חוברת התמרות לפלס - תיאוריה ודוגמאות

חוברת הרצאות ותרגולים

התמרות לפלס: בנושא

ט "ל תשס"שנה2008-2009

, בומה אברמוביץ' דר: בעריכתדבורה טולדנו קטעי ' דריעקב לוצקי ' דר

2

תוכן העניינים

תקצירי הרצאות

3 הגדרה ותכונת הלינאריות : 1פרק

8 אינטגרל ומשפט ההזזה ,נגזרת: תכונות: 2פרק

פונקצית הביסייד והתמרת לפלס של פונקציות : 3פרק

רציפות למקוטעין

15

19 התמרת לפלס של פונקציה מחזורית : 4פרק

21 פונקצית דלתא של דיראק : 5פרק

24 התמרת לפלס הפוכה : 6פרק

28 קונבולוציה : 7פרק

31 שימושים להתמרות לפלס : 8פרק

תקצירי תרגילים נוספים

45 הגדרה ותכונת הלינאריות : 1פרק

49 אינטגרל ומשפט ההזזה ,נגזרת: תכונות: 2פרק

53 התמרת לפלס הפוכה , התמרה של פונקצית הביסייד: 3פרק

63 קונבולציה : 4פרק

65 שימושים להתמרות לפלס : 5פרק

88 תרגילי בית

3

תקצירי הרצאות

הגדרה של התמרת לפלס

: הגדרהתהי tf פונקציה רציפה למקוטעין בקרן הימנית ,0כלומר , עם טווח ערכים מרוכבים

CRf : . לכל מספר ממשיsמגדירים אינטגרל מוכלל :

0

1.1 dtetfstfLsF ts

. fהתמרת לפלס של נקרא , (מתכנס ) בהם הוא קיים sעבור ערכי , האינטגרל ואינה קיימת עבור s קיימת עבור ערכים מסויימים של fהתמרת לפלס של )

(ערכים אחרים

הפונקציה tf והפונקציה פונקצית מקור נקראת stfLsF תמונת לפלס של נקראתf .

נמצא את התמרת לפלס של הפונקציה :1.1דוגמא 1tf .

: לפי הגדרת התמרת לפלס : פתרון

b

ts

b

ts dtedtestfLsF00

lim1

0עבורsהאינטגרל מתבדר כיוון ש - btdtF

b

b

b

b

blimlim1lim0

0

0

0עבורsהאינטגרל מתכנס כיוון ש -

s

eess

edtesF sb

b

bst

b

b

ts

b

11limlimlim 0

000

0עבורsהאינטגרל מתבדר כיוון ש -

0

00

1limlimlim ee

ss

edtesF sb

b

bst

b

b

ts

b

מתקיים :לסיכום 0;1

12.1 ss

sL

נמצא את התמרת לפלס של הפונקציה :1.2דוגמא taetf 0 עבורaממשי .

: לפי הגדרת התמרת לפלס :פתרון

4

b

tas

b

tastsat dtedtedteestfLsF000

lim

עבורas : האינטגרל מתבדר כיוון ש - btdtaF

b

b

b

b

blimlim1lim

0

0

עבורas : האינטגרל מתכנס כיוון ש -

asee

asas

edtesF bas

b

btas

b

tas

11

limlim 0

000

עבורas : האינטגרל מתבדר כיוון ש -

0

00

1limlim ee

asas

edtesF bas

b

btas

b

tas

ממשי מתקיים 0a לכל :לסיכום asas

seL ta

;1

3.1

נמצא את התמרת לפלס של הפונקציה :1.3דוגמא tzetf עבור Cz :

iz נסמן :פתרון 21 R21 , . לפי הגדרת התמרת לפלס :

sze

szdtedtedteestfLsF bsz

b

b

tsz

b

tsztszt 11limlim

000

isssנסמן 21 Rss 21 מנוסחת אוילר . , 2222 sincos22 sisesi

- נובע ש 1sincos 22

2

22

222

ssesi ולכן

0limlim 11

bs

b

bsz

bee

011- בתנאי ש s .

מתקיים :לסיכום zszs

seL tz ReRe;1

4.1

נמצא את התמרת לפלס של הפונקציה :1.4דוגמא

ctA

ctAtf

;

0;

2

1

RcAAcעבור ,,;0 21 .

5


b

c

ts

b

cts

s

b

c

ts

b

c

ts

c

ts

c

tsts

s

eA

s

eA

dteAdteA

dteAdteAdtetfstfLsF

lim

lim

2

0

1

0

2

0

1

2

0

1

0

s

eAeA

ees

Ae

s

A

scsc

s

scbs

b

sc

s

21

0

0

21

0

1

lim1

:משפט

תהי tf רציפה למקוטעין בקרן הימנית ,0יהיו . ומקבלת ערכים מרוכביםA0- וk שני

: קבועים ממשיים כך שמתקיים tAektf 0 לכלt , אזי :

התמרת לפלס .א stfL מוגדרת לכל s ממשי עבורו As .

מתקיים .ב 0lim5.1

stfLs

האינטגרל המוכלל , נראה כי בתנאי המשפט :הוכחת א

0

dttfestfL st מתכנס בהחלט ,

Asלכל . ולכן מתכנס מתקיים :

As

kseLkdteekdtekedttfedttfe AtAtstAtststst

0000

עבור הפונקציה :1.5דוגמא taetf כאשר Ra .

: מתקיים השוויון 0tלכל tata eetf כלומר aA 1- וk ולכן התמרת לפלס

seL ta מוגדרת לכל s ממשי עבורו as .

עבור הפונקציה :1.6דוגמא tzetf כאשר Cz .

Cz משמע קיימים Ryx ,כך ש -iyxz . 0לכלt מתקיים השוויון :

6

txtxytitxytitxtiyxtz eeeeeeeetf

1

zxAכלומר Re1- וk ולכן התמרת לפלס seL tz מוגדרת לכל s ממשי

zsעבורו Re .

לפונקציה :1.7דוגמא נגדית 2tetf אין התמרת לפלס כלומר זו איננה פונקצית מקור .

: הסבר

: שני קבועים ממשיים כך שמתקיים0k- וAנניח בשלילה כי קיימים tAektf לכל

0t , אזי התמרת לפלס stfL מוגדרת לכל s ממשי עבורו As .

keekeektf AtttAttA 22

מתקיים

Att

te

2

lim , כלומר הפונקציהAtte 2

0k- וAובפרט לא קיימים , איינה חסומה

: קבועים ממשיים כך שמתקיים tAektf 0 לכלt .

הסבר זה לא מוכיח כמובן שההתמרה seL t2

כיוון שהמשפט מספק תנאי מספיק אך לא ) לא קיימת

במקרה זה יש להראות כי האינטגרל . (הכרחי לקיום התמרת לפלס dte stt

0

2

. מתבדר

תכונת הלינאריות של התמרת לפלס

: משפטתהיינה tfו - tg פונקציות מקור המוגדרות בקרן ,0

נניח כי התמרת לפלס של tfו - tg קיימות לכל as ,אזי : קיימת התמרת לפלס של פונקצית הסכום .1 tgtf ובפרט לכל as מתקיים :

stgLstfLstgtfL 6.1

קיימת התמרת לפלס של פונקצית הכפל בסקלר Cלכל קבוע מרוכב .2 tf

asובפרט לכל מתקיים : stfLstfL 7.1

נמצא את התמרת לפלס של הפונקציה :1.8דוגמא attf sin לכל Ra0 .

: פתרון

נשתמש בנוסחא i

eeat

tiatia

2sin

ובתכונות הלינאריות ונקבל :

seLseLi

si

eeLsatL tiatia

tiatia

2

1

2sin

7

iaz פעם אחת עם 1.4נשתמש בנוסחה 1 ופעם נוספת עם iaz 2 :

מהדרישות 0ReRe 1 iazsו - 0ReRe 2 iazs 0 נובע כיs : ולכן

2222

2

2

1

2

1

11

2

1

2

1sin

as

a

as

ia

iiasias

iasias

i

iasiasiseLseL

isatL tiatia

קבלנו את הנוסחא : לסיכום 0;sin8.122

sas

asatL

Ra0 לכל :1.9דוגמא 0;cos9.122

sas

ssatL

הוכחה באופן דומה עם שימוש בנוסחא :פתרון 2

costiatia ee

at

נמצא את התמרת לפלס של הפונקציה :1.10דוגמא attf sinh לכל Ra .

:פתרון

נשתמש בנוסחא 2

sinh

ee

: ובתכונות הלינאריות ונקבל

seLseLsee

LsatL tatatata

2

1

2sinh

as ונקבל לכל 1.3נשתמש בנוסחה :

2222

2

2

1

2

1

11

2

1

2

1sinh

as

a

as

a

asas

asas

asasseLseLsatL tata

: קבלנו את הנוסחא:לסיכום asas

asatL

;sinh10.1

22

as ולכל Ra לכל :1.11דוגמא מתקיים asas

ssatL

;cosh11.1

22

הוכחה באופן דומה עם שימוש בנוסחא:פתרון 2

cosh

ee

8

פונקציות מקור של התמרת לפלס של נגזרות

:משפט

תהי tf רציפה למקוטעין בקרן ,0 עם A0- וk שני קבועים ממשיים כך

שמתקיים tAektf 0 לכלt 0 ונניח עוד כי לכלt הנגזרת tf פונקציה רציפה

: למקוטעין אזי Asלכל קיימת התמרת לפלס של הנגזרת tf ובפרט מתקיימת הנוסחא :

01.2 fstfLsstfL

: הוכחה

00lim

limlim

**

00***

00

*00

fstfLsdttfesfbfe

dttfestfedttfedttfestfL

stfL

stbs

b

b

stb

st

b

b

st

b

st

: הסברים(*)

dttfestfedttfestfetfvesu

tfveudttfe stststst

st

st

st

בנתוני המשפט ולפי משפט קודם שלמדנו התמרת לפלס (**)

0

dttfestfL st

Asמוגדרת לכל .

נגדיר (***) bfebg bs

00

As

bbAsbs

bA

bsbs e

k

e

ek

e

bf

e

bfbg

נובע כי , לפי כלל הסנדויץ , ולכן 0

b

bs bfebg לכל As

את התמרת לפלס של , 2.1באמצעות המשפט והגדרה , נחשב :2.1דוגמא ttf .

פתרון

: מתקיים 1 tfו - 00 f לפי נוסחא קודמת, ולכן : stLssL 1

חשבנו בעבר כי s

sL1

1 0 לכלsולכן נקבל : 0;1

2 s

sstL

9

ם א:טענה tfו - tf הן פונקציות מקור רציפות למקוטעין בקרן ,0ו - tf היא

: פונקצית מקור אזי 002.2 2 ffsstfLsstfL

נציב בנוסחא קודמת : הוכחה tftg ונקבל

0000

00

2 ffsstfLsffstfLss

fstfLsgstgLsstgLtfL

: ניתן להכליל ולהוכיח את הנוסחא הבאה, באופן דומה

אם :טענה tftftftf n ,,,1 ו - tf הן פונקציות מקור רציפות למקוטעין בקרן

,0ו - tf n היא פונקצית מקור אזי :

0003.2 121 nnnnn ffsfssfLsstfL

נחשב התמרת לפלס של :2.2דוגמא nttf לכל nטבעי .

:פתרון

: מתקיים 00000 1 nffff ו - !ntf n

: 2.3לפי נוסחא , ולכן stLssnL nn !

לפי תכונת הלינאריות והנוסחא s

sL1

1 מתקיים s

nsLnsnL

!1!!

: ולכן נקבל 0;!

4.21

ss

nstL

n

n

נחשב התמרת לפלס של :2.3דוגמא ttf 4cos .

:פתרון

מתקיים : מצד אחד ttttf sincos4cos 34

ולכן

164

440

4

4

2

1

2

2

4sin2

12sin2cos2sin2sin

2cos12sincos2cossin2sincos4

22

2

2222

23

ss

s

ss

stLstLsttLstL

sttLstttLsttLstfL

עבור 2.1מנוסחה : מצד שני ttf 4cos המקיימת 10 f מקבלים כי :

1coscos 44

stLsstL

: נשווה בין שני הביטויים ונקבל

1cos164

240 4

22

2

stLs

ss

s

10

נחלץ את stL 4cos : 164

2416cos

22

244

sss

ssstL

גזירת תמונה של התמרת לפלס

:משפט

אם tfהיא פונקצית מקור אזי : stfLstftL5.2

כאשר stfL היא הנגזרת הראשונה של התמרת לפלס stfL .

: הוכחה

stftLdttfte

dttfetdttfeds

dstfL

ds

dstfL

dttfestfL

ts

tsts

ts

0

00

0

נחשב התמרת לפלס של :2.4דוגמא t

ttf

sin .

:פתרון

:מתקיים ttft sin כאשר ידוע לנו כבר כי 0;1

1sin

2

s

sstL

: 2.5לפי נוסחה , ולכן

t

tLstL

sinsin כלומר

21

1sin

st

tL

: י אינטגרל לא מסוים על שני אגפים נקבל"ע

Csdsst

tL

arctan

1

1sin2

( : 1מפרק ) 1.5 נשתמש בתכונה Cעל מנת למצוא את הקבוע

20

20arctanlim0

sinlim

2

CCCst

tL

ss

arctan;0: לסיכום2

sin

ss

t

tL

(. נראה בהמשך דרך שונה לחישוב התמרה זו )

:הכללה

אם tfהיא פונקצית מקור אזי : nnn stfLstftL 16.2

11

כאשר nstfLהיא הנגזרת ה -n - ית של התמרת לפלס stfL .

