第五章 貨幣時間價值
DESCRIPTION
第五章 貨幣時間價值. 第一節 單筆金額之現值與未來值. 第二節 年金之現值與未來值. 第三節 非等額現金之計算. 第四節 複利之計算. 第五節 貨幣時間價值之應用. 第一節 單筆金額之現值與未來值. < 例 1> 張君今年年初存了 $1,000, 年利率為 10%, 未來 4 年內 , 該筆存款每年年底的金額為何 ?. 第一節 單筆金額之現值與未來值. 複利的計算 (Compounding Interest Rates). - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
1
第五章 貨幣時間價值
第三節 非等額現金之計算
第一節 單筆金額之現值與未來值
第四節 複利之計算
第二節 年金之現值與未來值
第五節 貨幣時間價值之應用
2
3
第一節 單筆金額之現值與未來值 < 例 1> 張君今年年初存了 $1,000, 年利率為 10%, 未來 4 年內 , 該筆存款每年年底的金額為何 ?
4
第一節 單筆金額之現值與未來值
複利的計算 (Compounding Interest Rates) t t+n
期別 0 1 2 3 4 ├─────┼─────┼─────┼─────┤ 利率 10% 金額 -$1,000 1,100 1,210 1,331 1,464 └─────┘└────┘└────┘└────┘ 利率 1.1 1.1 1.1 1.1 └─────────┬───────→ 現值 $1,000 (1.1)4 = 未來值 $1,464
PV (1+‧ i)n = FVn 。 $1,000 (1.1)4 = $1,464 。
PV (FVIF‧ i,n) = FVn 。 現值 × 終值利率因子=終值
5
複利示意圖
$0
$500
$1,000
$1,500
1 2 3 4
單利
利上加利
$10$31
$64
單利 單利 單利$100 $200 $300 $400
6
期數
1
2
3
4
5
6
7
8
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
價值
FV
i=5%
i=10%
i=15%
貨幣隨時間成長,利率愈高,愈久價值愈高
圖 5-3 未來值的變動
4641.1)1.1(%)101( 444%,10 FVIF
7
利用公式
查表
財務計算機:如 Casio FC-200 或 HP 10B 。
貨幣時間價值的計算方式:
電腦軟體:如 EXCEL 。
8
< 例 2> 某人目前在銀行存入 $5,000, 年利率為 5%, 則其 3 年後有存款?
9
未來值 (FV)vs. 現值 (PV)< 例 3> 若年利率固定為 6% ,某人希望 5 年後有 $5
0,000 收入,則目前應存入的金額為何?
0 1 2 3 4 5
├──┼──┼──┼──┼──┤ 利率 = 6%
PV $50,000
10
現值與未來值的關係可以利用現值利率因子 (Present Value Interest Factor, PVIF) 來表達 :
PV= FVn *[ ]= FVn * (PVIFi,n) ni)1(
1
PV = FV PVIF 6%,5
= $50,000 0.7473
= $37,365 。
Casio FC-200 計算機0 EXE SHIFT AC EXE ( 清除資
料 )50,000 → FV6 → i%5 → nCOMP PV EXE → 37,362.91
11
期數
00.10.20.30.40.50.60.70.80.9
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
價值
PV
i=5%
i=10%
i=15%
距離現在愈遠的貨幣,價值愈低
圖 6-4 現值的變動
7473.0)06.1(
154%,10 PVIF
12
< 例 4> 目前若存入 $6,830 於台銀 , 以年利率複利計算 , 4 年後會有 $10,000 之收入 , 則台銀之年利率為 ? (i=10%)
13
< 例 5> H 先生現以固定年利率 7% 存 $50,835, n 年之後可提出 $100,000 作為子女教育經費 , 試求 n=?
14
第一節 複習 現值 (Present Value, ) 未來值、終值 (Future Value, ) 現值利率因子 (Present Value Interest F
actor, ) 終值利率因子 (Future Value Interest Fa
ctor, )
)(][ ,)1(1
ninin PVIFFVFVPV n
15
複利終值在理財規劃的應用
1. 求存款本利和 100 萬存銀行 3 年定存,利率 3% ,到期一次領
取本息之本利和為 ? 1092727 元 期間愈長,單利與複利計算出來的利息差距愈大,
稱之為複利效果2. 估算整筆投資到期值可累積的目標額
將年終獎金 10 萬元,投資基金,平均報酬率為 12% , 5 年以後可累積的金額為 ? 17.62 萬元
16
3. 計算通貨膨脹效果:維持同樣購買力需累積的金額
假設通貨膨脹率為 4% , 20 年後要準備的名目貨幣金額為 2,191 萬元,才相當於現在的 1,000 萬元的購買力
4. 計算躉繳儲蓄險的報酬率 躉繳儲蓄險 10 萬元, 20 年後還本可拿 15
萬元,則報酬率約為 2% 10*FVIF(20,r)=15 FVIF(20,r)=1.5
17
複利現值在理財規劃的應用
1. 已知目標額與年限、報酬率,現在應該投入多少錢來準備
若確定 20 年後退休需要準備 1 千萬元,若以平均複利 10% 為目標,現在應存多少錢到退休金信託帳戶 ?
