Уравнение касательной

к графику функции

На рисунках изображены графики функций. Укажите те, для которых существуют касательные, проведенные в точках с абсциссой x=3.

а)   б)   в)

  г)

д)

 

Касательные к графику функции у=f(x) в некоторых точках с абсциссами изображены на рисунке. Определите количество положительных чисел среди значений производной f’(x) в этих точках.

2

1

3

4

4321 x,x,x,x

На рисунке изображен график производной функции у=f(x), определенной на промежутке (-4;9). Найдите число касательных к графику функции, параллельных оси абсцисс.

y=f ’(x)

Укажите длину промежутка, на котором касательная к графику функции y=f(x)образует острый угол с положительным направлением оси Ох, если график производной этой функции, определенной на промежутке (-5;6) изображен на рисунке.

На рисунках изображены графики функций и касательные к ним в точке а. Укажите функцию, производная которой в точке а равна 1.

а)

б)

в)

г)

0

У

Х1-1

1

-1

)(xfу

ох

)( oxf Показать (1)

Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции имеет наименьший угловой коэффициент.

Функция y=f(x)определена на промежутке [-7;7].На рисунке изображен график ее производной. Определите наибольшую длину промежутка, на котором касательная к графику функции имеет отрицательный угловой коэффициент.

0a bx

y

y = f (x)

1

0

У

Х1-1

1

-1

)(xfу

Показать (2)

Так как k = f ‘(xo) = 2, то считаю точки, в

которых производная принимает значения 2

К графику функции у=f(x) провели все касательные, параллельные прямой у=2х+5 (или совпадающие с ней).Укажите количество точек касания.

0

У

Х1-1

1

-1 ох

xkу

6,0k

Производная функции в точке х = 5 – это производная

в точке касания хо, а она равна угловому

коэффициенту касательной.Рассуждение (2)

Прямая, проходящая через начало координат, касается графика функции y=f(x) в точке х=5. Найдите ее угловой коэффициент.

0

У

Х1-1

1

-1

)(xfу

Ответ (1)

К графику функции y=f(x) провели касательные под углом 135 градусов к положительному направлению оси Ох. На рисунке изображен график производной функции. Укажите количество точек касания.

0

У

Х1-1

1

-1

Показать (1)

43

)(xfy tgf 1)3(

По графику производной определить величину угла (в градусах) между положительным направлением оси Ох и касательной к графику функции y=f(x) в точке х=-3.

0

У

Х

1-1

1

-1

)(xfy f ’ (x) = 0

По графику производной функции определить наименьшую абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y=f(x) параллельна оси абсцисс.

0

У

Х1-1

1

-1

)(xfу

)(7,1360

)(

:

oo

o

xftg

xfktg

ОХосикйкасательно

наклонаугол

Рассуждение (1)

По графику производной функции укажите количество касательных к графику функции у=f(x), расположенных под углом 60 градусов к оси абсцисс.

Укажите множество точек координатной плоскости, через которые можно провести к параболеа) 2 касательныеб) 3 касательныев) 1 касательнуюг) 0 касательных

Проверьте правильность решения

Задача 1.Составьте уравнение касательной к графику функции ,проходящей через точку М(1;5).

Решение.y=f(a)+f’(a)(x-a), где а- абсцисса точки касания, то есть а=1.

y=3+4(x-1)=4x-1.Ответ: y=4x-1.

12xf(x) 2

4;(1)' f

4х(x)' f

3;112f(1) 2

Проверьте правильность решения

Задача 2.Выясните, является ли прямая у=12х-10касательной к графику функции в точке

х=1.Решение.f’(x)=12x; f’(1)=12=k,значит данная прямая является касательной в точке х=1.

26xf(x)

Проверьте правильность решения

Задача 3. Выясните, касаются ли графики

функций и .Решение. Составим уравнение f(x)=g(x), то есть =

то есть графики имеютобщую точку с абсциссой 0.