נחשב התמרת לפלס של :2.5דוגמא nttf . ( 2.4 נוסחה –חשבנו קודם בדרך אחרת )

:פתרון

ידוע לנו כבר כי s

sL1

1 0 לכלs . נוכל לרשום את tfבאופן הבא : 1 nttf

: 2.6לפי נוסחא , ולכן

11

0

!!11

11111

nn

nn

n

n

s

nnn

s

n

s

n

ssLstL

:2.4כלומר קבלנו שוב את נוסחא 0;!1

ss

nstL

n

n

נחשב התמרת לפלס של :2.6דוגמא atn ettf עבור Ra .

:פתרון

ידוע לנו כבר כי as

seL at

1as לכל .

: 2.6לפי נוסחא , ולכן

11

!!11

111

nn

nn

n

n

as

natnatn

as

n

as

n

asseLsetL

:כלומר קבלנו את הנוסחא

asas

nsetL

n

atn

;!

7.21

Ra לכל

אינטגרציה של פונקצית מקור

:משפט

אם tf 0 היא פונקצית מקור והאינטגרל אזי לכלs :

s

stfLsdfL

t

0

8.2

12

נחשב התמרת לפלס של :2.7דוגמא t

d0

cosh .

:פתרון

נשתמש בזהות 2

cosh

ee

ובתכונות הלינאריות של האינטגרל המסוים ושל התמרת לפלס

: ונקבל

sdeLsdeL

sdedeLsdee

LsdL

tt

tttt

00

0000

2

1

2

1

2

1

2cosh

פעם אחת עם 2.8כעת נשתמש בנוסחה ef ופעם אחת עם efונקבל :

22

000

111

2

1

1

2

1

1

2

1

2

1

2

1cosh

sssss

s

s

s

sdeLsdeLsdL

ttt

: לפי תכונת הלינאריות ונוסחאות קודמות שחשבנו נקבל כי

41

2coscos22

p

p

p

pptLptLptfL

אינטגרציה של תמונה

:משפט

אם tf היא פונקצית מקור והאינטגרל

s

dpptfLאזי, קיים :

s

dpptfLst

tfL9.2

נחשב התמרת לפלס של :2.8דוגמא

t

tttg

2coscos .

:פתרון

: נסמן tttf 2coscos ( אזי : t

tftg )

: נקבל כי1.9לפי תכונת הלינאריות ונוסחא

41

2coscos22

p

p

p

pptLptLptfL

13

: 2.9לפי נוסחה , ולכן

1

4ln

2

1

4

1ln

2

1

4

1ln

4

1ln

2

1lim

4

1ln

2

1lim

4

2

1

2

2

1lim

41

2

2

2

2

2

2

01ln

1

2

2

2

2

2222

s

s

s

s

s

s

b

b

p

p

dpp

p

p

pdp

p

p

p

pdpptfLs

t

tfLstgL

b

b

sb

b

sb

ss

translationמשפט ההזזה

:משפט

אם tf היא פונקצית מקור אזי לכל מספר ממשי Raמתקיים :

astfLstfeL at 10.2

כאשר astfL זוהי התמרת לפלס של tf המחושבת בנקודה המוזזת as .

:הוכחה astfLdttfedttfeestfeL tasattsat

00

נחשב התמרת לפלס של :2.10דוגמא tettg 52 .

: נסמן 2ttf . 2 עם 2.4לפי נוסחהn נקבל 3

2 !2

sstL 0 לכלs

05 נקבל כי לכל 2.10לפי נוסחה s , 5כלומר לכלs :

3

2

5

25

sstLstgL

נחשב התמרת לפלס של :2.11דוגמא tetg t 4sin3 .

: נסמן ttf 4sin . 1.8לפי נוסחה 16

44sin

2

sstL 0 לכלs


163

434sin

2

s

stLstgL

נחשב התמרת לפלס של :2.12דוגמא tetg t 3cosh4 .

: נסמן ttf 4cosh . 1.11לפי נוסחה 9

3cosh2

s

sstL 3 לכלs

14


78

4

94

443cosh

22

ss

s

s

sstLstgL

: נובעות הנוסחאות הבאות1.9 - ו1.8מנוסחת ההזזה ומנוסחאות

asbas

asbteL at

;cos11.2

22

asbas

bbteL at

;sin12.2

22

( (scalingשינוי קנה מידה

:משפט

אם tf 0 היא פונקצית מקור אזי לכל מספר ממשי חיוביaמתקיים :

a

stfL

asatfL

113.2

כאשר

a

stfL זוהי התמרת לפלס של tf המחושבת בנקודה

a

s .

. לתכונה זו יש רק משמעות תיאורטית ולכן לא נדגים אותה כאן, למעשה

15

התמרת לפלס של פונקציה רציפה למקוטעין , פונקצית הביסייד

:הגדרות וסימונים

: היא פונקציה בחלקים מהצורה( Heviside )פונקצית הביסייד .1

0;0

0;10

t

ttuth

: נגדיר פונקצית הביסייד כללית0cלכל .2

ct

cttuc

;0

;11.3

0)(גרפים של הפונקציות tu ו -)(tuc בהתאמה 3.2- ו3.1 נתונים בציורים

1

c

3.1איור 3.2 יורא

אם .3 tf מוגדרת לכל ct עבור הפונקציה בחלקים מהצורה :

ct

cttftg

;0

;

: מתקיים tftutg c . כלומר

ct

cttftftuc

;0

;2.3

012 נובע כי עבור 2- מ .4 cc מתקיים :

21

21

0;וגם

;13.3

21 ctct

ctctutu cc ( 3.3איור )

012 נובע כי עבור 4- ו3- מ .5 cc מתקיים :

21

21

0;וגם

;4.3

21 ctct

ctctftftutu cc ( 3.4איור)

tf

1

21 cc 21 cc

3.3 יור א 3.4 יורא

16

: התמרת לפלס של פונקצית הביסייד

מתקיים 0sלכל s

esLestuL

cscs

c

15.3

: הוכחה

s

eee

ss

edtedttuestuL

cs

s

csbs

b

b

c

st

bc

st

c

st

c

00

1limlim1


0;2וגם4

42;1

tt

ttf .

: במקרה זה מתקיים tututf 42 0 נקבל כי לכל 3.5 ולכן מתכונת הלינאריות ומנוסחהs

ssss

eess

e

s

estuLstuLstutuLstfL 42

42

4242

1

:(הכללה של נוסחא קודמת )משפט

תהי tf 0אזי לכל , פונקצית מקורcמתקיים :

stfLesctftuL cs

c 6.3

: הוכחה

0

0 0 0

0

st stc c

c

s x c s x s c s c s x s c

L f s

x t c

dx dtL u t f t c s e u t f t c dt e f t c dt

t c x

t x

e f x dx e e f x dx e e f x dx e L f s

נחשב התמרת לפלס של :3.2דוגמא 2

2 2 ttutg .

- ו2cבמקרה זה 2ttf ( 222 ttf ) 3.6לפי נוסחה , ולכן :

3

2222

2

22

sestLesttuLstgL ss

למציאת התמרת לפלס של פונקציה מהצורה 3.6כדי להשתמש בנוסחה tftuc צריך למצוא

פונקציה tgכך ש - ctgtf ואחר כך לטפל בפונקציה ctgtuc .

17


3

2;0

3

2;

3

2cos

t

tt

tg .

נוכל לרשום את tgבאופן השקול הבא :

3

2cos

3

2

ttutg

במקרה זה 3

2cו - ttf cos (

3

2cos

3

2 ttf ) 3.6לפי נוסחה , ולכן :

1

cos3

2cos

2

3

2

3

2

3

2

s

sestLesttuLstgL

ss

נחשב התמרת לפלס של :3.4דוגמא tuttg 4

24 .

- ו4cבמקרה זה 2ttf ( 244 ttf ) 3.6לפי נוסחה , ולכן :

3

4242

4

24

sestLesttuLstgL ss

למציאת התמרת לפלס של פונקציה מהצורה 3.6כדי להשתמש בנוסחה tftuc צריך למצוא

פונקציה tgכך ש - ctgtf ואחר כך לטפל בפונקציה ctgtuc .

:(נובעת ממשפט קודם )טענה

תהי tgפונקצית מקור כך ש - tfctg 0 לכלcאזי מתקיים :

stgLestftuL cs

c 7.3

נחשב התמרת לפלס :3.5דוגמא tutL 2 :

- ו2cבמקרה זה ttf ( 2 ttg ) 3.7לפי נוסחה , ולכן :

2 22 2

2 2 2

2 2

2 2 2

1 1 1 22 1 2

s s

s s s

L t u t s e L u t t s e L t s

se L t s L s e e

ss s

נחשב התמרת לפלס של :3.6דוגמא tuttg 4

2 .

- ו4cבמקרה זה 24 ttf ( 2

444 ttf ) 3.7לפי נוסחה , ולכן :

18

ssse

sLstLstLesttLe

stLesttuLsttuLstgL

s

ss

s

116

18

2

1168168

444

23

4

2424

242

4

2

4

:נחשב התמרת לפלס של הפונקציה :3.7דוגמא

3;

31;3

10;1

2 te

t

t

tft

:

ניתן להציג את tf באופן הבא :

tuetututututf t

3

2

1310 31

2sולכן לכל

20 1 3 1 3

3 6 32

0 1 3 3

*

3

12 3 2 3

2

t

s s st

L f t s L u t L u t L u t L u t L e u t

e e eL u t L u t L u t L e u t

s s s s

: חישובי עזר

3.5לפי נוסחא * s

estuL

cs

c

נקבל : s

stuL1

0 , s

estuL

s

1

וגם s

estuL

s3

3

לפי הנוסחא stgLestftuL cs

c 3 עםcו - teetg 26

: נקבל

2

1

2

1 3636263

3

2

se

seeseLeestueL sstst

19

התמרת לפלס של פונקציה מחזורית

: פונקציה מחזורית–הגדרה

ממשי בתחום הגדרתה מתקיים t אם לכל T בעלת מחזור פונקציה מחזוריתנקראת tf)(פונקציה

: הגדרה)0( Tמקור מחזורית - פונקציותtf)(תהי T . אזי

T

st

Tsdttfe

estfL

0

)(1

1)(1.4

: ההבא Tמחזורית ה הפונקציהמצא התמרת לפלס של :4.1דוגמא

21,1

10,1)(

t

ttf , 2T ( 4.1איור ראה)

. 4.1איור

נובע 4.1 -מ :פתרון

2 1 2

2 2

0 0 1

1 2

2

2 2

0 1

2 2

2

/ 2

1 1( ) ( ) 1 ( 1)

1 1

1 11

1 1

1 12 1 (1 )

(1 )(1 )1

1 (

(1 )

st st st

s s

st sts s s

s s

s s s

s ss

s s

s

L f t s f t e dt e dt e dte e

e ee e e

s se s e

e e es e es e

e e

s e

/ 2 / 2

/ 2 / 2 / 2

1 ) 1 1tanh( ).

2(1 )

s s s

s s s s

e e e s

s ss e e e e

20

: ההבא Tמחזורית ה הפונקציהמצא התמרת לפלס של . 2

2,1

0,)(

t

tttf , 2T , ( 4.2איור ראה .)

. 4.2 ציור

:ובעזרת אינטגרציה בחלקים נקבל 4.1 -מ :פתרון

.)1(

1)1(

1111

1

1

1

1

1

11

1)(

1

1)(

22

2

2

222

2

022

2

0

2

2

0

2

s

sss

ssss

s

ststst

s

stst

s

st

s

es

seees

es

ess

es

ese

s

ee

se

s

t

e

dtedtete

dtetfe

stfL

21

(Dirak)פונקצית דלתא של דירק

זו . במובן רחב יותר "פונקציה "אלא , פונקצית דלתא של דירק איננה פונקציה במובן הרגיל המוכר לנו . למעשה פעולה מסויימת מעל פונקציות

על מנת להגדיר את פונקצית דירק בצורה מתמטית מדוייקת אנו נזקקים לידע מתמטי החורג ממסגרת ". הגדרה"לפיכך אנו ניתן מעין . לימודי ההנדסה

י " או עaי "פונקצית דלתא של דירק מסומנת ע at פונקצית האימפולס ונקראת לפעמים

. aבנקודה . לפונקצית דלתא יש יישומים חשובים בתחומים רבים של מדע וטכניקה

": הגדרה"

המקיימת a" פונקציה"ה. מספר ממשי נתוןaיהי afdtttfA

a 1.5

פונקצית נקראת , a המכילה סביבה של Aועבור כל קבוצה , a בסביבת fלכל פונקציה רציפה

. aדלתא של דירק בנקודה

. a הרציפה בנקודה f המקיימת את דרישות ההגדרה לכל aלמעשה לא קיימת פונקציה רגילה

aאלא כפונקציה הפועלת על פונקציות, איננה קיימת במובן הרגיל של פונקציות .

