Производящие функции

Дискретные структурыМФТИ, весна 2014

Александр Дайняк

www.dainiak.com

http://www.dainiak.com/

Формальные степенные ряды

Формальный степенной ряд — это запись вида 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥

2 +⋯+ 𝑎𝑘𝑥𝑘 +⋯

Числа 𝑎0, 𝑎1, … называются коэффициентами ряда.

Операции над рядами

Обозначим𝐴 𝑥 ≔ 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥

2 +⋯+ 𝑎𝑘𝑥𝑘 +⋯

𝐵 𝑥 ≔ 𝑏0 + 𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑥2 +⋯+ 𝑏𝑘𝑥

𝑘 +⋯

• Сумма рядов 𝐴 и 𝐵— это ряд𝑐0 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2𝑥

2 +⋯+ 𝑐𝑘𝑥𝑘 +⋯

с коэффициентами 𝑐𝑘 = 𝑎𝑘 + 𝑏𝑘• Разность рядов 𝐴 и 𝐵— это ряд с коэффициентами 𝑐𝑘 = 𝑎𝑘 − 𝑏𝑘



2 +⋯+ 𝑎𝑘𝑥𝑘 +⋯

𝐵 𝑥 ≔ 𝑏0 + 𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑥2 +⋯+ 𝑏𝑘𝑥

𝑘 +⋯

• Произведение рядов 𝐴 и 𝐵— это ряд𝑐0 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2𝑥

2 +⋯+ 𝑐𝑘𝑥𝑘 +⋯

с коэффициентами

𝑐𝑘 =

𝑖=0

𝑘

𝑎𝑖𝑏𝑘−𝑖



2 +⋯+ 𝑎𝑘𝑥𝑘 +⋯

𝐵 𝑥 ≔ 𝑏0 + 𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑥2 +⋯+ 𝑏𝑘𝑥

𝑘 +⋯

Пусть 𝑏0 ≠ 0.

• Частное рядов 𝐴 и 𝐵— это ряд𝑐0 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2𝑥

2 +⋯+ 𝑐𝑘𝑥𝑘 +⋯

коэффициенты которого определяются последовательно из соотношений:

𝑐0 ≔𝑎0

𝑏0, 𝑐1 ≔

𝑎1−𝑏1𝑐0

𝑏0, 𝑐2 ≔

𝑎2−𝑏2𝑐0−𝑏1𝑐1

𝑏0, …


Производная ряда𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥

2 +⋯+ 𝑎𝑘𝑥𝑘 +⋯

— это ряд 𝑐0 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2𝑥

2 +⋯+ 𝑐𝑘𝑥𝑘 +⋯

с коэффициентами 𝑐𝑘 ≔ 𝑘 + 1 𝑎𝑘+1

Производящие функции

Производящая функция числовой последовательности 𝑎0, 𝑎1, … — это сумма ряда

𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑘𝑥

𝑘 +⋯

(при условии, что в окрестности нуля ряд сходится)

Например, производящая функция последовательности 𝑛0, 𝑛1, 𝑛2…

— это ряд𝑛

0+𝑛

1𝑥 +𝑛

2𝑥2 +⋯+

𝑛

𝑛𝑥𝑛 +⋯

Мы знаем, что этот ряд можно «свернуть»:1 + 𝑥 𝑛

Производящие функции

Основное правило применения производящих функций:

Любая функция может быть производящей функцией не более чем одной последовательности.

А это значит, что если мы взяли две последовательности, на первый взгляд «разные», и доказали, что их производящие функции равны в окрестности нуля, то и сами последовательности совпадают.

Радиус сходимости

Для применимости метода нужно проверять, что ряды сходятся в окрестности нуля.

Радиус сходимости ряда ∑𝑎𝑘𝑥𝑘 — это такое 𝑟, что ряд сходится

при всех 𝑥, таких, что 𝑥 < 𝑟. (𝑥 в общем случае комплексное)

Радиус сходимости помогает найти Теорема Коши:

𝑟 = lim𝑘→∞

𝑘 𝑎𝑘−1

Рациональные производящие функции

Утверждение.Если последовательность 𝑎𝑘 удовлетворяет л.р.с. с п.к., то производящая функция 𝑓 для 𝑎𝑘 представима в виде

𝑓 𝑥 =𝑃 𝑥

𝑄 𝑥,

где 𝑃, 𝑄 ∈ ℝ 𝑥 .

