uso de esquemas en método singapur

El uso de esquemas en la resolución de problemas del campo aditivo

Enrique González LasseubeJoaquim Barbé Farré

Parte I

Resolviendo un problema aditivo

Problema Inicial

Roberto y Victoria tienen ahorrado en elbanco $68.000 entre los dos. Robertotiene $24.000 menos que Victoria.¿Cuánto dinero tiene Victoria? ¿Cuántodinero tiene Roberto?

Roberto y Victoria tienen ahorrado en el banco $68.000. Robertotiene $24.000 menos que Victoria. ¿Cuánto dinero tiene Victoria?¿Cuánto dinero tiene Roberto?

Técnica 1. Sistemas lineales

V + R = $68.000V - R = $24.000+

2 V = $92.0002 2

V = $46.000

R = $46.000 - $24.000

Al sumar/restar todos los términos de dos(o más) ecuaciones de un mismo sistema seconserva la igualdad, y por tanto se obtieneuna nueva ecuación.

(Método de Reducción)

Al multiplicar o dividir en una ecuacióntodos los términos de ambos lados de laigualdad por un mismo factor la igualdad semantiene.

(Amplificación/simplificación de la ec.)

R = V - $24.000


Técnica 2. Ecuación lineal

Victória V Roberto V - $24.000+

$68.000 = 2V - $24.000

Si Victória tiene V pesos entonces Robertotiene V - $24.000

Como entre los dos tienen $68.000,entonces la suma de ambas cantidades es$68.000.

Al agregar/quitar una misma cantidad acada lado de una igualdad la igualdad semantiene. (Propiedad aditiva de la igualdad)

Simplificación de la ecuación

Roberto tiene lo mismo que Victoria menos $24.000

+ $24.000 +$24.000

+ $92.000 = 2V

+ $46.000 = V

R = $46.000 - $24.000R = $22.000

2 2


Técnica 3. Prueba

VictoriaRoberto

Supongamos que Victoria tiene $50.000.Entonces Roberto tendría $68.000 - $50.000, osea $18.000.En ese caso la diferencia entre ambos sería de$32.000 Victoria tiene que tener menos.

Supongamos que Victoria tiene $40.000.Entonces Roberto tendría $28.000.En ese caso la diferencia entre ambos sería de$12.000 Victoria tiene que tener más de$40.000 pero menos de $50.000.

Supongamos que Victoria tiene $45.000.Entonces Roberto tendría $23.000.En ese caso la diferencia entre ambos sería de$22.000 Victoria tiene que tener $1.000 más yRoberto $1.000 menos.O sea Victoria tiene $46.000 y Roberto $23.000

$50.000 $18.000 $32.000

VictoriaRoberto

$40.000 $28.000 $12.000

VictoriaRoberto

$45.000 $23.000 $22.000


Técnica 4. Discurso argumentativo

Si al dinero que tienen entre los dos le quitamos la cantidad de másque tiene Victoria, o sea $68.000 - $24.000 obtenemos un nuevo totalde $44.000

Dado que hemos quitado el dinero de más que era de Victoria, tantoRoberto como Victoria tienen la misma cantidad de este nuevototal. Por tanto cada uno tiene la mitad de los $44.000, o sea $22.000.

Esta cantidad ya es la que tiene Roberto. Para obtener la cantidadque tiene Victoria basta con agregar a los $22.000 los $24.000 que hayde diferencia entre los dos. Por tanto, Victoria tiene $44.000


Técnica 5. Trasvasije de la Suma

Victoria Roberto Partamos inicialmente con que Victoria y Robertotienen ambos la misma cantidad de los $68.000.

Al quitar una cierta cantidad a un sumando yañadirla al otro sumando el resultado de la adiciónno se altera. (Trasvasije de la suma)

Esta propiedad se demuestra fácilmente a partir dela propiedad asociativa de la suma:

(A+B) + C es igual que A + B + C y que A + (B+C)

Al quitar una cantidad a un sumando y añadirla alotro, la diferencia entre ambos sumandos seincrementa con el doble de la cantidad traspasada.