: היא כגבול של תהליךaאחת הדרכים המקובלות לתאר את

: נגדיר פונקציה0cלכל

cacat

cacatc

tC

,;0

,;2

1

2.5

: aתכונות של הפונקציה

1. 13.5

dttc

2.

at

attc

c ;

;0lim4.5

0

22

" ניתן להבין כגבול aאת פונקצית דירק tc

c

0lim "( הגבול לא קיים במובן הרגיל 5.4לפי )

מקיימת את התכונה a- נראה ש afdtttfA

a :

: אזי מתקיים, RA ותהי a רציפה בסביבת fתהי

aftfctfc

dttfc

dtttfdtttfdtttfdtttf

cc

cc

ca

cac

cc

cc

a

A

a

00

*

0

00

lim22

1lim

2

1lim

limlim

catcaקיימת נקודה , לפי משפט ערך הביניים האינטגרלי(*) c כך ש -

ctfcacatfdttf cc

ca

ca

2

.

catca- כיוון ש c , כי (' לפי כל הסנדוויץ )נובעatcc

0

lim

: התמרת לפלס של פונקצית דירק

: מתקיימת הנוסחא הבאה0aלכל as

a

st

a edttestL

0

5.5

: תכונה שימושית של פונקצית דירק

0;1

6.5

a

a

bt

abat

נחשב התמרת לפלס של :5.1דוגמא tttf 42 35 .

: 5.5לפי נוסחא

ss eestLstLsttLstfL 42

4242 353535

נחשב התמרת לפלס של :5.2דוגמא 524 ttf . : 5.5- ו5.6לפי נוסחאות

25

25 22

2

5

2

14524

s

estLstLstLstfL

נחשב התמרת לפלס של :5.3דוגמא ttttf lncos .

23

: לפי הגדרת התמרת לפלס מקבלים

lnlncoslncos

lncoslncos0

ss

t

st

st

eeett

dtetttstttLstfL

24

התמרות לפלס הפוכות

י "כעת נעסוק במציאת פונקצית מקור ע. בפרקים קודמים חשבנו התמרות לפלס של פונקציות מקור

כלומר לכל פונקצית . ( 1Lסימון )לפעולה זו קוראים התמרת לפלס הפוכה . תמונת לפלס שלה

מקור tf המקיימת stfLsF מתקיים tftsFL 1 .

:הגדרה

tf היא היא התמרת לפלס הפוכה של sFאם מתקיים : sFstfL

: סימון tsFLtf 11.6

. כדי למצוא פונקצית מקור בהינתן התמונה שלה יש להשתמש בטבלת התמרות לפלס

נחשב התמרת לפלס הפוכה של :6.1דוגמא s

sF1

.

1111

t

sLtsFLtf

נחשב התמרת לפלס הפוכה של :6.2דוגמא 4

22

s

sF .

tts

LtsFLtf 2sin4

22

11

נחשב את התמרת לפלס ההפוכה של :6.3דוגמא 4

2

6

ssF.

: נשתמש בנוסחא 1

!

n

nat

as

nsteL 3 עםn2- וaונקבל כי :

32

4

11

2

!3tet

sLtsFL t

: תכונת הלינאריות של התמרת לפלס ההפוכה

נניח כי tfו - tg התמרות לפלס הפוכות של sFו - sGו -C , אזי

1.

tgtftsGLtsFLtsGsFL 1112.6

2.

tftsFLtsFL 113.6


52

s

ssF .

25

tts

sLt

s

sLtsFLtf 3cos5

35

9

522

1

2

11


33122

s

s

ssF .

tetts

sLt

sLt

s

s

sLtsFL t 2cos3

41

13

1

41

3312

1

2

1

22

11


6

4

922

ss

sF .

ttts

Lts

L

ts

Lts

Ltss

LtsFLtf

5sinh5

62sin

2

9

5

5

5

6

2

2

2

9

5

16

4

19

5

6

4

9

22

1

22

1

2

1

2

1

22

11

: התמרה הפוכה של פונקציות רציונאליות


ss

ssF .

: ראשית נמצא פירוק הביסייד 4242822

s

B

s

A

ss

s

ss

ssF

: מכנה משותף והשוואת מונים ssBsA 24

46 נקבל 4sמהצבת B כלומר 3

2B

26 נקבל 2sמהצבת A כלומר 3

1A

לכן פירוק הביסייד של sFהנו : 4

1

3

2

2

1

3

1

sssF

: מתכונת הלינאריות של התמרה הפוכה ומלוח ההתמרות נקבל

tt ee

ts

Lts

Ltss

LtsFL

42

1111

3

2

3

1

4

1

3

2

2

1

3

1

4

1

3

2

2

1

3

1


ss

ssF .

542הגורם הריבועי ss (אחרת היינו נוקטים בדרך זהה לדוגמא קודמת ) איננו פריק

26

: אולם ניתן לרשום

12

12

12

2

12

22

1214454 222222

ss

s

s

s

s

s

ss

s

ss

ssF


tetet

sLt

s

sL

tss

sLtsFL

tt sin2cos12

12

12

2

12

12

12

2

22

2

1

2

1

22

11


2

1

52

s

sssF .

2

3

11

3

1

211 2

1

46

1

1

1

412

2

teets

Lts

Lts

ssLtsFLtf tt

s

נחשב התמרת לפלס הפוכה של :6.10 דוגמא 204

462

ss

ssF .

2042הגורם הריבועי ssאיננו פריק אולם ניתן לרשום :

22222242

42

42

26

1644

826

204

46

ss

s

ss

s

ss

ssF


1 1

2 22 2

1 1 2 2

2 22 2

2 46 2

2 4 2 4

2 46 2 6 cos 4 2 sin 4

2 4 2 4

t t

sL F s t L t

s s

sL t L t e t e t

s s

: התמרה הפוכה עם פונקצית הביסייד

ראינו כי אם3בפרק tf 0אזי לכל , פונקצית מקורcאז מתקיים :

stfLesctftuL cs

c 6.3

: מנוסחא זו נובע ctftutstfLeL c

sc 14.6

:ובכתיב שקול ctsgLtutsgeL c

sc 114.6

27

: נחשב התמרת לפלס ההפוכה של הפונקציה :6.11דוגמא 1

2

s

esF

s

- ו2c עם 6.4נשתמש בנוסחא 1

1

ssg

: ונקבל 2

2

1

2

211 21

1

1

1

ts etut

sLtut

seLtsFL

:נחשב התמרת לפלס ההפוכה של הפונקציה : 6.12דוגמא 2

2

s

esF

s


1

sstfLsg

: ונקבל

42

2

22

2

1

2

211 22

1

2

1

tts etuetut

sLtut

seLtsFL

נחשב התמרת לפלס הפוכה של :6.13דוגמא ses

sF 2

6

5 .


5

ssg

1 1 2 126 6

551

2 26

5 52

12 ; 25 5! 1

2 2 245! 24

0 ; 0 2

sf t L F s t L e t u t L ts s

t tu t L t u t t

st

נחשב התמרת לפלס הפוכה של :6.14דוגמא s

es

ssF

5

4

2 25

.

עם 6.4נשתמש בנוסחא 5

4cו -

252

s

ssg

4

1 1 1542 2

5

4 4

5 5

4

525 25

4cos 5 4 ;

4 5cos 5 cos 5 4

450 ; 0

5

ss sf t L F s t L e t u t L t

s s

t t

u t t u t t

t

28

קונבולוציה

: הגדרהתהיינה tfו - tg פונקציות מקור המוגדרות בקרן ,0 , באמצעות * נגדיר ביניהן פעולה

: אינטגרל באופן הבא

t

dxxgxtftgf0

*1.7

. g- וfקונבולוציה בין נקראת *הפעולה

נחשב קונובולוציה בין :7.1דוגמא ttf sinו - ttg cos

tt

tttt

xtxtdxxtt

dxxxtxxtxdxxttttgf

t

tt

tt

sin2

1

2

cos0

2

cossin

2

1

2

2cossin

2

12sinsin

2

1

sinsin2

1cossincos*sin*

cos

00

00

נחשב קונובולוציה בין :7.2דוגמא tetf ו - 2ttg

: לפי הגדרת הקונבולוציה

t

xt

t

xtt dxxeedxxetetgf0

2

0

22**

: נבצע אינטגרציה בחלקים ונקבל

222222

22*

22

0

2

0

22

ttettee

xxeedxxeette

ttt

txt

t

xtt

תכונות של קונבולוציה

קונבולוציה .1 tgf . היא פונקצית מקור*

: קומוטטיביות .2 tfgtgf **2.7

29

: הוכחה

tgfduugutfduutfug

duutfug

tutu

dxdu

xtu

dxxfxtgtfg

tt

t

t

*

0,0

*

00

0

0

משפט הקונבולוציה .3 sgLsfLsgfL *3.7

נחשב התמרת לפלס של הקונובולציה בין הפונקציות :7.3דוגמא ttf sinו - tutg

: נובע ( 7.3נוסחה )ממשפט הקונבולוציה

11

1sin*sin

22

ss

e

s

e

sstuLstLstutL

ss

נחשב התמרת לפלס של הפונקציה :7.4דוגמא

t

xdxxttF0

2cosh.

נובע כי ( 7.1נוסחה )מהגדרת הקונבולוציה tttF cosh*2

נובע ( 7.3נוסחה )ממשפט הקונבולוציה

1

2

1

2coshcosh*

2223

22

sss

s

sstLstLsttL

מסקנה ממשפט הקונבולוציה .4

אם stfLsF ו - stgLsG אזי מתקיים

tsGLtsFLtsGsFL 111 *4.7

נחשב התמרת לפלס הפוכה של :7.5דוגמא 22 1

1

ssH

1 1 1

2 2 22

1 1

2 2

1 1 1

1 11

1 1* sin *sin

1 1

L H s t L t L ts ss

L t L t t ts s

נחשב את קונובולוציה בין ttf sinו - ttg sin

30

2

cossin0

2

sincos

2

sin

2

1

cos2

2sin

2

1cos2cos

2

1

coscos2

1sinsinsin*sin*

sin

00

00

tttttt

t

xttx

dxttx

dxxxtxxtxdxxttttgf

t

tt

tt

נחשב התמרת לפלס הפוכה של :7.6דוגמא 22 1

s

ssH

1 1 1

2 2 22

1 1

2 2

1

1 11

1* cos *sin

1 1

s sL H s t L t L t

s ss

sL t L t t t

s s

tttt את הקונבולוציה 7.1חשבנו קודם בדוגמא sin2

1cos*sin

:ולכן tttttsHL sin2

1sin*cos1

שימושים של קונבולוציה .חישוב התמרות הפוכות .1

(נראה בפרק של שימושים ). פתרון משוואות אינטגרודיפרנציאליות .2

31

שימושים : התמרות לפלס

: בפרק זה נראה מספר שימושים להתמרות לפלס .חישוב אינטגרלים מוכללים .1

.דיפרנציאליות-פתרון משוואות אינטגרליות ואינטגרו .2

.פתרון בעיות התחלה עם מקדמים קבועים .3

.פתרון מערכת בעיות התחלה של משוואות מסדר ראשון במקדמים קבועים .4

חישוב אינטגרלים מוכללים 8.1

נחשב את האינטגרל המוכלל :8.1דוגמא

0

3 2cos dtte t .

: נגדיר התמרת לפלס :1דרך

0

2cos dttesF st .

זוהי התמרת לפלס של הפונקציה ttf 2cos וידוע כי מתקיים

4

2cos2

s

sstLsF

ולכן 3sהאינטגרל הנתון הנו מקרה פרטי של ההתמרה שהגדרנו עם

13

3

43

332cos

2

0

3

Fdtte t

: נגדיר התמרת לפלס :2דרך

0

3 2cos dtteesF tst .

זוהי התמרת לפלס של הפונקציה tetf t 2cos3 וידוע כי מתקיים

43

32cos

2

3

s

ssteLsF t


13

3

403

0302cos

2

0

3

Fdtte t

חשב את האינטגרל :8.2דוגמא

0

32 2cos dttetI t.

: 1דרך

: נסמן tettf t 2cos32 של 2 בפרק 8 לפי הגדרה של התמרת לפלס ולפי תוצאה של תרגיל .

: 3sהתרגילים הנוספים לכל

32

2

0

32

43

123322cos

s

ssdtetetstfLsF stt

32

האינטגרל הנתון

0

32 2cos dttetI t 0 הוא מקרה פרטי של התמרה זו עבורs הנמצא בתחום

: ההגדרה של ההתמרה ולכן

2197

18

13

332

43

1233202cos

3

0

32

2

0

32

s

t

s

ssFdttetI

: 2דרך

: נסמן tttf 2cos2 .לפי הגדרה של התמרת לפלס :

0

2 2cos dtettstfLsF st

: נחשב את ההתמרה

0;4

122

42cos2cos

32

2

2

2

s

s

ss

s

sstLsttLstfLsFה

אינטגרל הנתון

0

32 2cos dttetI t 3 הוא מקרה פרטי של התמרה זו עבורs הנמצא בתחום

: ההגדרה של ההתמרה ולכן

2197

18

13

332

4

12202cos

3

3

32

2

0

32

s

t

s

ssFdttetI

.דיפרנציאליות- פתרון משוואות אינטגרליות ואינטגרו8.2

:8.3דוגמא

נמצא פתרון למשוואה האינטגרלית tdxxtxftf

t

0

sin3 .

: פתרון

:מהגדרת הקונבולוציה נובע כי ttfdxxtxf

t

sin*sin0

ולכן נוכל לרשום ייצוג שקול של

: המשוואה tttftf sin*3 .

