költségekre (fűtés, világítás, adminisztráció stb.). A beszerzési osztály információi szerint átlagosan két órát tart egy rendelés elkészítése, függetlenül a rendelt mennyiség nagyságától. A beszerzési osztályon dolgozók becsült órabére az egyéb járulékos terheket is figyelembe véve 2800 Ft. Emellett, a tavalyi időszakban a feladott 125 rendeléshez 237,5 eFt egyéb telefon, papír, postai költség is társult.

Az alvállalkozótól vásárolva az alkatrészt egy hét a rendelés feladása és az alkatrészek beérkezése között eltelt idő. Statisztikai vizsgálatok azt mutatják, hogy ezen egy hét alatt az alkatrész iránti igény várható értéke 64 darab, szórása pedig 10 darab. Az üzemvezetés azt tartja elfogadhatónak, ha évente átlagosan egy alkalomnál többször nem keletkezik alkatrészhiány.

Jelenleg az üzem 1800 Ft-ért vásárolja az alkatrészt az alvállalkozótól. Az utóbbi hónapokban azonban az üzemben felesleges kapacitás keletkezett, ezért az üzemvezetés úgy gondolja, hogy talán olcsóbb, ha az alkatrészt helyben gyártják. Az előrejelzések azt mutatják, hogy várhatóan lesz elegendő kapacitás az alkatrész gyártására. Közelítőleg öthónapnyi szabad kapacitása van az üzemnek és az alkatrészből a rendelkezésre álló technológiával 1000 darab gyártható le havonta. Megfelelő termelésprogramozással elérhető, hogy 2 hetes átfutással a rendelt mennyiség mindig legyártható. A kétheti utánrendelési idő alatt az alkatrész iránti igény várható értéke 128 darab, szórása pedig 14,14 darab. Egy darab legyártásának költsége előreláthatólag 1700 Ft.

Az üzemvezetés fő aggodalma az, hogy a berendezések átállítása az alkatrész gyártására jelentős veszteséggel jár. Úgy becsülik, hogy egy átállítás egy teljes nyolc órás műszakot vesz igénybe, és az óránként elvesztett termelés értéke 5000 Ft.

4.10.2. A venni vagy gyártani probléma megoldása

A feladat tehát annak meghatározása, hogy az üzem külső szállítótól vásárolja (venni), vagy pedig saját kapacitását felhasználva gyártsa (gyártani) a szükséges alkatrészt. Mindkét esetben a feladat az átlagosan évi 3200 darabos igény kielégítése. Az alkatrész vásárlásakor a külső szállító egy tételben szállítja a megrendelt mennyiséget egy hetes utánrendelési idővel

102

1800 forintos egységáron. Saját gyártáskor a termelés ütemében töltjük fel a raktárt, az utánrendelési idő a termelésütemezési szempontok miatt megnő 2 hétre, a gyártási költség pedig 1700 forint, tehát alacsonyabb, mint a beszerzési ár. Általánosságban tudjuk azt is, hogy a beszerzésnél jelentkező rendelési költség rendszerint nagyságrendekkel kisebb, mint a gyártáskor jelentkező átállási költség. Összehasonlítva a beszerzés és gyártás feltételeit, láthatjuk, hogy az alacsonyabb gyártási költség inkább saját gyártást indokolna, ugyanakkor a hosszabb utánrendelési idő miatt várhatóan megnövekedő biztonsági készlet a beszerzésnek kedvezhet. Ugyanakkor nehezen átlátható, hogy a termelési ráta miatt jelentkező készletszint csökkenésnek, valamint a magas átállási költség motiválta nagyobb gyártási sorozat készletszint növelő hatásának együttes eredménye a beszerzésnek vagy a gyártásnak kedvez-e. A választ a két lehetőség teljes költségének összehasonlításakor kapjuk meg, feltételezve, hogy a menedzsment átlagosan évente egyszer tartja elfogadhatónak a hiány kialakulását.

A számítások elvégzéséhez határozzuk meg először a készlettartási rátát, amely azonos lesz mind a két esetben. A készlettartási ráta több elemből tevődik össze. Egyik eleme a készletekben lekötött tőke költsége, amely a gazdasági vezetés számításai szerint 14%. Az elmúlt évi 60 MFt átlagos készletérték százalékában kifejezhetjük a készlettartási rátát növelő többi tényező értékét is. Az adók, biztosítás tavalyi 2,4 MFt-os költsége az átlagos finanszírozás 4%-a (2,4/60=0,04). A károsodás, lopás címszó alatt nyilvántartott 0,9 MFt az átlagos finanszírozás 1,5%-a (0,9/60=0,015). A raktározott mennyiségtől függő egyéb költség 1,5 MFt, ami az átlagos finanszírozás 2,5%-a (1,5/60=0,025). A felsorolt tényezők együttes összege 22% (14+4+1,5+2,5), tehát a számítások során évi 22%-os készlettartási rátával kell számolni. Az eredmény jól tükrözi a gyakorlatban sokszor tapasztalható arányokat, a készletfinanszírozás költségének kiemelkedő szerepét.

A következőkben először a vásárlás teljes költségét számoljuk ki optimális rendelési politika alkalmazásakor. Ehhez meg kell határozni az optimális rendelésitétel-nagyságot, valamint az utánrendelési-készletszintet, figyelembe véve, hogy az alábbi adatok ismertek:

– Igény (D): 3200 db/év – Beszerzési költség (v): 1800 Ft/db – Éves készlettartási ráta (r): 0,22 – Utánrendelési idő (L): 1 hét – Igény várható értéke az utánrendelési idő alatt (µL): 3200/250·5=64 darab – Igény szórása az utánrendelési idő alatt (σL):10 darab – A rendelési költség (A) meghatározásánál figyelembe kell venni az adminisztráció

kétórányi bérköltségét (2·2,8=5,6 eFt), valamint a tavalyi 125 rendelés feladásakor felmerült 237,5 eFt egy rendelésre jutó átlagos költségét (237,5/125=1,9 eFt), ami összesen 7,5 eFt.

Az optimális rendelésitétel-nagyság egyszerre érkező megrendelt tételek esetén:

darab34815,34822,01800

3200750022 ≈=⋅⋅⋅==

vr

ADEOQ

Az utánrendelési-készletszint számításához ellenőrizni kell, hogy az utánrendelési idő mekkora a rendelési ciklusidőhöz képest:

LTD

EOQT EOQEOQ >=⋅== tehátnap18,27

3200

250348

Évente átlagosan egyszer megengedett hiánynál a hiány előfordulásának valószínűsége egyetlen rendelési ciklusban a következő:

1087,013200

348}{ =⋅=⋅=> G

D

EOQsuP

103

A kapott valószínűséghez a standard normális eloszlás táblázatát (függelék 2. Táblázat) felhasználva z értékére 1,23 adódik. Ezt felhasználva a biztonsági készlet, valamint az utánrendelési-készletszint a következő:

darab771364

darab133,121023,1

=+=+µ=≈=⋅=σ=

sss

zss

L

L

Külső beszerzésnél tehát az optimális rendelési politika 348 darab rendelését jelenti akkor, amikor a készletszint lecsökken 77 darabra. E politika teljes költsége a következőképpen számolható:

eFt590322,01800132

348

348

3200750018003200

2}348{

=⋅⋅

++⋅+⋅=

=⋅

+++= vrssQ

Q

DADvTK

Vizsgáljuk meg most a belső gyártás teljes költségét az optimális gyártási politika alkalmazásakor. Ehhez meg kell határozni az optimális gyártásisorozat-nagyságot, valamint az utánrendelési-készletszintet, figyelembe véve, hogy az alábbi adatok ismertek:

– Igény (D): 3200 db/év – Beszerzési költség (v): 1700 Ft/db – Éves készlettartási ráta (r): 0,22 – Utánrendelési idő (L): 2 hét – Igény várható értéke az utánrendelési idő alatt (µL): 3200/250·2·5=128 – Igény szórása az utánrendelési idő alatt (σL): 10·√2=14,14 darab – Az átállási költség (A) meghatározásánál figyelembe kell venni a 8 órai átállás

óránkénti 5000 Ft veszteségét, ami összesen 40 000 Ft – Termelési ráta (P): 1000 db/hó

Az alkatrész gyártását végző üzem évente átlagosan öt hónapnyi szabad kapacitással

rendelkezik, tehát 1000 db/hó termelési rátánál az öt hónap alatt elvileg legyártható 5000 darab bőségesen fedezné az alkatrész iránti igényt. Természetesen az öt hónap szabad kapacitás csak megfelelő termelésprogramozással képes gazdaságosan és időre teljesíteni a rendeléseket.

Az optimális gyártási tételnagyság az adatok alapján a következő:

darab96612,9663200100012

100012

22,01700

32000004022≈=

−⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅=

−⋅=

DP

P

vr

ADEOQ

Megfigyelhetjük, hogy a megnövekedett rendelési (átállási) költség, valamint a beszállítási ráta megjelenése miatt az alkatrészt lényegesen nagyobb tételben rendeljük a saját üzemtől.

Az utánrendelési-készletszint számításához ellenőrizni kell, hogy az utánrendelési idő mekkora a rendelési ciklusidőhöz képest:

LTD

EOQT EOQEOQ >=⋅== tehátnap47,75

3200

250966

Évente átlagosan egyszer megengedett hiánynál a hiány előfordulásának valószínűsége egy rendelési ciklusban a következő:

3019,013200

996}{ =⋅=⋅=> G

D

EOQsuP

104

A kapott valószínűséghez a standard normális eloszlás táblázatát (függelék 2. Táblázat) felhasználva z értékére 0,52 adódik. Ennek segítségével a biztonsági készlet, valamint az utánrendelési-készletszint a következőképpen számolható:

darab1368128

darab835,714,1452,0

=+=+µ=≈=⋅=σ=

sss

zss

L

L

Látható, hogy a biztonsági készlet a hosszabb utánrendelési idő ellenére kisebb, mint külső beszerezésnél. A biztonsági készlet nagyságát két ellentétes hatás befolyásolja. Egyrészt a hosszabb utánrendelési idő miatt nagyobb az utánrendelési idő alatti igény szórása, ami növeli a biztonsági készletet. Ugyanakkor a saját gyártás nagyobb gyártási tételnagysága ritkább rendeléssel jár együtt, ezért nagyobb lehet egy rendelési ciklusban a hiány előfordulási valószínűsége, ami viszont csökkenti a biztonsági készletet. E két hatás együttes eredménye, hogy saját gyártásnál végül kisebb lesz a biztonsági készlet a kisebb tételnagyságú és rövidebb átfutási idejű külső vásárlás biztonsági készleténél.

Saját gyártásnál tehát az optimális rendelési politika 966 darab rendelését jelenti akkor, amikor a készletszint lecsökken 136 darabra. E politika teljes költsége a következőképpen számolható:

eFt96,5707

22,017008100012

3200100012

2

966

966

32000004017003200

2}13,248{

=

=⋅⋅

+⋅

−⋅⋅+⋅+⋅=

=⋅

+−⋅++= vrssP

DPQ

Q

DADvTK

A két teljes költséget összehasonlítva megállapíthatjuk, hogy valamivel olcsóbb a saját gyártás, a különbség 195 eFt. Természetesen a tényleges döntésnél a menedzsment egyéb tényezőket is mérlegelhet, mint például az eddigi szállítóval való kapcsolat hosszú távú szempontjait, a rendelkezésre álló kapacitás más hasznosítási lehetőségeit, a saját gyártás beindításának minőségi problémáit stb.

4.11. Összefoglalás

A 4. fejezetben áttekintettük azokat az elveket, amelyek segítségével egy készletezési rendszer működtetésének legfontosabb kérdései megválaszolhatóak. Így foglalkoztunk a rendelési tevékenységet szabályozó készletezési mechanizmusokkal. Meghatároztuk a rendelendő mennyiséget, a rendelés idejét, valamint az igény bizonytalanságának kedvezőtlen hatásait enyhítő biztonsági készlet nagyságát. Az e kérdésekre adott válaszok látszólag a termelő és szolgáltatórendszerek működésének csak egy részterületére, a raktározásra vonatkoznak. Ez azonban nem igaz. A termelési ráta feltételezése a gazdaságos gyártásisorozat-nagyság meghatározásával, már az egész termelési folyamat hatékony működését érintette, a venni vagy gyártani döntési probléma elemzése pedig kapacitásproblémákkal és a kooperációs partnerekkel kapcsolatos kérdéseket vizsgálta. A készletgazdálkodás az anyagáramlási folyamatok egy részének szabályozásával tulajdonképpen a teljes anyagáramlási folyamat gazdaságosságát befolyásolja.

Hangsúlyozni kell, hogy vannak olyan elképzelések, amelyek szerint ma már nem a költségek minimalizálása a döntések meghatározója. Így például a teljes körű minőségmenedzsment (TQM) a minőségre [37], vagy az idő alapú versenyzés (TBC) az időbeli működésre [6] helyezi a hangsúlyt. Egyik említett menedzsment paradigma sem állítja azonban azt, hogy a költség egyáltalán nem számít. Az újabb és újabb szempontok megjelenése a menedzsment döntéseknél azt feltételezi, hogy a korábbi (például költség)

105

szempontok szerint a rendszer már jól működik, ezért kompetitív előny csak valamilyen újabb területen elért kiemelkedő eredménnyel érhető el. Ezért a költségminimalizálásra épülő készletgazdálkodási modellek nem vesztenek aktualitásukból, legfeljebb egyre komplexebbé válik az a környezet, amelyben a kapott eredményeket alkalmazni kell.

E fejezetben tárgyalt problémák sokszor nagyon leegyszerűsített környezetre vonatkoztak. Ez azonban nem jelenti azt, hogy a kapott eredmények nem alkalmazhatók általános érvénnyel. Erre a legjobb példa az állandó rendelésitétel-nagyság mechanizmus. Bebizonyítottuk, hogy egészen speciális körülmények között optimális az állandó nagyságú tételek rendelése, mégis általánosan alkalmazzák ezt a rendszert a levezetést meghatározó feltételektől teljesen eltérő környezetben is. A kapott eredményekkel kapcsolatban ezért két megjegyzést kell tenni. Egyrészt a fejezet keretében bemutatott elvek alapján sokkal komplexebb és a valóságot jobban megközelítő problémák optimális megoldásai is meghatározhatók (lásd például [1], [11] és [22]). Másrészt az eredményeket meghatározó feltételektől való eltérés ellenére az eredmények a gyakorlatban sokszor nagyon jól alkalmazhatók. Ilyenkor az egyébként igen jó működés olyan kis mértékben tér el az optimumtól, hogy az optimális működés megtalálásának többletráfordításai valószínűleg nem térülnének meg.

106

5. AGGREGÁLT TERMELÉSTERVEZÉS

E fejezetben azt vizsgáljuk meg, hogy a termelő-, vagy szolgáltatórendszer hogyan elégítse ki az igényt, tehát mikor, miből, mennyit gyártson. Az aggregált kifejezés arra utal, hogy ezeket a kérdéseket összevontan, nagyvonalúan akarjuk megválaszolni. Azokat a kereteket kívánjuk először meghatározni, amelyeken belül maradva a részletes termelésprogramozás kérdései megválaszolhatók. E kereteket a gyártandó termékszerkezet, valamint a gyártáshoz felhasználható erőforrások szintje jelöli ki. Az aggregált termeléstervezés feladata tehát az optimális termékszerkezet, valamint a gyártáshoz felhasználható erőforrások optimális szintjének meghatározása. Az aggregált kifejezés esetünkben azt jelenti, hogy rendszerint nem egy konkrét termékről, hanem termékek egy meghatározott csoportjáról (terméktípus, termékcsoport stb.), valamint nem egy meghatározott berendezésről, hanem erőforrások egy meghatározott köréről (gépcsoport, üzem stb.) beszélünk. Az aggregált termeléstervezés válasza lehet például, az, hogy januárban és márciusban a hűtőgépekből az A jelű üzemben készítsünk 500-500 darabot, márciusban viszont ne gyártsunk semmit. Ezzel kijelöltük a termelés kereteit az első három hónapra, de nem mondtuk meg azt, hogy melyik típusból, melyik gyártósoron, pontosan mely napokon, mennyi készüljön. Ezekre a kérdésekre majd a termelésprogramozás ad választ (lásd például [32]).

Az aggregálás lényege tehát, hogy a mikor mit gyártsunk kérdésre adott válaszban nem törekszünk a legrészletesebb és legpontosabb megfogalmazásra, hanem a válasz egyes meghatározott elemeit összevontan (aggregáltan) kezeljük. Aggregálás a következő három területen (dimenzióban) történhet:

– Termékek aggregálása. Ahelyett, hogy részletesen határoznánk meg minden egyes termék gyártandó mennyiségét, a termékeknek egy – a technológia, méret, szervezet stb. által – meghatározott körét összevontan kezeljük. Például egy háztartási berendezéseket gyártó üzemnél beszélhetünk a mosógépek és hűtőgépek gyártandó mennyiségéről, esetleg még részletesebben a kis méretű és nagy méretű hűtőgépek gyártandó mennyiségéről.

– Erőforrások aggregálása. Az erőforrások aggregálásakor a termelés során felhasznált erőforrások egy – a technológia, szervezet, földrajzi elhelyezkedés stb.) által – meghatározott körét vonjuk össze. Például egy háztartási berendezéseket gyártó üzemnél beszélhetünk az egyes gyártósorok termelési feladatairól, amelyek több berendezést is tartalmaznak.

– Az idő aggregálása. A termelési feladatot ilyenkor egy – a szervezet, döntési mechanizmus stb. által – meghatározott időtávra fogalmazzuk meg. Egy háztartási berendezéseket gyártó üzemnél például beszélhetünk a beruházási politika miatt fontos éves termelési tervről, a készletek vizsgálata szempontjából kérdéses negyedévi termelési tervről, vagy a termelési program meghatározásához szükséges havi részletességű termelési tervről.

Konkrét feladatok megoldásakor egy vagy több dimenzió mentén aggregálhatunk. Egyszerűbb termelési folyamatoknál esetleg csak az idő dimenzió mentén szükséges az összevonás, tehát minden termék gyártandó mennyiségét és a hozzá felhasznált minden egyes berendezés programját megadjuk, például negyedéves bontásban. Gyakran csak az erőforrásokat aggregáljuk, és így az egyes gyártósorok részletes (termékekre lebontott) termelési tervét határozzuk meg. Bonyolult, sokféle terméket gyártó rendszerek stratégiai szintű erőforrás allokálási kérdéseinek vizsgálatakor viszont mindhárom dimenzió mentén szükséges az aggregálás.

A termelési terv aggregált megfogalmazása elsősorban két okból szükséges: – Egyrészt az a menedzsmentdöntés, amelyhez szükséges a termelésiterv-információ nem

feltétlenül igényli a legnagyobb részletességet. Amikor például el kell dönteni, hogy két eltérő

107

földrajzi régióban lévő üzem között hogyan osszuk meg főbb termékeink gyártását egy adott évben, akkor nincsen szükség a napra, gépre és termékre lebontott információra. A termelési tervet felhasználó menedzsmentkérdések tehát eltérő részletességű információt igényelnek (például pénzügyi tervezés, beruházás, készletgazdálkodás, alvállalkozói szerződések stb.).

– A teljes részletességű (termékre, berendezésre, órára lebontott) optimális termelési terv meghatározása sokszor olyan nagyságrendű matematikai modellt eredményez, amelynek megoldása nem lehetséges, vagy nem gazdaságos. Egy több ezer terméket sok üzem több száz berendezésén gyártó termelőrendszernél az optimális napi termelési terv meghatározása igen nagyméretű feladat. Ha esetleg a feladat matematikailag meg is oldható, mégis szükségtelen lehet a teljes részletességű információ, mert az egyes üzemek vezetői úgyis maguk döntenek a napi feladatokról a meghatározott tágabb keretek között.

Az aggregált termeléstervezés feladata tehát az optimális termékszerkezet, valamint a gyártáshoz felhasználható erőforrások optimális szintjének meghatározása. E feladat rendszerint matematikai programozási modellként fogalmazható meg. A feladat megoldásához szükséges információk a következő három csoportba sorolhatók:

– A vizsgált termékek, vagy szolgáltatások iránt jelentkező igény. A 2. fejezetben ismertettük az igény előrejelzésének módjait és hangsúlyoztuk, hogy az igény valószínűségi változó, ezért annak pontos előrejelzése nem lehetséges. A termelési terv feladata az igény kielégítése. Ezért a termelési terv meghatározásakor figyelembe kell venni az igény valószínűségi jellegét. Bár a szakirodalom foglalkozik a sztochasztikus optimalizálási problémák megoldásával, a gyakorlatban ezeket ritkán használják. Ezért a termeléstervezési modellekbe nem az igény valószínűségi jellegén keresztül építik be a bizonytalanságot, hanem a bizonytalanság kedvezőtlen hatását a készletek megfelelő szervezésével próbálják enyhíteni. Így a termeléstervezési modellek megfogalmazása előtt menedzsment döntés szükséges. Meg kell határozni, hogy az előrejelzések alapján mekkora mennyiség kielégítésére készítsük el a termelési tervet. A termelési tervben szereplő igény már nem valószínűségi változó, hanem a menedzsment által meghatározott pontos érték. Ez lehet például az igény várható értéke, és a bizonytalanságot a menedzsment által előírt biztonsági készlet előírásával (lásd 4.10 fejezet) vesszük figyelembe.

– A termelési terv által felhasznált erőforrások kapacitása. A termelési terv által meghatározott gyártandó mennyiség előállításakor csak a rendelkezésre álló, illetve megszerezhető kapacitások használhatók fel. Az erőforrások kapacitásainak meghatározásával a 3. fejezetben foglalkoztunk, továbbá részletesen bemutattuk a rövid távú kapacitásváltoztatás módjait. Az ott ismertetett módszerek a termelési tervbe beépíthetők. Így, ha egy meghatározott igény kielégítésére nincsen lehetőség, akkor a termelési terv a gazdasági adatok függvényében meghatározhatja az igénybe veendő alvállakozók körét, a műszakszám növelését stb.

– A termelési tervet meghatározó célfüggvény. A rendelkezésre álló kapacitások, valamint az előrejelzett igény sokféle termelésiterv-változat kidolgozását teszi lehetővé. Ezek közül ki kell választani a gazdasági szempontból legmegfelelőbbet. A termelési tervet rendszerint vagy haszonmaximalizálás, vagy költségminimalizálás alapján határozzuk meg. A konkrét helyzet dönti el, hogy egy adott döntési környezetben mely költségek a lényegesek. A matematikai programozás szinte valamennyi lényeges költség figyelembevételét lehetővé teszi, de természetesen nagyon sok szempont figyelembevétele növeli az alkalmazott modell nagyságát és bonyolultságát. Ezért mindig mérlegelni kell a a bonyolult modell felállításának és megoldásának ráfordítás igényét, valamint a kapott pontosabb információ hasznát. A gyakorlatban figyelembe vett legfontosabb költségek a teljesség igénye nélkül a következők:

108

– bérköltség, – kapacitás változtatásának költsége, – túlóra költsége, – készlettartási költség, – hiány költség, – kibocsátási ütem változásának költsége, – kihasználatlan kapacitás költsége. Az 5.2. és 5.3. fejezetben részletesen bemutatjuk a különféle költségeknek a termelési

tervet meghatározó modell bonyolultságára kifejtett hatását. A termelési terv egyik legfontosabb problémája a tervezési időhorizont meghatározása.

Bármilyen időtávra készüljön is egy termelési terv, az mindig szuboptimális, mert nem veszi figyelembe a tervezést követő időszakot. Ha például a feladat az első negyedév termelési tervének az elkészítése, akkor a második negyedévben esetleg várható magas igény nem szerepel a termelési tervben. Pedig lehet, hogy gazdaságosabb lenne az első három hónapban a szükségesnél lényegesen többet gyártanai, és a következő negyedév igényének egy részét raktárról kielégíteni, mint esetleg a második negyedévben költséges kapacitásbővítési intézkedéseket (túlóra, műszakszám növelése) hozni. A tervezési időhorizonton kívüli hatások figyelembevételének három leggyakrabban alkalmazott módja a következő:

– A termék gazdasági ciklusának figyelembevétele a tervezési horizont meghatározásakor. Ilyenkor úgy jelöljük ki a termeléstervezés időhorizontját, hogy az a termék valamennyi jellegzetes időszakát tartalmazza. Ha például egy termék igénye szezonalítást tartalmaz, és a legmagasabb igényű szezon őszre esik, akkor az első félévi termelési terv elkészítése nem szerencsés, mert nem fogja figyelembe venni a legkapacitásigényesebb időszakot.

– Peremfeltételek megadása. A termelési terv készítésekor peremfeltételek megadásával vehetünk figyelembe időhorizonton kívüli hatásokat. Például ha az első félévi termelési tervet kell elkészíteni és tudjuk, hogy a második félév igénye rendszerint magasabb, akkor előírható az első félév végére egy maghatározott nagyságú raktárkészlet felhalmozása.

– Gördülő tervezés. A gyakorlatban leggyakrabban alkalmazott eljárás lényege, hogy mindig hosszabb távra készítjük a termelési tervet, mint amekkora távra azt ténylegesen meg is valósítjuk. Például elkészíthetjük az év első három hónapjának termelési tervét, de ebből csak a januárit valósítjuk meg. Ezt követően újabb háromhavi tervet készítünk, most már februártól áprilisig, de ismét csak az első havit, tehát a februárit valósítjuk meg, és így tovább. Ebben az esetben a ténylegesen megvalósított terv mindig figyelembe vesz a megvalósított terv időhorizontján kívüli tényezőket is.

Végezetül egy egyszerű ábra segítségével szemléltetjük az aggregált termeléstervezés gondolatmenetét. Az 5.1. ábra egy termék igényét, valamint az azt kielégítő termelési tervet szemlélteti. A folytonos vonallal jelölt görbe a kumulált igény alakulását jelzi, tehát azt, hogy egy meghatározott t ideig összesen mekkora mennyiség gyártása szükséges. A kumulált igény meredekségének változása azt jelzi, hogy eleinte fokozatosan nő az igény, majd egy idő után lecsökken. A szaggatott vonallal jelölt egyenes a kumulált termelési tervet jelzi, tehát azt, hogy egy meghatározott t ideig összesen mekkora mennyiséget gyártunk. A szaggatott vonal állandó meredeksége azt jelzi, hogy egyenletes ütemben termelünk, függetlenül az igény változásától. A kumulált igény és kumulált termelés közötti különbség a raktárkészlet. Ha a termelés egyenese az igény görbéje felett halad, akkor a termelési folyamatban készletek találhatók. Az ábrán láthatjuk, hogy t1 ideig készlet halmozódik fel, mert a termelés üteme nagyobb az igénynél. Ezt követően (t2 ideig) felhasználjuk a készletet, mert a termelés üteme

109

az igénynél kisebb. Ez a tendencia t3 ideig tovább erősödik, ezért hiány keletkezik, tehát a kumulált igény meghaladja a kumulált termelést. A t3-al jelzett időpontban a hiány felhalmozódása megáll, mert innentől kezdve az igény csökkenése miatt a termelés üteme ismét nagyobb lesz az igénynél. Ez idő alatt többet termelünk, mint az igény, tehát a korábban felhalmozódott rendeléseket fokozatosan kielégítjük, és a t5-el jelölt időpontra valamennyi igényt teljesítjük.