Como la diferencia es de $24.000 entonces hay quetraspasar la mitad, o sea $12.000

$34.000 + $34.000

$12.000

$c ? $24.000 : 2

diferencia 2 x $c

$46.000 + $22.000 Victoria Roberto


Técnica 6. Esquemas

Victoria

Roberto

$24.000

$24.000

$68.000

$22.000 $22.000

Roberto Victoria $46.000

¿Esta bien el esquema?¿y el resultado?

$22.000

$22.000


Técnica 6. Esquemas

Victoria $24.000$22.000

¿Hay alguna contradicción?

Victoria $24.000$22.000

¿Hay alguna contradicción?

•En general es útil dibujar el largo de las barras considerando el valor

que éstas representan, es decir, “a cantidades más grandes, barras

más largas”

• Sin embargo, el largo de las barras es referencial y no

necesariamente guarda una relación proporcional con los valores

reales.

•En este caso, la cantidad desconocida representada se dibujó en un

inicio menor que el $24.000, pero ésta podía ser tanto mayor como

menor y por tanto el esquema es coherente y sin contradicción, dado

que su objetivo es determinar el valor de la barra y no si el largo

dibujado corresponde o no exactamente al valor obtenido.

• Frente a un problema, generalmente hay diversos procedimientos

para abordarlos.

• Sin embargo, en el sistema escolar hay una tendencia a la

asociación de problemas con técnicas o procedimientos

estandarizados.

• Los conocimientos matemáticos surgen como una necesidad.

¿Cuándo se necesitan de las ecuaciones? ¿Cuándo se necesitan

de los esquemas? ¿en qué problemas se necesita dividir?, etc.

• Generalmente, ante un problema genuino, no es inmediato, ni

trivial decidir las operaciones que lo resuelven.

La resolución de problemas

Parte II

Comparando esquemas

No son

•Dibujos de uso personal para ilustrar el problema

•Dibujos literales que representan fielmente la situación del problema

•Para representar y comunicar la forma de resolver el problema, una vez resuelto.

Sí son

• Una herramienta que ayuda a identificar los cálculos que se debe realizar para

determinar el valor de las incógnitas del problema. También, para argumentar

• Un lenguaje simbólico compartido que permite representar los datos del

problema, la (o las) incógnita(s) y la relación cuantitativa que se establece entre

ellos

Los Esquemas

Dado el siguiente problema:

En un bosque hay dos tipos de árboles: pinos y

eucaliptos. Hay 34 pinos y 40 eucaliptos. ¿Cuantos

árboles hay en el bosque?

¿Cuál o cuales de las

representaciones siguientes

pueden ser consideradas

esquemas?

En un bosque hay dos tipos de árboles: pinos y eucaliptos.

Hay 34 pinos y 40 eucaliptos. ¿Cuantos árboles hay en el

bosque?

34 + 40

?

A



bosque?

34

40

B?



bosque?C



bosque?

34 + 40 =

D



bosque?

34

40

E

?



bosque?

+=

F



bosque?

3440

G

?



bosque?

3440

+

H



bosque?

?

3440

i



bosque?

34 40

Pinos Eucaliptus

Arboles ?

J



bosque?

?

4034

K



bosque?L

Total Arboles ?



bosque?M

Total Arboles ?



bosque?N

Total Arboles ?

I I I40 70 74

4

30



bosque?

No son esquemas:

A, C, D, F, H, M, N

Son esquemas, pero que no representan el problema:

B, E, G

Son esquemas que podrían representar el problema:

i, J, K, L



bosque?

El esquema K es bueno,

?

4034

?

3440

pero el i es el mejor

•Cada cantidad se representa mediante una barra

•Dadas dos (o más) barras, estas pueden juntarse o separarse para

formar nuevas barras, en función de las acciones que involucran las

cantidades del problema

•También, las barras pueden compararse entre ellas

•Al igual que el lenguaje algebraico, mediante barras se pueden

representar y manipular cantidades no conocidas

Algunas Características de los Esquemas

Tipos de Problemas aditivos simples

(de un paso) [Vergnaud 1982, Espinoza 2003]

• Parte y Todo

• Agregar/ quitar

• Comparar

•Cada parte se representa por un trozo de barra distinto y el total viene representado

por toda la barra.