Доказательство утверждения

Пусть п-ть 𝑎𝑘 удовлетворяет соотношению 𝑐𝑟𝑎𝑘+𝑟 +⋯+ 𝑐0𝑎𝑘 = 0, или, что то же самое, 𝑐𝑟𝑎𝑘 + 𝑐𝑟−1𝑎𝑘−1…+ 𝑐1𝑎𝑘−𝑟+1 + 𝑐0𝑎𝑘−𝑟 = 0.

Пусть 𝑓 𝑥 ≔ ∑𝑎𝑘𝑥𝑘. Имеем

𝑐0𝑥𝑟 ⋅ 𝑓 𝑥 =

𝑘=𝑟

∞

𝑐0𝑎𝑘−𝑟𝑥𝑘

𝑐1𝑥𝑟−1 ⋅ 𝑓 𝑥 =

𝑘=𝑟−1

∞

𝑐1𝑎𝑘−𝑟+1𝑥𝑘

⋮

𝑐𝑟 ⋅ 𝑓 𝑥 =

𝑘=0

∞

𝑐𝑟𝑎𝑘𝑥𝑘

Отсюда 𝑐0𝑥𝑟 + 𝑐1𝑥

𝑟−1 +⋯+ 𝑐𝑟 ⋅ 𝑓 𝑥 = 𝑃 𝑥 + ∑𝑘=𝑟∞ 𝑐𝑟𝑎𝑘 + 𝑐𝑟−1𝑎𝑘−1…+ 𝑐1𝑎𝑘−𝑟+1 + 𝑐0𝑎𝑘−𝑟

=0

𝑥𝑘,

где 𝑃— многочлен степени не выше 𝑟 − 1 .

Применение производящих функций

Пусть надо вычислить сумму

𝑘=0

𝑛

𝑘2𝑛

𝑘

1

2𝑘

Заметим, что она равняется 𝑔 1 2 , где 𝑔 𝑥 — производящая функция для последовательности

𝑎𝑘 = 𝑘2𝑛

𝑘то есть

𝑔 𝑥 ≔

𝑘=0

∞

𝑘2𝑛

𝑘𝑥𝑘

Применение производящих функций

Имеем 𝑔 𝑥 = ∑𝑘=0∞ 𝑘2 𝑛

𝑘𝑥𝑘

Пусть 𝑓 𝑥 ≔ ∑𝑘=0∞ 𝑛𝑘𝑥𝑘 = 1 + 𝑥 𝑛.

Заметим, что 𝑔 𝑥 = 𝑥 𝑥𝑓′ 𝑥′, а значит

𝑔 𝑥 = 𝑥 𝑥 1 + 𝑥 𝑛′ ′= 𝑥 𝑥𝑛 1 + 𝑥 𝑛−1 ′ =

= 𝑥𝑛 1 + 𝑥 𝑛−1 + 𝑥 𝑛 − 1 1 + 𝑥 𝑛−2

И теперь легко вычислить

𝑔 1/2 =𝑛

232

𝑛−1+ 12𝑛 𝑛 − 1 ⋅

32

𝑛−2

Обобщённая формула бинома

«Обычная» формула бинома для 𝑛 ∈ ℕ:

1 + 𝑥 𝑛 = 1 +𝑛

1𝑥 +𝑛

2𝑥2 +⋯+

𝑛

𝑛𝑥𝑛

Обобщённая формула бинома для 𝛼 ∈ ℝ:

1 + 𝑥 𝛼 = 1 +𝛼

1𝑥 +𝛼

2𝑥2 +⋯+

𝛼

𝑘𝑥𝑘 +⋯

Здесь 𝛼𝑘

— обобщённые биномиальные коэффициенты:

𝛼

𝑘=𝛼 𝛼 − 1 𝛼 − 2 ⋅ … ⋅ 𝛼 − 𝑘 − 1

𝑘!