5.1. Ábra: Egyenletes ütemű termelés termelési tervének grafikus szemléltetése

Az 5.1. ábra egy olyan termelési tervet mutat be, amely az egyenletes termelés miatt

kiküszöböli az erőforrások szintjének változtatásával, valamint a termelési ütem módosításával kapcsolatos költségeket, de ugyanakkor számol a készlettartás, valamint hiány miatt jelentkező költségekkel. Egy másik termelésiterv-változatnál megpróbálhatjuk pontosan követni az igény alakulását, tehát mindig annyit termelünk, amennyi szükséges. Ebben az esetben a szaggatott vonal a folytonos vonalon halad. Ekkor nincs sem készlettartási, sem hiány költség, viszont számolni kell az erőforrások szintjének változása (például munkaerő átcsoportosítás), vagy az erőforrások kihasználatlansága miatt (például állásidő) felmerülő költségekkel. Hogy a két változat közül melyik a kedvezőbb, azt a két termelési terv költsége alapján dönthetjük el. Az optimális termelési terv meghatározására felírt matematikai modellek valamennyi lehetséges tervváltozat közül választják ki a legkedvezőbbet. Ha ez a feladat bonyolultsága miatt nem lehetséges, akkor heurisztikákkal, egy adott gyártási környezetben valószínűleg jó eredményre vezető elvek alkalmazásával igyekszünk gazdasági szempontokat kielégítő termelési tervet találni. Az 5.1. ábra termelési terve például valószínűleg jó eredményre vezet akkor, ha a fajlagos készlettartási költség, valamint a hiány miatt jelentkező közvetlen, illetve közvetett veszteség alacsony, ugyanakkor a termelés ütemének és az erőforrások szintjének változtatása költséges.

A következőkben egy esettanulmány segítségével mutatjuk be a kielégítő, valamint optimális aggregált termelési terv meghatározását. Ezt követően összefoglaljuk a lineáris termeléstervezési modellek legfontosabb vonásait és megmutatjuk a lineáris programozás segítségével nyerhető információk jelentőségét menedzsmentdöntéseknél.

Kumulált mennyiség

Idő

Igény

Terv Készlet Hiány

t1 t2 t3 t4 t5

110

5.1. A kielégítő és optimális termelési terv meghatározása – esettanulmány

A termeléstervezés problémáit és lehetséges megoldásukat először egy egyszerű esettanulmány segítségével szemléltetjük. Egy szerelőüzem egyik gyártósorának januártól júniusig tartó hat havi termelési tervét szeretnénk meghatározni. A jelzett hat hónap munkanapjainak számát (nt) valamint a gyártott termék előre jelzett igényét az 5.1. táblázat szemlélteti [32].

5.1. Táblázat: A havi munkanapok és az előrejelzett igény

Hónap Munkanapok száma nt

Előre jelzett igény

Január 20 1280

Február 24 640

Március 18 900

Április 26 1200

Május 22 2000

Június 15 1400

Az adatokból látható, hogy nem azonos a havi munkanapok száma. A júniusi 15

munkanap például a nyári karbantartás miatt lehet kevesebb a többi hónap munkanapjainál. A feladat a havi gyártandó mennyiségek meghatározása.

A menedzsment a termelési terv meghatározásakor három költségelemet kíván figyelembe venni:

– Ha az üzem egy adott hónapban az igénynél többet gyárt, akkor készletek keletkeznek. A készlettartás havi költsége 8000 forint darabonként. A menedzsment olyan politikát követ, amely szerint hiány sohasem keletkezhet, ezért a hiányköltség megadása nem szükséges.

– Ha egy adott hónapban az igény lecsökken, akkor munkaerő felesleg keletkezik, amit a menedzsment a munkások elbocsátásával, vagy más üzemekbe átcsoportosításával old meg. A felesleges munkaerőt elbocsátja akkor is, ha esetleg később arra szükség lehet, így takarítva meg az állásidő költségét. Az elbocsátás és átcsoportosítás költsége a fizetendő végkielégítés és egyéb juttatások miatt 100 eFt munkásonként.

– Ha egy adott hónapban a termelési terv szerint gyártandó mennyiség elkészítéséhez nincsen elegendő munkaerő, akkor az üzem munkásfelvétellel, illetve átcsoportosítással növeli a létszámot. Az ilyenkor szükséges betanítás és egyéb ráfordítások miatt a munkaerő-felvétel költsége 50 eFt munkásonként.

A felsorolt három költségelem arra utal, hogy a menedzsment elsősorban a termelés során felhasznált legfontosabb erőforrás (munkaerő) szintjének változtatása, valamint a készletek szintjének szabályozása alapján kíván termelésiterv-változatokat kidolgozni. Eltekint ugyanakkor a gyártási költségtől. Ez akkor reális, ha a fajlagos gyártási költség nem függ a gyártott mennyiségtől, valamint az időtől. A könnyebb áttekinthetőség kedvéért ezeket az egyszerűsítéseket most elfogadjuk.

A munkaerő szintjének a gyártandó mennyiség szerinti szabályozása szükségessé teszi a termék és az erőforrás mennyiségi kapcsolatának ismeretét. Azt kell tehát tudnunk, hogy egyetlen munkás mennyi terméket tud elkészíteni egy meghatározott időszakban. Az üzemben

111

megfigyelték, hogy egy 22 munkanapos hónapban 76 munkás 245 terméket szerelt össze. A menedzsment úgy gondolja, hogy ennek az egyszeri megfigyelésnek az eredménye általánosan is jól jellemzi az üzem termelékenységét, így felhasználható a termelési terv készítéséhez. Tehát az adatok alapján egyetlen munkás által naponta gyártott mennyiség (K) a következőképpen számolható:

db/nap/fő 1465,0munkás 76munkanap 22

darab 245 =⋅

=K

A K tényező és a gyártandó mennyiség ismeretében számolható a szükséges munkáslétszám. Az üzemben a januárt közvetlenül megelőző decemberi hónapban a munkáslétszám 300

fő, tehát ez a létszám áll költségmentesen a menedzsment rendelkezésére a tervezés első hónapjában (januárban). Természetesen ezen a létszámon a menedzsment változtathat, de annak gazdasági következménye van. December végén a raktárban 500 darab termék található, tehát ez bármikor felhasználható a következő hat hónapban. Ugyanakkor a menedzsment a második félév várhatóan magas igénye miatt a júniust 600 darabos raktárkészlettel kívánja zárni. Júniusban tehát a tényleges igény nem csak 1400 darab, mert az előírt félév végi raktárkészlet rendelkezésre állásáról is gondoskodni kell. Az induló létszám és készlet, valamint a zárókészlet a tervezés peremfeltételeit jelentik.

Az 5.1. táblázatban feltüntetett igény alapján a menedzsmentnek döntenie kell, hogy ténylegesen mekkora havi mennyiségek kielégítésére készítsen tervet. Az előrejelzett igény alapján a menedzsment által elfogadott igény az effektív igény. Esetünkben a menedzsment úgy dönt, hogy az előre jelzett igény legyen a kielégítendő mennyiség, a december végén rendelkezésre álló készletet minél előbb használjuk fel, valamint a június végi készletet csak az utolsó pillanatban gyártsuk le a készletezési költségek csökkentése érdekében. Biztonsági készletek tartását a menedzsment nem tartja szükségesnek. Mindezeket figyelembe véve az effektív havi igényeket úgy kapjuk meg, hogy a januári előre jelzett igényt csökkentjük a december végi készlettel, valamint a júniusi előre jelzett igényt megnöveljük a félév végére előírt készlettel. A közbenső hónapokban az effektív igény megegyezik az előre jelzett igénnyel. A havi effektív igények értékét az 5.2. táblázat utolsó előtti oszlopa tartalmazza.

Az 5.2. táblázat a kumulált effektív igény ábrázolásához szükséges adatokat foglalja össze. A kumulált effektív igény görbéjét pedig az 5.2. ábra tünteti fel.

A kumulált effektív igény az egy meghatározott hónap végéig összesen kielégítendő effektív igény. Tehát például a március végéig kielégítendő összes effektív igény az első három hónap effektív igényének összege (2320 db), az ehhez rendelkezésre álló munkanapok száma pedig az első három hónap munkanapjainak összege (62 nap). A kumulált effektív igény görbéjének meredeksége a félév vége felé növekvő igényt jelez.

A menedzsment célja minden igény kielégítése, ezért a termelési terv meghatározásakor a feladat a havi gyártandó mennyiség, valamint az ehhez szükséges létszám kiszámítása. A havi gyártandó mennyiség meghatározásakor a menedzsmentet a munkáslétszám változtatásával, valamint a készletekkel kapcsolatos költségek befolyásolják. A menedzsment ezért olyan termelési tervet keres, amely ezeket a költségeket minimalizálja. A következőekben három termelésiterv-változat elkészítését ismertetjük. Az első változat (A terv) a munkáslétszám változtatásának költségét minimalizálja. Ez akkor lehetséges, ha az igény változásaitól függetlenül egyenletes ütemben termel az üzem, tehát a munkaerőszint állandó. A második változat (B terv) a készletekkel kapcsolatos költségeket minimalizálja úgy, hogy mindig csak annyit gyárt, amennyi éppen szükséges. Végezetül a harmadik változat (C terv) a létszámváltoztatás és készlettartás költségét együttesen minimalizálja, ezért ez a terv a költségek szempontjából optimális.

112

5.2. Táblázat: A kumulált effektív igény számítása

Hónap Munkanapok szám

nt

Kumulált munkanapok

∑nt

Effektív igény

Dt

Kumulált effektív igény

∑Dt

Január 20 20 780 780

Február 24 44 640 1420

Március 18 62 900 2320

Április 26 88 1200 3520

Május 22 110 2000 5520

Június 15 125 2000 7520

5.2. Ábra: A kumulált effektív igény grafikonja

5.1.1. Állandó munkaerőszint termelési terv (A terv)

Az állandó munkaerőszint termelési terv lényege, hogy a félév elején a menedzsment meghatároz egy olyan munkáslétszámot, amelynek segítségével minden nap ugyanakkora mennyiséget gyártva az effektív igény kielégíthető, és sohasem alakul ki hiány. Az induló létszám számítását az 5.3. táblázat szemlélteti.

A számítás arra a követelményre épül, hogy soha nem alakulhat ki hiány, ezért a kumulált gyártásnak minden pillanatban nagyobbnak kell lennie a kumulált effektív igénynél. Az 5.3. táblázat második oszlopa a kumulált effektív igényt tartalmazza, tehát azt a mennyiséget, amelyet az egyes hónapok végéig összesen le kell gyártani. A táblázat harmadik oszlopa az egy munkás által egy nap alatt legyártható kumulált mennyiséget mutatja, amely a kumulált munkanapok és az egy fő által egy nap alatt legyártható mennyiség szorzata, tehát K·∑nt. A kumulált effektív igény, valamint az egy munkás által egy nap alatt legyártható mennyiség hányadosa megadja az adott hónap végéig az igény teljesítéséhez szükséges minimális létszámot. Miután hiány sohasem alakulhat ki, e számok maximuma határozza meg az indulásnál szükséges és hat hónapon át elegendő létszámot, tehát

{ } fő 411411 343, 273, 256, 221, 267,MaxMax

1

1

6,...,11 ==

⋅=

∑

∑

=

=

= L

tt

L

tt

LnK

D

M

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

0 20 40 60 80 100 120 140

Nap

Kum

ulál

t effe

ktív

igén

y

113

ahol M1 a munkások januári létszámát jelöli. Az eredményből látható, hogy az utolsó hónaphoz tartozó kumulált adatokból számolt munkáslétszám a meghatározó. Ez annak a következménye, hogy az utolsó hónapokban megnő az igény, ráadásul a legutolsó hónapban kevesebb is a munkanapok száma, így ekkor van szükség a legnagyobb létszámra. Ez természetesen nincsen mindig így. Ha maximumként nem az utolsó hónaphoz tartozó létszám adódik, akkor az utolsó hónapban jelentkező többletmunkaerő készletet termel.

5.3. Táblázat: Létszám meghatározása állandó munkaerőszintnél

Hónap Kumulált effektív igény

∑Dt

Egy munkás által összeszerelt kumulált mennyiség

K·∑nt

Minimális munkaerő igény (∑Dt)/(K·∑nt)

Január 780 2,931 267

Február 1420 6,448 221

Március 2320 9,086 256

Április 3520 12,896 273

Május 5520 16,120 343

Június 7520 18,318 411

Az 5.4. táblázat a 411 fővel egyenletes ütemben végrehajtott termelés készletszint alakulását mutatja.

5.4. Táblázat: Az állandó munkaerőszint termelési terv adatai

Hónap Egy munkás által összeszerelt mennyiség

K·∑nt

Havi gyártott

mennyiség Pt=Mt·K·nt

Kumulált termelés

∑Pt

Kumulált effektív igény ∑Dt

Készlet

∑Pt–∑Dt

Január 2,931 1205 1205 780 425

Február 3,517 1445 2650 1420 1230

Március 2,638 1084 3734 2320 1414

Április 3,810 1566 5300 3520 1780

Május 3,224 1325 6625 5520 1105

Június 2,198 903 7528 7520 8

Össz. 5962 A táblázat harmadik oszlopa a 411 fő által gyártott havi mennyiségeket jelöli. Ezek

segítségével számolható a kumulált termelés. A táblázat utolsó oszlopa a kumulált termelés és a kumulált igény különbségét, tehát a hónapvégi készletszintet mutatja. A készletek első négyhavi növekedése készletfelhalmozást jelez, tehát többet gyártunk, mint az effektív igény. Az utolsó két hónapban azonban a készletek gyakorlatilag nullára (8 darab) csökkennek, tehát az igénynél kisebb ütemben folyik a termelés, ezért az igény egy részét a korábban felhalmozott készletekből elégítjük ki.

114

Az állandó munkaerőszint termelési terv költsége a munkások számának januári változtatása (111 fővel növelése), valamint a készlettartás miatt jelentkező költségek összege. A készlettartási költség kiszámításánál azt az elvet követjük, hogy amelyik hónapban a készlet keletkezett, már számolunk készlettartási költséget. Ez azt jelenti, hogy az 5.4. táblázatban található júniusi készlethez hozzá kell adni a június végére kötelezően előírt 600 darab készletet is. A táblázatban ez azért nem szerepel, mert az effektív igénynél vettük figyelembe, tehát a számítás úgy tekintette, mintha ez nem készlet, hanem igény lenne. Valójában azonban ez a mennyiség is ott van a raktárban. Az állandó munkaerőszint termelési terv (A terv) költsége tehát a következőképpen számolható:

( ) ( ) eFt 0465860081105178014141230425830041150KöltségA =++++++⋅+−⋅=

5.1.2. Készlet nélküli termelési terv (B terv)

A készlet nélküli termelés lényege, hogy mindig csak annyit gyártunk, amennyi szükséges, tehát nem készletezünk, hanem minden gyártott mennyiséget azonnal elszállítunk a vevőnek. A termelési terv számításához ebben az esetben meg kell határozni minden hónapra az effektív igény gyártásához szükséges minimális létszámot. A havi létszámok számítását az 5.5. táblázat mutatja.

5.5. Táblázat: A készlet nélküli termelés munkaerő-szükségletének meghatározása

Hónap Munkanapok száma

nt

Egy munkás által összeszerelt mennyiség

K·nt

Effektív igény

Dt

A munkások minimális

száma Dt/(K·nt)

Január 20 2,931 780 267

Február 24 3,517 640 182

Március 18 2,638 900 342

Április 26 3,810 1200 315

Május 22 3,224 2000 621

Június 15 2,198 2000 910 A havi minimális munkáslétszám a havi effektív igény és az egy fő által egy nap alatt

legyártható mennyiség hányadosának egészre felkerekített értéke, tehát:

t

tt nK

DM

⋅=

ahol Mt a munkások száma a t hónapban. Az 5.6. táblázat a munkáslétszám változását és az emiatt szükséges havi felvételek és

elbocsátások számát mutatja. A munkások számának változása a t hónapban a t és t–1 hónapok létszámának különbsége. Ha ez a szám pozitív, akkor felvételről, ha pedig negatív, akkor elbocsátásról beszélünk. A táblázat harmadik oszlopa alapján látható, hogy márciusban, májusban és júniusban szükséges felvétel, míg januárban, februárban és áprilisban szükséges elbocsátás.

Az 5.6. táblázat utolsó oszlopa a készletek alakulását jelzi. Bár készlet nélküli termelés a célunk, a havi létszámok kerekítése miatt minimális készletek kialakulhatnak. A táblázat hatodik oszlopa a meghatározott létszámmal legyártható mennyiségeket tünteti fel. Ezek segítségével számolható a kumulált termelés. A hónap végi raktárkészlet az adott hónap

115

végéig legyártott összes mennyiség és az adott hónap végéig jelentkező összes igény különbsége. A táblázat utolsó oszlopában feltüntetett készlet nagysága valóban minimális. A júniusi készlet az előző tervhez hasonlóan ismét 600 darabbal több, mert a kötelezően előírt június végi raktárkészletet az effektív igény tartalmazta, de valójában az is a raktárban található.

5.6. Táblázat: A készlet nélküli termelés tervének adatai

Hónap Létszám

Mt

Felvétel

At

Elbocsá-tás Et

Elkészült termék/fő

K·nt

Gyártott mennyiségPt=Mt·K·nt

Kumulált termelés ∑Pt

Kumulált igény ∑Dt

Készlet

∑Pt–∑Dt

Január 267 33 2,931 783 783 780 3 Február 182 85 3,517 640 1423 1420 3 Március 342 160 2,638 902 2325 2320 5 Április 315 27 3,810 1200 3525 3520 5 Május 621 306 3224 2002 5527 5520 7 Június 910 289 2,198 2000 7527 7520 7 Össz. 755 145 30 A készlet nélküli termelési terv költségét most az elbocsátások és felvételek miatt

jelentkező költség, valamint a minimális nagyságú készlettartási költség összege határozza meg, és a következőképpen számolható:

( ) ( ) ( ) eFt 29057600775533827853310028930616050KöltségB =++++++⋅+++⋅+++⋅=

5.1.3. Optimális termelési terv (C terv)

Az előző két pontban kiszámítottuk az állandó munkaerőszint (A terv) és a készlet nélküli termelés (B terv) termelési tervének költségét és azt tapasztaltuk, hogy a készlet nélküli termelés valamivel olcsóbb:

eFt 7562905704658KöltségKöltség BA =−=− Mindkét eset azonban jelentős kompromisszumot tartalmaz. Az állandó munkaerőszint

termelési terv ugyan megtakarítja az igen jelentős létszám változtatási költségeket, de jelentős készleteket halmoz fel. A készlet nélküli termelés szinte teljesen kiküszöböli a készlettartással kapcsolatos költségeket, viszont az állandó létszámváltoztatás jár jelentős ráfordítással. Felvetődik ezért a kérdés, hogy vajon nem lehetne a két terv kedvező tulajdonságait egyesítő alacsonyabb költségű termelési tervet készíteni. A létszámadatok változtatásával, próbálgatással is eljuthatunk jobb termelési tervhez, de ennél célszerűbb egy olyan matematikai modell felállítása, amely tartalmazza a termelési tervvel szemben támasztott feltételeket. Az 5.3. ábra egy olyan lineáris programozási modellt mutat, amelynek segítségével a lehető legalacsonyabb költségű, tehát a költségek szempontjából optimális termelési terv meghatározható.

A modell változói a következő öt csoportba sorolhatók: – havonta felvett munkások száma (At, t=1,…,6), – havonta elbocsátott munkások száma (Et, t=1,…,6), – havi munkáslétszám (Mt, t=0,…,6), – havi termelt mennyiség (Pt, t=1,…,6), – hónap végi készlet nagysága (It, t=0,…,6).

116

5.3. Ábra: A termeléstervezési feladat lineáris programozási modellje

A feladat célja meghatározni a változók optimális értékét. Néhány változó értékét azonban a menedzsment előre rögzítette. Ezek az előre meghatározott értékek alkotják a modell peremfeltételeit:

– induló (decemberi) létszám 300 fő (M0=300), – induló (decemberi) készlet 500 darab (I0=500), – záró (júniusi) készlet 600 darab (I6=600).

0;,,;,,;,,;,,;,,

600

500

300

:készlet Záró

:készlet Induló

:létszám Induló

0198,2

0224,3

0810,3

0638,2

0517,3

0931,2

:6 Termelés

:5 Termelés

:4 Termelés

:3 Termelés

:2 Termelés

:1 Termelés

1400

2000

1200

900

640

1280

:6Igény

:5Igény

:4Igény

:3Igény

:2Igény

:1Igény

0

0

0

0

0

0

:6 Létszám

:5 Létszám

:4 Létszám

:3 Létszám

:2 Létszám

:1 Létszám

810050Min

6161616161

6

0

0

66

55

44

33

22

11

566

455

344

233

122

011

6556

5545

4434

3323

2212

1101

6

1

6

1

6

1

≥

==

=

=−=−=−=−=−

=−

=+−=+−=+−=+−=+−=+−

=+−−=+−−=+−−=+−−=+−−=+−−

⋅+⋅+⋅ ∑ ∑∑

= ==

MMPPIIEEAA

I

I

M

MP

MP

MP

MP

MP

MP

IIP

IIP

IIP

IIP

IIP

IIP

EAMM

EAMM

EAMM

EAMM

EAMM

EAMM

IEAt t

ttt

t

KKKKK

Változók: At – felvett (alkalmazott) munkások száma a t hónapban, Et – elbocsátott munkások száma a t hónapban, It – raktárkészlet a t hónap végén, Pt – gyártott mennyiség a t hónapban, Mt – munkások száma a t hónapban.

117

A modell 32 változót tartalmaz. Észrevehetjük, hogy a készletet és létszámot jelölő változókból eggyel több van a kiindulási helyzet rögzítése miatt. Valamennyi változó csak pozitív értéket vehet fel. Egyedül a hónap végi készlet nagyságánál lenne gyakorlatban is értelme a negatív értéknek, ami hiányt jelentene. Ennek kialakulását azonban a menedzsment el akarja kerülni. A modell paraméterei három csoportba sorolhatók:

– célfüggvény együtthatók, amelyek a felvétel, elbocsátás és készlettartás fajlagos költségei,

– havi igényadatok (most nem szükséges az effektív igény számítása, mert a változók előírt értékein keresztül az induló és zárókészletek nagyságát a modell automatikusan figyelembe veszi),

– a termék és a munkaerő között kapcsolatot teremtő adatok, amelyek az egy munkás által az adott hónapban gyártható mennyiséget jelenik (K·nt).

A feladat a legalacsonyabb költségű termelési terv meghatározása, tehát minimalizálni kell a munkásfelvétel, munkás elbocsátás és készlettartás együttes költségét. A bevezetett változók és paraméterek segítségével a költségminimalizálás célfüggvénye a következőképpen írható fel:

⋅+⋅+⋅ ∑ ∑∑

= ==

6

1

6

1

6

1

810050Mint t

ttt

t IEA

Észrevehetjük, hogy nem minden változó szerepel a célfüggvényben. Ennek oka, hogy a menedzsment csak három költségelemnek a minimalizálását tartja fontosnak. Ha a fajlagos gyártási költségeket is figyelembe vennénk, akkor nyilván a havi gyártott mennyiségek és a fajlagos gyártási költségek is megjelennének a célfüggvényben. Ha azonban a fajlagos gyártási költség nem függ sem a gyártott mennyiségtől, sem a hónaptól, akkor az eredményt úgysem befolyásolja annak nagysága.

A változók és paraméterek között a korlátozó feltételek teremtenek kapcsolatot. Az 5.3. ábra a termelési terv feltételeit – a lineáris programozási modelleknél szokásos standard módon – úgy rendezi, hogy a változót tartalmazó tagok az egyenletek bal oldalán szerepeljenek. A feltételek három csoportba sorolhatók.

– A létszám egyenletek a havi létszámokat számolják ki a felvétel és elbocsátás függvényében és általánosan a következőképpen írhatók fel:

6,,101 K==+−− − tEAMM tttt Az egyenlet azt az egyszerű összefüggést rögzíti, hogy a t hónap létszáma az előző hónap

(t–1) létszámából számolható ki úgy, hogy vagy hozzáadjuk a t hónapban felvett, vagy levonjuk a t hónapban elbocsátott munkások számát. Felmerül a kérdés, hogy nem kaphatunk-e olyan eredményt, amelynél ugyanabban a hónapban felvétel és elbocsátás is lesz, tehát egy adott t hónapban At≠0, és Et≠0. Bár a munkáslétszám meghatározására felírt egyenlet ezt a lehetőséget megengedi, de könnyű belátni, hogy optimális megoldásnál ez nem fordulhat elő. A célfüggvény értéke ugyanis mindig kisebb olyan esetben, amikor vagy csak elbocsátás, vagy csak felvétel fordul elő.

– Az igény kielégítését előíró egyenletek a termelés, készlet, és igény egyensúlyát írják elő és általánosan a következőképpen fogalmazhatók meg:

6,,11 K==+− − tDIIP tttt Az egyenlet azt az egyszerű összefüggést rögzíti, hogy egy t hónapban termelt és az

előző (t–1) hónap végén megmaradt raktárkészlet együtt egyenlő a t hónapban a vevőknek szállított, valamint a hónap végén raktárban maradt mennyiség összegével. Az egyenlet

118

jobboldalán szereplő Dt paraméter most a kielégítendő tényleges igényt és nem az effektív igényt jelenti.

– A termelt mennyiség és az alkalmazott munkáslétszám kapcsolatát kifejező egyenletek általánosan a következőképpen írhatók fel:

6,,10 K==− tMKnP ttt Az egyenlet a t hónapban alkalmazott munkáslétszám, az egy munkás által egy nap alatt

gyártható mennyiség, valamint a t hónapban rendelkezésre álló munkanapok segítségével számítja ki a gyártható mennyiséget.

Mindhárom egyenletcsoportba hat egyenlet tartozik, így az egyenletek száma összesen 18. A 32 változót és 18 egyenletet tartalmazó lineáris programozási feladat könnyen megoldható bármilyen lineáris programozási szoftverrel. Példánkban az optimális megoldást az Excell táblázatkezelő rendszer solver eszközével kerestük meg. A megoldandó lineáris programozási feladat Excell tábláját az 5.7. táblázat tartalmazza. Az induló tábla az előre nem rögzített értékű változókhoz zéró értéket rendel. A táblázatból látható, hogy jóllehet a 32 változót és 18 egyenletet tartalmazó modell együttható mátrixa 32·18=576 adatot tartalmaz, ezek nagy része zéró.

A feladat optimális megoldását az 5.8. táblázat foglalja össze. A táblázat első oszlopa a változók nevét, második oszlopa a megoldáshoz használt induló értékeket (lásd az Excell táblázat második sorát), a harmadik oszlop pedig a változók optimális értékét tartalmazza. A feladat megoldásakor nem kötöttük ki a változók egészértékűségét, így a kapott eredményeket értelemszerűen kerekíteni kell.

Az egészértékűség feltételezésekor pontosabb optimális megoldást kapunk, azonban jelentősen megnő a modell bonyolultsága és így az igényelt számítástechnikai apparátus, valamint a megoldási idő is. A gyakorlatban a folytonos változók alkalmazása és értelemszerű kerekítése megfelelő eredményt ad, mert a használt adatok (igény, költségek) pontatlansága rendszerint nagyobb gondot okoz, mint az optimális megoldás kerekítése miatti közelítés. Az optimális termelési terv költsége 37 929 eFt, ami lényegesen alacsonyabb a korábban meghatározott A és B tervek költségénél. Az optimális terv szerint májusban lenne nagyobb munkásfelvétel (A5=465 fő), míg januárban lenne kis mértékű elbocsátás (E1=27). Az így kapott termelési terv az állandó munkaerőszint termelési terv kis mértékű módosítását jelenti. Az első öt hónapban állandó munkaerőszinttel (Mt=273 fő, t=1,…,5) folyik a termelés, majd ezt követően az igény növekedése miatt az utolsó két hónapban egy megnövelt, de ismét állandó munkaerőszinttel dolgozunk tovább (Mt=737 fő, t=6,7). A hónap végi készletek alakulását az 5.8. táblázat harmadik blokkja tünteti fel. Észrevehetjük, hogy a készletszint először lecsökken (felhasználjuk az induló készletet), majd nő, és ezt követően újra csökken egészen zéró értékig (I4=0). Ezt követően megkezdődik a félév végére előírt 600 darabos készlet felhalmozása.