:נסמן sFstfL

: נפעיל התמרת לפלס של שני אגפי המשוואה stLsttftfL sin*3

: מתכונת הלינאריות נקבל stLsttfLstfL sin*3

33

: כעת נשתמש בתוצאות הבאות

2

2

11

1sinsin*

sstL

ssFstLstfLsttfL

: נציב במשוואה ונקבל 22

1

1

13

sssFsF

נחלץ את sF :

2 2

2

2 2

2

2 2

3 11

1

4 1

1

1

4

F ss s

sF s

s s

sF s

s s

: לאחר ביצוע פירוק הביסייד נקבל 4

1

4

31

4

1

4

12222

2

ssss

ssF

נמצא התמרת לפלס הפוכה tf :

ttts

Lts

Ltss

Ltf 2sin8

3

4

1

4

2

8

31

4

1

4

1

4

31

4

12

1

2

1

22

1

: פתרון tttf 2sin8

3

4

1

:8.4דוגמא

דיפרנציאלית -מצא פתרון למשוואה האינטגרו

t

xdxextftf0

21

המקיים 10 f .

: פתרון

:מהגדרת הקונבולוציה נובע כי t

t

x etfdxextf 2

0

2 * ולכן נוכל לרשום ייצוג שקול של

: המשוואה tetftf 2*1 .

:נסמן sFstfL

: נפעיל התמרת לפלס של שני אגפי המשוואה setfLstfL t2*1

: מתכונת הלינאריות נקבל setfLsLstfL t2*1

34


ssL

ssFseLstfLsetfL

sFsfsfLssfL

tt

11

2

1*

10

22

1


111

s

sFs

sFs

נחלץ את sfL :

21

2

1 11

2

2 1 1

2

2

1

s

F s ss s

s s sF s

s s

sF s

s s

: לאחר ביצוע פירוק הביסייד נקבל 1

12

1

2

ssss

ssF


tets

Lts

Ltss

Ltf

2

1

112

1

12 111

: פתרון tetf 2

:8.5דוגמא

דיפרנציאלית -מצא פתרון למשוואה האינטגרו 13 33

0

tt

t

eteduutfuf

המקיים 00 f , 00 f .

: פתרון

:מהגדרת הקונבולוציה נובע כי tftfduutfuf

t

*0

ולכן ניתן להציג את המשוואה

: הנתונה באופן השקול הבא 13* 33 tt etetftf .

: נשתמש בתכונת הלינאריות והקונבולוציה ונקבל, נפעיל התמרת לפלס על שני אגפי המשוואה

sLseLsteLstfLstfL tt 13 33

: ניעזר בתוצאות הבאות

35

2

3

3

0

3

13

1

11

0

ssteL

sseL

ssL

stfLfstfLsstfL

t

t

:נסמן sFstfL נציב במשוואה ונקבל : sss

sFsFs1

3

1

3

32

:באופן שקול נוכל לרשום 2

22

3

333

ss

sssssFs

נחלץ את sF :

3

3

3

9

3

922

2

2

2

sssF

sssF

sssF

: נמצא פירוק הביסייד 33

3

s

B

s

A

ss

: מכנה משותף והשוואת מונים 33 BssA

33 ונקבל 0sנציב A 1 כלומרA

33 ונקבל 3sנציב B 1 כלומרB


11

3

11

3

1

3

3 31111

tet

sLt

sLt

ssLt

ssLtf

עבור 13

1 tetf מתקיים tetf 3

1 3 ובפרט 0301 fולכן זה הפתרון המבוקש .

:פתרון 13 tetf

36

. ר לינאריות במקדמים קבועים" פתרון בעיות התחלה עם מד8.3

:8.6דוגמא

נמצא פתרון לבעיית ההתחלה

10;00

sin23

yy

tyyy

: פתרון

tyyyנפעיל התמרת לפלס על שני אגפי המשוואה sin23 ונקבל :

stLsyyyL sin23 : מתכונת הלינאריות נובע כי

stLsyLsyLsyL sin23

:נסמן sYstyL


0

0 1

2 2

2

0

0 0 1

1sin

1

L y s s L y s y s Y s

L y s s L y s s y y s Y s

L t ss


1231

2

2

ssYsYssYs

נחלץ את sY :

2

2

2

2

22

2

2

2 2

2

2

13 2 1

1

13 2 1

1

23 2

1

2

1 3 2

2.

1 1 2

Y s s ss

Y s s ss

sY s s s

s

sY s

s s s

sY s

s s s

: נחפש פירוק הביסייד מהצורה 121211

222

2

s

DCS

s

B

s

A

sss

s

: מכנה משותף והשוואת מונים יניבו את התוצאות הבאות

101,

103,

56,

23 DCBA

: ולכן

37

1

13

10

1

2

1

5

6

1

1

2

3

211

222

2

s

s

sssss

ssY

נמצא התמרת לפלס הפוכה tyy :

ttee

ts

Lts

sLt

sLt

sL

ts

s

ssLty

tt sin10

1cos

10

3

5

6

2

3

1

1

10

1

110

3

2

1

5

6

1

1

2

3

1

13

10

1

2

1

5

6

1

1

2

3

2

2

1

2

111

2

1

: פתרון לבעיית ההתחלה tteety tt sin10

1cos

10

3

5

6

2

3 2

:8.7דוגמא


00;10

cos22

yy

tyyy

: פתרון

tyyyנפעיל התמרת לפלס על שני אגפי המשוואה cos22 ונקבל :

stLsyyyL cos22 : מתכונת הלינאריות נובע כי

stLsyLsyLsyL cos22

:נסמן sYstyL


1

01

2 2

2

0 1

0 0

cos1


L y s s L y s s y y s Y s s

sL t s

s


2122

2

s

ssYsYsssYs

נחלץ את sY :

38

2

2

2

2

1 222 2

2 2 21

2 2 21

2

2 21 2 2

sY s s s s

s

sY s s s s

s

s sY s Y s Y s

s ss s s

222נעיר כי הגורם ss הוא אי פריק אך ניתן לבצע את ההשלמה לריבוע הבאה 112s

נחפש התמרת לפלס הפוכה tyy 2ל - 22

222

ss

ssY

tete

ts

Lts

sL

ts

sLt

s

sLty

tt sincos

11

1

11

1

11

11

11

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

כעת נחפש התמרת לפלס הפוכה tyy 1ל - 221 221

sss

ssY :

: נחפש פירוק הביסייד מהצורה 221221 22221

ss

DCs

s

BAs

sss

ssY

: מכנה משותף והשוואת מונים יניבו את התוצאות הבאות5

4,5

1,5

2,5

1 DCBA

: ולכן

11

1

5

3

11

1

5

1

1

1

5

2

15

1

1112222221

ss

s

ss

s

ss

ssY

נמצא את התמרת לפלס ההפוכה tyy 1 :

11 2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

1 2 1 1 1 3 1

5 5 5 51 1 1 1 1 1

1 2 1 1 1 3 1

5 5 5 51 1 1 1 1 1

1 2 1 3cos sin cos sin

5 5 5 5

t t

s sy t L t

s s s s

s sL t L t L t L t

s s s s

t t e t e t

פתרון לבעיית ההתחלה :

39

ttett

tetetetetttytyty

t

tttt

sincos25

2sin2cos

5

1

sincossin5

3cos

5

1sin

5

2cos

5

121

:8.8דוגמא


00;00

2 2

yy

tutyyy

: פתרון

נפעיל התמרת לפלס על שני אגפי המשוואה tutyyy 22 ונקבל :

stutLsyyyL 22 : מתכונת הלינאריות נובע כי

stuLstLsyLsyLsyL 22

:נסמן sYstyL


0

0 0

2 2

2

2

0

0 0

1

s



L t s

eL u t s

s

: נציב במשוואה ונקבל s

esYsYssYs

s

2

2 12

נחלץ את sY :

22

2

2 2

2

1 22 2

2 1 1

1

2 1 2 1

1

1 1

s

s

s

eY s s s

s

eY s

s s s s s

eY s Y s Y s

s s s

עבור 21

1

1

ssY התמרת לפלס הפוכה tyy 1היא :

ttets

Lty

2

1

11

1

כעת נחפש התמרת לפלס הפוכה tyy 2ל - 2

2

21

ss

esY

s

:

40


111

1

s

C

s

B

s

A

sssY

1,1,1: מכנה משותף והשוואת מונים יניבו את התוצאות הבאות CBA

: ולכן

2

2

2

2

21

1

1

11

1 ssse

ss

esY s

s

: מתקיים

tt teet

sLt

sLt

sLt

sssL

1

1

1

1

11

1

1

1

112

111

2

1

נמצא את התמרת לפלס ההפוכה tyy 2 :

נשתמש בנוסחה ctsgLtutsgeL c

sc 6.4 הנובעת מנוסחה 11

עם 2

1

1

1

11

ssssgו -2cוניעזר בתוצאה קודמת שחישבנו :

1 22 2

12 2

2 2

2

1 1 1

1 1

1 1 12

1 1

1 2

s

t t

y t L e ts s s

u t L ts s s

u t e t e

פתרון לבעיית ההתחלה :

22

221 21 ttt etetutetytyty

41

. פתרון מערכת משוואות לינאריות מסדר ראשון עם מקדמים קבועים8.4

צורה כללית של מערכת משוואות מסדר ראשון במקדמים קבועים

משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון במקדמים קבועים nנתונה מערכת של

tgtxatxatxadt

dx

tgtxatxatxadt

dx

tgtxatxatxadt

dx

nnnnnn

n

nn

nn

2211

222221212

112121111

nji הם מספרים קבועים לכל ijaכאשר המקדמים ,1 ,

הפונקציות tgtgtg n,,, 21 פונקציות רציפות בקטע משותף E .

משפט הקיום והיחידות מבטיח פתרון יחיד txtxtx n,,, 21 של המערכת המוגדר ושייך למחלקה

C בקטע E ומקיים את תנאי ההתחלה 00 ctxi , ni 1

ncccלכל סט של קבועים ,,, 21 ונקודה Et 0 .

:הצגה מטריציונית של המערכת tGXAX

כאשר

tx

tx

tx

tXX

n

2

1

. וקטור הפונקציות הנעלמות

tx

tx

tx

tXX

n

2

1

. וקטור הנגזרות של הפונקציות הנעלמות

njiijaA

1, מטריצת קבועים של מקדמי המערכת .

tg

tg

tg

tG

n

2

1

וקטור הפונקציות החופשיות tg i ni 1

42

בקטע פתרון של מערכת משוואות ba,הנו וקטור של פונקציות

tx

tx

tx

tXX

n

2

1

ואשר אם נציבן במערכת נקבל זהות לכל , הגזירות ברציפות בקטע bat , .

: תנאי התחלה/בעיית התחלה

ל עם סט של תנאי התחלה על ערכי הפונקציות הנעלמות בנקודה נתונה "מערכת משוואות לינאריות כנ

bat ,0 :

0

02

01

0

tx

tx

tx

tXC

n

בקטע פתרון של בעיית התחלה ba,הנו וקטור של פונקציות

tx

tx

tx

tXX

n

2

1

. המהווה פתרון למערכת המשוואות ובנוסף מקיים את תנאי ההתחלה

אנו נדגים פתרון באמצעות התמרת לפלס והעקרון הוא . ל"ישנן שיטות שונות לפתרון מערכת כנ. להפעיל התמרת לפלס על כל אחת ממשוואות המערכת תוך שימוש בתנאי התחלה

שנעלמיה הן התמרות לפלס של משוואות אלגבריותכתוצאה מכך מקבלים מערכת לינארית של . הפונקציות הנעלמות

פתרון המערכת האלגברית יתן לנו את וקטור ההתמרות של הפונקציות הנעלמות וביצוע התמרה . הפוכה ינפיק את פונקצית הפתרון לכל נעלם

:8.9דוגמא

מצא פתרון למערכת המשוואות עם תנאי ההתחלה

00;00

1

yx

etxty

tytx

t

: פתרון

: נפעיל התמרת לפלס על שני אגפי משוואות המערכת הנתונה ונקבל

seLstxtyL

sLstytxLt

1

: מתכונת הלינאריות נובע כי

seLstxLstyL

sLstyLstxLt

1


43

1

1;

11

0

00

0

sseL

ssL

sxLsxsxLssxL

syLsysyLssyL

t

נסמן sXsxL ו - sYsyL ,

: נציב במערכת המשוואות ונקבל

21

1

11

ssXsYs

ssYsXs

אם נכפול משוואה ראשונה ב -s , נחבר בין המשוואות ונחלץ את sX , נקבל :

111

11

1

22

ss

s

s

ssX

נחפש פירוק הביסייד 1111 22

s

CBs

s

A

ss

s

כאשר במקרה זה מתקיים 2

1 BCA

: ולכן

tte

ts

Lts

sLt

sLt

s

s

sLtx

t sin2

1cos

2

1

2

1

1

1

2

1

12

1

1

1

2

1

1

1

2

1

1

1

2

12

1

2

11

2

1

אם נכפול משוואה שנייה ב, באופן דומה -s , נחבר בין המשוואות ונחלץ את sY,

: נקבל

11

1

1

1

1

2

2

2

sss

ss

s

s

s

ssY

נחפש פירוק הביסייד 1111

122

2

s

DCs

s

B

s

A

sss

ss

- ו1Aכאשר במקרה זה מתקיים 2

1 DCB

: ולכן

tte

ts

Lts

sLt

sLt

sL

ts

s

ssLty

t sin2

1cos

2

1

2

11

1

1

2

1

12

1

1

1

2

11

1

1

2

1

1

1

2

11

2

1

2

111

2

1

: פתרון המערכת הנו, לסיכום

44

ttety

ttetx

t

t

sin2

1cos

2

1

2

11

sin2

1cos

2

1

2

1

: הערהנעיר כי ברגע שחשבנו את tx יכולנו לחשב את הנגזרת tx ולהציב במשוואה הראשונה של

המערכת 1 tytx ולחלץ את ty וזאת מבלי לחשב את sYואת ההתמרה ההפוכה שלו .

