chapter 2 貨幣與時間的關係

第 2章貨幣與時間的關係

1

Chapter 2

貨幣與時間的關係

1


2

2.1 　利息是貨幣的時間成本2.1.1 　貨幣的時間價值

貨幣有獲利力與購買力。2.1.2 　與利息相關的交易

借款或投資交易的最初金額稱為本金。計息週期，即決定計算利息的時間週期，

通常以年利率來表示。在明確時間內的收支計畫，可產生特定的現金流量型

式。

25


3

為了便於計算，以下列變數表示這些要素：

nA 第 n 期末支付或收入的金額。

i 計息週期的利率。

N 計息週期總數。

P 在時間為零的總金額，稱為現值。

F 在分析時間最後的總金額，可寫成 NF ，或稱未來值。

A 規則且連續 N 期末支付或收入相同的金額，即 21 AA NA ，或

稱年金。

nV 考慮某金額於第 n 期末的相當等額，注意， PV 0 且 FVN 。

25


4

期末慣例2.1.3 　計算利息的方法

單　利 : 以單利計算總利息 I 為：

(2.1)

N 期後的本金 F 為

(2.2)

複　利 : N 期後的累積餘額 F 為，

(2.3)

NiPI )(

)1( iNPIPF

28

NiPF )1(


5

例題 2 .1 複利

若將 $ 1 , 0 0 0 存入銀行帳戶，年利率為 8 % ，以複利計算，在每期 ( 年 ) 末都沒提出

賺得的利息，則繼續累計三年後有多少錢？

解答：

已知：現值 $1,000P ，複利期數 3N 年，年利率 %8i 。

求：未來值 F 。

利用公式 ( 2 . 3 ) 求解，年利率 8 % ，存款 3 年後得

3$1,000(1 0.08) $1,259.71F

週期期初金額本期利息期末金額

1 $ 1 , 0 0 0 . 0 0 $ 1 , 0 0 0 . 0 0 ( 0 .0 8 ) $ 1 , 0 8 0 . 0 0

2 1 , 0 8 0 . 0 0 1 , 0 8 0 . 0 0 ( 0 .0 8 ) 1 , 1 6 6 . 4 0

3 1 , 1 6 6 . 4 0 1 , 1 6 6 . 4 0 ( 0 .0 8 ) 1 , 2 5 9 . 7 1

28


6

2.1.4 　單利與複利例題 2 .2 比較單利與複利

西元 1 6 2 6 年， D u tc h 西印度公司支付 $ 2 4 元向印度政府買了紐約曼哈頓島，回顧

一下，如果當時以 8 % 利率將 $ 2 4 存入銀行，則到西元 2 0 0 0 年將有多少錢？

解答：

已知：年374,%8,24$ NiP 。

求：在年利率 8 % 下， ( a ) 單利情況； ( b ) 複利情況的未來值 F 。

(a ) 在 8 % 單利情況： 08.742$)]374)(08.0(1[24$ F

( b) 在 8 % 複利情況： 896,483,388,979,75$)08.01(24$ 374 F

30


隨堂練習（ 2 題）

7


8

2.2 　經濟的等值例題 2 .3 等值

假設有兩種選擇：在 5 年後一次收到 $ 3 , 0 0 0 ，或現在擁有 P 元。利率為 8 % ，使兩

者無差異的 P 應為多少？當然， 5 年後一定會支付 $ 3 , 0 0 0 ，且現在不需要用到這筆錢，

可將 P 元以利率 8 % 存入銀行。

討論：我們要求出現值 $ 3 , 0 0 0 以年利率 8 % 5 年後的等值，注意，這個問題的假設，是

“ ”要把錢放入銀行使利潤增加，而無差異表示在 8 % 利率下願意做的交易。

32


9

解答：

已知：未來值 000,3$F ，期數 5N 年，年利率 %8i 。

求：現值 P 。

由公式 ( 2 . 3 ) 知，

NiPF )1(

移項得，

NiFP )1/(

代入已知條件得，

042,2$)08.01/(000,3$ 5 P

這個問題可整理成圖 2 . 4 。

33


隨堂練習

10


11

2.3 　利率公式的推導2.3.1 　五種現金流量型式

(1) 一次支付(2) 等額系列(3) 等差系列(4) 等比系列(5) 不規則系列

39


12

(a) 一次支付

(b) 相同時間間隔的等額支付系列

(c) 以固定遞增或遞減量 G的等差支付系列

(d) 以固定比率遞增或遞減的等比支付系列

