第九章 空间向量专题复习

制作人：焦明辉

一复习回顾1 平行六面体法则

2. 共线向量 :(1) 定义 : 如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合 ,则这些向量叫做共线向量 (或平行向量 ), 记作 //a b

(2) 共线向量定理 :

对于空间任意两个向量 a 、 b(b=0),a//b 的充要条件是存在实数 λ 使 a= λb.(3) 推论：如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线，那么对任一点 O ，点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t ，满足等式

OP = OA + t a. (1)

其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量 .

A

a

O

PB

OP = (1- t)OA + t OB. (2)

说明 : (1),(2) 都叫做空间直线的向量参数表示式 .

OP 、 OA 、 OB. 的终点共线的充要条件是存在实数 m 、 n ，且 m+n=1 ，使得 OP = mOA+nOB. (3)

。＋＝

，使，实数对共面的充要条件是存在与向量不共线，则向量如果两个向量

byaxp

yx

,p, baba

3 共面向量定理：

推论 : 空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序

实数对 x 、 y ，使 MP = xMA + yMB 1

或对空间任一定点 O ，有 OP = OM + xMA + yMB. 2

对空间任意一点 O 和不共线的三点 A 、 B 、 C ，OP = xOA + yOB + zOC （其中 x+y+z=1 ）＜＝＞

四点 P 、 A 、 B 、 C 共面。 3

→ → →→ → → →

→ → → →

一复习回顾

4 空间向量基本定理：

• 如果三个向量 a 、 b 、 c 不共面，那么对空间任一向量 p ，存在一个唯一的有序实数组 x ， y ，z ，使 p ＝ xa ＋ yb ＋ zc 。

• 任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底，零向量的表示唯一。

。＋＋＝，使

，，数对，都存在唯一的有序实空间任一点是不共面的四点，则对、、、推论：设

oCzoByoAxopz

yxP

CBAo

CO

A B B1

A1P1

P一复习回顾

eaaea

,cos

0 baba

aaa

2

（ 1 ）

（ 2 ）

（ 3 ）

5 空间两个向量的数量积 bababa ,cos

数量积的运算律

)()( baba

交换律）(abba

分配律）()( cabacba

（ 1）

（ 2 ）

（ 3 ）

2)( cba

accbbacba

222222

6 、向量的直角坐标运算 .

),,(),,,( 321321 bbbbaaaa 设 则

);,,( 332211 babababa );,,( 332211 babababa

);)(,,( 321 Raaaa ;332211 babababa

)(,,// 332211 Rbabababa .0332211 babababa

(1) 夹角、

||||,cos

ba

baba

23

22

21

2|| aaaaaa 2

32

22

12|| bbbbbb

;2

32

22

12

32

22

1

332211

bbbaaa

bababa

;332211 babababa

7 空间向量的夹角和距离公式

(2) 空间两点间的距离公式、

;)()()(

||),,,(

),,,(A

212

212

212

222

111

zzyyxx

ABABABzyxB

zyx

则

已知在空间直角坐标系中，

学习目标：

1 掌握空间向量有关概念、运算及定理、推论。

2 掌握计算向量的长度、有关角，正确求两点间的距离

3 学会判断两直线（向量）的位置关系（平行、垂直）

411BA

AB

CD

A1 B1

C1

D1

E1

F1

X

Y

Z

解析：不妨设正方体的棱长为 1 ；以 D 为原点 O 建立空间直角坐标系O-XYZ O

例 1 ：在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， B1E1=D1F1= 求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值

二知识运用与研究

解：不妨设正方体的边长为 1 ，建立空间直角坐标系 O—xyz ，则

AB

CD

A1 B1

C1

D1

E1

F1

X

Y

Z

B(1 ， 1 ， 0) ， E1(1 ， 3 ／ 4 ， 1) ， D(0 ， 0 ， 0) ， F1(0 ， 1/4 ， 1)BE1=(0 ， -1 ／ 4 ， 1) ， DF1=(0 ， 1/4 ， 1)

∣BE1∣=√17 ／ 4

∣DF1∣=√17 ／ 4

BE1·DF1=15 ／ 16

∴cos ＜ BE1 ， DF1

＞=

BE1·DF1

∣BE1∣·∣DF1∣

=15 ／ 17

AB

C

D

2 已知在一个二面角的棱 l上有两个点 A,B，线段 AC BD 分 别在这个二面角的两个面内，且 AC⊥l， BD⊥l AB=4cm,，AC=6cm， BD=8cm, CD=2√17 求异面直线 AC 、 BD 所成角

,, BDABABCA 解：由已知22 )(|| DBBAACDC

ACDBDBBABAAC

DBBAAC

222

|||||| 222

∴(2√17)2=62+42+82+2×6 ×8cos ＜CA ， BD ＞

∴cos ＜ CA ， BD ＞ =1200

∴所求角为 600

例 4. 已知在平行六面体 ABCD-A’B’C’D’ 中 ,AB=4,AD=3,AA’=5

0 090 , ' ' 60 ,

'

BAD BAA DAA

AC

求 的长

AB

CD

A’B’

C’D’

解 ∵ AC'=AB+AD+AA'

∴∣AC'∣2=(AB+AD+AA')2

= AB∣ ∣2+ AD∣ ∣2+ AA∣ '∣2

+2(AB·AD+AB·AA'+AD·AA')=42+32+52+2(0+10+7.5)

=85

→ → → →→ → → →

→ → → → → →

∴∣AC =√85∣

A

BC

D

A1

B1 C1

D1

例 3 已知 正方形 ABCD 求证 CA1⊥ 平面 AB1D1

证明 连结 A1C1

∵CC1⊥ 平面 A1B1C1D1

B1D1 A⊥ 1C1

∴A1C B⊥ 1D1

同理可证 A1C AD⊥ 1

∵B1D1∩AD1=D1

∴CA1⊥ 平面 AB1D1

X

y

Z

A B

C

D

D’

1 已知线段 AB 在平面 α 内，线段 AC⊥α ，线段 BD AB⊥ ， 线段 DD'⊥α ，∠ DBD1=300 如果 AB=a ， AC=BD=b 求 C 、 D 间的距离解 由已知有 AC AB <CA⊥ ·BD>=1200

∣CD∣2=CD·CD= (CA+AB+BD)2→ → → → → →

= CA∣ ∣2+ AB∣ ∣2+ BD∣ ∣2

+2CA·AB+2CA·BD+2AB·BD→ → → → → →

=b2+a2+b2+2b2cos1200

=a2+b2

∴∣CD =∣ √a2+b2

三 练习反馈

2 已知平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是边长为 a 的正方形， 侧棱 AA1 的长为 b ，∠ A1AB= A∠ 1AD=1200

求 (1) ︱ BD1 ︳ (2) 直线 BD1 和 AC 夹角的余弦值

AB

CD

A1 B1

C1

D1

利用向量解几何题的一般方法

1 把线段或角度转化为向量表示 , 并用已知

向量表示未知向量 , 然后通过向量运算去 计算或证明 !

2 解决途径︰坐标式和向量式

知识方法总结