1 + 𝑥 𝛼 = 1 + 𝛼1𝑥 + 𝛼

2𝑥2 +⋯, где 𝛼

𝑘=𝛼 𝛼−1 𝛼−2 ⋅…⋅ 𝛼− 𝑘−1

𝑘!

Пример применения:

1 + 𝑥 1/2 = 1 +1

2𝑥 +1212− 1

2!𝑥2 +

1212− 1

12 − 2

3!𝑥3 +⋯ =

= 1 +1

2𝑥 +1 − 2

2! ⋅ 22𝑥2 +1 − 2 1 − 4

3! ⋅ 23𝑥3 +⋯

= 1 +1

2𝑥 −1

2! ⋅ 22𝑥2 +1 ⋅ 3

3! ⋅ 23𝑥3 −1 ⋅ 3 ⋅ 5

4! ⋅ 24+⋯

= 1 + 𝑥

𝑘=0

∞

−1 𝑘1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2𝑘 − 1

𝑘 + 1 ! 2𝑘+1𝑥𝑘


Ещё немного преобразуем:

1 + 𝑥 1/2 = 1 + 𝑥

𝑘=0

∞

−1 𝑘1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2𝑘 − 1

𝑘 + 1 ! 2𝑘+1𝑥𝑘

= 1 + 𝑥

𝑘=0

∞

−1 𝑘1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2𝑘 − 2 2𝑘 − 1

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ … ⋅ 2𝑘 − 2 ⋅ 𝑘 + 1 ! 2𝑘+1𝑥𝑘

= 1 + 𝑥

𝑘=0

∞

−1 𝑘2𝑘 − 1 !

2𝑘−1 𝑘 − 1 ! ⋅ 𝑘 + 1 ! 2𝑘+1𝑥𝑘

= 1 + 𝑥

𝑘=0

∞2𝑘 − 1 !

𝑘 − 1 ! ⋅ 𝑘 + 1 !−14𝑥𝑘

Числа Каталана

Одно из многочисленных определений:

Число Каталана 𝑎𝑛 — это количество правильных скобочных последовательностей из 𝑛 пар скобок

Пример, при 𝑛 = 3 имеем 𝑎3 = 5:

, , , ,

Числа Каталана: рекуррентное соотношение

Рекуррентное соотношение для чисел Каталана:

𝑎𝑛+1 =

𝑘=0

𝑛

𝑎𝑘𝑎𝑛−𝑘

Обоснование: прав. ск. посл.внутри 𝑘 пар скобок

прав. ск. посл.𝑛−𝑘 пар скобок

Начальные условия: 𝑎0 = 𝑎1 = 1

Числа Каталана: производящая функция

Рассмотрим производящую функцию для последовательности чисел Каталана:

𝐴 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥

3 +⋯

Заметим, что соотношение 𝑎𝑛+1 = ∑𝑘=0𝑛 𝑎𝑘𝑎𝑛−𝑘 похоже по форме

на то, что возникает при произведении рядов. Рассмотрим𝐴 𝑥 ⋅ 𝐴 𝑥 == 𝑎02 + 𝑎0𝑎1 + 𝑎1𝑎0 𝑥 + 𝑎0𝑎2 + 𝑎1𝑎1 + 𝑎2𝑎0 𝑥

2

+ 𝑎0𝑎3 + 𝑎1𝑎2 + 𝑎2𝑎1 + 𝑎3𝑎0 𝑥3 +⋯ == 𝑎1 + 𝑎2𝑥 + 𝑎3𝑥

2 + 𝑎4𝑥3 +⋯


Итак,

𝐴 𝑥2= 𝑎1 + 𝑎2𝑥 + 𝑎3𝑥

2 + 𝑎4𝑥3 +⋯

Отсюда

𝑎0 + 𝑥 𝐴 𝑥2= 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥

2 +⋯ = 𝐴 𝑥

Получаем уравнение для производящей функции 𝐴:

𝑎0 + 𝑥 𝐴 𝑥2= 𝐴 𝑥


Уравнение для производящей функции:

𝑥 𝐴 𝑥2− 𝐴 𝑥 + 1 = 0

Отсюда

𝐴 𝑥 =1 ± 1 − 4𝑥

2𝑥Теперь воспользуемся обобщённой формулой бинома, чтобы записать 𝐴 𝑥 в виде ряда:

𝐴 𝑥 =1 ± 1 + (−4𝑥) 1 2

2𝑥

Числа Каталана: вывод формулы

𝐴 𝑥 =1 ± 1 + (−4𝑥) 1 2

2𝑥

где по формуле обобщённого бинома

1 + (−4𝑥) 1 2 =

= 1 +1

2−4𝑥 +

1212 − 1

2!−4𝑥 2 +

1212 − 1

12− 2

3!−4𝑥 3 +⋯

Отсюда уже видно, что на самом деле

𝐴 𝑥 =1 − 1 + (−4𝑥) 1 2

2𝑥

Числа Каталана: вывод формулы

Подставим в выражение для 𝐴 𝑥 ряд для 1 + (−4𝑥) 1 2:

𝐴 𝑥 =1 − 1 + (−4𝑥)∑𝑘=0

∞ 2𝑘−1 !𝑘−1 !⋅ 𝑘+1 !

𝑥𝑘

2𝑥Отсюда

𝐴 𝑥 = 2

𝑘=0

∞2𝑘 − 1 !

𝑘 − 1 ! ⋅ 𝑘 + 1 !𝑥𝑘

В итоге

𝑎𝑘 = 22𝑘 − 1 !

𝑘 − 1 ! ⋅ 𝑘 + 1 !=2𝑘 − 1 ! ⋅ 2𝑘

𝑘 − 1 ! ⋅ 𝑘 ⋅ 𝑘 + 1 !=2𝑘 !

𝑘! ⋅ 𝑘 + 1 !=

2𝑘𝑘

𝑘 + 1

Числа Каталана

Итак,

𝑎𝑘 =

2𝑘𝑘

𝑘 + 1Асимптотика:

𝑎𝑘 ∼4𝑘

𝜋 ⋅ 𝑘 3 2

Теорема Эйлера

Обозначим 𝑝чёт(𝑁) и 𝑝неч 𝑁 количества разбиений 𝑁соответственно на чётное и нечётное число различных слагаемых.

Теорема.

𝑝чёт 𝑁 − 𝑝неч 𝑁 = −1 𝑘 , если 𝑁 = 3𝑘

2±𝑘2

0, иначе

Производящая функция для числа неупорядоченных разбиений

Утверждение.

Если 𝑝 𝑁 — количество неупорядоченных разбиений числа 𝑁, то для производящей функции последовательности 𝑝 0 , 𝑝 1 ,…справедлива формула

𝑛=0

∞

𝑝 𝑛 ⋅ 𝑥𝑛 =

𝑘=1

∞1

1 − 𝑥𝑘


Т.к. 1 − 𝑡 −1 = 1 + 𝑡 + 𝑡2 +⋯, то

𝑘=1

∞

1 − 𝑥𝑘−1=

𝑖1

𝑥𝑖1

𝑖2

𝑥2𝑖2

𝑖3

𝑥3𝑖3 ⋅ … =

𝑛=0

∞

𝑎𝑛𝑥𝑛

где 𝑎𝑛 — количество наборов 𝑖1, 𝑖2, 𝑖3, … таких, что

𝑛 = 𝑖1 + 2𝑖2 + 3𝑖3 +⋯


𝑘=1

∞

1 − 𝑥𝑘−1=

𝑛=0

∞

𝑎𝑛𝑥𝑛

где 𝑎𝑛 — количество наборов 𝑖1, 𝑖2, 𝑖3, … таких, что𝑛 = 𝑖1 + 2𝑖2 + 3𝑖3 +⋯

Любой такой набор 𝑖1, 𝑖2, 𝑖3, … однозначно соответствует разбиению числа 𝑛, в котором 𝑖1 слагаемых равны 1,𝑖2 слагаемых равны 2, и т.д.

Отсюда следует, что 𝑎𝑛 = 𝑝 𝑛 .

