TELEMATIESE ONDERRIG PROJEK

GRAAD 12

WISKUNDE WERKBOEK

2015

Kwartaal 2 en 3

2

Liewe Graad 12 Leerder

In die 2de kwartaal sal die aanbieders op differensiaal rekene fokus, met spesifieke verwysing na:

Die derde graadse grafiek

Optimering

The les in die 3de kwartaal sal op hersiening van Graad 11 en Graad 12 meetkunde fokus. Die Graad

11 meetkunde handel oor die sirkel stellings wat hoeke in ‘n sirkel, koorde vierhoeke en raaklyne

behels. Die Graad 12 meetkunde is gebasseer op verhouding en eweredigheid asook gelykvormige

driehoeke. Graad 11 meetkunde is veral belangrik vir gelykvormigheid van driehoeke en dus is ‘n

grondige kennis van die Graad 11 meetkunde van kardinale belang.

Jou onderwyser behoort vir jou aan te dui watter stellings vir eksamendoeleindes bestudeer moet

word. Let egter daarop dat die bewyse van die omgekeurdes van hierdie stellings nie eksamineerbaar

is nie.

Hierdie werkboek bevat die aktiwiteite vir jou telematiese sessies. Bring asseblief hierdie werkboek

na elke Telematiese sessie.

Die aanbieders sal by die aanvang van elke les ‘n kort opsomming van die belangrike konsepte

verskaf en dan gesamentlik sal julle deaur die aktiwiteite werk. Maak seker dat jy gereed kom, pen en

genoeg skryfpapier (verkieslik ‘n hardeomslag skryfboek) asook jou sakrekenaar byderhand het.

Jou heelhartige deelname is ‘n voorvereiste vir sukses. Dit geskied deur saam met die aanbieder deur

die probleme te werk, waar nodig vrae te vra en jou antwoorde indien so versoek, te sms of te e-pos.

na die studio.

Skedule

Datum Tyd Vak Onderwerp

Monday

11 May

15:00 – 16:00 Mathematics Graphs of cubic functions

Maandag

18 Mei

15:00 – 16:00 Wiskunde Grafieke van derde graadse funksies

Monday

1 June

15:00 – 16:00 Mathematics Applications of calculus: optimisation

and rate of change

Woensdag

3 Junie

15:00 – 16:00 Wiskunde Toepassings van differensiale rekene:

Optimering en tempo van verandering

Thursday

27 August

15:00 – 16:00 Mathematics Geometry similar triangles

Dinsdag

1 September

15:00 – 16:00 Wiskunde Meetkunde: gelykvormige driehoeke

3

Graad 12 Differensiaal rekene

Les 1 Grafieke: In hierdie les sal jy deur 3 verskillende tipe vrae werk.

1. Om grafieke van die derde graad te trek

2. Gegewe die grafiek die beantwoording van vertolkende vrae

3. Gegewe die grafiek van die afgeleide, die beantwoording van vertolkende vrae

1A

Gegewe: 342)( 23 xxxxf

A1 Toon datt ( 1x ) ‘n faktor is van f (x). (2)

A2 Faktoriseer vervolgens f (x) volledig. (2)

A3 Bepaal die ko-ordinate van die draaipunte van f. (4)

A4 Teken ‘n sketsgrafiek van f en toon die draaipunte sowel as die x-afsnitte duidelik aan. (4)

A5 Vir watter waardes avn x sal f ‘n infleksiepunt hê? (4)

[16]

1B

Gegewe 35)( 23 xxxxf

B1 Toon dat )1( x ‘n faktor is van )(xf . (2)

B2 Faktoriseer )(xf volledig (3)

B3 bepaal die x-en y-afsnitte van )(xf . (2)

B4 Bepaal die ko-ordinate van die draaipunte van f. )(xf . (4)

B5 Bepaal die x-waarde van die infleksie punt van xf (1)

B6 Skets die grafiek van )(xf . (2)

B7 Vir watter waardes van x is )(xf stygend? (2)

B8 Beskryf een transformasie van )(xf wat indien toegepas, veroorsaak dat )(xf

twee positiewe ongelyke wortels sak hê. (2)

B9 Gee die vergelyking van g indien g die refleksie van f in die y-as is. (3)

B10 Bepaal die gemiddelde tempoverandering van f tussen die punte (0:3) en (1:0). (2)

B11 Bepaal die vergelyking van die raaklyn aan f waar x = -2. (4)

B12 Bewys dat die raaklyn in B11 die kromme van f in twee plekke sal raak of sny. (4)

[31]

1C

Die raaklyn aan die kromme van 72)( 23 qxpxxxg by x = 1 is y = 5x – 8.

