教学目的 : 矢量代数 教学重点 : 点的几何教学难点 : 矢量运算

第一讲 矢量代数

主视图

矢量代数

坐标系

点的对称 点的距离

点到坐标面

点到坐标轴

点到点

坐标面对称

坐标轴对称

中心对称

矢量运算

加法

数乘

内积

矢量定义

外积

第一讲 空间直接坐标系

x轴

y轴

z轴

o原点xoy平面

xoz平面

yoz平面

卦限

三个坐标平面将空间分成八部分，每一部分叫做一个卦限 .

点的坐标与矢量

x

y

z

o

( , , )P x y z

z

y x

矢量

OP

'( , ,0)P x y

矢量 OP 是有方向的线段O 是矢量 OP 的始点P 是矢量 OP 的终点矢量 OP 的长度记做 |OP|

( ,0,0)A x

(0, ,0)B y在直角三角形 OAP’ 中

2 2 2| ' | | | | ' |OP OA AP 2 2x y 在直角三角形 OP’P 中

2 2 2| | | ' | | ' |OP OP PP 2 2 2( )x y z 2 2 2| |OP x y z 矢量 OP 的长度

, ,x y z（ ）矢量 OP 简记做为P

, 称为定位矢量，或点矢量

两点间的距离

x

y

z

o

1 1 1 1( , , )P x y z

2 2 2 2( , , )P x y z

1 1 1 1 1 1 1( , , )P x x y y z z

2 2 1 2 1 2 1( , , )P x x y y z z

1(0,0,0)P

1 1 1 1 2 2 2 2 1 2, , ), , , ),P x y z P x y z PP设 ( ( 则 长 这样计任意矢量 的 度可以 算

将坐标的原点平移到 P1

则 P1 ， P ２的坐标为

2 2 21 2 2 1 2 1 2 1| | ( ) ( ) ( )PP x x y y z z

1 2PP故 长 为矢量 的 度

1 2 2 1 2 1 2 1 2 1{ , , }PP P P x x y y z z 记矢量 做

1 2 1 2| | 1PP PP，称 为单若 位矢量

点到坐标面的距离

x

y

z

o

( , , )P x y z

z

y x

矢量

OP

'( , ,0)P x y( ,0,0)A x

(0, ,0)B y

(0,0, )C z如图 ,P 到坐标面 xoy 的距离为 |PP’|=|z|

类似地 ,P 到坐标面 xoz 的距离为 |PP’|=|y|

P 到坐标面 yoz 的距离为

|PP’|=|x|

点到坐标轴的距离

x

y

z

o

( , , )P x y z

z

y x

矢量

OP

'( , ,0)P x y( ,0,0)A x

(0, ,0)B y

(0,0, )C z如图 ,P 到 z 轴的距离为

2 2| | | ' |PC OP x y

类似地， P 到 x 轴为

2 2y z

P 到 y 轴为2 2x z

点的距离计算

例 已知点 )1,1,2( M ，

2 22 ( 1) 5

(1)求点M到 y轴的距离．

(2)求点M到 yoz轴的距离．

(3)求点M到点(1,0,-1)轴的距离．

解：(1)求点M到 y轴的距离为

(2)点M到 yoz轴的距离为 ｜２｜＝２

(3)点M到点(1,0,-1)轴的距离为

2 2 2(2 1) (1 0) ( 1 ( 1)) 2

例 设P在x轴上，它到 )3,2,0(1P 的距离为到

点 )1,1,0(2 P 的距离的两倍，求点P的坐标.

解 设 P 点坐标为 ),0,0,(x因为P在x轴上，

1PP 222 32 x ,112 x

2PP 222 11 x ,22 x

1PP ,2 2PP 112 x 22 2 x

,1 x 所求点为 ).0,0,1(),0,0,1(

点的距离计算

回主视图

点的坐标面对称

x

y

z

o

( , , )P x y z

( , , )xyP x y z

( , , )xzP x y z

( , , )yzP x y z

特征：对应分量绝对值相等　　　对称面所在两个对应分量符号相同　　　　另一个对应分量符号相反．

点的坐标轴对称

x

y

z

o

( , , )P x y z

( , , )xP x y z ( , , )yP x y z

( , , )zP x y z 特征：对应分量绝对值相等　　　对称轴所在分量符号相同　　　另外两个对应分量符号相反

点的中心对称

x

y

z

o

( , , )P x y z

'( , , )P x y z

特征：对应分量绝对值相等，全部对应分量符号相反

点的对称性例题

例　说明（ -1,2,3),(1,-2,3),(1,-2,-3) 对称性解：（ -1,2,3),(1,-2,3) 只有 z 分量相同，其余对应分量相反 故（ -1,2,3),(1,-2,3) 关于 z 轴对

称（ -1,2,3),(1,2,-3) 只有 y 分量相同，其余对应分量相反故（ -1,2,3),(1,2,-3) 关于 z 轴对称（ 1,-2,3),(1,-2,-3) 的 x ， y 分量相同，其余对应分量相反故（ -1,2,3),(1,2,-3) 关于 xoy 对