1cos2

1sin

2

1

2

11sin

2

1cos

2

1

2

11

ttettetxty t

tx

t

45

תקצירי תרגילים נוספים

תכונת הלינאריות. הגדרה: התמרת לפלס

:הגדרה של התמרת לפלס

: חשב את התמרת לפלס של הפונקציה .1

3;1

3;1

t

ttf

: פתרון

0;121

11333

*3

3

00

ss

e

s

e

s

edtedtedttfestfL

sssststst

: חישובי עזר(*)

0;111

13

03

3

00

3

0

ss

eee

se

sdte

ssst

S

st

0;1

lim1

limlim13

0

3

30

33

ss

eee

se

sdtedte

s

s

sbs

b

b

st

b

S

b

st

b

st

חשב את התמרת לפלס של הפונקציה .2 tettf 1.

: פתרון

1;

11

11

1

1

1

1

1

1

1

1

1

11

1

1lim

1

11

1

1lim

1lim11

222

1

2

1;0

1

2

1;0

1

1

0

1

2

1

1

0

1

0

1

00

ss

s

s

s

ss

sse

seb

s

es

ets

dttedttedtetedttfestfL

s

s

bs

s

bs

b

s

b

tsts

b

s

b

ts

b

tststst


1;1

11

1

1

1

11

1

1

1;1

11

11

1

2

1

1

11

1

1

1

1

sCes

tes

dtes

tes

ses

vu

evtudtte

tsts

s

tsts

s

ts

ts

ts

46

נמצא את התמרת לפלס של הפונקציה .3

2;2

20;

t

tttf .


2

2

0

2

02

2

0

2

2

00

2

2

0

2

2

00

1

lim211

2

lim21

2lim

2

s

e

eessss

e

s

e

st

s

e

dtedtet

dtedtetdtetfstfLsF

s

s

sbs

b

s

s

bts

b

ts

s

b

ts

b

ts

tststs

נמצא את התמרת לפלס של הפונקציה .4

4;0

41;

10;1

t

te

t

tf t .


1

1

1

1

141

1

4

1

11

01

4

1

1

1

0

4

1

1

00

s

ee

s

e

s

e

s

edtedte

dteedtedtetfstfLsF

sss

s

tsts

s

tsts

tsttsts

47

: תכונת הלינאריות

חשב את התמרת לפלס של .5 tttf 6sinh56cos3 .

: נשתמש בתכונת הלינאריות ונקבל :פתרון

6;6

30

6

3

6

65

63

6sinh56cos36sinh56cos3

22222222

sss

s

ss

s

stLstLsttLstfL

חשב את התמרת לפלס של .6 attf 2cos עבור Ra.

נשתמש בזהות :פתרון

2

2cos1cos2

ובתכונת הלינאריות ונקבל :

0;

4

2

2

1

2

1

2cos12

1

2

2cos1cos

22

22

22

0

2

s

ass

as

as

s

s

satLsLsat

LsatLstfL

s

חשב את התמרת לפלס של .7 tettf 72 3sin .

נשתמש בזהות :פתרון

2

2cos1sin 2

7;7

1

62

11

2

1

6cos2

11

2

1

2

6cos13sin

22

7

772

sss

s

s

seLstLsL

set

LsetLstfL

t

tt

חשב את התמרת לפלס של .8 112

atea

tf at עבור Ra0.

: נשתמש בתכונת הלינאריות ונקבל :פתרון

as

asssasaasa

sLa

stLa

seLa

satea

LstfL

as

atat

;

1111111

1111

11

2222

222

48

חשב את התמרת לפלס של .9 ntmttf cossin .

נשתמש בזהות :פתרון tnmtnmntmt sinsin2

1cossin ובתכונת הלינאריות ונקבל

:

2 22 2

0

2 2 2

22 2 2 2 2

0

1sin sin

2

1 1sin sin

2 2

1 1

2 2

, 0.

4

s

s

L f t s L m n t m n t s

L m n t s L m n t s

m n m n

s m n s m n

m s m ns

s m n m n

49

אינטגרל ומשפט ההזזה,נגזרת: תכונות

חשב את התמרת לפלס של .01 tttg sin2.

2.2 בתרגיל זה נשתמש בנוסחא :פתרון stfLstftL - ו2 ttf sin

0;1

26

1

2

1

1sin1sin

32

2

222

22

s

s

s

s

s

sstLsttL

חשב את התמרת לפלס .11 tetg t 2sin3.

: 2.10 בתרגיל זה נשתמש נשתמש בתכונת ההזזה :פתרון astfLstfeL at עם

3a - ו ttf 2sinונקבל :

3;43

232sin2sin

2

3

ss

stLsteL t

חשב את התמרת לפלס .21 tetg t 2sin 23.

בתרגיל זה נשתמש נשתמש בזהות :פתרון

2

2cos1sin 2

, בתכונת הלינאריות של

: ונקבל2.10התמרות לפלס ובנוסחת ההזזה

3;

163

3

3

1

2

1

4cos2

1

2

4cos12sin

2

33323

ss

s

s

steLseLst

eLsteL tttt

חשב את התמרת לפלס .31 ttetg t 2cos.

: פתרון

: 1דרך

: 2.10נשתמש בתכונת ההזזה astfLstfeL at 1 עםa

- ו tttf 2cosונקבל :

2

22

*

1 4cos 2 cos 2 1 ; 1.

1 4

t sL e t t s L t t s s

s

2.1בחישובים אלו נשתמש בנוסחא : חישוב עזר(*) stfLstftL

- ו ttf 2cos

0;4

4

42cos12cos

22

2

2

1

s

s

s

s

sstLsttL

50

: 2דרך

2.1ראשית נשתמש בנוסחא stfLstftLו - tetf t 2cos

22

2

2

1

41

41

41

12cos12cos

s

s

s

ssteLsteL tt

:2.10בחישובים אלו נשתמש בתכונת ההזזה : חישוב עזר(*) astfLstfeL at

- ו1aעם ttf 2cos

1;

41

112cos2cos

2

s

s

sstLsteL t

נחשב התמרת לפלס של .41 t

ttg

sin .

: פתרון

: נסמן ttf sin ( אזי : t

tftg ) כאשר ידוע 0;sin

22

s

as

asatL

: נשתמש בתכונה

s

dpptfLst

tfL

ssb

pdpp

dpptfLst

tfLstgL

b

b

sbss

arctan2

arctanarctanlim

arctanlim1

1

2

2

חשב את התמרת לפלס .51

st

tL

2cos1.

: פתרון

: 1דרך

: נסמן

t

ttf

2cos1אזי מתקיים : ttft 2cos1

:2.1לפי התכונה , ולכן stfLstftL1

נקבל 1

כלומר stfLstLstftL 2cos1

ידוע לנו כבר כי 0;4

12cos1

2

s

s

s

sstL

: ולכן נקבל את השוויון 0;1

42

s

ss

sstfL

51

: י אינטגרל לא מסוים על שני אגפים נקבל"ע

Cs

sCssds

ss

sstfL

4lnln4ln

2

11

4

22

2

: 1.5 נשתמש בתכונה Cעל מנת למצוא את הקבוע

004

lnlim0lim

01ln

1

2

CC

s

sstfL

ss

: לסיכום

s

ss

t

tLstfL

4ln

2cos1 2

.

:2דרך

: 2.9לפי נוסחה

s

dpptfLst

tfL עם ttf 2cos1נקבל :

s

s

s

s

s

s

b

b

p

p

dpp

p

pdp

p

p

p

dpptLpLdpptLst

tL

b

b

s

b

b

sb

s

ss

4ln

4ln

4ln

4lnlim

4lnlim

4

2

2

11lim

4

1

2cos12cos12cos1

2

2

2

01ln

22

22

חשב את התמרת לפלס .61 btbttg sinhsin עבור Rb.

: פתרון

נשתמש בזהות 2

sinhbtbt ee

bt

י שימוש בתכונת הלינאריות " ונקבל ע

sbteLsbteLsee

btLstgL btbtbtbt

sin2

1sin

2

1

2sin

: 2.10נשתמש בתכונת ההזזה astfLstfeL at עם bttf sin, פעם אחת עם

ba ופעם נוספת עם ba ונקבל :

52

bsbs

sb

bbsbbs

bbsbbsb

bbs

b

bbs

bbsbtLbsbtLstgL

;4

2

2

2

1sin

2

1sin

2

1

44

2

2222

2222

2222

חשב את התמרת לפלס .71 tettg t 2cos32 .

: פתרון

: 1דרך

: 2.10נשתמש בתכונת ההזזה astfLstfeL at 3 עםa

- ו tttf 2cos2ונקבל :

3;136

12632

43

1233232cos2cos

32

2

32

2

*

223

sss

sss

s

sssttLstteL t

2.2בחישובים אלו נשתמש בנוסחא : חישוב עזר(*) stfLstftL 2

- ו ttf 2cos

0;4

122

4

4

42cos2cos

32

2

22

2

2

2

s

s

ss

s

s

s

sstLsttL

: 2דרך

2.2ראשית נשתמש בנוסחא stfLstftL עם 2 tetf t 2cos3

2 3 3

2

*

22

2 32 2

3cos 2 cos 2

3 4

2 3 3 124 3; 3

3 4 3 4

t t sL t e t s L e t s

s

s sss

s s

:2.10בחישובים אלו נשתמש בתכונת ההזזה : חישוב עזר(*) astfLstfeL at

- ו3aעם ttf 2cos

3;

43

332cos2cos

2

3

s

s

sstLsteL t

53

התמרת לפלס הפוכה , התמרה של פונקצית הביסייד

פונקצית הביסייד


20

2;

2sin

t

tttf

ניתן להציג את :פתרון tf באופן הבא : tuttf22

sin ולכן :

1

1sin

2

22

sestLestfL

ss


2;cos

20;0

tt

ttf

ניתן להציג את :פתרון tf באופן הבא : 2coscos 22 ttuttutfולכן :

1

cos2cos2

22

2

s

sestLetuLstfL ss

:נחשב התמרת לפלס של הפונקציה .02

3,2;0

32;sin

tt

tt

tf :

ניתן להציג את :פתרון tf באופן הבא :

)(sin)(sin)()(sin)( 3232 tuttuttututtf

: על סמך זהויות טריגונומטריות נוכל לרשום

)3cos(3sin)3sin(3cos)3)3((sin

)2cos(2sin)2sin(2cos)2)2sin((sin

tttt

tttt

: לכן

).())3cos(3sin)3sin(3(cos)())2cos(2sin)2sin(2(cos)( 3

sin

2

sin

tutttutttf

tt

: מתכונת הלינאריות נקבל

54

sttuLsttuL

sttuLsttuLstfL

3cos3sin3sin3cos

2cos2sin2sin2cos)(

33

22

: נקבל3.7מנוסחה

tLetLe

tLestLestfL

ss

ss

cos3sinsin3cos

cos2sinsin2cos)(

33

22

: כלומר

1

3sin1

13cos

12sin

1

12cos)(

2

3

2

3

2

2

2

2

s

se

se

s

se

sestfL ssss

ss

ess

estfL ss

3sin3cos1

12sin2cos

1

1)(

2

3

2

2


0;אחרת

43;4

21;

tt

tt

tf

ניתן להציג את tf באופן הבא :

tututtututtf 4321 4

0sולכן לכל

2

4

2

3

2

2

2

*

4321

11211

44

se

s

se

s

se

s

se

tutLtutLtutLtutLstfL

ssss


22

11

111

1111

s

se

sse

sLstLestLesttuLstutL

ss

ss

2

2

2

2

22

22

1221

12222

s

se

sse

sLstLestLesttuLstutL

ss

ss

2

44

4

14

sestLestutL ss

2

3

2

3

33

33

111

11134

s

se

sse

sLstLestLestutLstutL

ss

ss

55

מצא התמרת לפלס של הפונקציה .22

4,0

42,2

20,2

t

tt

tt

tg .