(e) 不規則支付系列

年

100$

0 1 2 3 4 5

100$100$ 100$ 100$

年0 1 2 3 4 5

G50$50$

G250$ G350$

G450$

年0 1 2 3 4 5

)1(50$ g50$

2)1(50$ g

3)1(50$ g

4)1(50$ g

年

60$

0 1 2 3 4 5

100$70$

50$

100$

年

100$

0 1 2 3 4 5

圖 2 . 8 五種現金流量型式： ( a ) 一次支付； ( b ) 等額支付系列； ( c ) 等差支付

系列； ( d ) 等比支付系列； ( e ) 不規則支付系列。

40


13

2.3.2 　一次支付公式複利因子

P

O

F

N

貼現程序NiFP )1(

複利程序NiPF )1( P

O

F

N

圖 2 . 9 F 與 P 間的等值關係

41


14

因子的符號也就是“已知及 N ，求解 F” ，稱為一次支付複

利因子，表示如下：),,/( NiPF iP ,

(1 ) ( / , , )NF P i P F P i N

0

1 2 3 4 5 6 7 8

2000$年

%10i

F

圖 2 . 1 0 投資者觀點的現金流量圖 ( 例題 2 . 7 )

42

現在投資 2,000 元，年利率為 10% ，8 年後可拿回多少錢？F = 2000(F/P,10%,8) = 20002.1436 = 4287.18

第 2章貨幣與時間的關係查表 (F/P,10%,8)

15


16

現值因子一次支付現值因子

),,/()1(

1 NiFPFi

FPN

),,/( NiFP

0

1 2 3 4 5

?P

1000$

年

%12i

43

P = 1000 (P/F,12%,5) = 1000 0.5674 = 567.4


隨堂練習

17


18

2.3.3 　不規則支付系列例題 2 .1 1 把不規則支付流量分解成一次支付系列，以求現值。

昌達科技是個正在成長的機械工廠，想在未來 4 年內撥款投資於客服部門的自動化。

公司現在存入一筆錢，利率為 1 0 % ，且以下列方式提款運用：

第 1 年：以 $ 2 5 , 0 0 0 購買電腦及資料庫軟體給客服部門用。

第 2 年：以 $ 3 , 0 0 0 購買附加硬體，以容納系統的預期成長。

第 3 年：沒有花費。

第 4 年：以 $ 5 , 0 0 0 升級軟體。

試問，現在要存入多少錢，才能滿足未來 4 年的支出？

47


19

解答：

已知：不規則現金流量圖如圖 2 . 1 4 所示，年利率 %10i 。

求：現值 P 。

622,28$

)4,%10,/(000,5$)2,%10,/(000,3$)1,%10,/(000,25$

FPFPFPP

1P

000,25$

0

年

1

1 2

2P

3000$

年

0

1 2 3 4

421 PPPP

5000$

000,25$

3000$

年

0

1 2 3 4

4P

5000$

年

圖 2 . 1 4 不規則現金流量系列的分解圖 ( 例題 2 . 1 1 )

47


隨堂練習

20


21

2.3.4 　等額支付系列複利額因子：已知 A, i, N ，求 F 值

或改變式子如下：(2.8)

公式 (2.8) 兩邊乘上得，(2.9)

2 1(1 ) (1 ) (1 )NF A A i A i A i

AiAiAiAF NN )1()1()1( 21

NiAiAiAFi )1()1()1()1( 2

)1( i

50


22

0 1 2 3 1NN

?F

AAAAA

圖 2 . 1 6 A 與 F 的現金流量關係圖

0 1 2

1A 2A

1N

1NA NA

N

NFFFF 21

F

0 1 2 3

1A

N

1F

0 1 2 3

2A

N

2F

0 1 2 1N

1NA

N

1NF

0 1 2 3

NA

N

NF

圖 2 . 1 7 加總個別現金流量的未來值，以獲得整體現金流量的未來值

50


23

公式 (2.9) 減去公式 (2.8) ，消掉共同項，

求解 F 得，(2.10)