• El total es el resultado de la suma de todas las partes.

•Una parte es el resultado de restar ,al Total, todas las demás partes

Total

Parte A Parte B Parte C

• Son problemas en los que hay dos

tipos de cantidades involucradas;

partes y un total.

Parte y Todo

Agregar/Quitar

•A diferencia de los problemas “partes y total”, en que las cantidades son estáticas, en

este caso hay una cantidad que va sufriendo una (o más) modificaciones en el tiempo en

que trascurre el problema.

• La cantidad final puede ser mayor o menor que la inicial dependiendo de si la acción

involucrada es del tipo agregar o quitar. La resolución de estos problemas presenta un

mayor desafío que los del tipo partes / total puesto que es necesario identificar el tipo de

acción realizada con agregar o quitar

• Cuando la incógnita es la cantidad inicial, la dificultad se incrementa. Para calcularla es

necesario deshacer la acción realizada (si se agregó, hay que quitar, mientras que si se

quitó hay que agregar). Es en estos casos más complejos es donde se pone de manifiesto

el gran apoyo que significa el esquema, puesto que a partir de él resulta mucho más fácil

establecer los cálculos que permiten determinar la incógnita.

Cantidad Inicial

• Son problemas en los que hay una cantidad

inicial, a la se le van agregan/quitan otras

cantidades hasta llegar a una cantidad final. Cantidad finalSe

quitó

Comparar

• Son problemas en los que hay involucradas dos (o más

cantidades) que se comparan entre sí. Cada cantidad a

comparar se manifiesta mediante una barra distinta.

Marina

Juan

Comparar

•Para facilitar la comparación es muy importante que todas las barras compartan un

mismo origen, siendo recomendable señalar dicho origen mediante una línea vertical

desde la cual parten todas las barras.

• Cuando se comparan dos medidas, siempre hay una de ellas que es la medida de

referencia sobre la que se efectúa la comparación. El resultado de dicha comparación son

la cantidad de unidades que le faltan (o le sobran) a la medida que se está comparando

respecto a la medida de referencia, utilizando para ello las expresiones “más que / menos

que”.

• La principal dificultad que presentan estos problemas reside en, dado el resultado de una

comparación entre medidas, identificar cuál de ellas se usó como referente. Se sugiere

hacer una línea vertical del final de ella, la que sirve de origen para dibujar las diferencias.

• Son problemas en los que hay involucradas dos (o más

cantidades) que se comparan entre sí. Cada cantidad a

comparar se manifiesta mediante una barra distinta.

Marina

Juan

x

Problemas de dos pasos

• Suelen combinar varios de los tipos de problemas anteriores

simultáneamente (partes/total con comparar, agregar/quitar con

comparar, o bien agregar/quitar con partes/total, etc.).

•La principal dificultad que presentan estos problemas reside en, a

partir del esquema, establecer los cálculos intermedios que permiten

llegar a obtener el resultado.

• Son problemas en los que, para resolverlos, es necesario realizar

dos (o más) cálculos.

Parte III

Formulando problemas aditivos a partir de esquemas

Formulen un problema aditivo para cada uno de los

esquemas siguientes

rojas verdes

a b

c d

35

22 ? $70

$100

?

$160

tenía

tengo

tengo

tenía

? Marina

Juanx

años34

7

$100

Formulen un problema aditivo para cada uno de los

esquemas siguientes

a b

c d

$70

$100

?

tenía

tengo

rojas verdes

35

22 ?

Marina

Juanx

años34

7

Pancho recolecto 35 manzanas entre

verdes y rojas. 22 eran rojas ¿Cuántas

manzanas verdes recolectó?

Laura tenía $100 pesos y gastó $70 en

un stiker. ¿Cuántos pesos le quedan?

Laura tenía unos pesos ahorrados en la

alcancía. Su papá le puso $70 más.

¿Cuántos pesos tiene ahora?

$160tengo

tenía

?

$100

Marina tiene 34 años.

Marina tiene 7 años más que Juan.

¿Cuántos años tiene Juan?

? 35 - 22 ? $100 - $70

? $160 - $100 ? 34 - 7

Parte IV

Resolviendo problemas aditivos mediante el uso de esquemas

$3.450

Roberto

?