18
2. 計算零息債券的目前價值 零息債券面額 100 萬元, 5 年到期,市場殖利率為 4
% ,請問其現在市價為 ? 82.2 萬元3. 計算貨幣過去的購買力
20 年前麵包一個 5 元,現在一個 20 元,其平均價格上漲率達 7.18%
4. 整合未來各項目標值時,需先折算為現值後才能相加
5 年後購屋需 300 萬元, 10 年後子女教育基金需 200 萬元, 20 年後退休金 1 千萬元,若實質投資報酬率為 5% ,現在手邊應有 ? 才能達成目標 ? 735 萬元
19
第二節 年金 ( 定期的收入或支出 )之未來值與現值
FVAn = PMT‧ [1 + (1+i) + (1+i)2 + ... + (1+i)
n 1],
FVAn = PMT‧ t=1
n
(1+i)n-t
= PMT‧ (FVIFAi,n)。
1. 一般年金 (Ordinary Annuity)
一般年金示意圖
n10 ... n-1
0 1 2 3 ... n
├──┼──┼──┼────────┤ 利率 = i
PMT PMT PMT ... PMT
PVAn FVAn
FVIFAi,n = t=1
n (1+i)
n-t =
( )1 1 i
i
n
。
未來值
PMT: Payments
20一般金年現值示意圖
例、 [ 年金之現值 ] 年金共 5 期, PMT = $100 , i = 10% 。
0 1 2 3 5
1/1.1
$100
4
1/(1.1)2
$100 $100 $100 $100
$90.91
82.64
75.13
62.09
$379.07
1/(1.1)3
1/(1.1)4
1/(1.1) 568.30
PVA
+)
PVAn = PMT‧ [1
1+i + 1
(1+i)2 + ... +
1 (1+i)
n ],
PVAn = PMT‧ t=1
n
1 (1+i)
t = PMT‧ (PVIFAi,n)。
PVIFAi,n = t=1
n
1 (1+i)
t =
1
i 1
1i i n( ) 。
現值
21
年金利率因子的三種計算方式1. 公式
2. 查表: FVIFA 6%,10= PVIFA 6%,10=
3. 財務計算機
PVIFAi,n = t=1
n
1 (1+i)
t =
1
i 1
1i i n( ) 。
FVIFAi,n = t=1
n (1+i)
n-t =
( )1 1 i
i
n
。
22
例、 < 例 6> 某房東每年年底必須花費 $10,000 整修房屋,租賃契約 4 年,以整存零付的方式支付整修費,若年利率固定為 8% ,則目前應存入多少?
0 1 2 3 4
├───┼───┼───┼───┤ 利率 = 8%
PV 10,000 10,000 10,000 10,000
PVA = PMT PVIFA 8%,4
= $10,000 3.3121 = $33,121 。
Casio FC-200 計算機0 EXE SHIFT AC EXE ( 清除資
料 )() 10,000 → PMT8 → i%4 → nCOMP PV EXE → 33,121.2
23
例、 < 例 7> L 商店老闆為自己設立退休金 : 每年年底存款 $50,000 ,年利率固定為 6% ,共存 10 年。在第 10年年底 L 商店老闆的退休金總額為多少?
0 1 2 … 10
├───┼───┼───┼───┤ 利率 = 6%
50,000 50,000 50,000 50,000
FVA =PMT FVIFA 6%,10
= $50,000 13.181 = $659,050 。
24
2. 期初年金 (Annuity Due) :每期期初有收入或支出
期初年金示意圖
0 1 2 3 ... n -1 n
├──┼──┼──┼──────┼──┤ 利率 = i PMT PMT PMT PMT ... PMT 0
PVAn FVAn
FVAn = PMT‧ t=0
n-1
(1+i)n-t
= PMT‧ (FVIFAi,n)‧ (1+i)。
PVAn = PMT‧ t=0
n-1
1 (1+i)
t = PMT‧ (PVIFAi,n)‧ (1+i)。
25
例、 < 例 8> 每年年初買進一張 (1,000 股 ) K 公司股票 ( 面額 $10) , 並不賣出;如果 K 公司每年發放股票股利 $2 ,到了第 5 年年底會擁有多少 K 公司的股票?