NiAAFiF )1()1(

),,/(1)1(

NiAFAii

AFN

51


24

例題 2 .1 3 均勻等額系列：已知 i, A , N，求解 F。

假如每年底帳戶存入 $ 3 , 0 0 0 ，年利率 7 % ，則 1 0 年後有多少錢可提領？ ( 圖 2 . 1 8 )

0 1 2 543 6 107 8 9%7i

3000$A

年F

圖 2 . 1 8 現金流量圖 ( 例題 2 . 1 3 )

解答：

已知：等額年金 000,3$A ，利息期數 10N 年，年利率 %7i 。

求：未來值 F 。

20.449,41$

)8164.13(000,3$

)10,%7,/(000,3$

AFF

51


25

償債基金因子：已知 F, i, N ，求 A 值

資本回收因子 ( 年金因子 ) ：已知 P, i, N ，求 A 值

( / , , )(1 ) 1N

iA F F A F i Ni

52

),,/(1)1(

)1(NiPAP

iii

PAN

N


26

例題 2 .1 6 均勻規則連續付款：已知 P , i , N，求解 A。

拜貢是個小型生物科技公司，準備借 $ 2 5 0 , 0 0 0 購買實驗設備以發展基因重組技術。

這項貸款的年利率為 8 %，且在 6 年內等額分期付款，求每年應償還的金額為何？ ( 圖 2 . 2 2 )

解答：

已知：現值 000,250$P ，年利率 %8i ，利息期數 6N 年。

求：年金值 A。

000,250$

0

1 2 3 4 5

AAAAA

年

6

A

圖 2 . 2 2 以拜貢的觀點看貸款現金流量圖 ( 例題 2 . 1 6 )

075,54$

)2163.0(000,250$

)6,%8,/(000,250$

PAA

54


27

現值因子：已知 A, i, N ，求 P 值),,/(

)1(1)1(

NiAPAiii

APN

N

56


28

例題 2 .1 8 均勻等額連續支付：已知 A , i , N，求解 P。

讓我們來看一個領取中獎彩金的問題，王太太放棄 9 年內每年領 $ 3 2 , 6 3 9，而一次領

取 $ 1 4 0 , 0 0 0。若年利率 8 % ，則她的決定正確嗎？若否，則彩金金額為多少，才值得讓她

放棄分 9 年領取？

1 2 3 4 5 60

7 8 9

P

639,32$A

圖 2 . 2 4 現金流量圖 ( 例題 2 . 1 8 )