119

5.7. Táblázat: Az esettanulmány lineáris programozási modelljének Excel táblázata A1 A2 A3 A4 A5 A6 E1 E2 E3 E4 E5 E6 I0 I1 I2 I3 I4 I5 I6 P1 P2 P3 P4 P5 P6 M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6

Változó 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 500 0 0 0 0 0 600 0 0 0 0 0 0 300 0 0 0 0 0 0

Célfüggv. 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 0 8 8 8 8 8 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4800 Létszám 1 -1 1 -1 1 -300 Létszám 2 -1 1 -1 1 0 Létszám 3 -1 1 -1 1 0 Létszám 4 -1 1 -1 1 0 Létszám 5 -1 1 -1 1 0 Létszám 6 -1 1 -1 1 0

Igény 1 1 -1 1 500 Igény 2 1 -1 1 0 Igény 3 1 -1 1 0 Igény 4 1 -1 1 0 Igény 5 1 -1 1 0 Igény 6 1 -1 1 -600

Termelés 1 1 -2,931 0 Termelés 2 1 -3,517 0 Termelés 3 1 -2,638 0 Termelés 4 1 -3,81 0 Termelés 5 1 -3,224 0 Termelés 6 1 -2,198 0

120

5.8. Táblázat: Az esettanulmány optimális megoldása

Név Eredeti érték Végérték Változó A1 0 0,000 Változó A2 0 0,000 Változó A3 0 0,000 Változó A4 0 0,000 Változó A5 0 464,803 Változó A6 0 0,000 Változó E1 0 27,020 Változó E2 0 0,000 Változó E3 0 0,000 Változó E4 0 0,000 Változó E5 0 0,000 Változó E6 0 0,000 Változó I0 500 500,000 Változó I1 0 20,000 Változó I2 0 340,000 Változó I3 0 160,000 Változó I4 0 0,000 Változó I5 0 378,378 Változó I6 600 600,000 Változó P1 0 800,000 Változó P2 0 960,000 Változó P3 0 720,000 Változó P4 0 1040,000 Változó P5 0 2378,378 Változó P6 0 1621,622 Változó M0 300 300,000 Változó M1 0 272,980 Változó M2 0 272,980 Változó M3 0 272,980 Változó M4 0 272,980 Változó M5 0 737,783 Változó M6 0 737,783

Végezetül az 5.9. táblázat a kerekített értékek mellett mutatja a felvétel, elbocsátás,

valamint készletszint alakulását. Az optimális termelési terv kerekített értékek melletti költsége a következőképpen számolható:

( ) eFt 95037600137901603402082710046550KöltségC =++++++⋅+⋅+⋅= Az eredményből látható, hogy a kerekítés miatti költségnövekedés minimális (21 eFt). Megállapíthatjuk tehát, hogy az optimális megoldás (C terv) lényegesen jobb eredményt

ad, mint a logikusnak tűnő elvek alapján készített termelési tervek (A és B terv). Az optimális megoldást még a bemutatotthoz hasonlóan egyszerű feladatoknál is csak igen ritkán lehet a költségek nagyságának vizsgálata alapján kikövetkeztetni. Bonyolultabb feladatoknál a lineáris programozási modellek alkalmazása még inkább indokolt.

Az ismertetett feladat számos egyszerűsítést tartalmazott. Így nem vettük figyelembe a költségek esetleges hónaponkénti változását, eltekintettünk a gyártási költségtől, nem vettünk figyelembe kapacitáskorlátot, csak egyetlen termék gyártásával foglakoztunk stb. A

121

következő fejezetben megmutatjuk, hogy mindezeket az egyszerűsítéseket csak a könnyebb szemléltethetőség miatt alkalmaztuk. A lineáris programozás olyan rugalmas modellezési lehetőség, amely segítségével a gyakorlati élet számos különlegessége figyelembe vehető.

5.9. Táblázat: A kerekített optimális termelési terv adatai

Hónap Létszám

Mt

Felvétel

At

Elbocsá-tás Et

Elkészült termék/fő

K·nt

Gyártott mennyiség

Pt=Mt·K·nt

Kumulált termelés ∑Pt

Kumulált igény ∑Dt

Készlet

∑Pt–∑Dt

Január 273 27 2,931 800 800 780 20

Február 273 3,517 960 1760 1420 340

Március 273 2,638 720 2480 2320 160

Április 273 3,810 1040 3520 3520 0

Május 738 465 3224 2379 5899 5520 379

Június 738 2,198 1622 7521 7520 1

Össz. 465 27 900

5.2. Lineáris termeléstervezési modellek általános megfogalmazása

Az előző pontban bemutatott esettanulmány optimális termelési tervét meghatározó modellt általánosan a következőképpen írhatjuk fel: { } 0; hogy feltéve,Min ≥≤⋅⋅ xbxAxcT ahol,

cT – célfüggvény együtthatókat tartalmazó sorvektor, x – a változókat tartalmazó oszlopvektor, A – feltételi egyenletek együttható mátrixa, b – feltételi egyenletek jobboldalán található paraméterek oszlopvektora. Az általános felírást akkor kapjuk meg, ha minden feltételt – az 5.3. ábrához hasonlóan –

úgy írunk fel, hogy jobboldalon csak paraméterek szerepelnek, változók nem. A célfüggvény költségminimalizálásként és haszonmaximalizálásként egyaránt felírható. A lineáris programozási feladatként megfogalmazható termeléstervezési modelleket hívjuk lineáris termeléstervezési modelleknek. Az esettanulmány lineáris programozási modelljének c, x, b vektorai és A mátrixa az 5.7. táblázat Excell táblájában könnyen felismerhetők.

Az előző pontban bemutatott esettanulmány a könnyebb kezelhetőség érdekében egyszerűsítéseket tartalmazott. Lineáris egyenletek és költség, illetve haszon függvények felhasználásával azonban a gyakorlati élet szinte valamennyi fontos tényezője felírható és így a termeléstervezési modellbe bevonható. Általánosan ilyenkor mindig a fent felírt egyszerű formát kapjuk, de természetesen a változók és feltételi egyenletek száma, és ezáltal az együttható mátrix mérete megnő. Ma már azonban nincsen számítástechnikai akadálya a gyakorlati problémák leírására alkalmas több tízezer változót és feltételi egyenletet tartalmazó modellek megoldásának sem. A következőkben két lineáris programozási modell segítségével mutatjuk be, hogyan vehetők figyelembe a gyakorlati termeléstervezési problémák legfontosabb kérdései.

122

5.2.1. Az esettanulmány kibővítése

Az 5.1 fejezetben bemutatott esettanulmányt bővítsük ki néhány, a gyakorlati termelésmenedzsment problémáknál sokszor előforduló tényezővel. A továbbiakban a változót nagybetűvel, a hozzá tartozó célfüggvény együtthatót pedig kisbetűvel jelöljük. A módosított modellt az 5.4. ábra szemlélteti és a következő kiegészítéseket tartalmazza:

– A menedzsment elfogadja a hiány előfordulását, ha a hiány elkerülésének költsége alacsonyabb az igény maradéktalan kielégítésének hasznánál. Ebben az esetben meg kell különböztetni a pozitív (tényleges) készletet (It

+) és a hiányt (It–), valamint az ezekhez tartozó

fajlagos készlettartási (i t+), valamint hiány (i t

–) költséget. – A munkások felvételénél most a menedzsment mérlegeli, hogy a munkások költséges

felvétele és esetleg későbbi elbocsátása helyett nem gazdaságosabb-e bizonyos mennyiség túlórában gyártása (Ot) a meglévő létszámmal, vagy bizonyos mennyiség alvállakozói gyártása (Yt). A vizsgálathoz tudni kell a túlórában gyártás, valamint az alvállakozói gyártás fajlagos többletköltségét (ot, valamint yt).

– A munkások elbocsátásánál a menedzsment most mérlegeli, hogy esetleg bizonyos időszakokban kedvezőbb lehet az állásidő (kihasználatlan kapacitás) költségének fizetése (ut), mint az elbocsátás (et) és esetleges később újrafelvétel (at) együttes költsége. A kapacitás kihasználatlanságát az el nem készített termékek mennyiségével mérjük (Ut).

– Végezetül a menedzsment a módosított modellben figyelembe veszi, hogy a költségadatok az idő függvényében változhatnak, tehát például bizonyos hónapokban magasabb lehet a túlóra, vagy alvállalkozói gyártás fajlagos költsége. Ezért szerepel az 5.4. ábrán a célfüggvény együtthatóknál a t index.

Az 5.4. ábra célfüggvénye tehát olyan termelési terv keresését jelenti, amelynél a munkás-elbocsátás, munkásfelvétel, készlettartás, hiány, rendes munkaidőben és túlórában gyártás, alvállakozói szállítás, valamint kapacitás kihasználatlanság együttes költsége a lehető legkiesebb. A termelési tervnek az ábrán feltüntetett következő feltételeket kell kielégítenie:

– Létszám. A t időszak létszámát az előző időszak létszámának a felvétellel megnövelt vagy elbocsátással csökkentett értéke adja, tehát

LtEAMM tttt ,,11 K=−+= − Az optimális megoldásnál ugyanabban a hónapban felvétel és elbocsátás egyidejűleg

nem szerepelhet, bár a felírt egyenlet ezt a lehetőséget megengedi. Könnyen belátható ugyanis, hogy a célfüggvény értéke mindig kisebb olyan esetben, amikor vagy csak elbocsátás, vagy csak felvétel történik.

– Gyártás. A t időszakban legyártott mennyiséget a munkáslétszám által rendes munkaidőben legyártható mennyiségnek a túlórában gyártott mennyiséggel megnövelt, vagy a kihasználatlanság miatt lecsökkentett értéke adja, tehát

LtUOMKnX ttttt ,,1K=−+= Az optimális megoldásnál ugyanabban a hónapban túlóra és kihasználatlanság egyidejűleg nem szerepelhet, bár a felírt egyenlet ezt a lehetőséget megengedi. Könnyen belátható ugyanis, hogy a célfüggvény értéke mindig kisebb olyan esetben, amikor vagy csak túlóra, vagy csak kihasználatlanság fordul elő. Fontos hangsúlyozni, hogy a változók mind a túlórát, mind pedig a kihasználatlanságot termék darabszámban adják meg. Ot tehát azt jelenti, hogy hány darab készül túlórában, Ut pedig azt jelenti, hogy a kihasználatlan időben hány darab készíthető el. Emlékeztetőül megjegyezzük, hogy az esettanulmány előző pontban felírt egyszerű modelljében a gyártott mennyiség csak a munkások számától függött és értékét Pt-vel jelöltük (Pt=KntMt).

123

5.4. Ábra: Hiányt, túlórát, alvállalkozói gyártást, valamint kapacitás

kihasználatlanságot figyelembe vevő termeléstervezési modell

– Készlet. A készletegyenletek a t időszak végére kialakult készletek tényleges nagyságát fejezik ki, tehát

LtIII ttt ,,1K=−= −+ Az egyenlet szerint a készlet a ténylegesen raktárban lévő mennyiség (pozitív készlet), valamint a hiány (negatív készlet) összege. Az optimális megoldásnál ugyanabban a hónapban tényleges készlet és hiány egyidejűleg nem szerepelhet, bár a felírt egyenlet ezt a lehetőséget megengedi. Könnyen belátható ugyanis, hogy a célfüggvény értéke mindig kisebb olyan

stb. ,,,:telekPeremfelté

,,10,,,,,,,,:feltétel itásiNemnegativ

,,10:Igény

,,10:Készlet

,,10:Gyártás

,,10:Létszám

Min :yCélfüggvén

00

1

1

1

L

ttttttttt

ttttt

ttt

ttttt

tttt

L

ttttttttttttttttt

IIM

LtMUYOXIIEA

LtIIYXD

LtIII

LtUOMKnX

LtEAMM

UuYyOoXxIiIiEeAa

K

K

K

K

K

=≥==+−−−==+−==+−−==+−−

+++++++

−+−

−+

−

=

−−++∑

Változók: At – felvett (alkalmazott) munkások száma a t időszakban, Et – elbocsátott munkások száma a t időszakban, It

+ – raktárkészlet a t időszak végén, I t

– – hiány a t időszak végén, I t – készletszint a t időszak végén, Xt – összes gyártott mennyiség a t időszakban, Ot – túlórában gyártott mennyiség a t időszakban, Yt – alvállalkozók által gyártott mennyiség a t időszakban, Ut – mennyiségben kifejezett kapacitáskihasználatlanság a t időszakban, Mt – munkások száma a t időszakban. Paraméterek: at – egy munkás egyszeri alkalmazásának költsége a t időszakban, et – egy munkás elbocsátásának költsége a t időszakban, i t

+ – készlettartás fajlagos költsége a t időszakban, i t

– – hiány fajlagos költsége a t időszakban, xt – rendes munkaidőben gyártás fajlagos költsége a t időszakban, ot – túlórában gyártás fajlagos többletköltsége a t időszakban, yt – alvállalkozói gyártás fajlagos többletköltsége a t időszakban, ut – kapacitáskihasználatlanság fajlagos költsége a t időszakban, K – egy munkás által egy nap alatt gyártott mennyiség, nt – munkanapok száma a t időszakban, Dt – a menedzsment által kielégíteni tervezett igény a t időszakban, L – a tervezési időszakok száma.

124

esetben, amikor vagy csak készlet, vagy csak hiány alakul ki. Fontos hangsúlyozni, hogy It+

és It– értéke mindig pozitív, míg It értéke hiány esetén negatív, készlet kialakulásakor pedig

pozitív. – Igény. Az igényegyenletek a termék mennyiségének t időszakbeli egyensúlyát fejezik

ki. A t időszakban a vevőknek szállított mennyiség és a t időszak végi raktárkészlet forrása a t időszakbeli saját és alvállalkozói gyártás, valamint az előző időszak raktárkészlete, tehát

LtIYXID ttttt ,,11 K=++=+ − Ha az előző hónap végi készlet, valamint a saját és alvállalkozói gyártás együtt nem elegendő az igény kielégítésére, akkor hiány keletkezik, tehát It≤0.

– A nemnegativitási feltételek előírják a változók szükségszerűen pozitív értékét. A jelzett változók negatív értékének egyébként nincs gyakorlati jelentése.

A felírt egyenletek kiegészíthetők peremfeltételekkel, amelyek bizonyos változókra előírt értéket jelentenek. Ezek lehetnek a menedzsment által korábban eldöntött kérdések (például meghatározott raktárkészlet a tervezési időszak végén), valamint a tervezés kiinduló feltételei (például induló munkáslétszám, induló készlet stb.).

Az 5.4. ábrán valamennyi feltételnél a lineáris programozási modelleknél alkalmazott standard felírás szerint minden változó a baloldalra rendezve szerepel. Az ismertetett modell L számú időszakra határozza meg a termelési tervet. A modellben szereplő változók az ábrán feltüntetett 10 csoportba sorolhatók, melyeknek mindegyikében az időszakok számával megegyező változó található. Így a változók összes száma 10L. Az ábrán jelölt négy egyenletcsoport mindegyikében ugyancsak az időszakok számával megegyező egyenlet található, tehát az egyenletek száma 4L. A 10L változót és 4L egyenletet tartalmazó lineáris programozási feladat felállítása és megoldása még gyakorlati szempontból nagy L értéknél (például napi termelési terv egy évre) is könnyen elvégezhető. Az ismertetett modellnél azonban továbbra is komoly egyszerűsítést jelent, hogy a vizsgált rendszer csak egy terméket gyárt, valamint nincsenek kapacitáskorlátok.

5.2.2. Többféle termék kapacitáskorlátok melletti gyártása a biztonsági készlet figyelembevételével

A következőkben egy olyan termeléstervezési modellt mutatunk be, amely több termék együttes gyártását veszi figyelembe. Valamennyi termék közösen használ erőforrásokat, valamint egy korlátozott méretben rendelkezésre álló raktárt. Figyelembe vesszük továbbá az igény bizonytalansága miatti biztonsági készlet előírásokat is. Az 5.5. ábra egy olyan modell általános felírását mutatja, amely N különböző termék gyártását, M darab különböző erőforráscsoport felhasználásával, L számú időszakon keresztül feltételezi. A célfüggvény az ábrán csak gyártási és raktározási költséget tartalmaz. Az egyszerűség kedvéért most eltekintünk az előző modellnél figyelembe vett, hiány, túlóra, alvállakozói gyártás és kihasználatlanság költségétől, de könnyen belátható, hogy ezeknek a költségelemeknek a figyelembevétele ennél a modellnél sem okoz nehézséget.

Az optimális megoldás keresésekor az ábrán jelölt következő feltételeket kell kielégíteni: – Igény. Az igényegyenletek a termék mennyiségének t időszakbeli egyensúlyát fejezik

ki. Minden egyes terméknél a t időszakban a vevőknek szállított mennyiség és a t időszak végi raktárkészlet forrása a t időszakbeli gyártás, valamint az előző hónap végi raktárkészlet, tehát

LtNiIXID tiititit KK ,1;,,11, ==+=+ −

Az egyenleteket minden termékre minden időszakban fel kell írni, ezért az egyenletek száma NL.

125

– Erőforráskorlát. Az erőforráskorlát feltételek azt írják elő, hogy a t időszakban gyártott valamennyi termék j erőforrás iránti együttes igénye nem lehet nagyobb, mint az erőforrás rendelkezésre álló mennyisége, tehát:

LtMjGXg jt

N

iitijt ,,1;,,1

1

KK ==≤∑=

A gijt együttható azt fejezi ki, hogy termék i a t időszakokban milyen mértékben veszik igénybe a j erőforrást. Ha az erőforrás igénybevétele esetleg nem függ az időtől, akkor a t index elhagyható. Hangsúlyozni kell, hogy az erőforráskorlát globálisan vizsgálja, van-e elegendő kapacitás a munka elvégzésére. Nem veszi azonban figyelembe azt, hogy a termékek az erőforrásokat milyen – a technológia által megszabott – sorrendben látogatják. Előfordulhat tehát, hogy bár globálisan van elegendő kapacitás, a termelésütemezés végrehajtásakor mégis jelentkezik kapacitáshiány. A probléma a gyártási sorrendet is figyelembe vevő – nemlineáris – matematikai programozási modellekkel vizsgálható, vagy a termelésütemezés technikáival kezelhető [22]. Az erőforráskorlát feltételeket minden erőforrásra minden időszakban fel kell írni, ezért az egyenlőtlenségek száma ML.

5.5. Ábra: Több termék gyártásának termeléstervezési

modellje kapacitáskorlát és biztonsági készlet figyelembevételével

LtNiIX

LtNissI

LtRIr

LtMjGXg

LtNiDIIX

IiXx

itit

itit

t

N

iitit

jt

N

iitijt

itittiit

N

iitititit

,,1;,,10,:feltétel itásiNemnegativ

,,1;,,1:készlet Biztonsági

,,1:citásRaktárkapa

,,1;,,1:orlátEröforrásk

,,1;,,1:Igény

Min :yCélfüggvén

1

1

1,

L

1t 1

KK

KK

K

KK

KK

==≥==≥

=≤

==≤

===−+

+

∑

∑

∑∑

=

=

−

= =

Változók: Xit – az i termékből gyártott mennyiség a t időszakban, I it – az i termék raktárkészlete a t időszak végén. Paraméterek: xit – termék i fajlagos gyártási költsége a t időszakban, i it – termék i fajlagos készlettartási költsége a t időszakban, Dit – az i termékből kielégíteni tervezett igény a t időszakban, gijt – erőforrás j-ből termék i felhasználása a t időszakban, Gjt – erőforrás j kapacitása a t időszakban, r it – termék i fajlagos raktárkapacitás igénye a t időszakban, Rt – raktárkapacitás a t időszakban, ssit – termék i biztonsági készlete a t időszakban, N – termékek száma, M – erőforrások száma, L – tervezési időszakok száma.

126

– Raktárkapacitás. A raktárkapacitás-feltételek azt írják elő, hogy valamennyi t időszakban az időszak végére a termékekből felhalmozódott raktárkészlet nem haladhatja meg a vizsgált időszakban rendelkezésre álló raktárkapacitást, tehát

LtRIr t

N

iitit ,,1

1

K=≤∑=

Az r it együttható azt fejezi ki, hogy a termék i a t időszakban milyen mértékben foglalja le a raktárt. Így r it jelentheti az elfoglalt négyzetmétert, köbmétert, a termék súlyát, a lefoglalt rekeszek számát stb. Azonos méretű termékeknél az r it együttható el is hagyható. Ilyenkor a raktár kapacitását a tárolható darabszámmal adjuk meg. A kapacitáskorlát-feltételt minden időszakra fel kell írni, ezért a feltételek száma L.

– Biztonsági készlet. A biztonsági készlet előírja, hogy minden termékből minden időszakban a raktárkészlet legyen nagyobb az előírt értéknél, tehát

LtNissI itit ,,1;,,1 KK ==≥ A menedzsment az időszakonként kielégítendő igény nagyságáról az előrejelzések alapján határoz. Dönthet például úgy, hogy a termelési terv az igény várható értéke alapján készüljön, és az igény bizonytalansága miatt jelentkező átlagosnál nagyobb keresletet a biztonsági készlet felhasználásával kell kielégíteni. Ekkor azonban úgy kell elkészíteni a termelési tervet, hogy ne csak az igény várható értékének (Dit), hanem a biztonsági készletnek (ssit) megfelelő mennyiség is elkészüljön. A biztonsági készlet nagyságának meghatározásával a 4.10 fejezetben részletesen foglalkoztunk.

– A nemnegativitási feltételek előírják a változók szükségszerűen pozitív értékét. A jelzett változók negatív értékének egyébként nincs gyakorlati jelentése. Megfigyelhetjük, hogy miután It értéke csak pozitív lehet, hiány nem fordulhat elő. Ha gazdaságilag indokolt esetben a menedzsment a hiány előfordulását elfogadhatónak tartja, akkor az 5.4. ábra modelljéhez hasonlóan minden termékre minden periódusban be kell vezetni a tényleges készletet jelölő I it

+ és a hiányt jelölő I it– változókat. Természetesen ennek megfelelően kell

kiegészíteni a célfüggvényt is. A felírt egyenletek kiegészíthetők peremfeltételekkel, amelyek bizonyos változókra előírt

értéket jelentenek. Ezek lehetnek a menedzsment által korábban eldöntött kérdések (például meghatározott raktárkészlet a tervezési időszak végén), valamint a tervezés kiinduló feltételei (például induló munkáslétszám, induló készlet stb.).

Az 5.5. ábrán bemutatott termeléstervezési modellben szereplő változók az ábrán feltüntetett két csoportba sorolhatók, melynek mindegyikében NL számú változó található, tehát a változók száma összesen 2NL. Az egyenletek összes száma pedig a következőképpen számolható:

( )12száma Egyenletek ++⋅=+++= MNLNLLMLNL Észrevehetjük, hogy a termeléstervezési modell nagyságát – a változók és egyenletek

számát – elsősorban a termékek (N) és az időszakok (L) száma határozza meg. Az erőforrások száma (M) a feltételek számát növeli, de a változók számára nem hat. Több ezer terméket több száz erőforrás igénybevételével gyártó termelőrendszer nagyon részletes (például napi) termelési tervét leíró lineáris termeléstervezési modell már nagyon nagy méretű lehet. Az ilyen méretű modellek megoldása nem feltétlenül jelent számítástechnikai problémát, de az eredmények nagy tömege és túlzott – sok döntéshez szükségtelen – részletessége a gyakorlati felhasználót a modell egyszerűsítésére ösztönzi. Az egyszerűsítés útjai a következők lehetnek:

– a termékek számának (N) csökkentése az azonos típusú termékek csoportosításával (termékek aggregálása), – a termelési terv részletességének (L) csökkentése (az idő aggregálása),

127

– meghatározott erőforráscsoportok összevonása (M) és együttes kezelése (erőforrások aggregálása). Látható tehát, hogy az 5. fejezet bevezetőjében említett aggregálást a modell méretének

csökkentése, valamint a menedzsmentdöntések által megkívánt információ részletesség egyaránt indokolja.

5.2.3. Termelési terv készítése nemlineáris költségfüggvény linearizálásával

Az előbbiekben bemutatott termeléstervezési modellek egyik jelentős hiányossága, hogy a változók teljes tartományára a fajlagos költségek változatlanságát feltételezik. Pedig gyakori eset, hogy például a termelési költség egy ideig arányosan (lineárisan) változik a gyártott mennyiséggel, de egy idő után – például a tervezési kapacitás feletti gyártáshoz szükséges többletráfordítás miatt – a gyártott mennyiség növekedésével progresszíven nő. Hasonló eset fordulhat elő a munkaerő felvételnél is. Egy terület munkaerő kínálatának kimerülése után a további felvétel költsége a többletráfordítások miatt (például áttelepülés, utazás stb.) jelentősen megnőhet. Szinte valamennyi költségelemnél előfordulhat az előbbiekben szemléltetett nemlinearitás. A gyakorlatban nem célszerű a költségek sokszor igen bonyolult nemlineáris függvényének meghatározása. A bonyolult – és vélhetőleg az idő múlásával úgyis érvényét vesztő – függvények meghatározásának ráfordításai, valamint az így keletkező nemlineáris modellek megoldásának nehézségei a költségfüggvények egyszerűsítésére ösztönöznek. Ezért a leggyakrabban követett eljárás a nemlineáris költségfüggvény szakaszonkénti linearizálása. Ilyenkor a költségfüggvényt a változó egyes szakaszaiban az igazi függvényt ugyan nem helyettesítő, de azt jól közelítő lineáris költségfüggvénnyel helyettesítjük. Ennek eredményeként a változó vizsgált tartományában a költségfüggvényt változó meredekségű lineáris függvények alkotják. Fontos feltétel azonban, hogy a standard formában felírt lineáris programozási feladat célfüggvénye konvex legyen.

Példaként tekintsük az 5.6. ábrán bemutatott egyszerű esett, amelynél a nemlineáris költségfüggvényt két szakaszon linearizáltuk. A gyártott mennyiséget két változó jelöli. Lesz egy olcsóbban gyártott mennyiség (X(1)), amely Q mennyiségnél kisebb, valamint egy drágábban gyártott mennyiség (X(2)), a Q mennyiség feletti rész. A ténylegesen elkészült mennyiség e két változó értékének összege. A gyártási és raktározási költségeket minimalizáló lineáris termeléstervezési modell az 5.7. ábrán látható. Észrevehetjük, hogy a célfüggvényben az olcsóbb és a drágább gyártás mennyisége eltérő célfüggvény együtthatóval szerepel. A célfüggvény konvexitásának feltétele, hogy xt

(1)≤ xt(2), tehát a kisebb

mennyiségekre olcsóbb a fajlagos gyártási költség. A termelési tervnek az ábrán jelölt következő feltételeket kell kielégítenie: – Összes gyártás. Az összes gyártás egyenletek minden időszakra kiszámolják a

ténylegesen gyártott mennyiséget, amely az olcsóbban és drágábban gyártott mennyiségek összege, tehát

LtXXX ttt ,,1)2()1(K=+=

– Olcsóbb gyártás korlátja. Minden időszakban meg kell adni, hogy mekkora mennyiség felett kezdődik a drágább gyártás szakasza, tehát

LtQX tt ,,1)1(K=≤

Ha minden időszakban ugyanakkora mennyiségnél kezdődik a drágább a gyártás, akkor a Qt paraméter t indexe elhagyható.