את הפונקציה : פתרון tgניתן להציג בצורה הבאה :

22

2

42

2

2

2

0

42

2

20

ttuttuttuttu

ttututtututg

0sולכן לכל

sse

ssse

s

sse

se

ssse

s

tutLtutLtutLtutLstgL

ss

sss

214322

2114422

22

2

4

23

2

3

2

4

2

2

23

2

3

*

422

2

0

2


3

20

0

2 2

sstLestutL s

sssesLstLstLe

sttLestttuLstutL

ss

s

442144

444242

23

222

222

22

2

2

22

2

12

sestLestutL ss

ssesLstLe

stLestutLstutL

ss

s

212

2242

2

44

4

44

56

:נחשב התמרת לפלס של הפונקציה .32

6,0

62,4

21,

10,

)(

2

t

t

tt

tt

tf :

ניתן להציג את :פתרון tf באופן הבא :

tututtutttut

tututututtututtf

62

2

1

2

0

6221

2

10

44

4

0sולכן לכל

sss es

ess

esss

stuLstutLstuttLtutL

stututtutttutLstfL

62

23232

*

62

2

1

2

0

62

2

1

2

0

442121

44

44


לפי הנוסחא stfLesctftuL cs

c 0 עםcו - ttf

: נקבל 2

0

0

1

sstLetutL


c 1 עםcו - tttf 2

כאן : הסבר ) tttf ונוכל לרשום 21

1111111222 tttttttf ולכן tttf 2 )

: 0sולכן נקבל לכל

23

22

1

2 12

ssestLstLesttLestuttL sss


c 2 עםcו -

tttttf 44 2

כאן : הסבר ) 242 ttf ונוכל לרשום

42222

24222422442222

tttt

tttttttf ולכן

tttf 42 )

: 0sולכן נקבל לכל

23

22

1

2 12

ssestLstLesttLestuttL sss

32

2

2222

2

2

214

444

sse

stLstLesttLestutL

s

ss

נקבל 3.5לפי נוסחא s

estuL

s6

6

0 לכלs .

57

נתונה הפונקציה

1;

32;

21;

10;

)(2

1

0

MtM

t

t

t

tf

M

; הם מספרים ממשיים n כאשר ,

1 ntn ,Mn ,...,2,1,0 , Mחשב . הוא מספר טבעי נתון ( )L f t s .

:פתרון

:נרשום את הפונקציה בצורה הבאה

))).()(())()(())()(())()(()( 1322211100 tututututututututf MMM

,כלומר

M

n

nnn tututf0

1 ))()(()(

: נחשב התמרת לפלס ונשתמש בתכונת הלינאריות

.1

)))((())(((()(

0

)1(

0

1

0

nsM

n

n

ssnnsM

n

n

nn

M

n

n

es

e

s

e

s

e

stuLstuLstfL

58

התמרת לפלס הפוכה

חשב את התמרת לפלס ההפוכה של .42 12

12

ss

sF.

: נקבל (פירוק לשברים יסודיים )י פירוק הביסייד "ע :פתרון

4

1

3

1

7

1

34

1

12

12 ssssss

sF

מתכונת הלינאריות ומשימוש בנוסחא , ולכן atetas

L

: נקבל11

tt eets

Lts

Ltss

LtsFL 43111

7

1

4

1

3

1

7

1

4

1

3

1

7

1

חשב את התמרת לפלס ההפוכה של .52 32

122

ss

ssF

322 הגורם הריבועי :פתרון ss להציג את , י השלמה לרבוע "ע, איננו פריק אולם ניתן sF

: באופן הבא

21

2

2

1

21

12

21

211

221

21

221

12

212

12

22

2222

ss

s

s

s

s

s

s

s

ss

ssF

מתכונת הלינאריות ומשימוש בנוסחאות

btetbas

asL at cos

22

1

- ו

btetbas

bL at sin

22

1

1 עםa2- וbנקבל :

tetet

sLt

s

sLssFL tt 2sin

2

12cos2

21

2

2

1

21

12

2

1

2

11

59

נחשב התמרת לפלס הפוכה של .62 41

12

sss

sF .

: ראשית נמצא פירוק הביסייד:פתרון 4141

122

s

DCs

s

B

s

A

ssssF

: מכנה משותף והשוואת מונים 11441 22 ssDCsssBssA

14 נקבל 0sמהצבת A כלומר 4

1A

15 נקבל 1sמהצבת B כלומר 5

1B

שמצאנו נקבל ,BA וערכי 1sמהצבת 4

1 DC

שמצאנו נקבל ,BA וערכי 2sמהצבת 10

12 DC

ממערכת המשוואות

1012

41

DC

DC מקבלים

201Cו -

51D

לכן פירוק הביסייד של sFהנו : 4

5

1

20

1

1

51

41

2

s

s

sssF


tte

ts

Lts

sLt

sLt

sL

ts

s

ssLtsFL

t 2sin5

22cos

20

1

5

1

4

1

4

2

5

2

420

1

1

1

5

11

4

1

4

5

1

20

1

1

51

41

2

1

2

111

2

11

חשב את התמרת לפלס ההפוכה של . 27 22

2

ss

esF

s

.

:י פירוק הביסייד נקבל" ע:פתרון

2

1

1

1

3212

22

2

2

ss

e

ss

e

ss

esF

sss

, ולכן

60

tt

ss

eetu

ts

Lts

Ltu

ts

eLt

s

eLtsFL

242

2

11

2

21

211

3

1

22

12

1

1

3

1

213

1

כאן השתמשנו בעובדות ) tets

L

1

- ו11 tets

L 21

2

1

)

חשב את התמרת לפלס ההפוכה של . 28

4

12

s

sesF

s

.

נשתמש בנוסחא :פתרון ctsgLtutsgeL c

sc - ו1c עם 11 4

12

s

ssg

כאשר )

ttts

Lts

sLt

s

sLtsgL 2sin

2

12cos

4

2

2

1

44

12

1

2

1

2

11

ולכן 22sin2

122cos1 ttctsgL )

: ונקבל

22sin

2

122cos

4

112

11 tttus

seLtsFL s

חשב התמרת לפלס הפוכה של . 29 12

ss

esF

s

: מהצורה (פירוק לשברים יסודיים ) נמצא פירוק הביסייד :פתרון 11

122

s

CBs

s

A

ss

: מכנה משותף והשוואת מונים 112 CBsssA

: השוואת מקדמים

0

0

11

2

BA

C

A

s

s

1B- ו1A , 0C: מפתרון המערכת נקבל

: נקבל את הפירוק הבא, ולכן 1

1

1

122

s

s

sss

: ומשימוש בהתמרות ידועות נקבלתמתכונת הליניאריו

tt

s

sLt

sLt

ssL cos1

1

1

1

12

11

2

1

61

נשתמש בנוסחא ctsgLtutsgeL c

sc - ו1c עם 11 1

12

ss

sg

1cos11

1

1

112

1

12

1

ttutss

Ltutss

eL

s

, כלומר

1cos11

12

1

ttut

ss

eL

s

חשב התמרת לפלס הפוכה של . 30

1

12

ss

essF

s

.

- וc עם 6.4 נשתמש בנוסחא :פתרון 1

12

ss

sstfL

t

s

s

Ltu

tss

sLtute

ss

sLtsFLtf s

4

3

2

1

2

1

2

1

1

1

1

1

2

1

2

1

2

11

tetutetu

t

s

Ltut

s

s

Ltu

t

ss

s

Ltu

tt

2

3sin

3

1

2

3cos

2

3

2

1

2

3

3

1

2

3

2

1

2

1

2

3

2

1

2

3

3

1

2

3

2

1

2

1

22

22

1

22

1

2222

1

חשב התמרת לפלס הפוכה של . 31 45

32

2

ss

esF

s

.

- ו2c עם 6.4 נשתמש בנוסחא :פתרון 45

32

ss

stfLונקבל :

245

32

1

2

1

t

ssLtutsFL

62


3

45

32

s

B

s

A

ssss

מכנה משותף והשוואת מונים יניבו את המשוואה 314 sBsA

1A נובע כי 1s ומהצבה 1B נובע כי 4sמהצבה

: ולכן הפירוק המתאים הנו4

1

1

1

45

32

ssss

: וההתמרה ההפוכה היא

tt eets

Lts

Ltss

L

411

2

1

4

1

1

1

45

3

: מכאן 224

2

1 tt eetutsFL

63

קונובולוציה

: חשב את התמרת לפלס ההפוכה של הפונקציה .72 1

122

ss

sF.

: פתרון

ttttts

Lts

Ltss

Ltss

LtsFL sinsin*1

1*

1

1

11

1

12

1

2

1

22

1

22

11


tttttxxtx

xdxxtxxvu

xvxtuxdxxttt

t

tt

t

sin1sincos0sincos

coscoscos1

sinsinsin*

0

0

0

0

: חשב את התמרת לפלס ההפוכה של הפונקציה .82 22

2

1

s

ssF

: פתרון

ttttt

ts

sLt

s

sLt

s

s

s

sLt

s

sLtsFL

sincos2

1cos*cos

1*

11112

1

2

1

22

1

22

211


ttt

tttt

xttxdxxtt

xdxxttt

tt

t

sincos2

1

2

sin

2

sincos

2

1

2

2sincos

2

12coscos

2

1

coscoscoscos2coscoscos*cos

00

0

64

: חשב את התמרת לפלס ההפוכה של הפונקציה .92 22 9

s

ssF

: פתרון

tttt

ts

Lts

sLt

ss

sLt

s

sLtsFL

3sin2

13sin

3

1*3cos

9

1*

99

1

992

1

2

1

22

1

22

11


tttttt

xttxdxxtt

dxxxttt

tt

t

3sin6

13cos

6

13cos

6

13sin

6

1

6

63cos3sin

6

163sin3sin

2

1

3

1

sinsinsincos23sin3cos3

13sin

3

1*3cos

00

0

-הוכח באמצעות משפט קונבולוציה ש. 30

t

ttdxxtx0

sin2

1)cos(sin

: פתרון

2222

0)1(1

1

1

1)(cos)(sin)(cossin)()cos(sin

s

s

ssstLstLsttLsdxxtxL

t

222 )1(1

1

2

1)(sin

2

1)(sin

2

1

s

s

sstLsttL

sin)( קבלנו2

1)()cos(sin

0

sttLsdxxtxL

t

.דרושהשוויון את הנקבל , אם נבצע עכשיו התמרת לפלס ההפוכה

ttyy: פתור את המשוואה הבאה . 31 cossin1 .

נפעיל התמרת לפלס על שני אגפי המשוואה :פתרון sttLsyyL cossin1 .

: ממשפט קונבולוציה מקבלים stLstLsLsyLsyL cossin1

נסמן syLsY ,נשתמש בהתמרות ידועות ונקבל את המשוואה :

2222

2

1

1

11

11

ss

s

sssY

מכאן נובע 1

1sin

1

122

1

ssYtt

sLty

65

2222

0)1(1

1

1

1)(cos)(sin)(cossin)()cos(sin

s

s

ssstLstLsttLsdxxtxL

t

222 )1(1

1

2

1)(sin

2

1)(sin

2

1

s

s

sstLsttL

sin)( קבלנו2

1)()cos(sin

0

sttLsdxxtxL

t

.דרושהשוויון את הנקבל , אם נבצע עכשיו התמרת לפלס ההפוכה

ttyy: פתור את המשוואה הבאה .03 cossin1 .

נפעיל התמרת לפלס על שני אגפי המשוואה :פתרון sttLsyyL cossin1 .

: ממשפט קונבולוציה מקבלים stLstLsLsyLsyL cossin1

נסמן syLsY ,נשתמש בהתמרות ידועות ונקבל את המשוואה :

2222

2

1

1

11

11

ss

s

sssY

מכאן נובע 1

1sin

1

122

1

ssYtt

sLty .

66

שימושים

dxאת האינטגרל המוכלל , בעזרת התמרת לפלס מתאימה, חשב את . 1x

xe x

0

sin.

: פתרון

: נגדיר התמרת לפלס

0

sindt

t

tesF st .

זוהי התמרת לפלס של הפונקציה t

ttf

sin 0 וראינו בפרקי ההרצאה כי לכלs

sst

tL arctan

2

sin


442

1arctan2

1sin

0

Fdxx

xe x

dttetאת האינטגרל המוכלל , בעזרת התמרת לפלס מתאימה, חשב את . 2 t

0

52 sin.

: פתרון

: נגדיר התמרת לפלס

0

2 sin dtttesF st .

זוהי התמרת לפלס של הפונקציה tttf sin2 . נחשב אותה :

0sלכל

32

2

2

22

1

26

1

1sin1sin

s

s

sstLsttLsF


30

52

26

1485sin

Fdttet t

dtנחשב את האינטגרל . 3t

DeCeBeAeI

tttt

0

,,,0- אם ידוע ש 0- ו DCBA .

:פתרון

: נסמן tttt DeCeBeAetf ונסמן את ההתמרה

67

dtet

tfs

t

tfLsF st

0

אזי לפי הגדרת התמרת לפלס מתקיים . 0FI .

ראשית נחשב את ההתמרה

st

tfLsF

:

: ותכונת הלינאריות של התמרת לפלס נקבל כי ( 2פרק ) 2.9לפי נוסחא

b

sb

b

s

tttt

b

b

s

tttt

b

b

sb

s

dpp

D

p

C

p

B

p

A

dppeLDpeLCpeLBeLA

dppDeCeBeAeL

dpptfLdpptfLst

tfL

lim

lim

lim

lim

CBADנתון כי : ולכן נקבל

s

sC

s

sB

s

sA

s

s

b

bC

s

s

b

bB

s

s

b

bA

p

pC

p

pB

p

pA

dpp

C

p

C

p

B

p

B

p

A

p

A

dpp

CBA

p

C

p

B

p

As

t

tfL

bbb

b

sb

b

sb

b

sb

b

sb

b

sb

lnlnln

lnlnlimlnlnlimlnlnlim

lnlimlnlimlnlim

lim

lim

01ln01ln01ln

כזכור 0FI 0 ולכן נציב בהתמרה שקבלנוsונקבל :

lnlnlnlnlnln00 CBACBA

t

tfLFI

68

פתור את המשוואה האינטגרלית . 4 tdxxtxftf

t

cossin0

.