解答：

已知：年利率 8 % ，年金值 639,32$A ，利息週期 9N 年。

求：現值 P 。

查表法：

893,203$

)4269.6(639,32$)9,%8,/(639,32$

APP

57


隨堂練習

29


30

2.3.5 　連續等差支付系列

1 2 3 40 1N N

0

G

G2G3

GN )2( GN )1(

年

注意：在嚴格連續等差支付系列的第一個現金流量值為 0

圖 2 . 2 5 嚴格連續等差支付系列的現金流量圖

1 2 3 40 5

1AGA 1

GA 21 GA 31

GA 41

年

圖 2 . 2 6 一典型等差系列的現金流量圖。注意，第一期末的現金流量不為零。

59


31

視連續等差支付為連續支付系列的組合

年

(a) 遞增等差系列

0 1 2 3 4 5 6

1A

0 1 2 3 4 5 6

1A GA 1

GA 51

0 1 2 3 4 5 6

GG2

G5

G3G4

年

(b) 遞減等差系列

0 1 2 3 4 5 6

1A

0 1 2 3 4 5

1AGA 1

GA 51

0 1 2 3 4 5 6

GG2

G5

G3G4

6

圖 2 . 2 7 典型的連續等差支付系列，可視為 N 期連續均勻每期 1A 支付和遞增 G 的連續等

差支付系列的組合。

60


32

現值因子 ─ ------ 連續等差支付系列：已知 G, N, i ，求解 P),,/(

)1(1)1(

2NiGPG

iiiNiGPN

N

61


33

例題 2 .2 0 連續等差支付：已知 1 , , ,A G i N，求解 P。

某紡織廠欲購買一部使用年限 5 年的吊車，工程師估計第 1 年的維修費為 $ 1 , 0 0 0 ，

此維修費在吊車壽命年限內每年增加 $ 2 5 0 ，假設維修費於每年年終時支付，年利率

1 2 % ，若公司想設立一個帳戶以支應未來維修費用，則現在必須存入多少錢？

解答：

已知：初始基礎付款 000,1$1 A ，固定差額 250$G ，年利率 1 2 %，利息週期 5N 年。

求：現值 P 。

本題要求年利率 1 2 % 時，此維修費相當於多少現值？現金流量可分為兩部分 ( 如

圖 2 . 2 8 所示 ) 。

第一部分是等額連續支付系列 )( 1A ，第二部分是連續等差支付系列 )(G 。

204,5$)397.6(250$)6048.3(000,1$

)5,%12,/()5,%12,/(1

21

GPGAPAPPPP

61


34

0 1 2 3 4 5

21 PPP

1000$1250$ 1500$

1750$2000$

年

等額連續支付系列

0

1 2 3 4 5

1P

1000$

等差連續支付系列

01 2 3 4 5

2P

250$500$

750$1000$

圖 2 . 2 8 現金流量圖 ( 例題 2 . 2 0 )

62


隨堂練習

35


36

等差轉等額連續支付系列因子 : 已知 G, i, N ，求解 A

(2.18)),,/(]1)1[(1)1(

NiGAGiiiNi

GAN

N

1 2 3 40 1N N

GG2

G3

GN )2(

GN )1(

年

1 2 3 40 1N N

A

年

A A A A A

),,/( NiGAGA

嚴格的連續等差支付系列相當於均勻等額連續支付的系列

圖 2 . 2 9 將等差系列轉成均勻規則連續支付系列

62


37

例題 2 .2 1 等差連續支付：已知 NiGA ,,,1 ，求解 A。

志明及春嬌在信用合作社開了兩個儲蓄帳戶，年利率 1 0 % ，志明想在第 1 年底存入

$ 1, 0 0 0，之後 5 年內逐年增加 $ 3 0 0 存款，而春嬌則在這 6 年每年等額存款。春嬌每年須

存入多少錢，才能在第 6 年底與志明有相同的餘額？ ( 圖 2 . 3 0 )