C1 Toon dat (1 ; – 3) is die raakpunt. (1)

C2 Bereken vervolgens die waardes van p en q. (6)

[7]

1D

‘n derdegraadse funksie f het die volgende eienskappe:

0)1()3(2

1

fff

03

1)2(

ff

f neem af vir x

2;

3

1 alleenlik

Teken ;n moontlike sketsgrafiek van f, en toon die volgende duidelik: die x-ko-ordinate van die

draaipunte; al die x-afrsnitte.

[4]

4

2A

A.1 Die grafiek van die funksie 1616)( 23 xxxxf is hieronder geskets.

A.1.1 Bereken die x-koördinate van die draaipunte van f. (4)

A.1.2 Bereken die x-koördinaat van die punt waar )(xf 'n maksimum sal wees. (3)

A.2 Beskou die grafiek van 592)( 2 xxxg .

9.2.1 Bepaal die vergelyking van die raaklyn aan die grafiek van g by x = –1. (4)

9.2.2 Vir watter waardes van q sal die lyn y = –5x + q nie die parabool sny nie? (3)

A.3 Gegee: xxxh 54)( 3

Verduidelik of dit moontlik is om 'n raaklyn met 'n negatiewe gradiënt aan die grafiek van h

te teken. Toon AL jou berekeninge.

(3)

[17]

2B

Die funksie cbxaxxxf 232)( is hieronder geskets. Die draaipunte van die grafiek van f

is T(2 ; – 9) en S(5 ; 18).

x

y

O

T(2 ; 9)

S(5 ; 18)

f

B.1 Toon aan dat a = 21 , b = – 60 en c = 43. (7)

B.2 Bepaal 'n vergelyking van die raaklyn aan die grafiek van f by x = 1. (5)

B.3 Bepaal die x-waarde waarby die grafiek van f 'n buigpunt het. (2)

[14]

x

y

0

f

5

2C

C1

C2

C3

C4

C5

C6

C7

6

2D

Die grafieke van dcxbxaxxf 23)( en 66)( xxg is hieronder geskets.

A(– 1 ; 0) en C(3 ; 0) is die x-afsnitte van f.

Die grafiek van f het draaipunte by A en B.

D(0 ; – 6) is die y-afsnit van f.

E en D is snypunte van die grafieke van f en g.

x

y

O�

C(3 ; 0)

B

D(0 ; 6)

A(1 ; 0)

f

E

g

D.1 Toon aan dat a = 2 ; b = – 2 ; c = – 10 en d = – 6. (5)

D.2 Bereken die koördinate van die draaipunt B. (5)

D.3 h(x) is die vertikale afstand tussen f(x) en g(x), met ander woorde )()()( xgxfxh .

Bereken x sodat h(x) 'n maksimum is, waar x < 0.

(5)

[15]

7

3A

A1

A2

A3

A4

A5

8

3C

.

Die grafiek van )(xfy , waar f 'n derdegraadse funksie is, is hieronder geskets.

x

y

4

y = f /(x)

Gebruik die grafiek om die volgende vrae te beantwoord:

3C.1 Vir watter waardes van x is die grafiek van )(xfy dalend? (1)

3C.2 By watter waarde van x sal die grafiek van f 'n lokale minimum hê? Gee redes vir jou

antwoord.

(3)

[4]

3B

B1

B2

B3

B4

B5

3B

9

Les 2: Maksima en minima (Optimering)

1. Die oppervlakte van reghoek ABCD hieronder getoon is 2 4002m . DC = meterx

1.1 Druk AD uit in terme van x .

1.2 Indien die reghoek afgekamp word en die heining EF die reghoek halveer, bepaal die lengte

van x sodanig dat die totale lengte van die heining ‘n minimum is en bereken hierdie

minimum lengte

2. A pasta fabriek verpak hulle spaghetti in ‘n boks in die vorm van ‘n reghoekige prisma soo in

die skets hieronder getoon. Die boks het ‘n volume van 540 cm3, ‘n breedte van 4 cm en ‘n

lengte van x cm.