: פתרון

:מהגדרת הקונבולוציה נובע כי ttfdxxtxf

t

sin*sin0


: המשוואה tttftf cossin* .

: נפעיל התמרת לפלס של שני אגפי המשוואה stLsttftfL cossin*

: מתכונת הלינאריות נקבל stLsttfLstfL cossin*


1cos

1

1sinsin*

2

2

s

sstL

sstfLstLstfLsttfL

נסמן sFsfL ,נציב במשוואה ונקבל : 11

122

s

s

ssFsF

נחלץ את sF :

s

sFs

s

s

ssF

s

s

ssF

s

s

ssFsF

1

11

11

11

11

1

22

2

2222

נמצא התמרת לפלס הפוכה tf : 111

t

sLtf

: תשובה סופית 1tf

פתור את המשוואה האינטגרלית . 5

t

duufutttf0

2cos52sin2

3.

: פתרון

: מהגדרת הקונבולוציה נובע כי ttfduufut

t

2cos*2cos0

ולכן נוכל לרשום את

: המשוואה באופן הבא ttfttf 2cos52sin2

3

: נשתמש בתכונת הלינאריות ונקבל, נפעיל התמרת לפלס על שני אגפים

sttfLstLstfL 2cos*52sin2

3

69


4

22sin

42cos2cos*

2

2

sstL

s

sstfLstLstfLsttfL

נסמן sFsfL ,נציב במשוואה ונקבל : 4

54

2

2

322

s

ssF

ssF

נחלץ את sF :

45

3

4

3

4

45

4

3

4

51

4

5

4

2

2

3

222

2

2222

sssF

ss

sssF

ss

ssFsF

s

s

ssF


tss

Ltf

45

32

1


3

45

32

s

B

s

A

ssss

מכנה משותף והשוואת מונים יניבו את המשוואה 314 sBsA

1A נובע כי 1s ומהצבה 1B נובע כי 4sמהצבה

: ולכן הפירוק המתאים הנו4

1

1

1

45

32

ssss

: וההתמרה ההפוכה היא

tt eets

Lts

Ltss

L

411

2

1

4

1

1

1

45

3

: תשובה סופית tt eetf 4

דיפרנציאלית -מצא פתרון למשוואה האינטגרו. 6 t

dxxtfxtf0

המקיים 10,10 ff

: פתרון

:מהגדרת הקונבולוציה נובע כי ttfdxxtfx

t

*0


: המשוואה ttftf * .

: נפעיל התמרת לפלס של שני אגפי המשוואה sttfLstfL *

70


2

2

11

2

1*

100

sstfLstLstfLsttfL

ssfLsffssfLssfL

נסמן sFsfL , נציב במשוואה ונקבל : 2

2 11

ssFssFs

נחלץ את sF :

11111

1

1

11

1

111

1

2

2

2

2

4

2

2

4

2

2

2

2

ss

ssF

sss

sssF

s

sssFs

s

ssF

ss

ssFs

sFssFs

נחשב פירוק הביסייד של sF :

1111 22

2

s

CBs

s

A

ss

ssF


21,

21,

21 CBA

: כלומר נקבל את הפירוק

1

1

2

1

12

1

1

1

2

122

ss

s

ssF

: מתכונת הלינאריות של ההתמרה ההפוכה נקבל

tte

ts

Lts

sLt

sLtsFLtf

t sincos2

1

1

1

11

1

2

12

1

2

111

: תשובה סופית ttetf t sincos2

1

71

דיפרנציאלית -מצא פתרון למשוואה האינטגרו. 7 tuxdxxtftf

t

1

0

cos

המקיים 00 f .

: פתרון

:מהגדרת הקונבולוציה נובע כי ttfxdxxtf

t

cos*cos0


: המשוואה tuttftf 1cos* .

: נפעיל התמרת לפלס של שני אגפי המשוואה stuLsttftfL 1cos*

: מתכונת הלינאריות נקבל stuLsttfLstfL 1cos*


s

estuL

s

sstfLstLstfLsttfL

sfLsfsfLssfL

s

1

2

0

1coscos*

0

נסמן sFsfL , נציב במשוואה ונקבל : s

e

s

ssFsFs

s

12

נחלץ את sF :

424

2

3

2

2

3

2

1111

1

1

sse

s

se

s

s

s

esF

s

e

s

ssF

s

e

s

sssF

sss

s

s


2

1

3

114

1

12

1

1

4

1

2

1

42

1

16

111

16

111

11

1

11

tttu

ttuttuts

Ltuts

Ltu

ts

eLt

s

eLt

sseLtf

sss

: תשובה סופית

2

1 16

111 tttutf

72

: פתור את המשוואה האינטגרודיפרנציאלית הבאה. 8 12 2

0

tduuutyty

t

תנאי התחלה עם 10 y.

:פתרון

: בעזרת הגדרת הקונבולוציה נוכל לרשום את המשוואה בצורה השקולה הבאה

12 2 tttyty

: נפעיל התמרת לפלס על שני אגפי המשוואה stLsttytyL 12 2

: מתכונת הלינאריות נקבל sLstLsttyLstyL 12 2

: מתכונת הקונבולוציה נובע sLstLstLstyLstyL 12 2

נסמן sYsyL ונשתמש בתוצאות הבאות :

3

2

2

1

2;

1;

11

10

sstL

sstL

ssL

sYsysyLssyL

: נציב במשוואה ונקבל sss

sYssY121

1232

נחלץ את sY :

2

22

2

22

222

21221

2

2

3

2

3

2

23

ss

ss

s

s

s

sssY

s

ss

s

ssY

sssssY

מפירוק הביסייד 22

2222

2

s

C

s

B

s

A

ss

ss מקבלים

21,1,

21 CBA

ולכן 2

1

2

111

2

12

sss

sY .

נמצא התמרת לפלס הפוכה ty :

tet

ts

Lts

Lts

Ltsss

Lty

2

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2

1

2

111

2

1

2

1

2

111

2

1

: תשובה סופית tetty 2

2

1

2

1

73

: פתור את המשוואה האינטגרלית הבאה . 9 t

t

eduuutyty 2

0

sin

: פתרון

:מהגדרת הקונבולוציה נובע כי ttyduuuty

t

sin*sin0


: המשוואה tettyty 2sin* .

: נפעיל התמרת לפלס של שני אגפי המשוואה seLsttytyL t2sin*

: מתכונת הלינאריות נקבל seLsttyLstyL t2sin*


2

11

1sinsin*

2

2

sseL

sstyLstLstyLsttyL

t

נסמן sYsyL ,נציב במשוואה ונקבל : 2

1

1

12

ss

sYsY

נחלץ את sY :

22

1

2

1

1

2

2

1

1

11

2

1

1

1

2

2

2

2

22

ss

ssY

ss

ssY

sssY

sssYsY

מפירוק הביסייד 2222

122

2

s

CBs

s

A

ss

s מקבלים

31,

61,

65 CBA

ולכן 2

2

23

1

26

1

2

1

6

522

ss

s

ssY


tte

ts

Lts

sLt

sL

tss

s

sLty

t 2sin23

12cos

6

1

6

5

2

2

23

1

26

1

2

1

6

5

2

2

23

1

26

1

2

1

6

5

2

2

1

2

11

22

1

: תשובה סופית ttety t 2sin23

12cos

6

1

6

5 2

74

פתור את המשוואה האינטגרודיפרנציאלית . 10 0230

tyduuyutty

t

עם תנאי התחלה 00 y , 10 y .

: פתרון

:מהגדרת הקונבולוציה נובע כי tytduuyut

t

*0

ולכן נוכל לרשום ייצוג שקול של המשוואה :

02*3 tytytty .

: נפעיל התמרת לפלס של שני אגפי המשוואה 02*3 styLstyttyL

: מתכונת הלינאריות נקבל 02*3 styLstytLstyL


100

1*

2

10

2

2

sYsyysstyLssyL

sYs

styLstLstytL


312

2 sYsYs

sYs

נחלץ את sY :

3113132

132

121

3

2

2

22

2

24

2

2

24

2

2

sss

s

ss

ssY

ss

ssY

s

sssY

sssY

מפירוק הביסייד 311311 22

2

s

DCs

s

B

s

A

sss

s

מקבלים 4

3,0,8

1,8

1 DCBA

ולכן 3

1

4

3

1

1

8

1

1

1

8

12

sss

sY


tee

ts

Lts

Lts

L

tsss

Lty

tt 3sin4

3

8

1

8

1

3

3

4

3

1

1

8

1

1

1

8

1

3

3

34

3

1

1

8

1

1

1

8

1

2

111

2

1

:תשובה סופית teety tt 3sin4

3

8

1

8

1

75

:מצא פתרון לבעיית ההתחלה. 11

10;20

23

yy

eyyy t

: פתרון

teyyyנפעיל התמרת לפלס על שני אגפי המשוואה : ונקבל23

seLsyyyL t 23 : מתכונת הלינאריות נובע כי

seLsyLsyLsyL t 23


1

1

1200

20

2

12

2

2

sseL

ssYsyyssyLssyL

sYsysyLssyL

t


1223122

ssYsYsssYs

נחלץ את sY :

2

2 22

2

2

13 2 2 5

1

2 7 6 2 7 63 2 1 2

1 1

2 7 6

1 2

Y s s s ss

s s s sY s s s Y s s s

s s

s sY s

s s


67222

2

s

C

s

B

s

A

ss

ss


0,1,2 CBA : ולכן

22

2

1

1

1

2

21

672

ssss

sssY

: מתכונת הלינאריות של התמרת לפלס הפוכה נקבל

tt teets

Lts

Ltss

Lty

2

1

1

1

22

1

1

1

22

11

2

1

: פתרון לבעיית ההתחלה tt teety 2

76

:מצא פתרון לבעיית ההתחלה. 12

00y

tfyy עבור

2,00

20;1

tt

ttf

:פתרון

ראשית נציין כי tf ניתנת לייצוג שקול tututf 20

נפעיל התמרת לפלס על שני אגפי המשוואה tfyy ונקבל :

stutuLsyyL 20 : מתכונת הלינאריות נובע כי

stuLstuLsyLsyL 20


s

estuL

sstuL

sYsysyLssyL

s2

2

0

0

1

0


esYsYs

s21

נחלץ את sY :

2

2

2 2

1

11

1 1

1 1 1

s

s

s s

es Y s Y s

s

eY s s

s

e eY s

s s s s s s


1

s

B

s

A

ss

1,1: מכנה משותף והשוואת מונים יניבו את התוצאות הבאות BA

: ולכן

1

11

1

11 2

sse

sssY s


tts

s

t

etuetuts

Ltuts

eL

tututs

Ltuts

eL

ets

L

ts

L

2

2

2

2

1

2

21

22

1

2

21

1

1

21

1

1

121

1

1

11

: מתכונת הלינאריות של התמרת לפלס הפוכה נקבל tt etuety 2

2 11

77

מצא פתרון לבעיית ההתחלה . 13

10;10

44 1

yy

tuyyy

:פתרון

נפעיל התמרת לפלס על שני אגפי המשוואה tuyyy 144 ונקבל :

stuLsyyyL 144 : מתכונת הלינאריות נובע כי

stuLsyLsyLsyL 144


1

1 1

2 2

1

0 1

0 0 1

s


L y s s L y s s y y s Y s s

eL u t s

s


esYsYsssYs

s

41412

נחלץ את sY :

2

2

2 2

*

4 4 5

4 4 5

5

2 2

s

s

s

eY s s s s

s

eY s s s s

s

e sY s

s s s


teettu

ts

sLt

ss

eLt

s

s

ss

eLy

tt

ss

314

112

4

1

2

5

22

5

2

222

1

*

2

1

2

1

22

1


teetets

Lts

L

ts

Lts

Ltss

Lts

sLt

s

sL

ttt 3132

13

2

1

2

13

2

1

2

3

2

1

2

32

2

5

222

2

11

2

11

2

1

2

1

2

1

78

4

112

4

1

4

1112

4

11

2

1

2

22

1

12

1

**

2

1

12

1

t

ts

ettu

ettutss

Ltutss

eL

4

112

4

112

4

1

4

1

2

2

1

22

11

*12

1*

1

2

11

2

1**

2

0

2

0

22

0

2

0

22

2

0

2

2

2

11

2

1

2

1

t

t

x

t

xx

t

x

t

xx

xt

x

t

etexeex

dxeex

evu

evxudxxe

tets

Lts

Ltss

Ltss

L

: פתרון לבעיית ההתחלה teettuy tt 314

112

4

1 222

1

: הבאהבעיית ההתחלה את בעזרת התמרת לפלספתור. 14

10;00

sin52

yy

teyyy t

: נפעיל התמרת לפלס על המשוואה .פתרון

steLsyLsyLsyL t sin52


0

0 1

2 2

2 2

0

0 0 1

1 1sin

2 21 1

t



L e t ss ss

:נציב במשוואה ונקבל 22

1521

2

2

sssYsYssYs

נחלץ את sY :