128

5.6. Ábra: Két szakaszon linearizált költségfüggvény

5.7. Ábra: Termeléstervezési modell két szakaszon linearizált gyártási költséggel

Qt Xt(1) Xt

(2)

Xt

f(Xt)

Gyártási költség

xt(1)?Xt

(1)+xt(2)?Xt

(2)

LtIXX

LtMAXX

LtDIXI

LtQX

LtXXX

IiXxXx

ttt

tt

tttt

tt

ttt

L

ttttttt

,,10,,:feltétel itásiNemnegativ

,,1:mennyiség gyárthatón Maximálisa

,,1:Igény

,,1:korlátja gyártás Olcsóbb

,,10:gyártás Összes

Min :yCélfüggvén

)2()1(

1

)1(

)2()1(

1

)2()2()1()1(

K

K

K

K

K

=≥=≤==−+=≤==−−

++

−

=∑

Változók: Xt

(1) – kisebb fajlagos gyártási költséggel készülő mennyiség a t időszakban, Xt

(2) – nagyobb fajlagos gyártási költséggel készülő mennyiség a t időszakban, Xt – összes gyártott mennyiség a t időszakban, It – készletszint a t időszak végén. Paraméterek: xt

(1) – kisebb fajlagos gyártási költség a t időszakban, xt

(2) – nagyobb fajlagos gyártási költség a t időszakban, i t – fajlagos készlettartási költség a t időszakban, Dt – a menedzsment által kielégíteni tervezett igény a t időszakban, Qt – az a gyártási mennyiség, amelynél a fajlagos gyártási költség megváltozik, MAXt – maximálisan gyártható mennyiség a t időszakban, L – a tervezési időszakok száma.

129

– Igény. Az igény egyenletek a termék mennyiségének t időszakbeli egyensúlyát fejezik ki. A t időszakban a vevőknek szállított mennyiség és a t időszak végi raktárkészlet forrása a t időszakbeli gyártás valamint az előző időszak raktárkészlete, tehát

LtIXID tttt ,,11 K=+=+ − Az igény kielégítésekor lényegtelen, hogy mely darabokat gyártottuk olcsóbban és melyeket drágábban, ezért az egyenletben már az összes mennyiséget jelölő Xt szerepel.

– Maximálisan gyártható mennyiség. Minden hónapban adott a maximálisan gyártható összes mennyiség, tehát

LtMAXX tt ,,1K=≤ A maximális gyártható mennyiség lehet gyártási kapacitáskorlát, de lehet a piacon eladható maximális mennyiség is. Ennek okát a modell ebben a formában nem jelzi.

A bemutatott modell egy meghatározott t időszakban először az olcsóbb gyártás lehetőségét meríti ki. Ha az így készült mennyiség nem elegendő, akkor megvizsgálja, hogy ugyanabban az időszakban érdemes-e drágábban gyártani, vagy esetleg kedvezőbb többet gyártani a korábbi időszakokban a felmerülő raktározási költség ellenére.

A célfüggvény konvexitása ebben az esetben azt jelenti, hogy mindig a kisebb mennyiséghez tartozik az alacsonyabb gyártási költség, tehát xt

(1)≤ xt(2). Ezért nem fordulhat

elő az a fizikailag képtelen eset, hogy bizonyos időszakokban Xt(1)=0 és Xt

(2)≠0, bár ezt a feltételek megengednék.

Az 5.7. ábra két szakaszon linearizált célfüggvényre vonatkozik. Ha a nemlineáris célfüggvényt jobban közelítő lineáris célfüggvényt szeretnénk kapni, akkor az eredeti függvény több szakaszának linearizálásával a modell az 5.7. ábra szerintihez hasonló módon írható fel. A linearizált szakaszok számának növekedésével azonban nőni fog a változók szám is. Ezért a nagyobb pontosság ára a megnövekedett modellméret lesz. Több szakaszon linearizált célfüggvénynél is vigyázni kell arra, hogy a célfüggvény konvexitásának feltételei teljesüljenek.

Az 5.2.1-5.2.3. fejezetekben ismertetett modellek a lineáris termeléstervezési modellek néhány jellegzetes esetét írták le. Az egyes fejezetekben bemutatott lehetőségek természetesen kombináltan is alkalmazhatók. Így készthető a hiányköltséget több terméknél is figyelembe vevő, erőforráskorlátokkal is számoló, több szakaszon linearizált munkaerő felvételi költséggel kiegészített termeléstervezési modell. Továbbá a három fejezetben bemutatott lehetőségeken túl a gyakorlati termelésmenedzsment problémák további fontos szempontjai is érvényesíthetők, ha azokat az itt bemutatott elvekhez hasonlóan beépítjük a tervezéstermezési modellbe (lásd például [19], [22]).

5.3. Menedzsmentdöntések a lineáris termeléstervezési modellek eredményei alapján

Az előzőkben bemutatott lineáris termeléstervezési modellek megoldása végső soron mindig az 5.2. fejezet elején definiált lineáris programozási feladat optimális megoldásának megkeresését jelenti, tehát

{ } 0; hogy feltéve,Min ≥≤⋅⋅ xbxAxcT Az ilyen típusú problémák megfelelő lineáris programozási szoftverekkel ma már

könnyen megoldhatók. Kisebb – néhány száz változót és feltételt tartalmazó – modellnél pedig az optimális megoldás már táblázatkezelő szoftverekkel (például az Excell solver eszközével) is gyorsan megtalálható. Az optimális megoldás tájékoztatja a menedzsmentet a modell változóinak optimális értékéről, tehát például az optimális termelési mennyiségekről, a munkaerő és egyéb erőforrások felhasználásának optimális mértékéről, az alvállalkozók optimális köréről stb. Természetesen a gyakorlatban az optimális megoldásnak megfelelő

130

termelési program nem mindig valósul meg. Mindenképpen hasznos ismerni azonban az optimális megoldást, és célszerű megvizsgálni, hogy a ténylegesen megvalósított terv attól miben tér el, valamint az eltérésnek mi a gazdasági következménye.

A menedzsment számára fontos további információ a modell során alkalmazott paraméterek változásának hatása az optimális termelési tervre. A paraméterek változásának vizsgálata az optimális megoldás érzékenységvizsgálata, amely három fő területre bontható:

– Célfüggvény együtthatók érzékenységvizsgálata (c). A célfüggvény együtthatók érzékenysége a célfüggvény együttható azon tartománya, amelyen belül az optimális megoldás nem változik meg. Ha például egy termék gyártási költsége egy vizsgált hónapban megváltozik, de még az érzékenységi tartományon belül marad, akkor a változás miatt nem szükséges módosítani a termelési tervet. A célfüggvény érzékenységvizsgálata tehát felhívja a menedzsment figyelmét azokra a költségadatokra, amelyeknek már kis változása is befolyásolhatja az optimális termelési tervet. Az ilyen költségek alakulásának követése, illetve ellenőrzése ezért nagyobb figyelmet érdemel.

– Jobboldali paraméterek érzékenységvizsgálata (b). A standard formában írt feltételek jobboldalán található paraméterek érzékenysége azt fejezi ki, hogy egy jobboldali paraméter egységnyi változásakor mennyire változik meg a célfüggvény optimális értéke. Az így kapott érték lényegében a célfüggvény egy jobboldali paraméter szerinti gradiense, amelyet árnyékárnak (shadow price) neveznek. Minden árnyékárhoz tartozik egy érzékenységi tartomány is, amely megmondja, hogy a kapott árnyékár a jobboldali paraméter milyen tartományán belül érvényes. Vizsgálhatjuk például, hogy egy berendezés munkaidejének egy gépórával (például túlóra) növelése mennyivel változtatja meg a termelési terv költségét. Ha a termelési terv költségének növekedése kisebb, mint a túlóra haszna, akkor érdemes túlórát alkalmazni. Hogy hány túlóra alkalmazása kedvező, azt az árnyékárhoz tartozó érvényességi tartomány segítségével lehet meghatározni. Ennél az érzékenységvizsgálatnál, tehát minden jobboldali paraméterhez meghatározható az árnyékár és annak érvényességi tartománya.

– Az együtthatómátrix elemeinek érzékenységvizsgálata (A). A standard formában írt feltételekhez tartozó együtthatómátrix elemeinek érzékenysége azt fejezi ki, hogy egy baloldalon – valamelyik változó szorzójaként – szereplő mennyiség egységnyi változásakor mennyire változik meg a célfüggvény optimális értéke. Az így kapott érték lényegében a célfüggvény egy baloldali paraméter szerinti gradiense. Minden ilyen gradienshez tartozik egy érzékenységi tartomány is, amely megmondja, hogy a kapott gradiens a baloldali paraméter milyen tartományán belül érvényes. Vizsgálhatjuk például, hogy ha egy termék gyártásakor valamelyik berendezésen megnő a kapacitásigény, akkor hogyan változik meg a termelési terv költsége. Ennél az érzékenységvizsgálatnál tehát minden baloldali paraméterhez meghatározható egy gradiens és annak érvényességi tartománya.

A gyakorlatban alkalmazott szoftverek többsége elsősorban a célfüggvény együtthatók, valamint a jobboldali paraméterek érzékenységvizsgálati eredményeit szolgáltatja. Az együtthatómátrix elemeinek vizsgálata matematikai és számítástechnikai nehézségekbe ütközik, ezért ezeket az eredményeket csak a modell módosított paraméterek melletti újbóli megoldásával kaphatjuk meg. Ezzel ellentétben a célfüggvény együtthatók, valamint a jobboldali paraméterek érzékenységvizsgálati eredményei az optimális megoldással egyidejűleg rendelkezésre állnak. A továbbiakban részletesen ismertetjük az optimális megoldás, valamint az érzékenységvizsgálati eredmények jelentőségét menedzsmentdöntéseknél.

131

5.3.1. Az optimális megoldás meghatározása és értékelése

Az optimális megoldás meghatározásának, valamint az érzékenységvizsgálati számítások elvégzésének matematikai alapjaival részletesen az operációkutatás szakirodalma foglalkozik, ezért ennek részletes bemutatásától itt eltekintünk [20]. A következőkben egy leegyszerűsített termeléstervezési problémán illusztráljuk a kapható eredményeket, valamint azok alkalmazhatóságát menedzsmentdöntéseknél. A könnyebb érthetőség kedvéért olyan mértékben leegyszerűsítjük a termeléstervezési feladatot, hogy az csak két változót tartalmazzon. Így a kapott eredmények és azok gyakorlati jelentése grafikusan, két dimenzióban szemléltethető. Természetesen az egyszerűsítés nem megy az eredmények általános érvényének rovására. Minden, ami igaz az egyszerű feladatra, érvényes nagyméretű feladatokra is, amint azt az esettanulmány eredményeinek részletes bemutatásakor az 5.3.3. fejezetben látni fogjuk.

Tekintsük tehát példaként az 5.8. ábrán látható egyszerű feladatot, amelynél egyetlen időszakban kell eldönteni, hogy a gyártott két termékből mekkora mennyiség készüljön. A döntést úgy szeretnénk meghozni, hogy az összes legyártott termék hozama legyen minél nagyobb. Mérjük a termékek hozamát a fajlagos fedezettel (a fajlagos eladási ár és a fajlagos közvetlen költség különbsége), amely termékenként rendre 180 Ft/db és 290 Ft/db. A termeléstervezési modell változói tehát a két termékből gyártandó X1 és X2 mennyiségek.

A termelési tervet pedig az összes fajlagos fedezet maximalizálásával kívánjuk meghatározni, tehát a célfüggvény a következőképpen írható fel:

( )21 290180Max XX + Mindkét termék gyártásához két erőforrásra van szükség. A termékek egy darabjának

gyártásához szükséges erőforrásigényt gépórában mérjük és értékét termékenként és erőforrásonként az 5.8. ábrán látható termék-erőforrás mátrix tartalmazza. Ugyancsak feltüntettük az ábrán az erőforrásokból rendelkezésre álló mennyiséget a vizsgált időszakban. Az erőforrásokkal kapcsolatos adatok alapján az erőforráskorlát egyenletek a következőképpen írhatók fel:

16002

1200

21

21

≤+≤+

XX

XX

További korlátot jelent az egyes termékekből kötelezően gyártandó minimális és eladható maximális mennyiség, amelyet az 5.8. ábra piaci korlátok táblázata tartalmaz. Az adatok felhasználásával a következő további három feltételt fogalmazhatjuk meg:

100

200

1000

2

1

1

≥≥≤

X

X

X

A két változót és öt feltételt tartalmazó lineáris termeléstervezési feladat grafikus megoldását ugyancsak az 5.8. ábra tartalmazza. A két változó miatt kétdimenziós koordinátarendszerben ábrázolható valamennyi feltétel. Az erőforrás feltételek egyenlőség esetén megadják annak a területnek a határoló egyenesét, amelyben a feltételt kielégítő mennyiségeknek megfelelő pontok találhatók. Az E1 erőforráskorlátot reprezentáló terület határoló egyenese az egyenlőtlenség átrendezésével a következőképpen írható fel:

1

1200

1

1:E1 12 +⋅−= XX

132

Termék-erőforrás mátrix (gó/db):

Termék 1 (T1) X1 (db/időszak)

Termék 2 (T2) X2 (db/időszak)

Rendelkezésre álló idő bj (gó/időszak)

Erőforrás 1 (E1) 1 1 1200 Erőforrás 2 (E2) 1 2 1600 Piaci korlátok (db/időszak): Minimális mennyiség (Xmin) 200 100 Maximális mennyiség (Xmax)

1000 ∞

Célfüggvény együtthatók (Ft/db): Fajlagos fedezetek (ci) 180 290

0;0:itásNemnegativ

100:T2 Minimum

200:T1 Minimum

1000:T1 Maximum

16002:E2

1200:E1

290180Max :yCélfüggvén

21

2

1

1

21

21

21

≥≥≥≥≤

≤+≤+

+

XX

X

X

X

XX

XX

xx

5.8. Ábra: A kétváltozós lineáris programozási modell grafikus megoldása

X2

X1

X2min

X1min X1

max

1200

800

100

200 1000 1600

P0

P1

P2

P4

P3

M ’

M’’

E1

E2

133

Az E1 erőforrás egyenesének meredeksége tehát –45 fok, amely a függőleges tengelyt 1200 darabnál metszi. Miután a két termék együttesen felhasznált erőforrásigényének kisebbnek kell lennie a rendelkezésre álló erőforrás mennyiségnél, ezért az 5.8. ábrán megrajzolt E1 egyenes alatti területen találhatók azok a pontok, amelyeknek megfelelő mennyiségek kielégítik az E1 erőforráskorlátot. Az E2 erőforráskorlátot reprezentáló terület határoló egyenese az egyenlőtlenség átrendezésével a következőképpen alakul:

2

1600

2

1:E2 12 +⋅−= XX

Az E2 erőforrást akkor tudjuk könnyen ábrázolni, ha meghatározzuk az egyenes függőleges és vízszintes tengelyi metszetét. Az egyenes egyenletéből látható, hogy ha X1=0, akkor X2= 800 darab, valamint ha X2=0, akkor X1=1600 darab. A két tengelyen lévő metszéspontokat összekötve kapjuk meg az E2 erőforráskorlát által reprezentált terület határoló egyenesét. Miután a két termék együttesen felhasznált erőforrásigénye kisebb kell hogy legyen a rendelkezésre álló mennyiségnél, ezért az 5.8. ábrán megrajzolt E2 egyenes alatti területen találhatók azok a pontok, amelyeknek megfelelő mennyiségek kielégítik az E2 erőforráskorlátot.

A két erőforráskorlátot együttesen kielégítő mennyiségeket pedig a mindkét egyenes alatt található pontok reprezentálják. A gyártandó minimális és eladható maximális mennyiségek feltételeit az 5.8. ábrán a T1 terméknél a függőleges, a T2 terméknél pedig a vízszintes egyenesek jelölik. A valamennyi feltételt együttesen kielégítő pontok halmazát pedig a besatírozott terület tartalmazza. E terület pontjai a feladat megengedett megoldásait jelentik.

A megengedett megoldások pontjai közül kell kiválasztani azt (vagy azokat) amelyhez tartozó gyártandó mennyiségek maximalizálják a célfüggvényt. Az optimális megoldásnak megfelelő pontot a következő gondolatmenet alapján kereshetjük meg. Tételezzük fel, hogy a célfüggvény értéke egy meghatározott termelési tervhez tartozó pontnál F, tehát

FXX =+ 21 290180 A fenti egyenletet kielégítő (X1, X2) pontpárok halmaza ismét egy egyenes segítségével

ábrázolható, amely az egyenlet átrendezése után a következőképpen írható fel:

290290

180:yCélfüggvén 12

FXX +⋅−=

A felírt egyenes függőleges tengelyen lévő metszetének értéke F/290. Azt a termelési tervet keressük, amelynél F értéke maximális, tehát az optimális megoldás egy olyan célfüggvény egyenesén található, amelynek meredeksége –180/290 és a függőleges tengelyt a lehető legmagasabb értéknél metszi. Keresnünk kell tehát egy olyan egyenest, amelynek meredeksége –180/290 és felülről érinti a besatírozott területet.

Az 5.8. ábrán látható, hogy a feladat optimális megoldása a P2 pontban található. Ezt az eredményt akkor kapjuk meg, ha ábrázolunk egy tetszőlegesen felvett F értékhez tartozó célfüggvény egyenest és azt párhuzamosan addig toljuk felfelé, amíg az felülről érinti a besatírozott területet. Az egyszerű ábrázolhatóság kedvéért az F=180·290 értéknél rajzoltunk egy nem optimális célfüggvény egyenest és azt párhuzamosan eltolva kaptuk az optimumot a P2 pontban. A P2 pont a két erőforrás metszéspontjában található, ezért a következő kétismeretlenes egyenletrendszert kell megoldani az optimális gyártási mennyiségek meghatározásához:

16002

1200

21

21

=+=+

XX

XX

134

Az egyenletrendszert megoldva az optimális megoldás értékeire az X1=800 darab/időszak és X2=400 darab/időszak értékeket kapjuk. A célfüggvény optimális értéke pedig a következőképpen számolható: 000260400290800180 =⋅+⋅ Ft/időszak Az optimális megoldás eredményéből a menedzsment tehát arra a következtetésre jut, hogy az első termékből kétszer annyit érdemes gyártani, mint a másodikból. Ez az eredmény látszólag meglepő, mert a második termék fajlagos fedezete lényegesen nagyobb az első termékénél. Kizárólag gazdasági adatok alapján azonban az optimális termelési mennyiség nem állapítható meg, figyelembe kell venni a termékek erőforrásigényét is. Valószínűleg a második termék nagyobb erőforrásigénye az oka annak, hogy a végeredmény az első termék gyártását preferálja.

Végezetül észrevehetjük, hogy az optimális megoldás mindig biztosan a besatírozott terület peremén helyezkedik el. A célfüggvény egyenese vagy valamelyik sarokpontban érinti a besatírozott területet, vagy esetleg az egyik oldal mentén. Ha a célfüggvény valamelyik oldal mentén érinti a megengedett megoldások tartományát, akkor az érintkező szakasz minden pontja optimális megoldást jelent, tehát több optimális termelési tervváltozat létezik egyidejűleg.

Példánkban az optimumot jelentő P2 pont a két erőforrás metszéspontjában található, ami egyben azt is jelenti, hogy a két erőforrás az optimális termelési tervnél a termelőrendszer szűk keresztmetszete. Ezen erőforrások bővítése vélhetőleg a gazdasági eredmény javulásához vezet, de ennek vizsgálatához a jobboldali paraméterek érzékenységvizsgálati eredményei szükségesek. Az 5.8. ábrán azt is láthatjuk, hogy a célfüggvény egyenes meredekségének kismértékű változásakor az optimális megoldás könnyen átkerülhet a P1 vagy P3 pontokba. Hogy ez milyen célfüggvény együttható értékeknél következik be, arról a célfüggvény együtthatók érzékenységvizsgálata nyújt információt.

5.3.2. A célfüggvény együtthatók érzékenységvizsgálata

A célfüggvény együtthatók érzékenységvizsgálatának célja meghatározni azt a tartományt, amelyen belül egy célfüggvény együttható változhat anélkül, hogy az optimális megoldás megváltozna. Írjuk fel a célfüggvényt reprezentáló egyenes egyenletét úgy, hogy abban a célfüggvény együtthatók paraméteresen – c1, és c2 jelölésekkel – szerepeljenek:

2

12

12:yCélfüggvén

c

FX

c

cX +⋅−=

Látható, hogy a célfüggvény együtthatók változása megváltoztatja az egyenes meredekségét. Az 5.8. ábrán viszont az látszik, hogy amíg a célfüggvény egyenesének meredeksége az optimális pont helyét meghatározó két egyenes meredeksége közé esik, az optimális megoldás helye nem változik meg. Amint azonban a célfüggvény meredekségének változása ennél nagyobb, az optimális megoldás a változás irányától függően vagy a P1, vagy a P3 pontba kerül át. Felhasználva az E1 és E2 erőforrások egyenesének meredekségét, felírható az a célfüggvény együtthatókra vonatkozó feltétel, amelynek teljesülésekor P2 pont az optimális megoldás:

2

11

2

1 −≤−≤−c

c

A felírt feltétel jobb és bal oldalát külön vizsgálva a célfüggvény együtthatók lehetséges értékeit a következő két feltétel határozza meg: 1212 2és cccc ≤≥

135

A két feltétel által meghatározott célfüggvény együttható értékeket az 5.9. ábra szemlélteti. A P2 pontnak megfelelő termelési terv tehát a pontozott terület által kijelölt célfüggvény együttható értékeknél lesz optimális. Az ábrán feltüntettük, hogyan alakul az egyik célfüggvény együttható érvényességi tartománya, ha a másik együttható értéke változatlan marad. A felírt feltételek és az ábra alapján könnyen ellenőrizhető, hogy az egyetlen célfüggvény együttható változására vonatkozó – független – érvényességi tartományok a következőképpen alakulnak:

290145akkor290Ha

360801akkor180Ha

12

21

≤≤=≤≤=

cc

cc

A lineáris programozási feladatokat megoldó szoftverek többsége a független érvényességi tartomány adatait szolgáltatja a célfüggvény érzékenységvizsgálatának eredményeként. Óvatosan kell tehát kezelni ezeket az adatokat, mert amint azt az 5.9. ábra is mutatja, ha egyidejűleg egy másik célfüggvény együttható értéke is változik, akkor a szoftver által szolgáltatott tartomány a tényleges tartománynál kisebb és nagyobb is lehet. Ennek ellenére a független érvényességi tartományok jól jelzik azokat a paramétereket, amelyekre a menedzsmentnek fokozottan ügyelnie kell. Egy olyan költségadat, amelynek független érvényességi tartománya nagyon kicsi, fokozott figyelmet igényel, mert már kis mértékű változás is szükségessé teheti a termelési terv megváltoztatását. Például egy alkatrész árának kismértékű növekedésekor lehet, hogy az alkatrészt felhasználó termékből már csak lényegesen kisebb mennyiség gyártása a gazdaságos, ezért vagy a termelési tervet kell módosítani, vagy esetleg olcsóbb beszállítót kell keresni. Ha olyan költségadat változik, amely több célfüggvény együttható értékét is megváltoztatja, akkor a változás hatásáról pontos képet csak a modell újbóli megoldásakor kaphatunk.

5.9. Ábra: A célfüggvény együtthatók érzékenységvizsgálata Végezetül szólni kell egy olyan jelenségről, amely látszólag speciális, a gyakorlatban

azonban gyakran előfordul. Az 5.8. ábrán az optimális P2 pont helyét két erőforrás egyenese határozza meg. Előfordulhatott volna azonban, hogy van egy harmadik erőforrás is, amelynek egyenese szintén átmegy a P2 ponton. Egy pont helyének meghatározásához két egyenes elegendő, így a háromból az egyik felesleges. A kelleténél több egyenes által meghatározott megoldást degenerált megoldásnak nevezik, amely a célfüggvény érvényességi tartományának számításánál gondot okozhat [16], [21]. A szoftverek többsége matematikai okok miatt ugyanis mindig csak két egyenest vesz figyelembe. Hogy melyik – optimális bázishoz tartozó – két egyenes alapján számolja a szoftver az érvényességi tartományt, az a

200

400

100 200 300 400

600

800

180

290

c2

c1

c2≤2c1

c2≥c1

136

szoftver sajátosságaitól függ. Ezért degenerált megoldásnál lehet, hogy egyes célfüggvény együtthatóknál az alkalmazott szoftver nem tudja megadni a teljes érvényességi tartományt, csak annak egy részét. Az eredmény értékelésénél ezt úgy lehet figyelembe venni, hogy ha degenerált gyanús a megoldás (például sok egyenlet szerepel a feltételek között, vagy sok erőforrás alkotja a szűk keresztmetszetet), akkor a gyanúsan szűk tartományoknál érdemes a modellt megoldani a tartományon kívül eső értékekre is. Így ellenőrizhetjük, hogy egy célfüggvény együttható érvényességi tartománya tényleg szűk, vagy csak a degeneráció hatása jelentkezett. Meg kell jegyezni, hogy ez a probléma ma már széles körben ismert, ezért a jövőben várható olyan szoftverek megjelenése, amelyek degeneráció esetén is pontos érzékenységvizsgálati eredményt szolgáltatnak [25].

5.3.3. A jobboldali paraméterek érzékenységvizsgálata

Az 5.8. ábrán látható, hogy a vizsgált feladatban öt jobboldali paraméter szerepel: a két erőforrás mindegyikéből rendelkezésre álló mennyiség, valamint a gyártandó minimumokra és gyártható maximumokra vonatkozó három adat. A jobboldali paraméterek érzékenységvizsgálatának célja meghatározni azt, hogy ha ezen öt adat valamelyike egységnyivel megváltozik, akkor mennyivel változik meg a célfüggvény optimális értéke. Tehát a feladat öt árnyékár, valamint a hozzájuk tartozó öt érvényességi tartomány meghatározása. Az öt jobboldali paraméter mindegyike egy egyenlőtlenség jobboldala, amelyet az ábrán egy egyenes reprezentál. Az egyenesek egyenletét tanulmányozva észrevehetjük, hogy ha a jobboldali paraméter megváltozik, akkor az egyenes függőleges tengelyen lévő metszete is megváltozik, de a meredeksége változatlan marad. Például az E1 erőforrás egyenletének jobboldalát egységnyivel változtatva, az egyenes egyenlete a következőképpen alakul:

1

11200

1

1:E1 12

±+⋅−= XX

Ez azt jelenti, hogy a jobboldali paraméterek változása grafikusan a feltételek egyeneseinek párhuzamos eltolásaként szemléltethető. Az E1 erőforrás rendelkezésre álló mennyiségének egységnyi növelése a hozzá tartozó egyenes párhuzamos eltolását jelenti az 5.8. ábrán az M'' pont irányába. Látható, hogy ekkor megnövekszik a besatírozott terület nagysága, ami érthető, mert a több rendelkezésre álló erőforrás miatt növekszik a megengedett megoldások halmaza. Ugyanezen erőforrás mennyiségének csökkenése a hozzá tartozó egyenes párhuzamos eltolását jelenti a P1 pont irányába, ami értelemszerűen a megengedet megoldások halmazát csökkenti.