2.1 Druk h uit in terme van x. (2)

2.2 Toon vervolgens dat die totale buite-oppervlak

van die boks (in cm2 ) gegee word deur:

27010808 1 xxA (3)

2.3 Bepaal the waarde van x waarvoor die totale

buite-oppervlak ‘n minimum is. Rond die

antwoord af tot die naaste cm. (4)

[9]

3. ‘n Spieël word geset in’n hout raam wat is 2cm breed is.

Die buite-omtrek van die hout raam is 72cm.

3.1 The lengte van die raam is x cm. Bepaal

die breedte van die raam in terme van x. (1)

3.2 Bepaal die lengte and breedte van die spieël

in terme van x. (2)

3.3 Toon die oppervlakte van diee spieël gegee word deur die funksie: 22 12836)( cmxxxA (2)

3.4 Bereken die afmetings of die spieël met die grootste oppervlakte wat in die raam. Sal pas (4)

[9]

x metres

F

ED

CB

A

x cm 4 cm

h cm

10

“n Stuk draad, 4 meter lank word in twee stukke gesny. Een stuk word in die vorm van ‘n vierkant

gebuig en die ander in die vorm van ‘n sirkel.

4.1 Indien die lengte van die stuk draad wat in ‘n sirkel vorm gebuig is, x meter is, skryf neer die

lengte van die sye van die vierkant in terme van x. (1)

4.2 Toon dat die som vanm die oppervlaktes van die sirkel en die vierkant gegee word deur

𝑓(𝑥) = (1

16+

1

4𝑥) 𝑥2 −

𝑥

2+ 1 vierkante meter. (4)

4.3 Hoe moet die stuk draad gesny word ten einde die som van die oppervlaktes te minimiseer?

(3)

[8]

Vraag 4

Question 5

5.1

5.2

Vraag 6

6.1

6.2

6.3

11

Les 3: Tempo van bverandering en beweging

1. Water vloei in 'n tenk in teen 'n tempo van 5 liter per minuut. Terselfdertyd vloei water uit die

tenk uit teen 'n tempo van k liter per minuut. Die volume (in liter) van water in die tenk teen

tyd t (in minute) word deur die formule ttV 4100)( gegee.

1.1 Wat is die aanvangsvolume van die water in die tenk? (1)

1.2 Skryf TWEE verskillende uitdrukkings neer vir die tempo van verandering van die volume

van water in die tenk.

(3)

1.3 Bepaal die waarde van k (met ander woorde die tempo waarteen water uit die tenk vloei).

(2)

[6]

2. ‘n Partikel beweeg langs 'n reguitlyn. Die afstand, s, (in meter) van die partikel vanaf 'n vaste

punt op die lyn teen tyd t sekondes ( 0t ) word gegee deur 45182)( 2 ttts .

2.1 Bereken die partikel se aanvanklike snelheid. (Snelheid is die tempo van verandering van

afstand.)

(3)

2.2 Bepaal die tempo waarteen die snelheid van die partikel teen t sekondes verander. (1)

2.3 Na hoeveel sekondes sal die partikel die naaste aan die vaste punt wees? (2)

[6]

3. 25s t is is ‘n formule vir die afstand, s, in meter, van ‘n vallende klip t sekondes nadat dit

vanaf die top van ‘n krans laat val word..

3.1 Hoe ver het die klip in 2 sekondes geval?

3.2 Wat is die gemiddelde spoed van die klip in die derde sekonde (tussen t=2 en t =3)?

3.3 Wat is die oombliklike speod van die klip na 3 sekondes?

3.4 Wanner sal die oombliklike spoed 20 meter per sekonde wees?

3.5 Hoe lank sal dit duur voordat die klip die grond tref gegewe dat die krans 320 meter hoog is?

3.6 Bereken die spoed van die klip wanneer dit die grond tref

12

Sessie 1: Graad 11 Meetkunde

Graad 11 Stellings

1. Die lyn getrek vanaf die middelpunt van ‘n sirkel loodreg op ‘n koord, halveer die

koord.

2. Die middelloodlyn van ‘n koord gaan deur die middelpunt van die sirkel

3. Die hoek onderspan deur ‘n boog by die middelpunt van ‘n sirkel is dubbel die hoek

onderspan deur dieselfde boog op die sirkel

4. Hoeke onderspan deur deur ‘n boog of koord van die sirkel op dieselfde kant van die

koord is gelyk

5. Die teenoorstaande hoeke van ‘n koordevierhoek is supplementêr

6. Twee raaklyne getrek aan ‘n sirkel vanaf dieselfde punt buite die sirkel, is gelyk in

lengte .