Вывод рекуррентного соотношения для числа неупорядоченных разбиенийИтак,

𝑘=1

∞1

1 − 𝑥𝑘=

𝑛=0

∞

𝑝 𝑛 𝑥𝑛

Отсюда

𝑛=0

∞

𝑝 𝑛 𝑥𝑛 ⋅

𝑘=1

∞

1 − 𝑥𝑘 = 1

Вывод рекуррентного соотношения для числа неупорядоченных разбиений

𝑛=0

∞


𝑘=1

∞

1 − 𝑥𝑘 = 1

Разложим в ряд произведение 𝑘=1∞ 1 − 𝑥𝑘 :

1 − 𝑥 1 − 𝑥2 1 − 𝑥3 ⋅ … =

𝑚=0

∞

𝑏𝑚𝑥𝑚

где 𝑏𝑚 = 𝑝чёт 𝑚 − 𝑝неч 𝑚 .


𝑛=0

∞


𝑚=0

∞

𝑏𝑚𝑥𝑚 = 1

где

𝑏𝑚 = −1 𝑘 , если ∃𝑘:𝑚 = 3𝑘

2±𝑘2

0, иначе

Итак,

𝑛=0

∞

𝑝 𝑛 𝑥𝑛 ⋅ 1 +

𝑘=1

∞

−1 𝑘 𝑥 3𝑘2−𝑘 2 + 𝑥 3𝑘2+𝑘 2 = 1


𝑗=0

∞

𝑝 𝑗 𝑥𝑗 ⋅ 1 +

𝑘=1

∞

−1 𝑘 𝑥 3𝑘2−𝑘 2 + 𝑥 3𝑘2+𝑘 2 = 1

При раскрытии скобок и приведении подобных слагаемых коэффициенты при всех положительных степенях 𝑥 должны быть нулевыми, отсюда для любого 𝑚 > 0 выполнено

𝑝 𝑚 +

𝑘>0

−1 𝑘 𝑝 𝑚 − 3𝑘2−𝑘2 + 𝑝 𝑚 −

3𝑘2+𝑘2 = 0

(считаем формально, что 𝑝 𝑁 = 0 при любом 𝑁 < 0)

Рекуррентное соотношение для числа неупорядоченных разбиений

Теорема.Для любого 𝑚 > 0 выполнено равенство

𝑝 𝑚 =

𝑘>0

−1 𝑘+1 𝑝 𝑚 − 3𝑘2−𝑘2 + 𝑝 𝑚 −

3𝑘2+𝑘2

Несколько первых слагаемых ряда:𝑝 𝑚 == 𝑝 𝑚 − 1 + 𝑝 𝑚 − 2 − 𝑝 𝑚 − 5 − 𝑝 𝑚 − 7 + 𝑝 𝑚 − 12+ 𝑝 𝑚 − 15 −⋯

Количество неприводимых многочленов над ℤ𝑝

Пусть 𝑓1, 𝑓2, … — последовательность всех простых нормногочленов над ℤ𝑝, в порядке неубывания их степеней.

Обозначим 𝑑𝑖 ≔ deg 𝑓𝑖.

Любой нормногочлен 𝑓 представляется единственным образом в виде

𝑓 = 𝑓𝑖1𝛼𝑖1 ⋅ … ⋅ 𝑓𝑖𝑠

𝛼𝑖𝑠

где 𝑖1 < 𝑖2 < ⋯ < 𝑖𝑠 и 𝛼𝑖1 , … , 𝛼𝑖𝑠 > 0. При этом

deg 𝑓 = 𝑑𝑖1𝛼𝑖1 +⋯+ 𝑑𝑖𝑠𝛼𝑖𝑠


Любой нормногочлен 𝑓 представляется единственным образом в виде

𝑓 = 𝑓𝑖1𝛼𝑖1 ⋅ … ⋅ 𝑓𝑖𝑠

𝛼𝑖𝑠

где 𝑖1 < 𝑖2 < ⋯ < 𝑖𝑠 и 𝛼𝑖1 , … , 𝛼𝑖𝑠 > 0.