Az 5.8. ábrán látható, hogy az öt jobboldali paraméterhez tartozó egyenlőtlenség öt egyenese egy sokszöget alkot, amelynek egyik sarokpontja az optimális megoldás (P2). Az optimális megoldáshoz tartozó sarokpontot a két erőforrás egyenese határozza meg. Ezért, amikor a jobboldali paraméterek egységnyi változása miatt a sokszöget határoló egyenesek párhuzamosan kis mértékben eltolódnak, a P2 pont helyét csak a két erőforrás egyenesének eltolódása befolyásolja. A másik három erőforrás kismértékű eltolása a P2 pont helyzetét nem változtatja meg. Bontsuk ezért két csoportra az árnyékárak és érvényességi tartományaik meghatározását. Vizsgáljuk először azokat a jobboldali paramétereket, amelyek egységnyi változása nem módosítja az optimális megoldást, majd vizsgáljuk meg azokat, amelyek egységnyi változása miatt az optimális megoldás is módosul.

1. Az optimális megoldást nem változtató paraméterek érzékenységvizsgálata. Ha egy jobboldali paraméter változása nem változtatja meg az optimális megoldást, akkor annak árnyékára értelemszerűen zéró. Természetesen ez csak kis mértékű változásokra igaz, mert ha

137

például a T1 termék gyártandó minimuma 900 darabra változik, akkor az optimális megoldás módosul. Meg kell tehát határozni a zéró árnyékár érvényességi tartományát. Példánkban három olyan paraméter szerepel, amelynek árnyékára zéró. Ezek érvényességi tartományát összefoglalóan az 5.10. táblázat tartalmazza és értékük az 5.8. ábra alapján a következőképpen határozható meg:

– A T1 termék gyártható maximális mennyisége (X1max) egészen addig nem befolyásolja

az optimális megoldást, amíg értéke nagyobb, mint az optimális megoldásban szereplő 800 darab. Így a 0 Ft/darab árnyékár 800 darab és végtelen között érvényes.

– A T1 termék gyártandó minimális mennyisége (X1min) egészen addig nem befolyásolja

az optimális megoldást, amíg értéke kisebb, mint az optimális megoldásban szereplő 800 darab. Így a 0 Ft/darab árnyékár 0 és 800 darab között érvényes.

– A T2 termék gyártandó minimális mennyisége (X2min) egészen addig nem befolyásolja

az optimális megoldást, amíg értéke kisebb, mint az optimális megoldásban szereplő 400 darab. Így a 0 Ft/darab árnyékár 0 és 400 darab között érvényes.

2. Az optimális megoldást megváltoztató paraméterek érzékenységvizsgálata. Példánkban az optimális megoldás az E1 és E2 erőforrások egyenesének metszéspontjában található, ezért ezek rendelkezésre álló mennyiségének kismértékű változása is már módosítja az optimális megoldást. Az E1 és E2 erőforrások árnyékárát a paraméterek egységnyi változásához tartozó célfüggvény-érték változása adja meg. Az árnyékárat és érvényességi tartományát ebben az esetben a következő gondolatmenet alapján kaphatjuk meg. Az optimális megoldáshoz tarozó célfüggvény-értéket az 5.8. ábrán a P2 ponton átmenő két erőforrás egyenesének metszéspontja határozza meg. Ha az egyik erőforrás jobboldali paramétere megváltozik, akkor a hozzá tartozó egyenes kis mértékben párhuzamosan eltolódik, de az optimális megoldást továbbra is a két erőforrás egyenese határozza meg. Ezért ha az egyik egyenes jobboldali paraméterét fokozatosan egységnyivel változtatjuk (növeljük vagy csökkentjük), akkor a többszöri egységnyi változások egészen addig ugyanolyan mértékben változtatják a célfüggvény értékét, amíg az optimális megoldást ugyanazon feltételek egyeneseinek metszéspontja definiálja. Így először meg kell határozni a jobboldali paraméter változásának azon tartományát, amelyre igaz, hogy az optimális megoldást ugyanazok az egyenesek határozzák meg. Ez lesz az árnyékár érvényességi tartománya. Ezen tartományon belül bármelyik két értékre kiszámolva a paraméterváltozás és célfüggvény-változás hányadosát, megkapjuk az árnyékárat. Végezzük el ezt a számítást a következőekben az E1 erőforrásra.

5.10. Táblázat: A jobboldali paraméterek érzékenységvizsgálati eredményeinek összefoglaló

táblázata

Egyenlet Jobboldali paraméter értéke

Árnyékár Alsó határ Felső határ

Erőforrás E1 1200 gó/időszak 70 Ft/gépóra 900 1300 Erőforrás E2 1600 gó/időszak 110 Ft/gépóra 1400 2200 Maximum T1 1000 db/időszak 0 Ft/db 800 ∞ Minimum T1 200 db/időszak 0 Ft/db 0 800 Minimum T2 100 db/időszak 0 Ft/db 0 400 Az 5.8. ábrán látható, hogy ha az E1 erőforrás egyenese a P1 és M'' pontok között

mozog, akkor ebben a tartományban az optimális megoldás mindig az E1 és E2 erőforrások metszéspontjában található. Ha például az E1 erőforrás egyenesét M'' pontnál tovább mozgatjuk, akkor az optimális megoldást már az E2 erőforráshoz, valamint a T1 termék gyártható maximumához tartozó egyenesek metszéspontja jelenti. Ekkor a korábban

138

meghatározott árnyékár már nem érvényes. Vizsgáljuk meg, hogy mi történik, ha az E1 egyenes a P1 és M'' pontok által kijelölt tartományokon kívülre kerül:

– Ha az E1 erőforrás egyenese az M'' pont felett helyezkedik el, akkor az E1 erőforrás kapacitásának egy részét az új optimális megoldást jelentő termelési terv nem használja fel teljesen, tehát az erőforrás mennyiségének további bővítése nem hoz hasznot. Az E1 egyenese többé már nem határozza meg az optimális megoldást, tehát árnyékára az M'' pont feletti tartományban zéró.

– Ha az E1 erőforrás egyenese a P1 pont alatt helyezkedik el, akkor az optimális megoldás átkerül a T1 termék gyártandó minimumát és az E1 erőforrást reprezentáló egyenesek metszéspontjába. Tehát nem ugyanazok az egyenesek határozzák meg az optimumot, ezért az árnyékár megváltozik.

A P1 és M'' pontok tehát kijelölik azt a tartományt, amelyen belül az E1 erőforrás egyenese mozoghat változatlan árnyékár mellett. Az erőforrás egyenesének mozgása a valóságban az erőforrás rendelkezésre álló mennyiségnek egy megengedett minimális és maximális érték közötti változását jelenti. Ezen értékek a P1 és M'' pontok által jelölt termelési mennyiségek és az E1 erőforrás egyenlete alapján a következőképpen számolhatók:

gó/id 1300300110001

db/id 300db/id 1000:pont 'M'

gó/id 90070012001db/id 700db/id 200:pont P1

'M'E1

2

1

P1E1

2

1

=⋅+⋅===

=⋅+⋅===

bXX

bXX

Az E1 erőforrás optimális megoldáshoz tartozó árnyékárának érvényességi tartománya tehát a következő feltétellel írható le: 1300900 E1 ≤≤ b Az E1 erőforrás árnyékára pedig ezen tartomány bármelyik két pontja alapján számolt fajlagos célfüggvény-változás. A fajlagos célfüggvény-változás értéke például az M'' és P2 pontok alapján a következőképpen kapható meg:

Ft/gó 7012001300

000260000267 :E1Árnyékár

P2E1

'M'E1

P2'M' =−−=

−−

bb

FF

Az eredmény tehát azt mondja, hogy ha az E1 erőforrás rendelkezésre álló mennyisége 900 és 1300 gépóra között változik egy vizsgált időszakban, akkor minden egységnyi változás 70 Ft/gó haszonváltozást jelent. Ha például az eredetileg rendelkezésre álló 1200 gépóra túlóra miatt 30 gépórával megnő, akkor a hozamnövekedés 30·70=2100 Ft lesz. Ha a túlóra költsége ennél alacsonyabb, akkor megéri túlórázni, ha viszont a túlóra költsége ennél magasabb, akkor az üzem a túlórára ráfizet. Ha viszont a menedzsment 150 túlórát szeretne alkalmazni, akkor az E1 erőforrás 150 gépórával megnövelt mennyisége már kívül esik az érvényességi tartományon. Ilyenkor biztosan csak azt mondhatjuk, hogy a tartományon belülre eső 100 gépóra minden egyes órája 70 Ft hasznot hoz, de hogy a tartományon kívülre eső további 50 gépóra haszna mennyi lesz, az csak további vizsgálatok után határozható meg. Az ábrán persze látható, hogy ha az E1 erőforrás egyenese M'' felett helyezkedik el, akkor az E1 erőforrás már nincsen kihasználva, a fel nem használt erőforrás viszont hasznot nem eredményez. Ezen megfontolások alapján tehát a 150 óra túlóra hozama csak 100·70=7000 Ft. Ha az E1 erőforrás rendelkezésre álló mennyisége például a gépek karbantartása miatt 50 gépórával csökken, akkor most az árnyékár alapján azt mondhatjuk, hogy a hozam 50·70=3500 forinttal csökkenni fog, mert az elveszett 50 gépóra után maradó 1150 gépóra még az érvényességi tartományba esik. Ha viszont a karbantartás 350 gépórát vesz igénybe, akkor csak annyi biztos, hogy a hozam 300·70=21 000 forinttal csökken. Hogy a tartományon kívülre eső további 50 gépóra miatti veszteség mekkora lesz, azt nem tudjuk. Ebben az esetben vagy meghatározzuk a csökkentett erőforrás mennyiségéhez tartozó új optimális

139

megoldást, vagy megfelelő szoftverrel elvégezzük az E1 erőforrás rendelkezésre álló mennyiségének paraméteres vizsgálatát [15]. Ez egyébként nem más, mint az árnyékár értékének meghatározása az erőforrás mennyiség függvényében egy az érvényességi tartománynál tágabb intervallumban.

Az E1 erőforráshoz hasonlóan határozható meg az E2 erőforrás árnyékára és annak érvényességi tartománya is. Az 5.8. ábrán látható, hogy az E2 erőforrás egyenese az M' és P3 pontok között mozoghat úgy, hogy ugyanazon egyenesek határozzák meg az optimális megoldást. Az E2 erőforrás érvényességi tartománya az M' és P3 pontok által jelölt termelési mennyiségek, valamint az E2 erőforrás egyenlete alapján a következőképpen számolhatók:

gó/id 2200100022001

db/id 1000db/id 200:pont M'

gó/id 1400200210001db/id 200db/id 1000:pont P3

M'E2

2

1

P3E2

2

1

=⋅+⋅===

=⋅+⋅===

bXX

bXX

Az E2 erőforrás optimális megoldáshoz tartozó árnyékárának érvényességi tartománya tehát a következő feltétellel írható le: 22001400 E2 ≤≤ b Az E2 erőforrás árnyékára pedig ezen tartomány bármelyik két pontja alapján számolt fajlagos célfüggvény-változás. A fajlagos célfüggvény-változás értéke például M' és P2 pontok alapján a következőképpen számolható:

Ft/gó 11016002200

000260000326 :E2Árnyékár

P2E2

M'E2

P2M' =−−=

−−

bb

FF

Az eredmény tehát azt mondja, hogy ha az E2 erőforrás rendelkezésre álló mennyisége 1400 és 2200 gépóra között változik egy vizsgált időszakban, akkor minden egységnyi változás 110 Ft/gó haszonváltozást jelent.

A jobboldali paraméterek árnyékárát és azok érvényességi tartományát összefoglalóan az 5.10. táblázat tartalmazza. Hangsúlyozni kell, hogy ezek az adatok egymástól függetlenek. Vizsgálható tehát, hogy mi a kedvezőbb; csak az E1, vagy csak az E2 erőforrás bővítése. A táblázat adatai alapján azonban azt nem tudjuk megmondani, hogy az E1 és az E2 erőforrások együttes bővítésének mi lesz a gazdasági következménye. A független árnyékárak és érvényességi tartományaik azonban így is fontos információt jelentenek a menedzsment számára több okból:

– A gyakorlatban sokszor előfordul, hogy egyetlen erőforrás bővítésének gazdaságosságát kell vizsgálni. Az ilyen vizsgálat az árnyékár és érvényességi tartománya alapján gyorsan elvégezhető.

– A nagy árnyékárú erőforrások működését a menedzsmentnek fokozattan kell figyelnie, mert ezek kapacitásának váratlan csökkenése komoly gazdasági eredményromlást okozhat.

– A nagy árnyékárú erőforrásoknál a menedzsmentnek fokozottan kell törekednie a kapacitástartalékok, valamint a kapacitásbővítési lehetőségek feltárására, mert az így elért hozamnövekedés jelentős lehet.

Végezetül a jobboldali paraméterek érzékenységvizsgálata kapcsán is meg kell említeni a degeneráció előfordulásakor felmerülő problémákat. Amint azt az 5.3.2. fejezet végén említettük, degenerációnál az optimális megoldást a szükségesnél több feltétel határozza meg. Az 5.8. ábrán a degeneráció azt jelentené, hogy a P2 ponton kettőnél több egyenes halad át. Ezen egyenesekhez tartozó árnyékárak és érvényességi tartományok számítása a ma használatos lineáris programozási szoftverek többségének problémát jelent [16], [21]. Elképzelhető, hogy az árnyékár egy erőforrásnál gazdaságos bővítési lehetőséget jelez, holott a tényleges hozamnöveléshez további erőforrások bővítése is szükséges. Ezért ha az eredmény értékelésénél degenerált gyanús a megoldás (például sok egyenlet szerepel a

140

feltételek között, vagy sok erőforrás alkotja a szűk keresztmetszetet), akkor érdemes ellenőrizni, hogy az optimális megoldást közvetlenül meghatározó feltételek (például teljesen kihasznált erőforrások) árnyékára és érvényességi tartománya logikusan értelmezhető-e.

5.3.4. Az esettanulmány érzékenységvizsgálati eredményeinek értelmezése

Az előző két fejezetben egy grafikusan ábrázolható feladat segítségével bemutattuk a lineáris termeléstervezési modellek célfüggvény együtthatóinak és jobboldali paramétereinek érzékenységvizsgálati számításait, valamint a kapott eredmények alkalmazását menedzsmentdöntéseknél. A grafikusan illusztrálható egyszerű feladat eredményeinek értelmezése azonban általános érvényű. Minden, amit a grafikus ábrázolás segítségével bemutattunk, ugyanúgy igaz grafikusan nem ábrázolható, nagyméretű feladatoknál is. Ennek szemléltetéseként tekintsük az 5.1. fejezetben már megoldott termeléstervezési esettanulmány érzékenységvizsgálati eredményeit.

Emlékeztetőül visszaidézzük, hogy hat hónapra kellett meghatározni a gyártandó mennyiséget. A célfüggvény a munkaerő felvételi és elbocsátási, valamint készletezési költségek összegét minimalizálta. A feladatot leíró lineáris programozási modellt a korábban ismertetett 5.3. ábra tartalmazza, az optimális megoldás eredménye pedig az 5.8. táblázatban található. Ezek magyarázatára ismételten nem térünk ki.

A célfüggvény együtthatók optimális megoldáshoz tartozó – Excell solverrel számolt – érzékenységvizsgálati eredményeit az 5.11. táblázat tartalmazza. A feladatban szereplő 5 változócsoport összesen 32 változójának mindegyikéhez tartozik célfüggvény érzékenységi tartomány. A táblázat első oszlopa a változó nevét, második oszlopa a változó optimális értékét, harmadik oszlopa pedig a célfüggvény együttható eredeti értékét tartalmazza. A célfüggvényben nem szerepelt változókat úgy tekinthetjük, hogy azok célfüggvény együtthatója zéró. A táblázat utolsó két oszlopa a célfüggvény együttható azon maximális növekedését és csökkenését adja meg, amely értékek mellett a kapott optimális megoldás változatlan marad.

A következőkben mindegyik változócsoportnál jellegzetes példákkal szemléltetjük a célfüggvény együttható érzékenységi tartományának jelentését.

– Munkaerő-felvétel (At). A munkaerő-felvétel költsége eredetileg munkásonként 50 eFt. A célfüggvény együttható érzékenysége a munkaerő-felvétel költségének azt a tartományát jelenti, amelyen belül a kapott megoldás optimális marad. Áprilisban az optimális megoldás nem javasolt felvételt (A4=0). Az érzékenységi tartomány azt jelzi, hogy akármekkorára nőhet az áprilisi felvétel költsége (megengedett növekedés ∞) nincs értelme áprilisban munkásfelvételnek. Ez érthető, hiszen ha a jelenlegi költségnél nem gazdaságos a felvétel, akkor magasabb költségnél sem lesz az. Ugyanakkor, ha az áprilisi felvétel költségének csökkenése nagyobb, mint 0,679 eFt akkor az optimális megoldás változni fog. Bár az érzékenységvizsgálat nem mondja meg, hogy az optimális megoldás hogyan fog módosulni, logikusnak tűnik, hogy az alacsonyabb felvételi költségek miatt érdemes lesz már áprilisban felvenni munkásokat. Ezekre a munkásokra csak később lesz szükség, de az olcsóbb felvételi költség, és a korábban felvett munkások által termelt mennyiség raktározási költsége együtt kedvezőbb, mint a később felvett munkások magasabb felvételi költsége. Májusban az optimális megoldás 465 munkás felvételét javasolja. A májusi felvételi költség kismértékű növekedésekor (0,963 eFt) ez a megoldás már nem lesz optimális. Ennek oka az lehet, hogy magasabb felvételi költségnél érdemes inkább korábban felvenni munkásokat. Így a korábbi felvétel alacsonyabb költsége és a korábban felvett munkások által termelt mennyiség raktározási költsége együtt kedvezőbb, mint a májusi felvétel magasabb költségek mellett.

141

Hogy mennyivel kevesebb munkás felvétele gazdaságos, arról az érzékenységvizsgálat nem szolgáltat információt, pusztán felhívja a figyelmet arra, hogy a költségnövekedés miatt felül kell vizsgálni a termelési tervet. A májusi felvétel költségének csökkenése nem befolyásolja a termelési terv alakulását, hiszen az érzékenységvizsgálat által jelzett 119 eFt csökkenés 50 eFt felvételi költség mellett azt jelenti, hogy akkor sincs értelme több munkást felvenni, ha azért nem kell fizetni. A két kiragadott eredmény azt jelzi, hogy a menedzsmentnek érdemes fokozott figyelmet fordítania a felvétel költségének alakulására, mert annak kismértékű változása is már indokolttá teheti a termelési terv módosítását.

5.11. Táblázat: Az esettanulmány célfüggvény együtthatóinak érzékenységvizsgálata

Célfüggvény Megengedhető Megengedhető Név Végérték együttható növekedés csökkenés

Változó A1 0,000 50 ∞ 150,000 Változó A2 0,000 50 ∞ 79,143 Változó A3 0,000 50 ∞ 22,249 Változó A4 0,000 50 ∞ 0,679 Változó A5 464,803 50 0,963 119,163 Változó A6 0,000 50 ∞ 19,275 Változó E1 27,020 100 23,763 2,297 Változó E2 0,000 100 ∞ 70,857 Változó E3 0,000 100 ∞ 127,751 Változó E4 0,000 100 ∞ 149,321 Változó E5 0,000 100 ∞ 150,000 Változó E6 0,000 100 ∞ 130,725 Változó I0 500,000 8 ∞ 24,178 Változó I1 20,000 8 0,784 8,109 Változó I2 340,000 8 0,356 3,686 Változó I3 160,000 8 0,253 2,616 Változó I4 0,000 8 ∞ 1,843 Változó I5 378,378 8 14,748 4,546 Változó I6 600,000 8 ∞ 21,979 Változó P1 800,000 0 0,784 8,109 Változó P2 960,000 0 0,653 6,757 Változó P3 720,000 0 0,871 9,009 Változó P4 1040,000 0 55,630 0,253 Változó P5 2378,378 0 3,099 36,965 Változó P6 1621,622 0 4,546 14,748 Változó M0 300,000 0 ∞ 100,000 Változó M1 272,980 0 2,297 23,763 Változó M2 272,980 0 2,297 23,763 Változó M3 272,980 0 2,297 23,763 Változó M4 272,980 0 211,940 0,963 Változó M5 737,783 0 9,991 119,163 Változó M6 737,783 0 9,991 32,416

– Munkaerő elbocsátás (Et) A munkaerő elbocsátás költségének érzékenységvizsgálati

eredményei az előbb bemutatott módon értelmezhetők. A munkaerő elbocsátás költsége eredetileg munkásonként 100 eFt. Januárban az optimális megoldás szerint 27 fő elbocsátása indokolt. Ha az elbocsátás januári költségének növekedése több mint 23,8 eFt, akkor ez a megoldás már nem optimális. Esetleg célszerű lehet a munkások egy részét megtartani. Így a

142

megtakarított elbocsátási költség és a megtartott munkások által termelt mennyiség készlettartási költsége együtt kedvezőbb, mint a drágább elbocsátás költsége. Ha az elbocsátás januári költségének csökkenése nagyobb, mint 2,3 eFt, akkor esetleg érdemesebb több munkást elbocsátani. Hogy hány fő elbocsátása gazdaságos, arról az érzékenységvizsgálat nem szolgáltat információt, pusztán felhívja a figyelmet arra, hogy a költségváltozás miatt felül kell vizsgálni a termelési tervet.

– Raktárkészlet (It). A készlettartási költség egyetlen termék után egy hónapra 8 eFt. A március végi raktárkészlet az optimális termelési terv szerint 160 darab (I3). Ha a márciusi fajlagos készlettartási költség növekedése 0,253 eFt-nál nagyobb, akkor a jelenlegi termelési terv már nem optimális. Vélhetőleg kisebb készlet tartása lesz indokolt ebben a hónapban. Hogy a hiányzó mennyiséget mikor kell legyártani, arról az érzékenységvizsgálati eredmények nem adnak tájékoztatást. Ha a márciusi fajlagos készlettartási költség csökkenése nagyobb, mint 2,616 eFt, akkor viszont az optimálisnál nagyobb készlet tartása lehet a kedvezőbb. Hogy a készletváltozás miatt hogyan kell módosítani a termelt mennyiségeket, arról az érzékenységvizsgálat nem ad tájékoztatást. Látható ugyanakkor, hogy az optimális termelési tervet szinte valamennyi hónap fajlagos készlettartási költségének már kis mértékű változása is befolyásolja, ezért a készlettartási költségek alakulását a menedzsmentnek fokozottan figyelnie kell.

– Termelt mennyiség (Pt). A fajlagos termelési költséget az esettanulmányban nem vesszük figyelembe (minden hónapban azonosnak tekintjük), így annak értéke a célfüggvényben zéró. Azt feltételezzük ugyanis, hogy az igénynek megfelelő mennyiséget úgyis le kell gyártani. Ha a gyártás költsége havonta nem változik, akkor az összes gyártási költség minden termelési tervnél ugyanakkora lesz, tehát az optimumot nem befolyásolja. Abban az esetben, ha esetleg nem minden hónapban ugyanakkora a fajlagos gyártási költség, akkor ez a feltételezés nem helytálló. Ha tehát nagyon kicsi a zérónak feltételezett fajlagos gyártási költségek érvényességi tartománya, akkor már e költségek kismértékű havi ingadozásánál sem helyes a gyártási költség figyelmen kívül hagyása az optimum meghatározásánál. Az érvényességi tartományok azt mutatják, hogy különösen az első három hónapban kis mértékben felfelé, áprilisban pedig kis mértékben lefelé eltérő fajlagos gyártási költségnél helytelen eredményt kapunk, ha figyelmen kívül hagyjuk a gyártási költségeket. Indokolt tehát ellenőrizni, hogy tényleg teljesen azonosak e minden hónapban a fajlagos gyártási költségek.

– Munkaerő létszám (Mt). A fajlagos bérköltséget az esettanulmányban nem vettük figyelembe (minden hónapban azonosnak tekintettük), így annak értéke a célfüggvényben zéró. Azt feltételeztük ugyanis, hogy az igénynek megfelelő mennyiséget úgyis le kell gyártani. Ha a fajlagos bérköltség havonta nem változik, akkor az összes bérköltség minden termelési tervnél ugyanakkora lesz, tehát az optimumot nem befolyásolja. Ha esetleg nem minden hónapban ugyanakkora a fajlagos bérköltség, akkor ez a feltételezés nem helytálló. Az érvényességi tartományok azt mutatják, hogy az esetleges áprilisi alacsonyabb fajlagos bérköltség lehet csak veszélyes, a többi hónapban az egymást követő hónapok fajlagos bérköltségének kismértékű eltérései ellenére is elfogadható a fajlagos bérköltség elhanyagolása.

Hangsúlyozni kell, hogy az 5.11. táblázat független érvényességi tartományokat tartalmaz, tehát mindegyik tartomány csak akkor igaz, ha kizárólag a hozzá tartozó célfüggvény együttható változik meg.

Az esettanulmány jobboldali paramétereinek érzékenységvizsgálati eredményeit az 5.12. táblázat tartalmazza. A feladatban három egyenletcsoport szerepelt, mindegyik hat hónapra vonatkozó hat feltétellel. A táblázat első oszlopa az egyenlet nevét, második oszlopa az

143

egyenletnek az optimális megoldáshoz tartozó eredményét, harmadik oszlopa pedig a jobboldali paraméter árnyékárát tartalmazza. A negyedik oszlop a jobboldali paraméter eredeti értékét, a következő két oszlop pedig az eredeti érték megengedhető növekedését valamint csökkenését mutatja. Ha a jobboldali paraméter a változás során az így kapott tartományon belül marad, akkor érvényes az árnyékár. A következőkben mindegyik egyenletcsoportnál jellegzetes példákkal szemléltetjük az árnyékár és a hozzá tartozó érvényességi tartomány jelentését.

– Létszám. A létszám egyenletek jobboldali paramétere zéró (lásd a korábban ismertetett 5.3. ábrát). A jobboldali paraméter egységnyi változásának jelentését az egyenlet következő átrendezése teszi érthetőbbé:

11 ±−+= − tttt EAMM A jobboldal egységnyi változása tehát azt jelenti, hogy a t időszak létszáma egy

munkással nő vagy csökken. Ez a változás nem felvételnek vagy elbocsátásnak a következménye, tehát a felvételi vagy elbocsátási költséget ennél az egy munkásnál nem kell figyelembe venni. Januárban a jobboldali paraméter árnyékára 100 eFt. Ez azt jelenti, hogy ha januárban egy munkással több áll rendelkezésre, akkor a termelési terv költsége 100 eFt-al megnő. Ez érthető is, hiszen januárban az optimális termelési terv szerint 27 főt kell elbocsátani. Ha egy fővel több áll rendelkezésre, akkor azt is el kell bocsátani, aminek költsége éppen 100 eFt. Ugyanez fordítva is igaz. Ha januárban egy fővel kevesebb áll rendelkezésre, akkor csak 26 főt kell elbocsátani és így a termelési terv 100 eFt-al olcsóbb lesz. A 100 eFt árnyékár érvényességi tartománya azt jelzi, hogy bármennyivel több áll rendelkezésre, minden egyes létszámtöbbletnél 100 eFt költség jelentkezik, hiszen az összes többletlétszámot el kell bocsátani. Ugyanakkor a létszám januárban maximum 27 fővel lehet kevesebb 100 eFt árnyékár mellett. Éppen ennyit kell ugyanis januárban elbocsátani az optimális terv szerint. Ha például 28 fővel van kevesebb a számítottnál, akkor már felvétel szükséges, ezért a termelési terv költségváltozása és így az árnyékár is más lesz.