1 2 3 4 5 60

1000$1300$

1600$1900$

2200$2500$

年

等差的存款系列

1 2 3 4 5 60

300$G

300$600$

900$1200$

1500$

等額的存款系列

1 2 3 4 5 60

1000$1 A

志明的存款計畫

63


隨堂練習

38


39

2.3.6 　等比連續支付系列65

1 2 3 4 1N N

1A1(1 )A g

年

遞減等比連續支付系列

0gP

0或

1 2 3 4 1N N

1A

11 )(1 NgA

年

遞增等比連續支付系列

0g

)1(1 gA

P

0

11(1 ) NA g

21(1 )A g2

1(1 )A g

圖 2 . 3 2 以常數百分比 g 遞增或遞減的等比連續支付系列

或

giiNA

gigi

igAP

NN

如果，

如果，

)1/(

)1()1(1

1

1

),,,/( 11 NigAPAP

本小節略過，直接跳至 2.4 小節


40

例題 2 .2 3 等比連續支付：已知 NigA ,,,1 ，求解 P。

安迪公司是個藥品設備製造商。在機器的螺管及壓力開關中要壓縮空氣控制機器運

轉。幾年來，多次更換製造樓層的配管，每次有新配管，加入壓縮空氣的管線就更多，

所以一定要移除老舊管線；儘管如此，現行空壓傳遞系統還是效率不足且有洩漏之虞。

預計壓縮機未來有 7 0 % 的運轉效率，每千瓦小時的電力成本為 $ 0 . 0 5 ，一小時需要

2 6 0 千瓦 ( 工廠一年運轉 2 5 0 天，一天 2 4 小時 ) 。若此系統繼續運轉，則壓縮機因洩漏

問題，未來 5 年內每年將增加 7 % 的電力成本。 ( 5 年後須汰換不合需求的現行系統 ) 。

若壓縮機一年運轉天數相同，則公司現在決定汰換老舊管線，將花費 $ 2 8 , 5 7 0；而運

轉時間將因減少空壓損失而縮短 2 3 % ( 或一天使用的時間為 70%(1 0.23) 53.9% )，若年

利率 1 2 % ，則公司修理它值得嗎？

67


41

解答：

已知：電力成本變動百分比 %7g ，年利率 %12i ，複利週期數 5N 年。

求：第 1 期支付 1A ，現值 P 。

步驟一：我們必須計算第一年間管路系統的電力消耗量成本，而第一年電力消耗量的計

算方式如下：

%/

/$ /

(70% ) ( 250 / ) (24 / )(260 ) ($0.05 / )

$54, 440 /

電力成本一天的運轉效率百分比

運轉天數一年小時一天消耗千瓦小時每千瓦小時

天年小時天千瓦小時千瓦小時年

步驟二：每年的電力成本比前一年成長 7 % ，未來 5 年內的電力成本如圖 2 . 3 3 所示，年利

率 1 2 % ，等比連續支付系列，則相當於整筆支付的現值計算如下：

1

5 5

$54,440( / , 7% , 12% , 5)

1 (1 0.07) (1 0.12)$54,4400.12 0.07

$222,283

P P A

舊

68


42

步驟三：若安迪公司現在決定汰換空壓系統，則第一年將減少 2 3 % 電力成本，且未來 5

年內的電力成本將維持如同第一年，年利率 1 2 % ，相當於整筆支付的現值如下：

109,151$

)6048.3(80.918,41$)5,%12,/)(23.01(440,54$

APP換新

步驟四：現在不汰換老舊系統，比新系統的淨成本高出 283,222$(174,71$ )109,151$ 。由

於換成新系統只花費 $ 2 8 , 5 7 0 ，故值得汰換老舊系統。

註解：在此例，移除舊系統的成本已包含在設置新系統內。若被移除的舊系統有些利用

價值 ( 殘值 ) ，則置換將省下更多花費。

1 2 3 4 50

440,54$ 251,58$328,62$

691,66$360,71$

年

%7g

68


43

現金流量型

式因子符號公式 E x c e l 函數現金流量圖

一次

付款

系列

複利額 ),,/( NiPF

現值 ),,/( NiFP

NiPF )1(

NiFP )1(

)0,,,,(FV PNi

)0,,,,(PV FNi

0

F

N

F

複利額 ),,/( NiAF

償債基金 ),,/( NiFA

ii

AFN 1)1(

1)1( Ni

iFA

PV( , , ,, 0)i N A

)0,,,,(PMT FPNi

0

A

F

N

A A A A

1N1 2 3

等額

付款

系列現值 ),,/( NiAP

資本回收 ),,/( NiPA

N

N

ii

iAP

)1(

1)1(

1)1(

)1(N

N

i

iiPA

PV( , , ,, 0)i N A

PMT( , ,, )i N P

A

N

A A A A

1N1 2 3

等差現值 ),,/( NiGP

轉換因子 ( / , , )A G i N

N

N

ii

iNiGP

)1(

1)1(2

(1 ) 1[(1 ) 1]

N

Ni iNA G

i i

G

N

GN )2( G2

1N1 2 3

P 遞增

付款

系列等比連續支付現值

),,,/( 1 NigAP

1

1

1 (1 ) (1 )

( )1

N Ng iA

i gP

NA i gi

如果

1A

N

11 (1 ) NA g

2A

1 2 3

P

3A

70


44

2.4 　非傳統的等值分析2.4.1 　複合式現金流量

1 2 3 4 5 60 7 8 9

50$

100$ 100$ 100$

150$ 150$ 150$ 150$

200$

年

72.543$

78.57$)9,%15,/(200$04.49$)8,%15,/(150$39.56$)7,%15,/(150$85.64$)6,%15,/(150$58.74$)5,%15,/(150$18.57$)4,%15,/(100$75.65$)3,%15,/(100$61.75$)2,%15,/(100$48.43$)1,%15,/(50$

FPFPFPFPFPFPFPFPFP

72.543$

圖 2 . 3 5 用 P / F 因子計算相當現值 ( 方法 1：土法煉鋼法 )