Поэтому для любого 𝑛 число наборов 𝛼1, 𝛼2, 𝛼3, … , удовлетворяющих уравнению

𝑛 = 𝑑1𝛼1 + 𝑑2𝛼2 + 𝑑3𝛼3 +⋯

равно 𝑝𝑛 (т.к. каждому такому набору 𝛼1, 𝛼2, 𝛼3, … можно взаимно однозначно сопоставить многочлен степени 𝑛).


Утверждение.Выполнено равенство

1

1 − 𝑝𝑡=

𝑖=1

∞1

1 − 𝑡𝑑𝑖


Доказательство:

Т.к. 1 − 𝑡𝑑𝑖−1= 1 + 𝑡𝑑𝑖 + 𝑡2𝑑𝑖 + 𝑡3𝑑𝑖 +⋯, то

𝑖=1

∞

1 − 𝑡𝑑𝑖−1=

𝑗1=0

∞

𝑡𝑑1𝑗1

𝑗2=0

∞

𝑡𝑑2𝑗2

𝑗3=0

∞

𝑡𝑑3𝑗3 … =

𝑘=0

∞

𝑎𝑘𝑡𝑘

где 𝑎𝑘 — количество наборов (𝑗1, 𝑗2, 𝑗3, … ), удовлетворяющих соотношению 𝑘 = 𝑑1𝑗1 + 𝑑2𝑗2 +⋯. Значит, 𝑎𝑘 = 𝑝

𝑘, и отсюда

𝑖=1

∞

1 − 𝑡𝑑𝑖−1=

𝑘=0

∞

𝑝𝑘𝑡𝑘 =

𝑘=0

∞

𝑝𝑡 𝑘 =1

1 − 𝑝𝑡


1

1 − 𝑝𝑡=

𝑖=1

∞1

1 − 𝑡𝑑𝑖

Пусть 𝑀𝑘 — количество простых нормногочленов степени 𝑘.

Тогда

1

1 − 𝑝𝑡=

𝑘=1

∞1

1 − 𝑡𝑘

𝑀𝑘


1

1 − 𝑝𝑡=

𝑘=1

∞1

1 − 𝑡𝑘

𝑀𝑘

Прологарифмируем обе части:

ln1

1 − 𝑝𝑡=

𝑘=1

∞

𝑀𝑘 ln1

1 − 𝑡𝑘


ln1

1 − 𝑝𝑡=

𝑘=1

∞

𝑀𝑘 ln1

1 − 𝑡𝑘

Если разложить ln 1 − 𝑥 −1 в ряд, получится

ln 1 − 𝑥 −1 =

𝑗=1

∞𝑥𝑗

𝑗

Отсюда следует

𝑗=1

∞𝑝𝑡 𝑗

𝑗=

𝑘=1

∞

𝑀𝑘

𝑗=1

∞𝑡𝑘𝑗

𝑗


𝑗=1

∞𝑝𝑡 𝑗

𝑗=

𝑘=1

∞

𝑀𝑘

𝑗=1

∞𝑡𝑘𝑗

𝑗

Коэффициенты при 𝑡𝑛 для каждого 𝑛 должны совпадать в левой и правой частях равенства.

Поэтому𝑝𝑛

𝑛=

𝑘|𝑛

𝑀𝑘 𝑛 𝑘

Окончательно,

𝑝𝑛 =

𝑘|𝑛

𝑘𝑀𝑘


𝑝𝑛 =

𝑘|𝑛

𝑘𝑀𝑘

Применяя обращение Мёбиуса, получаем следующую теорему.

Теорема.Число нормногочленов степени 𝑛, неприводимых над ℤ𝑝, равно

1𝑛

𝑘|𝑛

𝑝𝑘𝜇 𝑛 𝑘

где 𝜇— функция Мёбиуса.


Следствие 1.При каждом 𝑝 и при каждом 𝑛 ≥ 2 существует хотя бы один неприводимый над ℤ𝑝 нормногочлен степени 𝑛.

Следствие 2.Число нормногочленов степени 𝑛, неприводимых над ℤ𝑝,

при 𝑛 → ∞ асимптотически равно𝑝𝑛

𝑛

(См. доказательство асимптотики для числа циклических слов)

Производящие функции

Education