0 1 2 3 4 5
├───┼───┼───┼───┼───┤ i = 20%
1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 FVA
FVA = 1,000 FVIFA 20%,5 1.2
= 1,000 7.4416 1.2 = 8,930 。
Casio FC-200 計算機0 EXE SHIFT AC EXE ( 清除資
料 )SHIFT BGN ( 設定為期初模式 )() 1,000 → PMT20 → i% 5 → nCOMP FV EXE → 8,930
26
3. 分期付款 (Amortization) 例、 < 例 9> 以固定利率 9% 向銀行貸款 $2 百萬,為
期 10 年,每年年底須支付相同金額。
每年應還金額為何? 若第三年年底想償還所有貸款,則應還金額多少?
$2 百萬 = PMT PVIFA 9
%,10
= PMT 6.4177 , PMT = $311,638 。
0 1 2 3 ... 9 10
├──┼──┼──┼──────┼──┤ 利率 = 9%
$2 百萬 PMT PMT PMT ... PMT PMT
Casio FC-200 計算機0 EXE SHIFT AC EXE ( 清除資
料 )2,000,000 → PV 9 → i%10 → nCOMP PMT EXE → 311,640.18
27
- (1) (2) (3) = (1)9%
(4) = (2)(3) (5) = (1)(4)
項目 期初餘額(Beginning)
每年金額(Payment)
利息費用(Interests)
償還本金(Principal)
期末餘額(Ending)
按 鍵 ─ PMT INT PRN SHIFT BAL
第一年 $2,000,000.00 311,640.18 180,000.00 131,640.18 1,868,359.82
第二年 $1,868,359.82 311,640.18 168,152.38 143,487.80 1,724,872.02
第三年 $1,724,872.02 311,640.18 155,238.48 156,401.70 1,568,470.33
第三年年底應償還 $311,640.18 + 1,568,470.33 = $1,880,110.51 。
第三年年底應還金額:
第三年年底應償還 $311,640.18 + 311,640*PVIFA 9%,7
28
4. 永續年金 (Perpetuity) : 指無限期的年金
P = PMT (1
(1+i) + 1
(1+i)2 + … +
1 (1+i)
n + …) = PMT
i ,
PVA = PMT
i 。
例、 < 例 10> 大大公司發行特別股 ( 每張 1000 股 ) ,每年支付股利 $2,000 ,必要報酬率 10% ,則其理論股價應為何?
P = PMT
i = $2 0.1 = $20。
29
第三節 非等額現金之計算 : 每期收支金額非固定額度
FVn = CF0‧ (1+i)n + CF1‧ (1+i)
n 1 + CF2‧ (1+i)
n 2 + ... + CFn。
0 1 2 3 ... 9 10
├──┼──┼──┼──────┼──┤ 利率 = i
CF1 CF2 CF3 ... CFn-1 CFn
PV FV
PVn = CF0 + CF1 1+i +
CF2
(1+i)2 + ... +
CFn
(1+i)n = t=0
n
CFt
(1+i)t 。
30
例、 < 例 11> 每年年初購買海外共同基金, 5 年來購買金額分別為 $5 、 4 、 8 、 6 、 7 萬,期末價值 $44 萬,平均年報酬率為何?
$44 萬 = $5 萬‧ (1+i)5 + 4 萬‧ (1+i)4 + 8 萬‧ (1+i)3 + 6 萬‧(1+i)2 + 7 萬‧ (1+i) ,
i = 14% 。
0 1 2 3 4 5
├──┼──┼──┼──┼──┤ $5 萬 4 萬 8 萬 6 萬 7 萬 $44 萬
Casio FC-200 計算機0 EXE SHIFT AC EXE ( 清除資
料 )() 5 → CFj
() 4 → CFj
() 8 → CFj
() 6 → CFj
() 7 → CFj
44 → CFj
IRR EXE → 13.99%
31
年金終值在理財規劃的應用
1. 定期定額投資的計算 每月投資 5 千元, 1 年共 6 萬元,若 30
年的平均報酬率為 6% ,屆時 (30 年後 )累積的退休金為 474 萬元
2. 已知年繳保費與滿期金,求儲蓄報酬率 年繳保費 10 萬元 ( 期初繳 ) ,繳期 10 年,
屆時可領回 120 萬元,隱含報酬率為 ? 3.29%
32
年金現值在理財規劃的應用
1. 計算退休後生活費用總額 每月生活費 5 萬元, 1 年 60 萬元,若至
終老前還有 20 年,折現率 6% ,其退休當年應累積之退休金為 ? 688 萬元
33
2. 貸款本利攤還的計算 ( 購屋規劃章節 )3. 年繳保費折算躉繳保費
年繳保費 5 萬,計 20 年;躉繳保費 60 萬元,若存款利率為 4%, 何者划算
4. 債券現值的計算 票面利率 6% ,面額 100 萬 , 5 年到期 , 市
場利率為 5%, 求債券現值 ? 104.4 萬元
34
第四節 複利之計算
EAR = (1 + 0.18 12 )
12 1.0 = 19.56%。
名目年利率 (Nominal Annual Rate) : inom ,掛牌利率。 每期利率 (Periodic Interest Rate) : inom /m , m 為計算次數。有效年利率 (Effective Annual Rate) :EAR (ieff) ,實際年利率。
例、 < 例 12> 某信用卡的名目年利率為 18% ,則其「有效年利率」為何?