71


45

1 2 3 4 5 60 7 8 9

50$

100$ 100$ 100$

150$ 150$ 150$ 150$

200$

年

72.543$

第 1 組第 2 組第 3 組第 4 組

72.543$

)9,%15,/(200$85.56$

)4,%15,/()4,%15,/(150$85.244$

)1,%15,/()3,%15,/(100$54.198$

)1,%15,/(50$48.43$

FP

FPAP

FPAP

FP

圖 2 . 3 6 用 P / F 及 P / A 因子計算不規則支付系列的相當現值 ( 方法 2：分組法 )。

72


隨堂練習（ 3 題）

46


47

例題 2 .2 6 設置教育基金

一對夫婦生了一個女兒，想預先為她存大學學費，在年利率 7 % 下，他們想設置一

筆大學教育基金。假設這個孩子 1 8 歲進大學，估計一年需要 $ 4 0 , 0 0 0 ，且要連續四年支

付孩子上大學的費用，試求直到孩子進大學時，這對夫婦須存的等額年金為多少？ ( 假設

第一筆存入在孩子 1 歲生日，最後第一筆是在孩子 1 8 歲生日，而第一次提領是在孩子開

始當新鮮人時，也就是孩子 1 8 歲生日時 )

解答：

已知：存提金額如圖 2 . 3 8 的現金流量，年利率 %7i 。

求：未知的每年存款金額 X 。

000,40$

年

?X

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 19 20 21

圖 2 . 3 8 設置教育基金 ( 例題 2 . 2 6 )

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方法 1 ：建立第 0 期的等值。

步驟一：求與現在等值的整筆一次存款：

X

APXP

0591.10

)18,%7,/(

存款

步驟二：求與現在等值的整筆一次提款：

892,42$

)17,%7,/)(4,%7,/(000,40$

FPAPP提款

步驟三：因為兩個值相等，所以提款存款 PP ，可求得 X ：

264,4$892,42$0591.10

XX

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49

方法 2 ：建立相當於孩子 1 8 歲生日時的等值。

步驟一：求孩子 1 8 歲生日時的累積存款金額：

X

AFXV

9990.33

)18,%7,/(18

步驟二：求相當於孩子 1 8 歲生日時的一次提款等值：

972,144

)3,%7,/(000,40$000,40$18

APV

步驟三：因為兩個值相等，所以可求得 X ：

264,4$

972,144$9990.33

XX

計算步驟歸納於圖 2 . 3 9 中。一般而言，第二種方法求解這類問題的等值比較有效。

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隨堂練習

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2.5 　總　結貨幣是有時間價值的，因其可隨時間的增加而獲得更多利益。本章介紹與貨幣時間價值相

關的名詞如下：

利息：貨幣的成本。對借方而言是支付花費，而對貸方而言是賺得利潤，它們都超過原始

借或貸的金額。

利率：決定總金額週期性增加利息的百分比。

單利：只對原始總金額執行支付利息的利率。

複利：所支付的利息，是針對原始總金額加上先前累積的利息。顯然，複利是真實世界裡

最常用的系統。

等值：在個別現金流量和其他價值相同的現金流量型式中。雖然金額和時間點可能不同，

但適當的利率卻可使其等值。

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複利公式可能是本書中最重要者：

NiPF )1(

其中， P 為現值， i 為利率， N 為複利週期數， F 為產生的未來值。其他所有重要的利率公

式，都由此式推導而得。

現金流量圖：現金沿著時間刻度線流入或流出的視覺表示法，對於辨別五種現金流量的特

殊型式特別有用。

五種現金流量型式如下：

1 . 一次支付：現在或未來支付單一的現金流量。

2 . 等額連續支付：以規則的週期，每期連續支付一筆固定金額的現金流量。

3 . 等差連續支付：以規則的週期，每期連續以等額增或減支付一筆金額的現金流量。

4 . 等比連續支付：以規則的週期，每期連續以固定百分比增或減支付一筆金額的現金流量。

5 . 不規則連續支付：連續支付可能包含上述各種支付型式。

現金流量型式之所以非常重要，是因為可推導利率公式及簡化求解等值問題。表 2 . 3 摘錄

一些重要的利率公式，以推導工程經濟中的其它分析。

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chapter 2 貨幣與時間的關係

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