5.12. Táblázat Az esettanulmány jobboldali paramétereinek érzékenységvizsgálata

Feltétel Megengedhető Megengedhető Név Végérték Árnyékár jobboldala növekedés csökkenés

Létszám 1 0,000 100,000 0 ∞ 27,020 Létszám 2 0,000 29,143 0 8,832 34,968 Létszám 3 0,000 -27,751 0 13,649 54,041 Létszám 4 0,000 -49,321 0 23,098 91,454 Létszám 5 0,000 -50,000 0 464,803 ∞ Létszám 6 0,000 -30,725 0 289,524 1240,816 Igény 1 1280,000 -24,178 1280 25,882 3520,000 Igény 2 640,000 -16,178 640 348,421 88,000 Igény 3 900,000 -8,178 900 348,421 88,000 Igény 4 1200,000 -0,178 1200 348,421 88,000 Igény 5 2000,000 5,979 2000 933,333 2520,000 Igény 6 1400,000 13,979 1400 ∞ 636,364 Termelés 1 0,000 24,178 0 3520,000 25,882 Termelés 2 0,000 16,178 0 88,000 348,421 Termelés 3 0,000 8,178 0 88,000 348,421 Termelés 4 0,000 0,178 0 88,000 348,421 Termelés 5 0,000 -5,979 0 2520,000 933,333 Termelés 6 0,000 -13,979 0 636,364 2727,273

144

Vizsgáljuk most meg a márciushoz tartozó jobboldal árnyékárát, amelynek az előzőleg vizsgált árnyékártól eltérően negatív előjele van. Márciusban az egy fő többletlétszám az árnyékár szerint a termelési terv költségének 27,75 eFt csökkenését jelentené. Ennek oka az lehet, hogy májusban majd felvétel lesz, de ha márciusban költségmentesen egy plusz fő áll rendelkezésre, akkor a későbbi felvételi költség megtakarítható. A megtakarítás nem teljes, mert a korábban bekövetkező létszámnövekedés miatt többlettermelés és emiatt készlettartási költség jelentkezik, de ennek költsége alacsonyabb a későbbi felvétel költségénél. Ugyanez igaz fordítva is. Ha márciusban egy fővel kevesebb áll rendelkezésre (például betegség miatt), akkor a termelési terv költsége 27,75 eFt-al megnő. Ennek oka, hogy a hiányzó munkás munkáját valamikor el kell végezni. Hogy pontosan mi fog történni, arról az érzékenységvizsgálat nem nyújt információt, csak azt jelzi, hogy a megváltozott helyzet optimális költsége, az eredeti optimumnál 27,75 eFt-al magasabb lesz. Az érvényességi tartomány szerint, ha maximum 13 fővel áll több rendelkezésre, akkor minden plusz munkásnál az árnyékár által jelzett költségcsökkenés jelentkezik. Továbbá ha maximum 54 fővel kisebb a létszám, akkor minden egyes hiányzó munkásnál az árnyékár által jelzett többletköltség jelentkezik.

– Igény. Az igényegyenletek jobboldalán a kielégítendő mennyiség szerepel. Ebben az esetben az árnyékár azt jelzi, hogy ha az igény egy darabbal megváltozik, akkor az hogyan változtatja meg az optimális termelési terv költségét. Ha januárban az eredetileg tervezett 1280 darabnál egy darabbal többet kell szállítani, akkor az árnyékár szerint a termelési terv költsége 24,18 eFt-al csökkenni fog. Furcsának tűnhet, hogy többet kell gyártani és emiatt költségcsökkenés lesz, de a januári igény növekedése új termelési tervet jelent, és annak költsége alacsonyabb lesz. Hogy az új optimális termelési terv milyen módosításokat tartalmazz, arról az érzékenységvizsgálat nem ad információt. Csak azt jelzi, hogy ha januárra több rendelést tudunk szerezni, az igen gazdaságosan kielégíthető. Ugyanez fordítva is igaz. Ha a januári igény egy darabbal csökken, akkor a termelési terv költsége 24,18 eFt-al nőni fog. Az érvényességi tartomány azt jelzi, hogy csak 25 darabig igaz az igény növekedésével járó költségcsökkenés, míg 3520 darabig igaz az igény csökkenésével járó költségnövekedés. Januárban az eredeti terv szerint az igény csak 1280 darab, ezért a 3520 darab megengedhető csökkenés gyakorlatilag azt jelenti, hogy ha a teljes januári igény megszűnik, akkor minden egyes darab után a többletköltség 24,18 eFt. Az árnyékár előjelének változása az 5.11. táblázatban azt jelzi, hogy májusban és júniusban éppen fordított a helyezet. Ezekben a hónapokban az igénynövekedés költségnövekedést, az igény csökkenése pedig költségcsökkenést jelent. Hangsúlyozni kell még egyszer, hogy az árnyékár által jelzett költségváltozások a megváltozott igény optimális termelési tervéhez képesti változások.

– Termelés. A termelési egyenletek jobboldali paramétere zéró (lásd a korábban ismertetett 5.3. ábrát). A jobboldali paraméter egységnyi változásának jelentését az egyenlet következő átrendezése teszi érthetőbbé:

1±= ttt MKnP A jobboldal egységnyi változása tehát azt jelenti, hogy a munkások által megtermelt mennyiségnél 1 darabbal több, vagy kevesebb áll rendelkezésre. Az 5.12. táblázatban láthatjuk, hogy az árnyékár szerint ha januárban a munkások által termelt mennyiségnél egy darabbal több áll rendelkezésre, akkor, a termelési terv költsége 24,18, eFt-al nő. Ennek oka, hogy az első hónapokban raktárkészlet halmozódik fel, tehát a jelentkező többlet is a raktárba kerül. Ismét hangsúlyozni kell, hogy a 24,18 eFt többletköltség a megváltozott helyzet optimális termelési tervének magasabb költsége. A megváltozott helyzet optimális termelési tervéről az érzékenységvizsgálat nem ad információt, de jelzi, hogy annak költsége mennyivel lesz magasabb. Ha januárban egy darabbal kevesebb áll rendelkezésre, akkor emiatt a

145

termelési terv költsége 24,18 eFt-al csökkenni fog. Ezek a költségváltozások természetesen csak az utolsó két oszlopban jelzett határok között érvényesek. Ismét észrevehetjük, hogy az utolsó két hónapban megváltozik az árnyékár előjele. Ekkor tehát a rendelkezésre álló plusz mennyiség költségcsökkenést jelent, míg a hiány költségnövekedéssel jár együtt.

Az esettanulmányban az árnyékár egyik érdekes felhasználása az alvállalkozók bekapcsolási lehetőségének vizsgálata. A termelési egyenletek jobboldali paraméterének (0) növekedése ugyanis annak eredménye lehet, hogy az elkészült mennyiség egy részét a saját munkások gyártják, a többit (a jobboldalon álló mennyiséget) pedig alvállalkozó szállítja. Az árnyékár azt mutatja, hogy ha egy darabot májusban alvállakozó gyárt, akkor olyan termelési terv készíthető, amely 5,98 eFt-al alacsonyabb költségű. Ha tehát az alvállakozó ennél alacsonyabb áron szállít egy darabot, akkor gazdaságos lehet az alvállakozó bekapcsolása az érvényességi tartomány által kijelölt mennyiség szállításakor. Ugyanez januárban értelmetlen lenne, mert alvállakozói szállításnál az árnyékár a termelési terv költségének emelkedését jelzi.

Ismét felhívjuk a figyelmet arra, hogy az 5.12. táblázat független árnyékárakat és érvényességi tartományokat tartalmaz, tehát mindegyik árnyékár és érvényességi tartománya csak akkor igaz, ha kizárólag a hozzá tartozó jobboldali paraméter változik meg. Több jobboldali paraméter együttes változásakor a legcélszerűbb a megváltozott adatokkal új optimális termelési terv meghatározása.

5.4. Termeléstervezés a sorozatindítás (átállás) költségének figyelembevételével

Az 5.2. és 5.3. fejezetekben részletesen ismertettük a lineáris termeléstervezési modellek eredményeinek felhasználását menedzsment döntéseknél. Gyakran a lineáris összefüggésekre épülő modellek azonban nem képesek egy döntést meghatározó minden lényeges tényezőt figyelembe venni. Az 5.2.3. fejezetben például a költségek nemlineáris függvény szerinti alakulásának problémáját tárgyaltuk meg. Most egy másik olyan esetet vizsgálunk, amely nemlineáris összefüggésekhez vezet, és a gyakorlatban sokszor előfordul. Egy többféle terméket gyártó termelőrendszernél felvetődhet a kérdés, hogy nem gazdaságosabb e az egyes termékekből egyszerre nagy mennyiséget gyártani, és a legyártott darabokat raktározni, mint sokszor elkezdeni kis sorozatok gyártását. A gyártás elindításának költsége – az átállás költsége – ugyanis igen magas lehet. A termékek váltásakor, az új sorozat elindításakor át kell állítani a termelőrendszert az új termék gyártására, ami ha hosszabb időt vesz igénybe, akkor termeléskiesést jelent, valamint az átállítás végrehajtása közvetlen kiadásokkal is jár. Ugyancsak számolni kell az új sorozat gyártásának indítása körül rendszerint jelentkező minőségi problémákkal is. Gondoljunk például egy kovácsoló berendezésre, amelynek átállítása egy másik termékre bonyolult szerszámok időigényes cseréjét, valamint próbasorozatok gyártását jelenti. Ugyanakkor, amint azt már korábban – a 4.7. fejezetben – kifejtettük, a rugalmas piaci reagálás egyik alapfeltétele a kis sorozatok gazdaságos gyártási körülményeinek megteremtése. E fejezetben ezért azt vizsgáljuk, hogy a sorozatindítás (átállás), valamint a készlettartás költsége hogyan befolyásolja a termelési tervet.

A sorozatindítás költségét figyelembe vevő termeléstervezési modell legegyszerűbb formájában a következőképpen írható fel:

146

{ }[ ]

LtIX

LtDIXI

IiXs

tt

tttt

L

ttttt

,,10,

,,1

Min

1

1

K

K

=≥==−+

+δ⋅

−

=∑

ahol st – sorozatindítás költsége a t időszakban, δ{ Xt} – bináris változó, melynek értéke 1, ha Xt>0, egyébként értéke 0. Ha tehát

a t időszakban gyártunk (Xt≠0), akkor a termék gyártására át kell állni és fizetni kell a sorozatindítás költségét. Ha a t időszakban nem gyártjuk a terméket (Xt=0), akkor sorozatindítási költség nem merül fel.

A többi paraméter és változó a korábbi modellekhez hasonlóan definiálható, tehát Dt – amenedzsment által kielégíteni tervezett igény a t időszakban, it – fajlagos készlettartási költség a t időszakban, It – készletszint nagysága a t időszak végén, Xt – termelt mennyiség a t időszakban. A készlettartási költséggel kapcsolatban a továbbiakban azt a konvenciók követjük, hogy

ha egy Dt mennyiséget a j időszakban gyártunk és a t időszakban szállítunk a vevőnek, akkor a gyártás időszakában (j) figyelembe vesszük, a szállítás időszakában (t) viszont már elhanyagoljuk a készlettartási költséget.

A felírt modellt úgy kell értelmezni, hogy abban az időszakokban, amelyben nem a modell által figyelembe vett terméket gyártjuk, az üzemben valami más készül. Ha viszont beütemezzük termékünk gyártását, akkor a másik termék gyártását be kell fejezni, és át kell állni az új termék gyártására. A termelési terv meghatározása tehát annak eldöntését jelenti, hogy mely időszakokban gyártsuk a kérdéses terméket, és melyekbe nem, továbbá ha gyártunk, akkor mekkora mennyiség készüljön el, figyelembe véve az igény alakulását.

A felírt matematikai programozási modell a kétértékű δ{ Xt} függvény miatt nemlineáris, ezért a korábbiakban bemutatott módszerekkel nem oldható meg. A következőekben ismertetésre kerülő Wagner-Whitin algoritmus [3] a termeléstervezés egyik klasszikus módszere, amelynek segítségével egyrészt a felírt egyszerű modell könnyen megoldható, másrészt a sorozatindítási költséget figyelembe vevő bonyolultabb (több termékes, kapacitáskorlátos) modellek megoldásához is kiindulásul szolgál.

5.4.1. A Wagner-Whitin optimalitási kritérium

A sorozatindítást figyelembe vevő egyszerű modell megoldásakor abból a felismerésből indulunk ki, hogy az optimális megoldására mindig igaz a következő feltétel:

01 =⋅− tt XI Ezt a feltételt nevezik első megfogalmazóik után Wagner-Whitin optimalitási kritériumnak. A továbbiakban először megvizsgáljuk, hogy milyen menedzsment elvet fogalmaz meg az optimalitási kritérium, majd bemutatjuk annak egzakt bizonyítását.

Az optimalitási kritérium azt állítja, hogy akkor lesz legkisebb a sorozatindítás és raktározás együttes költsége, ha mindig teljesül a következő két feltétel egyike:

– Ha egy vizsgált időszakban gyártunk, akkor az azt közvetlenül megelőző időszak végén nincs raktárkészlet (Xt≠0 és It–1=0).

– Ha egy vizsgált időszak végén lesz raktárkészlet, akkor a következő időszakban nem gyártunk. (It–1≠0 és Xt=0)

147

A megfogalmazott feltételek azt sugallják, hogy ha már egyszer egy vizsgált t időszakban gyártunk, és emiatt fizetjük a sorozatindítás költségét, akkor érdemes addig az időszakig (t–1) kiüríteni a raktárt. Ha nem ezt tesszük, akkor a legyártott darabokat a felmerült költségek alapján két csoportba oszthatjuk. Lennének olyan darabok, amelyeket a t időszakban gyártottunk és ezért fizetjük egyrészt a sorozatindítás költségét, valamint attól függően, hogy mikor szállítjuk a vevőnek, a t időszak utáni raktározás költségét. Ugyanakkor lennének olyan darabok is, amelyeket a t időszak előtt gyártottunk, ezért fizetjük a sorozatindítás költségét, valamint a raktározás költségét egyrészt a t időszakig, és szükség esetén a t időszak után is. Ezen utóbbi daraboknál a t időszakig történő raktározás költsége kiküszöbölhető, ha azt a mennyiséget, amely a t–1 időszak végén a raktárban marad, a korábbi gyártás helyett inkább a t időszakban gyártjuk le a t időszakra egyébként is már betervezett mennyiséggel együtt.

Az optimális megoldás szerkezete tehát mindig olyan, hogy ha egy t időszakban gyártunk, akkor a közvetlenül megelőző időszak végére a raktárkészlet kimerül. Ez egyben azt is jelenti, hogy amikor gyártunk, akkor mindig egy meghatározott számú időszak teljes igényét gyártjuk le. Olyan tehát nem fordulhat elő, hogy például az első negyedév igényét teljes egészében januárban legyártjuk, és még marad egy kevés az áprilisi igény egy részének kielégítésére is. Ha az áprilisi igény többi részét már az áprilisi termelésből fedezzük, akkor jobb januárban kevesebbet gyártani és a teljes áprilisi igényt az áprilisi gyártásból fedezni. Természetesen ez csak akkor igaz, ha az átállási és készlettartási költségek szempontjából kedvezőbb az első három hónap igényét egy sorozatban januárban legyártani, és azt gyártási, vagy raktározási kapacitáskorlát nem akadályozza. (A kapacitáskorlát melletti optimalitási kritériumra az 5.4.4. fejezetben visszatérünk.)

Felhívjuk a figyelmet, hogy a gyakorlatban rendszerint nem célszerű a raktárt egy tervezési időszak végére teljesen kiüríteni. Biztonsági készletek, vagy a menedzsment speciális készlet igényei szükségessé tehetik valamilyen készletszint állandó fenntartását. Ebben az esetben a biztonság és a menedzsment igényét hozzá kell adni a vevők igényéhez, és az effektív igénnyel kell számolni, amint azt az esettanulmány kapcsán az 5.2. fejezetben tettük. Így az optimalitási kritérium az effektív igények kielégítésekor teljesül, tehát a vevőknek kiszállított termékek után a menedzsment igényeként a raktárban ott marad a biztonsági készlet.

Az optimalitási kritérium értelmezése után most végezzük el annak bizonyítását. Tételezzük fel, hogy egy termelési tervnél van egyetlen olyan t időszak, melyre nem teljesül az optimalitási kritérium, tehát

0**1 >⋅− tt XI

A csillag felsőindex az optimalitási kritériumnak nem megfelelő termelési terv változóit különbözteti meg. Módosítsuk ezt a tervet úgy, hogy megfeleljen az optimalitási kritériumnak. Miután a t időszakban gyártunk, ki kell küszöbölni a raktárkészletet a t–1 időszak végéről. Feltételezzük, hogy a t–1 időszak végén a raktárban lévő mennyiséget a j időszakban gyártjuk. Gyártsunk tehát a j időszakban I*

t–1 mennyiséggel kevesebbet, így nem marad készlet a t–1 időszak végén. Természetesen az igény kielégítése érdekében ezt a mennyiséget pótolni kell, ezért gyártsuk le azt a t időszakba tervezett Xt

* mennyiséggel együtt. Az így módosított termelési tervnél most már a t időszakra is teljesül az optimalitási kritérium. Azt kell bebizonyítani, hogy a módosított termelési terv költsége alacsonyabb a csillaggal jelölt – az optimalitási kritériumnak csak a t időszakban nem megfelelő – termelési terv költségénél.

A módosított termelési terv gyártandó mennyiségei csak két időszakban változnak meg. A j időszakban I*

t–1 mennyiséggel kevesebbet, míg a t időszakban I*t–1 mennyiséggel többet

gyártunk, tehát a módosított értékek a következők:

148

*1

*mod

*1

*mod

−

−

+=−=

ttt

tjj

IXX

IXX

A „mod” felsőindex a módosított, az optimalitási kritériumnak most már megfelelő termelési terv változóit különbözteti meg. Az eredeti és a módosított termelési terv gyártandó mennyiségei csak a j és t időszakokban különböznek, ezért elegendő az ezek miatti átállási és raktározási költségváltozásokat összehasonlítani. A csillaggal jelölt tervnél a j időszakban gyártott mennyiség fedezi a t–1 időszak végéig terjedő összes igényt. A raktárkészlet ezért fokozatosan lecsökken a t–1 időszak végén a raktárban maradó I*

t–1 mennyiségre. A csillaggal jelölt termelési terv j és t időszakra vonatkozó költsége a következőképpen írható fel:

{ } **11

*1

1

1

2** , kts. Rész tttttt

t

vww

t

jvvj IisIiIDisIX ⋅++⋅+

+⋅+= −−−

−

+=

−

=∑∑

A csillaggal jelölt termelési terv felírt részköltsége a következő elemeket tartalmazza: – sorozatindítás költsége a j időszakban, – készlettartás költsége a j és t–2 időszakok között, – készlettartás költsége a t–1 időszakban, – sorozatindítás költségét a t időszakban, valamint – készlettartás költsége a t időszakban. A módosított tervnél a j időszakban gyártott mennyiség szintén fedezi a t–1 időszak

végéig terjedő összes igényt. A raktárkészlet azonban fokozatosan a t–1 időszak végéig zéró szintre csökken. A módosított termelési terv j és t időszakra vonatkozó költsége a következőképpen írható fel:

{ } *1

1

2modmod, kts. Rész ttt

t

vww

t

jvvj IisDisIX ⋅++⋅+= ∑∑

−

+=

−

=

A csillaggal jelölt termelési terv felírt részköltsége a következő elemeket tartalmazza: – sorozatindítás költsége a j időszakban, – készlettartás költsége a j és t–2 időszakok között, – sorozatindítás költségét a t időszakban, valamint – készlettartás költsége a t időszakban. Miután a két termelési terv csak a j és t időszakok termelt mennyiségében különbözik,

ezért a két felírt részköltség különbsége az optimalitási kritériumot a t időszakban nem teljesítő, valamint az optimalitási kritériumot minden időszakban teljesítő termelési tervek költségének a különbsége, amely a következőképpen írható fel:

{ } { } ∑∑−

=−−−−

−

=

⋅=⋅+⋅=−=∆1

*1

*11

*1

2modmod** , kts. Rész, kts. Rész

t

jvvtttt

t

jvv iIIiIiIXIX

Az eredményből látható, hogy az optimalitási kritériumot a t időszakban nem teljesítő csillaggal jelölt terv költsége mindig nagyobb, vagy egyenlő a módosított, az optimalitási kritériumnak megfelelő terv költségénél. Az eredményt adó szorzat második tagja ugyanis a j időszaktól t–1 időszakig bezárólag terjedő intervallum fajlagos készlettartási költségeinek az összege, ami mindig egy pozitív szám. A csillaggal jelölt termelési terv költsége tehát csak akkor lehet kisebb a módosított terv költségénél, ha I*

t–1=0, ami viszont éppen a módosított tervre igaz. Tehát az optimalitási kritériumnak nem megfelelő terv költségénél mindig alacsonyabb az optimalitási kritériumnak megfelelő terv költsége. Ezzel az optimalitási kritérium költségminimalizáló tulajdonságát bebizonyítottuk.

A csillaggal jelölt terv csak a t időszakban nem teljesítette az optimalitási kritériumot. Ha az optimalitási kritérium több időszakban nem teljesül, akkor az előbb bemutatott eljáráshoz

149

hasonlóan fokozatosan javítható a terv, amíg minden időszakban el nem érjük annak teljesülését.

Az optimalitási kritérium szerint tehát az optimális megoldást olyan megoldások között kell keresni, amelyekben a gyártott mennyiségek egy meghatározott számú időszak igényével pontosan megegyeznek. Például három időszakot tartalmazó problémánál három olyan eset lehetséges, amely megfelel az optimalitási kritériumnak:

– Legyárthatjuk mind a három időszak igényét az első időszakban. – Legyárthatjuk az első időszak igényét az első időszakban, a második és harmadik

időszak igényét pedig a második időszakban. – Legyárthatjuk az első két időszak igényét az első időszakban, a harmadik időszak

igényét pedig a harmadikban. A három lehetséges termelési terv közül a legkisebb költségű az optimális. Könnyen

belátható, hogy L időszakot tartalmazó feladatnál az optimális tervet 2L–1 darab, az optimalitási kritériumnak megfelelő megoldásból kell kiválasztani. Sok időszak esetén (nagy L) ez igen sok számítás elvégzését jelentené, de a dinamikus programozás segítségével a számításigény nagymértékben csökkenthető [5].

5.4.2. Dinamikus programozás alkalmazása a sorozatindítás (átállás) költségét figyelembe vevő optimális termelési terv meghatározásánál

A sorozatindítás költségét is figyelembe vevő optimális termelési terv a Wagner-Whitin optimalitási kritérium és a dinamikus programozás felhasználásával határozható meg. A számítás elve az 5.10. ábra segítségével érthető meg. Egy t számú időszakra vonatkozó optimális termelési tervnél azt az időszakot, amelyben utoljára gyártunk, jelöljük j-vel. Ebben az esetben akkora mennyiséget gyártunk a j időszakban, amely fedezi a hátralévő időszakok igényét. A j időszak végére kialakuló raktárkészlet tehát a következőképpen számolható:

∑+=

++ =+++=t

jwwtjjj DDDDI

121 K

Az I j raktárkészlet a hátralévő időszakokban az igény alakulásának függvényében csökken és a t időszak végére a raktár kiürül. A j időszakot követően gyártás már nem lesz, a készlettartási költség pedig erre az időtartamra a következőképpen számolható:

( ) ( ) ( ) ∑∑+=

−

=−++++ ⋅=++++⋅++++⋅=

t

vww

t

jvvtttjjtjjj DiDiDDiDDDitjk

1

1

12121, KKK

ahol k(j,t) a j időszakban gyártott mennyiség készlettartási költségét jelöli a hátralévő időszakokban, ha a tervezési időszakok száma t.

5.10. Ábra: A Wagner-Whitin algoritmus jelölései

Ha az optimális tervnél a j időszakban gyártunk utoljára, akkor a megelőző j–1 időszak

termelési tervének is optimálisnak kell lennie. Ha az a termelési terv, amely a j időszak előtti időtartamra vonatkozik nem optimális, akkor az optimális termelési terv szerint nem a j időszakban kell utoljára gyártani. Jelölje az első j–1 időszak optimális termelési tervének

j-1 j t

K(j-1) k(j,t)

150

költségét K(j–1). Az optimális termelési terv összes költsége – ha t időszakra tervezünk, és a j időszakban gyártunk utoljára – a következőképpen írható fel:

( ) ( )tjksjK j ,1 ++−

Az optimális megoldást úgy kapjuk meg, hogy fokozatosan növeljük a tervezési időszakok számát egytől t-ig, és az így kapott mindegyik részfeladatnál kiszámoljuk, hogy mekkora lenne a termelési terv költsége, ha az első, második stb. időszakban gyártanánk utoljára. Összesen tehát t darab termeléstervezési részfeladatot kell megoldani. Amikor egy több időszakból álló részfeladatot oldunk meg, akkor felhasználjuk a kevesebb időszakból álló részfeladatokra kapott optimális termelési terv eredményét. Ha például három időszakra határozzuk meg a termelési tervet, akkor gyárthatunk utoljára az első, második és harmadik időszakban. Ha a harmadik időszakban gyártunk utoljára, akkor a termelési terv költsége a két időszakra kapott optimális termelési terv költségének, – amit már kiszámoltunk – valamint a harmadik időszak sorozatindítási költségének összege. A számítás algoritmusa általánosan a következőképpen írható fel:

( ) ( ) ( ) ( ){ }tjksjKDisjKtK jtj

t

vww

t

jvvj

tjLt,1Min1Min

11

1

11++−=

⋅++−=

≤≤+=

−

=≤≤≤≤

∑∑

Az algoritmus szerint tehát fokozatosan egyre több időszakot tartalmazó termeléstervezési részfeladatot oldunk meg. Az első részfeladat egyetlen időszakból (t=1) az utolsó részfeladat – ami a ténylegesen megoldandó feladat – L időszakból áll (t=L). Minden részfeladatnál megvizsgáljuk, hogy melyik időszakban a legkedvezőbb utoljára gyártani (1≤j≤t), és a legkedvezőbb eset költségét (K(t)) megjegyezzük, mert később felhasználjuk a több időszakot tartalmazó részfeladatok vizsgálatánál. A számítás menetét leíró algoritmus megegyezik a Belmann féle dinamikus programozási egyenlettel, amely a menedzsment egyéb területein is széles körben alkalmazható [5].

A számítás menetét az 5.11. ábrán látható feladat segítségével szemléltetjük. Négy hónapra szeretnénk meghatározni a havonta gyártandó mennyiséget úgy, hogy minden igényt ki kell elégíteni.

Az igény nagysága négy hónapban rendre 100, 140, 120 és 200 darab. Ha valamelyik hónapban gyártunk, akkor a termelőrendszert át kell állítani a vizsgált termék gyártására, és az egyszeri átállítás költsége 150 eFt. Egyetlen termék egy hónapi tárolásának költsége 250 Ft. Az a kérdés, hogy melyik hónapban mennyit gyártsunk. Legyárthatjuk például az első hónapban az összes 560 darabot. Ekkor csak egyszer lesz sorozatindítási költség, viszont fizetni kell a magas készlettartási költséget. Ugyanakkor gyárthatnánk mindig éppen annyit, amennyi az adott hónapban szükséges. Ekkor nem lesz készlettartási költség, viszont négyszer lesz sorozatindítási költség.