称

回主视图

a

bc

矢量加法

a

b

c = a + b

1 2 3, ,a a a{ }a = { }b = 1 2 3b ,b ,b

1 1 2 2 3 3, ,a b a b a b { }c = a + b =

a

b

ab

a + b b + a=

交换律

( )b + c( )a + b + c a +=

结合律

矢量的数乘

a

1 2 3, ,a a a{ }a =

1 2 3, ,k ka ka ka{ }a =

( 0)k k a| || k ka |= a

1 2 3( ) , ,l k l ka ka ka{ }证 ：明 a =

1 2 3( ), ( ), ( )l ka l ka l ka{ }=

1 2 3( ) , ( ) , ( )lk a lk a lk a{ }=

1 2 3( ) , ,lk a a a{ }=

( )lk= a

( ) ( )l k lk拟结合律 a = a

( 0)k k a

- | || k ka |= a

数乘对加法的分配律

( + )k l k l：第一分配律 a = a + a

1 2 3, ,a a a{ }证：设a =

1 2 3( + ) { , , }k l k +l a a a（ ）a =

1 2 3{ , , }k+l a k+l a k+l a（ ） （ ） （ ）=

1 1 2 2 3 3{ , , }ka +la ka +la ka +la=

1 2 3{ , , }ka ka ka= 1 2 3{ , , }la la la+

1 2 3{ , , }k a a a= 1 2 3{ , , }l a a a+

k l= a + a

数乘对加法的分配律

( )k k k第二分配律： a + b = a + b

1 1 2 2 3 3{ + , + , + }k a b a b a b（=

1 1 2 2 3 3{ , , }ka +kb ka +kb ka +kb=

1 2 3{ , , }ka ka ka= 1 2 3{ , , }kb kb kb+

1 2 3{ , , }k a a a= 1 2 3{ , , }k b b b+

k k= a + b

( )k a + b1 2 3, ,a a a{ }证：设a = 1 2 3, ,b b b{ }, b =

回主视图

a

b

1 cos当 ，| a |= ab =| b |

是 在矢量 上的投影ab b a

0,若 投影在 上ab > a

0,若 投影在 的反方向上ab < a

a

b

ab cos=| a || b |

矢量 a 与 b 的内积：矢量内积

ab ab=矢量内积的交换律成立

0 =2

ab = 2 2a =| a |

a记做在矢量 上的投影b a b

ab | | acos =| a || b | a b

内积对加法的分配律

a

b

c ( ) ( )c a + b c =| c | a + b

( )c c=| c | a + b

c c=| c | a + | c | b

= ac + bc

( )内积对 ： 加法的分配律 a + b c = ac + bc

ab | | acos =| a || b | a b证：

矢量的分解与内积计算

1 2 3, ,a a a{ }a =

1 2 3,0,0 0, ,0 0,0,a a a{ }+{ }+{ }=

1 2 31,0,0 0,1,0 0,0,1a a a{ }+ { }+ { }=

1 2 31,0,0 0,1,0 0,0,1{ } { } { }令 ， ，e = e = e =

2 2 21 2 1 3 2 3 1 2 30 1 ，e e = e e = e e = e e e

1 1 2 2 3 3a a a 则 a = e e e

1 2 3, ,b b b{ }令 b =

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3( )( )a a a b b b 则 ab = e e e e e e

1 1 2 2 3 3a b a b a b 故 ab =

内积计算例题

1 1 2 2 3 3a b a b a b ：解 ab =

设 夹 , 求 和 的 角a = 2i + j - 2k b = i + j, a b 例

2 1 1 1 2 0 （ ）=

3=

| a |= 3, | b |= 2

3 1

| || | 3 2 2cos

ab

=a b

4

=回主视图

外积定义

sin| a b |=| a || b |

矢量 a 与 b 的外积：

则的方向由右手法 确定a b

a

b

为边 边 积是以 与 的平行四 形面| a b | a b

- 质：性 a b = b a

( ) a b + c = a b + a c

回主视图

a b

a

b

课堂练习1 ．求点 ),,( zyxM 关于： (1) 各坐标平面； (2) 各坐标轴；

(3) 坐标原点的对称点的坐标．

)7,3,1( A )57,5( B2 ．在 轴上求一点，使它与点 和点

的距离相等．

y

y

3．求点 ),,( zyx 到 (1)各坐标面； (2)各坐标轴的距离 .

yOz )1,5,0(1M )2,1,3(2M

)2,2,4(3 M

4 ．在 平面上求一点，使它与三点 、、

等距．)0,0,0( )0,0,3( )0,2,2( )3,1,1( 5 ．求通过点 、、 及

的球面方程．

课堂练习

6 ．求球面 06412222 zyxzyx

的球心与半径．

7 ．指出下列各方程表示怎样的曲面，并作出草图：

44 22 yx 22 xz (1) ；

(2) 8 ．指出下列旋转曲面是怎样形成的，并作出草图：

(1) xzy 422 ； (2) 222 yxz ；

(3) ； 1499

222

zyx

(3) . 1499

222

zyx

课练习