12xxf(x) 3 16xxg(x) 2

0,x

решенийнет04xx

0,x

0,4)xx(x

2

2

1,6xx2 12xx3 0,4xx-x 23

Проверьте правильность решения

Задача 4. Найдите общую касательную к графикам функций иРешение.Составим систему:

то есть

Полученная система не имеетРешений, значит графики не имеют общей касательной.

65xxf(x) 2 1xxg(x) 2

1.2x52x

1;xx65xx 22

(x),g'(x)'f

g(x);f(x)

Тема исследования: «Касательная к графику

функции y=f(x)».

Предмет исследования: гипербола и касательная к ней.

Цель исследования: установить свойства, которыми

обладает касательная к графику гиперболы.

1. Лабораторная работа в программе Graph Plotter v.1.0

Задание. Построить график гиперболы у=6/х и касательную к нему в точке графика с абсциссойх= а. Вычислить площадь треугольника, отсекаемого касательной от осей координат.

Результат оформить в виде таблицы.

Результаты лабораторной работы.

Абсцисса точки

касания

Уравнение касательнойк графику функции у=6/x

Площадь треугольника, отсекаемого

касательной от осей координат.

1 а=1

2 а=2

3 а=3

4 а=4

5 а=6

6 а=-1

7 а=-2

8 а=-3

9 а=-4

10 а=-6

Результаты лабораторной работы.

Абсцисса точки

касания

Уравнение касательнойк графику функции у=6/x

Площадь треугольника, отсекаемого

касательной от осей координат.

1 а=1 12

2 а=2 12

3 а=3 12

4 а=4 12

5 а=6 12

6 а=-1 12

7 а=-2 12

8 а=-3 12

9 а=-4 12

10 а=-6 12

2. Гипотеза

Треугольник, образованный касательной к гиперболе у=k/х в точке с абсциссой а и осями координат, имеет постоянную площадь.

3. Доказательство.Треугольник, образованный касательной к гиперболе у=k/х в точке с абсциссой а и осями координат,имеет постоянную площадь.

Помощь

4. Выводы:1. Любая касательная к гиперболе у=k/x

отсекает от осей координат треугольник с постоянной площадью 2|k|.

2. Отрезок касательной к гиперболе, заключенный между осями координат, делится точкой касания пополам.

3. Точка касания является центром окружности, описанной около треугольника, отсекаемого касательной от осей координат.

5. Использование установленных фактов.Придумайте способы построения касательной к графику гиперболы y=k/x в любой точке графика без нахождения уравнения касательной.

(С3)При каких значениях параметра а неравенство выполняется при всех допустимых значениях х?

2a2

x12x

О.Д.З.:

Рассмотрим функции:

- ветвь параболы, ориентированная на ось Ох;

-семейство прямых с угловым коэффициентом ½.

2

1x

2a2

x12x

12xy

2a2

xy

2a2

x12x

2a2

x12x

Найдем, при каких значениях а прямая

является касательной к графику функции Это все такие а, которые удовлетворяют системе:

Из второго уравнения найдем х=2,5.Тогда а=1,25.То есть при а=1,25 прямая является касательной к графику функции

2a2

xy

12xy

.2

112x

2;a2

x12x

/

2a2

xy

12xy

2a2

x12x

При а<1,25 все прямые семейства будут находиться выше графика функции.Таким образом условие Задачи выполняется при а≤1,25.Ответ: а≤1,25.

1. Составим уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х=а в общем виде.

3. Доказательство

x

ky

2. Найдем ординату точки М:

3. Найдем абсциссу точки N:

4. Найдем площадь ∆MON:

.a

2kx

a

ky

a),(xa

k

a

ky

,a

k(a)'f,

x

k(x)'f,

a

kf(a)

2

2

22

.a

2kОМ.ТТогд

a

2ky0,x

.2aОNТогда2a.x,a

2kx

a

k0,

a

2kx

a

kт.е.0,y

22

.k22aa

2k

2

1S

Назад