Az optimális megoldás számításait ugyancsak az 5.11. ábra tartalmazza. A számítás lépései a következők:

– Először megoldunk egy olyan részfeladatot, amely csak az első hónapra vonatkozik (t=1). Ebben az esetben a megoldás triviális, le kell gyártani az első hónap igényét. A felmerülő egyetlen költség a sorozatindítás költsége. Raktározási költség nincsen, mert amit elkészítünk az rögtön a vevőhöz kerül. Az egy hónapból álló részfeladat „optimális” termelési tervének költsége tehát K(1)=150 eFt

– Ezt követően megoldunk egy olyan részfeladatot, amely az első két hónapra vonatkozik (t=2). Ebben az esetben gyárthatunk utoljára az első hónapban (j=1), valamint a második hónapban (j=2). Ha az első hónapban gyártunk utoljára (j=1), akkor a termelési terv költsége az első havi átállás, valamint a második havi igénynek megfelelő mennyiség egy hónapi tárolási költségének összege. Ez az ábra tanúsága szerint 185 eFt. Ha a második hónapban

151

gyártunk utoljára (j=2), akkor a termelési terv költsége a második havi átállás, valamint az első hónapra vonatkozó optimális terv költségének összege, ami az ábra alapján 300 eFt. A két lehetőség közül az első az olcsóbb, tehát ha csak az első két hónapból álló termelési terv meghatározása a feladat, akkor az optimális megoldás szerit mindent az első hónapba kell legyártani és az optimális termelési terv költsége K(2)=185 eFt.

Hónap Igény (db/hó)

Dt

Sorozatindítás költsége

(eFt) st

Fajlagos készlet-tartási költség (Ft/darab/hó)

i t 1 100 150 250 2 140 150 250 3 120 150 250 4 200 150 250

5.11. Ábra: Optimális termelési terv meghatározása a Wagner-Within algoritmussal . – Ezt követően megoldunk egy olyan részfeladatot, amely az első három hónapra

vonatkozik (t=3). Ebben az esetben gyárthatunk utoljára az első hónapban (j=1), a második hónapban (j=2), valamint a harmadik hónapban (j=3). Ha az első hónapban gyártunk utoljára (j=1), akkor a termelési terv költsége az első havi átálláskor, valamint a következő két hónap előre legyártott igényének tárolásakor felmerülő költségek összege, ami az ábra tanúsága szerint 245 eFt. Ha a második hónapban gyártunk utoljára (j=2), akkor a termelési terv költsége a második havi átállás költségéből, az utolsó hónap előre legyártott mennyiségének tárolási költségéből, valamint az első hónapra vonatkozó optimális terv költségéből tevődik össze, ami az ábra alapján 330 eFt. Ha a harmadik hónapban gyártunk utoljára (j=3), akkor a termelési terv költsége a harmadik havi átállás, valamint az első két hónapra vonatkozó optimális terv költsége, ami az ábra alapján összesen 335 eFt. A három lehetőség közül ismét az első a legolcsóbb, tehát ha csak az első három hónapból álló termelési terv meghatározása a feladat, akkor az optimális megoldás szerit mindent az első hónapba kellene legyártani és az optimális termelési terv költsége K(3)=245 eFt.

– Ezt követően megoldunk egy olyan részfeladatot, amely az első négy hónapra vonatkozik (t=4). Ebben az esetben gyárthatunk utoljára az első hónapban (j=1), a második hónapban (j=2), a harmadik hónapban (j=3), valamint a negyedik hónapban (j=4). A

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

eFt 395150245)3()4(4

20025,0150185)2()4(3eFt 43020025,020012025,0150150

)1()4(2eFt 39520025,020012025,020012014025,0150

)4(14eFt 335150185)2()3(3

eFt 33012025,0150150)1()3(2

12025,012014025,0150)3(13

eFt 300150150)1()2(2

14025,0150)2(12

)1(11

4

433

434322

4343243211

3

322

323211

2

211

1

=+=+===⋅++=⋅++==

=⋅++⋅++==⋅++⋅++==

=⋅++⋅+++⋅+==⋅++⋅+++⋅+===

=+=+===⋅++=⋅++==

=⋅++⋅+=⋅++⋅+====+=+==

=⋅+=⋅+=======

sKKj

DisKKj

DiDDisKKj

DiDDiDDDisKjtsKKj

DisKKj

DiDDisKjt

sKKj

DisKjt

sKjt

eFt 385

eFt 245

eFt 185

eFt 150

152

számításokat a négy esetre részletesen az 5.11. ábra mutatja. Láthatjuk, hogy a négy hónapra vonatkozó feladatnál mind a három korábbi részfeladat (t=1,2,3) optimális megoldását felhasználjuk. Eredményként pedig azt kapjuk, hogy a harmadik hónapban a legjobb utoljára gyártani, és ekkor az optimális termelési terv költsége K(4)=385 eFt.

A négy hónapra vonatkozó részletes termelési tervet visszafelé a nagyobb részfeladattól az egyre kisebb részfeladatok felé haladva határozhatjuk meg. Az optimális termelési terv szerint tehát a harmadik hónapban kell utoljára gyártani. A harmadik hónapot megelőző hónapokra vonatkozó (t=2) optimális termelési terv szerint viszont az első hónapban kell utoljára gyártani. Így tehát gyártani kell az első és a harmadik hónapban, és mindig annyit, hogy a gyártás előtti hónap végére a raktárkészlet lecsökkenjen zéróra (It-1·Xt=0). Az optimális termelési terv tehát a következőképpen foglalható össze:

.0db; 200;0db; 140

;0db; 320200120;0db; 240140100

4321

4321

======+===+=

IIII

XXXX

Nagyobb méretű, több időszakot tartalmazó feladatnál a számítás hasonlóan ismételhető. Egy L számú időszakra vonatkozó termelési tervnél valamennyi részfeladat (t=1,…,L) optimális megoldását meg kell határozni, majd ezt követően az optimális megoldás a legtöbb időszakot tartalmazó feladattól az egyre kisebb részfeladatok felé haladva meghatározható. Az elvégzendő számítási műveletek számának meghatározásakor azt kell figyelembe venni, hogy minden részfeladatnál minden a részfeladatba tartozó hónap lehet az utolsó termelés időszaka. Tehát a t időszakot tartalmazó részfeladatnál j=1,2, …, t értékekre kell elvégezni a költségszámítást, t értéke viszont 1,2, …, L lehet. A számítási műveletek összes száma tehát 1+2+…+L=L·(L+1)/2. Ha minden olyan lehetséges terv költségét meghatároznánk, amelyre teljesül az optimalitási kritérium, akkor 2L–1 számítást kellene elvégezni. A dinamikus programozás felhasználásával tehát a számítási műveletek száma sok időszakot tartalmazó feladatnál lényegesen lecsökken.

Az elvégzendő műveletek számára kapott L·(L+1)/2 érték egy felső korlát, amely csak a legkedvezőtlenebb esetben fordul elő. Bebizonyítható ugyanis, hogy ha egy t időszakot tartalmazó részfeladatnál az optimális tervben utoljára a j időszakban gyártunk, akkor a t-nél több időszakot tartalmazó részfeladatoknál az utolsó gyártás időszaka nem lehet j-nél hamarabb [5]. Az 5.11. ábra feladatában a négy hónapot tartalmazó feladatnál (t=4) az utolsó gyártás időpontja a harmadik hónap (j=3). Ha lenne egy ötödik hónap is, akkor az öt hónapot tartalmazó feladatnál (t=5) az utolsó gyártás időpontja nem lehet a harmadik hónap előtt, tehát csak a j=3,4 és 5 értékekhez tartozó költségeket kell kiszámolni. A számítási műveletek száma tehát L·(L+1)/2 értéknél kevesebb is lehet, de hogy mennyivel, az a feladat adataitól függ, és előre nem határozható meg.

Az 5.11. ábra feladatának optimális megoldása szerint tehát az a leggazdaságosabb, ha az első és a harmadik hónapban legyártjuk a következő hónap igényének megfelelő mennyiséget is és azt raktározzuk. A készletgazdálkodással foglalkozó fejezet 4.7. pontjában részletesen kifejtettük, hogy minél kisebb a gazdaságos gyártási sorozatnagyság, annál rugalmasabban tud egy szállító a piaci igényekre reagálni. A gazdaságos gyártási sorozatnagyságot viszont döntően az átállási költség határozza meg. Vizsgáljuk meg, hogy példánkban milyen átállási költségnél lenne kisebb sorozatok gyártása gazdaságos. Például az átállási költség milyen értékénél lenne gazdaságos, hogy minden hónap csak annyit gyártsunk, amennyi az adott hónapban éppen jelentkező igény. Ebben az esetben minden részfeladat megoldásaként azt kell kapnunk, hogy a legutolsó hónapban a leggazdaságosabb a gyártás.

153

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

4s

3s

2s

=+==+=⋅+=⋅++==+=⋅++⋅+=

=⋅++⋅++==+=⋅++⋅+++⋅+=

=⋅++⋅+++⋅+====+==

+=⋅++==+=⋅++⋅+=⋅++⋅+===

=+==+=⋅+=⋅+===

===

sKKj

ssDisKKjss

DiDDisKKjss

DiDDiDDDisKjtsKKj

sDisKKj

ssDiDDisKjt

sKKj

ssDisKjt

sKjt

)3()4(4

50320025,03)2()4(3130220025,020012025,02

)1()4(224520025,020012025,020012014025,0

)4(14)2()3(3

302)1()3(2

9512025,012014025,0)3(13

)1()2(2

3514025,0)2(12

)1(11

43

43432

434324321

32

32321

21

5.12. Ábra: Az átállási költség számítása

Az 5.12. ábra az optimális megoldás meghatározásához szükséges lépéseket tartalmazza

úgy, hogy az átállási költség paraméteresen az s változóval jelölve szerepel. Miután az átállási költség minden időszakban azonos, az s változó indexe elhagyható. Ebben az esetben minden részfeladat optimális megoldásaként azt kell kapni eredményül, hogy az utolsó hónapban gyártunk utoljára. Az erre vonatkozó feltételek az 5.12. ábra alapján a következőképpen írhatók fel:

5050343

3030232

353521

≤⇒+≤=≤⇒+≤=≤⇒+≤=

ssst

ssst

ssst

A számításnál figyelembe vettük, hogy ha egy részfeladatnál a j időszakban optimális utoljára gyártani, akkor egy nagyobb részfeladatban biztos, hogy az utolsó gyártás nem lehet j-nél korábban. Így csak három egyenlőtlenség vizsgálatára van szükség. A kapott eredményből látható, hogy ha az átállási költséget 30 eFt alá sikerül csökkenteni, akkor gazdaságos a készlet nélküli gyártás, tehát minden hónap igényének azonnali legyártása (just-in-time) az adott hónapban.

5.4.3. A Wagner-Within optimalitási kritérium a gyártási költség figyelembevételével

A sorozatindítás költségét is figyelembe vevő előzőekben bemutatott termeléstervezési modell egyik hiányossága, hogy nem tartalmazta a gyártási költséget. Abban az esetben, ha minden időszakban ugyanakkora a fajlagos gyártási költség, akkor annak elhanyagolása indokolt. Ilyenkor ugyanis mindegy, hogy a gyártandó mennyiség hogyan oszlik meg a termelési időszakok között, az összes gyártási költség ugyanannyi. Ha azonban időszakonként különböző a fajlagos gyártási költség, akkor a termeléstervezési modellnek számolnia kell azzal, hogy bizonyos időszakokban kedvezőbb, máskor viszont kedvezőtlenebb feltételek mellett folyik a termelés. A gyártási költséget is figyelembe vevő termeléstervezési modell a korábban már ismertetett jelölésekkel a következőképpen írható fel:

154

{ }[ ]

LtIX

LtDIXI

IiXxXs

tt

tttt

L

ttttttt

,,10,

,,1

Min

1

1

K

K

=≥==−+

++δ⋅

−

=∑

ahol xt jelöli a t időszak fajlagos gyártási költségét. Bebizonyítható, hogy a termelési költséggel kibővített esetben is érvényes a Wagne-Within optimalitási kritérium, tehát az optimális megoldásra ebben az esetben is teljesülnie kell a következő feltételnek:

01 =⋅− tt XI A termelési költséggel kibővített esetre elvégezve az optimalitási kritérium bizonyítását

megkapjuk azt az összefüggést, amely megmutatja a fajlagos termelési költség termelési tervet befolyásoló hatását. A bizonyítás az 5.4.1. fejezetben ismertetett módon történik. Tételezzük fel tehát ismét, hogy egy termelési tervnél van egyetlen olyan t időszak, melyre nem teljesül az optimalitási kritérium, tehát

0**1 >⋅− tt XI

A csillag felsőindex az optimalitási kritériumnak nem megfelelő termelési terv változóit különbözteti meg. Módosítsuk ezt a tervet úgy, hogy megfeleljen az optimalitási kritériumnak. Miután a t időszakban gyártás folyik (X*

t>0), ezért az optimalitási kritérium teljesülése érdekében kiküszöböljük a raktárkészletet a t–1 időszak végéről. Feltételezzük, hogy a t–1 időszak végén a raktárban lévő mennyiséget a j időszakban gyártjuk. Gyártsunk tehát a j időszakban I*

t–1 mennyiséggel kevesebbet, így nem marad készlet a t–1 időszak végén. Természetesen az igény kielégítése érdekében ezt a mennyiséget pótolni kell, ezért gyártsuk le azt a t időszakba tervezett Xt

* mennyiséggel együtt. Az így módosított termelési tervnél most már a t időszakra is teljesül az optimalitási kritérium. Azt kell bebizonyítani, hogy a módosított termelési terv költsége alacsonyabb a csillaggal jelölt – az optimalitási kritériumnak csak a t időszakban nem megfelelő – termelési terv költségénél.

A módosított termelési terv gyártandó mennyiségei csak két időszakban változnak meg. A j időszakban I*

t–1 mennyiséggel kevesebbet, míg a t időszakban I*t–1 mennyiséggel többet

gyártunk, tehát a módosított értékek a következők:

*1

*mod

*1

*mod

−

−

+=−=

ttt

tjj

IXX

IXX

A „mod” felsőindex a módosított, az optimalitási kritériumnak most már megfelelő termelési terv változóit különbözteti meg. Az eredeti és a módosított termelési terv gyártandó mennyiségei csak a j és t időszakokban különböznek, ezért elegendő az ezek miatti átállási, gyártási és raktározási költségváltozásokat összehasonlítani. A csillaggal jelölt tervben a j időszakban gyártott mennyiség fedezi a t–1 időszak végéig jelentkező összes igényt. A raktárkészlet tehát fokozatosan lecsökken a t–1 időszak végén a raktárban maradó I*

t–1 mennyiségre. A csillaggal jelölt termelési terv j és t időszakra vonatkozó költsége a következőképpen írható fel:

{ } ***11

*1

1

1

2*** , kts. Rész tttttttt

t

vww

t

jvvjjj IiXxsIiIDiXxsIX ⋅+++⋅+

+⋅++= −−−

−

+=

−

=∑∑

A csillaggal jelölt termelési terv felírt részköltsége a következő elemeket tartalmazza: – sorozatindítás költsége a j időszakban, – gyártási költség a j időszakban, – készlettartás költsége a j és t–2 időszakok között, – készlettartás költsége a t–1 időszakban, – sorozatindítás költségét a t időszakban,

155

– gyártási költség a t időszakban, – készlettartás költsége a t időszakban. A módosított tervnél a j időszakban gyártott mennyiség szintén fedezi a t–1 időszak

végéig terjedő összes igényt. A raktárkészlet azonban fokozatosan a t–1 időszak végéig zéró szintre csökken. A módosított termelési terv j és t időszakra vonatkozó költsége a következőképpen írható fel:

{ } ( ) ( ) **1

*1

1

2*

1*modmod, kts. Rész tttttt

t

vww

t

jvvtjjj IiIXxsDiIXxsIX ⋅++⋅++⋅+−⋅+= −

−

+=

−

=− ∑∑

A csillaggal jelölt termelési terv felírt részköltsége a következő elemeket tartalmazza: – sorozatindítás költsége a j időszakban, – gyártási költség a j időszakban, – készlettartás költsége a j és t–2 időszakok között, – sorozatindítás költségét a t időszakban, – gyártási költség a t időszakban, – készlettartás költsége a t időszakban. Miután a két termelési terv csak a j és t időszakok termelt mennyiségében különbözik,

ezért a két felírt részköltség különbsége az optimalitási kritériumot a t időszakban nem teljesítő, valamint az optimalitási kritériumot minden időszakban teljesítő termelési tervek költségének a különbsége, amely a következőképpen írható fel:

{ } { }

−

+⋅=

=−⋅+⋅+=−=∆

∑

∑

−

=−

−−−−

−

=−

t

t

jvvjt

ttttt

t

jvvtj

xixI

IxIiIiIxIXIX

1*

1

*1

*11

*1

2*

1modmod** , kts. Rész, kts. Rész

A két termelési terv költségének különbségére kapott összefüggés szögletes zárójelben lévő része jól mutatja a fajlagos termelési költség hatását a termelési tervre. A gömbölyű zárójelben lévő rész egyetlen termék j időszakbeli gyártásának és a j időszaktól a t–1 időszakig bezárólag terjedő raktározásának együttes költsége. A szögletes zárójelben lévő kifejezés pedig a j időszakbeli gyártás és utána raktározás, valamint a t időszakbeli gyártás költségének különbsége. E kifejezés előjelétől függően két eset lehetséges:

– Ha a szögletes zárójelben lévő kifejezés pozitív, akkor drágább egyetlen terméknek a j időszakbeli gyártása és utána a t–1 időszakig bezárólag terjedő raktározása, mint a t időszakbeli gyártása. Ebben az esetben tehát kedvezőbb, ha az I*

t–1 mennyiséget nem a j időszakban gyártjuk le és utána raktározzuk, hanem a t időszakban készítjük el. Ez éppen a módosított terv, és akkor úgy teljesül az optimalitási kritérium, hogy It–1=0 és Xt≠0 .

– Ha a szögletes zárójelben lévő kifejezés negatív, akkor olcsóbb egyetlen terméknek a j időszakbeli gyártása és utána a t–1 időszakig bezárólag terjedő raktározása, mint a t időszakbeli gyártása. Ebben az esetben tehát kedvezőbb, ha az X*

t mennyiséget is a j időszakban gyártjuk le és aztán a t–1 időszakig bezárólag raktározzuk. Ebben az esetben nem a levezetésben javasolt módosítás a kedvező. Tehát nem az I*

t–1 raktárkészletet kell kiküszöbölni, hanem az X*

t mennyiséget kell korábban (a j időszakban) legyártani. Ekkor az optimalitási kritérium úgy teljesül, hogy Xt=0 és I t–1≠0.

A legjobb megoldást tehát ilyenkor is úgy kapjuk meg, hogy meghatározott számú időszak igényét teljes egészében pontosan legyártjuk. Ezzel az optimalitási kritériumot a gyártási költséget figyelembe vevő esetre bebizonyítottuk.

A kapott összefüggésből az is látható, hogy ha a fajlagos gyártási költség minden időszakban azonos, tehát xj=xt, akkor kiesik az összefüggésből. Ez azt jelenti, hogy ebben az

156

esetben nem szükséges a gyártási költséget figyelembe venni, mert az optimális megoldás alakulását nem befolyásolja.

Az optimális megoldást a termelési költség nélküli esethez hasonlóan kaphatjuk meg, azzal a különbséggel, hogy a számításnál figyelembe kell venni a j időszakbeli utolsó gyártás költségét is. Ha t számú időszak termelési tervét kell meghatározni és feltételezzük, hogy a j időszakban gyártunk utoljára, akkor a j időszakban el kell készíteni a j-től t-ig terjedő időszakok igényének megfelelő mennyiséget, melynek gyártási költsége a következőképpen számolható:

( ) ∑=

+ ⋅=+++⋅t

jwwjtjjj DxDDDx K1

Az optimális megoldás meghatározásának algoritmusa pedig általánosan a következőképpen írható fel:

( ) ( )

( ) ( )

+⋅++−=

=

⋅+⋅++−=

∑

∑∑∑

=≤≤

+=

−

==≤≤≤≤

tjkDxsjK

DiDxsjKtK

t

jwwjj

tj

t

vww

t

jvv

t

jwwjj

tjLt

,1Min

1Min

1

1

1

11

Az optimális megoldás meghatározását egy egyszerű példán az 5.13. ábra szemlélteti.

Észrevehetjük, hogy a feladat hasonló a termelési költség nélküli esetben már megoldott feladathoz (lásd 5.11. ábra), de azt kiegészítettük a négy hónap eltérő fajlagos gyártási költségével. A megoldás is csak annyiban különbözik, hogy minden számítási lépésnél figyelembe vettük a j hónapban legyártott mennyiség gyártási költségét. Például ha t=3 és j=2, akkor a második hónapban le kell gyártani a második és harmadik hónap igényét is, amelynek költsége 0,5·(140+120)=130 eFt. A négy hónapból álló részfeladatnál (t=4) az első hónapi utolsó gyártás (j=1) esetét nem vizsgáljuk. Amint azt az előző pontban is említettük, ha egy t időszakot tartalmazó részfeladat utolsó gyártásának időszaka j, akkor a t-nél több időszakot tartalmazó részfeladatoknál biztosan nem lehet az utolsó gyártás ideje a j időszaknál korábban. Így esetünkben a négy hónapot tartalmazó termelési tervnél az utolsó gyártás ideje nem lehet az első hónap, mert a három hónapot tartalmazó részfeladat utolsó gyártásának ideje a második hónap.

A gyártási költségeket figyelembe vevő optimális terv szerint utoljára a második hónapban kell gyártani. Így tehát legyártjuk az utolsó három hónap igényét a második hónapban, az első hónapban pedig az első hónap igényét készítjük el. A feladat optimális megoldása a következőképpen foglalható össze:

.0db; 200;db 320200120;0

;0;0db; 460200120140db; 100

4321

4321

===+=====++==

IIII

XXXX

5.4.4. A Wagner-Within optimalitási kritérium er őforráskorlát figyelembevételével

A sorozatindítás költségét figyelembe vevő modelleknél eddig úgy tekintettük, hogy elegendő gyártási és/vagy raktározási kapacitás áll rendelkezésre minden időszakban. Ha gazdaságos volt összevonni és előre legyártani több időszak igényét, akkor azt megtehettük. Az 5.13. ábra feladatában például az optimális megoldás szerint a második hónapban kell legyártani a következő két hónap igényét is. Ha a termelésben felhasznált erőforrásokból korlátozott mennyiség áll rendelkezésre, akkor nem mindig tudjuk a leggazdaságosabb mennyiséget

157

legyártani. A következő modell egy olyan esetet mutat, ahol a célfüggvényhez hasonlóan a kapacitáskorlát sem lineáris:

{ }[ ]

{ }LtIX

LtGXgXb

LtDIXI

IiXxXs

tt

ttttt

tttt

L

tttjjtt

,,10,

,,1

,,1

Min

1

1

K

K

K

=≥=≤+δ⋅==−+

++δ⋅

−

=∑

A felírt kapacitáskorlát azt feltételezi, hogy minden darab termék a t időszakban gt

mennyiségű erőforrást köt le a rendelkezésre álló Gt mennyiségből. Továbbá azt is feltételezzük, hogy a gyártási sorozat elindításakor – az átállás ideje alatt – ugyancsak lefoglaljuk a kapacitást bt ideig. Erre a kapacitásra csak akkor van szükség, ha a t időszakban lesz gyártás, tehát Xt>0, azaz δ{ Xt}=1.

Hónap Igény (db/hó)

Dt

Sorozat indítás költsége

(eFt) st

Fajlagos gyártási költség (Ft/db)

xt

Fajlagos készlet-tartási költség (Ft/darb/hó)

i t 1 100 150 900 250 2 140 150 500 250 3 120 150 600 250 4 200 150 500 250

5.13. Ábra: Optimális termelési terv meghatározása a gyártási költség figyelembevételével

Hasonlóan fogalmazhatók meg több terméket több erőforráson gyártó rendszer átállási

időt figyelembe vevő erőforráskorlátai is [22]. Ezek részletes vizsgálatától itt eltekintünk. A

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

eFt 8002005,0150245)3()4(4eFt 79320025,02001205,0150185

)2()4(320025,020012025,02001201409,0150150

)1()4(2minimum!a lehet nem biztosanmert ,kiszámolni kell Nem14

eFt 6231206,0150185

)2()3(312025,01201405,0150150

)1()3(2eFt 56912025,012014025,01201401009,0150

)3(13eFt 4601405,0150150)1()2(2

14025,01401009,0150)2(12

1009,0150)1(11

444

434333

4343243222

333

323222

3232132111

222

212111

111

=⋅++=⋅++===⋅++⋅++=

=⋅++⋅++===⋅++⋅+++⋅++=

=⋅++⋅+++⋅++====

=⋅++==⋅++==

=⋅++⋅++==⋅++⋅++==

=⋅++⋅+++⋅+==⋅++⋅+++⋅+===

=⋅++=⋅++===⋅++⋅+=⋅++⋅+===

=⋅+=⋅+===

DxsKKj

DiDDxsKKj

DiDDiDDDxsKKjjt

DxsKKj

DiDDxsKKj

DiDDiDDDxsKjtDxsKKj

DiDDxsKjt

DxsKjt

eFt 750

eFt 550

eFt 401

eFt 240

158

Wagner-Whitin optimalitási kritérium erőforráskorlát esetén módosul, és a következőképpen írható fel:

{ }[ ] 01 =+δ⋅−⋅⋅− ttttttt XgXbGXI A bizonyítást mellőzve, a módosult optimalitási kritériumnak csak a menedzsment

vonatkozásait vizsgáljuk meg. Az optimalitási kritérium három tényező szorzatának eredményeként várja el a zéró értéket. Az első két tényező az erőforráskorlát nélküli esetből már ismert. A harmadik – a szögletes zárójelben lévő – tényező pedig a t időszakban fel nem használt erőforrás mennyiségét jelenti. Ha ennek értéke zéró, akkor a t időszakban minden erőforrást felhasználunk. Ha viszont nem használunk fel minden erőforrást a t időszakban, akkor a harmadik tényező értéke egy pozitív szám. Ezt figyelembe véve az optimalitási kritérium a következőképpen értelmezhető:

– Ha egy vizsgált t időszakban nem használunk fel minden rendelkezésre álló erőforrást, akkor a harmadik tényező értéke egy pozitív szám, így teljesülnie kell a korábbról már ismert It–1·Xt=0 feltételnek.

– Ha egy vizsgált t időszakban felhasználunk minden erőforrást, akkor az optimális termelési terv szerint annak ellenére, hogy a t időszakban gyártunk (Xt≠0), lehet a t–1 időszak végén raktárkészlet (It≠0).

Az optimalitási kritériumnak megfelelő megoldások keresése erőforráskorlát esetén igen bonyolult. Ezek részletes ismertetésétől itt eltekintünk. Az alapmodellekről jó áttekintést nyújt Johnson és Montgomery [22], valamint Graves, Rinnoy Kan, és Zipkin [19].