7. Die hoek tussen die raaklyn van ‘n sirkel en die koord getrek vanaf die raakpunt, is

gelyk aan die hoek in die teenoorstaande segment.

Vraag 1

In die diagram hieronder, O is die middelpunt van die sirkel. Koord AB is loodreg op die middellyn DC.

CM : MD = 4 : 9 en AB = 24 eenhede.

M

D

O

B

A

C

(a) Bepaal ‘n uitdrukking vir DC in terme van x indien CM = 4x eenhede.

(b) Bepaal n uitdrukking vir OM in terme van x.

(c) Vervolgens, of andersins, bereken die lengte van die radius.

13

M

P

W

T U

Q

R

c b

a

1

29

75 34

1

1 2

3

d

Vraag 2

In die diagram is P, Q, R en T punte op die omtrek van ‘n sirkel. MW en TW is raaklyne aan

die sirkel by P en T onderskeidelik. PT is verleng en sny RU by U.

75RPM 29TQP 34RTQ

Stel aWPT , bTPR , cQPM en dUTR , Bereken die waardes van a, b, c en d.

Vraag 3

In die diagram hieronder, O is die middelpunt van die sirkel. P, Q, R en S is punte op die

omtrek van die sirkel. TOQ is ‘n reguitlyn sodanig dat T op PS val.

PQ = QR en x1Q .

3.1 Bereken, met redes, 1P in terme van x. (3)

3.2 Toon aan dat TQ halveer vir R.QP

(3)

3.3 Toon aan dat STOR is ‘n koordevierhoek. (3)

P

S

R

O

1 2

3

1 2

1

2

x

T

1

2

Q

14

Sessie 2

Graad 12 Stellings

1. Die lyn getrek ewewydig aan een sy van ‘n driehoek verdeel die ander twee sye

eweredig. (Die middelpunt-stelling is a spesiale geval van hierdie stelling)

2. Gelykhoeke driehoeke is gelykvormig

3. Driehoeke met sye in dieselfde verhouding is gelykvormig.

4. Bewys die Pythagoreaanse stelling met behulp van gelykvormige driehoeke

Vraag 1

1.1 In die diagram hieronder, VRK has P on VR and T on VK such dat PT || RK.

VT = 4 eenhede, PR = 9 eenhede, TK = 6 eenhede and VP = 2x – 10 eenhede.

Bereken die waarde van x.

9

2x – 10

6

9

K

T

P

4 2x – 10

6

9

V

R

15

C

O B

M

A

1.2 In die diagram hieronder is O die middelpunt van die sirkel. OM AC. Die radius of die

sirkel is gelyk aan to 5 cm en BC = 8 cm.

1.2.1 Skryf neer die grootte van van A.CB (1)

1.2.2 Bereken:

(a) Die lengte van AM, met redes (3)

(b) Area AOM : Area ABC (3)

1.3 In die diagram hieronder is GB || FC en BE || CD. AC = 6 cm en 2BC

AB .

1.3.1 Bereken met redes:

(a) AH : ED (4)

(b)

CD

BE

(2)

1.3.2 Indien HY = 2 cm, Bereken die waarde van AD × HY. (2)

[8]

D

A

C

B

E

G

F

H

16

Vraag 2

2.1 In die diagram hieronder is AB ‘n raaklyn aan die sirkel met middelpunt O. AC = AO en

BA || CE. DC verleng, sny raaklyn BA by B.

2.1.1 Toon dat 12 DC . (3)

2.1.2 Bewys dat ACF ||| ADC. (3)

2.1.3 Bewys dat AD = 4AF. (4)

B

C

D

O

E

A

F

1 2

3

4

1 2

3 4

1

1

1

2

2 2

3

17

2.2 O is die middelpunt van die sirkel CAKB. AK verleng, sny sirkel AOBT by T.

∠𝐴𝐶𝐵 = 𝑥

2.2.1 Bewys dat x2180T . (3)

2.2.2 Bewys dat AC || KB. (5)

2.2.3 Bewys dat BKT ||| CAT (3)

2.2.4 If AK : KT = 5 : 2, Bepaal die waarde van KB

AC

(3)

[14]

1 2 3

C

x

A

O

B

K

T 1

2 3 4

1 2