2

2

22

2

2 1 23 3

2 22 2

12 5 1

2 2

2 32 5

2 2

2 3

2 2 2 52 2 2 5

Y s s ss s

s sY s s s

s s

s sY s

s s s ss s s s

נבצע פירוק הביסייד 52225222

322222

2

ss

DCs

ss

BAs

ssss

ss

79

, 0CA: ונקבל3

1Bו -3

2D

ולכן נוכל לרשום

52225222

322

32

2

31

22

2

ssssssss

sssY


ttet

sLt

sL

tss

Ltss

Ltssss

Ly

t 2sinsin3

1

21

2

3

1

11

1

3

1

52

1

3

2

22

1

3

1

5222

22

1

2

1

2

1

2

1

2

32

2

31

1

: פתור את המשוואה הדיפרנציאלית עם תנאי התחלה . 15

000

2cos96 2

yy

ttuyyy

:פתרון

יל התמרת לפלס על שני אגפים של המשוואה ע נפ

sttuLsyLsyLsyL 2cos96 2


1cos2cos

00

0

2

22

2

2

00

2

0

s

sestLesttuL

sYsyyssyLssyL

sYsysyLssyL

ss


962

22

s

sesYsYssYs s

נחלץ את sY :

2 2

2

2 2

2 2

2

22

6 9 1

6 91 6 9

1 3

s

s

s

sY s s s e

s

sY s s s e

s s s

se

s s


80

2323

*

22

1-

222

21-

210

3

25

22sin

50

32cos

25

2

2961961

t

tt

s

etett

tsss

sLtut

sss

seLy


מפירוק הביסייד 2232 33131

s

D

s

C

s

BAs

ss

s

מקבלים 10

3,25

2,50

3,25

2 DCBA

: ולכן נוכל לרשום 22222

3

1

10

3

3

1

25

2

1

1

50

3

125

2

521

ssss

s

sss

s

: ומתקיים

10

3

25

2sin

50

3cos

25

2

3

1

10

3

3

1

25

2

1

1

50

3

125

2

521

33

2

11

2

1

2

1

22

1

tt teett

ts

Lts

Lts

Lts

sL

tsss

sL

ולכן

10

3

25

22sin

50

32cos

25

22

521

2323

22

1

tt teetttsss

sL

: פתור את המשוואה הדיפרנציאלית עם תנאי התחלה . 16

10,00

,1

xx

euxx t

כאשר ,

1,0

1,11

t

ttu .

: נפעיל התמרת לפלס על שני אגפי המשוואה ונקבל .פתרון

seuLsxLsxL t1

: נשתמש בתכונת הקונבולוציה ונקבל seLsuLsxLsxL t1

נסמן sXsxL ונשתמש בתוצאות הבאות :

81

1

1

100

1

2

10

2

sseL

s

estuL

sXsxxssxLssxL

t

s


112

ss

esXsXs

s

נחלץ את sX :

2

2 2

11 1

1

1

1 1 1

s

s

eX s s

s s

eX s

s s s s

נמצא התמרת לפלס הפוכה txx :

1sin2

11cos

2

1

2

11cos

111

1cos

111

1

111

1

1

1

*

2

1

1

2

1

2

1

22

1

ttetut

tsss

Ltut

tsss

eLt

sLt

sss

e

sLtx

t

ss

: חישובי עזר (*)

: נשתמש בפירוק הביסייד 1111

122

s

DCs

s

B

s

A

sss: ונקבל

21,

21,

21,1 DCBA

: ולכן

tte

sL

s

sLt

sLt

sL

ts

s

ssLt

sssL

t sin2

1cos

2

1

2

11

1

1

2

1

12

1

1

1

2

11

1

1

2

1

1

21

1

11

1

2

1

2

111

2

1

2

1

:מצא פתרון למערכת המשוואות הבאה. 17

82

30;20

42

32

yx

xy

tyx

: פתרון


sxLsyL

styLsxL

42

32


sLsxLsyL

stLsyLsxL

142

32

נסמן sYsyL ו - sXsxL ונשתמש בתוצאות הבאות :

2

2

3

1;

11

20

30

sstL

ssL

sXsxsxLssxL

sYsysyLssyL


2

32 2 , 1

42 3 , 2

s X s Y ss

X s s Y ss

משוואה שנייה ב2- אם נכפול משוואה ראשונה ב -s , נחבר בין המשוואות ונחלץ את

sY , נקבל : 4

68322

23

ss

sssY


6832222

23

s

DCs

s

B

s

A

ss

ss


13,2

3,3,0 DBCA

: ולכן

ttt

ts

Lts

sLt

sLt

s

s

sLty

2sin4

132cos3

2

3

4

2

4

13

43

1

2

3

4

21331

2

32

1

2

1

2

1

22

1

83

אם נכפול משוואה ראשונה ב, באופן דומה -s , ונחבר בין המשוואות ונחלץ 2- משוואה שנייה ב

את sX , נקבל : 4

5622

2

ss

sssX


16222

2

s

CBs

s

A

ss

ss


5Aו -4

13B6- וC

: ולכן

tt

ts

Lts

sLt

sL

tss

s

sLtx

2sin32cos4

131

4

5

4

23

44

131

4

5

4

23

44

131

4

5

2

1

2

11

22

1


tttty

tttx

2sin4

132cos3

2

3

2sin32cos4

13

4

5

מצא פתרון למערכת המשוואות עם תנאי ההחלה . 18

00;00

1

yx

etxty

tytx

t

:פתרון


seLstxtyL

sLstytxLt

1


seLstxLstyL

sLstyLstxLt

1


1

1;

11

0

00

0

sseL

ssL

sxLsxsxLssxL

syLsysyLssyL

t

84


21

1

11

ssxLsyLs

ssyLsxLs

נחבר בין המשוואות ונחלץ את , s- אם נכפול משוואה ראשונה ב sxL , נקבל :

111

11

1

22

ss

s

s

ssxL

נחבר בין המשוואות ונחלץ את , s- אם נכפול משוואה שנייה ב syL , נקבל :

11

1

1

1

1

2

2

2

sss

ss

s

s

s

ssyL

מצא פתרון למערכת המשוואות עם תנאי ההתחלה . 19

00;10 yx

etxty

ttytx

t

:פתרון


setxLstyL

sttyLstxLt


seLstxLstyL

stLstyLstxLt


1

1;

110

0

2

1

0

sseL

sstL

sxLsxsxLssxL

syLsysyLssyL

t

נסמן sXsxL ו - sYsyL ,


21

1

11

12

ssXsYs

ssYsXs

: נסדר את המערכת

85

21

1

11

12

ssYssX

ssYsXs

מכלל קרמר נובע:

22

2

11

1

11

1

111

1

11

1

1

1

1

11

1

sssssss

s

s

sss

s

s

ss

s

sX

11

1

11

1

111

11

1

1

1

1

11

11

222

2

2

sssssss

s

s

ss

s

s

s

s

ss

sY

נמצא התמרה הפוכה ל :

3

2

21

11

1

11

1

11

sssssss

ssX

נחפש פירוק הביסייד . 1 1111

s

B

s

A

ss

s

במקרה זה מתקיים 2

1;2

1 BA

: ולכן

tt eet

sLt

sLt

ss

sL

2

1

2

1

1

1

2

1

1

1

2

1

11

111


1

s

C

s

B

s

A

sss


1;2

1;1 CBA

: ולכן

tt eet

sLt

sLt

sLt

sssL

2

1

2

11

1

1

2

1

1

1

2

11

11

1 1111


11111

s

C

s

B

s

A

ss

s


1;4

1;4

1 CBA

: ולכן

86

ttt teee

ts

Lts

Lts

Ltss

sL

2

1

4

1

4

1

1

1

2

1

1

1

4

1

1

1

4

1

112

111

2

1

: ולכן התמרה הפוכה ל

3

2

21

11

1

11

1

11

sssssss

ssXתהיה :

12

1

4

3

4

5

2

1

4

1

4

1

2

1

2

11

2

1

2

1

321

ttt

ttttttt

teee

teeeeeeetx

כעת נמצא התמרה הפוכה ל -

3

2

21

2 11

1

11

1

11

sssssss

ssY

ראינו קודם כי מתקיים פירוק הביסייד . 1 22

1

21

1

41

1

41

11

sssss

s

: ולכן

ttt teee

ts

Lts

Lts

Ltss

sL

2

1

4

1

4

1

1

1

2

1

1

1

4

1

1

1

4

1

112

111

2

1


1

s

B

s

A

ss


1;2

1 BA

: ולכן

tt eet

sLt

sLt

ssL

2

1

2

1

1

1

2

1

1

1

2

1

11

1 111


122

s

D

s

C

s

B

s

A

sss


1;2

1;1;0 DCBA

: ולכן

tt eett

sLt

sLt

sLt

sssL

2

1

2

1

1

1

2

1

1

1

2

11

11

1 11

2

1

2

1

- ולכן התמרה הפוכה ל

3

2

21

2 11

1

11

1

11

sssssss

ssYתהיה :

87

tteee

eeteeteeety

ttt

ttttttt

2

1

4

5

4

5

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

4

1

4

1

321


tteeety

teeetx

ttt

ttt

2

1

4

5

4

5

12

1

4

3

4

5

: הערה

נעיר כי ברגע שחשבנו את tx יכולנו לחשב את הנגזרת tx ולהציב במשוואה הראשונה של

המערכת ttytx ולחלץ את ty וזאת מבלי לחשב את sYואת ההתמרה ההפוכה שלו .

tteee

tteeeetteeettxty

ttt

tttt

tx

ttt

2

1

4

5

4

5

2

1

2

1

4

3

4

51

2

1

4

3

4

5

88

: תרגילים

: מצא את התמרת לפלס של הפונקציות הבאות .13

.א tetf t 2cos

.ב tetf t 2cosh4

.ג 22 1 ttf

.ד tttf 5sinh4cosh3

.ה

0;אחרת

87;3

42;1

t

t

tf

.ו

2;4

20;2

tt

tttf

.ז

8;1

87;3

70;

t

tt

tt

tf

.ח t

ttf

2sin

.ט

2;sin

20;0

tt

ttf

: את האינטגרלים המוכללים הבאים, בעזרת התמרת לפלס מתאימה,חשב .23

.א

0

3 costdtte t

.ב

0

sindt

t

te t

היעזר בהתמרה של : רמז ) t

tsin)

.ג

0

3

dtt

ee tt

89

: חשב את ההתמרות ההפוכות של .33

.א23

12 ss

.ב184

1432

ss

s

.ג 1

12 ss

.ד 11

2

ss

ee ss

.ה164

3

s

s

.ו 22 4

1

s

.ז 22

2

4s

s

.ח 22 4s

s

.ט 422

16

sss

e s

: 0tפתור את בעיות ההתחלה הבאות עבור .43

.א

10

00

4

y

y

tfyy

כאשר

3;0

32;3

21;1

10;0

t

tt

tt

t

tf

.ב

00

10

74 1

y

y

tuyyy

90

.ג

00

00

y

y

tgyy

כאשר

1;1

10;

t

tttg

.ד

00

10

32 3

y

y

tyyy

: דיפרנציאליות הבאות-האינטגרו/ מצא את הפונקציות המקיימות את המשוואות האינטגרליות .53

.א t

t

edxxtxftf 2

0

9cos2

.ב tdxxfxttf

t

2sin0

.ג

10

100

f

f

uduuttf

t

.ד 10

t

ut dueuftf

.ה 220

ttfduutfuf

t

פתור את המערכת הבאה .63

tgyxy

tgyxx

2

1

24

22 עם תנאי ההתחלה

0

1

0

0

y

x

עבור

tg

tgtg

2

: הנתונים בסעיפים הבאים 1

.א

t

ttg

cos

sin

.ב

0

tetg

.ג

0

1 tutg

91

: תשובות סופיות לתרגילים

: 1שאלה

.א52

12

ss

s. ב

62

4

ss

s. ג

5

24 244

s

ss

.ד25

20

1

322

ss

s. ה ssss eeee

s

8742 331

. ו

3

2

3

242

sse

s

s ז .

2

8

3

7

2

162111

sse

sse

s

ss

.ח

2arctan

2

s. ט

12

2

s

e s

: 2שאלה

. א25

3. ב

4

3ln. ג

: 3שאלה

tt. א ee 2 ב . tete tt 14sin14

814cos3 22

. דtcos1. ג 2cos11cos1 21 ttuttu

. ה tee tt 2cos2

1

4

1

4

1 22 ו . ttt 2cos8

12sin

16

1

.ז ttt 2cos2

12sin

4

1 ח . tt 2sin

4

1

. ט

163sin

3

1163cos1

4

1 16

16 ttetu t

92

: 4שאלה

: נסמן. א ttth 2sin8

1

4

1 אזי :

32212sin2

1321 thtuthtuthtutty

: נסמן. ב

tteth t 3sin

3

23cos2 אזי : 1

7

11 thtuthty

.ג 1sin1sin 1 tttuttty

. ד 32cos2

12sin

2

12cos 3

3

tetuttety tt

: 5שאלה

. א ttt teeetf 645 . ב 2 tttf 2sin3

4sin

3

2

.ג ttetf t sin2

1cos

2

1

2

1 ד . tetf 2

2

1

2

1

. ה 1tf או 12 0 ttf

: 6שאלה

. א

ttttty

tttttx

2sin22cos3

2sincos

3

2

2sin3

22cos

3

4sin

3

2cos

3

1

. ב

ttety

ttetx

t

t

2sin5

122cos

5

4

5

4

2sin5

82cos

5

4

5

1

. ג

ttuttty

tttutttx

2cos12sin22cos1

2sin2cos12

12sin32cos1

2

1

חוברת התמרות לפלס - תיאוריה ודוגמאות

Documents