EAR = (1 + inom m )
m 1.0。
35
< 例 13> A 銀行定期存款年利率 7% ,以單利計算 ; B 銀行年利率 6.9% ,每季計息 ; C銀行年利率 6.8% ,每月計息。以 「有效年利率」作比較,哪一個銀行的利率最高?
36
2. 無限次數的有效年利率
ieff = [ lim m→ (1 +
inom m )
m ] 1.0
= [ lim m→ (1 +
1 m/inom
)m ] 1.0
= [ lim m→ (1 +
1 m/inom
)(m/inom)‧ inom] 1.0
= [ lim m→ (1 +
1 n )
n‧ inom] 1.0
= einom 1.0 。
37
< 例 14> X 銀行定期存款年利率 6.6% ,每季計息 ; Y 銀行年利率 6.5% ,計息無限次。以 「有效年利率」作比較,哪一個銀行的利率最高?
38
第五節 貨幣時間價值之應用
甲國的年經濟成長率為 2% 。 乙國的年經濟成長率為 12% 。
例、 [ 單一金額未來值之應用 ]
甲國目前的國民生產毛額為乙國的五倍,乙國多少年之後國民生產毛額將會超過甲國?
GNP 甲‧ (1.02)n GNP 乙‧ (1.12)n ,5 GNP 乙‧ (1.02)n GNP 乙‧ (1.12)n ,5 (1.02)‧ n (1.12)n ,5 (1.12/1.02)n
5 (1.098)n , n = 17.21 。
0 n ├────────┤ PV=1 FV=5
i = 1.12 1.02 1 = 9.8%。
Casio FC-200 計算機() 1 → PV 5 → FV 9.8 → i%COMP n EXE → 17.21
39
甲公司-交車一個月後每個月月底應付 $73,178 ( 無頭期款 ) ,共付一年六個月 (18 期 ) 。
乙公司-交車兩個月後每二個月月底應付 $132,198 ( 無頭期款 ) ,共付 10 期。
甲或乙公司之分期付款對消費者較有利?
例、分期付款年金利率之比較新車,現金售價 $120 萬:
甲公司: $1,200,000 = ($73,178) PVIFAi,18 ,一個月利率 = 1%
有效年利率 = (1.01)12 1 = 12.68% 。
乙公司: $1,200,000 = ($132,198) PVIFAi,10 ,二個月利率 = 1.8%
有效年利率 = (1.018)6 1 = 11.30% 。
乙公司利率較低,應選擇乙公司。
40
如果要保人繳滿保險金 5 年之後 ( 第 24 年底 ) 死亡,則其投保的「年平均報酬率」為多少?
以平均壽命 70 歲計算,忽略作業成本,則該保險公司推出該契約的成本 ( 百分比 ) 約為多少?
例、 [ 保險的報酬率 ] 30 歲要保人之壽險 $1,000,000 保額,每年年初需繳費 $12,368 , 20 年後期滿。
0 1 2 3 ... 19 20 24
├──┼──┼──┼──────┼──┼────┤12,368 12,368 12,368 12,368 ... 12,368 0 1,000,000
FV = PMT FVIFAi,20 (1+i)5 , $1,000,000 = ($12,368) FVIFAi,20 (1+i)5 , 利用財務計算機得到 i = 9.17% 。
41
0 1 2 3 ... 19 20 ... 38 39 ├──┼──┼──┼──────┼──┼────┼──┤12,368 12,368 12,368 12,368 ... 12,368 0 ... 0 1,000,000
FV = PMT FVIFAi,20 (1+i)20 , $1,000,000 = $12,368 FVIFAi,20 (1+i)20 , 利用財務計算機得到 i = 4.72% 。
Casio FC-200 計算機0 EXE SHIFT AC EXE ( 清除資
料 )12,368 → CFj
20 → Nj
0 → CFj
19 → Nj
1,000,000 → CFj
IRR EXE → 4.72
( 續前題 )