5.4. Összefoglalás

A termelési folyamatok komplex természete olyan modellezési eszközt igényel, amely képes figyelembe venni a folyamatban résztvevő sokféle termék eltérő erőforrásigényét, a különféle költségtípusok eltérő kapcsolatát a gyártott mennyiséggel, valamint az igény előrelátható, valamint véletlenszerű változásait. A termeléstervezéshez felhasznált lineáris programozás számos megkötés és alkalmazási feltétel ellenére egy ilyen eszköz. Népszerűségének, a gyakorlati életben történő széleskörű alkalmazásának okai közül a két legfontosabb a következő:

– A számítástechnika fejlődésének köszönhetően a lineáris programozási modellek felállítását és megoldását ma már könnyen kezelhető és hatékony szoftverek segítik. Az egyszerűbb (néhány száz változót és feltételt) tartalmazó modellek táblázatkezelő szoftverekkel is megoldhatók (például Excell), a nagyobb (több tízezer változót és feltételt) tartalmazó modellek pedig professzionális lineáris programozási szoftverekkel kezelhetők.

– A lineáris programozási modellek az optimális megoldáson túl számos egyéb olyan információt szolgáltatnak, amely segíti a menedzsmentdöntések megalapozását. Így az árnyékár, valamint a modellben szereplő költségek érzékenysége az optimális megoldásnál sokszor lényegesen hasznosabb információk.

Végezetül hangsúlyozni kell, hogy a termeléstervezési modellek megoldásának csak egyik haszna az optimális megoldás megtalálása. Ennél gyakran fontosabb a modellezést kísérő tanulási folyamat, melynek eredménye a vizsgált termelőrendszer jobb megismerése, a költségérzékeny területek feltárása, a kritikus erőforrások meghatározása, valamint a termelőrendszerhez legjobban illeszkedő termékszerkezet körvonalazása (lásd például [24]).

159

6. IRODALOMJEGYZÉK

[ 1] Anderson, D.R., Sweeney, D. J., and Williams, T. A.: An Introduction to Management Science. West Publishing Company, 1994.

[ 2] Anthony, R.N., Welsch, G.A., and Reece, J.S.: Fundamentals of Management Accounting. Richard D. Irwin, Inc., Homewood, 1985.

[ 3] Anderson, E. J.: The Management of Manufacturing. Models and Analysis. Addison-Wesley, 1994.

[ 4] Bauer A. és Berács J.: Marketing. Aula Kiadó, 1999. [ 5] Bellmann, R. E., and Dreyfus, S. E.: Applied Dynamic Programming. Princeton University

Press, Princeton, New Jersey, 1962. [ 6] Blackburn, J. D.: Time-Based Competition. Business One Irwin, Homewood, 1991. [ 7] Brealey, R. A., és Myres, S. C.: Modern vállalati pénzügyek. Panem Kft., Budapest, 1998. [ 8] Bronstejn, I. N. és Szemengyajev, K. A.: Matematikai zsebkönyv. Műszaki Könyvkiadó,

Budapest, 1980. [ 9] Chase, R. B., and Aquilano, N. J.: Production and Operations Management. Manufacturing and

Services. Irwin, 1995. [10] Cheng, T. C. E., and Podolsky, S.: Just-in-time Manufacturing. Chapman and Hall, London,

1996. [11] Chikán A. (Szerk.): Készletezési modellek. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest, 1983. [12] Chikán A. és Demeter K. (Szerk.): Az értékteremtő folyamatok menedzsmentje. Termelés,

szolgáltatás, logisztika. Aula Kiadó, Budapesti Közgazdaságtudományi Egyetem, 1999. [13] Dempster, M. A. H., Lenstra, J. K., and Rinnooy Kan, A. H. G.: Deterministic and stochastic

scheduling. D. Reidel Publishing Company, Dorderecht, 1984. [14] Gaither, N.: Production and Operations Management. A Problem-Solving and Decision-Making

Approach. The Dryden Press, 1990. [15] Gal, T.: Postoptimal Analysis, Parametric Programming and Related Topics. McGraw-Hill,

New York, 1979. [16] Gal, T.: Shadow Prices and Sensitivity Analysis in Linear Programming under Degeneracy. OR

Spektrum, 8, 59-71, 1986. [17] Gnedenko, B. V., Yu, K., Belyayev, and Solovyev, A. D.: Mathematical Methods of Reliability

Theory. Academic Press, New York, 1969. [18] Goldratt, E. M.: The Goal. A Process of Ongoing Improvement. North River Press, Inc., 1992. [19] Graves, S.C., Rinnoy Kan, A.H.G, and Zipkin, P.H. (Editors): Logistics of Production and

Inventory. North-Holland, 1993. [20] Hillier, S. F., and Lieberman, G. J.: Bevezetés az operációkutatásba. LSI Oktatóközpont,

Budapest, 1994. [21] Jansen, B., de Jong, J.J., Roos, C., and Terlaky, T.: Sensitivity Analysis in Linear Programming:

Just be careful!, European Journal of Operational Research, 101, 15-28, 1997. [22] Johnson, L. A., and Montgomery, D. C.: Operations Research in Production Planning,

Scheduling and Inventory Control. John Wiley and Sons, 1974. [23] Kleinrock, L.: Sorbanállás – Kiszolgálás. Bevezetés a tömegkiszolgálási rendszerek elméletébe.

Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1979. [24] Koltai, T., Farkas, A., and Szendrovits: A., Linear Programming Optimization of a Network for

an Aluminum Plant: A case study. International Journal of Production Economics, 32, 155-168. 1993.

[25] Koltai, T., and Terlaky, T.: The difference between the managerial and mathematical interpretation of sensitivity results in linear programming. International Journal of Production Economics, 65, 257-274, 2000.

[26] Kocsis J. és Seregi, F.: Termelésirányítás I. Tankönyvkiadó, Budapest, 1987.

160

[27] Kövesi J., Német, I., Szabó G. Cs. és Valkai S.: Termelőberendezések megbízhatóság alapú karbantartása. Budapesti Műszaki Egyetem, Mérnöktovábbképző Intézet, Budapest, 1991.

[28] Ladó L.: Teljesítmények és ráfordítások. Tervezés, mérés, értékelés. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest, 1981.

[29] Law, A. M., and Kelton, W. D.: Simulation Modelling & Analysis. McGrae-Hill, Inc., 1991. [30] Makridakis, S., Wheelwright, S. C., and Hyndman, R. J.: Forecasting Methods and

Applications. John Wiley & Sons, Inc., 1998. [31] Maleki, R. A.: Flexible Manufacturing Systems: the Technology and Management. Prentice

Hall, 1991. [32] Nahmias, S.: Production and Operations Analysis. Irwin, 1993. [33] Pfaffenberger, R. C., and Patterson, J. H.: Statistical Methods for Business and Economics.

Irwin, 1987. [34] Salvendy, G.: Handbook of Industrial Engineering. John Wiley & Sons, Inc., 1992. [35] Szendrovits, A. Z.: An Introduction to Production Management. Technical Notes. Faculty of

Business, McMaster University, 1981. [36] Taylor, F. W.: Üzemvezetés. A tudományos vezetés alapjai. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó,

Budapest, 1983. [37] Tenner, A. R. és De Toro, I. J.: Teljes körű minőségmenedzsment (TQM). Műszaki Könyvkiadó,

Budapest, 1997. [38] Vollmann, T.E., Berry, W. L, and Whybark, D. C.: Manufacturing Planning and Control

Systems. Irwin/McGraw-Hill, 1997. [39] Vörös J.: Termelésmenedzsment. Janus Pannonius Egyetem Kiadó, Pécs, 1993. [40] Vörös J.: Termelési-Szolgáltatási Rendszerek Vezetése. Janus Pannonius Egyetem Kiadó, Pécs,

1999. [41] Waters, D.: Operations Management. Producing goods & Services. Addison-Wesley, 1996.

Népszabadság, 1998. November 13., Péntek

Audi: piaci siker után új beruházás Napi száznyolcvan autó készül három műszakban Győrött

A legmerészebb becslésekre is rácáfolt a piac, és a tervezett harmincezer helyett 1999-ben már negyvenezer sportkocsit gyártanak Győrött. A műszakbővítés mellett újabb beruházásokat is tervez az Audi Hungária. A héten már három műszakban készülnek a négyüléses TT kupék, és megkezdték a nyitott, kétüléses roadsterek sorozatgyártását is. Lőre Péter, az Audi Hungária szóvivője lapunknak elmondta, hogy a nagy kereslet miatt alig néhány héttel a modell piaci bevezetése után műszakbővítéssel kellett növelni a termelést. November közepétől már napi száznyocvan sportkocsi készül, vagyis heti ötnapos munkahéttel számolva évi negyvenezer autó gördül le a szalagról.

Amennyiben a piaci igény tovább nő, a járműüzemben is áttérnek a motorgyáréhoz hasonló munkarendre. A dolgozókkal történt egyeztetés után, a hétnapos termelés bevezetésének köszönhetően 1999-ben már egymillió benzin és dízelmotort gyártanak. Napjainkig összesen tizennégyezer sportkocsi és kétmillió hajtómű készült. Lőre Péter tájékoztatása szerint az eddigi kilencvenmilliárd forinton túl újabb beruházásokat is tervez az Audi. A meglévő 250 ezer négyzetméteres iparterület mellé újabb, hasonló méretű telket vásárolt a német cég. A térség munkaerőhelyzetével kapcsolatban nincsenek aggályai, hiszen dolgozóik már napjainkban is Győr 50-60 kilométeres vonzáskörzetéből járnak be.

Más cégekhez hasonlóan az Audin belül is versenyeznek egymással a leányvállalatok az új beruházások és termékek elnyeréséért. A Volkswagen-konszern terveit ismertetve mindkét tevékenység, a motor- és járműgyártás is bővülhet Magyarországon. Az autóknál különösen a kisebb sorozatú, munkaigényes modellekre – újabb sportkocsik és terepjárók gyártására, összeszerelésére – esélyes Győr. B. J.

Kumulált tanulási görbe táblázat Q\L 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95

1 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 2 1,050 1,100 1,150 1,200 1,250 1,300 1,350 1,400 1,450 1,500 1,550 1,600 1,650 1,700 1,750 1,800 1,850 1,900 1,950 3 1,059 1,126 1,199 1,278 1,361 1,448 1,539 1,634 1,732 1,833 1,938 2,045 2,155 2,268 2,384 2,502 2,623 2,746 2,872 4 1,061 1,136 1,222 1,318 1,424 1,538 1,662 1,794 1,935 2,083 2,240 2,405 2,578 2,758 2,946 3,142 3,345 3,556 3,774 5 1,062 1,141 1,234 1,342 1,464 1,599 1,749 1,913 2,091 2,283 2,490 2,710 2,946 3,195 3,459 3,738 4,031 4,339 4,662 6 1,063 1,143 1,242 1,357 1,491 1,644 1,816 2,007 2,218 2,450 2,703 2,977 3,274 3,593 3,934 4,299 4,688 5,101 5,538 7 1,063 1,145 1,246 1,368 1,512 1,678 1,868 2,083 2,324 2,593 2,890 3,216 3,572 3,960 4,380 4,834 5,322 5,845 6,404 8 1,063 1,146 1,250 1,376 1,527 1,705 1,911 2,147 2,416 2,718 3,056 3,432 3,847 4,303 4,802 5,346 5,936 6,574 7,261 9 1,063 1,147 1,252 1,382 1,540 1,727 1,947 2,202 2,495 2,829 3,206 3,630 4,102 4,626 5,204 5,839 6,533 7,290 8,111

10 1,063 1,147 1,254 1,387 1,550 1,745 1,977 2,250 2,566 2,929 3,344 3,813 4,341 4,932 5,589 6,315 7,116 7,994 8,954 20 1,063 1,149 1,261 1,407 1,596 1,839 2,146 2,532 3,010 3,598 4,312 5,171 6,195 7,407 8,828 10,485 12,402 14,608 17,130 30 1,063 1,149 1,262 1,413 1,612 1,876 2,222 2,673 3,254 3,995 4,930 6,097 7,540 9,305 11,446 14,020 17,091 20,727 25,003 40 1,063 1,149 1,263 1,415 1,620 1,896 2,267 2,763 3,419 4,279 5,393 6,821 8,631 10,902 13,723 17,193 21,425 26,543 32,684 50 1,063 1,149 1,263 1,417 1,625 1,910 2,298 2,828 3,543 4,499 5,765 7,422 9,565 12,307 15,776 20,122 25,513 32,142 40,224 60 1,063 1,149 1,263 1,418 1,628 1,919 2,321 2,877 3,641 4,680 6,079 7,941 10,391 13,574 17,666 22,868 29,414 37,574 47,653 70 1,063 1,149 1,263 1,418 1,631 1,926 2,339 2,917 3,722 4,833 6,351 8,401 11,135 14,738 19,430 25,471 33,166 42,871 54,992 80 1,063 1,149 1,263 1,419 1,633 1,932 2,354 2,950 3,791 4,965 6,591 8,814 11,816 15,819 21,092 27,957 36,795 48,054 62,254 90 1,063 1,149 1,264 1,419 1,634 1,936 2,365 2,978 3,850 5,083 6,807 9,191 12,446 16,833 22,671 30,346 40,320 53,140 69,450

100 1,063 1,149 1,264 1,419 1,635 1,940 2,375 3,002 3,903 5,187 7,003 9,539 13,034 17,791 24,179 32,651 43,754 58,141 76,586 110 1,063 1,149 1,264 1,419 1,636 1,943 2,384 3,023 3,949 5,282 7,183 9,862 13,587 18,701 25,625 34,883 47,109 63,067 83,671 120 1,063 1,149 1,264 1,420 1,637 1,945 2,392 3,042 3,991 5,369 7,350 10,164 14,110 19,569 27,019 37,051 50,393 67,925 90,707 130 1,063 1,149 1,264 1,420 1,637 1,948 2,398 3,059 4,030 5,449 7,504 10,448 14,607 20,401 28,365 39,162 53,614 72,723 97,701 140 1,063 1,149 1,264 1,420 1,638 1,950 2,404 3,074 4,065 5,522 7,649 10,716 15,080 21,201 29,668 41,221 56,777 77,465 104,66 150 1,063 1,149 1,264 1,420 1,638 1,951 2,409 3,088 4,097 5,591 7,786 10,971 15,533 21,972 30,934 43,234 59,888 82,156 111,57 160 1,063 1,149 1,264 1,420 1,639 1,953 2,414 3,101 4,127 5,656 7,915 11,214 15,967 22,717 32,166 45,203 62,951 86,800 118,46 170 1,063 1,149 1,264 1,420 1,639 1,954 2,419 3,112 4,155 5,716 8,037 11,445 16,385 23,439 33,366 47,134 65,970 91,399 125,31 180 1,063 1,149 1,264 1,420 1,639 1,956 2,423 3,123 4,181 5,773 8,153 11,667 16,788 24,139 34,537 49,029 68,947 95,958 132,13 190 1,063 1,149 1,264 1,420 1,640 1,957 2,426 3,133 4,205 5,827 8,263 11,880 17,177 24,820 35,681 50,890 71,886 100,48 138,92 200 1,063 1,149 1,264 1,420 1,640 1,958 2,430 3,143 4,228 5,878 8,369 12,085 17,554 25,482 36,801 52,720 74,789 104,96 145,69 210 1,063 1,149 1,264 1,420 1,640 1,959 2,433 3,151 4,250 5,927 8,470 12,283 17,919 26,128 37,897 54,521 77,658 109,42 152,44 220 1,063 1,149 1,264 1,420 1,640 1,960 2,436 3,160 4,270 5,973 8,567 12,473 18,274 26,757 38,973 56,294 80,495 113,83 159,16 230 1,063 1,149 1,264 1,420 1,641 1,960 2,438 3,167 4,289 6,017 8,661 12,658 18,619 27,373 40,028 58,042 83,302 118,22 165,85 240 1,063 1,149 1,264 1,420 1,641 1,961 2,441 3,175 4,308 6,060 8,751 12,837 18,955 27,975 41,065 59,765 86,081 122,58 172,53 250 1,063 1,149 1,264 1,420 1,641 1,962 2,443 3,182 4,326 6,101 8,837 13,010 19,282 28,564 42,083 61,466 88,833 126,91 179,18 260 1,063 1,149 1,264 1,420 1,641 1,963 2,446 3,188 4,343 6,140 8,921 13,178 19,601 29,141 43,085 63,145 91,559 131,22 185,82 270 1,063 1,149 1,264 1,420 1,641 1,963 2,448 3,194 4,359 6,177 9,002 13,342 19,912 29,707 44,071 64,803 94,261 135,50 192,43 280 1,063 1,149 1,264 1,421 1,641 1,964 2,450 3,200 4,374 6,214 9,081 13,501 20,217 30,262 45,043 66,441 96,939 139,76 199,03 290 1,063 1,149 1,264 1,421 1,641 1,964 2,452 3,206 4,389 6,249 9,157 13,656 20,514 30,807 45,999 68,061 99,595 143,99 205,61 300 1,063 1,149 1,264 1,421 1,642 1,965 2,454 3,211 4,403 6,283 9,231 13,807 20,806 31,342 46,943 69,663 102,23 148,20 212,18 310 1,063 1,149 1,264 1,421 1,642 1,965 2,455 3,217 4,417 6,315 9,303 13,954 21,091 31,869 47,873 71,248 104,84 152,39 218,73 320 1,063 1,149 1,264 1,421 1,642 1,966 2,457 3,222 4,430 6,347 9,373 14,098 21,371 32,386 48,791 72,817 107,44 156,56 225,26 330 1,063 1,149 1,264 1,421 1,642 1,966 2,458 3,226 4,443 6,378 9,441 14,239 21,646 32,896 49,697 74,370 110,01 160,72 231,77 340 1,063 1,149 1,264 1,421 1,642 1,967 2,460 3,231 4,455 6,408 9,507 14,377 21,915 33,397 50,592 75,908 112,57 164,85 238,28 350 1,063 1,149 1,264 1,421 1,642 1,967 2,461 3,235 4,467 6,437 9,572 14,511 22,180 33,892 51,476 77,431 115,11 168,96 244,77 360 1,063 1,149 1,264 1,421 1,642 1,967 2,463 3,240 4,479 6,465 9,635 14,643 22,439 34,378 52,350 78,941 117,64 173,05 251,24 370 1,063 1,149 1,264 1,421 1,642 1,968 2,464 3,244 4,490 6,492 9,697 14,772 22,695 34,858 53,213 80,437 120,14 177,13 257,70 380 1,063 1,149 1,264 1,421 1,642 1,968 2,465 3,248 4,501 6,519 9,757 14,899 22,946 35,332 54,067 81,920 122,63 181,19 264,15 390 1,063 1,149 1,264 1,421 1,642 1,968 2,467 3,252 4,511 6,545 9,816 15,023 23,193 35,799 54,912 83,390 125,11 185,24 270,59 400 1,063 1,149 1,264 1,421 1,642 1,969 2,468 3,255 4,521 6,570 9,873 15,145 23,436 36,260 55,748 84,849 127,57 189,27 277,01 410 1,063 1,149 1,264 1,421 1,642 1,969 2,469 3,259 4,531 6,595 9,930 15,265 23,676 36,715 56,575 86,296 130,02 193,28 283,42 420 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,969 2,470 3,262 4,541 6,619 9,985 15,382 23,911 37,164 57,394 87,731 132,45 197,28 289,83 430 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,970 2,471 3,266 4,550 6,642 10,039 15,498 24,144 37,608 58,205 89,156 134,87 201,27 296,21 440 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,970 2,472 3,269 4,559 6,665 10,092 15,611 24,373 38,046 59,008 90,570 137,27 205,24 302,59 450 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,970 2,473 3,272 4,568 6,688 10,144 15,723 24,599 38,480 59,803 91,973 139,67 209,19 308,96 460 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,970 2,474 3,275 4,577 6,710 10,195 15,833 24,821 38,908 60,591 93,367 142,05 213,14 315,32 470 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,970 2,475 3,278 4,585 6,731 10,245 15,941 25,041 39,332 61,372 94,751 144,41 217,07 321,66 480 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,971 2,476 3,281 4,593 6,752 10,294 16,047 25,258 39,751 62,147 96,125 146,77 220,99 328,00 490 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,971 2,477 3,284 4,602 6,773 10,342 16,152 25,472 40,166 62,914 97,491 149,12 224,89 334,33 500 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,971 2,477 3,286 4,609 6,793 10,389 16,255 25,683 40,577 63,675 98,847 151,45 228,79 340,65 510 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,971 2,478 3,289 4,617 6,813 10,436 16,357 25,892 40,983 64,430 100,19 153,77 232,67 346,96 520 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,972 2,479 3,292 4,625 6,832 10,482 16,457 26,099 41,385 65,179 101,53 156,09 236,54 353,25 530 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,972 2,480 3,294 4,632 6,851 10,527 16,556 26,302 41,783 65,922 102,87 158,39 240,40 359,55 540 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,972 2,480 3,297 4,639 6,870 10,571 16,654 26,504 42,177 66,659 104,19 160,68 244,24 365,83 550 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,972 2,481 3,299 4,646 6,888 10,615 16,750 26,703 42,568 67,390 105,50 162,96 248,08 372,10 560 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,972 2,482 3,301 4,653 6,906 10,658 16,845 26,900 42,955 68,116 106,81 165,23 251,91 378,36 570 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,972 2,483 3,304 4,660 6,924 10,700 16,939 27,094 43,338 68,836 108,11 167,50 255,72 384,62 580 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,973 2,483 3,306 4,666 6,941 10,741 17,031 27,287 43,718 69,552 109,40 169,75 259,53 390,87 590 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,973 2,484 3,308 4,673 6,958 10,783 17,122 27,478 44,095 70,262 110,69 172,00 263,33 397,11 600 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,973 2,484 3,310 4,679 6,975 10,823 17,212 27,666 44,468 70,967 111,97 174,23 267,11 403,34 610 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,973 2,485 3,312 4,685 6,991 10,863 17,302 27,853 44,839 71,668 113,24 176,46 270,89 409,57 620 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,973 2,486 3,315 4,692 7,008 10,902 17,390 28,038 45,206 72,363 114,50 178,68 274,66 415,78 630 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,973 2,486 3,317 4,698 7,024 10,941 17,476 28,220 45,570 73,054 115,76 180,89 278,41 421,99 640 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,973 2,487 3,319 4,704 7,039 10,979 17,562 28,402 45,931 73,741 117,01 183,09 282,16 428,20 650 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,974 2,487 3,320 4,709 7,055 11,017 17,647 28,581 46,289 74,423 118,26 185,28 285,90 434,39 660 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,974 2,488 3,322 4,715 7,070 11,054 17,731 28,758 46,644 75,100 119,50 187,47 289,63 440,58 670 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,974 2,488 3,324 4,721 7,085 11,091 17,814 28,934 46,997 75,774 120,73 189,65 293,36 446,76 680 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,974 2,489 3,326 4,726 7,100 11,127 17,897 29,109 47,347 76,443 121,96 191,82 297,07 452,94 690 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,974 2,489 3,328 4,731 7,115 11,163 17,978 29,282 47,694 77,108 123,18 193,98 300,78 459,10 700 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,974 2,490 3,330 4,737 7,129 11,198 18,058 29,453 48,039 77,769 124,40 196,13 304,48 465,26 710 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,974 2,490 3,331 4,742 7,143 11,233 18,138 29,623 48,381 78,427 125,61 198,28 308,17 471,42 720 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,974 2,491 3,333 4,747 7,157 11,268 18,217 29,791 48,721 79,080 126,81 200,42 311,85 477,57 730 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,975 2,491 3,335 4,752 7,171 11,302 18,295 29,958 49,058 79,730 128,01 202,56 315,52 483,71 740 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,975 2,492 3,336 4,757 7,185 11,335 18,372 30,123 49,393 80,376 129,21 204,69 319,19 489,85 750 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,975 2,492 3,338 4,762 7,198 11,369 18,448 30,287 49,725 81,018 130,40 206,81 322,85 495,98 760 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,975 2,493 3,339 4,767 7,211 11,402 18,524 30,450 50,056 81,657 131,58 208,92 326,50 502,10 770 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,975 2,493 3,341 4,772 7,224 11,434 18,599 30,611 50,384 82,293 132,76 211,03 330,14 508,22 780 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,975 2,494 3,342 4,776 7,237 11,466 18,673 30,771 50,710 82,925 133,94 213,13 333,78 514,33 790 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,975 2,494 3,344 4,781 7,250 11,498 18,746 30,930 51,033 83,553 135,10 215,23 337,41 520,43 800 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,975 2,494 3,345 4,786 7,262 11,530 18,819 31,087 51,355 84,179 136,27 217,31 341,03 526,53 810 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,975 2,495 3,347 4,790 7,275 11,561 18,891 31,243 51,675 84,801 137,43 219,40 344,65 532,63 820 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,975 2,495 3,348 4,795 7,287 11,592 18,963 31,398 51,992 85,420 138,58 221,47 348,26 538,72 830 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,975 2,496 3,350 4,799 7,299 11,622 19,034 31,552 52,308 86,036 139,74 223,54 351,86 544,80 840 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,976 2,496 3,351 4,803 7,311 11,652 19,104 31,705 52,622 86,648 140,88 225,61 355,46 550,88 850 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,976 2,496 3,352 4,807 7,323 11,682 19,174 31,857 52,933 87,258 142,02 227,67 359,05 556,95 860 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,976 2,497 3,354 4,812 7,335 11,712 19,243 32,007 53,243 87,865 143,16 229,72 362,63 563,02 870 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,976 2,497 3,355 4,816 7,346 11,741 19,311 32,157 53,551 88,469 144,30 231,77 366,21 569,08 880 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,976 2,497 3,356 4,820 7,358 11,770 19,379 32,305 53,857 89,070 145,42 233,81 369,78 575,14 890 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,976 2,498 3,358 4,824 7,369 11,799 19,446 32,453 54,162 89,668 146,55 235,85 373,35 581,19 900 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,976 2,498 3,359 4,828 7,380 11,827 19,513 32,599 54,464 90,263 147,67 237,88 376,90 587,24 910 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,976 2,498 3,360 4,832 7,391 11,855 19,579 32,744 54,765 90,856 148,79 239,91 380,46 593,28 920 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,976 2,499 3,361 4,836 7,402 11,883 19,645 32,889 55,065 91,446 149,90 241,93 384,00 599,32 930 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,976 2,499 3,362 4,839 7,413 11,911 19,710 33,032 55,362 92,033 151,01 243,94 387,54 605,35 940 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,976 2,499 3,364 4,843 7,424 11,938 19,775 33,174 55,658 92,618 152,12 245,96 391,08 611,38 950 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,976 2,500 3,365 4,847 7,434 11,965 19,839 33,316 55,952 93,200 153,22 247,96 394,61 617,40 960 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,976 2,500 3,366 4,851 7,445 11,992 19,903 33,456 56,245 93,779 154,32 249,96 398,13 623,42 970 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,977 2,500 3,367 4,854 7,455 12,019 19,966 33,596 56,536 94,356 155,41 251,96 401,65 629,43 980 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,977 2,501 3,368 4,858 7,465 12,045 20,028 33,735 56,826 94,931 156,50 253,95 405,16 635,44 990 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,977 2,501 3,369 4,861 7,475 12,072 20,091 33,873 57,114 95,503 157,59 255,94 408,67 641,45

1000 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,977 2,501 3,370 4,865 7,485 12,098 20,152 34,010 57,401 96,073 158,67 257,92 412,17 647,45

Standard normális eloszlás eloszlásfüggvény táblázata

z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,46410,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,42470,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,38590,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,34830,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,31210,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,27760,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,24510,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,21480,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,18670,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,16111,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,13791,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,11701,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,09851,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,08231,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,06811,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,05591,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,04551,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,03671,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,02941,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,02332,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,01832,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,01432,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,01102,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,00842,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,00642,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,00482,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,00362,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,00262,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,00192,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,00143,0 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010

zσ

P{ u≥X}

Xµ

z=(X-µ)/σ

zσ

P{ u≥X}

Xµ

z=(X-µ)/σ