$1.286?

X

Victoria

Roberto y Victoria han ahorrado dinero en el banco.

Roberto ha ahorrado $3.450 y Victoria ahorró 1.286 menos que Roberto.

¿Cuánto dinero han ahorrado entre los dos?

Paso 1: Victoria ahorró la cantidad $3.450 - $1.250 $2.200

Respuesta: Entre los dos han

ahorrado

$3450 + el dinero de Victoria

Hay que averiguar la cantidad

ahorrada por Victoria.

1

Un comerciante vende 3500 gramos de azúcar a María. Vendió a Lucy 500 gramos menos de azúcar que María.Vendió a Carmen 750 gramos menos de azúcar que a Lucy.¿ Cuántos gramos de azúcar vendió en total?

2

María

3.500 g

500 g

Carmen

3.500-500 = 3.000

vende a Lucy 3.000 gramos

de azúcar

3.000-750 = 2.250

Vende a Carmen 2.250

gramos de azúcar 750 g

Lucy ?

3.000 g

2.250 g

3.500 g + 3.000 g + 2.250 g Vende 8.750 g

Se desea repartir $ 2.080 entre Pedro y Cristián de modo que Pedro reciba$1.014 más que Cristián. ¿Cuánto recibió cada uno?Respuesta: Pedro $1.547 y Cristián $533

Con $12.000 que tengo, podría ir dos días a la piscina, un día al cine y aún mesobrarían $4.500. La entrada de la piscina cuesta $1.500 menos que la delcine. ¿Cuánto cuesta la entrada del cine?Respuesta: Piscina $2.000 y Cine $3.500

Tres amigos tienen entre ellos $180.000. Pedro tiene $27.000 más que

Roberto. Carlos tiene $33.000 más que Pedro. ¿Cuánto dinero tiene cada

niño?

Respuesta: Roberto $31.000, Pedro $58.000, Carlos $91.000

Pagué $87.000 por un libro, un traje y un sombrero. El sombrero costó $5.000

más que el libro y $20.000 menos que el traje. ¿Cuánto pagué por cada

artículo?

Respuesta: El libro $19.000, el sombrero $24.000, y el traje $44.000

3

4

5

6

El Contexto

Para que los estudiantes logren tener éxito en la resolución de problemasaditivos es imprescindible que manejen algún tipo de lenguaje matemático queles facilite la modelación del problema y la obtención de una secuencia decálculos que permite su resolución.

Antiguamente gran parte del tiempo de la enseñanza de la resolución deproblemas aritméticos se dedicaba al estudio de la elaboración de discursosargumentativos verbales que permitían establecer relaciones entre datos através de cálculos hasta llegar a su resolución.

Con la introducción de la enseñanza del álgebra en la enseñanza básica, eltiempo de dedicación al estudio de la elaboración de discursos argumentativosfue mermando progresivamente, hasta quedar reducido a una pequeña lista depalabras clave que se asocian inmediatamente, a las operaciones de sumar orestar (si dice más que, agregó, junto, ganó… hay que sumar, mientras que sidice menos que, quitó, separó, perdió… hay que quitar).

La ConsecuenciaEste discurso, usado actualmente, dejó de ser funcional para la resolución deproblemas aditivos. Por otro lado, si bien el álgebra viene a cubrir ese vacío, suintroducción se inicia en 6º Básico.

Los alumnos, en la actualidad, no disponen de ninguna herramienta que seaefectiva para la modelación de los problemas aditivos y por tanto permita suresolución.

Los estudiantes presentan muy bajos niveles de logro en la resolución deproblemas aditivos, especialmente en aquellos no pauteados o más complejos.

La SoluciónLos esquemas son una potente herramienta que ayuda a los alumnos en laresolución de problemas aritméticos. Además, permite desarrollar un lenguajesimbólico pre-algebraico, desde los inicios de la edad escolar.

Desarrollar dicho lenguaje a lo largo de la enseñanza no solo sirve para cubrirun gran vacío en la actualidad, si no que a su vez, traza un camino de iniciaciónal álgebra en edades muy tempranas.

Muchas Gracias

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